20
1. Metrik Uzaylar ve Topolojisi
1.5
Metrik Uzaylarda S¨
ureklilik
X ve Y iki topolojik uzay olmak u
¨zere, bir f : X → Y fonksiyonunun x0 ∈ X
noktasında s¨
urekli olması, f (x)’i i¸ceren her a¸cık U ⊂ Y i¸cin, f (V ) ⊂ U
¨ozelli˘ginde x’i i¸ceren V ⊂ X a¸cık k¨
umesinin var olması idi. f fonksiyonu her
noktada s¨
urekli ise f ’ye s¨
urekli fonksiyon olarak tanımlanmı¸stı. Mertikle¸sebilir
iki topolojik uzay arasında tanımlı s¨
urekli fonksiyonların yapısını anlamak,
a¸sa˘gıdaki teoremden de anla¸sılaca˘
gı gibi, iki topolojik uzay arasındaki s¨
ureklilik kavramını anlamaktan, daha ”kolay”dır. Bu kolaylıktan yararlanarak altmetrik uzayda tanımlı s¨
urekli fonksiyonun s¨
urekli olarak geni¸slemesi hakkında
temel iki teorem verilcektir.
(X, d) ve (Y, p) iki metrik uzay, τd , X u
¨zerinde d tarafından u
¨retilen topoloji
ve τp , Y u
¨zerinde p tarafından u
¨retilen topoloji olsun. f : (X, τX ) → (Y, τY )
fonksiyonu x noktasında s¨
urekli ise, f ’ye bu iki metrik uzay arasında x noktasında s¨
urekli denir. f ’nin s¨
ureklili˘
gi benzer bi¸cimde tanımlanır.
Teorem 1.14. X ve Y iki metrikle¸sebilir uzay, f : X → Y bir fonksiyon ve
x ∈ X i¸cin a¸sa˘gıdakiler denktir.
(i) f , x noktasında s¨
ureklidir.
(i) xn → x =⇒ f (xn ) → f (x).
(i) Her > 0 i¸cin f (B(x, δ)) ⊂ B(f (x), ) ¨
ozelli˘ginde δ > 0 vardır.
X ve Y iki topolojik uzay ve ∅ =
6 A ⊂ B ⊂ X olmak u
¨zere f : A → Y ve
g : B → Y fonksiyonları s¨
urekli ve her x ∈ A i¸cin g(x) = f (x) ise g’ye f ’nin
s¨
urekli geni¸slemesi denir.
Tanım 1.9. X bir topolojik uzay olsun. X’nin sayılabilir tane a¸cık k¨
umelerin
arakesiti olarak yazılabilen k¨
umete Gδ -k¨
ume denir. Gδ -k¨
umenin t¨
umleyenine
Fδ -k¨
ume denir.
¨
Ornekler
1.36. metrikle¸sebilir topolojik her uzayın kapalı alt k¨
umesi Gδ -k¨
umedir. Ger¸cekten, X’nin
topolojisinin d metri˘
gi tarafından u
¨retilen topoloji olsun. A ⊂ X kapalı olsun.
f : X → R, f (x) = d(x, A)
olmak u
¨zere, f s¨
urekli ve
A = ∩n f −1 (− n1 , n1 )
ve sa˘
glanır.
Teorem 1.15. X bir metrik uzay ve Y tam metrik uzay olsun. A ⊂ X ve
f : A → Y s¨
urekli fonksiyon olsun. A ⊂ A∗ ⊂ A ve f ∗ : A∗ → Y , f ’nin s¨
urekli
geni¸slemesi olacak bi¸cimde Gδ -k¨
ume A∗ vardır.
1.5. Metrik Uzaylarda Sureklilik
¨
21
Kanıt: x ∈ X’i i¸ceren a¸cık k¨
umelerin k¨
umesi Ux olmak u
¨zere,
u(x) = inf U ∈Ux supx,y∈A∩U p(f (x), f (y))
olarak tanımlıyalım. (u(x) ∈ R oldu˘
gu bariz.)
A∗ = {x ∈ A : u(x) = 0}
olsun. x ∈ A∗ verilsin. xn → x ve u(x) = 0 ¨ozelli˘gindeki her dizi (xn ) dizisi i¸cin
(f (xn )) dizisinin Y ’de bir Cauchy dizisi oldu˘gu a¸cıktır. Dolayısı ile yakınsaktır.
Ayrıca aynı ¨ozellikte bir ba¸ska (yn ) dizisi var ise
limn f (xn ) = limn f (xn )
dir. (Bunu g¨ormek i¸cin: her n ∈ N i¸cin z2n = xn ve z2n−1 = yn olam u
¨zere
(zn ), A’da x’e yakınsayan bir dizidir. Dolyısıyla,
limn f (xn ) = limn f (z2n ) = limn f (z2n−1 ) = limn f (yn )
elde edilir.) B¨oylece,
f ∗ : A∗ → Y , f (x) = limn f (xn ) (xn ∈ A, xn → x)
fonksiyonunu tanımlayabiliriz. A∗ altuzayında xn → x olsun. > 0 verilsin.
supy,z∈U ∩A p(f (y), f (z)) < ¨ozelli˘ginde U ∈ Ux vardır. Buradan
supy,z∈U ∩A p(f ∗ (x), f ∗ (y)) ≤ dir. Aynı zamanda her n ≥ n0 i¸cin xn ∈ U olacak bi¸cimde n0 ∈ N vardır.
Ayrıca zamanda xn ∈ A oldu˘
gundan, her n ≥ n0 i¸cin p(f ∗ (xn ), f ∗ (x)) ≤ ∗
dır. B¨oylece f ’nin s¨
urekli oldu˘
gu g¨
osterilmi¸s olur. Geriye A∗ ’nın Gδ -k¨
umesi
oldu˘gunu g¨ostermek kalıyor. Her n ∈ N i¸cin,
An = {x ∈ A : u(x) < n1 },
A’nın a¸cık bir k¨
umesidir. Ger¸cekten, x ∈ An ise,
sup{p(f (y), f (z)) : y, z ∈ U ∩ A} <
1
n
¨ozelli˘ginde U ∈ Ux vardır. Buradan U ∩ A ⊂ An elde edilir.
A∗ = ∩n An
oldu˘gundan, A∗ , A’da Gδ -k¨
umesidir. Metrik uzayda kapalı her k¨
ume Gδ -k¨
ume
oldu˘gundan (?), A∗ , X’de Gδ -k¨
umedir.
Yukarıki teoremde f fonksiyonununa eklenecek hangi ek ko¸sul altında A∗ yerine A alınabilir? Bunun bir yanıtını vermeden ¨once a¸sa˘gıdaki tanıma ihtiyacımız var.
22
1. Metrik Uzaylar ve Topolojisi
Tanım 1.10. (X, d) ve (Y, p) iki metrik uzay olsun. f : X → Y fonksiyonu
verilsin. Her > 0 i¸cin
d(x, y) < δ =⇒ p(f (x), f (y)) < ¨ozelli˘ginde δ > 0 var ise, f ’ye d¨
uzg¨
un s¨
urekli denir.
Teorem 1.16. X bir metrik uzay ve Y tam metrik uzay olsun. A ⊂ X ve
f : A → Y d¨
uzg¨
un s¨
urekli fonksiyon olsun. f ’nin s¨
urekli geni¸slemesi d¨
uzg¨
un
s¨
urekli f : A → Y vardır.
Kanıt: f ’nin d¨
uzg¨
un s¨
ureklili˘
ginden, bir ¨onceki teoremde ge¸cen A∗ = A
oldu˘gu barizdir. Ayrıca f ’nin d¨
uzg¨
un s¨
urekli oldu˘gu da barizdir.
Alı¸stırmalar
1.37. (X, d) ber merik uzay ve ∅ =
6 A ⊂ X verilsin.
f : X → Y , f (x) = d(x, A)
olarak tanımlanan fonksiyonun d¨
uzg¨
un s¨
urekli oldu˘
gunu g¨
osteriniz.
1.38. f : R\{0} → R, f (x) = x1 olarak tanımlanan s¨
urekli fonksiyonun R’ye s¨
urekli geni¸slemesinin
olmadı˘
gını g¨
osteriniz.
1.39. f ,g : (0, 1] → R fonksiyonları
f (x) = x2 ve g(x) =
1
x
e¸sitlileri ile tanımlansın. f ’nin d¨
uzg¨
un s¨
urekli, g’nin d¨
uzg¨
un s¨
urekli olmayan fonksiyonlar
oldu˘
gunu g¨
osteriniz.
Download

1.5 Metrik Uzaylarda Süreklilik