¨
¨
˙ BOL
¨ UM
¨ U
¨
A.U.FEN
FAKULTES
I˙ MATEMATIK
˙
¨
¨
MAT115(A) FINAL SINAVI SORULARI ve C
¸ OZUMLERI˙
1. A = {x ∈ Z+ | x ≤ 11} k¨
umesi u
¨zerinde “aRb olması i¸cin gerek ve yeter ¸sart a · b bir
tamsayının karesidir” ¸seklinde tanımlı bir R ba˘gıntısı veriliyor.
(a) R ba˘
gıntısının elemanlarını belirleyiniz.
¨ UM
¨
C
¸ OZ
: R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6), (7, 7), (8, 8), (9, 9), (10, 10), (11, 11),
(1, 4), (4, 1), (1, 9), (9, 1), (2, 8), (8, 2), (4, 9), (9, 4)} ¸seklindedir.
(b) Bu ba˘
gıntı sonucunda ortaya c¸ıkan b¨
ut¨
un denklik sınıflarını belirleyiniz.
¨ UM
¨
C
¸ OZ
: Bu ba˘
gıntı sonucunda ortaya c¸ıkan b¨
ut¨
un denklik sınıfları:
¯
1 = {1, 4, 9} 2¯ = {2, 8} 3¯ = {3}
5¯ = {5}
¯
¯
6 = {6}
7 = {7}
10 = {10} 11 = {11}
¸seklindedir.
2. (a) A = {2x| x ∈ Z} ve B = {3x| x ∈ Z} k¨
umeleri veriliyor. A = B midir? Ara¸stırınız.
¨ UM
¨
C
¸ OZ
: 2 ∈ A olmasına ra˘gmen 2 ∈
/ B oldu˘gundan A 6= B dir.
(b) S = {{n ∈ Z+ | n > 6}, {1, 3, 5}, {2, 4}} olsun. S toplulu˘gu Z+ nın bir par¸calanması
mıdır? Ara¸stırınız.
S
S
¨ UM
¨
X 6= Z+ dır. Bu
X oldu˘gundan
C
¸ OZ
: 6 ∈ Z+ olmasına ra˘gmen 6 ∈
/
X∈S
X∈S
sebeple S toplulu˘
gu Z+ nın bir par¸calanması de˘gildir.
3. A = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24} k¨
umesi u
¨zerinde R b¨ol¨
unebilme ba˘gıntısı veriliyor.
(a) A k¨
umesinin R ye g¨
ore Hasse diyagramını c¸iziniz.
¨ UM
¨
C
¸ OZ
:
24
8
12
18
4
6
9
2
3
1
(b) A k¨
umesinin R ye g¨
ore (varsa) maksimal, minimal, maksimum ve minimum elemanlarını belirleyiniz.
¨ UM
¨
C
¸ OZ
: A k¨
umesinin R ye g¨ore maksimal elemanları 18, 24, minimal ve minimum
elemanı 1 olmasına ra˘
gmen maksimum elemanı yoktur.
4. (a) A = {x ∈ Z+ | x ≤ 15} k¨
umesi u
¨zerinde R denklik ba˘gıntısı “aRb olması i¸cin gerek
ve yeter ¸sart a ≡ b (mod 5) olmasıdır” ¸seklinde veriliyor. R yardımıyla A nın bir
par¸calanmasını bulunuz.
¨ UM
¨
C
¸ OZ
: Bu ba˘
gıntı sonucunda ortaya ¸cıkan b¨
ut¨
un denklik sınıfları ¯1 = {1, 6, 11},
¯
¯
¯
¯
2 = {2, 7, 12}, 3 = {3, 8, 13}, 4 = {4, 9, 14}, 5 = {5, 10, 15} ¸seklindedir. B¨oylece
S = {¯
1, ¯
2, ¯
3, ¯
4, ¯
5} toplulu˘
gu A k¨
umesinin bir par¸calanmasıdır.
˙
(b) Ispat
x tamsayısının ¸cift oldu˘gunu kabul edelim. Bu durumda x = 2a olacak bi¸cimde
a ∈ Z vardır. B¨
oylece x2 = (2a)2 = 4a2 = 2(2a2 ) elde edilir. 2a2 ∈ Z oldu˘gundan
2
x tamsayısı c¸ifttir. Kar¸sıt olarak x tamsayısının tek oldu˘gunu kabul edelim. Bu
durumda x = 2b+1 olacak bi¸cimde b ∈ Z vardır. B¨
oylece x2 = (2b+1)2 = 4b2 +4b+1 =
2
2
2(2b + 2b) + 1 elde edilir. 2b + 2b ∈ Z oldu˘gundan x2 tamsayısı tektir.
Verilen ispat hangi ¨
onermeye aittir? Belirleyiniz.
¨ UM
¨
C
¸ OZ
: Verilen ispat “ x ∈ Z nin c¸ift olması i¸cin gerek ve yeter ¸sart x2 nin c¸ift
olmasıdır” ya da “ x ∈ Z nin tek olması i¸cin gerek ve yeter ¸sart x2 nin tek olmasıdır”
onermesine aittir.
¨
2
Download

MAT115 Soyut Matematik I Final Sınav Soruları ve Çözümleri