1.4. Tychonoff Teoremi
1.4
9
Tychonoff Teoremi
Bu kısımda kompakt uzayların ¸carpım uzayının kompakt oldu˘gu g¨osterilecek.
C
¸ arpılan kompakt uzayların sonlu tane olma durumu i¸cin verilecek kanıt, geneli i¸cin verilen kanıttan farklı olacaktır.
Teorem 1.7. 2 X ve Y iki compact topolojik uzay olsunlar. X ve Y ’nin ¸carpım
uzayı X × Y ’de kompaktır.
Kanıt: U = (Ui × Vi )i∈I , X × Y ¸carpım uzayının bir a¸cık ¨ort¨
us¨
u olsun. Her
x ∈ X i¸cin, {x} × Y uzayı (X × Y uzayının altuzayı), Y uzayına homeomorfikoldu˘gundan compacttır. Ayrıca, U, {x}×Y uzayının bir a¸cık ¨ort¨
us¨
u oldu˘gundan,
{x} × Y ⊂ ∪i∈I(x) Ui × Vi
ve her i ∈ I(x) i¸cin x ∈ Ui ¨ozelli˘gunde sonlu I(x) ⊂ I k¨
umesi vardır.
U (x) = ∩i∈I(x) Ui
diyelim.
U (x) × Y = U (x) × (∪i∈I(x) Vi ) ⊂ ∪i∈I(x) (Ui × Vi )
oldu˘gu barizdir ve bunu aklımızda tutalım. Ayrıca, {U (x) : x ∈ X}, X
uzayının bir a¸cık ¨ort¨
us¨
u ve X kompakt oldu˘gundan,
X = ∪ni=1 U (xi )
¨ozelli˘ginde xi ∈ X’ler vardır.
X × Y = ∪nj=1 ∪i∈I(xj ) (Ui × Vi )
oldu˘gunu g¨ostermek-ki ¨oyledir, kanıtı tamamlayacaktır. Ger¸cekten (x, y) ∈
X × Y verilsin. x ∈ U (xj ) ¨ozelli˘ginde 1 ≤ j ≤ n vardır. Buradan
(x, y) ∈ U (xj ) × Y ⊂ ∪i∈I(xj ) (Ui × Vi ) ⊂ ∪nj=1 ∪i∈I(xj ) (Ui × Vi )
elde edilir ve kanıt tamamlanır.
Yukarıda verilen teoremin bir sonucu olarak sonlu tane kompakt topolojik
uzayın ¸carım uzayının compact oldu˘gu hemen g¨osterilebilir. Ancak bu teoremde kullanılan y¨ontem, compact uzayların ¸carpım uzayının compact oldu˘gunu
g¨ostermede yetersiz olabilir. Fakat farklı bir y¨ontemle kanıtlanabilir.
2
Bu torem ”baby Tychonoff Theorem” olarak da adlanırılır.
10
1. Kompaktlık
Teorem 1.8. 3 (Tychonoff Teoremi) (Xi , τi )i∈I topolojik uzayların bir ailesi
olsun ve X onların ¸carpım uzayı olsun. A¸sa˘gıdakiler denktir.
i.) Her i ∈ I i¸cin Xi kompakt.
ii.) X kompakt.
Kanıt:
4
(i) =⇒ (ii): Kanıt i¸cin Alexander Alttaban Teoremi’ni kullanaca˘gız.
B = {Pi−1 (U ) : i ∈ I, U ∈ τi }
k¨
umesinin X i¸cin bir alttaban oldu˘gunu biliyoruz. U ⊂ B, X’nin bir a¸cık
¨ort¨
us¨
u olsun. Her i ∈ I i¸cin,
Ui = {U ∈ τi : Pi−1 (U ) ∈ U}
diyelim. En az bir j ∈ I i¸cin Uj , Xj ’nin bir a¸cık ¨ort¨
us¨
ud¨
ur. (ger¸cekten tersi
durum i¸cin her i ∈ I i¸cin xi ̸∈ ∪U ∈Ui U ¨ozelli˘ginde xi ∈ Xi vardır. Bu durumda
x = (xi ) ̸∈ ∪U ∈U U ki, bu durum U’nın, X’nin a¸cık ¨ort¨
u olması ile ¸celi¸sir.) Xj
kompakt oldu˘gundan
Xj = ∪nk=1 Uk
¨ozelli˘ginde U1 , ..., Un ∈ Uj vardır. Buradan,
X = Pj (Xj ) = ∪nk=1 Pj−1 (Uk ).
Elbet de Pj−1 (U1 ), ..., Pj−1 (Un ) ∈ U dir. Alexander Alt Taban Teoremi sonucu
olarak kanıtın bu y¨on¨
u tamamlanır.
(ii) =⇒ (i): j ∈ I verilsin. Pj : X → Xj projeksiyonu s¨
ureklidir. X kompakt
ve Pj (X) = Xj oldu˘gundan Xj kompakttır.
Alı¸stırmalar
1.14. Her i ∈ I i¸cin Ki ⊂ R kapalı ve sınırlı olsun.
g¨
osteriniz.
∏
i∈I
Ki c¸arpım uzayının kompakt oldu˘
gunu
3
Bu teorem Euclidean topolojik uzay R’nin kapalı ve sınırlı aralıklar i¸cin 1930 yılında
Tychonoff tarafında kanıtlanmı¸s ve genel durumu 1935 yılında kanıtsız olarak ifade edilmi¸stir.
Ilk yayınlanmı¸s kanıt 1937 yılında Eduard Cech tarafından verilmi¸stir.
4
farklı kanıtlara da de˘
ginilecektir. ???
Download

1.4 Tychonoff Teoremi