Milan Janji´c
Predavanja iz Osnova matematike
2014-2015 god.
Matematiˇcka logika, skupovi, funkcije, brojevi
Prirodno-matematiˇcki fakultet
Univerzitet u Banjoj Luci
Uvod
Ovo su predavanja iz predmeta Osnovi matematike odrˇzana u ˇskolskoj
2014-2015 godini, koji se sluˇsa na Odsjeku za matematiku i informatiku
Prirodno-matematiˇckog fakulteta u Banjoj Luci, u prvom semestru.
Kursevi matematike u srednjim ˇskolama daju prednost raˇcunskim manipulacijama u odnosu na logiˇcko rezonovanje, tako da uˇcenici ne dobijaju jasne
ideje ˇsta je matematika u suˇstini. Posebno se jasno istiˇcu pogreˇsne ideje o tome
ˇsta je matematika u kursevima apstraktne algebre.
Namjera je ovih predavanja da se studentima prenese mali, ali vaˇzan dio
stvarne matematike, stvorene od nekih od najznaˇcajnijih matematiˇcara u istoriji. Kako je matematika logiˇcka nauka, svaka ozbiljna matematiˇcka knjiga mora
potencirati dokaze. Student koji savlada tehniku dokaza i usvoji obiˇcaj da dokazuje je na dobrom putu da razumije prirodu matematike. To nije lako, ali je
ve´cina studenata sposobna da taj cilj ostvari.
Predavanja obuhvataju standardne sadrˇzaje, koji se ˇsirom svijeta izuˇcavaju
u ovakvim kursevima. Krajnji cilj je da se razjasni pojam realnog broja, i svih
ostalih standardnih klasa brojeva, kao ˇsto su Prirodni, cijeli, racionalni, iracionalni i kompleksni. Od ovih pojmova su nastali svi ostali pojmovi u matematici.
Sadrˇzaj
1.
Matematiˇ
cka logika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
2.
Skupovi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
3.
Relacije i funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
4.
Prirodni brojevi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
5.
Cijeli brojevi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
6.
Racionalni brojevi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
7.
Realni brojevi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
8.
Kompleksni brojevi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
9.
Aksiome elementarne geometrije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
Bibliografija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
1
Matematiˇcka logika
Od svih nauka matematika je najbliˇze vezana sa logikom. Razlog za to je
ˇsto se tvrdnje dobijaju kao logiˇcna posljedica pretpostavki. To ´cemo ilustrovati
sa tri teoreme, ˇciji su dokazi jednostavni, ali njihove tvrdnje predstavljaju neka
od najve´cuh otkri´ca u matematici.
Teorema 1.1
Postoji beskonaˇcno mnogo prostih brojeva.
Dokaz
Ovaj dokaz potiˇce joˇs od Euklida. Pretpostavimo suprotno, tj. da postoji samo
konaˇcno mnogo prostih brojeva. Oznaˇcimo ih sa p1 , p2 , . . . , pn . Posmatrajmo
broj N = p1 · p2 · · · pn + 1. Broj N je ili prost, ili ima bar jedan prost faktor.
To znaˇci da postoji prirodan i, (1 6 i 6 n) i prirodan broj m, za koje je
pi · m = p1 · p2 · · · pn + 1. Slijedi pi m − p1 p2 · · · pn = 1, ˇsto je nemogu´ce, jer je
lijeva strana djeljiva sa pi , a desna, oˇcigledno, nije.
Sljede´ci rezultat je Pitagorin i predstavlja vaˇzno otkri´ce pojma iracionalnosti,
ˇsto je jedno od velikih dostignu´ca Pitagorine ˇskole.
Teorema 1.2
Broj
√
2 nije racionalan.
ˇ
GLAVA 1. MATEMATICKA
LOGIKA
Dokaz
√
Pretpostavimo suprotno, da vrijedi 2 = pq , gdje su p i q cijeli brojevi. Pri
tome moˇzemo pretpostaviti da su p i q relativno prosti. Kvadriranjem dobijamo
2
2 = pq2 , tj. p2 = 2q 2 . To znaˇci da je p2 paran. Ali, kvadrati parnih brojeva su
parni, a kvadrati neparnih brojeva su neparni. Prema tome, p je paran, pa
je p = 2r, za neki cio broj r. Prema tome, vrijedi 4r2 = 2q 2 , tj. q 2 = 2r2 .
Zakljuˇcujemo da je i q paran. Tako p i q imaju zajedniˇcki faktor 2, ˇsto je u
kontradikciji sa pretpostavkom da su relativno prosti.
Napomenimo da su oba dokaza dobijena metodom svod¯enja na apsurd ili
reductio ad absurdum, za koju se kaˇze da je bila omiljena Euklidova metoda,
koju je koristio u svojim Elementima, svakako jednoj od najvaˇznijih knjiga iz
matematike.
I sljede´ca teorema vjerovatno pripada Pitagori.
Teorema 1.3 (Pitagorina teorema)
Ako su a i b duˇzine kateta, a c duˇzina hipotenuze pravouglog trougla, onda
vrijedi
c2 = a2 + b2 .
Obrnuto, ako za duˇzine a, b, c stranica nekog trougla vrijedi prethodna jednakost, onda je taj trougao pravougli.
Dokaz
Od mnogobrojnih dokaza ove teoreme izloˇzi´cemo jedan u kome se jedino koristi
pojam sliˇcnosti. Neka je h duˇzina visine spuˇstene na hipotenuzu c. Ta visina
dijeli trougao na dva pravougla trougla. Oba ta trougla su sliˇcni poˇcetnom.
Oznaˇcimo sa x i y duˇzine odsjeˇcaka koje uoˇcena visina pravi na hipotenuzi.
Dakle, vrijedi c = x + y. Iz sliˇcnosti se dobijaju sljede´ce proporcije:
C
a
b
h
y
A
c D
x
B
h : a = b : c, x : a = h : b, h : a = y : b.
2
ˇ
GLAVA 1. MATEMATICKA
LOGIKA
Iz prve proporcije je h = ab
c , dok iz preostale dvije slijedi x =
pa je c = x + y = ( ab + ab )h. Tako dobijamo jednakost
ab
=
c
a
b
c
+
b
a
ah
b ,
y=
bh
a ,
,
odakle se unakrsnim mnoˇzenjem dobija c2 = a2 + b2 .
Dokaˇzimo na kraju i obrnuto tvrdnju. Neka za duˇzine stranica a, b, c datog
trougla vrijedi c2 = a2 + b2 . Posmatrajmo, sa druge strane, pravougli trougao ˇcije su duˇzine kateta a i b. Prema ve´c dokazanom, duˇzina hipotenuze tog
trougla mora biti c. Dakle, ta dva trougla su podudarna, na osnovu stava o
podudarnosti trouglova sa jednakim stranicama, pa moraju imati iste uglove,
ˇsto znaˇci da je i dati trougao pravougli.
Ilustrova´cemo to jednim jednostavnim primjerom.
Primjer 1.4
Koliko se partija odigra na teniskom turniru koji ima 1025 uˇcesnika.
Rjeˇsenje. Da´cemo dva rjeˇsenja ovog problema.
1. U prvom kolu se odigra 512 meˇceva (jedan igraˇc je slobodan), u drugom
kolu 256 meˇceva itd, u posljednjem kolu se digra samo jedan meˇc. Tako je
ukupan broj meˇceva jednak
1 + 2 + 4 + 8 + · · · + 512 = 1 + 22 + · · · + 29 .
Koriste´ci se poznatom formulom
1 + q + q2 + · · · + qn =
dobijamo da je broj odigranih meˇceva
q n+1 − 1
, (q ̸= 1),
q−1
210 −1
2−1
= 1024.
2. Sada ´cemo pokazati da se broj meˇceva lako dobija bez ikakvog raˇcuna. Naime, u svakom meˇcu je jedan igraˇc poraˇzen. Sa druge strane svaki igraˇc moˇze
biti samo jednom poraˇzen. Zakljuˇcujemo da je odigrano onoliko meˇceva koliko ima poraˇzenih igraˇca. A kako samo pobjednik nije poraˇze, to znaˇci da
je odigrano 1024 meˇca.
Osnova matematiˇckog jezika su reˇcenice koje nazivamo iskazima. To su
reˇcenice kojima se moˇze pridruˇziti samo jedna od dvije vrijednosti: taˇcno ili
netaˇcno. Naˇsi iskazi ´ce biti matematiˇcke tvrdnje, za koje ´ce biti jasno da su ili
taˇcne ili netaˇcne. U nekim opˇstim razmatranjima to ne mora biti jasno.
U vezi s tim navodimo poznati semantiˇcki paradoks sa bricom.
3
ˇ
GLAVA 1. MATEMATICKA
LOGIKA
Primjer 1.5
U selu se ljudi briju ili kod brice ili se briju sami. Kako se brije brico? Ako se
ne brije sam onda se mora brijati kod brice. To znaˇci ako se ne brije sam onda
se brije sam, ˇsto je kontradikcija.
Zakljuˇcujemo da se brico brije sam. Ali onda se on ne brije kod brice. Dakle,
ako se brije sam onda se ne brije sam, ˇsto je, opet, kontradikcija.
Dakle, Pitanje ,,Kako se brije brico” se ne moˇze smatrati iskazom.
Znaˇci, svakom se islazu moˇze pridruˇziti taˇcno jedno od slova T, ako je iskaz
taˇcan ili N, ako je iskaz netaˇcan. Tako je npr. 1 + 1 = 2 taˇcan, a 1 + 1 = 1
netaˇcan islaz.
Sa druge strane, x + 1 = 2 nije iskaz. Ovakvi se izrazi nazivaju iskazne
formule, dok se x naziva promjenljiva. Kada se promjenljiva zamijeni nekom
konkretnom vrijednoˇs´cu, onda iskazna formula postaje iskaz koji je za neke
vrijednosti taˇcan, a za neke netaˇcan. Kada je iskazna formula taˇcna za sve
vrijednosti promjenljive onda se takva formula zove identitet.
U matematiˇckim teorijama uvijek postoje pravila pomo´cu kojih se od osnovnih pojmova formiraju sloˇzeni. Ta su pravila u osnovi izvedena iz zakona logike
od kojih su nam najvaˇzniji modus ponens i modus tolens.
Modus ponens: Ako je taˇcno da p povlaˇci q i ako je taˇcno p, onada je taˇcno
i q.
Modus tolens: Ako je taˇcno da p povlaˇci q i ako je netaˇcno q, onada je taˇcno
i p.
U iskaznoj logici se osnovni sloˇzeni iskazi: negacija ¬ ili ,,nije”, konjunkcija
∧ ili ,,i”, disjunkcija ∨ ili ,,ili”i implikacija ⇒ ili ,,ako...onda..”
Znaˇcenja ovih iskaza definiˇsemo sljede´cim tabelama:
p
T
N
¬p
N
T
p
T
T
N
N
q
T
N
T
N
p∧q
T
N
N
N
p
T
T
N
N
q
T
N
T
N
p∨q
T
T
T
N
p
T
T
N
N
q
T
N
T
N
p⇒q
T
N .
T
T
√
Iskaz: ,,Broj √ 2 je iracionalan realan broj,
√ je taˇcna konjunkcija, jer se sastoji
od dva
iskaza:
,,
2
je
iracionalan
broj”i
,,
2 je realan broj”koji su taˇcni. Iskaz:
√
Broj 2 je racionalan realan broj, je netaˇcna konjunkcija, jer je prvi iskaz od
kojeg je sastavljena netaˇcan, a drugi taˇcan.
Implikacija je definisana na ovaj naˇcin u skladu sa logiˇckim zakonom modus
ponens, koji glasi: Za dva iskaza p i q, ako je iskaz p taˇcan i ako je taˇcna
implikacija p ⇒ q, onda je taˇcan i iskaz q. Najve´ci broj teorema je iskazan
upravo implikacuijom. Sljede´ci jednostavan primjer bi mogao posluˇziti za bolje
razumijevanje pojma implikacije.
4
ˇ
GLAVA 1. MATEMATICKA
LOGIKA
Primjer 1.6
Koje je od sljede´cih tvrdnji taˇcna?
1. Ako je 1 > 0, onda je 2 > 0.
2. Ako je 1 < 0, onda je 1 > 0.
3. Ako je 1 > 0, onda je 1 < 0.
4. Ako je 1 < 0, onda je 2 < 0.
Rjeˇsenje. Taˇcnost svake od navedenih implikacija je jednostavno utvrditi na
osnovu same definicije. Npr. 1 > 0 je taˇcan, a 1 < 0 je netaˇcan iskaz, iz ˇcega
slijedi da implikacija 3. nije taˇcna.
Mi pokuˇsavamo opravdati definiciju, pa ´cemo zbog toga dokazati taˇcnost ili
netaˇcnost gore navedenih implikacija. Ako je 1 > 0, onda na osnovu saglasnosti
relacije poretka sa sabiranjem, slijedi 1 + 1 > 0 + 1, tj. 2 > 1. Sada iz 2 > 1
i 1 > 0, na osnovu tranzitivnosti relacije poretka zakljuˇcujemo da je 2 > 0.
Prema tome implikacija 1. je taˇcna.
Ako je 1 < 0, onda zbog saglasnosti relacije poretka i sabiranja imamo da je
1+(−1) < 0+(−1), tj. 0 < −1. Zbog saglasnosti relacije poretka sa mnoˇzenjem,
odavde slijedi 0 · (−1) < (−1) · (−1), tj. 0 < 1, pa je implikacija 2. taˇcna.
Ako bi implikacija 3. bila taˇcna, onda na osnovu ˇcinjenice da je iskaz 1 > 0
taˇcan, pomo´cu zakona modus ponens zakljuˇcili bismo da je i iskaz 1 < 0 taˇcan,
ˇsto bi bila kontradikcija. To znaˇci da implikacija 3. nije taˇcna.
Implikacija 4. je taˇcna, jer iz 1 < 0 slijedi 1 + 1 < 0 + 1, tj. 2 < 1, pa na
osnovu tranzitivnosti slijedi 2 < 0.
ˇ
Cinjenica
da je implikacija p ⇒ q taˇcna moˇze se interpretirati na dva naˇcina.
1. Ako p, onda q. Ova fraza znaˇci da pod uslovom da je p taˇcan slijedi i da
je q taˇcan. Napomenimo da iskaz q moˇze biti taˇcan i ako je p netaˇcan. U
ovoj situaciji kaˇzemo da je iskaz p dovoljan uslov za iskaz q.
2. p samo ako q. Ovo znaˇci da iz netaˇcnosti iskaza q slijedi netaˇcnost iskaza
p. Kaˇze se joˇs i da je iskaz q potreban uslov za iskaz p.
Moˇze izgledati neobiˇcno da implikacija p ⇒ q bude taˇcna i u sluˇcaju kada
izgleda teˇsko povezati iskaze p i q. Ilustrujmo to primjerom.
Primjer 1.7
Implikacija 1 = 2 ⇒ 1 < 1 je taˇcna.
5
ˇ
GLAVA 1. MATEMATICKA
LOGIKA
Dokaz
Implikacija je taˇcna po definiciji, jer su oba iskaza netaˇcni, ali je mogu´ce dati
i direktan dokaz. Za to treba dokazati da ako je 1 = 2 taˇcno (a nije), onda
je i 1 < 1 taˇcno (a nije). Posmatrajmo iskaznu formulu x + 1 = y ⇒ x < y.
Ova je formula taˇcna za svako pozitivno x i y. Stavljaju´ci specijalno x = y = 1
dobijamo traˇzenu implikaciju.
Ekvivalencija p ⇔ q je iskaz koji je taˇcan ako su oba iskaza p i q ili taˇcni, ili
netaˇcni, a u ostalim sluˇcajevima je netaˇcna. Postoji viˇse naˇcina da se iskaˇze
ekvivalencija p ⇔ q. Sljede´ca tri iskaza imaju isto znaˇcenje.
(i)
p ⇔ q.
(ii)
p ako i samo ako q.
(iii)
p je potrebno i dovoljno za q.
p i q u oznaci Iskaz (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p) se oznaˇcava sa p ⇔ q i naziva
ekvivalencijom. Vrijednosti ekvivalencije date su u sljede´coj tabeli
p
T
T
N
N
p⇔q
T
N .
N
T
q
T
N
T
N
Ukoliko je ekvivalencija p ⇔ q taˇcna, onda se kaˇze da je p potreban i dovoljan
uslov za q.
Logiˇ
ckim zakonom ili tautologijom nazivamo iskaz sastavljen od iskaza
p, q, r, . . . i veza ∨, ∧, ⇒, ⇔, ¬ koji je uvijek taˇcan, bez obzira na taˇcnost ili
netaˇcnost iskaza p, q, r, . . . od kojih je formiran. Naveˇs´cemo neke od najznaˇcajnijih tautologija:
[(p ⇒ q) ∧ (q ⇒ r)] ⇒ (p ⇒ r), zakon silogizma,
p ∨ ¬p, zakon iskljuˇcenja tre´ceg,
p ⇔ ¬¬p, zakon dvojne negacije,
}
¬(p ∧ q) ⇔ (¬p ∨ ¬q)
De Morganovi zakoni,
¬(p ∨ q) ⇔ (¬p ∧ ¬q)
(¬p ⇒ (q ∧ ¬q)) ⇒ p, svod¯enje na apsurd
(p ⇒ q) ⇔ (¬q ⇒ ¬p), zakon kontrapozicije,
(p ⇒ q) ⇔ (¬p ∨ q).
Primjer 1.8
Primjenom De Morganovih zakona na posljednju gore navedenu tautologiju
dobijamo
¬(p ⇒ q) ⇔ (p ∧ (¬q)).
6
ˇ
GLAVA 1. MATEMATICKA
LOGIKA
Ovaj primjer pokazuje ˇsta treba dokazati da bi se negirala implikacija, ˇsto se u
dokazima ˇcesto susre´ce.
Propozicija 1.9
Operacije ∨, ∧ i ¬ nad iskazima p, q, r, . . . zadovoljavaju sljede´ce uslove:
p∧p⇔p
p∨p⇔p
zakoni idempotentnosti
p∧q ⇔q∧p
p∨q ⇔q∨p
zakoni komutativnosti
(p ∧ q) ∧ r ⇔ p ∧ (q ∧ r)
(p ∨ q) ∨ r ⇔ p ∨ (q ∨ r)
zakoni asocijativnosti
p ∧ (q ∨ r) ⇔ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
p ∨ (q ∧ r) ⇔ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)
zakoni distributivnosti
p ∧ ⊥ ⇔ ⊥, p ∨ ⊥ ⇔ p
p ∧ ⊤ ⇔ p, p ∨ ⊤ ⇔ ⊤
p ∧ ¬p ⇔ ⊥, p ∨ ¬p ⇔ ⊤
p ∧ (p ∨ q) ⇔ p
p ∨ (p ∧ q) ⇔ p.
7
2
Skupovi
Osnovni (nedefinisani) pojmovi teorije skupova su: skup, element skupa i
pripadnost. Skupove oznaˇcavamo velikim latiniˇcnim slovima, elemente skupova
oznaˇcavamo malim latiniˇcnim slovima, a pripadnost oznaˇcavamo sa ∈ . Oznaka
s ∈ S znaˇci da je s element skupa S, dok s ∈
/ S znaˇci da s nije element skupa
S.
Jedan od naˇcina oznaˇcavanja skupova je S = {s1 , s2 , . . . , sn } pri ˇcemu su
u zagradi navedeni svi elementi tog skupa. Drugi naˇcin zapisivanja je S =
{s|P(∫ )}, pri ˇcemu je P neka osobina koju s ili ima ili nema.
Intuitivno se pod pojmom skup podrazumijevaju neki objekti koji ulaze
u taj skup, a da se pri tome ne podrazumijeva nikakva med¯usobna veza tih
objekata. Druga stvar, skup mora biti dobro definisan u smislu da za svaki
objekt moˇzemo utvrditi da li pripada tom skupu ili ne. Drugim rijeˇcima, skup
mora biti dobro definisan. Tako npr, skup pametnih studenata, koji studiraju
matematiku, nije dobro definisan, jer ne postoji kriterijum pomo´cu koga za
svakoga moˇzemo utvrditi je li pametan ili nije. Mogu´ce je, doduˇse, postaviti i
pitanje: Da li iko pametan studira matematiku?
Nejasno´ca ˇsta je to precizno skup dovela je do Raselovog paradoksa,
kojeg ´cemo objasniti malo kasnije.
Kad smo ve´c lijepo zbunjeni oko pojma dobro definisanog skupa moˇzemo
postaviti pitanje: Da li uopˇste postoji neki dobro definisan skup. Taj problem
se rjeˇsava tzv. aksiomom praznog skupa.
Aksioma 2.1
Postoji skup koji nema elemenata.
GLAVA 2. SKUPOVI
Skup iz ove aksiome naziva se praznim skupom i oznaˇcava sa ∅. Sada moˇzemo
zakljuˇciti da je {∅} takod¯e dobro definisan skup, jer svaki dobro definisan skup
ili ima bar jedan element ili nema nijednog.
Sljede´ca jednostavna aksioma je veoma znaˇcajna jer se njome uvodi znak
=, svakako najznaˇcajniji simbol u matematici
Aksioma 2.2 (Aksioma ekstenzionalnosti)
Dva skupa A i B smatramo jednakim i piˇsemo A = B, ako se oni sastoje od
istih elemenata.
Ako za sve elemente skupa A vrijedi x ∈ A ⇒ x ∈ B, onda se kaˇze da je A
podskup skupa B i piˇse A ⊆ B. Znak ⊆ naziva se inkluzija. Za skup B kaˇze
se da je nadskup skupa A.
Skup A je, dakle, podskup skupa B ako je svaki element skupa A ujedno i
element skupa B, tj. ako je za svaki a ∈ A taˇcna implikaja a ∈ A ⇒ a ∈ B.
Kako je za svaki skup A ispunjeno x ∈ ∅ ⇒ x ∈ A, jer je prvi iskaz uvijek
netaˇcan, to zakljuˇcujemo da vrijedi:
Propozicija 2.3
Ako je A skup tada je ∅ ⊆ A. Specijalno je ∅ ⊆ ∅.
Jasno je da vrijedi:
Propozicija 2.4
Ako su A, B skupovi tada
A = B ⇔ A ⊆ B, B ⊆ A.
Propozicija 2.5
Prazan skup je jedinstven.
Dokaz
Pretpostavimo da su ∅1 i ∅2 dva prazna skupa. tada na osnovu propozicije
2.3 vrijedi ∅1 ⊆ ∅2 , a takod¯e i ∅2 ⊆ ∅1 , pa iz prethodne propozicije slijedi
∅1 = ∅2 ,
Od dva skupa A i B koriˇs´cenjem disjunkcije i konjunkcije moˇzemo formirati
skupove A ∪ B i A ∩ B, koji se nazivaju unija i presjek skupova A i B, a
9
GLAVA 2. SKUPOVI
definiˇsu ovako:
A ∪ B = {x : x ∈ A ∨ x ∈ B},
A ∩ B = {x : x ∈ A ∧ x ∈ B}.
Uniju, dakle, ˇcine svi elementi oba skupa A i B, dok presjek ˇcine zajedniˇcki
elementi ta dva skupa. Razliku dva skupa definiˇsemo na sljede´ci naˇcin:
B \ A = {x : x ∈ B ∧ x ̸∈ A};
ona se sastoji od onih elemenata skupa B koji nisu elementi skupa A. Ako je
A ⊆ B, tada se B \ A naziva komplementom skupa A u odnosu na skup B i
oznaˇcavamo CB (A).
U teoriji skupava su vaˇzni simboli ∀ i ∃. Prvi se naziva univerzalni, a drugi
egzistencijalni kvantifikator.
Neka je P neka osobina koju svaki element skupa A ili ima ili nema. Izraz
∀a ∈ A, P(⊣) znaˇci da svi elementi skupa A imaju osobinu P, dok izraz ∃a ∈
A, P(⊣) znaˇci da bar jedan element skupa A ima osobinu P.
Ako je A skup tada se sa P(A) oznaˇcava skup svih podskupova od A i
naziva partitivnim skupom od A.
Pomenuti Raselov paradoks je vezan za pitanje: Postoji li skup svih skupova.
Ako bi takav skup U postojao onda bi svaki skup bio njegov element, pa i sam
U. Dakle vrijedilo bi U ∈ U. Prema tome postoje skupovi koji su elementi
samog sebe. Naravno, postoje i skupovi koji nisu elementi samog sebe. To bi
znaˇcilo da je osobina Y ̸∈ Y validna osobina za formiranje skupova. Neka je
dakle X = {Y ; Y je skup i Y ∈
/ Y } je skup. Moralo bi biti ili X ∈ X ili X ∈
/ X.
Ako je med¯utim X ∈ X, onda po definiciji X vrijedi X ∈
/ X, ˇsto je kontradikcija.
Ako pak X ∈
/ X, onda je, opet po definiciji X ∈ X ˇsto je kontradikcija.
Ovo je Raselov paradoks.
Prema tome, skup svih skupova nije dobro definisan skup. Ipak se pojam
univerzalnog skupa koristi i to da se oznaˇci neki skup ˇciji su podskupovi posmatrani skupovi (a ne svi skupovi).
Neka je U univerzalni skup. Ako se simboli za iskaze p, q, r, . . . zamijenimo
simbolima za podskupove P, Q, R od U, ∧ zamijenimo sa ∩, ∨ zamijenimo sa
∪, ⇔ Zamijenimo sa =, ⊥ zamijenimo sa ∅ i, na kraju, ⊤ zamijenimo sa U i
na kraju ¬ zamijennimo sa C
10
GLAVA 2. SKUPOVI
Propozicija 2.6
P ∩P =P
P ∪P =P
zakoni idempotentnosti
P ∩Q=Q∩P
P ∪Q=Q∪P
zakoni komutativnosti
(P ∩ Q) ∩ R = P ∩ (Q ∩ R)
(P ∪ Q) ∪ R = P ∪ (Q ∪ R)
zakoni asocijativnosti
P ∩ (Q ∪ R) = (P ∩ Q) ∪ (P ∩ R)
P ∪ (Q ∩ R) = (P ∪ Q) ∩ (P ∪ R)
zakoni distributivnosti
P ∩ ∅ = ∅, P ∪ ∅ = P
P ∩ U = P, P ∪ U = U
P ∩ C(P ) = ∅, P ∪ C(P ) = U
P ∩ (P ∪ Q) = P
P ∪ (P ∩ Q) = P.
11
3
Relacije i funkcije
Elementi dva skupa mogu, na neki naˇcin, biti povezani jedni sa drugima.
Te veze dovode do pojma funkcije, jednog od fundamentalnih pojmova u matematici. Prethodno ´cemo definisati pojam relacije.
Skup {{a}, {a, b}} se naziva ured¯enim parom elemenata a i b i oznaˇcava
se sa (a, b). Element a se naziva prvom, a b drugom koordinatom ured¯enog para
(a, b). Dakle, ured¯eni par je dvoˇclani skup sa dodatnom osobinom
(a, b) = (c, d) ⇔ a = c, b = d.
Zaista, jednakost {{a}, {a, b}} = {{c}, {c, d}} vrijedi jedino u sluˇcaju da je
a = c i b = d.
Za date skupove A i B sa A × B oznaˇcavamo skup
A × B = {(a, b)|a ∈ A, b ∈ B},
i nazivamo ga Dekartovim ili direktnim proizvodom skupova A i B. Analogno se moˇze definisati Dekartov proizvod A1 × A2 × · · · × An n skupova.
Taj se skup sastoji od ured¯enih n-torki (a1 , a2 , . . . , an ), pri ˇcemu je ai ∈ Ai ,
i = 1, 2, . . . , n.
Neprazne podskupove direktnog proizvoda skupova A i B naziva´cemo relacijama. Ako je R ⊆ A × B, tada (a, b) ∈ R piˇsemo u obliku aRb i kaˇzemo
da je a u relaciji R sa b. Ako je A = B, onda se kaˇze da je relacija zadata na
skupu A.
Dvije vrste relacija su posebno bitne. To su relacija poretka i relacija ekvivalencije.
Ako je R neka relacija na nepraznom skupu A, onda se ona naziva:
1. refleksivnom, ako je aRa, za svako a ∈ A,
GLAVA 3. RELACIJE I FUNKCIJE
2. simetriˇ
cnom, ako iz aRb slijedi bRa,
3. antisimetriˇ
cnom, ako iz aRb i bRa slijedi a = b,
4. tranzitivnom, ako iz aRb i bRc slijedi aRc.
Relacija koja je refleksivna, antisimetriˇcna i tranzitivna se naziva relacijom
poretka. Za skup na kom je definisana neka relacija poretka se kaˇze da je
ured¯en (parcijalno ured¯en).
Ako je R relacija poretka na skupu A i ako za svako a, b ∈ A vrijedi aRb ili
bRa, onda se kaˇze da je skup A totalno ili linearno ured¯en relacijom R.
Primjer 3.1
1. Partitivni skup P(A) je ured¯en relacijom ⊆ . Ovo ured¯enje nije totalno
ured¯enje.
2. Skupovi prirodnih, cijelih, racionalnih i realnih brojeva su totalno ured¯eni
u odnosu na relaciju 6 . Zbog toga je praksa da se relacije poretka uopˇste
oznaˇcavaju sa 6 .
Ako je A ured¯en skup, tada za element a ∈ A kaˇzemo da je minimalni (ili
najmanji) element tog skupa ako ne postoji a′ ∈ A takav da je a′ 6 a, a′ ̸= a.
Totalno ured¯en skup u kome svaki neprazni podskup ima najmanji element
naziva se dobro ured¯enim skupom.
Skup prirodnih brojeva je primjer dobro ured¯enog skupa.
Neka je skup X ured¯en relacijom 6 . Podskup Y ⊆ X nazivamo lancem ako
je on totalno ured¯en. Ako postoji x in X takav da je y 6 x za svako y ∈ Y , onda
se x naziva gornjom granicom lanca Y. Za skup X kaˇzemo da je induktivno
ured¯en ako svaki lanac ima gornju granicu. U ured¯enom skupu X element x
nazivamo maksimalnim (ili najve´cim) ako ne postoji element y ∈ X za koji je
x 6 y i x ̸= y.
Teorema 3.2 (Cornova lema)
Svaki induktivno ured¯en skup ima maksimalni element.
Moˇze se pokazati da je Cornova lema jedan od ekvivalentnih iskaza tzv.
aksiome izbora, koju ´cemo pomenuti kasnije. Napomenimo da se aksioma
izbora u algebri najviˇse koristi u ovoj formi.
Relacija koja je refleksivna, simetriˇcna i tranzitivna naziva se relacijom
ekvivalencije. Jedan od uobiˇcajenih simbola koji se koriste za oznaˇcavanje
relacija ekvivalencije je ∼ . Relacija jednakosti je svakako najvaˇzniji primjer
relacije ekvivalencije.
13
GLAVA 3. RELACIJE I FUNKCIJE
Ako je ∼ relacija ekvivalencije na A, onda se za svako a ∈ A podskup
C(a) = {b ∈ A|a ∼ b}
naziva klasom ekvivalencije elementa a. Sljede´ca teorema opisuje vezu izmed¯u
relacija ekvivalencije na nekom skupu i particija tog skupa.
Teorema 3.3 (Teorema o klasama ekvivalencije)
Neka je ∼ relacija ekvivalencije na skupu A. Skup klasa ekvivalencije ove relacije
ˇcini particiju skupa A. Obrnuto, ako je {Ai }i∈I neka particija skupa A, tada
na tom skupu postoji relacija ekvivalencije, za koju su skupovi Ai , i ∈ I, klase
ekvivalencije.
Dokaz
Dokaˇzimo prvo da je C(a) = C(b) ako i samo ako a ∼ b.
Zaista, neka je a ∼ b i x ∈ C(a). Zbog simetriˇcnosti relacije vrijedi b ∼ a,
a onda zbog tranzitivnosti vrijedi b ∼ x, tj. x ∈ C(b). Tako smo dokazali da
C(a) ⊆ C(b). Na isti se naˇcin dokazuje i obrnuta inkluzija. Obrnuto, ako je
C(a) = C(b) tada je a ∈ C(b), tj. a ∼ b.
Iz refleksivnosti relacije ∼ slijedi da za svako a ∈ A vrijedi a ∈ C(a), ˇsto
pokazuje da nijedna klasa nije prazna i da se svaki element skupa A nalazi
u nekoj klasi. Da bi klase ˇcinile particiju skupa A treba joˇs dokazati da su
dvije razliˇcite klase med¯usobno disjunktne. Zaista, ako su klase elemenata a i
b med¯usobno razliˇcite, to po ve´c dokazanom znaˇci da a ̸∼ b. Ako bi postojao
c ∈ C(a) ∩ C(b), onda bi bilo a ∼ c, b ∼ c, pa bi, zbog tranzitivnosti, vrijedilo
a ∼ b, a to nije taˇcno. Zakljuˇcujemo da su klase C(a) i C(b) disjunktne.
Vrijedi i obrat prethodne teoreme.
Teorema 3.4
Ako je {Ai }i∈I neka particija skupa A, tada je na A mogu´ce definisati relaciju
ekvivalencije ˇcije su klase ekvivalencije skupovi {Ai : i ∈ I}.
Dokaz
Ako se relacija ∼, definiˇse sa a ∼ b ako i samo ako a i b pripadaju istom bloku
Ai , za neko i ∈ I, lako se provjerava da ona zadovoljava uslove teoreme.
Definicija 3.5
Relaciju f ⊆ A × B u kojoj nema ured¯enih parova ˇcije su prve koordinate
14
GLAVA 3. RELACIJE I FUNKCIJE
jednake, a druge razliˇcite nazivamo funkcijom ili preslikavanjem iz skupa A
u skup B, i oznaˇcava sa f : A → B. Ako (a, b) ∈ f onda piˇsemo b = f (a) i a
nazivamo originalom, a b slikom.
Zahtjev iz definicije funkcije znaˇci da svaki original ima jedinstvenu sliku.
Skup
D(f ) = {x ∈ A : (∃y ∈ B) y = f (x)}
nazivamo domenom ili definicionim podruˇcjem funkcije f . Kada budemo pisali
f : A → B podrazumijeva´cemo da je D(f ) = A.
Slikom funkcije f naziva se skup
f (A) = {y ∈ B : ∃x ∈ A takav da je y = f (x)}.
Prethodna definicija precizira pojam funkcije pod kojom se (,,intuitivno”)
podrazumijeva pridruˇzivanje jedinstvenih elemenata slike elementima domena.
Za funkcije f i g kaˇzemo da su jednake ako je D(f ) = D(g) i f (a) = g(a),
za svako a ∈ D(f ).
U algebri se ˇcesto raˇcuna sa klasama ekvivalencije. Taj se raˇcun izvodi
pomo´cu ,,predstavnika” klasa. Pod skupom predstavnika neke relacije ekvivalencije, podrazumijeva se skup koji se sastoji od taˇcno jednog elementa iz
svake klase. Pri tome ti elementi mogu iz klase biti nasumice izabrani.
Postavlja se pitanje: Da li je mogu´ce formirati skup predstavnika koji bi se
sastojao od po jednog elementa iz svake klase ekvivalencije? To je mogu´ce, ali
samo na osnovu aksiome izbora. Napomenuli smo da je Cornova lema jedna od
mogu´cih formulacija te aksiome.
Prije toga ´cemo dati razjaˇsnjenje joˇs jednog pojma sa kojim se ˇcesto susre´cemo. Naime, ˇcesto ´cemo u matematiˇckim knjigama proˇcitati reˇcenicu: Neka
je data familija (ai )i∈I . Ovo znaˇci da je zadata neka funkcija f : I → A, takva
da je f (i) = ai ∈ A, za svako i ∈ I. Frazom ,,neka je data familija” naglaˇsavamo
da nas ne zanima sama ta funkcija, nego samo njena slika. Pojam unije i presjeka se moˇze proˇsiriti na proizvoljne familije skupova. Neka je (Ai )i∈I neka
familija skupova definiˇsemo
∪
Ai = {a : ∃i ∈ I, za koji je a ∈ Ai },
i∈I
∩
Ai = {a : ∀i ∈ I, vrijedi a ∈ Ai }.
i∈I
De Morganove formule, u ovom sluˇcaju, imaju oblik:
(
)
(
)
∪
∩
∩
∪
C
Ai =
C(Ai ), C
Ai =
C(Ai ).
i∈I
i∈I
i∈I
i∈I
Navedimo sada standardnu formulaciju aksiome izbora:
Neka je data familija (Ai )i∈I nepraznih skupova. Tada postoji funkcija izbora,
tj. postoji funkcija f : I → ∪i∈I Ai , za koju je f (i) ∈ Ai , za svako i ∈ I.
15
GLAVA 3. RELACIJE I FUNKCIJE
Drugim rijeˇcima, postoji skup koji se sastoji od taˇcno po jednog elementa
iz svakog skupa Ai .
Aksioma izbora je najkonraveznija aksioma teorije skupova. Razlog za to je
njena egzistencijalna priroda. Naime, u samoj formulaciji ove aksiome vidi se
da je ona samo ,,pretpostavljad¯a takva funkcija postoji, a ne kako se ona moˇze
eksplicitno konstruisati. U ogromnom broju sluˇcajeva se takva funkcija moˇze
eksplicitno konstruisati, ali ima sluˇcajeva kada ne moˇze.
Za ilustraciju te ˇcinjenice slikovit je sljede´ci primjer poljskog matematiˇcara
Sjerpinskog: Zamislimo prodavnicu cipela i ´carapa u kojoj ima beskonaˇcno
mnogo pari i jednog i drugog (kao npr. Planet obu´ca). Funkcija izbora bi bila
neka funkcija koja bi propisivala izbor taˇcno jednog elementa od svakog para i
cipela i ´carapa. Za cipele je jednostavno konstruisati takvu funkciju. Na primjer,
to bi bila funkcija koja iz svake kutije cipela uzima npr. lijevu cipelu. To je,
dakle, mogu´ce, jer se elementi skupova sa cipelama razlikuju.
Sa ´carapama je situacija drukˇcija. I tu se radi o parovima elemenata, ali
nemamo nikakvog dodatnog kriterijuma pomo´cu koga bismo razlikovali elemente tih skupova, jer se lijeva i desna ´carapa ne razlikuju. Ne moˇzemo, dakle,
unaprijed propisati koju bismo od dvije ´carape iz jednog para izabrali. Po aksiomi izbora takva funkcija postoji, ali ne moˇzemo konstruisati nikakvu takvu
funkciju eksplicitno.
Funkciju f : A → B nazivamo konstantnom funkcijom ako je f (a1 ) =
f (a2 ), za sve a1 , a2 ∈ A.
Funkciju idA : A → A nazivamo identitetom na A ako je idA (a) = a, za
svaki a ∈ A. Umjesto idA moˇze se pisati samo id, ukoliko to ne moˇze dovesti
do zabune.
Ako f : X → Y i Y1 ⊆ f (X), tada se skup f −1 (Y1 ) = {x ∈ X : f (x) ∈ Y1 }
naziva praslikom ili originalom skupa Y1 . Ako je Y1 = {y1 }, tada se f −1 (Y1 )
oznaˇcava sa f −1 (y1 ).
Teorema 3.6
Ako je f : X → Y funkcija onda familija {f −1 (y) : y ∈ f (X), } ˇcini particiju
skupa X.
Dokaz
Ako je x ∈ X proizvoljan i y = f (x), onda je x ∈ f −1 (y), pa je unija pomenute
familije jednaka ˇcitavom X. Ako bi bilo x ∈ f −1 (y1 ) ∩ f −1 (y2 ), vrijedilo bi
f (x) = y1 , f (x) = y2 , pa bi bilo y1 = y2 , tj. f −1 (y1 ) = f −1 (y2 ), ˇsto znaˇci da su
razliˇciti skupovi iz familije med¯usobno disjunktni.
Neka su f : A → B i g : B → C funkcije, tada se kompozicija g◦f : A → C
tih funkcija definiˇse sa (g ◦ f )(a) = g(f (a)), a ∈ A.
16
GLAVA 3. RELACIJE I FUNKCIJE
Teorema 3.7
1. Ako su f : A → B, g : B → C, h : C → D funkcije, tada je
h ◦ (g ◦ f ) = (h ◦ g) ◦ f.
2. Ako je f : A → B funkcija, tada vrijedi
idA ◦ f = f ◦ idB = f.
Dokaz
1. Za svako a ∈ A vrijedi:
[h ◦ (g ◦ f )](a) = h[(g ◦ f )(a)] = h(g(f (a)),
[(h ◦ g) ◦ f ](a) = [h ◦ g](f (a)) = h(g(f (a))).
2. Tvrdnja je oˇcigledna.
Za funkciju f : A → B kaˇzemo da je injektivna ili ,,1 − 1”ako su slike
razliˇcitih elemenata razliˇcite, tj. ako
f (a1 ) = f (a2 ) ⇒ a1 = a2 .
Re´ci ´cemo da je f sirjektivna ili ,,na” ako je f (A) = B. Funkciju f
nazivamo bijektivnom ako je f i injektivna, i sirjektivna funkcija. Sljede´ca
teorema daje jednu od karakterizacija injektivnih i sirjektivnih funkcija.
Teorema 3.8
1. Funkcija f : X → Y je injektivna funkcija ako i samo ako postoji funkcija
g1 : f (X) → X za koju je g1 ◦ f = idX .
2. Funkcija f : X → Y je sirjektivna funkcija ako i samo ako postoji funkcija
g2 : Y → X za koju je f ◦ g2 = idY .
3. Funkcija f : X → Y je bijektivna ako i samo ako postoji funkcija g : Y → X
za koju je g ◦ f = idX , f ◦ g = idY .
Dokaz
1. Prvo ´cemo dokazati da je uslov dovoljan. Pretpostavimo da postoji funkcija
g1 sa navedenom osobinom. Ako su x1 , x2 ∈ X takvi da vrijedi f (x1 ) = f (x2 ),
tada je g1 (f (x1 )) = g1 (f (x2 )), ˇsto znaˇci da je (g1 ◦ f )(x1 ) = (g1 ◦ f )(x2 ), pa
kako je g1 ◦ f = idX slijedi x1 = x2 .
17
GLAVA 3. RELACIJE I FUNKCIJE
Dokaˇzimo sada da je uslov potreban. Pretpostavimo da je funkcija f injektivna. Uzmimo proizvoljno y ∈ f (X) i definiˇsimo g1 (y) = f −1 (y). Kako je
zbog injektivnosti funkcije f skup f −1 (y) jednoˇclan, to je funkcija g1 korektno
definisana. Oˇcigledno vrijedi g1 (y) = x ako i samo ako f (x) = y, tj. g1 ◦f = idX .
2. Neka postoji funkcija g2 sa navedenom osobinom. Tada, za svako y ∈ Y
vrijedi y = f (g2 (y)), pa je f sirjekcija. Obrnuto, neka je f sirjekcija i y ∈ Y.
U ovom sluˇcaju ne moˇzemo funkciju g2 : Y → X definisati sa g2 (y) = f −1 (y),
jer skup f −1 (y) nije jednoˇclan. U ovom sluˇcaju ´cemo iz svakog skupa f −1 (y)
izabrati taˇcno jednog predstavnika i definisati g2 : Y → X tako da je g2 (y) = x,
pri ˇcemu je x predstavnik skupa f −1 (y). Funkcija g2 oˇcigledno zadovoljava
traˇzeni uslov.
3. Na osnovu 1. i 2. tvrdnja da je f bijekcija je ekvivalentna postojanju funkcija
g1 : Y → X i g2 : Y → X takvih da je g1 ◦ f = idX , f ◦ g2 = idY . Neka je y ∈ Y
proizvoljan, a x ∈ X takav da je f (x) = y. Tada je g1 (y) = (g1 ◦ f )(x) = x. Isto
tako, y = f (g2 (y)) = f (x), pa kako je f injekcija, vrijedi g2 (y) = x = g1 (y).
Zakljuˇcujemo da je g1 = g2 .
U razmatranjima prethodne teoreme smo doˇsli do vaˇznog pojma inverzne
funkcije. Naime, ako je f : A → B injektivna funkcija, tada je f : A → f (A)
bijekcija. I funkcija g : f (A) → A definisana sa g(c) = d, ako je f (c) = d, je
takod¯e bijekcija.
Ako je f injekcija, tada se funkcija g naziva inverznom funkcijom od f
i oznaˇcava se sa f −1 .
Bijektivne funkcije f : X → X se nazivaju permutacijama skupa X. Skup
svih permutacija skupa X oznaˇcava´cemo sa SX .
Iz prethodnih razmatranja lako se dobija sljede´ca propozicija.
Propozicija 3.9
Ako je X neprazan skup tada vrijedi:
1. f, g ∈ SX ⇒ f ◦ g ∈ SX ,
2. f, g, h ∈ SX ⇒ (f ◦ g) ◦ h = f ◦ (g ◦ h),
3. f ∈ SX ⇒ id ◦ f = f ◦ id = f,
4. za svako f ∈ SX postoji g ∈ SX takav da je f ◦ g = g ◦ f = id.
Vidimo da su permutacije primjer grupe, veoma vaˇzne algebarske strukture.
Ako za skupove A i B postoji bijekcija f : A → B, onda kaˇzemo da je
skup A ekvipotentan skupu B, i piˇsemo A ≡ B. Naˇsa rijeˇc za ekvipotentnost
mogla bi biti ,,jednakobrojnost”.
18
GLAVA 3. RELACIJE I FUNKCIJE
Teorema 3.10
Ekvipotentnost skupova je relacija ekvivalencije.
Dokaz
Ovdje se pretpostavlja da su svi posmatrani skupovi podskupovi nekog univerzalnog skupa X. Za svaki skup A identiˇcno preslikavanje idA : A → A je
bijekcija, ˇsto znaˇci da je relacija ekvipotentnosti refleksivna. Ako je f : A → B
bijekcija, tada je i f −1 : B → A takod¯e bijekcija, pa je ekvipotentnost simetriˇcna relacija. Na kraju, ako su f : A → B, g : B → C bijekcije, tada
je g ◦ f : A → C takod¯e bijekcija, a to znaˇci da je relacija ekvipotentnosti i
tranzitivna.
Klasu ekvivalencije skupa A u odnosu na relaciju ekvipotentnosti nazivamo
kardinalnim brojem skupa A. Za neki skup kaˇzemo da je prebrojiv ako je
ekvipotentan skupu prirodnih brojeva.
Teorema 3.11
Skup racionalnih brojeva je prebrojiv.
Dokaz
Dokazati da je neki skup prebrojiv znaˇci da se elementi tog skupa mogu poredati
u niz oblika a1 , a2 , . . . . Pokaˇzimo kako se u takav niz mogu poredati racionalni
brojevi. Prvo ´cemo pozitivne racionalne brojeve smjestiti na jednu pravougaonu
ˇsemu.
1 2 3 ··· n ···
1
2
3
· · · n2 · · ·
2
2
2
1
2
3
· · · n3 · · ·
3
3
3
.. .. ..
.
.
. . . · · · .. · · ·
1
n
..
.
2
n
..
.
3
n
···
..
.
n
n
···
..
.
Jasno je da se svaki pozitivan racionalan broj pojavljuje bar jednom u ovoj
ˇsemi. Sada poˇcnimo redati ove brojeve u niz poˇcev od gornjeg lijevog ugla.
Dakle, prvi element u nizu je 1. Sljede´ci ˇclanovi se uzimaju sa dijagonale ispod
jedinice od desnog do lijevog kraja, a da se pri tome izostavljaju ve´c uzeti
elementi. Prema tome, sljede´ci elementi u nizu su 2 i 12 , a zatim prelazimo na
sljede´cu dijagonalu. Sljede´ci elementi niza su 31 , pa izostavljamo 22 , pa 3, itd.
19
GLAVA 3. RELACIJE I FUNKCIJE
Na taj naˇcin ´cemo sve pozitivne racionalne brojeve smjestiti u niz
1 1
3 2 1
1, 2, , , 3, 4, , , , . . . ,
2 3
2 3 4
ˇsto znaˇci da je skup pozitivnih, pa i skup svih, racionalnih brojeva prebrojiv.
Sve racionalne brojeve moˇzemo poredati u niz tako da iza svakog broja u prethodnom nizu stavimo njemu suprotan broj, i joˇs stavimo nulu bilo gdje.
Skupove koji su ekvipotentni skupu prirodnih brojeva nazivamo prebrojivim.
Ostale beskonaˇcne skupove nazivamo
neprebrojivim
√
Dokazali smo u uvodu da 2 nije racionalan broj. On pripada skupu iracionalnih brojeva, koji zajedno sa skupom racionalnih brojeva ˇcini skup realnih
brojeva R. Jedino ´cemo konstatovati da je (R, +, ·) polje, te da Q ⊂ R. Kardinalni broj skupa realnih brojeva se naziva kontinuumom i oznaˇcava se sa
c.
Dokaza´cemo da je skup realnih brojeva iz intervala (0, 1) neprebrojiv. Racionalnim, realnim i kompleksnim brojevima biˇze posve´cena posljednja predavanja. Ovdje se pretpostavlja da studenti ve´c imaju osnovna znanja o tim
brojevima. Pretpostavljamo npr. da studenti znaju da se realni brojevi mogu
predstavljati tzv. decimalnim brojevima.
Teorema 3.12 (Kantorov dijagonalni postupak)
Skup realnih brojeva iz intervala (0, 1) je neprebrojiv.
Dokaz
Pretpostavimo suprotno, da sve realne brojeve moˇzemo poredati u jednu kolonu. Prije toga svaki realan broj napiˇsemo u obliku decimalnog broja. Ta
kolona izgleda ovako:
0.a11 a12 a13 . . . a1n . . .
0.a21 a22 a23 . . . a2n . . .
..
.
.
0.an1 an2 an3 . . . ann . . .
..
.
Pri tome su aij cifre. Drugim rijeˇcima, za svako ∀i, j, aij ∈ {0, 1, . . . , 9}.
Mi, dakle, pretpostavljamo da su na ovoj tabeli ispisani svi realni brojevi
iz intervala (0, 1). To je, med¯utim nemogu´ce, jer se npr. broj 0.b1 b2 . . . bn . . . ,
za koje je bi ̸= aii , (i = 1, 2, . . .) ne nalazi na ovoj tabeli. Naime, on nije prvi
broj na tabeli, jer je b1 ̸= a11 . To nije ni drugi broj na tabeli jer je b2 ̸= a22 ,
itd.
20
GLAVA 3. RELACIJE I FUNKCIJE
Razmatranja u ovom poglavlju zapoˇce´cemo binomnim koeficijentima, jednoj
od najzanimljivijih klasa brojeva. Oni su, kao ˇsto im i samo ime kazuje, u vezi
sa stepenima binoma.
U ˇcitavom tekstu ´cemo se susretati sa sumama i proizvodima. Spomenimo
sada sljede´ce dvije konvencije:
n
∑
ai = a0 + a1 + · · · + an ,
i=0
n
∏
ai = a0 · a1 · · · an .
i=0
ˇ
Posmatrajmo izraz (1+x)n koji predstavlja n-ti stepen binoma 1+x. Zelimo
da ovaj izraz ,,razvijemo”po stepenima od x. Oˇcigledno da se oslobad¯anjem od
zagrada u izrazu na desnoj strani jednakosti (1+x)n = (1+x)·(1+x) · · · (1+x)
k
dobija suma monoma oblika xk , 0 6 k 6 n. Pri tome se monom
(n) x moˇ
( z)e
pojavljivati viˇse puta. Oznaˇcimo broj njegovih pojavljivanja sa k . Broj nk
se naziva binomni koeficijent.
Dakle, vrijedi sljede´ca jednakost
n ( )
∑
n k
(1 + x)n =
x .
(3.1)
k
k=0
Specijalno, za x = 1 se dobija formula za sumu svih binomnih koeficijenata:
n ( )
∑
n
= 2n .
(3.2)
k
k=0
Za binomne koeficijente vrijedi
( ) ( )
n
n
=
= 1,
0
n
jer se stepeni x0 = 1 i xn pojavljuju samo po jedanput u sumi na desnoj strani
(3.1).
Iz oˇcigledne jednakosti (1 + x)n+1 = (1 + x)(1 + x)n dobijamo
n+1
∑(
k=0
)
n ( )
n ( )
n ( )
∑
n+1 k
n k ∑ n k ∑ n k+1
x = (1 + x)
x =
x +
x
.
k
k
k
k
k=0
k=0
Izjednaˇcavanjem koeficijenata uz stepen xk dobijamo
(
) ( ) (
)
n+1
n
n
=
+
, (k ≥ 1).
k
k
k−1
k=0
(3.3)
Prethodna formula predstavlja rekurziju za binomne koeficijente. Iz nje se jednostavno izvodi sljede´ca, eksplicitna, formula za binomne koeficijente.
21
GLAVA 3. RELACIJE I FUNKCIJE
Propozicija 3.13
Za svaki nenegativan cio broj n i svaki cio broj k, 0 ≤ k ≤ n, vrijedi
( )
n
n(n − 1) · · · (n − k + 1)
=
,
k
k!
pri ˇcemu je 0! = 1, k! = 1 · 2 · · · k.
Takod¯e je
( )
n
n!
.
=
k!(n − k)!
k
(3.4)
Dokaz
(1)
Dokaz izvodimo
(1) indukcijom po n. Za n = 1, k = 0 formula vrijedi, jer je 0 = 1.
Isto tako je 1 = 1, pa formula vrijedi i za n = 1. Pretpostavimo da je formula
taˇcna za n. Na osnovu rekurzije i induktivne pretpostavke imamo
(
) ( ) (
)
n+1
n
n
=
+
k
k
k−1
n(n − 1) · · · (n − k + 1) n(n − 1) · · · (n − k + 2)
=
+
k!
(k − 1)!
n(n − 1) · · · (n − k + 1) + k · n(n − 1) · · · (n − k + 2)
=
k!
n(n − 1) · · · (n − k + 2)(n − k + 1 + k)
=
k!
(n + 1)n(n − 1) · · · (n + 1 − k + 1)
=
,
k!
pa je formula taˇcna i za n + 1.
Druga formula iz propozicije je jednostavna posljedica prve formule.
Iz (3.4) lako se dobija sljede´ca osobina simetriˇcnosti binomnih koeficijenata:
( ) (
)
n
n
=
.
k
n−k
Binomni koeficijenti imaju veoma vaˇzno kombinatorno znaˇcenje, koje dokazujemo u sljede´coj tvrdnji.
Propozicija 3.14
Broj
nata.
(n)
k
jednak je broju podskupova sa k elemenata nekog skupa sa n eleme-
22
GLAVA 3. RELACIJE I FUNKCIJE
Dokaz
Razvojem binoma (1 + x)n dobijemo neku sumu monoma. Svaki taj monom
jednak
je prizvodu n elemenata, pri ˇcemu je svaki taj element ili 1 ili x. Broj
(n)
jednak
je broju onih monoma kod kojih se 1 pojavljuje k-puta, a x prek
ostalih n − k puta. Skup ovakvih nizova je u bijektivnoj korespondenciji sa
skupom podskupova sa k elemenata, skupa {1, 2, . . . , n}. Ta bijekcija se postiˇze na sljede´ci naˇcin. Uzmimo proizvoljan podskup A skupa {1, 2, . . . n} sa k
elemenata i formirajmo niz f (A) duˇzine n, uzimaju´ci da i-ti ˇclan ima vrijednost
1 ako i ∈ A, a vrijednost x u ostalim sluˇcajevima. Jasno je da se na ovaj naˇcin
svakom podskupu sa k elemenata pridruˇzuje taˇcno jedan niz i obrnuto, a to
znaˇci da je f bijekcija.
23
4
Prirodni brojevi
Nije mogu´ce zapoˇceti bilo kakvu priˇcu o matematici bez brojeva. Jedno
od prvih pitanja koje postavljamo sebi u djetinjstvu je: Koliko ima neˇcega?
To nas vodi problemima prebrojavanja, ˇcije je savladavanje jedan od prvih
intelektualnih napora sa kojima se u ˇzivotu susre´cemo. A za brojanje nam
sluˇze prirodni brojevi, pa je logiˇcno da poˇcnemo od njih. To je u saglasnosti
sa izjavom poznatog njemaˇckog matematiˇcara Kronekera: ,,Bog nam je dao
prirodne brojeve, a sve ostalo u matematici su stvorili ljudi.”
Svima su nam poznate aritmetiˇcke operacije sa prirodnim brojevima: sabiranje, oduzimanje, mnoˇzenje i dijeljenje, te ˇcinjenica da se prirodni brojevi mogu
porediti. Postavlja se pitanje: Iz kojih se njihovih osnovnih osobina mogu izvesti sve ostale? Te osobine ´ce nam posluˇziti kao aksiome aritmetike. Najve´ce
zasluge za pronalaˇzenje tih aksioma imaju matematiˇcari Peano i Dedekind, pa
se taj sistem aksioma naziva Peano-Dedekindov sistem aksioma. Pored aksima Euklidove geometrije, to je svakako najpoznatiji i najvaˇzniji aksiomatski
sistem u matematici.
Neka je X neprazan skup. Pretpostavimo da je na njemu zadata neka funkcija s : X → X. Umjesto s(x) pisa´cemo sx i naziva´cemo sx sljedbenikom od
x. Re´ci ´cemo da je na taj naˇcin na skupu X definisan pojam sljedbenika.
Definicija 4.1 (Peano-Dedekindov sistem aksioma)
Neprazan skup N, u kome je definisan pojam sljedbenika, nazivamo skupom
prirodnih brojeva ako su zadovoljene sljede´ce aksiome:
1. 0 ∈ N.
GLAVA 4. PRIRODNI BROJEVI
2. 0 nije sljedbenik ni jednog elementa iz N.
3. Za svako m, n ∈ N, iz sm = sn slijedi m = n.
4. (Aksioma indukcije) Pretpostavimo da podskup M od N ima sljede´ce
osobine:
(i)
0 ∈ M.
(ii) Ako n ∈ M, tada sn ∈ M.
Tada je M = N.
Primjedba 4.2
Mi smo se iz praktiˇcnih razloga odluˇcili da prirodni brojevi poˇcinju nulom,
umjesto jedinicom, kako je to bio obiˇcaj u dugoj istoriji prirodnih brojeva.
Postoji li{ skup koji zadovoljava uslove
prethodne definicije? Pokaza´cemo da
}
je X = ∅, {∅}, {{∅}}, {{{∅}}}, . . . jedan takav skup. Ovaj skup postoji, na
osnovu aksiome beskonaˇcnosti. Definiˇsu´ci sx = {x} u skupu X imamo definisan
pojam sljedbenika. Ako stavimo ∅ = 0, vidimo da X zadovoljava aksiome 1. i
2. Kako iz {x} = {y} slijedi x = y, zakljuˇcujemo da X zadovoljava i aksiomu
3. Ne znamo, med¯utim, da li X zadovoljava aksiomu indukcije.
Neka je (Xi )i∈I familija svih podskupova od X koji zadovoljavaju uslove
(i) i (ii). Ta familija nije prazna, jer sadrˇzi bar skup X. Neka je
∩
N=
Xi .
i∈I
Dokaˇzimo da skup N zadovoljava Peanove aksiome. Ako je n ∈ N, onda je
n ∈ Xi , (i ∈ I). Zbog uslova (ii) je sn ∈ Xi , (i ∈ I), pa je sn ∈ N. Prema
tome, u N je definisan pojam sljedbenika. Prema uslovu (i) vrijedi 0 ∈ Xi , za
svako i ∈ I, pa je 0 ∈ N, ˇsto znaˇci da N zadovoljava aksiomu 1. Aksiome 2. i
3. su oˇcigledno zadovoljene. Ako M ⊆ N zadovoljava uslove (i) i (ii), tada je
M = Xi , za neki i ∈ I, tako da mora biti M = N, ˇsto znaˇci da N zadovoljava
i aksiomu indukcije.
U daljem ´cemo skup prirodnih brojeva oznaˇcavati sa N = {0, 1, 2, . . . , n, . . .}.
Pri tome je 1 = s0, 2 = s1, . . . .
Kod svakog aksiomatskog sistema moraju se dati odgovori na sljede´ca tri
pitanja.
1. Da li je aksiomatski sistem konzistentan? To je pitanje da li se u aksiomatskom sistemu moˇze pojaviti kontradikcija ili paradoks, a to je tvrdnja
koja je i taˇcna, i netaˇcna. U tom je smislu najpoznatiji Raselov paradoks,
koji se javlja u Kantorovoj aksiomatskoj teoriji skupova. Konzistentnost nekog aksiomatskih sistema se moˇze provjeriti samo uslovno u smislu: jedan
25
GLAVA 4. PRIRODNI BROJEVI
aksiomatski sistem je konzistentan, ako je drugi aksiomatski sistem konzistentan. To znaˇci da se ni za jedan sistem, pa i ovaj koji mi posmatramo,
ne moˇze dokazati konzistentnost, bez pored¯enja sa drugim sistemima. Kao
dokaz neprotivrjeˇcnosti aksioma aritmetike je njihova vjekovna upotreba i
usaglaˇsenost sa realnim odnosima u svijetu. Zapravo, sistem aksioma aritmetike je osnovni i konzistentnost ostalih aksiomatskih sistema se ispituje
pored¯enjem s njim.
2. Da li je aksiomatski sistem potpun? Sistem je potpun ako se za svaku
teoremu, u okviru tog sistema, moˇze dokazati da je ili taˇcna ili netaˇcna.
Dugo se mislilo da se u matematici moˇze stvoriti potpun sistem aksioma. To
je mislio i ˇcuveni matematiˇcar Hilbert. Med¯utim, 1931. godine Kurt Gedel
je dokazao da nijedan konzistentan sistem aksioma ne moˇze biti potpun.
Ubrzo poslije tog rezultata se ispostavilo da je hipoteza kontinuuma baˇs
takva teorema, koja se ne moze ni dokazati, ni opovrgnuti.
3. Je li ponud¯eni sistem aksioma nezavisan? Ovo je pitanje da li je neka od
aksioma posljedica ostalih aksioma ili ne. Jednostavno se moˇze dokazati da
je sistem aksioma aritmetike nezavisan. Mi ´cemo dokazati samo nezavisnost
aksiome indukcije.
Propozicija 4.3
Aksioma indukcije se ne moˇze izvesti iz ostalih aksioma aritmetike.
Dokaz
Posmatrajmo skup X koji se sastoji od svih prirodnih brojeva i racionalnih
brojeva oblika z+ 21 , pri ˇcemu je z bilo koji cio broj. Sljedbenik svakog prirodnog
broja je definisan u aksiomama. Ako stavimo s(z + 21 ) = z + 32 , lako vidimo
da X zadovoljava sve aksiome osim aksiome indukcije. Sa druge strane N ⊂ X
zadovoljava i aksiomu indukcije, a oˇcigledno je X ̸= N. Dakle, X zadovoljava
sve aksiome aritmetike, osim aksiome indukcije.
Sada ´cemo definisati operacije sabiranja i mnoˇzenja u skupu prirodnih brojeva.
Definicija 4.4
Sabiranje u N definiˇsemo sa
1. m + 0 = m, m ∈ N,
2. m + sn = s(m + n), m, n ∈ N, n ̸= 0.
26
GLAVA 4. PRIRODNI BROJEVI
Ovo je primjer rekurzivne definicije.
Teorema 4.5
Svaka dva prirodna broja m i n imaju jedinstven zbir m + n, tako da su zadovoljeni uslovi definicije 4.4.
Dokaz
Ovdje se, dakle, definiˇse operacija sabiranja. Ono ˇsto moramo pokazati je da
postoji jedinstvena funkcija F : N × N → N koja zadovoljava uslove: F (m, 0) =
m, F (m, sn) = sF (m, n), za sve m, n ∈ N.
Neka je M ⊆ N definisan na sljede´ci naˇcin: m ∈ M, ako postoji funkcija
fm : N → N, za koju vrijedi fm (0) = m, fm (sn) = sfm (n).
Dokaˇzimo da je 0 ∈ M. Definiˇsimo f0 da bude f0 (n) = n, (n ∈ N). Jasno je
f0 (0) = 0, f0 (sn) = sn = sf0 (n), (n ∈ N), ˇsto znaˇci da 0 ∈ M.
Pretpostavimo da m ∈ M, te da je fm : N → N, funkcija koja zadovoljava
uslove fm (0) = m, fm (sn) = sfm (n) (n ∈ N). Definiˇsimo fsm na sljede´ci naˇcin
fsm (n) = sfm (n), (n ∈ N).
Tada je fsm (0) = sfm (0) = sm, fsm (sn) = sfm (sn) = ssfm (n) =
sfsm (n) (n ∈ N), ˇsto znaˇci da je sm ∈ M. Aksioma indukcije povalaˇci M = N.
Prema tome, za svako m, n ∈ N postoji funkcija fm : N → N, za koju je
fm (0) = m, fm (sn) = sfm (n). Definiˇsimo F (m, n) = fm (n), (m, n ∈ N). Vrijedi F (m, 0) = fm (0) = m, F (m, sn) = fm (sn) = sfm (n) = sF (m, n), (m, n ∈
N).
Sada ´cemo definisati relaciju poretka u skupu prirodnih brojeva.
Definicija 4.6
Za prirodam broj m kaˇzemo da je manji od n i piˇsemo m < n, ako postoji
prirodan broj k razliˇcit od 0, za koji je m + k = n. Za broj k kaˇzemo da je
razlika brojeva n i m i piˇsemo k = n − m. Oznaka m 6 n standardno znaˇci da
je m manji ili jednak n i ova se relacija naziva relacijom poretka.
Lako se dokazuje da je 6 relacija poretka, tj. da za proizvoljne prirodne brojeve
k, m, n vrijedi:
1. n 6 n,
2. ako m 6 n i n 6 m, tada m = n,
3. k 6 m i m 6 n povlaˇci k 6 n.
27
GLAVA 4. PRIRODNI BROJEVI
Kaˇzemo da je m < n ako je m ≤ n i m ̸= n.
Za relaciju ≤ u skupu prirodnih brojeva vrijedi sljece´ci vaˇzan zakon.
Teorema 4.7 (Zakon Trihotomije)
Za svaka dva prirodna broje m i n taˇcna je samo jedna od sljede´ce tri tvrdnje:
1. m < n.
2. m = n.
3. m > n.
Dokaz
1. Dokaˇzimo prvo da samo jedna od ove tri tvrdnje moˇze biti taˇcna.
Ako je m = n, onda ne moˇze biti m < n. Zaista, ako bi to vrijedilo onda
bi, po definiciji, postojao prirodan broj p koji nije nula i za koji vrijedi
m + p = m. Neka je S = {s ∈ N : s + p ̸= s}. Jasno je da je 0 ∈ S. Neka je
s ∈ S, tj. neka je s + p ̸= s. Ako bi bilo s + 1 + p = s + 1, tada bi brojevi s i
s + p imali istog sljedbenika, pa bi vrijedilo s + p = s, ˇsto nije taˇcno. Dakle,
s + 1 ∈ S. Na osnovu aksiome indukcije slijedi S = N, pa ne moˇze postojati
m sa osobinom m + p = p. Dakle, ako je m = n, onda druge dvije tvrdnje
ne mogu biti taˇcne. Ako je m < n, onda je m ̸= n, po definiciji. Ako bi
bilo m > n, onda bismo imali p i q sa osobinom m + p = n, n + q = m, pa
je m = n + q = (m + p) + q = m + (p + q), iz ˇcega slijedi p + q = 0, pa je
p = q = 0, pa je m = n.
2. Sada treba dokazati da za date m i n vrijedi neka od tri ponudjene
mogu´cnosti. Dokaz, naravno, ide indukcijom. Neka je m fiksiran i neka
je S skup svih prirodnih brojeva n za koje vrijedi jedna od tri ponud¯ene
mogu´cnosti.
Jasno je 0 ∈ S, jer je m = 0 ili 0 + m = m, tj. m > 0. Ako je n ∈ S imamo
tri mogu´cnosti:
a) n = m. Tada je n + 1 = m + 1, tj. n + 1 > m, pa n + 1 ∈ S.
b) n < m. Tada je n + 1 ≤ m, pa opet n + 1 ∈ S.
c) n > m. Tada je n + 1 > m, pa opet n + 1 ∈ S.
Prema aksiomi indukcije zakljuˇcujemo da je S = N, ˇcime je teorema dokazana.
28
GLAVA 4. PRIRODNI BROJEVI
Definicija 4.8
Neka je X proizvoljan neprazan skup i neka je x0 ∈ X fiksiran element. Kaˇzemo
da je funkcija f : N → X rekurzivno definisana ako:
1. f (0) = x0 .
2. Za svako n > 0, vrijednost f (n) jednoznaˇcno je odred¯ena vrijednostima
f (k), (k < n).
Fumkciju f : N → X nazivamo nizom u X. Ako je f (i) = xi , (i ∈ N), tada niz
piˇsemo u obliku:
x0 , x1 , . . . , xn , . . . .
Teorema 4.9 (Teorema rekurzije)
Neka je k prirodan broj. Neka je X skup i x0 , x1 , . . . , xk−1 ∈ X. Ako je data
funkcija F : X k → X, tada postoji i jedinstvena je funkcija f : N → X za koju
je f (i) = xi , i = 0, 1, . . . , k − 1, i f (n) = F (xn−k , xn−k+1 , . . . , xn−1 ), za n ≥ k.
Kao posljedicu ove teoreme navedimo definiciju mnoˇzenja prirodnih brojeva.
Definicija 4.10
Mnoˇzenje na N definiˇsemo sa
1. m · 0 = 0, m ∈ N,
2. m · sn = m · n + m, m, n ∈ N.
Propozicija 4.11
Za svaka dva prirodna broja m i n proizvod m · n je jedinstveno odred¯en prethodnom definicijom.
Dokaz
Uzmimo X = N. Neka je m ∈ N fiksiran i definiˇsimo fm : N → N rekurzivno
na sljedeˇci naˇcin: fm (0) = 0, fm (n + 1) = fm (n) + m. Na osnovu teoreme
rekurzije postoji jedna jedina funkcija koja zadovoljava te uslove. Proizvod
sada definiˇsemo sa m · n = fm (n), (m, n ∈ N).
Indukcijom se lako dokazuje da sabiranje i mnoˇzenje zadovoljavaju sljede´ce
osobine:
1. k + (m + n) = (k + m) + n, k · (m · n) = (k · m) · n,
29
GLAVA 4. PRIRODNI BROJEVI
2. m + n = n + m, m · n = n · m,
3. k · (m + n) = k · m + k · n,
4. ako je m 6 n, tada je m + k 6 n + k (saglasnost sabiranja sa relacijom
poretka),
5. ako je m 6 n, tada je m · k 6 n · k (saglasnost mnoˇ
zenja sa relacijom
poretka).
Zbir i suma se mogu uopˇstiti tako da se, za n > 1, definiˇsu
n
∑
ai = a1 + a2 + · · · + an ,
i=1
n
∏
ai = a1 · a2 · · · an .
i=1
∏n
Ako je specijalno a1 = a2 = . . . = an , onda i=1 ai oznaˇcavamo an . Izraz an
se naziva n-tim stepenom broja a. Na ovaj naˇcin je stepen definisan za n > 1.
Naknadno definiˇsemo a0 = 1, za svaki prirodan broj a ̸= 0. Neka su a, b, m, n
prirodni brojevi. Tada vrijedi:
1. am · an = am+n ,
2. (ab)m = am bm ,
3. (am )n = amn .
Dokaza´cemo sada da u skupu prirodnih brojeva vaˇzi tzv. princip minimuma.
Teorema 4.12
Svaki neprazan podskup M skupa prirodnih brojeva ima najmanji element.
Dokaz
Prije svega, 0 je najmanji prirodan broj, jer ako bi postojao broj p manji od 0
vrijedilo bi p + t = 0, za neki prirodan broj t. Sa druge strane, kako p ̸= 0 to je
p sljedbenik nekog prirodnog broja, tj. postoji q za koji je p = q + 1, pa vrijedi
q + t + 1 = 0, tako da bi 0 bio sljedbenik od q + t, ˇsto nije mogu´ce.
Pretpostavimo sada suprotno, da je M neprazan podskup od N koji nema
najmanjeg elementa. Neka je P skup prirodnih brojeva koji su manji od svakog
broja iz M. Tada je 0 ∈ P, jer bi inaˇce 0 bio najmanji element iz M. Neka je
n ∈ P. Tada za svako m ∈ M vrijedi n < m, tj. m = n + p, za neki p. Ako je
p > 1, tada je p = q + 1, za neki q, iz ˇcega slijedi m = n + 1 + q, tj. m > n + 1.
U sluˇcaju p = 1 imamo m = n + 1. Ovaj sluˇcaj otpada, jer bi tada n + 1 bio
najmanji element u M. Prema tome, n + 1 < m, za svaki m ∈ M, a to znaˇci
da je n + 1 ∈ P. Na osnovu aksiome indukcije slijedi P = N, ˇsto bi znaˇcilo da
je M prazan skup, a to nije taˇcno.
30
GLAVA 4. PRIRODNI BROJEVI
Do sada smo opisali samo osnovna svojstva prirodnih brojeva. To med¯utim
joˇs nije dovoljno za dobijanje raznih zanimljivih rezultata o tim brojevima.
Sljede´ci vaˇzan korak u tom pravcu je podjela skupova na konaˇcne i beskonaˇcne.
Definicija 4.13
Za skup X kaˇzemo da je konaˇcan i da ima n elemenata, i piˇsemo |X| = n,
ako je X ekvipotentan skupu {1, 2, . . . , n}. U protivnom kaˇzemo da je skup X
beskonaˇcan.
Prije svega, treba dokazati da je ova definicija korektna. To znaˇci da treba
dokazati da je broj n jednoznaˇcno odred¯en skupom X. Drugim rijeˇcima, ne
mogu skupovi {1, 2, . . . , n} i {1, 2, . . . , m}, gdje je m ̸= n, biti ekvipotentni.
Oznaˇcava´cemo skup {1, 2, . . . , n} sa [n].
Teorema 4.14
Ako je f : [n] → [n] injektivno preslikavanje, tada je f bijektivno.
Dokaz
Dokaz provodimo indukcijom po n. Za n = 1 teorema je oˇcigledno taˇcna.
Pretpostavimo da je tvrdnja taˇcna za n. Neka je f : [n + 1] → [n + 1] injektivno
preslikavanje. Razlikova´cemo tri sluˇcaja:
1. Ako n+1 ̸∈ f ([n+1]), tada imamo injektivno preslikavanje g : [n] → [n], pri
ˇcemu je g(i) = f (i), (i ∈ [n]). Preslikavanje g je sirjekcija, po induktivnoj
pretpostavci. Ako je f (n + 1) = k ∈ [n], postoji m ∈ [n] za koji je g(m) =
f (m) = k, pa bi vrijedilo f (n + 1) = f (m), (n + 1 ̸= m), ˇsto bi znaˇcilo da
f nije injekcija. Ovaj sluˇcaj, znaˇci, otpada.
2. Ako je n+1 ∈ f (n+1) i f (n+1) = n+1, tada je preslikavanje g, definisano
u prethodnom sluˇcaju, opet korektno definisano, pa je to sirjekcija, po
induktivnoj pretpostavci. Slijedi da je i f sirjekcija.
3. Neka je n + 1 ∈ f ([n + 1]) i f (m) = n + 1 za neko m ̸= n + 1. Neka je
f (n + 1) = k ∈ [n]. Posmatrajmo funkciju h : [n] → [n] datu sa:
h(m) = k, h(i) = f (i), (i ̸= m).
Preslikavanje je injektivno, pa je i sirjektivno, po induktivnoj pretpostavci.
Odatle slijedi da je f, takod¯e, sirjektivno.
31
GLAVA 4. PRIRODNI BROJEVI
Posljedica 4.15
1. Skupovi [n] i [m] su ekvipotentni ako i samo ako je m = n.
2. Skup je konaˇcan ako i samo ako nije ekvipotentan ni jednom svom pravom
podskupu.
Dokaz
1. Ako je npr. m < n, tada je [m] ⊂ [n]. Ako bi ova dva skupa bili ekvipotentni,
onda bi postojala bijekcija f : [n] → [m]. Sa druge strane, preslikavanje f
je injekcija skupa [n] u [n], pa bi morala biti i sirjekcija, tako da bi imali
f ([n]) = [m] = [n], ˇsto nije taˇcno.
2. Ako je skup X konaˇcan onda postoji bijekcija f : X → [n], za neki prirodan
broj n. Ako je Y ⊂ X, onda je f (Y ) ⊂ [n]. Ako bi X i Y bili ekvipotentni
postojala bi bijekcija g : X → Y. Preslikavanje f ◦ g ◦ f −1 : [n] → f (Y ) bi
bila bijekcija skupa [n] na pravi podskup f (Y ), ˇsto je nemogu´ce na osnovu
prethodne teoreme.
Pretpostavimo da je skup X beskonaˇcan. Uzmimo x1 ∈ X. Sigurno je
X ̸= {x1 }, jer bi inaˇce bilo |X| = 1. Uzmimo x2 ∈ X \ {x1 }. Sada je X ̸=
{x1 , x2 }, pa se postupak moˇze produˇziti. Na taj naˇcin moˇzemo odrediti
niz Y = {x1 , x2 , . . . , xn , . . .}, tako da je Y ⊆ X. Napomenimo da se za
konstrukciju ovog niza mora koristiti aksioma izbora.
Definiˇsimo sada preslikavanje f : X → X na sljede´ci naˇcin:
f (xi ) = xi+1 , (i = 1, 2, . . .), f (x) = x, (x ̸∈ Y ).
Preslikavanje f je injektivno, dok je f (X) = X \ {x1 }. Prema tome X je
ekvipotentan svom pravom podskupu.
Posljedica 4.16
1. Skup je beskonaˇcan ako i samo ako je ekvipotentan nekom svom pravom
podskupu.
2. Skup prirodnih brojeva je beskonaˇcan.
Dokaz
Preslikavanje n 7→ sn je bijekcija skupa N na skup N \ {0}.
32
GLAVA 4. PRIRODNI BROJEVI
Definicija 4.17
Skupovi koji su ekvipotentni skupu prirodnih brojeva nazivaju se prebrojivim
i njihov se kardinalni broj oznaˇcava sa ℵ0 .
33
5
Cijeli brojevi
Naˇs sljede´ci zadatak je formiranje skupa cijelih brojeva. Prije svega, skup
N ima neutralni element u odnosu na sabiranje, to je element 0. Pored nule,
ˇzelimo da u skupu cijelih brojeva svaki element a ima suprotni element −a u
odnosu na sabiranje. I joˇs zahtijevamo da u odnosu na mnoˇzenje i sabiranje
cijeli brojevi ˇcine komutativan prsten sa jediniˇcnim elementom. Prema tome,
prsten cijelih brojeva mora imati sljede´ce elemente.
{. . . , −n, . . . , −2, −1, 0, 1, 2, . . . , n, . . .}.
Oznaˇcimo ovaj skup sa Z. Postavlja se pitanje: Da li je mogu´ce proˇsiriti sabiranje i mnoˇzenje sa skupa priridnih brojeva na skup Z, tako da dobijemo traˇzenu
strukturu?
Neka su m, n proizvoljni prirodni brojevi. Sabiranje u Z definiˇsemo sa:
1. zbir m + n je ve´c definisan u N,
2. m + 0 = 0 + m = m,
3. m + (−m) = (−m) + m = 0,
4. ako je m < n, tada (−m) + n = n + (−m) = n − m,
5. ako je m > n, tada (−m) + n = n + (−m) = −(m − n),
6. (−m) + (−n) = −(m + n).
Mnoˇzenje u Z definiˇsemo sa:
7. proizvod m · n je ve´c definisan u N,
8. (−m) · n = n · (−m) = −(m · n),
GLAVA 5. CIJELI BROJEVI
9. (−m) · (−n) = (−n) · (−m) = m · n.
Sada se lako moˇze dokazati sljede´ca teorema.
Teorema 5.1
(Z, +, ·) je komutativan prsten sa jediniˇcnim elementom 1.
Relacija poretka se jednostavno proˇsiruje na Z ako za m, n ∈ N definiˇsemo:
−n < 0 < n,
−m < n,
−m < −n ako i samo ako m > n.
Ovako definisana relacija poretka zadovoljava uslove iz sljede´ce teoreme.
Teorema 5.2
Ako su a, b, c cijeli brojevi tada vrijedi:
1. a 6 a,
2. ako a 6 b i b 6 a, tada a = b,
3. a 6 b i b 6 c povlaˇci a 6 c,
4. ako je a 6 b, tada je a + c 6 b + c,
5. ako je a 6 b i c > 0, tada je a · c 6 b · c.
Apsolutna vrijednost |a| cijelog broja a se definiˇse na sljede´ci naˇcin:
|a| = a, ako je a > 0;
|a| = −a, ako je a < 0.
Propozicija 5.3
Neka su a i b cijeli brojevi. Vrijedi:
1. |a| = max{a, −a},
2. |ab| = |a||b|,
3. |a + b| 6 |a| + |b|.
Mogu´ce je malo uopˇstiti princip matematiˇcke indukcije. Isto tako ´cemo formulisati i tzv. princip stroge indukcije.
Teorema 5.4
Neka je a ∈ Z i A = {b ∈ Z : b > a}, a P neka tvrdnja o skupu A.
1. (princip matematiˇ
cke indukcije) Pretpostavimo da vrijedi:
35
GLAVA 5. CIJELI BROJEVI
(i)
P(a) je taˇcno,
(ii) za svako b ∈ A taˇcna je implikacija P(b) ⇒ P(b + 1).
Tada je P(b) taˇcno za sve b ∈ A.
2. (Princip stroge indukcije) Pretpostavimo da vrijedi:
(i)
P(a) je taˇcno,
(ii) iz taˇcnosti P(c), za svako a 6 c < b, slijedi taˇcnost P(b).
Tada je P(b) taˇcno za sve b ∈ A.
Dokaz
1. Pretpostavimo suprotno, da tvrdnja teoreme nije taˇcna. Neka je a0 najmanji
element u A, za koji tvrdnja nije taˇcna. Tada je a < a0 , na osnovu (i), To znaˇci
da je a 6 a0 − 1 < a0 , ˇsto povalaˇci da je tvrdnja taˇcna za a0 − 1, a onda je na
osnovu (ii) taˇcna i tvrdnja P(a0 ), ˇsto je kontradikcija.
2. Tvrdnja se dokazuje na isti naˇcin kao 1.
Primjedba 5.5
U velikom broju knjiga princip matematiˇcke indukcije se objaˇsnjava principom
padaju´cih domina. Poredajmo prirodne brojeve kao domine.
Aksioma (i) nam kaˇze da u tom nizu domina imamo prvu. Postojanje sljedbenika nam kaˇze da iza svake domine moˇzemo postaviti sljede´cu. Iz aksiome
(ii) zakljuˇcujemo da nemamo domine ispred prve. Pretpostavimo da je svaka
domina postavljena tako, da pada uvijek, kada padne domina ispred nje. Na
kraju, aksioma indukcije nam kaˇze da ´ce sve domine pasti, ako padne prva.
Postoji mnogo primjera gdje se, malo pogreˇsnom primjenom matematiˇcke
indukcije ,,mogu” dokazati nevjerovatne stvari. Ve´cina takvih primjera je bazirana na ideji iz sljede´ceg primjera.
Primjer 5.6
Svi prirodni brojevi ve´ci od 0 su jednaki med¯usobno.
,,Dokaz.”Ako su k, m prirodni brojevi oznaˇcimo sa n = max{k, m}. Tvrdnju
dokazujemo indukcijom po n. Ako je n = 1, onda je 1 = max{k, m}, a kako
su k i m prirodni, jedino je mogu´ce da bude k = m = 1. Prema tome, tvrdnja
vrijedi za n = 1. Pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za prirodan broj s i neka
su k, m prirodni brojevi za koje je max{k, m} = s + 1. Tada je, oˇcigledno,
max{k − 1, m − 1} = s pa kako tvrdnja vrijedi za n, zakljuˇcujemo da je k − 1 =
m − 1, pa je k = m. Prema tome, tvrdnja vrijedi i za s + 1, te na osnovu
36
GLAVA 5. CIJELI BROJEVI
indukcije zakljuˇcujemo da tvrdnja vrijedi za svako s. Slijedi da su svaka dva
prirodna broja jednaka.
Zavrˇsi´cemo ovo poglavlje jednim ozbiljnim primjerom.
Primjer 5.7
Kaˇze se da su prave u ravni u opˇstem poloˇzaju, ako se svake dvije sijeku i nema
taˇcke kroz koju prolaze tri prave. Ovakve prave dijele ravan na regije. Dokazati
da se svaka regija moˇze obojiti ili crno ili bijelo, tako da su regije koje dijeli
bilo koja prava obojene suprotnim bojama.
Dokaz
Tvrdnju dokazujemo indukcijom u odnosu na broj pravih. Ako imamo jednu
pravu tvrdnja je jasna, jer imamo samo dvije regije. Pretpostavimo da je tvrdnja taˇcna za n pravih. Dakle, ako imamo n pravih onda se, po induktivnoj
pretpostavci, regije mogu obojiti kako se zahtijeva. Povucimo sada n + 1-vu
pravu, koja se sa ostalim nalazi u opˇstem poloˇzaju i uradimo sljede´ce. Izaberemo jednu stranu te prave i svakoj regiji sa te strane promijenimo boju. Jasno
je da su regije i sa jedne i sa druge strane te prave obojene po propisu. Ostaju
regije koje je presjekla ova prava. Od jedne takve regije nastale su dvije. Takva
je regija bila obojena odred¯enom bojom, ali joj se boja promijenila sa jedne
strane, pa su i takve regije propisno obojene. Prema tome tvrdnja vrijedi i za
n + 1, pa na osnovu indukcije slijedi da se problem moˇze rijeˇsiti za svako n.
37
6
Racionalni brojevi
U algebri je veoma vaˇzna konstrukcija tzv. prstena razlomaka, koja je bazirana na ideji o konstrukciji racionalnih brojeva pomo´cu cijelih. Zato ´cemo tu
konstrukciju detaljno opisati.
Oznaˇcava´cemo sa Z skup cijelih brojeva. Navedimo fundamentalne osobine
operacija sabiranja i mnoˇzenja u ovom skupu.
1. Sabiranje i mnoˇzenje su asocijativne i komutativne operacije.
2. Mnoˇzenje je distributivno u odnosu na sabiranje.
3. Broj 0 je neutralni element u odnosu na sabiranje, tj. za svaki cio broj a
vrijedi a + 0 = 0 + a = a.
Cio broj b nazivamo suprotnim broju a ako je a + b = 0. Svaki cio broj a
ima suprotan, to je −a.
4. Broj 1 je neutralni element u odnosu na mnoˇzenje, tj. za svaki cio broj a
vrijedi 1 · a = a · 1 = a.
5. Ako su a, b, c ∈ Z, a ̸= 0, tada iz ab = ac slijedi b = c. Drugim rijeˇcima,
u jednakostima sa cijelim brojevima se moˇze kratiti elementima razliˇcitim
od nule.
Primjedba 6.1
Uopˇstavanjem ovih osobina nastaje oblast cijelih, jedna od najvaˇznijih algebarskih struktura.
Broj a nazivamo invertibilnim ako postoji broj b za koji je a · b = 1. Broj
GLAVA 6. RACIONALNI BROJEVI
b se naziva inverzom od a. Brojevi 1 i −1 imaju inverzne elemente u odnosu
na mnoˇzenje. Nijedan drugi cio broj nije invertibilan, jer iz jednakosti ab =
1, a, b ∈ Z, slijedi a = b = 1 ili a = b = −1.
ˇ
Zelimo
da proˇsirimo skup cijelih brojeva tako da u tom ˇsirem skupu svaki
nenulti cio broj ima inverzni element u odnosu na mnoˇzenje. Isto tako, traˇzimo
minimalno takvo proˇsirenje. To bi bilo proˇsirenje koje se dobija dodavanjem
ˇsto je mogu´ce manjeg broja elemenata.
Objasni´cemo razlog zaˇsto se ograniˇcavamo na nenulte elemente. Kada bi 0
imala inverzni element x u odnosu na mnoˇzenje vrijedila bi jednakost 0 · x = 1.
Slijedilo bi da je
1 = 0 · x = (0 + 0) · x = 0 · x + 0 · x = 1 + 1 = 2,
a to je kontradikcija. To je objaˇsnjenje poznate fraze: ,,Nemogu´ce je dijeliti sa
nulom”.
Kako znamo da za racionalne brojeve npr. vrijedi 12 = 24 = 36 = . . . , moˇze
se naslutiti da su oni klase ekvivalencije odred¯ene, na neki naˇcin, parovima cijelih brojeva. Detalje o osobinama cijelih brojeva izlaˇzemo u posljednjem dijelu
dodatka.
U ovom poglavlju izlaˇzemo u detalje konstrukciju racionalnih brojeva, polaze´ci od poznatih svojstava cijelih brojeva.
Posmatrajmo skup X = {(a, u) : a, u ∈ Z, u ̸= 0}. Definiˇsimo na skupu X
relaciju ∼ sa
(a, u) ∼ (b, v) ⇔ av = bu.
Dokaˇzimo da je ∼ relacija ekvivalencije na X.
1. (a, u) ∼ (a, u) ⇔ au = au, ˇsto je jasno.
2. Relacija ∼ je oˇcigledno simetriˇcna.
3. Iz (a, u) ∼ (b, v), (b, v) ∼ (c, w) slijedi av = bu, bw = cv. Mnoˇzenjem prve
jednakosti sa w, a druge sa u, dobijamo avw = buw = cuv, tj. avw = cuv.
Kra´cenjem sa v dobijamo aw = cu, tj. (a, u) ∼ (c, w).
Klasu ekvivalencije odred¯enu parom (a, u) naziva´cemo razlomkom i oznaˇcavati
sa´cemo je sa ua . Skup svih razlomaka oznaˇci´cemo sa Q. Dakle,
{a
}
Q=
: a, u ∈ Z, u ̸= 0 .
u
Prije svega vrijedi:
b
a
= ⇔ av = bu.
u
v
Iz ove osobine neposredno slijedi da za svako v ̸= 0 vrijedi:
a
av
=
,
u
uv
ˇsto je poznato pravilo za ,,kra´cenje”(odnosno ,,proˇsirivanje”) razlomaka.
39
GLAVA 6. RACIONALNI BROJEVI
Sabiranje i mnoˇzenje u Q definiˇsemo na sljede´ci naˇcin:
a
b
av + bu
+ =
,
u v
uv
a c
ac
· = .
b d
bd
Kako su obje operacije definisane preko predstavnika klasa ekvivalencije,
moramo dokazati da je ova definicija korektna, tj. da rezultat sabiranja i
mnoˇzenja ne zavisi od predstavnika. Pretpostavimo da je
a
a′ b
b′
= ′, = ′.
u
u v
v
′
′
′
′
To znaˇci da je au = a u, bv = b v. Na osnovu toga imamo
av + bu
(av + bu)u′ v ′
avu′ v ′ + buu′ v ′
a′ uvv ′ + b′ uu′ v
=
=
=
=
′
′
′
′
uv
uvu v
uvu v
uvu′ v ′
a′ v ′ + b′ u′
(a′ v ′ + b′ u′ )uv
=
,
u′ v ′ uv
u′ v ′
ˇsto dokazuje korektnost sabiranja. Sliˇcno za mnoˇzenje dobijamo
=
a b
ab
abu′ v ′
a′ b′ uv
a′ b′
a′ b′
· =
=
=
= ′ ′ = ′ · ′.
′
′
′
′
u v
uv
uvu v
uvu v
uv
u v
Skup racionalnih brojeva Q, u odnosu na sabiranje i mnoˇzenje zadovoljava
sljede´ce uslove, za svako a, b, c ∈ Z, u, v, w ∈ Z \ {0}:
(
) (
)
a
b
c
a
b
c
+
+
=
+
+ ,
u
v w
u v
w
a
b
b
a
+ = + ,
u v
v u
b
b
0
+ = ,
u v
v
a −a
0
+
= ,
u
u
u
(
) (
)
a
b c
a b
c
·
·
=
·
· ,
u
v w
u v
w
a b
b a
· = · ,
u v
v u
b
u b
· = ,
u v
v
v w
u
· = ,
w
v
(
) u
b
c
a b
a c
a
·
+
= · + · .
u
v w
u v u w
u
u
Primje´cujemo da je u0 , u ̸= 0, neutralni elementi u odnosu na sabiranje, a
neutralni element u odnosu na mnoˇzenje.
40
GLAVA 6. RACIONALNI BROJEVI
Primjedba 6.2
Apstrahovanjem navedenih osobina razlomaka, nastaje algebarska struktura
koju nazivamo poljem.
U vezi sa ovom konstrukcijom ostaje joˇs jedna stvar da se razjasni. Mi
znamo da racionalni brojevi sadrˇze i cijele brojeve, ˇsto u naˇsoj konstrukciji nije
sluˇcaj, jer su razlomci klase ekvivalencije, a cijeli brojevi to nisu. Taj se zahtijev
postiˇze ,,identifikacijom” cijelog broja a sa razlomkom a1 .
Preciznije, posmatramo skup Q = Z ∪ { ua | a, u ∈ Z, u ̸= 1}, i u njemu
sabiranje i mnoˇzenje cijelih brojeva i razlomaka dato po sljede´cem pravilu
a+
b
a
b
b
a b
= + , a · = · , (a, b, v ∈ Z, v ̸= 1).
v
1 v
v
1 v
Lako se provjerava da na taj naˇcin dobijemo skup koji zadovoljava sve uslove
koje zadovoljava skup Q, a koji sadrˇzi Z. Skup Q, sa osobinama sabiranja i
mnoˇzenja koje u njemu vrijedi, naziva´cemo poljem racionalnih brojeva.
Pojam identifikacije bi´ce jasniji kada malo kasnije definiˇsemo izomorfizam.
Poredak se u polju racionalnih brojeva definiˇse na sljede´ci naˇcin. Svaka dva
racionalna broja moˇzemo napisati tako da su im nazivnici pozitivni i jednaki.
Za tako napisane brojeve definiˇsemo
a
b
< , ako je a < b.
u
u
Iz ˇcinjenice da je skup cijelih brojeva totalno ured¯en lako se dokazuje je i Q
totalno ured¯en relacijom 6 .
Navedimo joˇs jednu jednostavnu, ali vaˇznu osobinu poretka u polju racionalnih brojeva. Naime, izmed¯u svaka dva racionalna broja postoji racionalan
broj, tj. ako su r, s racionalni brojevi i r < s, postoji racionalna broj t za koji
je r < t < s. Moˇze se uzeti t = r+s
stija tvrdnja. Izmed¯u svaka
2 . Vrijedi i opˇ
dva realna broja se nalazi racionalan broj. Ta vaˇzna osobina pokazuje da se
svaki realan broj, sa proizvoljnom taˇcnoˇs´cu moˇze ,,aproksimirati”racionalnim
brojem.
Znamo da se cijeli brojevi mogu predstavljati u raznim bazama. Standardna
baza je 10, a ˇcesto se koristi i baza 2. Takav se zapis naziva binarni. Baza moˇze
biti izabrana prpozvoljno.
Teorema 6.3
Neka je b > 1 prirodan broj. Tada se svaki prirodan broj n moˇze prikazati na
jedinstven naˇcin u obliku:
n = ak bk + ak−1 bk−1 + · · · + a0 ,
pri ˇcemu su a0 , a1 , . . . , ak nenegativni cijeli brojevi manji od b.
41
GLAVA 6. RACIONALNI BROJEVI
Dokaz
Posmatrajmo niz dijeljenja sa ostatkom
n = q1 b + a0 , (0 6 a0 < b),
q1 = q2 b + a1 , (0 6 a1 < b)
..
.
qk = qk+1 b + ak , (0 6 a1 < b).
..
.
Ponavljamo ovaj postupak do trenutka kada bude qk < b. Tada je ak = qk .
Prema tome imamo
n = q1 b + a0 = (q2 b + a1 )b + a0 = q2 b2 + a1 b + a0 , . . . , n =
ak bk + · · · + a1 b + a0 .
Jedinstvenost razlaganja slijedi iz jedinstvenosti ostatka pri dijeljenju.
Pored standardne baze 10 najˇceˇs´ce se koristi binarni sistem zapisa brojeva,
u kome je osnova 2.
Teorema 6.4
Ako je b pozitivan cio broj, onda se svaki racionalan broj moˇze napisati u bazi
b na sljede´ci naˇcin
p
c1
cm
c1
cm
= ak bk + . . . + a1 b + a0 +
+ · · · + m + m+1 + · · · + 2m + · · · ,
q
b
b
b
b
odnosno
p
= ak . . . a0 .c1 . . . , cm .
q
Dokaz
Napiˇsemo pq u obliku s + qt , pri ˇcemu je s cio broj, a 0 < t < q. Vrijedi
s = ak . . . a0 , na osnovu prethodne teoreme. Decimalni dio se dobija na sljede´ci
naˇcin:
10t = c1 q + r1 , (0 ≤ r1 < q),
10r1 = c2 q + r2 , (0 ≤ r2 < q),
...
10rk−1 = ck rk−2 + rk , (0 ≤ rk < b),
..
..
42
GLAVA 6. RACIONALNI BROJEVI
43
7
Realni brojevi
Postoji viˇse naˇcina da se od racionalnih brojeva formiraju realni i nijedan
od njih nije jednostavan. Realne brojevi ˇcine strukturu koja se naziva ured¯eno
polje. Oni se mogu, dakle, uvesti apstraktno, sistemom aksioma. Taj sistem
aksioma, koje ´cemo napisati na kraju je ono ˇsto svaki matematiˇcar mora da
zna i ˇsto mu daje operativnu sposobnost za rad sa realnim brojevima.
Ali, svaki matematiˇcar, bar jednom u ˇzivotu, trebao bi vidjeti kako se moˇze
formirati skup koji te osobine zadovoljava. Realne brojeve je prvi definisao Dedekind 1870. godine, pomo´cu presjeka u skupu racionalnih brojeva. Objani´cemo
ukratko osnovnu ideju o Dedekindovim presjecima.
Par (A, B) naziva se Dedekindovim presjekom, ako su A i B neprazni podskupovi skupa Q racionalnih brojeva, koji zadovoljavaju sljede´ce uslove:
1. A ∪ B = Q.
2. Za svako a ∈ A i svako b ∈ B vrijedi a < b.
3. U skupu A nema najve´ceg elementa.
Postoje dvije mogu´cnosti:
1. U skupu B postoji najmanji element b. U tom sluˇcaju kaˇzemo da presjek
odred¯uje racionalan broj b.
2. U skupu B ne postoji najmanji element. U tom sluˇcaju kaˇzemo da presjek
odred¯uje neki iracionalana broj.
U daljem bismo trebali definisati operacije sabiranja, mnoˇzenja i relaciju
ured¯enja i dokazati da one zadovoljavaju standardne osobine, ˇsto zahtijeva dosta tehniˇckog rada. Mi ovu ideju ne´cemo dalje razvijati. Zakljuˇcimo samo da
Dedekindovi presjeci predstavljaju jedan od modela skupa realnih brojeva.
GLAVA 7. REALNI BROJEVI
Drugi model ˇcine decimalni (beskonaˇcni) brojevi. Decimalnim brojevima
nazivamo izraze oblika a0 .a1 a2 . . . , pri ˇcemu je a0 cio broj, a a1 , a2 , . . . decimalne cifre, tj. brojevi iz skupa {0, 1, . . . , 9}.
Podsjetimo se kako se racionalni brojevi predstavljaju decimalnim brojevima. Neka je ab , (b > 0) racionalan broj. Izvedimo niz dijeljenja sa ostatkom
na sljede´ce naˇcin.
a = a0 b + r, (0 ≤ r < b),
10r = a1 b + r1 , (0 ≤ r1 < b),
10r1 = a2 b + r2 , (0 ≤ r2 < b)
..
.
.
10rk−1 = ak b + rk , (0 ≤ rk < b)
..
.
Primjetimo da se ovaj proces dijeljenja sa ostatkom moˇze nastaviti bez
kraja. Iz veliˇcine ostataka jasno slijedi da su a1 , a2 , . . . decimalne cifre. Dalje, zakljuˇcujemo da ostaci r, r1 , . . . mogu imati samo b razliˇcitih vrijednosti
0, 1, . . . , b − 1, ˇsto znaˇci da se, od odred¯enog mjesta, ostaci poˇcinnju ponavljati.
A kada se ostaci poˇcnu ponavljati onda se poˇcnu ponavljati i cifre.
Tako dobijamo cio broj a0 i bekrajan broj a1 , a2 , . . . decimalnih cifara za
koje vrijedi.
a
r
a1
1 r1
a1
a2
1 r2
= a0 + = a0 +
+
·
= a0 +
+
+
·
= ··· .
b
b
10 10 b
10 100 100 b
Izraz a0 .a1 a2 . . . se naziva periodiˇcnim decimalnim brojem. Kako a0 , a1 , . . .
jednoznaˇcno odred¯uju broj ab , pisa´cemo
a
= a0 .a1 a2 . . . ak ak+1 ak+2 . . . am . . . ,
b
pri ˇcemu nadvuˇcena linija znaˇci da se cifre ispod nje ponavljaju.
Zakljuˇcujemo da racionalne brojeve moˇzemo predstavljati beskonaˇcnim periodiˇcnim decimalnim brojevima. Iracionalni brojevi mogu biti definisani kao
beskonaˇcni neperiodiˇ
cni decimalni brojevi. Sliˇcno kao kod Dedekindovih presjeka sada bi trebalo definisati raˇcunske operacije i relaciju ured¯enja u skupu
decimalnih brojeva i provjeriti da oni zadovoljavaju standardne aksiome. Ni taj
pristup ne´cemo detaljnije izlagati.
Mi ´cemo definisati realne brojeve koriste´ci se pojmom Koˇsijevih ili fundamentalnih nizova. U osnovi tih razmatranja leˇzi pojam limesa ili graniˇcne
vrijednosti niza racionalnih brojeva. Podsjetimo se da je niz (beskonaˇcni)
funkcija f : N → Q. Umjesto f (n) pisa´cemo rn . Nizove ´cemo oznaˇcavati sa
ˇ
r1 , r2 , . . . , rn , . . . ili sa (rn ). Clan
rn se obiˇcno naziva opˇstim ˇclanom niza.
Prvo ´cemo definisati pojam okoline racionalnog broja.
45
GLAVA 7. REALNI BROJEVI
Definicija 7.1
Neka je r fiksiran, a ε > 0 proizvoljan racionalan broj. Skup
{s ∈ Q : |r − s| < ε} = Oε (r)
naziva se ε-okolinom broja r.
Okolinu, dakle, ˇcine racionalni brojevi iz intervala (r − ε, r + ε). Ako je dat
niz r1 , r2 , . . . onda kaˇzemo da skoro svi njegovi ˇclanovi leˇze u Oε (r), ako samo
konaˇcno ˇclanova niza ne pripada toj okolini. Dakle, ako u okolini imamo beskonaˇcno mnogo ˇclanova niza, a izvan nje samo konaˇcno mnogo ˇclanova.
Definicija 7.2
Za niz (rn ) kaˇzemo da je konvergentan i da konvergira broju r, ako se skoro svi
ˇclanovi niza nalaze u svakoj okolini broja r. Ovo zapisujemo na sljede´ci naˇcin:
r = lim rn .
U protivnom za niz kaˇzemo da je divergentan.
Primjer 7.3
1. Vrijedi lim n1 = 0.
2. Ako je rn = r tada je lim rn = r.
Teorema 7.4
Graniˇcna vrijednost niza je jedinstvena.
Sada dajemo klasiˇcnu definiciju konvergencije, za koju je jednostavno utvrditi da je ekvivalentna onoj koju smo ve´c izloˇzili.
Definicija 7.5
Kaˇzemo da niz (rn ) konvergira broju r, ako za svako ε > 0 postoji N = N (ε)
tako da vrijedi
|rn − r| < ε, ako je n > N.
Primjedba 7.6
Primjetimo da pitanje konvergencije i graniˇcne vrijednosti niza zavise od
ˇclanova niza ˇciji su indeksi ve´ci od N (ε). To znaˇci prvih konaˇcno mnogo ˇclanova
niza ne utiˇce ni na konvergenciju niza ni na njegovu graniˇcnu vrijednost.
46
GLAVA 7. REALNI BROJEVI
Definicija 7.7
Za niz (rn ) kaˇzemo da divergira ka +∞ ako za svako ε > 0 postoji N = N (ε)
tako da vrijedi
1
rn > , za svako n > N.
ε
Za niz (rn ) kaˇzemo da divergira ka −∞ ako za svako ε > 0 postoji N = N (ε)
tako da vrijedi
1
rn < − , za svako n > N.
ε
Teorema 7.8
Neka je (rn ) niz ˇciji su svi ˇclanovi, poˇcev od nekog fiksiranog, pozitivni. Tada
vrijedi
1
lim rn = 0 ako i samo ako lim
= +∞.
rn
Specijalno vrijedib lim n = +∞.
Definicija 7.9
Niz (rn ) nazivamo ograniˇcenim ako postoji broj g > 0, tako da za svaki n
vrijedi |rn | < g.
Teorema 7.10
Konvergentan niz (rn ) je ograniˇcen.
U sljede´coj teoremi dokazujemo fundamentalne osobine konvergentnih nizova.
Teorema 7.11
Pretpostavimo da su (rn ) i (sn ) konvergentni nizovi. Tada vrijedi
1. lim(rn + sn ) = lim rn + lim sn .
2. lim(rn − sn ) = lim rn − lim sn .
3. lim(rn · sn ) = lim rn · lim sn .
4. lim srnn =
lim rn
lim sn ,
(lim sn ̸= 0).
Ideja da se realni brojevi definiˇsu preko nizova racionalnih brojeva zasnovana je na osnovu pojma Koˇsijevog ili fundamentalnog niza.
47
GLAVA 7. REALNI BROJEVI
Definicija 7.12
Niz racionalnih brojeva (rn ) nazivamo Koˇsijevili ili fundamentalnim, ako za
svako ε > 0 postoji prirodan broj N = N (ε) takav da vrijedi
|rn − rm | < ε, (m, n > N ).
To drugim rijeˇcima kaˇzemo: Razlika |rn − rm | teˇzi nuli, kada m i n zajedno teˇze
ka +∞ i to piˇsemo: limm,n→∞ |rn − rm | = 0.
Naveˇs´cemo, bez dokaza, neke osnovne osobine Koˇsijevih nizova racionalnih brojeva.
1. Svaki konvergentan niz je koˇsijev.
2. Svaki Koˇsijev niz je ograniˇcen.
3. Ako su (rn ) i (sn ) Koˇsijevi nizovi i ako je lim rn = a. Tada je lim sn = a
ako i samo ako niz (rn − sn ) konvergira nuli.
4. Svaki monotono rastu´ci niz, ograniˇcen s gornje strane je Koˇsijev.
Naveˇs´cemo sada primjer Koˇsijevog niza koji nije konvergentan.
Primjer 7.13
Formirati niz racionalnih brojeva (rn ) sa osobinama r1 < r2 < . . . < rn < . . . i
ri2 < 2, (i = 1, 2, . . .). Isto tako formirati niz (tn ) racionalnih brojeva za koje
je t1 > t2 > . . . > tn > . . . , za koji je t2i > 2, (i = 1, 2, . . .).
Dokaz
Uzmemo r1 = 1, t1 = 2.
Kako je 1.42 = 1.96, 1.52 = 2.25 uzimamo r2 = 1.4, t1 = 1, 5.
Kako je 1.412 = 1.9881, 1.422 = 2.0164 definiˇsemo r3 = 1.41, t3 = 1.42.
Na isti naˇcin, 1.4142 = 1.999396, 1.4152 = 2.002225, pa uzimamo r4 =
1.414, t4 = 1.415.
Ovaj se proces moˇze nastaviti beskrajno. Naime ako je sm = a0 .a1 . . . am
ˇclan naˇseg niza to znaˇci da je
)2
(
1
2
> 2.
sm < 2, sm + m
10
Neka je sada k ona cifra za koju je
(
)2
)2
(
k
k+1
sm + m+1
< 2, sm + m+1
> 2.
10
10
48
GLAVA 7. REALNI BROJEVI
Definiˇsemo sm+1 = a0 .a1 a2 . . . am am+1 , pri ˇcemu j am+1 = k.
Na taj naˇcin dobijmo beskonaˇcan niz (sn ) racionalnih brojeva. Ovaj niz je
Koˇsijv. Zaista, za m > k vrijedi
(
)
1
1
1
1
1
sm − sk = k+1 + · · · + m = k+1 1 +
+ · · · + m−k−1
10
10
10
10
10
(
)
1
1
1
1
< k+1 1 +
+ · · · + m−k−1 + · · · =
.
10
10
10
9 · 10k
1
Prema tome, ako je ε > 0 proizvoljno moˇzemo izabrati K tako da je 9·10
K < ε,
pa slijedi |sm − sk | < ε, (m, k > K), ˇsto znaˇci da je niz (sn ) Koˇsijev.
Sa druge strane niz (sn ) nije konvergentan,
jer ako bi bilo lim sn = s, tada
√
bismo imali s2 = 2, pa bi bilo s = 2, a poznato je da to nije racionalan broj.
Analogno se dokazuje da ni niz (tn ) nije konvergentan.
Oznaˇci´cemo sa X skup svih Koˇsijevih nizova racionalnih brojeva. Definisa´cemo relaciju ∼ na skupu X tako da je (rn ) ∼ (sn ) ako i samo ako je
(rn − sn ) nula niz.
Teorema 7.14
Relacija ∼ je relacija ekvivalencije na X.
Sa [rn ] ´cemo oznaˇciti klasu ekvivalencije odred¯enu Koˇsijevim nizom (rn ).
Oznaˇci´cemo sa R skup klasa ekvivalencije relacije ∼ . Definiˇsimo operacije
zabiranja i mnoˇzenja u R na sljede´ci naˇcin.
[rn ] + [sn ] = [rn + sn ],
(7.1)
[rn ] · [sn ] = [rn sn ].
(7.2)
Teorema 7.15
Skup R je polje u odnosu na gore definisane operacije sabiranja i mnoˇzenja.
Za kompletiranje naˇse konstrukcije potrebno je joˇs definisati relacija poretka.
Definicija 7.16
Re´ci ´cemo da je klasa [rn ] pozitivna i pisati [rn ] > 0, ako postoji ε > 0 i
N = N (ε) za koje je rn > ε, za svako n > N. Relaciju ≤ sada definiˇsemo na
sljede´ci naˇcin:
[rn ] ≥ [sn ] ⇔ [rn − sn ] ≥ [0].
49
GLAVA 7. REALNI BROJEVI
1.
[rn ] ≤ [rn ],
2.
[rn ] ≤ [sn ] i [sn ] ≤ [rn ] ⇒ [rn ] = [sn ],
3.
[rn ] ≤ [sn ] i [sn ] ≤ [tn ] ⇒ [rn ] ≤ [tn ],
4.
[rn ] ≤ [sn ] ili [sn ] ≤ [rn ],
5.
[rn ] ≤ [sn ] ⇒ [rn ] + [tn ] ≤ [sn ] + [tn ],
6. [rn ] ≤ [sn ], [tn ] > [0] ⇒ [rn ][tn ] ≤ [sn ][tn ],
Teorema 7.17 (Aksioma potpunosti)
Svaki neprazan podskup A skupa realnih brojeva, koji je ograniˇcen s gornje
strane, ima najmanju gornju granicu.
Dakle, skup realnih brojeva je kompletno ured¯eno polje koje se moˇze definisati
kao apstraktan skup na kome su definisane operacije koje zadovoljavaju jedan
sistem aksioma. Navodimo jednu od standardnih definicija. Aksiome ´ce biti
podijeljene u tri grupe.
Definicija 7.18
Skupom realnih brojeva nazivamo skup R koji zadovoljava sljede´ce aksiome:
I Aksiome polja: Na R su definisane operacije + i · koje zadovoljavaju
sljede´ce aksiome:
(R1) a + (b + c) = (a + b) + c. (zakon asocijativnosti za sabiranje)
(R2) Postoji element 0 tako da vrijedi a + 0 = 0 + a = a. (postojanje neutralnog
elementa za sabiranje)
(R3) a + (−a) = (−a) + a = 0 (postojanje suprotnog elementa)
(R4) a + b = b + a (komutativnost sabiranja)
(R5) a · (b · c) = (a · b) · c (zakon asocijativnosti mnoˇzenja)
(R6) 1 ̸= 0, a · 1 = 1 · a = a (postojanje neutralnog elenmenta za mnoˇzenje)
(R7) a · a−1 = a−1 · a = 1, (a ̸= 0) (postojanje inverznog elementa u odnosu na
mnoˇzenje)
(R8) a · b = b · a (Zakon komutativnosti za mnoˇzenje)
(R9) a · (b + c) = a · b + a · c (zakon distributivnosti),
II Aksiome ured¯enja. Na skupu R je definisana relacija poretka ≤ koja zadovoljava sljede´ce aksiome:
(R10) a ≤ b ili b ≤ a (totalnost ured¯enja
(R11) a ≤ b ⇒ a + c ≤ b + c (saglasnost ured¯enja i sabiranja)
50
GLAVA 7. REALNI BROJEVI
(R12) a ≤ b, c > 0 ⇒ a · c ≤ b · c (saglasnost ured¯enja i mnoˇzenja)
III Aksioma kompletnosti (R13) Svaki neprazan podskup od R koji je
ograniˇcen s gornje strane ima najmanju gornju granicu.
Primjedba 7.19
Napomenimo da se polje R od polja Q u aksiomatskom smislu razlikje samo
za aksiomu potpunosti.
Od sada pa nadalje smatra´cemo da je skup realnih brojeva onaj skup, koji
zadovoljava prethodni sistem aksioma. Sada ´cmo iz sistema aksioma izvesti neke
standardne osobine realnih brojeva. Kako u odnosu na sabiranje i mnoˇzenje oni
ˇcine polje, moˇzemo smatrati da realni brojevi zadovoljavaju sve osobine koje se
u algebri dokazuju za polja. Npr. 0 je jedinstvani neutralni element u odnosu
na sabiranje, a 1 na mnoˇzenje. Suprotni broj −a, broja a je jedinstven. kao i
inverzni element a1 , svakog nenultog broja A.
Malo viˇse ´cemo se baviti relacijom nejednakosti. Napomenimo da , zbog
zakona trihotomije, za svaki realan broj r vrijedi r > 0, r = 0 ili r < 0. Brojeve
koji su ve´ci od 0 nazivamo pozitivnim, a one koji su manji od nula negativnim.
1. Vrijedi 1 > 0.
Zaista, 1 ̸= 0, jer u polju se razlikuju nulti i jediniˇcni element. Ako bi
bilo 1 < 0, ˇsto je eqvivalentno sa −1 > 0, na osnovu (R12) bismo imali
(−1)(−1) > 0(−1) = 0, tj. 1 > 0, ˇsto je kontradikcija.
2. Za svaki r ∈ R vrijedi x2 ≥ 0.
Zaista, Ako je x = 0, onda je tvrdnja oˇcigledna. Ako je x > 0, onda je
prema (R12), x2 > 0. Na kraju, ako je x < 0, onda je −x > 0, pa je
(−x)(−x) > 0, pa je x2 > 0.
3. Za a, b ∈ R, a < b vrijedi
a<
Zaista, (R12) implicira
a
2
a+b
< b.
2
< 2b , pa na osnovu (R11) imamo
a a
a b
a+b
+ < + =
.
2 2
2 2
2
Sliˇcno se dokazuje i druga nejednakost.
4. Polje realnih brojeva sadrˇzi skup prirodnih brojeva.
Stvarno, Ako se za realan broj r njegov sljedbenik definiˇse sa r + 1, onda
R induktivan skup, u smislu Peanovi aksioma, a kako je skup prirodnih
brojeva presjek svih induktivnih skupova, slijedi tvrdnja.
51
GLAVA 7. REALNI BROJEVI
5. Polje realnih brojeva sadrˇzi polje racionalnih brojeva, kao svoje potpolje.
6. Svaki monotono rastu´ci realni niz koji je ograniˇcen sa gornje strane je
konvergentan.
Zaista, ako je (rn ) monotono rastu´ci i ograniˇce, onda na osnovu aksiome
kompletnosti on ima najmanju gornju granicu. Oznaˇcimo je sa r. Uzmimo
ϵ > 0 proizvoljno. Broj r − ϵ, nije gornja granica niza, pa postoji N za koji
je r − ϵ < rN < r. Kako je niz monotono rastu´ci to za svaki n ≥ N vrijedi
r − ϵ < rn < r, odnosno lim rn = r.
7. (Arhimedova aksioma) Ako je x ∈ R, tada postoji n ∈ N, za koji vrijedi
x < n.
Zaista, ako takav n ne bi postojao, onda bi bilo n ≤ x, za svaki n ∈ N.
Prema tome, skup prirodnih brojeva bio bi ograniˇcen sa gornje strane.
Prema aksiomi (R13) postojala bi najmanja gornja granica x0 skupa N.
tada broj x0 − 1 ne bi bio gornja granica od N, pa bi postojao n0 ∈ N, za
koji vrijedi n0 > x0 − 1. Slijedi x0 < n0 + 1, ˇsto je kontradikcija.
8. (Teorema o umetnutim zatvorenim intervalima, Kantorova) Neka je dat niz
{[an , bn ] ⊂ R : n ∈ N} zatvorenih intervala koji imaju osobinu
a) Za svako n vrijedi [an+1 , bn+1 ] ⊆ [an , bn ].
b) limn→∞ (bn − an ) = 0.
Dokaz
Niz (an ) ograniˇcen je sa gornje strane (npr. svakim od brojeva bn .). Zbog
toga postoji a = supp(an ) i a < bn , (n ≥ 1). Isto tako postoji b = inf(bn )
i an < b, (n ≥ 1). Ako bi bili a ̸= b, tada bi segment [a, b] bio sadrˇzan u
svim segmentima [an , bn ], ˇsto je nemogu´ce, zbog uslova b). Dakle, a = b i
to je jedinstveni broj koji se nalazi u svim segmentima.
9. Skup racionalnih brojeva je gust u skupu realnih brojeva.
Zaista, neka su a < b dva realna broja. Moˇzemo pretpostaviti da je a > 0.
Na osnovu Arhimedove aksiome postoji prirodan broj n za koji j1 0 <
1
b−a < n. Slijedi 1 < bn − an. Sa druge strane postoji prirodan broj m
za koji je m − 1 ≤ na < m. To znaˇci da je a < m
n . Sa druge strane
.
Dakle,
m ≤ an + 1 < an + bn − an = bn, tj b > m
n
a<
10. Postoji
√
m
< b.
n
2 u R.
Ova tvrdnja slijedi iz Primjera 7.13.
52
GLAVA 7. REALNI BROJEVI
Na kraju ovog poglavlja definisa´cemo joˇsi pojam proˇsirenog polja realnih brojeva. Dopuni´cemo polje realnih brojeva sa dva simbola +∞ i −∞, koji ne
pripadaju skupu realnih brojeva, a imaju sljede´ce osobine
Za svaki realni broj a vrijedi
1. −∞ < a < +∞.
2. a + ∞ = +∞ + a = +∞, a − ∞ = −∞ + a = −∞.
3. (+∞) + (+∞) = +∞, (−∞) + (−∞) = −∞.
4. Ako je a > 0, a · (+∞) = (+∞ · a) = +∞, a · (−∞) = (−∞ · a) = −∞.
5. (+∞) · (+∞) = +∞, (+∞) · (−∞) = −∞, (−∞) · (−∞) = +∞.
∞
6. Izrazi, (+∞) − (+∞), (−∞) + (−∞), 0 · ∞, ∞
, ∞0 , 0∞ , 1∞ nisu definisani.
Za simbole ±∞ definiˇse se pojam ε okoline na sljede´ci naˇcine: Ako je ε > 0
onda se je Oε (+∞) = {x ∈ R : x > 1ε = ( 1ε , +∞).
Analogno se definiˇse i ε okolina od −∞.
Za niz (an ) realnih brojeva kaˇze mo da konvergira ka +∞ ili da divergira u
uˇzem smislu ako za svako ε > 0 postoji N = N (ε) tako da je an > 1ε , (n ≥ N ).
Ovo zapisujemo na sljede´ci naˇcin:
lim an = +∞.
n→∞
Analogno se postupa sa −∞.
Teorema 7.20
Vrijedi limn→∞ n = +∞.
Dokaz
Neka je ε > 0. Na osnovu Arhimedoove aksiome, postoji prirodan broj N takava
da je 1ε < N. Tada za svako n ≥ N takod¯e vrijedi 1ε < n.
53
8
Kompleksni brojevi
Kompleksnim brojevima ´cemo nazivati elemente skupa
C = {a + ib : a, b ∈ R, i ∈
/ R},
u kome vrijede sljede´ce aksiome:
1. a + bi = c + id ako i samo ako a = c i b = d,
2. (a + ib) + (c + id) = (a + c) + i(b + d),
3. (a + ib) · (c + id) = (ac − bd) + i(ad + bc).
Ako je z = a + ib kompleksan broj, onda se a = Re z naziva realnim, a
b = Im z imaginarnim dijelom od z.
Lako se provjerava da je sabiranje komutativno, asocijativno, da ima neutralni element 0 + i0, te da svaki komplesan broj a + ib ima suprotan. To je
broj (−a) + i(−b).
Isto tako se lako provjerava da je mnoˇzenja komutativno, asocijativno, ima
neutralni element 1 + i0, i da je distributivno u odnosu na sabiranje.
Kompleksni brojevi z = a + ib i z = a − ib nazivaju se konjugovano
kompleksnim. Mi ´cemo brojeve oblika a + i0 oznaˇcavati sa a. Na taj ´cemo
naˇcin skup realnih brojeva posmatrati kao podskup skupa kompleksnih brojeva. Takod¯e, brojeve oblika 0 + ib ´cemo kratko oznaˇcavati sa ib i nazivati
ˇ
cisto imaginarnim brojevima. Iz pravila za mnoˇzenje lako dobijamo vaˇznu
jednakost
i2 = −1,
koja pokazuje da kvadratna jednaˇcina x2 + 1 = 0 u skupu kompleksnih brojeva
ima rjeˇsenja i i −i. Iz aksiome za mnoˇzenje dobijamo (a + ib)(a − ib) = a2 + b2 ,
GLAVA 8. KOMPLEKSNI BROJEVI
odakle zakljuˇcujemo da je svaki nenulti kompleksan broj a + ib ̸= 0 invertibilan
u odnosu na operaciju mnoˇzenja i
(a + ib)−1 =
a2
a
b
−i 2
.
2
+b
a + b2
(8.1)
Iz prethodnog vidimo da kompleksni brojevi, u odnosu na sabiranje i
mnoˇzenje, zadovoljavaju iste osobine kao i racionalni (a i realni) brojevi, tj.
imaju strukturu polja.
Neposredno slijedi da je z = z ako i samo ako je z realan broj, a z = −z
ako i samo ako je z ˇcisto imaginaran broj.
√
Ako je z = a + ib kompleksan broj, onda se broj a2 + b2 naziva modulom
od z i oznaˇcava sa |z|. Jasno je da vrijedi |z|2 = a2 + b2 = (a + ib)(a − ib) = z · z,
te da je z1 + z2 = z1 + z2 i z1 + z2 = z1 z2 .
Propozicija 8.1
Ako su z1 i z2 kompleksni brojevi tada vrijedi:
1. |z1 | ≤ |Re z1 |, |z1 | ≤ |Im z1 |,
2. |z1 + z2 | ≤ |z1 | + |z2 |,
3. |z1 · z2 | = |z1 | · |z2 |.
Dokaz
Ako je z1 = a1 + ib1 , onda je |z1 |2 = a21 + b21 ≤ |a1 | (≤ |b1 |), odakle slijedi 1.
Iz |z1 + z2 |2 = (z1 + z2 )(z1 + z2 ) = (z1 + z2 )(z1 + z2 ) = |z1 |2 + 2Re(z1 z2 ) + |z2 |2 ,
na osnovu 1., vrijedi |z1 + z2 |2 ≤ |z1 |2 + 2|z1 ||z2 | + |z2 |2 = (|z1 | + |z2 |)2 , iz ˇcega
slijedi 2.
Na kraju, imamo|z1 z2 |2 = z1 z2 z1 z2 = z1 z2 z 1 z 2 = z1 z 1 z2 z 2 = |z1 |2 |z2 |2 , pa
vrijedi i 3.
Posljednje tvrdnja prethodne propozicije se moˇze interpretirati na sljede´ci
naˇcin.
Propozicija 8.2 (Lagranˇzov identitet)
Neka su x, y, u, v ∈ R. Tada vrijedi
(xu − yv)2 + (xv + yu)2 = (x2 + y 2 )(u2 + v 2 ).
55
GLAVA 8. KOMPLEKSNI BROJEVI
Dokaz
Ako je z1 = x + iy, a z2 = u + iv, tada je |z1 z2 |2 = (xu − yv)2 + (xv + yu)2 ,
dok je |z1 |2 |z2 |2 = (x2 + y 2 )(u2 + v 2 ).
Sada ´cemo dati geometrijsku interpretaciju kompleksnih brojeva i na osnovu
nje izvesti tzv. Moavrovu formulu. Svaki je kompleksan broj odred¯en svojim
realnim i imaginarnim dijelom, dakle, parom realnih brojeva. Kako se parovi
realnih brojeva mogu predstavljati taˇckama ravni, tako ´cemo i kompleksne
brojeve predstavljati taˇckama ravni, koju ´cemo nazivati kompleksnom ravni.
Broj z = a+ib bi´ce predstavljen taˇckom ˇcije su koordinate a = Re z i b = Im z.
Na taj ´ce naˇcin svi realni brojevi biti predstavljeni taˇckama x-ose, pa se zato
x-osa, u kompleksnoj ravni, naziva realnom osom.
Ako u ravni uvedemo koordinate ρ i θ jednakostima
x = ρ cos θ, y = ρ sin θ,
tada se svaki kompleksan broj z = a + ib moˇze predstaviti u obliku
z = ρ(cos θ + i sin θ).
(8.2)
Ovdje je ρ = |z| modul kompleksnog broja z, dok je θ ugao koji prava, koja
spaja koordinatni poˇcatak sa taˇckom koja predstavlja broj z, zaklapa sa pozitivnim dijelom x-ose. Taj se ugao naziva argumentom broja z i oznaˇcava se
sa θ = Arg z. Izraz (8.2) naziva se trigonometrijskim oblikom kompleksnog
broja z.
Koriste´ci se definicijom mnoˇzenja kompleksnih brojeva i adicionim teoremama dobijamo sljede´ce pravilo za mnoˇzenje kompleksnih brojeva u trigonometrijskom obliku.
Ako su z1 = ρ1 (cos θ1 + i sin θ1 ) i z2 = ρ2 (cos θ2 + i sin θ2 ) kompleksni
brojevi, tada je
z1 · z2 = ρ1 · ρ2 [cos(θ1 + θ2 ) + i sin(θ1 + θ2 )].
Dakle, kompleksni brojevi se mnoˇze tako ˇsto im se moduli pomnoˇze, a argumenti saberu. Ako je specijalno |z1 | = |z2 | = 1, θ1 = θ2 = θ, prethodna
jednakost ima oblik (cos θ + i sin θ)2 = cos 2θ + i sin 2θ.
Uopˇste, vrijedi sljede´ca teorema.
Teorema 8.3 (Moavrova formula)
Za svaki prirodan broj n vrijedi
(cos θ + i sin θ)n = cos nθ + i sin nθ.
56
GLAVA 8. KOMPLEKSNI BROJEVI
Dokaz
Dokaz izvodimo indukcijom po n. Za n = 1 tvrdnja oˇcigledno vrijedi. Pretpostavimo da vrijedi za n. Tada je
(cos θ + i sin θ)n+1 = (cos θ + i sin θ)(cos θ + i sin θ)n
= (cos θ + i sin θ)(cos nθ + i sin nθ)
= (cos θ cos nθ − sin θ sin nθ) + i(cos θ sin nθ + sin θ cos nθ)
= cos(n + 1)θ + i sin(n + 1)θ.
Zavrˇsi´cemo ovo poglavlje jednom primjenom Moavrove formule.
Propozicija 8.4
Jednaˇcina xn − 1 = 0 ima taˇcno n rjeˇsenja u skupu kompleksnih brojeva.
Dokaz
Ako je z rjeˇsenje jednaˇcine, tada je |z n | = 1, pa je |z| = 1, na osnovu (8.1).
Prema tome rjeˇsenje mora biti oblika z = cos θ + i sin θ. Na osnovu Moavrove
formule za θ dobijamo:
1 = (cos θ + i sin θ)n = cos nθ + i sin nθ,
odakle slijedi
cos nθ = 1, sin nθ = 0.
Iz prve jednaˇcine je nθ = 2kπ, a iz druge nθ = kπ, pa je θ = 2kπ
n , k ∈ Z.
2π
2π
Rjeˇsenje θn = cos n + i sin n naziva se primitivnim n-tim korijenom iz
jedinice (u polju kompleksnih brojeva). Sada je lako vidjeti da su
1, θn , θn2 , . . . , θnn−1
sva med¯usobno razliˇcita rjeˇsenje naˇse jednaˇcine.
U prethodnim razmatranjima smo naˇsli ,,trigonometrijsko” rjeˇsenje jednaˇcine
xn − 1 = 0. Mnogo teˇzi problem je na´ci njena rjeˇsenja ,,u radikalima”. Pod
tim se podrazumijeva rjeˇsenje koje bi bilo sliˇcno rjeˇsenju kvadratne jednaˇcine,
tj. koje bi bilo izraˇzeno preko algebarskih operacija sa racionalnim brojevima
i njihovim korijenima. Taj je problem prvi rijeˇsio Gaus. Teˇzina tog problema
daleko prevazilazi okvire ove knjige. Mi ´cemo samo rijeˇsiti sluˇcaj n = 5. Kako je
2π
2π
ci formule za izraˇcunavanje cos 2π
θ5 = cos 2π
5 + i sin 5 , treba samo na´
5 i sin 5 ,
ˇsto ´cmo uraditi na dva razliˇcita naˇcina u sljede´cem primjeru.
57
GLAVA 8. KOMPLEKSNI BROJEVI
Primjer 8.5
Rjeˇsiti jednaˇcinu x5 − 1 = 0.
Rjeˇsenje. 1. Objasnili smo da se problem svodi na odred¯ivanje trigonometrijskih
funkcija ugla od 2π
5 . Posmatrajmo ravnokraki trougao ABC, sa osnovom AB
i uglovima na osnovi veliˇcine 2π
5 . Neka je AD simetrala ugla u vrhu A, a E
sredina strane AB. Oznaˇcimo duˇzinu krakova AC i BC sa a.
C
p
5
D
2p
5
2p
5
p
5
p
5
A
E
B
2π
Iz pravouglog trougla AEC dobijamo AE = a cos 2π
5 , tj. AB = 2a cos 5 .
2π
Na isti naˇcin bi iz ravnokrakog trougla BDA dobili BD = 2 · AB · cos 5 =
4a cos2 2π
5 . Kako je i trougao ACD ravnokraki dobijamo AB = AD = DC.
2π
2π
Kako je a = BD + DC = 4a cos2 2π
cu
5 + 2a cos 5 , to za cos 5 dobijamo sljede´
kvadratnu jednaˇcinu
4 cos2
2π
2π
+ 2 cos
− 1 = 0.
5
5
Rjeˇsavanjem ove jednaˇcine, uz ˇcinjenicu da je cos 2π
5 pozitivan broj dobijamo
√
√
√
2π
5−1
2π
10 + 2 5
cos
=
, sin
=
.
5
4
5
4
Prema tome, rjeˇsenje jednaˇcine je
√
√
√
5−1
10 + 2 5
x=
+i
.
4
4
2. Kako nas oˇcigledno rjeˇsenje x = 1 ne zanima, moˇzemo jednaˇcinu podijeliti
sa x − 1, tako da dobijamo
x4 + x3 + x2 + x + 1 = 0.
Dijeljenje sa x2 daje
1
1
+
= 0.
x x2
= t, dobijamo x2 + 1 + x12 = t2 − 1, pa jednaˇcina postaje
x2 + x + 1 +
Smjenom x +
1
x
t2 + t − 1 = 0.
58
GLAVA 8. KOMPLEKSNI BROJEVI
√
Rjeˇsenja ove jednaˇcine su t1,2 = −1±2 5 . Tako dobijemo dvije kvadratne
jednaˇcine po x
√
1
−1 ± 5
x+ =
.
x
2
Biraju´ci ono rjeˇsenje ˇciji su i realni i imaginarni dio pozitivni dobijamo
√
√
√
5−1
10 + 2 5
+i
.
x=
4
4
59
9
Aksiome elementarne geometrije
Zavrˇsi´cemo kurs izlaganjem jednog od najznaˇcajnijih sistema aksioma, koji
se ne tiˇce, direktno, brojeva. To su aksiome geometrije, koji potiˇcu joˇs od
Euklida, koji je ˇzivio oko 300-te godine prije nove ere i koji je odigrao ogromnu
ulogu u razvoju matematike. Mi ´cemo izloˇziti najpoznatiji sistem, koji je dao
Hilbert u svojoj ˇcuvenoj knjizi: Osnovi geometrije. U stvari, mi ´cemo izloˇziti
neˇsto malo izmijenjen sistem, koji je prezentovan u knjizi Jefimova: Osnovi
geometrije.
Aksiome ´ce biti samo ispisane, bez komentara, da bi se studenti upoznali
kako je aksiomatizovana jedna kompleksna oblast kakva je geometrija.
U geometriji se posmatraju tri skupa elemenata: taˇcke, prave i ravni. Elementi ta tri skupa vezani su med¯usobno nedefinisanim pojmovima: pripadati,
izmedj u i podudarni.
Postoji pet grupa aksioma i to
1. Aksiome veze, kojih ima 8.
2. Aksiome poretka, kojih je 4.
3. Aksiome podudarnosti, kojih je 5.
4. Aksiome neprekidnosti, kojih ima 2.
5. Aksioma paralelnosti.
Grupa 1. Aksiome veze
Aksiome veze se uspostavljaju pojmom ,,pripada”ili ,,leˇzi”ili ,,prolazi”.
GLAVA 9. AKSIOME ELEMENTARNE GEOMETRIJE
I.1. Za proizvoljne taˇcke A i B postoji prava a na kojoj leˇze obje taˇcke A i B.
I.2. Za bilo koje razliˇcite taˇcke A i B postoji najviˇse jedna prava na kojoj leˇze
te dvije taˇcke.
I.3. Na svakoj pravoj leˇzi bar jedna taˇcka. Postoje bar tri taˇcke koje ne leˇze
na jednoj pravoj.
I.4. Za svake tri taˇcke A, B, koje ne leˇze na jednoj pravoj, postoji ravan α u
kojoj leˇze te tri taˇcke. U svakoj ravni leˇzi bar jedna taˇcka.
I.5. Kakve god bile tri taˇcke, koje ne leˇze na jednoj pravoj, postoji najviˇse
jedna ravan koja u kojoj leˇze te tri taˇcke.
I.6. Ako dvije taˇcke A i B prave a leˇze u ravni α, onda sve taˇcke prave a leˇze
u ravni α.
I.7. Ako taˇcka A leˇzi u dvije ravni α i β tada postoji bar joˇs jedna taˇcka B,
koja leˇzi u obje ravni.
I.8. Postoje ˇcetiri taˇcke koje ne leˇze u jednoj ravni.
Grupa 2. Aksiome poretka
II.1. Ako taˇcka B leˇzi izmed¯u taˇcke A i taˇcke B, onda su A, B i C tri razliˇcite
taˇcke jedne pravi i pri tome B leˇzi izmed¯u taˇcka C i A.
II.2. Za proizvoljne taˇcke A i C postoji na pravoj AC bar jedna taˇcka B, koja
leˇzi izmed¯u taˇcaka A i C.
II.3. Od bilo koje tri taˇcke na pravoj postoji najviˇse jedna koja leˇzi izmed¯u
druge dvije.
II.4.(Paˇsova aksioma) Neka su A, B i C tri taˇcke koje ne leˇze na jednoj pravoj
i a neka prava u ravni ABC, koja ne sadrˇzi ni jednu od ove tri taˇcke. Ako prava
prolazi kroz jednu taˇcku duˇzi AB, ona takod¯e prolazi kroz jednu taˇcku duˇzi
AC ili kroz jednu taˇcku duˇzi BC.
Grupa 3. Aksiome podudarnosti
III.1. Ako su A i B dvije taˇcke na pravaoj a, a A′ taˇcka na toj, ili nekoj drugoj
pravoj. Tada na datoj strani taˇcke A′ na pravoj a′ postoji jedna i samo jedna
taˇcka B ′ , tako da je duˇz AB podudarna duˇzi A′ B ′ .
III.2. Ako su duˇzi A′ B ′ i A′′ B ′′ podudarni duˇzi AB, onda su oni podudarni
med¯usobno.
III.3. Neka su AB i BC dvije duˇzi na jednoj pravoj, koje nemaju zajedniˇckih
unutraˇsnjih taˇcaka. Neka su A′ B ′ i B ′ C ′ dvije duˇzi na nekoj drugoj pravoj a′ ,
koji takod¯e nemaju zajedni´ckih unutraˇsnjih taˇcaka. Ako je duˇzAB kongruentna
duˇzi A′ B ′ i ako je duˇz BC kongruentna duˇzi B ′ C ′ tada je duˇzAC kongruentna
duˇzi A′ C ′ .
III.4. Neka je dat ugao ^(h, k) u ravni α i prava a′ u toj ili nekoj drugoj ravni
α′ i neka je zadana neka odred¯ena strana ravni α′ u odnosu na pravu a′ . Neka je
h′ poluprava u ravni α′ , koja polazi od taˇcke O′ . Tada u ravni α′ postoji jedna
i samo jedna poluprava k ′ tako da su uglovi ^(h, k) i ^(h′ , k ′ ) kongruentnii pri
tome sve unutraˇsnje taˇcke ugla ^(h′ , k ′ ) leˇze na zadatoj strani prave a′ .
61
GLAVA 9. AKSIOME ELEMENTARNE GEOMETRIJE
III.5. Ako su A, B, C tri taˇcke koje ne leˇze na jednoj pravoj i A′ , B ′ i C ′ tri
taˇcke koje takod¯e ne leˇze na jednoj pravoj. Ako je
AB ≡ A′ B ′ , AC ≡ A′ C ′ i ^(BAC) ≡ ^(B ′ A′ C ′ ),
tada je
^(ABC) ≡ ^(A′ B ′ C ′ ), ^(ACB) ≡ ^(A′ C ′ B ′ ).
Grupa 4. Aksiome neprekidnosti
IV.1.(Arhimedova aksioma) Neka su AB i CD proizvoljne duˇzi. Tada na pravoj
AB postoji niz taˇcaka A1 , A2 , . . . , An tako da A1 leˇzi izmed¯u A i A2 , A2 leˇzi
izmed¯u A1 i A3 itd. Pri tome su duˇzi AA1 , A1 A2 , . . . , An−1 An kongruentne
duˇzi CD i pri tome B leˇzi izmedju A i An .
IV.2.(Kantorova aksioma) Neka je na bilo kojoj pravoj a dat beskonaˇcan niz
duˇzi A1 B1 , A2 B2 , . . ., od kojih svaka leˇzi unutar prethodne. Pretpostavimo da
za svaku datu duˇz postoji n takav da je duˇz An Bn kra´ca od date duˇzi. Tada
postoji taˇcka na pravoj a koja se nalazi u svim odrescima An Bn , (n = 1, 2, . . .).
Grupa 5. Aksioma paralelnosti
Neka je a proizvoljna prava, a A taˇcka koja ne leˇzi na pravoj. Tada u ravni
odred¯enoj taˇckom A i pravom a postoji taˇcno jedna prava koja ne sijeˇce a.
62
Bibliografija
[1] M. A. Akcoglu, P. F. A. Bartha and D. M. Ha, Analysis in Vector Spaces,
John Wiley and Sons Inc. 2009.
[2] R. A. Baumont and R. S. Pierce, The Algebraic Fundations of Mathematics,
AW, 1963
[3] K. W. Dodge, Sets, Logic, and Numbers, Prindle, 1969.
[4] M. Janji´c, D. Bogdani´c, Uvod u algebru, PMF, Banja Luka, 2012.god.
Download

Predavanja iz Osnova matematike 2014