1. Normal Uzaylar
T¨
um¨
uyle d¨
uzenli topolojik uzayın tanımı ¸s¨oyle idi: X, T1 -uzayı ve K = {x}
ve F k¨
umeleri ayrık kapalı k¨
umeler ise
f (K) ⊂ {0} ve f (F ) ⊂ {1}
o¨zelli˘ginde f ∈ C(X) var olması idi. Normal topolojik uzay bu kavramı genelleyen bir kavramdır. Bu kavram, X bir topolojik uzay ve Y alt uzay olmak u
¨zere,
f : Y → R s¨
urekli bir fonksiyon ise, f ’nin bir s¨
urekli geni¸slemesi f : X → R
var mıdır?” sorusunun yanıtı ile de ili¸skilidir.
1.1. Uryshon Genis¸leme Teoremi
1.1
3
Uryshon Geni¸sleme Teoremi
A¸sa˘gıdaki tanım ili ba¸slayalım.
Tanım 1.1. X bir topolojik k¨
ume olmak u
¨zere A, B ⊂ X k¨
umeleri verilsin.
f (A) ⊂ {0} ve
f (B) ⊂ {1}
¨ozelli˘ginde s¨
urekli f : X → R fonksiyonu var ise, A ve B k¨
umelerine X
uzayında s¨
urekli fonksiyonlarla ayrılabilir denir.
X bir T1 uzay ise, X’nin t¨
um¨
uyle d¨
uzenli olması i¸cin gerekli ve yeterli ko¸sul
biri tek elemanlı ve di˘
geri kapalı olan ayrık k¨
umelerin s¨
urekli fonksiyonlarla
ayrılabilir olması gerekti˘
gi a¸cıktır.
X topolojik uzay ve Y alt uzay olsun. R de˘gerli ve Y ’de tanımlı s¨
urekli bir
fonksiyon, X’e s¨
urekli olarak geni¸sleyebilir mi? Bu soru
π : C(X) → C(Y )
π(f ) = f |Y
olarak tanımlanan fonksiyonunun ne zaman ¨orten oldu˘gudur. Bununla ilgili
bir yanıt vermeden ¨
once a¸sa˘
gıdaki tanımı verelim. f ∈ C(X)’nin siırlı olması supx∈X |f (x)| < ∞ olmasıdır. X uzayında tanımlı s¨
urekli fonksiyonların
k¨
umesi Cb (X) ile g¨
osterilir.
Tanım 1.2. X bir topolojik uzay ve Y , X’nin alt uzayı olsun. S¨
urekli her
f : Y → R fonksiyonun bir s¨
urekli geni¸slemesi f : X → R var ise Y ’e X’de
C-g¨
om¨
ulebilir denir. Benzer bi¸cimde sınırlı ve s¨
urekli her f : Y → R fonksiyonun bir s¨
urekli geni¸slemesi f : X → R var ise Y ’e X’de Cb -g¨
om¨
ulebilir
denir.
Bir yanlı¸s anla¸sılması s¨
ozkonusu olamdı˘gı zaman ”X’de C-g¨om¨
ulebilir”
ifadesi yerine sadece ”C-g¨
om¨
ulebilir” ifadesini kullanabiliriz. Aynı durum Cb g¨om¨
ulebilirlik i¸cinde ge¸cerlidir.
Euclidean R uzayının R \ {0} altuzayı, Cb -g¨om¨
ulebilir de˘gildir. Ger¸cekten,
x < 0 i¸cin f (x) = 1 ve x > 0 i¸cin f (x) = 1 olarak tanımlanan s¨
urekli f :
R \ {0} → R fonksiyonunun s¨
urekli geni¸slamesi yoktur.
C-g¨om¨
ulebilir bir uzayın Cb -g¨
om¨
ulebilir oldu˘gu barizdir. A¸sa˘gıdaki teorem
¨
bir alt uzayın ne zaman Cb -g¨
om¨
ulebilir oldu˘gunun yanıtını verir. Oncelikle
bir
X topolojik uzayında ayrık sıfır k¨
umelerin s¨
urekli fonksiyonlar ile ayrılabilir
oldu˘gunu not edelim. Ger¸cekten f , g ∈ C(X) fonksiyonları Z(f ) ∩ Z(g) = ∅
¨ozelli˘ginde ise, h = |f |(|f | + |g|)−1 olmak u
¨zere
h(Z(f )) ⊂ {0} ve h(Z(g)) ⊂ {1}
dir.
4
1. Normal Uzaylar
Teorem 1.1. (Uryshon Geni¸sleme Teoremi) X bir topolojik uzay ve Y , X’nin
bir alt uzayı olsun. A¸sa˘gıdakiler denktir.
(i) Y , X’nin Cb -g¨
om¨
ulebilir alt uzayıdır.
(ii) Y ’de s¨
urekli fonksiyonlarla ayrılabilir k¨
umeler X’de de s¨
urekli fonksiyonlarla ayrılabilir.
Kanıt: (i) =⇒ (ii): oldu˘
gu bariz.
(i) =⇒ (ii): Her n ∈ N i¸cin
rn = 21 ( 23 )n
olmak u
¨zere olarak R’de (rn ) dizisini f ∈ Cb (Y ) verilsin. f1 = f diyelim.
Genelli˘gi bozmadan
|f1 | ≤ 1 = 3r1
oldu˘gunu varsayabiliriz.
A1 = {y ∈ Y : f1 (y) ≤ −r1 }
ve
A2 = {y ∈ Y : f1 (y) ≥ r1 }
k¨
umeleri Y ’de ayrık sıfır k¨
umeler oldu˘gundan, Y ’de s¨
urekli fonksiyonlarla
ayrılabilirler. Varsayım gere˘
gi bu k¨
umeler X’de de tamamıyle ayrılabilir. Dolayısıyla,
g1 (A1 ) ⊂ {−r1 }, g1 (A2 ) ⊂ {r1 } ve |g1 | ≤ r1
olacak bi¸cimde g1 ∈ Cb (X) vardır.
f2 = f1 − g1 |Y
olarak tanımlayalım. |f2 | ≤ 3r2 dir. Bu y¨ontemi kullanarak t¨
umevarımla Cb (Y )×
Cb (X)’de (fn , gn ) disisini
|fn | ≤ 3rn ,
|gn | ≤ rn
ve
fn+1 = fn − gn |Y
¨ozellikleri sa˘
glayacak bi¸cimde tanımlayabiliriz.
X
g : X → R, g(x) =
gn (x)
n
olarak tanımlayalım. g ∈ Cb (X) dir. Ayrıca verilen her y ∈ Y ve n i¸cin
|f1 (y) −
n
X
k=1
oldu˘gundan
n
X
gk (y)| = |f1 (y) −
((fk − fk+1 )(y))| = |fn+1 (y)| ≤ 3rn+1 → 0
k=1
1.1. Uryshon Genis¸leme Teoremi
5
g(y) = f1 (y) = f (y)
dir. Yani g, f ’nin bir s¨
urekli geni¸slemesidir.
Bir aly uzayın ne zaman C-g¨
om¨
ulebilir oldu˘gunun bir yanıtı ise a¸sa˘gıdadır.
Teorem 1.2. X bir topolojik uzay ve Y , X’nin Cb -g¨
om¨
ulebilir bir alt uzayı
olsun.
(i) Y , C-g¨
om¨
ulebilir.
(ii) K, X’nin bir sıfır k¨
umesi ve Y ve K ayrık k¨
umeler ise, bu k¨
umeler
s¨
urekli fonksiyonla ayrılabilir.
Kanıt: (i) =⇒ (ii): f ∈ C(X), K = Z(f ) ve K ∩ Y = ∅ oldu˘gunu varsayalım.
Her s ∈ Y i¸cin f (s) 6= 0 dır.
g : Y → R, g(x) =
1
f (x)
fonksiyonu s¨
ureklidir. Varsayım gere˘
gi g’nin s¨
urekli geni¸slemesi g : X → R
vardır. h = gf diyelim. h ∈ C(X) ve
h(Y ) ⊂ {1} ve h(K) ⊂ {0}
oldu˘gu barizdir.
(i) =⇒ (ii): g : R → (−1, 1) homeomorfizma olsun. f ∈ C(Y ) verilsin. g ◦ f ∈
Cb (Y ) dir. Varsayım gere˘
gi bu fonksiyonun s¨
urekli geni¸slemesi g ◦ f ∈ C(X)
vardır.
Z = {x ∈ X : |g ◦ f (x)| ≥ 1}
k¨
umesi X’de bir sıfır k¨
ume ve Y ’den ayrıktır. Varsayım gere˘gi
h(Y ) ⊂ {1} ve h(Z) ⊂ {0}
¨ozelli˘ginde h : X → [−1, 1] s¨
urekli fonksiyonu vardır.
g ◦ f h|Y = g ◦ f
oldu˘gu bariz. Her x ∈ X i¸cin |g ◦ f h(x)| < 1 (|g ◦ f h(x)| ≥ 1 durumu ¸celi¸ski
getririr!) oldu˘gundan
g −1 ◦ ((g ◦ f )h) ∈ C(X),
f ’nin s¨
urekli geni¸slemesidir.
Alı¸stırmalar
6
1. Normal Uzaylar
1.1. Bir X uzayında A, B ⊂ X k¨
umleri s¨
urekli fonksiyonlar ile ayrılıyor ise, A ve B k¨
umelerinin de s¨
urekli fonksiyonlarla ayrılabilir oldu˘
gunu g¨
osteriniz.
1.2. Bir X topolojik uzayında ayrık sıfır k¨
umelerin s¨
urekli fonksiyonlarla ayrılabilir oldu˘
gunu
g¨
osteriniz.
1.3. Metrik uzayda kapalı ve ayrık her iki k¨
umenin s¨
urekli fonksiyonlarla ayrılabilir oldu˘
gunu
g¨
osteriniz.
1.4. (Tietze Geni¸sleme Teoremi) Bir metrik uzayın kapalı her altuzayının Cb -g¨
om¨
ulebilir
oldu˘
gunu g¨
osteriniz.
1.5. Bir metrik uzayın kapalı her altuzayının C-g¨
om¨
ulebilir oldu˘
gunu g¨
osteriniz.
1.6. R Euclidean uzayın kapalı her altuzayının C-g¨
om¨
ulebilir oldu˘
gunu g¨
osteriniz.
1.7. X bir topolojik uzay ve S ⊂ X, F ⊂ R kapalı k¨
umler olmak u
¨zere, g|S : S → F homeomorfizma olacak bi¸cimde g ∈ C(X) var ise, S’nin C-g¨
om¨
ulebilir oldu˘
gunu g¨
osteriniz.
1.8. X bir topolojik uzay ve f ∈ C(X) sırsız, yani f 6∈ Cb (X) olsun. Ayrık topolojik N’nin,
X’nin bir alt uzayına homeomorfik oldu˘
gunu g¨
osteriniz.
1.9. Bir topolojik uzayda Cb -g¨
om¨
ulebilir sıfır k¨
umenin C-g¨
om¨
ulebilir oldu˘
gunu g¨
osteriniz.
1.10. X topolojik uzay ve Y , X’nin alt uzayı olsun. Y ’deki her sıfır k¨
ume X de sıfır k¨
ume ise,
Y ’nin Cb -g¨
om¨
ulebilir oldu˘
gunu g¨
osteriniz.
1.11. Y ⊂ R i¸cin a¸sa˘
gıdakilerin denkli˘
gini g¨
osteriniz.
(i) Y , Cb -g¨
om¨
ulebilir.
(ii) Y , C-g¨
om¨
ulebilir.
(ii) Y kapalıdır.
1.12. X bir topolojik uzay ve Y , X’nin bir sıfır k¨
umesi ve ayrik (discrete) alt uzay olsun.
A¸sa˘
gıdakilerin denk oldu˘
gunu g¨
osteriniz.
(i) Y , Cb -g¨
om¨
ulebilir.
(ii) Y ’nin her alt k¨
umesi Y ’de bir sıfır k¨
umedir.
Download

1. Normal Uzaylar