NEODREĐENI INTEGRALI
Izračunati
1. 1)  (3x  2) 5 dx , 2)  (7 x  3) 6 dx 3)  e 5 x1dx , 4)
7)  sin(3x  2)dx , 8)  cos(4 x  5)dx , 9)
12)
7)
x2
dx , 2)  x 2 e x
arcsin xdx
1 x
12) 
, 18) 
3x 2  8 x
 xe

4  9x 2
2
dx

, 13)
dx
17) 
2. 1)
dx

3
x2  9
dx
, 19)
1  4x 2
2
dx , 3)

, 14)

24) 
dx
, 20)
2

, 10)

, 5)
3
(5  x) 8
4  x2
 3x
dx
, 16)
ex
 1  2e 2 x dx , 10)
dx
2


dx
1  9x 2
25  16 x 2
cos x
, 6) 
2  sin x
dx ,
 1)dx , 11)  tgxdx ,
cos x
dx , 13)  sin 3 x cos3 xdx , 14)  sin 5 x cos4 xdx , 15)  sin 5 xdx ,
2
(1  sin x)
dx
dx
3x 2  8 x
2x  5
2  x x 2
9x 2  6x  2
dx , 25)
32)
 x 2  x  3 dx
x 4
2
dx
 3x 2  2 x  4 , 26)  x
x
, 19) 
2 xdx
dx , 22) 
dx
dx
, 29)  2
, 30)
 6x  9
4x  4x  5
x
2
3x  2
, 21 
 x  4x  3
2
2
2
, 23)
dx
5  2x  x 2

dx
, 27)
 4x  5
,
x5
2
x  4x  1
x
2
dx ,
dx
,
 4x  1
x4
2x  1
, 31)  2
 2x  3
4x  4x  1
3x  4
 xcosx dx , 2)  xsin3x dx , 3)  x lnx dx , 4)  e
6)  e  x sinx dx , 7)
3
x
11)  cos(lnx) dx , 12)
2
sinx dx , 8)
x
sinx dx , 5)  3 x cosx dx
 x cos2x dx , 9)  lnx dx , 10)  xln
2
2
x dx ,
 sin(lnx) dx , 13)  arctgx dx , 14)  arcctgx dx , 15)  arcsinx dx ,
16)  arccosx dx 17)  xarctgx dx , 18)  xarcctgx dx , 19)  x 2 arcsinx dx , 20) 
1
,
 2x 2  9 .
 x ln x
 x cos(x
dx
, 11)
dx
dx
, 21)
2
2
sin(lnx)
dx , 5)
x
dx
 4x 1 , 6)  5x  4
dx
dx
, 15) 
x2  8
dx
, 8)  e sin x cos xdx , 9)
28)
3. 1)
2x  1
 3  5x
16)  sin 3 xdx , 17)  cos3 xdx , 18) 
20) 
dx

ln x
dx , 4)
x
dx
 2x  3
x dx
,
cos 2 x
21) 
x dx
x 1
x
, 22)  x 2 arctgx dx , 23)  arcsin 2 x dx , 24)  ln
dx , 25)  ln
dx ,
2
x 1
x 1
sin x
26) 
lnx
dx , 27)  e 3 x cosx dx , 28)  e 2 x sinx dx , 29)  x 2 e x dx
3
x
3x 2  2 x  6
3x 2  8 x  4
dx , 2) 
dx , 3)
4. 1) 
( x 2  2) 2
( x  3)(x 2  x  1)
5) 
9) 
x2  x 1
2 x 3  3x 2  8
 x 4  4 x 2 dx , 4)  ( x 2  1) 2 dx ,
3x 2  x  4
3x 2  2 x  9
2x3  2x 2  1
3x  1
dx
dx
dx
,
6)
,
7)
,
8)
 ( x  1)( x 2  1)
 ( x  2)(x 2  2)
 ( x 2  3) 2 dx ,
x4  x2
5 x 2  3x  4
7x 2  7x  6
6 x 2  3x  1
3x 2  14 x  8
dx
dx
dx
,
10)
,
11)
,
12)
 x3  4x
 x 2 ( x  2)
 ( x 2  2)(x  3) dx
( x 2  3)(x  1)
x 2  3x  12
5x 2  7
 3x 2  9 x  4
15x  27
dx , 14)  2
dx , 15)  3
dx ,
13) 
dx , 16)  2
x  9x
x( x  2) 2
( x  5)(x  2)
( x  1)(x  1)
17) 
3x 2  2 x  3
dx
x2  x 1
x2  x 1
dx
,
18)
,
19)
,
20)
,
dx
dx



3
x x
2 x 2  5x  3
( x  1)(x 2  2)
( x  1) 2 ( x  2)
21) 
x3  x 2  2x  3
dx , 22)
x 2  3x  2
25)

dx
x3  1
, 26)
x3
 x 2  4x  5

36)

x2  x  6
dx , 34)
( x  1)( x 2  2 x  3)
10
3
dx
2 x 2  3x  3
dx , 24)  3
2
x 1
( x  1)(x  2 x  5)
x3  x  2
x 8
x 2  2x
dx
,
27)
,
28)
dx
 x 2  7 x  12 dx ,
 x3  4x 2  4x
 ( x 2  1) 2
x 4  3x  1
dx
dx , 31)
29)  4
, 30)  3
x 1
x  x2  x
33)
dx , 23) 
 x  3x 2  x  3

5x 2  6x  1
x 1
 x3  x 2  6 x dx , 32)  x 3  5 x 2  6 x dx ,
4 x 2  3x  3
dx 35)
( x  2)( x 2  x  1)
dx .
2
4x 2  x  4
 x 3  2x 2  x  2) dx ,
EKONOMSKE FUNKCIJE
1. Navedi osobine funkcije tražnje. Odredi oblast definisanosti funkcije tražnje:
a) x  p 2  3620 p  420000 . b) x  p 2  11000 p  30  10 6
2. Navedi osobine funkcije ponude. Odredi oblast definisanosti funkcije ponude
~
x  150 p  3000 .
1
3. Ako je funkcija tražnje za nekim proizvodom f ( p)  50  p 2 a funkcija ponude
2
1
5
g ( p)  p  p 2 , odrediti tržišnu cenu i tražnju u uslovima ravnoteže na tržištu.
2
2
4. Ako su funkcija tražnje i funkcija ponude za nekim proizvodom f ( p)  6  p i
g ( p)  4 p  p 2 , odrediti tržišnu cenu i tražnju u uslovima ravnoteže na tržištu.
5. Ako su funkcija tražnje i funkcija ponude za nekim proizvodom f ( p)  19  3 p  p 2 i
g ( p)  5 p  1 , odrediti tržišnu cenu i tražnju u uslovima ravnoteže na tržištu.
6. Za neki proizvod funkcija tražnje je x  2 p  24000 . Odrediti oblast definisanosti
funkcije tražnje. Izračunati cenu p i tražnju x za koju će ukupan prihod biti
maksimalan, kao i veličinu tog prihoda.
7. Neka je tražnja za nekim proizvodom X na tržištu data funkcijom
x  p 2  500 p  57600 .
a) Odrediti oblast definisanosti funkcije tražnje.
b) Sa kojom cenom se postiže maksimalni prihod i koliko on iznosi?
8. Neka je tražnja za nekim proizvodom X na tržištu data funkcijom
x  p 2  720 p  110000 .
a) Odrediti oblast definisanosti funkcije tražnje.
b) Sa kojom cenom se postiže maksimalni prihod i koliko on iznosi?
9. Neka je tražnja za nekim proizvodom X na tržištu data funkcijom
x  p 2  350 p  30000 .
a) Odrediti oblast definisanosti funkcije tražnje.
b) Sa kojom cenom se postiže maksimalni prihod i koliko on iznosi?
10. Neka je tražnja za nekim proizvodom X na tržištu data funkcijom
x  p 2  850 p  175000 .
a) Odrediti oblast definisanosti funkcije tražnje.
b) Sa kojom cenom se postiže maksimalni prihod i koliko on iznosi?
3
11. Šta je funkcija graničnog prihoda? Objasni njenu ekonomsku interpretaciju. Ako je
funkcija prihoda P  0,25 p 2  20000 p odrediti funkciju graničnog prihoda. Kako će
se promeniti prihod ako se cena sa nivoa p 0  50 poveća za jednu novčanu jedinicu?
12. Neka je za neki proizvod X poznata funkcija tražnje x  0,5 p  2200 i neka je
funkcija ukupnih troškova
. Odrediti interval
rentabilne proizvodnje, optimalni nivo proizvodnje i optimalnu cenu.
13. Funkcija ukupnog prihoda za neki proizvod X je P( x)  2 x 2  4000 x , a funkcija
graničnih prihoda je TG ( x)  4 x  4800 . Ako fiksni trokovi iznose 2 880 000, odrediti
interval rentabilne proizvodnje i optimalni nivo proizvodnje.
14. Neka su za neki proizvod X date inverzna funkcija tražnje
i funkcija
ukupnih troškova T ( x)  x  2800 x  5 400 000 . Odrediti oblast definisanosti
inverzne funkcije tražnje, interval rentabilnosti, optimalni obim proizvodnje i
optimalnu cenu.
2
15. Neka su za neki proizvod poznate funkcija graničnih troškova PG ( x)  0,5 x  3 000
11  10 6
. Odrediti interval
x
i funkcija prosečnih troškova
rentabilne proizvodnje i optimalni nivo proizvodnje.
16. Neka je za neki proizvod X poznata funkcija tražnje
i neka je
funkcija ukupnih troškova
. Odrediti oblast
definisanosti funkcije tražnje, interval rentabilne proizvodnje i optimalni nivo
proizvodnje.
, funkcija graničnih
17. Neka su za neki proizvod X poznate
funkcija prosečnih troškova . Odrediti
prihoda i
optimalni nivo proizvodnje i maksimalnu dobit.
18. Neka je za neki proizvod X poznata funkcija graničnih prihoda
i funkcija ukupnih troškova
. Odrediti interval
rentabilnosti, optimalni nivo proizvodnje i maksimalni prihod. (6)
19. Za neki proizvod X data je inverzna funkcija tražnje p = – 0,25x + 3000 i funkcija
graničnih troškova TG(x) = 3,5x – 20 000. Fiksni troškovi iznose 11 000 000. Odrediti
interval rentabilne proizvodnje i optimalni nivo proizvodnje. Izračunati dobit u
uslovima optimalne proizvodnje.
20. Neka su za neki proizvod X date funkcija graničnih prihoda PG(x) = – x + 18 000 i
funkcija ukupnih troškova
. Odrediti interval
rentabilnosti, optimalni obim proizvodnje i dobit u uslovima optimalne proizvodnje.
4
21. Neka su za neki proizvod X date funkcija tražnje
ukupnih troškova
i funkcija
. Odrediti oblast definisanosti
funkcije tražnje, interval rentabilnosti, optimalni obim proizvodnje i optimalnu cenu.
22. Neka je za neki proizvod X poznata inverzna funkcija tražnje
i neka
je funkcija graničnih troškova
. Ako su fiksni troškovi 2 400 000
odrediti interval rentabilne proizvodnje, optimalni nivo proizvodnje i optimalnu cenu.
23. Neka je za neki proizvod X poznata
, funkcija
prosečnih troškova, i
funkcija ukupnih prihoda. Naći interval
rentabilne proizvodnje, nivo optimalne proizvodnje i maksimalnu dobit.
24. Funkcija tražnje za određeni proizvod X je x  0,5 p  17500 . Ako je
T ( x)  3 x 2  50  10 6 funkcija ukupnih troškova za proizvod X, naći:
a) oblast definisanosti funkcije tražnje,
b) interval rentabilnosti,
c) optimalni obim prozvodnje x0 , maksimalnu dobit i cenu p0 u uslovima optimalne
proizvodnje.
25. Neka je za neki proizvod poznata funkcija graničnih prihoda PG  4 x  11000 i
funkcija ukupnih troškova T ( x)  2 x 2  10  10 6. odrediti interval rentabilnosti,
optimalni obim proizvodnje i maksimalnu dobit.
26. Data je inverzna funkcija tražnje p  4 x  80000 i funkcija ukupnih troškova
T ( x )  4 x 2  128  10 6 . Naći
a) oblast definisanosti funkcije tražnje,
b) interval rentabilnosti,
c) optimalni obim prozvodnje x0 , maksimalnu dobit i cenu p0 u uslovima optimalne
proizvodnje.
27. Neka je p  0.001x  80 inverzna funkcija tražnje za neki prozvod i
T ( x )  30 x  10 5 funkcija ukupnih troškova. Naći optimalnu prodajnu cenu p0 ,
ostvarenu maksimalnu dobit i interval rentabilne prozvodnje.
28. Neka su za proizvod X date redom funkcije tražnje i prosečnih troškova
x2
.
x  480 p  200 i T ( x) 
25600
a) odrediti interval rentabilne proizvodnje;
b) naći optimalnu količinu proizvodnje i optimalnu cenu.
29.
Neka je funkcija troškova proizvodnje za neki aparat X, T ( x)  3 x 2  35  10 6 i neka je
x  0,5  15000 funkcija tražnje. Odrediti interval rentabilnosti, odrediti optimalnu
proizvodnju i veličinu maksimalne dobiti.
5
30. Neka je za neki proizvod X poznata funkcija graničnih prihoda
i funkcija ukupnih troškova
. Odrediti interval
rentabilnosti, optimalni nivo proizvodnje i maksimalni prihod.
31. Ukupan dnevni prihod i dnevni troškovi jednog preduzeća dati su funkcijama:
P( x)  5 104 x 2  80x i T ( x)  50x  2 105 . Odrediti interval rentabilnosti,
optimalni obim proizvodnje, odgovarajuću cenu i ostvarenu maksimalnu dobit.
32. Za neki proizvod date su funkcija ukupnih troškova T ( x)  2 x 2  9000 x  2000000 i
funkcija tražnje x   p  3000 . Odrediti interval rentabilnosti, proizvodnju pri kojoj
je dobit maksimalna i izračunati tu dobit.
33. Kako se definiše funkcija troškova i koje su njene osobine? Kako se definiše funkcija
prosečnih troškova?
Ako je funkcija ukupnih troškova T ( x)  x 2  2800 x  2 400 000 odredi fiksne i
varijabilne troškove i koliko iznose prosečni troškovi pri nivou proizvodnje
x = 20 000?
6
Ispravljena rešenja nekih zadataka iz Zbirke zadataka, iz oblasti ekonomske funkcije
8. Neka su za neki proizvod X poznate PG ( x)  4 x  8000 , funkcija graničnih prihoda i
T ( x)  x  2800 
5 400 000
, funkcija prosečnih troškova. Odrediti optimalni nivo
x
proizvodnje i maksimalnu dobit.
Rešenje:
Funkcija ukupnih prihoda se dobija iz funkcije graničnih prihoda na sledeći način:
P( x)   PG ( x)dx   (4 x  8000 )dx  4
x2
 8000 x  C  2 x 2  8000 x C  P(0)  0
2
Funkcija ukupnih troškova se dobija iz funkcije prosečnih troškova na sedeći način:
5 400 000 

2
T ( x)  T ( x)  x   x  2800 
 x  x  2800 x  5 400 000 .
x


Nivo proizvodnje pri kojem se ostvaruje maksimalna dobit, zove se optimalni nivo
prozvodnje. Zato je najpre potrebno odrediti funkciju dobiti.
D( x)  P( x)  T ( x)  2 x 2  8000 x  ( x 2  2800 x  5 400 000 )  3x 2  10800 x  5 400 000
Za određivanje maksimuma funkcije dobiti, potrebno je odrediti prvi izvod funkcije dobiti,
nule i znak prvog izvoda funkcije dobiti.
D( x)  6 x  10800
 6 x  10800  0
x
 10800
 1800
6
+++++
--------
D(x)
znak prvog izvoda funkcije dobiti
1800
Za x  (0, 1800 ), D ( x)  0, a za x  (1800 ,  ), D ( x)  0, pa je Dm ax  D(1800 ) 
 3  1800 2  10800  1800  5 400 000  4 320 000
Dakle, optimalni nivo proizvodnje je x0 = 1800, a maksimalna dobit Dmax = 4 320 000.
10. Neka su za neki proizvod X poznate T ( x)  2 x  4800 
2 880 000
funkcija prosečnih
x
troškova, i P( x)  2 x 2  4000 x funkcija ukupnih prihoda. Naći interval rentabilne
proizvodnje, nivo optimalne proizvodnje i maksimalnu dobit.
7
Rešenje:
_
Kako je T ( x) 
T ( x)
;
x
_
2880000 

2
T ( x)  T ( x)  x   2 x  4800 
 x  2 x  4800 x  2 880 000 ,
x


D( x )  P( x )  T ( x )  2 x 2  4000 x  ( 2 x 2  4800 x  2 880 000 )  4 x 2  8800 x  2 880 000
Za proizvodnju kažemo da je rentabilna, ako je dobit veća od nule. Zato najpre određujemo
nule i znak funkcije dobiti. Kako je funkcija dobiti kvadratna funkcija, njen grafik je
parabola. Kako je znak ispred x2 negativan, parabola je okrenuta naniže, pa je znak između
nula ove funkcije pozitivan.
 4 x 2  8800x  2 880 000  0
 8800  88002  4(4)(2880000)  8800  77440000  46080000


8
8
 8800  31360000  8800  5600


8
8
x1, 2 
x1 
 8800  5600  3200

 400;
8
8
- - -
+ + +
 14400
 1800;
8
- - -
D(x)
++
400
x2 
1800
znak funkcije dobiti
Interval rentabilnosti funkcije dobiti je (400, 1800).
D( x)  (4 x 2  8800x  2 880 000)  8x  8800
D( x)  0  8x  8800  0  x  1100
+++++
-------D(x)
znak prvog izvoda funkcije dobiti
1100
Za x  (0, 1100 ), D ( x)  0, a za x  (1100 ,  ), D ( x)  0, pa je Dm ax  D(1100 ) 
 4  1100 2  8800  1100  2 880 000  1 960 000
Dakle, optimalni nivo proizvodnje je x0 = 1800, a maksimalna dobit Dmax = 4 320 000.
8
13. Neka su za neki proizvod X date inverzna funkcija tražnje p  2 x  8000 i funkcija
ukupnih troškova T ( x)  x 2  2800 x  5 400 000 . Odrediti oblast definisanosti inverzne
funkcije tražnje, interval rentabilnosti, optimalni obim proizvodnje i optimalnu cenu.
Rešenje:
Za određivanje oblasti definisanosti inverzne funkcije tražnje potrebno je da budu ispunjena
sledeća tri uslova: ( p  0)  ( x  0)  ( p  0) . Kako je funkcija tražnje monotono opadajuća
i inverzna funkcija tražnje je monotono opadajuća, tj. p( x)  0 .
prvi uslov
 2 x  8000  0
p ( x)  0
p ( x)  (2 x  8000)
 2 x  8000
p ( x)  2  0
p0
, drugi uslov x > 0 i treći uslov
x  4000
Kako je p ( x)  2 , konstantna funkcija, ona je manja od nule za bilo koji broj x, tako da
treci uslov neće uticati na formiranje oblasti definisanosti. Na osnovu prvog i drugog uslova,
oblast definisanosti je (0, 4000).
Za određivanje intervala rentabilnosti, optimalnog obima proizvodnje i optimalne cene,
neophodno je najpre odrediti funkciju dobiti D( x)  P( x)  T ( x) . Funkcija prihoda nam nije
poznata, ali je zato data inverzna funkcija tražnje. Funkciju prihoda određujemo iz relacije
P( x)  x  p  x  f
1
( x) , gde je f 1 ( x) inverzna funkcija tražnje.
P( x)  x  p  x  (2 x  8000 )  2 x 2  8000 x.
D( x)  P( x)  T ( x)  2 x 2  8000 x  ( x 2  2800 x  5 400 000 )  3x 2  10800 x  5 400 000
Interval rentabilnosti se određuje iz uslova D(x) > 0 . Da bi odredili znak funkcije dobiti
najpre ćemo odrediti njene nule.
 3x 2  10800x  5 400 000  0
 10800  108002  4(3)(5400000)  10800  116640000  64800000
x1, 2 


6
6
 10800  51840000  10800  7200


6
6
x1 
 10800  7200  3600

 600;
6
6
- - -
+ + +
- - -
D(x)
++
600
x2 
 18000
 3000;
6
znak funkcije dobiti
3000
9
interval rentabilnosti je (600, 3000)
D ( x)  (3x 2  10800 x  5 400 000 )  6 x  10800
 6 x  10800  0
x
 10800
 1800
6
+++++
--------
D(x)
znak prvog izvoda funkcije dobiti
1800
Optimalni obim proizvodnje je x0 = 1800, optimalnu cenu odredjujemo iz inverzne funkcije
tražnje
p0  2 x0  8000  2  1800  8000  4400
14. Neka je tražnja za nekim proizvodom X na tržištu data funkcijom
x  p 2  850 p  175000 .
a) Odrediti oblast definisanosti funkcije tražnje.
b) Sa kojom cenom se postiže maksimalni prihod i koliko on iznosi?
Rešenje:
Funkcija tražnje je x  f ( p)  p 2  850 p  175000
Pri određivanju oblasti definisanosti funkcije tražnje, moraju da budu zadovoljeni
uslovi ( p  0)  ( f ( p)  0)  ( f ( p)  0) .
p 2  850 p  175000  0
a)
850  8502  700000 850  722500  700000 850  22500 850  150



.
2
2
2
2
850  150 700
850  150 1000
p1 

 350, p 2 

 500
2
2
2
2
p1, 2 
Funkcija tražnje je kvadratna funkcija čiji je grafik parabola, okrenuta naviše jer je znak
ispred x2 pozitivan, i koja seče x-osu u 350 i 500.
+++
-+ - +- +-
+++
f (p)
-+ +
350
425
znak funkcije tražnje
500
10
f ( p )  0
f ( p )  ( p 2  850 p  175000)  2 p  850
2 p  850  0
p
850
, p  425
2
Na osnovu sva tri uslova zaključujemo da je oblast definisanosti funkcije tražnje
Df = (0, 350)
b)
Funkcija prihoda je
P( p )  x  p  f ( p )  p  ( p 2  850 p  175000 )  p  p 3  850 p 2  175000 p
Da bi odredili cenu sa kojom se postiže maksimalan prihod, potrebno je odrediti maksimum
funkcije prihoda, a za to nam je potreban prvi izvod funkcije prihoda, nule i znak prvog
izvoda funkcije prihoda.
P   ( p 3  850 p 2  175000 p )  3 p 2  2  850 p  175000  3 p 2  1700 p  175000
Najpre tražimo nule prvog izvoda funkcije prihoda. 3 p 2  1700 p  175000  0
1700  17002  12 175000 1700  2890000  2100000


6
6
1700  790000 1700  888,82

.
6
6
1700  888,82 811,18
1700  888,82 2588,82
p1 

 135,2 p2 

 431,47
6
6
6
6
p1,2 
Sada određujemo znak prvog izvoda funkcije prihoda.
+++
-+ - +- +-
+++
-+ +
135,2
P( p )
znak prvog izvoda funkcije prihoda
431,47
Na osnovu znaka prvog izvoda funkcije prihoda, zaključujemo funkcija prihoda ima lokalni
maksimum za cenu p0 = 135,2. Kako ova vrednost pripada oblasti definisanosti funkcije
tražnje maksimalni prihod iznosi
Pmax  P( 135,2 )  135,2 3  850  135,2 2  175000  135,2 
 2 471326,208  15 537 184  23 660 000  10 594 142,208
2
15. Neka je tražnja za nekim proizvodom X na tržištu data funkcijom x  p  350 p  30000 .
a) Odrediti oblast definisanosti funkcije tražnje.
11
b) Sa kojom cenom se postiže maksimalni prihod i koliko on iznosi?
Rešenje:
Funkcija tražnje je x  f ( p )  p 2  350 p  30000
Oblast definisanosti date funkcije tražnje odredićemo iz uslova
( p  0)  ( f ( p)  0)  ( f ( p)  0)
p 2  350 p  30000  0
350  3502  120000 350  122500  120000 350  2500 350  50



.
2
2
2
2
350  50 300
350  50 400
p1 

 150, p 2 

 200
2
2
2
2
p1,2 
+++
-+ - +- +-
+++
f (p)
-+ +
150
175
znak funkcije tražnje
200
f ( p )  0
f ( p )  ( p 2  350 p  30000 )  2 p  350
2 p  350  0
350
p
, p  175
2
Na osnovu sva tri uslova zaključujemo da je oblast definisanosti funkcije tražnje
Df = (0, 175)
b) Funkcija prihoda je
P( p )  x  p  f ( p )  p  ( p 2  350 p  30000 )  p  p 3  350 p 2  30000 p
P   ( p 3  350 p 2  30000 p )  3 p 2  2  350 p  30000  3 p 2  700 p  30000
3 p 2  700 p  30000  0
700  700 2  12  30000 700  490000  360000


6
6
700  130000
700  360,56

6
6
700  360,56 339,44
700  360,56 1060,56
p1 

 56,57 p 2 

 176,76
6
6
6
6
p1,2 
12
+++
-+ - +- +-
+++
P( p )
-+ +
56,57
znak prvog izvoda funkcije prihoda
176,76
Pmax  P( 56,57 )  ( 56,57 )3  350( 56,57 )2  30000  56,57 
181 033,33  1120 057,72  1 697 100  758 075,61
Neka
16.
je
tražnja
za
nekim
proizvodom
X
na
tržištu
data
funkcijom
x  p 2  720 p  110000 .
a) Odrediti oblast definisanosti funkcije tražnje.
b) Sa kojom cenom se postiže maksimalni prihod i koliko on iznosi?
Rešenje:
a) Funkcijatražnje je x  f ( p )  p 2  720 p  110000 .
Oblast definisanosti date funkcije tražnje odredićemo iz uslova
( p  0)  ( f ( p)  0)  ( f ( p)  0)
720  720 2  440000 720  518400  440000 720  78400 720  280
p1,2 



2
2
2
2
720  280 440
720  280 1000
p1 

 220, p 2 

 500
2
2
2
2
+++
-+ - +- +-
+++
f (p)
-+ +
220
360
znak funkcije tražnje
500
f ( p )  0
f ( p )  ( p 2  720 p  110000 )  2 p  720
2 p  720  0
p
720
, p  360
2
b) Funkcija prihoda je
P( p )  x  p  f ( p )  p  ( p 2  720 p  110000 )  p  p 3  720 p 2  110000 p
P ( x )  ( p 3  720 p 2  110000 p )  3 p 2  1440 p  110000
3 p 2  1440 p  110000  0
13
1440  14402  12 110000 1440  2073600  1320000


6
6
1440  753600
1440  868,1

6
6
1440  868,1 571,9
1440  868,1 2308,1
p1 

 95,32 p 2 

 384,68
6
6
6
6
p1,2 
+++
-+ - +- +-
+++
-+ +
95,32
P( p )
znak prvog izvoda funkcije prihoda
384,68
Maksimalan prihod se postiže za cenu p = 95,32, i iznosi:
Pmax  P(95,32)  (95,32) 3  720(95,32) 2  110000  95,32  866068,22  6541849,73 
10485200  4809418,49.
17. Neka su za neki proizvod X date funkcija tražnje x  4 p  8000 i funkcija ukupnih
troškova T ( x )  0,75 x 2  7000 x  4 250 000 . Odrediti oblast definisanosti funkcije tražnje,
interval rentabilnosti, optimalni obim proizvodnje i optimalnu cenu i maksimalnu dobit.
Rešenje:
Oblast definisanosti date funkcije tražnje odredićemo iz uslova
( p  0 )  ( f ( p )  0 )  ( f ( p )  0 )
x  f ( p )  4 p  8000
 4 p  8000  0
1
 4 p  8000 / 
4
p  2000
f ( p )  0
f ( p )  ( 4 p  8000 )
f ( p )  4  0
f ( p )  4 je konstantna funkcija, uvek manja od 0, tako da ne utiče na određivanje oblasti
definisanosti funkcije tražnje. Oblast definisanosti funkcije tražnje je
Df = (0, 2000).
Za određivanje intervala rentabilnosti, optimalnog obima proizvodnje i optimalne cene i
maksimalne dobiti, potrebna nam je funkcija dobiti.
D( x )  P( x )  T ( x )
Funkcija troškova je data, ali funkciju prihoda treba formirati. Kako je funkcija troškova
izražena preko x, i funkcija prihoda mora da bude izražena preko x.
14
P( x )  x  f 1 ( x )
Inverzna funkcija tražnje je p  f 1 ( x )  
1
x  2000   0,25 x  2000.
4
Funkcija ukupnog prihoda je
P( x )  x  ( 0,25 x  2000 )  0,25 x 2  2000 x
D( x )  P( x )  T ( x )  0,25x 2  2000x  ( 0,75x 2  7000x  4 250 000 ) 
  x 2  9000x  4 250 000
najpre određujemo interval rentabilnosti
 x 2  9000x  4 250 000  0
 9000  90002  4(1)(4250000)  10800  81000000  17000000
x1, 2 


2
2
 9000  64000000  9000  8000


2
2
x1 
 9 000  8 000  1000

 500;
2
2
- - -
+ + +
 17000
 8 500;
2
- - -
D(x)
++
500
x2 
znak funkcije dobiti
8500
interval rentabilnosti je (500, 8500)
D( x )  (  x 2  9000x  4 250 000 )  2 x  9000
D( x )  0  2 x  9000  x  4500
+++++
--------
D(x)
znak prvog izvoda funkcije dobiti
4500
Na osnovu znaka prvog izvoda funkcije dobiti, zaključujemo da je optimalni nivo proizvodnje
x0 = 4500. Optimalnu cenu ćemo izračunati preko inverzne funkcije tražnje
p0   0,25 x0  2000  0,25  4500  2000  875
Maksimalna dobit je
Dmax  D( x0 )  D( 4500 )  45002  9000  4500  4 250 000 
 20 250 000  40 500 000  4 250 000 16 000 000
15
19. Funkcija tražnje za određeni proizvod X je x  0,5 p  17500 . Ako je
T ( x)  3 x 2  50  10 6 funkcija ukupnih troškova za proizvod X, naći: interval rentabilnosti,
optimalni obim prozvodnje x0 i dobit u uslovima optimalne proizvodnje.
Rešenje:
x  0,5 p  17500
Inverzna funkcija tražnje je p   2 x  35 000 . Funkcija prihoda je
P( x )  x  ( 2 x  35 000 )  2 x 2  35000 x
Funkcija dobiti je
D( x )  P( x )  T ( x )  2 x 2  35000 x  ( 3x 2  50  10 6 )  5 x 2  35000 x  50  10 6
 5x 2  35000x  50  106  0
 35000  350002  4(5)(50000000)  35000  1225000000  1000000000
x1, 2 


 10
 10
 35000  225000000  35000  15000


 10
 10
x1 
 35000  15000  20000

 2000;
 10
 10
- - -
+ + +
 35000  15000  50 000

 5 000;
 10
 10
- - -
D(x)
++
2000
x2 
znak funkcije dobiti
5000
Interval rentabilnosti je (2000 , 5000).
D ( x )  ( 5 x 2  35000x  50  10 6 )  10 x  35000
D ( x )  0
 10 x  35000  0
x  3500
+++++
--------
D(x)
znak prvog izvoda funkcije dobiti
3500
Na osnovu znaka prvog izvoda funkcije dobiti, zaključujemo da je optimalni obim
proizvodnje x0 = 3500. Dobit u uslovima optimalne proizvodnje je
16
Dmax  D( 3500 )  5  35002  35000  3500  50 000 000 
 5 12250000  122500000 50000000  61 250 000  122 500 000  50 000 000 
11 250 000
17
ZADACI IZ FINANSIJSKE MATEMATIKE
1. Na koje vreme treba uložiti 4000 eura sa godišnjom dekurzivnom kamatnom stopom od
6,5% i polugodišnjim kapitalisanjem tako da njegova vrednost poraste za 20%?
2. Koliku kamatu donosi kapital od 6000 eura uložen na 2 godine i 126 dana sa godišnjom
dekurzivnom kamatnom stopom 6,5% i tromesečnim kapitalisanjem? Koliku bi kamatu
doneo da je uložen pod istim uslovima sa anticipativnom kamatnom stopom od 4,8%?
Koja kamata je veća i za koliko?
3. Na koje vreme treba uložiti 3000 eura sa godišnjom dekurzivnom kamatnom stopom od
5,9% i tromesečnim kapitalisanjem pa da njegova vrednost poraste za trećinu?
4. Izračunati kamatu koju donosi kapital od 200000 dinara, uložen na 2 godine 7 meseci i 10
dana uz godišnju dekurzivnu kamatnu stopu od 18% i polugodišnje kapitalisanje. Kolika bi
bila kamata da je umesto relativne primenjena odgovarajuća konformna kamatna stopa?
5. Na koje vreme treba uložiti 300 000 dinara sa godišnjom dekurzivnom kamatnom stopom
od 12,5% i tromesečnim kapitalisanjem pa da njegova vrednost poraste za šestinu?
6. Na koje vreme treba uložiti 150 000 dinara sa godišnjom dekurzivnom kamatnom stopom
od 16,5% i tromesečnim kapitalisanjem pa da njegova vrednost poraste za 20%?
7. Nabroj načine obračuna kamate i objasni ih. Primenom kog načina obračuna kamate će
kapital od 2000 eura, uložen na tri godine sa tromesečnim kapitalisanjem, i kamatnom
stopom 6,5% doneti najveću kamatu i koliko ona iznosi?
8. Koliku kamatu donosi kapital od 3000 eura uložen na 2 godine i 196 dana sa godišnjom
dekurzivnom kamatnom stopom 5,9% i polugodišnim kapitalisanjem? Koliku bi kamatu
doneo da je primenjena odgovarajuća konformna kamatna stopa? Koja kamata je veća i za
koliko?
9. Koji modeli kamatnog računa postoje i po čemu se razlikuju? Ako je uloženo 1000 eura na
2 godine i 128 dana sa godišnjom dekurzivnom kamatnom stopom 6,5% i tromesečnim
18
kapitalisanjem, koji model kapitalisanja treba primeniti kako bismo izračunali krajnju
vrednost kapitala? Objasni zašto?
10.
Koliku kamatu donosi kapital od 2000 eura uložen na 2 godine i 135 dana sa
godišnjom dekurzivnom kamatnom stopom 5,3% i tromesečnim kapitalisanjem? Koliku bi
kamatu doneo da je uložen pod istim uslovima sa anticipativnom kamatnom stopom od
5,3%? Koja kamata je veća i za koliko?
11.
Opiši ukratko model kredita sa jednakim otplatama. Ako se ovakav kredit od 3600
eura amortizuje mesečno na period od 3 godine sa godišnjom dekurzivnom kamatnom
stopom 6,5%, koliko će iznositi učešće kamate u prvom, a koliko u poslednjem anuitetu?
12.
Opiši ukratko model kredita sa jednakim anuitetima. Ako se ovakav kredit od 3600
eura amortizuje mesečno na period od 4 godine sa godišnjom dekurzivnom kamatnom
stopom 11,5%, izračunaj vrednost anuiteta i ukupnu kamatu. U kom anuitetu je najveće
učešće otplate a u kom kamate?
13.
Kredit od 480 000 dinara amortizuje se mesečno metodom jednakih anuiteta za period
od četiri godine i sa godišnjom dekurzivnom kamatnom stopom 15%. Izračunati vrednost
anuiteta, stanje duga posle dve godine i ukupnu kamatu.
14.
Kredit od 5000 eura amortizuje se mesečno metodom jednakih anuiteta za period od
pet godina sa godišnjom dekurzivnom kamatnom stopom 10,5%. Izračunati vrednost
anuiteta, stanje duga posle dve godine i ukupnu kamatu.
15.
Kredit od 240 000 dinara amortizje se mesečno metodom jednakih otplata sa
godišnjom dekurzivnom kamatnom stopom od 12,5% za period od četiri godine. Izračunaj
vrednost prvog i poslednjeg anuiteta i ukupnu kamatu. Kolika bi bila ukupna kamata da je
umesto relativne primenjena odgovarajuća konformna kamatna stopa?
16.
Kredit od 12000 eura amortizuje se mesečno metodom jednakih anuiteta za period od
10 godina i sa godišnjom dekurzivnom kamatnom stopom 4,5%. Izračunati vrednost
anuiteta i stanje duga posle tri godine? Koliko bi iznosio anuitet da je umesto relativne
19
primenjena konformna kamatna stopa
17.
Kredit od 540 000 dinara amortizuje se mesečno metodom jednakih anuiteta za period
od tri godine i sa godišnjom dekurzivnom kamatnom stopom 12,5%. Izračunati vrednost
anuiteta i stanje duga posle dve godine? Koliko bi iznosio anuitet da je umesto relativne
primenjena konformna kamatna stopa?
18.
Kredit od 360 000 dinara amortizje se mesečno metodom jednakih otplata sa
godišnjom dekurzivnom kamatnom stopom od 8,5% za period od tri godine. Izračunaj
vrednost prvog i poslednjeg anuiteta i ukupnu kamatu.
19.
Kredit od 360 000 dinara amortizuje se mesečno metodom jednakih anuiteta za period
od tri godine i sa godišnjom dekurzivnom kamatnom stopom 8,5%. Izračunati vrednost
anuiteta i stanje duga posle dve godine? Koliko bi iznosio anuitet da je umesto relativne
primenjena odgovarjuća konformna kamatna stopa?
20.
Kredit od 240 000 dinara amortizuje se mesečno metodom jednakih otplata sa
godišnjom dekurzivnom kamatnom stopom od 24,5% za dve godine. Izračunaj vrednost
prvog i poslednjeg anuiteta. Izračunaj ukupnu kamatu? Kolika bi bila ukupna kamata da je
umesto relativne primenjena odgovarajuća konfomna kamatna stopa?
21.
Kredit od 228000 dinara amortizuje se metodom jednakih otplata mesečnim
anuitetima na period od 2godine i 6 meseca uz godišnju dekurzivnu kamatnu stopu od
20,12%. Izračunati vrednost prvog, i poslednjeg anuiteta. Koliko je ukupno novca
vraćeno?
22.
Kredit od 5000 eura amortizuje se za 3 godine mesečnim anuitetima sa godišnjom
kamatnom stopom 18,25%. Odrediti stanje duga nakon prve godine ako se kredit
amortizuje: a) metodom jednakih anuiteta b) metodom jednakih otplata.
23.
Kredit od 300000 dinara amortizuje se za period od 3 godine metodom jednakih
otplata uz godišnju dekurzivnu kamatnu stopu od 9,5%. Izračunaj vrednost prvog i 15-tog
anuiteta. Izračunaj ukupnu kamata primenom relativne i primenom konformne kamatne
stope. Koja kamata je veća i za koliko?
20
FORMULE IZ FINANSIJSKE MATEMATIKUE
Složen kamatni račun sa dekurzivnom kamatnom stopom
K
log tm
tm
K0
p

,
K tm  K 0 1   , t 
m log r
 m
Odnos između komforne i relativne kamatne stope pk ,m  m p  1  1
Model kombinovanog prostog i složenog kapitalisanja sa dekurzivnom kamatnom
stopom


K


log tm

p  td 
K0
p 
Ks
p
365 

, td 
K s  K 0 1   1 
 1
 , r  1  , t 

tm
365 
m
p  
m log r
 m 
p

 K 0 1  m 


 

tm
Složen kamatni račun sa anticipativnim načinom kapitalisanja
K tm 
K0
 q
1  
 m
K tm
K0
,t
, 
m log 
log
tm
1
1
q
m
, q  m
m
,
Ktm
tm
K0
Model kombinovanog prostog i složenog kapitalisanja sa anticipativnom kamatnom
stopom


K tm


K0
K0
K0

365 
Ks 
, t 
, td 
1

tm
tm 
q 
m log 
q   q  td 

 q
K s 1   

1   1 

365 
 m 
 m 

log
Amortizacija kredita metodom jednakih otplata sa dekurzivnom kamatnom stopom
ai    I i ,  
K  p  i 1
i
K
iK
K  p(n  1)

, Ii 
, I
1 
 , S i  K 1   , Qi  i   
m 
n 
n
n
2m
 n
Amortizacija kredita metodom jednakih anuiteta sa dekurzivnom kamatnom stopom
i
r 1
p
r i 1
r n  ri
, Si  K
, Qi    k  K n
, I  na  K
r  1  ili r  1 p k ,m , a  K 
m
r

1
1 r n
r n 1
k 1
21
ISPITNA PITANJA
1. Šta je Dekartov proizvod skupova?
Odredi Dekartov proizvod skupova A = {a, b, c} i B = {1,2}.
2. Kako se definiše preslikavanje? Neka je A = 1, 2, 3, B = x, y i neka su
f = {(1,x), (2, y)}, g = {(1,x), (1, y), (2, y)} i h = {(1, y), (2, x), (3, x)}. Da li su f , g i h
preslikavanja? Objasni zašto.
3. Kad kažemo da je neko preslikavanje konstantno, a kad identično? Koje je od
sledećih preslikavanja konstantno, a koje identično: a) f(x) = 2x2 + 3, b) g(x) = x,
c) h(x) = -7, d) p(x) = 4x – 3, e) s(x) = 22?
4. Kad kažemo da je neko preslikavanje sirjekcija, a kad injekcija? Da li je preslikavanje
f(x) = 3x2, f : R R, a) sirjekcija, b) injekcija i zašto?
5. Kad kažemo da je neko preslikavanje bijekcija? Da li je preslikavanje f(x) = 2x + 3,
f : R R, bijekcija i zašto?
6. Šta je inverzno preslikavanje? Odredi inverzno preslikavanje, preslikavanja,
f (x) = 3x – 4, f : R R.
7. Šta su nule funkcije, a šta presek funkcije sa y osom i kako se određuju? Odredi nule i
3x  x 2
presek funkcije sa y osom funkcije y 
x4
8. Kad kažemo da je funkcija parna, a kad neparna? Odredi parnost funkcije
x2  4x  5
y
x3
9. Šta je matrica? Kako se definiše zbir dve matrice, a kako proizvod skalara i matrice?
Navedi osobine koje važe za ove operacije. Izračunaj 3I – AB, gde su matrice
0  1
 1
 1 1 0


A   3
0 2 , B   2 0 0
 1  2 0
 5 0  1
10. Kako se definiše proizvod dve matrice, a kako stepen matrice? Navedi osobine koje
važe za operaciju proizvod matrica. Koje se od matrica mogu pomnožiti i u kom
redosledu. Izračunati moguće proizvode.
1
 2
0 1
 3
 1 1


A
, B   0  3, C  

0  2 2

 0 2
0
 4
11. Šta je determinanta matrice i kako se izračunava? Navedi svojstva determinanti.
0
0  1
 3
 1
3 2
1

A

.
Izračunaj determinantu matrice
 0 4
1 0


1
0
0
 1
0 1
2

12. Šta je minor, a šta kofaktor? Izračunaj kofaktore matrice B   3  2 0 .
0
1 0
22
13. Šta je inverzna matrica i kako se izračunava? Izračunaj inverznu matricu matrice
 2  1 0
A  0  3 1.
0  2 2
14. Kad kažemo da je matrica regularna, a kad singularna? Odrediti regularnost matrice
1  3
 0
C    1
0  2
 2
0
1
15. Kad kažemo da je prava y = ax + b kosa, a kad horizontalna asimptota funkcije? Kako
x 2  4x  5
se izračunavaju koeficijenti a i b? Da li funkcija y 
ima kosu ili
x3
horizontalnu asimptotu i kako ona glasi?
( x  2) 2
16. Šta je vertikalna asimptota funkcije? Da li funkcija y  2
ima vertikalnu
x x6
asimptotu i ako ima kako ona glasi?
17. Kako glasi definicija prvog izvoda funkcija. Navedi pravila diferenciranja. Nađi prvi
sin x
izvod funkcije y  2
x 3
18. Kako se traži izvod složene funkcije? Nađi prvi izvod funkcije y = ln(2x3 + 3).
19. Kako se određuje monotonost funkcije pomoću prvog izvoda? Odredi monotonost
5  4 x  x2
funkcije y 
x3
20. Kako se određuju ekstremne vrednosti funkcije pomoću izvoda? Odredi ekstremne
( x  1) 2
vrednosti funkcije y 
8  2x  x2
21. Kako se određuje konveksnost i konkavnost pomoću drugog izvoda funkcije? Odredi
x 2  8 x  16
konveksnost funkcije y 
x3
22. Kako se određuju prevojne tačke funkcije? Odredi prevojne tačke funkcije
x2  x  2
y
( x  3) 2
23. Navedi definiciju primitivne funkcije i definiciju neodređenog integrala. Odredi
primitivnu funkciju funkcije f ( x)  x 3 .
24. Navedi definiciju neodređenog integrala i osnovna pravila integracije. Izračunaj
2
 (3sin x  x )dx .
25. Objasni metod integracije pomoći smene. Izračunaj  sin(3x  2)dx
26. Objasni parcijalnu integraciju. Izračunaj
 x cos xdx
1
27. Navedi definiciju određenog integrala i Njutn-Lajbnicovu formulu. Izračunaj
 3x dx.
3
-1
28. Navedi osobine funkcije tražnje. Odredi oblast definisanosti funkcije tražnje
x  p 2  850 p  175000 .
23
29. Navedi osobine funkcije ponude. Odredi oblast definisanosti funkcije ponude
~
x  250 p  2500 .
30. Šta je prihod i kako se može izraziti funkcija prihoda kao funkcija jedne promenljive?
Ako je funkcija tražnje za nekim proizvodom x  p 2  720 p  110000 , odredi
funkciju prihoda tog proizvoda. Sa kojom cenom se postiže maksimalni prihod?
31. Šta je funkcija graničnog prihoda? Objasni njenu ekonomsku interpretaciju. Ako je
funkcija prihoda P( p)  ( p  10 ) 2 p odrediti funkciju graničnog prihoda. Kako će se
promeniti prihod ako se cena sa nivoa p0  5 poveća za jednu novcani jedinicu?
32. Kako se definiše funkcija troškova i koje su njene osobine? Kako se definiše funkcija
prosečnih troškova? Ako je funkcija ukupnih troškova T  2,5 x 2  350 x  250
odredi fiksne i varijabilne troškove i koliko iznose prosečni troškovi pri nivou
proizvodnje x = 1000?
33. Definiši funkciju graničnih troškova i objasni njenu ekonomsku interpretaciju. Ako je
funkcija ukupnih troškova T ( x)  0,01 x 2  30 x  900 odredi funkciju graničnih
troškova. Da li je opravdano povećanje proizvodnje sa nivoa x0 = 400.
34. Šta je dobit? Šta je interval rentabilnosti i kako se određuje? Odredi interval
rentabilnosti ako je funkcija dobiti D( x)  4 x 2  22000 x  10  10 6
35. Šta je optimalni nivo proizvodnje i kako se određuje? Ako je funkcija dobiti za neki
proizvod D( x)  4 x 2  22000 x  10  10 6 , odredi optimalni nivo proizvodnje.
36. Koji modeli kamatnog računa postoje i po čemu se razlikuju? Ako je uloženo 1000
eura na 2 godine i 6 meseci sa godišnjom dekurzivnom kamatnom stopom 6,5% i
polugodošnjim kapitalisanjem, koji model kapitalisanja treba primeniti kako bismo
izračunali krajnju vrednost kapitala? Objasni zašto?
37. Nabroj načine obračuna kamate i objasni ih. Primenom kog načina obračuna kamate
će kapital od 1000 eura, uložen na dve godine sa polugodišnjim kapitalisanjem, i
kamatnom stopom 6,5% doneti najveću kamatu i koliko ona iznosi?
38. Opiši ukratko model kredita sa jednakim otplatama. Ako se ovakav kredit od 7000
eura amortizuje mesečno na period od 5 godina sa godišnjom dekurzivnom kamatnom
stopom 4,5%, izračunaj broj anuiteta i otplatu. Koliko će iznositi prvi, a koliko
poslednji anuitet?
39. Opiši ukratko model kredita sa jednakim anuitetima. Ako se ovakav kredit od 5000
eura amortizuje mesečno na period od 4 godine, sa dekurzivnom kamatnom stopom,
7%, izračunaj broj anuiteta, vrednost anuiteta i ukupnu kamatu. U kom anuitetu je
najveće učešće otplate a u kom kamate?
24
Download

Matematika - Zadaci za vežbanje za ispit i ispitna pitanja