Matematika za ekonomiste
Časlav Pejdić, (064) 123 09 10
SADRŽAJ
SADRŽAJ .......................................................................................................................................................................................................................... 1
UVOD ................................................................................................................................................................................................................................ 2
1. DEO RELACIJE I FUNKCIJE ..................................................................................................................................................................................... 3
2. DEO ALGEBRA .......................................................................................................................................................................................................... 6
3. DEO NIZOVI I REDOVI ......................................................................................................................................................................................... 13
4. DEO NEPREKIDNOST I DIFERENCIJABILNOST FUNKCIJE ...................................................................................................................... 16
5. DEO LIMESI I IZVODI............................................................................................................................................................................................ 18
6. DEO OSNOVNE TEOREME DIFERENCIJALNOG RAČUNA ......................................................................................................................... 23
7. DEO GRAFIK FUNKCIJE....................................................................................................................................................................................... 25
8. DEO FUNKCIJE SA DVE PROMENLJIVE .......................................................................................................................................................... 31
9. DEO INTEGRALI .................................................................................................................................................................................................... 37
10. DEO DIFERENCIJALNE JEDNAČINE .............................................................................................................................................................. 47
11. DEO VEROVATNOĆA ......................................................................................................................................................................................... 51
12. DEO FINANSIJSKA MATEMATIKA ................................................................................................................................................................. 54
REŠENJA ....................................................................................................................................................................................................................... 56
DODATAK A PODSETNIK ...................................................................................................................................................................................... 117
DODATAK B TABLICA IZVODA ........................................................................................................................................................................... 131
DODATAK C TABLICA INTEGRALA.................................................................................................................................................................... 132
1
UVOD
Zbirka sadrži 438 ispitnih zadataka koji su bili na ispitu prethodnih godina i to sa proverenim rešenjima. Rešenja nekih
zadataka su detaljna, dok su kod drugih dati samo rezultati.
Zadaci su podeljeni po oblastima i u okviru svake oblasti grupisani po tipu i po težini od lakših ka težim.
Na kraju zbirke nalazi se podsetnik (dodatak A) koji Vam preporučujem da prvo pročitate.
Ova zbirka je nastala kao pomoćno sredstvo studentima koji pohađaju kurs kod autora zbirke, mada može da posluži i ostalima
za lakše spremanje ispita.
Prednost ove zbirke je što prvi put na jednom mestu imate teoriju i zadatke i što su ispitni zadaci razvrstani po oblastima, tako
da paralelno predavanjima možete postepeno da testirate svoje znanje radeći ispitne zadatke iz oblasti koje ste prešli.
Nadam se da će vam ova zbirka biti od velike pomoći.
Želim Vam puno uspeha na ispitu.
Autor: dipl. ing. Časlav Pejdić
2
Matematika za ekonomiste
Časlav Pejdić, (064) 123 09 10
1. DEO
RELACIJE I FUNKCIJE
U prvom delu dati su zadaci iz relacija i funkcija.
Zadaci su grupisani tako da najpre dolaze zadaci vezani za ispitivanje osobina relacija, zatim sa operacijama sa relacijama i na
kraju zadaci sa funkcijama.
Teorijska pitanja na usmenom:
1.
2.
3.
4.
Relacija poretka i relacija ekvivalencije
Binarne relacije (osnovne osobine)
Funkcije (definicija i osnovne osobine)
Relacije i funkcije
Definicija 1: (Dekartov proizvod)
Neka su data dva neprazna skupa A i B. Dekartov proizvod skupova A i B se definiše kao:
A  B = {(x,y) | x  A  y  B}.
Definicija 2: (definicija relacije)
Neka su data dva neprazna skupa A i B. Svaki podskup  skupa A  B naziva se binarnom relacijom u skupu A  B. Skup
uređenih parova koji pripadaju relaciji je graf relacije.
Definicija 3: (refleksivnost)
Relacija  A2 je refleksivna ako važi: ( x  A) x  x
Definicija 4: (simetričnost)
Relacija  A2 je simetrična ako važi: ( x,y  A) (x  y  y  x)
Definicija 5: (antisimetričnost)
Relacija  A2 je antisimetrična ako važi:
(x,yA)(x  y  y  x  x = y)
Definicija 6: (tranzitivnost)
Relacija  A2 je tranzitivna ako važi:
( x,y,z  A) (x  y  y  z  x  z)
Definicija 7: (relacija ekvivalencije)
Relacija  A2 naziva se relacijom ekvivalencije ako je istovremeno refleksivna, simetrična i tranzitivna. Klasa ekvivalencije za
realan broj a je:      ∈  .
Definicija 8: (relacija poretka)
Relacija  A2 naziva se relacijom poretka ako je istovremeno refleksivna, antisimetrična i tranzitivna.
Definicija 9: (komplement relacije)
Svakoj binarnoj relaciji  ⊆  ×  može se pridružiti njen komplement  ⊆  × , tako da važi:
( x,y) (x  y  x non  y).
Definicija 10: (inverzna relacija)
Svakoj binarnoj relaciji  A  B može se pridružiti njoj inverzna relacija -1 B  A, tako da važi:
( x,y) (x -1 y  y  x)
Definicija 11: (podskup relacija)
Relacija  je podskup relacije  () ako važi: ( x,y) (x  y  x  y).
3
Definicija 12: (unija relacija)
Unija relacija  i  () se definiše kao:x  y  x  y  x  y.
Definicija 13: (presek relacija)
Presek relacija  i  () se definiše kao:x  y  x  y  x  y.
Definicija 14: (proizvod relacija)
Proizvod relacija  i  (∘) se definiše kao:x ∘ y  ( z) x  z  z  y.
Definicija 15: (definicija funkcije)
Binarna relacija f definisana u skupu A  B naziva se preslikavanje (funkcija) skupa A u skup B i piše se
f : A  B, ako su ispunjena dva uslova:
1. skup svih prvih komponenata skupa f jednak je skupu A,
2. važi implikacija ( x  A) (x,y1)  f  (x,y2)  f  y1 = y2, tj. jednakost prvih komponenata implicira jednakost drugih
komponenata.
Definicija 16: (domen definisanosti funkcije)
Domen definisanosti funkcije (D) su sve vrednosti nezavisne promenljive (x) za koje funkcija postoji.
Definicija 17: (skup vrednosti funkcije)
Skup vrednosti funkcije (V) je skup svih vrednosti koje funkcija može da ima na domenu D.
Definicija 18: (sirjektivnost)
Ako je preslikavanje f : A  B takvo da je skup svih vrednosti funkcije V jednak skupu B, tada se kaže da je f sirjektivno
preslikavanje, ili se još kaže da f preslikava skup A na skup B.
Definicija 19: (injektivnost)
Preslikavanje f : A  B je injektivno ako i samo ako se različiti elementi skupa A preslikavaju u različite elemente skupa B, tj.
važi implikacija: ( x1,x2 A) x1 x2 f(x1)  f(x2), odnosno
(x1,x2 A) f(x1) = f(x2)  x1 = x2.
Definicija 20: (bijektivnost)
Preslikavanje f : A  B je bijektivno ako i samo ako je sirjektivno i injektivno, tj. važi implikacija:
( x1,x2 A) f(x1) = f(x2)  x1 = x2.
Definicija 21: (inverzna funkcija)
Ako je preslikavanje f : A  B bijektivno, tada se inverzno preslikavanje f -1 preslikavanja f definiše na sledeći način: f -1 : B  A,
f -1(f(x)) = x, tj. slika svakog elementa f(x) iz skupa B je elemenat x iz skupa A.
Definicija 22: (proizvod funkcija)
Pod proizvodom preslikavanja f : AB i g : BC podrazumeva se preslikavanje h : AC određeno sa:
( x  A) h(x) = g(f(x)). Ovo preslikavanje označavamo sa h = g  f.
Definicija 23: (ograničenost funkcije)
Funkcija y = f(x) je ograničena u oblasti definisanosti D ako postoji pozitivan broj K takav da je:
( x  D) |f(x)| < K.
Definicija 24: (monotonost funkcije)
Funkcija y = f(x) je monotono rastuća u oblasti definisanosti D, ako važi implikacija:
(x1,x2  D) (x2 > x1  f(x2) > f(x1)), a monotono opadajuća u oblasti definisanostiD, ako važi implikacija: (x1,x2  D) (x2 >
x1  f(x2) < f(x1)).
Definicija 25: (parnost funkcije)
Funkcija y = f(x), definisana na segmentu [-a,a], je parna ako je:
(x  [-a,a]) f(-x) = f(x), a neparna je ako je: (x  [-a,a]) f(-x) = -f(x).
Definicija 26: (periodičnost funkcije)
Funkcija y = f(x), definisana u oblasti D, je periodična ako postoji realan broj a  0, takav da je:
( x  D) f(x + a) = f(x).
1.
4
(jun 2011)
Ispitati da li je relacija  definisana kao x  y  xn - yn ≥ 0 relacija poretka na skupu ℝ realnih brojeva:
Matematika za ekonomiste
2.
3.
4.
5.
Časlav Pejdić, (064) 123 09 10
a) za n = 3
b) za n = 4
(jun 2013, februar 2013-usmeni, januar 2010-usmeni)
Ispitati da li je relacija  definisana kao x  y akko(def) (k ∈ ) y = kx jedna relacija poretka na skupu prirodnih brojeva
(januar 2005)
Ispitati da li je relacija  definisana kao x  y  xy ≤ y2 relacija poretka na skupu:
a)N prirodnih brojeva
b)Zcelih brojeva
(oktobar-2 2011, februar 2011, januar 2010, jun 2009)


Data je binarna relacija  zadata kao:   
≤ 2 ,
2
Ispitati da li je ovo relacija poretka na skupu:
(septembar 2008)
Data je binarna relacija  zadata kao:   
 +1

 2 +1
 +1
a) ℝ,
≤

 2 +1
b) (1, ∞).
.
6.
Ispitati koje od osobina linearnog uređenja ima ova relacija na skupu ℝ.
(februar 2008, januar 2007, oktobar-2 2006)
Pokazati da je binarna relacija  zadata kao:   
 2 + 1 ≤   2 + 1 ,
7.
jedno uređenje skupa (1, ∞), ali ne i skupa ℝ.
(oktobar 2013, oktobar 2012, februar 2012, januar 2010, jun 2009-usmeni)
1
Ispitati da li je relacija  definisana uslovom:       2 + 2 =  2 +

8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
1
2
na skupu −∞, 0 ∪ (0, ∞) relacija
ekvivalencije. Ukoliko jeste, odrediti klasu ekvivalencije broja 3.
(januar 2011-usmeni, januar 2010, januar 2009, januar 2006-usmeni)
Ispitati da li je relacija  definisana kao:       2 −  2  2  2 − 1 = 0, jedna relacija ekvivalencije na skupu
realnih brojeva. Ukoliko jeste, odrediti klase ekvivalencije [0], [1] i [2].
(januar 2013-usmeni, januar 2009, januar 2007)
Da li je sledeća relacija, relacija ekvivalencije: x  y  x2y+y = xy2+x.
Ako jeste, odrediti klasu ekvivalencije broja 7 i 1 7.
(jun 2013, januar 2013)
Ispitati da li je relacija  definisana na skupu beskonačno malih veličina u okolini neke tačke
 ()
a(  R ), kao      ↔
= 1, jedna relacija ekvivalencije.
 →  ()
(jul 2011, septembar 2008, februar 2006-usmeni, januar 2006)
Odrediti sve moguće relacije ekvivalencije nad četvoročlanim skupom  = 1,2,3,4 .
Koliko ih ukupno ima?
(februar 2011, februar 2011-usmeni, septembar 2008)
Da li iz tranzitivnosti relacija  i  sledi tranzitivnost relacije ? (Pokazati)
(septembar 2013)
Ispitati da li je -1  A2, relacija ekvivalencije na skupu A, ako je relacija  A2 refleksivna i tranzitivna na skupu A.
(oktobar-2 2008-usmeni, septembar 2008-usmeni, januar 2007-usmeni, oktobar-2 2006-usmeni, januar 2006-usmeni)
Ispitati da li su funkcije   =  2 i   =  3 bijekcije.
(oktobar 2010-usmeni, oktobar 2008-usmeni)
Ispitati da li su funkcije   =  2 +  + 1 i   =  3 + 1 bijekcije.
(jul 2013)
Date su funkcije , :  → , definisane kao   =  2 + 6 − 3 i   =  3 + 1. Ispitati da li su to bijekcije. Ukoliko nisu
odrediti domen i kodomen funkcije koja nije bijekcija tako da bude bijekcija, a zatim odrediti i njihove odgovarajuće
inverzne funkcije.
(februar 2013)
Odrediti najmanju vrednost realnog parametra a i odgovarajuću vrednost realnog parametra b tako da funkcija
: , 2 → 0,  , zadata sa   =  2 − 4 + 3 bude bijekcija, a zatim odrediti  −1 () .
(septembar 2008-usmeni, oktobar 2005)
Ispitati monotonost i konveksnost funkcije   =  2 + 1, koristeći definiciju.
5
2. DEO
ALGEBRA
U drugom delu dati su zadaci iz algebre.
Zadaci su grupisani tako da najpre dolaze zadaci iz matrica: komutativne matrice, inverzna matrica, matrične jednačine i rang
matrice, dok su na kraju dati sistemi koji se rešavaju primenom Gausovog metoda, Kramerovih pravila, Kroneker-Kapelijevom
teoremom ili matričnim metodom.
Teorijska pitanja na usmenom:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Kroneker-Kapelijeva teorema
Teorema o bazisnom minoru
Kramerovo pravilo
Inverzna matrica
Rang matrice (definicija i osnovne osobine)
Matrični metod
Linearna zavisnost vrsta (kolona) matrice i rang matrice
Matrice (definicija i osnovne osobine)
Definicija 1: (matrice)
Matrica tipa m  n je šema oblika
=
11
⋮
 1
⋯ 1
⋱
⋮
⋯ 
 ∈ ℝ;  = 1,2, … ;  = 1,2, … ,  .
Matrica A označava se kraće i na ovaj način A = ||aij|| mn
Ako je m = n matrica se naziva kvadratna, u suprotnom matrica se naziva pravougaonom.
Elementi ak1, ak2,…, akn, čine k-tu vrstu matrice A.
Elementi a1l, a2l,…, amlčine l-tu kolonu matrice A.
Niz elemenata a11,a22,…,ann kvadratne matrice n  n nazivamo glavnom dijagonalom te matrice.
Dve matrice su jednake akko su istog tipa i ako su im odgovarajući elementi međusobno jednaki, tj.
A = B  aij = bij (i = 1,2,…,m;j = 1,2,…,n)
1) Zbir matrica A i B istog tipa je matrica C za koju je:
cij = aij + bij (i = 1,2,…,m;j = 1,2,…,n)
2) Proizvod skalara  i matrice A je matrica C za koju je:
cij =  aij (i = 1,2,…,m;j = 1,2,…,n)
3) Proizvod AB matrice A = ||aij||mn i matrice B = ||bij||np je matrica
n
C = ||cij||mp za koju je: c  a b
 ik kj
ij
(i  1,2,..., m; j  1,2,..., p)
k 1
Proizvod matrica definisan je samo ako je broj kolona matrice A jednak broju vrsta matrice B.
Komutativni zakon za množenje matrica u opštem slučaju ne važi, tj. AB  BA.
Množenje matrica je asocijativna operacija, tj. (AB) C = A (BC).
Množenje matrica je distributivna operacija u odnosu na sabiranje matrica, tj. (A + B) C = AC + BC.
4) Transponovana matrica matrice  = 
je matrica ′ =  ′
za koju je:


′
 =  ( = 1,2, … , ;  = 1,2, … , )
Matrica A’ se dobije kada se vrste matrice A uzmu za kolone matrice A’.
Neke specijalne matrice:
1) Matrica O, čiji su svi elementi jednaki nuli, zove se nula matrica.
2) Kvadratna matrica I, čiji su svi elementi van glavne dijagonale jednaki nuli, a elementi glavne dijagonale jednaki 1, zove se
jedinična matrica.
3) Matrica A kod koje je A’ = A, zove se simetrična.
4) Matrica A kod koje je A’ = -A , zove se antisimetrična.
5) Matrica A kod koje je AA’ = I, zove se ortogonalna.
6) Matrice A i B su komutativne ukoliko važi AB = BA.
6
Matematika za ekonomiste
Časlav Pejdić, (064) 123 09 10
Definicija 2: (determinante)
⋯ 1
⋱
⋮ ,
⋯ 
tada broj det  = (−1)( 1 , 2 ,…  ) 1 1 2 2 . . .   (1 , 2 , … ,  ) ∈ !,
gde smo sa n! označili skup svih permutacija niza (1,2,…,n), a sa p(k1,k2,…,kn) parnost permutacije (k1,k2,…,kn) niza (1,2,…,n),
nazivamo determinantom matrice A.
11 12 ⋯ 1
21 22 ⋯ 2
Determinantu matrice A označavaćemo sa detA ili
.
⋮
⋮
⋮
⋱
1 2 ⋯ 
Neposrednom primenom definicije dobijamo formule za izračunavanje determinanata prvog, drugog i trećeg reda:
Neka je A kvadratna matrica
11
⋮
1
det 11 = 11
11
 
21
11
 21
31
12
22
32
12
22 = 11 22 − 12 21
13
23 = 11 22 33 + 12 23 31 + 13 21 32 − 11 23 32 − 12 21 33 − 13 22 31 .
33
Determinante trećeg (i samo trećeg reda) se praktično najčešće računaju po Sarusovom pravilu, koje se može lako zapamtiti u
sledećem obliku:
+
+
+
11 12 13 11 12
determinanti dopišemo prvu i drugu kolonu 21 22 23 21 22 i pravimo proizvode po dijagonalama, ne menjajući
31 32 33 31 32
−
−
−
znak proizvodu sa glavne dijagonale i njemu paralelnim trojkama, a menjajući znak proizvodu sa sporedne dijagonale i njemu
paralelnim trojkama. Na kraju napravimo zbir svih ovih proizvoda što će biti tražena vrednost determinante.
Neke osobine determinanata:
1) Ako su elementi jedne vrste (kolone) proporcionalni elementima druge vrste (kolone), determinanta je jednaka nuli.
2) Zajednički činilac jedne vrste (kolone) može da se izdvoji ispred determinante.
3) Vrednost determinante se neće promeniti ako se elementima jedne vrste (kolone) dodaju odgovarajući elementi druge vrste
(kolone), pomnoženi istim brojem.
4) det (AB) = det (A) det (B)
Definicija 3: (algebarski komplement)
Ako izostavimo i-tu vrstu i j-tu kolonu (i,j = 1,…,n) jedne kvadratne matrice tipa n  n, dobijamo jednu novu matricu tipa (n-1) 
(n-1). Determinantu na ovaj način dobijene matrice označavamo sa Mij i nazivamo minorom elementa aij. Algebarski
komplement elementa aij, u oznaci Aij, biće Aij = (-1)i+j Mij.
Teorema 1: (teorema o razvijanju determinante)
Za svaki i (i=1,2,…,n)
11 12 ⋯ 1
21 22 ⋯ 2
= 1 1 + 2 2 + ⋯ +   = 1 1 + 2 2 + ⋯ +   .
⋮
⋮
⋮
⋱
1 2 ⋯ 
Definicija 4: (regularna matrica)
Za kvadratnu matricu A kažemo da je regularna akko je det A  0, a kada je det A = 0, onda matricu nazivamo singularnom.
Definicija 5: (inverzna matrica)
Kvadratnu matricu X tipa n  n nazivamo inverznom matricom matrice A tipa n  n akko je AX = XA = I. Inverznu matricu
matrice A označavamo sa A-1.
Definicija 6: (adjungovana matrica)
Matrica adj A koja se dobija kada se elementi matrice zamene njihovim algebarskim komplementima, pa se zatim takva matrica
transponuje, zove se adjungovana matrica matrice A.
Teorema 2: (teorema o inverznoj matrici)
Kvadratna matrica A ima inverznu matricu akko je matrica A regularna. Ako je A regularna matrica, onda je −1 =
1

∙  .
7
Definicija 7: (rang matrice)
Neka je data matrica A tipa m  n. Ako postoji regularna podmatrica tipa k  k matrice A i svaka podmatrica tipa i  i, za i > k,
ako takvih ima, je singularna, onda kažemo da je rang matrice A jednak broju k, što označavamo sa rang A = k (ili r(A) = k).
Definicija 8: (elementarne transformacije matrica)
Elementarne transformacije matrica su:
a) Razmena dve vrste (kolone)
b) Množenje elemenata jedne vrste (kolone) nekim brojem koji je različit od nule
c) Dodavanje elementima jedne vrste (kolone) odgovarajućih elemenata druge vrste (kolone) pomnoženih proizvoljnim
brojem.
Definicija 9: (ekvivalentne matrice)
Matrica A je ekvivalentna matrici B, u oznaci A ~ B, ako se od matrice A može preći na matricu B primenom konačno mnogo
elementarnih transformacija.
Definicija 10: (bazisni minor)
Ako je r rang neke matrice A, onda determinantu svake njene regularne podmatrice tipa r  r nazivamo bazisnim minorom
matrice A.
Teorema 3: (teorema o bazisnom minoru)
Ako je r rang neke matrice, onda postoji r linearno nezavisnih vrsta, odnosno kolona te matrice, takvih da se svaka druga vrsta,
odnosno kolona te matrice može izraziti kao njihova linearna kombinacija.
Teorema 4:
Ako je A ~ B, onda je rang A = rang B.
Teorema 5: (Kroneker-Kapelijeva teorema)
Neka je dat sistem S od ukupno m linearnih jednačina sa n nepoznatih.
a11 x1  a12 x 2    a1n x n  b1 
a 21 x1  a 22 x 2    a 2 n x n  b2 
 S


a m1 x1  a m 2 x 2   a mn x n  bm 
 a11 a12  a1n 


 a21 a22  a2 n 
.
Matrica sistema S je matrica A  


 


a

a

a
mn 
 m1 m 2
 a11 a12  a1n

 a21 a22  a2 n
Proširena matrica sistema je matrica Ap  




a
 m1 am 2  amn
b1 

b2 


bm 
1) Sistem S je saglasan i ima jedinstveno rešenje akko r(A) = r(Ap) = n.
2) Sistem S je saglasan i ima beskonačno mnogo rešenja akko r(A) = r(Ap) < n.
3) Sistem S je protivrečan (nema rešenja) akko r(A)  r(Ap)
Ukoliko je slučaj 1) a matrica A je kvadratna rešenje tražimo primenom Kramerovih formula na sledeći način: ako je  = det A i
ako sa i = det Ai označimo determinantu matrice Ai, koja se od matrice A razlikuje po tome što su elementi i-te kolone
zamenjeni elementima b1,b2,…,bn, rešenja nalazimo iz kramerovih formula:
x1 
Definicija 11: (homogen sistem)
Sistem S je homogen ukoliko je b1 = b2 = … = bm = 0
Teorema 6:
Ukoliko je sistem S homogen, tada važi:
1) Sistem S je saglasan i ima jedinstveno rešenje (x,y,z) = (0,0,0) ako je rang A = n.
8
1


, x2  2 ,, xn  n



Matematika za ekonomiste
Časlav Pejdić, (064) 123 09 10
2) Sistem S je saglasan i ima beskonačno mnogo rešenja ako je rang A < n.
19. (oktobar 2012, jun 2010, septembar 2009, jun 2008, oktobar 2006)
1 0
Naći sve matrice koje su komutativne sa matricom  =
.
3 1
20. (februar 2008-usmeni, januar 2007)
Naći sve matrice koje su komutativne sa matricom  =
21. (januar 2009-usmeni, februar 2005)
2
Odrediti inverznu matricu −1 matrice  = 3
0
1
5
1
1
0
2
.
2
2
0 .
−1
22. (januar 2011-usmeni, septembar 2010-usmeni, januar 2005)
1 2 3
Naći inverznu matricu matrice:  = 0 1 2 .
0 0 1
23. (februar 2006, oktobar 2005)
3 −4 5
Odrediti −1 , ako je  = 2 −3 1 .
3 −5 −1
24. (oktobar 2006-usmeni)
1 −2 1
Naći inverznu matricu matrice  = −1 3 −1 .
1
1 −2
25. (februar 2006)
Pokazati da za bilo koje regularne matrice A i B važi: 
−1
= −1 −1 .
26. (januar 2013-usmeni, februar 2011, oktobar 2010, januar 2006)
2
1 0
Rešiti matričnu jednačinu: AX = X + A, gde je  = 0
2 1 .
−1 −1 2
27. (februar 2006, februar 2005)
1
Rešiti matričnu jednačinu: = , ako je  = 0
1
3 0
2 1
0 −1
28
i  = −9
27
40
−7
−11
3 .
22 −15
28. (jun 2011, jun 2010-usmeni, septembar 2008, oktobar 2007, februar 2006-usmeni, oktobar-2 2005)
2 1 −1
−1 0 −1
Rešiti matričnu jednačinu AX=B ako je:  = 3 0 −1 i  = −3 −1 −2 .
0 −2 1
−1 0
1
29. (januar 2011, januar 2010, oktobar-2 2005)
Rešiti matričnu jednačinu XA=B, ako je:  =
4 3
1 1
−1 0
5
2
−1
i =
−1 1
0
.
11 13 18
30. (jun 2013)
1 −3 7
1
0
Rešiti matričnu jednačinu:  = 3′ + 6, pri čemu je:  = 1 9 −2 i  = −1 2
4 1 −5
1 −1
(transponovanu matricu matrice B označavamo sa B’).
31. (oktobar-2 2009-usmeni, septembar 2006, februar 2006, januar 2005)
1 −1
Odrediti rang matrice A u zavisnosti od parametra , ako je:  = 2 −2
−1 1
32. (septembar 2013)
1 
Odrediti rang matrice: 2 −1
1 −8
−2 16
1
0
−1
2
3 .

1 1
− 3 u zavisnosti od parametra .
0 0
0 0
9
33. (januar 2013-usmeni, januar 2012-usmeni, januar 2011, januar 2010, januar 2009-usmeni, februar 2008-usmeni, januar
2006, oktobar 2005)
3 2 1 2
Odrediti broj linearno nezavisnih kolona(vrsta) matrice  = −1 2 2 1 .
4 8 6 6
34. (oktobar-2 2013-usmeni, februar 2013, oktobar 2011-usmeni, februar 2011, oktobar-2 2010-usmeni, januar 2010,
oktobar-2 2009-usmeni, septembar 2008, januar 2005)
Odrediti bar 2 bazisna minora sistema jednačina:
x + 2y – z = 8
-2x – 4y + 2z = -16
-x + 2y – z = -8 .
35. (januar 2009-usmeni)
Koristeći matrični metod rešiti sistem jednačina:
x + 2y – z = 8
-2x – 4y + 2z = -16
-x + 2y – z = -8 .
36. (januar 2007)
Gausovim metodom rešiti sistem jednačina:
x + 2y - z = 8
-2x - 4y + 3z = 6
x + 2y - 2z = 0.
37. (januar 2006, februar 2005)
Diskutovati rešenja sistema linearnih jednačina:
x - y - 2z = 0
3x + 2y - z = 0
4x + y - 3z = 0
2x + 3y + az = 0
38. (januar 2006-usmeni)
Diskutovati rešenja sistema linearnih jedačina:
ax + (a-3)y + z = 0
-x + ay – z = 0
ax – 4y + az = 0
u zavisnosti od realnog parametra a.
39. (oktobar 2007)
Diskutovati rešenja sistema linearnih jednačina:
kx + 5y + 13z = 0
-x + 7y + 5z = 0
2x + 6y +  + 6 z = 2
u zavisnosti od realnog parametra k.
40. (februar 2012, oktobar-2 2008-usmeni, septembar 2007-usmeni, oktobar-2 2006-usmeni, februar 2006-usmeni)
Zavisno od vrednosti realnog parametra a diskutovati i rešiti sistem linearnih algebarskih jednačina:
2x + y
=0
-x + y + 2z = 1
ax + 2ay + 2z = 1.
41. (januar 2011, januar 2010, oktobar 2007, januar 2006, februar 2005)
Diskutovati rešenja sistema linearnih jednačina:
x + 2y - az = 1
ax + 2y – z = 2
x
+ z =3
42. (septembar 2009)
Zavisno od vrednosti realnog parametra a diskutovati i rešiti sistem linearnih algebarskih jednačina:
3x - 2y + 3z = 2
ax + (a-7)y + z = 8
2x + y - z = 3.
43. (septembar 2008-usmeni, jun 2008-usmeni, februar 2006-usmeni, januar 2006-usmeni)
Zavisno od vrednosti realnog parametra a diskutovati i rešiti sistem linearnih algebarskih jednačina:
2x – 2y + 3z = 2
ax + (a-4)y + z = 4
10
Matematika za ekonomiste
Časlav Pejdić, (064) 123 09 10
3x + 2y – z = 1.
44. (februar 2013, februar 2011-usmeni, februar 2008, septembar 2007-usmeni, januar 2006-usmeni)
Zavisno od v rednosti realnog parametra a diskutovati i rešiti sistem linearnih algebarskih jednačina:
2x – 2y + 3z = 2
(a+3)x + (a-3)y + z = 4
3x + 2y – z = 1.
45. (januar 2013, januar 2009)
Zavisno od vrednosti realnog parametra a diskutovati i rešiti sistem linearnih algebarskih jednačina:
2x - y + 3az = 4
3x - 2y + 2az = 3a
7x - 4y + 8az = 11.
46. (januar 2013, januar 2009)
Zavisno od vrednosti realnog parametra a diskutovati i rešiti sistem linearnih algebarskih jednačina:
2ax - y + 3z = 4
3ax - 2y + 2z = 3a
7ax - 4y + 8z = 11.
47. (jun 2006)
Zavisno od vrednosti realnog parametra a diskutovati i rešiti sistem linearnih algebarskih jednačina:
2x - ay + 3z = 4
3x – 2ay + 2z = 3a
7x – 4ay + 8z = 11.
48. (jun 2009, jun 2009-usmeni)
Zavisno od vrednosti realnog parametra a diskutovati i rešiti sistem linearnih algebarskih jednačina:
x-y+ z=7
x+y-z=7
2x + (a-1)y + (a-1)z = 14a.
49. (januar 2014, septembar 2013, septembar 2009, januar 2005)
Zavisno od vrednosti realnog parametra a diskutovati i rešiti sistem linearnih algebarskih jednačina:
ax + y + z = 1
x + ay + z = a
x + y + az = a2 .
50. (januar 2013)
Zavisno od vrednosti realnog parametra a diskutovati i rešiti sistem linearnih algebarskih jednačina:
2x - y + 3z = 1
3x - 2y + 3z = 1
7x - 4y + a2z = a.
51. (oktobar-2 2013 – usmeni, januar 2012-usmeni, oktobar-2 2011-usmeni, januar 2011, oktobar-2 2010-usmeni,
septembar 2006)
Odrediti parametar a tako da sistem ima rešenje:
2x - y + z + u = 1
x + 2y - z + 4u = 2
x + 7y - 4z + 11u = a.
52. (septembar 2012, februar 2012, februar 2008, oktobar 2006)
Rešiti sistem linearnih jednačina:
x + 2y + 3z + 4t
=1
2x + 2y – z +2t
= a-4
3x + ay – 5z
= -5.
53. (jul 2013)
Zavisno od vrednosti realnog parametra a diskutovati i rešiti sistem linearnih jednačina:
3x - 2y + 2z = 4
2x - y - z = 2
x + ay + 3z = -2a
2x - 2y + 6z = 4.
11
54. (januar 2012, oktobar-2 2006, januar 2006)
Ako je abc  0, zavisno od ostalih vrednosti parametara a,b i c diskutovati i rešiti sistem linearnih algebarskih jednačina:
ay + bx = c
cx + az = b
bz + cy = a.
55. (januar 2015)
Zavisno od vrednosti realnih parametara a i b rešiti sistem linearnih jednačina:
x - 2y + 7z + 3u = 0
-2x + (a+2)y - 12z + (a-6)u =3
5x-(a+8)y +(b+33)z +(16-a)u =2.
12
Matematika za ekonomiste
Časlav Pejdić, (064) 123 09 10
3. DEO
NIZOVI I REDOVI
U trećem delu upoznaćete se sa nizovima i redovima.
Najpre su dati zadaci vezani za nizove, a zatim zadaci u kojima se ispituje konvergencija redova i to grupisani po kriterijumima
tako da najpre dolaze zadaci u kojima se primenjuje Opšti Košijev kriterijum konvergencije, zatim kriterijum za redove sa
pozitivnim članovima, pa Košijev kriterijum konvergencije i na kraju Dalamberov kriterijum konvergencije
Teorijska pitanja na usmenom:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Konvergencija redova sa pozitivnim članovima
Granična vrednost niza
Lema o dva policajca u teoriji nizova i u teoriji realnih funkcija jednog argumenta
Opšti Košijev kriterijum konvergencije redova
Košijev i Dalamberov kriterijum konvergencije redova
Osobine nizova (monotonost, ograničenost, Bolcano-Vajerštrasova teorema)
Uređeno polje realnih brojeva
Aritmetičke osobine konvergentnih nizova
Definicija 1: (monotonost niza)
Niz  je monotono rastući ako važi: ∀ ∈  +1 −  > 0, a monotono opadajući ako važi: ∀ ∈  +1 −  < 0.
Definicija 2: (ograničenost niza)
Niz  je ograničen ako važi: ∀ ∈  ∃ ∈   ≤ .
Teorema 1: (konvergencija niza)
Ograničen i monoton niz je konvergentan.
Teorema 2:
Ukoliko je niz konvergentan ima tačno jednu tačku nagomilavanja.
Definicija 3: (definicija reda)
Neka je dat beskonačan niz {un} realnih brojeva, tada se izraz

u1  u2    un     un ,
n 1
naziva beskonačnim brojnim redom, gde su u1,u2,u3,… članovi toga reda, a unnjegov opšti član. Svi članovi reda mogu se dobiti
iz njegovog opšteg člana un tako što indeksu n dajemo redom vrednosti 1,2,… Indeks n ne mora teći od n = 1 već od bilo kog
broja n = n0.
Definicija 4: (konvergentni redovi)
Ako od članova reda u1 + u2 + u3 + … formiramo niz s1,s2,s3,…gde je
s1 = u1
s2 = u1 + u2
...
sn = u1 + u2 + … + un
…

tada se niz {sn} naziva nizom delimičnih suma reda
u
n 1

n
. Za brojni red
delimičnih suma {sn} teži konačnoj graničnoj vrednosti S, tj. ako postoji
Ako pak ne postoji
lim s n
n 
u
n 1
n
kaže se da je konvergentan, ako njegov niz
lim s n  S
n
i S se naziva zbirom (sumom) tog reda.
tada se kaže da red divergira.
13

Ako niz delimičnih suma {sn} reda
u
n 1
n
, monotono raste i ako je ograničen tada red konvergira.

Da bi red
u
n 1
konvergirao potrebno je da opšti član un  0, kada
n
n . Međutim, ovo nije i dovoljan uslov.

Ako opšti član reda
u
n 1
n
ne teži nuli kada n , tada red divergira.
Teorema 3: (opšti Košijev kriterijum konvergencije)

Da bi red
u
n 1
n
bio konvergentan potrebno je i dovoljno da svakom
> 0 (te prema tome i proizvoljno malom > 0 ) odgovara ceo pozitivan broj N(), takav da je |sn+p-sn| = |un+1 + un+2 + … + un+p|
< za svako n > N() i svaki prirodan broj p.
Teorema 4: (redovi sa pozitivnim članovima)
Redovi sa pozitivnim članovima su redovi čiji su svi članovi pozitivni, tj. un> 0, za svako n.
1) Red sa pozitivnim članovima biće konvergentan, ako je njegov niz delimičnih suma {sn} ograničen za svako n, odnosno ako je
sn M za svako n (M je pozitivan konačan broj).

2) Ako članovi redova

u i  v
n 1
n
n 1

a) konvergencije reda
n
počev od izvesnog ranga n zadovoljavaju uslov, un vn. Tada iz:
 vn sledi konvergencija reda
n 1

b) divregencije rede
n 1


3) Ako članovi reda
u
u i  v
n 1
n
n 1
n

u
n 1
n
.

n
sledi divergencija reda
v
n 1
zadovoLJavaju relaciju:
lim
n 
n
.
un
 k (k  0, k  ) , tada su oba reda konvergentna
vn
ili oba reda divergentna.
Teorema 5: (Košijev kriterijum konvergencije)

Ako je dat red sa pozitivnim članovima
u
n 1
n
i ako za n  postoji
lim n u n  k ,
n 
tada za k < 1 dati red je konvergentan, a
za k > 1 je divergentan. Za k = 1 pitanje konvergencije pomoću ovog kriterijuma se ne može utvrditi.
Teorema 6: (Dalamberov kriterijum konvergencije)

Ako je dat red sa pozitivnim članovima
u
n 1
n
i ako za n  postoji
u n 1
 k , tada za k < 1 dati red je konvergentan, a
n  u
n
lim
za k > 1 je divergentan. Za k = 1 pitanje konvergencije pomoću ovog kriterijuma se ne može utvrditi.
56. (septembar 2008-usmeni)
Odrediti
1

inf  n  N  .
n

57. (januar 2013-usmeni)
Izračunati:
lim n
n


n 1  n .
58. (januar 2007-usmeni)
1
1
1 1
 2  3  n  .
n 2
2
2
2 

Izračunati: lim 
14
Matematika za ekonomiste
Časlav Pejdić, (064) 123 09 10
59. (januar 2013-usmeni, januar 2012-usmeni)
Izračunati:
 n 1 
lim 

n n  2


2 n 1
.
60. (oktobar-2 2013-usmeni, decembar 2011-apsolventski, januar 2011, januar 2011-usmeni, septembar 2010, januar 2010,
januar 2009, februar 2008-usmeni, septembar 2007, jun 2006, februar 2006-usmeni, oktobar-2 2005-usmeni)
Koristeći Lemu o 2 policajca ispitati konvergenciju niza:
an 
n
n
n
.
 2
 ...  2
n 1 n  2
n n
2
(Tekst može da glasi i “Odrediti graničnu vrednost niza”, što mu dođe na isto)
61. (oktobar-2 2013, januar 2011, oktobar-2 2010, septembar 2010, jun 2009-usmeni, januar 2009, oktobar-2 2008, oktobar
2008, jun 2008, februar 2006, oktobar-2 2005, februar 2005)
Koristeći Bolcano-Vajerštrasovu teoremu dokazati da niz {en}, definisan sa
e1  2,
en1  en 
1
(n  N )
(n  1)!
ima tačno jednu tačku nagomilavanja.
62. (septembar 2011, septembar 2010)
Dokazati da niz {gn}, definisan sa
g1  1,
g n1  g n 
1
(n  N )
2n
ima tačno jednu tačku nagomilavanja.
63. (jun 2010-usmeni, septembar 2009, januar 2009-usmeni, oktobar-2 2008-usmeni, oktobar 2008, jun 2008, februar 2008usmeni, oktobar-2 2006-usmeni, jun 2006-usmeni, januar 2005)
Ispitati konvergenciju harmonijskog i hiperharmonijskog reda.
64. (februar 2013, januar 2012, oktobar-2 2011, januar 2010, januar 2006)
Ispitati konvergenciju redova:

a)
1

2
n 1 n

b)
1
n
n 1
3
65. (jun 2010)
Ispitati konvergenciju redova:

a)
1

n 1 n

b)

n 1
1
n
66. (oktobar 2006-usmeni)

Ispitati konvergenciju reda:
n
n 1
2
n
1
.
67. (oktobar 2006, februar 2005)

Ispitati konvergenciju reda:
 n  1
.
n 
 ln
n 1
68. (januar 2013-usmeni, septembar 2009-usmeni, septembar 2008-usmeni, januar 2006-usmeni)

Ispitati konvergenciju reda:
7 n n!
.

n
n 1 n
69. (februar 2012, jun 2010)

Ispitati konvergenciju reda:
2 n n!
.

n
n 1 n
70. (jul 2011)
Ispitati konvergenciju reda:  =
1
1∙2
+
2
2∙4
+
6
3∙8
+
24
4∙16
+
120
5∙32
+⋯
15
4. DEO
NEPREKIDNOST I
DIFERENCIJABILNOST FUNKCIJE
U četvrtom delu upoznaćete se sa zadacima u kojima se ispituje neprekidnost i diferencijabilnost funkcije.
Ispitni zadaci su grupisani po težini od lakših ka težim.
Teorijska pitanja na usmenom:
1.
2.
3.
4.
Neprekidnost i diferencijabilnost realne funkcije jednog argumenta
Osnovna tvrđenja o graničnoj vrednosti realne funkcije jednog argumenta
Diferencijabilnost realne funkcije jednog argumenta
Neprekidne funkcije (definicija i osnovne osobine)
Definicija 1: (neprekidnost funkcije)
Za funkciju y = f(x) kaže se da je neprekidna u tački x0 ako je ispunjen uslov:
lim f ( x)  f ( x0 ) .
x  x0
Iz ove definicije sledi:
a) da funkcija y = f(x) postoji u tački x = x0, tj. da je ta funkcija definisana u tački x = x0,
b) da postoji granična vrednost funkcije y = f(x), kada x  x0, tj postoji lim f ( x).
x x 0
c) da je ta granična vrednost jednaka vrednosti funkcije u tački
x = x0, tj. da je lim f ( x)  f ( x0 ) .
x  x0
Ovoj definiciji ekvivalentni su iskazi:
1’) Za proizvoLJan broj > 0 postoji broj > 0, takav da važi implikacija: ( x) (|x – x0| < |f(x) – f(x0)| <), ili
1’’) Važi implikacija: h  0  y0 = f(x0 + h) – f(x0)  0, tj. priraštaj funkcije y = f(x) u tački x0, teži nuli
( y0  0) kada priraštaj argumenta teži nuli (h  0).
Za funkciju y = f(x) kaže se da je u tački x = x0 neprekidna sa leva ako je
lim f ( x)  f ( x 0 ), a neprekidna sa desna, ako je
x  x0
lim f ( x)  f ( x0 ).
x  x0
Potreban i dovoljan uslov da funkcija y = f(x) u tački x = x0 bude neprekidna je da je u toj tački neprekidna sa leva i desna.
Za funkciju y = f(x) kaže se da je neprekidna u intervalu (a,b) ako je neprekidna u svakoj tački tog intervala.
Za funkciju y = f(x) kaže se da je neprekidna na segmentu [a,b] ako je neprekidna u intervalu (a,b) a na krajevima intervala u
tački a neprekidna je sa desna, a u tački b sa leva.
Definicija 2: (definicija izvoda. Diferencijabilnost)
Neka je funkcija f definisana u nekoj okolini tačke x i h realan broj različit od nule takav da je x + h tačka posmatrane okoline od
x. Tada granična vrednost
lim
h 0
ako ista postoji, označavamo sa f’(x) ili
f ( x  h)  f ( x )
,
(1)
h
df ( x)
i nazivamo (prvim) izvodom funkcije f u tački x. Ako je f’(x) konačna vrednost,
dx
onda kažemo i da je funkcija f diferencijabilna u tački x. Potreban i dovoLJan uslov da granična vrednost (1) postoji je da
postoje sledeće dve granične vrednosti
lim
h 0
f ( x  h)  f ( x )
h
i
lim
h 0
f ( x  h)  f ( x )
,
h
koje redom označavamo sa f’+(x) i f’-(x) i nazivamo desnim i levim izvodom funkcije f u tački x i da je f’+(x) = f’-(x).
Funkcija je diferencijabilna na nekom skupu ako je diferencijabilna u svakoj tački tog skupa. Postupak kojim funkciji
pridružujemo njen izvod nazivamo diferenciranjem.
71. (januar 2013-usmeni)
Ispitati neprekidnost i diferencijabilnost funkcije:
16
Matematika za ekonomiste
  =
Časlav Pejdić, (064) 123 09 10
 − 3 2 , u tački x = 3.
72. (oktobar-2 2008-usmeni, jun 2008-usmeni, oktobar-2 2006-usmeni, januar 2006-usmeni)
Ispitati neprekidnost i diferencijabilnost funkcije:
  =  − 7 2 , u tački x = 7.
73. (januar 2009, jun 2008-usmeni, februar 2006-usmeni, januar 2006)
Ispitati neprekidnost i diferencijabilnost funkcije:
f(x) = sin(x), u tački x = .
74. (januar 2013, septembar 2012, februar 2012, februar 2011, oktobar 2009, februar 2008)
Ispitati neprekidnost i diferencijabilnost funkije:
f(x) = sin(x), u tačkama  = ,  ∈ ℤ.
75. (februar 2011-usmeni)
Ispitati diferencijabilnost sledeće funkcije:  =
2,
2 −   ,
 ≤1
.
 >1
76. (oktobar 2006-usmeni, januar 2005)
sin ⁡
(3)
Ispitati neprekidnost funkcije:   =
2
2
3
,
,
≠0
=0
77. (oktobar 2008, oktobar 2005, januar 2005)
1
2 2 ,

Ispitati diferencijabilnost funkcije:  =
,
.
≠0
, u tački  = 0.
=0
17
5. DEO
LIMESI I IZVODI
U petom delu upoznaćete se sa limesima i izvodima.
Limesi i izvodi nalaze primenu u većini oblasti ove zbirke kao što su: Redovi, Neprekidnost i Diferencijabilnost, Osnovne
teoreme diferencijalnog računa, Grafik funkcije, Ekstremne vrednosti i Nesvojstveni integrali.
Najpre su dati ispitni zadaci iz limesa, a zatim ispitni zadaci iz izvoda.
Teorijska pitanja na usmenom:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Diferencijal realne funkcije jednog argumenta (definicija i osnovne osobine)
Broj e
Lopitalova teorema
Geometrijska interpretacija prvog izvoda
Tejlorova i Maklorenova formula za realne funkcije jednog argumenta
Osnovna tvrđenja o graničnoj vrednosti realne funkcije jednog argumenta
Granična vrednost funkcije (definicija i osnovne osobine)
Definicija 1: (definicija granične vrednosti funkcije)
Neka je data funkcija y = f(x) i neka je a tačka nagomilavanja njene oblasti definisanosti D. Za broj A kaže se da je granična
vrednost funkcije y=f(x) u tački x = a, ako za proizvoljan broj > 0 postoji
> 0, takav da je |f(x) – A| < kad god je |x – a| <. Ovo se simbolički piše
lim f ( x)  A .
x a
Za broj A kaže se da je granična vrednost funkcije y = f(x) definisane na neograničenom intervalu, kada |x| , ako za
proizvoljan broj > 0 postoji broj M > 0, takav da je |f(x) – A| < za svako |x| > M, što pišemo lim f ( x)  A .
x 
Ako funkcije f(x) i g(x) imaju granične vrednosti kada x  a (a može biti i ) tada za granične vrednosti važe sledeći zakoni:
1) lim ( f ( x)  g ( x))  lim f ( x)  lim g ( x)
x a
x a
x a
2) lim ( f ( x) g ( x))  lim f ( x) lim g ( x)
x a
3) lim
x a
x a
x a
f ( x)
f ( x) lim
 x a
(lim g ( x)  0)
g ( x) lim g ( x) x a
x a
Teorema 1: (neki specijalni limesi)
U zadacima se mogu koristiti sledeći poznati rezultati:
sin x
1
a x 1
 1, lim (1  ) x  e, lim (1  x) x  e, lim
 ln a.
x 0
x 
x 0
x 0
x
x
x
1
lim
Definicija 2: (beskonačno male i beskonačno velike veličine)
Za funkciju y = f(x) kaže se da je beskonačno mala u tački x = a
(a može biti i ), ako je
lim f ( x)  0,
x a
a beskonačno velika ako je
Neka su (x) i (x) kada x  a (x ) beskonačno male i neka je
lim
1) za k  0 i k (x) i (x) beskonačno male istog reda,
2) za k = 0 (x) je beskonačno mala višeg reda,
3) za k = (x) je beskonačno mala višeg reda.
Neka su (x) i (x) kada x  a (x ) beskonačno velike i neka je
1) za k  0 i k (x) i (x) beskonačno velike istog reda,
2) za k = 0 (x) je beskonačno velika višeg reda,
3) za k = (x) je beskonačno velika višeg reda.
18
lim f ( x)   .
xa
x a
 ( x)
 k . Tada su:
 ( x)
 ( x)
 k . Tada su:
x  a  ( x)
lim
Matematika za ekonomiste
Časlav Pejdić, (064) 123 09 10
Definicija 3: (priraštaj funkcije)
Neka je funkcija y = f(x) definisana u intervalu (a,b) i neka su x0 i x1 dve tačke tog intervala. Priraštaj funkcije y = f(x) u tački
(x0,f(x0)) označava se sa  y0 i jednak je:  y0 = f(x1) – f(x0), ili
 y0 = f(x0 +  x0) – f(x0), gde je  x0 = x1 – x0 priraštaj argumenta u tački x0. Umesto oznake  x0 u upotrebi je često i oznaka h,
pa je priraštaj:  y0 = f(x0 + h) – f(x0). Ako tačka x0 nije fiksirana, onda
 y = f(x + h) – f(x) predstavlja priraštaj funkcije u proizvoljnoj tački.
Tablica izvoda elementarnih funkcija
(const )'  0
( x n )'  nx n 1
(a x )'  a x ln a
(e x )'  e x
1
x
(ln x)' 
1
( x )' 
2 x
(sin x)'  cos x
(cos x)'   sin x
1
(tgx )' 
cos 2 x
1
(ctgx )'   2
sin x
1
(arcsin x)' 
1 x2
1
(arccos x)'  
1 x2
1
(arctgx )' 
1 x2
1
(arcctgx )'  
1 x2
Neka su u i v funkcije a a,b i c konstante. Tada važi:
1) (cu)'  cu'
2) (u  v)'  u'  v'
3) (au  bv)'  au'  bv'
4) (uv)'  u'v  v'u
 u  u'v  v'u
5)   
v2
v
'
Definicija 4: (izvod složene funkcije)
Ako funkcija g ima izvod u tački x i funkcija f u tački g(x), onda funkcija h = g  f tako|e ima izvod u tački x i
h’(x) = (f  g)’(x) = f’(g(x))g’(x)
Definicija 5: (izvod funkcije zadate parametarski)
Ako su y i x zadati u funkciji parametra t relacijama
y = (t) i x = (t), tada je ′ =




=
 ′ ()
 ′ ()
.
Definicija 6: (izvod inverzne funkcije)
Ako funkcija f ima inverznu funkciju g i u tački x konačan i različit od nule izvod, onda funkcija g ima izvod u tački y = f(x) i
1
′  = ′
.
 (  )
19
Definicija 7: (izvod funkcije date u implicitnom obliku)
Ako je funkcija data u implicitnom obliku formulom F(x,y) = 0 i ako F’ y(x,y)  0, onda je ′ = −
′ (, )
′ (,)
.
Definicija 8: (diferencijal funkcije)
Ako je priraštaj  y funkcije y = f(x) za priraštaj argumenta  x moguće izraziti kao  y = (x)x + (x)x gde (x)  0, x 
0, onda diferencijalom te funkcije nazivamo izraz dy = (x)dx. Potreban i dovoLJan uslov za postojanje diferencijala je
diferencijabilnost funkcije. U tom slučaju je dy = f’(x)dx. Tako, u slučaju kada je f diferencijabilna funkcija u tački x, možemo
koristiti i sledeću aproksimativnu formulu:
f(x + x) – f(x)  f’(x) x tj. f(x + x)  f(x) + f’(x) x.
Definicija 9: (geometrijska interpretacija izvoda)
Ako je funkcija f diferencijabilna u tački x0, onda će koeficijent pravca tangente t krive y = f(x) u tački M(x0,f(x0)) (vidi sliku)
biti tg  = f’(x0), a jednačina same tangente glasi y – y0 = f’(x0) (x – x0), gde je y0 = f(x0). Jednačina normale n te krive u tački
M(x0,f(x0)) jex – x0 = -f’(x0) (y – y0).
Definicija 10: (izvodi i diferencijali višeg reda. Lajbnicova formula)
Sledeće rekurentne veze definišu izvode i diferencijale višeg reda:
y(0) = y
d 0y = y
y(n+1) = (y(n))’ (n  0)
dn+1y = d(dny) (n  0)
Za funkciju f kažemo da je n-puta diferencijabilna (u tački x) ako postoji konačan k-ti izvod f(k)(x) za svaki k, 0  k  n. Ako su u i
v
n-puta diferencijabilne funkcije i a,b i c konstante. Onda važi:
1) (cu ) ( n )  cu ( n )
2) (u  v) ( n )  u ( n )  v ( n )
3) (au  bv) ( n )  au ( n )  bv ( n )
n
 n
4) (uv) ( n )     u ( n i ) v (i ) .
i 0  i 
Poslednja od navedenih formula je tzv. Lajbnicova formula.
Teorema 2: (Tejlorova i Maklorenova teorema)
Neka je funkcija f n-puta diferencijabilna na segmentu [a,b] i f(n) diferencijabilna na intervalu (a,b). Tada
n
(x  [a, b]) (  (0,1)) ( f ( x)  
i 0
Rn 1 ( x, ) 
f ( i ) (a)
( x  a) i  Rn 1 ( x, )),
i!
gde je
( x  a)n 1 ( n 1)
f
(a   ( x  a)).
(n  1)!
Izraz Rn+1(x,) je tzv. ostatak u razvoju funkcije f po Tejlorovoj formuli i oblik u kome je dat potiče od Lagranža.
Ako je Pm(x) polinom m-tog stepena, onda odgovarajuća Tejlorova formula ima oblik:
20
Matematika za ekonomiste
Pm ( x)  Pm (a) 

Časlav Pejdić, (064) 123 09 10
Pm ' (a)
P ' ' (a)
( x  a)  m
( x  a) 2  
1!
2!
Pm( m ) (a)
( x  a) m ,
m!
jer je
Pm( k ) ( x)  0
za
k  m.
n
Pod uslovima navedene teoreme, za a = 0, dobijamo Maklorenovu formulu:
f ( x)  
i 0
f (i ) (0) i f ( n 1) ( x) n 1
x 
x , za
i!
(n  1)!
neki  (0.1).
Teorema 3: (Lopitalova teorema)
Neka su f i g funkcije takve da:
1) f i g su diferencijabilne u nekoj okolini tačke a osim eventualno, u samoj tački a
2) lim f ( x)  lim g ( x)  0
x a
x a
lim f ( x)  lim g ( x)  
ili
x a
x a
f ( x)
3) postoji lim
x a g ( x )
4) g’(x)  0 u posmatranoj okolini tačke a za x a.
Tada postoji
lim
xa
f ' ( x)
f ( x)
f ' ( x)
 lim
i lim
.
g ' ( x) x  a g ( x) x  a g ' ( x)
Dakle, Lopitalova teorema nam pruža mogućnost da, pod datim uslovima, izračunavanje granične vrednosti neodređenih
izraza oblika
78.
0 
i
0 
zamenimo izračunavanjem granične vrednosti nekog izraza drugog oblika.
(januar 2010-usmeni)
Dokazati da je:
lim
x 0
sin 3x 3
 .
2x
2
* Ovaj zadatak dolazi na usmenom i iako u tekstu nigde ne kažu, treba ga rešiti pomoću Leme o 2 policajca
79. (januar 2013-usmeni, januar 2012-usmeni, oktobar 2010-usmeni)
lim 1  x  x .
1
Izračunati sledeću graničnu vrednost:
x0
80. (januar 2013-usmeni, januar 2012-usmeni, oktobar-2 2008-usmeni, oktobar 2008-usmeni, februar 2008-usmeni)
1
Izračunati

x
lim   arctgx  .
x  2


81. (februar 2011-usmeni)
Data je funkcija   =  2
−1

, za  > 1. Naći  ′  .
82. (februar 2005)
1
Ako je  = i  =  2 − 3 + 2, izračunati  ′

1
2
.
83. (oktobar-2 2013 – usmeni, oktobar-2 2010-usmeni, jun 2006, februar 2006, februar 2005, januar 2005)
Koristeći formulu za približno izražavanje diferencijala funkcije preko njegovog priraštaja, izračunati približnu vrednost
za 28° .
84. (januar 2012, oktobar 2010, septembar 2010)
Koristeći formulu za približno izražavanje diferencijala funkcije preko njegovog priraštaja, izračunati približnu vrednost
za 29° .
85. (oktobar 2006-usmeni, februar 2006)
Odrediti jednačine tangente i normale krive:
 =   2 + 1 + 2 + 1,  =  3 + 3 + 2
za vrednost parametra  = 0 .
21
86. (januar 2007-usmeni)
Odrediti jednačine tangente i normale krive  =  3 + 2 2 − 1 u njenoj presečnoj tački sa parabolom  = 2 2 .
87. (oktobar-2 2011-usmeni, septembar 2009-usmeni)
1
Odrediti jednačine tangente krive linije  = 2 u njenim presečnim tačkama sa hiperbolom  =
 +1
1
+1
.
88. (februar 2013, januar 2012, januar 2010, februar 2008, oktobar 2006)
1+
2
Proveriti aproksimativnu formulu: 
≈ 2 +  3 .
1−
3
89. (februar 2012, januar 2010, septembar 2009, septembar 2008, februar 2008-usmeni)
Koristeći Tejlorovu formulu razviti polinom   =  4 −  3 +  2 − 1 po stepenima binoma  − 2 .
90. (jun 2009-usmeni, januar 2009-usmeni, septembar 2008-usmeni, februar 2008-usmeni, septembar 2007)
Koristeći Tejlorovu formulu razložiti polinom   = 2 4 − 5 3 − 3 2 + 8 + 4 po stepenima binoma  − 2 .
91. (januar 2011-usmeni, oktobar 2006, januar 2005)
Funkciju  = 2 aproksimirati Maklorenovim polinomom trećeg stepena.
92. (februar 2006-usmeni)
Aproksimirati funkciju   = 1 +  polinomom četvrtog stepena u okolini tačke  = 0 .
93. (januar 2015)
Aproksimirati funkciju   =  3  Maklorenovim polinomom četvrtog stepena.
94. (oktobar-2 2013)
Aproksimirati funkciju   = cos⁡
() Maklorenovim polinomom stepena 4, a zatim izračunati:
24  2 x 3  5 x 4  24 g ( x)
x0
7 x 2  2x3
lim
.
95. (oktobar-2 2013)
Aproksimirati funkciju   = ln⁡
(cosx + x) Maklorenovim polinomom stepena 4, a zatim izračunati:
4 g ( x)  2 x 2  x 3
x0
3x 3  5 x 4
lim
22
.
Matematika za ekonomiste
Časlav Pejdić, (064) 123 09 10
6. DEO
OSNOVNE TEOREME
DIFERENCIJALNOG RAČUNA
U šestom delu upoznaćete se sa osnovnim teoremama diferencijalnog računa.
Zadaci su grupisani po teoremama, tako da najpre dolaze zadaci iz Rolove teoreme, pa iz Lagranžove teoreme i BolcanoKošijeveteoreme.
Teorijska pitanja na usmenom:
1.
2.
3.
Rolova teorema
Osnovne teoreme diferencijalnog računa (Fermaova, Rolova, Lagranžova i Košijeva)
Neprekidnost realne funkcije jednog argumenta na zatvorenom intervalu: Bolcano-Košijeve i Vajerštrasove teoreme
Teorema 1: (Rolova teorema)
Ako je funkcija f neprekidna na segmentu [a,b] i diferencijabilna na intervalu (a,b) i f(a) = f(b), onda:
( (a,b)) f’() = 0.
Teorema 2: (Lagranžova teorema)
Ako je funkcija f neprekidna na segmentu [a,b] i diferencijabilna na intervalu (a,b), onda:
( (a,b)) f(b) – f(a) = f’() (b – a).
Teorema 3: (Košijeva teorema)
Ako su funkcije f i g neprekidne na segmentu [a,b] i diferencijabilne na intervalu (a,b) i
(x  (a,b)) g’(x)  0, onda: ∃ ∈ , 
  −( )
  −()
=
′ 
′ 
.
Teorema 4: (Bolcano-Košijeva teorema)
Ako je funkcija f neprekidna na segmentu [a,b] i ako je f(a)∙f(b)<0 onda: ∃ ∈ ,    = 0.
96. (oktobar-2 2013-usmeni)
Pokazati da jednačina  5 + 3 − 11 = 0 ima jedno i samo jedno realno rešenje.
97. (februar 2008-usmeni)
Pokazati da jednačina  5 + 10 − 12 = 0 ima jedno i samo jedno realno rešenje.
98. (januar 2011-usmeni, septembar 2008-usmeni, jun 2006, jun 2006-usmeni)
Pokazati da ako je b>3, onda jednačina  3 + 3 2 +  + 8 = 0 ima samo jedan i to jednostruki realan koren.
99. (januar 2013, oktobar-2 2010-usmeni, oktobar-2 2009, januar 2009, oktobar-2 2008, oktobar 2008, septembar 2007)
Odrediti broj realnih korena jednačine  ′  = 0 i interval u kojem se ti koreni nalaze,
ukoliko je   =   − 1  − 3  + 1  + 4 .
100. (januar 2011)
Odrediti broj realnih korena jednačine  ′  = 0 i interval u kojem se ti koreni nalaze,
ukoliko je   =   − 1  − 3  + 1  + 4  + 7 .
101.(februar 2014, oktobar 2012, februar 2012, oktobar 2010, januar 2007)
Da li funkcija   =  − 1 zadovoljava uslove Lagranžove teoreme na intervalu 2,6 ?
Ukoliko zadovoljava, naći odgovarajuću vrednost za  .
102. (jun 2008)
Dokazati da za svaki x  1 važi: 2 + 
2
 2 +1
=.
23
103. (oktobar-2 2013 – usmeni, januar 2013, oktobar-2 2011-usmeni, oktobar 2011, jun 2010, januar 2006)
Koristeći Lagranžovu teoremu dokazati nejednačinu:  −  ≤  −  .
104. (septembar 2012, septembar 2011, januar 2009, oktobar 2008)
Koristeći Lagranžovu teoremu dokazati da za svaki  ∈ [0, ∞) važi sledeća nejednakost:   + 1 ≤  .
105. (oktobar 2012, jul 2011, januar 2010)
 
Koristeći Lagranžovu teoremu dokazati da za svaki  ∈ − ,
važi sledeća nejednakost:  ≤  ≤  .
2 2
106. (januar 2012, jun 2008)
 
Koristeći nejednakost  ≤  ≤  , koja važi za svaki  ∈ − , , i Lemu o 2 policajca, a bez primene Lopitalove
2 2
sin x
teoreme dokazati da važi: lim
1.
x 0
x
107. (oktobar-2 2013, januar 2011, oktobar-2 2010, jun 2010, oktobar-2 2009, januar 2009, jun 2008, februar 2008-usmeni,
septembar 2007, januar 2006, oktobar-2 2005, februar 2005)
Koristeći Prvu Bolcano-Košijevu teoremu dokazati da jednačina
 − 3 = 0
ima bar jedno rešenje na intervalu 1,  .
24
Matematika za ekonomiste
Časlav Pejdić, (064) 123 09 10
7. DEO
GRAFIK FUNKCIJE
U sedmom delu dati su zadaci u kojima je potrebno nacrtati grafik funkcije. Ova oblast je i svojevrstan test vašeg poznavanja
izvoda i limesa, bez kojih nijedan od sledećih zadataka neće moći da se uradi.
Funkcije su grupisane po tipovima, tako da najpre dolaze funkcije sa polinomima, pa sa razlomcima, korenima, eksponencijalne
i logaritamske funkcije.
Teorijska pitanja na usmenom:
1.
2.
3.
Konveksnost realne funkcije jednog argumenta (definicija i osnovne osobine)
Asimptote realne funkcije jednog argumenta
Monotonost realne funkcije jednog argumenta (definicija i osnovne osobine)
Definicija 1: (rašćenje i opadanje funkcije)
Ako je funkcija y = f(x) neprekidna na segmentu [a,b] i diferencijabilna u intervalu (a,b) tada važi sledeće:
1) Ako je f’(x) > 0 za svako x  (a,b) funkcija je rastuća na [a,b].
2) Ako je f’(x) < 0 za svako x  (a,b) funkcija je opadajuća na [a,b].
3) Ako je f’(x) = 0 za svako x  (a,b) funkcija je konstantna na [a,b].
Definicija 2: (ekstremne vrednosti funkcije)
Neka je funkcija y = f(x) diferencijabilna u okolini tačke x = x0i neka je f’(x0) = 0.
a) Funkcija u tački x = x0 ima lokalni maksimum ako je
∀ ∈ 0 − , 0  ′  > 0 i ∀ ∈ 0 , 0 + ,  ′  > 0
Maksimum je ymax = f(x0).
b) Funkcija u tački x = x0 ima lokalni minimum ako je
∀ ∈ 0 − , 0  ′  < 0 i ∀ ∈ 0 , 0 + ,  ′  > 0
Minimum je ymin = f(x0).
Definicija 3: (konveksnost i konkavnost funkcije. Prevojne tačke funkcije)
1)
Neka je funkcija y = f(x) neprekidna koja ima neprekidan izvod na [a,b] i neka postoji f’’(x) za svako
x  (a,b). Tada:
a) Ako je f “(x) > 0 za svako x  (a,b) grafik funkcije je konkavan.
b) Ako je f “(x) < 0 za svako x  (a,b) grafik funkcije je konveksan.
2)
Neka je f “(x) neprekidna funkcija u okolini tačke x = x0. Da bi neka tačka N(x0,f(x0)) bila tačka prevoja funkcije potrebno je
da f “(x0) = 0. Ako pri tom f “(x) ima jedan znak u intervalu (x0 - ,x0), a drugi u intervalu (x0,x0 + ) tada je to i dovoljan
uslov za prevoj grafika funkcije.
Definicija 4: (asimptote)
Za pravu y = b kaže se da je horizontalna asimptota krive y = f(x) ako je
Za pravu x = a kaže se da je vertikalna asimptota krive y = f(x) ako je
lim f ( x)  b .
x 
lim f ( x)   .
x a
Prava y = kx + n je kosa asimptota funkcije ako postoje sledeće granične vrednosti:
k  lim
x 
f ( x)
, n  lim ( f ( x)  kx) .
x 
x
108. (januar 2009, septembar 2008)
Ispitati tok i skicirati grafik funkcije:   =  − 2
2
+3
3
.
109. (februar 2013, januar 2010, septembar 2008)
4
Ispitati tok i skicirati grafik funkcije:   =
2 .
4+
25
110. (januar 2013, septembar 2009, jun 2008)
Ispitati tok i skicirati grafik funkcije:   =
111. (januar 2013)
Ispitati tok i skicirati grafik funkcije:   =
 2 +2+5
+1
.
 2 +19+34
+1
.
112. (januar 2013, jun 2010, oktobar 2009, februar 2008)
Ispitati tok i skicirati grafik funkcije:   =
113. (januar 2013)
Ispitati tok i skicirati grafik funkcije:   =
114. (februar 2008)
Ispitati tok i skicirati grafik funkcije:   =
115. (oktobar-2 2009)
Ispitati tok i skicirati grafik funkcije:   =
116. (januar 2007)
Ispitati tok i skicirati grafik funkcije:   =
117. (oktobar-2 2009)
Ispitati tok i skicirati grafik funkcije:   =
118. (januar 2005)
Ispitati tok i skicirati grafik funkcije:   =
119. (januar 2005)
Ispitati tok i skicirati grafik funkcije:   =
120. (februar 2011)
Ispitati tok i skicirati grafik funkcije:   =
 2 +7+10
+1
 2 +4+4
+1
+1
 2 +2+1
+2
 2 +4+5
+2
−1
 2 +4+4
−1
3
−1
124. (januar 2012)
Ispitati tok i skicirati grafik funkcije:   =
.
.
.
.
−1
.
−2 2 ++4
−2
123. (januar 2011)
Ispitati tok i skicirati grafik funkcije:   =
.
−1
 2 +8+7
.
.
 2 +13+22
 2 +1
Ispitati tok i skicirati grafik funkcije:   =
.
 2 +12+20
121. (februar 2013, septembar 2008)

Ispitati tok i skicirati grafik funkcije:   =
122. (septembar 2013, februar 2012)
.
−2
2
2
 2 −4−5
3
4(2−)2
.
.
.
125. (septembar 2011, septembar 2010, jun 2010-usmeni, januar 2010)
Ispitati tok i skicirati grafik funkcije:   =
126. (oktobar 2009)
Ispitati tok i skicirati grafik funkcije:   =
127. (septembar 2010)
Ispitati tok i skicirati grafik funkcije:   =
128. (februar 2011)
Ispitati tok i skicirati grafik funkcije:   =
26
3
2(+1)2
3
 2 −9
 3 −5
 2 −3
4
 3 +2
.
.
.
.
Matematika za ekonomiste
Časlav Pejdić, (064) 123 09 10
129. (jun 2013)
6
Ispitati tok i skicirati grafik funkcije:   = 3 + −

1
3
.
130. (januar 2010)

Ispitati tok i skicirati grafik funkcije:   =
.
+2
131. (jun 2013)
3
Ispitati tok i skicirati grafik funkcije:   =
132. (januar 2012)
Ispitati tok i skicirati grafik funkcije:   =
.
−2
+2
 2 +2
.
133. (januar 2012, oktobar 2010, jun 2010, januar 2010)
Ispitati tok i nacrtati grafik funkcije:   =
2
1+ 2
.
134. (januar 2010)
Ispitati tok i skicirati grafik funkcije:   = ( − 4)  − 1 .
135. (oktobar 2012, oktobar 2008, oktobar-2 2006, oktobar 2006)
3
Ispitati i konstruisati grafik funkcije:  = 3 −  3 .
136. (januar 2009, februar 2008, februar 2005)
3
Ispitati tok i skicirati grafik funkcije:   = 2 − 3  2 .
137. (jul 2013, jun 2011)
Ispitati tok i skicirati grafik funkcije:   =
3
4 + 2
138. (oktobar 2007)
Ispitati tok i skicirati grafik funkcije:   =  + 2 −  2 +  − 2 .
139. (oktobar 2007)
Ispitati tok i skicirati grafik funkcije:   =  − 2 −  2 − 5 + 6 .
140. (oktobar 2007)
Ispitati tok i skicirati grafik funkcije:   =  + 2 −  2 + 3 + 2 .
141. (septembar 2007)
Ispitati tok i skicirati grafik funkcije:   =  + 1 −  2 + 3 − 4 .
142. (januar 2007)
Ispitati tok i skicirati grafik funkcije:   = 2 + 1 − 3 2 + 2 .
143. (septembar 2007)
Ispitati tok i skicirati grafik funkcije:   =  + 1 −  2 −  .
144.(septembar 2007, januar 2006)
Ispitati tok i skicirati grafik funkcije:   =  + 1 −  2 +  .
145. (oktobar-2 2013)
Ispitati tok i skicirati grafik funkcije:   = 2 − 3 2 + 2 .
146. (oktobar-2 2013)
Ispitati tok i skicirati grafik funkcije:   = −2 − 3 2 + 6 .
147. (decembar 2011-apsolventski)
Ispitati tok I skicirati grafik funkcije:   = −2 − 3 2 + 6 − 9 .
27
148. (septembar 2007)
Ispitati tok i skicirati grafik funkcije:   =  + 2 −  2 +  + 1 .
149. (februar 2011, januar 2010)
Ispitati i konstruisati grafik funkcije:  = ( 2 − 8)  .
150. (septembar 2012, oktobar 2006, oktobar-2 2005)
2
Ispitati i konstruisati grafik funkcije:  =  − .
151. (januar 2011)
Proučiti tok i nacrtati dijagram funkcije:  =  2 − 4 + 5   .
152. (januar 2011, jun 2008)
1
Ispitati tok i skicirati grafik funkcije:   =   .
153. (septembar 2011)
2
Ispitati i konstruisati grafik funkcije:  = 3 − 1   .
154. (oktobar 2013)
1
Ispitati tok i skicirati grafik funkcije:   =  − 2  − .
155. (februar 2011)
1
Ispitati tok i skicirati grafik funkcije:  =  + 3   −3 .
156. (februar 2006, oktobar 2005)
1
Ispitati tok i skicirati grafik funkcije:  =  − 1   −3 .
157. (januar 2011)
Ispitati tok i skicirati grafik funkcije:   =
158. (septembar 2009)
Ispitati tok i skicirati grafik funkcije:   =
 −
 2 −2
.
 2 +1
.

159. (septembar 2013, januar 2012, oktobar 2010, jun 2010, jun 2009, septembar 2006)
Ispitati tok i skicirati grafik funkcije:   =
160. (jun 2009, jun 2006, januar 2005)
Ispitati tok i skicirati grafik funkcije:   =
 2 +2

2
1
  −1
.
.
161. (januar 2011, oktobar 2008, septembar 2006)
1
Ispitati tok i skicirati grafik funkcije:   =   −  .
162. (oktobar 2006, januar 2005)
Ispitati tok i skicirati grafik funkcije:   =
  − −
  + −
.
163. (septembar 2006, januar 2006)
Ispitati tok i skicirati grafik funkcije:   = 1 −  − .
164. (januar 2009, jun 2006)
Ispitati tok i skicirati grafik funkcije:   =
2 2
2+1
1
 .
165. (septembar 2012, februar 2012, oktobar-2 2011, februar 2008)
1
Ispitati tok i skicirati grafik funkcije:   =  1− 2 .
166. (januar 2012, oktobar-2 2010, oktobar-2 2008, jun 2008)

Ispitati tok i skicirati grafik funkcije:   =  − .
167. (oktobar-2 2010, januar 2010, septembar 2009, oktobar-2 2008, jun 2008)
−
Ispitati tok i skicirati grafik funkcije:   =  −− .
28
Matematika za ekonomiste
Časlav Pejdić, (064) 123 09 10
168. (oktobar 2013)
Ispitati tok i skicirati grafik funkcije:   =
169. (oktobar 2011)
Proučiti tok i nacrtati dijagram funkcije:  =
 2 +2

+1
.
.
ln ⁡
(+1)
170. (oktobar 2012, februar 2012, septembar 2010, januar 2006, oktobar 2005)
Ispitati tok i skicirati grafik funkcije:   =
* Ponekad napišu i   =
−2
2
ln ⁡
(−2)
 2 −4+4
ln ⁡
(−2)
.
.
171. (januar 2010, januar 2009)
Ispitati tok i skicirati grafik funkcije:   =
172. (januar 2006, februar 2005)
Ispitati tok i skicirati grafik funkcije:   =
−1
 2 (−1)
+3
 2 (+3)
173. (januar 2006, februar 2005)
Ispitati tok i skicirati grafik funkcije:   =
+3
174. (februar 2005)
Ispitati tok i skicirati grafik funkcije:   =
+1
2
ln ⁡
(+1)
175. (januar 2009, januar 2007)
Ispitati tok i skicirati grafik funkcije:   =
2
ln ⁡
(+3)
−1
2
.
.
.
.
.
ln ⁡
(−1)
176. (septembar 2010, februar 2008, jun 2006, februar 2006)
−2
Ispitati tok i skicirati grafik funkcije:   = 2
.
 (−2)
177. (januar 2009, januar 2007, februar 2006, oktobar 2005, februar 2005)
+1
Ispitati tok i skicirati grafik funkcije:   = 2
.
 (+1)
178. (jul 2011)
Ispitati tok i skicirati grafik funkcije:   =


.
179. (januar 2010, januar 2009, oktobar 2008, oktobar-2 2006, oktobar 2006, januar 2005)
Ispitati tok i skicirati grafik funkcije:   =  − 3 2 ( − 3) .
180. (jul 2011, septembar 2009, oktobar 2008)
Ispitati i konstruisati grafik funkcije:  = ln⁡
( 2 − 8 + 17) .
181. (oktobar 2010)
Ispitati tok i skicirati grafik funkcije:   =   2 − 6 + 10 .
182. (jun 2006-usmeni)
Ispitati tok i skicirati grafik funkcije:   =   2 − 12 + 37 .
183. (februar 2013, januar 2011)
Ispitati i konstruisati grafik funkcije:  = ln⁡
( 2 − 5  + 7) .
184. (jun 2006, februar 2006, oktobar-2 2005, januar 2005)
Ispitati tok i skicirati grafik funkcije:   = 2  − 4 + 4.
185. (jul 2013, jun 2010, januar 2006, februar 2005)
Ispitati tok i skicirati grafik funkcije:   = (2  −  2 ) .
29
186. (januar 2009, septembar 2008)

Ispitati tok i skicirati grafik funkcije:   =
.

187. (februar 2013)
Ispitati tok i skicirati grafik funkcije:   = 

 2 −1
.
188. (februar 2015)
1+
Ispitati tok i skicirati grafik funkcije:   =
.
1−
189.(oktobar-2 2009-usmeni)
Odrediti asimptote funkcije:   = 2 .
190. (septembar 2010-usmeni, januar 2010, septembar 2008)
Odrediti asimpote funkcije:   =  + 2 .
191. (februar 2011-usmeni)
Odrediti asimptote funkcije:   =
192. (januar 2006, februar 2005)
Odrediti asimptote funkcije:   =
3
−2
.
 2 −2−8
(−3)2
.
193. (oktobar 2011-usmeni, oktobar-2 2009-usmeni, septembar 2008-usmeni)
Odrediti intervale monotonosti funkcije:   =
  − −
  + −
.
194. (januar 2013-usmeni, januar 2011-usmeni)
Odrediti intervale konveksnosti funkcije:   =   2 − 8 + 17 .
195. (septembar 2008-usmeni)
Odrediti intervale konveksnosti funkcije:   =   2 − 12 + 37 .
196. (oktobar 2011-usmeni, oktobar-2 2009-usmeni)
Odrediti intervale konveksnosti funkcije:   =
30
  − −
  + −
.
Matematika za ekonomiste
Časlav Pejdić, (064) 123 09 10
8. DEO
FUNKCIJE SA DVE PROMENLJIVE
U osmom delu upoznaćete se sa zadacima u kojima se radi sa funkcijama sa dve promenljive.
Ovde imamo više grupa zadataka. Najpre su dati zadaci u kojima se rade parcijalni izvodi, pa totalni diferencijal 1. i 2. reda,
Tejlorova i Maklorenova formula za funkcije sa dve promenljive i na kraju ono što najčešće i dolazi na ispitu vezano za ovu
oblast, ekstremne vrednosti funkcija bez uslova i sa uslovom
Teorijska pitanja na usmenom:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Lokalne ekstremne vrednosti realne funkcije sa dva argumenta
Parcijalni izvodi realnih funkcija dva argumenta (definicija i osnovne osobine)
Tejlorova i Maklorenova formula za realne funkcije dva argumenta
Vezane lokalne ekstremne vrednosti realne funkcije sa dva argumenta
Diferencijabilnost i totalni diferencijal realne funkcije sa dva argumenta (definicija i osnovne osobine)
Realne funkcije sa dva argumenta (definicija i osnovne osobine)
Uslovni ekstremi realne funkcije dva argumenta
Definicija 1: (parcijalni izvodi)
Prvi parcijalni izvod funkcije z = f(x,y) po nezavisnoj promenljivoj x se definiše kao izvod funkcije z po nezavisnoj promenljivoj
z def dz
f ( x  x, y )  f ( x, y )

 lim
 f x ' ( x, y )

x smatrajući y kao konstantu. Označava se sa i jednak je: x
dx x 0
x

y  const
def
z dz
f ( x, y  y )  f ( x, y )

 lim
 f y ' ( x, y )

y 0
Analogno se definiše , tj. y
dy

y

x  const
Definicija 2: (parcijalni izvodi drugog reda)
2
 
2 
 
=
,
=
,
2

 
  
2 
 
2 
 
=
,
=
.
  
 2  
Ako su parcijalni izvodi neprekidne funkcije tada važi:
2

=
2

.
Definicija 3: (totalni diferencijal)
Totalni diferencijal funkcije z = f(x,y) definiše se pomoću =
2
 2

 +



,a drugog reda sa 2  =
2
 2
 2 + 2
2

 +
 2 .
Definicija 4: (Tejlorova i Maklorenova formula)
Ako funkcija z = f(x,y) ima u okolini tačke M0(x0,y0) neprekidne sve parcijalne izvode zaključno n + 1 reda, tada Tejlorova
formula glasi:
 =  ,  =  0 , 0 +
0


2
2 
 2

+⋯+
1
!
 
− 0  
 
0
1
1!
 − 0
 − 0

  
  0

 0
+

1
+  − 0
 − 0
−1

 
0
 − 0
+
1
2!
 − 0
 
  −1  
0
2
2 
 2 0
+

2
+ 2  − 0  − 0
 − 0
−2
 − 0
2
2
 
0
+ −
 
  −2  2 
0
+⋯+
+  ,  gde je
31
 ,  =
1
 − 0
+1 !
+1
+
2
+1
 +1 
 +1
 − 0
+
0
−1
+1
1

 − 0
 +1 
 − 0 2 −1 2


0
+1
+ ⋯+
+1
pri čemu je 0 0 +   − 0 , 0 +   − 0 , 0 <  < 1,gde je
Kada je x0 = y0 = 0 Tejlorova formula se svodi na Maklorenovu.
  +1 
  
 − 0
 
  0
0
 − 0
 +1
 +1 
 +1
0
,vrednost  −tog parcijalnog izvoda u tački0 .
Definicija 5: (ekstremne vrednosti funkcije dve promenljive)
Funkcija y = f(x) u tački M(x0,y0) ima lokalni maksimum (minimum) ako postoji okolina tačke M koja cela pripada oblasti
definisanosti D takva da za svako N(x,y) iz te okoline važi:
 ,  <  0 , 0  ,  >  0 , 0
Tačke lokalnog maksimuma i minimuma nazivamo ekstremima funkcije.
Potrebni uslovi za ekstremne vrednosti funkcije dve promenljive:
Da bi diferencijabilna funkcija z = f(x,y) u nekoj tački imala ekstremnu vrednost potrebno je da u toj tački parcijalni izvodi


prvog reda budu jednaki nuli, tj. da = 0 
=0.


Tačka M(x0,y0) naziva se stacionarnom tačkom diferencijabilne funkcije z = f(x,y) ako su prvi parcijalni izvodi u toj tački
  0 ,0
  0 ,0
jednaki nuli, tj. ako je
=0 
=0.


Dovoljni uslovi za ekstremne vrednosti funkcije dve promenljive:
Neka funkcija z = f(x,y) ima neprekidne parcijalne izvode drugog reda u okolini tačke M(x0,y0). Zatim, neka je tačka M(x0,y0)
  0 ,0
  0 ,0
stacionarna tačka te funkcije, tj. neka je
=0 
=0.
Označimo =
 2   0 ,0
 2
, =
 2   0 ,0


, =
 2   0 ,0
 2

 ∆= 2 −  . Tada funkcija z = f(x,y) u tački M(x0,y0):
a) ima lokalni maksimum ako je < 0 i A < 0 (C < 0),
b) ima lokalni minimum ako je < 0 i A > 0 (C > 0),
c) nema ekstremne vrednosti ako je > 0.
d) za  = 0 problem ekstrema ostaje nerešen te ga dalje treba ispitati.
Definicija 6: (uslovni ekstremi)
To su ekstremne vrednosti funkcije z = f(x,y) uz uslov (x,y) = 0, odnosno gde su promenljive x i y vezane relacijom (x,y) = 0.
Pri određivanju uslovnih ekstrema prvo formirajmo funkciju Lagranža:  ,  =  ,  + (, ) ,gde je  konstanta.
Uslovni ekstremi su ekstremi funkcije F(x,y) koje ispitujemo na sledeći način:
Prvo na|imo parcijalne izvode, tj formirajmo jednačine

= 0,


=0


=0

Iz ovih jednačina se odre|uju vrednosti x,y i , tj. tačke M(x,y) u kojima funkcija može imati ekstrem.
Da li je u nekoj tački M(x,y) ekstrem kao i njegovu prirodu određujemo preko drugog diferencijala funkcije
2  =
2
 2
 2 + 2
2

 +
2
 2
, pri uslovu koji vezuje dx i dy tj.


+


= 0,  2 +  2 ≠ 0, tako da funkcija F(x,y) ima
uslovni maksimum ako je d2F < 0, a uslovni minimum ako je d2F > 0.
Prirodu uslovnog ekstrema možemo ispitati i kao običan ekstrem funkcije F(x,y) u stacionarnim tačkama funkcije F(x,y).
197. (januar 2009-usmeni, oktobar 2006)
Odrediti i skicirati oblast definisanosti funkcije:  ,  = arcsin⁡( 2 +  2 − 2 − 3).
198. (septembar 2012, februar 2008-usmeni, februar 2005)


Ispitati da li funkcija  =   zadovoljava uslov 



+


= 0.
199. (januar 2011-usmeni, januar 2010-usmeni, septembar 2007-usmeni, januar 2006-usmeni, oktobar-2 2005-usmeni,
oktobar 2005)



Ispitati da li funkcija  =  , zadovoljava uslov  2 +  = 0.



200. (septembar 2006, februar 2005)
Ispitati da li funkcija  ,  = ( 2 −  2 ), zadovoljava uslov
32
1




+ 2


= 1.
Matematika za ekonomiste
Časlav Pejdić, (064) 123 09 10
201. (septembar 2008-usmeni, jun 2006-usmeni)
Ispitati da li funkcija  =  
2 + 2
, zadovoljava uslov 
2

=

∙

202. (januar 2007, septembar 2007-usmeni, februar 2006-usmeni)
Ispitati da li funkcija:  =
203. (septembar 2011)
1
 2 + 2

, zadovoljava uslov 
2
 2




Ispitati da li funkcija  =    zadovoljava uslov  2
=


+ 
+




.
 2 2
 
.
= .
204.(oktobar-2 2013, jun 2008, oktobar-2 2006-usmeni, jun 2006-usmeni)





Ispitati da li funkcija  =    zadovoljava uslov  2
+ 


= .
205. (oktobar 2010-usmeni, januar 2009-usmeni)
Odrediti totalne diferencijale I i II reda funkcije  ,  =   2 +  2 + 1 u tački 1,2 .
206. (februar 2011, septembar 2010, oktobar 2007, septembar 2006, januar 2005)
Funkciju  ,  = (2 − 3) 2− aproksimirati Tejlorovim polinomom drugog stepena u okolini tačke  2, −1 .
207. (januar 2011-usmeni, januar 2007-usmeni)
Aproksimirati funkciju  =  3 2, Maklorenovim polinomom trećeg stepena.
208. (oktobar 2011)
Odrediti lokalne ekstremne vrednosti funkcije:  = 6 − 3 + 4  +  − 47 .
209. (februar 2008-usmeni)
Odrediti lokalne ekstremne vrednosti funkcije:  = 6 + 4 + 3 47 −  −  .
210. (februar 2006)
Odrediti lokalne ekstremne vrednosti funkcije:  = − 2 +  2 − 2 + 30 + 2 − 1 .
211. (februar 2008, oktobar 2006-usmeni, februar 2006)
Odrediti lokalne ekstremne vrednosti funkcije:  =  2 − 2 −  2 + 2 + 26 .
212. (januar 2006)
Odrediti lokalne ekstremne vrednosti funkcije:  =  2 − 2 −  2 + 26 + 2 .
213. (septembar 2006)
Odrediti lokalne ekstremne vrednosti funkcije:  =  2 −  2 − 2 + 2 + 30 .
214. (oktobar 2010, jun 2010)
Naći lokalne ekstremne vrednosti funkcije:  = 3 −  3 −  3 .
215. (jun 2010, septembar 2009, septembar 2007)
Naći lokalne ekstremne vrednosti funkcije:  =  3 − 6 +  2 + 16 .
216. (septembar 2010)
Odrediti lokalne ekstremne vrednosti funkcije:  =  4 +  4 − 2 2 .
217. (jun 2009)
Odrediti lokalne ekstremne vrednosti funkcije:  ,  =
3
16
1
2
8
16
 2 +  +


2
4
+ + .
218. (oktobar-2 2009, oktobar-2 2008, oktobar-2 2006, oktobar 2006, januar 2006, februar 2005, januar 2005)
Odrediti lokalne ekstremne vrednosti funkcije:  = 19 + 20 −  2 −  −  2 + 2 .
219. (oktobar-2 2009, oktobar-2 2008, oktobar-2 2006, februar 2006, oktobar 2005, januar 2005)
Odrediti lokalne ekstremne vrednosti funkcije:  = 19 + 20 −  2 −  −  2 + 2 .
220. (oktobar 2006, jun 2006, februar 2006, januar 2006, oktobar 2005, januar 2005)
Odrediti lokalne ekstremne vrednosti funkcije:  =  2 +  +  2 − 19 − 20 + 1 .
33
221. (oktobar 2013, januar 2012-usmeni)
Odrediti lokalne ekstremne vrednosti funkcije:  = 2 3 + 6 +  2 .
222. (januar 2013-usmeni)
Odrediti lokalne ekstremne vrednosti funkcije:  =  2 + 6 + 2 3 .
223. (oktobar 2010)

Odrediti lokalne ekstremne vrednosti funkcije:  = + 47 −  − 

224. (septembar 2009, jun 2006)

Odrediti lokalne ekstremne vrednosti funkcije:  = + 47 −  − 

2
4
2
3
+

+

.
3
.
4
225. (oktobar-2 2013, januar 2012, januar 2011, oktobar-2 2010, januar 2010, januar 2009)
Odrediti lokalne ekstremne vrednosti funkcije:  ,  =
226. (januar 2010)
2
144
+
3
216
−

72
−

12
.

Naći lokalne ekstremne vrednosti funkcije:  =  2  +  2 .
227. (januar 2012, januar 2010, januar 2009, septembar 2008, januar 2007, januar 2006, oktobar-2 2005, oktobar 2005,
februar 2005)
Naći lokalne ekstremne vrednosti funkcije:  =  + 2 2  −   −  2 .
228. (septembar 2013, oktobar 2009, januar 2009-usmeni)
1
1
Odrediti lokalne ekstremne vrednosti funkcije:  ,  =  2   −  3 −  3 .
2
3
229. (septembar 2012, februar 2012, januar 2009, septembar 2008)
36
48
Naći lokalne ekstreme funkcije:  =  + + .


230. (februar 2008)
48
36
Odrediti lokalne ekstremne vrednosti funkcije:  =  + + .


231. (septembar 2010-usmeni, januar 2009, februar 2008)
252
294
Odrediti lokalne ekstremne vrednosti funkcije:  =  +
+
.


232. (januar 2009, septembar 2008, septembar 2008-usmeni)
294
252
Odrediti lokalne ekstremne vrednosti funkcije:  =  +
+
.


233. (februar 2013, jun 2010)
Naći lokalne ekstreme funkcije:  =  12 −  −  .
234. (januar 2009, oktobar-2 2008-usmeni, septembar 2008, oktobar-2 2005, februar 2005)
Naći lokalne ekstreme funkcije:  =  6 −  −  .
235. (oktobar 2010, septembar 2009, septembar 2007)
Naći lokalne ekstreme funkcije:  =  3 + 3 2 − 15 − 12 .
236. (februar 2011)
Odrediti lokalne ekstreme funkcije:  =  3 −  +  2 − 11 + 3 .
237. (februar 2011-usmeni)
Odrediti lokalne ekstreme funkcije:  =  2 −  +  3 − 11 + 3 .
238. (oktobar 2009, oktobar 2008, februar 2008)
Naći ekstremne vrednosti funkcije:  =  2 +  3 −  −  .
239. (februar 2012)
Odrediti lokalne ekstremne vrednosti funkcije:  = 3 2  +  3 − 36 − 39 + 26 .
240. (jul 2011, januar 2010, januar 2009, jun 2008, oktobar 2007)
Odrediti lokalne ekstremne vrednosti funkcije:  =
34
 2  + − 2 −4

za  ≠ 0 ∧  ≠ 0 .
Matematika za ekonomiste
Časlav Pejdić, (064) 123 09 10
241. (januar 2013-usmeni)
Odrediti lokalne ekstremne vrednosti funkcije:  = 2 3 − 21 2 + 72 + 2 3 − 9 2 + 12 + 1 .
242. (januar 2010)
Odrediti lokalne ekstremne vrednosti funkcije:  = 2 3 − 9 2 + 12 + 2 3 − 21 2 + 72 + 1 .
243. (jul 2011)
Odrediti lokalne ekstremne vrednosti funkcije:  =  2 +  2 , uz uslov 2 + 2 = 1.
244. (februar 2013)
Odrediti lokalne ekstremne vrednosti funkcije:  = 2 +  2 , uz uslov  + 6 =  .
245. (oktobar-2 2010-usmeni, januar 2007-usmeni)
Odrediti lokalne ekstremne vrednosti funkcije:  = 2 +  2 , uz uslov  + 3 =  .
246. (oktobar-2 2010-usmeni, januar 2009-usmeni, februar 2008-usmeni)
Odrediti lokalne ekstremne vrednosti funkcije:  = 2 +  2 − 1, uz uslov  −  = −6 .
247. (februar 2013)
Odrediti lokalne ekstremne vrednosti funkcije:  =  +  2 , uz uslov  −  = 6 .
248. (januar 2012, jun 2008)
Odrediti lokalne ekstremne vrednosti funkcije:  =  + 2 − 3, uz uslov  2 = 1 .
249. (oktobar-2 2008-usmeni, oktobar-2 2006-usmeni, jun 2006-usmeni)
Odrediti lokalne ekstremne vrednosti funkcije:  =  +  2 + 2, uz uslov  −  = 8 .
250. (januar 2012)
Odrediti lokalne ekstremne vrednosti funkcije:  = 2 + 4 + 2,uz uslov  −  = 4 .
251. (jun 2008-usmeni, januar 2006-usmeni)
Odrediti lokalne ekstremne vrednosti funkcije:  =  2 +  +  2 , uz uslov  +  = 4 .
252. (septembar 2013)
Odrediti lokalne ekstremne vrednosti funkcije:  =
 , uz uslov 50 000 + 0,08 = 1 000 000 .
253. (jul 2013)
Odrediti lokalne ekstremne vrednosti funkcije:  =  2 − 2 2 , pod uslovom  − 2 = 3.
254. (jun 2008, januar 2007)
Odrediti lokalne ekstreme funkcije:  =  2 , uz uslov 2 +  = 3 .
255. (septembar 2010)
Odrediti lokalne ekstremne vrednosti funkcije:  =   , uz uslov  +  = 2 .
256. (septembar 2006)

Odrediti lokalne ekstreme funkcije:  = + 2, uz uslov  − 2 = 4 .
4
257. (januar 2007, januar 2006)
Odrediti ekstremne vrednosti funkcije:  = 2 + 3, pri uslovu 4 2 + 9 2 = 72 .
258. (oktobar 2012, jun 2009, februar 2006-usmeni)
Odrediti lokalne ekstremne vrednosti funkcije:  =  + 2, uz uslov  2 + 4 2 = 8 .
259. (jun 2009-usmeni, februar 2006)
Odrediti lokalne ekstremne vrednosti funkcije:  =  + 4, uz uslov  2 + 16 2 = 32 .
260. (januar 2007)
Odrediti lokalne ekstremne vrednosti funkcije:  = 4 + , uz uslov 16 2 +  2 = 32 .
261. (februar 2011, januar 2006)
Odrediti lokalne ekstremne vrednosti funkcije:  = 2 + , uz uslov 4 2 +  2 = 8 .
35
262. (septembar 2009, septembar 2009-usmeni, septembar 2007, septembar 2006)
Odrediti lokalne ekstremne vrednosti funkcije:  = 3 + , uz uslov 9 2 +  2 = 18 .
263. (februar 2011)
Odrediti lokalne ekstremne vrednosti funkcije:  = 6 − 5 − 4, uz uslov  2 −  2 = 9 .
264. (januar 2011)
Odrediti lokalne ekstremne vrednosti funkcije:  =  − , uz uslov  2 −  2 = 2 .
265. (januar 2011)
Odrediti lokalne ekstremne vrednosti funkcije:  = , uz uslov  2 + 2 2 = 3 .
266. (jun 2013, januar 2013)
Odrediti lokalne ekstremne vrednosti funkcije:  =  − 
3
+ 1, uz uslov  2 +  2 = 8.
267. (septembar 2007)
Odrediti lokalne ekstremne vrednosti funkcije:  =  − 
3
+ 1, uz uslov  2 +  2 = 18.
268. (oktobar-2 2011, jun 2010, februar 2008)
Odrediti lokalne ekstremne vrednosti funkcije:  =  − 
3
+ 1, uz uslov  2 +  2 = 8.
269. (oktobar 2007, oktobar-2 2005-usmeni)
Odrediti lokalne ekstremne vrednosti funkcije:  =  − 
3
+ 1, uz uslov  2 +  2 = 18.
270. (oktobar-2 2010, septembar 2010)
Odrediti lokalne ekstremne vrednosti funkcije:  =  +  3 , uz uslov  2 +  2 = 8.
271. (jul 2013, januar 2005)
Odrediti lokalne ekstremne vrednosti funkcije:  =  − 
4
+ 1, uz uslov  2 +  2 = 18.
272. (oktobar 2007, februar 2006-usmeni, oktobar-2 2005-usmeni)
Odrediti lokalne ekstremne vrednosti funkcije:  =  −  4 + 1, uz uslov  2 +  2 = 18.
273. (januar 2013, februar 2008-usmeni)
Odrediti lokalne ekstremne vrednosti funkcije:  =  − 
4
+ 1, uz uslov  2 +  2 = 8.
274. (januar 2006-usmeni)
Odrediti lokalne ekstremne vrednosti funkcije:  =  − 
4
+ 1, uz uslov  2 +  2 = 8.
275. (septembar 2011, januar 2010, januar 2009, februar 2006, februar 2005, januar 2005)
Odrediti lokalne ekstremne vrednosti funkcije:  =  −  4 + 1, uz uslov  2 +  2 = 2.
276.(jun 2006)
Odrediti lokalne ekstremne vrednosti funkcije:  =  −  4 , uz uslov  2 +  2 = 2.
277. (oktobar 2013, oktobar 2008)
1
1
Odrediti lokalne ekstremne vrednosti funkcije:  = + , uz uslov 18 2 + 18 2 =  2  2 .


278. (oktobar 2012, februar 2012)
1
1
Odrediti lokalne ekstremne vrednosti funkcije:  = + , uz uslov 2 2 + 2 2 =  2  2 .

279. (februar 2012, decembar 2011-apsolventski)
Odrediti lokalne ekstremne vrednosti funkcije:  =
280. (septembar 2010, oktobar 2006)
Odrediti lokalne ekstremne vrednosti funkcije:  =
36

+

+

, uz uslov  2 +  2 = 2 2  2 .
, uz uslov 8 2 + 8 2 =  2  2 .
Matematika za ekonomiste
Časlav Pejdić, (064) 123 09 10
9. DEO
INTEGRALI
U devetom delu upoznaćete se sa zadacima iz integrala.
Najpre su dati neodređeni integrali i to grupisani po načinu rešavanja (metoda zamene, parcijalna integracija, integracija
racionalnih funkcija i integracija iracionalnih funkcija).
Zatim su dati zadaci iz određenih integrala kao i njihove primene na računanje površine ravnog lika.
Treća grupa su nesvojstveni integrali grupisani tako da prvo dolaze nesvojstveni u odnosu na oblast integracije, a zatim u
odnosu na funkciju.
Na kraju su dati dvojni integrali.
Ovo je sigurno najznačajnija oblast u zbirci.
Teorijska pitanja na usmenom:
1.
2.
3.
4.
5.
Nesvojstveni integral (definicija i osnovne osobine)
Dvojni integral (definicija i osnovne osobine)
Neodređeni integral
Metoda parcijalne integracije
Integracija nekih iracionalnih funkcija
Definicija 1: (definicija integrala)
Neka je data funkcija y = f(x) definisana u intervalu (a,b). Za funkciju y = F(x) kaže se da je primitivna funkcija funkcije y = f(x) u
intervalu (a,b) ako je ispunjen uslov ∀ ∈ ,   ′  = () .
Neodređeni integral funkcije y = f(x) označava se sa    i predstavlja skup svih primitivnih funkcija funkcije y = f(x) u
intervalu (a,b), tj.    =   + ,gde je  ′  = (),a C proizvoljna konstanta.
Izraz f(x)dx naziva se podintegralni izraz, a f(x) je podintegralna funkcija ili integrand.
Definicija 2: (osnovna svojstva neodređenog integrala)
) 
   =   
)
  =   + 
)
   = 
)
  
() ± ()  =
( = .  ≠ 0)
   +
  
37
Tablica osnovnih integrala:
 dx  x  c
n
 x dx 

c je proizvoljna konstanta
x n1
c
n 1
(n  1)
dx
 ln x  c
x
 e dx  e
x
dx
 x c
x
2
 sin xdx   cos x  c
c
x
1
 cos xdx  sin x  c
1
 sin
2
x
dx  arcsin x  c
1  x2
1
 1  x 2 dx  arctgx  c
dx
1
xa
 x 2  a 2  2a ln x  a  c
2
x
dx  tgx  c
dx

dx  ctgx  c
1

 cos
x a
1
2

 ln x  x 2  a  c
dx  arcsin
x
c
a
a2  x2
1
1
x
 a 2  x 2 dx  a arctg a  c
Definicija 3: (integracija metodom zamene)
Ako je funkcija f(x) neprekidna, stavljajući  =   ,  = ′  , gde je funkcija g(t) neprekidna zajedno sa svojim prvim
izvodom g’(t) i ima inverznu funkciju t = g-1(x), dobija se sledeća jednakost    =    ′  .
Definicija 4: (metoda parcijalne integracije)
Neka su u = u(x) i v = v(x) dve diferencijabilne funkcije. Ako postoji neodređeni integral    ′   tada postoji i
neodređeni integral   ′   i važi jednakost :
   ′   =     −   ′  .
Ova jednakost može da se napiše u sledećem kraćem obliku  =  −  i ona predstavlja obrazac za parcijalnu
integraciju. Primenjujući ovaj obrazac može se integral oblika  izračunati, ako je moguće izračunati integral na desnoj
starni obrasca koji je oblika .
Definicija 5: (integracija racionalnih funkcija)
Funkcija ()je racionalno razlomljena ukoliko ima oblik   =
Razlomak
()
2) Ako je razlomak
neprav prethodno iz njega treba izdvojiti ceo deo.
pravi, onda se njegov imenioc ()rastavlja na činioce oblika
 ()
−

+  +   , gde je −  < 0,tj. koreni te kvadratne jednačine su imaginarni reda i  ∈ , tj.  je realan koren
reda .Zatim se razlomak
()
−

, gde su    ()polinomi sa realnim koeficijentima.
()
()
()
2
()
se zove pravi ukoliko je stepen polinoma u brojiocu ()manji od stepena polinoma u imeniocu () .
 ()
1) Ako je razlomak

()
 2 + +

=
1
−
+
4
()
 ()
2
−
razlaže na zbir elementarnih razlomaka i to na sledeći način
2
+ ⋯+

−

+
1 +1
 2 + +
+
2 +2
 2 + +
2
+ ⋯+
 +
 2 + +

.
Definicija 6: (integracija nekih iracionalnih funkcija)
Neka je dat neodređen integral oblika  ,   1  1 ,   2  2 , … ,      , gde je R racionalna funkcija svih argumenata. Ako se
uvede smena  =   ,gde je n najmanji zajednički sadržalac imenilaca n1,n2,…,nk, tada se dobija integral racionalne funkcije
38
Matematika za ekonomiste
Časlav Pejdić, (064) 123 09 10
promenljive t.
Definicija 7: (NJutn - Lajbnicova formula)
Ako je funkcija f : R  R integrabilna na segmentu [a,b] i ima na tom segmentu primitivnu funkciju F(x) tj.
b
∀ ∈ ,  
′
 = (),tada je
 f ( x)dx  F (b)  F (a).
a
Poslednja formula je NJutn-Lajbnicova formula.
Definicija 8: (metod smene kod određenih integrala)
Neka je funkcija f : R  R integrabilna na segmentu [a,b]. Ako su ispunjeni sledeći uslovi:
1) funkcija x = g(t) je neprekidna zajedno sa svojim prvim izvodom na intervalu [, ] gde su  i  rešenja jednačina g(t) = a i
g(t) = b, tako da je g() = a i g() = b.
2) složena funkcija f(g(t)) je definisana i neprekidna na segmentu [,],

b
tada
 f ( x)dx   f ( g (t )) g ' (t )dt .
a
Definicija 9: (metod parcijalne integracije kod određenih integrala)
Ako su funkcije f : R  R i g : R  R neprekidne na segmentu [a,b], tada
b
 f ( x) g ' ( x)dx  f ( x) g ( x)
b
b
a
a
  g ( x) f ' ( x)dx .
a
Definicija 10: (primena određenog integrala na izračunavanje površine ravnog lika)
Ako je y = f(x)  0 za x  [a,b] tada je površina krivolinijskog trapeza ograničenog lukom krive, pravama
b
x = a i x = b i odsečkom ose Ox za x  [a,b] definisana sa
P   f ( x)dx
a
b
Ako je y = f(x)  0 za x  [a,b] tada je površina lika ograničenog takvom konturom
P

a
b
f ( x)dx , tj. P    f ( x)dx.
a
Ako funkcija nad segmentom [a,b] menja znak, tada se segment [a,b] razbija na konačan broj segmenata u zavisnosti od toga da
li je f(x)  0, odnosno f(x)  0, pa je vrednost određenog integrala funkcije y = f(x) nad segmentom [a,b] jednaka zbiru površina
iznad ose Ox, uzetih sa znakom plus i zbiru površina ispod ose Ox, uzetih sa znakom minus.
Ako se traži površina oblasti ograničena graficima funkcija
y = f(x) i y = g(x) i pravama x = a i x = b, tada je površina data obrascem
b
b
b
a
a
a
P   f ( x)dx   g ( x)dx    f ( x)  g ( x)dx.
Ovaj obrazac se primenjuje i za slučaj kada je potrebno da se izračuna površina oblasti ograničene graficima funkcija y = f(x) i y
= g(x). U ovom slučaju su granice određenog integrala apscise a i b presečnih tačaka A i B, i dobijaju se rešavanjem jednačine
f(x) = g(x).
Definicija 11: (definicija nesvojstvenog integrala)
b
Određeni integral
 f ( x)dx definisan je za f : R  R neprekidnu na segmentu [a,b].
a
Ako interval integracije nije konačan, ili ako podintegralna funkcija na tom intervalu ima prekide, tada se definiše pojam
uopštenog ili nesvojstvenog integrala.
39
Definicija 12: (nesvojstveni integral s obzirom na interval)

Ako je funkcija f(x) integrabilna na svakom konačnom segmentu [a,b], to nesvojstveni integral
 f ( x)dx
se definiše sa
a

b
b
b
a
a

b
 f ( x)dx  lim  f ( x)dx , a nesvojstveni integral  f ( x)dx sa  f ( x)dx  lim  f ( x)dx .
b 
a
a  
a
Ukoliko ove granične vrednosti postoje i konačne su odgovarajući integral nazivamo konvergentnim, u suprotnom
divergentnim.
Nesvojstveni integral tipa


c




c
 f ( x)dx gde je f(x) neprekidna x  se definiše sa  f ( x)dx   f x dx   f ( x)dx ,
gde je c ma koji realan broj i on je konvergentan ako su oba integrala konvergentna.
Definicija 13: (nesvojstveni integral s obzirom na funkciju)
Ako je funkcija f : R  R neograničena u okolini tačke b, tj.
b
nesvojstveni integral

b 
b
f ( x)dx
se definiše sa
a

f ( x)dx  lim
 0
a
Ako je funkcija f : R  R neograničena u okolini tačke a, tj.
0, nesvojstveni integral
lim f ( x)   a integrabilna na svakom segmentu [a,b - ], > 0,
x b 
b
b
a
a
 f ( x)dx.
a
lim f ( x)   a integrabilna na svakom segmentu [a + ,b], >
x a 
b
 f ( x)dx.
 f ( x)dx se definiše sa  f ( x)dx  lim

Ako je funkcija f : R  R neograničena u okolini tačke c, tj.
0
lim f ( x)   a integrabilna na svakom segmentu [a,cx c

c 
b
b
][c+,b], > 0, nesvojstveni integral
a
f ( x)dx
a
se definiše sa

a
f ( x)dx  lim
 0

a
b
f ( x)dx  lim
 0
 f ( x)dx.
c
Definicija 14: (definicija dvojnog integrala)
Neka je u nekoj zatvorenoj i ograničenoj oblasti D  R  R data neprekidna funkcija z = f(x,y). Podelimo oblast D na n delova
s1,s2,…,sn (sl. ispod) tako da ti delovi nemaju zajedničkih unutrašnjih tačaka, a čije površine su s1,s2,…,sn. U unutrašnjosti ili
na periferiji svakog dela Sk, k=1,2,…,n izaberimo po jednu tačku Tk(k,k). Vrednost funkcije z = f(x,y) u svakoj tački Tk, tj.
f(k,k) pomnožimo sa odgovarajućom površinom sk, odnosno formirajmo proizvod f(k,k)sk. Suma svih takvih proizvoda
n
S   f ( k ,  k )s k
zove se integralna suma funkcije f(x,y).
k 1
Ako postoji granična vrednost sume S, nezavisno od podele kao i izbora tačke Tk(k,k), kada broj delova sk teži beskonačnosti
a površina maksimalnog sk teži nuli, tada kažemo da je ta granična vrednost dvojni integral funkcije z = f(x,y) u oblasti D, i
funkciju z = f(x,y) nazivamo integrabilnom u toj oblasti. To simbolički označavamo
40
Matematika za ekonomiste
n
lim
max S K 0
 f (
k 1
k
Časlav Pejdić, (064) 123 09 10
,  k )s k   f  x, y  ds .
D
U pravouglom koordinatnom sistemu ds = dxdy, pa je tako
 f x, y ds   f x, y dxdy.
D
D
Definicija 15: (osobine dvojnog integrala)
Ako je f(x,y) integrabilna funkcija u oblasti D, tada je integrabilna u toj oblasti i funkcija cf(x,y), gde je c proizvoljna konstanta i
tada je
 cf x, y dxdy  c  f x, y dxdy .
D
D
Ako su f(x,y) i g(x,y) integrabilne funkcije u oblasti D, tada su u toj oblasti integrabilne i funkcije
  f ( x, y)  g ( x, y)dxdy   f ( x, y) dxdy   g ( x, y) dxdy.
f(x,y)  g(x,y), pri čemu je
D
D
D
Neka je oblast D u kojoj je data funkcija f(x,y) nekom linijom podeljena na dve (ili više) oblasti D1 i D2. Ako postoje integrali
 f ( x, y) dxdy i  f ( x, y) dxdy , tada postoji i integral  f ( x, y) dxdy, pri čemu je
D1
D2
D
 f ( x, y) dxdy   f ( x, y) dxdy   f ( x, y) dxdy .
D
D1
D2
Ako su f(x,y) i g(x,y) integrabilne funkcije u oblasti D i ako je
f(x,y)  g(x,y) u svim tačkama (x,y)  D, tada je
 f ( x, y) dxdy   g ( x, y) dxdy.
D
Specijalno ako je g(x,y) = 0 tada se ova osobina svodi na
D
 f ( x, y) dxdy  0.
D
Ako je f(x,y) = 1 u svakoj tački (x,y) iz oblasti D, tada je dvojni integral te funkcije jednak površini oblasti D.
281. (januar 2012, januar 2011, oktobar 2009, oktobar 2008)
Izračunati integral:
282. (februar 2005)
Izračunati integral:
e3 x dx
 ex  2
.
e
.
xe x
dx
283. (januar 2012, januar 2010, januar 2007)
Izračunati integral:
284. (januar 2005)
Izračunati integral:
ex 1
 e 2 x  e x  1 dx.
x e
3 x2
dx .
285. (jun 2013, januar 2012)
Izračunati integral:
286. (jun 2013)
Izračunati integral:
 x

 x e  x dx .
3
 5x
5
2

 x 2 e x dx.
3
287. (februar 2011, januar 2010, jun 2008)
Naći:
x
1
1  x2
dx.
288. (septembar 2013)
Izračunati integral:
x e
2
x
dx .
41
289. (januar 2009-usmeni)
Izračunati integral:
x
dx
.
 4x  5
2
290. (septembar 2012, oktobar-2 2009, septembar 2007-usmeni, oktobar-2 2006-usmeni, jun 2006-usmeni, februar 2006usmeni)
Izračunati integral:
291. (februar 2006)
Izračunati integral:

arctg x dx.
 xarctgxdx.
292. (oktobar 2012, oktobar-2 2009, januar 2007-usmeni)
Izračunati integral:
293. (oktobar 2013)
Izračunati integral:
 x arctgxdx.
2

arccos x
dx.
x2
294. (februar 2006, oktobar 2005)
Izračunati integral:
295. (septembar 2011)
Izračunati integral:
2 xarctgx 2
 1  x 4 dx .
 2 x  1e
arctgx
dx.
296. (januar 2010, januar 2006, oktobar-2 2005, februar 2005)
Izračunati integral:
 arcsin xdx .
297. (septembar 2008, oktobar 2007, jun 2006, februar 2006, februar 2005, januar 2005)
Izračunati integral:
298. (septembar 2006)
Izračunati integral:
299. (februar 2005)
Izračunati integral:
 arcsin
2
xdx .
x 1
 x ln x  1 dx .
x 1
 ln x  1 dx .
300. (septembar 2008-usmeni, jun 2006-usmeni, januar 2006)
Izračunati integral:
301. (februar 2011)
Izračunati integral:
302. (februar 2012)
Izračunati integral:
 sin
x dx.
x 2  2x  2
 e x dx.

sin x  cos x x
e dx .
sin 2 x
303. (januar 2009-usmeni)
Izračunati integral:
 sin xe dx .
x
304.(januar 2010, septembar 2007, januar 2006, oktobar 2005)
Izračunati integral:
e
5x
cos(6 x) dx.
305. (januar 2010, februar 2006)
Izračunati integral:
e
x
sin(4 x) dx.
306. (januar 2007, oktobar 2005, februar 2006)
Izračunati integral:
307. (jun 2006)
Izračunati integral:
42
 sin(2 x)e
e
3x
3x
dx.
sin(4 x) dx.
Matematika za ekonomiste
Časlav Pejdić, (064) 123 09 10
308. (januar 2006, oktobar-2 2005, februar 2005)
Izračunati integral:
x
5
dx
 x2
.
309. (oktobar 2010, septembar 2007, jun 2006, januar 2006, januar 2005)
Izračunati integral:
21x 2  94 x  72
 x3  7 x 2  12 x dx.
310. (septembar 2009, septembar 2008-usmeni, januar 2007)
Izračunati integral:
21x 2  80 x  48
 x3  6 x 2  8x dx.
311. (jun 2009, oktobar 2008, februar 2008-usmeni, oktobar 2007)
Izračunati integral:
312. (oktobar 2010)
Izračunati integral:
2 x 2  3x  4
 x 3  2 x 2  x  2 dx .
8 x 2  12 x  2
 x3  2 x 2  x  2 dx .
313. (oktobar 2006-usmeni)
Izračunati integral:
x
4
dx
 x3  x2
.
314. (oktobar 2008, oktobar-2 2006, februar 2005, januar 2005)
Izračunati integral:
( x  1) 3
 x 2  2 x  3 dx
.
315. (januar 2011, oktobar 2006, septembar 2006)
Izračunati integral:
x3  1
 x3  5x2  6 x dx
.
316. (septembar 2010)
Izračunati integral:
x3  2
dx.
x2 1 x


317. (jul 2011)
Izračunati integral:
318. (februar 2011)
Izračunati integral:
319. (februar 2011)
Izračunati integral:
x7
 x 4  1 dx.
9x3  6x 2  7 x  4
 x 4  x3  x 2  x dx .
6x2  2x  2
 x3  x dx
320. (januar 2009-usmeni)
Izračunati integral:

x 1
2x  1
dx .
321. (septembar 2011, januar 2009, februar 2008)
Naći:
1
dx
x 1
3
.
322. (jul 2013, oktobar 2009, septembar 2009)
Izračunati integral:
2
 2  x 
2
3
2 x
dx.
2 x
43
323. (jun 2010, septembar 2008-usmeni, januar 2006-usmeni)
Izračunati integral:

1 x
dx .
x (1  x)
4
324. (oktobar 2013)
Izračunati integral:
1
 x 13
 x 1

 dx .
 x 
2
325. (septembar 2007-usmeni, januar 2006-usmeni)
Izračunati integral:
x  x  3 x2
 x(1  3 x ) dx .
326. (septembar 2010)
Izračunati integral:
x3 x2
 x  3 x  2 dx .
327. (januar 2007)
Izračunati integral:
1
 1  sin x  cos x dx .
328. (februar 2008-usmeni)
4
Izračunati po definiciji:
 1  x dx .
1
329. (februar 2013, januar 2005)
e1
Izračunati:
 x ln( x  1)dx.
2
330. (februar 2013-usmeni, oktobar 2006)
f ( x) 
Odrediti površinu ograničenu x-osom i lukom krive:
1
.
x 1
2
331. (januar 2012, oktobar-2 2010, januar 2010, oktobar-2 2008, jun 2008)

Izračunati površinu oivičenu grafikom funkcije   =  − i x-osom.
332. (jun 2010, januar 2010, septembar 2009, oktobar-2 2008, jun 2008)
−
Izračunati površinu oivičenu grafikom funkcije   =  −− i x-osom.
333.(januar 2011-usmeni, jun 2006)
Izračunati površinu ograničenu lukom krive:
f ( x) 
334.(jun 2010)
Izračunati površinu oblasti oivičene x - osom i krivom:
335. (jun 2009)

Izračunati nesvojstveni integral:
x  32
x 2  10 x  16

nad intervalom (3,4).

f ( x)  x 2  8 e x u II i III
dx
 ( x  1)( x  4) .
0
336. (jun 2008-usmeni, oktobar-2 2006-usmeni, januar 2006-usmeni)
e
Izračunati nesvojstveni integral:
dx
 x ln x .
1
337. (januar 2006)
e
Izračunati nesvojstveni integral:
 x
1
dx
3
ln x
.
338. (oktobar-2 2006, oktobar 2006, februar 2006-usmeni, oktobar-2 2005-usmeni)
1
Izračunati nesvojstveni integral:
0
44
dx
 (2  x)
1 x
.
kvadrantu.
Matematika za ekonomiste
Časlav Pejdić, (064) 123 09 10
339. (jun 2009-usmeni)
1
Izračunati nesvojstveni integral:

0
dx
1  x2
.
340. (januar 2009)

Izračunati nesvojstveni integral:
e
 x e  x
dx .

341. (januar 2009)

Izračunati nesvojstveni integral:
e
x e x
dx .

342. (februar 2013)
Izračunati integral
 dxdy gde je D unutrašnjost trapeza sa temenima A(1,1), B(6,1), C(3,2), D(2,2).
D
343. (jun 2011, septembar 2010, januar 2010, januar 2009, februar 2008, septembar 2006)
Izračunati integral:
 dxdy gde je oblast D unutrašnjost paralelograma čije stranice pripadaju pravim linijama:
D
y  x  3, y  x  6, y  2 x  12 i y  2 x  6.
344. (jun 2010)
Izračunati dvojni integral:
 dxdy gde je D unutrašnjost paralelograma čije stranice pripadaju pravim linijama:
D
y  x  2, y  x  6, 3 y  x  2 i x  3y  6.
345. (januar 2013-usmeni, januar 2006)
Izračunati integral:
 dxdy gde je oblast D unutrašnjost paralelograma čije stranice pripadaju pravim linijama:
D
x  y, 2 x  y  0, x  y  4 i 2x  y  4.
346. (jul 2011, januar 2010, januar 2009, septembar 2008, februar 2006, januar 2005)
Izračunati integral:
 dxdy, gde oblast D predstavlja unutrašnjost četvorougla sa temenima
D
A(2,0), B(1,2), C(2,0), D(1,2).
347. (januar 2012, februar 2008)
Izračunati dvojni integral:
 dxdy, gde je D unutrašnjost trougla sa temenima A(1,2), B(2,1) i C(4,4).
D
348. (januar 2011)
Izračunati dvojni integral:
 dxdy, gde je D unutrašnjost trougla sa temenima A(1,2), B(2,1) i C(6,6).
D
349.(januar 2010, januar 2009-usmeni, septembar 2008)
Izračunati dvojni integral:
 dxdy, gde je D unutrašnjost trougla sa temenima A(1,1), B(2,1) i C(6,6).
D
350.(jun 2008)
Izračunati dvojni integral:
 dxdy, gde je D unutrašnjost trougla sa temenima A(1,0), B(3,3) i C(9,3).
D
351. (oktobar-2 2013)
Izračunati integral:
 dxdy , gde oblast D predstavlja unutrašnjost kruga x
2
 y2  2 .
2
 y2  1.
D
352. (februar 2013, januar 2009, oktobar 2006)
Izračunati integral:
 dxdy , gde oblast D predstavlja unutrašnjost kruga x
D
45
353. (septembar 2013, januar 2013, oktobar-2 2009-usmeni, februar 2008-usmeni)
Izračunati integral:
 xydxdy , gde je D unutrašnjost koju obrazuje krug x
 y2  9  8y
2
u četvrtom kvadrantu.
D
354. (februar 2013, oktobar 2012, septembar 2012, februar 2012, januar 2009, septembar 2008)
Izračunati dvojni integral:
 xydxdy, gde je D oblast ograničena krivom 2x
2
 3y 2  6
u
III
kvadrantu.
2
 3y 2  6
u
IV
kvadrantu.
2
 2 y2  6
D
355. (jul 2013, januar 2013, oktobar-2 2011, septembar 2010)
Izračunati dvojni integral:
 xydxdy, gde je D oblast ograničena krivom 2x
D
356. (januar 2013)
Izračunati dvojni integral:
 xydxdy, gde je D oblast ograničena krivom 3x
u
III
kvadrantu.
D
357. (januar 2013, oktobar 2008)
Izračunati integral:
 xydxdy, gde je oblast D ograničena lukom krive x
2
 y 2  45  14 x u IV
kvadrantu.
D
358. (februar 2012, oktobar 2011, januar 2011, oktobar 2008-usmeni, septembar 2007)
Izračunati dvojni integral:
 xydxdy , gde je D ograničena lukom krive x
2
 y 2  8x  12
u
I
2
 y 2  8x  12
u
IV
2
 y 2  8 y  12
u
I
2
 y 2  8 y  12
u
II
kvadrantu.
D
359. (oktobar 2010, februar 2008)
Izračunati dvojni integral:
 xydxdy , gde je D ograničena lukom krive x
kvadrantu.
D
360. (januar 2011, februar 2008)
Izračunati integral:
 xydxdy , gde je oblast D ograničena lukom krive x
kvadrantu.
D
361. (septembar 2009, oktobar 2007)
Izračunati integral:
 xydxdy , gde je oblast D ograničena lukom krive x
kvadrantu.
D
362. (decembar 2011-apsolventski, januar 2011, januar 2009, oktobar-2 2008-usmeni, septembar 2006)
Izračunati dvojni integral:
 xydxdy , gde je D ograničena lukom krive x
2
 y 2  5  6 x u IV
kvadrantu.
D
363. (januar 2009-usmeni)
Izračunati dvojni integral
 ( x  y)dxdy gde je oblast D ograničena linijama y  x
2
 2 i y  1  2 x.
D
364. (oktobar-2 2010-usmeni, septembar 2007, oktobar 2006, oktobar-2 2005-usmeni, januar 2005)
Izračunati integral:
 ( x  2 y)dxdy , ako je oblast D ograničena krivama y  x
D
365. (januar 2012-usmeni , oktobar-2 2010-usmeni, jun 2009-usmeni)
Promeniti poredak integracije kod dvojnog integrala
1
e
0
ex
 dx  f ( x, y)dy .
366. (septembar 2007-usmeni, februar 2006-usmeni)
Promeniti poredak integracije u integralu:
46
2
ey
1
ln y
 dy  dx.
2
i
x  y2 .
Matematika za ekonomiste
Časlav Pejdić, (064) 123 09 10
10. DEO
DIFERENCIJALNE JEDNAČINE
U desetom delu upoznaćete se sa zadacima u kojima se rešavaju diferencijalne jednačine.
Najpre su dati zadaci sa diferencijalnim jednačinama prvog reda i to grupisani po tipovima (diferencijalna jednačina koja
razdvaja promenljive, homogena diferencijalna jednačina, linearna diferencijalna jednačina i Bernulijeva diferencijalna
jednačina).
Zatim su dati zadaci sa diferencijalnim jednačinama drugog reda takođe grupisane po tipovima (diferencijalna jednačina koja
ne sadrži x , diferencijalna jednačina koja ne sadrži y , linearna diferencijalna jednačina drugog reda sa konstantnim
koeficijentima).
Teorijska pitanja na usmenom:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Homogena diferencijalna jednačina drugog reda sa konstantnim koeficijentima
Nehomogena diferencijalna jednačina drugog reda sa konstantnim koeficijentima
Linearna diferencijalna jednačina prvog reda
Bernulijeva diferencijalna jednačina
Diferencijalne jednačine sa razdvojenim promenljivim
Homogena diferencijalna jednačina prvog reda
Linearne diferencijalne jednačine drugog reda sa konstantnim koeficijentima
Definicija 1: (osnovni pojmovi)
Jednačina oblika  , ,  ′ ,  " , … ,   = 0, gde je y = y(x) funkcija nezavisne promenljive x, a y’,y’’,…,y(n) prvi, drugi,…, n-ti
izvod ove funkcije po promenljivoj x, je diferencijalna jednačina n-tog reda.
Red diferencijalne jednačine je red najvišeg izvoda koji se u njoj pojavljuje.
Svaka funkcija y = (x) koja identički zadovoljava diferencijalnu jednačinu je rešenje te diferencijalne jednačine.
Funkcija y = (x,C1,C2,…,Cn) koja sadrži n proizvoljnih i nezavisnih konstanti C1,C2,…,Cn, a koja identički zadovoljava
diferencijalnu jednačinu je njeno opšte rešenje ili opšti integral.
Rešenje koje se dobija iz opšteg rešenja dajući proizvoljnim konstantama C1,C2,…,Cn određene vrednosti C10,C20,…,Cn0, je
partikularno rešenje diferencijalne jednačine.
Ako diferencijalna jednačina ima i takvo rešenje y = g(x) koje se ne može dobiti iz njenog opšteg rešenja, ni za koje vrednosti
proizvoljnih konstanti C1,C2,…,Cn, onda se takvo rešenje naziva singularno rešenje diferencijalne jednačine.
Opšte rešenje diferencijalne jednačine u koordinatnom sistemu predstavlja familiju krivih linija koje zavise od n parametara
C1,C2,…,Cn. Te krive linije zovu se integralne krive diferencijalne jednačine.

Ako je data familija krivih linija i ako iz sistema koji sadrži n + 1 jednačinu,  =  , 1 , 2 , … ,  ,  ′ = , … ,   =
 


, eliminišemo parametre C1,C2,…,Cn, dobijamo diferencijalnu jednačinu čiji je opšti integral ta familija krivih linija.
Teorema 1: (Košijeva teorema)
Ako su funkcija  ,  i njen prvi parcijalni izvod


neprekidni u oblasti =
,   ≤  ≤ ,  ≤  ≤  ravni xOy, tada za
svaku tačku A(x0,y0) unutar oblasti D, postoji samo jedno rešenje diferencijalne jednačine y = (x) koje zadovoljava početni
uslov y = y0za x = x0 (y0 = (x0)). Geometrijski to znači, da kroz svaku tačku A(x0,y0) i unutar oblasti D prolazi jedna i samo
jedna integralna kriva y = (x) diferencijalne jednačine.
Definicija 2: (jednačina koja razdvaja promenljive)
To je diferencijalna jednačina oblika  ′ = () ∙ ().Kako je  ′ =
opšte rešenje

()
=


,imamo

( )
=   , a odatle se integracijom dobija
   + , gde je C proizvoljna konstanta.
47
Definicija 3: (homogena diferencijalna jednačina)
To je jednačina oblika  ′ = 

  −
=





. Smenom = gde je nova funkcija od , svodi se na jednačinu koja razdvaja promenljive

.
Neka je njeno opšte rešenje z = (x,C). Tada je, zbog y = zx, opšte rešenje homogene jednačine  = (, ).
Definicija 4: (linearna diferencijalna jednačina)
To je jednačina oblika  ′ +    = (). Opšte rešenje diferencijalne jednačine dato je sa
= −     +        .
Definicija 5: (Bernulijeva jednačina)
To je jednačina oblika  ′ +    = Q(x)y s . Deoba obe strane sa ys daje
′
′

+   1− =   . a odavde smenom  =
1− ,  ′ = (1 − )  , dobijamo linearnu jednačinu po novoj nepoznatoj funkciji z

 ′ + 1 −     = 1 −  ().
Definicija 6: (diferencijalna jednačina koja ne sadrži y)
To je jednačina oblika (,  ′ , ") = 0. Smenom y’ = p, y’’ = p’, svodi se na jednačinu prvog reda po funkciji p:  , , ′ = 0.
Ako je njeno opšte rešenje  = (, 1 ), tada je zbog p = y’, y’ = (x,C1), te je  =  , 1  + 2 , što predstavlja opšte
rešenje diferencijalne jednačine.
Definicija 7: (diferencijalna jednačina koja ne sadrži x)
To je jednačina oblika Φ y, y ′ , y" = 0.Smenom  ′ = , koja daje " =
Φ y, ,




, odnosno " =
 
 
ili " =


, jednačina postaje
 = 0, tj. diferencijalna jednačina prvog reda funkcije p po nezavisnoj promenljivoj y. Ako je njeno opšte rešenje
 =  , 1 , tada je, zbog y’ = p,  ′ =  , 1 tj.
rešenje diferencijalne jednačine.

  ,1
= što, posle integracije, daje  , 1 =  + 2 i predstavlja opšte
Definicija 8: (homogena linearna diferencijalna jednačina drugog reda sa konstantnim koeficijentima)
To je jednačina oblika " + ′ +  = 0.Njeno opšte rešenje je oblika  = 1 1 + 2 2 gde su C1 i C2 proizvoljne i
međusobno nezavisne konstante a y1 = y1(x) i y2 = y2(x) dva linearno nezavisna rešenja diferencijalne jednačine.
1 2
Da bi funkcije y1 i y2 bile linearno nezavisne potrebno je da je  1 , 2 =  ′  ′ ≠ 0.Rešenja y1 i y2 zovemo osnovna
1
2
rešenja.Osnovna rešenja tražimo u obliku y=  ,gde je r konstanta koju treba odrediti. Kako je y’ = rerx, y” = r2erx, to, zamenom
u diferencijalnu jednačinu, dobijamo posle skraćivanja sa erx , 2 +  +  = 0. Prethodna jednačina je karakteristična
jednačina diferencijalne jednačine. Neka su r1 i r2 koreni karakteristične jednačine. Mogu da nastupe tri slučaja:
1) Ako je D = b2 – 4ac > 0, tada je r1 r2 pa je opšte rešenje diferencijalne jednačine = 1  1  + 2  2  .
2) Ako je D = 0, tada je r1 = r2 pa je = 1  1  + 2  2  .
3) Ako je D < 0, tada je r1,2 = u  iv, pa je =   1  + 2  .
Definicija 9: (nehomogena linearna diferencijalna jednačina)
To je jednačina oblika " + ′ +  = () ≠ 0.Opšte rešenje te jednačine se dobija kao zbir njenog homogenog dela, yh, i
njenog partikularnog rešenja, yp, tj.  =  +  .Oblik u kome se traži partikularno rešenje, yp, zavisi od oblika date funkcije
f(x). Mi ćemo posmatrati ovde sledeće jednačine:
1)
" + ′ +  =    + −1  −1 + ⋯ + 0 .
Partikularno rešenje se traži u obliku:
a)  =    + −1  −1 + ⋯ + 0 ,ako je  ≠ 0,
b)  =     + −1  −1 + ⋯ + 0 ,ako je  = 0.
2)
48
" + ′ +  =   .
Matematika za ekonomiste
Časlav Pejdić, (064) 123 09 10
Partikularno rešenje se traži u obliku:
a)  =   ,za  ≠ 1 i  ≠ 2 .
b)  =   ,za  = 1 ili = 2 1 ≠ 2 .
c)  =  2   ,za  = 1 = 2 .
3)
" + ′ +  =   +   .
Partikularno rešenje traži se u obliku:
a)  =   +   1,2 ≠ ±,
b)  =    +   1,2 = ±.
4)
" + ′ +  =    + −1  −1 + ⋯ + 0   .
Smenom  =   ,gde je nova nepoznata funkcija, svodi se na slučaj 1.
5)
" + ′ +  =   +     .
Smenom  =   ,gde je nova nepoznata funkcija, svodi se na slučaj 4.
6)
Ako je   = 1  + 2  + ⋯ +   , gde su 1  , 2  , … ,   funkcije iz tačaka1 do 5, onda se partikularno
rešenje traži u obliku zbira partikularnih rešenja pojedinih funkcija, tj. yp = yp1 + yp2 + … + ypn.
367. (jun 2010, januar 2006-usmeni, januar 2005)
Rešiti diferencijalnu jednačinu:  ′ +  2 = 0.
368. (januar 2005)

Naći opšte rešenje diferencijalne jednačine:
+
2
1−

1− 2
= 0.
369. (januar 2011, jun 2008-usmeni, februar 2006-usmeni)
Naći opšte rešenje diferencijalne jednačine:  1 +  2  +  1 +  2  = 0.
370. (oktobar 2010, oktobar 2009, jun 2006, februar 2006, februar 2005, januar 2005)
Naći opšte rešenje diferencijalne jednačine: +  +  ′  +  = 0.
371. (januar 2013, januar 2010, jun 2009, januar 2007-usmeni)
Rešiti diferencijalnu jednačinu:  3 − 2 2 +  − 2  ′ = 2 2  + 3 − 4.
372. (februar 2013, januar 2013, januar 2010)
Rešiti diferencijalnu jednačinu: 8 2 − 12 + 2  ′ =  3 − 2 2 +  − 2 .
373. (jun 2013, septembar 2012, januar 2010, oktobar 2009, oktobar 2006-usmeni)

Naći opšte rešenje diferencijalne jednačine:  ′ =  +  1 +  − .
374. (jul 2013, oktobar 2010, oktobar 2008, februar 2008-usmeni)
Rešiti diferencijalnu jednačinu:  ′  +  =  + .
375. (oktobar 2011-usmeni, oktobar-2 2009-usmeni, februar 2008-usmeni)
Rešiti diferencijalnu jednačinu: 2  2 +   = .
376. (oktobar 2008)
Naći opšte rešenje diferencijalne jednačine:  ′ +  = .
377. (februar 2011-usmeni)
Odrediti opšte rešenje diferencijalne jednačine:  +  2  = ′.
378. (oktobar 2010-usmeni, januar 2009, oktobar 2007)
Rešiti diferencijalnu jednačinu:  ′ −  = 2 2 .
379. (februar 2008-usmeni)
1
1
Rešiti diferencijalnu jednačinu:  ′ +  3 = .
2
2
380. (januar 2009-usmeni)
Rešiti diferencijalnu jednačinu: 2 ′ +  3  =  .
381. (januar 2011)
Naći opšte rešenje diferencijalne jednačine: " +  = .
382. (jun 2010, februar 2006, oktobar 2005)
Rešiti diferencijalnu jednačinu: " + 2′ +  = 1 +   − .
383. (jun 2013, januar 2010, septembar 2009, jun 2006)
Rešiti diferencijalnu jednačinu: " − 4′ + 4 = 1 −   2 .
384. (februar 2013)
Rešiti diferencijalnu jednačinu: " − 4′ + 3 = 1 −   2 .
385. (oktobar 2006)
Rešiti diferencijalnu jednačinu: " − 4′ + 3 = 1 −   2 +  .
386. (februar 2012, septembar 2010)
Rešiti diferencijalnu jednačinu: " − 2′ +  =  2   .
387. (oktobar 2006-usmeni)
Rešiti diferencijalnu jednačinu:" −  = 3 2 .
49
388. (septembar 2006)
Rešiti diferencijalnu jednačinu: " − 2′ − 3 =   2.
389. (oktobar 2007, oktobar-2 2005-usmeni)
Rešiti diferencijalnu jednačinu: " − 2′ =    3 .
390. (januar 2010-usmeni, januar 2006)
Rešiti diferencijalnu jednačinu: " − 3′ + 2 =  2 + .
391. (oktobar-2 2009, oktobar-2 2008, februar 2008, oktobar-2 2006)
Rešiti diferencijalnu jednačinu: " − 5′ + 6 =  2 +  3 .
392. (januar 2012, septembar 2010, jun 2006)
Odrediti opšte rešenje diferencijalne jednačine: " − 7′ + 12 = 3 +  4 .
393. (februar 2011, januar 2009-usmeni)
Odrediti opšte rešenje diferencijalne jednačine: " − 7′ + 12 = 4 +  3 .
394. (januar 2009, januar 2007)
Odrediti opšte rešenje diferencijalne jednačine: " − 16 = 4 +  4 .
395. (januar 2007)
Odrediti opšte rešenje diferencijalne jednačine: " + ′ − 12 =  3 − 4.
396. (septembar 2006, januar 2006, februar 2005)
Rešiti diferencijalnu jednačinu: " + 2′ − 3 =  2 −  − .
397. (januar 2005)
Rešiti diferencijalnu jednačinu: " − 3′ + 2 =   − 6.
398. (oktobar 2006)
Naći opšte rešenje diferencijalne jednačine: " + 17′ + 72 =  −9 − 8.
399. (januar 2010)
Naći opšte rešenje diferencijalne jednačine: " + 17′ + 72 =  −8 − 9.
400. (januar 2011, jun 2008, januar 2007-usmeni)
Naći opšte rešenje diferencijalne jednačine: " − 17′ + 72 =  8 + 9.
401. (januar 2009)
Odrediti opšte rešenje diferencijalne jednačine: " + 16 =  3 + 3 .
402. (januar 2009, septembar 2007)
Odrediti opšte rešenje diferencijalne jednačine: " + 16 =  4 + 4 .
403. (januar 2012)
Odrediti opšte rešenje diferencijalne jednačine: " − ′ =  +  − .
404. (jun 2010)
Odrediti opšte rešenje diferencijalne jednačine: " + ′ =  +  − .
405. (januar 2012)
Odrediti opšte rešenje diferencijalne jednačine: " − 7′ =  +  7 .
406. (januar 2011, septembar 2010, oktobar-2 2009, oktobar-2 2008, oktobar-2 2006)
Naći opšte rešenje diferencijalne jednačine: " − 4′ + 3 =  3 +  3 .
407. (septembar 2007)
Naći opšte rešenje diferencijalne jednačine: " + 9 = 3 + 3.
408. (jun 2010-usmeni, septembar 2009-usmeni, januar 2009)
Naći opšte rešenje diferencijalne jednačine: " − 9 = 3 +  3 .
409. (februar 2006)
Rešiti diferencijalnu jednačinu: " − 4′ + 3 =  2 + 3.
410. (februar 2011)
Naći opšte rešenje diferencijalne jednačine: " + 16 =  4 +  4
411. (februar 2006, januar 2006)
Naći opšte rešenje diferencijalne jednačine: " + 16 = 2 4 + 3 4
412. (septembar 2006, oktobar-2 2005-usmeni)
Postaviti diferencijalnu jednačinu čije će opšte rešenje glasiti: = 1 2 + 2 2.
413. (januar 2013-usmeni)
Postaviti diferencijalnu jednačinu čije će opšte rešenje glasiti: = 1  2 + 2  −2 .
414. (septembar 2007-usmeni, januar 2006-usmeni)
Postaviti diferencijalnu jednačinu čije će opšte rešenje glasiti: = 1  2 + 2  −2 +  2 .
50
Matematika za ekonomiste
Časlav Pejdić, (064) 123 09 10
11. DEO
VEROVATNOĆA
U jedanaestom delu upoznaćete se sa zadacima iz verovatnoće.
Zadaci su grupisani od lakših ka težim.
Teorijska pitanja na usmenom:
1.
2.
3.
4.
Uslovna verovatnoća (definicija i osnovne osobine)
Pojam verovatnoće (definicija i osnovne osobine)
Bajesova formula
Uslovna verovatnoća i nezavisni događaji
Definicija 1: (verovatnoća i događaj)
Elementarni događaji su mogući ishodi slučajnih eksperimenata. Označavaju se sa i (i  I), a skup svih takvih elementarnih
događaja označavamo sa  i nazivamo prostorom elementarnih događaja ili prostorom mogućih ishoda.
Događaj će biti svaki podskup skupa .
Presek događaja A i B označavamo sa AB, ili samo sa AB, i definišemo sa: AB ={ A  B.
Slično, unija se definiše sa: A  B = { A  B},
a specijalno, kada AB = , uniju označavamo sa A + B.
Komplement, odnosno suprotan događaj, događaja je  = Ω\ .
Skup  nazivamo izvesnim, a  nemogućim događajem.
Kada je skup  konačan, a mi ćemo to ovde uvek pretpostavljati, verovatnoću nekog slučajnog događaja A , u oznaci P(A),

definišemo kao:   = , gde je n ukupan broj mogućih, a m ukupan broj povoljnih događaja, pod pretpostavkom da su svi

elementarni događaji jednako verovatni. Biće naime:
P( A)   p( ) , gde smo sa p() označili verovatnoću elementarnog
A
doga|aja . Ovakva funkcija P ima sledeće osobine:
0 ≤   ≤ 1,   
 ∅ =0
 Ω =1
  ∪  =   +   −  
  =1− 
Specijalno, ako AB = , onda P(A+B) = P(A) + P(B).
Definicija 2: (uslovna verovatnoća i nezavisni događaji)
Uslovnu verovatnoću P(B | A) događaja B pod uslovom da se ostvari događaj A, pretpostavljajući da je
 
P(A) > 0, definišemo kao:  | =
.Ovako definisana funkcija uslovne verovatnoće ima sledeće osobine:
 
0 ≤  | ≤ 1
 ∅| = 0
 | = 1
 | = 1,    ⊂ 
  + | =  | +  | ,    = ∅
 | +  | = 1
Formula potpune verovatnoće. Niz skupova A1,…,An nazivamo razbijanjem izvesnog događaja  ako je AiAj = , za sve i  j, i, A1
+ … + An = . Još se kaže da ovakva kolekcija skupova čini potpun sistem događaja, i za njega, uz pretpostavku P(Ai) > 0, za
n
svaki i važi:
P( B)   P( B | Ai ) P( Ai ) , gde je B  proizvoljan događaj.
i 1
Specijalno za 0 < P(A) < 1:   =  |   +  |   .
Za događaje A i B kažemo da su nezavisni ako je P(AB) = P(A) P(B). Stoga se nezavisnost događaja može okarakterisati i
uslovom: P(B | A) = P(B).
51
415. (januar 2012)
U kutiji se nalazi 30 belih i 10 crvenih kuglica.
a) Izvlačimo četiri kuglice iz kutije, jednu za drugom, tako što svaki put ponovo vratimo izvučenu kuglicu u kutiju, da bi
izvlačenje ponovili iz kutije sa početnim brojem kuglica.
b) izvlačimo 4 kuglice iz kutije, odjednom
Naći verovatnoću da će od četiri izvučene kuglice dve biti bele i dve crvene.
416. (januar 2011, januar 2011-usmeni, januar 2010, septembar 2006)
Iz kutije u kojoj se nalazi 6 crvenih i 8 plavih kuglica na slučajan način izvlačimo tri kuglice:
a) odjednom
b) jednu za drugom sa vraćanjem.
Kolike su verovatnoće događaja: A - da izvučemo sve tri kuglice iste boje i B - da izvučemo tri kuglice plave boje.
417. (oktobar-2 2013-usmeni, februar 2013, februar 2013-usmeni, januar 2012, septembar 2010-usmeni, februar 2008usmeni, januar 2006)
Da bi pronašao jednu knjigu, student ima nameru da obiđe tri biblioteke. Za svaku od biblioteka je jednako verovatno da
nema, odnosno da ima tu knjigu u svom knjižnom fondu, a takođe, ako biblioteka ima knjigu, verovatnoća da je ta knjiga
slobodna jednaka je verovatnoći da je ista zauzeta. Kolika je verovatnoća da će student dobiti traženu knjigu?
418. (februar 2008)
U prvoj kutiji je 5 belih i 10 crvenih, a u drugoj 3 bele i 7 crvenih kuglica. Iz druge kutije smo u prvu prebacili jednu
kuglicu, a zatim smo iz prve kutije izvukli jednu kuglicu. Koja je verovatnoća da smo izvukli belu kuglicu?
419. (oktobar 2008, jun 2006)
Iz kutije u kojoj se nalaze 4 bele, 6 plavih i 8 zelenih kuglica, slučajno izvlačimo 3 kuglice. Odrediti verovatnoću događaja A
- da izvučemo sve tri kuglice iste boje i B - da izvučemo tri kuglice različitih boja?
420. (septembar 2011)
Iz kutije u kojoj se nalazi 8 crvenih i 9 plavih kuglica na slučajan način izvlačimo 4 kuglice:
a) odjednom
b) jednu za drugom sa vraćanjem.
Kolike su verovatnoće događaja: A - da izvučemo sve 4 kuglice iste boje i B - da izvučemo bar dve kuglice plave boje?
421. (jun 2011)
Iz kutije u kojoj se nalazi 7 crvenih i 9 plavih kuglica na slučajan način izvlačimo 4 kuglice:
a) odjednom
b) jednu za drugom sa vraćanjem.
Kolike su verovatnoće događaja: A - da izvučemo sve 4 kuglice iste boje i B - da izvučemo bar dve kuglice plave boje?
422. (januar 2011, jun 2009, januar 2009)
Iz kutije u kojoj se nalazi 6 crvenih i 8 plavih kuglica na slučajan način izvlačimo 4 kuglice:
a) odjednom
b) jednu za drugom sa vraćanjem.
Kolike su verovatnoće događaja: A - da izvučemo sve 4 kuglice iste boje i B - da izvučemo bar dve kuglice plave boje?
423. (septembar 2007)
Iz kutije u kojoj se nalazi 8 belih i 9 crvenih kuglica izvlačimo dve kuglice. Odrediti verovatnoću događaja A da, izvlačeći
kuglice odjednom, izvučemo 2 bele kuglice; događaja B da, izvlačeći kuglice odjednom, izvučemo 2 kuglice različitih boja;
kao i događaja C da, izvlačeći kuglice jednu za drugom, bez vraćanja, izvučemo drugu kuglicu bele boje.
424. (februar 2011-usmeni , januar 2010, septembar 2007)
Iz kutije u kojoj se nalazi 7 belih, 8 crvenih i 9 zelenih kuglica izvučene su odjednom 2 kuglice. Ispostavilo se da su te 2
kuglice različitih boja. Naći verovatnoću događaja A da je jedna od njih bela i jedna crvena i događaja B da je jedna od njih
bela.
425. (septembar 2011, oktobar-2 2010, septembar 2008, jun 2008-usmeni, septembar 2006, februar 2006-usmeni)
Jednu kocku smo obojili a zatim smo je isekli na manje međusobno jednake kocke tri puta kraćih ivica od polazne. Slučajno
biramo jednu od dobijenih kocki i bacamo je. Odrediti verovatnoću događaja:
A - da je bačena kocka pala na obojenu stranu.
426. (januar 2013-usmeni, januar 2012-usmeni, oktobar-2 2010, januar 2010, oktobar 2008-usmeni, februar 2008)
U kutiji se nalaze dve kocke. Jednoj su tri polja označena brojem 1 i tri preostala polja brojem 2, dok su drugoj dva polja
označena brojem 1, a preostala četiri polja brojem 2. Slučajno izvlačimo jednu kocku i bacamo je. Pretpostavimo da se
pojavio broj 1. Koja je verovatnoća da smo izvukli prvu kocku?
427. (septembar 2013, februar 2008)
Iz kutije u kojoj se nalazi 8 belih i 9 crvenih kuglica jedna kuglica je izgubljena. Da bismo, na osnovu eksperimenta, izveli
zaključak o boji izgubljene kuglice, izvukli smo odjednom 3 kuglice i to 1 belu i 2 crvene. Naći verovatnoću događaja B da je
izgubljena kuglica bele boje i događaja C da je izgubljena kuglica crvene boje.
428. (decembar 2011-apsolventski, oktobar 2011, januar 2010, jun 2008-usmeni, januar 2006-usmeni)
U prvoj kutiji ima b – belih i c – crvenih, a u drugoj x – belih i y – crvenih kuglica.
a) Iz prve kutije prebacujemo jednu kuglicu u drugu kutiju, ne obraćajući pažnju na njenu boju. Nakon toga, iz druge kutije
izvlačimo jednu kuglicu. Kolika je verovatnoća događaja A da je izvučena kuglica bele boje?
b) Pretpostavljajući da je b≥3 i c≥3, iz prve kutije prebacujemo 3 kuglice u drugu kutiju, ne obraćajući pažnju na njihove
boje. Posle toga, iz druge kutije izvlačimo jednu kuglicu. Kolika je verovatnoća događaja B da je izvučena kuglica bele boje?
429. (septembar 2009)
U prvoj kutiji ima b - belih i c - crvenih, u drugoj x - belih i y - crvenih, dok se u trećoj kutiji nalaze samo bele kuglice.
Slučajnim putem biramo kutiju i iz nje slučajno izvlačimo jednu kuglicu i to bele boje. Koja je verovatnoća da smo kuglicu
izvukli iz prve, druge, odnosno treće kutije.
52
Matematika za ekonomiste
Časlav Pejdić, (064) 123 09 10
430. (jul 2013)
U ruletu, u jednoj igri, kuglica se može zaustaviti na jednom od polja označenih brojevima od 0 do 36. Posmatramo rezultat
13 određenih igara. Kolika je verovatnoća da se u posmatranim igrama kuglica zaustavi:
A – redom na svakom od brojeva 1 do 13 po jednom
B - na svakom od brojeva od 1 do 13 po jednom
C – svaki put na istom broju
D – svaki put na broju 3?
431. (februar 2011)
Bacaju se dva novčića četiri puta.
a) Odrediti verovatnoću događaja da u sva četiri bacanja padne ista strana na oba novčića
b) Odrediti verovatnoću događaja da u sva četiri bacanja na novčićima padne različita strana
c) Odrediti verovatnoću događaja da u jednom bacanju na novčićima padnu iste, a u preostala tri bacanja različite strane.
53
12. DEO
FINANSIJSKA MATEMATIKA
U dvanaestom delu upoznaćete se sa zadacima iz finansijske matematike.
Ova oblast retko dolazi na ispitu i ovde su dati primeri zadataka koji se uglavnom ponavljaju na ispitu.
Teorijska pitanja na usmenom:
1.
2.
3.
4.
Nominalna i efektivna interesna stopa (definicija, međusobni odnosi i osnovne osobine)
Složen interesni račun
Bajesova formula
Prost interesni račun
Definicija 1: (procentni račun)
U procentnom računu se javLJaju sledeće veličine: G – glavnica (osnovna veličina), P – prinos, p – procenat, tj. broj jedinica
prinosa na svakih 100 jedinica glavnice. Veličine G, P i p stoje u proporciji G : P = 100 : p, odakle se dobijaju veličine:
100∙
∙
100∙
=
, =
, =
.Iz početne proporcije sledi proporcija

100

G : 100 = P : p, iz koje se dobija produžena proporcija (G  P) : (100  p) = G : 100 = P : p.
± 
± ∙100
Iz nje nalazimo prinos  =
i glavnicu  =
, za slučajeve kada je glavnica uvećana ili umanjena prinosom.
100±
100±
Definicija 2: (interesni račun)
U interesnim računima javljaju se sledeće veličine: K – kapital,i – interes, p – interesna stopa koja kazuje koliko se novčanih
jedinica interesa plaća na 100 dinara kapitala za jednu godinu, t – vreme koje može biti dato u godinama g, mesecima m i u
danima d.
Koriste se stalni brojevi 100 kada je vreme dato u godinama, 1200 kada je vreme dato u mesecima i 36000 ili 36500 kada je
vreme dato u danima, zavisno da li godinu računamo kao 360 ili 365 dana.
:  = 100:  ∙  :  = 36000:  ∙ 
Veličine K, i, p i t stoje u proporciji
:  = 1200:  ∙  :  = 36500:  ∙ 
odakle se dobijaju veličine K, i, p i t.
Izračunavanje ukupnog interesa i kod potrošačkog kredita od K dinara, uzetog na n jednakih otplata uz godišnju interesnu
∙∙  +1
stopu od p% je  =
.
2400
Definicija 3: (složen interesni račun)
Krajnja vrednost kapitala Kn (uvećani ulog zajedno sa interesom na interes) pri godišnjem kapitalisanju nakon n godina je


 = 0 1 +
,gde je K0 početni kapital a p dekurzivna interesna stopa. Kapitalisanje pored godišnjeg u oznaci (pa) može
100
biti šestomesečno (ps), tromesečno (pd), mesečno (pm), dnevno i neprekidno.
Računanje i odobravanje kamate na kraju određenog vremenskog intervala zove se dekurzivno računanje interesa i označava
se slovom d uz interesnu stopu. Tako (pa) d znači da je interesna stopa p% godišnja.
Ako se kapitalisanje vrši m puta godišnje uz interesnu stopu p% tada je krajnja vrednost kapitala K0 posle n godina


 = 0 1 +
.
100
Ako je kapitalisanje neprekidno uz godišnju interesnu stopu p%, tada je krajnja vrednost kapitala K0 posle vremena t koje je

dato u godinama (t ne mora biti ceo broj) jednaka  = 0  100 .
Neka je p1% interesna stopa pri kapitalisanju m puta godišnje, a p% godišnja interesna stopa pri neprekidnom kapitalisanju.
Da bi krajnje vrednosti kapitala, pri neprekidnom kapitalisanju i pri kapitalisanju m puta godišnje, na kraju obračunskog

perioda imale iste vrednosti, za interesne stope p i p1 važi relacija  = 100 ∙  ∙  1 + 1 .
100
432. (septembar 2008-usmeni)
Cena hleba je uvećana za 150%. Da bi koštao isto kao i pre poskupljenja, za koliko procenata treba umanjiti novu cenu?
433. (oktobar 2013, januar 2011-usmeni)
Odrediti funkciju akumulacije u računu prostih i računu složenih interesa.
434. (jun 2009-usmeni, februar 2006)
Na koliko naraste ulog od 25000 dinara za tri godine, ako je interesna stopa 6% (pa)d i kapitalisanje:
a) godišnje,
b) tromesečno,
c) neprekidno?
54
Matematika za ekonomiste
Časlav Pejdić, (064) 123 09 10
435. (oktobar-2 2009-usmeni)
Odrediti interesnu stopu p pri kojoj kapital uz neprekidno kapitalisanje dostiže istu vrednost na kraju jedne godine, kao i
pri interesnoj stopi od 10% uz godišnje kapitalisanje.
436. (septembar 2008-usmeni)
Odrediti interesnu stopu p pri kojoj kapital uz neprekidno kapitalisanje dostiže istu vrednost na kraju jedne godine, kao i
pri interesnoj stopi od 8% uz godišnje kapitalisanje.
437. (oktobar 2013, oktobar 2011-usmeni, jul 2011, oktobar-2 2009-usmeni, septembar 2009, oktobar 2008)
Odrediti efektivnu godišnju kamatu koja odgovara nominalnoj godišnjoj stopi od 20% uz kapitalisanje:
a) polugodišnje
b) kvartalno
c) neprekidno
438. (januar 2011, januar 2011-usmeni, oktobar 2010, januar 2010, oktobar 2008, februar 2008)
Odrediti efektivnu godišnju kamatu koja odgovara nominalnoj godišnjoj stopi od 40% uz kapitalisanje:
a) polugodišnje
b) tromesečno
c) neprekidno
55
REŠENJA
3.
4.
Relacija  je relacija poretka na skupu realnih brojeva za n = 3. Za n = 4 relacija  nije relacija poretka jer npr. nije
antisimetrična (2  -2 i -2  2).
Relacija  je relacija poretka na skupu prirodnih brojeva, a na skupu celih brojeva nije jer nije antisimetrična (2 -2 i -2 
2).
Relacija  je relacija poretka na skupu prirodnih brojeva.
1
1
Relacija  jeste relacija poretka na skupu 1, +∞ , ali ne i na skupu R, jer na skupu R nije antisimetrična 7    7 .
5.
6.
Re lacija  na skupu R zadovoljava osobine refleksivnosti i tranzitivnosti.
Relacija  jeste relacija poretka na skupu 1, +∞ , ali ne i na skupu R, jer na skupu R nije antisimetrična 7 
1.
2.
1 1
7
1
7
7

1
7
7 .
7.
Relacija  jeste relacija ekvivalencije. Klasa ekvivalencije broja 3 je −3, − , , 3 .
8.
Relacija  jeste relacija ekvivalencije. Klasa ekvivalencije broja 0 je 0 , klasa ekvivalencije broja 1 je 1, −1 , a klasa
1
1
ekvivalencije broja 2 je 2, −2, , − .
9.
Relacija  jeste relacija ekvivalencije. Klasa ekvivalencije broja 7 je 7, , a klasa ekvivalencije broja je
3 3
2
2
1
2
2 7
7
7
7 2
,
.
10. Relacija  jeste relacija ekvivalencije.
11. Nad skupom  = 1,2,3,4 može se definisati 15 različitih relacija ekvivalencije.
12. Ne sledi, jer npr. za  = 1,2 , 2,3 , 1,3 i  = 2,4 , 4,5 , 2,5 ,  ∪  = 1,2 , 2,3 , 1,3 , 2,4 , 4,5 , 2,5 , pa iako
su  i  tranzitivne relacije  nije tranzitivna. 1  2 ∧ 2  4 ∧ 1   4 .
13. Relacija -1 jeste relacija ekvivalencije na skupu A, pod uslovom da je  refleksivna i tranzitivna.
14. Funkcija f(x) nije bijekcija jer nije ni “1-1” ni “NA” na skupu realnih brojeva, dok funkcija g(x) jeste bijekcija.
15. Funkcija f(x) nije bijekcija jer nije ni “1-1” ni “NA” na skupu realnih brojeva, dok funkcija g(x) jeste bijekcija.
16. Funkcija () nije ni ni “1-1” ni “NA”, pa nije bijekcija. Međutim, ako bi njen domen i kodomen definisali kao
: −3, +∞ → [−12, +∞), onda bi funkcija   bila bijekcija. Funkcija   je i “1-1” i “NA”, pa je bijekcija. Odgovarajuće
3
inverzne funkcije su:  −1  = −3 + 12 + ,  −1 : −12, +∞ → [−2, +∞) i −1  =  − 1, −1 :  → .
56
Matematika za ekonomiste
Časlav Pejdić, (064) 123 09 10
17. Za  = 1 ∧  = 1 funkcija je bijekcija.  −1  = 2 − 1 − ,  −1 : 0,1 → 1,2 .
18. Koristeći definiciju lako se dokaže da  ↗   > 0,  ↘  < 0,  ∪  ∀ ∈ .
 0
19. Sa matricom A su komutativne sve matrice oblika
, ,  ∈ .
 
 2 − 2
20. Sa matricom A su komutativne sve matrice oblika
, ,  ∈ .
0

5 −3 10
21. −1 = −3 2 −6 .
−3 2 −7
1 −2 1
22. −1 = 0 1 −2 .
0 0
1
−8 29 −11
23. −1 = −5 18 −7 .
1 −3
1
5 3 1
1
24. −1 = 3 3 0 .
3
4 3 −1
−1
25. 
=  −1  =  −1 −1 =  −1 −1 =  −1  −1 −1 = −1 −1 = −1 −1 .
3 −1 1
26.  = −1 2 −1 .
1
0
2
1 2 0
27.  = 0 0 9 .
0 9 1
0 1 1
28.  = 2 2 2 .
3 4 5
0 1 2
29.  =
.
3 4 5
−9 6 −18
30.  = 13 −4 24 .
−8 2 −12
31.   = 2 nezavisno od parametra a.
32. Za  ≠ −3 ⟹   = 3,    = −3 ⟹   = 2.
33. Kako je   = 2 ⇒ Matrica A ima dve linearno nezavisne vrste.
34. Može se formirati više od dva bazisna minora, a dva od njih su na primer:
1
−1
2 −2
i
2 −1
−4
.
2
Iz ovih minora mogu da se formiraju sledeći sistema jednačina:
1.
 + 2 = 8 + 
− + 2 = −8 + 
2.
−2 − 4 = −16 − 2
− + 2 = −8 + 
35. Sistem ima beskonačno mnogo rešenja i ona su oblika

, ,  = 8, ,  ,  ∈ .
2
36. Sistem nema rešenja.
37. Za  ≠ 1 ⟹ sistem ima jedinstveno rešenje: , ,  = 0,0,0 ,
a za  = 1 ⟹ sistem ima beskonačno mnogo rešenja i ona su oblika , ,  = , −,  ,  ∈ .
38. Za  ≠ 1 ∧  ≠ 2 ∧  ≠ −2 ⟹ sistem ima jedinstveno rešenje: , ,  = 0,0,0 ,
za  = 1 ⟹ sistem ima beskonačno mnogo rešenja i ona su oblika , ,  = , 0, − ,  ∈ ,
za  = 2 ⟹ sistem ima beskonačno mnogo rešenja i ona su oblika , ,  = , −, −3 ,  ∈ ,
a za  = −2 ⟹ sistem ima beskonačno mnogo rešenja i ona su oblika , ,  = −7, 3,  ,  ∈ .
45
−132
−2 5+13
2 7+5
39. Za  ≠ 4 ∧  ≠ − ⟹ sistem ima jedinstveno rešenje: , ,  =
,
,
7
−4 7 +45
za  = 4 ⟹ sistem je protivrečan, tj. nema rešenja,
45
a za  = − ⟹ sistem je protivrečan, tj. nema rešenja.
7
40. Za  ≠ 1 ⟹ sistem ima jedinstveno rešenje: , ,  = 0,0,
1
2
−4 7+45
−4 7+45
,
,
a za  = 1 ⟹ sistem ima beskonačno mnogo rešenja oblika , ,  =
2 −1 2 1−2
3
,
3
,  ,  ∈ .
57
4
41. Za  ≠ ⟹ sistem je protivrečan, tj. nema rešenja.
3
4
a za  = ⟹ sistem ima beskonačno mnogo rešenja oblika , ,  = 3 − ,
3
11
11
7 −6
6
13
,  ,  ∈ .
42. Za  ≠ 7 ⟹ sistem ima jedinstveno rešenje: , ,  =
,− ,− ,
8
8
8
a za  = 7 ⟹sistem ima beskonačno mnogo rešenja oblika , ,  = , 11 − 9, 8 − 7 ,  ∈ .
34
5 6− 5  −8 2 −12
43. Za  ≠ ⟹ sistem ima jedinstveno rešenje: , ,  =
,
,
,
7
a za  =
34
7
34−7
44. Za  ≠ 5 ⟹ sistem ima jedinstveno rešenje: , ,  =
45.
46.
47.
48.
34−7
34−7
⟹ sistem je protivrečan, tj. nema rešenja.
5 −5 −2
7
,
7
,
7
,
a za  = 5 ⟹ sistem ima beskonačno mnogo rešenja oblika , , 
Za  ≠ 1 ⟹ sistem je protivrečan, tj. nema rešenja.
a za  = 1 ⟹ sistem ima beskonačno mnogo rešenja oblika , , 
Za  ≠ 1 ⟹ sistem je protivrečan, tj. nema rešenja.
a za  = 1 ⟹ sistem ima beskonačno mnogo rešenja oblika , , 
Za  ≠ 1 ⟹ sistem je protivrečan, tj. nema rešenja.
a za  = 1 ⟹ sistem ima beskonačno mnogo rešenja oblika , , 
Za  ≠ 1 ⟹ sistem ima jedinstveno rešenje: , ,  = 7,7,7 ,
a za  = 1 ⟹ sistem ima beskonačno mnogo rešenja oblika , , 
49. Za  ≠ 1 ∧  ≠ −2 ⟹ sistem ima jedinstveno rešenje: , , 
za  = 1 ⟹ sistem ima beskonačno mnogo rešenja: , ,  =
a za  = −2 ⟹ sistem je protivrečan, tj. nema rešenja.
50. Za  ≠ 3 ∧  ≠ −3 ⟹ sistem ima jedinstveno rešenje: , , 
za  = 3 ⟹ sistem ima beskonačno mnogo rešenja: , ,  =
a za  = −3 ⟹ sistem je protivrečan, tj. nema rešenja.
51. Za  ≠ 5 ⟹ sistem je protivrečan, tj. nema rešenja.
a za  = 5 ⟹ sistem ima beskonačno mnogo rešenja: , , , 
52. Za  ≠ 2 ⟹ sistem ima beskonačno mnogo reš.: , , ,  =
= ,
5−11 3−5
,
4
2
,  ∈ .
= 5 − 4, 6 − 5,  ,  ∈ .
= 5 − 4, 6 − 5,  ,  ∈ .
= 5 − 4, 6 − 5,  ,  ∈ .
= 7, ,  ,  ∈ .
+1
1
+1
2
= −
,
,
,
+2  +2 +2
1 −  − , ,  , ,  ∈ ,


1
=
,
,
,
+3 +3 +3
1 − 3, 1 − 3,  ,  ∈ ,
=
4− −6 3+3 −7
5 −5+2
3
5
,
, −2, ,
, ,  , ,  ∈ .
5
10−7 −
6
4−7 −6
, ∈ 
a za  = 2 ⟹ sistem ima beskonačno mnogo reš.: , , ,  = −3 + 4 + 2,
, ,  , ,  ∈ 
2
53. Za  ≠ −1 ⟹ sistem ima jedinstveno rešenje: , ,  = 0, −2,0 ,
a za  = −1 ⟹ sistem ima beskonačno mnogo rešenja oblika , ,  = 4, 7 − 2,  ,  ∈ .
54. Sistem ima jedinstveno rešenje: , ,  =
 2 + 2 − 2  2 + 2 − 2  2 + 2 − 2
2
,
2
,
55. Za  ≠ 2 ∧  ≠ 0 ⟹ sist. ima besk. mnogo rešenja: , , ,  =
2
6−7 +10 − 5− (5−6) 3−2 −(5− )
Za  ≠ 2 ∧  = 0 ⟹ sistem ima besk. mnogo rešenja: , , ,  = 2 −
Za  = 2 ∧  ≠ 1 ⟹ sistem ima besk. mnogo rešenja: , , ,  = 2 +
Za  = 2 ∧  = 1 ⟹ sistem je protivrečan tj. nema rešenja.
56.
57.
58.
1

inf  n  N   0.
n


−2
51−35 −7(−2)
19+9
2−2
2
, ,
−7
2−2
,
,
, ,
, , 5 −  ,  ∈ .
−2
3−5 −( −2)
10−3
2−2
2
, 5 ,  ∈ .
,  ∈ .

1
n 1  n  .
n
2
1
1
1
1

lim   2  3    n   1.
n  2
2
2
2 

lim n
2 n1
59.
60.
1
 n 1 
lim 
 2.

n n  2
e


lim an  1  niz konvergira.
n
61. Najpre treba dokazati da je niz ograničen i monoton => niz je konvergentan => niz ima tačno jednu tačku nagomilavanja.
62. Najpre treba dokazati da je niz ograničen i monoton => niz je konvergentan => niz ima tačno jednu tačku nagomilavanja.
63. Pomoću Opšteg Košijevog kriterijuma konvergencije dokazuje se da je harmonijski red divergentan a hiperharmonijski
konvergentan.
58
Matematika za ekonomiste

64. a) Red
1
n
n 1
2
Časlav Pejdić, (064) 123 09 10
je hipeharmonijski red i kao u prethodnom zadatku treba dokazati pomoću opšteg Košijevog kriterijuma
da red konvergira.
b) Kako je
1
<
3

65. a) Red

1

2 za  > 1 iz kriterijuma za redove sa pozitivnim članovima => da je konvergentan i red
1
n
n 1
3
.
1
 n je harmonijski red i kao u zadatku 104. treba dokazati pomoću opšteg Košijevog kriterijuma da red
n 1
divergira.
b) Kako je
66.
67.
68.
1


1
> za  > 1 iz kriterijuma za redove sa pozitivnim članovima => da je konvergentan i red


n 1
1
.
n
n
2
Kako je lim n  1  1, a znamo da je harmonijski red divergentan, iz teoreme o redovima sa pozitivnim članovima =>
n
1
n

n
.
da je divergentan i red  2
n 1 n  1
 n  1
ln 

n 

Kako je lim
 1, a znamo da je harmonijski red divergentan, iz teoreme o redovima sa pozitivnim članovima
n 
1
n

 n  1
=> da je divergentan i red  ln 
.
 n 
n 1

un1 7
7 n n!
lim


1
,
Kako je
zaključujemo da je red  n divergentan.
n u
e
n 1 n
n
69. Kako je
u
2
lim n1   1,
n u
e
n

2 n n!
zaključujemo da je red  n
n 1 n
konvergentan.


un1
n!
n!
lim



1
,
.
Kako
je
zaključujemo
da
je
red


n
n
n


un
n 1 n  2
n 1 n  2
Funkcija je neprekidna u tački x  3 jer je lim f ( x)  lim f ( x)  f (3)  0.


70. U pitanju je red
71.
x 3
divergentan .
x 3
x  3 jer je f '  (3)  1  f '  (3)  1.
x  7 jer je lim f ( x)  lim f ( x)  f (3)  0.
Funkcija nije diferencijabilna u tački
72. Funkcija je neprekidna u tački
x7
Funkcija nije diferencijabilna u tački
73. Funkcija je neprekidna u tački
x 
Funkcija nije diferencijabilna u tački
74. Funkcija je neprekidna u tački
x7
jer je
x 
x  k
x  k
x7
f ' (7)  1  f ' (7)  1.
lim f ( x)  lim f ( x)  f ( )  0.
jer je
jer je
x 
f ' (k )  f ' (k ).
lim  f ( x)  lim  f ( x)  f (k )  0.
jer je
x  k
x  k
x   jer je f '  ( )  1  f '  ( )  1.
x  1 jer je f ' ( x)  2.
Funkcija nije diferencijabilna u tački
75. Funkcija je diferencijabilna za
Funkcija je diferencijabilna za
x  1 jer je f ' ( x)  2.
Funkcija je diferencijabilna za
 1  x  1 jer je f ' ( x)  2 x.
59
x  1 jer je f '  (1)  .
Funkcija je diferencijabilna za x  1 jer je f '  (1)  f '  (1)  2.
Dakle, funkcija je diferencijabilna za svako x  1.
sin(3x) 3
2
  f (0)   funkcija ima prekid u tački  = 0.
Kako je lim
x 0
2x
2
3
Kako je f ' (0)  f ' (0)  0  funkcija je diferncijabilna u tački  = 0.
sin x
1
Najpre se pomoću Leme o 2 policajca dokaže da je lim
x0
x
sin 3x
3 sin 3x
3 sin 3x 3
lim
 lim
 lim
 .
x0
x0 2  3x
x0 2
2x
3x
2
1
1
lim 1  x  x  .
x0
e
Funkcija nije diferencijabilna za
76.
77.
78.
79.
1
80.

x
lim   arctgx   1.
x  2


81.  ′ =  2
82. ′ =
′
 ′

−1
=
∙2 −1
2−3
1
2
−
⟹ ′

1
2
  − 1 ∙  +

−1
∙  +
1

.
= −4.
83.   + ∆ ≈  + ∆ ⇒  28° ≈ 0,469821.
84.   + ∆ ≈  + ∆ ⇒  29° ≈ 0,484911.
3
1
2
8
85. Jednačina tangente je  =  + , a normale  = −  + .
2
2
3
3
1
15
7
7
86. Presečna tačka je 1 1,2 . Jednačina tangente je  = 7 − 5, a normale  = −  +
87. Presečne tačke su 1 0,1  2 1,
1
1
2
.
. U prvoj tački jednačina tangente je  = 1. U drugoj tački jednačina tangente
je  = −  + 1.
2
88.
89.
90.
91.
92.
1+
Data relacija je Maklorenov polinom trećeg stepena funkcije  = 
.
1−
  = 11 + 24  − 2 + 19  − 2 2 + 7  − 2 3 +  − 2 4 .
  = 15  − 2 2 + 11  − 2 3 + 2  − 2 4 .
8
 2 ≈ 2 −  3 .
1
3
1
1
2
8
7
16
1 +  ≈ 1 +  − 2 +
3
93.  3  ≈ 1 −  2 +  4 .
2
5
3 −
128
4.
8
24  2 x 3  5 x 4  24 g ( x) 12
 .
2
24
x0
7 x 2  2 x3
7
2
3
4 g ( x)  2 x  x
1
1
1
 .
≈  2 −  4 => lim
3
4
2
4
x0
3x  5 x
3
1
94.   = cos  ≈ 1 −  2 +
95.   = ln cosx + x
5
 4 => lim
96. Kako je   =  5 + 3 − 11 polinom neparnog stepena, zaključujemo da taj polinom ima bar jednu realnu nulu. Ukoliko
bi imao više od jedne realne nule, npr.  i  i ako je  < , tada bi kako funkcija   =  5 + 3 − 11, zadovoljava sve
uslove Rolove teoreme na ,  važilo: ∃ ∈ ,   ′  = 0. Međutim, kako je  ′  = 5 4 + 3 > 0, zaključujemo da je
početna pretpostavka pogrešna, tj. da jednačina ne može da ima više od jednog realnog rešenja.
97. Kako je   =  5 + 10 − 12 polinom neparnog stepena, zaključujemo da taj polinom ima bar jednu realnu nulu. Ukoliko
bi imao više od jedne realne nule, npr.  i  i ako je  < , tada bi kako funkcija   =  5 + 10 − 12, zadovoljava sve
uslove Rolove teoreme na ,  važilo: ∃ ∈ ,   ′  = 0. Međutim, kako je  ′  = 5 4 + 10 > 0, zaključujemo da je
početna pretpostavka pogrešna, tj. da jednačina ne može da ima više od jednog realnog rešenja.
98. Neka je   =  3 + 3 2 +  + 8. Da bi jednačina   = 0 imala tačno jedno realno rešenje s obzirom da je polinom
neparnog stepena potrebno je još samo da je  ′  ≠ 0 za svako realno x, što se lako dokazuje pomoću Rolove teoreme.
Kako je  ′  = 3 2 + 6 + ,  ′  nema realnih nula samo ako je  2 − 4 < 0, tj. 36 − 12 < 0, tj.  > 3.
99. Kako funkcija   =   − 1  − 3  + 1  + 4 ima 5 realnih nula iz Rolove teoreme => da postoje četiri rešenja
jednačine  ′  = 0 i to 1 ∈ −4, −1 , 2 ∈ −1,0 , 3 ∈ 0,1  4 ∈ 1,3 .
100. Kako funkcija   =   − 1  − 3  + 1  + 4  + 7 ima 6 realnih nula iz Rolove teoreme => da postoji pet rešenja
jednačine  ′  = 0 i to 1 ∈ −7, −4 , 2 ∈ −4, −1 , 3 ∈ −1,0 , 4 ∈ 0,1  5 ∈ 1,3 .
101. Funkcija   =  − 1, zadovoljava uslove Lagranžove teoreme na 2,6 .  =
102. Neka je   = 2 + 
 1 =  => 2 + 
60
2
 2 +1
2
 2 +1
. Kako je
= .
′
5+ 5
2
.
 = 0, zaključujemo da je   konstantna funkcija. Kako je
Matematika za ekonomiste
Časlav Pejdić, (064) 123 09 10
103. Neka je   = . Kako   zadovoljava sve uslove Lagranžove teoreme na ,  =>  ′  =
 −
′
  − 
−
=
 −
 −
=
′
. Kako je   =  =>   ≤ 1 =>
 −
 − 
≤ 1 =>  −  ≤  −  .
−
104. Za  = 0 => ln  + 1 = 0 => ln  + 1 = .
Za  > 0 => U prethodnom zadatku dokazali smo da za 0 <  <  važi
1
−

−
−



−


<  <
. Ako uzmemo da je  = 1, a
=
, važiće 0 <  < , jer je  > 0, pa =>
<  <
, tj.
<   + 1 <  =>   + 1 <  .
+1



+1
Dakle, za  ≥ 0 => ln⁡
( + 1) ≤  .
 
105. Najpre treba dokazati da za  ∈ − , važi  −  ≤  −  i  −  ≥  −  . Ako je  = ,  = 0 dobija se
2 2
tražena nejednakost.
106. Kako je  ≤  ≤  =>    1 ≤
1≤


≤ . Kako je


≤
1
=> 1 ≤



≤
1

 
  ∈ − ,
=>
2 2
lim cos x  1
x0
iz Leme o 2 policajca => da je
sin x
1.
x 0
x
lim
107. Neka je   =  − 3. Kako je () neprekidna funkcija na segmentu 1,  i  1 ∙   < 0, iz Bolcanove teoreme
=> ∃ ∈ 1,    = 0. Dakle jednačina   = 0 ima bar jedno rešenje i to je  = .
108. Analizom funkcije dobijamo:
1)  = −∞, ∞ .
lim x  2 x  3  
2
3
x  
lim x  2 x  3  
2
3
x 
2) Nule funkcije su 1 = 2 i 2 = −3. Presek sa  −osom je  = 108.
3)  < 0 za  ∈ −∞, −3 , a  > 0 za  ∈ −3,2 ∪ 2, ∞ .
4) Funkcija nije ni parna ni neparna. Funkcija nije periodična.
5) Funkcija nema asimptota.
6)  ′ = 5  − 2  + 3 2 => funkcija je rastuća za  ∈ −∞, 0 ∪ 2, ∞ , a opadajuća za  ∈ 0,2 . Funkcija ima
maksimum u tački 0,108 , a minimum u tački 2,0 .
7)  " = 10  + 3 2 2 − 3 => funkcija je konkavna za  ∈ −∞, −3 ∪ −
6
, ∞ . Prevojne tačke su 1 −3,0 , 2 −
2
8) Grafik funkcije ima sledeći izgled:
6 414+21 6
2
,
8
3
6 414−21 6
2
,
8
6
2
,
6
2
, a konveksna za  ∈ −3, −
6
2
∪
.
109. Analizom funkcije dobijamo:
1)  = −∞, ∞ .
lim
x
4x
0
4  x2
lim
x
4x
0
4  x2
2) Nula funkcije je  = 0. Presek sa -osom je  = 0 .
3) Funkcija je negativna za  ∈ −∞, 0 , a pozitivna za  ∈ 0, ∞ .
4) Funkcija je neparna. Funkcija nije periodična.
5) Horizontalna asimptota je prava  = 0. Nema vertikalne asimptote. Nema kose asimptote.
6)  ′ =
4 4− 2
4+ 2
2
=> funkcija je rastuća za  ∈ −2,2 , a opadajuća za  ∈ −∞, −2 ∪ 2, ∞ . Funkcija ima maksimum u
tački 2,1 , a minimum u tački −2, −1 .
61
7)  " =
8  2 −12
4+ 2
=> funkcija je konveksna za  ∈ −2 3, 0 ∪ 2 3, ∞ , a konkavna za  ∈ −∞, −2 3 ∪ 0,2 3 .
3
3
Prevojne tačke su 1 −2 3, −
, 2 0,0  3 2 3,
2
8) Grafik funkcije ima sledeći izgled:
3
2
.
110. Analizom funkcije dobijamo:
1)  = −∞, −1 ∪ −1, +∞ .
x2  2x  5
 
x
x 1
x2  2x  5
lim
 
x
x 1
lim
x2  2x  5
 
x1
x 1
x2  2x  5
lim
 
x1
x 1
lim
2) Nema nula funkcije. Presek sa -osom je  = 5.
3) Funkcija je negativna za  ∈ −∞, −1 , a pozitivna za  ∈ −1, ∞ .
4) Funkcija nije ni parna ni neparna.
5) Nema horizontalne asimptote. Vertikalna asimptota je prava  = −1. Prava  =  + 1 je kosa asimptota.
6)  ′ =
 2 +2−3
+1
2
=> funkcija je rastuća za  ∈ −∞, −3 ∪ 1, ∞ , a opadajuća za  ∈ −3, −1 ∪ −1,1 . Funkcija ima
minimum u tački 1,4 , a maksimum u tački −3, −4 .
8
7)  " =
3 => funkcija je konveksna za  ∈ −1, ∞ , a konkavna za  ∈ −∞, −1 . Nema prevojnih tačaka.
+1
8) Grafik funkcije ima sledeći izgled:
111. Analizom funkcije dobijamo:
1)  = −∞, −1 ∪ −1, +∞ .
x 2  19 x  34
 
x
x 1
x 2  19 x  34
lim
 
x
x 1
lim
x 2  19 x  34
 
x1
x 1
x 2  19 x  34
lim
 
x1
x 1
lim
2) Nule funkcije su 1 = −17 i 2 = −2. Presek sa -osom je  = 34.
3) Funkcija je negativna za  ∈ −∞, −17 ∪ −2, −1 , a pozitivna za  ∈ −17, −2 ∪ −1, +∞ .
4) Funkcija nije ni parna ni neparna.
5) Nema horizontalne asimptote. Vertikalna asimptota je prava  = −1. Prava  =  + 18 je kosa asimptota.
6)  ′ =
 2 +2−15
+1
2
=> funkcija je rastuća za  ∈ −∞, −5 ∪ 3, ∞ , a opadajuća za  ∈ −5, −1 ∪ −1,3 . Funkcija ima
minimum u tački 3,25 , a maksimum u tački −5,9 .
62
Matematika za ekonomiste
7)  " =
32
+1
3
Časlav Pejdić, (064) 123 09 10
=> funkcija je konveksna za  ∈ −1, ∞ , a konkavna za  ∈ −∞, −1 . Nema prevojnih tačaka.
8) Grafik funkcije ima sledeći izgled:
112. Analizom funkcije dobijamo:
1)  = −∞, −1 ∪ −1, +∞ .
x 2  7 x  10
lim
 
x
x 1
x 2  7 x  10
lim
 
x
x 1
x 2  7 x  10
lim
 
x1
x 1
x 2  7 x  10
lim
 
x1
x 1
2) Nule funkcije su 1 = −5 i 2 = −2. Presek sa -osom je  = 10.
3) Funkcija je negativna za  ∈ −∞, −5 ∪ −2, −1 , a pozitivna za  ∈ −5, −2 ∪ −1, +∞ .
4) Funkcija nije ni parna ni neparna.
5) Nema horizontalne asimptote. Vertikalna asimptota je prava  = −1. Prava  =  + 6 je kosa asimptota.
6)  ′ =
 2 +2−3
+1
2
=> funkcija je rastuća za  ∈ −∞, −3 ∪ 1, ∞ , a opadajuća za  ∈ −3, −1 ∪ −1,1 . Funkcija ima
minimum u tački 1,9 , a maksimum u tački −3,1 .
8
7)  " =
3 => funkcija je konveksna za  ∈ −1, ∞ , a konkavna za  ∈ −∞, −1 . Nema prevojnih tačaka.
+1
8) Grafik funkcije ima sledeći izgled:
113. Analizom funkcije dobijamo:
1)  = −∞, −1 ∪ −1, +∞ .
x2  4x  4
 
x
x 1
x2  4x  4
lim
 
x
x 1
lim
x2  4x  4
 
x1
x 1
x2  4x  4
lim
 
x1
x 1
lim
2) Nula funkcije je  = −2. Presek sa -osom je  = 4.
3) Funkcija je negativna za  ∈ −∞, −2 ∪ −2, −1 , a pozitivna za  ∈ −1, +∞ .
4) Funkcija nije ni parna ni neparna.
5) Nema horizontalne asimptote. Vertikalna asimptota je prava  = −1. Prava  =  + 3 je kosa asimptota.
6)  ′ =
 2 +2
+1
2
=> funkcija je rastuća za  ∈ −∞, −2 ∪ 0, ∞ , a opadajuća za  ∈ −2, −1 ∪ −1,0 . Funkcija ima
63
minimum u tački 0,4 , a maksimum u tački −2,0 .
2
7)  " =
3 => funkcija je konveksna za  ∈ −1, ∞ , a konkavna za  ∈ −∞, −1 . Nema prevojnih tačaka.
+1
8) Grafik funkcije ima sledeći izgled:
114. Analizom funkcije dobijamo:
1)  = −∞, −1 ∪ −1, +∞ .
x 2  12 x  20
 
x
x 1
x 2  12 x  20
lim
 
x
x 1
lim
x 2  12 x  20
 
x1
x 1
x 2  12 x  20
lim
 
x1
x 1
lim
2) Nule funkcije su 1 = −10 i 2 = −2. Presek sa -osom je  = 20.
3) Funkcija je negativna za  ∈ −∞, −10 ∪ −2, −1 , a pozitivna za  ∈ −10, −2 ∪ −1, +∞ .
4) Funkcija nije ni parna ni neparna.
5) Nema horizontalne asimptote. Vertikalna asimptota je prava  = −1. Prava  =  + 11 je kosa asimptota.
6)  ′ =
 2 +2−8
+1
2
=> funkcija je rastuća za  ∈ −∞, −4 ∪ 2, +∞ , a opadajuća za  ∈ −4, −1 ∪ −1,2 . Funkcija ima
minimum u tački 2,16 , a maksimum u tački −4,4 .
18
7)  " =
=> funkcija je konveksna za  ∈ −1, ∞ , a konkavna za  ∈ −∞, −1 . Nema prevojnih tačaka.
3
+1
8) Grafik funkcije ima sledeći izgled:
115. Analizom funkcije dobijamo:
1)  = −∞, −2 ∪ −2, +∞ .
x2  2x  1
lim
 
x
x2
x2  2x  1
lim
 
x
x2
x2  2x  1
lim
 
x2
x2
x2  2x  1
lim
 
x2
x2
1
2) Nula funkcije je  = −1. Presek sa -osom je  = .
2
3) Funkcija je negativna za  ∈ −∞, −2 , a pozitivna za  ∈ −2, −1 ∪ −1, +∞ .
4) Funkcija nije ni parna ni neparna.
5) Nema horizontalne asimptote. Vertikalna asimptota je prava  = −2. Prava  =  je kosa asimptota.
6)  ′ =
64
 2 +4+3
+2
2
=> funkcija je rastuća za  ∈ −∞, −3 ∪ −1, +∞ , a opadajuća za  ∈ −3, −2 ∪ −2, −1 . Funkcija ima
Matematika za ekonomiste
Časlav Pejdić, (064) 123 09 10
minimum u tački −1,0 , a maksimum u tački −3, −4 .
2
7)  " =
=> funkcija je konveksna za  ∈ −2, +∞ , a konkavna za  ∈ −∞, −2 . Nema prevojnih tačaka.
3
+2
8) Grafik funkcije ima sledeći izgled:
116. Analizom funkcije dobijamo:
1)  = −∞, −2 ∪ −2, ∞ .
x2  4x  5
 
x  
x2
x2  4x  5
lim
 
x 
x2
lim
x2  4x  5
 
x  2
x2
x2  4x  5
lim
 
x  2 
x2
lim
5
2) Nema nula funkcije. Presek sa -osom je  = .
2
3) Funkcija je negativna za  ∈ −∞, −2 , a pozitivna za  ∈ −2, ∞ .
4) Funkcija nije ni parna ni neparna. Funkcija nije periodična.
5) Nema horizontalne asimptote. Vertikalna asimptota je prava  = −2. Prava  =  + 2 je kosa asimptota.
6)  ′ =
 2 +4+3
+2
2
=> funkcija je rastuća za  ∈ −∞, −3 ∪ −1, ∞ , a opadajuća za  ∈ −3, −2 ∪ −2, −1 . Funkcija ima
minimum u tački −1,2 , a maksimum u tački −3, −2 .
2
7)  " =
3 => funkcija je konveksna za  ∈ −2, ∞ , a konkavna za  ∈ −∞, −2 . Nema prevojnih tačaka.
+2
8) Grafik funkcije ima sledeći izgled:
117. Analizom funkcije dobijamo:
1)  = −∞, 1 ∪ 1, +∞ .
x 2  13x  22
 
x
x 1
x 2  13x  22
lim
 
x
x 1
lim
x 2  13x  22
 
x1
x 1
x 2  13x  22
lim
 
x1
x 1
lim
2) Nule funkcije su 1 = −11 i 2 = −2. Presek sa -osom je  = −22.
3) Funkcija je negativna za  ∈ −∞, −11 ∪ −2,1 , a pozitivna za  ∈ −11, −2 ∪ 1, +∞ .
4) Funkcija nije ni parna ni neparna.
5) Nema horizontalne asimptote. Vertikalna asimptota je prava  = 1. Prava  =  + 14 je kosa asimptota.
65
6)  ′ =
 2 −2−35
−1
2
=> funkcija je rastuća za  ∈ −∞, −5 ∪ 7, +∞ , a opadajuća za  ∈ −5,1 ∪ 1,7 . Funkcija ima
minimum u tački 7,27 , a maksimum u tački −5,3 .
72
7)  " =
3 => funkcija je konveksna za  ∈ 1, +∞ , a konkavna za  ∈ −∞, 1 . Nema prevojnih tačaka.
−1
8) Grafik funkcije ima sledeći izgled:
118. Analizom funkcije dobijamo:
1)  = −∞, 1 ∪ 1, +∞ .
x 2  8x  7
lim
 
x
x 1
x 2  8x  7
lim
 
x
x 1
x 2  8x  7
lim
 
x1
x 1
x 2  8x  7
lim
 
x1
x 1
2) Nule funkcije su 1 = −7 i 2 = −1. Presek sa -osom je  = −7.
3) Funkcija je negativna za  ∈ −∞, −7 ∪ −1,1 , a pozitivna za  ∈ −7, −1 ∪ 1, +∞ .
4) Funkcija nije ni parna ni neparna.
5) Nema horizontalne asimptote. Vertikalna asimptota je prava  = 1. Prava  =  + 9 je kosa asimptota.
6)  ′ =
 2 −2−15
−1
2
=> funkcija je rastuća za  ∈ −∞, −3 ∪ 5, +∞ , a opadajuća za  ∈ −3,1 ∪ 1,5 . Funkcija ima
minimum u tački 5,18 , a maksimum u tački −3,2 .
32
7)  " =
=> funkcija je konveksna za  ∈ 1, +∞ , a konkavna za  ∈ −∞, 1 . Nema prevojnih tačaka.
3
−1
8) Grafik funkcije ima sledeći izgled:
119. Analizom funkcije dobijamo:
1)  = −∞, 1 ∪ 1, +∞ .
x2  4x  4
 
x
x 1
x2  4x  4
lim
 
x
x 1
lim
x2  4x  4
 
x1
x 1
x2  4x  4
lim
 
x1
x 1
lim
2) Nula funkcije je  = −2. Presek sa -osom je  = −4.
3) Funkcija je negativna za  ∈ −∞, −2 ∪ −2,1 , a pozitivna za  ∈ 1, +∞ .
4) Funkcija nije ni parna ni neparna.
5) Nema horizontalne asimptote. Vertikalna asimptota je prava  = 1. Prava  =  + 9 je kosa asimptota.
6)  ′ =
 2 −2−8
−1
2
=> funkcija je rastuća za  ∈ −∞, −2 ∪ 4, +∞ , a opadajuća za  ∈ −2,1 ∪ 1,4 . Funkcija ima
minimum u tački 4,12 , a maksimum u tački −2,0 .
66
Matematika za ekonomiste
7)  " =
18
−1
3
Časlav Pejdić, (064) 123 09 10
=> funkcija je konveksna za  ∈ 1, +∞ , a konkavna za  ∈ −∞, 1 . Nema prevojnih tačaka.
8) Grafik funkcije ima sledeći izgled:
120. Analizom funkcije dobijamo:
1)  = −∞, 1 ∪ 1, ∞ .
x3
lim
 
x x  1
x3
lim
 
x x  1
x3
lim
 
x1 x  1
x3
lim
 
x1 x  1
2) Nula funkcije je  = 0. Presek sa -osom je  = 0.
3) Funkcija je pozitivna za  ∈ −∞, 0 ∪ 1, ∞ , a negativna za  ∈ 0,1 .
4) Funkcija nije ni parna ni neparna.
5) Nema horizontalne asimptote. Vertikalna asimptota je prava  = 1. Nema kose asimptote.
6)  ′ =
3 27
2
7)
,
4
"
 2 2−3
−1
=> funkcija je rastuća za  ∈
2
3
2
, +∞ , a opadajuća za  ∈ −∞, 1 ∪ 1,
3
2
. Funkcija ima minimum u tački
.
=
2  2 −3+3
−1
3
=> funkcija je konkavna za  ∈ 0,1 , a konveksna za  ∈ −∞, 0 ∪ 1, ∞ . Prevojna tačka je 1 0,0 .
8) Grafik funkcije ima sledeći izgled:
121. Analizom funkcije dobijamo:
1)  = −∞, ∞ .
xx  1
xx  1
 1 lim 2
1
2
x x  1
x x  1
lim
2) Nule funkcije su 1 = 0 i 2 = 1. Presek sa -osom je  = 0.
3) Funkcija je pozitivna za  ∈ −∞, 0 ∪ 1, +∞ , a negativna za  ∈ 0,1 .
4) Funkcija nije ni parna ni neparna.
5) Horizontalna asimptota je prava  = 1. Nema vertikalne asimptote. Nema kose asimptote.
6)  ′ =
 2 +2−1
 2 +1
2
=> funkcija je rastuća za  ∈ −∞, −1 − 2 ∪ −1 + 2, +∞ , a opadajuća za  ∈ −1 − 2, −1 + 2 .
Funkcija ima minimum u tački −1 + 2,
1− 2
2
, a maksimum u tački −1 − 2,
1+ 2
2
.
67
7)  " =
1 1−  2 +4+1
 2 +1
3
=> funkcija je konveksna za  ∈ −∞, −2 − 3 ∪ −2 + 3, 1 , a konkavna za  ∈ −2 −
3, −2 + 3 ∪ 1, +∞ . Prevojne tačkesu 1 −2 − 3, −
8) Grafik funkcije ima sledeći izgled:
3+5 3
6
, 2 −2 + 3,
5 3−3
6
i 3 1,0 .
122. Analizom funkcije dobijamo:
1)  = −∞, 2 ∪ 2, ∞ .
 2x2  x  4
 2
x
x  22
lim
 2x2  x  4
 2
x
x  22
lim
 2x2  x  4
 
x  22
x 2
1− 33
4
 2x2  x  4
 
x  22
x 2
lim
2) Nule funkcije su 1 =
lim
i 2 =
1+ 33
. Presek sa  −osom je  = 1.
4
1− 33
1+ 33
1− 33 1+ 33
3) Funkcija je negativna za  ∈ −∞,
∪
, 2 ∪ 2, +∞ , a pozitivna za  ∈
,
.
4
4
4
4
4) Funkcija nije ni parna ni neparna.
5) Horizontalna asimptota je prava  = −2. Vertikalna asimptota je prava  = 2.
7 −10
10
10
6)  ′ =
, 2 , a rastuća za  ∈ −∞,
∪ 2, +∞ . Funkcija ima maksimum u
3 => funkcija je opadajuća za  ∈
−2
10 33
tački
7)
"
7
,
.
−2
4
7 8
2 8−7
=
=> funkcija je konkavna za  ∈
8) Grafik funkcije ima sledeći izgled:
8
7
7
, 2 ∪ 2, ∞ , a konveksna za  ∈ −∞,
123. Analizom funkcije dobijamo:
1)  = −∞, −1 ∪ −1,5 ∪ 5, +∞ .
lim
x  22
1
x2  4x  5
x  22  1
lim 2
x x  4 x  5
x
x  22
x1
  lim
x  22
 
2
x5 x  4 x  5
x2  4x  5
x  22   lim x  22  
lim 2
2
x1 x  4 x  5
x5 x  4 x  5
lim
4
2) Nula funkcije je  = 2. Presek sa  −osom je  = − .
5
3) Funkcija je negativna za  ∈ −1,2 ∪ 2,5 , a pozitivna za  ∈ −∞, −1 ∪ 5, +∞ .
4) Funkcija nije ni parna ni neparna.
68
8
7
. Prevojna tačka je 
8 31
7
,
9
.
Matematika za ekonomiste
Časlav Pejdić, (064) 123 09 10
5) Horizontalna asimptota je prava  = 1. Vertikalne asimptote su prave  = −1 i  = 5 .
−18 −2
6)  ′ = 2
2 => funkcija je opadajuća za  ∈ 2,5 ∪ 5, +∞ , a rastuća za  ∈ −∞, −1 ∪ −1,2 . Funkcija ima
 −4−5
maksimum u tački −2,
7)  " =
2 27 2 −68+189
 2 −4−5
3
16
7
.
=> funkcija je konveksna za  ∈ −∞, −1 ∪ 5, +∞ , a konkavna za  ∈ −1,5 . Nema prevojnih
tačaka.
8) Grafik funkcije ima sledeći izgled:
124. Analizom funkcije dobijamo:
1)  = −∞, 2 ∪ 2, +∞ .
x3
 
x 42  x 2
lim
lim
x 2
x3
lim
 
x 42  x 2
x3
 
2
42  x 
x3
lim
 
2
x2 42  x 
2) Nula funkcije je  = 0. Presek sa  −osom je  = 0.
3) Funkcija je pozitivna za  ∈ 0,2 ∪ 2, +∞ , a negativna za  ∈ −∞, 0 .
4) Funkcija nije ni parna ni neparna.
1
5) Nema horizontalne asimptote. Vertikalna asimptota je prava  = 2. Kosa asimptota je prava  =  + 1.
6)  ′ =
6,
27
8
4
 2 6−
4 2−
3
=> funkcija je opadajuća za  ∈ 2,6 , a rastuća za  ∈ −∞, 2 ∪ 6, +∞ . Funkcija ima minimum u tački
.
7)  " =
6
2−
4
=> funkcija je koveksna za  ∈ 0,2 ∪ 2, +∞ , a konkavna za  ∈ −∞, 0 . Prevojna tačka je  0,0 .
8) Grafik funkcije ima sledeći izgled:
125. Analizom funkcije dobijamo:
1)  = −∞, −1 ∪ −1, ∞ .
69
x3
lim
 
x   2 x  12
x3
lim
 
2
x  1 2 x  1
x3
lim
 
x   2 x  12
x3
lim
 
2
x  1 2 x  1
2) Nula funkcije je  = 0. Presek sa  −osom je  = 0.
3) Funkcija je pozitivna za  ∈ 0, ∞ , a negativna za  ∈ −∞, −1 ∪ −1,0 .
4) Funkcija nije ni parna ni neparna. Funkcija nije periodična.
1
5) Nema horizontalne asimptote. Vertikalna asimptota je prava  = −1.Kosa asimptota je prava  =  − 1.
6)  ′ =
2 +1 3
27
tački −3, −
7)
"
=
2
 2 +3
3
+1
=> funkcija je opadajuća za  ∈ −3, −1 , a rastuća za  ∈ −∞, −3 ∪ −1, ∞ . Funkcija ima maksimum u
.
8
4
=> funkcija je koveksna za  ∈ 0, ∞ , a konkavna za  ∈ −∞, −1 ∪ −1,0 . Prevojna tačka je  0,0 .
8) Grafik funkcije ima sledeći izgled:
126. 1)  = −∞, −3 ∪ −3,3 ∪ 3, ∞ .
x3
 
x   x 2  9
x3
lim 2
 
x  x  9
lim
x3
 
2
x  3 x  9
x3
lim 2
 
x  3  x  9
lim
x3
 
2
x 3 x  9
x3
lim 2
 
x 3  x  9
lim
2) Nula funkcije je  = 0. Presek sa  −osom je  = 0.
3) Funkcija je pozitivna za  ∈ −3,0 ∪ 3, ∞ , a negativna za  ∈ −∞, −3 ∪ 0,3 .
4) Funkcija je neparna. Funkcija nije periodična.
5) Vertikalne asimptote su prave  = 3 i  = −3. Kosa asimptota je prava  = .
6)  ′ =
 2  2 −27
 2 −9
2
=> funkcija je opadajuća za  ∈ −3 3, −3 ∪ −3,3 ∪ 3,3 3 , a rastuća za  ∈ −∞, −3 3 ∪
3 3, ∞ . Funkcija ima maksimum u tački −3 3, −
7)
"
=
18  2 +27
 2 −9
3
2
, a minimum u tački 3 3,
9 3
2
.
=> funkcija je konkavna za  ∈ −∞, −3 ∪ 0,3 , a konveksna za  ∈ −3,0 ∪ 3, ∞ . Prevojna tačka je
 0,0 .
8) Grafik funkcije ima sledeći izgled:
70
9 3
Matematika za ekonomiste
Časlav Pejdić, (064) 123 09 10
127. 1)  = −∞, − 3 ∪ − 3, 3 ∪
x 5
 
x x 2  3
x3  5
lim
 
x x 2  3
3
lim
2) Nula funkcije je  =
3, ∞ .
x 5
x3  5


lim
 
2
2

x  3 x  3
x 3 x  3
x3  5
x3  5
lim  2
 
lim  2
 
x  3 x  3
x 3 x  3
3
lim 
3
5
5. Presek sa  −osom je  = .
3
3
3) Funkcija je pozitivna za  ∈ − 3, 5 ∪ 3, +∞ , a negativna za  ∈ −∞, − 3 ∪
4) Funkcija nije ni parna ni neparna.
5) Vertikalne asimptote su prave  = 3 i  = − 3. Kosa asimptota je prava  = .
6)  ′ =
 −2  2 +2−5
 2 −3
2
3
5, 3 .
=> funkcija je opadajuća za  ∈ −1 − 6, − 3 ∪ − 3, 0 ∪ −1 + 6, 3 ∪
3, 2 , a rastuća
za  ∈ −∞, −1 − 6 ∪ 0, −1 + 6 ∪ 2, +∞ . Funkcija ima maksimum u tačkama −1 − 6,  −1 − 6
−1 + 6,  −1 + 6
"
7)  =
6 −1  2 −4+5
 2 −3
3
a minimum u tačkama 0,
5
3
i
i 2,3 .
=> funkcija je konkavna za  ∈ −∞, − 3 ∪ 1, 3 , a konveksna za  ∈ − 3, 1 ∪
3, +∞ .
Prevojna tačka je  0,0 .
8) Grafik funkcije ima sledeći izgled:
3
3
128. 1)  = −∞, − 2 ∪ − 2, +∞ .
x4
 
x x 3  2
x4
lim
 
x x 3  2
lim
x4
 
3
x  3 2 x  2
x4
lim  3
 
x  3 2 x  2
lim 
2) Nula funkcije je  = 0. Presek sa  −osom je  = 0.
3
3
3) Funkcija je pozitivna za  ∈ − 2, 0 ∪ 0, +∞ , a negativna za  ∈ −∞, − 2 .
4) Funkcija nije ni parna ni neparna.
3
5) Vertikalna asimptota je prava  = − 2. Kosa asimptota je prava  = .
6)  ′ =
 3  3 +8
 3 +2
3
=> funkcija je opadajuća za  ∈ −2, − 2 ∪
2
maksimum u tački −2, −
7)  " =
je 
3
12 2 4− 3
4,
 3 +2
3
2 4
3
3
8
2
3
2, 0 , a rastuća za  ∈ −∞, −2 ∪ 0, +∞ . Funkcija ima
, a minimum u tački 0,0 .
3
3
3
=> funkcija je konveksna za  ∈ − 2, 4 , a konkavna za  ∈ −∞, − 2 ∪
3
4, +∞ . Prevojna tačka
.
71
8) Grafik funkcije ima sledeći izgled:
129. Analizom funkcije dobijamo:
1)  = −∞, 0 ∪ 0, ∞ .
6 1

lim  3x   3   
x
x x 

6 1

lim  3x   3   
x
x x 

2) Nule funkcije su 1 = −
2 3
3
6 1

lim  3x   3   
x0 
x x 
6 1

lim  3x   3   
x0 
x x 
2 3
− 1 i 2 =
3) Funkcija je negativna za  ∈ −∞, −
3
2 3
3
− 1. Nema preseka sa -osom.
− 1 ∪ 0,
2 3
3
− 1 , a pozitivna za  ∈ −
2 3
3
− 1, 0 ∪
2 3
3
− 1, +∞ .
4) Funkcija je neparna.
5) Nema horizontalne asimptote. Vertikalna asimptota je prava  = 0. Kosa asimptota je prava  = 3.
6)  ′ =
"
3  2 −1
2
4
12  2 −1
≥ 0 => funkcija je rastuća na celom domenu i nema lokalnih ekstremnih vrednosti.
7) =
=> funkcija je konveksna za  ∈ −1,0 ∪ 1, +∞ , a konkavna za  ∈ −∞, −1 ∪ 0,1 . Prevojne tačke
5
su 1 −1, −8 i 2 1,8 .
8) Grafik funkcije ima sledeći izgled:
130. 1)  = −∞, −2 ∪ [0, ∞).
lim
x
lim
x
x
1
x2
x
1
x2
lim
x2
x
 
x2
f 0  0
2) Nula funkcije je  = 0. Presek sa  −osom je  = 0.
3)  ≥ 0 na celom domenu.
4) Funkcija nije ni parna ni neparna.
5) Horizontalna asimptota je prava  = 1. Vertikalna asimptota sa leva je prava  = −2.
1
6)  ′ =
=> funkcija je rastuća na celom domenu.

+2
7)  " =
72
2
 +2
−1−2
+2 3 

 +2
=> funkcija je konveksna za  ∈ −∞, −2 , a konkavna za  ∈ [0, +∞). Nema prevojnih tačaka.
Matematika za ekonomiste
Časlav Pejdić, (064) 123 09 10
8) Grafik funkcije ima sledeći izgled:
131. 1)  = (−∞, 0] ∪ (2, ∞).
x3
 
x2
lim
x
lim
x 2 
x3
 
x2
lim
x
x3
 
x2
f 0  0
2) Nula funkcije je  = 0. Presek sa  −osom je  = 0.
3)  ≥ 0 na celom domenu.
4) Funkcija nije ni parna ni neparna.
5) Vertikalna asimptota zdesna je prava  = 2. Kosa asimptota zdesna je prava  =  + 1, a sa leva  = − − 1.
 2 (−3)
6)  ′ =
−2
(3,3 3).
7)  " =
2
=> funkcija je opadajuća za  ∈ −∞, 0 ∪ 2,3 , a rastuća za  ∈ 3, +∞ . Funkcija ima minimum u tački
3
 −2
3
−2
3
3
 −2
=> funkcija je konveksna na celom domenu i nema prevojnih tačaka.
8) Grafik funkcije ima sledeći izgled:
132. 1)  = −∞, ∞ .
x2
lim
 1
x2  2
x
lim
x
x2
x2  2
1
2) Nula funkcije je  = −2. Presek sa  −osom je  = 2.
3) Funkcija je negativna za  ∈ −∞, −2 , a pozitivna za  ∈ −2, +∞ .
4) Funkcija nije ni parna ni neparna.
5) Horizontalna asimptota zdesna je prava  = 1, a sa leva prava  = −1.
6)  ′ =
2 1−
 2 +2
3
=> funkcija je rastuća za  ∈ −∞, −1, , a opadajuća za  ∈ −1, +∞ . Funkcija ima maksimum u tački
1, 3 .
7)  " =
2 2 2 −3−2
 2 +2
5
1
2 6
2
3
1 − , 1 i 2 2,
1
1
2
2
=> funkcija je konkavna za  ∈ − , 2 , a konveksna za  ∈ −∞, −
∪ 2, +∞ . Prevojne tačke su
.
73
8) Grafik funkcije ima sledeći izgled:
133. 1)  = −∞, ∞ .
lim
x  
x2
1  x2
  lim
x 
x2
1  x2
 
2) Nula funkcije je  = 0. Presek sa  −osom je  = 0.
3)  ≥ 0 na celom domenu.
4) Funkcija je parna. Funkcija nije periodična.
5) Kosa asimptota zdesna je prava  = , a sa leva prava  = −.
6)  ′ =
 2+ 2
7)  " =
1+ 2
2− 2
3
=> funkcija je rastuća za  ∈ 0, ∞ , a opadajuća za  ∈ −∞, 0 . Funkcija ima minimum u tački 0,0 .
1+ 2
2 3
5
=>funkcija je koveksna za  ∈ − 2, 2 , a konkavna za ∈ −∞, − 2 ∪
2, ∞ . Prevojne tačke su
2 3
1 − 2,
i 2 2,
.
3
3
8) Grafik funkcije ima sledeći izgled:
134. 1)  = [1, ∞).
f (1)  0 lim ( x  4) x  1  
x 
2) Nule funkcije su 1 = 4 i 2 = 1. Nema preseka sa  −osom.
3) Funkcija je pozitivna za  ∈ 4, ∞ , a negativna za  ∈ 1,4 .
4) Funkcija nije ni parna ni neparna. Funkcija nije periodična.
5) Funkcija nema asimptota.
3 −2
6)  ′ =
=> funkcija je rastuća za  ∈ 2, ∞ , a opadajuća za  ∈ 1,2 . Funkcija ima minimum u tački 2, −2 .
7)  " =
74
2 −1
3
4
−1
3
> 0 =>funkcija je konveksna na celom domenu.
Matematika za ekonomiste
Časlav Pejdić, (064) 123 09 10
8) Grafik funkcije ima sledeći izgled:
135. 1)  = −∞, ∞ .
lim 3 3x  x3   lim 3 3x  x3  
x  
x 
2) Nule funkcije su 1 = 0, 2 = 3 i 3 = − 3. Presek sa  −osom je  = 0.
3) Funkcija je negativna za  ∈ − 3, 0 ∪ 3, ∞ , a pozitivna za  ∈ −∞, − 3 ∪ 0, 3 .
4) Funkcija je neparna. Funkcija nije periodična.
5) Kosa asimptota je prava  = −.
6)  ′ =
1− 2
3
3− 3
2
=> funkcija je opadajuća za  ∈ −∞, −1 ∪ 1, ∞ , a rastuća za  ∈ −1,1 . Funkcija ima minimum u
3
3
tački −1, − 2 , a maksimum u tački 1, 2 .
7)  " =
−2  2 +1
3
3− 3
5
=> funkcija je konveksna za  ∈ − 3, 0 ∪
3, ∞ , a konkavna za ∈ −∞, − 3 ∪ 0, 3 . Prevojne
tačke su 1 − 3, 0 , 2 0,0 i 3 3, 0 .
8) Grafik funkcije ima sledeći izgled:
136. 1)  = −∞, ∞ .




lim 2 x  33 x 2   lim 2 x  33 x 2  
x  
x 
2) Nule funkcije su 1 = 0 i 2 =
27
8
. Presek sa  −osom je  = 0.
27
3) Funkcija je negativna za  ∈ −∞, 0 ∪ 0,
, a pozitivna za  ∈
8
4) Funkcija nije ni parna ni neparna. Funkcija nije periodična.
5) Funkcija nema asimptota.
6)  ′ =
2
3
 −1
3

27
8
,∞ .
=> funkcija je rastuća za  ∈ −∞, 0 ∪ 1, ∞ , a opadajuća za  ∈ 0,1 . Funkcija ima minimum u tački
1, −1 , a maksimum u tački 0,0 .
2
7)  " = 3 4 => funkcija je konveksna na celom domenu i nema prevojnih tačaka.
3 
75
8) Grafik funkcije ima sledeći izgled:
137. 1)  = −∞, ∞ .
lim
x
x
3

 x 2  
4


lim 3 x 4  x 2  
x
2) Nula funkcije je  = 0. Presek sa  −osom je  = 0.
3) Funkcija je nenegativna na celom domenu.
4) Funkcija je parna. Funkcija nije periodična.
5) Funkcija nema asimptota.
6)  ′ =
7)  " =
2 2 2 +1
3
3
 4 + 2
2
=> funkcija je rastuća za  ∈ 0, ∞ , a opadajuća za  ∈ −∞, 0 . Funkcija ima minimum u tački 0,0 .
2 2 2 4 +5 2 −1
3
3
 4 + 2
−5+ 33
∈ −
4
,
=> funkcija je konveksna za  ∈ −∞, −
5
−5+ 33
4
. Prevojne tačke su 1 −
−5+ 33
4
−5+ 33 3 3− 33
4
,
8
∪
i 2
−5+ 33
4
, +∞ , a konkavna za
−5+ 33 3 3− 33
4
,
8
.
8) Grafik funkcije ima sledeći izgled:
138. 1)  = −∞, −2 ∪ 1, ∞ .




lim x  2  x 2  x  2   lim x  2  x 2  x  2 
x  
x 
3
2
f (2)  0, f (1)  3.
2) Nula funkcije je  = −2. Nema preseka sa  −osom.
3) Funkcija je pozitivna za  ∈ 1, ∞ , a negativna za  ∈ −∞, −2 .
4) Funkcija nije ni parna ni neparna. Funkcija nije periodična.
3
5
5) Prava  = je horizontalna asimptota zdesna. Prava  = 2 + je kosa asimptota sa leva.
2
2  2 +−2−2−1
2
6)  ′ =
=> funkcija je rastuća za  ∈ −∞, −2 , a opadajuća za  ∈ 1, ∞ . Funkcija nema ekstremnih
2  2 +−2
vrednosti.
9
7)  " =
> 0 => funkcija je konveksna na celom domenu i nema prevojnih tačaka.
2
3
4
76
 +−2
Matematika za ekonomiste
Časlav Pejdić, (064) 123 09 10
8) Grafik funkcije ima sledeći izgled:
139. 1)  = −∞, 2 ∪ 3, +∞ .


lim x  2  x 2  5 x  6  
x


lim x  2  x 2  5 x  6 
x
1
2
f (2)  0, f (3)  1.
2) Nula funkcije je  = 2. Presek sa  −osom je  = −2 − 6 .
3) Funkcija je pozitivna za  ∈ 3, +∞ , a negativna za  ∈ −∞, 2 .
4) Funkcija nije ni parna ni neparna.
1
9
5) Prava  = je horizontalna asimptota zdesna. Prava  = 2 − je kosa asimptota sa leva.
2
2  2 −5+6−2+5
2
6)  ′ =
=> funkcija je rastuća za  ∈ (−∞, 2], a opadajuća za  ∈ [3, +∞). Funkcija nema ekstremnih
2  2 −5+6
vrednosti.
1
7)  " =
> 0 => funkcija je konveksna na celom domenu i nema prevojnih tačaka.
2
3
4
 −5+6
8) Grafik funkcije ima sledeći izgled:
140. 1)  = −∞, −2 ∪ −1, +∞ .


lim x  2  x 2  3x  2  
x


lim x  2  x 2  3x  2 
x
1
2
f (2)  0, f (1)  1.
2) Nula funkcije je  = −2. Presek sa  −osom je  = 2 − 2 .
3) Funkcija je pozitivna za  ∈ −1, +∞ , a negativna za  ∈ −∞, −2 .
4) Funkcija nije ni parna ni neparna.
1
7
5) Prava  = je horizontalna asimptota zdesna. Prava  = 2 + je kosa asimptota sa leva.
2
2  2 +3+2−2−3
2
6)  ′ =
=> funkcija je rastuća za  ∈ (−∞, −2], a opadajuća za  ∈ [−1, +∞). Funkcija nema ekstremnih
2  2 +3+2
vrednosti.
1
7)  " =
> 0 => funkcija je konveksna na celom domenu i nema prevojnih tačaka.
2
3
4
 +3+2
77
8) Grafik funkcije ima sledeći izgled:
141. 1)  = −∞, −4 ∪ 1, +∞ .


lim x  1  x 2  3x  4  
x


lim x  1  x 2  3x  4  
x
1
2
f (4)  3, f (1)  2.
2) Nula funkcije je  = 5. Nema preseka sa  −osom.
3) Funkcija je pozitivna za  ∈ 1,5 , a negativna za  ∈ −∞, −4 ∪ 5, +∞ .
4) Funkcija nije ni parna ni neparna.
1
5
5) Prava  = − je horizontalna asimptota zdesna. Prava  = 2 + je kosa asimptota sa leva.
2
2  2 +3−4−2−3
′
2
6) =
=> funkcija je rastuća za  ∈ (−∞, −4], a opadajuća za  ∈ [1, +∞). Funkcija nema ekstremnih
2  2 +3−4
vrednosti.
25
7)  " =
> 0 => funkcija je konveksna na celom domenu i nema prevojnih tačaka.
2
3
4
 +3−4
8) Grafik funkcije ima sledeći izgled:
142. 1)  = −∞, −

2
∪ 0, ∞ .
3



lim 2 x  1  3x 2  2 x   lim 2 x  1  3x 2  2 x  
x  
x 
2
1
f ( )   , f (0)  1.
3
3
2) Nula funkcije je  = −1. Presek sa  −osom je  = 1.
2
3) Funkcija je pozitivna za  ∈ 0, ∞ , a negativna za  ∈ −∞, −1 ∪ −1, − .
3
4) Funkcija nije ni parna ni neparna. Funkcija nije periodična.
5) Prava  = 2 − 3  + 1 −
6)  ′ =
2
u tački
1 2
7)
78
3 2 +2−3−1
"
=
,
3 3
3 2 +2
3
3
je kosa asimptota zdesna. Prava  = 2 + 3  + 1 +
=> funkcija je rastuća za  ∈
1
3
, ∞ , a opadajuća za  ∈ −∞, −
3
3
2
3
je kosa asimptota sa leva.
∪ 0,
.
1
3 2 +2
3
> 0 => funkcija je konveksna na celom domenu i nema prevojnih tačaka.
1
3
. Funkcija ima minimum
Matematika za ekonomiste
Časlav Pejdić, (064) 123 09 10
8) Grafik funkcije ima sledeći izgled:
143. 1)  = −∞, 0 ∪ 1, +∞ .


lim x  1  x 2  x  
x


lim x  1  x 2  x 
x
3
2
f (0)  1, f (1)  2.
1
2) Nula funkcije je  = − . Presek sa  −osom je  = 1.
3
1
1
3) Funkcija je pozitivna za  ∈ − , 0 ∪ [1, +∞), a negativna za  ∈ −∞, − .
3
3
4) Funkcija nije ni parna ni neparna.
3
1
5) Prava  = je horizontalna asimptota zdesna. Prava  = 2 + je kosa asimptota sa leva.
2
2  2 −−2+1
2
6)  ′ =
=> funkcija je rastuća za  ∈ (−∞, 0], a opadajuća za  ∈ [1, +∞). Funkcija nema ekstremnih
2  2 −
vrednosti.
1
7)  " =
> 0 => funkcija je konveksna na celom domenu i nema prevojnih tačaka.
2
3
4
 −
8) Grafik funkcije ima sledeći izgled:
144. 1)  = −∞, −1 ∪ 0, +∞ .


lim x  1  x 2  x  
x


lim x  1  x 2  x 
x
1
2
f (1)  0, f (0)  1.
2) Nula funkcije je  = −1. Presek sa  −osom je  = 1.
3) Funkcija je pozitivna za  ∈ [0, +∞), a negativna za  ∈ −∞, −1 .
4) Funkcija nije ni parna ni neparna.
1
3
5) Prava  = je horizontalna asimptota zdesna. Prava  = 2 + je kosa asimptota sa leva.
2
2  2 +−2−1
2
6)  ′ =
=> funkcija je rastuća za  ∈ (−∞, −1], a opadajuća za  ∈ [0, +∞). Funkcija nema ekstremnih
2  2 +
vrednosti.
1
7)  " =
> 0 => funkcija je konveksna na celom domenu i nema prevojnih tačaka.
2
3
4
 +
79
8) Grafik funkcije ima sledeći izgled:
145. 1)  = −∞, −

2
∪ 0, ∞ .

3
lim 2 x  3x 2  2 x  
x


lim 2 x  3x 2  2 x  
x
2
4
f ( )   , f (0)  0.
3
3
2) Nule funkcije su  = 0 i  = 2. Presek sa  −osom je  = 0.
2
3) Funkcija je pozitivna za  ∈ (2, +∞), a negativna za  ∈ (−∞, − ] ∪ 0,2 .
3
4) Funkcija nije ni parna ni neparna.
5) Prava  = 2 − 3  −
6)
′
=
u tački
7)
"
=
2 3 2 +2−3−1
1
3
3 2 +2
1
,−
3
1
3
3
je kosa asimptota zdesna. Prava  = 2 + 3  +
=> funkcija je rastuća za  ∈
1
3
3
3
je kosa asimptota sa leva.
, ∞ , a opadajuća za  ∈ −∞, −
2
3
∪ 0,
1
3
. Funkcija ima minimum
.
3 2 +2
3
> 0 => funkcija je konveksna na celom domenu i nema prevojnih tačaka.
8) Grafik funkcije ima sledeći izgled:
146. 1)  = −∞, −2 ∪ [0, +∞)


lim  2 x  3x 2  6 x  
x


lim  2 x  3x 2  6 x  
x
f (2)  4, f (0)  0.
2) Nula funkcije je  = 0. Presek sa  −osom je  = 0.
3) Funkcija je pozitivna za  ∈ (−∞, −2], a negativna za  ∈ 0, +∞ .
4) Funkcija nije ni parna ni neparna.
5) Prava  = −2 − 3  − 3 je kosa asimptota zdesna, a prava  = −2 + 3  + 3 je kosa asimptota sa leva.
−2 3 2 +6−3−3
6)  ′ =
=> funkcija je opadajuća za  ∈ −∞, −3 ∪ [0, +∞) , a rastuća za  ∈ (−3, −2] . Funkcija ima
3 2 +6
mínimum u tački −3,3 .
80
Matematika za ekonomiste
9
7)  " =
3 2 +6
Časlav Pejdić, (064) 123 09 10
> 0 => funkcija je konveksna na celom domenu i nema prevojnih tačaka.
3
147. 1)  = −∞, −3 ∪ [1, +∞)


lim  2 x  3x 2  6 x  9  
x


lim  2 x  3x 2  6 x  9  
x
f (3)  6, f (1)  2.
2) Nema nula funkcije. Nema preseka sa y-osom.
3) Funkcija je pozitivna za  ∈ (−∞, −3], a negativna za  ∈ [1, +∞).
4) Funkcija nije ni parna ni neparna.
5) Prava  = −2 − 3  − 3 je kosa asimptota zdesna, a prava  = −2 + 3  + 3 je kosa asimptota sa leva.
−2 3 2 +6−9−3−3
6)  ′ =
=> funkcija je opadajuća za  ∈ −∞, −5 ∪ [1, +∞) , a rastuća za  ∈ (−5, −3] . Funkcija ima
3 2 +6−9
mínimum u tački −5,4 .
36
7)  " =
> 0 => funkcija je konveksna na celom domenu i nema prevojnih tačaka.
2
3
3 +6−9
148. 1)  = −∞, ∞ .




lim x  2  x 2  x  1   lim x  2  x 2  x  1 
x  
x 
3
2
2) Nula funkcije je  = −1. Presek sa  −osom je  = 1.
3) Funkcija je pozitivna za  ∈ −1, ∞ , a negativna za  ∈ −∞, −1 .
4) Funkcija nije ni parna ni neparna. Funkcija nije periodična.
3
5
5) Prava  = je horizontalna asimptota zdesna. Prava  = 2 + je kosa asimptota sa leva.
6)  ′ =
7)  " =
2
2  2 ++1−2−1
2  2 ++1
−3
4
 2 ++1
3
2
=> funkcija je rastuća na celom domenu.
< 0 => funkcija je konkavna na celom domenu i nema prevojnih tačaka.
81
8) Grafik funkcije ima sledeći izgled:
149. 1)  −∞, ∞ .

 
lim x 2  8 e x  0
x

 
lim x 2  8 e x  
x
2) Nule funkcije su 1 = 2 2 i 2 = −2 2. Presek sa  −osom je  = −8.
3) Funkcija je negativna za  ∈ −2 2, 2 2 , a pozitivna za  ∈ −∞, −2 2 ∪ 2 2, +∞ .
4) Funkcija nije ni parna ni neparna.
5) Horizontalna asimptota sa leva je prava  = 0.
6)  ′ =    2 + 2 − 8 => funkcija je rastuća za  ∈ −∞, −4 ∪ 2, +∞ , a opadajuća za  ∈ −4,2 . Funkcija ima
8
maksimum u tački −4, 4 , a minimum u tački 2, −4 2 .

7)  " =    2 + 4 − 6 => funkcija je konveksna za  ∈ −∞, −2 − 10 ∪ −2 + 10, +∞ , a konkavna za
 ∈ −2 − 10, −2 + 10 . Prevojne tačke su 1 (−2 − 10, 6 + 4 10  −2− 10 ) i 2 (−2 + 10, 6 + 4 10  −2+
8) Grafik funkcije ima sledeći izgled:
150. 1)  = −∞, ∞ .



10 ).

lim xe  x  0 lim xe  x  0
x  
2
x 
2
2) Nula funkcije je  = 0. Presek sa  −osom je  = 0.
3) Funkcija je negativna za  ∈ −∞, 0 , a pozitivna za  ∈ 0, ∞ .
4) Funkcija je neparna. Funkcija nije periodična.
5) Horizontalna asimptota je prava  = 0.
2
6)  ′ =  − 1 − 2 2 => funkcija je rastuća za  ∈ −
maksimum u tački
7)
"
=
2
−2 −
3
2
2
,
2
2 
− 2 2
Prevojne tačke su 1 −
82
6
2
, a minimum u tački −
2
2
,−
2
2
,
2
2 
2
2
, a opadajuća za  ∈ −∞, −
,−
2 3
, 2 0,0 i 3
6
2
,
6
2 3
.
∪
2
2
, ∞ . Funkcija ima
.
=> funkcija je konveksna za  ∈ −
6
2
2
6
2
,0 ∪
6
2
, ∞ , a konkavna za  ∈ −∞, −
6
2
∪ 0,
6
2
.
Matematika za ekonomiste
Časlav Pejdić, (064) 123 09 10
8) Grafik funkcije ima sledeći izgled:
151. 1)  = −∞, ∞ .

 
lim x 2  4 x  5 e x  0
x

 
lim x 2  4 x  5 e x  .
x
2) Nema nula funkcije. Presek sa  −osom je  = 5.
3) Funkcija je pozitivna na celom domenu.
4) Funkcija nije ni parna ni neparna.
5) Horizontalna asimptota sa leva je prava  = 0.
6)  ′ =  2 − 2 + 1   => funkcija je rastuća na celom domenu i nema lokalnih ekstremnih vrednosti.
7)  " =  2 − 1   => funkcija je konveksna za  ∈ −∞, −1 ∪ 1, +∞ , a konkavna za  ∈ −1,1 . Prevojne tačke su
10
1 −1,
i 2 1,2 .

8) Grafik funkcije ima sledeći izgled:
152. 1)  = −∞, 0 ∪ 0, ∞ .
1
1
lim xe x  
lim xe x  
x
1
x
lim xe  0
x0
x
1
x
lim xe  
x0
2) Nema nula funkcije. Nema preseka sa  − osom.
3) Funkcija je pozitivna za  ∈ 0, ∞ , a negativna za  ∈ −∞, 0 .
4) Funkcija nije ni parna ni neparna.
5) Vertikalna asimptota zdesna je prava  = 0. Kosa asimptota je prava  =  + 1 .
1
6)  ′ =
1,  .
  −1
7)  " =


=> funkcija je rastuća za  ∈ −∞, 0 ∪ 1, +∞ , a opadajuća za  ∈ 0,1 . Funkcija ima minimum u tački
1
3
=> funkcija je konveksna za  ∈ 0, ∞ , a konkavna za  ∈ −∞, 0 .
83
8) Grafik funkcije ima sledeći izgled:
153. 1)  = −∞, 0 ∪ 0, ∞ .
2
2
lim 3x  1e x  
lim 3x  1e x  
x
2
x
x
2
lim 3x  1e  0
lim 3x  1e x  
x0
x0
1
2) Nula funkcije je  = . Nema preseka sa  −osom.
3
1
1
3) Funkcija je pozitivna za  ∈ , ∞ , a negativna za  ∈ −∞, 0 ∪ 0, .
3
3
4) Funkcija nije ni parna ni neparna.
5) Vertikalna asimptota zdesna je prava  = 0. Kosa asimptota je prava  = 3 + 5.
2
6)  ′ =
  3 2 −6+2
2
 ∈ 1−
3
3
,1 +
3
3
=> funkcija je rastuća za  ∈ −∞, −0 ∪ 0,1 −
∪ 1+
3
3
, +∞ , a opadajuća za
.
Funkcija ima minimum u tački 1 +
2
4 
3
3
2−1
3
3
, 2 + 3  3−
7)  " =
=> funkcija je konveksna za  ∈
4
8) Grafik funkcije ima sledeći izgled:
1
2
3
, a maksimum u tački 1 −
3
3
, 2 − 3  3+
, ∞ , a konkavna za  ∈ −∞, 0 ∪ 0,
1
2
3
.
. Prevojna tačka je 
1
2
, 4 .
154. 1)  = −∞, 0 ∪ 0, ∞ .
1
 


lim x  2e x   
x


1
 


lim  x  2e x   
x


1
 


lim x  2e x   
x0 


1
 


lim x  2e x   0
x0 


2) Nula funkcije je  = 2. Nema preseka sa  −osom.
3) Funkcija je pozitivna za  ∈ 2, ∞ , a negativna za  ∈ −∞, 0 ∪ 0,2 .
4) Funkcija nije ni parna ni neparna.
5) Vertikalna asimptota sa leva je prava  = 0. Kosa asimptota je prava  =  − 3.
1
6)  ′ =
 −  2 +−2
2
=> funkcija je rastuća za  ∈ −∞, −2 ∪ 1, ∞ , a opadajuća za  ∈ −2,0 ∪ 0,1 . Funkcija ima
maksimum u tački −2, −4  , a minimum u tački 1,
84
−1

.
Matematika za ekonomiste

1
−

Časlav Pejdić, (064) 123 09 10
5−2
7)  " =
=> funkcija je konveksna za  ∈
4
8) Grafik funkcije ima sledeći izgled:
2
5
, ∞ , a konkavna za  ∈ −∞, 0 ∪ 0,
2
5
. Prevojna tačka je 
2
,
−8
5 5 5
.
155. 1)  = −∞, 3 ∪ 3, ∞ .
1
1




lim  x  3e x3    lim  x  3e x 3   
x 
x 




1
1




lim  x  3e x3   0 lim  x  3e x3   
x 3
x 3




2) Nula funkcije je  = −3. Presek sa  −osom je  =
3
3

.
3) Funkcija je pozitivna za  ∈ −3,3 ∪ 3, ∞ , a negativna za  ∈ −∞, −3 .
4) Funkcija nije ni parna ni neparna. Funkcija nije periodična.
5) Vertikalna asimptota zdesna je prava  = 3. Kosa asimptota je prava  =  + 4.
1
6)  ′ =
  −3  2 −7+6
−3
2
=> funkcija je rastuća za  ∈ −∞, 1 ∪ 6, ∞ , a opadajuća za  ∈ 1,3 ∪ 3,6 . Funkcija ima
3
minimum u tački 6,9  , a maksimum u tački 1,
7)  " =

33
,
1
  −3
72
13−33
−3
13 13 6  13
4
4

=> funkcija je konveksna za  ∈
.
33
13
, 3 ∪ 3, ∞ , a konkavna za  ∈ −∞,
33
13
. Prevojna tačka je
.
8) Grafik funkcije ima sledeći izgled:
156. 1)  = −∞, 3 ∪ 3, ∞ .
1


x 3 

lim  x  1e   
x


1


x 3 

lim  x  1e   0
x3


1


x 3 

lim  x  1e   
x


1


x 3 

lim  x  1e   
x3


85
2) Nula funkcije je  = 1. Presek sa  −osom je  =
−1
3

.
3) Funkcija je pozitivna za  ∈ 1,3 ∪ 3, +∞ , a negativna za  ∈ −∞, 1 .
4) Funkcija nije ni parna ni neparna.
5) Vertikalna asimptota zdesna je prava  = 3. Kosa asimptota je prava  = .
1
6)  ′ =
  −3  2 −7+10
−3
2
=> funkcija je rastuća za  ∈ −∞, 2 ∪ 5, +∞ , a opadajuća za  ∈ 2,3 ∪ 3,5 . Funkcija ima
minimum u tački 5,4  , a maksimum u tački 2,
7)  " =

13
5
,
1
  −3
8
5 5
5−13
−3
4
1
.

13
=> funkcija je konveksna za  ∈
5
, 3 ∪ 3, +∞ , a konkavna za  ∈ −∞,
13
5
. Prevojna tačka je
.
8) Grafik funkcije ima sledeći izgled:
157. 1)  = −∞, − 2 ∪ − 2, 2 ∪
2, ∞ .
 e

 e

 e x 
   lim  2
  0 lim   2
  
lim  2
x   x  2
x  x  2
x 2  x  2 




 e x 
 e x 
 e x 
   lim   2
   lim   2
  
lim   2
x 2  x  2 
x 2  x  2 
x 2  x  2 
x
x
1
2) Nema nula funkcije. Presek sa  −osom je  = − .
2
3) Funkcija je negativna za  ∈ − 2, 2 , a pozitivna za  ∈ −∞, − 2 ∪ 2, ∞ .
4) Funkcija nije ni parna ni neparna. Funkcija nije periodična.
5) Horizontalna asimptota zdesna je prava  = 0. Vertikalne asimptote su prave 1 = 2 i2 = − 2.
6)  ′ =
− −  2 +2−2
 2 −2
=> funkcija je rastuća za  ∈ −1 − 3, − 2 ∪ − 2, −1 + 3 , a opadajuća za ∈ −∞, −1 −
2
3 ∪ −1 + 3, 2 ∪
−1 − 3,
7)  " =
 −
 1+ 3
3−1
2, ∞ . Funkcija ima maksimum u tački −1 + 3, −
3
158. 1)  = −∞, ∞ .
x2  1
 
x e x
86
4
1+ 3
, a minimum u tački
=> funkcija je konkavna za  ∈ − 2, 2 , a konveksna za  ∈ −∞, − 2 ∪
8) Grafik funkcije ima sledeći izgled:
lim
3
.
4
 4 +4 3 +2 2 −8+8
 2 −2
 −1+
x2  1
 0.
x
ex
lim
2, ∞ .
Matematika za ekonomiste
Časlav Pejdić, (064) 123 09 10
2) Nema nula funkcije. Presek sa  −osom je  = 1.
3) Funkcija je pozitivna na celom domenu.
4) Funkcija nije ni parna ni neparna. Funkcija nije periodična.
5) Horizontalna asimptota zdesna je prava  = 0.
− 2 +2−1
6)  ′ =
7)
"

 2 −4+3
=

10
=> funkcija je opadajuća na celom domenu i nema ekstremnih vrednosti.
=> funkcija je konveksna za  ∈ −∞, 1 ∪ 3, ∞ , a konkavna za ∈ 1,3 . Prevojne tačke su 1 1,
2

i
2 3, 3 .

8) Grafik funkcije ima sledeći izgled:
159. 1)  = −∞, ∞ .
 x2  2 
 x2  2 
lim  x 2   0 lim  x 2   0.
x  
x 
 e

 e

2) Nema nula funkcije. Presek sa  −osom je  = 2.
3) Funkcija je pozitivna na celom domenu.
4) Funkcija je parna. Funkcija nije periodična.
5) Horizontalna asimptota je prava  = 0.
6)  ′ =
7)
"
=
−2  2 +1
2
=> funkcija je rastuća za  ∈ −∞, 0 , a opadajuća za  ∈ 0, ∞ . Funkcija ima maksimum u tački 0,2 .

2 +1 −1 2 2 +1
3

2
=> funkcija je konveksna za  ∈ −∞, −1 ∪ 1, ∞ , a konkavna za ∈ −1,1 . Prevojne tačke su
3
1 −1, i 2 1, .


8) Grafik funkcije ima sledeći izgled:
160. 1)  = −∞, 0 ∪ 0, ∞ .
 1 
 1 
lim  x   1 lim  x   0
x e  1
x e  1




 1 
 1 
lim  x    lim  x   
x0  e  1 
x0  e  1 
2) Nema nula funkcije. Nema preseka sa  −osom.
3) Funkcija je pozitivna za  ∈ 0, ∞ , a negativna za  ∈ −∞, 0 .
4) Funkcija nije ni parna ni neparna. Funkcija nije periodična.
87
5) Horizontalna asimptota zdesna je prava  = 0, a sa leva je prava  = −1. Vertikalna asimptota je prava  = 0.
6)  ′ =
7)
"
=
− 
  −1 2
  1+ 
  −1
< 0 => funkcija je opadajuća na celom domenu.
=> funkcija je konveksna za  ∈ 0, ∞ , a konkavna za  ∈ −∞, 0 .
3
8) Grafik funkcije ima sledeći izgled:
161. 1)  = −∞, 0 ∪ 0, ∞ .
 1x
lim  e - x
x


 1 
   lim  e x - x   


x



 1x 
lim  e - x   0
x0 


 1x 
lim  e - x   
x0 


2) Nema preseka sa  −osom.
4) Funkcija nije ni parna ni neparna. Funkcija nije periodična.
5) Vertikalna asimptota zdesna je prava  = 0. Kosa asimptota je prava  = − + 1.
1
′
6)  =
−   + 2
1
7)  " =
< 0 => funkcija je opadajuća na celom domenu.
2
  1+2
4
1  2 +2
1
1
2
2
=> funkcija je konveksna za  ∈ − , 0 ∪ 0, ∞ , a konkavna za  ∈ −∞, −
. Prevojna tačka je
 − , 2 .
2 2
8) Grafik funkcije ima sledeći izgled:
162. 1)  = −∞, ∞ .
 e x  e x 
 e x  e x 


  1.
lim  x


1
lim
x   e  e  x 
x   e x  e  x 




2) Nula funkcije je  = 0. Presek sa  −osom je  = 0.
3) Funkcija je pozitivna za  ∈ 0, ∞ , a negativna za  ∈ −∞, 0 .
4) Funkcija je neparna. Funkcija nije periodična.
5) Horizontalna asimptota zdesna je prava  = 1, a sa leva prava  = −1.
4
6)  ′ =  − 2 > 0 => funkcija je rastuća na celom domenu.
7)
88
"
=
 +
−8   − −
  + −
3
=> funkcija je konkavna za  ∈ 0, ∞ , a konveksna za  ∈ −∞, 0 . Prevojna tačka je  0,0 .
Matematika za ekonomiste
Časlav Pejdić, (064) 123 09 10
8) Grafik funkcije ima sledeći izgled:
163. 1)  = [0, ∞).


f (0)  0 lim 1  e x  1.
x 
2) Nula funkcije je  = 0. Presek sa  −osom je  = 0.
3)  ≥ 0 na celom domenu.
4) Funkcija nije ni parna ni neparna. Funkcija nije periodična.
5) Horizontalna asimptota zdesna je prava  = 1.
 −
6)  ′ =
> 0 => funkcija je rastuća na celom domenu.
−
7)  " =
2 1−
 −  − −2
1− −
4
3
=> funkcija je konkavna na celom domenu
8) Grafik funkcije ima sledeći izgled:
164. 1)  = −∞, −
1
2
 2x
lim 
e
x 2 x  1

2
1
∪ − , 0 ∪ 0, +∞ .
2
1
x

  ,


 2 x 2 1x 
lim  
e   ,
1
2
x

1
x  

2
 2 x 2 1x 
lim 
e   
x 2 x  1


 2 x 2 1x 
lim  
e   
1
2
x

1
x  

2
 2 x 2 1x 
 2 x 2 1x 


lim
e   0, lim 
e   
x 0   2 x  1
x0
2
x

1




2) Nema nula funkcije. Nema preseka sa  −osom.
1
1
3) Funkcija je pozitivna za  ∈ − , 0 ∪ 0, ∞ , a negativna za  ∈ −∞, − .
2
2
4) Funkcija nije ni parna ni neparna. Funkcija nije periodična.
1
1
5) Prava  = − je vertikalna asimptota, a prava  = 0 je vertikalna asimptota zdesna. Kosa asimptota je prava  =  + .
1
6)
′
=
2
2  2 2 −1
2 +1
2
2
=> funkcija je rastuća za  ∈ −∞, −
Funkcija ima maksimum u tački −
2
2
, −1 − 2  −
2
2
2
∪
2
2
, ∞ , a opadajuća za  ∈ −
, a minimum u tački
2
2
,
2−1 
2
2
2
,−
1
2
1
∪ − , 0 ∪ 0,
2
2
2
.
.
89
1
7)  " =
2  2 2 +2+1
 2 2+1
3
=> funkcija je konkavna za  ∈ −∞, −
tačaka.
8) Grafik funkcije ima sledeći izgled:
1
2
1
, a konveksna za  ∈ − , 0 ∪ 0, ∞ . Nema prevojnih
2
165. 1)  = −∞, −1 ∪ −1,1 ∪ 1, ∞ .
 12
lim  e1 x
x  


 1
  1 lim  e1 x 2

x  


 12
lim  e1 x
x  1 


  



 1


 12
lim  e1 x
x 1 

 12
lim  e1 x
x  1 


0



 1
   lim  e1 x 2

x 1 



0


2) Nema nula funkcije. Presek sa  −osom je  = .
3) Funkcija je pozitivna na celom domenu.
4) Funkcija je parna. Funkcija nije periodična.
5) Horizontalna asimptota je prava  = 1. Vertikalna asimptota sa leva je prava  = 1, a vertikalna asimptota zdesna je
prava  = −1.
1
6)  ′ =
2 1− 2
1− 2
2
=> funkcija je rastuća za  ∈ 0,1 ∪ 1, ∞ , a opadajuća za  ∈ −∞, −1 ∪ −1,0 . Funkcija ima minimum
u tački 0,  .
1
7)  " =
∈ −
2 1− 2 −3 4 +4 2 +1
1− 2
2+ 7
3
4
=> funkcija je konkavna za  ∈ −∞, −
, −1 ∪ −1,1 ∪ 1,
2+ 7
3
2+ 7
3
2+ 7
∪
3
, ∞ , a konveksna za
.
8) Grafik funkcije ima sledeći izgled:
166. 1)  = −∞, ∞ .
 
lim e xe  0
x
x
 
lim e xe  0.
x
x
1
2) Nema nula funkcije. Presek sa  −osom je  = .

3) Funkcija je pozitivna na celom domenu.
4) Funkcija nije ni parna ni neparna.
5) Horizontalna asimptota je prava  = 0.

1
6)  ′ =  − 1 −   => funkcija je rastuća za  ∈ −∞, 0 , a opadajuća za  ∈ 0, ∞ . Maksimum je tačka  0, .


7)  " =  −  2 − 3  + 1 => funkcija je konkavna za  ∈ 
90
3− 5
2
, 
3+ 5
2
, a konveksna za  ∈ −∞, 
3− 5
2
∪
Matematika za ekonomiste

3+ 5
2
Časlav Pejdić, (064) 123 09 10
, +∞ . Prevojne tačke su 1 
3− 5
2
,  
3− 5 3− 5
−
2
2
i 2 
3+ 5
2
,  
3+ 5 3+ 5
−
2
2
.
8) Grafik funkcije ima sledeći izgled:
167. 1)  = −∞, ∞ .

lim e x  e
x  
x
 0

lim e x  e
x 
x
  0.
1
2) Nema nula funkcije. Presek sa  −osom je  = .

3) Funkcija je pozitivna na celom domenu.
4) Funkcija nije ni parna ni neparna. Funkcija nije periodična.
5) Horizontalna asimptota je prava  = 0.
−
6)  ′ =  −−  − − 1 => funkcija je rastuća za  ∈ −∞, 0 , a opadajuća za  ∈ 0, ∞ .
7)  " =  −−
−
 ∈ −∞, −
 −2 − 3 − + 1 => funkcija je konkavna za  ∈ −
3+ 5
∪ −
2
3− 5
, ∞ . Prevojne tačke su 1 −
2
3+ 5
2
,
3+ 5
2
, −
3+ 5 3+ 5

−
2
2
3− 5
2
, a konveksna za
i 2 −
3− 5
2
,  
3− 5 3− 5
−
2
2
.
8) Grafik funkcije ima sledeći izgled:
168. 1)  = 0, ∞ .
lim
x0
ln 2 x  2 ln x
 
x
2) Nule funkcije su  = 1 i  =
ln 2 x  2 ln x
 0.
x
x
lim
1
2
. Nema preseka sa  −osom.
1
1
3) Funkcija je negativna za  ∈ 2 , 1 , a pozitivna za  ∈ 0, 2 ∪ 1, ∞ .


4) Funkcija nije ni parna ni neparna.
5) Horizontalna asimptota sa desna je prava  = 0. Vertikalna asimptota je prava  = 0.
6)  ′ =
2− 2 
2
=> funkcija je rastuća za  ∈  − 2 , 
maksimum u tački  2 , 2(1 + 2) −
7)
"
=
2
1
1
,−
1


 2 − −2
3
i 2  2 ,
2
8
, a opadajuća za  ∈ 0,  −
, a minimum u tački  − 2 , 2(1 − 2)
=> funkcija je konkavna za  ∈
2
2
1

, 2
2
, a konveksna za  ∈ 0,
2
∪  2 , +∞ . Funkcija ima
.
1

∪  2 , +∞ . Prevojne tačke su
.
91
8) Grafik funkcije ima sledeći izgled:
169. 1)  = −1,0 ∪ 0, ∞ .
 x 1 
 x 1 
lim 
  0 lim 
  
x   ln  x  1 
x  1
 ln x  1 


 x 1 
 x 1 
lim 
   lim 
  
x 0
x 0
 ln x  1 
 ln x  1 
2) Nema nula funkcije. Nema preseka sa  −osom.
3) Funkcija je negativna za  ∈ −1,0 , a pozitivna za  ∈ 0, ∞ .
4) Funkcija nije ni parna ni neparna. Funkcija nije periodična.
5) Vertikalna asimptota je prava  = 0.
 +1 −1
6)  ′ = 2
=> funkcija je opadajuća za  ∈ −1,0 ∪ 0,  − 1 ,a rastuća za  ∈  − 1, ∞ . Funkcija ima minimum u

+1
tački  − 1,  .
2− +1
7)  " =
3
=> funkcija je konkavna za  ∈ −1,0 ∪  2 − 1, ∞ , a konveksna za  ∈ 0,  2 − 1 . Prevojna tačka
+1  +1
2
 2 − 1, .
2
je 
8) Grafik funkcije ima sledeći izgled:
170. 1) = 2,3 ∪ 3, ∞ .
x2  4x  4
lim
0
x2 ln  x  2 
x2  4x  4
lim
 
x ln  x  2 
x2  4x  4
lim
 
x3 ln  x  2 
x2  4x  4
lim
 
x3 ln  x  2 
2) Nema nula funkcije. Nema preseka sa  −osom.
3) Funkcija je negativna za  ∈ 2,3 , a pozitivna za  ∈ 3, ∞ .
4) Funkcija nije ni parna ni neparna.
5) Vertikalna asimptota je prava  = 3.
−2 2 −2 −1
6)  ′ =
=> funkcija je opadajuća za  ∈ 2,3 ∪ 3,  + 2 , a rastuća za  ∈
2

−2
minimum u tački
7)
92
"
=
 + 2,2 .
2 2 −2 −3 −2 +2
 3 −2
=> funkcija je konkavna za  ∈ 2,3 , a konveksna za  ∈ 3, ∞ .
 + 2, ∞ . Funkcija ima
Matematika za ekonomiste
Časlav Pejdić, (064) 123 09 10
8) Grafik funkcije ima sledeći izgled:
171. 1)  = 1,2 ∪ 2, ∞ .
 x 1 
 x 1 
lim  2
  0 lim  2
  
x   ln  x  1 
x 1
 ln x  1 


 x 1 
 x 1 
lim  2
   lim  2
  
x2
x2
 ln x  1 
 ln x  1 
2) Nema nula funkcije. Nema preseka sa  −osom.
3) Funkcija je pozitivna na celom domenu.
4) Funkcija nije ni parna ni neparna. Funkcija nije periodična.
5) Vertikalna asimptota je prava  = 2.
 −1 −2
6)  ′ = 3
=> funkcija je opadajuća za  ∈ 2,  2 + 1 , a rastuća za  ∈ 1,2 ∪  2 + 1, ∞ . Funkcija ima minimum

−1
u tački  2 + 1,
7)  " =
2
4
6−2 −1
.
−1  4 −1
3
=> funkcija je konkavna za  ∈  3 + 1, ∞ , a konveksna za  ∈ 1,2 ∪ 2,  3 + 1 . Prevojna tačka je
  3 + 1, .
9
8) Grafik funkcije ima sledeći izgled:
172. 1)  = −3, −2 ∪ −2, +∞ .
x3
x3
 0 lim 2
 
x ln  x  3
x3 ln  x  3
x3
x3
lim 2
  lim 2
 
x2 ln  x  3
x2 ln  x  3
lim
2
3
2) Nema nula funkcije. Presek sa  −osom je  = 2 .
 3
3) Funkcija je pozitivna na celom domenu.
4) Funkcija nije ni parna ni neparna.
5) Vertikalna asimptota je prava  = −2.
 +3 −2
6)  ′ = 3
=> funkcija je opadajuća za  ∈ −2,  2 − 3 , a rastuća za  ∈ −3, −2 ∪  2 − 3, +∞ . Funkcija ima

+3
93
minimum u tački  2 − 3,
7)  " =
6−2 +3
+3  4 +3
3
3
2
4
.
=> funkcija je konkavna za  ∈  3 − 3, +∞ , a konveksna za  ∈ −3, −2 ∪ −2,  3 − 3 . Prevojna
tačka je   − 3, .
9
8) Grafik funkcije ima sledeći izgled:
173. 1) = −3, −2 ∪ −2, +∞ .
x  32  0 lim x  32  
x ln  x  3
x3 ln  x  3
2
2


x  3
x  3
lim
  lim
 
x2 ln  x  3
x2 ln  x  3
lim


9
2) Nema nula funkcije. Presek sa  −osom je  = .
 3
3) Funkcija je negativna za  ∈ −3, −2 , a pozitivna za  ∈ −2, +∞ .
4) Funkcija nije ni parna ni neparna.
5) Vertikalna asimptota je prava  = −2.
+3 2 +3 −1
6)  ′ =
=> funkcija je opadajuća za  ∈ −3, −2 ∪ −2,  − 3 , a rastuća za  ∈
2

+3
ima minimum u tački
7)  " =
 − 3, +∞ . Funkcija
 − 3,2 .
2 2 +3 −3 +3 +2
 3 +3
=> funkcija je konkavna za  ∈ −3, −2 , a konveksna za  ∈ −2, +∞ .
8) Grafik funkcije ima sledeći izgled:
174. 1) = −1,0 ∪ 0, +∞ .
x  12  0
x1 ln  x  1
x  12  
lim
x0 ln  x  1
lim

x  12  
x ln  x  1
x  12  
lim
x0 ln  x  1
lim

2) Nema nula funkcije. Nema preseka sa  −osom.
3) Funkcija je negativna za  ∈ −1,0 , a pozitivna za  ∈ 0, +∞ .
4) Funkcija nije ni parna ni neparna.
5) Vertikalna asimptota je prava  = 0.
+1 2 +1 −1
6)  ′ =
=> funkcija je opadajuća za  ∈ −1,0 ∪ 0,  − 1 , a rastuća za  ∈
2

+1
minimum u tački
94
 − 1,2 .
 − 1, +∞ . Funkcija ima
Matematika za ekonomiste
7)  " =
2 2 +1 −3 +1 +2
 3 +1
Časlav Pejdić, (064) 123 09 10
=> funkcija je konkavna za  ∈ −1,0 , a konveksna za  ∈ 0, +∞ .
8) Grafik funkcije ima sledeći izgled:
175. 1) = 1,2 ∪ 2, ∞ .
 x  12
lim 
x 1  ln  x  1


 x  12 
  0 lim 
  

x   ln  x  1 



 x  12 
  
lim 
x  2   ln  x  1 


 x  12 
  
lim 
x  2   ln  x  1 


2) Nema nula funkcije. Nema preseka sa  −osom.
3) Funkcija je negativna za  ∈ 1,2 , a pozitivna za  ∈ 2, ∞ .
4) Funkcija nije ni parna ni neparna. Funkcija nije periodična.
5) Vertikalna asimptota je prava  = 2.
−1 2 −1 −1
6)  ′ =
=> funkcija je opadajuća za  ∈ 1,2 ∪ 2,  + 1 , a rastuća za  ∈
2

−1
minimum u tački
7)
"
=
 + 1, ∞ . Funkcija ima
 + 1,2 .
2 2 −1 −3 −1 +2
 3 −1
=> funkcija je konkavna za  ∈ 1,2 , a konveksna za  ∈ 2, ∞ .
8) Grafik funkcije ima sledeći izgled:
176. 1)  = 2,3 ∪ 3, +∞ .
x2
x2
 0 lim 2
 
x


x2 ln  x  2 
ln x  2
x2
x2
lim 2
  lim 2
 
x3 ln  x  2 
x3 ln  x  2 
lim
2
2) Nema nula funkcije. Nema preseka sa  −osom.
3) Funkcija je pozitivna na celom domenu.
4) Funkcija nije ni parna ni neparna.
5) Vertikalna asimptota je prava  = 3.
 −2 −2
6)  ′ = 3
=> funkcija je opadajuća za  ∈ 3,  2 + 2 , a rastuća za  ∈ 2,3 ∪  2 + 2, +∞ . Funkcija ima minimum

−2
95
u tački  2 + 2,
7)  " =
2
4
6−2 −2
.
−2  4 −2
3
3
 + 2, .
9
=> funkcija je konkavna za  ∈  3 + 2, +∞ , a konveksna za  ∈ 2,3 ∪ 3,  3 + 2 . Prevojna tačka
je 
8) Grafik funkcije ima sledeći izgled:
177. 1)  = −1,0 ∪ 0, +∞ .
x 1
x 1
 0 lim 2
 
x ln  x  1
x1 ln  x  1
x 1
x 1
lim 2
  lim 2
 
x0 ln  x  1
x0 ln  x  1
lim
2
2) Nema nula funkcije. Nema preseka sa  − osom.
3) Funkcija je pozitivna na celom domenu.
4) Funkcija nije ni parna ni neparna.
5) Vertikalna asimptota je prava  = 0.
 +1 −2
6)  ′ = 3
=> funkcija je opadajuća za  ∈ 0,  2 − 1 , a rastuća za  ∈ −1,0 ∪  2 − 1, +∞ . Funkcija ima

+1
minimum u tački  2 − 1,
7)
"
=
2 3− +1
+1  4 +1
3
 3 − 1, .
9
2
4
.
=> funkcija je konkavna za  ∈  3 − 1, +∞ , a konveksna za  ∈ −1,0 ∪ 0,  3 − 1 . Prevojna tačka
je 
8) Grafik funkcije ima sledeći izgled:
178. 1)  = 0,1 ∪ 1, ∞ .
x
x
 0 lim
 
x ln x
x0 ln x
x
x
lim
  lim
 
x1 ln x
x1 ln x
lim
2) Nema nula funkcije. Nema preseka sa  −osom.
3) Funkcija je negativna za  ∈ 0,1 , a pozitivna za  ∈ 1, ∞ .
4) Funkcija nije ni parna ni neparna.
5) Vertikalna asimptota je prava  = 1.
96
Matematika za ekonomiste
6)  ′ =
 −1
 2 
2−
Časlav Pejdić, (064) 123 09 10
=> funkcija je opadajuća za  ∈ 0,1 ∪ 1,  , a rastuća za  ∈ , +∞ . Funkcija ima minimum u tački ,  .
7)  " =
=> funkcija je konkavna za  ∈ 0,1 ∪  2 , +∞ , a konveksna za  ∈ 1,  2 . Prevojna tačka je   2 ,
 3 
8) Grafik funkcije ima sledeći izgled:
179. 1)  = 3, +∞ .


lim x  3 ln 2 x  3  0
x3

x
7)
=
=> funkcija je konkavna za  ∈ 3,3 +
−3
1 1
.

Funkcija ima minimum u tački 4,0 , a maksimum u tački 3 +
2  −3 +1
2
lim x  3 ln 2 x  3  .
2) Nula funkcije je  = 4. Nema preseka sa  −osom.
3)  ≥ 0 na celom domenu.
4) Funkcija nije ni parna ni neparna.
5) Funkcija nema asimptota.
6)  ′ =   − 3   − 3 + 2 => funkcija je opadajuća za  ∈ 3 +
"
2
1

1
,
4
2 2
1
2
, 4 , a rastuća za  ∈ 3,3 +
1
2
∪ 4, +∞ .
.
1
, a konveksna za  ∈ 3 + , +∞ . Prevojna tačka

je 3 + , .
 
8) Grafik funkcije ima sledeći izgled:
180. 1)  = −∞, ∞ .


lim ln x 2  8x  17  
x


lim ln x 2  8x  17  .
x
2) Nula funkcije je  = 4. Presek sa  −osom je  = 17.
3)  ≥ 0 na celom domenu.
4) Funkcija nije ni parna ni neparna.
5) Funkcija nema asimptota.
2 −4
6)  ′ = 2
=> funkcija je opadajuća za  ∈ −∞, 4 , a rastuća za  ∈ 4, ∞ . Funkcija ima minimum u tački 4,0 .
7)  " =
 −8+17
2 − 2 +8−15
 2 −8+17
2
=> funkcija je konkavna za  ∈ −∞, 3 ∪ 5, ∞ , a konveksna za  ∈ 3,5 . Prevojne tačke su
1 3, 2 i 2 5, 2 .
97
8) Grafik funkcije ima sledeći izgled:
181. 1)  = −∞, ∞ .


lim ln x 2  6 x  10  
x


lim ln x 2  6 x  10  .
x
2) Nula funkcije je  = 3. Presek sa  −osom je  = 10.
3)  ≥ 0 na celom domenu.
4) Funkcija nije ni parna ni neparna.
5) Funkcija nema asimptota.
2 −3
6)  ′ = 2
=> funkcija je opadajuća za  ∈ −∞, 3 , a rastuća za  ∈ 3, ∞ . Funkcija ima minimum u tački 3,0 .
7)  " =
 −6+10
2 − 2 +6−8
 2 −6+10
2
=> funkcija je konkavna za  ∈ −∞, 2 ∪ 4, +∞ , a konveksna za  ∈ 2,4 . Prevojne tačke su
1 2, 2 i 2 4, 2 .
8) Grafik funkcije ima sledeći izgled:
182. 1)  = −∞, ∞ .


lim ln x 2  12 x  37  
x


lim ln x 2  12 x  37  .
x
2) Nula funkcije je  = 6. Presek sa  −osom je  = 37.
3)  ≥ 0 na celom domenu.
4) Funkcija nije ni parna ni neparna.
5) Funkcija nema asimptota.
2 −6
6)  ′ = 2
=> funkcija je opadajuća za  ∈ −∞, 6 , a rastuća za  ∈ 6, +∞ . Funkcija ima minimum u tački 6,0 .
7)  " =
 −12 +37
2 − 2 +12−35
 2 −12+37
2
=> funkcija je konkavna za  ∈ −∞, 5 ∪ 7, +∞ , a konveksna za  ∈ 5,7 . Prevojne tačke su
1 5, 2 i 2 7, 2 .
98
Matematika za ekonomiste
Časlav Pejdić, (064) 123 09 10
8) Grafik funkcije ima sledeći izgled:
183. 1)  = −∞, ∞ .
 

lim ln e 2 x  5e x  7  ln 7
x
 

lim ln e 2 x  5e x  7  .
x
2) Nula funkcije je 1 = 2 i 2 = 3. Presek sa  −osom je  = 3.
3)  > 0 za  ∈ −∞, 2 ∪ 3, +∞ , a  < 0 za  ∈ 2, 3 .
4) Funkcija nije ni parna ni neparna. Funkcija nije periodična.
5) Horizontalna asimptota sa leva je prava  = 7. Kosa asimptota zdesna je prava  = 2 .
6)  ′ =
5
  2  −5
 2 −5  +7
3
 , 
2
7)  " =

5
2
5
, a rastuća za  ∈  , ∞ . Funkcija ima minimum u tački
2
.
4
  −5 2 +28  −35
 2 −5  +7
14− 21
5
=> funkcija je opadajuća za  ∈ −∞, 
, 
14+ 21
5
2
=> funkcija je konkavna za  ∈ −∞, 
. Prevojne tačke su 1 
14− 21
5
,  
14− 21
14− 21
5
5
∪ 
i 2 
14+ 21
5
14+ 21
5
, ∞ , a konveksna za  ∈
,  
14+ 21
5
.
8) Grafik funkcije ima sledeći izgled:
184. 1)  = 0, ∞ .


lim ln 2 x  4 ln x  4  
x0


lim ln 2 x  4 ln x  4  .
x
2) Nula funkcije je  =  2 . Nema preseka sa  −osom.
3) Funkcija je nenegativna na celom domenu.
4) Funkcija nije ni parna ni neparna.
5) Vertikalna asimptota zdesna je prava  = 0.
2  −2
6)  ′ =
=> funkcija je opadajuća za  ∈ 0,  2 , a rastuća za  ∈  2 , ∞ . Funkcija ima minimum u tački  2 , 0 .
7)  " =

2 3−
2
=> funkcija je konkavna za  ∈  3 , ∞ , a konveksna za  ∈ 0,  3 . Prevojna tačka je   3 , 1 .
99
8) Grafik funkcije ima sledeći izgled:
185. 1)  = 0, ∞ .


lim x ln 2 x  ln x 2  0
x0


lim x ln 2 x  ln x 2  .
x
2) Nule funkcije su  = 1 i  =  2 . Nema preseka sa  −osom.
3) Funkcija je pozitivna za  ∈ 0,1 ∪  2 , ∞ , a negativna za  ∈ 1,  2 .
4) Funkcija nije ni parna ni neparna. Funkcija nije periodična.
5) Nema asimptota.
6)  ′ = 2  − 2 => funkcija je opadajuća za  ∈  − 2 ,  2 , a rastuća za  ∈ 0,  −
minimum u tački  2 , 2 − 2 2 
2
, a maksimum u tački  − 2 , 2 + 2 2  −
2
∪  2 , ∞ . Funkcija ima
2
2
7)  " =
=> funkcija je konkavna za  ∈ 0,1 , a konveksna za  ∈ 1, ∞ . Prevojna tačka je  1,0 .

8) Grafik funkcije ima sledeći izgled:
186. 1)  = 0, ∞ .
lim
x 0
ln x
ln x
  lim
0
x 
x
x
2) Nula funkcije je = 1. Nema preseka sa  −osom.
3) Funkcija je negativna za  ∈ 0,1 , a pozitivna za  ∈ 1, ∞ .
4) Funkcija nije ni parna ni neparna. Funkcija nije periodična.
5) Horizontalna asimptota zdesna je prava  = 0. Vertikalna asimptota zdesna je prava  = 0.
2−
2
6)  ′ =
0 => funkcija je opadajuća za  ∈  2 , ∞ , a rastuća za  ∈ 0,  2 . Funkcija ima maksimum u tački  2 , .
3
7)  " =
100
2 
3 −8
4 5
3
=> funkcija je konkavna za  ∈ 0,  8 , a konveksna za  ∈
3
 8 , ∞ . Prevojna tačka je 
3
8,
8
3
3 4

.
Matematika za ekonomiste
Časlav Pejdić, (064) 123 09 10
8) Grafik funkcije ima sledeći izgled:
187. 1)  = −1,0 ∪ 1, +∞ .
x 
x 


lim  ln 2
ln 2
   lim

  
x
x1 
x 1 
 x 1
x 
x 


lim  ln 2
   lim  ln 2
  
x0 
x1 
x 1
x 1
2) Nule funkcije su 1 =
1− 5
2
i 2 =
1+ 5
2
1− 5
. Nema preseka sa  −osom.
1+ 5
1− 5
1+ 5
3) Funkcija je pozitivna za  ∈ −1,
∪ 1,
, a negativna za  ∈
,0 ∪
, +∞ .
2
2
2
2
4) Funkcija nije ni parna ni neparna.
5) Vertikalna asimptota zdesna je prava  = 1. Vertikalna asimptota sa leva je prava  = 0 . Vertikalna asimptota zdesna je
prava  = −1.
6)  ′ = −
"
7)  =
 2 +1
  2 −1
 4 +4 2 −1
 2  2 −1
tačka je 1 −
2
=> funkcija je opadajuća na celom domenu i nema lokalnih ekstremnih vrednosti.
=> funkcija je konkavna za  ∈ −
5 − 2,  −
5−2
5 − 2, 0 , a konveksna za  ∈ −1, −
5 − 2 ∪ 1, +∞ . Prevojna
.
8) Grafik funkcije ima sledeći izgled:
188. 1)  = 0,  ∪ , +∞ .
1  ln x
1  ln x
 1 lim
 1
x


1  ln x
1  ln x
1  ln x
1  ln x
lim
  lim
 
x  e 1  ln x
x  e 1  ln x
lim
x 0 
1
2) Nula funkcije je  = . Nema preseka sa  −osom.

3) Funkcija je pozitivna za  ∈
1

,  , a negativna za  ∈ 0,
1

∪ , +∞ .
101
4) Funkcija nije ni parna ni neparna.
5) Horizontalna asimptota zdesna je prava  = −1. Vertikalna asimptota je prava  = .
2
6)  ′ =
2 => funkcija je rastuća na celom domenu i nema lokalnih ekstremnih vrednosti.
"
7)  =
 1−
2( +1)
 2 1−
3
=> funkcija je konkavna za  ∈ 0,
8) Grafik funkcije ima sledeći izgled:
1

∪ , +∞ , a konveksna za  ∈
1

,  . Prevojna tačka je 1
1

189. Kosa asimptota zdesna je prava  =  − 2,a sa leva prava  = − − 2.
190. Kosa asimptota zdesna je prava  =  + , a sa leva  =  − .
191. Vertikalna asimptota zdesna je prava  = 2.Kosa asimptota zdesna je prava  =  + 1, a sa leva prava  = − − 1.
192. Horizontalna asimptota je prava  = 1. Vertikalna asimptota je prava  = 3.
193. Kako je  " = −
 +1
2
 2 1+ 2 
2
≤ 0 => Funkcija je konkavna na celom domenu.
194. Funkcija je konveksna za  ∈ 3,5 , a konkavna za  ∈ −∞, 3 ∪ 5, +∞ . Prevojne tačke su 1 3, 2 i 2 5, 2 .
195. Funkcija je konveksna za  ∈ 5,7 , a konkavna za  ∈ −∞, 5 ∪ 7, +∞ . Prevojne tačke su 1 5, 2 i 2 7, 2 .
196. Funkcija je konkavna za  ∈ 0, ∞ , a konveksna za  ∈ −∞, 0 . Prevojna tačka je  0,0 .
197. Uslov postojanja date funkcije je: −1 ≤  2 +  2 − 2 − 3 ≤ 1. Ovaj uslov je složenica 2 uslova:
1)  2 +  2 − 2 − 3 ≥ −1
2)  2 +  2 − 2 − 3 ≤ 1
Rešavanjem prvog uslova dobija se  − 1 2 +  2 ≥ 3, što predstavlja spoljašnjost kruga sa cenrom u tački 1,0 i
poluprečnikom 3.
Rešavanjem drugog uslova dobija se  − 1 2 +  2 ≤ 5, što predstavlja unutrašnjost kruga sa cenrom u tački 1,0 i
poluprečnikom 5.
Dakle oblast integracije je kružni prsten ograničen sa ta dva kruga što je prikazano na sledećoj slici:
198. Kako je
199. Kako je
200. Kako je
201. Kako je
202. Kako je
203. Kako je
204. Kako je
1















1
=  1 +

=

 2 + 2
,a



,a

=


−
 2 + 2
=   2 −  2 +
=
=
2
2 
2  + ,

−2
2
,
 2 + 2 2  2
 
=−
=−
2
2

2

2
3
=
102

=>  2

2 2
1
9
9
=>  2
+ 
,a
i
 2 + 2



3
,a

2
i


1





 + 
4



1+  2 − 2 2 
2
 2 + 2  

2  =  2 −  −  2 .
9
 1 +
2
−2  2 −3 2
   +



−
= 2
205.  =  + .
3
=
=
,a



−2
1+  2 − 2
2
2
4  +


+ 

8
 2 + 2
3
2
=>
=> 
=> 
1

2
= 




=

2

=

 2





 +  +
1
= 0.

= 0.

=
=
= 





+ 2

 
 
2 
=> 







 +  + 
= 1.
.
 
 2 2
+


.
+ 
=>


= 

2

+ 


= .
,0 .
Matematika za ekonomiste
Časlav Pejdić, (064) 123 09 10
206. 2 − 3  2− ≈ 7 − 5  − 2 − 3  + 1 +
207.  3 
208. Kako je


9 2 
2 ≈ 2 + 6 +
= 141 − 6 −  i

−
8
3
3 .
3
2
−2
2
+3 −2 +1 .
= 188 −  − 8 => stacionarna tačka je  20,21 . Kako je  = −6,  = −1 i  = −8,

dobija se:
 20,21 =>  = −6,  = −1,  = −8 i ∆= −47, pa je  20,21 lokalni maksimum i  = 3384.


209. Kako je = 141 −  − 6 i
= 188 − 8 −  => stacionarna tačka je  21,20 . Kako je  = −8,  = −1 i  = −6,


dobija se:
 21,20 =>  = −8,  = −1,  = −6 i ∆= −47, pa je  21,20 lokalni maksimum i  = 3384.


210. Kako je = −2 − 2 + 30 i = 2 − 2 + 2 => kandidat tačka je  8,7 . Kako je  = −2,  = −2 i  = 2, dobija se:


 8,7 =>  = −2,  = −2,  = 2 i ∆= 8, pa  8,7 nije lokalna ekstremna vrednost.
Dakle, funkcija nema lokalnih ekstremnih vrednosti.


211. Kako je = 2 − 2 + 2 i
= −2 − 2 + 26 => stacionarna tačka je  −6,7 . Kako je  = 2,  = −2 i  = −2, dobija


se:  −6,7 =>  = 2,  = −2,  = −2 i ∆= 8, pa  −6,7 nije lokalna ekstremna vrednost.
Dakle, funkcija nema lokalnih ekstremnih vrednosti.


212. Kako je = 2 − 2 + 26 i
= −2 − 2 + 2 => stacionarna tačka je  7,6 . Kako je  = 2,  = −2 i  = −2, dobija




se:  7,6 =>  = 2,  = −2,  = −2 i ∆= 8, pa  7,6 nije lokalna ekstremna vrednost.
Dakle, funkcija nema lokalnih ekstremnih vrednosti.


213. Kako je
= 2 − 2 + 2 i
= −2 − 2 + 30 => stacionarna tačka je  7,8 . Kako je  = 2,  = −2 i  = −2, dobija
se:  7,8 =>  = 2,  = −2,  = −2 i ∆= 8, pa  7,8 nije lokalna ekstremna vrednost.
Dakle, funkcija nema lokalnih ekstremnih vrednosti.


214. Kako je = 3 − 3 2 I
= 3 − 3 2 => stacionarne tačke su 1 0,0  2 1,1 . Kako je  = −6,  = 3 i  = −6,




dobija se:
1 0,0 =>  = 0,  = 3, = 0 i ∆= 9, pa 1 0,0 nije lokalna ekstremna vrednost,
2 1,1 =>  = −6,  = 3, = −6 i ∆= −27, pa je 2 1,1 lokalni maksimum i  = 1.


215. Kako je = 3 2 − 6 i
= −6 + 2 => stacionarne tačke su 1 0,0  2 6,18 . Kako je  = 6,  = −6 i  = 2,
dobija se:
1 0,0 =>  = 0,  = −6, = 2 i ∆= 36, pa 1 0,0 nije lokalna ekstremna vrednost,
2 6,18 =>  = 36,  = −6, = 2 i ∆= −36, pa je 2 6,18 lokalni minimum i  = −92.


216. Kako je = 4 3 i
= 4 3 − 4 => stacionarne tačke su 1 0,0 , 2 0,1 i 3 0, −1 . Kako je  = 12 2 ,  = 0 i


 = 12 2 − 4, dobija se:
1 0,0 =>  = 0,  = 0,  = −4 i ∆= 0, pa problem ekstrema ostaje nerešen.
2 0,1 =>  = 0,  = 0,  = 8 i ∆= 0, pa problem ekstrema ostaje nerešen.
3 0, −1 =>  = 0,  = 0,  = 8 i ∆= 0, pa problem ekstrema ostaje nerešen.

3
1
1 
1
1
1
3
1
1
217. Kako je =  +  + i =  +  + => kandidat tačka je  −1, −1 . Kako je  = ,  = i  = , dobija se:

8
8
2
3

1
8
1
8
4
1
−3
32
8
 −1, −1 =>  = ,  = ,  = i ∆= − , pa je −1, −1 lokalni minimum i  =
218. Kako je


8
= 19 − 2 −  i
8


8
8
8
8
.
= 20 −  − 2 => stacionarna tačka je  6,7 . Kako je  = −2,  = −1 i  = −2, dobija se:
 6,7 =>  = −2,  = −1,  = −2 i ∆= −3, pa je  6,7 lokalni maximum i  = 129.


219. Kako je
= 20 − 2 −  i
= 19 −  − 2 => stacionarna tačka je  7,6 . Kako je  = −2,  = −1 i  = −2, dobija




se:  7,6 =>  = −2,  = −1,  = −2 i ∆= −3, pa je  7,6 lokalni maximum i  = 129.


220. Kako je
= 2 +  − 19 i
=  + 2 − 20 => stacionarna tačka je  6,7 . Kako je  = 2,  = 1 i  = 2, dobija se:
 6,7 =>  = 2,  = 1,  = 2 i ∆= −3, pa je  6,7 lokalni minimum i  = −126.


221. Kako je = 6 2 + 6 i
= 6 + 2 => stacionarne tačke su 1 0,0 i 2 3, −9 . Kako je  = 12,  = 6 i  = 2, dobija


se:
1 0,0 =>  = 0,  = 6,  = 2 i ∆= 36, pa 1 0,0 nije lokalna ekstremna vrednost,
2 3, −9 =>  = 36,  = 6,  = 2 i ∆= −36, pa je 2 3, −9 lokalni minimum i  = −27.


222. Kako je = 2 + 6 i = 6 + 6 2 => stacionarne tačke su 1 0,0 i 2 −9,3 . Kako je  = 2,  = 6 i  = 12, dobija


se:
1 0,0 =>  = 2,  = 6,  = 0 i ∆= 36, pa 1 0,0 nije lokalna ekstremna vrednost,
2 −9,3 =>  = 2,  = 6,  = 36 i ∆= −36, pa je 2 −9,3 lokalni minimum i  = −27.

47



47

2
1
223. Kako je = − − i
= − − => stacionarna tačka je  20,21 . Kako je  = − ,  = −

4
12
2

se:
1
 20,21 =>  = − ,  = −
2
3
1
12
12
, = −
3
2
3
I ∆= −
2
47
144
1
12
2
i  = − , dobija
3
, pa je  20,21 lokalni maksimum i  = 282.
103
224. Kako je

=

47
3
2
1
3
12
− −

 i
dobija se:
2
 21,20 =>  = − ,  = −
225. Kako je

=


72

−
226. Kako je

1
72
1
i

12 
=
, = −
, = −
1
1
1
72
2

=1−

1
4
−
72
72
47
−
1
12

72
i =

12
2
1
2
3
12
i ∆= −
2
47
144
1
5
18
5184
5
i ∆= −

5184
1


2 2
=
2 2
−

1
=> kandidat tačka je  0,1 . Kako je  =
1
72
i =

36
, dobija
−2

−  , 
16
2 +

2
.
= 0 i  = −4 2 , dobija se:
−4 2 ,

3
6
2

6 3 − 9 3 ,  =   i  =   − 2, dobija se:
1
3
1
3
1
1 − , 0 =>  = − ,  = 0,  = 3 i ∆= 3 > 0, pa 1 − , 0 nije lokalna ekstremna vrednost.
3
1

1
2 − , 6
6

229. Kako je


4
=>  = −
=−
8
36
2

i


, =
=−
3

1
3
48
2

 
1
,  = − 6 i ∆= − 3

3
2
3
1
1
, pa je 2 − , 6
6

lokalni maksimum i  =
=> stacionarna tačka je  3,4 . Kako je  =
72
3
, = 1 i =
96
3
1
3 
..
, dobija se:
 3,4 =>  = ,  = 1,  = i ∆= −3, pa je  3,4 lokalni minimum i  = 36.

230. Kako je

3
=−
3
48



2 i
2
=−
8
36
2
=> stacionarna tačka je  4,3 . Kako je  =
96
3
, = 1 i  =
72
3
, dobija se:
 4,3 =>  = ,  = 1,  = i ∆= −3, pa je  4,3 lokalni minimum i  = 36.

231. Kako je

2
=−
252
2
7
i


3
=−
 6,7 =>  = ,  = 1,  =

232. Kako je

3
=−
 7,6 =>  =
233. Kako je


294
2
12
7
i


294
2
12
7
=−
=> stacionarna tačka je  6,7 . Kako je  =
504
3
, = 1 i =
588
3
, dobija se:
i ∆= −3, pa je  6,7 lokalni minimum i  = 126.
252
7
2
=> stacionarna tačka je  7,6 . Kako je  =
588
3
, = 1 i =
504
3
, dobija se:
,  = 1,  = i ∆= −3, pa je  7,6 lokalni minimum i  = 126.
= 12 − 2 −  2 i
3


= 12 −  2 − 2 => stacionarne tačke su 1 0,0 , 2 12,0 , 3 0,12 i 4 4,4 . Kako
je  = −2,  = 12 − 2 − 2 i  = −2, dobija se:
1 0,0 =>  = 0,  = 12,  = 0 i ∆= 144, pa 1 0,0 nije lokalna ekstremna vrednost.
2 12,0 =>  = 0,  = −12,  = −24 i ∆= 144, pa 2 12,0 nije lokalna ekstremna vrednost.
3 0,12 =>  = −24,  = −12,  = 0 i ∆= 144, pa 3 0,12 nije lokalna ekstremna vrednost.
4 4,4 =>  = −8,  = −4,  = −8 i ∆= −48, pa je 4 4,4 lokalni maksimum i  = 64.


234. Kako je = 6 − 2 −  2 i = 6 −  2 − 2 => kandidat tačkesu1 0,0 , 2 6,0 , 3 0,6 i 4 2,2 . Kako je


 = −2,  = 6 − 2 − 2 i  = −2, dobija se:
1 0,0 =>  = 0,  = 6,  = 0 i ∆= 36, pa 1 0,0 nije lokalna ekstremna vrednost.
2 6,0 =>  = 0,  = −6,  = −12 i ∆= 36, pa 2 6,0 nije lokalna ekstremna vrednost.
3 0,6 =>  = −12,  = −6,  = 0 i ∆= 36, pa 3 0,6 nije lokalna ekstremna vrednost.
4 2,2 =>  = −4,  = −2,  = −4 i ∆= −12, pa je 4 2,2 lokalni maksimum i  = 8.


235. Kako je = 3 2 + 3 2 − 15 i = 6 − 12 => kandidat tačkesu 1 2,1 , 2 −2, −1 , 3 1,2 i 4 −1, −2 . Kako je




 = 6,  = 6 i  = 6, dobija se:
1 2,1 =>  = 12,  = 6,  = 12 i ∆= −108, pa je 1 2,1 lokalni minimum i  = −28.
2 −2, −1 =>  = −12,  = −6,  = −12 i ∆= −108, pa je 2 −2, −1 lokalni maksimum i  = 28.
3 1,2 =>  = 6,  = 12,  = 6 i ∆= 108, pa 3 1,2 nije lokalna ekstremna vrednost.
4 −1, −2 =>  = −6,  = −12,  = −6 i ∆= 108, pa 4 −1, −2 nije lokalna ekstremna vrednost.


11
11
236. Kako je
= 3 2 −  − 11 i
= − + 2 => stacionarne tačke su 1 2,1 i 2 − , − . Kako je  = 6,  = −1 i
6
12
 = 2, dobija se:
1 2,1 =>  = 12,  = −1,  = 2 i ∆= −23, pa je 1 2,1 lokalni minimum i  = −12.
11
11
11
11
2 − , −
=>  = −11,  = −1,  = 2 i ∆= 23, pa 2 − , −
nije lokalna ekstremna vrednost.
6
237. Kako je


12
= 2 −  i


6
12
= − + 3 2 − 11 => stacionarne tačke su 1 1,2 i 2 −
11
12
,−
11
6
. Kako je  = 2,  = −1 i
 = 6, dobija se:
1 1,2 =>  = 2,  = −1,  = 12 i ∆= −23, pa je 1 1,2 lokalni minimum i  = −12.
11
11
11
11
2 − , −
=>  = 2,  = −1,  = −11 i ∆= 23, pa 2 − , −
nije lokalna ekstremna vrednost.
12

238. Kako je

dobija se:
104
6
= 2 −  − 1 i


12
6
= 3 2 −  => stacionarne tačke su 1
3 1
,
4 2
i 2
1
3
,−
1
3

 2 + 4 ,  =  2 i  = 2 2 ,
 0,1 =>  = −1,  = 0,  =
i ∆=
pa je  0,1 lokalni maksimum i  =  2 − 1.

1 2 

1
1 1
1
228. Kako je =   −  3 − 3 3 i =   −  2 => kandidat tačkesu 1 − , 0 i 2 − , 6 . Kako je  =  2   −

−4 2
, = −
7
4
2
1
72
, pa je 2 9,3 lokalni minimum i  = − . .
,  = 0,  = i ∆= − 2 , pa je  −2,0 lokalni minimum i  =
2

 i

2
> 0, pa 1 4, −2 nije lokalna ekstremna vrednost.
= 2 2 => kandidat tačka je  −2,0 . Kako je  =  2

1
i =− ,
, pa je  21,20 lokalni maksimum i  = 282.
=> kandidat tačkesu1 4, −2 i 2 9,3 . Kako je  =
i  = − i ∆=
1
1
 −  => stacionarna tačka je  21,20 . Kako je  = − ,  = −
1
i =−
12
2
= 2  + 2 + 2 i

dobija se:
 −2,0 =>  =
227. Kako je
1
72
1

−
72
se:
1 4, −2 =>  =
2 9,3 =>  =
3
=

. Kako je  = 2,  = −1 i  = 6,
Matematika za ekonomiste
3 1
1
,
=>  = 2,  = −1,  = 3 i ∆= −5, pa je 1
4 2
1
1
2
3
Časlav Pejdić, (064) 123 09 10
,−
239. Kako je
3


=>  = 2,  = −1,  = −2 i ∆= 5, pa 2
= 6 − 36 i


3 1
,
7
lokalni minimum i  = − .
4 2
1
1
3
,−
3
16
nije lokalna ekstremna vrednost.
= 3 2 + 3 2 − 39 => stacionarne tačke su 1 2,3 , 2 −2, −3 , 3 3,2 i 4 −3, −2 . Kako
je  = 6,  = 6 i  = 6, dobija se:
1 2,3 =>  = 18,  = 12,  = 18 i ∆= −180, pa je 1 2,3 lokalni minimum i  = −100.
2 −2, −3 =>  = −18,  = −12,  = −18 i ∆= −180, pa je 2 −2, −3 lokalni maksimum i  = 152.
3 3,2 =>  = 12,  = 18,  = 12 i ∆= 180, pa 3 3,2 nije lokalna ekstremna vrednost.
4 −3, −2 =>  = −12,  = −18,  = −12 i ∆= 180, pa 4 −3, −2 nije lokalna ekstremna vrednost.

1 
4
240. Kako je = 1 − 2 i = −1 + 2 => kandidat tačke su 1 1,2 , 2 1, −2 , 3 −1,2 i 4 −1, −2 . Kako je  =
=
−8
3




2
3
, = 0 i
, dobija se:
1 1,2 =>  = 2,  = 0,  = −1 i ∆= 2, pa 1 1,2 nije lokalna ekstremna vrednost.
2 1, −2 =>  = 2,  = 0,  = 1 i ∆= −2, pa je 2 1, −2 lokalni minimum i  = 6.
3 −1,2 =>  = −2,  = 0,  = −1 i ∆= −2, pa je 3 −1,2 lokalni maksimum i  = −6.
4 −1, −2 =>  = −2,  = 0,  = 1 i ∆= 2, pa 4 −1, −2 nije lokalna ekstremna vrednost.


241. Kako je = 6  2 − 7 + 12 i = 6  2 − 3 + 2 => stacionarne tačke su 1 3,1 , 2 3,2 , 3 4,1 i 4 4,2 . Kako je




 = 6 2 − 7 ,  = 0 i  = 6 2 − 3 , dobija se:
1 3,1 =>  = −6,  = 0,  = −6 i ∆= −36, pa je 1 3,1 lokalni maksimum i  = 87.
2 3,2 =>  = −6,  = 0,  = 6 i ∆= 36, pa 2 3,2 nije lokalna ekstremna vrednost
3 4,1 =>  = 6,  = 0,  = −6 i ∆= 36, pa 3 4,1 nije lokalna ekstremna vrednost.
4 4,2 =>  = 6,  = 0,  = 6 i ∆= −36, pa je 4 4,2 lokalni minimum i  = 85.


242. Kako je
= 6  2 − 3 + 2 i
= 6  2 − 7 + 12 => stacionarne tačke su 1 1,3 , 2 2,3 , 3 1,4 i 4 2,4 . Kako je
 = 6 2 − 3 ,  = 0 i  = 6 2 − 7 , dobija se:
1 1,3 =>  = −6,  = 0,  = −6 i ∆= −36, pa je 1 1,3 lokalni maksimum i  = 87.
2 2,3 =>  = 6,  = 0,  = −6 i ∆= 36, pa 2 2,3 nije lokalna ekstremna vrednost
3 1,4 =>  = −6,  = 0,  = 6 i ∆= 36, pa 3 1,4 nije lokalna ekstremna vrednost.
4 2,4 =>  = 6,  = 0,  = 6 i ∆= −36, pa je 4 2,4 lokalni minimum i  = 85.
1
1
243. Iz uslova =>  = − , pa ako to zamenimo u početnu funkciju, dobija se  = 2 2 −  + . Kako je  ′ = 4 − 1 => tačka

1 1
,
4 4
2
4
1
je lokalni minimum i  = .
8
244. Iz uslova =>  =  − 6, pa ako to zamenimo u početnu funkciju, dobija se  = 3 2 − 24 + 36. Kako je  ′ = 6  − 4 =>
tačka  4, −2 je lokalni minimum i  = −12.
245. Iz uslova =>  =  − 3, pa ako to zamenimo u početnu funkciju, dobija se  = 3 2 − 12 + 9. Kako je  ′ = 6  − 2 =>
tačka  2, −1 je lokalni minimum i  = −3.
246. Iz uslova =>  =  − 6, pa ako to zamenimo u početnu funkciju, dobija se  = 3 2 − 24 + 35. Kako je  ′ = 6  − 4 =>
tačka  4, −2 je lokalni minimum i  = −13.
247. Iz uslova =>  =  + 6, pa ako to zamenimo u početnu funkciju, dobija se  = 2 2 + 6. Kako je  ′ = 2 2 + 3 => tačka
3 9
9
 − , je lokalni minimum i  = − .
2 2
248. Iz uslova =>  =
2
1

2 , pa ako to zamenimo u početnu funkciju, dobija se  =
1
2
+ 2 − 3. Kako je  ′ =
−2
3
+ 2 => tačka
 1,1 je lokalni minimum i  = 0.
249. Iz uslova =>  =  − 8, pa ako to zamenimo u početnu funkciju, dobija se  = 2 2 − 6 − 16. Kako je  ′ = 2 2 − 3 =>
3
13
41
tačka  , −
je lokalni minimum i  = − .
2
2
2
250. Iz uslova =>  =  − 4, pa ako to zamenimo u početnu funkciju, dobija se  = 2 2 − 4 + 2. Kako je  ′ = 4  − 1 =>
tačka  1, −3 je lokalni minimum i  = 0.
251. Iz uslova =>  = 4 − , pa ako to zamenimo u početnu funkciju, dobija se  =  2 − 4 + 16. Kako je  ′ = 2  − 2 =>
tačka  2,2 je lokalni minimum i  = 12.
252. Iz uslova =>  = 12.500.000 − 625.000, pa ako to zamenimo u početnu funkciju, dobija se
12.500.000−1.250.000
 = 12.500.000 − 625.000 2 . Kako je  ′ =
=> tačka  10; 6.250.000 je lokalni maksimum i
2
2 12.500.000 −625.000
 = 2500 10.
253. Iz uslova =>  = 2 + 3, pa ako to zamenimo u početnu funkciju, dobija se  = 2 2 + 12 + 9. Kako je  ′ = 4 + 12 =>
tačka  −3, −3 je lokalni minimum i  = −9.
254. Iz uslova =>  = 3 − 2, pa ako to zamenimo u početnu funkciju, dobija se  = −2 3 + 3 2 . Kako je  ′ = 6 1 −  =>
tačka 1 0,3 je lokalni minimum i  = 0, a tačka 2 1,1 je lokalni maksimum i  = 1.
2
2
255. Iz uslova =>  = 2 − , pa ako to zamenimo u početnu funkciju, dobija se  =  2− . Kako je  ′ =  2− 2 − 2 =>
tačka  1,1 je lokalni maksimum i  = .
1
256. Iz uslova =>  = 2 + 4, pa ako to zamenimo u početnu funkciju, dobija se  =  2 +  + 2. Kako je  ′ =  + 1 => tačka
3
2
 2, −1 je lokalni minimum i  = .
2
105
257. Kako je  , ,  = 2 + 3 +  4 2 + 9 2 − 72 =>
1


= 2 + 8,
1

= 3 + 18,



= 4 2 + 9 2 − 72 =>
stacionarne tačke su 1 3,2 , 1 = − i 2 −3, −2 , 2 = . Kako je 2  = 8 2 + 18 2 ,a uslov koji vezuje  i 
12
12
je 8 + 18 = 0, dobijamo:
1
2
3
1 3,2 , 1 = − => 2  = −  2 −  2 < 0 => 1 3,2 je lokalni maksimum i  = 12.
12
2 −3, −2 , 2 =
1
12
3
2
2
3
3
2
=> 2  =  2 +  2 > 0 => 2 −3, −2 je lokalni minimum i  = −12.
258. Kako je  , ,  =  + 2 +   2 + 4 2 − 8 =>
1


= 1 + 2,

= 2 + 8,

je 2 
1


=  2 + 4 2 − 8 =>
kandidat tačke su 1 2,1 , 1 = − i 2 −2, −1 , 2 = . Kako
= 2 2 + 8 2 , a uslov koji vezuje  i  je
4
4
2 + 8 = 0, dobijamo:
1
1
1 2,1 , 1 = − => 2  = −  2 − 2 2 < 0 => 1 2,1 je lokalni maksimum i  = 4 .
4
1
2
1
4
2
2 −2, −1 , 2 = => 2  =  2 + 2 2 > 0 => 2 −2, −1 je lokalni minimum i  = −4 .
259. Kako je  , ,  =  + 4 +   2 + 16 2 − 32 =>
1


= 1 + 2,

= 4 + 32,

je 2 
1


=  2 + 16 2 − 32 =>
stacionarne tačke su 1 4,1 , 1 = − i 2 −4, −1 , 2 = . Kako
= 2 2 + 8 2 , a uslov koji vezuje  i  je
8
8
2 + 8 = 0, dobijamo:
1
1
1 4,1 , 1 = − => 2  = −  2 −  2 < 0 => 1 4,1 je lokalni maksimum i  = 8 .
8
1
4
1
8
4
2 −4, −1 , 2 = => 2  =  2 +  2 > 0 => 2 −4, −1 je lokalni minimum i  = −8 .
260. Kako je  , ,  = 4 +  +  16 2 +  2 − 32 =>
1


= 4 + 32,


je 2 
1
= 1 + 2,


= 16 2 +  2 − 32 =>
stacionarne tačke su 1 1,4 , 1 = − i 2 −1, −4 , 2 = . Kako
= 8 2 + 2 2 , a uslov koji vezuje  i  je
8
8
8 + 2 = 0, dobijamo:
1
1
1 4,1 , 1 = − => 2  = − 2 −  2 < 0 => 1 4,1 je lokalni maksimum i  = 8 .
8
1
4
1
8
4
2 −4, −1 , 2 = => 2  =  2 +  2 > 0 => 2 −4, −1 je lokalni minimum i  = −8 .
261. Kako je  , ,  = 2 +  +  4 2 +  2 − 8 =>
1


= 2 + 8,

= 1 + 2,

je 2 
1


= 4 2 +  2 − 8 =>
kandidat tačke su 1 1,2 , 1 = − i 2 −1, −2 , 2 = . Kako
= 8 2 + 2 2 , a uslov koji vezuje  i  je
4
4
8 + 2 = 0, dobijamo:
1
1
1 1,2 , 1 = − => 2  = −2 2 −  2 < 0 => 1 1,2 je lokalni maksimum i  = 4 .
4
1
2
1
4
2
2 −1, −2 , 2 = => 2  = 2 2 +  2 > 0 => 2 −1, −2 je lokalni minimum i  = −4 .
262. Kako je  , ,  = 3 +  +  9 2 +  2 − 18 =>
1


= 3 + 18,

= 1 + 2,

je 2 
1


= 9 2 +  2 − 18 =>
stacionarne tačke su 1 1,3 , 1 = − i 2 −1, −3 , 2 = . Kako
= 18 2 + 2 2 , a uslov koji vezuje  i  je
6
6
18 + 2 = 0, dobijamo:
1
1
1 1,3 , 1 = − => 2  = −3 2 −  2 < 0 => 1 1,3 je lokalni maksimum i  = 6 .
6
1
3
1
6
3
2 −1, −3 , 2 = => 2  = 3 2 +  2 > 0 => 2 −1, −3 je lokalni minimum i  = −6 .
263. Kako je  , ,  = 6 − 5 − 4 +   2 −  2 − 9 =>
1
1


= −5 + 2,


= −4 − 2,


=  2 −  2 − 9 =>stacionarne
tačke su 1 −5,4 , 1 = −  2 5, −4 2 = . Kako je 2  = 2 2 − 2 2 , a uslov koji vezuje  i  je 2 −
2
2
2 = 0, dobijamo:
1
4
9
1 −5,4 , 1 = − => 2  = − 2 +  2 i  = −  => 2  =  2 > 0 => 1 −5,4 je lokalni minimum i
2
5
25
 = 15 .
1
4
9
1 5, −4 , 2 = => 2  =  2 −  2 i  = −  => 2  = −  2 < 0 => 2 5, −4 je lokalni maksimum i
2
5
25
 = −3 .



264. Kako je  , ,  =  −  +   2 −  2 − 2 => = 1 + 2,
= −1 − 2,
=  2 −  2 − 2 => nema stacionarnih

tačaka, pa funkcija nema lokalnih ekstremnih vrednosti.

265. Kako je  , ,  =  +   2 + 2 2 − 3 => = 1 + 2,

1 3, 0 , 1 = −
dobijamo:
1
3, 0 , 1 = −
2 − 3, 0 , 2 =
3
6
3
6
3
6
 2 − 3, 0 , 2 =
=> 2  = −
=> 2  =
266. Kako je  , ,  =  − 

3
3
3
3
3
3
6



= 4,


=  2 + 2 2 − 3 => stacionarne tačke su
. Kako je 2  = 2 2 + 4 2 , a uslov koji vezuje  i  je 2 + 4 = 0,
 2 −
 2 +

2 3
2 3
3
3
 2 < 0 => 1
3, 0 je lokalni maksimum i  = 3 .
 2 > 0 => 2 − 3, 0 je lokalni minimum i  = − 3 .
+ 1 +   2 +  2 − 8 =>


= 3 −
2
+ 2,


= −3  − 
2
+ 2,
=  2 +  2 − 8 =>stacionarne tačke su 1 2,2 , 1 = 0, 2 2, −2 , 2 = −12, 3 −2,2 , 3 = 12 i 4 −2, −2 , 4 = 0.
Kako je 2  = 6  −  + 2  2 − 12  −   + 6  −  + 2  2 , a uslov koji vezuje  i  je
2 + 2 = 0,dobijamo:
1 2,2 , 1 = 0 => 2  = 0, pa problem ekstrema ostaje nerešen.
2 2, −2 , 2 = −12 => 2  = −48 i  =  => 2  = −48 2 < 0 => 2 2, −2 je lokalni maksimum i

106
Matematika za ekonomiste
Časlav Pejdić, (064) 123 09 10
 = 65 .
3 −2,2 , 3 = 12 => 2  = 48 i  =  => 2  = 48 2 > 0 => 3 −2,2 je lokalni minimum i  = −63 .
4 −2, −2 , 4 = 0 => 2  = 0, pa problem ekstrema ostaje nerešen.


267. Kako je  , ,  =  −  3 + 1 +   2 +  2 − 18 => = 3  −  2 + 2,
= −3  −  2 + 2,


2

+ 2
=
− 8 =>stacionarne tačke su 1 3,3 , 1 = 0, 2 3, −3 , 2 = −18, 3 −3,3 , 3 = 18 i 4 −3, −3 , 4 = 0.

Kako je 2  = 6  −  + 2  2 − 12  −   + 6  −  + 2  2 , a uslov koji vezuje  i  je
2 + 2 = 0,dobijamo:
1 3,3 , 1 = 0 => 2  = 0, pa problem ekstrema ostaje nerešen.
2 3, −3 , 2 = −18 => 2  = −72 i  =  => 2  = −72 2 < 0 => 2 3, −3 je lokalni maksimum i
 = 217 .
3 −3,3 , 3 = 18 => 2  = 72 i  =  => 2  = 72 2 > 0 => 3 −3,3 je lokalni minimum i  = −215 .
4 −2, −2 , 4 = 0 => 2  = 0, pa problem ekstrema ostaje nerešen.


268. Kako je  , ,  =  −  3 + 1 +   2 +  2 − 8 => = −3  −  2 + 2,
= 3  −  2 + 2,



=  2 +  2 − 8 =>stacionarne tačke su 1 2,2 , 1 = 0, 2 2, −2 , 2 = 12, 3 −2,2 , 3 = −12 i 4 −2, −2 , 4 = 0.

Kako je 2  = 6  −  + 2  2 − 12  −   + 6  −  + 2  2 , a uslov koji vezuje  i  je
2 + 2 = 0,dobijamo:
1 2,2 , 1 = 0 => 2  = 0, pa problem ekstrema ostaje nerešen.
2 2, −2 , 2 = 12 => 2  = 48 i  =  => 2  = 48 2 > 0 => 2 2, −2 je lokalni minimum i  = −63.
3 −2,2 , 3 = −12 => 2  = −48 i  =  => 2  = −48 2 < 0 => 3 −2,2 je lokalni maksimum i
 = 65.
4 −2, −2 , 4 = 0 => 2  = 0, pa problem ekstrema ostaje nerešen.


269. Kako je  , ,  =  −  3 + 1 +   2 +  2 − 18 => = −3  −  2 + 2,
= 3  −  2 + 2,



=  2 +  2 − 18 =>stacionarne tačke su 1 3,3 , 1 = 0, 2 3, −3 , 2 = 18, 3 −3,3 , 3 = −18 i 4 −3, −3 , 4 = 0.

Kako je 2  = 6  −  + 2  2 − 12  −   + 6  −  + 2  2 , a uslov koji vezuje  i  je
2 + 2 = 0,dobijamo:
1 3,3 , 1 = 0 => 2  = 0, pa problem ekstrema ostaje nerešen.
2 3, −3 , 2 = 18 => 2  = 72 i  =  => 2  = 72 2 > 0 => 2 3, −3 je lokalni minimum i  = −215.
3 −3,3 , 3 = −18 => 2  = −72 i  =  => 2  = −72 2 < 0 => 3 −3,3 je lokalni maksimum i
 = 217.
4 −3, −3 , 4 = 0 => 2  = 0, pa problem ekstrema ostaje nerešen.


270. Kako je  , ,  =  +  3 +   2 +  2 − 8 => = 3  +  2 + 2,
= 3  +  2 + 2,



=  2 +  2 − 8 => stacionarne tačke su 1 2, −2 , 1 = 0, 2 −2, −2 , 2 = 12, 3 2,2 , 3 = −12 i 4 −2,2 , 4 = 0.

Kako je 2  = 6  +  + 2  2 + 12  +   + 6  +  + 2  2 , a uslov koji vezuje  i  je
2 + 2 = 0,dobijamo:
1 2, −2 , 1 = 0 => 2  = 0, pa problem ekstrema ostaje nerešen.
2 −2, −2 , 2 = 12 => 2  = −48 i  = − => 2  = 48 2 > 0 => 2 −2, −2 je lokalni minimum i
 = −64.
3 2,2 , 3 = −12 => 2  = 48 i  = − => 2  = −48 2 < 0 => 3 2,2 je lokalni maksimum i  = 64.
4 −2,2 , 4 = 0 => 2  = 0, pa problem ekstrema ostaje nerešen.



271. Kako je  , ,  =  −  4 + 1 +   2 +  2 − 18 => = −4  −  3 + 2, = 4  −  3 + 2,
=  2 + 2 −



18 => stacionarne tačke su 1 3,3 , 1 = 0, 2 3, −3 , 2 = −144, 3 −3,3 , 3 = −144 i 4 −3, −3 , 4 = 0. Kako je
2  = 12  −  2 + 2  2 − 24  −  2  + 12  −  2 + 2  2 , a uslov koji vezuje  i  je
2 + 2 = 0,dobijamo:
1 3,3 , 1 = 0 => 2  = 0, pa problem ekstrema ostaje nerešen.
2 3, −3 , 2 = −144 => 2  = 144 2 − 864 + 144 2 i  =  => 2  = −576 2 < 0 => 2 3, −3 je
lokalni maksimum i  = 1297 .
3 −3,3 , 3 = −144 => 2  = 144 2 − 864 + 144 2 i  =  => 2  = −576 2 < 0 => 3 −3,3 je
lokalni maksimum i   = 1297 .
4 −3, −3 , 4 = 0 => 2  = 0, pa problem ekstrema ostaje nerešen.



272. Kako je  , ,  =  −  4 + 1 +   2 +  2 − 18 => = 4  −  3 + 2,
= −4  −  3 + 2,
=  2 + 2 −



18 => stacionarne tačke su 1 3,3 , 1 = 0, 2 3, −3 , 2 = −144, 3 −3,3 , 3 = −144 i 4 −3, −3 , 4 = 0. Kako je
2  = 12  −  2 + 2  2 − 24  −  2  + 12  −  2 + 2  2 , a uslov koji vezuje  i  je
2 + 2 = 0,dobijamo:
1 3,3 , 1 = 0 => 2  = 0, pa problem ekstrema ostaje nerešen.
2 3, −3 , 2 = −144 => 2  = 144 2 − 864 + 144 2 i  =  => 2  = −576 2 < 0 => 2 3, −3 je
lokalni maksimum i  = 1297 .
3 −3,3 , 3 = −144 => 2  = 144 2 − 864 + 144 2 i  =  => 2  = −576 2 < 0 => 3 −3,3 je
107
lokalni maksimum i  = 1297 .
4 −3, −3 , 4 = 0 => 2  = 0, pa problem ekstrema ostaje nerešen.


273. Kako je  , ,  =  −  4 + 1 +   2 +  2 − 8 => = −4  −  3 + 2, = 4  − 

3

+ 2,

=  2 + 2 −

8 => stacionarne tačke su 1 2,2 , 1 = 0, 2 2, −2 , 2 = −64, 3 −2,2 , 3 = −64 i 4 −2, −2 , 4 = 0. Kako je
2  = 12  −  2 + 2  2 − 24  −  2  + 12  −  2 + 2  2 , a uslov koji vezuje  i  je
2 + 2 = 0,dobijamo:
1 2,2 , 1 = 0 => 2  = 0, pa problem ekstrema ostaje nerešen.
2 2, −2 , 2 = −64 => 2  = 64 2 − 384 + 64 2 i  =  => 2  = −256 2 < 0 => 2 2, −2 je lokalni
maksimum i  = 257 .
3 −2,2 , 3 = −64 => 2  = 64 2 − 384 + 64 2 i  =  => 2  = −256 2 < 0 => 3 −2,2 je lokalni
maksimum i  = 257 .
4 −2, −2 , 4 = 0 => 2  = 0, pa problem ekstrema ostaje nerešen.



274. Kako je  , ,  =  −  4 + 1 +   2 +  2 − 8 => = 4  −  3 + 2, = −4  −  3 + 2,
=  2 + 2 −





8 => stacionarne tačke su 1 2,2 , 1 = 0, 2 2, −2 , 2 = −64, 3 −2,2 , 3 = −64 i 4 −2, −2 , 4 = 0. Kako je
2  = 12  −  2 + 2  2 − 24  −  2  + 12  −  2 + 2  2 , a uslov koji vezuje  i  je
2 + 2 = 0,dobijamo:
1 2,2 , 1 = 0 => 2  = 0, pa problem ekstrema ostaje nerešen.
2 2, −2 , 2 = −64 => 2  = 64 2 − 384 + 64 2 i  =  => 2  = −256 2 < 0 => 2 2, −2 je lokalni
maksimum i  = 257 .
3 −2,2 , 3 = −64 => 2  = 64 2 − 384 + 64 2 i  =  => 2  = −256 2 < 0 => 3 −2,2 je lokalni
maksimum i  = 257 .
4 −2, −2 , 4 = 0 => 2  = 0, pa problem ekstrema ostaje nerešen.


275. Kako je  , ,  =  −  4 + 1 +   2 +  2 − 2 => = 4  −  3 + 2, = −4  −  3 + 2,

=  2 +  2 − 2 =>stacionarne tačke su 1 1,1 , 1 = 0, 2 1, −1 , 2 = −16, 3 −1,1 , 3 = −16 i 4 −1, −1 , 4 = 0.

Kako je 2  = 12  −  2 + 2  2 − 24  −  2  + 12  −  2 + 2  2 , a uslov koji vezuje  i  je
2 + 2 = 0, dobijamo:
1 1,1 , 1 = 0 => 2  = 0, pa problem ekstrema ostaje nerešen.
2 1, −1 , 2 = −16 => 2  = 16 2 − 96 + 16 2 i  =  => 2  = −64 2 < 0 => 2 1, −1 je lokalni
maksimum i  = 17 .
3 −1,1 , 3 = −16 => 2  = 16 2 − 96 + 16 2 i  =  => 2  = −64 2 < 0 => 3 −1,1 je lokalni
maksimum i  = 17 .
4 −1, −1 , 4 = 0 => 2  = 0, pa problem ekstrema ostaje nerešen.


276. Kako je  , ,  =  −  4 +   2 +  2 − 2 => = 4  −  3 + 2, = −4  −  3 + 2,



=  2 +  2 − 2 =>stacionarne tačke su 1 1,1 , 1 = 0, 2 1, −1 , 2 = −16, 3 −1,1 , 3 = −16 i 4 −1, −1 , 4 = 0.

Kako je 2  = 12  −  2 + 2  2 − 24  −  2  + 12  −  2 + 2  2 , a uslov koji vezuje  i  je
2 + 2 = 0, dobijamo:
1 1,1 , 1 = 0 => 2  = 0, pa problem ekstrema ostaje nerešen.
2 1, −1 , 2 = −16 => 2  = 16 2 − 96 + 16 2 i  =  => 2  = −64 2 < 0 => 2 1, −1 je lokalni
maksimum i  = 16 .
3 −1,1 , 3 = −16 => 2  = 16 2 − 96 + 16 2 i  =  => 2  = −64 2 < 0 => 3 −1,1 je lokalni
maksimum i  = 16 .
4 −1, −1 , 4 = 0 => 2  = 0, pa problem ekstrema ostaje nerešen.
1
1
277. Uvođenjem smene  = i  = , funkcija se svodi na  =  + , a uslov je 182 + 18 2 = 1. Kako je  , ,  =  +  +

 182 + 18 2 − 1 =>


= 1 + 36,

1 1
1


= 1 + 36,
1
1


= 182 + 18 2 − 1 =>
1
stacionarne tačke su 1 , , 1 = − i 2 − , − , 2 = . Kako je 2  = 362 + 36 2 , a uslov koji vezuje  i
6 6
6
6
6
6
 je 36 + 36 = 0, dobijamo:
1 1
1
1
1 , , 1 = − => 2  = −62 − 6 2 < 0 => 1 6,6 je lokalni maksimum i  = .
6 6
1
1
6
6
2 − , −
6
3
1
1
, 2 = => 2  = 62 + 6 2 > 0 => 2 −6, −6 je lokalni minimum i  = − .
6
1
3
1
278. Uvođenjem smene  = i  = , funkcija se svodi na  =  + , a uslov je 22 + 2 2 = 1.Kako je  , ,  =  +  +
 22 + 2 2 − 1 =>



= 1 + 4,

1 1
1


= 1 + 4,
1
1


= 22 + 2 2 − 1 =>
1
kandidat tačke su 1 , , 1 = − i 2 − , − , 2 = . Kako je 2  = 42 + 4 2 , a uslov koji vezuje  i  je
2 2
2
2
2
2
4 + 4 = 0, dobijamo:
1 1
1
1 , , 1 = − => 2  = −22 − 2 2 < 0 => 1 2,2 je lokalni maksimum i   = 1.
2 2
1
1
2
2
2 − , −
2
1
, 2 = => 2  = 22 + 2 2 > 0 => 2 −2, −2 je lokalni minimum i  = −1.
2
1
1
1


+
279. Uvođenjem smene  = i  = , funkcija se svodi na  =
 2 +  2 − 2 =>


=−
1
 +
2
1
+ 2,


=−
1
+
2
, a uslov je2 +  2 = 2. Kako je  , ,  =
+ 2,
1


108
8
+
= 2 +  2 − 2 =>
kandidat tačke su 1 1,1 , 1 = i 2 −1, −1 , 2 = − . Kako je 2  =
8
1
 +
2
+
3
+ 2 2 +
4
+
3
 +
2
 +
3
+
Matematika za ekonomiste
Časlav Pejdić, (064) 123 09 10
2  2 , a uslov koji vezuje  i  je 2 + 2 = 0, dobijamo:
1
1
1
1
1
8
2
2
2
2
1 1,1 , 1 = => 2  = 2 +  +  2 i  = − => 2  =  2 > 0 => 1 1,1 je lokalni minimum i
1
 = .
2
1
1
1
1
1
8
2
2
2
2
2 −1, −1 , 2 = − => 2  = − 2 −  −  2 i  = − => 2  = −  2 < 0 => 2 −1, −1 je lokalni
1
maksimum i  = − .
2
1
1
1

+
280. Uvođenjem smene  = i  = , funkcija se svodi na  =


 82 + 8 2 − 1 =>
1
1 1
,

=−
1
1
4
4
, 1 = 1 i 2 − , −
4 4
1
2
 +
+ 16,

=−

1
 +
2
, 2 = −1. Kako je 2  =
, a uslov je 82 + 8 2 = 1. Kako je  , ,  =
+ 16,
2
+
3


1
+
+
= 82 + 8 2 − 1 =>kandidat tačke su
+ 16 2 +
4
 +
3
2
 +
 +
3
+ 16  2 , a uslov
koji vezuje  i  je 16 + 16 = 0, dobijamo:
1 1
1 , , 1 = 1 => 2  = 322 + 32 + 32 2 i  = − => 2  = 32 2 > 0 => 1 4,4 je lokalni minimum
4 4
i  = 2.
1
1
2 − , − , 2 = −1 => 2  = −322 − 32 − 32 2 i  = − => 2  = −32 2 < 0 => 2 −4, −4 je
4
4
lokalni maksimum i  = −2.
281. Uvodi se smena  =   .

 3
282. Uvodi se smena  =  . 

283. Uvodi se smena  =  .
284. Uvodi se smena  =  2 .
 =
  +2
+ 
 2
2
 = 
  +1
− 2  + 4   + 2 + .

+ .
1
 2 −  +1
2
 3   
 =  −   2 −   + 1 + 3
2
1
1
2
2  −1
2
=  2   −   + .
2
2
285. Uvodi se smena  =  2 .
 3 +   −  = −
286. Uvodi se smena  =  3 .
5 5 +  2    =
3
2
1
2
1
3
2
1
3
3
+ .
2
 2 + 1  − −  − + .
3
5 3 + 1   −
2
5 3

3
+ .
1
1
287. Najpre se pomnoži gornji i donji deo razlomka sa , a zatim se uvede smena 1 +  2 =  2 .
 = 
2
 1+ 2
,
288. Uvodi se smena  =  2 .  2    = 2   5 − 5 2 + 20  3 − 60 + 120  − 120 +  .
289.

 2 +4+5

=
1+ 2 −1
1+ 2 +1
+ .
=   + 2 + .
+2 2 +1
smena  =  2 .
290. Uvodi se
  =   −  +   + .
1
1
1
291. Radi se parcijalna integracija:  = ,  = .  =  2  −  +  + .
2
2
2
292. Radi se parcijalna integracija:  = ,  =  2 .
1
1
1
 2  =  3  −  2 +   2 + 1 + .
3
6
6
1
293. Radi se parcijalna integracija:  = ,  = 2 .

1
1
 = −  + 
2

2
294. Uvodi se smena  =  2 .
2 2
2  2
 =
+ .
4
1+
2
295. Uvodi se smena  = .
1 − 2 − 1
1 − 2 + 1

+ .
2 + 1    =  2 + 1   + .
296. Radi se parcijalna integracija:  = ,  = .
 =  + 1 −  2 + .
297. Radi se parcijalna integracija:  = 2 ,  = .
2  = 2  + 2 1 −  2  − 2 + .
298. Radi se parcijalna integracija:  = 

+1
−1
 =
1
+1
 2 
2
−1
1
−1
−1
2
+1
+1
+  + 
299. Radi se parcijalna integracija:  = 
+1
+1
2
+1
,  = .
+ .
−1
,  = .

 = 
+ 
− 1 + .
−1
−1
300. Uvodi se smena  =  2 .
  = −2   + 2  + .

301. Radi se parcijalna integracija:  =  2 − 2 + 2,  =  .

 2 − 2 + 2
− 2 − 2
 =
+ .


109
1
 −
302. Radi se parcijalna integracija:  =  −    ,  = 2 .
 
303. Radi se parcijalna integracija: =   ,  = .
1
1
   =    −    + .
2
2
304. Radi se parcijalna integracija: =  3 ,  =  4 .
5 5
6
 5  6  =
  6 +  5  6 + .
61
61
305. Radi se parcijalna integracija: =   ,  =  4 .
4
1 
   4  = −    4 +
  4 + .
17
17
3
306. Radi se parcijalna integracija:  =  ,  =  2 .
2
3
 3  2  = −  3  2 +  3  2 + .
13
13
307. Radi se parcijalna integracija: =  3 ,  =  4 .
4
3
 3  4  = −  3  4 +  3  4 + .
25
25
308.
309.
310.
311.
312.
313.
314.
315.
316.
317.
318.


= −
+
 5 − 2
2
21 2 −94+72
 3 −7 2 +12
21 2 −80+48
 3 −6 2 +8
2 2 +3−4
 3 −2 2 +−2
8 2 −12+2
 3 −2 2 +−2

 4 + 3 + 2
+1 3
 2 +2−3
 3 +1
 2 +1 
7
3
−1

 = 2

2
 =
−
 +
 =
 4 − 3 + 2 −
6 2 −2−2
+

 = 2
 3 −

3
321. Uvodi se smena
2+
323. Uvodi se smena  2 =
1−
324. Uvodi se smena  3 =
+1
1+
27 27
28
2 +2+1

7
7
2
1
2
2

=
3
1+ +1
3
2
1+ 2
2−
2+
+1
3
3
1
28
6
3
3
 +2
3
3
+ +2
−
2
+1
 =
 =
3
6
3
4
1
1−
1+
3
 =
2
3
3
1
2
1+ +

110
1
dx   .
1
2
2
1
 =
3
+1

1−
−1
1+
 + 1 + 1 + .
1−
− 
1+
3
1
− 1 + 
2
6
−1 +
+1 2

+
3
1
1−
+1
1+
+1

+ 
1−
1+
+ 1 + .
+ 1 − 3
2
3  +1
+1

3
3
+.
6
+ 6  − 6  + .
+2
4
4
−
3
3
+2
2
2

2
3
− 
 =   + 1 + .
1
 1  e.
2
3
+ .
+ .
 x ln x  1dx  4 e  1
x
2
− 3  + 1 + 3
252 + 25 25
= .
 →∞
→∞
22
2
329. Radi se parcijalna integracija:  =   − 1 ,  = .

9
  − 3 −   − 2 + .
3
2−
 = −
 =   = 
P
+ .
2 − 1 + .
2
2+ 2
3
2
3 2
1
5 5 25 n
25 nn  1 25n 2  25n

.
328. S   k  2  k  2
n n k 1
n
2
2n 2
k 1 n
330.
3
3
 = 4  + 3  − 1 +   2 + 1 + .
2−1
 =

2
2 +1
= 2  +   − 1 + 3  + 1 + .
2

3

 2 +1
+1 2
3
1
 1+ 
1

=  − 2  +   2 + 1 −  + .
n
e1
3
3
2
=  +   +
2 −2

 =
1−
.
327. Uvodi se smena  =  .
+ .
1

 4 1+
326. Uvodi se smena  3 =  + 2.
3
−
+1
2−1

+ +  2
325. Uvodi se smena  6 = .
1
4
−1
2−
.

−
+2
+3
2
.
2−
3
3
 =  +  + 2  + 2 − 3 + .
−3

−1
−1
=  + 1.
322. Uvodi se smena  3 =
1

 2 +2−3

9
4

320. Uvodi se smena  2 = 2 − 1.
3
2+1
 =  +   4 − 1 + .

+


= 6  + 7  − 2 + 8  − 4 + .
−4
+1
 2 +1
1 4
+3

3
+2
 4 −1

 = 4
28
+
6


 − 2
 3 

3
3
= 6  + 7  − 3 + 8  − 4 + .
 = − −   +   2 +  + 1 −
 2 ++1
1
6
+ .
= 2  − 2 + 3  2 + 1 + .
 2 +1

 +  + 4
 =
 =
+

1
3


= 2  − 2 + 3 + .
 2 +1

+6
−2

1
−4

+8
−2

1


   =
 = +   − 1 −   2 +  + 1 +
+8
−3

+3
−2

1
3
 2 ++1

+7


 = 2
1
3
− +
+
+7


 = 6
 4 −1
9 3 −6 2 +7−4
319.

 = 6
=
 3 −5 2 +6
 3 −2
1
 2 
4
3
+2−1 +
15
8

3
+2
2
3
+ +2+2 −
Matematika za ekonomiste

331.

0
P   e xe dx   e xe dx   e xe dx  1.
x
x

0
x


P
1
25 4
dx  1  ln 2  ln .
x  10 x  16
6
6 5
2
 x

x
dx
b 
e
x
3
ln x
dx  lim
 0
 x
1
dx
0 2  x  1  x  lim
 0
1
1 
dx

1 x
0

2
 lim
 0
1

0
0
dx
3
 .
ln x 2
3
1 
dx
 2  x 
0
dx
1 x
2


2

1 x


2
.
.
 x e
 x e
 x e
 e dx   e dx   e dx  1.
x


e

342.

2 1..
0
e
dx
1
341.
2
e
1
340.
dx
2
dx
dx
 . Dakle, integral je divergentan.
1 x ln x  lim

 0
x ln x
1
e
339.

 8 e x dx  6  4e 2
2
2 2
b
0
338.
 x
0
 8 e dx 
2
 x  1x  4  lim  x  1x  4  3 ln 4.
335.
337.
0


x
x  3
P
3
336.

x
2
2 2
334.
0
P   e  xe dx   e  xe dx   e  xe dx  1.
4
333.
x


332.
Časlav Pejdić, (064) 123 09 10
x

x e x
x
0

0
dx   e xe dx   e xe dx  1.
x

x
0
 dxdy  PD  12.
D
343.
 dxdy  PD  4 .
D
344.
 dxdy  PD  6.
D
345.
 dxdy  P( D)  16
D
346.
 dxdy  PD  8.
D
111
347.
11
.
2
 dxdy  P( D) 
D
348.
 dxdy  P( D) 
19
.
2
 dxdy  P( D) 
15
.
2
D
349.
D
350.
 dxdy  P( D)  15.
D
351.
 dxdy  PD  r   2 .
2
D
352.
 dxdy  PD  r    .
2
D
3
353.
0
D
4 25 x 2
0
0
0
354.
 3
 xydxdy 
D
357.
2
 2 x 2
3
0
3
 xydxdy 
0
2
 2 x 2
3
0
0
 xdx
 2
3
 3 x 2
2
0
5
 14 x  x 2  45
 xydxdy   xdx  ydy 
D
0
6
0
2
  x 2 8 x 12
6
 y 2 8 y 12
2
0
6
0
 xydxdy   ydy
D
2
5
362.  xydxdy   xdx
D
112
1
64
.
3
64
.
3
 xdx  
  y 2 8 y 12
112
.
3
64
.
3
 ydy  
 xydxdy   ydy  xdx 
D
361.
2
 xydxdy   xdx
D
360.
 ydy  
 x 2 8 x 12
6
359.
3
 ydy  4 .
9
 xydxdy   xdx
D
358.
3
 xdx  ydy   4 .
D
356.
3
 xydxdy   xdx  ydy  4 .
D
355.
19
 xydxdy   xdx  ydy   24 .
64
.
3
0
 ydy  16 .
  x 6 x 5
2
1
2 x 2
3
2 x 1
64
 x  y dxdy   dx  x  y dy  15 .
D
Matematika za ekonomiste
Časlav Pejdić, (064) 123 09 10
363.
1
364.
0
x2
e
ln y
1
0
D
365.
366.
x
 x  2 y dxdy   dx  x  2 y dy 
1
e
0
ex
9
.
20
 dx  f x, y dy   dy  f x, y dx.
y
2
e
1
ln y
ln 2
x
e
e
2
e2
2
ln 2
1
e
ln x
 dy  dx   dx  dy   dx  dy   dx  dy.
367.  =
0
1
−
1− 2 −1
368.
1
.
1− 2 −1
1− 2 +1
= .
1− 2 +1
369. 1 +  2 + 1 +  2 = .
370.  +  −   + 1  + 1 = .
371.  − 3 − 2  − 2 = .
372. 2  − 2 + 3  2 + 1 =
2
2

373.
374.
  +1





+.
= .
= .
2
375.  =   −  2 − 1 .
376.  =   + 1.
377.  =  − .
2
1
378.  =  2 − 2 2 − 8 − 16 .
379.  =
380.  =
1
 − +−1
1
 − +−1
.
.
1
381.  = 1  + 1  − .
2
1
382.  = 1  − + 2  − +
6
1
 3 +  2  − .
2
1
1
383.  = 1  2 + 2  2 + −  3 +  2  2
6
2
384.  = 1   + 2  3 +  − 1  2 .
1
4
385.  = 1   + 2  3 +  − 1  2 +  + .
386.  = 1   + 2   +
387.  = 1   + 2  − +
1
3
4 
12
3
10
1
3
3
 +   2 .
5
388.  = 1  − + 2  3 −  2   .
389.  = 1 + 2  2 −
1
10
8
 3   .
3
390.  = 1   + 2  2 +  2 −
391.  = 1
 2
392.  = 1
 4
393.  = 1
 4
+ 2
 3
+ 2
 3
+ +
+ 2
 3
+ +
−
 2
−
10
5
1
7
4
1
48
7
3
 +
78
1
36
1
4
1
8
+
1
10
 .
 3 −
 4 .
1
78
 3 .
−  3 .
394.  = 1  4 + 2  −4 −  +  4 .
1
395.  = 1  −4 + 2  3 +  3 +  +
396.  =
397.  =
398.  =
399.  =
400.  =
1
.
7
3
36
1
4
14
1
1   + 2  −3 −  2 −  − +  − .
3
9
27
4
1
3
1  2 + 2   + −  2 −    − 
2
5
1
17
1  −8 + 2  −9 −  −9 −  +
.
9
648
1
17
−8
−9
−8
1 
+ 2 
+ 
− +
.
8
576
1
17
9
8
8
1  + 2  −  +  +
.
8
576
9
− .
5
113
401.  = 1  4 + 2  4 +
3
16
1
1
 +  3 .
1
7
402.  = 1  4 + 2  4 +  −  4 .
1
4
1
1
8
403.  = 1 + 2   −  +  +  − .
2
2
1
2
1
404.  = 1 + 2  − −  −  −  − .
2
1
1
 +  7 .
49
7
1
1
1
1  3 + 2   +  3 −  3 + 
2
30
15
1
1
1  3 + 2  3 +  −  3 .
3
6
1
1
1  3 + 2  −3 −  +  3 .
3
6
4
1   + 2  3 +  + −  2 .
3
1
1
1  4 + 2  4 +  4 +  4
32
8
1
3
1  4 + 2  4 +  4 +  4
16
8
405.  = 1 + 2  7 −
406.  =
407.  =
408.  =
409.  =
410.  =
2
1
14
2 −
3 .
.
411.  =
.
412.  = 1  2 + 2  2 je rešenje diferencijalne jednačine " + 4 = 0 .
413.  = 1  2 + 2  −2 je rešenje diferencijalne jednačine  " − 4 = 0.
414.  = 1  2 + 2  −2 +  2 je rešenje diferencijalne jednačine " − 4 = 2 − 4 2 .
3
=
4
27
4 3 2 1 2
415. a)  = 4 =>   = 2 =
=
.
4
128
2 4
=2
b)  =
30 10
2
2
40
4
416. a)  =
  =
b)   =
=
3915
18278
6
3
8
6
+
0
0
14
3
6 8
0 3
14 =
3
6 3
+
14
3
8
3
2
13
.
=
19
91
.
.
3
8
14
.
8
14
3 3 3
37
417.  = 1 − ∙ ∙ = .
4 4 4
64
418. Označimo događaje:
A – da smo izvukli belu kuglicu,
B – da smo iz druge u prvu prebacili belu,
C – da smo iz druge u prvu prebacili crvenu.
Tada važi:   =   1 ∙ P B1 +   2 ∙ P B2 =
  =
419.   =
  =
4
3
4
1
420. a)   =
  =
b)   =
6
0
6
1
14
3
8
4
  =
b)   =
  =
114
8
1
=
6 8
4
+
3 0
0
18
3
4
17
6
0
17
7
4
4
2
+
9
17
17
2
4
2
+
9
16
=
5
51
3
10
+
5
16
.
16
2
=
129
.
170
.
8
17
2
+
9
7 9
+
23
0 4
0
=
.
16
260
4
7 9
7 9
7 9
+
+
2 2
1 3
0 4
16
4
7 4
9 4
16
8
03
∙
.
9
8 9
+
7
0
0 4
= .
17
85
4
8 9
8 9
8 9
+
+
2 2
1 3
0 4
17
4
8 4
9 4
  =
421. a)   =
8
4
+
0
0
6
16
4
3
=
21
26
9
17
3
8
17
1
7
16
1
4
4
9
17
4
+
8 0
.
17
4
4
9
16
4
+
7 0
.
16
.
.
7
16
2
+
4
3
9
16
3
∙
7
10
=
53
160
.
Matematika za ekonomiste
6
4
422. a)   =
  =
b)   =
8
6 8
+
85
0
0 4
=
14
1001
4
6 8
6 8
6 8
+
+
2 2
1 3
0 4
14
4
6 4
8 4
  =
+
14
  =
423.   =
Časlav Pejdić, (064) 123 09 10
8
14
4
2
8 9
2 0
17
2
8 9
1 1
17
2
=
=
.
=
118
.
143
.
14
2
2
6
14
8
14
4
3
+
3
6
14
  =
4
4
+
4
8
14
6 0
.
14
7
34
9
17
.
1 − prva je bela
2 − prva je crvena
  =   1 ∙ P D1 +   2 ∙ P D2 =
424.   =
1
8 7
1 1
8 9
8 7
7 9
+
+
1 1
1 1
1 1
8 7
7 9
+
1 1
1 1
8 9
8 7
7 9
+
+
1 1
1 1
1 1
=
=
56
191
119
191
7
16
∙
8
17
+
8
16
∙
9
17
=
8
17
.
.
.
425. Označimo događaje:
0 − da smo izvukli kocku koja nije ofarbana,
1 − da smo izvukli kocku koja je ofarbana sa jedne strane,
2 − da smo izvukli kocku koja je ofarbana sa dve strane,
3 − da smo izvukli kocku koja je ofarbana sa tri strane.
Tada važi:   =   0 ∙  0 +   1 ∙  1 +   2 ∙  2 +   3 ∙  3 =
1
1 6
2 12
3 8
1
0∙ + ∙ + ∙ + ∙ = .
27
6 27
6 27
6 27
3
426. Označimo događaje:
 − da se pojavio broj 1,
1 − da smo izvukli prvu kocku,
2 − da smo izvukli drugu kocku.
Tada važi:  1  =
  1 ∙ 1
 
=
  1 ∙ 1
  1 ∙ 1 +  2 ∙ 2
427. Označimo događaje:
 − da je izvučena 1 bela i 2 crvene,
 − da smo izgubili belu kuglicu,
 − da smo izgubili crvenu kuglicu.
Tada važi:
7
  =    ∙P B +   ∙P C = 1
  =
   ∙ 
 
1
=
18
85
36
85
11
∙
3
∙ + ∙
5
= 1 12 21 1 = .
22 32
9
8 8
2 ∙ 8 + 1 2 ∙ 9 = 36 .
16
16
17
17 85
3
3
1
= .
2
  = .
2
428. a) Označimo događaje:
 − da je izvučena bela kuglica,
1 − da smo prebacili belu kuglicu,
2 − da smo prebacili crvenu kuglicu.
  =   1 ∙ P B1 +   2 ∙ P B2 =
b) Označimo događaje:
 − da je izvučena bela kuglica,
1 − da smo prebacili 3 bele kuglice,
2 − da smo prebacili 2 bele i 1 crvenu,
3 − da smo prebacili 1 belu i 2 crvene,
4 − da smo prebacili 3 crvene.
+1



∙
+
∙
++1 + ++1 +
115
  =   1 ∙ P B1 +   2 ∙ P B2 +   3 ∙ P B3 +   4 ∙ P B4 =
=
+3
++3
∙
 
∙
3 0
+
3
+2
+
+ +3
 
∙
2 1
+
3
∙
+1
+
+ +3
∙
 
∙
1 2
+
3
+

++3
∙
 
∙
0 3
+
3
.
429. Označimo događaje:
 − da je izvučena bela kuglica,
1 − da smo izvukli prvu kutiju,
2 − da smo izvukli drugu kutiju,
3 − da smo izvukli treću kutiju.
Tada važi:
b
  =   1 ∙ P B1 +   2 ∙ P B2 +   3 ∙ P B3 =
 1  =
 2  =
 3  =
430.   =
  1 ∙ 1
=
 
  2 ∙ 2
=
 
  3 ∙ 3
=
 
1
37 13
1
13!
,  =
1
 +
b x+y +x b+c + x+y b+c
x b+c
b x+y +x b+c + x+y b+c
x+y b+c
,  =
1
37 12
,  =
3 b+c x+y
.
.
.
.
b x+y +x b+c + x+y b+c
1
1
37 13
x+y +x b+c + x+y b+c
37 13
.
431.   = ,   = ,   = .
16
16
4
432. Treba pojeftiniti za 60%.
433. Prost kamatni račun:
Krajnja vrednost kapitala Kn (uvećani ulog zajedno sa interesom na interes) pri godišnjem kapitalisanju nakon n godina je

 = 0 1 +
.
100
Složen kamatni račun:
Krajnja vrednost kapitala Kn (uvećani ulog zajedno sa interesom na interes) pri godišnjem kapitalisanju nakon n godina je


 = 0 1 +
,gde je K0 početni kapital a p dekurzivna interesna stopa. Kapitalisanje pored godišnjeg u oznaci (pa)
100
može biti šestomesečno (ps), tromesečno (pd), mesečno (pm), dnevno i neprekidno.
Računanje i odobravanje kamate na kraju određenog vremenskog intervala zove se dekurzivno računanje interesa i
označava se slovom d uz interesnu stopu. Tako (pa) d znači da je interesna stopa p% godišnja.
Ako se kapitalisanje vrši m puta godišnje uz interesnu stopu p% tada je krajnja vrednost kapitala K 0 posle n godina


 = 0 1 +
.
100
Ako je kapitalisanje neprekidno uz godišnju interesnu stopu p%, tada je krajnja vrednost kapitala K 0 posle vremena t koje

je dato u godinama (t ne mora biti ceo broj) jednaka  = 0  100 .
434. ) 3 = 25000 ∙ 1 +
6
) 12 = 25000 ∙ 1 +
 3∙0,06
) 3 = 25000 ∙
435.  = 100 ∙  1 +
436.  = 100 ∙  1 +
437.  =
1+
a)  =
100
20
1+
b)  =


1+
200
20
1+
a)  =
b)  =

1+
200
40
400
c)  = lim →∞
116
2
4
= 29775,40 dinara.
12
400
2
= 29890,45 dinara.
= 29930,43 dinara.
= 100 ∙ 1,10 .
100
2
100
= 100 ∙ 1,08 .
− 1 ∙ 100 .
− 1 ∙ 100 = 21% .
− 1 ∙ 100 = 21,55% .
1+

100
40
1+
4
400
c)  = lim →∞
438.  =
2
3
100
6
20

100
− 1 ∙ 100 =  0,2 − 1 ∙ 100 = 22,14% .
− 1 ∙ 100 .
− 1 ∙ 100 = 44% .
− 1 ∙ 100 = 46,41% .
1+
40
100

− 1 ∙ 100 =  0,4 − 1 ∙ 100 = 49,18% .
Matematika za ekonomiste
Časlav Pejdić, (064) 123 09 10
DODATAK A
PODSETNIK
U podsetniku je dat kratak pregled osnovnih pojmova iz srednje škole, koji su Vam neophodni, a koji se ne uče ni na
predavanjima ni na vežbama, jer se podrazumeva da to znate.
Preporučujem da ovo prvo pročitate.
Sve što je dato u podsetniku morate dobro da savladate, kako bi to kasnije efikasno koristili pri izradi ispitnih zadataka.
1) Iskazi
Tablica istinitosti “i” i “ili” iskaza:
P
Q
PQ
PQ
T
T
T
T
T


T

T

T




2) Skupovi brojeva u elementarnoj matematici
Skup prirodnih brojeva
Skup celih brojeva
N  1,2,3,.
Z  ,2,1,0,1,2,.
Skup racionalnih brojeva
Skup realnih brojeva
razlomka kao što su
m

Q   m  Z , n  N .
n

R Q
iracionalni, gde su iracionalni brojevi oni brojevi koji ne mogu da se predstave pomoću
2 , 3, e,  ,
Neke osnovne formule
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
2 −  2 =  −  ( + )
2 +  2 = ne može se rastaviti.
3 −  3 =  −  2 +  +  2
3 +  3 =  +  2 −  +  2
 −  2 = 2 − 2 +  2
 +  2 = 2 + 2 +  2
 −  3 = 3 − 32  + 3 2 −  3
 +  3 = 3 + 32  + 3 2 +  3
117
3) Binomni koeficijenti
 n
 .
k 
To su izrazi oblika
Računaju se na sledeći način:
Na primer
 7 7  6  5
 9 9  8  7  6
 5 5  4
  
 35,   
 126,   
 10.
 3 3  2 1
 4 4  3  2 1
 2 2 1
Kao što vidite dole je uvek faktorijel donjeg broja, tj proizvod svih brojeva od njega do jedinice, a gore je proizvod gornjeg broja
i brojeva unazad onoliko koliki je donji broj.
Osobine binomnih koeficijenata:
 n
   1
 0
 n
2) 
 1   n
 
1)
 n  n 
   

k  n  k 
10  10  10  9  8
Tako na primer 
 7    3   3  2  1  120.
   
3)
4) Stepenovanje

=  ∙  ∙ …∙ 
−č
Osobine stepena:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
0 = 1
1 = 
1
− = 

 ∙  =  +
 :  =  −
  = 
  =   
 
8.

=


5) Korenovanje
n
a  b  b n  a.
Osobine korena:
1.
2.

3.

4.
5.

118
 =


 =  



=






=


 = 
2 =  ,
6.
7.



1




2
= ⇒ =
=


Matematika za ekonomiste
Časlav Pejdić, (064) 123 09 10
6) Specijalne funkcije
a) Apsolutna vrednost
x
.
Apsolutna vrednost je funkcija koja sve brojeve pretvara u nenegativne. Na primer
Definicija apsolutne vrednosti:
b) Signum funkcija
sgn x .
 8  8, 
27 27

, 3  3.
4
4
 x, x  0
x 
 x , x  0
Signum funkcija je funkcija koja određuje znak broja. Na primer  5 = 1,  100 = 1,  −2 = −1,  0 = 0
1,  > 0
Definicija signum funkcije je:
  = 0,  = 0
−1,  < 0
Između prethodne dve funkcije postoji sledeća veza:
x  x  sgn x .
n!
Na primer 3! 3  2  1  6, 8! 8  7  6  5  4  3  2  1  40320.
c) Faktorijel funkcija
Uvek može da se napiše veza između dva faktorijela. Tako na primer važi:
n! n  n  1!, n  1! n  1  n  n  1!
7) Logaritmovanje
x  log c a, gde je a
podlogaritamski deo i
c
osnova logaritma. Uslovi postojawa logaritma su:
a, c  0  c  1.
x  log c a  a  c x .
Osobine logaritama:
1.
2.
3.
4.
 1 = 0
  = 1
  =   +  


=   −  
5.
6.
7.
8.
  =   ⇒   =  

10  = log 
  = ln   ≈ 2,72
ln 
log  =


1
ln 10
8) Imaginarni i kompleksni brojevi
i   1  imaginarna jedinica
Kako je
i   1   16  4i,  36  6i,  7  7  i
Kompleksni brojevi se najčešće označavaju sa
realni deo kompleksnog broja, a
v
itd.
z  u  iv, gde je u
imaginarni deo. Tako na primer:
z  2  3i  u  2, v  3
z  3i  u  0, v  3
itd.
119
9) Jednačine
A) Linearne jednačine sa jednom nepoznatom
To su jednačine oblika
Rešenje je:
ax  b.
b
a0 x .
a
2) Za a  0  b  0  jednačina nema rešenja.
3) Za a  0  b  0  jednačina ima beskonačno mnogo rešenja.
1) Za
B)
Kvadratne jednačine
ax 2  bx  c  0.
2
Diskriminanta kvadratne jednačine je D  b  4ac.
To su jednačine oblika
Rešenja su:
C)
D  0  jednačina ima dva realna različita rešenja i to su x1, 2 
2) Za
D  0  jednačina ima dva realna i jednaka rešenja i to su
3) Za D  0  jednačina nema realnih rešenja.
Iracionalne jednačine
To su jednačine u kojima se nepoznata nalazi ispod korena.
Kako se one rešavaju najbolje će se videti iz sledećih primera:
x  4 /2
x  16
1)
x2  9  5 / 2
2)
x 2  9  25
x 2  16
x1, 2  4.
x  2 / 3
x  8
4) 2 x  3  5 x  1  0
3)
3
2 x  3  5x  1 / 2
2 x  3  5x  1
 3x  2
2
x
3
5) x  1  2 x  3  1
x  1  1  2x  3 / 2
x  1  1  2 2x  3  2x  3
2 2x  3  x  3 / 2
42 x  3  x 2  6 x  9
 x 2  2x  3  0
x1, 2 
120
 b  b 2  4ac
.
2a
b
x1  x2   .
2a
1) Za
 2  4  12
 x1  1, x 2  3.
2
Matematika za ekonomiste
Časlav Pejdić, (064) 123 09 10
D) Eksponencijalne jednačine
To su jednačine u kojima se nepoznata nalazi u eksponentu.
Kako se one rešavaju najbolje će se videti iz sledećih primera:
3 x 1  81
3 x 1  3 4
1)
x 1  4
x  5.
2)
5x
5 
x 1 x 1
2
1
 5x
2

 5 x 2

x
2 x
x 2  1  x 2  2x
2x  1
1
x .
2
2x
13 x
3) a  a
 a 5 x : a 3 x1
a 1 x  a 2 x 1
1  x  2x  1
 3x  0
x  0.
x 4
 0,01
4) 10
10 x  4  10 2
x  4  2
x  2.
x 1
 3 / ln
5) 2
E)
ln 2 x 1  ln 3
x  1 ln 2  ln 3
ln 3
x  1
.
ln 2
Logaritamske jednačine
To su jednačine u kojima se nepoznata nalazi u logaritmu.
Kako se one rešavaju najbolje će se videti iz sledećih primera:
ln x  3 ln 5
ln x  ln 5 3
x  125.
1)
2)
ln x  1  2
x 1  e2
x  e 2  1.
1
3) ln  x  1  1
3
ln  x  1  3
x  1  e3
x  e3  1
121
4)
ln x  ln x  1  2 ln 1  x 



ln x 2  x  ln 1  2 x  x 2

x 2  x  1  2x  x 2
3x  1
1
x .
3
10)
Nejednačine
A) Linearne nejednačine
To su nejednačine oblika
ax  b  0,
gde je sa

označen neki od znakova
, , ,  . Ove nejednačine su dosta
jednostavne za rešavanje, što ćete videti i iz primera.
3x  5  x  3
2x  8
x  4.
2) 5  x  10
x  5.
3) 5  x  10
x5
x  5
2 x  1 3x  1

/ 15
4)
3
15
10 x  5  3 x  1
7 x  6
6
x .
7
1)
B)
Kvadratne nejednačine
To su nejednačine oblika ax  bx  c  0, gde je sa
rešavaju crtanjem grafika kvadratne funkcije.
2
Grafik kvadratne funkcije
označen neki od znakova
, , ,  . Ove nejednačine se
se crta na sledeći način:
1) Ako je
a0
2) Ako je
a  0 funkcija “plače” pa ima sledeći izgled:
3) Ako je
D0
izgled:
122
y  ax 2  bx  c

funkcija se “smeje” pa ima sledeći izgled:
grafik ima dve tačke preseka sa
x  osom i to su x1, 2 
 b  b 2  4ac
. Grafik ima sledeći
2a
Matematika za ekonomiste
Časlav Pejdić, (064) 123 09 10
x  osom i to je x 
b
. Grafik ima sledeći izgled:
2a
4) Ako je
D0
5) Ako je
D  0 grafik nema dodirnih tačaka sa x  osom. Grafik ima sledeći izgled:
grafik ima jednu dodirnu tačku sa
Na sledećih nekoliko primera videćete primenu prethodnog.
1)
x 2  2x  1  0
D  0  grafik dodiruje x  osu u tački x  1. Kako je a  0
Dakle, rešenje nejednačine je x
grafik funkcije ima sledeći izgled:
  ,1  1, .
 x 2  5x  6  0
D  1  grafik seče x  osu u tačkama x1  2 i x2  3. Kako je a  0 grafik funkcije ima sledeći izgled:
2)
123
Dakle, rešewa nejednačine su
3)
x   ,2  3, .
x  2x  2  0
2
D  4  grafik neka dodirnih tačaka sa x 
osom. Kako je
a0
grafik funkcije ima sledeći izgled:
osom. Kako je
a0
grafik funkcije ima sledeći izgled:
Dakle, nejednačina nema rešenja.
4)
x2  x 1  0
D  3 
grafik neka dodirnih tačaka sa
Dakle, rešenje nejednačine je x
x
  , .
 x2 1  0
Grafik seče x  osu u tačkama x1  1 i x2  1. Kako je a  0 grafik funkcije ima sledeći izgled:
5)

C)
ln x  0
x  e0  x  0
x  1  x  0  x  1,  .
2) ln x  1
x  e1  x  0
x  e  x  0  x  e,  .
1)
3)
124

Dakle, rešenje nejednačine je x   1,1 .
Logaritamske nejednačine
To su nejednačine u kojima se javlja logaritam.
Kako se one rešavaju najbolje će se videti iz sledećih primera:
ln x  3  5
Matematika za ekonomiste
x  3  e5  x  3  0
Časlav Pejdić, (064) 123 09 10


x  e 5  3  x  3  x   3, e 5  3 .
4) ln xx  2  0
x 2  2x  1
x 2  2x  1  0
D  8  grafik seče x  osu u tačkama x1  1  2 i x2  1  2. Kako je a  0
grafik funkcije ima
sledeći izgled:
Osim toga postoji uslov da podlogaritamski deo bude pozitivan, tj.

 

x 2  2 x  0  x   ,2  0, .
Dakle, rešenje nejednačine je x   1  2 ,2  0,1  2 .
D) Kombinovane nejednačine
To su nejednačine u kojima su na razne načine iskombinovana prethodna tri tipa. To ćete videti kroz sledeći primer:
2  x x  3x 2  9  0


ln x 2  1
Kombinovane nejednačine se najlakše rešavaju pomoću tablice.
Dakle rešenje nejednačine je x
 2,3   3.
Napomena: Funkcija nema nulu u tački
x  0 jer je to donji deo razlomka.
125
11)
Neodređeni i određeni izrazi
Neodređeni izrazi su izrazi čiju vrednost ne znamo. To su sledeći izrazi:
0  0 
  ,   0,0  , , , , ,1 ,0  ,   ,0 0 ,  0
0   0
.
Određeni izrazi su svi ostali, tj. izrazi čija se vrednost zna. U nastavku su date vrednosti nekih određenih izraza na kojima
studenti često greše:
    ,   a  , a    ,     ,
a

 0,  ,

a

a
a
 ,  ,
 , ln 0  , ln   ,
a
0
0
 , a  1
 0, a  1
a  
, a   
0,0  a  1
,0  a  1
12)
Trigonometrija
Osnovne trigonometrijske funkcije su
sin  , cos  , tg i ctg ,
radijanima. Veza između stepena i radijana je 180

gde je  ugao koji može biti izražen u stepenima ili u
  rad.
Vrednosti trigonometrijskih funkcija za neke uglove

0
30
45
60
90
180
270
360
rad
0
 6
 4
 3
 2

3 2
2
sin
0
12
1
0
-1
0
cos
1
0
-1
0
1
tg
0

0
-
0
ctg

0
-
0

2 2
3 2
3 3
3
2 2
1
1
Trigonometrijski identiteti
sin 2   cos 2   1
tg  ctg  1
tg 
sin 
cos 
ctg  
cos 
sin 
sin     sin 
cos    cos 
tg     tg
ctg     ctg
126
3 2
12
3
3 3
Matematika za ekonomiste
Časlav Pejdić, (064) 123 09 10
sin     sin  cos   cos  sin 
cos     cos  cos   sin  sin 
tg     
tg  tg
1  tgtg
ctg     
ctg  ctg   1
ctg   ctg 
sin2   2 sin  cos 
cos2   cos 2   sin 2 
sin  sin  
1
cos     cos   
2
cos  cos  
1
cos     cos   
2
sin  cos  
1
sin     sin   
2
sin   sin   2 sin

 
cos
2
2
sin   sin   2 cos
   
sin
2
2
cos   cos   2 cos

 
cos
2
2
cos   cos   2 sin
   
sin
2
2
Inverzne trigonometrijske funkcije
Inverzne trigonometrijske funkcije su
arcsin x, arccos x, arctgx i arcctgx. . One su definisane na sledeći način:
arcsin x    sin   x
arccos x    cos   x
arctgx    tg  x
arcctgx    ctg   x
Tako je na primer
arcsin
1 

2 6
jer je
sin
 1

 , a arctg  
6 2
2
jer je
tg

 .
2
127
13)
Analitička geometrija
A) Prava linija
Prava se najčešće predstavlja u eksplicitnom obliku
osi. Za koeficijent pravca
na sledeći način:
Na primer imamo pravu
x
1
2
y
5
8
k
važi:
k  tg ,
y  kx  n,
gde je
k
koeficijent pravca, a
gde je  ugao koji prava zaklapa sa
1,5 i 2,8, a zatim nacrtamo pravu kroz te tačke i to je tražena prava.
Prava oblika
xn
je prava paralelna
Prava oblika
yn
je prava paralelna
 − 1 =
2 −1
 2 − 1
odsečak na
y
x  osom. Prava se najlakše crta
y  3x  2. Formiramo sledeću tabelu:
Crtamo tačke
Jednačina prave kroz dve tačke
n
y  osi a x  osu seče u n.
x  osi a y  osu seče u n.
M 1 x1 , y1  i M 2 x2 , y 2  je:
 − 1 .
Jednačina prave koja prolazi kroz tačku
M 1 x1 , y1  i ima koeficijent pravca k
je:
y  k x  x1   y1 .
k1  k 2 .
1
Uslov normalnosti dve prave je: k1  
.
k2
Uslov paralelnosti dve prave je:
Ugao

B)
između dve prave nalazi se iz relacije:
tg 
k 2  k1
.
1  k1 k 2
Krug
x  p2   y  q2  r 2 , gde su p i q , koordinate centra kruga, a r poluprečnik.
2
2
Tako na primer krug čija je jednačina: x  2   y  3  4 ima centar u tački O2,3, a poluprečnik 2, dok
2
2
krug čija je jednačina x   y  3  1 ima centar u tački O0,3, a poluprečnik 1.
Jednačina kruga je:
C)
Elipsa
Elipsa ima sledeći izgled:
128
Matematika za ekonomiste
Dužina
x
poluose je
Jednačina elipse je
početku.
D) Hiperbole oblika
E)
2
2
+
Časlav Pejdić, (064) 123 09 10
a,
2
2
a
y  poluose b .
= 1, gde su
aib
dužine
xi y
poluose, a centar elipse je uvek u koordinatnom
xy  n.
1. Ako je
n  0 hiperbola ima sledeći izgled:
2. Ako je
n  0 hiperbola ima sledeći izgled:
Parabola
1. Parabola oblika
y  ax 2
ima sledeći izgled:
129
2. Parabola oblika
130
x  ay 2
ima sledeći izgled:
Matematika za ekonomiste
Časlav Pejdić, (064) 123 09 10
DODATAK B
TABLICA IZVODA
(const )'  0
( x n )'  nx n 1
(a x )'  a x ln a
(e x )'  e x
(ln x)' 
1
x
(sin x)'  cos x
 x  21x
'
(cos x)'   sin x
1
(tgx )' 
cos 2 x
1
(ctgx )'   2
sin x
1
(arcsin x)' 
1 x2
1
(arccos x)'  
1 x2
1
(arctgx )' 
1 x2
1
(arcctgx )'  
1 x2
131
DODATAK C
TABLICA INTEGRALA
 dx  x  c
n
 x dx 

x n 1
c
n 1
c je proizvoqna konstanta
(n  1)
dx
 ln x  c
x
e
x
1
 sin
2
1

x
dx  ctgx  c
dx  arcsin x  c
1 x2
1
 1  x 2 dx  arctgx  c
132
dx
1
x a

ln
c
a 2 a x a
2
x
 x c
 sin xdx   cos x  c
dx  e x  c
 cos xdx  sin x  c
x
dx
2
1
 cos


2
x
dx  tgx  c
dx
x a
1
2
 ln x  x 2  a  c
dx  arcsin
x
c
a
a  x2
1
1
x
 a  x 2 dx  a arctg a  c
Download

Zbirka