2. čas
2.1 Pojam skupa
pripremila Tatjana Bajić
Pojam skupa
„
„
„
jedan od osnovnih pojmova u
matematici - ne definiše se
skup se sastoji iz elemenata (članova)
koji imaju neku zajedničku osobinu koja
ih povezuje u taj skup
skupovi se označavaju velikim slovima:
A, B, C,...
osnovi matematike
2
Pojam pripada
„
„
„
„
osnovni pojam teorije skupova - ne
definiše se
A - neki skup
x je član skupa A,
A odnosno x pripada
skupu A, u oznaci x ∈ A
x nije član
čl skupa
k
A, odnosno
d
x ne
pripada skupu A, u oznaci x ∉ A
osnovi matematike
3
Prazan skup
„
„
prema broju elemenata, skup može biti:
konačan i beskonačan
skup koji nema elemenata naziva se
prazan skup
„
„
oznaka praznog skupa: ø
prazan skup
k jje konstanta
k
u skupu
k
skupova
osnovi matematike
4
Predstavljanje skupova
1. analitički
li ički (ako
( k skup
k ima konačan
k
č broj
b
elemenata)
S = {a, b, c}
2. sintetički (preko karakterističnog svojstva,
koje poseduju njegovi elementi)
S = { x l s( x )}
''S je skup elemenata x koji imaju svojstvo s(x)''
3. grafički (pomoću Venovog dijagrama)
Venov dijagram je zatvorena kriva linija čiji
elementi
l
ti su tačke
t čk kkoje
j simbolizuju
i b li j elemente
l
t
skupa.
osnovi matematike
5
Kardinalni broj skupa moć skupa
„
„
„
„
„
„
broj elemenata skupa zove se kardinalni
broj skupa ili moć skupa
S - skup
card S - oznaka za kardinalni broj skupa S
card ø = 0
A = {a1 , a2 ,..., an }, n ∈ N, card A = n
A - beskonačan skup, card A je
transfinitni broj
osnovi matematike
6
Prebrojivi skupovi
„
„
„
„
„
N - skup prirodnih brojeva
N - beskonačan skup ali prebrojiv
card N = ℵ0
ℵ0 (alef
( l f nula)
l ) - najmanji transfinitni
f
b
broj
ℵ0 je kardinalni broj svih prebrojivih
skupova (skupova ekvivalentnih skupu
prirodnoh brojeva)
osnovi matematike
7
Podskup. Jednakost skupova
ƒ Skup
Sk A jje podskup
d k skupa
k
B, u oznacii A ⊆ B ,
ako je svaki element skupa A takođe element
skupa B.
B
A ⊆ B ⇔ (∀x)(x ∈ A ⇒ x ∈ B)
ƒ Dva skupa A i B su jednaka, u oznaci A=B,
g skupa
p ujedno
j
i
ako su svi elementi jjednog
elementi drugog skupa i obrnuto.
A = B ⇔ (∀x)(x ∈ A ⇔ x ∈ B)
A = B ⇔ (A ⊆ B ∧ B ⊆ A)
osnovi matematike
8
Prazan skup.
Disjunktni skupovi
ƒ Prazan skup je podskup svakog skupa.
(∀A) (ø
( ⊆ A))
ƒ Disjunktni
Di j kt i skupovi
k
i su skupovi
k
i koji
k ji nemaju
j
zajedničkih elemenata.
osnovi matematike
9
Partitivni skup
ƒ Partitivni skup skupa A, u oznaci P(A), je skup
podskupova
p
skupa
p A.
svih p
P( A ) = { X l X ⊆ A }
(∀A)(∃P( A))(∀X)( X ⊆ A ⇒ X ∈ P( A))
card
dA
ƒ card P(A) = 2
osnovi matematike
10
2. čas
2.2 Operacije sa skupovima
pripremila Tatjana Bajić
Univerzalni skup
„
oznaka univerzalnog skupa: U
„
podskupovi skupa U su skupovi A,
A B,
B
C,...
osnovi matematike
12
Unija i presek skupova
ƒ Unija dva skupa A i B,
B u oznaci A ∪ B , je
skup koji sadrži elemente koji pripadaju bar
jjednom od skupova
p
A i B.
A ∪ B = { x l x ∈ A ∨ x ∈ B}
x ∈ A ∪B ⇔ x ∈ A ∨ x ∈B
ƒ Presek dva skupa A i B, u oznaci A ∩ B , je
skup koji sadrži sve zajedničke elemente
skupova A i B.
A ∩ B = { x l x ∈ A ∧ x ∈ B}
x ∈ A ∩B ⇔ x ∈ A ∧ x ∈B
osnovi matematike
13
Razlika i simetrična razlika
skupova
ƒ Razlika skupa A u odnosu na skup B, u
oznaci A \ B , je skup koji sadrži sve
elemente iz skupa A koji nisu u skupu B.
A \ B = { x l x ∈ A ∧ x ∉ B}
x ∈ A \ B ⇔ x ∈ A ∧ x ∉B
ƒ Si
Simetrična
t ič razlika
lik skupova
k
A i B,
B u oznacii
AΔB , je unija skupova A \ B i B \ A .
AΔ
A
ΔB = ( A \ B) ∪ (B \ A)
osnovi matematike
14
Komplement skupa
ƒ Komplement skupa A u odnosu na skup U, u
oznaci A', je skup elemenata iz skupa U koji
nisu u skupu A.
A ' = { x l x ∈ U ∧ x ∉ A}
x ∈ A' ⇔ x ∈ U ∧ x ∉ A
osnovi matematike
15
Svojstva operacija unije i
preseka (I)
1. idempotencija
A∪A=A i A∩A=A
2. komutativnost
A ∪B = B ∪ A i A ∩B =B ∩ A
3. asocijativnost
( A ∪ B ) ∪ C = A ∪ (B ∪ C )
( A ∩ B ) ∩ C = A ∩ (B ∩ C )
osnovi matematike
16
Svojstva operacija unije i
preseka
4. distributivnost unije u odnosu na presek i
preseka u odnosu na unija
A ∪ (B ∩ C) = ( A ∪ B) ∩ ( A ∪ C)
A ∩ (B ∪ C) = ( A ∩ B) ∪ ( A ∩ C)
5. apsorptivnost
A ∪ ( A ∩ B) = A i A ∩ ( A ∪ B) = A
6. De Morganovi zakoni
( A ∩ B)′ = A′ ∪ B′ i ( A ∪ B)′ = A′ ∩ B′
osnovi matematike
17
Algebra skupova
„
Algebarska struktura na skupu U, čije
su operacije skupovne operacije unija,
presek, razlika i komplement, u oznaci
(U,∪,∩,\\,′ )
naziva se algebra skupova.
osnovi matematike
18
Uređen par
„
„
dvočlan skup se naziva par
dvočlan skup (a,b)
(a b) u kome je bitan
poredak elemenata naziva se uređen
par
„
„
(x,y) i (a,b) uređeni parovi
( ) ( b) ⇔ x=a i y=b
(x,y)=(a,b)
b
osnovi matematike
19
Dekartov proizvod
ƒ Dekartov proizvod skupova A i B, u oznaci
A × B , je skup svih uređenih parova (a,b)
gde a ∈ A i b ∈ B .
A × B = {(a, b) l a ∈ A ∧ b ∈ B}
ƒ Dekartov proizvod, direktan proizvod ili
Kortezijev
o
j proizvod
p o od
ƒ Dekartov kvadrat skupa A
A = A×A
2
osnovi matematike
20
3. čas
2.3 Relacije na skupu
pripremila Tatjana Bajić
Pojam relacije
„
„
„
M=sm1, m2, m3d
D= sd1,
sd1 d2d
relacija: ''biti partner u igranju''
M × D = {(m, d) l m ∈ M ∧ d ∈ D}
D × M = {(d, m) l d ∈ D ∧ m ∈ M}
osnovi matematike
22
Vrste relacija
„
„
„
„
Prema broju elemenata koji su u nekom
odnosu (relaciji), relacije mogu biti:
unarne relacije (relacije dužine 1)
binarne relacije (relacije dužine 2)
ternarne relacije (relacije dužine 3)
...
n-arne
n
arne relacije (relacije dužine n)
osnovi matematike
23
Binarna relacija
„ Binarna relacija iz skupa A u skup B je svaki
podskup ρ Dekartovog proizvoda AxB.
„ ρ ⊆ A × B = {( x , y ) l x ∈ A ∧ y ∈ B}
x ∈ A i y ∈ B su u relaciji ρ akko ( x , y ) ∈ ρ
x ρy ⇔ ( x , y ) ∈ ρ
osnovi matematike
24
Relacija na skupu
„
„
„
A ≠ø
Binarna relacija na skupu A je bilo koji
podskup ρ uređenih parova iz skupa
2
A = A × A , odnosno bilo koji podskup ρ
2
A
= A × A.
njegovog Dekartovog kvadrata
n-arna relacija
l ij na skupu
k
A je
j bilo
bil koji
k ji
n
podskup skupa A = A × A... × A .
osnovi matematike
25
Binarna relacija na skupu
„
„
A ≠ø
Na skupu A je definisana binarna relacija ρ,
ako
k za bil
bilo koja
k j dva
d elementa
l
t x i y tog
t skupa
k
važi tačno jedan od iskaza:
''xx je u relaciji sa y
y'',
u oznaci xρy , odnosno ( x , y ) ∈ ρ ,
ili
''x nije u relaciji sa y'',
u oznaci ¬( xρy ) , odnosno ( x , y ) ∉ ρ .
osnovi matematike
26
Prazna i puna relacija
„
„
ρ binarna relacija na skupu A, A ≠ ø
ρ je prazna relacija ako
∀( x , y ) ∈ A 2 , ( x , y ) ∉ ρ
„
ρ = A , ako
ρ je
j puna relacija,
l ij odnosno
d
k
2
∀( x , y ) ∈ A 2 , ( x , y ) ∈ ρ
osnovi matematike
27
Svojstva binarnih relacija
„
refleksivnost
„
simetričnost
„
asimetričnost (antisimetričnost):
„
tranzitivnost:
(∀x ∈ A)( xρx )
(∀x , y ∈ A )( xρy ⇒ yρx )
(∀x , y ∈ A)( xρy ∧ yρx ⇒ x = y )
(∀x , y , z ∈ A)( xρy ∧ yρz ⇒ xρz)
osnovi matematike
28
Relacija ekvivalencije
„
„
Binarna relacija
l
ρ koja
k
je refleksivna
fl k
,
simetrična i tranzitivna jeste relacija
ekvivalencije.
k i l
ij
oznaka relacije ekvivalencije: ~
osnovi matematike
29
Klase ekvivalencije i količnički
skup
„
„
„
~ - relacija
l ij ekvivalencije
k i l
ij na skupu
k
A
x∈A
Skup
p svih elemenata iz A koji
j su ekvivalentni sa
x, nazivamo klasom ekvivalencije elementa x i
označavamo sa
C x = {y l y ∈ A ∧ x ~ y} .
„
„
Skup A je klasama ekvivalencije razbijen
(podeljen) na disjunktne podskupove
podskupove.
Skup svih klasa ekvivalencije obrazuje novi skup
koji se zove količnički skup i označava se sa
A / ~ = {C x l x ∈ A } .
osnovi matematike
30
Relacija poretka
„
Binarna relacija ρ koja je refleksivna,
antisimetrična i tranzitivna jeste
relacija poretka.
osnovi matematike
31
Relacija totalnog poretka
„
„
„
ρ - relacija
l ij poretka
tk na skupu
k
A
Ako za svaki uređen par (x,y) elemenata iz
A2 važi tačno jedna od formula xρy ili yρx
onda kažemo da je ρ relacija totalnog
poretka, odnosno skup A je totalno uređen
relacijom ρ i obrazuje lanac.
Ako postoji bar jedan uređen par (x,y) iz A2
tako da nije tačan nijedan od iskaza xρy ili
yρx, onda kažemo da relacija ρ delimično
uređuje
đ j skup
k A.
A
osnovi matematike
32
4. čas
2.4 Preslikavanja (funkcije)
pripremila Tatjana Bajić
Funkcija
„
„
A, B neprazni skupovi
Funkcija (preslikavanje) skupa A u skup
B, u oznaci f : A → B, je bilo koji
postupak dogovor prema kom se
postupak,
svakom elementu x, skupa A
pridružuje tačno jedan element y,
y
skupa B.
y f(x)
y=f(x)
osnovi matematike
34
Funkcija posmatrana kao
relacija
Preslikavanje skupa A u skup B, u oznaci
f: A → B,
B je podskup skupa A× B, f ⊆ A × B ,
odnosno f je binarna relacija sa svojstvima:
„ Skup
svih prvih komponenata skupa f je
skup A = {x l (x, y) ∈ f} .
„ Ako (x, y) ∈ f i (x, z) ∈ f onda je y=z.
osnovi matematike
35
Primer 1
„
f:A→Bd
definisana
fi i
sa
A
f
B
b
1
2
3
c
4
a
jeste funkcija jer svaki element skupa
A ima tačno jednu sliku u skupu B.
osnovi matematike
36
Primer 2
„
f:A→Bd
definisana
fi i
sa
A
a
f
B
1
2
b
3
c
4
nije funkcija jer svaki element skupa A
nema svoju sliku u skupu B.
osnovi matematike
37
Primer 3
„
f:A→Bd
definisana
fi i
sa
A
f
B
b
1
2
3
c
4
a
jeste funkcija jer svaki element skupa A
ima tačno jednu sliku u skupu B.
osnovi matematike
38
Primer 4
„
f:A→Bd
definisana
fi i
sa
A
a
f
b
c
1
2
3
B
4
nije funkcija jer postoji element skupa
A koji ima dve različite slike u skupu B.
osnovi matematike
39
f:A→B
„
„
„
Element x, skupa A, se naziva original,
nezavisno promenljiva ili argument
funkcije f, a element y=f(x), skupa B,
slika, zavisno promenljiva ili
vrednost funkcije f
A - domen funkcije f
f(A)⊆B - skup vrednosti funkcije f ili
kodomen funkcije f
osnovi matematike
40
Načini zadavanja funkcije (1)
„
zadavanje funkcije pomoću grafa
A
a
f
b
c
1
2
3
B
4
osnovi matematike
41
Načini zadavanja funkcije (2)
„
„
pomoću tablice
na primer,
primer
x
a
b
c
y
1
2
3
osnovi matematike
42
Načini zadavanja funkcije (3)
„
„
pomoću šeme
na primer,
primer
⎛a bc⎞
⎟⎟
f = ⎜⎜
⎝ 1 2 3⎠
osnovi matematike
43
Načini zadavanja funkcije (4)
pomoću formule (matematičkim
izrazom)
„ na primer,
f(x) 2x+1
f(x)=2x+1
odnosno
y=2x+1
„
osnovi matematike
44
Načini zadavanja funkcije (5)
„
„
pomoću grafika u
Dekartovoj
koordinatnoj ravni
na primer, grafik
f k ij čij
funkcije
čija je
j
formula
y = ( x + 1) x + 4
osnovi matematike
45
Vrste preslikavanja
Funkcija
F
k ij f : A → B je:
j
„ ''1-1'' preslikavanje ili injekcija ako
(∀x1 , x2 ∈ A)(f(x1) = f(x2 ) ⇒ x1 = x2 )
odnosno
(∀x1 , x2 ∈ A)(x1 ≠ x2 ⇒ f(x1) ≠ f(x2 )).
„ ''na'' ili surjekcija ako
(∀y ∈B)(∃x ∈ A)(y = f(x)) .
„ bijekcija ili obostrano jednoznačno
preslikavanje ako je f i injekcija i
surjekcija
j k ij odnosno
d
''1-1
''1 1 i na''''
osnovi matematike
46
Ekvivalentni skupovi
„
„
„
Skupovi su ekvivalentni akko između
njih postoji bar jedno ''1-1
1 1 i na
na''
preslikavanje.
Konačni ekvivalentni skupovi su
jednakobrojni.
Skup je beskonačan ako postoji bar
jedna bijekcija skupa i njegovog pravog
podskupa
podskupa.
osnovi matematike
47
Inverzno preslikavanje
„
Ako je f : A → B ''1-1'' i ''na''
preslikavanje, onda postoji inverzno
preslikavanje, u oznaci f −1 , koje sliku
f(x) vraća u original x, odnosno
f (f(x)) = x
−1
osnovi matematike
48
Kompozicija preslikavanja
f : A →B
„ g: B → C
„
h : A → C je kompozicija
preslikavanja
p
j f i g,
g u oznaci h = g o f , ako
je za svako x iz A, h(x) = g(f(x)).
„ Preslikavanje
„ Osobine:
g o f ≠ f o g (nije komutativna operacija)
r o (g o f) = (r o g) o f (asocijativna operacija)
osnovi matematike
49
5. čas
2.5 Operacije na skupu
pripremila Tatjana Bajić
Pojam operacije
„
„
Pod pojmom operacije se podrazumeva
da se od jednog, dva ili više objekata
''stvara'' nov objekat kao rezultat
operacije
Operacija je definisana na skupu ako
rezultat te operacije takođe pripada tom
skupu
osnovi matematike
51
Operacije na skupu
„
„
„
Operacija dužine k na skupu A je svako
k
A
preslikavanje skupa
u skup A.
Operacija dužine 1 (unarna operacija) na
p A je
j svako preslikavanje
p
j tog
g skupa
p u
skupu
samog sebe.
Operacija dužine 2 (binarna operacija) na
2
= Asvako
× A preslikavanje Dekartovog
skupu AA je
kvadrata tog skupa
u skup A
A.
osnovi matematike
52
Simboli
„
„
„
logičkih operacija: ∧ , ∨ , ⇒ , ⇔ , ¬
skupovnih operacija: U , I , \ , '
brojevnih operacija: +, -, x, :, √,...
osnovi matematike
53
Opšta oznaka operacije na
skupu
„
„
„
„
„
A neprazan skup
f je operacija dužine k na skupu A:
f(x1,x2,...,xk)=y, x1,x2,...,xk,y ∈ A
cardA=n
cardAk=n
nk
Ukupan broj svih operacija dužine k koje se
mogu definisati na skupu A je
nk
n .
n
Posebno, za k=2: n
2
osnovi matematike
54
Predstavljanje binarnih
operacija
„
K jlij
Kejlijeve
tablice
t bli
a1
a1
a2
„
šema
M
a2
...
f(a1,a1) f(a1,a2) ...
f(a2,a1) f(a2,a2) ...
M
M
O
⎛ (a1 , a1 ) (a1 , a2 ) ...⎞
⎟⎟
f = ⎜⎜
⎝ f (a2 , a1 ) f (a2 , a2 ) ...⎠
osnovi matematike
55
Binarne operacije u skupu N
„
„
„
N - skup prirodnih brojeva
u skupu N definisane su operacije
sabiranja (+) i množenja (x)
operacije oduzimanja (-)
( ) i deljenja (:)
su uslovno definisane u skupu N
osnovi matematike
56
Medjusobni odnos operacija i
relacija
„
„
„
Svakom operacijom f dužine k,
definisanom na nekom skupu, određena
je neka relacija ρ dužine k+1.
Ako je f(x1,x2,...,xk)=y
f(x1 x2
xk)=y onda su
elementi x1, x2,...,xk, y u nekoj relaciji
ρ dužine k+1.
k+1
Na primer, x, y, z su u nekoj relaciji ρ
(dužine 3) ako je proizvod prva dva
elementa jednak
trećem:
osnovi
matematike
57
(
)
Algebarski zakon
„
„
„
„
„
S - neprazan skup
O - skup svih operacija definisanih na S
V - skup promenljivih
T (O,V) - skup izraza izgrađenih od
operacijskih simbola, promenljivih i
konstanti tiz =St
t1 , t 2 ∈ T(O, V)
1
2
Algebarski zakon je formula oblika
osnovi matematike
za sve vrednosti promenljivih u izrazima
58
Primer algebarskih zakona
„
Algebarskim zakonima se izražavaju
svojstva operacija.
Poznati zakoni brojevnih operacija:
∀
„ ( x,y) x+y=y+x
∀
k
komutativnost
∀
„ ( x,y,z) (x+y)+z=x+(y+z)
asocijativnost
osnovi matematike
„ ( x,y,z) xx(y+z)=xxy+xxz
59
Algebarska struktura
definicija
„
„
„
„
„
„
S - neprazan skup
k
O - skup svih operacija definisanih na S
R - skup svih relacija definisanih na S
Skup S zajedno sa svim operacijama i
relacijama definisanim na tom skupu
obrazuje algebarsku strukturu, u oznaci
S=(S,O,R).
(S O) - operacijska
(S,
ij k (algebarska)
( l b k ) struktura
t kt
matematike
(S,R) - relacijska osnovi
(algebarska)
struktura 60
Download

Скуп као основни математички појам