Poslovna matematika
11
2. REALNE FUNKCIJE JEDNE REALNE
NEZAVISNO PROMENLJIVE
2.1. Pojam realne funkcije jedne realno nezavisne
promenljive
Neka su dati neprazni skupovi X i Y i neka je x elemenat skupa X, a
y elemenat skupa Y. Neka je sa f označen način, zakon, ili pravilo kojim se
svakom elementu x iz X pridružuje jedan i samo jedan element y iz Y. Tada
kažemo da je f preslikavanje skupa X u skup Y.
Definicija 2.1.1 (Funkcija jedne nezavisno promenljive)
Preslikavanje f skupa X u skup Y po tačno određenom zakonu pridruživanja nazivamo funkcijom iz skupa X u skup Y.
Funkciju f simbolički možemo zapisati i na jedan od načina:
x→f(x)
ili
f : X→Y
ili
y=f(x).
Pri tome se x naziva nezavisno promenljiva ili argument ili original, a
y zavisno promenljiva ili slika.
Skup D(f)=X zove se domen ili oblast definisanosti ili skup originala
funkcije, a skup R(f)=Y je skup vrednosti ili kodomen ili skup slika funkcije f.
Napomenimo da ubuduće nećemo praviti razliku između funkcije
i preslikavanja.
Za preslikavanje f:X→Y kod koga je R(f)=Y kažemo da je preslikavanje skupa X na skup Y.
MTVU Lekcije
2. Funkcije jedne nezavisne promenljive
12
Za preslikavanje f:X→Y kod koga se različitim elementima skupa X
pridružuju različiti elementi skupa Y kažemo da je injektivno ili jedan-jedan preslikavanje.
Za preslikavanje f:X→Y koje je i jedan-jedan i na kažemo da je obostrano jednoznačno preslikavanje.
Ako je oblast definisanosti funkcije skup realnih brojeva R ili neki
njegov podskup i ako skup vrednosti funkcije pripada skupu realnih brojeva R ili nekom njegovom podskupu, onda se za takvu funkciju kaže da
je realna funkcija realne promenljive.
Neka je preslikavanje f:X→Y obostrano jednoznačno. Tada se preslikavanje f -1:Y→X koje svakoj vrednosti argumenta y iz Y dodeljuje vrednost
(odnosno sliku) x iz X i to tačno onu za koju je y=f(x), naziva inverzno preslikavanje preslikavanja f.
Ovo znači da je
(∀x ∈ D( f ) = X )(f −1 ( f (x )) = x )
(∀y ∈ R( f ) = Y )(f (f −1 (y ))= y ).
Ako se iz jednakosti y=f(x) odredi x, i zatim se zameni sa y, a y se zameni sa x dobija se izraz za inverznu funkciju y=f -1(x).
Grafik funkcije f(x) je simetričan sa grafikom funkcije f -1(x) u odnosu na pravu y=x.
Primer 2.1.1.
Naći inverznu funkciju funkcije y=3x-9
Rešenje:
Rešimo po x datu funkciju
x=
Zamenom mesta za x i y dobijamo y = f
y
+3
3
−1
( x) =
x
+3.
3
Složena funkcija h:X→Y ili kompozicija preslikavanja g i f određenih sa g:X→U a f:U→Y je preslikavanje skupa X u skup Y definisano na
sledeći način y=h(x)=f(g(x))
MTVU Lekcije
Poslovna matematika
13
Primer 2.1.2.
Neka je
g(x)=3x-2
f(x)=x2+4
Tada je složena funkcija
f(g(x))=(3x-2)2+4.
Grafik funkcije f (u pravouglom koordinatnom sistemu x0y) je skup
tačaka ravni, čije apscise (osa x) su vrednosti nezavisno promenljive, a ordinate (osa y) su odgovarajuće vrednosti funkcije (slika 1).
Sa M(a,b) označavamo tačku u pravouglom koordinatnom sistemu
x0y čija je apscisa x=a, a ordinata y=b. (slika 1.)
Dakle, grafik funkcije f(x) je skup tačaka (x,f(x)).
y
M (a,b)
b
0
y=f(x)
a
x
Slika 1. Grafik funkcije y=f(x) i tačke M(a,b)
Za funkciju y=f(x) kaže se da je data analitički ako je zakon pridruživanja f zadat analitičkim izrazom tj. obrascem (formulom) koji je formiran pomoću operacija koje je u određenom poretku neophodno izvršiti
nad argumentom x i realnim brojevima da bi se dobila odgovarajuća
vrednost funkcije f(x).
2
Na primer: y = x − 3 x + 4 je analitički zadata funkcija.
2x − 6
Ako je funkcija f data analitički onda je njena oblast definisanosti određena skupom vrednosti nezavisno promenljive x za koje se iz odgovarajućeg analitičkog izraza može odrediti vrednost funkcije y=f(x).
Tako, na primer, oblast definisanosti (skup D(f)=X) za funkciju
MTVU Lekcije
2. Funkcije jedne nezavisne promenljive
14
a) y = n p ( x) gde je n paran broj, je skup X={xp(x)≥0}
b) y = log a (p(x )) , je skup X={xp(x)>0}
c) Ako su X1 i X2 oblasti definisanosti funkcija f1 i f2 onda je oblast
definisanosti funkcije
y=f1(x)±f2(x) i y= f1(x)• f2(x)skup X=X1∩X2
d) Ako je funkcija y data kao količnik dve funkcije, odnosno
f ( x)
y= 1
onda je njena oblast definisanosti skup X=(X1∩X2)\X3
f 2 ( x)
gde su X1 i X2 oblasti definisanosti funkcija f1 i f2, a X3 skup vrednosti promenljive x za koje je f2(x)=0.
2.2. Nizovi
Neka je N skup prirodnih brojeva i R skup realnih brojeva.
Definicija 2.2.1. (realni niz)
Svako preslikavanje f:N→R zove se realni niz.
Dakle, realni niz je funkcija čiji su argumenti prirodni brojevi (odnosno celi pozitivni brojevi 1,2,3, …). Prirodnom broju 1 se pridružuje realan broj x1=f(1), prirodnom broju 2 se pridružuje realan broj x2=f(2),…,
prirodnom broju n se pridružuje realan broj xn=f(n), itd.
Član xn je opšti član niza.
Niz sa opštim članom xn se označava sa {xn}.
7,…).
Na primer sa opštim članom xn=2n-1 je definisan niz {xn}=(1, 3, 5,
Definicija 2.2.2.(ε- okolina)
Interval realnih brojeva (a-ε, a+ε) (ε>0) zove se ε okolina tačke (broja) a.
Broj ε je poluprečnik ε-okoline broja a.
ε-okolinom tačke +∝ naziva se interval (ε,+∝).
ε-okolinom tačke -∝ naziva se interval (-∝,-ε).
Dakle, ε okolina tačke a je skup realnih brojeva x za koje je x-a<ε.
MTVU Lekcije
Poslovna matematika
15
ε-okolina tačke +∝ je skup realnih brojeva x, za koje je ε<x, dok je εokolina tačke -∝ skup realnih brojeva x za koje je x<-ε.
Definicija 2.2.3. (ograničeni nizovi)
Niz {xn} je ograničen sa gornje strane ako postoji broj M takav da je xn≤M
za svako n∈N. Broj M zove se gornja granica niza {xn}.
Niz {xn} je ograničen sa donje strane ako postoji broj m takav da je m≤ xn
za svako n∈N. Broj m zove se donja granica niza {xn}.
Niz {xn} je ograničen ako je ograničen i sa gornje i sa donje strane.
Najmanja gornja granica niza {xn} zove se supremum, i obeležava sup xn.
Najveća donja granica niza {xn} zove se infimum i obeležava inf xn.
Definicija 2.2.4. (monotoni nizovi)
Ako je xn<xn+1 za svako n∈N, kaže se da je niz {xn} monotono rastući.
Ako je xn >xn+1 za svako n∈N, kaže se da je niz {xn} monotono opadajući.
Ako je xn ≤xn+1 za svako n∈N, kaže se da je niz {xn} monotono neopadajući.
Ako je xn≥xn+1 za svako n∈N, kaže se da je niz {xn} monotono nerastući.
Definicija 2.2.5. (konvergentan niz)
Niz {xn} je konvergentan i a mu je granična vrednost, ako za svako ε>0 postoji prirodan broj n0 (određen u zavisnosti od ε), takav da je
xn-a<ε za svako n>n0
Ovo se zapisuje lim x n = a i govori da niz {xn} konvergira ka a, ili da
n →∝
xn teži ka a.
Definicija 2.2.6. (divergentan niz)
Za niz koji nije konvergentan kažemo da je divergentan.
Definicija 2.2.7. (divergentnost niza u užem smislu)
Kaže se da je niz {xn} divergentan u užem smislu, ako za svaki pozitivan
broj M (ma kako veliki) postoji prirodan broj n1, takav da je xn>M za svako n>n1,
ili ako za svaki negativan broj N (ma kako veliki po apsolutnoj vrednosti) postoji prirodan broj n2 takav da je xn<N za svako n>n2.
Kada niz divergira u užem smislu kaže se još da {xn} teži ka +∝ u prvom, odnosno ka -∝ u drugom slučaju.
MTVU Lekcije
2. Funkcije jedne nezavisne promenljive
16
Definicija 2.2.8 (divergentnost niza u širem smislu)
Za divergentan niz, koji nije divergentan u užem smislu kaže se da je divergentan u širem smislu.
Definicija 2.2.9 (nula niz)
Konvergentan niz čija je granična vrednost jednaka 0 (nula) zove se nula
niz.
Teorema 2.2.1. Monoton i ograničen niz je konvergentan.
Dokaz:
Pretpostavimo da je niz {xn} monotono rastući. Pošto je niz {xn} i ograničen on ima supremum, recimo a. Dokazaćemo da je niz {xn} konvergentan i da
mu je a granična vrednost.
Kako je a supremum, za svako n∈N važi xn≤a. Takođe, za svako ε>0 postoji prirodan broj n0 takav da je xn0>a-ε, jer da to nije slučaj a ne bi bio supremum (najmanja gornja granica) već bi to bio broj a-ε<a. Pošto je niz {xn} monotono rastući važi da za svako n>n0 je xn>xn0>a-ε. Dakle, imamo
0<a-xn<ε odnosno xn-a<ε za (n>n0)
što prema definiciji konvergentnosti znači da je niz {xn} konvergentan i da
mu je granična vrednost a.
Pretpostavimo da je niz {xn} monotono opadajući.. Pošto je niz {xn} i ograničen on ima infimum, recimo a. Dokazaćemo da je niz {xn} konvergentan i da
mu je a granična vrednost.
Kako je a infimum, za svako n∈N važi xn≥a. Takođe, za svako ε>0 postoji prirodan broj n0 takav da je xn0<a+ε, jer da to nije slučaj a ne bi bio infimum
(najveća donja granica) već bi to bio broj a+ε>a. Pošto je niz {xn} monotono opadajući važi da za svako n>n0 je xn<xn0<a+ε. Dakle, imamo
0<xn-a<ε odnosno xn-a<ε za (n>n0)
što prema definiciji konvergentnosti znači da je niz {xn} konvergentan i da
mu je granična vrednost a.
Teorema 2.2.2 Ako niz {xn} ima graničnu vrednost ona je jedinstvena,
tj ako {xn}→a i {xn}→b, tada je a=b.
Dokaz:
MTVU Lekcije
Poslovna matematika
17
Pretpostavimo da je a≠b. Neka je a-b=2ε>0. Uočimo ε okolinu tačaka a
i b.Ove dve okoline su disjunktne, odnosno njihov presek je prazan skup. Kako je
a granična vrednost niza {xn} u okolini ε okoline tačke a ima beskonačno mnogo članova niza, a to znači da izvan ε okoline tačke b ima beskonačno mnogo članova niza. To znači da b nije granična vrednost niza, što je suprotno pretpostavci. Dakle, mora biti a=b.
Teorema 2.2.3. Ako niz {an}→a i niz {cn}→a i ako je an≤bn≤cn tada i
niz {bn}→a.
Dokaz:
Neka je ε>0. Pošto an→a postoji prirodan broj n1 takav da je an-a<ε za
svako n>n1. Takodje, pošto cn→a postoji prirodan broj n2 takav da je cn-a<ε za
svako n>n2.
Neka je n0=max(n1,n2).
Tada je
a-ε<an<a+ε
i
a-ε<cn<a+ε
za svako n>n0.
Kako je an≤bn≤cn, važi
a-ε<an≤bn≤cn<a+ε
za n>n0
odnosno bn-a<ε za n>n0.
Dakle, bn→a.
Teorema 2.2.4 Niz {xn} je konvergentan ako i samo ako se može napisati u obliku konstante i nula niza. Ta konstanta je granična vrednost niza.
Dokaz:
1. Neka je xn=a+bn, gde je {bn} nula niz i a konstanta. Tada je
xn-a=bn
Kako je {bn} nula niz, to za svako ε>0 postoji prirodan broj n0 takav da je
bn<ε za svako n>n0.
Prema tome važi xn-a<ε za svako n>n0, odnosno xn→a.
2. Iz xn→a, sledi da za svako ε>0 postoji prirodan broj n0 takav da za svako n>n0 važi xn-a<ε, odnosno (xn-a)-0<ε, što znači da je {xn-a} nula niz. Stavimo li da je
xn-a=bn, imamo da je xn=a+bn, gde je bn nula niz
MTVU Lekcije
2. Funkcije jedne nezavisne promenljive
18
2.2.1. Operacije sa konvergentnim nizovima
Neke od osnovnih operacija sa konvergentnim nizovim date su u vidu teorema 2.2.1.1. i 2.2.1.2. koje ćemo prihvatiti bez dokazivanja.
Teorema 2.2.1.1. Neka su {an} i {bn} konvergentni nizovi čije su granice redom a i b i neka je c proizvoljan realan broj. Tada važi:
a)
b)
c)
{can}→ca;
{an±bn}→a±b;
{an}•{bn}→a•b;
d)
 an  a
  = , bn≠0, b≠0.
 bn  b
Teorema 2.2.1.2. Neka je {an} konvergentan niz čija je granica broj a,
{bn} divergentan niz u užem smislu čija je granica +∝, i c proizvoljna konstanta Tada važi:
a)
b)
c)
d)
{cbn}→+∝ za c>0 i {cbn}→ -∝ za c<0;
{an+bn}→+∝;
{an -bn}→ -∝;
{an}•{bn}→+∝ za a>0 i {an}•{bn}→ -∝ za a<0;
e)
 an 
  → 0 , bn≠0;
 bn 
f)
c
  → 0 , bn≠0.
 bn 
Naravno, analogni rezultati važe za bn→ -∝ .
2.2.2. Broj e (Neperov broj)
n
 1
Teorema 2.2.2.1 Niz {xn} čiji je opšti član x n = 1 +  je konvergen n
tan.
(Granična vrednost ovog niza označava se sa e i ima vrlo važnu ulogu u matematici)
MTVU Lekcije
Poslovna matematika
19
Dokaz:
Dokaz ove teoreme ćemo izvesti tako što ćemo pokazati da je niz {xn} monotono rastući, a zatim i da je ograničen sa gornje strane, čime ćemo po teoremi
2.2.1. dokazati i da je konvergentan.
n
 1
Razvijajući po binomnoj formuli izraz 1 +  dobijamo:
 n
n
 n  n −i i
n
(Binomna formula glasi gde je (a + b ) = ∑   • a • b
i =0  i 
n 
n! 
  = 

 i   (n − i )!•i! 
n!= n • (n − 1) • (n − 2) • ... • 2 • 1
n 1 n • (n − 1) 1 2
n • (n − 1) • (n − 2) • ... • [n − (n − 1)] 1 n
 1
• ( ) + ... +
•( ) =
1 +  = 1 + • +
n
n
1 n
1• 2
1 • 2 • ... • n
 n
1
1
2
1
1
• (1 − ) +
• (1 − ) • (1 − ) + ...
1+1+
n 1• 2 • 3
n
n
1• 2
n −1
1
1
2
+
• (1 − ) • (1 − ) • ... • (1 −
)
n
n
n
1 • 2 • ... • n
n
Odavde sledi da je niz {xn} monotono rastući niz, jer sa povećanjem broja
n broj sabiraka (koji su pozitivni) raste, a i sami sabirci rastu jer se povećanjem
1
2
broja n povećavaju i izrazi (1 − ), (1 − ),... itd.
n
n
Pokažimo da je niz {xn} ograničen sa gornje strane (naravno pošto je monotono rastući on je ograničen sa donje strane svojim prvim članom x1=2).
Kako je:
1
2
(1 − ) < 1, (1 − ) < 1, K
n
n
očigledno je
1
2
(1 − ) • (1 − ) < 1...
n
n
pa je
1
1
1
1
(1 + ) n < 1 + 1 +
+
+ ... +
n
1• 2 1• 2 • 3
1 • 2 • 3 • ... • n
MTVU Lekcije
2. Funkcije jedne nezavisne promenljive
20
1
1
< i −1 to je
1 • 2 • 3 • ... • i 2
Kako je
1
1 − ( )n
1 n
1 
 1 1
2 = 1 + 2 − ( 1 ) n −1  < 3
(1 + ) < 1 + 1 + + 2 + ... + n −1  = 1 +


1
n
2
2 
 2 2


1−
2
Dakle, za svako n važi:
2 ≤ x n < 3 odnosno niz {xn} je ograničen i sa donje i sa gornje strane.
Kako je {xn} i monotono rastući, to je prema teoremi 2.2.1. konvergentan.Njegova granična vrednost označava se sa e.
Broj e je iracionalan broj. Njegova približna vrednost iznosi
e≈2,7182818284
2.2.3. Numerički redovi kao specijalna vrsta nizova
Definicija 2.2.3.1 (numerički red)
Neka je {an} realan niz. Izraz oblika
∝
∑a
k
= a1 + a 2 + ... + a n + ...
k =1
naziva se numerički red (ili kraće red) sa opštim članom ak .
Definicija 2.2.3.2. (parcijalna suma reda)
n
Zbir S n = ∑ a k gde n∈N naziva se n-ta parcijalna suma reda
k =1
∝
∑a
k
.
k =1
(Napomena: Očigledno je da je i {Sn} takođe realan niz, odnosno nta parcijalna suma numeričkog reda je realan niz).
Definicija 2.2.3.3. (konvergentnost, divergentnost reda)
∝
Za red
∑a
k
kažemo da je konvergentan, odnosno divergentan (u užem
k =1
ili širem smislu), ako je niz {Sn}, čiji je opšti član definisan kao n-ta parcijalna su-
MTVU Lekcije
Poslovna matematika
21
ma reda, konvergentan, odnosno divergentan (u užem ili širem smislu). Specijalno ako je niz {Sn} konvergentan i ako je lim S n = S , kažemo da zbir (suma) ren →∝
∝
da
∑a
k =1
∝
k
iznosi S i pišemo S = ∑ ak .
k =1
Sledeću teoremu ćemo prihvatiti bez dokaza.
∝
a n +1
=L.
Teorema 2.2.3.1. Neka je ∑ a k numerički red i neka je lim
n →∝ a
n
k =1
Tada važi:
a)
ako je L<1
onda red konvergira
b)
ako je L>1
onda red divergira
c)
ako je L=1
onda red može biti ili konvergentan ili divergentan, odnosno neodređen je u smislu konvergencije.
Jedan od važnijih redova u matematici i ekonomiji je geometrijski
red. On se primenjuje u ekonomiji prilikom analize sadašnje vrednosti
novca (present value), analize zajmova, složenog kamatnog računa i analize mnogih drugih ekonometrijskih problema. Neke od njih su obrađene u ovom udžbeniku u kasnijim poglavljima. Zbog toga ćemo u sledećem primeru posvetiti pažnju ovom redu.
Primer 2.2.3.1.
∝
Dat je geometrijski red u obliku
∑ aq
k −1
= a + aq + aq 2 + ..... gde je a≠0
k =1
a) ispitati konvergenciju ovog reda
b) naći n-tu parcijalnu sumu ovog reda
c) za slučajeve kada je ovaj red konvergentan naći njegovu sumu.
Rešenje:
a)
Opšti član geometrijskog reda je an=aqn-1 . Dakle važi:
a n +1
aq n
= lim n −1 = lim q = q
n →∝ a
n →∝
n →∝ aq
n
lim
Dakle po teoremi 2.2.3.1. za q<1 geometrijski red je konvergentan, dok je za q>1 on
divergentan.
MTVU Lekcije
2. Funkcije jedne nezavisne promenljive
22
Za q =1 geometrijski red se svodi na
∝
∝
k =1
k =1
∑ a ⋅ 1k −1 = ∑ a = a1+4a4+2a..........
443.. odakle
∝
sledi da je za q =1 geometrijski red divergentan.
∝
Za q= -1 imamo
∑ a ⋅ (−1)
k −1
= a − a + a − a + K , pa red opet divergira jer je
k =1
S2n=0 i S2n+1=a, tj. lim S 2 n ≠ lim S 2 n +1 .
n →∝
n →∝
b)
Za n-tu parcijalnu sumu geometrijskog reda Sn važi sledeće:
n
S n = ∑ aq n −1 = a + aq + aq 2 + ... + aq n −1 .
k =1
Otuda, mnozenjem leve i desne strane poslednje jednakosti sa q imamo
q • S n = aq + aq 2 + aq 3 + ... + aq n .
Dalje je,
(
)
S n − qS n = a − aq n ⇒ S n • (1 − q ) = a • 1 − q n ,
pa je
1− qn
Sn = a •
.
1− q
c)
Za q<1 važi lim q = 0 (videti zadatak 2.1.8. zbirka zadataka) pa onda važi sledeće:
n
n →∝
lim Sn = lim a
n →∝
n →∝
1 − qn
a
=
1− q 1− q
Dakle suma beskonačnog geometrijskog reda iznosi S=
a
1− q .
MTVU Lekcije
Poslovna matematika
23
2.3. Neke osobine funkcija
Definicija 2.3.1. (nule funkcije)
Skup svih vrednosti x iz oblasti definisanosti funkcije y=f(x) za koje je
f(x)=0 su nule funkcije.
Na grafiku funkcije nule su tačke na x osi u kojima kriva frunkcije
seče ili dodiruje x osu.
x
3
2
3 .x
2 .x
1
0
1
2
3
x
3
Slika 2. Grafik funkcije y=x -3x2+2x
Tako, na primer, funkcija y=x3-3x2+2x ima tri nule i to: x1=0, x2=1 i
x3=2 (slika 2.).
Definicija 2.3.2. (parnost, neparnost)
Za funkciju f(x) kažemo da je parna ako za svako x iz oblasti definisanosti važi
f(-x)=f(x),
a da je neparna ako za svako x iz oblasti definisanosti važi
f(-x)= -f(x)
Grafik parne funkcije je simetrična u odnosu na y osu, dok je grafik neparne funkcije simetričan u odnosu na koordinatni početak (Slike
3 i 4).
MTVU Lekcije
2. Funkcije jedne nezavisne promenljive
24
2
3 .x
3
3
1
1
3
x
Slika 3. Grafik parne funkcije y=-3x2+3x
3
3 .x
1
0
1
x
Slika 4. Grafik neparne funkcije y=-3x3
Definicija 2.3.3. (monotonost funkcije)
Funkcija f(x) je monotono rastuća u intervalu (a,b) ukoliko za svako x1,
x2∈(a,b) važi
x1<x2 ⇒
f(x1)<f(x2).
Funkcija f(x) je monotono opadajuća u intervalu (a,b) ukoliko za svako
x1, x2∈(a,b) važi
x1<x2 ⇒
f(x1)>f(x2).
Funkcija f(x) je neopadajuća u intervalu (a,b) ukoliko za svako x1,
x2∈(a,b) važi
x1<x2 ⇒
važi
f(x1)≤f(x2).
Funkcija f(x) je nerastuća u intervalu (a,b) ukoliko za svako x1, x2∈(a,b)
MTVU Lekcije
Poslovna matematika
25
x1<x2 ⇒
f(x1)≥f(x2).
Definicija 2.3.4. (ograničenost)
Funkcija f(x) je u intervalu (a,b):
a) ograničena s gornje strane, ako postoji broj M takav da je za sve vrednosti x∈(a,b) ispunjena nejednakost f(x)≤M
b) ograničena s donje strane, ako postoji broj m takav da je za sve vrednosti x∈(a,b) ispunjena nejednakost m≤ f(x)
c) ograničena, ako je ograničena i s gornje i s donje strane, tj. postoje brojevi m i M (mogu biti i jednaki), takvi da je za sve vrednosti x∈(a,b) ispunjena nejednakost m≤ f(x)≤M.
2.4. Granične vrednosti funkcija
Definicija 2.4.1. (leva granična vrednost funkcije u tački)
Broj L je leva granična vrednost funkcije y=f(x), koja je definisana u tačkama x za koje je r<x<a, u tački x=a, ako za svako ε>0 postoji broj δ>0 (koji zavisi od ε) takav da za svako x≠a važi:
a-δ<x<a
⇒
f(x)-L<ε .
U tom slučaju se piše lim f (x ) = L .
x→a −
Definicija 2.4.2. (desna granična vrednost funkcije u tački)
Broj D je desna granična vrednost funkcije y=f(x), koja je definisana u tačkama x za koje je a<x<r, u tački x=a, ako za svako ε>0 postoji broj δ>0 (koji zavisi od ε) takav da za svako x≠a važi:
a<x<a+δ
⇒
f(x)-D<ε .
U tom slučaju se piše lim f ( x) = D .
x→a +
Definicija 2.4.3. (granična vrednost funkcije u tački)
Broj G je granična vrednost funkcije y=f(x), definisane u nekoj okolini tačke a (osim možda u samoj tački a), u tački x=a, ako za svako ε>0 postoji broj δ>0
takav da za svako x≠a važi:
a-δ<x<a+δ
⇒
f(x)-G<ε .
U tom slučaju se piše lim f ( x) = G .
x→a
MTVU Lekcije
2. Funkcije jedne nezavisne promenljive
26
Geometrijska interpretacija leve i desne granične vrednosti data je
na slici 5.
L+ε
y=f(x)
f(x1)
L
L-ε
D+ε
D
f(x2)
D-ε
x1
a-δ
a
x2
a+δ
x
Slika 5. Geometrijska interpretacija definicije leve i desne granična vrednosti funkcije
y=f(x) u tački x=a
Leva granična vrednost funkcije f(x), kada x teži a, na slici 5., je
broj L . Geometrijska interpretacija definicije leve granične vrednosti znači, da ma kako bio uzan pojas ograničen pravama y=L-ε i y=L+ε, tačke grafika funkcije, (osim možda tačke (a,f(a)), leže u unutrašnjosti toga pojasa ako se vrednosti argumenta sadrže u intervalu (a-δ, a).
Naravno, analogna je interpretacija za definiciju desne granične
vrednosti.
Geometrijska interpretacija granične vrednosti data je na slici 6.
MTVU Lekcije
Poslovna matematika
27
y
G+ε
y=f(x)
f(x)
G
G-ε
a-δ
a
x
x
a+δ
Slika 6. Geometrijska interpretacija definicije granične vrednosti funkcije y=f(x) u tački
x=a
Granična vrednost funkcije f(x), kada x teži a, na slici 6., je broj G.
Geometrijska interpretacija definicije granične vrednosti znači, da ma
kako bio uzan pojas ograničen pravama y=G-ε i y=G+ε, tačke grafika
funkcije, (osim možda tačke (a,f(a)), leže u unutrašnjosti toga pojasa ako
se vrednosti argumenta sadrže u intervalu (a-δ, a+δ).
Definicija 2.4.4. (beskonačne granične vrednosti kada argument
teži konačnom broju)
Funkcija f(x) ima u tački a s leva beskonačnu graničnu vrednost +∝, ili -∝
ako je:
a) tačka a granična tačka oblasti definisanosti funkcije f(x)
b) za proizvoljan unapred dati broj M>0 postoji broj δ>0 takav da važi
i)
a-δ<x<a ⇒ f(x)>M, tada kažemo da je lim f ( x) = + ∝
x→a −
ii)
a-δ<x<a ⇒ f(x)<-M, tada kažemo da je lim f ( x) = − ∝
x→a −
Funkcija f(x) ima u tački a s desna beskonačnu graničnu vrednost +∝, ili ∝ ako je:
a) tačka a granična tačka oblasti definisanosti funkcije f(x)
b) za proizvoljan unapred dati broj M>0 (koliko se hoće veliki) postoji broj
δ>0 takav da važi
MTVU Lekcije
2. Funkcije jedne nezavisne promenljive
28
i)
a<x<a+δ ⇒ f(x)>M, tada kažemo da je lim f ( x) = + ∝
ii)
a<x<a+δ⇒ f(x)<-M, tada kažemo da je lim f ( x) = − ∝
x→a +
x→a +
Funkcija f(x) ima u tački a beskonačnu graničnu vrednost +∝, ili -∝ ako je:
a) tačka a granična tačka oblasti definisanosti funkcije f(x)
b) za proizvoljan unapred dati broj M>0 (koliko se hoće veliki) postoji broj
δ>0 takav da važi
i)
a-δ<x<a+δ ⇒ f(x)>M, tada kažemo da je lim f ( x) = + ∝
x→a
a-δ<x<a+δ ⇒ f(x)<-M, tada kažemo da je lim f ( x) = − ∝
ii)
x→a
Na slici 7. su grafički predstavljenje neke beskonačne granične vrednosti funkcije f(x) kada x teži a.
y=f(x)
y
y
y=f(x)
x=a
x
x
x=a
b)
a)
Slika 7. Grafički prikaz nekih beskonačnih graničnih vrednosti funkcije f(x) kada x teži
broju a
Na slici 7.a) je grafički predstavljena činjenica da je lim f ( x) = + ∝
x→a −
, a da je lim f ( x) = − ∝ , dok je na slici 7.b)
x→a +
lim f ( x) = lim f ( x) = lim f ( x) = + ∝ .
x→a −
x→a +
x→a
MTVU Lekcije
Poslovna matematika
29
Definicija 2.4.5.
(granične vrednosti funkcije kada argument teži ka +∝, ili -∝)
Funkcija f(x) teži graničnoj vrednosti G kada:
a) x teži +∝ ako za svako ε>0 postoji pozitivan broj N takav da važi za svako x
x>N ⇒ f(x)-G<ε,
što zapisujemo kao lim f ( x) = G.
x→+∝
b) x teži -∝ ako za svako ε>0 postoji pozitivan broj N takav da važi za svako x
x<-N ⇒ f(x)-G<ε, što zapisujemo kao lim f ( x) = G.
x → −∝
Funkcija f(x) teži graničnoj vrednosti +∝ kada:
a) x teži +∝ ako za svaki pozitivan broj M postoji pozitivan broj N takav da
važi za svako x
što zapisujemo kao lim f ( x) = + ∝
x>N ⇒ f(x)>M,
x→+∝
b) x teži -∝ ako za svaki pozitivan broj M postoji pozitivan broj N takav da
važi za svako x
što zapisujemo kao lim f ( x) = + ∝
x<-N ⇒ f(x)>M,
x → −∝
Funkcija f(x) teži graničnoj vrednosti -∝ kada:
a) x teži +∝ ako za svaki pozitivan broj M postoji pozitivan broj N takav da
važi za svako x
što zapisujemo kao lim f ( x) = − ∝
x>N ⇒ f(x)<-M,
x→+∝
b) x teži -∝ ako za svaki pozitivan broj M postoji pozitivan broj N takav da
važi za svako x
što zapisujemo kao lim f ( x) = − ∝
x<-N ⇒ f(x)<-M,
x → −∝
Na slici 8. dat je grafički prikaz nekih graničnih vrednosti funkcije
f(x) kada argument teži +∝ ili -∝.
MTVU Lekcije
2. Funkcije jedne nezavisne promenljive
30
y
y
M
y=f(x)
y=f(x)
x
N
x
a)
b)
Slika 8. Grafički prikaz nekih graničnih vrednosti funkcije f(x) kada x teži ±∝
Na slici 8.a) je grafički predstavljena činjenica da je lim f ( x) = N , a da
x→+∝
je lim f ( x) = M , dok je na slici 7.b), lim f ( x) = − ∝ a lim f ( x) = + ∝ .
x → −∝
x→+∝
x → −∝
Primer 2.4.1.
Na osnovu definicije granične vrednosti funkcija pokazati da je:
a)
c)
lim(5 x − 4) = 1
x →1
lim
x→+∝
x −1
=1
x +1
b)
d)
x 2 − 25
= 10
x →5 x − 5
1
lim 2 = + ∝
x →0 x
lim
Rešenje:
a) Neka je dato ε>0. Važi sledeće:
(5 x − 4) − 1 < ε ⇒ 5 • x − 1 < ε ⇒ x − 1 <
Dakle za
δ =
nejednakost
ε
5
ε imaćemo da za sve vrednosti argumenta x za koje je x-1<δ ispunjena
5
(5x − 4)− 1 < ε , što, po definiciji, znači da je zaista
lim(5 x − 4) = 1 .
x →1
MTVU Lekcije
Poslovna matematika
31
b) Neka je dat ε>0. Važi sledeće:
x 2 − 25
x 2 − 10 x + 25
( x − 5) 2
− 10 < ε ⇒
<ε ⇒
<ε ⇒ x−5 <ε
x−5
x−5
x−5
Dakle za
δ = ε imaćemo da za sve vrednosti argumenta x za koje je x-5<δ ispunjena
2
2
nejednakost x − 25 − 10 < ε , što, po definiciji, znači da je zaista lim x − 25 = 10.
x →5 x − 5
x−5
c) Neka je dat ε>0. Važi sledeće:
−2
x −1
2
2
−1 < ε ⇒
<ε ⇒
< ε ⇒ x > −1
x +1
x +1
x +1
ε
Dakle za N =
nejednakost
d)
2
− 1 imaćemo da za sve vrednosti argumenta x za koje je x>N ispunjena
ε
x −1
− 1 < ε , što, po definiciji, znači da je zaista lim x − 1 = 1.
x→+∝ x + 1
x +1
Neka je dat M>0. Važi sledeće:
1
1
1
> M ⇒ x2 <
⇒ x<
2
M
x
M
Dakle za
δ =
1
M
njena nejednakost
imaćemo da za sve vrednosti argumenta x za koje je x-0<δ ispu-
1
1
> M , što, po definiciji, znači da je zaista lim 2 =∝
2
x →0 x
x
MTVU Lekcije
2. Funkcije jedne nezavisne promenljive
32
Definicija 2.4.6. (beskonačno velika veličina)
Funkcija f(x) naziva se beskonačno velikom veličinom kada x teži broju a,
ili kada x teži +∝, ili -∝, ako je lim f ( x) = + ∝ , odnosno, ako je
x→a
lim f ( x) = + ∝ ,ili lim f ( x) = + ∝ .
x→+∝
x → −∝
Definicija 2.4.7. (beskonačno mala veličina)
Funkcija f(x) naziva se beskonačno malom veličinom (infinitezimalom) kada x teži broju a, ili kada x teži +∝, ili -∝, ako je lim f ( x) = 0 , odnosno, ako je
x→a
lim f ( x) = 0 ,ili lim f ( x) = 0 .
x→+∝
x → −∝
Tako, na primer, funkcija f(x)=ax, za a>1 predstavlja beskonačno veliku
veličinu kada x→+∝, a beskonačno malu veličinu kada x→ -∝, dok za 0<a<1 ta
funkcija predstavlja beskonačno malu veličinu kada x→+∝.
Teorema 2.4.1. Recipročna vrednost beskonačno velike veličine je beskonačno mala veličina, a recipročna vrednost beskonačno male veličine je beskonačno velika veličina.
Dokaz:
Neka je f(x) beskonačno velika veličina kada x→a (ili x→∝). Tada za neki unapred dati pozitivan broj M (proizvoljno veliki) postoji broj δ>0 takav da važi (po definiciji):
x − a < δ ⇒ f ( x) > M ⇒
Uzimajući da je ε =
x−a <δ ⇒
1
1
<
f ( x) M
1
imamo da važi:
M
1
1
< ε što znači da je
beskonačno mala veličina u
f ( x)
f ( x)
okolini tačke x=a.
Analogno se dokazuje i drugi deo teoreme.
MTVU Lekcije
Poslovna matematika
33
2.5. Operacije sa graničnim vrednostima funkcija
Neke od osnovnih operacija sa graničnim vrednostima funkcija date su u vidu teorema 2.5.1. i 2.5.2. 2.5.3. koje ćemo prihvatiti bez dokazivanja.
f1 ( x) = a i lim f 2 ( x) = b i gde su a i b koTeorema 2.5.1. Neka je lim
x→ p
x→ p
načni brojevi i neka je c proizvoljna konstanta. Tada važi:
a)
lim c • f1 ( x) = c • a ;
x→ p
b)
lim( f1 ( x) ± f 2 ( x)) = a ± b ;
x→ p
c)
lim( f1 ( x) • f 2 ( x)) = a • b ;
d)
lim
x→ p
x→ p
f1 ( x) a ,
=
f 2 ( x) b
f2(x)≠0, b≠0.
Teorema 2.5.2. Neka je lim f 1 ( x ) = a i lim f 2 ( x ) = + ∝ gde je a konax→ p
x→ p
čan broj. Tada važi:
a)
lim c • f 2 ( x) = + ∝ gde je c bilo koja konstanta >0,
x→ p
lim c • f 2 ( x) = − ∝ gde je c bilo koja konstanta <0,
x→ p
b)
c)
lim( f1 ( x) ± f 2 ( x)) = ± ∝
x→ p
lim( f1 ( x) • f 2 ( x)) = + ∝
za a>0
lim( f1 ( x) • f 2 ( x)) = − ∝
za a<0
x→ p
x→ p
d)
lim
x→ p
f1 ( x)
=0
f 2 ( x)
za a≠0
f 2 ( x) = − ∝ .
Analogni rezultati važe za lim
x→ p
MTVU Lekcije
2. Funkcije jedne nezavisne promenljive
34
Teorema 2.5.3. Ako funkcije f1(x) i f2(x) imaju u tački a jednake granične vrednosti, tj.
lim f1 ( x) = lim f 2 ( x) = A
x→a
x→a
i ako za sve vrednosti argumenta x u nekoj okolini tačke a važi
f1(x)≤f(x)≤f2(x),
tada funkcija f(x) ima u tački a graničnu vrednost jednaku A, tj.
lim f ( x) = A.
x→a
Primer 2.5.1.
x
 1
Naći graničnu vrednost lim 1 +  .
x→±∝
 x
Rešenje:
Neka x→+∝ . Za bilo koju vrednost broja x možemo naći prirodan broj n∈N takav da važi
n<x<n+1, a dalje važi sledeće
1 1
1
1
1
1
 1
≥ ≥
⇒ 1+ ≥ 1+ ≥ 1+
⇒ 1 + 
n x n +1
n
x
n +1  n 
n +1
x
1 
 1

≥ 1 +  ≥ 1 +

x

 n +1
n
i naravno važi da kad x→+∝, tada n→+∝ . Pošto je
 1
lim1 + 
n →∝
 n
n +1
n
 1  1
= lim1 +  • 1 +  = e • 1 = e
n →∝
 n  n
(videti teoremu 2.2.2.1.) i pošto je
n +1
1 

1 +

n
1 
n +1


lim1 +
 = lim
n →∝
n →∝
1
 n +1
1+
n +1
=
e
= e tada je po teoremi 2.5.3. .
1
x
 1
lim 1 +  = e
x→+∝
x

Neka x→ -∝ . Uvedimo smenu t=-(x+1) odakle je x=-(t+1). Kada x→ -∝, tada t→+∝. Sada imamo da je
MTVU Lekcije
Poslovna matematika
35
x
1 
 1

lim 1 +  = lim1 −

x → −∝
t →∝
x

 t +1
− (t +1)
 t 
= lim

t →∝ t + 1


− (t +1)
 t +1
= lim

t →∝
 t 
(t +1)
 1
= lim1 + 
t →∝
 t
t +1
=
t
 1  1
lim1 +  • 1 +  = e • 1 = e
t →∝
 t  t

x→±∝

x
Dakle lim 1 +
1
 =e
x
Napomena: x =
1 smenom ovaj limes se transformiše u lim(1 + t )1t = e.
t →0
t
2.6. Neprekidnost funkcije
Definicija 2.6.1. (neprekidnost funkcije u tački)
Funkcija f(x) je neprekidna u tački x=a, ako je granična vrednost funkcije
kada x teži a jednaka vrednosti funkcije u tački x=a, tj ako je lim f ( x) = f (a ) .
x→a
Neprekidnost funkcije se može izraziti preko priraštaja funkcije i argumenta. Naime, (videti sliku 9.), razlika x-a je priraštaj argumenta i
označava se sa ∆x, a razlika f(x)-f(a) je priraštaj funkcije koji odgovara priraštaju argumenta ∆x i obeležava se sa ∆y. Funkcija je neprekidna u tački a, ako priraštaj funkcije teži nuli kada priraštaj argumenta teži nuli.
Odnosno ako važi lim ∆y = 0.
∆x →0
y
f(x)
∆y
f(a)
a
∆x
x
x
Slika 9. Grafička predstava priraštaja argumenta i priraštaja funkcije
MTVU Lekcije
2. Funkcije jedne nezavisne promenljive
36
2.7. Prvi izvod i diferencijal funkcije
Neka je funkcija f(x) definisana u okolini tačke x=a.
Definicija 2.7.1. (prvi izvod funkcije u tački)
Neka je f: X→Y, i neka je a∈D(f), x∈D(f). Ako se stavi x-a=∆x, a f(x)f(a)=∆y, pri čemu se ∆x naziva priraštaj ili promena argumenta, a ∆y priraštaj
ili promena funkcije u tački a, tada se konačna granična vrednost
lim
x→a
f ( x) − f (a)
x−a
naziva izvodom funkcije f(x) u tački a i obeležava sa f’(a).
To znači
f ( x) − f (a)
x−a
.
Dakle, prvi izvod f′(a) u tački x=a je broj.
f ' (a ) = lim
x→a
Nije teško uočiti da se prvi izvod funkcije u tački x=a se može izraziti i na sledeći način:
f ' (a ) = lim
∆x →0
f (a + ∆x) − f (a )
∆y
= lim
∆
x
→
0
∆x
∆x .
Za funkciju kod koje postoji prvi izvod u tački x=a, kažemo da je diferencijabilna u toj tački.
Napomena: Sve tačke x u kojima postoji izvod funkcije f(x) obrazuju
izvestan skup S, tako da svakom x∈S odgovara vrednost izvoda f’(x). To znači da f’(x) predstavlja funkciju definisanu na skupu S. Ova se funkcija naziva izvodom funkcije f(x).
Definicija 2.7.2. (levi i desni izvod funkcije)
Konačna leva granična vrednost f −' = lim f ( x) − f (a ) naziva se levim
x→a −
x−a
izvodom funkcije u tački x=a.
Konačna desna granična vrednost f +' = lim f ( x) − f (a ) naziva se dex→a +
x−a
snim izvodom funkcije u tački x=a.
Ako je funkcija f(x) diferencijabilna u tački x=a, tada je
f (a ) = f +' (a ) = f ' (a ).
'
−
MTVU Lekcije
Poslovna matematika
37
Ako je f −' (a ) ≠ f +' (a ) , tada ne postoji prvi izvod funkcije f(x) u tački x=a.
Definicija 2.7.3. (diferencijal funkcije)
Ako je funkcija f(x) diferencijabilna u tački x=a, tada se linearna funkcija
od x
f’(a)•(x-a)
naziva diferencijalom funkcije f(x) u tački x=a i obeležava se
df(x,a)=f’(a)•(x-a).
Kako je za funkciju
f(x)=x, f’(x)=1 za svako x, pa i za x=a, važi:
df(x,a)=dx=1•(x-a)⇒dx=x-a,
možemo diferencijal funkcije f(x) obeležavati sa
df(x,a)=f’(a)•dx.
Definicija 2.7.4. (beskonačni izvodi)
Funkcija f(x) ima beskonačan izvod u tački x=a jednak +∝, ili (-∝) ako je
f ( x) − f (a)
= + ∝ (ili -∝).
x→a
x−a
Analogno se definišu beskonačni jednostrani izvodi.
lim
Napomena: Ako funkcija f(x) ima beskonačan izvod u tački x=a, onda ona nije diferencijabilna u toj tački.
Teorema 2.7.1. Ako funkcija f(x) ima izvod u tački x=a, tada se priraštaj ove funkcije može predstaviti u obliku
f(x)-f(a)=f’(a)(x-a)+w(x)(x-a),
gde je w(x) funkcija koja je neprekidna u tački a, i jednaka nuli u toj tački, tj.
lim w( x) = w(a ) = 0.
x→a
Dokaz:

 f ( x) − f (a)
− f ' (a ).........x ≠ a 

Neka je w( x) = 
x−a

0,......................................x = a 
MTVU Lekcije
2. Funkcije jedne nezavisne promenljive
38
Onda je:
 f ( x) − f (a)

− f ' (a)  =
lim w( x) = lim
x→a
x→a
x−a


 f ( x) − f (a) 
lim
 − f ' (a ) = f ' (a ) − f ' (a ) = 0 = w(a )
x→a
x−a


Dakle, ovako definisana funkcija w(x) jeste neprekidna, jer je
lim w( x) = w(a ) i iz nje neposredno proizlazi relacija
x→a
f(x)-f(a)=f’(a)(x-a)+w(x)(x-a).
Teorema 2.7.2. Ako funkcija f(x) ima izvod u tački x=a tada je ona neprekidna u toj tački.
Dokaz:
Iz prethodne teoreme dobijamo sledeće:
lim( f ( x) − f (a ) ) = f ' (a ) • lim(x − a )+ lim w( x) • lim(x − a ) = 0 ⇒ lim f ( x) = f (a )
x→a
x→a
x→a
x→a
x→a
čime je dokazana neprekidnost funkcije f(x).
Napomena: Obrnuto ne važi, odnosno neprekidna funkcija ne mora
biti diferencijabilna. (Na primer funkcija y=x je neprekidna u tački x=0,
ali u toj tački nije diferencijabilna jer su joj levi i desni izvod različiti, levi izvod je jednak -1, a desni je jednak 1).
MTVU Lekcije
Poslovna matematika
39
2.7.1. Geometrijska interpretacija prvog izvoda i diferencijala
Geometrijsku interpretaciju prvog izvoda i diferencijala ćemo dati
analizirajući sliku 10.
y
N
f(x+a)
y=f(x)
∆y
Q
M
dy
f(a)
P
a
∆x
x
x
Slika 10. Geometrijska interpretacija prvog izvoda i diferencijala
Količnik priraštaja funkcije i prirašta ja argumenta ∆y je (slika
∆x
====
PN
10.) količnik duži ==== , odnosno tg∠PMN.
PM
Kada priraštaj argumenta teži nuli, odnosno ∆x→0, sečica MN teži
tangenti MQ, pa je prvi izvod funkcije f(x) u tački x=a, dat sa lim ∆y ,
∆x →0 ∆x
====
PQ
količnik duži ==== , odnosno tg∠PMQ, što predstavlja u stvari
PM
tangens ugla koga čine tangenta funkcije f(x) u tački x=a i pozitivan
smer x-ose. Ovo pak sa svoje strane predstavlja koeficijent pravca tangente u tački x=a.
MTVU Lekcije
2. Funkcije jedne nezavisne promenljive
40
Diferencijal funkcije y=f(x) u okolini tačke x=a, dat sa dy=f’(x)(x====
a) je određen (slika 10.) dužinom duži PQ .
Zaključujemo da diferencijal dy predstavlja priraštaj ordinate tangente funkcije f(x) u tački x=a.
====
Za priraštaj argumenta funkcije ∆y = PN i diferencijal dy (koji
predstavlja priraštaj ordinate tangente funkcije f(x) u tački x=a, odnosno
====
dužinu duži ) PQ važi:
∆y
=1
∆x →0 dy
.
lim
2.7.2. Tablica izvoda nekih elementarnih funkcija
Neka je x nezavisna promenljiva. Važe sledeće formule:
1. (C)’=0
2. (xa)’ =axa-1
gde je C bilo koja konstanta
gde a∈R
tako je, na primer
( x) = 21x
'
(x)’=1,
1
1
  =− 2
x
 x
3. (ax)’=axlna
4.
(log a x )' =
(ex)’=ex
a>0,
1
x ln a
'
,
a>0,
a≠1,
(ln x )' = 1
x
5. (sinx)’=cosx
6. (cosx)’= -sinx
7. (tgx)' = 1
cos 2 x
8.
(ctgx) ' = −
1
sin 2 x
MTVU Lekcije
Poslovna matematika
9.
41
(arcsin x) ' =
1
1− x2
1
10. (arccos x ) = −
'
11. (arctgx)' =
1− x2
1
1+ x2
12. (arcctgx) ' = −
1
1+ x2
2.7.3. Osnovna pravila diferenciranja
Sledećim teoremama data su osnovna pravila diferenciranja.
Teorema 2.7.3.1. (izvod zbira (ili razlike) funkcija)
Ako je F(x)=c1f1(x)+c2f2(x)+…+cnfn(x), gde su fi(x) diferencijabilne funkcije i ci proizvoljne konstante, onda je
'
n
 n

c
f
(
x
)
=
ci f i ' ( x) .


F’(x)=c1f1’(x)+c2f2’(x)+…+cnfn’(x), ili ∑ i i
∑
i =1
 i =1

Primer 2.7.3.1.
Naći prvi izvod funkcije y=x3-6x2+3x+2:
a)
u proizvoljnoj tački
b)
u tački x=2
Rešenje:
a)
(x3-6x2+3x+2)’=3x2-12x+3
b)
prvi izvod funkcije y=x3-6x2+3x+2
u tački x=2 je
3•22-12•2+3=-9
Teorema 2.7.3.2. (izvod proizvoda dve funkcije)
Ako su f1(x) i f2(x) diferencijabilne funkcije, tada je i funkcija
F(x)=f1(x)•f2(x) diferencijabilna i važi
MTVU Lekcije
2. Funkcije jedne nezavisne promenljive
42
F’(x)=f1’(x)•f2(x)+f1(x)•f2’(x).
Primer 2.7.3.2.
Naći prvi izvod funkcije y=x2ex
a)
u proizvoljnoj tački
b)
u tački x=1
Rešenje:
a)
(x2ex)’=(x2)’ex+x2(ex)=2xex+x2ex=ex(2x+x2)
b)
prvi izvod funkcije y=x2ex
e1(2+1)=3e
u tački x=1 je
Teorema 2.7.3.3. (izvod količnika dve funkcije)
Ako funkcije f(x) i g(x) imaju izvode i ako je g(x)≠0, tada funkcija
f ( x)
F ( x) =
ima izvod koji je jednak
g ( x)
F ' ( x) =
f ' ( x) g ( x) − f ( x) g ' ( x)
(g ( x) )2
.
Primer2.7.3.3.
Naći prvi izvod funkcije y =
ex
x2
Rešenje:
 ex
 2
x
'
( )
'
( ) = e (x

ex x2 − ex x2
 =
2
x2

( )
'
x
2
− 2x
x
4
).
Teorema 2.7.3.4. (izvod složene funkcije)
Neka je F(x) složena funkcija data sa F(x)=g(f(x)). Ako za funkciju f(x)
postoji izvod u tački x, a funkcija g(u) ima izvod u tački u=f(x), tada i funkcija
F(x) ima izvod u tački x i on je jednak
F’(x)=g’(f(x))•f’(x).
MTVU Lekcije
Poslovna matematika
43
Primer 2.7.3.4.
Naći izvod funkcije
y=ln(x2-3x+4)
Rešenje:
(ln(x
2
− 3x + 4
)) =
'
1
• (2 x − 3)
x − 3x + 4
2
Teorema 2.7.3.5. (izvod inverzne funkcije)
Ako funkcija f(x) u intervalu (a,b) zadovoljava uslove:
1. ima izvod u tački x∈(a,b),
2. strogo je monotona u intervalu (a,b),
3. njen izvod f’(x)≠0,
tada njena inverzna funkcija f-1(x) ima izvod u tački y, koja odgovara tački x, jednak
(f
−1
)
( x) ' =
1
f ' ( x)
2.7.4. Izvodi višeg reda
Definicija 2.7.4.1. (izvod n-tog reda)
Izvodom n-tog reda, ili n-tim izvodom funkcije f(x) naziva se izvod (n-1)og izvoda funkcije f(x)
Za označavanje izvoda višeg reda upotrebljavaju se sledeće oznake:
y’, y’’, y’’’, …,y(n) (prvi, drugi, treći, …, n-ti izvod), ili
f’(x), f’’(x), f’’’(x),…,, f(n)(x).
Na primer :
(x3)’’=(3x2)’=6x.
2.7.5. Lopitalovo pravilo
Lopitalovo pravilo ćemo prikazati u vidu dve teoreme koje nećemo
dokazivati.
MTVU Lekcije
2. Funkcije jedne nezavisne promenljive
44
Teorema 2.7.5.1. (Određivanje limesa neodređenog izraza oblika ) 0
0
Ako funkcije f(x) i g(x) ispunjavaju sledeće uslove
1.
lim f ( x) = lim g ( x) = 0
x→a
(a∈R ili
x→a
a=+∝ ili
a= -∝);
2. Predstavljaju neprekidne funkcije na izvesnom segmentu koji sadrži tačku a;
3. Za sve tačke segmenta x≠a postoje f’(x) i g’(x);
4. g’(x)≠0 ,
za x≠a
tada je:
lim
x→a
f ( x)
f ' ( x)
= lim
.
x
→
a
g ( x)
g ' ( x)
Primer 2.7.5.1.
Naći lim
x →3
x2 − 9 .
x−3
Rešenje:
Kako je, lim( x − 9) = lim( x − 3) = 0 traženi limes je oblika
2
x →3
x →3
0 , pa primenivši
0
Teoremu 2.7.5.1 (Lopitalovo pravilo) dobijamo:
(
)
'
x2 − 9
x2 − 9
2x
= lim
=6
lim
= lim
'
x →3 x − 3
x →3 (x − 3)
x →3 1
Teorema 2.7.5.2. (Određivanje limesa neodređenog izraza oblika
∝ ∝ −∝ −∝ )
,
,
,
∝ −∝ ∝ −∝
Ako funkcije f(x) i g(x) ispunjavaju sledeće uslove
1.
lim f ( x) = lim g ( x) = + ∝
x→a
x→a
(a∈R ili
a=+∝ ili
a= -∝);
2. Predstavljaju neprekidne funkcije na izvesnom segmentu koji sadrži tačku a;
3. Za sve tačke segmenta x≠a postoje f’(x) i g’(x);
4. g’(x)≠0 ,
za x≠a
MTVU Lekcije
Poslovna matematika
45
tada je:
lim
x→a
f ( x)
f ' ( x)
= lim
.
g ( x) x→a g ' ( x)
Primer 2.7.5.2.
ex
x→∝ x
Naći lim
Rešenje:
Kako je, lim e = lim x =∝ traženi limes je oblika
x
x →∝
x →∝
∝ , pa primenivši
∝
Teoremu 2.7.5.2 (Lopitalovo pravilo) dobijamo:
( )
'
ex
ex
ex
lim
= lim
= lim
=∝ .
x →∝ x
x →∝ (x )'
x →∝ 1
2.7.6. Limesi neodređenih izraza oblika 0•∝, ∝ - ∝, 1∝, 00, ∝0
Svi limesi ovakvog oblika se posle određenih transformacija svode
na limese oblika 0 ili ∝ koje smo analizirali u prethodnom poglavlju.
0
∝
Te transformacije su sledeće:
a) limes neodređenog izraza oblika (0•∝)
lim f ( x) = 0
Neka je
x→a
f ( x) • g ( x) = lim
Tada je lim
x→a
x→a
a
lim g ( x) =∝ .
x→a
g ( x) 
f ( x) 
∝
0
 oblik  = lim
 oblik 
x
→
a
1 
1
∝
0

f ( x)
g ( x)
Primer 2.7.6.1.
Naći lim xe
x →∝
−x
.
Rešenje:
Ovo je limes oblika ∝•0 pa važi:
MTVU Lekcije
2. Funkcije jedne nezavisne promenljive
46
lim xe − x = lim
x →∝
x →∝
x
x
1
1
= lim x = lim x = = 0
x
→
x
→∝
1
∝
e
e
−x
e
∝ - ∝)
b) limes neodređenog izraza oblika (∝
Neka je lim f ( x) =∝
lim g ( x) =∝ .
a
x→a
x→a
Tada je lim( f ( x) − g ( x)) = lim f ( x) • (1 −
ka
∝
.
∝
x→a
x→a
g ( x)
g ( x)
) gde je lim
oblix→
a
f ( x)
f ( x)
g ( x)
g ( x)
= 1 onda je lim f ( x) • (1 −
) oblika ∝•0,
x→a f ( x)
x→a
f ( x)
što smo analizirali pod a).
Ako je lim
c) limes neodređenog izraza oblika (1∝)
Neka je lim f ( x) = 1 i f(x)>0
a
x→a
Pošto je f(x)g(x)=eg(x)•lnf(x),
x→a
jer je u=elnu i lnf(x)g(x)=g(x)•lnf(x),
tada je lim f ( x) g ( x ) = lim e g ( x )•
x→a
lim g ( x) =∝ .
ln f ( x )
x→a
.
S obzirom da kada je lim f ( x) = 1 ⇒ lim ln f ( x) = 0 , tada je
x→a
x→a
lim e g ( x )•ln f ( x ) limes oblika e∝•0, a oblik (∝•0) smo analizirali pod a).
x→a
d) limes neodređenog izraza oblika (00)
Neka je lim f ( x) = lim g ( x) = 0
x→a
Pošto je f(x)
x→a
g(x)
=e
g(x)•lnf(x)
,
jer je u=elnu i
tada je lim f ( x) g ( x ) = lim e g ( x )•
x→a
x→a
ln f ( x )
lnf(x)g(x)=g(x)•lnf(x),
.
MTVU Lekcije
Poslovna matematika
47
S obzirom da kada je lim f ( x) = 0 ⇒ lim ln f ( x) = − ∝ , tada je
x→a
lim e
g ( x )•ln f ( x )
x→a
x→a
0•(-∝)
, a oblik (0•(-∝)) smo analizirali pod a).
imes oblika e
∝0)
e) limes neodređenog izraza oblika (∝
Neka je lim f ( x) =∝
a
x→a
Pošto je f(x)g(x)=eg(x)•lnf(x), jer je
da je lim f ( x) g ( x ) = lim e g ( x )•
x→a
ln f ( x )
x→a
lim g ( x) = 0 .
x→a
u=elnu i
lnf(x)g(x)=g(x)•lnf(x), ta-
.
S obzirom da kada je lim f ( x) =∝⇒ lim ln f ( x) =∝ , tada je
x→a
lim e
x→a
g ( x )•ln f ( x )
limes oblika e
x→a
0•∝
, a oblik (0•∝) smo analizirali pod a).
2.7.7 Primena izvoda na ispitivanje funkcija
Načini primene izvoda na ispitivanje funkcija proizilaze iz sledećih
teorema koje ćemo prihvatiti bez dokaza.
Teorema 2.7.7.1. (primena izvoda na ispitivanje monotonosti funkcija)
Ako funkcija f(x) ima konačan ili beskonačan izvod u intervalu (a,b), tada da bi ona bila
a) neopadajuća u tom intervalu potrebno je i dovoljno da u svakoj tački ovog
intervala važi
f’(x)≥0
b) nerastuća u tom intervalu potrebno je i dovoljno da u svakoj tački ovog intervala važi
f’(x)≤ 0
c) monotono rastuća u tom intervalu potrebno je i dovoljno da u svakoj tački ovog intervala važi
f’(x)≥0,
pri čemu jednakost f’(x)=0
ne može biti ispunjena ni u jednom intervalu unutar intervala (a,b), već
može biti ispunjena samo u pojedinim tačkama intervala (a,b)
d) monotono opadajuća u tom intervalu potrebno je i dovoljno da u svakoj
tački ovog intervala važi
f’(x)≤ 0
pri čemu jednakost
f’(x)=0 ne može biti ispunjena ni u jednom intervalu unutar intervala
(a,b), već može biti ispunjena samo u pojedinim tačkama intervala (a,b)
MTVU Lekcije
2. Funkcije jedne nezavisne promenljive
48
Iz teoreme 2.7.7.1. sledi dovoljan uslov monotonosti
Ako je u intervalu (a,b) prvi izvod pozitivan tj. f’(x)>0, tada funkcija
f(x) raste u tom intervalu, a ako je prvi izvod negativan, tj. f’(x)<0, tada
funkcija f(x) opada u tom intervalu.
Na slici 11. je prikazana funkcija koja je u intervalu (a,b) neopadajuća i gde je f’(x)≥0 za x∈(a,b) i f’(x)=0 za x∈(c,d) gde je interval (c,d) unutar intervala (a,b), i koja je monotono opadajuća u intervalu (b,f) gde je f’(x)=0 samo
u tački x=e gde e∈(b,f).
y
y=f(x)
a
c
d
b
e
f
x
Slika 11. Intervali monotonosti funkcije f(x)
Definicija 2.7.7.1. (tačke lokalnog ekstremuma funkcije, odnosno
tačke lokalnog minimuma ili maksimuma funkcije)
Funkcija f(x) ima u tački x=a lokalni maksimum jednak f(a), ako postoji
interval (c,d) u kome se sadrži tačka x=a, (a∈(c,d)), takav da za svako x∈(c,d)
važi f(x)<f(a).
Funkcija f(x) ima u tački x=a lokalni minimum jednak f(a), ako postoji interval (c,d) u kome se sadrži tačka x=a, (a∈(c,d)), takav da za svako x∈(c,d) važi f(x)>f(a).
Tačke lokalnog minimuma ili lokalnog maksimuma za zovu tačke ekstremuma funkcije.
Definicija 2.7.7.2.(stacionarne tačke funkcije)
Tačka x=a se naziva stacionarnom tačkom funkcije f(x) ako je f’(a)=0, odnosno ako je prvi izvod funkcija f(x) u njoj jednak nuli.
MTVU Lekcije
Poslovna matematika
49
Geometrijski, ova definicija znači da je tangenta na grafik funkcije
f u tački (a,f(a)) paralelna x-osi.
Teorema 2.7.7.2. (potreban uslov za postojanje ekstremuma diferencijabilnih funkcija (veza između tačaka ekstremuma i stacionarnmih tačaka ))
Ako tačka x=a predstavlja lokalni ekstremum funkcije f(x) i ako je funkcija f(x) diferencijabilna u tački x=a, tada je ta tačka x=a stacionarna tačka funkcije, odnosno tada je f’(a)=0.
Obrnuto ne važi, odnosno stacionarna tačka ne mora biti tačka ekstremuma funkcije f(x).
Dakle, potreban uslov da diferencijabilna funkcija f(x) ima u tački x=a lokalni ekstremum je da je f’(a)=0.
Teorema 2.7.7.3. (dovoljan uslov za postojanje ekstremuma neprekidnih funkcija)
Ako je funkcija f(x) neprekidna u tački x=a i ako je
a) levo od tačke a monotono rastuća a desno od tačke a monotono opadajuća onda je tačka x=a, tačka lokalnog maksimuma funkcije
b) levo od tačke a monotono opadajuća a desno od tačke a monotono rastuća onda je tačka x=a, tačka lokalnog minimuma funkcije.
Jedna od posledica prethodnih teorema je da ako je funkcija diferencijabilna u tački x=a onda
a) kada je levo od tačke a prvi izvod veći od nule (f’(x)>0), a desno od tačke
a prvi izvod manji od nule (f’(x)<0), tada je tačka x=a tačka lokalnog
maksimuma funkcije
b) kada je levo od tačke a prvi izvod manji od nule (f’(x)<0), a desno od tačke a prvi izvod veći od nule (f’(x)>0), tada je tačka x=a tačka lokalnog minimuma funkcije.
Takođe, posledica prethodnih teorema je i sledeća činjenica:
Ako je x=a stacionarna tačka funkcije f(x) tada važi
a) ako je
f’’(a)<0,
tada u tački x=a funkcija f(x) ima maksimum
b) ako je
f’’(a)>0,
tada u tački x=a funkcija f(x) ima minimum.
Na slici 11. funkcija f(x) u tački x=b ima ekstremum i to lokalni
maksimum i tu je f’(b)=0 (tangenta u tački (b,f(b)) je paralelna sa x-
MTVU Lekcije
2. Funkcije jedne nezavisne promenljive
50
osom) a prvi izvod u okolini tačke x=b menja znak od + na -, dok je tačka x=e samo stacionarna tačka funkcije f(x) ( u njoj funkcija nema ni minimuma ni maksimuma) jer važi f’(e)=0 (tangenta u tački (e,f(e)) je paralelna sa x-osom), ali prvi izvod ne menja znak u okolini tačke x=e već je
uvek negativan.
Na osnovu izloženog mogu se izvesti dva pravila za nalaženje tačaka lokalnog ekstremuma diferencijabilnih funkcija:
Prvo pravilo:
Prvo je potrebno odrediti stacionarne tačke rešenjem jednačine f’(x)=0.
Od nula dobijenih njenim rešenjem treba izdvojiti one koje su realne i
u kojima izvod menja znak.
Funkcija će imati maksimum u tačkama u kojima izvod menja znak od
+ na -, a minimum u tačkama u kojima izvod menja znak od - na +.
U tačkama u kojima izvod ne menja znak funkcija nema ni maksimuma ni minimuma.
Drugo pravilo:
Prvo je potrebno odrediti stacionarne tačke rešenjem jednačine f’(x)=0.
U svakoj stacionarnoj tački treba izračunati drugi izvod.
U stacionarnim tačkama u kojima je drugi izvod negativan funkcija će
imati maksimum, a u onim u kojima je drugi izvod pozitivan funkcija će
imati minimum.
Ako je drugi izvod u stacionarnoj tački jednak nuli, treba nastaviti sa
traženjem izvoda višeg reda u toj tački (trećeg, četvrtog, itd) sve do nalaženja
prvog od nule različitog izvoda.
Ako je taj prvi od nule različit izvod, izvod parnog reda (četvrti, šesti,
osmi, itd) tada u toj tački funkcija ima ekstremum i to:
f(x) ima maksimum ako je taj parni izvod manji od nule
f(x) ima minimum ako je taj parni izvod veći od nule.
Ako je taj prvi od nule različit izvod, izvod neparnog reda (treći, peti,
sedmi, itd) tada u toj tački funkcija nema ekstremum već:
f(x) opada ako je taj neparni izvod manji od nule
f(x) raste ako je taj neparni izvod veći od nule.
MTVU Lekcije
Poslovna matematika
51
NAPOMENA: U tačkama u kojima prvi izvod ne postoji, odnosno u
kojima funkcija nije diferencijabilna, moguće je da funkcija ima ekstremum.
Da li su tačke u kojima funkcija nije diferencijabilna tačke ekstremuma funkcije proveravamo na dva načina i to:
1. ako je funkcija u tim tačkama neprekidna primenom dovoljnog uslova za ekstremum neprekidnih funkcija (Teorema 2.7.7.3)
2. ako je u tim tačkama funkcija prekidna direktnom primenom definicije tačaka lokalnog ekstremuma ( Definicija 2.7.7.1)
Na slici 12. prikazan je grafik funkcije koja
a) u tački a nije diferencijabilna, ali je neprekidna i ima lokalni minimum
b) u tački a nije diferencijabilna i prekidna je, ali u njoj ima lokalni
maksimum.
y
y
f(x)
f(a)
a
x
a)
•
y=f(x)
a
x
b)
Slika 12. Grafiki funkcije f(x)
Definicija 2.7.7.3. (konveksnost, konkavnost, prevojne tačke)
Za funkciju f(x) koja je diferencijabilna u intervalu (a,b) kaže se da je konkavna (ispupčena) u intervalu (a,b) ako se grafik te funkcije u tom intervalu nalazi ispod tangente u bilo kojoj tački tog intervala.
Za funkciju f(x) koja je diferencijabilna u intervalu (a,b) kaže se da je konveksna (udubljena) u intervalu (a,b) ako se grafik te funkcije u tom intervalu nalazi iznad tangente u bilo kojoj tački tog intervala.
Tačke u kojima funkcija menja konveksitet (prelazi iz konveksne u konkavnu ili obrnuto) su prevojne tačke funkcije.
MTVU Lekcije
2. Funkcije jedne nezavisne promenljive
52
y
f(x)
y
x
a) konkavna
funkcija
f(x)
b) konveksna
funkcija
y
x
f(x)
a
x
c) x=a je tačka
prevoja funkcije f(x)
Slika 13. Konveksnost, konkavnost, tačka prevoja
Teorema 2.7.7.4. (primena izvoda na određivanje konveksnosti, konkavnosti i prevojnih tačaka funkcije)
Ako je f(x) dvaput diferencijabilna funkcija u intervalu (a,b) važi:
a) ako je f’’(x)<0 za svako x∈(a,b) onda je f(x) konkavna na (a,b)
b) ako je f’’(x)>0 za svako x∈(a,b) onda je f(x) konveksna na (a,b)
c) ako je u tački x=a
f’’(a)=0 ili
f’’(a) ne postoji i ako
f’’(x) menja znak pri prolasku kroz tačku x=a
onda je tačka (a,f(a)) prevojna tačka funkcije.
MTVU Lekcije
Poslovna matematika
53
2.7.8. Asimptote funkcija
Definicija 2.7.8.1. (asimptota funkcije)
Ako se tačka (x, f(x)) neprekidno pomera po grafiku funkcije y=f(x) tako,
da bar jedna koordinata (x ili y) teži u beskonačnost (+∝, ili -∝) i ako pri tome
udaljenost te tačke od neke prave teži nuli, onda se ta prava naziva asimptotom
funkcije f(x).
Definicija 2.7.8.2. (vertikalna asimptota)
Prava x=a je
a) vertikalna asimptota sleva funkcije f(x) ako je
lim f ( x) = + ∝ ∨ lim f ( x) = − ∝
x→a −
x→a −
b) vertikalna asimptota sdesna funkcije f(x) ako je
lim f ( x) = + ∝ ∨ lim f ( x) = − ∝
x→a +
x→a +
NAPOMENA: Vertikalna asimptota može postojati samo u konačnim
graničnim tačkama oblasti definisanosti funkcije.
Definicija 2.7.8.3. (kosa asimptota) Prava
y=ax+b
je
a) desna kosa asimptota funkcije f(x) ako je
lim
x→+∝
f ( x)
= a ∧ lim ( f ( x) − ax ) = b
x→+∝
x
b) leva kosa asimptota funkcije f(x) ako je
lim
x → −∝
f ( x)
= a ∧ lim ( f ( x) − ax ) = b
x → −∝
x
Definicija 2.7.8.4. (horizontalna asimptota) Prava y=b
je
a) horizontalna asimptota udesno funkcije f(x) ako je
lim f ( x) = b
x→+∝
b)
horizontalna asimptota ulevo funkcije f(x) ako je
lim f ( x) = b
x → −∝
MTVU Lekcije
2. Funkcije jedne nezavisne promenljive
54
Na slici 14. je prikazana funkcija koja ima desnu kosu asimptotu (to
je prava y=x), vertikalnu asimptotu sdesna (prava x=a) i horizontalnu
asimptotu ulevo (prava y=b).
y
prava y=x
c
y=(x)
a
b
x
prava y=b
Slika 14. Funkcija f(x) koja ima desnu kosu asimptotu, vertikalnu asimptotu sdesna i horizontalnu asimptotu ulevo
2.7.9. Opšta šema za ispitivanje funkcija
Delovi matematičke analize koje smo do sada upoznali omogućavaju da se pomoću grafika prikaže tok funkcije y=f(x). Poželjno je da se prilikom ispitivanja funkcije, odnosno prilikom crtanja njenog grafika, pridržavamo sledeće šeme, koja obuhvata ispitivanje sledećih elemenata:
1.
2.
3.
4.
Utvrditi oblast definisanosti funkcije
Odrediti njene nule i tačke prekida
Utvrditi eventualnu parnost ili neparnost
Odrediti stacionarne tačke i tačke u kojima prvi izvod nije definisan,
intervale monotonosti i karakter monotonosti u svakom od ovih intervala,
5. Utvrditi eventualno postojanje tačaka ekstremuma, kao i vrstu ekstremuma (minimum ili maksimum)
6. Odrediti nule drugog izvoda, tačke u kojima drugi izvod nije definisan,
intervale konkavnosti i konkveksnosti, prevojne tačke
MTVU Lekcije
Poslovna matematika
55
7. Utvrditi eventualno postojanje asimptota, kao i vrstu asimptota
8. Na osnovu ovih podataka nacrtati skicu grafika funkcija f(x)
Primer 2.7.9.1.
x
Nacrtati grafik funkcije y =
3
x2 −1
.
Rešenje:
1. (oblast definisanosti)
Funkcija y =
3
x
3
x2 −1
nije definisana u onim tačkama u kojima važe implikacije
x 2 − 1 = 0 ⇒ x 2 − 1 = 0 ⇒ x 2 − 1 = 0 ⇒ odnosno u tačkama x =1 i x =-1, pa
1
2
je oblast definisanosti funkcije
x∈(-∝, -1)∪(-1, 1)∪(1, ∝).
2. (nule funkcije i tačke prekida funkcije)
Nule funkcije su određene sledećim implikacijama:
y =0⇒
x
3
x2 −1
=0⇒ x=0
Dakle funkcija ima nulu u tački x0=0, a prekidna je u tačkama x1=1 i x2=-1.
3. (parnost, neparnost)
Kako je f ( − x) =
(− x)
3
(− x) − 1
2
=−
x
3
x −1
2
= − f ( x) zaključujemo da je funkcija
neparna, odnosno da je njen grafik simetričan u odnosu na koordinatni početak (0,0).
4. (stacionarne tačke, tačke u kojima prvi izvod nije definisan, intervali
i karakter monotonosti)
Stacionarne tačke dobijamo rešenjem jednačine f’(x)=0. Važi:
MTVU Lekcije
2. Funkcije jedne nezavisne promenljive
56

x

f ' ( x) = 
1
 x2 −1 3

(
=
)
'


 =


(x
2
1
−2

1
− 1 3 − x x 2 − 1 3 • 2 x 
=
3
2
x2 −1 3
)
(
(
)
(x
2
)
) (x
−1
(x
2
1
3
)
−1
2
)
(x
−1
2
3
2
3
−
)
2x 2
3
(x
)
2
2
−1 3
2
2
−1 3
2x 2
2
3 = x − 3 = 0 ⇒  x3 = 3 
4
4
x = − 3
33 x 2 − 1

 4
x2 −1 3
x2 −1−
(
(
)
)
Dakle, stacionarne tačke su x3 =
3 i x4 = − 3 .
Prvi izvod nije definisan u tačkama u kojima je
3
(x
2
)
−1
4
= 0 tj. u tačkama x1=1 i x2=-1
odnosno u tačkama u kojima i funkcija nije definisana.
Intervale i vrstu monotonosti ćemo odrediti pomoću znaka prvog izvoda, kao što pokazuje
sledeća Tabela 1. Da bismo odredili znak prvog izvoda u svakom od bitnih intervala, dovoljno je odrediti znak prvog izvoda u bilo kojoj, po volji odabranoj, tački svakog intervala.
x
y’
Zakljuþa
k
(-∝, - 3 )
>0 (+)
( − 3 ,−1 )
<0 (-)
funkcija
monotono
raste
funkcija
monotono
opada
<0 (-)
(1, 3)
<0 (-)
( 3 , ∝)
>0 (+)
funkcija
monotono
opada
funkcija
monotono
opada
funkcija
monotono
raste
(−1,1)
Tabela 1.
5. (tačke ekstremuma i vrste ekstremuma)
Analizom Tabele 1. zaključujemo da u oblasti gde je funkcija diferencijabilna postoje dve tačke ekstremuma i to za:
a)
x3 = − 3 tačka lokalnog maksimuma funkcije jer prvi izvod menja znak od + na -,
prilikom prolasku kroz nju. U toj tački funkcija ima vrednost f(-
− 3
3
( )
 − 3 2 − 1


Dakle, tačka M(-
=−3
3
2
3 ) što iznosi .
≈ −1,37
3 ,-1,37) je tačka lokalnog maksimuma
MTVU Lekcije
Poslovna matematika
57
x 4 = 3 tačka lokalnog minimuma funkcije jer prvi izvod menja znak od - na +, pri-
b)
likom prolasku kroz nju. U toj tački funkcija ima vrednost f(
3
3
( )
 3 2 − 1


Dakle, tačka N(
=
3
3
2
≈ 1,37
3 ) što iznosi
.
3 ,1.37) je tačka lokalnog minimuma.
U tačkama u kojima prvi izvod nije definisan funkcija nema ekstremuma, jer se te tačke poklapaju sa tačkama u kojima funkcija nije definisana.
6). (nule drugog izvoda, tačke u kojima drugi izvod nije definisan,
intervale konkavnosti i konkveksnosti, prevojne tačke)
Drugi izvod je:
(
)
(
)
(
)
4
1
'
4

 2x • 3 x 2 − 1 3 − 3 • x 2 − 1 3 • 2x • x 2 − 3
2
6 x x 2 − 1 − 8x x 2 − 3
3
(y ')' =  x − 3 4  =
=
=
8
7
2
2
 3 x2 −1 3 
3
3
9
1
9
1
−
−
x
x


(
=
)
2 x(9 − x 2 )
(
)
93 x 2 − 1
7
(
)
(
) (
( )
)
x = 0 


= 0 ⇒ x = 3 
 x = −3


Dakle, drugi izvod ima nule u tačkama x0=0, x5=3, i x6=-3.
Drugi izvod nije definisan u tačkama u kojima je
3
(x
2
)
−1
7
= 0 , odnosno u
x1=1 i x2=-1 tj. u tačkama u kojima i funkcija nije definisana.
Intervale konkavnosti o konveksnosti ćemo odrediti pomoću znaka drugog izvoda, kao što
pokazuje sledeća Tabela 2. Da bismo odredili znak drugog izvoda u svakom od bitnih intervala, dovoljno je odrediti znak drugog izvoda u bilo kojoj, po volji odabranoj, tački
svakog intervala.
MTVU Lekcije
2. Funkcije jedne nezavisne promenljive
58
x
(-∝, -3)
(-3, -1)
(-1, 0)
(0, 1)
(1, 3)
(3, ∝)
y’’
>0 (+)
< 0 (-)
>0 (+)
< 0 (-)
>0 (+)
< 0 (-)
Zaključak
funkcija
je
konveksna
funkcija
je
konkavna
funkcija
je
konveksna
funkcija
je
konkavna
funkcija
je
konveksna
funkcija
je
konkavna
Tabela 2.
Dakle prevojne tačke su tačke u kojima je drugi izvod jednak nuli x0=0, x5=3, i x6=-3, kao i
tačke u kojima drugi izvod nije definisan x1=1 i x2=-1 (pažnja: u ovim tačkama i funkcija nije definisana). U ovim tačkama u kojima funkcija ima prevoje i u kojima je definisana vrednost funkcije je
f(x0=0)=0 (tačka L(0, 0)),
f(x5=3)=
f(x6=-3)=
3
3
3
= = 1,5 (tačka P(3, 1,5))
8 2
−3
3
= − = −1,5 (tačka Q(-3, -1,5))
8
2
3
7. ( asimptote)
a) vertikalna asimptota
Vertikalna asimptota može (ali ne mora) postojati samo u konačnim tačkama prekida funkcije, odnosno u našem slučaju u tačkama x1=1 i x2=-1.
MTVU Lekcije
Poslovna matematika
59
Kako je:
x
lim
(x
2
lim
(x
2
x →1+ 3
x →1− 3
x
)
=−∝
x
(x
2
lim
(x
2
x → −1− 3
=+∝
−1
lim
x → −1+ 3
)
−1
)
=+∝
)
=−∝
−1
x
−1
to su prave x=-1, i x=1 vertikalne asimptote funkcije f(x).
b) horizontalna asimptota
Kako je
lim
x→+∝ 3
lim
x → −∝ 3
(x
(x
x
2
x
2
)
=+∝
)
=−∝
−1
−1
zaključujemo da funkcija nema horizontalnu asimptotu. Ovom tačkom smo istovremeno ispitali i ponašanje funkcije na njenim beskonačnim krajevima oblasti definisanosti.
c) kosa asimptota
Kako je
3
lim
(x
x →∝
x
2
x
) = lim (x
−1
3
x → −∝
x
2
x
)= 0
−1
zaključujemo da funkcija nema ni desnu ni levu kosu asimptotu.
8. (grafik funkcije)
Grafik funkcije je dat na slici 15.
MTVU Lekcije
2. Funkcije jedne nezavisne promenljive
60
N(1,73; 1,37)
P(3; 1,5)
3
1.5
x
3
x
2
1
8
7
6
5
4
3
2
1
0 1
2
3
4
5
6
7
8
1.5
3
Q(-3; -1,5)
x
L(0, 0)
M(-1,73; -1,37)
Slika 15. Grafik funkcije
MTVU Lekcije
Download

lekcija 2