Mališa Žižoviæ
Olivera Nikoliæ
UNIVERZITET SINGIDUNUM
Prof. dr Mališa Žižović
Prof. dr Olivera Nikolić
K VA N T I TAT I V N E
METODE
Šesto izmenjeno i dopunjeno izdanje
Beograd, 2010.
KVANTITATIVNE METODE
Autori:
Prof. dr Mališa Žižović
Prof. dr Olivera Nikolić
Recenzent:
Prof. dr Dušan Adnađević
Izdavač:
UNIVERZITET SINGIDUNUM
Beograd, Danijelova 32
Za izdavača:
Prof. dr Milovan Stanišić
Tehnička obrada:
Novak Njeguš
Dizajn korica:
Aleksandar Mihajlović
Godina izdanja:
2010.
Tiraž:
1350 primeraka
Štampa:
Mladost Grup
Loznica
ISBN: 978-86-7912- 274-2
SADRŽAJ
Predgovor
III
I - GLAVA
LINEARNA ALGEBRA
1. DETERMINANTE
1.1. DEFINICIJA DETERMINANTE DRUGOG I TREĆEG REDA
1.2. O PARNIM I NEPARNIM PERMUTACIJAMA PRIRODNIH BROJEVA
1.3. DETERMINANTE PROIZVOLJNOG REDA
1.4. OSOBINE DETERMINANATA
1.5. IZRAČUNAVANJE VREDNOSTI DETERMINANATA
1.5.1. Izračunavanje vrednosti determinanata drugog reda
1.5.2. Izračunavanje vrednosti determinanata trećeg reda
1.5.3. Razlaganje determinante po elementima
proizvoljne vrste (kolone)
2
2
3
5
6
7
7
8
9
2. MATRICE
2.1. DEFINICIJA MATRICE
2.2. NEKI POSEBNI OBLICI MATRICA 2.3. OSNOVNE OPERACIJE SA MATRICAMA
2.3.1 Jednakost matrica
2.3.2. Transponovana matrica
2.3.3. Sabiranje i oduzimanje matrica
2.3.4. Množenje matrice brojem
2.3.5 Množenje matrica
2.4. INVERZNA MATRICA
2.5. RANG MATRICE
12
12
13
15
15
15
16
17
17
22
24
3. SISTEMI LINEARNIH JEDNAČINA
3.1. OSNOVNI POJMOVI
3.2. MATRIČNI OBLIK SISTEMA LINEARNIH JEDNAČINA 3.3. REŠAVANJE SISTEMA LINEARNIH JEDNAČINA
3.3.1. Matrično rešenje i Kramerove formule
3.3.2. Gausov algoritam
3.3.3. Kroneker - Kapelijev stav
29
29
30
31
31
33
37
II - GLAVA
FUNKCIJE
4. ELEMENTI MATEMATIČKE ANALIZE
4.1. MODUL REALNOG BROJA
4.2. NEKI PODSKUPOVI SKUPA REALNIH BROJEVA
I NEKE NJIHOVE OSOBINE
4.3. POJAM FUNKCIJE
4.3.1. Pojam funkcije jedne nezavisne promenljive
4.3.2. Grafik funkcije
44
44
5. NIZOVI 5.1. OSNOVNI POJMOVI
5.2. TAČKA NAGOMILAVANJA
5.3. GRANIČNA VREDNOST NIZA
5.4. KOŠIJEV OPŠTI KRITERIJUM KONVERGENCIJE
5.5. ARITIMETIČKE OPERACIJE SA NIZOVIMA
5.6. BESKONAČNO MALI I BESKONAČNO VELIKI NIZOVI
5.7. NEKI VAŽNIJI NIZOVI
58
58
59
60
62
63
64
65
6. REDOVI
6.1. POREDBENI KRITERIJUM
6.2. REDOVI SA POZITIVNIM ČLANOVIMA
6.3. DELIMIČNO SUMIRANJE I ALTERNIRAJUĆI REDOVI
68
69
70
72
7. GRANIČNA VREDNOST FUNKCIJE
7.1. ARITMETIČKE OPERACIJE SA GRANIČNIM VREDNOSTIMA FUNKCIJA
7.2. BESKONAČNO MALE I BESKONAČNO VELIKE FUNKCIJE
7.3. NEKE OSNOVNE GRANIČNE VREDNOSTI
7.4. NEPREKIDNOST FUNKCIJA 7.4.1. Neprekidnost funkcije u tački
7.4.2. Tačke prekida funkcije
7.4.3. Neprekidnost funkcije na intervalu
7.5. GRANIČNA VREDNOST I NEPREKIDNOST
7.6. FUNKCIJA VIŠE PROMENLJIVIH
75
79
46
50
50
54
79
81
83
83
85
86
88
90
III - GLAVA
DIFERENCIJALNI RAČUN
8. DIFERENCIJALNI RAČUN
8.1. IZVOD FUNKCIJE 8.2. DIFERENCIJABILNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE U TAČKI
8.3. DIFERENCIJAL FUNKCIJE 8.4. NAJVAŽNIJE TEOREME DIFERENCIJALNOG RAČUNA 8.5. IZVODI I DIFERENCIJALI FUNKCIJA DVE
NEZAVISNO PROMENLJIVE
8.6. PRIMENA DIFERENCIJALNOG RAČUNA
8.7. EKONOMSKE FUNKCIJE
8.7.1. Funkcija tražnje
8.7.2. Funkcija ponude
8.7.3. Modeli tržišta
8.7.4. Funkcija troškova
8.7.5. Funkcija prihoda
8.7.6. Funkcija dobiti
8.7.7. Elastičnost ekonomskih funkcija
8.7.8. Elastičnost tražnje
94
94
98
104
107
122
127
138
138
140
140
142
144
145
147
148
IV - GLAVA
INTEGRALNI RAČUN
9. NEODREĐENI INTEGRAL
9.1. OSNOVNI POJMOVI VEZANI ZA NEODREĐENI INTEGRAL 9.2. TABLICA NEODREĐENIH INTEGRALA OSNOVNIH FUNKCIJA 9.3. OSNOVNA PRAVILA INTEGRACIJE 9.4 INTEGRACIJA RACIONALNIH FUNKCIJA
9.5. INTEGRACIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
9.6. INTEGRACIJA ALGEBARSKIH IRACIONALNOSTI
9.7. PRIMENA INEGRALNOG RAČUNA
10. određeni integral
10.1. OSNOVNI POJMOVI VEZANI ZA ODREĐENI INTEGRAL
10.2. OSNOVNE TEOREME VEZANE ZA ODREĐENI INTEGRAL
10.3. NESVOJSTVENI INTEGRAL
10.4. PRIMENA ODREĐENOG INTEGRALA
153
153
156
157
165
168
169
170
172
172
177
182
185
V - GLAVA
ELEMENTI TEORIJE VEROVATNOĆE
11. ELEMENTI TEORIJE VEROVATNOĆE
11.1. EKSPERIMENTI SA SLUČAJNIM
ISHODIMA - SLUČAJNI DOGAĐAJI 11.2. POJAM VEROVATNOĆE
11.3. USLOVNE VEROVATNOĆE - NEZAVISNOST
11.4. FORMULA TOTALNE VEROVATNOĆE I BAJESOVA FORMULA
11.5. SLUČAJNE PROMENLJIVE
11.5.1. Jednodimenzionalne slučajne promenljive
11.5.2. Višedimezionalne slučajne promenljive
11.5.3. Marginalne i slučajne raspodele
11.5.4. Nezavisnost slučajnih promenljivih
11.5.5. Numeričke karakteristike slučajnih promenljivih
11.5.6. Disperzija slučajno promenljive
11.5.7. Funkcija raspodele slučajne promenljive
11.5.8. Slučajne promenljive koje se najčešće koriste
11.5.9. Korelacija dve slučajne promenljive
11.5.10. Zakoni velikih brojeva.
Centralna granična vrednost 191
191
194
196
199
203
203
204
206
207
209
211
213
216
216
225
VI - GLAVA
ELEMENTI TEORIJE STATISTIKE
12. UVOD U STATISTIKU
12.1. STATISTIČKO POSMATRANJE, PRIKUPLJANJE
I PRIKAZIVANJE PODATAKA
12.2. O STATISTIČKIM SERIJAMA
12.3. STATISTIČKE TABELE, POLIGONI I HISTOGRAMI
12.4. MERE
12.4.1. Srednje vrednosti
12.4.2. Mere odstupanja i centralni momenti
12.4.3. Mere oblika
12.5. IZBOR SLUČAJNOG PROSTOG UZORKA
12.6. OCENE PARAMETARA
12.7. INTERVALI POVERENJA
12.8. TESTIRANJE STATISTIČKIH HIPOTEZA
227
228
229
230
232
232
241
242
242
243
243
248
12.9. PIRSONOV χ 2 TEST
12.10. METOD NAJMANJIH KVADRATA
12.11. ODREĐIVANJE REGRESIONIH LINIJA POMOĆU UZORKA
257
260
264
VII - GLAVA
FINANSIJSKA I AKTUARSKA MATEMATIKA
13. FINANSIJSKA I AKTUARSKA MATEMATIKA
13.1. PROCENTNI RAČUN
13.2. PROMILNI RAČUN
13.3 PROST INTERESNI RAČUN
13.4. SREDNJI ROK PLAĆANJA
13.5. ESKONTOVANJE
13.6. JEDNAKOST EFEKATA
13.7. SLOŽENI INTERESNI RAČUN
13.8. ELEMENTI OSIGURANJA
13.9. OSIGURANJE KAPITALA UPLATOM MIZE
13.10. MEŠOVITO OSIGURANJE
13.11. OSIGURANJE VIŠEKRATNIM PREMIJAMA
267
267
270
270
276
277
278
279
302
307
312
313
LITERATURA
319
I - GLAVA
LINEARNA ALGEBRA
• DETERMINANTE
• POJAM MATRICE
• OPERACIJE SA MATRICAMA
• RANG MATRICE
• INVERZNA MATRICA
• SISTEMI LINEARNIH JEDNAČINA I METODE ZA NJIHOVO REŠAVANJE
• HOMOGENI SISTEM LINEARNIH JEDNAČINA
• MATRIČNI METOD
CILJEVI UČENJA
Kada ovo poglavlje proučite znaćete:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
šta su matrice,
definišete matrične operacije,
šta su determinante i kako se one izračunavaju,
da definišete i koristite inverzne matrice,
kako izgledaje sistemi linearnih jednačina,
rešavate sisteme lineanih jednačina različitim metodama.
-1-
1. DETERMINANTE
1.1. DEFINICIJA DETERMINANTE DRUGOG I TREĆEG REDA
Rešavajući sistem od dve linearne jednačine sa dve nepoznate
a11x1+a12x2=b1,
(1)
a21x1+a22x2=b2
nekom od poznatih metoda (recimo, metodom jednakih koeficijenata)
dolazimo do sledećeg rešenja
x1 =
a22 h1 − a12 h2
,
a11a22 − a12 a21
uz pretpostavku da je a11a22-a12a21≠0. Lako se uočava da su imenioci u ovim
razlomcima isti i da egzistenciju jedinstvenog rešenja određuje činjenica da li
je a11a22-a12a21≠0 ili ne. Zbog toga se ovaj broj zove determinanta. Pošto
sistem (1) ima dve jednačine sa dve nepoznate, ovu determinantu ćemo zvati
determinantom drugog reda. Dakle, možemo dati sledeću definiciju:
Definicija 1.
Broj D=a11a22-a12a21 se zapisuje u obliku sledeće šeme
D=
a11 a12
a 21 a 22
i naziva se determinanta drugog reda.
Brojevi aij (i=1,2; j=1,2) se nazivaju elementima determinante. Poređani su
u dve vrste i dve kolone. Pri tome smo koristili za svaki element (isto kao i u
-2-
sistemu (1) za koeficijent uz nepoznatu) dva indeksa, pri čemu prvi indeks
označava vrstu u kojoj se element nalazi, a drugi indeks označava kolonu u
kojoj se element nalazi (kod sistema prvi indeks označava jednačinu u kojoj je
koeficijent, a drugi uz koju nepoznatu stoji koeficijent, dok slobodan član ima
jedan indeks - oznaku jednačine u kojoj je).
Do analognog zaključka se dolazi i kod rešavanja sistema
a11x1+a12x2+a13x3=b1,
a21x1+a22x2+a23x3=b2,
a31x1+a32x2+a33x3=b3.
i analogno dajemo definiciju determinante trećeg reda.
Definicija 2.
Broj
D=a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32-a11a23a32-a12a21a33-a13a22a31
zovemo determinantom trećeg reda i zapisujemo u sledećem obliku:
a11 a12 a13
D = a21 a22 a23
a31 a32 a33
1.2. O PARNIM I NEPARNIM PERMUTACIJAMA
PRIRODNIH BROJEVA
Posmatrajmo prvih n prirodnih brojeva 1,2,3,...,n. Njih možemo razmeštati
na razne načine.
Definicija 3.
Sve moguće razmeštaje ovih brojeva zovemo permutacijama.
-3-
Permutaciju (1,2,3,...,n) u kojoj su brojevi poređani po veličini zovemo
prirodnom ili osnovnom permutacijom.
Stav 1. Broj permutacija od n različitih elemenata je n!.
Dokaz: Dokazujemo matematičkom indukcijom.
Za n=1 tvrđenje je tačno, jer jedan element ima samo jedan razmeštaj i 1!=1.
Pretpostavimo da je tvrđenje tačno za n-1 brojeva, tj. da je broj njihovih
permutacija (n-1)!. Dokažimo da je tvrđenje tačno i za n brojeva. Postavimo
broj n na prvo mesto i napravimo sve moguće rasporede od preostalih n-1
brojeva - ima ih (n-1)! po pretpostavci. Postavimo sada n na drugo mesto, a
ostale brojeve rasporedimo na sve moguće načine na preostalih n-1 mesta,
opet imamo (n-1)! permutacija. Produžujući tako do zadnjeg n-tog mesta
dolazimo do zaključka da od n različitih brojeva (elemenata) imamo n(n-1)!=n!
permutacija.
Definicija 4.
U nekoj permutaciji brojeva, dva broja čine inverziju ako nisu u svom
prirodnom poretku, tj. ako veći broj stoji ispred manjeg broja.
Na primer, u permutaciji (3,1,2,4,5) imamo dve inverzije: 3 ispred 1 i 3
ispred 2.
Permutaciju zovemo parnom ako je ukupan broj inverzija paran broj (nulu
takođe ovde smatramo parnim brojem), a neparnom ako je ukupan broj
inverzija neparan broj.
Tako su (1,2,3), (2,3,1) i (3,1,2) parne permutacije, a (1,3,2), (2,1,3) i (3,2,1)
neparne permutacije.
Stav 2. Promena mesta dva elementa parnu permutaciju prevodi u neparnu i
obratno.
-4-
Dokaz: Dokaz izvodimo u dve etape:
(1) Posmatrajmo specijalan slučaj kada su u permutaciji (a1,a2,...,ak,ak+1,...,an)
zamenili mesta susedi ak i ak+1, tj. posmatramo novu permutaciju
(a1,a2,...,ak+1,ak,...,an). Pri takvoj promeni broj inverzija elemenata ak i ak+1 u
odnosu na ostale elemente permutacije isti je u oba slučaja. Pri tome može
biti ak>ak+1 pa će u novoj permutaciji broj inverzija biti smanjen za jedan, a ako
je ak<ak+1, onda će u novoj permutaciji broj inverzija biti povećan za jedan, što
dokazuje stav.
(2) Neka menjaju mesta elementi ak i am, pri čemu između njih u permutaciji
(a1,...,ak,...,am,...,an) ima s elemenata. Dokaz izvodimo tako što menjamo
mesto elementu ak, zamenjujući ga unapred sa susedima s+1 puta do
promene sa elementom am, a zatim menjamo mesto elementu am zamenom
sa susedima u obratnom smeru dok ne dođemo do mesta gde je bio element
ak, tj. s puta. U novoj permutaciji (a1,...,am,...,ak,...,an) smo tako imali ukupno
2s+1 promena parnosti, neparnosti, što dokazuje stav.
1.3. DETERMINANTE PROIZVOLJNOG REDA
Posmatrajući determinantu trećeg reda (a isto i drugog reda) primetimo
prvo da su svi sabirci, proizvodi tačno od po tri elementa uzeti iz svake vrste i
svake kolone po jedan, da prvi indeksi čine osnovnu permutaciju, a da drugi
indeksi za različite sabirke čine različite permutacije i da proizvoda ima tačno
onoliko koliko i permutacija od tri elementa, da proizvodi čiji drugi indeksi čine
parnu permutaciju ulaze u zbir sa znakom +, a ako čine neparnu permutaciju,
sa znakom -.
Ove zakonitosti ćemo uopštiti da bi definisali determinantu proizvoljnog
reda.
Definicija 5.
Determinanta n-tog reda je broj koji je predstavljen kvadratnom šemom od
n-vrsta i n-kolona i koji predstavlja zbir od n sabiraka koji su proizvodi od po
n elemenata uzetih tačno po jedan iz svake vrste i svake kolone. Sabirci čiji
drugi indeksi čine parnu permutaciju ulaze u zbir sa znakom +, a ako čine
neparnu permutaciju, sa znakom -, pri čemu prvi indeksi čine osnovnu
permutaciju.
-5-
Determinantu reda n zapisujemo u obliku sledeće šeme:
D=
a11
a12 . . . a1n
a21
a 22 . . . a 2n
...........
a n1 a n2 . . . a nn
,
i to je broj koji se može i ovako zapisati
D=
(
∑ ( −1)
p k1 ,..., kn )
( k1 ,..., kn )
a1k1 a2 k2 ,..., ankn ,
gde je
⎧⎪1 ako je ( k1 , k2 ,..., kn ) neparna permutacija
p ( ( k1 , k2 ,..., kn ) ) = ⎨
⎪⎩ 2 ako je ( k1 , k2 ,..., kn ) parna permutacija
1.4. OSOBINE DETERMINANATA
Determinante proizvoljnog reda imaju čitav niz zajedničkih osobina. Ovde
ćemo navesti najvažnije, a dokazati samo jednu radi ilustracije.
1) Vrednost determinante se ne menja kada vrste pređu u kolone, odnosno
kolone u vrste.
2) Ako u determinanti promene mesta dve vrste (kolone), determinanta
menja samo znak.
3) Vrednost determinante sa dvema jednakim vrstama (kolonama) je
jednaka nuli.
4) Ako svi elementi jedne vrste (kolone) sadrže zajednički množitelj, onda
je on činilac determinante.
5) Vrednost determinante sa dvema proporcionalnim vrstama (kolonama)
jednaka je nuli.
-6-
6) Ako su svi elementi neke vrste (kolone) zbirovi od po n sabiraka, onda je
determinanta jednaka zbiru n determinanata u kojima su elementi
odgovarajućih vrsta (kolona) prvi, odnosno drugi, odnosno n-ti sabirci,
dok su elementi u ostalim vrstama (kolonama) isti kao u polaznoj
determinanti.
7) Vrednost determinante se ne menja ako jednoj vrsti (koloni) dodamo
odgovarajuće elemente neke druge vrste (kolone) pomnožene jednim
istim brojem.
Dokaz osobine 2: Neka su
a11
D=
a11
a12 . . . a1n
a21
a 22 . . . a 2n
a12 . . . a1n
...........
ak 1 a k2 . . . a kn
i D= ...........
...........
a n1 a n2 . . . a nn
,
a m1 a m2 . . . a mn
...........
a n1 a n2 . . . a nn
gde je D1 determinanta nastala od determinante D promenom mesta k-toj i
m-toj vrsti (k<m). Po definiciji determinante imamo da je
D=
(
∑ ( −1)
p k1 ,..., kn )
( k1 ,..., kn )
a1k1 a2 k2 ,..., ankn .
Ako u permutaciji (s1,...,sm,...,sk,...,sn) promene mesta sk i sm menja se parnost neparnost permutacije i tada je
D=
∑
( s1 ,..., sm ,..., sk ,..., sn )
( −1)
p ( ( s1 ,..., sm ,..., sk ,..., sn ) )
a1s1 a2 s2 ,..., ansn
i posle promene mesta činiocima na k-tom i n-tom mestu (pri čemu se
proizvod ne menja), determinanta D postaje
-7-
D=−
∑
( s1 ,..., sk ,..., sm ,..., sn )
( −1)
p ( ( s1 ,..., sk ,..., sm ,..., sn ) )
a1s1 ...aksk ...amsm ...ansn
a ovaj zbir na desnoj strani je jednak determinanti D1, tj. važi D=D1.
1.5. IZRAČUNAVANJE VREDNOSTI DETERMINANATA
1.5.1. Izračunavanje vrednosti determinanata drugog reda
Prema definiciji 1 iz tačke 2.1. imamo da je
a 11 a 12
a 21 a 22
= a11a22 − a12 a21 .
Prema tome, vrednost determinante drugog reda dobija se ako se od
proizvoda elemenata sa glavne dijagonale oduzme proizvod elemenata sa
sporedne dijagonale.
Primer 1:
.
1 1
= 1 ⋅ 5 − 3 ⋅1 = 2
3 5
Primer 2:
sin x cosx
= sin 2 x − ( − cos 2 x ) = 1 .
-cosx sinx
-8-
1.5.2. Izračunavanje vrednosti determinanata trećeg reda
Vrednost determinante trećeg reda može se izračunati pomoću Sarusovog
pravila. To se pravilo sastoji u tome što se kvadratnoj šemi dopišu s desne
strane prva i druga kolona, zatim se pomnože po tri elementa koji leže na istoj
dijagonali. Proizvod elemenata sa glavne (sporedne) dijagonale i njoj
paralelnih biće pozitivan (negativan). Algebarski zbir ovako dobijenih članova
daje vrednost determinante trećeg reda.
Primer 3:
= 1⋅4⋅8+2⋅5⋅3+3⋅1⋅6-3⋅4⋅3-6⋅5⋅1-8⋅1⋅2=-2.
Često se vrednost determinante trećeg reda izračunava kao algebarski zbir
proizvoda od po tri elementa uzeta po sledećoj šemi:
Znak +
Znak -
Sa znakom + uzimaju se elementi koji leže na glavnoj dijagonali (a11a22a33) i
u temenima dva jednakokraka trougla čije su osnovice paralelne sa glavnom
dijagonalom. Sa znakom - uzimaju se elementi koji leže na sporednoj
dijagonali (a13a22a31) i u temenima dva jednakokraka trougla čije su osnovice
paralelne sporednoj dijagonali.
-9-
Primer 4:
1 3 5
1 2 4 = 1 ⋅ 2 ⋅ 6 + 3 ⋅ 4 ⋅ 3 + 1 ⋅1 ⋅ 5 − 5 ⋅ 2 ⋅ 3 − 1 ⋅ 4 ⋅1 − 1 ⋅ 3 ⋅ 6 = 1 .
3
1
6
1.5.3. Razlaganje determinante po elementima
proizvoljne vrste (kolone)
Ako iz determinante n-tog reda izostavimo i-tu vrstu i j-tu kolonu (u čijem
se preseku nalazi element aij) dobijamo novu determinantu reda n-1 koju
zovemo minorom polazne determinante i koja se označava sa Dij, a koja
odgovara elementu aij. Proizvod (-1)i+jDij označavamo sa Aij i zovemo
algebarskom dopunom elementa aij ili kofaktorom elementa aij. Bez dokaza
navodimo sledeću teoremu, važnu za izračunavanje vrednosti determinanata.
Stav 3. Determinanta n-tog reda je jednaka zbiru proizvoda elemenata proizvoljne vrste (kolone) i njima odgovarajućih kofaktora.
Dakle, razvijena po elementima m-te vrste, determinanta D izgleda ovako:
D=
a11
a12
a13 . . . a1n
a21
a 22
a 23 . . . a 2n
..............
=am1Am1+am2Am2+...+amnAmn.
am1 a m2 a m3 . . .a mn
..............
an1 a n2 a n3 . . . a nn
Ova teorema, poznata kao Laplasova teorema, omogućava izračunavanje
vrednosti determinante n-tog reda preko determinanata (n-1)-reda, a
koristeći se još i osobinama determinanata, izračunavanje vrednosti
determinante n-tog reda se može svesti na izračunavanje vrednosti samo
jedne determinante (n-1)-reda, što će biti objašnjeno na primeru:
- 10 -
Primer 5:
Izračunati
2
D=
3 1 1
1 2
1 1
3 1
2 3
1 1
1 2
Rešenje: Razvijajući prema Laplasovoj teoremi po elementima prve vrste
dobijamo:
D = 2 ⋅ ( −1)
1+1
2 3 1
1 3 1
1 2 1
1 2 3
1+ 2
1+ 3
1+ 4
1 2 3 + 3 ⋅ ( −1) 1 2 3 + 1 ⋅ ( −1) 1 1 3 + 1 ⋅ ( −1) 1 1 2
1 1 2
1 1 2
1 1 2
1 1 1
i računanje ove determinante smo sveli na računanje četiri determinante
trećeg reda. Rezultat posle računanja pomoću Sarusovog pravila
determinanata trećeg reda je
D=-1.
Primetimo da ako bi u prvoj vrsti neki element bio jednak nuli, tada tu
determinantu trećeg reda ne računamo (jer je 0⋅a=0). Dakle, ako koristimo
osobine determinanata u nekoj vrsti (koloni) dobijamo da su svi elementi
izuzev jednog nule, onda se računanje determinanata četvrtog reda svodi na
računanje jedne determinante trećeg reda. U ovom slučaju pomnožimo prvu
kolonu sa -1, pa dodajmo drugoj, dobijamo:
D=
2 1 1 1
1 1 3 1
1 0 2 3
1 0 1 2
- 11 -
U ovoj determinanti pomnožimo prvu vrstu sa -1 pa dodajmo drugoj vrsti,
tada je
2 1 1 1
1 1 3 1
D=
1 0 2 3
1 0 1 2
i razvijemo po elementima druge kolone:
D = 1 ⋅ ( −1)
1+ 2
−1 2 0
1 2 3 = −1 .
1 1 2
- 12 -
2. MATRICE
2.1. DEFINICIJA MATRICE
Matrica
tipa
mxn
je
skup
od
m⋅n
brojeva
a ij
(i=1,2,3,...,m;
j=1,2,3,...,n) ili nekih drugih matematičkih veličina, raspoređenih u m vrsta i n
kolona u obliku pravougaone šeme (tablice) koju stavljamo u uglastu zagradu
⎡ a1 a 12 ... a 1n ⎤
⎢ a a ... a ⎥
2n ⎥
⎢ 21 22
⎢..................... ⎥
⎢
⎥
⎣ a m1 a m 2 ... a mn ⎦
Brojevi
(1)
a ij (i=1,2,3,...,m; j=1,2,3,...,n) matrice (1) su njeni elementi. Prvi
indeks (i) obeležava vrstu, a drugi (j) kolonu u kojoj se element nalazi.
U opštem slučaju elementi matrice mogu biti bilo koji matematički objekti:
realni brojevi, kompleksni brojevi, funkcije, vektori itd.
Samu matricu označavamo velikim slovima A, B, C,... Često ćemo, da bi
uprostili pisanje matrica, matricu (1) označavati kratko i na sledeći način
⎡⎣ aij ⎤⎦
m,n
Horizontalni redovi se nazivaju vrste, a vertikalni kolone. Tako, na primer,
elementi
ai1 ai2 ai3 ... ain
matrice (1) čine njenu i-tu vrstu, a elementi
a1j
a2j
a3j
.
.
.
amj
njenu j-tu kolonu.
- 13 -
2.2. NEKI POSEBNI OBLICI MATRICA
Broj vrsta (m) i broj kolona (n) u matrici može biti proizvoljan, pri čemu broj
vrsta može biti i manji i jednak i veći od broja kolona. Posebno važnu ulogu
imaju kvadratna matrica, zatim matrica-vrsta, matrica-kolona, dijagonalna i
jedinična matrica.
Definicija 1.
Ako je u matrici (1) broj vrsta jednak broju kolona (m=n), matrica je
kvadratna i to, kako se onda kaže, reda n. U kvadratnoj matrici
⎡a11 a12 ... a1n ⎤
⎢a a ... a ⎥
2n ⎥
A= ⎢ 21 22
⎢.....................⎥
⎢
⎥
⎣a n1 a n 2 ... a nn ⎦
(2)
elementi a11 a22 a33 ... ann čine glavnu dijagonalu matrice, a elementi a1n a2(n1) ... an1 sporednu dijagonalu matrice.
Sa kvadratnom matricom (2) vezuje se determinanta čiji su elementi,
elementi kvadratne matrice A. Naziva se determinanta kvadratne matrice i
označava se detA, tj.
a 11 a 12 ... a 1n
det A=
a 21 a 22 ... a 2 n
.....................
a n1 a n 2 ... a nn
Ako je determinanta kvadratne matrice A različita od nule (detA ≠ 0 )
matrica A je regularna, a ako je jednaka nuli, ona je singularna.
- 14 -
Definicija 2.
Matrica-vrsta je matrica koja ima jednu vrstu (m=1), a proizvoljno kolona (nproizvoljno), tj. matrica oblika
[a1 a2 a3 ... an].
Definicija 3.
Matrica-kolona je matrica koja ima jednu kolonu (n=1), a proizvoljno vrsta
(m-proizvoljno), tj. matrica oblika
⎡a 1 ⎤
⎢a ⎥
⎢ 2⎥
⎢a 3 ⎥
⎢ ⎥
⎢. ⎥
⎢. ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢a ⎥
⎣ m⎦
Definicija 4.
Matrica sa proizvoljnim brojem vrsta i kolona čiji su svi elementi nule naziva
se nula matrica.
U algebri matrica takva matrica ima ulogu nule i označava se sa 0.
Definicija 5.
Kvadratna matrica, čiji su svi elementi van glavne dijagonale nule, zove se
dijagonalna matrica. Zapisuje se u obliku
⎡a11 0 0 0 0
⎢0 a 0 0 0
22
⎢
⎢0 0 a 33 0 0
⎢
⎢. . . . .
⎢0 0 0 0 a nn
⎣
- 15 -
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
Definicija 6.
Dijagonalna matrica čiji su svi elementi na glavnoj dijagonali jedinice, tj.
matrica
⎡1 0 0 0 0 ⎤
⎢0 1 0 0 0 ⎥
⎢
⎥
⎢0 0 1 0 0 ⎥
⎥
⎢
⎢. . . . . ⎥
⎢⎣0 0 0 0 1 ⎥⎦
naziva se jedinična matrica i obeležava se I ili E.
U slučaju ako je red jedinične matrice n obeležavaćemo sa In ili En. Jedinična
matrica pri množenju matrica ima u algebri matrica istu ulogu kao i obična
jedinica u algebri brojeva.
2.3 OSNOVNE OPERACIJE SA MATRICAMA
2.3.1 Jednakost matrica
Definicija 7.
Za dve matrice A = ⎡⎣ aij ⎤⎦ m,n i B = ⎡⎣bij ⎤⎦ p,q kažemo da su jednake kada su one
istog tipa (m=p, n=q) i kada imaju jednake odgovarajuće elemente.
Drugim rečima, ako su matrice A = ⎡⎣ aij ⎤⎦ i B = ⎡⎣bij ⎤⎦ tipa mxn, one su jednake
ako i samo ako je:
aij=bij (i=1,2,...m; j=1,2,...n).
- 16 -
2.3.2. Transponovana matrica
Ako u matrici A vrste pređu u kolone, odnosno kolone u vrste, ne menjajući
pri tome redosled, dobija se transponovana matrica matrice A, koja se
označava AT. Prema tome, ako je
⎡ a 11 a 12 ... a 1 n
⎢a
⎢ 21 a 22 ... a 2 n
A= ⎢
.......... .......... .
⎢
⎣ a m 1 a n 2 ... a nn
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎡a 11 a 21 ... a m1 ⎤
⎢a a ... a ⎥
m2 ⎥
onda je A T = ⎢ 12 22
⎢..................... ⎥
⎢
⎥
⎣a 1n a 2 n ... a mn ⎦
2.3.3. Sabiranje i oduzimanje matrica
Definicija 8.
Pod zbirom dve matrice istog tipa mxn podrazumevamo matricu istog tipa
mxn čiji su elementi jednaki zbiru odgovarajućih elemenata matrica koje se
sabiraju.
Drugim rečima, ako su matrice A = ⎡⎣ aij ⎤⎦ i B = ⎡⎣bij ⎤⎦ tipa mxn, onda je
A + B = C = ⎡⎣ aij + bij ⎤⎦
.
Analogno definišemo zbir konačnog broja matrica istog tipa mxn.
Polazeći od definicije (1) nije teško pokazati da za sabiranje matrica važi
sledeći stav.
m,n
Stav 1.
Sabiranje matrica ima osobine:
A+B=B+A (komutativnost),
(A+B)+C=A+(B+C) (asocijativnost),
A+0=0+A=A.
- 17 -
Razlika dve matrice definiše se analogno: A-B=[aij-bij] m,n gde su A i B
matrice tipa mxn.
Definicija 9.
Dve matrice A i B su istog tipa mxn čiji je zbir nula matrica, tj. kada je A+B=0
zovu se suprotne. Iz A+B=0 sledi da je aij+bij=0, tj. bij=-aij, što znači da su
elementi suprotnih matrica suprotni brojevi. Za matricu B čiji su svi elementi
suprotni elementima matrice A, pišemo
B = ⎣⎡bij ⎦⎤
nn
= ⎣⎡ − aij ⎦⎤
nn
= − A.
2.3.4. Množenje matrice brojem
Definicija 10.
Proizvod matrice A = ⎡⎣ aij ⎤⎦ m,n i broja k je matrica tipa mxn čiji su elementi
jednaki proizvodu odgovarajućih elemenata matrice A i broja k, tj.
A ⋅ k = k ⋅ A = ⎡⎣ kaij ⎤⎦
m,n
.
Za operaciju množenja matrice brojem važe zakoni množenja dati sledećim
stavom.
Stav 2. Operacija množenja matrice brojem ima osobine
s (kA)=(sk)A=k(sA),
k(A+B)=kA+kB,
(k+s)A=kA+sA
gde su k,s brojevi i A, B matrice istog tipa.
Takođe je očigledno da je
1.A=A,
A. 0=0 (nula matrica).
- 18 -
2.3.5 Množenje matrica
Dve matrice A = ⎡⎣ aij ⎤⎦ m,n i B = ⎡⎣bij ⎤⎦ p,q se mogu pomnožiti jedna sa drugom
samo u slučaju kada je broj kolona prve matrice u proizvodu jednak broju
vrsta druge matrice u proizvodu.
Na taj način, za gore napisane matrice A,B proizvod AB možemo izračunati
samo u slučaju kada je n=p, a proizvod BA samo kada je q=m .
Definicija 11.
Proizvod AB matrica A = [ aik ]
i B = ⎡⎣bkj ⎤⎦
elementi cij određeni sledećom formulom
m,n
n,p
je matrica C = ⎡⎣cij ⎤⎦
m,p
, čiji su
n
cij = ∑ aik bkj = ai1b1 j + ai 2b2 j + ... + ain bnj
k =1
( i = 1, 2,..., m; j=1,2,...,p ) .
Prema tome, obrazovanje elementa cij (element iz i-te vrste i j-te kolone
matrice C=AB) je dosta jednostavno: uočavaju se i-ta vrsta matrice A i j-ta
kolona matrice B:
⎡...b1 j ... ⎤
⎢
⎥
⎡................... ⎤ ⎢...b2 j ...⎥
⎢ a a a ...a ⎥ ⋅ ⎢...b ...⎥
⎢ i1 i2 i3 in ⎥ ⎢ 3 j ⎥
⎢⎣................... ⎥⎦ ⎢.......... ⎥
⎢
⎥
⎢⎣...bnj ... ⎥⎦
zatim se svaki element i-te vrste množi sa odgovarajućim elementom j-te
kolone i dobijeni proizvodi saberu. Pri tome su odgovarajući elementi
ai1 i b1j, ai2 i b2j,...,i ain i bnj .
Primetimo da matrica C=AB ima toliko vrsta koliko ih ima u prvom faktoru
(matrici A) i toliko kolona koliko ih ima u drugom faktoru (matrici B) proizvoda
AB:
Amxn⋅Bnxp=Cmxp
- 19 -
Primer 1:
Naći proizvod AB ako je
⎡1
⎢2
⎡1 2 1 0 ⎤
⎢
A=⎢
,
=
B
⎥
⎢1
⎣ 2 1 2 3⎦
⎢
⎣3
2⎤
1⎥⎥
1⎥
⎥
3⎦
Rešenje:
⎡1 2 ⎤
⎢
⎥
⎡1 2 1 0 ⎤ ⎢ 2 1⎥
AB = ⎢
⎥⋅
⎣ 2 1 2 3⎦ ⎢1 1 ⎥
⎢
⎥
⎣ 3 3⎦
⎡1 ⋅ 1+2 ⋅ 2+1 ⋅ 1+0 ⋅ 3 1 ⋅ 2+2 ⋅ 1+1 ⋅ 1+0 ⋅ 3⎤
=⎢
⎥
⎣ 2 ⋅ 1+1 ⋅ 2+2 ⋅ 1+3 ⋅ 3 2 ⋅ 2+1 ⋅ 1+2 ⋅ 1+3 ⋅ 3 ⎦
⎡ 6 5⎤
=⎢
⎥.
⎣15 16⎦
Iz definicije proizvoda dve matrice proizilazi da za proizvod dve matrice
uopšte uzevši ne važi zakon komutativnosti, tj.
AB ≠ BA.
U stvari, kao prvo, može se desiti da proizvod AB ima smisla, a da je
proizvod BA nemoguće izračunati (broj kolona matrice A jednak je broju vrsta
matrice B, no broj kolona matrice B nije jednak broju vrsta matrice A); drugo, i
ako je moguće naći oba ta proizvoda, oni u opštem slučaju neće biti jednaki.
Definicija 12.
Za dve kvadratne matrice jednog te istog tipa čiji proizvod ne zavisi od
poretka činioca (AB=BA) kažemo da su komutativne.
- 20 -
Ostale osobine množenja matrica iskazane su sledećim stavom koji
navodimo bez dokaza.
Stav 3. Množenje matrica ima sledeće osobine:
(1)
(2)
(3)
(4)
(AB)C=A(BC)=ABC
A(B+C)=AB+AC
(A+B)C=AC+BC
AI=IA=A.
Primer 2:
Za matrice
⎡2 1⎤
⎡1 2⎤
A = ⎢ ⎥ i B = ⎢⎢0 1⎥⎥
⎣0 1⎦
⎢⎣1 0⎥⎦
proizvod AB nema smisla; međutim proizvod BA možemo naći:
⎡ 2 ⋅ 1 + 1 ⋅ 0 2 ⋅ 2+1 ⋅ 1⎤ ⎡ 2 5⎤
BA = ⎢⎢0 ⋅ 1+1 ⋅ 0 0 ⋅ 2+1 ⋅ 1 ⎥⎥ = ⎢⎢ 0 1 ⎥⎥ .
⎢⎣1 ⋅ 1+0 ⋅ 0 1 ⋅ 2+0 ⋅ 1 ⎥⎦ ⎢⎣1 2 ⎥⎦
Primer 3:
Za matrice
⎡1 2 1 ⎤
A=⎢
⎥,
⎣3 1 2 ⎦
moguća su oba proizvoda:
- 21 -
⎡ 2 -1 ⎤
B= ⎢⎢1 3 ⎥⎥ ,
⎢⎣0 1⎥⎦
⎡1 ⋅ 2 + 2 ⋅ 1 + 1 ⋅ 0
AB = ⎢
⎣⎢3 ⋅ 2 + 1 ⋅ 1 + 2 ⋅ 0
1( -1) + 2 ⋅ 3 + 1 ⋅ 1 ⎤ ⎡ 4 6 ⎤
⎥=⎢
⎥
3 ( -1) + 1 ⋅ 3 + 2 ⋅ 1⎦⎥ ⎣7 2 ⎦
⎡ 2 ⋅ 1 − 1 ⋅ 3 2 ⋅ 2-1 ⋅ 1
BA = ⎢⎢1 ⋅ 1+3 ⋅ 3 1 ⋅ 2+3 ⋅ 1
⎣⎢0 ⋅ 1+1 ⋅ 3 0 ⋅ 2+1 ⋅ 1
2 ⋅ 1-1 ⋅ 2 ⎤ ⎡ −1 3 0 ⎤
1 ⋅ 1+3 ⋅ 2 ⎥⎥ = ⎢⎢ 10 5 7 ⎥⎥ .
0 ⋅ 1+1 ⋅ 2 ⎦⎥ ⎣⎢ 3 1 2 ⎥⎦
Matrice AB i BA ne samo da nisu međusobno jednake, već su i različitih
tipova.
Primer 4:
Matrice
⎡2 3 ⎤
⎡3 6 ⎤
A=⎢
B=⎢ ⎥
⎥
⎣1 4 ⎦
⎣2 7 ⎦
su komutativne, jer je
⎡2 ⋅ 3 + 3 ⋅ 2
AB = ⎢
⎣1 ⋅ 3 + 4 ⋅ 2
⎡3 ⋅ 2 + 6 ⋅1
BA = ⎢
⎣ 2 ⋅ 2 + 7 ⋅1
2 ⋅ 6 + 3 ⋅ 7 ⎤ ⎡12 33⎤
,
=
1 ⋅ 6 + 4 ⋅ 7 ⎥⎦ ⎢⎣11 34 ⎥⎦
3 ⋅ 3 + 6 ⋅ 4 ⎤ ⎡12 33⎤
=
,
2 ⋅ 3 + 7 ⋅ 4⎥⎦ ⎢⎣11 34 ⎥⎦
tj. AB=BA.
Primer 5:
Za dijagonalne matrice
⎡ a1 0 0 0 0
⎢0 a 0 0 0
2
⎢
A= ⎢0 0 a 3 0 0
⎢
⎢. . . . .
⎢0 0 0 0 a n
⎣
je
⎤
⎡b1 0 0 0 0
⎥
⎢0 b 0 0 0
2
⎥
⎢
⎥ , B= ⎢0 0 b 3 0 0
⎥
⎢
⎥
⎢. . . . .
⎥
⎢0 0 0 0 b n
⎦
⎣
- 22 -
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎡ a 1 b1 0 0 0 0
⎢0 a b 0 0 0
2 2
⎢
AB=BA= ⎢0 0 a 3 b 3 0 0
⎢
⎢. . . . .
⎢0 0 0 0 a n b n
⎣
⎤
⎥
⎥
⎥.
⎥
⎥
⎥
⎦
Prema tome, dijagonalne matrice istog tipa (nxn) uvek su komutativne.
Njihov proizvod je dijagonalna matrica čiji su elementi jednaki proizvodu
dijagonalnih elemenata matrice koje se množe, i tipa je (nxn).
2.4. INVERZNE MATRICE
Definicija 13.
Inverzna matrica A-1 kvadratne matrice A je takva matrica koja pomnožena
sa A bilo sleva bilo zdesna daje jediničnu matricu I, tj.
AA-1= A-1A=I.
Iz definicije 13 sledi da je svaka kvadratna matrica komutativna sa svojom
inverznom matricom.
Sledeći - osnovni stav koji navodimo bez dokaza daje nam odgovor na
pitanje koje matrice imaju inverznu matricu, i daje jedan od načina formiranja
inverzne matrice.
Stav 4.
Svaka regularna matrica A ima jednoznačno određenu inverznu matricu A-1
čiji su elementi a'ik određeni formulom
a 'ik =
Aki
det A
( i=1,2,...,n;
k=1,2,...,n ) ,
gde je A ki kofaktor elementa a'ik determinante det A.
- 23 -
Prema tome, inverzna matrica kvadratne matrice A reda n je
⎡ A11 A 21 A 31 ... An1 ⎤
⎢
⎥
1 ⎢ A12 A 22 A 32 ... An 2 ⎥
1
=
A−1 =
A*
det A ⎢........................... ⎥ det A
⎢
⎥
⎣ A1n A 2n A 3n ... Ann ⎦
gde matricu
A*
nazivamo adjungovanom matricom matrice A.
Primer 6:
Data je matrica
⎡1 2 4 ⎤
A = ⎢⎢3 5 2 ⎥⎥
⎢⎣ 4 6 6 ⎥⎦
Ispitati da li data matrica ima inverznu matricu A-1, i ako je ima naći je.
Rešenje:
Determinanta matrice A je jednaka -10. Prema tome, data matrica A je
regularna i prema stavu 4 ima inverznu matricu A-1.
Nađimo kofaktore Aij elemenata determinante detA:
A11=18 A12=-10
A21=12 A22=-10
A31=-16 A32=10
A13=-2
A23=2
A33=-1
Na osnovu stava 4 imamo
- 24 -
⎡ A11 A 21 A 31... An1 ⎤
⎢
⎥
1 ⎢ A12 A 22 A 32 ... An 2 ⎥
1
−1
=
A =
det A ⎢........................... ⎥ det A
⎢
⎥
⎣ A1n A 2n A 3n ... Ann ⎦
Napomenimo da za bilo koji prirodan broj m važi
A-m=(A-1)m,
gde je A kvadratna matrica.
2.5. RANG MATRICE
Definicija 14.
Ako se u matrici A tipa mxn izostave p ( ≤ m ) vrsta i q ( ≤ n ) kolona, tako da
preostali elementi čine kvadratnu matricu tipa (m-pxn-q), onda se ta
kvadratna matrica naziva kvadratna submatrica matrice A, a njena
determinanta minor matrice A.
Definicija 15.
Matrica A ima rang r ako među njenim minorima postoji bar jedan r-redni
minor različit od nule, dok su svi minori višeg reda (ako ih ima) jednaki nuli.
Rang nula-matrice je 0.
Ako je r rang matrice A, to se označava rang A=r.
- 25 -
Primer 7:
Odrediti rang matrice
⎡ 2 1 1 1 1⎤
⎢1 2 3 5 -1 ⎥
⎥.
A=⎢
⎢1 -1 1 3 -2 ⎥
⎢
⎥
⎣ 4 -4 4 12 -8 ⎦
Rešenje:
Prvo, izračunajmo sve minore četvrtog reda date matrice A (u ovom slučaju
najvišeg reda). Pošto matrica A ima četiri vrste i pet kolona, to će ona imati
5⋅ 4 ⋅3⋅ 2
4
C 5 = ( 54 ) =
=5
1⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4
minora četvrtog reda, koji će se jedan od drugog razlikovati samo kolonama:
2 1
1 2
D1 =
1 -1
4 -4
D3 =
2
1
1
2
1 -1
4 -4
1 1
2 1 1 1
3 5
1 2 3 -1
= 0, D2 =
= 0,
1 3
1 -1 1 -2
4 12
4 -4 4 -8
1 1
5 -1
3 -2
12 -8
= 0, D4 =
2
1
1
3
1 1
5 -1
1
4
1 3 -2
4 12 -8
= 0, D5 =
1
2
1
3
1 1
5 -1
-1
-4
1 3 -2
4 12 -8
= 0.
Sve ove determinante jednake su nuli jer je u svakoj od njih četvrta vrsta
proporcionalna trećoj. Prema tome, rang matrice A nije četiri.
- 26 -
Ispitajmo sada, minore trećeg reda. Kako je
2
1
1
2
1 -1
1
3 = 9 ≠ 0,
1
dobija se rang A=3.
Broj minora različitog reda date matrice obično je vrlo veliki. Ako je m<n,
minora najvišeg reda m biće ( n ), a ako je n<m, minora najvišeg reda n biće
m
m
( ). Zato određivanje ranga matrice oslanjajući se neposredno na
n
izračunavanje minora date matrice obično zahteva dosta računanja, pa se za
određivanje ranga matrice koriste i drugi metodi. Jedan od njih se bazira na
sledećem stavu koji bez dokaza navodimo.
Stav 5.
Rang matrice se ne menja ako se izvrše sledeće operacije:
(1) Razmena mesta dve vrste (kolone);
(2) Dodavanje elementima jedne vrste (kolone) elemenata neke druge vrste
(kolone), pošto su prethodno pomnoženi jednim brojem;
(3) Množenje elemenata jedne vrste (kolone) jednim brojem različitim od
nule;
(4) Sve vrste zamene kolonama.
Operacije pod 1-4 zovemo elementarnim transformacijama matrice.
Definicija 16.
Za dve matrice koje se mogu transformisati jedna u drugu konačnim brojem
elementarnih transformacija kaže se da su ekvivalentne.
Ako su dve matrice A i B ekvivalentne, to se označava A~B.
- 27 -
Stav 6.
Pri izostavljanju jedne vrste (kolone) neke matrice rang matrice se ne menja
ako i samo ako je dotična vrsta (kolona) linearna kombinacija nekih (ili svih)
preostalih vrsta (kolona). U protivnom slučaju rang matrice se smanjuje za
jedan.
Određivanje ranga matrice
(1)
⎡a11 a12 ... a1n ⎤
⎢a a ... a ⎥
2n ⎥
A= ⎢ 21 22
⎢..................... ⎥
⎢
⎥
⎣a m1 a m 2 ... a mn ⎦
pomoću elementarnih transformacija matrice se sastoji u tome da se pomoću
elementarnih transformacija data matrica (1) svede na ekvivalentnu matricu specijalnog oblika:
(2)
⎡b11 b12 ...b1r ...b1n ⎤
⎢
⎥
0
b 22 ...b2 r ...b2 n ⎥
⎢
(r≤n)
B=
⎢......................... ⎥
⎢
⎥
0 ... b rr ...brn ⎦
⎣0
u kojoj su svi "dijagonalni" elementi a11,a22,...,arr različiti od nule, a elementi
ispod "dijagonale" jednaki nuli. Dakle, rang matrice B je jednak broju r, a
kako je matrica B ekvivalentna sa matricom A, imamo da je
rang A=rangB=r.
Samo svođenje matrice A oblika (1) na specijalni oblik (2) vrši se
ustaljenim postupkom: Neka je matrica A oblika (1). Pre svega napomenimo
da ako se u procesu transformisanja matrice A pojavi vrsta koja je linearna
kombinacija nekih drugih vrsta, ili vrsta čiji su svi elementi jednaki nuli, onda
se ta vrsta na osnovu stava 6 može izostaviti. Na taj način, u svakoj preostaloj
vrsti postoji bar jedan element koji nije jednak nuli. Koristeći to nalazimo u
prvoj vrsti matrice A element a1j koji je različit od nule. Razmenom mesta (ako
- 28 -
je j>1) prve i j-te kolone dovodimo taj element (a1j) na prvo mesto u prvoj
vrsti. Na taj način možemo pisati a11 ≠ 0 . Dodavanjem svakoj vrsti počevši od
druge, prvu vrstu pomnoženu sa odgovarajućim brojem (za i-tu vrstu on je
−
ai1
) dobijamo matricu oblika
a11
⎡a11 a12 ...a13 ..... a1n ⎤
⎢
⎥
0 a , 22 a , 23 .. a , 2 n ⎥
⎢
A1=
,
⎢......................... ⎥
⎢ ,
⎥
,
,
⎣⎢0 a m 2 a m3 ... a mn ⎦⎥
u kojoj su svi elementi prve kolone izuzev a11 jednaki nuli. Sada, u drugoj vrsti
matrice A1 nalazimo element a2k, koji je različit od nule. Pomoću razmene
mesta kolona (ako je k>2) taj element ( a2k, ) dovodimo na drugo mesto u
drugoj vrsti; dodavanjem svakoj vrsti počevši od treće, drugu vrstu
pomnoženu sa odgovarajućim brojem, dobijamo matricu oblika
⎡a11 a12 ... a13 ..... a1n ⎤
⎢
⎥
,
,
,
⎢0 a 22 a 23 .... a 2 n ⎥
A2= ⎢0 0 a ,, 33 .... a ,, 3n ⎥.
⎢
⎥
⎢.........................
⎥
⎢
⎥
a ,, m3 .... a ,, mn ⎦⎥
⎣⎢0 0
Produžujući postupak, dobijamo matricu oblika (2).
Primer 8:
Odrediti rang matrice
⎡− 1
⎢- 3
A=⎢
⎢- 3
⎢
⎣- 5
5⎤
3 3 2 5 ⎤ ⎡− 1 3 3 2
⎢
⎥
5 2 3 4 ⎥⎥ ⎢ 0 - 4 - 7 - 3 - 11 ⎥
~
1 - 5 0 - 7 ⎥ ⎢0 - 8 - 14 - 6 - 22 ⎥
⎥
⎥ ⎢
7 1 4 α ⎦ ⎣0 - 8 - 14 - 6 α - 25 ⎦
- 29 -
(Elementima druge vrste dodati su elementi prve vrste pomnoženi sa -3;
elementima treće vrste dodati su elementi prve vrste pomnoženi sa -3;
elementima četvrte vrste dodati su elementi prve vrste pomnoženi sa -5). U
zadnjoj matrici treća vrsta je linearna kombinacija druge vrste te se može
izostaviti, pa dobijamo
⎡1 3 3 2
-11
A~ ⎢⎢0 -4 -7 -3
⎢⎣ 0 -8 -14 -6 α-24
5⎤ ⎡1 3 3 2
⎥ ~ ⎢ 0 -4 -7 -3
-11
⎥ ⎢
⎦⎥ ⎣⎢ 0 -8 -14 -6 α-24
5⎤
⎥
⎥
⎦⎥
(Elementima treće vrste dodati su elementi druge vrste pomnoženi sa -2). Ako
u zadnjoj matrici peta i treća kolona razmene mesta dobijamo:
3
2
5⎤
⎡1 3
⎢
A~ ⎢0 -4 -7 -3 -11 ⎥⎥
⎢⎣0
0
0 0 α-3 ⎥⎦
Rang poslednje matrice, a samim tim i date je 3, za α ≠ 3 , odnosno njen
rang je 2 za α = 3 .
- 30 -
3. SISTEMI LINEARNIH JEDNAČINA
3.1. OSNOVNI POJMOVI
Definicija 1.
Sistem od m linearnih jednačina sa n nepoznatih x1,x2,...,xn čine
jednačine
a11x1+a12x2+...+a1nxn=b1,
a21x1+a22x2+...+a2nxn=b2,
(1)
......................
am1x1+am2x2+...+amnxn=bm,
gde su aij,bi (i=1,2,...,m; j=1,2,...,n) dati brojevi, pri čemu se brojevi aij
nazivaju koeficijentima uz nepoznate, a bi slobodni članovi sistema
jednačina.
Definicija 2.
Rešenjem sistema linearnih jednačina (1) nazivamo vrednosti iz
uređene n-torke (c1, c2,...cn) za koje jednačine sistema prelaze u
identitete, posle zamene nepoznatih xi odgovarajućim vrednostima ci,
tj:
a11c1+a12c2+...+a1ncn≡b1,
a21c1+a22c2+...+a2ncn≡b2,
......................
am1c1+am2c2+...+amncn≡bm.
Definicija 3.
Za sistem (1) kaže se da je saglasan ako ima bar jedno rešenje; u
protivnom, sistem je nesaglasan.
Saglasan sistem je određen ako ima samo jedno rešenje, a neodređen
ako ima više od jednog rešenja.
- 31 -
Definicija 4.
Za dva sistema linearnih jednačina sa istim brojem nepoznatih kažemo
da su ekvivalentna ako je svako rešenje jednog sistema istovremeno
rešenje i drugog sistema i obratno (ili ako su istovremeno oba
nesaglasna).
3.2. MATRIČNI OBLIK SISTEMA LINEARNIH JEDNAČINA
Sistem jednačina (1) može se pomoću matrica predstaviti u obliku
matrične jednačine
(2)
AX=H,
gde je
A - matrica sistema, tj. matrica čiji su elementi koeficijenti uz nepoznate
x1, x2,..., xn:
⎡ a11 a12 ... a1n ⎤
⎢a
a 22 ... a 2n ⎥⎥
,
A = ⎢ 21
⎢........................ ⎥
⎢
⎥
⎣ am1 a m2 ... a mn ⎦
X - matrica-kolona čiji su elementi nepoznate x1 ,x2,..., xn;
H - matrica-kolona čiji su elementi slobodni članovi b1, b2,..., bm;
⎡ x1 ⎤
⎡b1 ⎤
⎢x ⎥
⎢b ⎥
⎢ 2⎥
⎢ 2⎥
⎢. ⎥
⎢. ⎥
X =⎢ ⎥, H =⎢ ⎥
⎢. ⎥
⎢. ⎥
⎢. ⎥
⎢. ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢⎣bn ⎥⎦
⎣⎢ xn ⎦⎥
Zaista, kako je broj kolona matrice A jednak broju vrsta matrice X, to
možemo naći proizvod AX:
- 32 -
⎡ a11x1 +a12 x 2 + . . . +a1n x n ⎤
⎢
⎥
a21x1 +a 22 x 2 + . . . +a 2 n x n ⎥
⎢
AX =
⎢. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
⎥
⎢
⎥
⎣ am1x1 +a m 2 x 2 + . . . +a mn x n ⎦
Elementi dobijene matrice-kolone AX su leve strane jednačina
sistema (1), te se na osnovu definicije jednakosti dve matrice, sistem (1)
može napisati u obliku matrične jednačine (2).
3.3. REŠAVANJE SISTEMA LINEARNIH JEDNAČINA
3.3.1. Matrično rešenje i Kramerove formule
Posmatrajmo sistem od n linearnih jednačina sa n nepoznatih
(1)
a11x1+a12x2+...+a1nxn=b1,
a21x1+a22x2+...+a2nxn=b2,
...........................................
an1x1+an2x2+...+annxn=bn,
ili u matričnom obliku
(2)
AX=H,
gde je matrica sistema A - kvadratna matrica reda n. Pretpostavimo da
je determinanta matrice A različita od nule, tj.
⎡ a11 a12 ... a1n ⎤
⎢a
a 22 ... a 2n ⎥⎥
A = ⎢ 21
⎢........................ ⎥
⎢
⎥
⎣ am1 a m2 ... a mn ⎦
Tada A ima inverznu matricu A-1 i množenjem obe strane jednačine (2)
sleva sa A-1, dobijamo A-1(AX)=A-1H.
- 33 -
Kako je
A-1(AX)=(A-1A)X=IX=X
to je
X=A-1H
i ovaj način rešavanja zovemo matrično rešenje sistema (1).
Takođe iz
X=A-1H,
odnosno
⎡ x1 ⎤
⎢x ⎥
⎢ 2⎥
⎢. ⎥
1
⎢ ⎥=
⎢. ⎥ det A
⎢. ⎥
⎢ ⎥
⎣⎢ xn ⎦⎥
⎡ A11 A 21 . . . A n1 ⎤
⎢A A . . . A ⎥
22
n2 ⎥
⎢ 12
⎢.
⎥
⎢
⎥
⎢.
⎥
⎢.
⎥
⎢
⎥
⎣⎢ A1n A 2n . . . A nn ⎦⎥
⎡b1 ⎤
⎢b ⎥
⎢ 2⎥
⎢. ⎥
⋅⎢ ⎥ =
⎢. ⎥
⎢. ⎥
⎢ ⎥
⎣⎢bn ⎦⎥
⎡ A11b1 + A21b2 + . . . +A n1bn ⎤
⎢ A b + A b + . . . +A b ⎥
22 2
n2 n ⎥
⎢ 12 1
1 ⎢. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ⎥
=
⎢
⎥
det A ⎢ A1i b1 + A2i b2 + . . . +A ni bn ⎥
⎢. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ⎥
⎥
⎢
⎣⎢ A1n b1 + A2 n b2 + . . . +A nn bn ⎥⎦
dobijamo
1
( A1i b1 + A2i b2 + ... + Ani bn )
det A
D
1 n
Aki bk = i ( i=1,2,...,n ) ,
=
∑
D
detA k =1
xi =
(3)
gde je D - determinanta matrice sistema (1) (naziva se i determinanta
sistema), a Di - determinanta dobijena iz determinante D kada se
koeficijenti a1i, a2i,..., ani uz nepoznatu xi (tj, i-ta kolona u determinanti D)
zamene slobodnim članovima b1, b2,..., bn.
- 34 -
Dobijene formule (3) nazivaju se Kramerove formule.
Ovim formulama iskazano je Kramerovo pravilo: Ako je determinanta sistema (1) različita od nule, sistem je saglasan i ima jedinstveno
rešenje. Vrednost nepoznate je razlomak čiji je imenilac determinanta
sistema, a brojilac determinanta dobijena iz determinante sistema kada
se umesto koeficijenata uz nepoznatu stave slobodni članovi sistema.
Formula X=A-1H predstavlja matrični oblik Kramerovih formula
xi =
Di
.
D
Pri izvođenju Kramerovih formula pretpostavili smo da je
determinanta sistema (D) različita od nule. Ako je D=0, tada nastupa
jedan od sledećih slučajeva:
(1) sistem je nesaglasan i nema rešenja,
(2) sistem je saglasan, ali neodređen (ima više od jednog rešenja).
3.3.2. Gausov algoritam
Neka je dat sistem jednačina
a11x1+a12x2+...+a1nxn=b1,
a21x1+a22x2+...+a2nxn=b2,
(1)
a31x1+a32x2+...+a3nxn=b3,
...........................................
am1x1+am2x2+...+amnxn=bm.
Tada sledeće transformacije prevode dati sistem u ekvivalentan i
nazivaju se elementarnim transformacijama:
• promena mesta dvema jednačinama u sistemu,
• množenje proizvoljne jednačine sistema brojem različitim od
nule i
• dodavanje levoj i desnoj strani proizvoljne jednačine sistema
odgovarajuće strane neke druge jednačine tog sistema pomnožene proizvoljnim brojem.
- 35 -
Dati sistem (1) posle konačnog broja primena elementarnih
transformacija (koraka) prevodimo u ekvivalentni sistem završne forme
koji možemo rešiti ili koji je kontradiktoran.
Prvi korak se sastoji u uočavanju jedne jednačine sistema u kojoj je
koeficijent uz nepoznatu x1 različit od nule. Pomoću te jednačine u
ostalim jednačinama eliminišemo nepoznatu x1. Bez umanjenja opštosti
možemo pretpostaviti da je a11≠0. Nepoznate x1 u drugoj jednačini se
oslobađamo množeći prvu jednačinu sa −
a21
i dodajući je drugoj
a11
jednačini. Na analogan način se oslobađamo nepoznate x1 i u ostalim
jednačinama. Posle ovog prvog koraka sistem je preveden u
ekvivalentan sistem sledećeg oblika:
a11x1+a12x2+...+a1nxn=b1,
a'22x2+...+a'2nxn=b'2,
(2)
a'32x2+...+a'3nxn=b'3,
..................
a'm2x2+...+a'mnxn=b'm.
Pri tome mogu nastati sledeći slučajevi:
1) Sistem (2), ekvivalentan sistem sistemu (1), je završne forme, pri
čemu je neka od jednačina sistema dobila oblik 0=b'k, gde je b'k≠0.
U tom slučaju je sistem (2), pa i sistem (1) kontradiktoran
(nemoguć).
2) Sistem (2), ekvivalentan sistem sistemu (1), je završne forme, pri
čemu su svi koeficijenti a'ij i slobodni članovi b'ij jednaki nuli. Tada
se sistem (2) sastoji iz jedne jednačine (prve u sistemu (2)). Ako su
u toj jednačini svi koeficijenti, osim a11, jednaki nuli, sistem ima
jedinstveno rešenje. U protivnom sistem je neodređen.
3) Sistem (2) ekvivalentan sistemu (1), nije završne forme, tj. u
preostalih (m-1) jednačina se ne pojavljuje kontradiktornost, niti
su svi koeficijenti a'ij i slobodni članovi bi (2≤i≤m, 2≤j≤n) jednaki
nuli. U ovom slučaju prelazimo na drugi korak.
- 36 -
Pre nego što pređemo na drugi korak napomenimo da, ako smo
zajedno sa nepoznatom x1 eliminisali još neku nepoznatu, kažemo da
imamo ekvivalentni sistem (2) sa skokom, a ako se pojavljuju sve
nepoznate (izuzevši x1) da imamo ekvivalentni sistem bez skoka.
U drugom koraku sistem (2) prevodimo u ekvivalentni sistem tako što
uočavamo jednu jednačinu sistema (2) (izuzimajući prvu) u kojoj se
pojavljuje prva sledeća nepoznata (posle x1) i primenjujemo postupak
kao u prvom koraku.
Na ovaj način, posle konačnog broja koraka (najviše (m-1)) dolazimo
do sistema završne forme koji se može rešiti. Pri tome se na mestu
zadnje jednačine u sistemu završne forme može pojaviti jednačina sa
jednom ili više nepoznatih.
Ako je jednačina sa jednom nepoznatom i pri tome u sistemu nije bilo
skokova, sistem ima jedinstveno rešenje koje dobijamo na sledeći način:
Rešimo poslednju jednačinu kao jednačinu sa jednom nepoznatom xn
pa se sa tim rešenjem vratimo u prethodnu jednačinu (koja ima dve
nepoznate xn,xn-1) i ona postaje jednačina sa jednom nepoznatom xn-1,
koju rešavamo po xn-1 i vraćamo se u prethodnu jednačinu koja sada
takođe postaje jednačina sa jednom nepoznatom. Ovaj postupak se
sprovodi do prve jednačine iz koje konačno dobijamo i rešenje za
nepoznatu x1.
Ako je poslednja jednačina sa više nepoznatih (na primer s), rešavanje
sistema se svodi na prethodni slučaj na taj način što se u zadnjoj
jednačini (kao i u celom sistemu) fiksira (s-1) nepoznata od onih s iz
zadnje jednačine, pa se zadnja jednačina svodi na jednu jednačinu sa
jednom nepoznatom.
Analogno se postupa i u slučaju kada imamo skok. U jednačini pre
skoka, kao i u ostalim jednačinama pre nje, fiksiraju se sve nepoznate
koje se ne pojavljuju u narednoj jednačini, izuzev jedne nepoznate, tako
da ova jednačina postaje jednačina sa jednom nepoznatom.
- 37 -
Jasno je da u oba zadnja slučaja sistem ima beskonačno mnogo
rešenja jer "fiksiranim" nepoznatima možemo davati beskonačno mnogo
različitih vrednosti, tj. one u rešenju sistema imaju ulogu parametra.
Primer 1:
Rešiti sistem linearnih jednačina
x1+x2+x3=3
x1+2x2+2x3=5
2x1+3x2+αx3=β
_____________________________________
Rešenje:
(A) Rešimo sistem matričnim metodom:
Sistem se može zapisati na sledeći način:
⎡1 1 1 ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡3 ⎤
⎢1 2 2 ⎥ ⋅ ⎢ x ⎥ = ⎢5 ⎥ , odnosno AX=B.
⎢
⎥ ⎢ 2⎥ ⎢ ⎥
⎢⎣ 2 3 α ⎥⎦ ⎢⎣ x3 ⎥⎦ ⎢⎣β ⎥⎦
⎡
⎤
⎡
⎤
⎢1
⎥
⎢ 2
-1
0 ⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
1 ⎥
2α − β + 2 ⎥
α--4 α-2
Za α≠3 A−1 = ⎢i X =⎢
i
⎢ α−3 ⎥
⎢ α-3 α-3
α-3 ⎥
⎢β−8
⎥
⎢ 1
1
1 ⎥⎥
⎢
⎥
⎢⎣α − 3
⎦
⎣ α-3 α-3 α-3 ⎦
x1 = 1
2α − β + 2
.
α −3
β−8
x3 =
α−3
x2 =
- 38 -
(B) Kramerovom metodom:
Δ = α − 3, Δ1 = α − 3, Δ 2 = 2α − β + 2, Δ 3 = β − 8
Δi
i kako je xi =
to se dobijaju ista rešenja kao i (A).
Δ
(C) Gausovom metodom:
Ako prvu jednačinu u sistemu pomnožimo sa (-1) i dodamo drugoj,
odnosno prvu jednačinu pomnožimo sa (-2) i dodamo prvoj a prvu
prepišemo, dobijamo ekvivalentan sistem:
x1 + x2 + x3 = 3
x 2 + x3 = 2
x 2 + ( α − 2 ) x3 = β − 6
Ako drugu pomnožimo sa (-1) i dodamo trećoj, dobijamo ekvivalentan
sistem završne forme.
x1 + x2 + x3 = 3
x 2 + x3 = 2
x 2 + ( α − 2 ) x3 = β − 6
Mogu nastupiti sledeći slučajevi:
1) α≠3 tada je rešenje jedinstveno: iz treće dobijamo x3 =
β−8
, iz
α−3
β − 8 2α − β + 2
=
i iz prve dobijamo
α −3
α−3
2α − β + 2 β − 8 3α − 9 − 2α + β − 2 − β + 8 α − 3
x1 = 3 −
−
=
=
= 1.
α−3
α −3
α−3
α−3
druge dobijamo x2 = 2 −
2) α=3 i β≠8 sistem je nemoguć.
- 39 -
3) α=3 i β=8 sistem se svodi na
x1 + x2 + x3 = 3
x 2 + x3 = 2
( α − 3) x3 = β − 8
i fiksirajući x3=t imamo
x2=2-t
x1=1,
odnosno imamo beskonačno mnogo rešenja.
3.3.3. Kroneker-Kapelijev stav
Posmatrajmo sistem od m linearnih jednačina sa n nepoznatih
(1)
a11x1+a12x2+...+a1nxn=b1,
a21x1+a22x2+...+a2nxn=b2,
...........................................
am1x1+am2x2+...+amnxn=bm.
Ovaj sistem se može napisati i u obliku
(2)
⎡ a1n ⎤
⎡ a11 ⎤
⎡ a12 ⎤
⎡b1 ⎤
⎢a ⎥
⎢a ⎥
⎢a ⎥
⎢b ⎥
⎢ 2n ⎥
⎢ 21 ⎥
⎢ 22 ⎥
⎢ 2⎥
⎢. ⎥
⎢. ⎥
⎢. ⎥
⎢. ⎥
⎢ ⎥ x1 + ⎢ ⎥ x2 + . . . + ⎢ ⎥ xn = ⎢ ⎥
⎢. ⎥
⎢. ⎥
⎢. ⎥
⎢. ⎥
⎢. ⎥
⎢. ⎥
⎢. ⎥
⎢. ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎣⎢ am1 ⎦⎥
⎣⎢ am 2 ⎦⎥
⎣⎢bm ⎦⎥
⎣⎢ amn ⎦⎥
Neka je
⎡ a11 a12 ... a1n ⎤
⎢a
a 22 ... a 2n ⎥⎥
21
⎢
A=
⎢........................ ⎥
⎢
⎥
⎣ am1 a m2 ... a mn ⎦
Matricu A nazivamo matricom sistema (1), a matricu B proširenom
matricom toga sistema.
- 40 -
Za rang matrice A i proširene matrice B sistema (1) važi sledeći stav.
Stav 1. Rang matrice A i rang proširene matrice B sistema (1)
međusobno su jednaki ako i samo ako je poslednja kolona matrice B
linearna kombinacija nekih (ili svih) kolona matrice A.
Sada ćemo formulisati teoreme o egzistenciji rešenja sistema (1).
Stav 2. - Kroneker-Kapelijev stav. Da bi sistem linearnih jednačina (1) bio
saglasan, potrebno je i dovoljno da rang matrice sistema (1) bude jednak
rangu proširene matrice toga sistema (rangA=rangB).
Dokaz:
Pretpostavimo da je sistem (1) saglasan i da je x1=c1, x2=c2,..., xn=cn,
jedno od njegovih rešenja. Dokažimo da je rangA=rangB. Kako je, prema
pretpostavci, x1=c1, x2=c2,..., xn=cn jedno od rešenja sistema (1), to je
(3)
⎡ a1n ⎤
⎡ a11 ⎤
⎡ a12 ⎤
⎡b1 ⎤
⎢a ⎥
⎢a ⎥
⎢a ⎥
⎢b ⎥
⎢ 2n ⎥
⎢ 21 ⎥
⎢ 22 ⎥
⎢ 2⎥
⎢. ⎥
⎢. ⎥
⎢. ⎥
⎢. ⎥
⎢ ⎥ c1 + ⎢ ⎥ c2 + ... + ⎢ ⎥ cn = ⎢ ⎥ ,
⎢. ⎥
⎢. ⎥
⎢. ⎥
⎢. ⎥
⎢. ⎥
⎢. ⎥
⎢. ⎥
⎢. ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎣⎢ am1 ⎦⎥
⎣⎢ am 2 ⎦⎥
⎣⎢bm ⎦⎥
⎣⎢ amn ⎦⎥
tj. poslednja kolona proširene matrice B sistema (1) je linearna
kombinacija svih kolona matrice A, te je prema stavu 1
rangA=rangB.
Prema tome, dokazali smo da je uslov rangA=rangB potreban. Dokažimo
sada da je on i dovoljan, tj. da je sistem (1) saglasan ukoliko je
rangA=rangB. Pošto je rangA=rangB, to postoji minor, koji je bazični
minor kako matrice A, tako i matrice B. Dakle, poslednja kolona matrice
B je linearna kombinacija kolona bazične matrice, odnosno kolona
matrice A. To znači da postoje brojevi c1, c2,..., cn, takvi da je
- 41 -
⎡ a1n ⎤
⎡ a11 ⎤
⎡ a12 ⎤
⎡b1 ⎤
⎢a ⎥
⎢a ⎥
⎢a ⎥
⎢b ⎥
⎢ 2n ⎥
⎢ 21 ⎥
⎢ 22 ⎥
⎢ 2⎥
⎢. ⎥
⎢. ⎥
⎢. ⎥
⎢. ⎥
⎢ ⎥ c1 + ⎢ ⎥ c2 + ... + ⎢ ⎥ cn = ⎢ ⎥ .
⎢. ⎥
⎢. ⎥
⎢. ⎥
⎢. ⎥
⎢. ⎥
⎢. ⎥
⎢. ⎥
⎢. ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎣⎢ am1 ⎦⎥
⎣⎢ am 2 ⎦⎥
⎣⎢bm ⎦⎥
⎣⎢ amn ⎦⎥
(4)
Upoređujući jednačinu (4) sa jednačinom (2), zaključujemo da je c1, c2,...,
cn rešenje sistema (1). Prema tome, sistem (1) je saglasan.
Stav 3.
Ako je rang matrice saglasnog sistema jednak broju nepoznatih, sistem
ima jedinstveno rešenje.
Stav 4.
Ako je rang matrice saglasnog sistema manji od broja nepoznatih,
sistem ima beskonačno mnogo rešenja.
Primer 2:
Dat je sistem linearnih jednačina
x1 + x2 + x3 + x4 = 4
x1 +2x 2 + x3 + 3 x4 = 7
x1 +3x 2 + 4 x3 + 2 x4 = 10
2x1 +x 2 + 3 x3 + αx4 = β
Odrediti kada sistem ima jedinstveno rešenje, kada nema rešenje i kada
ima beskonačno mnogo rešenja.
- 42 -
Rešenje:
Najčešće se rang matrice i proširene matrice ispituju istovremeno:
⎡1
⎢1
⎢
⎢1
⎢
⎣2
4 ⎤
⎡1 1 1 1
⎥
⎢0 1 0 2
7 ⎥
⎢
⎢0 2 3 1
3 4 2 10 ⎥
⎥
⎢
1 3 α β ⎦
⎣ 0 -1 1 α − 2
1 1 4
⎡1 1 1
⎡1 1
⎤
⎢0 1 0
⎢0 1
⎥
0 2 3
⎢
⎢
⎥
⎢ 0 0 -1
⎢ 0 0 -1 1
⎥
0
⎢
⎢
⎥
1 α β−5 ⎦
⎣0 0 0
⎣0 0
1 1 1
2 1 3
⎤
⎥
⎥
⎥
6
⎥
β−8 ⎦
1
4
4
3
2
1
α +1
⎡1
⎢0
⎢
⎢0
⎢
⎣0
1 1
1 0
1
2
0 3 -3
0 1
α
⎤
⎥
⎥
⎥
0
⎥
β−5 ⎦
4
3
⎤
⎥
3
⎥
⎥
0
⎥
β−5 ⎦
Dakle:
za α≠-1 sistem ima jedinstveno rešenje jer je r(A)=r(B)=4;
za α=-1 i β≠-5, r(A)=3 i r(B)=4 pa sistem nema rešenje;
za α=-1 i β=-5, r(A)=3 i r(B)=3 pa sistem ima beskonačno mnogo
rešenja.
Napomena:
Ovaj postupak je praktično isti kao Gausov postupak za rešavanje
sistema pa se dopisivanjem nepoznatih može naći i rešenje za sistem.
- 43 -
PITANJA ZA PONAVLJANJE
1. Šta je matrica?
2. Navesti vrste matrica.
3. Definisati matrične operacije.
4. Šta je detrminanta?
5. Defisati Sarusovo pravilo za izračunavanje determinanti.
6. Defisati Laplasovo pravilo za izračunavanje determinanti.
7. Nabrojati osnovne osobine determinanti.
8. Šta je rang matrice i kako se određuje?
9. Definisati inverznu matricu.
10. Šta je adjungovana matrica?
KLJUČNI POJMOVI
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
MATRICA
RANG MATRICE
MINOR
KOFAKTOR
ADJUNGOVANA MATRICA
INVERZNA MATRICA
DETERMINANTA
SARUSOVO PRAVILO
LAPLASOVO PRAVILO
RANG MATRICE
- 44 -
II - GLAVA
FUNKCIJE
•
•
•
•
•
FUNKCIJE JEDNE PROMENLJIVE
NIZ
GRANIČNA VREDNOST
NEPREKIDNOST
FUNKCIJE VIŠE PROMENLJIVIH
CILJEVI UČENJA
Kada ovo poglavlje proučite znaćete:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Šta su funkcije jedne i više promenljivih,
definišete osobine funkcija,
šta su inverzne i složene funkcije,
pojam niza,
pojam granične vredosti,
pojam neprekidosti.
4. ELEMENTI MATEMATIČKE ANALIZE
4.1. MODUL REALNOG BROJA
Definicija 1.
Modulom ili apsolutnom vrednošću realnog broja a nazivamo nenegativni
realni broj a jednak broju a ako je a ≥0, odnosno jednak broju -a ako je
a<0.
- 45 -
Neposredno iz definicije modula sledi da je za svako a∈R −a = a , odnosno
− a ≤ a ≤ a . Geometrijski, modul realnog broja predstavlja rastojanje tačke
koja odgovara tom broju na brojnoj pravoj do tačke koja odgovara broju nula.
Tako je −4 = 4 , 0 = 0 itd.
Sada možemo zaključiti da je nejednakost x < ε, ( ε >0) ekvivalentna sa
nejednakostima −ε < x < ε . Može se pokazati da je nejednakost x − a < ε
ekvivalentna sa nejednakostima a − ε < x < a + ε .
Za module realnih brojeva možemo iskazati nekoliko jednostavnih stavova.
Stav 1.
Modul zbira realnih brojeva nije veći od zbira modula sabiraka, tj.
a+b ≤ a + b .
Dokaz:
Da bi dokazali da je a + b ≤ a + b razlikujemo dva slučaja.
Prvi:
a + b ≥ 0 . Tada je
a + b = a + b . Kako je
a≤ a i
b ≤ b , to je i
a + b ≤ a + b , pa je a + b ≤ a + b .
Drugi: a+b<0. Tada je a + b = −(a + b) = (−a) + (−b) ≤ a + b . Jednakost važi ako
su a i b istog znaka.
Stav 2.
Modul razlike nije manji od razlike modula umanjenika i umanjioca.
Dokaz:
Ako je a-b=c, tada je a=b+c, pa je
a = b+c ≤ b + a −b .
Odavde je a − b ≥ a − b .
Takođe važi i nejednakost
a − b ≤ a −b .
Stav 3.
Modul proizvoda jednak je proizvodu modula činilaca, tj. ab = a ⋅ b .
- 46 -
Dokaz:
Ako je ab ≥ 0 , tada je a ⋅ b = a ⋅ b .
Pri tome može biti a ≥ 0, b ≥ 0 ili a ≤ 0, b ≤ 0.
U prvom slučaju je a = a i b = b , pa je jasno a ⋅ b = a ⋅ b = a ⋅ b . U drugom
slučaju a = −a i b = −b , pa je jasno
a ⋅ b = a ⋅ b = (−a) ⋅ (−b) = a ⋅ b .
Ako je a ⋅ b < 0 , tada može biti a<0, b<o ili a>0, b<0. Pri tome je
a ⋅ b = −( a ⋅ b ) .
U prvom slučaju je a = −a i b = b , a u drugom a = a, i b = −b pa je jasno
a ⋅ b = ( −a ) ⋅ b = a ⋅ b
u prvom, odnosno
a ⋅ b = a ( −b ) = a ⋅ b
u drugom
slučaju.
Stav 4.
a
a
=
b
b
( b ≠ 0) .
Dokaz:
a a
a
a
⎛a⎞
= .
Iz a = ⎛⎜ ⎞⎟ ⋅ b ( b ≠ 0 ) sleduje a = ⎜ ⎟ ⋅ b = ⋅ b , odnosno
b
b b
⎝b⎠
⎝b⎠
Napomena:
Koristeći se matematičkom indukcijom i stavom 1, može se dokazati i
uopštenje stava 1:
a 1 +a 2 +... + a n ≤ a 1 + a 2 + ... a n
- 47 -
4.2.
NEKI PODSKUPOVI SKUPA REALNIH BROJEVA
I NEKE NJIHOVE OSOBINE
Definicija 2.
Ako su a, b ∈ R , a<b, tada podskupove skupa realnih brojeva definisane na
sledeći način:
[ a, b] = { x a ≤ x ≤ b}
( a, b] = { x a < x ≤ b}
[ a, b ) = { x a ≤ x < b}
( a, b ) = { x a < x < b}
zovemo redom: zatvorenim intervalom (segmentom), poluotvorenim
intervalom s, leva, poluotvorenim intervalom s, desna, odnosno otvorenim
intervalom (intervalom).
Definicija 3.
Ako je a ∈ R , tada podskupove realnih brojeva definisane na sledeći način:
( a, +∞ ) = { x x > a} i
( -∞,a ) = { x x < a} , odnosno
[ a, +∞ ) = { x x ≥ a} i
( -∞,a ] = { x x ≤ a} ,
zovemo redom: beskonačnim otvorenim intervalima, odnosno beskonačno
zatvo-renim intervalima.
Pored ovih oznaka često ćemo i za skup svih realnih brojeva upotrebljavati
oznaku ( −∞, +∞ ) .
U daljem tekstu napred pomenute intervale kratko ćemo zvati intervalima,
uvek kada je iz njihove oznake jasno o kom je intervalu reč.
Definicija 4.
Skup X⊆R nazivamo ograničenim odozgo, ako postoji realan broj b, takav da
je x ≤ b za svako x ∈ X . Za broj b kažemo da je gornje ograničenje skupa X.
- 48 -
Definicija 5.
Skup X ⊆ R nazivamo ograničenim odozdo, ako postoji realan broj a, takav
da je a ≤ x za svako x ∈ X . Za broj a kažemo da je donje ograničenje skupa
X.
Definicija 6.
Skup ograničen odozdo i ograničen odozgo zovemo ograničenim.
Za skupove koji nisu ograničeni kažemo da su neograničeni. Napomenimo
da su skupovi ( −∞, a ) ,(−∞, a ] , ( a, b ) , [ a, b] ograničeni odozgo, a da su skupovi
( a, −∞ ) , [ a , +∞), ( a, b ) ,[ a, b] ograničeni odozdo. Jasno, ograničeni skupovi su
( a, b ) ,[ a , b),(a, b] za proizvoljne a, b ∈ R , a<b.
Definicija 7.
Za broj M ∈ X ⊂ R kažemo da je najveći element skupa X ako za svako x
∈ X , x ≤ M . Analogno za broj m ∈ X ⊂ R kažemo da je najmanji element
skupa X ako za svako x ∈ X , m ≤ x .
Iz definicije 2 sledi da zatvoreni interval ima najveći i najmanji element; isto
tako je jasno da [ a, b) ima najmanji a ( a, b] najveći element. Da [ a, b ) nema
najveći element (isto kao i (a,b)), a analogno i da ( a, b] odnosno (a,b) nemaju
najmanji element, sleduje neposredno iz sledećeg rasuđivanja: Pretpostavimo
da [ a, b ) ima najveći element i da je to b 0 . Jasno b 0 < b po definiciji ovog
intervala. Neka je
b −bo
=ε.
2
Pri tome je
b 0 +ε = b o +
b −bo b + b0 b + b
=
<
=b
2
2
2
- 49 -
pa je i broj b 0 +ε ∈ [ a, b ) , što je suprotno pretpostavci da je b 0 najveći element.
Odavde sledi zaključak da ograničeni skupovi realnih brojeva ne moraju imati
najveći niti najmanji element.
Definicija 8.
Broj M nazivamo supremumom skupa X ⊂ R ako je
(I)
(II)
x≤M
za ∀x ∈ X
∀ε > 0 ∃x ∈ X takvo da je x > M − ε .
Ako takav konačan broj M postoji tada pišemo da je supX =M a ako ne
postoji pišemo po definiciji sup X= +∞ .
Definicija 9.
Broj m nazivamo infinumom skupa X ⊂ R ako je
(I) x ≥ m za ∀x ∈ X
(II) ∀ε > 0 ∃x ∈ X takvo da je x<m+ ε .
Ako takav konačan broj m postoji tada pišemo da je infX=m a ako ne postoji
pišemo po definiciji inf X = −∞ .
Bez dokaza navodimo sledeći stav.
Stav 5.
Svaki neprazan skup realnih brojeva ograničen odozgo ima konačan
supremum, a ograničen odozdo konačan infimum.
Napomenimo da iz definicija najvećeg, najmanjeg elementa i supremuma i
infimuma skupa sledi da ako skup ima najveći element onda ima supremum
jednak tom elementu (analogno za infimum i najmanji element). Obrnuto ne
mora važiti.
- 50 -
Stav 6.
Za proizvoljni neprazan podskup skupa realnih brojeva supremum i infimum su
jedinstveni.
Dokaz:
Pretpostavimo suprotno, tj. neka postoji X ⊂ R takav da je supX=M1 i
supX=M2, gde je M1<M2. Označimo sa M2-M1= ε > 0 . Kako je M2=supX sledi
da je za svako x ∈ X , x < M 2 i za ε = M 2 − M 1 postoji x ε∈ X tako da je
x ε > M 2 −ε = M 2 − ( M 2 − M 1 ) = M
1
a ovo protivreči činjenici da je M1=supX . Analogno za infimum.
Napomena:
Očigledno je da su ovde neki pojmovi "ponovljeni" jer o njima je bilo reči u
poglavlju o uređenim skupovima jer je i (R,≤) uređen skup. Ponavljanje je
"namerno" zbog važnosti ovih pojmova u skupu realnih brojeva.
Od značaja je za dalja izlaganja upoznati se sa pojmom okoline neke tačke.
Definicija 10.
Proizvoljan skup U ⊂ R zovemo okolinom tačke x0 ako postoji ε > 0 , takvo da
je ( x 0 −ε, x 0 +ε ) ⊆ U .
Inače sam skup ( x 0 −ε, x 0 +ε ) ⊆ U , kao otvoreni interval, zvaćemo još i ε okolinom tačke x0 i označavati sa 0 ε (x0).
Zaključimo ovo poglavlje sa sledećim stavom o zatvorenim intervalima:
Stav 7.
Sistem zatvorenih intervala
[ a 1 , b 1 ] , [ a 2 , b 2 ] ,...[ a n , b n ] ,...
takav da je
a 1 ≤ a 2 ≤ a 3 ... ≤ a n ≤ ... ≤ b n ≤ ... ≤ b 2 ≤ b 1 sadrži tačno jedan broj u skupovima
sistema, ako se za svako ε > 0 može naći interval ⎡⎣ a p , b p ⎤⎦ koji pripada
sistemu takav da je a p −b p < ε .
- 51 -
Dokaz:
Očigledno je da svi zatvoreni intervali imaju zajedničkih tačaka.
Pretpostavimo da postoje dve tačke x, y ∈ R x<y, takve da je za svako n
a n ≤ x ≤ y ≤ b n odnosno y-x< b n − a n .
Neka je y-x= ε > 0 . Po pretpostavci teoreme, imamo da postoji p ∈ N takvo da
je b p −a p < ε =y-x, a to je u kontradikciji sa prethodnim zaključkom da je za
svako n y-x< b n − a n . Dakle, sistem zatvorenih intervala koji zadovoljavaju
uslove teoreme sadrži samo jednu tačku.
4.3. POJAM FUNKCIJE
4.3.1. Pojam funkcije jedne nezavisne promenljive
Definicija 11.
Neka su X i Y neprazni podskupovi skupa R i neka je f proizvoljni zakon koji
svakom elementu x skupa X pridružuje tačno jedan element y iz skupa Y,
koji ćemo označiti sa y=f(x). Tada kažemo da je na skupu X definisana
funkcija y=f(x) sa vrednostima u skupu Y. Pri tome y zovemo vrednošću
funkcije, slikom, ili zavisno promen-ljivom, a x argumentom, originalom ili
nezavisnom promenljivom. Sam skup X zovemo domen ili oblast
definisanosti funkcije a skup Y antidomen ili oblast vrednosti funkcije f(x).
Nije teško videti da se ova definicija poklapa sa definicijom funkcije u
algebarskom smislu (vidi preslikavanje).
Funkcije kod kojih su domen i antidomen podskupovi skupa realnih brojeva
zovu se realne funkcije realne promenljive (sa kojima ovde isključivo radimo).
Zbog ovoga, funkcije će nam najčešće biti zadane formulama (analitičkim
izrazima) y=f(x) (odnosno y=y(x), y=F(x), y= φ( x) ...) bez ukazivanja na oblast
definisanosti i na oblast vrednosti funkcije.
Pod oblašću definisanosti funkcije y=f(x) podrazumevamo skup tačaka x za
koji izraz f(x) ima smisla (jasno, u skupu realnih brojeva).
- 52 -
Tako, na primer, funkcija y = 9 − x 2 ima oblast definisanosti D= [ −3,3] , a skup
vrednosti, skup
[0,3] .
Funkcija
y=
2
x −1
ima oblast definisanosti D=
( −∞,1) ∪ (1, +∞ ) = R \ {1} , jer izraz
2
za x=1 nema smisla. Analogno, funkcija
x −1
x−2
x−2
y = ln 2
ima oblast definisanosti ( −1,1) ∪ ( 2, +∞ ) jer izraz ln 2
ima
x −1
x −1
x−2
>0 .
smisla jedino za 2
x −1
Ako su date funkcije u=g(x) i y=f(u), onda može biti definisana funkcija
y=f(g(x)) koju ćemo zvati složenom funkcijom ovih dveju funkcija.
Tako, na primer, funkcija y = 9 − x 2 je složena funkcija od funkcija y=
u
i u = 9-x 2 .
Primetimo isto tako da funkcija y = f ( x) može biti složena i od tri i više
funkcija. Na primer, funkcija y = sin 3 cos 2 x je složena funkcija od funkcija
y = sin u, u = 3 v , v = z 2 , z = cosx .
U navedenim primerima y je definisano eksplicitno kao funkcija od x, tj.
jednačinom y=f(x). Primetimo da y kao funkcija od x može biti zadana i
implicitno, tj. jednačinom F(x,y)=0.
Razjasnimo kada jednačina F(x,y)=0 definiše funkciju y=f(x). Neka je X skup
vrednosti takvih, da za svako x 0 ∈ X jednačina F( x 0 ,y)=0 ima po y bar jedno
rešenje koje je realno. Sada svakom elementu pridružimo realan broj y(x)
(tačno jedan) takav da je F(x,y(x))=0. Na ovaj način smo jednačinom F(x,y)=0
zadali na skupu X, kao oblasti definisanosti, funkciju y=y(x). Jasno je da se
najčešće jednačinom F(x,y)=0 može implicitno zadati više funkcija y=y(x). Tako,
na primer, jednačinom x 2 + y 2 − R 2 = 0 mogu biti definisane i ove dve funkcije
y = R 2 − x 2 i y = - R 2 − x 2 (kao i druge).
Ako je zadata funkcija y=f(x) takva da je definisana na nekom skupu X, a
antidomenom Y i ako je pri tome svako y∈Y slika tačno jednog elementa iz
skupa X, tada možemo na skupu Y definisati funkciju koja proizvoljnom
elementu y ∈ Y, pridružuje x ∈ X takav da je y=f(x). Ovako definisana funkcija
- 53 -
na skupu Y označava se sa x=f −1 (y) i zove se inverzna funcija funkcije y=f(x).
Pri tome je jasno da važi f −1 (f(x))=x za ∀x ∈ X i f ( f −1 ( y ) ) = y za ∀y ∈ Y .
Napominjemo da se za inverznu funkciju funkcije y=f(x) najčešće upotrebljava
oznaka f −1 (x), jer je uobičajeno da se sa x označava nezavisna promenljiva a sa
y zavisna promenljiva. Tako, na primer, funkcija y = x 2 za x>0 ima ispunjene
prethodne uslove: jer preslikavanje x= [ 0, +∞ ) u y = [ 0, + ∞ ) i svako
y ∈ Y je
slika tačno jednog elementa iz skupa X. Inverzna funkcija funkcije y= x 2 je
funkcija x= y (odnosno y = x ).
Funkcija y=f(x) može biti zadata i na sledeći način. Neka su date funkcije
y = ψ ( t ) i x=ϕ ( t ) definisane na istom skupu T i neka su im antidomeni Y i X.
Neka funkcija x= φ ( t ) ima inverznu funkciju t = φ−1 ( x ) . Za funkciju y=f(x), koja
ima za domen skup X a za antidomen skup Y, a koja se dobija kao složena
funkcija funkcije y = ψ ( t ) i t = φ−1 ( x ) , tj. y=f(x)= ψ ( φ−1 ( x ) ) , kažemo da je
zadata parametarski jednačinama y = ψ ( t ) i x= φ ( t ) . Tako je, na primer,
funkcija y = 1 − x 2 zadata parametarski jednačinama y=sin t, x=cos t t ∈ [ o, π] .
Zaista, funkcija x=cost ima inverznu funkciju na ovom intervalu t=arccosx, pa
je
y=sin(arccosx)= 1 − cos 2 ( arccos x ) = 1 − cos ( arccos x ) = 1 − x 2
2
Na kraju, napomenimo da se funkcije u primenama mogu zadavati
tabelarno (na konačnim skupovima), grafički (u skladu narednog odeljka), u
obliku programa na računaru itd, jer nije uvek moguće svakoj funkcionalnoj
zavisnosti pridružiti analitički izraz u praksi.
Primetimo da je ovde, u prethodnom tekstu, bio specijalno istaknut domen
funkcije, ali je isto tako značajan antidomen za definisanje raznih osobina
funkcija. Na primer, za funkciju y=f(x) kažemo da je ograničena ako joj je
antidomen (kao skup ograničen) analogno ograničena odozgo i odozdo.
- 54 -
Navešćemo i još neke značajne osobine funkcija.
(1) MONOTONE FUNKCIJE
Definicija 12.
Za funkciju y=f(x) definisanu u nekom skupu E kažemo da je rastuća
(opadajuća) ako je za (∀x1,x2∈E) x1<x2
f(x1)<f(x2)
(f(x1)>f(x2)).
Rastuće i opadajuće funkcije zovemo zajedničkim imenom monotone
funkcije.
Definicija 13.
Za funkciju y=f(x) definisanu u nekom skupu E kažemo da je neopadajuća
(nerastuća) ako je za (∀x1,x2∈E) x1<x2
f(x1)≤f(x2)
(f(x1)≥f(x2)).
Nerastuće i neopadajuće funkcije ćemo zvati slabo monotonim funkcijama.
Jasno je da je svaka monotona funkcija slabo monotona, dok obrnuto ne
mora važiti.
Intervale u kojima slabo monotona funkcija ima konstantnu vrednost
zovemo intervalima konstantnosti.
Jasno je da monotone funkcije nemaju intervale konstantnosti.
Primer 1:
Funkcija y=ex je rastuća funkcija u celoj oblasti definisanosti.
Primer 2:
Funkcija y=e-x je opadajuća funkcija u celoj oblasti definisanosti.
Primer 3:
Funkcija y=[x] ([x] je celobrojna vrednost od x) je neopadajuća funkcija
u celoj oblasti definisanosti.
- 55 -
(2) PARNE I NEPARNE FUNKCIJE
Definicija 14.
Za funkciju y=f(x) definisanu na skupu D kažemo da je parna (neparna) ako iz
x∈D sleduje -x∈D i f(-x)=f(x) (f(-x)=-f(x)) za svako x iz oblasti definisanosti.
Iz definicije je jasno da oblast definisanosti funkcije koja je parna (neparna)
mora biti deo x ose simetričan u odnosu na koordinatni početak.
Primer 4: Funkcija y =
x2
x2
je parna a funkcija y = 2
je neparna funkcija.
x −1
x −1
2
(3) PERIODIČNE FUNKCIJE
Definicija 15.
Funkciju y=f(x) definisanu na skupu D nazivamo periodičnom ako postoji
realan broj T≠0, takav da za svako x∈D sleduje x ± T∈D i f(x)=f(x ± T).
Najmanji od svih pozitivnih brojeva T koji zadovoljavaju prethodnu
definiciju naziva se osnovna perioda funkcije i označava se sa ω.
Iz definicije sledi da ako x pripada oblasti definisanosti funkcije f(x), a ω je
osnovna perioda funkcije f(x), onda i svaki od brojeva x ± k ω (k=0,1,2,3,...)
pripada oblasti definisanosti funkcije f(x) i pri tome je
f(x)=f( x ± k ω ) (k=0, ± 1, ± 2,...)
što se može dokazati matematičkom indukcijom.
Primer 5:
Trigonometrijske funkcije sinx i cosx su periodične sa osnovnom periodom
ω=2π a funkcije tgx i ctgx su takođe periodične sa osnovnom periodom ω=π .
- 56 -
4.3.2. Grafik funkcije
Definicija 16.
Grafikom funkcije y=f(x), u Dekartovom koordinatnom sistemu, u ravni,
zovemo skup tačaka u ravni M(x,f(x)).
Primer 6:
Grafik funkcije zadate tabelom
x
y
1
2
2
4
3
0
4
2
5
1
je prikazan na slici 1.
Slika 1.
Dakle, grafik ove funkcije je skup tačaka G={M1,M2,M3,M4,M5}. Tako, na
primer, tačka M2(2,4) pripada grafiku date funkcije jer je y(2)=4.
- 57 -
Primer 7:
Grafik funkcije y = 16 − x 2 je polukrug iznad x-ose (sl. 2).
Slika 2.
Primer 8:
Grafik funkcije y = x je prikazan na slici 3.
Primer 9:
⎧0 x < 0
je prikazan na slici 4.
⎩1 x ≥ 0
Grafik funkcije y = ⎨
Slika 3.
Slika 4.
Primer 10:
⎧ 1 x>0
⎪
Grafik funkcije f ( x ) = sgn x = ⎨ 0 x = 0 je dat na slici 5.
⎪
⎩−1 x < 0
- 58 -
Slika 5.
Napomena 1:
Postoje funkcije kojima je nemoguće nacrtati grafik. Primer takve funkcije je
Dirišleova funkcija
⎧0 x racionalno
D( x) = ⎨
⎩1 x iracionalno
Napomena 2:
Ako je data funkcija y=f(x) i njen grafik, onda je grafik funkcije y=f-1(x) koja je
inverzna datoj funkciji simetričan u odnosu na pravu y=x, što sledi iz činjenice
da inverzna funkcija x=f-1(y) ima isti grafik kao i funkcija y=f(x) a zamena
promenljivih dovodi do pomenute simetrije.
Napomena 3:
Iz definicije parne funkcije proizilazi da je njen grafik simetričan u odnosu na yosu a iz definicije neparne funkcije da je njen grafik simetričan u odnosu na
koordinatni početak što se vidi, na primer, iz grafika funkcija
y=
x2
x2
y
=
(sl.
6),
(sl. 7).
x2 − 1
x2 − 1
y
y
y=
0
x2
x 2 -1
y=
x
x
x2 -1
x
0
Slika 6.
Slika 7.
- 59 -
Napomena 4:
Iz definicije periodične funkcije proizilazi da je njen grafik "dovoljno" nacrtati u
jednom intervalu [ x; x+ω] gde je ω njena osnovna perioda. Ceo grafik će činiti
beskonačno mnogo grafika kongruentnih sa nacrtanim, a koji se nalaze u
intervalima [ x; x+ω] gde je k ceo broj. Tako, na primer, grafik funkcije
y = x − [ x ] koja je periodična sa osnovnom periodom ω = 1 na intervalu [ 0,1] je
deo prave y=x za x ∈ [ 0,1] i y=0 xa x=1. Ceo grafik posmatrane funkcije je dat
na sl. 8.
Slika 8
[x] - celobrojna vrednost od x
npr. [1,2]=1
[0,2]=0
[-0,2]=-1
Napomena 5:
Do sada smo funkcije predstavljali grafički u Dekartovom pravouglom
koordinatnom sistemu. To je moguće učiniti i u drugim koordinatnim
sistemima na potpuno isti način kako je to urađeno u prethodnom slučaju.
- 60 -
5. NIZOVI
5.1. OSNOVNI POJMOVI
Definicija 1.
Pod nizom podrazumevamo preslikavanje definisano na skupu prirodnih
brojeva
x n = f (n)(n = 1, 2,...)
Skup vrednosti pri tome može biti: Skup realnih brojeva (te nizove zovemo
realni nizovi), skup kompleksnih brojeva (kompleksni nizovi), skup funkcija
(funkcionalni nizovi) itd.
Ovde ćemo razmatrati isključivo realne nizove.
Vrednosti funkcije f(n)=xn za svako n ∈ N se zovu elementima ili članovima
niza a broj n se naziva indeksom elementa x n .
Niz ćemo označavati na jedan od sledećih načina:
x n , n = 1,2,..., ili sa ( x n ),
n ⎞ ⎛1 2 3 ⎞
(na primer ⎛⎜
⎟ = ⎜ , , ,... ⎟ ,
n +1
2 3 4
⎝
⎠ ⎝
⎠
( cos nπ) = ( −1,1, −1,1,,...) ).
Element xn niza (xn) se zove opšti član niza.
Primetimo da se elementi niza ne moraju razlikovati po veličini. Tako na
primer kod niza ( cos nπ ) x 1 = x 3 = ... = −1 a x 2 = x 4 = ... = 1 .
Ako je zadat proizvoljni niz (xn) od njega možemo na beskonačno mnogo
načina formirati novi niz
(x ) = (x
nk
n1
, xn2 ,...
)
gde indeksi n k uzimaju vrednosti u skupu prirodnih brojeva i pri tome je
n1<n2<...<nk...
Niz (xnk) zovemo podnizom niza (xn) .
Niz (xn) nazivamo monotono rastućim (opadajućim) ako je za svako
n ∈ N x n < x n +1 ( x n > x n +1 ) .
- 61 -
Niz (xn) nazivamo monotono neopadajućim (nerastućim) ako je za svako
n ∈ N x n ≤ x n +1 ( x n ≥ x n +1 ) .
Niz (xn) nazivamo ograničenim odozgo (odozdo) ako postoji realan broj M (m),
takav da je za svako n ∈ N x n ≤ M ( x n ≥ m ) .
Niz (xn) nazivamo ograničenim ako je on ograničen odozgo i odozdo.
5.2. TAČKA NAGOMILAVANJA
Definicija 2.
Za broj a kažemo da je tačka nagomilavanja niza (xn), ako se u proizvoljnoj
okolini toga broja nalazi beskonačno mnogo elemenata niza.
Sa prethodnom definicijom je ekvivalentna sledeća:
Definicija 3.
Broj a je tačka nagomilavanja niza (xn) ako za proizvoljno ε > 0 postoji podniz
(xnk) datog niza takav da svi elementi datog podniza imaju osobinu
xnk − a < ε .
Primer 1:
Niz sa opštim članom ( xn ) = sin
nπ
ima tri tačke nagomilavanja 1,0 i -1, jer je
2
x2=x4=...=x2n=...=0,
x1= x5 =...x4n-3=...=1,
x3=x7=...=x4n-1=...=-1 ( n ∈ N ).
- 62 -
Primer 2:
1
ima 0 kao tačku nagomilavanja jer za ma koje
n
1
ε > 0 , postoji prirodan broj no takav da je
< ε , pa onda počevši od (xn) svi
n0
Niz sa opštim članom ( xn ) =
članovi niza sa većim indeksom (tj. njih beskonačno mnogo) pripadaju okolini
0 ε ( 0) .
Iz ovih primera zaključujemo da niz može imati više tačaka nagomilavanja
(1) kao i to da tačka nagomilavanja ne mora biti i član niza (2).
Isto tako postoje nizovi koji nemaju tačaka nagomilavanja (na primer nizovi
sa opštim članom xn=3n ili xn =n).
Nije teško primetiti da su oba niza koje smo naveli kao primere niza koji
nemaju tačku nagomilavanja bili neograničeni. Za ograničene nizove važi
poznati "Vajerštrasov stav" koji navodimo bez dokaza.
Stav 1.
Ograničeni niz ima bar jednu tačku nagomilavanja.
5.3. GRANIČNA VREDNOST NIZA
Definicija 4.
Broj a nazivamo graničnom vrednošću ili limesom niza (xn) ako se u
proizvoljnoj okolini tačke a nalaze skoro svi članovi niza.
Pod iskazom "skoro svi članovi niza" podrazumevamo izuzimanje
eventualno njih konačno mnogo. Ova definicija može da se iskaže i na sledeći
ekvivalentan način:
- 63 -
Definicija 5.
Broj a nazivamo graničnom vrednošću ili limesom niza (xn) ako za svako ε > 0
postoji n 0 ( ε ) ∈ N tako da je x n −a < ε za svako n ∈ N , n > n 0 ( ε ) .
Činjenicu da je broj a granična vrednost niza (xn) označavamo na sledeći
način:
lim xn =a ili xn →a (n→∞).
n→∞
Nizovi koji imaju graničnu vrednost zovu se konvergentni, a nizovi koji
nemaju graničnu vrednost zovu se divergentni.
Primer 3:
Niz sa opštim članom x n =
n +1
ima graničnu vrednost 1.
n
Rešenje:
1
ε
Zaista, za proizvoljno ε > 0 , ako uzmemo da je n0 > , n0∈N dobijamo za
svako n ∈ N, n > n 0 :
1
n →∞ n
Analogno kao u prethodnom primeru imamo da je lim = 0 .
Navedimo sada neke najvažnije stavove o konvergentnim nizovima.
Stav 2.
Ako je niz konvergentan onda je on ograničen.
Stav 3.
Konvergentan niz ima jedinstvenu graničnu vrednost.
- 64 -
Dokaz:
Pretpostavimo da niz (xn) ima dve granične vrednosti, tj. neka je
lim x n = a
n →∞
Neka je
i lim x n = b, b > a .
n →∞
b−a
= ε . Tada imamo da postoji n 1∈ N takav da za svako
2
n ∈ N , n > n 1 , je zadovoljena nejednakost
x n −a < ε =
b−a
.
2
Isto tako postoji n 2∈ N takav da za svako n ∈ N , n > n 2 je zadovoljena
b−a
.
2
Očigledno je da za svako n ∈ N , n > max {n 1 ,n 2 } važe obe napred pomenute
nejednakost x n −b < ε =
relacije:
a-ε<xn<a+ε i b-ε<xn<b+ε .
Kako je a + ε = a +
xn <
b−a a+b
a+b
i b-ε =
=
2
2
2
to dobijamo da je
a+b
< xn , što je nemoguće.
2
Isto tako je nemoguće da bude a>b, i mora biti a=b.
Posledica:
Ako je niz konvergentan onda je njegova granična vrednost jedina tačka
nagomilavanja.
Napomena:
Obratno tvr|enje da je niz sa jednom tačkom nagomilavanja konvergentan
važi samo za ograničene nizove dok postoje neograničeni nizovi koji imaju
jednu tačku nagomilavanja a koji nisu konvergentni. Takav je na primer niz sa
1
3
1
5
opštim članom x n = n( −1) odnosno niz (1,2, , 4, ,..., ) koji ima nulu kao jedinu
n
tačku nagomilavanja, ali je divergentan.
Stav 4.
Svaki monotoni rastući (opadajući) niz ogranićen odozgo (odozdo) je
konvergentan.
- 65 -
Stav 5.
Ako su dati nizovi (xn), ( yn) i ( zn) takvi da je za svako n ∈ N
xn ≤ yn ≤ zn,
tada ako je lim x n = lim z n = a onda je i niz (yn) konvergentan i
n →∞
n →∞
lim y n = a .
n →∞
5.4. KOŠIJEV OPŠTI KRITERIJUM KONVERGENCIJE
Ako je niz (xn) konvergentan i ima graničnu vrednost a, onda za proizvoljno
ε > 0 postoji n 0 ( ε ) ∈ N tako da je za n > n 0 , n ∈ N
x n −a < ε / 2.
Ako su n i m prirodni brojevi tada je, kada su oni veći od n 0 ,
x n −a < ε / 2 i x m −a < ε / 2
pa je i
xn − xm = ( xn − a ) − ( xm − a ) ≤ xn − a + xm − a =
ε ε
+ =ε,
2 2
odnosno važi tvr|enje:
Ako je niz (xn) konvergentan onda on zadovoljava "Košijev uslov": Za svako
ε > 0 postoji n 0 ( ε ) ∈ N takav da za svako n, m ∈ N , n, m > n 0 je zadovoljena
nejednakost: x n − x m < ε .
Može se pokazati da važi i obratno tvr|enje (koje ovde navodimo bez
dokaza):
Ako niz (xn) zadovoljava Košijev uslov onda je konvergentan, tj. postoji broj
a takav da je lim x n = a .
n →∞
- 66 -
Ako sada spojimo prethodna dva tvr|enja dobijamo stav poznat kao
Košijev opšti kriterijum konvergencije:
Niz (xn) je konvergentan ako i samo ako za svako ε > 0 postoji n 0 ( ε ) ∈ N
takav da je
x n+ p − x n < ε ,
za svako n ∈ N , n > n 0 i svako p ∈ N .
5.5. ARITIMETIČKE OPERACIJE SA NIZOVIMA
Neka su (xn) i (yn) dva niza. Nazovimo nizove (xn+yn), (xn-yn) i (xn⋅yn) zbirom,
razlikom i proizvodom nizova (xn) i (yn). Ako je yn≠0 za svako n ∈ N , tada niz
⎛ xn ⎞
⎜ ⎟ zovemo količnikom nizova (xn) i (yn).
⎝ yn ⎠
Za konvergentne nizove (xn) i (yn) prirodno je postaviti pitanje šta je sa
njihovim zbirom, razlikom, proizvodom i količnikom.
Odgovor na pitanje koje je postavljeno daje sledeći stav.
Stav 6.
Ako je lim xn = a i lim yn = b onda je :
n →∞
n →∞
(1) lim ( xn ± yn ) = lim xn ± lim yn = a ± b
n →∞
n →∞
n →∞
(2) lim xn ⋅ yn = lim xn ⋅ lim yn = a ⋅ b
n →∞
n →∞
n →∞
xn a
xn nlim
= →∞ =
(yn≠0 i b≠0).
n →∞ y
lim yn b
n
(3) lim
n →∞
- 67 -
Primetimo da se može dogoditi da postoji granična vrednost zbira, razlike,
proizvoda i količika dvaju nizova ali tada ne moraju postojati granične
vrednosti samih tih nizova. Na primer, nizovi sa opštim članom xn=yn=n su
divergentni, a niz sa opštim članom xn-yn=0 je konvergentan, ili nizovi sa
opštim članovima xn = sin
članom xn yn = sin
nπ
nπ
i y n = cos
su divergentni, a niz sa opštim
2
2
nπ
nπ
cos
= 0 je konvergentan.
2
2
5.6. BESKONAČNO MALI I BESKONAČNO VELIKI NIZOVI
Za niz (xn) kažemo da je beskonačno mali (nula niz) ako je on konvergentan
i ako je lim xn = 0 .
n →∞
Nije teško videti da važi sledeći stav:
Stav 7.
Niz (xn) ima graničnu vrednost a ako i samo ako postoji nula niz αn takav da je
xn=a+αn.
Za niz (xn) kažemo da je beskonačno veliki ako za svako M>0, postoji
n0(M)∈N takav da je za svako n∈N, n>n0 xn > M .
U tom slučaju pišemo da je lim xn = ∞ ili x n → ∞ kad n → ∞.
n →∞
Ako je dat beskonačno veliki niz (xn) i ako je počevši od nekog prirodnog
broja n0, xn stalno (I) pozitivno, odnosno (II) negativno onda ćemo pisati
(I)
odnosno
(II)
lim xn = +∞ ,
n →∞
lim xn = −∞.
n →∞
Bez dokaza navodimo sledeća svojstva.
- 68 -
Stav 8.
Ako je niz (xn) ograničen a niz (yn), yn≠0, beskonačno veliki
⎛ xn ⎞
⎟ beskonačno mali.
⎝ yn ⎠
onda je niz ⎜
Stav 9.
Ako je apsolutna vrednost niza (xn) ograničena odozdo pozitivnim brojem, a
⎛ xn ⎞
⎟ beskonačno veliki
⎝ yn ⎠
(yn) je nula niz čiji su elementi različiti od nule, onda je ⎜
niz.
5.7. NEKI VAŽNIJI NIZOVI
(1) Niz sa opštim članom xn=qn, 0<q<1, je konvergentan i pri tome je
lim q n = 0.
n →∞
Zaista kako je 0<q<1 to je qn+1<qn, pa je niz monotono opadajući, a kako je i
qn>0 za svako n∈N to je on i ograničen pa postoji granična vrednost ovog niza.
Neka je lim q n = A. Jasno je da pri tome mora biti i lim q n +1 = A , odnosno
n →∞
n →∞
q lim q n = A ili qA=A, odakle je (kako je q≠1) A=0.
n →∞
Napomenimo da se može pokazati da je lim q n = 0 za q < 1.
n →∞
(2) Niz sa opštim članom xn=qn, q > 1, je beskonačno veliki niz.
Sledi iz prethodnog primera i iz stava 9.
(3) Niz sa opštim članom Sn=a+aq+aq2+...+aqn zove se geometrijska progresija.
Opšti član ovoga niza se može zapisati i na drugi način:
Sn = a ⋅
1 − q n +1
1− q
jer je
Sn − qS n = ( a + ... + aq n ) − ( aq + ... + aq n +1 ) = a − aq n +1 .
- 69 -
Sada na osnovu prethodnih primera sledi da je u slučaju 0<q<1, ovaj niz
konvergentan i
lim S n =
n →∞
a
1− q
a u slučaju q > 1 ovaj niz beskonačno veliki.
(4) Broj e .
Ovde ćemo dokazati da niz sa opštim članom
⎛ 1⎞
xn = ⎜1 + ⎟
⎝ n⎠
n
konvergira. U tom cilju ćemo pokazati da je ovaj niz monotono rastući i
ogranićen odozgo.
Da bismo pokazali da je niz ograničen odozgo primenimo na izraz
⎛ 1⎞
⎜1 + ⎟
⎝ n⎠
n
binomni obrazac:
n
⎛n⎞ 1 ⎛n⎞ 1
⎛n⎞ 1
⎛n⎞ 1
⎛ 1⎞
1
+
⎜
⎟ = 1 + ⎜ 1 ⎟ + ⎜ 2 ⎟ 2 + ... + ⎜ k ⎟ k + ... + ⎜ n ⎟ n =
⎝ n⎠
⎝ ⎠n ⎝ ⎠n
⎝ ⎠n
⎝ ⎠n
n ( n − 1) ... ( n − k + 1) 1
n ( n − 1) ... ( n − n + 1) 1
1 n ( n − 1) 1
=1+ n +
+ ... +
+ ... +
=
2
k
2! n
n
k!
n
n!
nn
1 ⎛ 1⎞
1 ⎛ 1 ⎞ ⎛ k −1⎞
1 ⎛ 1 ⎞ ⎛ n −1⎞
⎜ 1 − ⎟ + ... + ⎜1 − ⎟ ...⎜ 1 −
⎟ + ... + ⎜1 − ⎟ ... ⎜1 −
⎟
k !⎝ n ⎠ ⎝
n ⎠
n! ⎝ n ⎠ ⎝
n ⎠
2! ⎝ n ⎠
1
2
n-1
1 1
1
< 1 to je xn < 2 + + + ... +
Kako je 1 − < 1, 1- < 1,..., 1a kako je
n!
n
n
n
2! 3!
1
1
k!=1⋅2...k≥2k-1 to je < k −1 pa je
k! 2
=2+
- 70 -
xn < 2 +
1 1
1
+ + ... +
n!
2! 3!
Da bismo pokazali da je niz (xn) monotono rastući posmatrajmo xn i xn+1
razvijene po binomnom obrascu:
xn = 2 +
1 ⎛ 1⎞
1 ⎛ 1 ⎞ ⎛ k −1 ⎞
1 ⎛ 1 ⎞ ⎛ n −1 ⎞
⎜1 − ⎟ + ... + ⎜1 − ⎟ ... ⎜1 −
⎟ + ... + ⎜1 − ⎟ ... ⎜1 −
⎟
k !⎝ n ⎠ ⎝
n ⎠
n! ⎝ n ⎠ ⎝
n ⎠
2! ⎝ n ⎠
1⎛
1⎞
1⎛
1 ⎞ ⎛ k−1⎞
1 ⎛ 1⎞ ⎛ n−1⎞ 1 ⎛
1⎞ ⎛
n⎞
xn+1 =2+ ⎜1−
.
⎟+...+ ⎜1−
⎟ ... ⎜1−
⎟+...+ ⎜1− ⎟ ... ⎜1−
⎟+
⎜1−
⎟ ... ⎜1−
2 !⎝ n+1⎠
k !⎝ n+1⎠ ⎝ n+1⎠
n !⎝ n⎠ ⎝ n+1⎠ ( n+1!
) ⎝ n+1⎠ ⎝ n+1⎟⎠
Ako uporedimo ova dva izraza primećujemo da je
2=2
1 ⎛ 1⎞ 1 ⎛
1 ⎞
⎜1 − ⎟ < ⎜1 −
⎟
2! ⎝ n ⎠ 2! ⎝ n + 1 ⎠
...
1 ⎛ 1 ⎞ ⎛ n −1⎞ 1 ⎛
1 ⎞ ⎛ n −1 ⎞
⎜ 1 − ⎟ ... ⎜1 −
⎟ < ⎜1 −
⎟ ... ⎜1 −
⎟
n! ⎝ n ⎠ ⎝
n ⎠ n! ⎝ n + 1 ⎠ ⎝ n + 1 ⎠
jer je
i
i
1
i
>
odnosno >
, i uz to u drugom razvoju imamo jedan
n n +1
n n +1
sabirak više (koji je, kao i svi, pozitivan) pa je
xn<xn+1.
Dakle, niz (xn) je konvergentan i njegovu graničnu vrednost ćemo oznaćiti sa e,
tj.
n
⎛ 1⎞
lim ⎜1 + ⎟ = e.
⎝ n⎠
Broj e je iracionalan i njegova vrednost je e=2,7182818284...
Ovaj broj ima veliki značaj u matematici jer je on prirodna osnova za
logaritme.
- 71 -
6. REDOVI
Definicija 1.
q
Neka je dat niz (an), sa
∑ a ( p ≤ q ) . Označimo sumu
k= p
k
ap+ap+1+...+aq. Nizu
n
(an) pridružimo niz (Sn) definisan sa Sn = ∑ ak . Za niz (sn) uzimamo i sledeću
k =1
oznaku a1+a2+a3+... ili skraćeno
∞
(1)
∑a .
n =1
n
Simbol (1) se zove beskonačni red ili red i najčešće će biti još kraća oznaka
∑a .
n
Brojeve sn zovemo delimičnim sumama ovoga reda.
Ako niz (sn) konvergira ka S reći ćemo da red (1) konvergira i pisaćemo
∞
∑a
n =1
n
= s.
Broj S se zove zbir reda, mada je on uistinu granična vrednost niza
delimičnih suma i nije dobijen sabiranjem.
Ako niz (sn) divergira, za red se kaže da je divergentan.
Košijev kriterijum za konvergenciju nizova može biti preformulisan u sledeći
oblik za redove:
Teorema 1.
Red ∑ an konvergira ako i samo ako za svako ε>0 postoji prirodan broj N
takav da je
m
∑a
k =n
k
≤ε
za svako m,n, m≥n≥N.
Specijalno, stavljajući m=n dobijamo an ≤ ε , n≥N, odnosno važi:
- 72 -
Teorema 2.
Ako red ∑ an konvergira, onda je lim an = 0.
n →∞
Uslov an→0 jeste potreban uslov, ali nije i dovoljan za konvergenciju reda
∑ an .
Tako, na primer, red
∞
1
∑n
n =1
divergira, iako ispunjava dati uslov. (Divergencija ovog reda će biti pokazana
nešto kasnije.)
Teorema o konvergenciji monotonih nizova može biti primenjena na
sledećoj teoremi za redove.
Teorema 3.
Red sa nenegativnim članovima konvergira ako i samo ako je njegov niz
delimičnih suma ograničen.
6.1. POREDBENI KRITERIJUM
Teorema 4.
(a) Ako je an ≤ cn za ∀n ≥ N0 , gde je N0 neki određeni ceo broj,
onda ako red
∑c
n
konvergira, konvergira i red
(b) Ako je an ≥ d n ≥ o za ∀n ≥ N 0 i ako red
onda divergira i red
∑a
n
∑d
n
∑a
n
.
divergira,
.
Dokaz:
(a)
Neka je ε>0 i tada zbog konvergencije reda
postoji N≥N0 takav da je za svako m≥n≥N
m
∑c
k =n
k
≤ ε.
- 73 -
∑c
n
po Košijevom kriterijumu
Sada je očigledno
m
m
m
k =n
k =n
k =n
∑ ak ≤ ∑ ak ≤ ∑ ck ≤ ε
i (a) važi.
(b)
Ako bi
∑a
n
bio konvergentan red, morao bi i
∑d
n
biti prema (a), a to je
nemoguće po pretpostavci teoreme.
6.2. REDOVI SA POZITIVNIM ČLANOVIMA
Najjednostavniji redovi sa pozitivnim članovima su geometrijski redovi za
koje važi sledeći:
Stav 1.
∞
Za 0 ≤ x < 1 red ∑ x n =
n=0
1
a za x ≥ 1 red divergira.
1− x
Dokaz:
n
Za x≠1 imamo S n = ∑ x k =
k =0
1 − x n +1
. Stavljajući n → ∞ dobijamo tvrđenje
1− x
teoreme za x≠1. Za x=1 red 1+1+... očigledno divergira.
U mnogim slučajevima članovi reda su monotono opadajući. Sledeća
Košijeva teorema ima veliki značaj u teoriji redova.
Teorema 5.
Neka je a1 ≥ a2 ≥ a3 ≥ ... ≥ 0. Tada red
∞
∑2
k =0
k
∞
∑a
n =1
n
a2k = a1 + 2a2 + 4a4 + 8a8 + ...
konvergira.
- 74 -
konvergira ako i samo ako red
Dokaz:
Prema teoremi 3 dovoljno je pokazati da su nizovi parcijalnih suma ova dva
reda ograničeni. Neka je
sn = a1 + a2 + ... + an
tk = a1 + 2a2 + ... + 2k a2k .
Za
n < 2k +1 , s n ≤ a1 + ( a2 + a3 ) + ( a4 + a5 + a6 + a7 ) + ... + ( a2k + ... + a2k +1 −1 ) ≤
≤ a1 + 2a2 + 4a4 + ... + 2k a2k = tk .
Dakle, sn≤tk.
Za n>2k mi imamo
sn ≥ a1 + a2 + ( a3 + a4 ) + ( a5 + a6 + a7 + a8 ) + ... + ( a2k −1 +1 + ... + a2k ) ≥
1
1
≥ a1 + a2 + 2a4 + 4a8 + ... + 2k −1 a2k = tk .
2
2
Dakle, 2sn≥tk.
Odavde zaključujemo da su tk i sn zajedno ili ograničeni ili neograničeni, pa
svaki od njih konvergira ako i samo ako konvergira drugi.
Primer 1:
1
∑n
p
konvergira za p>1, a divergira za p≤1.
Rešenje:
Za p≤0 divergencija reda sledi iz činjenice da opšti član ne teži nuli. Za p>0 naš
red ima monotono opadajuće članove, pa možemo primeniti prethodnu
∞
teoremu, odakle dobijamo da naš red
n =1
∞
konvergira red
∑2
k =0
1− p
slučaju 2
k
1
∑n
p
konvergira ako i samo ako
∞
1
=
2(1− p ) k koji je geometrijski i konvergira jedino u
∑
kp
2
k =0
= x < 1 , odnosno 1-p<0, odnosno p>1.
- 75 -
6.3. DELIMIČNO SUMIRANJE I ALTERNIRAJUĆI REDOVI
Teorema 6.
n
Neka su (an) i (bn) nizovi. Označimo sa An = ∑ ak , n ≥ 0 i
A-1=0. Tada ako je
k =0
0 ≤ p ≤ q važi
(∗)
q
q −1
n= p
n= p
∑ anbn = ∑ An ( bn − bn+1 ) + Aq bq − Ap −1bp .
Dokaz: Iz
q
q
q
q
q
n= p
n= p
n= p
n= p
n= p
∑ anbn = ∑ ( An − An −1 ) bn = ∑ Anbn − ∑ An −1bn = ∑ Anbn −
q −1
∑
n = p −1
An bn +1 ,
odakle je jasno da važi (∗).
Formula (∗) je poznata pod nazivom " formula delimičnog sumiranja" i
korisno se primenjuje u proučavanju redova oblika ∑ anbn , naročito kada je
niz (bn) monoton.
Teorema 7.
Neka je:
(a) Niz delimičnih suma An reda
∑a b
n n
ograničen
(b) b0 ≥ b1 ≥ b2 ≥ ...
(c) lim bn = 0
n →+∞
Tada red
∑a b
n n
konvergira.
Dokaz:
Izaberimo M takvo da je An ≤ M za svako n. Za proizvoljno ε>0 postoji N
takvo da je bN ≤
q
∑ anbn =
n= p
ε
(zbog lim bn = 0 ). Za N≤ p≤ q imamo
n →+∞
2M
q −1
∑ An ( bn − bn+1 ) + Aqbq − Ap −1bp ≤ M
n= p
=2Mbp ≤ 2MbN = ε.
- 76 -
q −1
∑ (b
n= p
n
− bn +1 ) + bq + bp =
(Prva nejednakost u nizu je moguća jer je bn-bn+1≥0.)
Teorema 8.
Neka je:
(a) C1 ≥ C2 ≥ C3 ≥ ...
(b) C2m-1C2m<0, m∈N
(c) lim Cn = 0
n →+∞
Tada red
∑C
n
konvergira.
Dokaz:
Primenom teoreme 2, stavljajući an=(-1)n+1, bn= Cn .
Napomena:
Red sa osobinom (b) zove se alternirajući red. Ova teorema poznata je kao
Lajbnicov kriterijum za konvergenciju alternirajućih redova.
Definicija 2.
Red ∑ an je apsolutno konvergentan ako red
∑a
n
konvergira.
Teorema 9.
Ako red ∑ an konvergira apsolutno, onda on konvergira.
Dokaz:
Izlazi iz nejednakosti
m
∑a
k =n
m
n
≤ ∑ an
k =n
i Košijevog kriterijuma.
Za redove sa pozitivnim članovima apsolutna konvergencija je isto što i
konvergencija.
U slučaju da red ∑ an konvergira a red ∑ an divergira, kažemo da red
∑a
n
neapsolutno konvergira.
- 77 -
Primer neapsolutno konvergentnog reda je red
∑
1
∑n
jer red
( −1)
n
n
divergira a dati red po Lajbnicovom kriterijumu konvergira.
Definicija 3.
Neka je (kn), n=1,2,... niz u kome se svaki pozitivan broj pojavljuje tačno
jednom (dakle, (kn) je bijektivna funkcija N→N). Stavljajući
an© = a k (n=1,2,...)
n
kažemo da je red Σ an' preuređenje reda Σ an.
Ako posmatramo nizove parcijalnih suma reda
preuređenja
∑a
n
∑a
n
i njegovog
i ako su to nizovi (Sn) i (Sn'), očigledno je da su to različiti
nizovi u opštem slučaju.
Postavlja se pitanje kada red i njegovo preuređenje imaju istu sumu.
Odgovor na ovo pitanje je dat sledećim stavom:
Stav 2.
∞
∑a
Red
n =1
n
∞
i njegovo proizvoljno preuređenje
∑a
n =1
n
' imaju isti zbir ako red
∞
∑a
n =1
n
konvergira.
∞
Napomenimo ovde da ako red
∑a
n =1
n
ne konvergira apsolutno, tada
možemo za unapred zadati broj izabrati preuređenje da zbir novog reda bude
baš taj zadati broj.
- 78 -
7. GRANIČNA VREDNOST FUNKCIJE
Definicija 1.
Za funkciju y=f(x), definisanu u nekoj okolini tačke a, (osim možda u
samoj tački a), kažemo da ima graničnu vrednost b ako za proizvoljnu
okolinu tačke b postoji okolina tačke a koja se (sa eventualnim
izuzetkom tačke a) preslikava u pomenutu okolinu tačke b funkcijom f.
Navedimo sada i drugu ekvivalentnu definiciju granične vrednosti
odnosno limesa funkcije:
Definicija 2.
Za funkciju y=f(x), definisanu u nekoj okolini tačke a (osim možda u
samoj tački a), kažemo da u tački a ima graničnu vrednost b, ako za
svako ε>0 postoji δ(ε)>0, takav da za svako x koje zadovoljava
nejednakosti 0 < x − a < δ je zadovoljena nejednakost f ( x ) − b < ε.
Činjenicu da je b granična vrednost funkcije f u tački a zapisujemo na
sledeći način:
lim f ( x ) = b ili f ( x ) → b
x→a
( x → a ).
Navedimo i treću definiciju granične vrednosti funkcije:
Definicija 3.
Za funkciju y=f(x), definisanu u nekoj okolini tačke a (osim možda u
samoj tački a), kažemo da ima graničnu vrednost b, ako i samo ako za
svaki niz (xn) čiji elementi su raličiti od a, a pripadaju okolini tačke a u
kojoj je funkcija definisana i koji konvergira ka tački a, niz (f(xn)) je
konvergentan i pri tome je
lim f ( x ) = b ili f ( x ) → b
x→ a
- 79 -
( x → a ).
Sada ćemo dokazati da je ova definicija ekvivalentna sa prethodnom.
Pretpostavimo da funkcija y=f(x) u tački a ima graničnu vrednost b. Tada,
prema drugoj definiciji za proizvoljno ε>0 postoji δ(ε)>0, tako da je za
svako x koje zadovoljava nejednakost 0 < x − a < δ ispunjena
nejednakost f ( x ) − b < ε. Neka je (xn) niz čiji su članovi različiti od a i
koji konvergira ka a, tada za dato δ>0 postoji n0∈N takvo da je za svako
n>n0 zadovoljena nejednakost 0 < xn − a < δ. No tada prema
prethodnom mora biti i f ( x ) − b < ε. pa je niz (f(xn)) konvergentan i
njegova granična vrednost je b. Obratno, ako funkcija nema graničnu
vrednost b u tački a, tada postoji neko ε0>0 takvo da za svako δ>0 među
brojevima koji zadovoljavaju nejednakost 0 < xn − a < δ. postoji bar
jedan broj xδ takav da je f ( xn ) − b < ε,
Možemo izabrati da je
δ=
1
n=1,2,...
n
i tada za svaki od tih brojeva izaberemo tačku xn=xδ takvu da je
0 < xn − a <
1
n
( x n ≠ a ) i da je pri tome
f ( xn ) − b ≥ ε0
( n=1,2,...)
Odavde je jasno da xn → a kad n → ∞ i da f ( x n ) → b kad n → ∞, pa
funkcija f(x) nema graničnu vrednost b kad x → a ni po trećoj definiciji.
Sa ovim je ekvivalentnost u potpunosti dokazana.
Napomenimo da za definiciju granične vrednosti funkcije y=f(x) u
tački a nije bitno da li je funkcija u tački a definisana ili ne. Isto tako kada
je funkcija definisana u tački a za graničnu vrednost funkcije u toj tački
nije bitna vrednost funkcije u toj tački.
Za sledeće definicije graničnih vrednosti funkcije (leva i desna
granična vrednost u konačnoj tački, kao i granična vrednost u
beskonačnoj tački) ne dajemo i ekvivalentne definicije pomoću nizova
mada je jasno da se iste mogu dati.
- 80 -
Definicija 4.
Za funkciju y=f(x) definisanu na nekom intervalu (a1,a), a1<a, kažemo
da ima u tački a levu graničnu vrednost b, ako za svako ε>0 postoji
δ(ε)>0 takav da za svako x koje zadovoljava nejednakosti a-δ<x<a važi
nejednakost f ( x ) − b < ε.
U ovom slučaju pišemo
lim f ( x ) = b
x→a−0
ako je a≠0, odnosno
lim f ( x ) = b
x →0 −
ako je a=0.
Definicija 5.
Za funkciju y=f(x) definisanu na nekom intervalu (a,a2), a<a2 kažemo
da u tački a ima desnu graničnu vrednost b, ako za svako ε>0 postoji
δ(ε)>0 takvo da za svako x koje zadovoljava nejednakosti
a<x<a+δ
važi nejednakost
f ( x ) − b < ε.
U ovom slučaju pišemo
lim f ( x ) = b
x→a+0
ako je a≠0, odnosno
lim f ( x ) = b
x →0 +
ako je a=0 .
Nije teško zaključiti da, ako funkcija ima graničnu vrednost, onda ona
ima i levu i desnu graničnu vrednost, a da obratno važi jedino u slučaju
kada funkcija ima i levu i desnu graničnu vrednost i kada su one
međusobno jednake.
- 81 -
Postoje funkcije koje u nekoj tački imaju i levu i desnu graničnu
vrednost ali ne i graničnu vrednost. Takva je recimo funkcija y=sgnx kod
koje je
lim sgn x = 1,
x →0 +
lim sgn x = −1,
x → 0-
dok limsgn x ne postoji.
x →0
U prethodno datim definicijama pretpostavili smo da je a konačan
broj. Ako je a = +∞ odnosno a=-∞ onda imamo sledeće definicije:
Definicija 6.
Za funkciju f(x) definisanu u nekom intervalu ( a, +∞ ) kažemo da ima
graničnu vrednost b kada x "teži" ka +∞ , ako za svako ε>0 postoji
M(ε)>a, takav da za svako x koje zadovoljava nejednakost x>M, imamo
da je f ( x ) − b < ε. Ovu činjenicu označavamo na sledeći način
lim f ( x ) = b ili f ( x ) → b, x → +∞.
x→+∞
Na potpuno analogan, dualan način se definiše granična vrednost
funkcije kada x "teži" ka −∞ .
Napomena 1:
lim f ( x ) = b ili f ( x ) → b, x → +∞.
x →+∞
se čita na sledeći način: limes od f(x) je jednak b, kada x teži ka a
(odnosno: limes od f(x) je jednak b kada x teži a+0; limes od f(x) je
jednak b kada x teži a-0). Primetimo da u prvom slučaju a može biti
kako konačno tako i −∞ , odnosno −∞ .
Teorema 1.
Funkcija y=f(x) u nekoj tački a iz oblasti definisanosti ima najviše jednu
graničnu vrednost.
- 82 -
Stav 1.
Ako funkcija y=f(x) ima konačnu graničnu vrednost u tački a, onda je ona
ograničena u nekoj okolini te tačke.
Stav 2.
Ako funkcija y=f(x) ima pozitivnu (negativnu) graničnu vrednost u nekoj
tački a, onda postoji okolina te tačke u kojoj je funkcija pozitivna
(negativna) (jasno je da je iz te okoline izuzeta možda tačka a).
Stav 3. Ako funkcije u(x) i v(x) imaju granične vrednosti u tački a, i ako
postoji okolina 0(a) tačke a, takva da je za svako x∈0(a) (x≠a) ispunjena
nejednakost
u(x)≤ v(x),
tada je
lim u ( x ) ≤ lim v ( x ) .
x →a
x →a
Stav 4.
Ako funkcije u(x) i w(x) imaju istu graničnu vrednost u tački a, i ako su u
nekoj okolini 0(a) tačke a ispunjene nejednakosti
u(x)≤ v(x)≤ w(x)
za svako x∈0(a) (x≠a), tada postoji granična vrednost funkcije v(x) i pri
tome je
lim u ( x ) = lim v ( x ) = lim w ( x ) .
x→a
x→a
- 83 -
x →a
7.1. ARITMETIČKE OPERACIJE SA GRANIČNIM VREDNOSTIMA FUNKCIJA
Stav 5.
Ako je lim f ( x ) = A i lim g ( x ) = B i A i B su konačni brojevi onda je
x→a
x →a
(1) lim ( f ( x ) ± g ( x ) ) = lim f ( x ) ± lim g ( x ) = A ± B
x →a
x →a
x →a
(2) lim f ( x ) g ( x ) = lim f ( x ) lim g ( x ) = AB
x →a
x →a
x→a
(3) lim
x →a
f (x)
g (x)
=
lim f ( x )
x →a
lim g ( x )
x →a
=
A
B
pod pretpostavkom da je B različito
od 0.
Dokaz:
Kako odgovarajuća tvrđenja važe za nizove, koristeći se trećom
definicijom granične vrednosti funkcije, stav se neposredno dokazuje.
Dokažimo na primer drugu jednakost: Neka xn → a i x n ≠ a za svako
n∈N. Tada je lim f ( xn ) = A i lim g ( xn ) = B pa je i granična vrednost
n →∞
n →∞
proizvoda ovih nizova jednaka proizvodu graničnih vrednosti, tj.
lim f ( xn ) g ( xn ) = AB čime je dokazana jednakost lim f ( x ) g ( x ) = AB.
n →∞
n →∞
7.2. BESKONAČNO MALE I BESKONAČNO VELIKE FUNKCIJE
Za funkciju y=f(x) kažemo da je beskonačno mala kada x→a (pri čemu
a može biti i beskonačno), ako je lim f ( x ) = 0.
x→a
Beskonačno male funkcije se još nazivaju i infinitezimale.
Tako, na primer, y=cosx je beskonačno mala funkcija kad
kπ
1
k= ± 1, ± 2,...; y=
je beskonačno mala kada x → +∞ i kada
2
x
x → −∞ itd.
x→
Jedina konstanta koja je beskonačno mala je nula.
- 84 -
Pomoću beskonačno male funkcije može se opisati granična vrednost
funkcije. Naime, jednostavno se može dokazati :
Stav 6.
Funkcija y=f(x) ima graničnu vrednost b kada x → a ako i samo ako
postoji beskonačno mala funkcija g(x) kad x → a , takva da je
f(x)=b+g(x).
Za funkciju y=f(x) definisanu u nekoj okolini tačke a (osim možda u
tački a kažemo da je beskonačno velika kada x → a , ako za svako M>0
postoji δ(M)>0 tako da je za svako x koje zadovoljava nejednakosti
0 < x − a < δ je zadovoljena nejednakost f ( x ) > M .
U ovom slučaju funkcija nema graničnu vrednost u skladu sa
definicijama datim na početku, pa se zbog toga ovde uslovno kaže da je
lim f ( x ) = ∞ ili f ( x ) → ∞, x → a .
x→a
Ako je funkcija f(x) beskonačno velika kad x → a i stalno pozitivna
(negativna) u nekoj okolini tačke a onda pišemo f ( x ) → +∞ ( f ( x ) → −∞ )
(
)
kad x → a ili lim f ( x ) = +∞ lim f ( x ) = −∞ .
x →a
x →a
Beskonačno velike funkcije mogu se definisati i pomoću nizova. Isto
tako beskonačno velike funkcije se mogu definisati i ako tačka a nije
konačna. Beskonačno male i beskonačno velike funkcije su povezane jer
važi sledeći stav.
Stav 7.
Funkcija f(x) je bekonačno mala, različita od nule, kad x → a , ako i samo
ako je
1
beskonačno velika funkcija.
f ( x)
- 85 -
Dokaz:
1
> 0 , pa postoji
M
δ(ε)>0 tako da je za svako x koje zadovoljava nejednakosti 0 < x − a < δ
Ako je f(x) beskonačno mala funkcija i M>0, tada je ε =
zadovoljena nejednakost
1
>M
f ( x)
pa je
f ( x) < ε =
1
f ( x)
1
, a ovo je ekviva- lentno sa
M
beskonačno velika funkcija. Obratno je
analogno.
Beskonačno male i beskonačno velike funkcije se mogu definisati i
kad x→a+0 i x→a-0.
7.3. NEKE OSNOVNE GRANIČNE VREDNOSTI
1.
lim
x →0
sin x
=1
x
sin x
= 1 je definisana za svako x∈R\ {0} . Da bi odredili
x
sin x
graničnu vrednost izraza y =
kada x→0 posmatraćemo sledeća dva
x
Funkcija lim
x →0
slučaja
(1)
(2)
π
2
π
0< x<
2
0< x<
Na trigonometrijskom krugu
(sl. 1) x predstavlja dužinu kružnog
luka AB, odnosno veličinu ugla ∠AOB. Pri tom je trougao ΔOAB upisan u
kružni isečak BOA a ovaj u trougao ΔCOA . Dakle, imamo da je
PΔBOA < P BOA < PΔCOA .
- 86 -
Slika 1.
U slučaju (1) je:
sin x
,
2
x
= ,
2
tgx
=
,
2
PΔBOA =
P BOA
PΔCOA
pa je
sin x x tgx
< <
odnosno
x
2 2
sinx
sinx<x<
odnosno
cosx
sinx
1
<
1<
odnosno
x
cos x
sinx
< 1.
cosx<
x
U slučaju (2) je :
sin x
,
2
x
=− ,
2
tgx
=−
,
2
PΔBOA = −
P BOA
PΔCOA
- 87 -
pa je
x
tgx
sin x
<− <−
odnosno
x
2
2
sinx
sinx>x>
odnosno
cosx
x
1
<
1<
odnosno
sinx cos x
sinx
< 1.
cosx<
x
−
π π
Dakle, za svako x ∈ ⎛⎜ − , ⎞⎟ \ {0} su ispunjene nejednakosti
⎝ 2 2⎠
cos x <
sin x
< 1.
x
sin x
= 1.
x →0
x
Kako je pri tome limcos x = 1 i lim1 = 1 to je i lim
x →0
x →0
x
2.
⎛ 1⎞
lim ⎜1 + ⎟ = e
x →∞
⎝ x⎠
Ova granična vrednost se dokazuje koristeći se dokazanom
graničnom vrednošću za broj e kod nizova i trećom definicijom granične
vrednosti funkcije.
1
Analogno se dokazuje i granična vrednost lim (1 + x ) x = e .
x →0
- 88 -
7.4. NEPREKIDNOST FUNKCIJA
7.4.1. Neprekidnost funkcije u tački
Definicija 7.
Za funkciju y=f(x) definisanu u nekoj okolini tačke x0, kažemo da je
neprekidna u tački x0, ako je
lim f ( x ) = f ( x0 ) .
x → x0
Imajući u vidu definicije granične vrednosti funkcije mogu se dati i
sledeće definicije neprekidnosti funkcije u tački.
Definicija 7'.
Za funkciju y=f(x) definisanu u nekoj okolini tačke x0, kažemo da je
neprekidna u tački x0, ako za svako ε>0 postoji δ(ε)>0 takvo da je
f ( x ) − f ( x0 ) < ε
za svako x koje zadovoljava nejednakost x − x0 < δ .
Definicija 8.
Za funkciju y=f(x) definisanu u nekoj okolini tačke x0, kažemo da je
neprekidna u tački x0, ako za proizvoljnu okolinu U tačke f(x0) postoji
okolina V tačke x0, takva da je f(V)⊆U.
Ako je funkcija y=f(x) definisana u nekom intervalu (a,b), i ako su
x,x0∈(a,b), tada razliku x-x0 označavamo sa Δx i zovemo priraštajem
argumenta u tački x0, a razliku f(x)-f(x0)=f(x0+Δx)-f(x0) označavamo sa Δy
i nazivamo priraštajem funkcije u tački x0 za dati priraštaj argumenta.
Kao direktna posledica teoreme 1 iz 2.2.2. može se navesti sledeći stav:
- 89 -
Stav 8.
Funkcija y=f(x), definisana u nekoj okolini tačke x0, neprekidna je u tački
x0, ako i samo ako je lim Δy = 0.
Δx →0
Direktna posledica teoreme 1 iz 2.2.4. i definicije 1 je sledeća
teorema.
Teorema 2.
Ako su funkcije f(x) i g(x) neprekidne u tački x0 tada su i funkcije
f ( x) + g ( x), f ( x) − g ( x),
f ( x) ⋅ g ( x),
f ( x)
g ( x)
( uz uslov g ( x ) ≠ 0 )
0
neprekidne u tački x0.
Na kraju, iskažimo teoremu o neprekidnosti složene funkcije u tački.
Teorema 3.
Ako je funkcija y=f(x) neprekidna u tački x0 a funkcija f(y) neprekidna u
tački y0=ϕ(x0) onda je i funkcija F(x)=f(ϕ(x)) neprekidna u tački x0.
Posledica 1.
Ako je funkcija y=f(z) neprekidna u tački z0 i ako je funkcija z=ϕ(x)
neprekidna u tački x0 tada je
(
)
lim f ( φ ( x ) ) = f lim φ ( x ) .
x → xo
x → x0
7.4.2. Tačke prekida funkcije
Neka je funkcija y=f(x) definisana na intervalu (a,b), izuzevši možda
x0∈(a,b). Tačku x0 nazivamo tačkom prekida funkcije y=f(x) ako nije
ispunjena jednakost
lim f ( x ) = f ( x0 ) .
x → x0
- 90 -
Ova jednakost može biti neispunjena zato što ne postoji
lim f ( x ) = f ( x0 ) . ,
x → x0
ili zato što ne postoji f(x0), ili zato što je
lim f ( x ) = f ( x0 ) .
x → x0
Ako je x0 tačka prekida funkcije f(x) i ako postoje konačni limesi
lim f ( x ) = f ( x0 − 0 ) i
x → x0 − 0
lim f ( x ) = f ( x0 + 0 ) ,
x →x0 +0
onda tu tačku zovemo tačkom prekida prve vrste. Veličinu f(x0+0)-f(x0-0)
zovemo skokom funkcije f(x) u tački x0.
Tako, na primer, funkcija f ( x ) =
x
u tački x=0 ima prekid prve vrste
x
jer je
lim
x →0+
x
x
= 1 a lim = −1
x
→
0x
x
a skok je jednak 2.
Za funkciju y=f(x) koja u tački x0 ima prekid prve vrste i čiji je skok u
toj tački jednak nuli, tj. kod koje je f(x0+0)=f(x0-0) kažemo da u tački a
ima otklonjiv prekid. Zaista, stavivši da je
f ( x0 ) = lim f ( x ) = lim f ( x )
x → x0 + 0
x → x0 − 0
dobijamo neprekidnu funkciju u tački x0.
Tako, na primer, za funkciju f ( x ) =
sin x
koja u tački x=0 nije
x
definisana, ima u toj tački otklonjiv prekid.
Ako je tačka x0 tačka prekida funkcije y=f(x) i ako bar jedan od limesa
f(x0-0), f(x0+0) je beskonačan ili ne postoji, onda tačku x0 nazivamo
tačkom prekida druge vrste.
- 91 -
Tako, na primer, tačka x=1 je tačka prekida druge vrste za funkciju
y=
x
jer je
x −1
2
x
x
= −∞ a lim 2
= +∞.
x →1− 0 x − 1
x →1+0 x − 1
lim
2
1
Isto tako funkcija y = 3 x − 2 ima u tački x=2 prekid druge vrste jer je
1
lim 3 x − 2 = +∞
x →2+ 0
bez obzira što je
1
lim 3 x − 2 = 0.
x →2−0
7.4.3. Neprekidnost funkcije na intervalu
Definicija 9.
Za funkciju y=f(x) kažemo da je neprekidna na intervalu (a,b), ako je
neprekidna u svakoj tački toga intervala.
Da bismo definisali neprekidnost funkcije na zatvorenom intervalu,
treba definisati neprekidnost funkcije u tački sleva i zdesna.
Definicija 10.
Ako je funkcija y=f(x) definisana na intervalu (a-ε,a], ([a,a+ε)) (ε>0) i pri
tome je
lim f ( x ) = f ( a )
x →a −0
( lim f ( x ) = f ( a )) ,
x → a+0
onda kažemo da je funkcija f(x) u tački a neprekidna sleva (zdesna).
Definicija 11.
Za funkciju y=f(x) kažemo da je neprekidna na intervalu [a,b] ako je
neprekidna na intervalu (a,b), dok je u tački a neprekidna zdesna a u
tački b neprekidna sleva.
- 92 -
Napomenimo da ovde, očigledno, važe stavovi analogni teoremi i
teoreme kako za otvoreni tako i za zatvoreni interval.
Za funkcije neprekidne na zatvorenom intervalu ćemo formulisati
nekoliko teorema i grafički ih objasniti.
Teorema 4.
Ako je funkcija neprekidna na zatvorenom intervalu [a,b], onda je ona
ograničena na tom intervalu.
Napomenimo da ova teorema ne mora važiti na otvorenom ili
poluotvorenom intervalu. Tako, na primer, funkcija
neprekidna na intervalu (0,1] ali nije ograničena na njemu.
y=
x −1
x2
je
Teorema 5.
Neprekidna funkcija na zatvorenom intervalu dostiže najveću i najmanju
vrednost, tj. postoje tačke α, β∈ [ a, b] takve da je za svako
x ∈ [ a, b] f ( α ) ≤ f ( x ) ≤ f ( β ) (sl. 2.).
Slika 2.
Napomenimo da ova teorema tako|e ne mora važiti za otvoren,
odnosno poluotvoren interval, čak ni u slučaju da je funkcija y=f(x) na
njemu neprekidna i ograničena. Na primer, y=x na intervalu (0,1) je i
neprekidna i ograničena ali nema na tom intervalu ni najveću ni
najmanju vrednost.
- 93 -
Teorema 6.
Ako je funkcija y=f(x) neprekidna na zatvorenom intervalu [ a, b] i brojevi
f(a) i f(b) su različitog znaka, onda na intervalu (a,b) postoji bar jedna
tačka c takva da je f(c)=0.
Funkcija y=f(x) predstavljena grafički na slici 2. zadovoljava uslove
teoreme 3, pa je geometrijski očigledno da grafik funkcije mora u
najmanje jednoj tački seći x-osu.
Posledica 1: Ako je funkcija y=f(x) neprekidna na intervalu [ a, b] , onda
ona dostiže u bar jednoj od tačaka ovog intervala bilo koju vrednost koja
se nalazi između najveće i najmanje vrednosti.
7.5. GRANIČNA VREDNOST I NEPREKIDNOST
Koristeći se stavovima o neprekidnosti, pre svega stavom o
neprekidnosti složene funkcije, mogu se dosta lako računati granične
vrednosti funkcija. To ćemo ilustrovati na nekoliko primera.
Primer 1:
⎛ α⎞
lim ⎜1 + ⎟ = eα , α ≠ 0.
x →∞
x⎠
⎝
x
Rešenje:
Zaista, kad
x
⎡
⎤
α
⎛
⎞
⎢
⎥
x
x
1⎟ ⎥
⎛ α ⎞ ⎢⎜
→ ∞ pa je ⎜ 1+ ⎟ = ⎜ 1 + ⎟
x→∞ i
x⎟ ⎥
α
⎝ x ⎠ ⎢⎜
⎢
⎥
α⎠ ⎥
⎢⎣⎝
⎦
i zbog neprekidnosti funkcije eα sledi gornja relacija.
- 94 -
α
Primer 2:
lim
log a (1 + x )
x →0
Rešenje:
Kako je
x
log a (1 + x )
x
= log a e
( a>0 ) .
1
= log a (1 + x ) x
i kako je logaritamska funkcija
neprekidna u tački e sledi gornje tvr|enje.
Primer 3:
ax −1
= ln a
x →0
x
lim
( a>0 ) .
Rešenje:
Stavljajući ax-1=t dobijamo ax=t+1 i x=lna(1+t). Kada x→0 i t→0 pa je
ax −1
t
1
= lim
=
= ln a
→
0
x →0
t
x
log a (1 + t ) log a e
lim
Primer 4:
(1 + x )
lim
x →0
x
α
−1
=α
Rešenje:
Stavljajući 1+x=ey (y→0 kad x→0) dobijamo
e αy − 1
(1 + x ) − 1 = lim e − 1 = lim αy = α = α
lim
.
x →0
y →0 e y − 1
y →0 e y − 1
1
x
α
αy
α
- 95 -
7.6. FUNKCIJA VIŠE PROMENLJIVIH
Definicija funkcije sa dve promenljive se daje na isti način kao i
definicija funkcije sa jednom promenljivom, s' tom razlikom što je oblast
definisanosti ove funkcije neki skup ure|enih parova (x,y) realnih
brojeva. Skup vrednosti funkcije je i u ovom slučaju neki podskup skupa
realnih brojeva.
Definicija 12.
Funkcija sa dve promenljive je bilo koje pravilo, zakon po kome svakom
ure|enom paru (x,y) iz nekog skupa A⊆R2 pridružujemo tačno jedan
broj z∈B⊆R.
Skup A je dakle oblast definisanosti, skup B je skup vrednosti funkcije,
x i y se zovu nezavisnim promenljivima (ili argumentima), z se zove
zavisnom promenljivom ili funkcijom. Funkcije sa dve promenljive
označavamo na sličan način kao i funkcije sa jednom promenljivom:
z=f(x,y), z=F(x,y), z=z(x,y), itd.
Za nalaženje vrednosti z0 funkcije z=f(x,y) za odre|ene vrednosti
argumenata x=x0 i y=y0, koristićemo najčešće sledeću oznaku z0=f(x0, y0).
Funkcija sa dve promenljive, analogno kao i u slučaju funkcije sa jednom
promenljivom, može biti zadata na razne načine: tabelarno, analitičkim
izrazom, itd.
Često puta pri zadavanju funkcije analitičkim izrazom se ne ukazuje
na oblast definisanosti iste i u takvim slučajevima za oblast definisanosti
funkcije se uzima skup tačaka u ravni Oxy, za koje izraz f(x,y) ima smisla.
Tako, na primer, polinomi prvog stepena z=ax+by+c, polinomi drugog
stepena z=ax2+by2+cxy+dx+ey+f, i polinomi proizvoljnog stepena su
definisani za svaku tačku iz ravni Oxy.
Racionalne funkcije sa dve promenljive, tj. količnici dvaju polinoma sa
dve promenljive x i y, su definisane u svim tačkama ravni Oxy za koje je
polinom u imeniocu različit od nule. Tako, na primer, racionalna funkcija
- 96 -
z=
x + y2 + 4 y
x − 3y
je definisana u svim tačkama ravni, izuzevši tačke sa prave x-3y=0.
Funkcija z = 4 − x 2 − y 2
je definisana za 4-x2-y2≥0, odnosno u
unutrašnjosti kruga i na kružnici x2+y2=4.
Kao što smo definisali funkcije sa dve promenljive, na isti način se
mogu definisati i funkcije sa tri promenljive i funkcije sa više od tri
promenljive.
Da bismo definisali graničnu vrednost funkcije sa dve promenljive
potrebno je definisati pojam okoline tačke P0(x0,y0).
Definicija 13.
Okolinom tačke P0(x0,y0) nazivamo proizvoljan skup tačaka u ravni koji
sadrži unutrašnjost kruga sa centrom u tački P0 poluprečnika ε, gde je ε
neki pozitivan realan broj.
Specijalno unutrašnjost kruga sa centrom u tački P0 poluprečnika ε
zovemo ε-okolinom tačke P0.
Broj b nazivamo graničnom vrednošću funkcije z=f(x,y) kad x→x0,
y→y0, ako za svako ε>0 postoji δ okolina tačke P0(x0,y0) takva da za sve
tačke iz te okoline, osim možda za tačku P0, važi nejednakost:
⏐f(x,y)-b⏐< ε.
Tada pišemo lim f ( P ) = b odnosno
P → P0
lim f ( x, y ) = b .
x → x0
y → y0
Analogno se može definisati i granična vrednost funkcije sa više
promenljivih.
- 97 -
Za granične vrednosti funkcija dve ili više promenljivih važe analogni
stavovi kao za granične vrednosti funkcije sa jednom promenljivom.
Pojam neprekidnosti funkcija sa dve ili više promenljivih u tački se daje
analogno kao i u slučaju funkcije sa jednom promenljivom.
Definicija 14.
Funkcija z=f(x,y) je neprekidna u tački P0 ako je definisana u nekoj
okolini ove tačke i ako je
lim f ( P ) = f ( P0 ) .
P → P0
Za funkcije sa dve ili više promenljivih neprekidne u nekoj tački važe
analogni stavovi kao i za funkcije sa jednom promenljivom neprekidne u
nekoj tački.
Kod funkcija sa jednom promenljivom smo posmatrali neprekidnost
funkcije na intervalu, dok se kod funkcija sa dve ili više promenljivih
posmatra neprekidnost funkcije u odgovarajućoj oblasti na analogan
način i sa analognim stavovima. Ovde ćemo dati pojam
dvodimenzionalne oblasti i pojam neprekidnosti funkcije sa dve
promenljive u oblasti.
Otvorena oblast je skup tačaka u ravni koji zadovoljava sledeća dva
svojstva:
1. Za svaku tačku iz oblasti postoji neka okolina te tačke koja pripada
oblasti.
2. Svake dve tačke iz oblasti mogu se spojiti linijom koja je
neprekidna i cela pripada oblasti.
Tačku P0 nazivamo graničnom tačkom neke oblasti G ako svaka
okolina tačke P0, pored tačaka iz oblasti G, sadrži tačke koje ne pripadaju
oblasti G.
Skup svih graničnih tačaka neke oblasti zovemo njenom granicom.
- 98 -
Ako nekoj otvorenoj oblasti pridružimo sve njene granične tačke
dobijamo skup tačaka koje zovemo zatrvorenom oblašću.
Ako za datu oblast možemo naći krug koji pokriva tu oblast, onda tu
oblast zovemo ograničenom, a u protivnom oblast zovemo
neograničenom.
Oblast zovemo jednosvezanom ako sa svakom zatvorenom konturom
(linijom) koja pripada oblasti, oblasti pripada i deo ravni koji ona
ograničava. U protivnom oblast je višesvezana.
Pri definisanju pojma neprekidnosti na zatvorenoj oblasti zahteva se
neprekidnost u svakoj tački iz te oblasti pri čemu se za granične tačke
podrazumeva da je funkcija neprekidna u graničnoj tački P0 ako je
ispunjena jednakost lim f ( P ) = f ( P0 ) kada P teži ka P0 po tačkama koje
P → P0
pripadaju oblasti.
Za funkcije neprekidne u ograničenoj zatvorenoj oblasti F važi da su u
toj oblasti:
1. Ograničene;
2. Dostižu u toj oblasti najveću i najmanju vrednost;
3. Dostižu u toj oblasti svaku vrednost između najveće i najmanje
vrednosti.
Ovi stavovi se dokazuju analogno kao i u slučaju funkcije sa jednom
promenljivom.
- 99 -
PITANJA ZA PONAVLJANJE
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Šta je funkcija?
Nabrojati i definisati osobine
funkcija.
Kako glasi definicija niza?
Definisati osnovne osobine
nizova.
Granična vrednost niza i
osobine.
Granična vrednost funkcije i
osobine.
7.
8.
Pojam asimptota funkcije.
Neprekidnost funkcije jedne
promenljive.
9. Pojam funkcije više
promenljivih.
10. Granična vrednost funkcije
više promenljivih.
11. Neprekidnost funkcije više
promenljivih.
KLJUČNI POJMOVI
•
•
•
•
Funkcija
Domen
Kodomen
Niz
• Asimptote
• Tačka nagomilavanja
• Granična vednostlimes
• Konvergencija
- 100 -
• Divergencija
• Neprekidnost
• Broj e
III-GLAVA
DIFERENCIJALNI RAČUN
•
•
•
•
•
•
•
IZVOD FUNKCIJE
DIFERENCIJABILNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE U TAČKI
DIFERENCIJAL FUNKCIJE
NAJVAŽNIJE TEOREME DIFERENCIJALNOG RAČUNA
IZVODI I DIFERENCIJALI FUNKCIJA DVE NEZAVISNO PROMENLJIVE
PRIMENA DIFERENCIJALNOG RAČUNA
EKONOMSKE FUNKCIJE
Cilj nam je da ovaj račun uvedemo preko:
1. Osnovnih pojmova.
2. Definicija.
3. Tablica izvoda elementarnih funkcija.
4. Pravila diferenciranja.
5. Osnovnih teorema diferencijalnog računa.
8. DIFERENCIJALNI RAČUN
8.1. IZVOD FUNKCIJE
Osnovni pojam diferencijalnog računa je izvod funkcije u određenoj tački, tako
da ćemo razmatranje ovog računa početi njegovim uvođenjem.
U ovom odeljku nakon definisanja izvoda funkcije i geometrijskog tumačenja
levog i desnog izvoda, navodi se teorema o diferencijabilnosti funkcija,
definicija izvodne funkcije i izvodi osnovnih funkcija.
Definicija izvoda funkcije u tački
Neka je f : ( a , b ) → R neprekidna funkcija i x0 ∈ (a, b) . Ako se za razliku
x − x0 uvede oznaka Δx0 ,
Δx0 ≠ 0,
x0 + Δx0 ∈ (a, b) i ako količnik
- 101 -
f ( x0 + Δx0 ) − f ( x0 )
Δx0
ima konačnu vrednost kada Δx0 → 0 , tada ova granična vrednost predstavlja
izvod funkcije u tački x0 i označava se sa f '( x0 ) . Znači:
f '( x0 ) = lim
x → x0
f ( x0 + Δx0 ) − f ( x0 )
Δx0
Ako postoji izvod funkcije u tački x0 tj. ako navedeni količnik ima konačnu
vrednost za definisane parametre, funkcija f je diferencijabilna u tački x0 . U
slučaju da funkcija nema izvod u tački x0 tada f nije diferencijabilna u tački
x0 .
Primeri sa rešenjima:
3
1. Naći izvod funkcije y = x u tački x0 = 2
f (2 + Δx0 ) − f (2)
(2 + Δx0 )3 − 23
f '(2) = lim
= lim
=
Δx0 → 0
Δx0 → 0
Δx0
Δx0
12Δx0 + 6Δx0 2 + Δx03
= 12
Δx0 → 0
Δx0
= lim
x
2. Odrediti izvod funkcije y = e u tački x = 1
f '(1) = lim
Δx0 → 0
f (1 + Δx0 ) − f (1)
e1+Δx0 − e
= lim
=
Δx0 → 0
Δx0
Δx0
eΔx0 − 1
= e lim
=e
Δx0 → 0 Δx
0
2
3
3. Ispitati da li funkcija y = x ima izvod u tački x = 0 .
Granična vrednost:
2
3
1
−
f (Δx0 ) − f (0)
Δx0
lim
= lim
= lim Δx0 3
Δx0 →0
Δx0 →0 Δx
Δx0 →0
Δx0
0
ne postoji, pa funkcija f nema izvod u tački x = 0 .
4. Odrediti izvod funkcije f ( x ) = ax + b u bilo kojoj tački x0 .
- 102 -
Δf ( x0 ) f ( x0 + Δx0 ) − f ( x0 ) [ a( x0 + Δx0 ) + b ] − [ ax0 + b ]
=
=
Δx0
Δx0
Δx0
=
aΔx0
=a
Δx0
Δf ( x0 )
=a
Δx0 → 0 Δx
0
f '( x0 ) = lim
Teorema o geometrijskoj interpretaciji izvoda funkcije
Ako funkcija f ima izvod u tački x0 , tada grafik ove funkcije ima tangentu u
tački ( x0 , f '( x0 )) čiji je koeficijent pravca jednak izvodu funkcije f u tački x0
(sl. 1.).
f ( x0 + Δx0 ) − f ( x0 )
Δx0 →0
Δx0
Δy
k = tgα =
Δx
k = f '( x0 ) = lim
sl. l
Važi i obrnut stav, ako grafik neprekidne funkcije f ima tangentu u
tački ( x0 , f '( x0 )) tada je koeficijent pravca jednak izvodu funkcije f u tački
x0 .
- 103 -
Primer sa rešenjem:
5. Naći jednačinu tangente krive f : y = e + 1 u tački x0 = 0
x
f ( x0 ) = f (0) = e0 + 1 = 2 , pa je M o (0, 2) . koeficijent pravca tangente.
f (0 + Δx) − f (0)
eΔx − 1
= lim
=1,
k = lim
Δx →0
Δx →0 Δx
Δx
pa je jednačina tangente:
y = x+2
Slično pojmu izvoda funkcije u nekoj tački, definišu se i pojmovi levog i desnog
izvoda funkcije u određenoj tački.
Definicija levog izvoda funkcije
Neka je funkcija f definisana i neprekidna u okolini tačke x0 . Ako se
za razliku x − x0 uvede oznaka Δx0 , Δx0 < 0 i ako količnik
f ( x0 + Δx0 ) − f ( x0 )
Δx0
ima konačnu vrednost kada Δx0 → 0 , tada ova granična vrednost predstavlja
levi izvod funkcije u tački x0 i označava se sa f − '( x0 ) . Dakle,
f − '( x0 ) = lim −
Δx0 →0
f ( x0 + Δx0 ) − f ( x0 )
Δx0
Analogno definiše se pojam desnog izvoda funkcije u određenoj tački.
Definicija desnog izvoda funkcije
Neka je funkcija f definisana i neprekidna u okolini tačke x0 . Ako se
za razliku x − x0 uvede oznaka Δx0 , Δx0 > 0 i ako količnik
f ( x0 + Δx0 ) − f ( x0 )
Δx0
ima konačnu vrednost kada Δx0 → 0 , tada ova granična vrednost predstavlja
desni izvod funkcije u tački x0 i označava se sa f + '( x0 ) . Dakle:
f + '( x0 ) = lim +
Δx0 →0
f ( x0 + Δx0 ) − f ( x0 )
Δx0
Relacija između levog i desnog izvoda funkcije u određenoj tački i
diferencijabilnosti funkcije u toj tački je iskazana sledećom teoremom.
- 104 -
Teorema o diferencijabilnosti funkcije u tački
Ako je funkcija f diferencijabilna u tački x0 tada važi:
f '+ ( x0 ) = f '− ( x0 ) = f '( x0 )
i obrnuto, tj. ako za neku funkciju f važi:
f '( x0 ) = f '+ ( x0 ) = f '− ( x0 )
tada je funkcija f diferencijabilna u tački x0 .
Ako je f '+ ( x0 ) ≠ f '− ( x0 ) , tada funkcija f nije diferencijabilna u tački x0 , f
tada nema tangentu u tački M 0 (sl. 2.).
sl. 2.
8.2. DIFERENCIJABILNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE U TAČKI
Pri definisanju funkcije f u tački x0 , pretpostavljeno je da je funkcija f
neprekidna u nekoj okolini tačke x0 . Ispitajmo sada u kakvom su odnosu
neprekidnost i diferencijabilnost funkcije u tački.
Teorema
Ako je funkcija f diferencijabilna u nekoj tački, tada je ona neprekidna u toj
tački.
Dokaz
Neka postoji f '( x0 ) , tada je:
f ( x0 + Δx0 ) − f ( x0 )
− f '( x0 ) = ε (Δx0 )
Δx0
- 105 -
funkcija od Δx0 i pri tom ε (Δx0 ) → 0 , kada Δx0 → 0 . Ako označimo
x = x0 + Δx0 , tada je:
f ( x) = f ( x0 ) + Δx0 f '( x0 ) + Δx0 ⋅ ε (Δx0 )
odnosno:
lim f ( x) = lim ( f ( x0 ) + Δx0 f '( x0 ) + Δx0 ⋅ ε ( Δx0 )) = f ( x0 ) ,
x → x0
Δx0 → 0
što znači da je funkcija f neprekidna u tački x0 .
Obrnuto ne važi tj. ako je funkcija neprekidna u nekoj tački tada ona ne mora
biti diferencijabilna u toj tački. Na primer, funkcija y = x je neprekidna za
svako x pa i za x = 0 . Međutim u ovoj tački funkcija nije diferencijabilna.
Definicija diferencijabilnosti funkcije na određenom intervalu
Ako funkcija f ima izvod odnosno diferencijabilna je u svakoj tački intervala
( a , b ) tada je funkcija f diferencijabilna na intervalu ( a , b ) , odnosno ima
izvod
f '( x ) = lim
Δx → 0
za svako x ∈ ( a , b ) .
f ( x + Δx ) − f ( x )
Δx
Ovako definisana funkcija f ' naziva se izvodna funkcija ili izvod funkcije f .
Definicija izvodne funkcije (prvog izvoda)
Izvodna funkcija ili prvi izvod funkcije f je funkcija kojom se skup tačaka
x ∈ ( a , b ) preslikava u skup vrednosti odgovarajućih izvoda f ' . Određivanje
izvodne funkcije naziva se diferenciranje. U tabeli 1. su dati izvodi
elementarnih funkcija:
- 106 -
Funkcija
Izvodna funkcija
f ( x) = A, A = const , x ∈ R
f '( x) = 0
f ( x) = x n , n ∈ N , x ∈ R
f '( x) = nx n −1
f ( x ) = xα , α ∈ R , x ∈ R
f '( x) = α xα −1
f ( x) = a x , 0 < a ≠ 1, x ∈ R
f '( x) = a x ln a
f ( x) = e x , x ∈ R
f ( x ) = log a x, 0 < a ≠ 1, x ∈ R +
f ( x) = ln x, x ∈ R +
f ( x) = sin x, x ∈ R
f ( x) = cos x, x ∈ R
f ( x ) = tg x, x ∈ R \ {(2 k + 1)π / 2; k ∈ Z }
f ( x ) = ctg x, x ∈ R \ {kπ ; k ∈ Z }
f ( x ) = arc sin x , x < 1, x ∈ R
f ( x ) = arc cos x , x < 1, x ∈ R
f ( x ) = arc tg x, x ∈ R
f ( x ) = arc ctg x , x ∈ R
f '( x) = e x
1
f '( x ) =
x ln a
1
f '( x) =
x
f '( x) = cos x
f '( x ) = − sin x
1
f '( x ) =
cos 2 x
1
f '( x ) = −
sin 2 x
1
f '( x ) =
1 − x2
1
f '( x ) = −
1 − x2
1
f '( x ) =
1 + x2
1
f '( x ) = −
1 + x2
Tabela 1. Izvodi elementarnih funkcija
Pravila za diferenciranje
U ovom odeljku su data osnovna pravila za diferenciranje. Uz svako pravilo važi
pretpostavka da su date funkcije diferencijabilne u tački x.
- 107 -
Izvod zbira i razlike funkcija:
Ako je funkcija oblika f ( x) = f1 ( x) ± f 2 ( x) ± ... ± f n ( x) tada je
f '( x) = f '1 ( x) ± f '2 ( x) ± ... ± f 'n ( x)
za svako x za koje su definisane funkcije
f1 , f 2 ,..., f n , f '1 , f '2 ,..., f 'n .
Specijalan slučaj navedenog pravila je za n = 2 . Tada je funkcija oblika
f ( x) = f1 ( x) ± f 2 ( x)
a važi:
f '( x) = f '1 ( x) ± f '2 ( x)
Izvod proizvoda funkcija:
Ako je funkcija oblika f ( x) = f1 ( x) ⋅ f 2 ( x) ... f n ( x) , tada je
f '( x) = f1 '( x) f2 ( x) ... fn ( x) + f1 ( x) f '2 ( x) ... fn ( x) + ... + f1 ( x) f2 ( x) ... f 'n ( x)
Specijalan slučaj navedenog pravila je za n = 2 ;
f ( x) = f1 ( x) f 2 ( x) ⇒ f '( x) = f '1 ( x) f 2 ( x) + f1 ( x) f '2 ( x)
Izvod proizvoda konstante i funkcije:
Ako je funkcija oblika f ( x ) = Cg ( x ) ⇒ f '( x ) = C ⋅ g '( x ) , C-konstanta
Izvod količnika funkcija:
Ako je funkcija oblika f ( x ) =
f '( x) =
f1 ( x)
, tada je
f 2 ( x)
f '1 ( x) f 2 ( x) − f1 ( x) f '2 ( x)
[ f 2 ( x)]
2
Specijalan slučaj navedenog pravila je funkcija oblika
f ( x) =
1
,
f1 ( x)
f ( x) ≠ 0 ,
- 108 -
f '( x ) = −
f '1 ( x )
[ f1 ( x)]
2
Izvod složene funkcije:
Ako funkcija u = f ( x ) ima izvod u tački x , a funkcija y = g (u ) ima izvod u
tački u = f ( x ) , tada složena funkcija y = g [ f ( x) ] ima izvod u tački x koji je
jednak
y '( x ) = g '(u ) f '( x )
Primeri sa rešenjima:
6. Izračunati prve izvode sledećih funkcija
a)
y = ax 2 + bx + c
y ' = (ax 2 )' + (bx)' + c' = 2ax + b
b)
y = x ln x
y ' = x ' ln x + x (ln x ) ' = 1 ⋅ ln x + x ⋅
c)
1
= ln x + 1
x
y = tg x
⎛ sin x ⎞ (sin x) 'cos x − sin x(cos x) '
y' = ⎜
⎟=
cos 2 x
⎝ cos x ⎠
cos x cos x − sin x(− sin x) cos 2 x + sin 2 x
1
=
=
=
2
2
cos x
cos x
cos 2 x
7. Naći prvi izvod funkcije h ( x ) = ln sin x
h ( x ) = g ( f ( x ))
u = f ( x ) = sin x
h '( x ) = g '(u ) ⋅ f '( x ) =
1
cos x
= ctg x
cos x =
u
sin x
8. Izračunati prvi izvod funkcije y = e x
u = x2
g (u ) = ln u
2
y = eu
y ' = eu ⋅ ( x 2 ) ' = e x ⋅ 2 x = 2 xe x
2
- 109 -
2
Napomena:
Formula za izvod složene funkcije, lako se prenosi na slučaj kad je složena
funkcija formirana od više funkcija. Na primer y = h ( g ( f ( x ))) , tada je
y ' = h '( g ( f ( x )) ⋅ g '( f ( x )) ⋅ f '( x ) .
y = tg
y 'x =
x
2
f ( x) =
x
2
g ( f ( x) = tg
x
2
1
x
1
1
x
1
⋅ (tg ) ' =
⋅
⋅⋅( ) ' =
x
x
2
x
x cos 2 x 2
4 cos 2
tg
2 tg
2 tg
2
2
2
2
2
Pored prvog izvoda funkcija može imati drugi, treći, ... , u opštem slučaju n-ti
izvod.
Definicija izvoda funkcije višeg reda
U slučaju da je i izvodna funkcija f ' u tački x0 diferencijabilna u istoj toj tački,
tj. da izvodna funkcija i sama ima izvodnu funkciju, ta nova izvodna funkcija se
obeležava sa f '' i naziva se drugi izvod ili izvod drugog reda funkcije f u tački
x0 , f (''x ) = ( f ('x ) ) '
Analogno se definišu izvodi višeg reda. Tako je treći izvod ili izvod trećeg reda
izvodna funkcija drugog izvoda i obeležava se sa f ''' U opštem slučaju izvod ntog reda se dobija kao izvodna funkcija od (n -1)- og izvoda:
f ( n ) ( x ) = ⎡⎣ f ( n −1) ( x ) ⎤⎦ '
Primeri sa rešenjima:
9. Treći izvod funkcije y = ln x je:
y'=
1
, x ≠ 0,
x
y '' =
−1
,
x2
y ''' =
2
.
x3
- 110 -
10. Četvrti izvod funkcije y = 4 x + 5 x − 1 :
4
3
y ' = 16 x3 + 15 x 2 ; y '' = 48 x 2 + 30 x; y ''' = 96 x + 30;
y iv = 96
11. n-ti izvodi funkcija su:
x
(n)
x
a) y = e , ⇒ y = e .
b)
y = ln x , ⇒ y ( n ) = ( −1) n −1
( n − 1)!
.
xn
c) Ako je y = sin x , tada je y ' = cos x = sin( x +
y ( n ) = sin( x +
nπ
).
2
d)
y = cos x , ⇒ y ( n ) = cos( x +
e)
y = a x , ⇒ y ( n ) = a x (ln a)n .
π
2
) pa je
nπ
).
2
8.3. DIFERENCIJAL FUNKCIJE
U ovom odeljku se razmatra još jedan pojam iz diferencijalnog računa. To je
diferencijal funkcije koji ima veoma važnu ulogu u matematičkoj analizi. Prvo
se definišu pojmovi priraštaja funkcije i diferencijala funkcije, razmatra se
geometrijska interpretacija diferencijala funkcije, da bi se na kraju odeljka
navela osnovna pravila za njegovo izračunavanje.
Definicija priraštaja funkcije
Neka je f funkcija koja ima izvod f ' u nekoj tački x . Priraštaj funkije
Δ f ( x ) u tački x je definisan na sledeći način.
Δ f ( x ) = f '( x ) Δ x + α Δ x
pod uslovom da α → 0 , kada Δx → 0 .
Iz definicije priraštaja funkcije mogu se uočiti dve vrednosti, to su f '( x ) Δ x i
αΔx . Ako se izvrši poređenje ove dve vrednosti uz uslove koji važe da α → 0 i
Δx → 0 , može se zaključiti da član αΔx ima beskonačno malu vrednost koja
je znatno manja od vrednosti člana f ( x ) Δx . Na osnovu ove analize vrednosti
priraštaja funkcije dobijamo da je:
- 111 -
Δf ( x ) ≈ f ( x )Δx
Vrednost koja se dobila za priraštaj funkcije naziva se glavni ili linearni deo
priraštaja funkcije i predstavlja upravo pojam koji je tema ovog odeljka, tj.
diferencijal funkcije.
Definicija diferencijala funkcije
Diferencijal funkcije f u tački x je jednak proizvodu izvoda funkcije f ' u
tački x i priraštaja Δx nezavisno promenljive x .
Obeležavamo ga sa df .
Na osnovu definicije diferencijala funkcije vidi se da on u opštem slučaju
predstavlja funkciju sa dva argumenta ( x , Δ x ) .
Kako je Δx mala veličina, aproksimativna relacija je:
Δ f ( x ) ≈ df ( x ) ,
Kako je Δ f ( x ) = f ( x + Δ x ) − f ( x ) uz prethodnu relaciju dobijamo novu:
f ( x + Δ x ) ≈ f ( x ) + df ( x )
Obe aproksimativne relacije se veoma često koriste u teoriji približnih računa
za približno izračunavanje vrednosti određenih izraza.
Ako se uvedu oznake dx = Δx i dy = Δ f ( x ) , tada je izvod funkcije:
f '( x ) =
dy
dx
Na ovaj način se dobija još jedna definicija izvoda funkcije f , kao količnika
diferencijala funkcije i diferencijala nezavisno promenljive.
Teorema o geometrijskoj interpretaciji diferencijala funkcije
Data je funkcija f čiji grafik ima tangentu u tački M ( x , f ( x )). Diferencijal
funkcije geometrijski predstavlja promenu ordinate tangente u posmatranoj
tački kada se x promeni za Δx , odnosno za dx .
- 112 -
NQ = NM ⋅ tgα = f '( x ) ⋅ Δ x = dy
sl. 3
Takođe, kao što je pri razmatranju izvoda funkcije dat pregled osnovnih pravila
dobijanja izvoda funkcija, to ona postoji i pri izračunavanju diferencijala
funkcije. U svim navedenim pravilima važi da su u = u ( x ) i v = v ( x )
diferencijabilne funkcije.
Pravila za izračunavanje diferencijala funkcija
d (u ± v ) = du ± dv
d (uv ) = vdu + udv
u
vdu − udv
, v≠0
d( ) =
v
v2
Analogno pojmovima drugog izvoda i u opštem slučaju n-tog izvoda definišu se
i pojmovi diferencijala drugog reda, odnosno u opštem slučaju diferencijala ntog reda.
Definicija diferencijala funkcije drugog reda
Diferencijal drugog reda je jednak diferencijalu diferencijala prvog reda,
odnosno
d 2 y = d (dy) = y '' dx 2
Na osnovu ove relacije može se izvesti zaključak da je drugi izvod funkcije
jednak količniku diferencijala drugog reda funkcije i kvadrata diferencijala
argumenta, odnosno
y '' =
d2y
dx2
- 113 -
Analogno se dobija izraz za n-ti izvod. On je količnik diferencijala n-tog reda
funkcije i diferencijala argumenta stepena n , odnosno
y
(n)
dny
= n
dx
Diferencijal n-tog reda može se zapisati
d n y = y ( n ) dx n .
Primeri sa rešenjima:
12. Diferencijali sledećih funkcija su:
α
α −1
a) d ( x ) = α x dx
x
x
b) d (e ) = e dx
1
dx
x
d) d (sin x ) = cos x dx
1
e) d ( arctg x ) =
dx
1 + x2
c) d (ln x ) =
13. Koristeći pravila za izračunavanje diferencijala zbira, razlike, proizvoda i
količnika funkcija, izračunati su diferencijali sledećih funkcija:
2
a) y = x + sin x
dy = 2 x dx + cos x dx = (2 x + cos x ) dx
b) y = xe
x
dy = e x dx + xe x dx = (e x + xe x )dx
sin x
cos x
cos2 x dx − sin x(− sin x)dx (cos 2 x + sin 2 x)dx
1
dy =
dx
=
=
2
2
cos x
cos x
cos2 x
c) y =
.
- 114 -
8.4. NAJVAŽNIJE TEOREME DIFERENCIJALNOG RAČUNA
U prethodnim odeljcima ovog poglavlja date su definicije osnovnih pojmova
diferencijalnog računa, izvoda i diferencijala funkcije, kao i osnovna pravila koja
se koriste za izračunavanje navedenih pojmova. Koristeći razmatrane definicije
i pravila u ovom odeljku se upoznaju najvažnije teoreme diferencijalnog
računa: Fermaova, Rolova, Lagranžova i Košijeva teorema, Lopitalovo pravilo i
Tejlorova formula.
Fermaova teorema
Neka je funkcija f
diferencijabilna na intervalu ( a , b ) i neka u tački
x0 ( x0 ∈ (a, b)) ima lokalni ekstrem. Tada je prvi izvod funkcije jednak 0,
odnosno:
f '( x0 ) = 0
Dokaz Fermaove teoreme
Pretpostavimo da tačka x0 predstavlja tačku lokalnog maksimuma funkcije f
(postupak dokaza je analogan kada se razmatra lokalni minimum funkcije).
Tada prema definiciji lokalnog maksimuma funkcije važi:
(∀ξ > 0)(∀x)(0 < x − x0 < ξ ) ⇒ f ( x) < f ( x0 ).
Neka je priraštaj Δx > 0 , tako da važi relacija
x0 + Δx < x0 + ξ
Iz definicije lokalnog se dobija
f ( x0 + Δx) < f ( x0 )
f ( x0 + Δx ) − f ( x0 )
< 0.
Δx
Analogno, za Δx < 0 , važi relacija
x0 + Δx > x0 + ξ
Iz definicije lokalnog maksimuma se dobija
f ( x0 + Δx) > f ( x0 )
- 115 -
f ( x0 + Δx ) − f ( x0 )
>0
Δx
Primenićemo granične vrednosti na prethodno dobijene izraze:
f ( x0 + Δx ) − f ( x0 )
= f '+ ( x0 ) ≤ 0
Δx
f ( x0 + Δx ) − f ( x0 )
= f '− ( x0 ) ≥ 0
lim
x→0
Δx
lim
x→0
U teoremi je pretpostavljeno da je funkcija f diferencijabilna u tački x0 . Iz
diferencijabilnosti sledi
f '+ ( x0 ) = f '− ( x0 ) = f '( x0 )
Ako se uporede poslednje tri relacije, dolazi se do zaključka da f ' mora da
ispunjava zahteve f '( x0 ) ≥ 0 i f '( x0 ) ≤ 0 , a to je moguće samo ako je
f '( x0 ) = 0 , što je i trebalo dokazati.
Na potpuno analogan način se izvodi dokaz i za slučaj lokalnog minimuma,
čime je teorema dokazana.
Fermaovom teoremom je naveden potreban uslov za postojanje lokalnog
ekstrema diferencijabilnih funkcija. Treba napomenuti da ne važi obrnut stav,
ako je f '( x0 ) = 0 , tada tačka x0 nije uvek tačka lokalnog ekstrema. Tačke u
f '( x0 ) = 0 nazivaju se stacionarnim tačkama
funkcije. Na primer funkcije za koju je f '( x0 ) = 0 , a x0 nije tačka lokalnog
kojima je ispunjen uslov
ekstrema, je funkcija f ( x) = x , za vrednost x0 = 0 . U ovoj tački je f '(0) = 0
, a nije tačka lokalnog ekstrema, ali jeste stacionarna tačka.
3
Rolova teorema
Neka je funkcija f :
1. neprekidna na segmentu [ a, b]
2. diferencijabilna na intervalu ( a , b ) .
3. f ( a ) = f (b )
- 116 -
Onda postoji tačka ξ koja pripada datom segmentu, takva da važi
f '(ξ ) = 0 .
Dokaz Rolove teoreme
Pri dokazivanju ove teoreme koristi se jedna pomoćna teorema. Ona glasi da
ako je funkcija f neprekidna na segmentu [ a, b] tada ona na tom segmentu
dostiže bar jednom svoju maksimalnu vrednost i bar jednom svoju minimalnu
vrednost.
Ako se u posmatranom slučaju maksimalna vrednost označi sa MAX , a
minimalna sa MIN , to znači da je vrednost posmatrane funkcije f na
segmentu [ a, b] sigurno veća ili jednaka od MIN , a manja ili jednaka od
MAX , za svako x koje pripada segmentu [ a, b] .
MIN ≤ f ( x ) ≤ MAX
Iz prethodnog tvrđenja može se zaključiti da je vrednost MAX sigurno veća ili
jednaka vrednosti MIN . Na osnovu toga razlikujemo dva slučaja za koje se
dokazuje Rolova teorema. Prvi je da je vrednost MAX jednaka vrednosti
MIN , a drugi da je vrednost MAX veća od vrednosti MIN .
U prvom slučaju (za koji važi MAX = MIN ) zaključujemo da je funkcija
konstantna na posmatranom segmentu f ( x ) = MAX = MIN = C , za svako
x koje pripada segmentu [ a, b] , pa je f '( x ) = 0 , za svako x koje pripada
segmentu [ a, b] , Rolova teorema je za ovaj slučaj dokazana, jer ξ može biti
bilo koja tačka iz segmenta [ a, b]
U drugom slučaju važi MAX > MIN . Neka je ξ tačka u kojoj funkcija ima
vrednost MAX , a < ξ < b . Kako je f ( a ) = f (b ) po Fermaovoj teoremi
zaključujemo da je f '(ξ ) = 0
Rolova teorema ima i svoju geometrijsku interpretaciju.
- 117 -
Geometrijska interpretacija Rolove teoreme
Na grafiku funkcije f , koja na segmentu
[ a, b ]
ispunjava uslove Rolove
teoreme postoji bar jedna tačka u kojoj je tangenta paralelna (sl.4.) ili se
poklapa sa osom Ox .
sl. 4
Primeri sa rešenjima:
4
2
14. Pokazati da funkcija f ( x) = x − 2 x zadovoljava uslove Rolove teoreme
za x ∈ ⎡0, 2 ⎤ . Naći odgovarajuće vrednosti ξ .
⎣
⎦
Uraditi isto za x ∈ ⎡ − 2, 2 ⎤ .
⎣
⎦
f je neprekidna za x ∈ ⎡⎣0, 2 ⎤⎦ .
f '( x) = 4 x3 − 4 x , pa je f diferencijabilna za x ∈ ⎡⎣0, 2 ⎤⎦
4
3
f (0) = 0 , f ( 2) = ( 2) − 2( 2) = 4 − 2 ⋅ 2 = 0
Znači ispunjeni su uslovi Rolove teoreme pa važi:
f '(ξ ) = 0 za ξ ∈ (0, 2)
4ξ 3 − 4ξ = 0
- 118 -
4ξ (ξ 2 − 1) = 0
ξ = 0 ∨ ξ = −1 ∨ ξ = 1
Samo ξ = 1 pripada intervalu (0, 2) . Posmatrajmo interval ⎡ − 2, 2 ⎤ .
⎣
⎦
Uslovi neprekidnosti i diferencijabilnosti su ispunjeni kao i
f (− 2) = f ( 2) = 0 pa postoji ξ ∈ (− 2, 2) tako da je f '(ξ ) = 0
4ξ 3 − 4ξ = 0 ξ = 0 ∨ ξ = −1 ∨ ξ = 1
Znači postoje tri vrednosti za koje je f '( x ) = 0 .
15. Proveriti da li funkcija f ( x ) = 1 − 3 x 2 ispunjava uslove Rolove teoreme na
[ −1,1] .
Funkcija je neprekidna za x ∈ [ −1,1]
f (−1) = 1 − 3 1 = 0
f (1) = 1 − 3 1 = 0
−2
f '( x) = 3 , x ≠ 0, pa funkcija nije diferencijabilna za x = 0
3 x
Košijeva teorema
Neka su funkcije f i g neprekidne na segmentu [ a, b] i diferencijabilne na
intervalu ( a , b ) . Ako za svaku tačku x koja pripada intervalu ( a , b ) važi
g '( x ) ≠ 0 ,tada postoji tačka ξ ∈ ( a , b ) tako da je
f '(ξ ) f (b) − f (a)
=
g '(ξ ) g (b) − g (a)
Dokaz Košijeve teoreme
Da bi se dokazalo navedeno tvrđenje definiše se nova funkcija, u oznaci h , na
sledeći način
h( x ) = f ( x ) − f ( a ) −
f (b) − f (a)
[ g ( x) − g (a) ]
g (b) − g (a)
za svako x koje pripada segmentu [ a, b] .
- 119 -
Ako se analizira novodefinisana funkcija dolazi se do zaključka da ova funkcija
zadovoljava sve uslove Rolove teoreme. Neprekidna je na segmentu [ a, b] ,
diferencijabilna na intervalu ( a , b ) i h ( a ) = h (b ) = 0 .
Kada bi funkcija g takođe ispunjavala uslove Rolove teoreme, postojala bi
tačka ξ koja pripada segmentu [ a, b] , takva da je g '(ξ ) = 0 , a to je suprotno
pretpostavci teoreme. Može se zaključiti da funkcija g ( x ) ne ispunjava uslove
Rolove teoreme i važi g ( a ) ≠ g (b ) .
Na osnovu prethodnih zaključaka može se primeniti Rolova teorema na
funkciju h
h '( x) = f '(ξ ) −
f (b) − f (a)
g '(ξ ) = 0
g (b) − g (a)
Iz predhodnog izraza dobijamo
f '(ξ ) f (b) − f (a)
=
,
g '(ξ ) g (b) − g (a)
čime je Košijeva teorema dokazana.
Primeri sa rešenjima:
16. Da li su ispunjeni uslovi Košijeve teoreme za funkcije f ( x ) = sin x i
⎡ π⎤
? Naći tačku ξ .
⎣ 2 ⎥⎦
π
⎡ π⎤
Funkcije f i g su neprekidne za x ∈ ⎢0, ⎥ i diferencijabilne za x ∈ (0, ) ,
2
⎣ 2⎦
π
jer f '( x ) = cos x a g '( x ) = − sin x i g '( x ) ≠ 0 za x ∈ (0, ) pa su ispunjeni
2
π
uslovi Košijeve teoreme, tj. postoji ξ ∈ (0, ) tako da je:
2
g ( x ) = cos( x ) na odsečku ⎢0,
π
f ( ) − f (0)
f '(ξ )
2
=
π
g '(ξ ) g ( ) − g (0)
2
- 120 -
cos ξ 1 − 0
=
− sin ξ 0 − 1
−tgξ = −1 tgξ = 1 ξ =
π
π
π
∈ (0, ) .
4
2
4
17. Zašto se Košijeva teorema o srednjoj vrednosti ne može primeniti na
2
3
funkcije f ( x) = x i g ( x) = x na segmentu [ −1,1] ?
g '( x) = 3 x 2 i g '( x ) = 0 za x = 0 ∈ [ − 1,1] .
Lagranžova teorema
Neka je funkcija f neprekidna na intervalu
[ a, b ]
i diferencijabilna na
intervalu ( a , b ) . Tada postoji tačka ξ koja pripada datom intervalu, takva da
važi
f '(ξ ) =
f (b ) − f ( a )
b−a
Dokaz Lagranžove teoreme
Primenom Kođijeve teoreme uz pretpostavku g ( x ) = x dokazujemo
Langranžeovu teoremu.
Geometrijska interpretacija Lagranžove teoreme
Na grafiku funkcije f koja na segmentu
[ a, b ]
ispunjava uslove Rolove
teoreme, postoji bar jedna tačka u kojoj je tangenta paralelna sa sečicom koja
spaja tačke f ( a ) i f (b ) (sl. 5.)
- 121 -
sl. 5
Primeri sa rešenjima:
2
18. U kojoj tački je tangenta krive y = 4 − x paralelna tetivi AB , A( −2, 0) ,
B (1, 3) .
Posmatrajmo funkciju y = 4 − x na intervalu [ −2,1] . Ona je neprekidna
2
za x ∈ [ −2,1] diferencijabilna za x ∈ ( − 2,1) , y ' = − 2 x pa ispunjava uslove
Lagranžove teoreme.
f (1) − f (−2)
1 − (−2)
3−0
1
1 15
⇒ −2ξ = 1 ⇒ ξ = −
−2ξ =
⇒ f (ξ ) = 4 − =
3
2
4 4
1 15
2
Znači u tački C ( − , ) tangenta krive y = 4 − x je paralelna tetivi
2 4
f '(ξ ) =
AB .
19. Zašto se ne može primeniti Lagranžova teorema na funkciju f ( x ) =
intervalu [ −1, 2] ?
Funkcija nije definisana u tački x = 0 .
- 122 -
4
na
x
20. Zašto se ne može primeniti Lagranžova teorema na funkciju
⎧⎪ x,
f ( x) = ⎨
⎪⎩1
x <2
x ≥2
na odsečku [ 0, 2] .
Funkcija f je neprekidna na segmentu [ 0, 2] ali nije
diferencijabilna u tački
x = 1 ∈ (0, 2).
Tejlorova teorema
Neka je funkcija f n-puta diferencijabilna na segmentu [ a, b] i ima izvod
(n+1)-og reda na intervalu ( a , b ) . Tada za x ∈ [ a, b] važi:
f ( x ) = f (a ) + ( x − a ) f '( a ) +
( x − a)2
( x − a)n ( n)
( x − a ) n +1 ( n +1)
f ''(a ) + ... +
f (a) +
f
(ξ )
2!
n!
( n + 1)!
gde broj ξ pripada intervalu ( a , x ) za x > a , odnosno broj ξ pripada
intervalu ( x , a ) za x > a .
Dokaz Tejlorove teoreme
Da bi se dokazalo navedeno tvrđenje definišu se dve nove funkcije g i h
argumenta r , na sledeći način
⎡
⎤
( x − r )2
( x − r )n ( n )
g (r ) = f ( x) − ⎢ f (r ) + (r − x) f '(r ) +
f ''(r ) + ... +
f ( r ) + h( r ) ⎥
2!
n
⎣
⎦
h( r ) =
( x − r ) n +1
(n + 1)!
Ako se uzmu u obzir svi uslovi koje zadovoljava funkcija f ,može se zaključiti
da funkcije g i h ispunjavaju sve uslove Košijeve teoreme na segmentu [ a, x ]
. Zato postoji broj ξ koji pripada intervalu ( a , x ) za x > a i za koga važi
sledeća relacija
g '(ξ ) g ( x) − g (a)
=
h '(ξ ) h( x) − h(a)
- 123 -
Da bi dokazali Tejlorovu teoremu potrebno je u gornjem izrazu zameniti
vrednosti g '(ξ ), h '(ξ ), g ( x ), h '( x ), g ( a ), h ( a ) .
Ako u izrazima za funkcije g ( r ) i h ( r ) argument r zamenimo sa x ,
dobijamo da je u tom slučaju vrednost funkcija g ( x ) = h ( x ) = 0 , a ako
argumentu r dodelimo vrednost a , vrednost funkcija g ( r ) i h ( r ) je
⎡
⎤
( x − a)2
( x − a) n ( n )
g (a) = f ( x) − ⎢ f (a) + (a − x) f '(a) +
f ''(a) + ... +
f ( a ) + h( a ) ⎥
2!
n
⎣
⎦
( x − a) n +1
h( a ) =
.
(n + 1)!
Takođe vrednosti prvih izvoda funkcija g ( r ) i h ( r ) u tački ξ je
g '(ξ ) = f
n +1
(ξ )(
(x −ξ )
n!
n
,
( x −ξ )
h ' (ξ ) =
n!
n
.
Kada se funkcije g ( r ) i h ( r ) i njihovi prvi izvodi u tačkama a i x , zamene u
Košijevoj teoremi za posmatrane funkcije dobija se:
f ( x) = f (a) + ( x − a) f '(a) +
( x − a)2
( x − a)n n
( x − a) n+1 ( n+1)
f ''(a) + ... +
f ( a) +
f
(ξ )
2!
n!
(n + 1)!
Na isti način se izvodi dokaz za segment [ x, a ] , gde ξ pripada intervalu ( x , a )
čime je Tejlorova teorema dokazana.
( x − a) n +1 ( n +1)
f
(ξ ) označava
U Tejlorovoj formuli uobičajeno je da se član
(n + 1)!
kao Rn +1 ( x) , i predstavlja grešku aproksimacije ili ostatak. Deo Tejlorove
formule
T ( x) = f (a) + ( x − a) f '(a) +
( x − a) 2
( x − a) n ( n )
f ''(a) + ... +
f (a) .
2!
n!
se naziva Tejlorov polinom stepena n.
Tejlorov polinom ima široku primenu pri izračunavanju aproksimativne
vrednosti različitih funkcija za neku vrednost argumenta. Pri ovakvoj
aproksimaciji čini se greška, koja je upravo jednaka članu Rn +1 ( x) , koji se iz tog
razloga i naziva greška aproksimacije ili ostatak i predstavlja razliku između
tačne vrednosti i njene aproksimativne vrednosti.
Specijalan slučaj Tejlorove formule za vrednost a = 0 naziva se
- 124 -
Maklorenova formula.
Ova formula važi za x koje pripada intervalu [ 0,b ] i glasi:
f ( x) = f (0) + xf '(0) +
gde je ostatak Rn +1 =
x2
xn (n)
f ''(0) + ... +
f (0) + Rn+1
2!
n!
x ( n+1) ( n +1)
(ξ ) .
f
(n + 1)!
Primeri sa rešenjima:
21. Aproksimirati funkciju
f ( x) =
stepena u okolini tačke a = −2 .
1
, Tejlorovim polinomom drugog
x +1
1
= −1
−2 + 1
−1
−1
= −1
f '( x) =
f '(−2) =
2
( x + 1)
(−2 + 1) 2
2
2
= −2
f ''( x) =
f ''(−2) =
3
( x + 1)
(−2 + 1)3
1
1
T2 ( x) = f (−2) + f '(−2)( x + 2) + f "(−2)( x + 2) 2
1!
2!
1
T2 ( x) = −1 + 1(−1)( x + 2) + (−2)( x + 2) 2
2
T2 ( x) = −1 − ( x + 2) − ( x + 2) 2
f (−2) =
22. Koristeći Maklorenov polinom dokazati valjanost približne formule
x4
.
3
f ( x) = cos 2 x f (0) = 1
f '( x) = 2 cos x (− sin x) = − sin 2 x ,
f ''( x) = −2 cos 2 x , f ''(0) = −2
cos 2 x ≈ 1 − x 2 +
f '''( x ) = 4 sin 2 x ,
f '''(0) = 0
f IV ( x) = 8cos 2 x,
f IV (0) = 8
- 125 -
f '(0) = 0
1
1
1
1
f '(0) x + f ''(0) x 2 + f '''(0) x 3 + f IV (0) x 4
1!
2!
3!
4!
1
1
cos 2 x ≈ 1 + ⋅ (−2) x 2 + ⋅ 8 ⋅ x 4
2
24
1
cos 2 x ≈ 1 − x 2 + x 4
3
f ( x ) ≈ f (0) +
Lopitalova teorema
Funkcije f i g su diferencijabilne u nekoj okolini tačke a , osim eventualno u
tački a . Neka su zadovoljeni uslovi:
f ( x ) → 0 i g ( x ) → 0 kada x → a , g '( x ) ≠ 0 za x ≠ a i postoji
lim
x →a
f '( x)
f ( x)
f ( x)
f '( x)
= lim
tada postoji lim
i važi lim
.
x
→
a
x
→
a
x
→
a
g '( x)
g ( x)
g ( x)
g '( x)
Dokaz Lopitalove teoreme
Da bi se dokazalo navedeno tvrđenje definišu se dve nove funkcije f1 i g1 na
sledeći način
f1 ( x) = f ( x) , za svako x ≠ a i f1 ( x) = 0 za x = a .
g1 ( x) = g ( x) , za svako x ≠ a i g1 ( x) = 0 za x = a .
Ovako definisane funkcije zadovoljavaju sledeće jednakosti:
lim f1 ( x) = lim f ( x) = f1 (a ) = 0 i
x→a
x →a
lim g1 ( x) = lim g ( x) = g1 ( a ) = 0
x→a
x→a
Na ovakav način definisane funkcije f1 i g1 zadovoljavaju sve uslove Košijeve
teoreme, jer kako su funkcije f i g diferencijabilne u okolini tačke a , osim
eventualno u tački a , onda su one i neprekidne u definisanoj okolini, osim
eventualno u tački a . Iz navedene konstatacije i definicije funkcija f1 i g1 sledi
da su i funkcije f1 i g1 neprekidne u posmatranoj okolini. Iz Košijeve teoreme
sledi da postoji tačka ξ , koja zadovoljava sledeću jednakost.
- 126 -
f1 ( x) − f1 (a) f1 '(ξ )
=
.
g1 ( x) − g1 (a) g1 '(ξ )
Ranije je pokazano da je f1 (a) = 0 i g1 (a ) = 0 , pa se iz prethodno navedene
jednakosti za vrednosti x ≠ a dobija
f ( x) f '(ξ )
=
.
g ( x) g '(ξ )
f ( x)
f '(ξ )
lim
= lim
,
x →a g ( x )
ξ →a g '(ξ )
čime je Lopitalova teorema dokazana.
Specijalan slučaj Lopitalove teoreme se dobija za vrednosti
lim f ( x) = lim g ( x ) = ∞ .
x→a
x→a
f '( x)
, tada važi Lopitalova teorema i dobija se
Ako postoji lim
x → a g '( x )
f ( x)
f '( x)
lim
= lim
.
x →a g ( x)
ξ →a g '( x)
Lopitalova teorema ima primenu pri određivanju graničnih vrednosti, jer se
pomoću odgovarajućih transformacija dobijaju granične vrednosti za
neodređene izraze kao što su
0 ∞
,
, 0 − ∞, ∞ − ∞, ∞ 0 , 00 , 1∞.
0 ∞
Primeri sa rešenjima:
x2 − 1
x →1 x 3 − 1
Kako je lim( x 2 − 1) = 0 i lim( x 3 − 1) = 0 i kako su funkcije
23. Naći lim
x →1
x →1
y = x2 − 1 i
y = x3 diferencijabilne u okolini tačke x = 1 , to se može primeniti Lopitalova
x2 −1
2x
2x 2
= lim 2 = lim
= .
teorema pa će biti lim 3
x →1 x − 1
x →1 3 x
x →1 3 x
3
24. Izračunati lim
x→0
x − sin x
.
x3
- 127 -
Kako je lim( x − sin x) = 0 i lim x 3 = 0 i kako su funkcije y = x − sin x i
x →0
x→0
y = x diferencijabilne u okolini tačke x = 0 , to se može
x − sin x
1 − cos x
.
primeniti Lopitalova teorema: lim
= lim
3
x→0
x
→
0
3x 2
x
0
Imamo oblik ( ) i kako funkcije zadovoljavaju uslove primenićemo još jednom
0
3
Lopitalovu teoremu:
1 − cos x
sin x 1
= lim
= .
2
x →0
x→0 6 x
3x
6
x
25. Naći lim x .
x →+∞ e
x
Funkcije y = x i y = e zadovoljavaju uslove Lopitalove teoreme
x
∞
1
lim
= ( ) = lim x = 0 .
→+∞
x →+∞ e x
x
∞
e
lim
26. Izračunati lim+ x ln x
x→0
Ova granična vrednost je oblika 0 ⋅ ∞ , ako je napišemo lim+
x →0
ln x
moći ćemo
1
x
da primenimo Lopitalova teorema:
1
ln x
− x2
lim+ x ln x = lim+
= lim+ x = lim+
=0.
1
1 x →0 x
x →0
x →0
x →0
− 2
x
x
1
27. Izračunati lim x 1− x
x →1
∞
Ovaj limes je oblika 1 . Sobzirom da je x
eksponencijalna funkcija neprekidna biće,
lim x
x →1
1
1− x
= lim e
x →1
ln x
1− x
=e
ln x
x→11− x
lim
=e
1
1− x
1
lim x
x→1 −1
- 128 -
1
=e
= e −1
ln x1− x
ln x
= e1− x i da je
8.5. IZVODI I DIFERENCIJALI FUNKCIJA DVE NEZAVISNO PROMENLJIVE
Neka je z = f ( x , y ) neprekidna funkcija dve nezavisno promenljive u oblasti
D ⊆ R2 .
Parcijalni izvod funkcije dve ili više nezavisno promenljivih po jednoj
promenljivoj je izvod te funkcije po toj promenljivoj uz predpostavku da su
ostale promenljive konstantne. Ako funkcija z ima izvod po promenljivoj x
onda se taj izvod zove parcijalni izvod funkcije z po x i obeležava se sa:
∂z ∂f ( x, y )
f ( x + Δx, y ) − f ( x, y )
=
= f '( x ) ( x, y ) = lim
x
0
Δ
→
∂x
∂x
Δx
Ako funkcija z ima izvod po promenljivoj y onda se taj izvod zove parcijalni
izvod funkcije z po y i obeležava se sa:
z 'x =
z 'y =
∂z ∂f ( x, y )
f ( x, y + Δy ) − f ( x, y )
=
= f '( y ) ( x, y) = lim
Δ
→
y
0
∂y
∂y
Δy
Iz definicije parcijalnih izvoda sledi da se oni izračunavaju pomoću pravila za
izračunavanje izoda funkcija sa jednom promenljivom.
Primeri sa rešenjima:
2
31. Parcijalni izvodi funkcije z = x + xy + 3x + 2 y su:
∂z
∂z
= x+2
= 2x + y + 3
∂y
∂x
xy
32. Za funkciju z =
pokazati da je:
x+ y
∂z
∂z
x +y =z
∂x
∂y
∂z
y2
=
∂x ( x + y )2
x
i
∂z
x2
=
,
∂y ( x + y )2
y2
x2
xy
+
=
y
.
2
2
( x + y)
( x + y)
x+ y
- 129 -
Parcijalni diferencijal funkcije sa dve i više promenljivih po jednoj promenljivoj
je proizvod parcijalnog izvoda funkcije po toj promenljivoj i priraštaja te
promenljive, odnosno diferencijala te promenljive.
U slučaju funkcije z = f ( x , y ) parcijalni diferencijali su sledeći:
dx z =
∂z
∂z
Δx =
dx
∂x
∂x
dy z =
∂z
∂z
Δy = dy .
∂y
∂y
Zbir svih parcijalnih diferencijala se naziva totalni diferencijal.
U slučaju funkcije z = f ( x , y ) totalni diferencijal je:
dz =
∂z
∂z
∂z
∂z
Δx + Δy = dx + dy
∂x
∂y
∂x
∂y
Priraštaj funkcije z = f ( x , y ) po definiciji je:
Δz = f ( x + Δx, y + Δy ) − f ( x, y )
∂z
∂z
Δx + Δy + ε1Δx + ε 2 Δy
∂x
∂y
gde ε1 → 0 i ε 2 → 0 , kada Δx → 0 i Δy → 0
Δz =
Totalni diferencijal može se upotrebiti u približnim računima. Ako su Δx i Δ y
dovoljno mali, onda se priraštaj funkcije z može zameniti sa totalnim
diferencijalom funkcije z , tj.
Δ z = f ( x + Δ x , y + Δ y ) − f ( x , y ) ≈ dz .
Parcijalni izvodi i totalni diferencijali višeg reda
Neka je data funkcija z = f ( x , y ) koja ima parcijalne izvode prvog reda:
∂z ∂f
∂z ∂f
=
= f ' y ( x, y ) = z ' y ( x, y )
=
= f ' x ( x, y ) = z ' x ( x, y ) i
∂y ∂y
∂x ∂x
Ovi parcijalni izvodi su takođe funkcije od x , y i mogu imati svoje parcijalne
izvode odnosno parcijalne izvode drugog reda ili drugi parcijalni izvod:
∂2 z ∂2 f
=
= f xx ''( x, y) = z ''xx ( x, y)
∂x2 ∂x2
∂2 z ∂2 f
=
= f ''xy ( x, y) = z ''x, y ( x, y)
∂x∂y ∂x∂y
∂2 z ∂2 f
=
= f '' yx ( x, y) = z '' yx ( x, y)
∂y∂x ∂y∂x
∂2 z ∂2 z
=
= f '' yy ( x, y) = z '' yy ( x, y)
∂y2 ∂y2
Ako su parcijalni izvodi prvog reda neprekidne funkcije tada su mešoviti
parcijalni izvodi drugog reda jednaki:
- 130 -
∂2 z
∂2 z
=
∂x∂y ∂y∂x
Na sličan način se dobijaju parcijalni izvodi trećeg, četvrtog,..., n-tog reda. Iz
definicije parcijalnog izvoda sledi da egzistencija parcijalnog izvoda n-tog reda
u nekoj tački x povlači za sobom egzistenciju predhodnih (n-1)-og parcijalnog
izvoda u okolini posmatrane tačke.
Neka je data funkcija z = f ( x , y ) i totalni diferencijal prvog reda.
dz =
∂z
∂z
dx + dy
∂x
∂y
Kako se dx i dy mogu smatrati kao konstanta, tako je totalni diferencijal
prvog reda funkcija od x i y , koja može imati svoj totalni diferencijal, koji se
zove totalni diferencijal drugog reda (drugi totalni diferencijal)
⎡ ∂z
∂z ⎤
d 2 z = d (dz ) = d ⎢ dx + dy ⎥ =
∂y ⎦
⎣ ∂x
=
∂ ⎛ ∂z
∂z ⎞
∂ ⎛ ∂z
∂z ⎞
⎜ dx + dy ⎟ dx + ⎜ dx + dy ⎟ dy =
∂x ⎝ ∂x
∂y ⎠
∂y ⎝ ∂x
∂y ⎠
=
∂2 z 2 ∂2 z
∂2 z
∂2 z 2
dx
+
dydx
+
dxdy
+
dy =
∂x 2
∂y∂x
∂x∂y
∂y 2
∂2 z 2
∂2 z
∂2 z 2
dxdy + 2 dy
= 2 dx + 2
∂x
∂x∂y
∂y
Na sličan način se dobijaju totalni diferencijali trećeg, četvrtog, ..., n-tog reda.
Primer sa rešenjem:
4
2 3
33. Naći prvi i drugi totalni diferencijal funkcije z = x + 4 x y + 7 xy + 1
∂z
= 4 x 3 + 8 xy 3 + 7 y
∂x
∂z
= 12 x 2 y 2 + 7 x
∂y
∂2 z
∂2 z
2
3
= 12 x + 8 y
= 24 x 2 y
2
2
∂y
∂x
2
∂ z
∂2 z
= 24 xy 2 + 7
= 24 xy 2 + 7
∂y∂x
∂x∂y
3
3
dz = (4 x + 8 xy + 7 y)dx + (12 x 2 y 2 + 7 x)dy
- 131 -
d 2 z = (12 x 2 + 8 y 3 )dx 2 + 2(24 xy 2 + 7)dxdy + 24 x 2 ydy 2
Ekstremne vrednosti
Potreban uslov za postojanje ekstremne vrednosti
Da bi funkcija z = f ( x , y ) imala ekstremnu vrednost u tački ( x0 , y0 )
potrebno je da:
z ' y ( x0 , y0 ) = 0
• z 'x ( x0 , y0 ) = 0 i
Tačke u kojima su prvi parcijalni izvodi jednaki nuli su stacionarne tačke.
Dovoljan uslov za postojanje ekstremne vrednosti
Neka je ( x0 , y0 ) stacionarna tačka funkcije z = f ( x , y ) i neka je:
•
A = z ''xx ( x0 , y0 ) ;
a) Ako je Δ ( x
0 , y0 )
B = z ''xy ( x0 , y0 ) ;
C = z '' yy ( x0 , y0 ) ;
Δ = B2 − A ⋅ C
< 0, funkcija z = f ( x , y ) ima u tački ( x0 , y0 )
ekstremnu vrednost i to ako je A < 0(C < 0) ima maksimum, ako je
A > 0(C > 0) ima minimum.
b) Ako je Δ ( x
0 , y0 )
> 0, funkcija z = f ( x , y ) nema u tački ( x0 , y0 )
ekstremnu vrednost.
c) Ako je Δ ( x , y ) = 0 slučaj je neodređen i potrebna su dalja ipitivanja.
0
0
Uslovni ekstrem
Ekstremna vrednost funkcije z = f ( x , y ) gde su promenljive x i y vezane
nekim dodatnim uslovom g ( x , y ) = 0 je uslovni (vezani) ekstrem funkcije.
Za određivanje uslovnog ekstrema najpre se formira tzv. Lagranžova funkcija
F ( x, y ) :
F ( x, y ) = f ( x, y ) + λ g ( x, y )
gde je λ - konstanta (Lagranžov množilac).
Stacionarne tačke za egzistenciju ekstrema Lagranžove funkcije određuju se iz
uslova:
∂F ∂f
∂g
=
+λ
=0
∂x ∂x
∂x
∂F ∂f
∂g
=
+λ
=0
∂y ∂y
∂y
- 132 -
∂F ∂f
=
+ 1 ⋅ g ( x, y ) = 0 + g ( x, y ) = g ( x , y ) = 0
∂λ ∂λ
Iz ovog sistema jednačina određuju se vrednosti xi , yi i λ odnosno
stacionarne tačke ( xi , yi ) u kojima funkcija može imati ekstremnu vrednost.
Da li u stacionarnoj tački ( x0 , y0 ) funkcija ima ekstremnu vrednost određuje se
preko znaka drugog diferencijala u toj tački:
∂ϕ
∂ϕ
∂2 F 2
∂2 F
∂2 F 2
dx +
dy = 0
d F = 2 dx + 2
dxdy + 2 dy gde je
∂x
∂y
∂x
∂x∂y
∂y
2
Ako je d 2 F
( x0 , y0 )
< 0 funkcija z = f ( x , y ) ima uslovni maksimum u
stacionarnoj tački i zmax = f ( x0 , y0 ) , a ako je d 2 F
( x0 , y0 )
> 0 tada funkcija
z = f ( x , y ) ima uslovni minimum u stacionarnoj tački i zmin = f ( x0 , y0 ) . Ako
je d 2 F = 0 potrebna su dalja ispitivanja.
Primeri sa rešenjima:
34. Naći ekstremne vrednosti funkcije z = 2 + 2 x + 4 y − x 2 − y 2 .
Najpre se određuju stacionarne tačke
∂z
= 2 − 2 x = 0 , za
∂x
∂z
= 4 − 2 y = 0 , za
∂y
x0 = 1 ,
y0 = 2 .
Zatim se određuju parcijalni izvodi drugog reda
∂2 z
= −2
∂x 2
∂2 z
= −2
∂y 2
∂2 z
=0
∂x∂y
Na osnovu dobijenih podataka određuje se
Δ = 0 − ( −2)( −2) = − 4 < 0
A = −2 < 0 , funkcija z ima maksimum u tački (1, 2)
zmax = z (1, 2) = 7 .
2
2
35. Naći uslovne ekstreme funkcije z = x + y pri uslovu x + y = 1
Funkcija Lagranžea je
F ( x, y ) = x 2 + y 2 + λ ( x + y − 1)
Parcijalni izvodi prvog reda su:
- 133 -
∂F
= 2x + λ ,
∂x
∂F
= 2y + λ ,
∂y
∂F
= x + y −1
∂λ
Rešenje sistema jednačina
2x + λ = 0
2y + λ = 0
x + y =1
λ0 = −1 ,
x0 =
1
,
2
y0 =
1
.
2
∂2 F
∂2 F
∂F
=
2
=0
,
,
=
2
∂y 2
∂x∂y
∂x 2
⎛1 1
⎞
d 2 F ⎜ , , −1⎟ = 2dx 2 + 2dy 2 > 0 .
⎝2 2
⎠
Kako su:
2
2
znači da funkcija z = x + y pri uslovu x + y = 1 ima minimum u tački
1
⎛1 1⎞
⎜ , ⎟ , zmin = .
2
⎝2 2⎠
8.6. PRIMENA DIFERENCIJALNOG RAČUNA
Ispitivanje toka i crtanje grafika funkcije
Nakon izlaganja osnova diferencijalnog računa, u ovom odeljku će se razmotriti
jedna njegova primena. Ispitivanje toka i crtanje grafika funkcije čini značajno
poglavlje u matematici, a diferencijalni račun je neizostavljiv pri ovim
operacijama. Iz navedenih razloga u daljem tekstu će se dati najvažnije
definicije i teoreme koje se koriste.
Neki od osnovnih pojmova koji se pominju pri ispitivanju toka i grafika funkcije
su već navedeni i definisani u predhodnom tekstu - pojmovi lokalnog
ekstremuma (lokalnog maksimuma i minimuma) i stacionarnih tačaka su
definisani u delu teksta sa dokazom Fermaove teoreme, pa ih nećemo
ponavljati.
Prva teorema koja se razmatra je teorema o vezi monotonosti funkcije i prvog
izvoda funkcije.
- 134 -
Teorema o monotonosti funkcije
Neka je funkcija f diferencijabilna i monotono rastuća na intervalu ( a , b ) ,
tada je f '( x ) ≥ 0 za svako x koje pripada intervalu ( a , b ) . Takođe važi i
obrnuta relacija, ako je f '( x ) > 0 za svako x koje pripada intervalu ( a , b )
tada je f monotono rastuća funkcija za svako x koje pripada intervalu ( a , b ) .
Ako se navedena teorema posmatra geometrijski dobija se sledeća situacija.
Navedeno je u ranijem tekstu da je geometrijska interpretacija prvog izvoda
funkcije u nekoj tački koeficijent pravca tangente funkcije u posmatranoj tački.
U slučaju da je funkcija monotono rastuća, tada je prema teoremi prvi izvod
funkcije pozitivan, znači tangens ugla između tangente i pozitivnog smera x
ose je pozitivan, pa je ugao oštar.
Analogni zaključci se izvode i za monotono opadajuće funkcije, gde je prvi izvod
negativan. Geometrijska interpretacija ovog tvrđenja je da je ugao između
tangente u posmatranoj tački i pozitivnog smera x ose tup (sl. 6.).
sl. 6
Sledeće teoreme daju dovoljne uslove za postojanje lokalnih ekstremnih tačaka
funkcije.
Postoji više načina određivanja lokalnih ekstremnih tačaka funkcije. Jedan je
pomoću znaka prvog izvoda funkcije u okolini tačke čiji je prvi izvod jednak 0.
- 135 -
Teorema o lokalnim ekstremima funkcije pomoću znaka prvog izvoda
Neka je funkcija f diferencijabilna u okolini tačke x0 , ako je f '( x0 ) = 0 i
(∀x ∈ ( x0 − δ , x0 )) f '( x) > 0 , (∀x ∈ ( x0 + δ , x0 )) f '( x) < 0
gde je δ pozitivan dovoljno mali broj, tada je tačka x0 , tačka lokalnog
maksimuma funkcije f (sl. 7.).
sl. 7
Analogno glasi teorema za tačku lokalnog minimuma funkcije. Tačke lokalnih
ekstrema mogu se odrediti i pomoću vrednosti drugog izvoda funkcije.
Teorema o lokalnim ekstremima funkcije pomoću drugog izvoda
Neka je funkcija f diferencijabilna na intervalu ( a , b ) i neka važi relacija
f '( x0 ) = 0 . Tada sledi:
• ako je f ''( x0 ) < 0 , tada je x0 tačka lokalnog maksimuma,
• ako je f ''( x0 ) > 0 , tada je x0 tačka lokalnog minimuma.
Pomoću navedene teoreme se u većini slučajeva može odrediti lokalna
ekstremna tačka funkcije. Problem predstavljaju situacije kada drugi izvod
funkcije ima vrednost 0, jer ova situacija nije obuhvaćena izloženom
teoremom. Za takav slučaj potrebna je generalizacija prethodne teoreme
korišćenjem izvoda višeg reda.
- 136 -
Teorema o lokalnim ekstremima funkcije pomoću izvoda n-tog reda
Neka je f diferencijabilna funkcija koja ima sve izvode, od prvog reda do
izvoda (n)- tog reda, i neka važi relacija
f '( x0 ) = f ''( x0 ) = ... = f ( n −1) ( x0 ) = 0 i f ( n ) ( x0 ) ≠ 0 za vrednosti n ≥ 2 .
Tada važe sledeća pravila:
• ako je n paran broj, x0 jeste lokalna ekstremna tačka i to lokalni
(n)
maksimum ako je f ( x0 ) < 0 , a lokalni minimum ako je ispunjeno
f ( n ) ( x0 ) > 0 .
•
ako je neparan broj, x0 nije lokalna ekstremna tačka.
Pored određivanja tačaka lokalnih ekstremuma, diferencijalni račun pojednostavljuje i postupak ispitivanja konveksnosti ili konkavnosti funkcije i
određivanja prevojnih tačaka. Prvo je potrebno definisati navedene pojmove.
Teorema o konkavnosti (konveksnosti) funkcije pomoću izvoda
Ako je f diferencijabilna funkcija, tada je f konkavna (konveksna) funkcija na
intervalu ( a , b ) ako i samo ako je f '( x ) neopadajuća (narastajuća) ili
f ''( x ) ≥ 0 ( f ''( x ) ≤ 0) funkcija na intervalu ( a , b ) .
Dokaz teoreme o konkavnosti (konveksnosti) funkcije pomoću prvog izvoda
Dokaz se izvodi u dva dela. Prvi deo dokazuje tvrdnju o konkavnosti ako je prvi
izvod neopadajuća funkcija, a drugi deo dokazuje ako je prvi izvod neopadajuća
funkcija, tada je funkcija konkavna.
Neka je f konkavna funkcija i t i r dve tačke koje pripadaju intervalu ( a , b )
i to takve da važi t < r . Iz tvrdnje da je funkcija konveksna za neku tačku
x ∈ [t , r ] sledi:
r−x
x−t
f (t ) +
f (r )
r −t
r −t
f ( x ) − f (t ) f ( r ) − f ( x )
≤
x−t
r−x
f ( x) ≤
Sa graničnim vrednosti dobija se:
- 137 -
f '(t ) = lim+0
x →t
f ( x ) − f (t )
f ( r ) − f ( x ) f ( r ) − f (t )
.
≤ lim+0
=
x →t
x−t
r−x
r −t
Takođe važi i
f ( r ) − f (t )
f ( x ) − f (t )
f (r ) − f ( x)
= lim−0
≤ lim−0
= f '( r )
x →t
x →t
r −t
x−t
r−x
pa se izvodi zaključak da je
f '(t ) ≤
f ( r ) − f (t )
≤ f '( r ) .
r −t
Ovim tvrđenjem je dokazano da je u slučaju konkavne funkcije njen prvi izvod
neopadajuća funkcija.
Pretpostavljamo da je f ' neopadajuća funkcija. Neka su t i r dve tačke koje
pripadaju intervalu ( a , b ) i to takve da važi t < r i neka su c i d realni brojevi
za koje važi c + d = 1 . Treba dokazati da je
f ( ct + dr ) ≤ cf (t ) + df ( r ) .
Specijalne vrednosti c i d su kada je jedan od ova dva broja jednak 0, a drugi
jednak 1. U ovim slučajevima dokaz ovog dela teoreme je očigledan.
Za ostale vrednosti c i d , zamenimo x sa x = ct + dr , tada x pripada
segmentu [t , r ] i može se primeniti Lagranžova teorema, pa postoji tačka
α ∈ (t , x ) i β ∈ ( x , r ) , tako da važi
f ( x ) − f (t ) = f '(α )( x − t )
i
f ( r ) − f ( x ) = f '( β )( r − x )
Pretpostavka da je f ' neopadajuća funkcija,
f ( x) − f (t )
f (r ) − f ( x)
= f '(α ) ≤ f '( β ) =
,
x −t
(r − x)
odnosno
f ( x) ≤
r−x
x−t
f (t ) +
f (r ) .
r −t
r −t
Ovim tvrđenjem je teorema dokazana.
- 138 -
Analogno monotonosti funkcije i pojavi lokalnih ekstremnih tačaka, uz pojam
konkavnosti (konveksnosti) funkcije povezana je pojava prevojnih tačaka
funkcije.
Definicija prevojnih tačaka funkcije
Neka je funkcija f neprekidna u tački x0 . Ako važe relacije
(∀x ∈ ( x0 − δ , x0 )) f je konkavna (konveksna) i
(∀x ∈ ( x0 + δ , x0 )) f je konveksna (konkavna)
gde je δ pozitivan dovoljno mali broj, tada je tačka x0 prevojna tačka
funkcije f .
Znači prevojne tačke su one tačke u kojima funkcija menja svoju konveksnost,
odnosno konkavnost, u kojima tangenta seče grafik funkcije.
sl. 10
Analogno ranije navedenim teoremama o izračunavanju lokalnih ekstremnih
tačaka pomoću diferencijalnog računa postoje i teoreme o izračunavanju
prevojnih tačaka pomoću diferencijalnog računa.
Teorema o postojanju prevojne tačke grafika funkcije
Neka je P( x0 , f ( x0 )) prevojna tačka grafika funkcije f
neprekidna funkcija u okolini tačke x0 , tada je f ''( x0 ) = 0
- 139 -
i ako je f ''
Teorema o prevojnim tačkama grafika funkcije pomoću znaka drugog reda
Neka je funkcija f diferencijabilna u okolini tačke x0 , i ako je f ''( x0 ) = 0 i
važe relacije
(∀x ∈ ( x0 − δ , x0 )) f ''( x) > 0 ( f ''( x) < 0) i
(∀x ∈ ( x0 + δ , x0 )) f ''( x) < 0
( f ''( x) > 0)
gde je δ pozitivan dovoljno mali broj, tada je tačka P( x0 , f ( x0 )) prevojna
tačka funkcije f .
Teorema o prevojnim tačkama funkcije pomoću izvoda n-tog reda
Neka je f ( n ) - puta diferencijabilna, za čije izvode važi:
f '( x0 ) = f ''( x0 ) = ... = f ( n −1) ( x0 ) = 0 i f ( n ) ( x0 ) ≠ 0 . za n ≥ 2 .
Tada važe sledeća pravila
• ako je n paran broj tada x0 nije prevojna tačka funkcije f
•
ako je n neparan broj tada x0 jeste prevojna tačka
funkcije f
Da bi se odredio tok i grafik funkcije pri ispitivanju funkcije, potrebno je
posebno ispitati postojanje asimptota.
Nakon svih navedenih definicija i teorema, za ispitivanje funkcije potrebno je
preko sledećih koraka ispitati neke osobine i nacrtati grafik:
Korak br. 1
Odrediti oblasti definisanosti funkcije;
Korak br. 2
Ispitati ponašanje funkcije na rubovima domena i odrediti asimptote;
Korak br. 3
Ispitati da li je funkcija parna, neparna ili periodična;
Korak br. 4
Odrediti tačke preseka grafika sa osama. Znak funkcije;
Korak br. 5
Ispitati monotonost funkcije i naći ekstremne tačke funkcije;
Korak br. 6
Odrediti intervale konveksnosti i konkavnosti funkcije i naći prevojne
tačke;
- 140 -
Korak br. 7
Na osnovu dobijenih tačaka
funkcije.
i ispitanih osobina nacrtati grafik
Primeri sa rešenjima:
x2 − 1
28. Ispitati osobine funkcije y = 2
i nacrtati njen grafik.
x +1
1) Funkcija je definisana i neprekidna na skupu D = ( −∞ , +∞ ).
2) Kada x → ±∞ , lim
x2 − 1
= 1 , grafik funkcije ima horizontalnu
x2 + 1
asimptotu y = 1 .
3) Funkcija je parna.
4) Za x = 0 y = 1 ; za y = 0
x1,2 = ±1 ; presečne tačke grafika sa
koordinantnim osama su:
A(0,1), B (1, 0) ; C ( −1, 0)
5) y > 0 za x ∈ ( −∞ , − 1) ∪ (1, +∞ ) .
y < 0 za x ∈ ( − 1,1) .
6) Prvi izvod funkcije:
4x
( x + 1) 2
postoji za svako x i pri tom y ' < 0 za x < 0 ; y ' = 0 za x = 0 ; y ' > 0
x > 0 ; funkcija opada na ( −∞ , 0) i raste na (0, +∞ ) i pri
tom
ymin = y (0) = −1. Ekstremna tačka minimum E (0, −1) .
y' =
2
7) Drugi izvod funkcije
y '' =
4(1 − 3 x 2 )
,
( x 2 + 1)3
postoji za svako x i pri tom je:
3
3
) ∪ ( , +∞)
3
3
3 3
, )
y '' > 0 , x ∈ (−
3 3
3
.
y '' = 0 , x1,2 = ±
3
y '' < 0 , x ∈ (−∞, −
- 141 -
za
je
Grafik funkcije f je konkavna krive na (−
3 3
, )
3 3
3
3
) ∪ ( , +∞) .
3
3
3 1
3 1
, − ) i P2 ( , − ) .
Prevojne tačke: P1 (−
3
2
3
2
a konveksna
na (−∞, −
Na osnovu dobijenih podataka grafik funkcije je dat na (sl. 11.).
sl. 11.
29. Ispitati osobine funkcije y =
3
x
i konstruisati njen grafik.
4 − x2
1) Funkcija definisana i neprekidna na skupu
D = ( −∞ , − 2) ∪ ( −2, 2) ∪ (2, +∞ ).
2) Kada x → −2 ± 0 , tada f ( x ) → ±∞ ; kada x → 2 ± 0 , tada
f ( x ) → ±∞ ; vertikalne asimptote su x = 2 i x = −2 .
Funkcija se može napisati u obliku f ( x ) = − x +
asimptota y = − x ,
4x
pa je kosa
4 − x2
4x
→ 0 kada x → ±∞ .
4 − x2
3) Funkcija je neparna.
4) Presečna tačka grafika sa koordinantnim osama je O (0, 0).
5)
y > 0 za x ∈ ( −∞ , −2) ∪ (0, 2) ;
- 142 -
y < 0 za x ∈ ( −2, 0) ∪ (2, +∞ ) .
6) Izvod funkcije
y' =
x 2 (12 − x 2 )
(4 − x 2 ) 2
postoji za x ∈ D i pri tom je: y ' = 0 za x = ±2 3 ;
y ' > 0 , x ∈ (−2 3, −2) ∪ (−2, 2) ∪ (2, 2 3);
y ' < 0 , x ∈ (−∞, −2 3) ∪ (2 3, +∞)
ymin = y (−2 3) = 3 3;
i
ymax = y (2 3) = −3 3;
Ekstremne tačke
E1 (−2 3,3 3) i E2 (2 3, −3 3).
7) Drugi izvod funkcije:
8 x( x 2 + 12)
(4 − x 2 )3
postoji za x ∈ D i pri tom je:
y '' =
y '' > 0 , x ∈ ( −∞ , − 2) ∪ (0, 2);
y '' < 0 , x ∈ ( − 2, 0) ∪ (2, +∞ );
y '' = 0 , x = 0 pa je prevojna tačka P (0, 0)
Grafik funkcije je dat na (sl.12.).
sl. 12.
- 143 -
2
−x
30. Ispitati funkciju y = x 3 e .
1)
2)
3)
4)
5)
Funkcija je definisana i neprekidna na skupu D = ( −∞ , +∞ ) .
Kada x → +∞ , f ( x ) → 0 , pa je horizontalna asimptota y = 0 .
Kada x → −∞ , f ( x ) → +∞ .
Tačka preseka sa osama je O (0, 0) .
y > 0 za x ≠ 0 .
(2 − 3x)e− x
Izvod funkcije y ' =
postoji za x ≠ 0 i pri tom je:
33 x
2
y ' < 0 za x ∈ ( −∞ , 0) ∪ ( , +∞ ) ;
3
2
y ' > 0 za x ∈ (0, ) ;
3
ymin = y(0) = 0 ;
2
4 −2
ymax = y ( ) = 3 e 3 ≈ 0, 4.
3
9
2
3
Ekstremne tačke E1 (0,0) i E2 ( , 3
4 − 23
e ).
9
Drugi izvod funkcije:
y '' =
(9 x 2 − 12 x − 2)e− x
9 3 x4
postoji za x ≠ 0 i pri tom je:
y '' = 0
za
y '' > 0
za
y '' < 0
za
2± 6
;
2
2− 6
2+ 6
x ∈ (−∞,
)∪(
, +∞) ;
3
3
2− 6
2+ 6
x∈(
, 0) ∪ (0,
);
3
3
y '' =
Postoje dve prevojne tačke čije su apscise:
2− 6
2+ 6
≈ −0,15 i x2 =
≈ 1, 48
3
3
y1 = f ( x1 ) ≈ 0,34 i y2 = f ( x2 ) ≈ 0,30 (sl. 13.).
x1 =
- 144 -
sl. 13
8.7. EKONOMSKE FUNKCIJE
Pri analiziranju kao i prognoziranju rada poslovnih subjekata u zavisnosti od
vrste i oblika zadatka koriste se adekvatne metode i modeli u cilju uspešnijeg
poslovanja i svodjenja rizika na minimum.Ovoga puta mi ćemo upoznati
elementarne ekonomske funkcije: funkcije tražnje, ponude, troškova, dobiti.
Uočavanje moguće funkcionalne zavisnosti izmedju veličina cene i tražnje,
obima proizvoda i troškova, prihoda, omogućava ekonomsku interpretaciju
funkcija, a uz primenu diferencijalnog i integralnog računa poslovnu analizu čini
preciznijom i kvali-tetnijom.
8.7.1. Funkcija tražnje
Posmatrajmo na tržištu proizvod X. Analizirajući tražnju (prodatu količinu
proizvoda X) zavisno promenljivu, uočavamo da na njenu promenu utiču:
cena,broj potencijalnih potrošača, kupovna moć, marketing (promocija),
kvalitet, konkurencija i td. x = f ( p , n, d , m , k , ...), . Dakle to je funkcija od
više nezavi-sno promenljivih.
Dominantan uticaj na tražnju proizvoda X ima njegova cena, pa funkciju tražnje
u jednostavnijem obliku možemo predstaviti kao
x = f ( p ) , gde je p > 0 - cena proizvoda X ;
'
( x > 0 , obim proizvodnje proizvoda X koji se traži na tržištu) x p =
dx
<0
dp
funkcija tražnje je, po pravilu, monotono opadajuća.
Navedene uslove: p > 0, x > 0, x ' < 0 uz navedenu interpretaciju zovemo
potrebnim uslovom postojanja funkcije x = f ( p ) kao funkcije tražnje.
- 145 -
sl. 23.
−1
Cenu p možemo izraziti kao inverznu funkciju tražnje p = f ( x)
Primeri sa rešenjima:
1. Funkcija x = −3 p + 2, p > 0, x > 0, x ' < 0 je funkcija tražnje pod
⎛
⎝
2⎞
3⎠
datim uslovima na intervalu ⎜ 0, ⎟ , (sl. 24.).
sl. 24.
x = − p 2 + 400, p > 0, x > 0, x ' < 0 je funkcija tražnje na
intervalu ( 0, 20 ) jer su svi potrebni uslovi ispunjeni. (sl. 24)
2. Funkcija
- 146 -
8.7.2. Funkcija ponude
Zanemarujući ostale promenljive kao faktore koji mogu uticati na ponudu u
jednostavnijem obliku možemo je posmatrati kao funkciju cene i izraziti:
y = g ( p) ,
p > 0 , cena; y > 0 , ponuda proizvoda X;
y' =
dg
> 0 ponuda je, po pravilu, rastuća funkcija.
dp
Uslovi: p > 0, y > 0, y ' > 0 uz navedenu interpretaciju su potrebni uslovoi
postojanja funkcije y = g ( p ) kao funkcije ponude.
−1
Cenu možemo izraziti kao inverznu funkciju ponude p = g ( y )
Primeri:
3. Funkcija y = 2 p + 1 je funkcija ponude sa uslovima p > 0, y > 0, y ' > 0 na
intervalu p ∈ ( 0, +∞ )
2
4. Funkcija y = p − 4 je funkcija ponude na intervalu p ∈ ( 2, +∞ ) gde su
ispunjeni uslovi p > 0, y > 0, y ' > 0
5. Nacrtaj funkcije ponude i naći njihove inverzne funkcije:
2
p
y = 2 p + 1 , y = p + 2, y = e
8.7.3. Modeli tržišta
Konjukciju funkcija tražnje i ponude smatramo modelom tržišta
x = f ( p ) ∧ y = g(p)
Cenu p = pr za koju se postiže ova ravnoteža na tržištu možemo naći analitički
i grafički (sl. 25.).
f ( pr ) = g ( pr ) ⇔ x = y
- 147 -
sl. 25.
pk - zovemo ravnotežna cena i za cenu vrednosti robe postiže se idealna
situacija na tržištu te robe, nemamo ni viškova (zaliha), ni manjkova
(nestašica).
Primeri sa rešenjima:
6. Date su funkcije tražnje i ponude x = − p + 4
i y = p2 + 2 .
Analitički ravnotežnu cenu pr dobijamo kao rešenje jednačine
x = y ⇒ − p + 4 = p 2 + 2 ⇒ pr = 1 .
Grafičko rešenje prikazano je na (sl. 26.).
sl. 26.
7. Tražnja ponude nekog proizvoda data je sledećim relacijama:
x = 20 − 6 p i y = 4 p − 2 . Pronaći cenu i količinu pri kojima se ostvaruje
ravnoteža na tržištu ovog proizvoda.
- 148 -
x = 20 − 6 p
y = 4p −2
x = y ⇒ 20 − 6 p = 4 p − 2 ⇒ 6 p + 4 = 20 + 2
22
⇒ pr = 2, 2
10 p = 22 ⇒ pr =
10
x = y = 4 ⋅ 2, 22 = 8,8 − 2 = 6,8
8.7.4. Funkcija troškova
Funkciju ukupnih troškova možemo analizirati kao funkciju obima proizvodnje
proizvoda X i označavamo je sa
C = F ( x ) , x > 0 , obim proizvodnje;
C > 0 ; ukupni troškovi.
Uslove x > 0, C > 0 , uz navedenu interpretaciju, nazivamo potrebnim
uslovima za egzistenciju funkcije troškova C = F ( x ) .
Troškove možemo izračunati i po jedinici proizvoda x , prosečne troškove, i
obeležiti sa C :
C=
C F ( x)
=
x
x
Cilj svakog profitabilnog poslovanja je minimiziranje prosečnih troškova. Dakle,
iz uslova minimuma :
Nađemo izvod funkcije prosečnih troškova C , izjednačimo sa nulom i
izračunamo x0 . Za tu vrednost ( x0 ) drugi izvod C '' treba da bude pozitivan
(uslov minimuma), dakle,
C '( x0 ) = 0 ∧ C''( x0 ) > 0 nalazimo obim proizvodnje x0 za koju su prosečni
troškovi minimalni
C min ( x0 ) =
F ( x0 )
.
x0
Funkcija graničnih troškova C ' je prvi izvod funkcije ukupnih troškova
C ' = F '( x ) =
dF
ΔF
,
= lim
dx Δx → 0 Δx
što je mera apsolutne promene ukupnih troškova na jedinicu priraštaja proizvodnje.
- 149 -
Primeri sa rešenjima:
2
8. Data je funkcija ukupnih troškova C ( x) = x + 2 x, funkcija prosečnih
C x2 + 2 x
=
= x + 2 a graničnih troškova
x
x
= ( x 2 + 2 x ) ' = 2 x + 2 .Grafički prikaz ovih funkcija dat je na (sl. 27.).
troškova
C '( x )
je
C ( x) =
sl. 27.
9. Funkcija ukupnih troškova data je u obliku C = 1800 x − 75 x 2 + x 3 .
a) Odrediti funkciju prosečnih troškova.
b) Odrediti funkciju graničnih troškova.
C = 1800 x − 75 x 2 + x3
C
C=
x
C x3 − 75 x 2 + 1800 x
C= =
x
x
2
C = x − 75 x + 1800
C ' = 2 x − 75
2 x − 75 = 0
x = 37, 5 za x < 37, 5 prosečni troškovi opadaju a za x > 37, 5
funkcija prosečnih troškova raste
C ' = 3 x 2 − 150 x + 1800
- 150 -
je
8.7.5. Funkcija prihoda
Funkcija ukupnih prihoda se može predstaviti kao proizvod x , količini prodate
robe (tražnje) i cene p , što zapisujemo:
P = x⋅ p
x > 0 , funkcija tražnje
p > 0 , cena,
Uslovi x > 0, p > 0 su potrebni uslovi za egzistenciju funkcije P = x ⋅ p , kao
funkcije prihoda P .
Funkciju ukupnih prihoda možemo izraziti preko cene:
P ( p ) = x ⋅ p = p ⋅ f ( p ), gde je x = f ( p );
ili preko količine prodate robe
P( x) = x ⋅ f −1 ( x), gde je p = f −1 ( x).
Funkcija prosečnih prihoda je količnik ukupnih prihoda i funkcije tražnje:
P=
P
= p , dakle, prosečan prihod proizvoda X je njegova cena p .
x
Prvi izvod funkcije prihoda,
prihoda:
po promenljivoj x ili p, je funkcija graničnih
dP
;
dx
dP
Pp' =
,
dp
Px' =
to je mera apsolutne promene ukupnog prihoda u odnosu na realizovan obim
proizvodnje ali u odnosu na prodajnu cenu jedinice proizvoda. Uspešno
poslovanje podrazumeva težnja ka maksimiranju prihoda.Ukoliko je funkcija
prihoda data proporciom:
P( x) = x ⋅ f 1 ( x) ili P ( p ) = p ⋅ f ( p ) , njen maksimum nalazimo na sledeći
način:
Prvi izvod funkcije prihoda, P ' izjednačimo sa nulom i rešimo po x (ili p). Tako
dobijamo vrednosti x0 (ili p0 ). To su potencijalne vrednosti za količinu robe (ili
njenu cenu) za koju se postiže maksimalan prihod. Ako je drugi izvod funkcije
prihoda P " za x0 (ili p0 ) manji od nule, to jesu vrednosti koje dovode do
maksimuma funkcije P. Dakle,
P '( x0 ) = 0 (P ''( x0 ) <0)
ili P '( p0 ) = 0
- 151 -
( P ''( p0 ) < 0)
Primeri sa rešenjima:
10. Ako je tražnja za proizvodom X: x = − p + 200 naći maksimalan prihod.
P = x ⋅ p = − p 2 + 200 p
P ' = −2 p + 200 = 0 p0 = 100 P ''(100) = −2 < 0
Pmax (100) = 10000
11. Funkcija tražnje nekog prizvoda je x = − 2 p + 24000 . Odrediti: a) cenu i
tražnju za koju će ukupan prihod biti maksimalan; b) Vrednost maksimalnog
ukupnog prihoda.
P = x⋅ p
x = −2 p + 24000 ⇒ 2 p = − x + 24000 ⇒ p = −
⎛x
⎞
P = x ⎜ + 12000 ⎟
⎝2
⎠
2
x
P = − + 12000 x
2
2x
P ' = − + 12000
2
'
P = − x + 12000 = 0
x
+ 12000
2
12000
+ 12000
2
p = −6000 + 12000
p = 6000
x = 12000
p=−
P = 12000 ⋅ 6000
Pmax = 72000000
8.7.6. Funkcija dobiti
Funkcija dobiti se može definisati kao razlika funkcija prihoda i troškova (sl.
28.).
D ( x) = P ( x) - C ( x)
Ako je P ( x ) - C ( x ) > 0 onda se proizvodnja proizvoda X smatra rentabilnom.
Interval rentabilne proizvodnje ( a , b ) dobijamo iz uslova D = 0 , odnosno
P ( a ) = C ( a ) i P (b ) = C ( b ) .
- 152 -
sl. 28.
Svako profitabilno poslovanje traži maksimiranje ove funkcije.
Odredimo prvi izvod funkcije dobiti, D' i njega izjednačimo sa nulom. Rešenje
jednačine, odnosno nule prvog izvoda D ' daju vrednost optimalnog obima
proizvodnje xop za koji se postiže maksimalna dobit samo ako je za tu vrednost
drugi izvod, D " manji od nule.
Dakle potreban i dovoljan uslov za maksimum ove funkcije je:
D '( x0 p ) = P '( x0 p ) − C '( x0 p ) = 0 ∧ D ''( x0 p ) < 0 Dmax ( xop ) se postiže pri
obimu proizvodnje x0 p , optimalnom obimu proizvodnje.
Primeri sa rešenjima:
2
12. Funkcija dobiti je D( x) = P( x) - C ( x) = - 5 x + 1000 x - 100 .
Njen maksimum određujemo:
D ' = −10 x + 1000 = 0 x0 p = 100
∧ D '' = −10 < 0
Dmax (100) = 49900
13. Ukupni troškovi dati su funkcijom C = 20 x + 1000 ukupni prihodi dati su
funkcijom P =
− x2
+ 30 x . Odrediti optimalnu proizvodnju i cenu pri kojoj će
50
dobit biti maksimalna.
- 153 -
C = 20 x + 1000
P=
− x2
+ 30 x
50
D = P −C =
− x2
− x 2 + 500 x − 500
+ 30 x − 20 x − 1000 =
50
50
−2 x + 500
50
−2 x + 500 = 0
xop = 250
D' =
− x2
+ 30 x
P
50
P = p⋅x ⇒ p = ⇒ p =
x
x
x
−250
p = − + 30 ⇒ p =
+ 30 = −5 + 30 = 25
50
50
2502 + 500 ⋅ 250 − 5000
Dmax =
50
Dmax = 1150
8.7.7. Elastičnost ekonomskih funkcija
Pod pojmom elastičnosti se smatra mogućnost da jedna veličina reaguje na
promenu veličine od koje zavisi. Elastičnost se meri i izračunava pomoću
njenog koeficijenta E y , x (x je nezavisno promenljiva, y je zavisno promenljiva).
Po definiciji koeficijent elastičnosti je granična vrednost količnika relativnih
promena promenljivih y i x kad priraštaj Δx teži 0.
Ey,x
Δy
Δy x
x
y
= lim
= ⋅ lim
= ⋅ y ' . Kada je:
Δx →0 Δx
y Δx→0 Δx y
x
- 154 -
Ey , x < 1 – y je neelastična prema x
Ey , x = 1 – jednačina normalne elastičnosti
Ey , x > 1 – y je elastična prema x
Konkretno za navedene ekonomske funkcije možemo naći njihove koeficijente
elastičnosti:
8.7.8. Elastičnost tražnje
Ex, p = −
p
⋅x'
x
Znak minus se kod elastičnosti tražnje dodaje u definiciji da se obezbedi
pozitivna vrednost koeficijenta ( x ' ima, po pravilu, negativnu vrednost).
Ex , p pokazuje za koliko će se procenata (promila) približno promeniti
(smanjiti) tražnja kada se cena poveća za jedan procenat (promil).
Ex, p < 1 – tražnja je neelastična, porast cene za 1% dovodi do pada tražnje za
manje od 1%
Ex, p = 1 – tražnja opada za 1% kada cena raste za 1%
Ex, p > 1 – tražnja je elastična,kada se cena poveća za 1% tražnja opada za više
od 1%
Primeri sa rešenjima:
14. Za tražnju x = - p + 100 koeficijent elastičnosti je
p
p
⋅ (− p + 100) ' =
. Za cenu p = 80 elastičnost
− p + 100
− p + 100
80
je E x ,80 =
= 4
20
Ex , p = −
Cena za koju je elastičnost tražnje jedinična zove se karakteristična cena i
obeležava se sa pc .
15. Za funkciju tražnje x = - 3 p + 6 koeficijent elastičnosti je
Ex , p = -
3p
3 ⋅1
a karakteristična cena je pc = 1 E x , p =
= 1.
- 3p+ 6
−3 ⋅1 + 6
- 155 -
Elastičnost ukupnih troškova izračunava se po koeficijentu:
Ec , x =
C' C'
x
⋅ C ' koji se može napisati i Ec , x =
=
C
C
C
x
Elastičnost prosečnih troškova je:
EC , x =
Dakle može se EC , x
x
x C '⋅ x − C x
⋅C ' = ⋅
= ⋅ C '− 1 = EC , x − 1
C
x2
C
C
x
izračunati i preko EC , x .
Analiza koeficijenta elastičnosti ukupnih troškova upućuje nas na povezanost
graničnih i prosečnih troškova. Kada je:
EC , x < 1, tada je C ' < C ;
EC , x = 1, tada je C ' = C ;
EC , x > 1, tada je C ' > C.
Primer sa rešenjem:
16. Data je funkcija ukupnih troškova C = x 3 - x 2 + 2 x . Naći koeficijent
elastičnosti za funkcije C , C , C ' . Pokazati da su minimalni prosečni troškovi
jednaki graničnim.
x
3x 2 − 2 x + 2
3
2
⋅
(
x
−
x
+
2
x
)
'
=
x3 − x 2 + 2 x
x2 − x + 2
x
2 x2 − x
EC , x = 2
⋅ ( x 2 − x + 2) ' = 2
x −x+2
x −x+2
2
2
3x − 2 x + 2
2x − x
EC , x − 1 = 2
−1 = 2
= EC , x
x −x+2
x −x+2
2
S obzirom da je funkcija prosečnih troškova C = x - x + 2 , njen minimum
EC , x =
nalazimo na sledeći način:
(C ) ' = 2 x − 1 = 0
C ' = 3x2 − 2 x + 2
⎛1⎞ 7
C min ⎜ ⎟ =
⎝2⎠ 4
⎛1⎞ 7
C '⎜ ⎟ =
⎝2⎠ 4
x=
1
2
- 156 -
U opštem slučaju važi da su minimalni prosečni troškovi jednaki graničnim
troškovima.
Elastičnost funkcije prihoda
Koeficijent elastičnosti izračunavamo preko cene E P , p =
p '
⋅ P( p ) , ili preko
P
x
⋅P ' .
P ( x)
Kako je P = p ⋅ x p = p ⋅ f ( p) to se EP , p može izraziti :
tražnje x E p , x =
EP , p =
p
f ( p ) + p ⋅ f '( p )
⋅ ( f ( p ) + p ⋅ f '( p) ) =
=
p ⋅ f ( p)
f ( p)
p
⋅ f '( p ) = 1 + Ex , p
1+
f ( p)
Kada je Ex , p < 1 (tražnja neelastična), ukupni izdaci potrošača se povećavaju.
Ako je Ex , p = 1 , tada porast ili pad cene ne utiče na prodaju.
Za Ex , p > 1 (tražnja je elastična) porast cene dovodi do opadanja prihoda i
obrnuto.
Primer sa rešenjem:
17. Odrediti elastičnost sledećih funkcija
a)
y = x3 − 2 x 2 + 30 za x = 10
b)
y = e3 x za x = 1
2
y = x3e x za x = 5
4
d) y = x ln x za x = e
c)
- 157 -
a)
y = x3 − 2 x 2 + 30
y ' = 3x 2 − 4 x
x(3 x 2 − 4 x)
x3 − 2 x 2 + 30
3 x3 − 4 x 2
Ex , y = 3
x − 2 x 2 + 30
3 ⋅1000 − 4 ⋅100
2600
11
=
=3
E10, y =
1000 − 2 ⋅100 + 30 830
83
E10. y > 1 funkcija je elastična.
Ex , y =
b)
y = e3x
2
y ' = 6 xe3 x
Ex , y =
E1, y
2
x ⋅ 6 xe3 x
3 x2
2
= 6x2
e
= 6 > 1 ⇒ funkcija je elastična
c)
y = x 3e x
y ' = 3 x 2 e x + x 3e x
y ' = x 2 e x (3 + x 3 )
x ⋅ x 2 e x (3 + x 3 )
= 3 + x3
3 x
xe
3
= 3 + 5 = 3 + 125 = 128 > 1
Ex , y =
Ex , y
d)
y = x 4 ln x
y ' = 4 x3 ln x + x 4 ⋅
1
= 4 x3 ln x + x3 = x3 (4 ln x + 1)
x
- 158 -
x ⋅ x3 (4 ln x + 1) x(4 ln x + 1)
=
4 x3 ln x
4ln x
e(4 ln e + 1) 5e
=
=
4 ln e
4
Ex , y =
Ee, y
KLJUČNI POJMOVI:
•
•
•
•
•
DIFERENCIJABILNOST
IZVOD
TANGENTA
DIFERENCIJAL
PARCIJALNI IZVOD
- 159 -
- 160 -
IV-GLAVA
INTEGRALNI RAČUN
SADŽAJ OVOG POGLAVLJA JE:
•
OSNOVNI POJMOVI VEZANI ZA NEODREĐENI INTEGRAL
•
TABLICA NEODREĐENIH INTEGRALA OSNOVNIH FUNKCIJA
•
OSNOVNA PRAVILA INTEGRACIJE
•
PRIMENA INTEGRALNOG RAČUNA
Cilj nam je da ovaj račun uvedemo preko:
1. Osnovnih pojmova.
2. Pravila i osobina.
3. Tablica integrala.
4. Nekih metode za rešavanje.
9. NEODREĐENI INTEGRAL
9.1. OSNOVNI POJMOVI VEZANI ZA NEODREĐENI INTEGRAL
U ranijem delu teksta prikazani su načini izračunavanja izvoda. Tema ovog
poglavlja je inverzan proces. Pitanje je ako je poznat izvod neke funkcije, kako
odrediti tu funkciju. Tako dolazimo do pojma integrala.
Da bi se definisao pojam integrala i načini njegovog izračunavanja, potrebno je
uvesti neke nove pojmove. Jedan od njih je pojam primitivne funkcije.
Definicija primitivne funkcije
Funkcija F se naziva primitivnom funkcijom funkcije f na intervalu ( a , b )
ako je F diferencijabilna funkcija na intervalu ( a , b ) i ako za svako x iz ovog
intervala važi
F '( x ) = f ( x )
- 161 -
U definiciji primitivne funkcije može da se i ne navede uslov da je F
diferencijabilna funkcija, jer se taj zaključak može izvesti iz uslova definicije.
Takođe, iz same definicije primitivne funkcije ne može se zaključiti koji su uslovi
potrebni za postojanje ove vrste funkcija.
Teorema o uslovima postojanja primitivne funkcije
Ako je funkcija f neprekidna na intervalu ( a , b ) tada ona na tom intervalu
ima primitivnu funkciju.
U sledećim teoremama biće dokazane neke osobine primitivnih funkcija.
Teorema o obliku primitivne funkcije
Ako je funkcija F primitivna funkcija funkcije f na intervalu ( a , b ) i C je
proizvoljna konstanta, tada je i funkcija F + C takođe primitivna funkcija
funkcije f . Važi i obrnut stav, da se svaka primitivna funkcija funkcije f može
napisati u obliku F + C , gde je za svako x iz posmatranog intervala prvi izvod
funkcije F jednak f .
Dokaz teoreme o obliku primitivne funkcije
Dokaz ove teoreme se sastoji iz dva dela, gde se u svakom delu dokazuje po
jedan stav iskazan u teoremi:
• Prvo se navodi dokaz prvog stava teoreme. Iz uslova da je F prmitivna
funkcija funkcije f , sledi da je prvi izvod ove funkcije jednak f . Tada
važi sledeće tvrđenje
( F ( x ) + C ) ' = F '( x ) = f ( x ) ,
čime je prvi stav teoreme dokazan. Iz ovog stava se može izvesti
zaključak da ako neka funkcija ima primitivnu funkciju na određenom
intervalu, tada na tom intervalu ima beskonačno mnogo primitivnih
funkcija koje se razlikuju za konstantu.
• Sada treba dokazati drugi stav teoreme. Da bi dokazali ovaj stav
uvodimo novu funkciju h koja je neka primitivna funkcija funkcije f ,
što znači da važi da je njen prvi izvod jednak f . Uvodimo razliku
novodefinisane funkcije i funkcije F i izračunava se prvi izvod ove
razlike.
r '( x ) = ( h ( x ) − F ( x )) ' = h '( x ) − F ( x ) = f ( x ) − f ( x ) = 0
Funkcije F i h su primitivne funkcije, pa na osnovu ranije dokazane teoreme
sledi da su i neprekidne i diferencijabilne na posmatranom intervalu. Samim
- 162 -
tim i funkcija koja predstavlja razliku ove dve funkcije je neprekidna i
diferencijabilna na intervalu ( a , b ) . Prvi izvod ove funkcije je 0, znači da je
r ( x) = C
gde je C proizvoljna konstanta, a po definiciji ove funkcije ona je
r ( x) = h( x) − F ( x) , h( x) = F ( x) + C
čime je i drugi stav teoreme dokazan.
Na osnovu prethodno definisanih pojmova i dokazanih teorema može se
definisati pojam neodređenog integrala funkcije.
Definicija neodređenog integrala funkcije
Skup svih primitivnih funkcija funkcije f naziva se neodređeni integral ove
funkcije i označava se
def
∫ f ( x)dx = F ( x) + C ⇔( F ( x) + C ) ' = f ( x)
Postupak nalaženja primitivne funkcije za datu funkciju se naziva integracija,
funkcija f se naziva podintegralna funkcija, a izraz f ( x ) dx se naziva
podintegralni izraz.
Funkcija f za koju postoji neodređeni integral oblika ∫ f ( x)dx se naziva
inegrabilnom funkcijom.
Iz definicije neodređenog inegrala funkcije može se zaključiti da je izvod
neodređenog inegrala jednak podintegralnoj funkciji:
⎡⎣ ∫ f ( x)dx ⎤⎦ ' = f ( x) ,
diferencijal neodređenog inegrala jednak podintegralnom izrazu:
d ⎡⎣ ∫ f ( x) dx ⎤⎦ = f ( x) dx
Takođe još jedna osobina neodređenog integrala je da je neodređeni integral
diferencijala funkcije f ( x ) jednak f ( x ) + C ( C je proizvoljna konstanta),tj.
∫ df ( x) = f ( x) + C
U narednim odeljcima je data tablica neodređenih integrala osnovnih funkcija i
osnovna pravila integracije, čime se pojednostavljuje način izračunavanja
integrala nekih funkcija.
- 163 -
9.2. TABLICA NEODREĐENIH INTEGRALA OSNOVNIH FUNKCIJA
Na osnovu tablice izvoda osnovnih funkcija, koja je prikazana u ranijim
poglavljima i osnovnih pojmova koji su razmatrani u prethodnom odeljku,
dobija se tablica neodređenih integrala osnovnih funkcija. Navedeni integrali
prikazani u ovoj tablici se nazivaju još i tablični integrali. U datoj tablici, u svim
pravilima, C predstavlja proizvoljnu konstantu.
1. ∫ dx = x + C
x n +1
∫ x dx =
+ C , n ≠ −1
n +1
2.
∫
10.
1
1 − x2
dx = arcsin x + C ,
x <1
n
∫
3.
1
dx = ln x + C
x
1
dx = arctgx + C
2
11. 1 + x
1
dx = ln x + x 2 + a 2 + C
∫
2
2
12. a + x
∫
4. ∫ e dx = e + C
x
x
ax
∫ a dx =
+ C, 0 < a ≠ 1
ln a
5.
∫
13.
1
x −a
2
2
dx = ln x + x 2 − a 2 + C
x
6. ∫ sin xdx = − cos x + C
7. ∫ cos xdx = sin x + C
∫
8.
∫
9.
1
dx = tgx + C
cos 2 x
1
1
x−a
dx =
ln
+C
2
2a x + a
14. x − a
∫
∫
15.
2
1
a −x
2
2
dx = arcsin
x
+C
a
1
1
x
dx = arctg + C
2
a
a
16. x + a
∫
2
1
dx = −ctgx + C
sin 2 x
Treba naglasiti da svako pravilo važi u intervalu u kome je podintegralna
funkcija definisana.
- 164 -
9.3. OSNOVNA PRAVILA INTEGRACIJE
U ovom odeljku su data pravila integracije koja predstavljaju osnovu
inregralnog računa.
Ako je C proizvoljna konstanta C ≠ 0 , tada važi
∫ Cf ( x)dx = C ∫ f ( x)dx
Neodređeni integral zbira funkcija jednak je zbiru neodređenuh integrala
ovih funkcija:
∫ [ f1 ( x) + f 2 ( x)] dx = ∫ f1 ( x)dx + ∫ f 2 ( x)dx
Primeri sa rešenjima:
1. Izračunati integral
2
3
∫ (3x − x + 1)dx = x −
x2
+ x+C
2
2. Izračunati integral
I = ∫ ( x + 1)( x − x + 1)dx
3
2
( x + 1)( x − x + 1) = x x − x x + x + x − x + 1 = x x + 1 = x + 1 ,
3
3
2
3
2
+1
x2
2 5
I = ∫ ( x + 1)dx = ∫ x dx + ∫ dx =
+ x + C = x2 + x + C .
3
5
+1
2
3. Izračunati integral
(1 − x)2
dx
x x
3
1
1
−
−
(1 − x)2 1 − 2 x + x 2 1 2 x x 2
2
2
=
= 3 − 3 + 3 = x − 2x + x 2 ,
3
x x
x2
x2 x2 x2
I =∫
I = ∫( x
−
3
2
− 2x
−
1
2
1
−
3
−
1
1
+ x 2 )dx = ∫ x 2 dx − 2 ∫ x 2 dx + ∫ x 2 dx =
- 165 -
3
− +1
1
− +1
1
+1
1
1
−
x 2
x 2
x2
2 3
=
−2
+
+ C = −2 x 2 − 4 x 2 + x 2 + C .
3
1
1
3
− +1
− +1
+1
2
2
2
4. Izračunati integral
I =∫
(1 + x )3
dx .
3
x
Kako je
1
1
3
1
(1 + x )3 (1 + x 2 )3 1 + 3x 2 + 3 x + x 2
1
x2
3
=
=
=
+
+
1
1
1
1
3
x
x3
x3
x3
x3
+3
x
x
−
1
3
+
x
x
1
3
3
2
1
3
1
6
−
1
3
1
6
2
3
7
6
= x + 3x + 3x + x ,
2
3
7
6
1
− +1
x 3
I = ∫ x dx + 3 ∫ x dx + 3 ∫ x dx + ∫ x dx =
+
1
− +1
3
1
2
+1
+1
7
+1
x6
x3
x6
3 2 18 7 9 5 6 13
+3
+3
+
+ C = x 3 + x 6 + x 3 + x 6 + C.
1
2
7
2
7
5
13
+1
+1
+1
6
3
6
5. Izračunati integral
I = ∫ tg 2 xdx.
Kako je
sin 2 x 1 − cos 2 x
1
=
=
− 1,
2
2
cos x
cos x
cos 2 x
1
dx
I = ∫ ( 2 − 1) dx = ∫
− ∫ dx = tgx − x + C .
cos x
cos 2 x
tg 2 x =
- 166 -
Metode integracije
Metod zamene ili metod smene promenljivih
Neka je f ( g ( x )) složena diferencijabilna funkcija na intervalu ( c , d ) i neka je
g monotona i diferencijabilna funkcija na intervalu ( a , b ) , pri čemu vrednost
g ( x ) pripada intervalu ( c , d ) . Tada važi sledeća relacija
∫ f ( x)dx = ∫ f [ g (t )] g '(t )dt ,
−1
gde posle integracije treba zameniti t = g ( x) .
Ovo pravilo omogućava da ako je f funkcija neke složene funkcije po x da se
uvede smena x = g (t ) , odnosno dx = g '(t ) dt , čime se dobio tablični integral.
Nakon izračunavanja ovog integrala primenjuje se inverzna operacija, odnosno
t se izražava u funkciji od x(t = g −1 ( x)) .
Primeri sa rešenjima:
6. Izračunati integral
I = ∫ sin 5 x ⋅ cos x dx
Uvodimo smenu
t = sin x ⇒ dt = cos x dx ,
1
1
I = ∫ t 5 dt = t 6 + C = sin 6 x + C .
6
6
7. Izračunati integral
I =∫
xdx
1 + x2
t = 1 + x 2 ⇒ dt = 2 xdx ⇒ xdx =
I=
1
dt ,
2
1 dt 1
1
∫ = ln t + C = ln(1 + x 2 ) + C .
2 t
2
2
8. Izračunati integral
I =∫
dx
.
a + x2
2
Prvo vršimo identičku transformaciju podintegralne funkcije
- 167 -
I =∫
dx
a 2 (1 +
2
x
)
a2
=
1
dx
∫
2
a 1 + ( x )2
a
a zatim uvodimo smenu
x
1
⇒ dt = dx ⇒ dx = adt ,
a
a
1 adt
1 dt
1
1
x
I= 2∫
= ∫
= arc tg t + C = arc tg + C .
2
2
a 1+ t
a 1+ t
a
a
a
t=
9. Izračunati integral
I =∫
dx
2
=∫
dx
2
=
1
∫
a
dx
, (a > 0).
x 2
1
x
1− ( )
(1 − 2 )
a
a2
a
x
1
t = ⇒ dt = dx ⇒ dx = adt ,
2
a
1 adt
x
I= ∫
= arcsin t + C = arcsin + C.
a 1− t2
a
a −x
2
10. Izračunati integral
I =∫
xdx
⋅
1 + x4
t = x 2 ⇒ dt = 2 xdx ⇒ xdx =
I=
1
dt ,
2
1 dt
1
1
∫
= arc tg t + C = arc tgx 2 + C .
2
2 1+ t
2
2
11. Izračunati integral
I = ∫ a 2 − x 2 dx , ( a > 0).
x
x = a sin t ⇒ dx = a cos t dt i t = arcsin ,
a
2
a
I = ∫ a 2 − a 2 sin 2 t ⋅ a ⋅ cos t ⋅ dt = a 2 ∫ cos 2 t dt = ∫ (1 + cos 2t )dt =
2
2
2
a
1
a
x x 2
= (t + sin 2t ) + C = arcsin +
a − x2 + C .
2
2
2
a 2
- 168 -
12. Izračunati integral
I = ∫ xeax dx .
2
1
dt ,
2a
1
1 t
1 t
1 ax 2
I = ∫ et ⋅
dt =
∫ e dt =
e +C =
e +C
2a
2a
2a
2a
t = ax 2 ⇒ dt = 2ax dx ⇒ x dx =
I = x 2e x − 2 I1 = x 2e x − 2( xe x − e x + C ) = x 2 e x − 2 xe x + 2e x + C =
= e x ( x 2 − 2 x + 2) + C.
Metod parcijalne integracije
Neka su funkcije f1 I f 2 diferencijabilne funkcije na intervalu ( a , b ) I neka
postoji neodređeni integral ∫ f1 ( x) f 2 '( x)dx . Tada na intervalu ( a , b ) postoji I
neodređeni integral ∫ f 2 ( x) f '1 ( x)dx I važi sledeće tvrđenje
∫ f 2 ( x) f '1 ( x)dx = f1 ( x) f 2 ( x) − ∫ f1 ( x) f '2 ( x)dx
Ako obeležimo sa
u = f ( x) v = f 2 ( x) onda
možemo ovo pravilo zapisati
∫ vdu = u ⋅ v − ∫ udv .
Dokaz:
Treba poći od izvoda proizvoda funkcija f1 i f 2
( f1 ( x) f 2 ( x)) ' = f '1 ( x) f 2 ( x) + f1 ( x) f '2 ( x)
odnosno
( f1 ( x) f 2 ( x)) '− f1 ( x) f '2 ( x) = f '1 ( x) f 2 ( x)
Sada se može izvršiti integracija gornje jednakosti i dobija se
∫ f 2 ( x) f '1 ( x)dx = ∫ ( f1 ( x) f 2 ( x)) ' dx − ∫ f1 ( x) f '2 ( x)dx .
Potrebno je izračunati integral ∫ ( f1 ( x) f 2 ( x)) ' dx . Koristeći osnovne osobine
neodređenih integrala dobija se
∫ ( f1 ( x) f 2 ( x)) ' dx = f1 ( x) f 2 ( x)
i zamenom u dobijenu jednakost sledi
- 169 -
∫ f 2 ( x) f '1 ( x)dx = f1 ( x) f 2 ( x) − ∫ f1 ( x) f '2 ( x)dx
čime je pravilo br. 4 dokazano.
Primeri sa rešenjima:
13. Izračunati integral
I = ∫ ln xdx.
1
dx i dv = dx ⇒ v = x , pa je (1)
x
1
I = ∫ ln xdx = x ⋅ ln x − ∫ x ⋅ dx = x ln x − x + C = x (ln x − 1) + C .
x
u = ln x ⇒ du =
14. Izračunati integral
I = ∫ x ⋅ sin xdx.
u = x ⇒ du = dx i dv = sin x ⋅ dx ⇒ v = − cos x ,
I = − x ⋅ cos x − ∫(− cos x)dx = − x ⋅ cos x + ∫ cos xdx = − x cos x + sin x + C
15. Izračunati integral
I = ∫ arc tgx dx.
1
dx i dv = dx ⇒ v = x ,
1 + x2
xdx
1
I = x arc tgx − ∫
= x arc tgx − ln(1 + x 2 ) + C
2
1+ x
2
u = arc tgx ⇒ du =
16. Izračunati integral
I = ∫ x2e x dx.
u = x 2 ⇒ du = 2 xdx i dv = e x dx ⇒ v = e x ,
I = x 2e x − ∫ e x 2 xdx = x 2e x − 2 ∫ xe x dx = x2e x − 2 ∫ xe x dx.
Da bi izračunali integral
I1 = ∫ xe x dx
primenićemo ponovo metodu parcijalne integracije
u1 = x ⇒ du1 = dx i dv1 = e x dx ⇒ v1 = e x ,
I1 = xe x − ∫ e x dx = xe x − e x + C ,
- 170 -
17. Izračunati integral
I = ∫ ( x 2 + 7 x − 5) cos 2 xdx.
u = x 2 + 7 x − 5 ⇒ du = (2 x + 7)dx
1
dv = cos 2 xdx ⇒ v = sin 2 x ,
2
1
1
I = ( x 2 + 7 x − 5) sin 2 x − ∫ (2 x + 7) sin 2 xdx .
2
2
Da bi izračunali integral
1
I1 = ∫ (2 x + 7) sin x 2 xd
2
primenimo još jednom parcijalnu integraciju
1
1
(2 x + 7) ⇒ du1 = dx i dv1 = sin 2 xdx ⇒ v1 = − cos 2 x,
2
2
1
−1
−1
I1 = (2 x + 7) cos 2 x − ∫ cos 2 xdx ⇒
2
2
2
1
−1
1
⇒ I1 = (2 x + 7) cos 2 x + sin 2 x + C , I = ( x 2 + 7 x − 5) sin 2 x − − I1 ⇒
2
4
4
sin
2
x
cos
2
x
I = (2 x 2 + 14 x − 11)
+ (2 x + 7)
+ C.
4
4
u1 =
18. Izračunati integrale
I1 = ∫ eax cos bxdx i I 2 = ∫ eax sin bxdx.
Primenom metode parcijalne integracije na prvi integral biće
1
u = c ax ⇒ du = aeax dx i dv = cos bxdx ⇒ v = sin bx,
b
1 ax
a ax
1 ax
a
I1 = e sin bx − ∫ e sin bxdx ⇒ I1 = e sin bx − I 2 ⇒
b
b
b
b
ax
bI1 + aI 2 = e sin bx.
Primenjujući metodu parcijalne integracije na integral I 2 dobijamo
−1
cos bx,
b
−1 ax
a
−1 ax
a
I2 =
e cos bx + ∫ e ax cos bxdx ⇒ I 2 =
e cos bx + I1 ⇒
b
b
b
b
ax
aI1 − bI 2 = e cos bx.
u = eax ⇒ du = aeax dx i dv = sin bxdx ⇒ ve
Rešavanjem sistema jednačina po I1 i I 2 biće konačno
- 171 -
I1 =
eax (b sin bx + a cos bx)
eax (a sin bx − b cos bx)
+
C
I
=
+ C.
i
2
a 2 + b2
a 2 + b2
19. Izračunati integral
J = ∫ a 2 − x 2 dx.
u = a 2 − x 2 ⇒ du =
dv = dx ⇒ v = x
J = x a2 − x2 − ∫
−2 xdx
2 a −x
2
− x2
a −x
2
2
2
=
−x
dx,
a2 − x2
dx = x a 2 − x 2 − ∫
J = x a 2 − x 2 − ∫ a 2 − x 2 dx + a 2 ∫
dx
a −x
2
2
− x2 + a2 − a2
a −x
2
2
⇒ J = x a2 − x2 −
x
x
+ C ⇒ 2 J = x a 2 − x 2 + a 2 arc sin + C ,
a
a
1
1
x
J = x a 2 − x 2 + a 2 arcsin + C .
a
2
2
− J + a 2 arc sin
- 172 -
dx ⇒
9.4. INTEGRACIJA RACIONALNIH FUNKCIJA
METOD OSTROGRADSKOG
Racionalne funkcije su količnici dva polinoma
R( x) =
Pm ( x)
.
Qn ( x)
Polinom Pm(x) je stepena m i Qn (x) stepena n. Ako je m< n racionalna funkcija
je prava a ako je m ≥ n onda se ona zove neprava. Naravno da se neprave
mogu uvek zapisati kao zbir jednog polinoma i prave racionalne funkcije i zbog
toga ćemo se zadržati na integraciji pravih racionalnih funkcija.
P ( x)
pretpostavićemo da je m<n. Pri tome se polinom
Dalje u izrazu m
Qn ( x)
u imeniocu može rastaviti na faktore:
Qn ( x ) = ( x − a ) α
( x − b)β ( x 2 + px + q ) δ
( x 2 + rx + s ) γ
gde su a, ..., b realni koreni a koreni kvadratnih trinoma x2+px+q,... x2+rx+s su
konjugovano-kompleksni i pri tome je
α+
Za integraciju takvog izraza
+ β + 2δ +
∫ R( x)dx
Ostrogradski je predložio sledeću metodu
Pm ( x)
∫ Q ( x)dx = ( x − a)
α−1
n
+ A∫
dx
+
x−a
+ B∫
( x − b)
+ 2γ = n
β−1
p( x)
( x + px + q )δ−1
2
dx
Cx + D
+∫ 2
dx +
x−b
x + px + q
( x 2 + rx + s ) γ−1
+∫
+
EX + F
dx
x + px + q
2
gde je p(x) polinom sa nepoznatim koeficijentima čiji red je za jedan manji od
polinoma u imeniocu prvog sabirka desne strane i naravno A,..., B,..., E i F su
nepoznati koeficijenti. Oni se dobijaju diferenciranjem prethodne relacije i
izjednačavanjem leve i desne strane i korišćenjem stava da su dva polinoma
jednaka ako imaju iste koeficijente uz odgovarajuće stepene.
- 173 -
Naravno, ostaje potom da se reše još i dva tipa integral
1)
dx
∫ x − a = ln x − a + c i
2) I = ∫
AX + B
dx koji se rešava svođenjem imenioca na sledeći oblik tj.
x + px + q
2
p2
p⎞ ⎛
p2 ⎞
⎛
x + px + q = ⎜ x + ⎟ + ⎜ q −
⎟ pri čemu je q −
4
2⎠ ⎝
4 ⎠
⎝
2
2
0 (jer su koreni
trinoma x2+px+q konjugovano-kompleksni) i uvođenjem smene x +
a2 = q −
p2
dobijamo
4
p⎞
⎛
A⎜ t − ⎟ + B
tdt
Ap ⎞
dt
2
⎛
+⎜B−
=
I = ∫ ⎝ 2 ⎠2
dt = A∫ 2
⎟∫ 2
2
t +a
t +a ⎝
2 ⎠ t + a2
Ap
1
B−
x+
A
2 arctg
2 +C
= ln ( x 2 + px + q ) +
2
p2
p2
q−
q−
4
4
Primer 8:
Naći I = ∫
dx
x ( x 2 + 1) 2
2
Rešenje:
Primenimo formulu Ostrogradskog
I=
ax 2 + bx + c
A
Bx + C
+ ∫ dx + ∫
.
2
x
x ( x + 1)
Diferencijacijom dobijamo
- 174 -
p
=t i
2
1
x ( x + 1)
2
2
2
=
( 2ax + b ) ( x3 + x ) − ( 3x 2 + 1)( ax 2 + bx + c )
x
2
(x
2
+ 1)
2
+
odnosno
2ax4+bx3+2ax2+bx-3ax4-3bx3-3cx2-ax2-bx-c+
+Ax5+2Ax3+Ax+Bx5+Bx3+Cx4+Cx2≡1,
odakle je
A+B=0
C-a=0
2A+B-2b=0
a-3c+C=0
A=0
-c=1
A=0
B=0
b=0
C=a= −
c=-1
odnosno
3 2
x +1
3 dx
3 x
I =− 2 2
− ∫ 2
=−
.
2 x2 + 1
x ( x + 1) 2 x + 1
- 175 -
3
2
A Bx + C
+ 2
,
x
x +1
9.5. INTEGRACIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
Rešavamo integrale oblika: ∫ R ( sin x,cos x ) dx
Pretpostavka je da je R(sinx,cosx) racionalna funkcija sa dve promenljive
(količnika dva polinoma sa sinx i cosx kao promenljivima).
Kod ovakvog zadatka prelazimo na integraciju racionalne funkcije
x
2t
2dt
1− t2
cos
=
x
smenom t = tg
i dobijamo sin x =
,
i dx =
. U
2
2
1+ t
1+ t2
2
1+ t
slučaju da je:
1) R(-sinx,cosx)=-R(sinx,cosx) može se primeniti i smena cosx=t;
2) R(sinx,-cosx)=-R(sinx,cosx) može se primeniti i smena sinx=t;
3) R(-sinx,-cosx)=R(sinx,cosx) može se primeniti i smena tgx=t za
dobijanje racionalne funkcije.
Napomenimo da se u ova tri zadnja slučaja dobijaju prostije racionalne
funkcije za integraciju.
Primer 9:
Naći I = ∫
sin xdx
2 + cos x
Rešenje:
Pošto je funkcija neparna po sinx, ako uvedemo smenu cosx=t dobijamo sinxdx=dt i
dt
I = −∫
= − ln 2 + t + c = − ln 2 + cos x + c .
2+t
x
Ako primenimo smenu tg = t dobijamo
2
2t 2dt
x
1 + tg 2
2
2
4tdt
1+ t2
+
+
t
t
1
1
2
=∫
= ln
+ C = ln
+C
I =∫
2
1− t2
3 + t2
1 + t 2 )( 3 + t 2 )
2 x
(
2+
3 + tg
1+ t2
2
a ovaj slučaj je znatno komplikovaniji.
- 176 -
9.6. INTEGRACIJA ALGEBARSKIH IRACIONALNOSTI
p1
pr
⎛
q1
qr
ax
b
ax
b
+
+
⎛
⎞
⎛
⎞
, . . . ,⎜
Funkcije oblika R ⎜ x, ⎜
⎟
⎜ ⎝ cx + d ⎟⎠
⎝ cx + d ⎠
⎝
⎞
⎟ , gde je ad-bc≠0 se
⎟
⎠
nazivaju algebarskim iracionalnostima (R je racionalna funkcija). Integrali ove
funkcije se prevode u integraciju racionalnih funkcija uvođenjem smene
ax + b N
= t , gde je N najmanji zajednički sadržalac brojeva q1,..., qr.
cx + d
Primer 10:
Naći I = ∫
2
xdx
1+ 3 x
Rešenje:
Ovde je očigledno a=1, b=0, c=0, d=1 i posle uvođenja smene x=t6 dobijamo:
t 8 dt
dt
= 6∫ t 6 dt − 6 ∫ t 4 dt + 6 ∫ t 2 dt − 6 ∫ dt + 6∫
=
2
1+ t
1+ t2
t7
t5
t3
=6 − 6 + 6 − 6t + 6arctgt + c
7
5
3
Nekoliko napomena:
pomenuto je da neke elementarne funkcije nemaju primitivnu funkciju među
elementarnim funkcijama. Među njima ima i jako važnih funkcija (i važnih
njihovih integrala). Navedimo neke od njih:
I = 6∫
e− x ,
2
sin x cos x 1 e x
,
,
,
,...
ln x x
x
x
- 177 -
9.7. PRIMENA INTEGRALNOG RAČUNA
Funkcija troškova
Ako nam je poznata funkcija graničnih troškova C ' = F '( x ), onda ćemo
funkciju ukupnih troškova dobiti preko integrala te funkcije po promenljivoj x :
C = ∫ C '( x )dx = ∫ F '( x)dx .
Primer sa rešenjem:
25. Funkcija graničnih troškova C ' =
troškova iz uslova C (0) = 700
x
+ 50 . Odrediti funkciju ukupnih
20
x
+ 50
20
dC
x
=
+ 50
dx 20
⎛ x
⎞
dC = ⎜ + 50 ⎟ dx
⎝ 20
⎠
⎛ x
⎞
∫ dC = ∫ ⎜⎝ 20 + 50 ⎟⎠ dx
C'=
x2
C=
+ 50 x + A
40
C (0) = 700
A = 700
x2
C=
+ 50 x + 700
40
Funkciju prihoda
Funkciju ukupnih prihoda iz funkcije graničnih prihoda dobijamo preko
integrala:
- 178 -
Px =
Pp =
∫P
∫P
'
( x)
dx;
'
( p)
dp.
Primer sa rešenjem:
26. Poznata je funkcija graničnih prihoda P ' = 16 − 4 x . Pronaći funkciju
ukupnih prihoda.
x
x
0
0
P = ∫ P ' dx = ∫ (16 − 4 x)dx = 16 x − 2 x 2
KLJUČNI POJMOVI:
•
•
•
NEODREĐENI INTEGRAL
PRIMITIVNE FUNKCIJE
PARCIJALNA INTEGRACIJA
•
METOD INTEGRACIJE
- 179 -
10. ODREĐENI INTEGRAL
SADŽAJ OVOG POGLAVLJA JE:
• OSNOVNI POJMOVI VEZANI ZA ODREĐENI INTEGRAL
• OSNOVNE TEOREME
• NESVOJSTVENI INTEGRAL
• PRIMENA ODREĐENOG INTEGRALA
Cilj nam je da ovaj račun uvedemo preko:
1. Definicije.
2. Pravila i osobina.
3. Geometrijske interpretacije.
4. Metoda integracije.
10.1. OSNOVNI POJMOVI VEZANI ZA ODREĐENI INTEGRAL
U ovom odeljku se daje definicija i osnovna pravila vezana za pojam
određenog integrala.
Pre definicije određenog integrala funkcije potrebno je uvesti pojam
integralnog zbira funkcije.
Definicija integralnog zbira funkcije
Neka je f definisana i ograničena na intervalu [a, b], i neka se ovaj interval
podeli na n parcijalnih intervala
[x0, x1], [x1, x2], ..., [xk-1, xk], ..., [xn-1, xn],
pri čemu važe sledeće relacije
a = x0, b = xn, a < x1 < x2 < ... < xk-1 < xk < ... < xn-1 < b.
Neka je lk, k = 1, n , dužina intervala, t.j. lk = xk - xk-1, i neka je ξk proizvoljna
tačka koja pripada intervalu [xk-1, xk]. Ako važe svi navedeni uslovi tada se zbir
f(ξ1)l1 + f(ξ2)l2 + ... + f(ξk-1)lk-1 + f(ξk)lk + ... + f(ξn-1)ln-1 + f(ξn)ln
naziva integralni zbir funkcije f na intervalu [a, b].
Iz definicije integralnog zbira funkcije može se uočiti da vrednost zbira zavisi od
više parametara (od broja parcijalnih intervala, načina podele glavnog intervala
na parcijalne, izbora proizvoljne tačke iz parcijalnog intervala). Ova osobina
integralnog zbira funkcije se koristi pri definiciji određenog integrala funkcije.
- 180 -
Definicija određenog integrala funkcije
Neka je f definisana i ograničena na intervalu [a, b]. Ako za svaku podelu x0 < x1
< x2 < ... < xk-1 < xk < ... < xn-1 < xn intervala [a, b] i svaki izbor tačaka ξ1, ξk, ..., ξk,
..., ξn, koje zadovoljavaju uslov da je ξk proizvoljna tačka koja pripada intervalu
lk =[xk-1, xk], postoji uvek ista granična vrednost
n
lim ∑ f (ξ k )l k
l →0
k =1
tada se ova granična vrednost naziva određenim integralom funkcije f na
intervalu [a, b] i označava se sa
b
∫ f ( x)dx .
a
Za funkciju koja ima određeni integral na intervalu [a, b] kaže se da je
integrabilna na tom intervalu, f se naziva podintegralnom funkcijom, x je
integraciona promenljiva, interval [a, b] se naziva oblast integracije, dok je a
donja, a b gornja granica određenog integrala.
Da li je neka funkcija integrabilna može se ustanoviti na osnovu njenih osobina:
• svaka neprekidna funkcija na određenom segmentu, integrabilna je na
tom segmentu,
• svaka monotona i ograničena funkcija na određenom segmentu,
integrabilna je na tom segmentu,
• ako je funkcija ograničena i ima konačan broj prekida na određenom
segmentu, tada je funkcija integrabilna na tom segmentu,
• ako se određeni interval može podeliti na konačno mnogo intervala u
kojima je funkcija monotona i ograničena, tada je funkcija integrabilna
na tom segmentu.
Određeni integral ima veliku ulogu u određivanju površina figura
nepravilnog oblika. Neka je data neprekidna i nenegativna funkcija na intervalu
[a, b], koja sa krivom svog grafika, ordinatama u tačkama a i b i x osom čini, u
opštem slučaju, figuru nepravilnog oblika, koja se naziva i krivolinijski trapez
(sl.14). Izračunavanje površine krivolinijskog trapeza, ako nije u pitanju neki
osnovni geometrijski oblik nije jednostavan problem. On se rešava tako što se
posmatrani interval podeli na određeni broj podintervala. Iz neprekidnosti
funkcije zaključuje se da na svakom podintervalu postoje tačke u kojima
funkcija na podintervalu dostiže najmanju vrednost. Pomoću ovih tačaka
dobijaju se dva pravougaonika, opisani i upisani, od kojih jedan ima veću ili
jednaku površinu od površine posmatranog dela krivolinijskog trapeza, a drugi
pravougaonik ima manju ili jednaku površinu. Sabiranjem površina svih
- 181 -
upisanih, odnosno opisanih površina dobijamo dve sume. Ako postoje granične
vrednosti ovih suma, kada broj podeljenih podintervala teži beskonačnosti, i
ako se te vrednosti jednake, tada je površina krivolinijskog trapeza jednaka
dobijenoj vrednosti.
sl.14.
Geometrijska interpretacija određenog integrala
Neka je data neprekidna i nenegativna funkcija f na intervalu [a, b], koja sa
krivom svog grafika, ordinatama u tačkama a, b i x osom čini figuru nepravilnog
oblika. Površina P ove figure nepravilnog oblika je jednaka
b
P=
∫ f ( x)dx
a
Primeri sa rešenjima:
b
1. Izračunati integral
∫ xdx.
a
Kako je funkcija f ( x ) = x neprekidna na konačnom intervalu [ a, b] , ona je
integrabilna na [ a, b] . Izračunavanje ovog integrala izvršićemo u četiri koraka.
1o
Neka je δ proizvoljna podela segmenta [ a, b] na n parcijalnih
segmenata:
2o
[ x0 = a, x1 ] , [ x1 , x2 ] ,...., [ xi −1 , xi ] ,...., [ xn−1 , xn = b].
Izbor tačaka ξi izvršićemo tako da je ξ i =
- 182 -
xi −1 + xi
.
2
3o
Formiranje integralne sume: f (ξi ) = ξi , tada je
n
xi −1 + xi
x 2 − x 2i − 1
( xi − xi −1 ) = ∑ i
=
2
2
i =1
i =1
i =1
1
1
1
1
= ( xi 2 − x0 2 ) + ( x2 2 − x12 ) + ... + ( xn 2 − x 2 n −1 ) = (b 2 − a 2 )
2
2
2
2
n
n
σ = ∑ f (ξi )Δxi = ∑
4o
Određivanje granične vrednosti integralne sume
σ
1
1
lim σ = lim (b 2 − a 2 ) = (b 2 − a 2 ).
λ →0
λ →0 2
2
Prema tome,
b
1
∫ xdx = 2 (b
2
− a2 ) .
a
a
2. Izračunati integral
∫ x dx, (a > 0).
2
0
Funkcija f ( x) = x
2
konačnom intervalu
neprekidna je na skupu R , pa je takva i na svakom
[0, a ] .
Prema tome, ona je i integrabilna na
[0, a ] .
Izračunavanje određenog integrala date funkcije f izvršićemo u sledeća četiri
koraka:
1o
Δxi =
2o
Interval
[0, a ]
podelićemo na n jednakih delova, čije su dužine
a
.
n
Tačke ξi izabraćemo tako da je ξi = xi −1 , zbog čega je
ξ i = xi −1 = x0 + (i − 1) Δxi = (i − 1) Δxi = (i − 1)
a
n
2
a⎤
⎡
f (ξi ) = ξi 2 = ⎢ (i − 1) ⎥ .
n⎦
⎣
3o
Integralna suma je
n
σ =∑
i =1
2
a⎤ a
a n
⎡
f (ξ i ) Δxi =∑ ⎢ (i − 1) ⎥ ⋅ = ( )3 ∑ (i − 1) 2 =
n⎦ n
n i =1
i =1 ⎣
n
a
= ( )3 ⎡⎣12 + 22 + ... + ( n − 1) 2 ⎤⎦ .
n
- 183 -
Koristeći formulu za zbir kvadrata prvih n prirodnih brojeva
a3n(n − 1)(2n − 1)
n(n + 1)(2n + 1)
.
, σ=
6
6n 3
i =1
Kako je data funkcija integrabilna na [ 0, a ] , to znači da postoji
n
∑k2 =
4o
granična vrednost njene integralne sume, koja je po definiciji vrednost
određenog integrala funkcije f , tj.
a
a 3 n(n − 1)(2n − 1) a 3
= .
n →0
6n 2
3
2
∫ x dx = lim σ = lim
λ →0
0
Da bi proces izračunavanja određenog integrala bio jednostavniji postoje
određena pravila. U daljem tekstu su data osnovna pravila za izračunavanje
određenog integrala. Uz svako pravila važi pretpostavka da su funkcije
integrabilne na posmatranom intervalu.
Osobine određenog integrala
Ako je a > b, tada je
b
a
a
b
∫ f ( x)dx = − ∫ f ( x)dx .
b
Ako je a = b, tada je
∫ f ( x)dx = 0 .
a
Neka je dat realan broj c, tada je
b
b
a
a
∫ cf ( x)dx = c ∫ f ( x)dx .
Neka su f i g integrabilne funkcije, tada je
b
b
b
a
a
a
∫ [ f ( x) + g ( x)]dx = ∫ f ( x)dx + ∫ g ( x)dx .
Neka je c tačka koja pripada posmatranom intervalu, tada je
b
∫
a
c
b
f ( x)dx = ∫ f ( x )dx + ∫ f ( x ) dx .
a
c
- 184 -
(sl. 15.).
sl. 15.
Ako je funkcija integrabilna i pozitivna na posmatranom intervalu, tada je
b
∫ f ( x)dx > 0 .
a
Ovo pravilo se analogno može primeniti i na negativnu funkcije, pri čemu bi
određeni integral bio, takođe, negativan.
Ako je f(x) ≤ g(x), gde je x tačka koja pripada posmatranom intervalu, tada je
b
b
a
a
∫ f ( x)dx ≤ ∫ g ( x)dx .
I ovo pravilo se može analogno primeniti za slučaj da je f veća ili jednaka od g
na posmatranom intervalu.
Ako je f integrabilna na posmatranom intervalu, tada je i f integrabilna na
b
istom intervalu i važi
b
∫
f ( x ) dx ≤ ∫ f ( x ) dx .
a
a
Upotrebom navedenih pravila i osnovnih teorema koje će biti navedene u
sledećem odeljku definiše se izračunavanje određenog integrala.
- 185 -
10.2. OSNOVNE TEOREME VEZANE ZA ODREĐENI INTEGRAL
U ovom odeljku su date osnovne teoreme koje služe za izračunavanje
određenih integrala i predstavljaju neke od najvažnijih teorema integralnog
računa.
Teorema o vrednosti prve formule o srednjoj vrednosti određenog integrala
Ako je funkcija f integrabilna na intervalu [a, b], i ako za svako x koje pripada
ovom intervalu važi da je f(x) ≥ m, odnosno f(x) ≤ M, gde su m i M donja i
gornja granica funkcije f, na posmatranom intervalu, tada postoji broj α, takav
da je m ≤ α ≤ M i važi
b
∫ f ( x)dx = α (b − a)
a
Dokaz: Iz uslova da je α broj takav da je m ≤ α ≤ M, može se zaključiti da važi
b
b
b
a
a
a
∫ mdx ≤ ∫ f ( x)dx ≤ ∫ Mdx ,
Koristeći ranije navedenu teoremu, sledi
b
m(b − a ) ≤ ∫ f ( x ) dx ≤ M (b − a ) , m ≤
a
b
1
f ( x )dx ≤ M .
b − a ∫a
Znači postoji broj
α=
b
1
f ( x)dx
b − a ∫a
koji zadovoljava sve uslove teoreme, čime je teorema dokazana.
Iz prethodne teoreme se izvodi :
Teorema o srednjoj vrednosti određenog integrala
Ako je funkcija f integrabilna na intervalu [a, b], tada postoji tačka ξ koja
pripada posmatranom intervalu i za koju važi
b
∫ f ( x)dx =
f (ξ )(b − a )
a
Dokaz: Koristeći prethodno dokazanu teoremu i činjenicu da je funkcija f
neprekidna na posmatranom intervalu, tada postoji tačka ξ tako da je f(ξ) = α,
pa se zamenom u prethodnu teoremu dobija
- 186 -
b
∫ f ( x)dx =
f (ξ )(b − a ) ,
a
što je i trebalo dokazati.
Navedena teorema ima i svoju geometrijsku interpretaciju. Za funkciju f koja je
pozitivna na nekom intervalu [a, b], površina krivolinijskog trapeza nad
posmatranim intervalom je jednaka površini pravougaonika čije su stranice (b –
a) i f(ξ).
Teorema o srednjoj vrednosti određenog integrala je veoma bitna, jer
omogućava da se odredi veza između određenog i neodređenog integrala.
Teorema o vezi određenog i neodređenog integrala – Njutn-Lajbnicova
formula
Ako je funkcija f integrabilna na intervalu [a, b], i za svaku tačku ovog intervala
važi da je F'(x) = f(x), gde je F primitivna funkcija funkcije f, tada važi
b
∫ f ( x)dx = F (b) − F (a)
a
Dokaz: Definiše se funkcija F1 kao primitivna funkcija funkcije f na sledeći način
x
F1 ( x ) = ∫ f (t ) dt ,
a
gde x pripada intervalu [a, b]. F i F1 su obe primitivne funkcije funkcije f, pa se
razlikuju za konstantu
x
∫ f (t )dt = F ( x) + α ,
a
gde je α konstanta za koju se dve primitivne funkcije razlikuju. Ako se x zameni
sa a u prethodnoj jednakosti i iskoriste osnovna pravila za izračunavanje
određenog integrala, dobija se
a
∫ f (t )dt = F (a) + α = 0 ,
a
Dakle α = − F ( a ) . Zamenom dobijene vrednosti α u prethodnoj jednakosti
dobija se
x
∫ f (t )dt = F ( x) − F (a) ,
a
zamenom x = b,
- 187 -
b
∫ f ( x)dx = F (b) − F (a)
a
čime je teorema dokazana.
Prethodna teorema omogućava u slučajevima kada je poznata primitivna
funkcija integrabilne funkcije, da se njen određeni integral na nekom intervalu
ne mora izračunavati kao granična vrednost integralnog zbira funkcije, već je
dovoljno obrazovati razliku vrednosti primitivne funkcije na krajevima intervala
integracije. Na taj način uspostavljena je veza između određenog i
neodređenog integrala.
Primeri sa rešenjima:
3. Oceniti integral
π
2
I = ∫ 1 + cos 2 x
π
4
Treba odrediti maksimum i minimum funkcije f ( x ) = 1 + cos 2 x na
π
⎡π π ⎤
. m = min f ( x ) = f ( ) = 1,
⎥
2
⎣4 2⎦
π
6
M = max f ( x) = f ( ) =
4
2
π 6
π π
≤I≤
.
Kako je dužina segmenta b − a = ,
8
4 4
segmentu integracije ⎢ ,
4. Odrediti izvod po promenljivoj x funkcije
x
F ( x) =
∫ cos t dt.
2
0
Ova funkcija data je u obliku integrala i ona je složena funkcija po promenljivoj
x . Uvođenjem smene
u
x = u,
∫ cos(t
2
)dt = G (u ) ,
0
možemo funkciju F pisati u obliku:
F ( x) = G (u ),
- 188 -
u = x.
Prema tome, treba tražiti izvod složene funkcije F ( x) = G ( x ) . Kako je
G '(u ) = cos(u 2 ),
u' =
1
,
2 x
1
cos x
=
.
F '( x) = G '(u ) ⋅ u ' = cos(u 2 ) ⋅
2 x 2 x
5. Primenom Njutn-Lajbnicove formule izračunati integral
1
dx
.
1 + x2
−1
I=∫
1
π
π π
dx
=
arc
tg
x
= arc tg 1 − arc tg (−1) = − (− ) = .
∫−1 1 + x2
−1
4
4
2
1
Pri razmatranju neodređenog integrala uvedeni su pojmovi smene
promenljivih i parcijalne integracije. Primenu ovih pojmova kod određenih
integrala objašnjavaju teoreme koje slede.
Teorema o smeni promenljivih kod određenog integrala
Neka je funkcija f neprekidna na intervalu [a, b] i neka x = g(t) ima neprekidan
izvod na intervalu [c, d], gde su c i d tačke koje ispunjavaju sledeće uslove g(c)
= a i g(d) =b, i za svako t ∈ [ c, d ] , g (t ) ∈ [ a, b ] , tada važi
b
b
a
a
∫ f ( x)dx = ∫ f [ g (t )]g ' (t )dt .
Teorema o parcijalnoj integraciji određenog integrala
Neka funkcije u = u ( x ) i v = v ( x ) imaju neprekidne izvode na intervalu [a, b],
tada važi
b
b
a
a
∫ udv = u (b)v(b) − u (a)v(a) − ∫ vdu .
- 189 -
Primeri sa rešenjima:
6. Izračunati:
a)
b)
∫
π /2
0
x sin xdx =
π /2
x =u
du = dx
= ( −x cos x) π0 / 2 + ∫ cos xdx
0
sin xdx = dv v = − cos x
π
⎛π
⎞
= − ⎜ cos − 0 cos 0 ⎟ + sin x π0 / 2 = sin π 2 − sin 0 = 1
2
⎝2
⎠
e −1
e
x +1 = t
x=0
t =1
ln
1
ln t dt =
x
+
dx
=
=
(
)
∫0
dx = dt
x = e − 1 t = e ∫1
dt
e
du =
ln t = u
dt
e
=
2 = ( t ln t ) |1 − ∫1 t
t
dt = dv
v=t
= e ln e − 1ln1 − t
e
1
= e − ( e − 1) = e − e + 1 = 1
1
∫
7. Izračunati integral I = x 3 arc tg xdx.
0
x4
dx
v
=
i
4
1 + x2
1
1
1
4
4
x
1 x dx π 1 2
1
J = ∫ x3arctg xdx = arctg x |10 − ∫
)dx
= − ∫ ( x −1 +
2
2
x
x
4
4
1
16
4
1
+
+
0
0
0
u ( x) = arc tg x, dv( x) = x3dx, pa je du =
π
1 x3
1
= − ( − x + arc tg x) |10 = .
16 4 3
6
- 190 -
10.3. NESVOJSTVENI INTEGRAL
U prethodnom odeljku je definisan pojam određenog integrala. U samoj
definiciji oblast integracija je ograničena, korišćen je interval
[a, b] i
integrabilna funkcija je na posmatranom intervalu definisana i ograničena. Ako
integral nije konačan ili ako funkcija nije ograničena na konačnom integralu,
tada ovakve integrale zovemo nesvojstveni integrali i oni moraju biti posebno
definisani. Postoje dve vrste nesvojstvenog integrala, u daljem tekstu se daju
njihove definicije i osobine.
Definicija nesvojstvenog integrala prve vrste
Neka je funkcija f neprekidna na intervalima [a, ∞), (-∞, b], (-∞,∞). Tada su
nesvojstveni integrali prve vrste funkcije f na intervalima [a, ∞), (-∞, b], (∞,∞), sledeće granične vrednosti:
∞
b
∫ f ( x)dx = lim ∫ f ( x)dx ,
b →∞
a
a
b
b
∫ f ( x)dx = lim ∫ f ( x)dx ,
a → −∞
−∞
∞
∫
−∞
f ( x) dx =
∫
a
∞
a
−∞
f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx
a
sl. 21.
Nesvojstveni integral prve vrste se još naziva i nesvojstveni integral u odnosu
na oblast integracije. U prethodnim definicijama ako postoji granična vrednost
- 191 -
tada nesvojstveni integral konvergira, a ako ne postoji, tada taj integral
divergira.
Primer sa rešenjem:
8. Izračunati površinu "beskonačog trapeza", ograničenog krivom y =
pravom x = a ( a > 0) i intervalom [ a, +∞ ) .
+∞
∫
a
1
,
x3
b
dx
dx
1 b
1
1 1
1
=
=
−
lim
lim
(
) = − lim ( 2 − 2 ) = 2 .
3
3
2
∫
b →+∞ x
b →+∞
x
2x a
2 b →+∞ b a
2a
a
Vrednost nesvojstvenog integrala je konačna pa površina ovog
beskonačnog trapeza" iznosi P =
"
1
.
2a 2
Ponekad se konvergencija nekog nesvojstvenog integrala može odrediti bez
određivanja njegove primitivne funkcije, i to na osnovu sledeće teoreme.
Teorema o konvergeniciji dve funkcije
Ako su za svako x ≥ a, funkcije f i g definisane, i ako je za svako takvo x važi g(x)
≥ f(x) ≥ 0, i ako je integral
∞
∫ g ( x)dx , konvergentan, tada je i integral
a
∞
∫ f ( x)dx , konvergentan, i važi relacija
a
∞
∞
a
a
+∞
∫ f ( x)dx ≤ ∫ g ( x)dx .
+∞
Ako je
∫
a
f ( x)dx divergentan onda je i
∫ g ( x)dx
divergentan.
a
Definicija nesvojstvenog integrala druge vrste
Neka je funkcija f neprekidna na intervalu [a, b] i neka funkcija f nije
ograničena u svakoj okolini tačke b, tj. ispunjena je bar jedna od jednakosti
- 192 -
lim f ( x) = +∞ ili lim f ( x) = −∞ ,
x →b − 0
x →b − 0
tada je nesvojstveni integral druge vrste funkcije f na intervalu [a, b] granična
vrednost
b −ε
b
∫
∫
f ( x)dx = lim
ε →0 +
a
f ( x)dx .
a
Nesvojstveni integral druge vrste se još naziva i nesvojstveni integral u odnosu
na podintegralnu funkciju. U prethodnoj definiciji ako postoji granična
vrednost tada nesvojstveni integral konvergira, a ako ne postoji, tada taj
integral divergira.
Analogno se definiše nesvojstveni integral druge vrste u odnosu na tačku a, (sl.
22.) ako funkcija nije ograničena u svakoj okolini tačke a na intervalu [a, b], kao
b
∫
b
f ( x)dx = lim
ε →0 +
a
∫
f ( x)dx .
a +ε
sl. 22.
Ako neprekidna funkcija f nije ograničena u svakoj okolini tačke b na intervalu
[a, b) ∪ (b, c] tada je
b − t1
c
c
∫ f ( x)dx = lim ∫ f ( x)dx + lim ∫ f ( x)dx .
a
t1 → 0 +
t 2 →0 +
a
- 193 -
b +t
Primeri sa rešenjima:
9. "Beskonačnom trapezu", koji je ograničen hiperbolom y =
1
, pravom
x
x = a ( a > 0) i intervalom [ a, +∞ ) , ne možemo dodeliti merni broj jer je
+∞
∫
a
t
dx
= lim (ln x) = lim (ln t − ln a ) = +∞ .
a
t →+∞
x t →+∞
10.4. PRIMENA ODREĐENOG INTEGRALA
b
∫
Videli smo da određeni integral f ( x)dx geometrijski predstavlja merni broj
a
površine krivolinijskog trapeza nad intervalom
[ a, b ] .
U konkretnim
primenama može predstavljati veličinu puta, veličinu rada itd. Uopšte, kada se
mogu formirati sume beskonačno mnogo malih sabiraka, pa postoji granična
vrednost tih suma, tada postoji mogućnost primene određenog integrala.
Izračunavanje površina ravnih figura
Izložićemo nekoliko različitih slučajeva izračunavanja površine ravnih figura.
Neka je funkcija f : [ a, b ] → R integrabilna.
1. Ako je f ≥ 0 , onda se krivolinijski trapez nalazi iznad ose Ox i njegova
površina se definiše kao broj
def b
(1)
P=
∫ f ( x)dx
(sl. 16.)
a
Izraz dP = f ( x ) dx predstavlja elementarnu površinu.
- 194 -
sl. 16.
2. Ako je f ≤ 0 , krivolinijski trapez je ispod ose Ox i tada je vrednost
integrala (1) negativna (sl. 17.). Kako je pak, merni broj površine uvek
pozitivan, to će površina krivolinijskog trapeza u ovom slučaju biti broj
b
(2)
P = ∫ f ( x) dx.
a
Ovu formulu koristićemo i u slučaju kada je funkcija f promenljivog znaka.
sl. 17.
Primer sa rešenjem:
10. Izračunati površinu ravnog lika ograničenog krivom f ( x ) cos x između
ordinata u 0 i
π i segmentom [ 0, π ] (sl. 18.). Prema formuli (2) biće
- 195 -
π
π
2
π
0
π
π
2
π
0
π
P = ∫ cos x dx = ∫ cos x dx + ∫ cos x dx = ∫ cos x dx + ∫ (− cos x)dx =
0
2
π
2
π
= sin x | 2 − sin x |π = 1 − (−1) = 2,
0
2
jer je
⎧
⎡ π⎤
⎪cos x za x ∈ ⎢0, 2 ⎥
⎪
⎣
⎦
cos x = ⎨
⎪− cos x za x ∈ ⎡ π , π ⎤ .
⎢⎣ 2 ⎥⎦
⎪⎩
sl. 18.
3. Kada je ravna figura ograničena linijama y = f ( x ) i y = g ( x ) , tada se
njena površina dobija kao razlika površina krivolinijskih trapeza.
b
b
b
a
a
a
P = ∫ f ( x) dx − ∫ g ( x) dx , tj. P = ∫ [ f ( x) − g ( x) ] dx ,
gde su granice integrala rešenja jednačine f ( x ) = g ( x ) .
f ( a ) = g ( a ) i f (b ) = g (b ) (sl. 19.)
- 196 -
sl. 19.
Primer sa rešenjem:
2 2
2 2
2 2
11. Izračunati površinu elipse b x + a y = a b .
Uvešćemo smene
x = a cos t , y = b sin t ,
odakle je dx = a sin t dt . Sada prema formuli (1) imamo
+a
0
P = 2 ∫ ydx = 2∫ b sin t (− a sin t )dt =
π
−a
π
0
1 − cos 2t
sin 2t π
) = π ab.
dt = ab(t −
0
2
2
0
= −2ab ∫ sin t dt = 2ab ∫
2
π
Za a = b dobijamo kružnicu poluprečnika r = a , pa će površina kruga
biti P = π a 2 = π r 2 . (sl. 20.)
sl. 20.
- 197 -
KLJUČNI POJMOVI:
•
•
•
•
ODREĐENI INTEGRAL
INTERGRABILNA FUNKCIJA
NJUTN-LAJBNICOVA FORMULA
NESVOJSTVENI INTEGRAL
- 198 -
V - GLAVA
ELEMENTI TEORIJE VEROVATNOĆE
SADŽAJ OVOG POGLAVLJA JE:
•
POJAM I VRSTE VEROVATNOĆE
•
POJAM SLUČAJNE PROMENLJIVE
•
OSOBINE SLUČAJNIH PROMENLJIVIH
•
VRSTE SLUČAJNIH PROMENLJIVIH
•
PRIMENE SLUČAJNIH PROMENLJIVIH
Cilj nam je da ovaj račun uvedemo preko:
1. Upoznavanja studenata sa slučajnim događajima.
2. Usvajanja osnovnih osobina verovatnoće da bi se olakšalo
razumevanje statistike i drugih disciplina u kojima se pojavljuje
verovatnoća.
11. ELEMENTI TEORIJE VEROVATNOĆE
11.1. EKSPERIMENTI SA SLUČAJNIM ISHODIMA.
SLUČAJNI DOGAĐAJI
Osnovni pojam teorije verovatnoće , kao jedne od matematičkih disciplina i
osnova matematičke statistike je događaj, rezultat nekog eksperimenta,
odnosno njihova analiza.
Da bi definisali pojam događaja, pođimo od eksperimenta u kome ishode
nismo u mogućnosti unapred da predvidimo. Ako posmatramo neki
eksperiment, svaki od mogućih ishoda u tom eksperimentu se naziva
elementarni događaj. Elementarne događaje ćemo označavati sa ω, a skup svih
njih u nekom eksperimentu ćemo označavati sa Ω. Događaj A je podskup skupa
Ω i sastoji se od svih elementarnih događaja koji imaju to svojstvo kojim se A
definiše.
- 199 -
Primer sa rešenjem:
1. Pri bacanju kocke skup Ω je Ω={ω1, ω2, ω3, ω4, ω5, ω6}, gde je ωi
elementarni događaj - kocka je pala, a na gornjoj strani imamo i tačaka.
Događaj A - pao je paran broj je dakle A={ω2, ω4, ω6}.
Događaj A se realizuje pri eksperimentu ako i samo ako se realizuje jedan od
elementarnih događaja ω koji se u njemu sadrže.
• Siguran ili izvestan događaj je onaj koji se uvek realizuje. Takav je skup
Ω koji sadrži sve moguće elementarne događaje u datom
eksperimentu.
Na primer „ pri bacanju novčića padne pismo ili glava”.
• Nemoguć događaj je onaj događaj koji se nikad ne realizuje.
Obeležavamo ga kao prazan skup φ . ( φ ⊂ Ω )
Na primer „ pri bacanju kocke sa obeleženim stranicama od 1 do 6 da
padne osmica”.
Sve događaje, koji nas interesuju u nekom eksperimentu, ćemo svrstati u jednu
klasu F događaja. Ta klasa događaja mora ispuniti određena pravila, a između
događaja u toj klasi mogu se posmatrati određene relacije i operacije.
• Ako A⊂B, kažemo da realizacija događaja A povlači realizaciju
događaja B, odnosno kažemo da događaj A povlači (implicira) događaj
B. To znači da je događaj A podskup događaja B, i da se događaj B
realizuje uvek kada se realizuje događaj A. Događaj „prilikom bacanja
kocke pojavila se dvojka” implicira događaj „prilikom bacanja kocke
pojavio se paran broj”.
•
Razlika dva događaja A i B u oznaci A\B je događaj koji se realizuje ako
se realizuje događaj A a da se pri tome ne realizuje događaj B.
- 200 -
•
Svakom događaju A može da se pridruži suprotan ili komplementaran
događaj Ac koji se realizuje ako i samo ako se A ne realizuje (skupovno
Ac=Ω\A). Suprotan, komplementaran događaj događaju A je specijalan
slučaj razlike prostora elementarnih događaja Ω i događaja A.
Događaj „pri bacanju kocke pao je paran broj” suprotan događaj je
„pao je neparan broj”.
•
Proizvod ili presek događaja A i B je događaj u oznaci A∩B ili AB, koji se
realizuje ako i samo ako se realizuju i događaj A i događaj B. Na primer,
pri bacanju kocke presek (proizvod) događaja „pao je paran broj” i
događaja „pao je broj deljiv sa tri” je događaj „pala je šestica”. Dva
događaja A i B su disjunktna, uzajamno se isključuju ako je A∩B=∅.
∩
•
Unija ili zbir događaja A i B, u oznaci A∪B, je događaj koji se realizuje
ako i samo ako se realizuje bar jedan od događaja A i B. Na primer, pri
bacanju kocke unija događaja „pao je paran broj” i događaja „pao je
broj veći od dva” je događaj „nije pala dvojka”. Uobičajeno je da se
unija disjunktnih događaja označava sa A+B.
Definicija preseka i unije se može prirodno proširiti na konačno mnogo
događaja A1,..., An u oznaci:
n
n
i =1
i =1
∩ Ai , ∪ A i .
- 201 -
n
Dakle,
∩A i
i =1
je događaj koji se realizuje ako se svaki Ai, i=1,...,n realizuje, a
n
∪A i
i= 1
se realizuje ako se realizuje bar jedan Ai, i=1,...,n.
n
Ako su za i≠j i,j=1,...,n AiAj=∅, onda je
n
A i.
∪ A i = i∑
=1
i= 1
U teoriji verovatnoće se definišu prebrojivi preseci i unije na sledeći način:
∞
∞
i =1
i =1
∩ A i = {ω ∀k ∈ N, ω ∈ A k }, ∪ A i = {ω ∃k ∈ N, ω ∈ A k }.
Kako su relacija ⊂ i operacije ∩, ∪, C među događajima odgovarajuće
relacije među skupovima, to se poznate veze koje imamo među skupovima
mogu interpretirati na događaje.
U teoriji verovatnoće se zahteva da klasa F koju posmatramo čini σalgebru, tj. da operacije komplementa, preseka i unije budu u F, kao i da Ω∈F.
Ovako definisana klasa F se zove polje događaja.
11.2. POJAM VEROVATONOĆE
Teorija verovatnoće se bavi slučajnim događajem. Slučajni događaji imaju
sledeću karakteristiku: u jednom eksperimentu koji se ponavlja n - puta
događaj A se realizuje m - puta. Relativna učestalost događaja A, statistička
verovatnoća događaja je broj
m
u n - opita i obeležava se sa P(A). Dakle,
n
verovatnoća da se realizuje događaj A, je odnos broja povoljnih elementarnih
događaja m , prema broju svih jednako mogućih događaja n , P( A) =
m
.
n
Na primer, pri bacanju dve kocke, verovatnoća realizacije događaja A „zbir
brojeva na kockama je 8“ je, P ( A) =
5
.
36
U predhodnom primeru smo očigledno predpostavili da je svaka mogućnost pri
bacanju kocke jednako verovatna!
Da li je uvek zaista tako? Kada jeste, a kada nije?
- 202 -
Jeste ako je kocka napravljena od potpuno homogenog materijala i ako joj je
stvarno fizičko težište poklopljeno sa geometrijskim težištem! Dakle ako je i
idealno geometrijski napravljeno, ako sve ovo nije onda zbog zakona fizike će
veću verovatnoću imati one strane koje su udljenije od težišta i neću sva stanja
biti jednako verovatna!
Ako posmatramo bilo koji događaj A (može i napred opisan) i ako je
eksperiment o kome se ovaj događaj odigrava ponavljamo i pritom beležimo
broj ponavljanja n i broj odigravanja nešeg događaja n(A) i ako posmatramo
odnos n(A)/n, primetićemo da se ovaj odnos (relativna učestanost odigravanja
našeg događaja) pozicionira prvo na prvoj decimali pa potom na drugoj...
Odnosno da ovaj odnos teži nekom fiksiranom broju koji nije slucajan. Taj broj
se može smatrati za verovatnoću našeg događaja A.
Ipak ovaj način dobijanja verovatnoća (statističke verovatnoće) i pored toga što
je najtacniji nije uvek moguć iz razumnjivih razloga.
U matematici se verovatnoća uvodi aksiomatski, zapravo to je funkcija
definisana nad događajima koja je nenegativna, normirana i aditivna:
Definicija 1. Verovatnoća P(x) je funkcija koja događaje iz polja F preslikava u
realne brojeve sa sledećim osobinama:
1) nenegativnost: za ∀A ∈ F P( A ) ≥ 0
2) normiranost: P(Ω)=1
3) aditivnost: Ako su A1, A2,... disjunktni događaji, tj. ako je Ai∩Aj=∅,
i≠j, tada je
⎛
⎞
P⎝ ∑ A i ⎠ = ∑ P A i .
i
i
( )
Stav 1. Verovatnoća P(x) ima sledeće osobine:
1) P(∅)=0
2) P( A ) = 1 − P( A )
3) Ako je A⊆B onda je P(A)≤P(B)
4) Za svako A∈F, P(A)≤1
5) Za ∀A,B∈F, P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)
- 203 -
Dokaz:
1) Kako je A=A∪∅ na osnovu aditivnosti P(A)=P(A)+P(∅), pa je
P(∅)=0.
2) Sledi iz A + A = Ω, normiranosti i aditivnosti.
3) Ako je A⊆B onda je B = A + A B pa je P( B) = P( A ) + P( AB) ,
odnosno zbog nenegativnosti sledi P(B)≥P(A).
4) Sledi iz prethodne osobine i A⊆Ω.
5) Kako je A ∪ B = A + A B i B = A B + A B , to je
P( A ∪ B) = P( A ) + P( AB) i P( B) = P( AB) + P( AB) , pa
eliminišući P( AB ) iz ove dve, dobijamo traženu jednakost.
Važno je napomenuti da je za teoriju verovatnoće nebitno kako smo došli do
polaznih verovatnoća, tj. do polazne funkcije P(.). Teorija verovatnoće se bavi
problemom dobijanja novih verovatnoća. Polazne verovatnoće su obično
dobijene na tri načina:
• Klasična definicija verovatnoće da se realizuje očekivani događaj je,
odnos broja povoljnih elementarnih događaja prema broju svih
jednako mogućih elementarnih događaja P(A)=
•
•
m
.
n
Geometrijskim putem, kao odnos površina (zapremine ili dužine)
povoljnih i mogućih za realizaciju nekog događaja;
Statistički, kao graničnu vrednost relativne učestanosti n(A) i broja
eksperimenata n, pri kome se realizuje događaj A.
Napomena: Za događaj A kod koga je P(A)=1 kažemo da je skoro izvestan ili da
se realizuje sa verovatnoćom 1. Dakle, ako je P(A)=1 to ne znači da je A=Ω! Isto
tako, za događaj B za koji je P(B)=0 kažemo da je skoro nemoguć događaj.
Dakle, iz P(B)=0 ne sledi B=∅.
Prema tome, skoro izvestan i skoro nemoguć događaj se definišu preko
verovatnoće za razliku od izvesnog i nemogućeg događaja koji su nezavisni od
pojma verovatnoće.
- 204 -
11.3. USLOVNE VEROVATNOĆE. NEZAVISNOST
Teorija verovatnoće daje pravila kako se, polazeći od verovanoće nekih
događaja nalaze verovatnoće drugih događaja. Verovatnoća realizacije
događaja B, ako se realizovao događaj A, zove se uslovna (vezana) verovatnoća
događaja B u odnosu na događaj A i obeležava se sa P(B/A).
sl. 29.
nA – broj realizacija događaja A
nB – broj realizacija događaja B
nAB – broj realizacija događaja AB
n-broj eksperimenata
n AB
n AB
= n
nA
nA
n
P( B A ) =
P( AB) , P(A)>0.
P( A )
Na sličan način dobijamo
P( A B ) =
P( A B )
.
P( B )
U vezi sa pomenutim verovatnoćama važno je i sledeće pitanje: Kakav je odnos
verovatnoća P(B) i P( B A ) . Ako su te verovatnoće iste, prirodno je reći da
verovatnoća događaja B ne zavisi od događaja A. Dakle, događaj B je nezavisan
od događaja A ako je
P( B) = P( B A ) .
Nezavisnost događaja A od događaja B se definiše analogno. Naime, iz uslova
P( B A ) =
P( A B )
, P( A ) = P( A B ) , P( A ) = P( A B) ,
P( A )
P( B )
P( B A )
odnosno dobijamo P( A ) = P( A B) .
- 205 -
Dakle, ako je B nezavisan od A, onda je i A nezavisan od B, što zajedno
očigledno daje sledeću definiciju:
Definicija 2. Događaji A i B su nezavisni ako je P(AB)=P(A)⋅P(B), verovatnoća
realizacije jednog događaja ne zavisi od verovatnoće realizacije drugog
događaja.
Ako je verovatnoća da će se realizovati događaj A, P(A)=p, onda verovatnoća
da će se isti događaj realizovati n puta je pn. Za izračunavanje uslovne
verovatnoće može se koristiti i formula klasične verovatnoće.
Primeri sa rešenjima:
2. Pri bacanju dve kocke posmatramo zbir brojeva koji se pojavljuje na
njima. Kolika je verovatnoća da je zbir 6, ako se zna da je zbir paran broj?
Događaj A: zbir je 6.
Događaj B: zbir je paran broj.
P(A|B)= P (AB)
P( B)
5
18 1
; P(B)=
=
36
36 2
5
5
P(A|B)= 36 =
1 18
2
P(AB)=
Ili preko klasične verovatnoće pod pretpostavkom da se uslov uzme prilikom
određivanja broja povoljnih i mogućih slučajeva:
P(A|B)=
5
18
3. U kutiji se nalazi pet belih i tri crne kuglice. Dva puta se iz kutije vrši
izvlačenje bez vraćanja. Kolika je verovatnoća da će se drugi put izvući bela
kuglia (crna kuglica), ako je u prvom izvlačenju izvučena bela kuglica.
Događaj A1: u prvom izvlačenju izvučena bela kuglica
Događaj A2: u drugom izvlačenju izvučena bela kuglica
Događaj B: u drugom izvlačenju izvučena crna kuglica
P(A1 A 2 )
P(A2|A1)=
P( A1 )
- 206 -
C51 ⋅ C41 5 ⋅ 4 5
5
=
=
; P(A1)=
1
1
C8 ⋅ C7 8 ⋅ 7 14
8
5
4
P(A2|A1)= 14 =
5 7
8
3
P(B|A1)=1-P(A2|A1)=
7
P(A1A2)=
I ovaj problem se lako rešava klasičnom verovatnoćom.
Događaj A: drugi put je izvućena bela kuglica.
Događaj C: drugi put je izvučena crna kuglica.
Nakon prvog izvlačenja u kutii je ostalo 4 bele i 3 crne kuglice.
P(A)=
4
3
; P(C)=
7
7
4. Iz špila od 32 karte slučajno se izvlači jedna karta. Neka je A događaj da je
izvučena karta pik i B događaj da je izvučena kara dama. Da li su događaji A i B
nezavisni?
P(AB)=
1
1
1
; P(A)= ; P(B)=
32
4
8
Prema tome P(AB)=P(A)P(B), što znači da su događaji A i B nezavisni u smislu
teorije verovatnoće.
Napomena: Nezavisnost više od dva događaja, npr. događaji A1,..., An se
definiše na sledeći način:
Događaji A1,..., An su nezavisni ako je za svakih k događaja 2≤k≤n, odnosno za
svaki niz s1<s2<...<sn brojeva 1,..., n,
P A s A s ... A s = PA s ... PA s .
(
1
2
k
)
1
k
(Nezavisnost u parovima P(AiAj)=P(Ai)P(Aj) i≠j i,j=1,2,..., n nije dovoljna za
nezavisnost u celini.) To se vidi iz sledećeg primera:
Neka su tri strane tetraedar obojene plavo, belo, crveno respektivno a četvrta
strana i plavo, i belo i crveno. Ako bacamo tetraedar I konstatujemo stranu na
koju je pao tetraedar (ona koja se ne vidi), imamo 3 mogućnosti:
B pao je na belu
C pao je na crvenu
- 207 -
P pao je na plavu (ako je pao na stranu koja je obojena sa sve tri boje tada
imamo situaciju da je ispunjena svaka od ovih mogućnosti.)
Ako su sve mogućnosti jednako verovatne tada je očigledno P(B)=1/2,
P(C)=1/2, P(P)=1/2
Pritom je očigledno P(BCP)=1/4≠P(B)*P(C)*P(P)=1/8, mada nezavisnost u
parovima postoji P(BC)=P(B)*P(C), P(CP)=P(C)*P(P), P(BP)=P(B)*P(P).
8.4. FORMULA TOTALNE VEROVATNOĆE I BAJESOVA FORMULA
Definicija 3. Za događaje A1, A2,..., An koji su uzajamno disjunktni, tj. AiAj=∅
i≠j i,j=1,..., n, kažemo da čine razbijanje sigurnog događaja ako je
n
∑ A i = Ω.
i =1
Teorema 1. Ako događaji A1,..., An čine razbijanje sigurnog događaja i P(Ai)>0
i=1,...,n, tada je za ∀B∈F
(
n
)
P( B ) = ∑ P( A i ) ⋅ P B A i .
i =1
Dokaz:
sl. 30.
Iz
n
n
n
i =1
i =1
i =1
∑ A i = Ω sledi B = ∑ BA i , pa je P( B) = ∑ P( BA i ) , primenom pravila za
(
)
( ) (
)
množenje P BA i = P A i ⋅ P B A i , odnosno dobijamo traženu formulu
n
(
)
P( B) = ∑ P( A i ) ⋅ P B A i .
i =1
Formula je poznata kao formula totalne (ili potpune) verovatnoće.
- 208 -
Primer sa rešenjem:
5. U jednoj kutiji se nalazi pet belih i dve crvene kuglice. Prvo se izvlače dve
kuglice bez vraćanja, a zatim treća. Kolika je verovatnoća da je treća kuglica
crvena?
Događaj A: treća kuglica je crvena.
Događaj Bi(i=1,2,3): broj crvenih kuglica ispred izvlačenja treće kuglice je i-1.
Događaj Ci(i=1,2,3): u i-tom izvlačenju izvučena je crvena kuglica.
B1=C1C2
P(B1)=P(C1C2)=P(C2|C1)P(C1)=
1 2 1
⋅ =
6 7 21
B2= C1 C 2 ∪ C1C 2
(
)( )
P(B2)=P( C1 C 2 ) + P (C1C 2 ) = P (C 2 | C 1 ) P (C1 ) + P C 2 | C 1 P C1
5 2 2 5 20 10
⋅ + ⋅ =
=
6 7 6 7 42 21
B3 = C1 C 2
=
(
) (
)( )
P(B3)= P C 1 C 2 = P C 2 | C1 P C 1 =
1
5
P(A|B1)=0; P(A|B2)= ; P(A|B3)=
4 5 10
⋅ =
6 7 21
2
5
Na osnovu teoreme potpune verovatnoće
3
P ( A) = ∑ P ( A \ Bi )P (Bi ) = 0 ⋅
i =1
1 1 10 2 10 3 ⋅ 10 2
+ ⋅ + ⋅
=
=
21 5 21 5 21 5 ⋅ 21 7
6. U dvema kutijama se nalaze kuglice. Prva sadrži tri crvene i četiti bele
kuglice. Druga sadrži 6 crvenih i 2 bele kuglice. Kolika je verovatnoća da će se
izvući bela kuglica iz nasumice izabrane kutije?
Događaj B: kuglica je bele boje.
Događaj Ai(i=1,2): kuglica je iz i- te kutije.
P(B|A1)=
4
2
1
1
; P(B|A2)= ; P(A1)= ; P(A2)= ;
7
8
2
2
Na osnovu teoreme poptune verovatnoće
- 209 -
2
P (B ) = ∑ P ( Ai )P (B / Ai ) =
i =1
1 4 1 2 23
⋅ + ⋅ =
2 7 2 8 56
Ako su A1,...,An hipoteze za realizaciju događaja B, kolika je verovatnoća da su
Ai izazvale događaj B? Odgovor na ovo pitanje daje sledeća formula koja se
zove Bajesova formula (formula verovatnoće hipoteza).
Teorema 2. Ako se događaji A1,A2,...,An uzajamno isključuju,
P( Ai ) > 0, i = 1, 2,...n i ako je
n
∑ A = Ω,
i =1
i
a B je događaj iz skupa elementarnih događaja, tada važi:
P( Ai | B) =
P( Ai B ) =
P( Ai ) ⋅ P(B Ai )
∑ P(A )⋅ P(B A )
n
j =1
j
Ai- uzajamno isključivi događaji
P(Ai)>0
i = 1,2,..., n
j
n
∑A
Dokaz:
=Ω
i
i =1
B je događaj iz skupa elementarnih
događaja
Iz P( A i B) = P( A i ) ⋅ P( B A i ) = P( B) ⋅ P( A i B) imamo
P( A i B ) =
(
P( A i ) ⋅ P B A i
P( B )
)
i kad P(B) izračunamo prema prethodnoj teoremi dobijamo traženu formulu.
Primer sa rešenjem:
7. Pretpostavlja se da 5% muškaraca i 0,25% žena boluje od daltonizma. Grupa
je formirana od 20 žena i 5 muškaraca. Izabere se jedna osoba. Kolika je
verovatnoća da je izabrana osoba ženskog pola ako se zna da boluje od
daltonizma?
Događaj B: izabrana osoba boluje od daltonizma.
Događaj Ai (i=1,2): izabrana osoba je muškog, ženskog pola, respektivno.
Kako je P(B|A1)=
5
25
1
; P(B|A2)=
; P(A1)= ;
100
10000
5
To je
- 210 -
P(A2)=
4
;
5
P(B)= P ( A1 ) P ( B | A1 ) + P ( A2 ) P ( B | A2 ) =
1 5 4
25
3
*
+ *
=
;
5 100 5 10000 250
Iz baesove formule
P(A2|B)=
P( A2 ) P ( B | A2 )
1
= ;
P ( A1 ) P ( B | A1 ) + P ( A2 ) P ( B | A2 ) 6
Analogno dobiljamo P(A1|B)=
5
6
8. U dve kutije nalaze se kuglice. Prva sadrži dve crvene i četiri bele, druga čest
crvenih i dve bele. Izvlači se jedna kuglica iz slučajno izabrane kutije. Ona je
bela. Kolika je verovatnoća da je iz prve kutije?
Događaj B: kuglica je bele boje.
Događaj Ai(i=1,2): kuglica je iz i-te kutije
2
1
1
; P(A1)= ; P(A2)= ;
8
2
2
P( A1 ) P(B / A1 )
16
=
;
P(A1|B)=
P( A1 )P(B / A1 ) + P( A2 )P(B / A2 ) 23
P(B|A1)=
4
;
7
P(B|A2)=
11.5. SLUČAJNE PROMENLJIVE
Da bi se izbegla obaveza poznavanja svakog eksperimenta za koji se vezuju
verovatnoće, uobičajeno je da se pojam verovatnoće vezuje za pojam koji svi
poznaju i koriste – za realne brojeve. Na ovaj način račun sa verovatnoćama je
znatno olakšan
11.5.1. Jednodimenzionalne slučajne promenljive
Slučajna promenljiva je funkcija definisana nad skupom elementarih događaja
čije vrednosti određuju numerički podaci korenspondirani slučajnim
događajima.
Definicija 4. Neka je (Ω,F,P) prostor verovatnoća. Slučajna promenljiva X=x(ω)
je funkcija koja skup Ω preslikava u skup realnih brojeva R i za koju je {ω⎟
X(ω)<x}∈F za ∀x∈R.
- 211 -
Slučajnom promenljivom mi realnim brojevima, odnosno podskupovima
realnih brojeva, dodeljujemo verovatnoće: Naime, ako je S⊆R P(S)=P(ω⎟
X(ω)∈S)=P(X-1(S))
sl. 31.
Očigledno je P(R)=1 jer je X(Ω)=R, pa X-1(R)=Ω.
Na ovaj način smo sve "različite" skupove Ω "zamenili" sa realnim brojevima,
tj. verovatnoće posmatramo na skupu realnih brojeva.
Neka se na primer eksperiment sastoji iz bacanja kocke. Skup svih
elementarnih događaja je Ω1 , Ω 2 ,...Ω 6 .
Posmatraćemo dva tipa slučajnih promenljivih: slučajne promenljive diskretnog
tipa i slučajne promenljive neprekidnog tipa.
Definicija 5. Slučajna promenljiva X koja skup Ω preslikava u prebrojiv
podskup skupa realnih brojeva (konačan ili beskonačan niz) naziva se slučajna
promenljiva diskretnog tipa.
Dakle, slučajne promenljive diskretnog tipa uzimaju vrednosti u prebrojivom
(konačnom ili beskonačnom) skupu realnih brojeva (npr. proste slučajne
promenljive u konačnom: {x1, x2, ..., xn}). Za svaku realnu vrednost xi možemo
naći odgovarajuću verovatnoću i kada su te verovatnoće zadate možemo
konstatovati da je ona u potpunosti data. Najčešće to zapisujemo:
x2 . . . xn ⎞
⎛ x1
X: ⎜
⎟
⎝ p( x1 ) p( x2 ) . . . p( xn ) ⎠
i reći ćemo da je slučajna promenljiva X zadata zakonom raspodele
verovatnoća. Jasno je da pri tome mora biti p(x1)+p(x2)+...+p(xn)=1. (U slučaju
da prebrojiv skup vrednosti slučajne promenljive X nije konačan niz već
∞
beskonačan niz, tada red
∑ p( x ) mora konvergirati ka 1).
i=1
i
Definicija 6. Slučajna promenljiva X je neprekidnog tipa ako postoji funkcija ϕ,
x∈R takva da je za svako a,b∈R a<b (mogu biti i beskonačni)
- 212 -
b
P( X ∈ ( a , b) ) = ∫ ϕ( x) dx .
a
Funkcija ϕ se zove gustina raspodele verovatnoća slučajne promenljive X.
+∞
Iz definicije sledi da je
∫ ϕ( x) dx = 1.
−∞
11.5.2. Višedimenzionalne slučajne promenljive
Ponekad smo u situaciji da nas u okviru jednog istog eksperimenta interesuje
više karakteristika vezanih za ishod eksperimenta. Na primer, ako regrutna
komisija slučajno bira jednog regruta i registruje njegovu visinu V, težinu T i
broj cipela C, tada imamo da su V, T i C slučajne promenljive, a ako ih
posmatramo zajedno kao uređenu trojku imamo trodimenzionalnu slučajnu
promenljivu. Ako posmatramo samo visinu i težinu, tada imamo
dvodimenzionalnu slučajnu promenljivu.
Definicija 7. Ako su X=X(ω) i Y=Y(ω) dve slučajne promenljive definisane nad
istim skupom Ω mogućih ishoda, tada je uređeni par (X,Y) dvodimenzionalna
slučajna promenljiva.
sl. 33.
Na analogan način se mogu definisati i trodimenzionalne,...,
n-dimenzionalne slučajne promenljive.
I ove višedimenzionalne slučajne promenljive mogu biti diskretnog i
neprekidnog tipa. Ovde ćemo opisati samo slučajne promenljive diskretnog
tipa:
(X,Y) je diskretnog tipa ako postoji prebrojiv skup tačaka u ravni RX,Y={(xi,yj),
i,j=1,2,...}, takav da je
P{(X,Y)∈RX,Y}=1.
- 213 -
Zakon raspodele verovatnoća za pojedine tačke određuje se na isti način kao i
za jednodimenzionalnu slučajnu promenljivu
p(xi,yj)=P{ω⏐X(ω)=xi ∧ Y(ω)=yj} i,j=1,...
i obično se zadaje tabelarno:
x2
X x1
Y
y1
y2
...
Ym
...
p(x1,y1)
p(x1,y2)
...
p(x1,ym)
p(x1)
Jasno, pri tome mora biti
...
p(x2,y1)
p(x2,y2)
...
p(x2,ym)
p(x2)
xn
...
...
...
...
...
...
p(xn,y1)
p(xn,y2)
...
p(xn,ym)
p(xn)
p(y1)
p(y2)
...
p(ym)
1
∑ p( x , y ) = 1.
i,j
i
j
11.5.3. Marginalne i uslovne raspodele
Ako nam je data dvodimenzionalna slučajna promenljiva (X,Y) sa raspodelom
verovatnoća p(xi,yj) i ako nas interesuje raspodela verovatnoća samo za jednu
od ove dve slučajne promenljive, mi tada možemo izvršiti odgovarajuće
sabiranje po vrstama i dobijamo raspodelu za Y, odnosno po kolonama i
dobijamo raspodelu za X. Ove raspodele se nazivaju marginalne raspodele.
Dakle,
p(xi)=P{X=xi}=p(xi,y1)+p(xi,y2)+...+p(xi,ym)
odnosno
q(yj)=P{Y=yj}=p(x1,yj)+p(x2,yj)+...+p(xn,yj)
Ukoliko nas interesuje raspodela jedne slučajne promenljive, recimo X,
pretpostavljajući da je Y uzela neku vrednost yj tada se dobija uslovna
raspodela verovatnoće za X pod uslovom Y=yj i tada imamo
(
) {
}
p xi ( y j = P X = xi (Y = y j =
p ( xi , y j )
p( yj )
i=1,2,...n
Slično, ako hoćemo uslovnu raspodelu za Y ako je X uzelo vrednost xi, tada
imamo:
- 214 -
(
) {
}
p y j xi = P Y = y j X = xi =
(
p xi , y j
p( x i )
)
j=1,2,...m
Dakle da pojasnimo ako želimo raspodelu slučajne promenljive X pod uslovom
da je slučajna promenljiva Y uzela naprimer vrednost y2 , ovu raspodelu ćemo
dobiti iz druge vrste predhodne dvodimenzionalne tabele jer se y2 pojavjuje u
drugoj vrsti
x2
xn
x1
y2 p(x1,y2) p(x2,y2)
p(xn,y2) p(y2)
Da bih u ovoj vrsti imali raspodelu verovatnoća za slučajno promenljivu X to
ćemo očigledno celu vrstu morati da podelimo sa njenim zbirom p(y2) (uz uslov
da je ta vrednost različita od 0).
⎛
X1
X2
...
p ( y2 )
...
Tako dobijamo X | Y = y : ⎜ p ( x , y ) p ( x , y )
2
1
2
2
2
⎜
⎜
⎝
p ( y2 )
⎞
⎟
p ( xn , y2 ) ⎟
p ( y2 ) ⎟⎠
Xn
Na sličan način se dobijaju raspodele Y|X= xi .
11.5.4. Nezavisnost slučajnih promenljivih
Za dve slučajne promenljive X i Y možemo vezati događaje
{ X ∈ S1 }
i
{ Y ∈S2 } , za proizvoljne S1 ,S2 ⊆ R . Slučajne promenljive X i Y su nezavisne
ako su događaji { X ∈S1} i { Y ∈S2 } nezavisni za svako S1 ,S 2 ⊆ R . Slučajne
promenljive (X,Y) diskretnog tipa su nezavisne ako i samo ako je
(
)
( )
p x i , y j = p( x i ) q y j
i = 1,2,...
Primeri sa rešenjima:
8. Data je dvodimenzionalna slučajna promenljiva
verovatnoća:
X
1
2
3
4
Y
0
1/24 1/24 1/24 1/12
1
1/24 1/12
1/6
1/24
3
1/8
1/6
1/8
1/24
p(x)
→ 5/24
7/24
- 215 -
8/24
4/24
(X,Y) raspodelom
q(y)
↓
5/24
8/24
11/2
4
1
Naći marginalne raspodele, uslovnu raspodelu za X⏐Y=0 i za Y⏐X=2 i ispitati da
li su X i Y nezavisne.
Očigledno je kad saberemo vrednosti po vrstama marginalna raspodela za Y je:
⎛0
1
3 ⎞
q( y):⎜
⎟
⎝5 / 24 8 / 24 11 / 24⎠
a kad saberemo po kolonama dobijamo marginalnu raspodelu za X:
⎛ 1
2
3
4 ⎞
p( x): ⎜
⎟
⎝5/ 24 7 / 24 8 / 24 4 / 24 ⎠
Uslovna raspodela X⏐Y=0 se dobija posmatrajući vrstu
X
Y=0
1
1/24
2
1/24
3
1/24
4
1/12
3
1/5
4
2/5
q(0)
5/24
i deleći sa 5/24 dobijamo
X⏐Y=0
1
1/5
2
1/5
Analogno za Y⏐X=2 posmatramo kolonu
Y
0
1
3
p(2)
X=2
1/24
1/12
1/6
7/24
i deleći sa 7/24 dobijamo
Y⏐X=2
0
1/7
1
2/7
3
4/7
Ove slučajne promenljive nisu nezavisne jer, na primer
p(x=1, y=0)=1/24 ≠ 5/24 ⋅ 5/24.
Slično kao i u jednodimenzionalnom slučaju i ovde se mogu posmatrati funkcije
slučajnih promenljivih. Tako, ako je data dvodimenzionalna slučajna
- 216 -
promenljiva (X,Y) raspodelom p(xi,yj) i data je funkcija dva argumenta f(x,y)
treba odrediti raspodelu slučajne promenljive Z=f(X,Y) (na primer Z=X+Y,
Z=X⋅Y,...). Situacija se može predstaviti sledećom skicom
sl. 34.
9. Naći raspodelu za slučajnu promenljivu a) X⋅Y; b) X+Y iz prethodnog primera.
a) X⋅Y uzima vrednosti 0, 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12 i pri tome imamo da se 0 dobija kao
5
. Na isti način dobijamo
0⋅1, 0⋅2, 0⋅3 i 0⋅4, pa je verovatnoća broja 0 - p( 0) =
24
i ostale verovatnoće, odnosno raspodelu
1
3
2
4
6 9 12 ⎞
⎛0
⎜
⎟
Z = X ⋅ Y: ⎜ 5
1
1
7
1
1 1
1⎟
⎝ 24 24 12 24 24 6 8 24⎠
b) X+Y uzima vrednosti 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 i verovatnoće su:
1
Iz 1=0+1 p(1) = p(1,0) =
24
1
1
1
+
=
2=0+2 i 2=1+1 pa je p( 2) = p( 2,0) + p(1,1) =
24 24 12
1
1 1
+
=
3=0+3 i 3=1+2 pa je p( 3) = p( 3,0) + p( 2,1) =
24 12 8
1 1 1 9
, ) + p(31
, ) + p(13
, )= + + =
4=0+4, 4=3+1 i 4=1+3 pa je p(4) = p(40
12 6 8 24
1 1 5
+ =
5=1+4 i 5=3+2 p( 5) = p( 4,1) + p( 2,3) =
24 6 24
1
6=3+3 p( 6) = p( 3,3) =
8
1
7=4+3 p( 7) = p( 4,3) =
24
pa je
- 217 -
⎛1
X + Y: ⎜⎜ 1
⎝ 24
2
1
12
3
1
8
4
5
9
24
5
24
6
1
8
7 ⎞
⎟
1⎟.
24⎠
11.5.5. Numeričke karakteristike slučajnih promenljivih
Prvo pitanje koje možemo postaviti vezano za slučajnu promenljivu je koja je ta
vrednost koja je "najočekivanija". Ako uzmemo da smo izabrali prostu slučajnu
promenljivu sa vrednostima u tačkama x1,..., xk i ako organizujemo eksperiment
u kome se n1 put dobija x1,..., nk puta dobija xk, tada je srednja vrednost ove
"slučajne promenljive" pri ovom eksperimentu
n 1x1 + n 2 x2 +...+n k xk n 1
n
= x1 +...+ k xk .
n 1 +...+n k
n
n
ni
grupiše oko određenog broja
Naravno, ako n uvećavamo, tada se
n
(verovatnoće za xi) i dobijamo "srednju vrednost" za slučajnu promenljivu X sa
raspodelom
x2 . . . x k ⎞
⎛ x1
X: ⎜
⎟
⎝ p( x1 ) p( x2 ) . . . p( xk ) ⎠
EX = x1 p( x1 ) +...+ x k p( x k ) .
Ova srednja vrednost se zove matematičko očekivanje slučajne promenljive X.
Ova definicija se proširuje i na proizvoljne slučajne promenljive diskretnog tipa:
E(X)=∑xi⋅p(xi)
Međutim, ova veličina može da zavisi od promene rasporeda članova, pa se
zahteva da gornji red i apsolutno konvergira, tj. matematičko očekivanje
slučajne promenljive X je data formula ako i samo ako konvergira red
∑ xi p xi ,
tj. ako red apsolutno konvergira i ne zavisi od preuređenja članova. Inače,
matematičko očekivanje ne mora obavezno da postoji.
Proširenje na slučajne promenljive neprekidnog tipa vrši se na prirodan
način: ako je slučajna promenljiva X zadata sa gustinom raspodele ϕ(x), onda je
( )
+∞
E( X ) = ∫ x ⋅ ϕ( x) dx
−∞
- 218 -
i kaže se da E(X) postoji ako i samo ako postoji
+∞
∫ x ⋅ ϕ( x) dx.
−∞
Osnovne osobine matematičkog očekivanja:
1)
2)
3)
4)
5)
Ako je X=c=const. onda je E(X)=c;
Ako je X≥0 onda je E(X)≥0;
Ako je X≥Y onda je E(X)≥E(Y);
Ako E(X) i E(Y) postoje, tada je E(c1X+c2Y)=c1E(X)+c2E(Y), c1=const, c2=const;
E(X⋅Y)=E(X)⋅E(Y) ako su X i Y nezavisne slučajne promenljive.
Matematičko očekivanje se može interpretirati i kao ulog koji lica koja igraju
neku kockarsku igru treba da uplate da bi igra bila "poštena".
Primer sa rešenjem:
10. Osoba A baca kocku i isplaćuje osobi B 1 dinar ako padne broj 1, 2 dinara
ako padne broj 2,..., 6 dinara ako padne broj 6. Koliko treba osoba A da uplati
pre bacanja da bi igra bila poštena?
Osoba A treba da uplati 3,5 dinara - onoliko koliko se "očekuje" da će dobiti a
to je upravo matematičko očekivanje slučajne promenljive X
⎛1
X: ⎜ 1
⎜
⎝6
E( X ) = 1⋅
2 . . . 6⎞
1
1⎟
... ⎟
6
6⎠
1
1
1 21
+ 2 ⋅ + ... + 6 ⋅ =
= 3,5
6
6
6 6
11.5.6. Disperzija slučajne promenljive
Matematičko očekivanje je "neka srednja vrednost" za slučajnu promenljivu;
osim toga, ta vrednost nam ne govori mnogo o toj slučajnoj promenljivoj kao
što pokazuje sledeći primer:
- 219 -
Primeri sa rešenjima:
11. Osoba A i osoba B bacaju novčić; ako padne grb – osoba A plaća dinar osobi
B, ako padne lik – osoba B plaća osobi A dinar. Koliko je matematičko
očekivanje dobitka u ovoj igri?
Slučajna promenljiva kojom može da se opiše ova igra je
⎛1
X: ⎜ 1
⎜
⎝2
- 1⎞
1 ⎟ i E(X)=0.
⎟
2⎠
12. Istu igru igraju osoba C i osoba D, samo što isplaćuju jedna drugoj po 20
dinara. Kakvo je sada matematičko očekivanje?
Slučajna promenljiva koja opisuje ovu igru je
⎛ 20
Y: ⎜ 1
⎜
⎝2
- 20⎞
1 ⎟ i E(Y)=0.
⎟
2⎠
Dakle, u oba slučaja matematičko očekivanje je 0, ali druga igra je daleko
manje "bezazlena" od prve. Šta je različito? Šta matematičko očekivanje nije
"izmerilo"? Očigledno, matematičko očekivanje nije izmerilo veličine
razlikovanja slučajne promenljive od samog matematičkog očekivanja. To
merimo pomoću disperzije slučajne promenljive. Odnosno, bilo bi prirodno to
meriti na sledeći način: formirati novu slučajnu promenljivu X − E ( X ) i naći
njeno matematičko očekivanje. Međutim, kako nije zgodno raditi sa
apsolutnim vrednostima, to se formira slučajna promenljiva
(X-E(X))2
i njeno matematičko očekivanje se zove disperzija i označavaće se sa
σ2(X)=E((X-E(X))2).
Pozitivna vrednost iz
σ2 ( X ) zove se standardna devijacija.
Posle lakog računa izlazi
σ2(X)=E(X2)-(E(X))2.
- 220 -
Osnovne osobine disperzije su:
1) σ2(X)≥0;
2) σ2(X)=0 ako i samo ako je X=c;
3) σ2(cX)=c2σ2(X) c=const;
4) Funkcija po c E(X-c)2 ima minimum za c=EX (to je σ2(X));
5) σ2(X+Y)=σ2(X)+σ2(Y) ako su X i Y nezavisne slučajne promenljive.
Napomena: U primeru 10 je σ2(X)=1, σ2(Y)=400.
Među numeričke karakteristike neke slučajne promenljive često se ubrajaju i
momenti slučajne promenljive (momenti reda r):
n
m r = ∑ xri ⋅ p( xi ) - u diskretnom slučaju
i =1
+∞
mr =
∫x
r
⋅ ϕ(x )dx - u neprekidnom slučaju
−∞
(mr postoji u diskretnom slučaju ako
∑ x p( x )
r
i
postoji, i mr postoji u
+∞
neprekidnom slučaju ako
∫ x ϕ(x )dx postoji). Pri tome je m
r
1
- matema-tičko
−∞
očekivanje a disperzija je izražena sa
σ2(X)=m2-m12
(ovo je tzv. centralni moment drugog reda).
Inače, centralni momenti reda r se definišu na sledeći način:
μ r = E( X − E( X ) )
r
Pri tome μ3 meri asimetričnost slučajne promenljive (u slučaju simetričnosti
neparni centralni momenti su jednaki nuli). Koeficijent asimetrije se definiše na
sledeći način:
ka =
μ3
σ3
Merenje spljoštenosti slučajne promenljive se meri koeficijentom koji se zove
eksces:
ke =
μ4
− 3.
σ4
- 221 -
11.5.7. Funkcija raspodele slučajne promenljive
Zadavanjem ove funkcije mi najčešće obezbeđujemo bolji pregled raspodele
verovatnoća na čitavoj realnoj pravoj
def .
F( x) = P( −∞, x) , x ∈ R .
Iz same definicije proizilaze osnovne osobine ove funkcije:
1) Funkcija F(x) je neopadajuća, tj. za x1<x2⇒F(x1)≤F(x2);
2) F(-∞)=0 i F(+∞)=1;
3) Za proste slučajne promenljive F(x) je "stepenasta" funkcija;
x
4) Za neprekidne slučajne promenljive je F( x) =
∫ ϕ( t ) dt , odnosno F'(x)=ϕ(x)
−∞
Primeri sa rešenjima:
13.
⎛ -1 1 ⎞
X: ⎜ 1 1 ⎟
⎜
⎟
⎝2 2⎠
sl. 35.
14.
Ako
je
ϕ( x) =
1
2π
e
−
x2
2
gustina
x
F( x) = ∫ ϕ( t ) dt , pa dobijamo
−∞
- 222 -
raspodele
verovatnoća,
tada
ϕ( x) =
1
2π
e
−
x2
2
x
t2
−
1
F( x) =
e 2 dt
π 0
∫
sl. 36.
15. Gustina raspodele ima oblik trougla
⎧
⎪
0
⎪
⎪ 2x
f ( x) = ⎨
⎪ ab
2
⎪ 2x
⎪⎩ ab − b 2 + b − a
x> b i x< 0
0≤ x ≤ a
a≤ x≤ b
sl. 37.
Naći funkciju raspodele.
F(x)=0 za x<0
x
F( x) =
2t
t2
dt =
ab
ab
0
∫
x
0
=
x2
ab
x<a
x
a2
a ⎛ t2
2 ⎞
2t ⎞ x
⎛ 2t
F( x) = + ⎜
+
dt
=
+
+
⎜
⎟ =
⎟
ab a ⎝ ab − b2 b − a ⎠
b ⎝ ab − b2 b − a ⎠ a
∫
x2
a2
x2 − a 2
x−a a
a
2x
2a
+
+
+
−
=
+2
+
2
2
2
b − a −ab + b
b − a ab − b
b−a b
b ab − b
F(x)=1 x>b
=
- 223 -
a≤ x≤ b
b2 − a 2
a −( b − a )( b + a ) a
a−b−a
+2+ =
+ +2=
+2=1
2
b
b( a − b)
b
b
ab − b
16. Slučajna promenljiva X ima raspodelu verovatnoća (funkciju gustine
raspodele)
⎧2 ⎛
x⎞
x ∈ ( 0,a)
⎪ ⎜⎝ 1 − ⎟⎠
a
f ( x) = ⎨ a
⎪ 0
x ∉ ( 0,a)
⎩
⎛a
⎞
Naći funkciju raspodele F(x) i izračunati P⎜ < X < a⎟ .
⎝2
⎠
x
Kako je F( x) = f ( t )dt dobijamo:
∫
0
0
x< 0
⎧
⎪
x⎞
⎪x ⎛
0≤ x≤ a
F( x) = ⎨ ⎜ 2 − ⎟
a⎠
⎪2 ⎝
⎪⎩
1
x> a
⎛a
⎞
⎛ a⎞ 1
P⎜ < X < a⎟ = F( a ) − F⎜ ⎟ =
⎝2
⎠
⎝ 2⎠ 4
11.5.8. Slučajne promenljive koje se najčešće koriste
11.5.8.1. Slučajna promenljiva sa binomnom raspodelom
Ako je verovatnoća realizacije događaja A pri nekom eksperimentu p(A)=p
(p( A ) = q = 1 − p) i ako se taj eksperiment u neizmenjenim uslovima ponavlja
n-puta, nezavisno svaki put, tada možemo konstatovati koliko se puta u tih n
eksperimenata događaj A pojavio. Očigledno je da su vrednosti toga broja
0,1,...,n. Pri tome se mogu izračunati verovatnoće svih tih brojeva (to su
verovatnoće da je se A pojavio odgovarajući broj puta) i na taj način dobijamo
sledeće brojeve
- 224 -
⎛ 0
⎜
⎜ ⎛ n⎞ n
⎜ ⎜⎝ 0⎟⎠ q
⎝
1
...
⎛ n⎞ n−1
⎜ ⎟ pq
⎝ 1⎠
k
⎞
⎟
⎛ n⎞ n ⎟
⎜ ⎟p ⎟
⎝ n⎠ ⎠
...
n
⎛ n⎞ k n − k
⎜ ⎟p q
⎝ k⎠
⎛ n⎞
Dakle, ovde su verovatnoće povezane sa binomnim koeficijentima ⎜ ⎟ i zato
⎝ k⎠
se ova slučajna promenljiva zove slučajna promenljiva sa binomnom
raspodelom. Označava se sa B(n,p) njena raspodela, a ona sama se obično
označava sa Sn. Njeno matematičko očekivanje je E(Sn)=np a disperzija
σ2(Sn)=npq.
Primeri sa rešenjima:
17. Verovatnoća da će strelac puškom pogoditi avion u brišućem letu je
p=0,001. Kolika je verovatnoća da će 100 strelaca nezavisno pucajući jedan od
drugog istovremeno na avion
a) tačno 4 puta pogoditi avion;
b) broj pogodaka nije veći od 4.
P(A)=0,001 q=0,999. Pucanje 100 strelaca može se shvatiti kao ponavljanje
eksperimenta 100 puta u neizmenjenim uslovima pa je prema tome
⎛ 100⎞
a) P( S 100 = 4) = ⎜
⎟ ⋅ 0,001 ⋅ 0,999
⎝ 4 ⎠
b) Broj pogodaka nije veći od 4 je
p = P( S100 = 0) + . . . + P( S100 = 4) =
4
⎛ 100⎞
100− k
k
⎟ ⋅ 0,001 ⋅ 0,999
k
⎠
k =0
∑ ⎜⎝
18. Verovatnoća da će strelci pogoditi vozilo u pokretu je 0,6. Jedan od 20
strelaca puca na neprijateljsko vozilo. Kolika je verovatnoća da će ga pogoditi
ne manje od 4 puta?
Raspodela je ponovo binomna sa p=0,6 q=0,4 n=20.
Dakle:
20
p=
∑ P{S
k =4
20
= k} =
20
⎛ 20⎞
∑ ⎜⎝ k ⎟⎠ ⋅ 0,6
k =4
- 225 -
k
⋅ 0,420− k
11.5.8.2. Slučajna promenljiva sa geometrijskom raspodelom
Neka je A događaj kao u prethodnom slučaju (sa verovatnoćom p se odigrava a
sa verovatnoćom q=1-p se ne odigrava). Neka se ogled izvodi do prvog
pojavljivanja događaja A i neka je slučajna promenljiva G broj eksperimenata.
Očigledno G može uzeti vrednosti 1,2,...,n,... a pripadajuće verovatnoće su p,
qp, q2p,..., qn-1p,... Slučajna promenljiva G se zove slučajna promenljiva sa
geometrijskom raspodelom, pri čemu je matematičko očekivanje
∞
E( G ) = ∑ nq n −1 p =
n =1
a disperzija
1
p
∞
1− p
n =1
p2
σ 2 ( G ) = ∑ n 2 q n −1 p =
.
11.5.8.3. Slučajna promenljiva sa Puasonovom raspodelom
Slučajna promenljiva S∞ koja uzima vrednosti 0,1,...,n,.... sa verovatnoćom
λk
,
n!
gde je λ>0, se naziva slučajna promenljiva sa Puasonovom raspodelom.
P(S∞ = n) = e − λ
Koristi se kao aproksimacija za slučajnu promenljivu sa binomnom raspodelom
kada je np ≤ 10 (i tada se stavlja da je λ=np). Vrednosti joj se zadaju tabelarno.
E( S∞ ) = λ
i
σ 2 ( S∞ ) = λ .
Primer sa rešenjem:
Drugi način rešavanja primera 17: Kako je p=0,001 n=100 np=0,1<10,
a) primenjujemo Puasonovu aproksimaciju:
⎛ n⎞
e −λ λk
p k = ⎜ ⎟ p k q n−k ≈
k!
⎝ k⎠
k=0,1,2,... n→∞
pa imamo
e −0,1 ⋅ 0,14
0,14
= 10 ≈ 0,000004
4!
4!⋅ e
b) p ≈ 0,999996 (dato tablicom).
p( S100 = 4) ≈
- 226 -
11.5.8.4. Slučajna promenljiva sa normalnom raspodelom
Ova slučajna promenljiva je jedna od najverovatnijih i "najčešćih" u
primenama. Neprekidnog je tipa i ima normalnu (Gausovu) raspodelu
verovatnoća sa parametrima m i σ2 a njena gustina je
ϕ ( x) =
1
2πσ 2
( x − m )2
2
e 2σ
Obeležavamo njenu raspodelu sa N(m, σ 2 ). Njeno matematičko očekivanje je
m a disperzija joj je σ 2 (što su i njene karakteristike). Standardizovani oblik
normalne raspodele je normalna raspodela N(0,1). Vrednosti verovatnoća za
−
x2
2
ovu slučajnu promenljivu se zadaju tabelarno, jer funkcija e
nema
primitivnu funkciju među elementarnim funkcijama. Vrednosti verovatnoća za
slučajnu promenljivu X sa raspodelom N(m, σ 2 ) se izračunavaju isto iz tablica
za N(0,1) "standardizacijom" ove slučajne promenljive, tj. uvođenjem smene
Z=
X− m
σ
koja ima raspodelu N(0,1). Na taj način je
⎛ a − m X − m b − m⎞
⎟.
P( a ≤ X ≤ b) = P⎜
≤
≤
⎝ σ
σ
σ ⎠
Primer sa rešenjem:
19. Slučajna promenljiva X je raspoređena po normalnom zakonu sa m=40 i
σ2=200. Naći verovatnoću 30≤X≤80.
a=30, b=80, m=40, σ = 10 2 pa je
⎡ ⎛ b − m⎞
⎛ 30 − 40⎞ ⎤
⎛ a − m⎞ ⎤ ⎡ ⎛ 80 − 40⎞
P(a ≤ X ≤ b) = ⎢Φ⎜
⎟ − Φ⎜
⎟ ⎥ = ⎢Φ⎜
⎟ − Φ⎜
⎟⎥ =
⎝ σ ⎠ ⎦ ⎣ ⎝ 10 2 ⎠
⎝ 10 2 ⎠ ⎦
⎣ ⎝ σ ⎠
⎡ ⎛ 4 ⎞
⎛ 1 ⎞⎤
= ⎢Φ⎜
⎟ + Φ⎜
⎟ ⎥ = Φ( 2,8) + Φ( 0,71) ≅ 0,49744 + 0,26115 = 0,75859
⎝ 2⎠⎦
⎣ ⎝ 2⎠
- 227 -
(Zbog neparnosti funkcije Φ i iz tablice III).
Ovde je važno napomenuti da je
P( m − σ ≤ X ≤ m + σ) ≈ 0,67
P( m − 2σ ≤ X ≤ m + 2σ) ≈ 0,95
i P( m − 3σ ≤ X ≤ m + 3σ) ≈ 0,99
odakle i potiče empirijsko pravilo "tri sigme" koje se pojavljuje u statistici:
"između m-3σ i m+3σ su skoro svi elementi populacije".
Kriva ϕ(x) se naziva Gausova kriva i ona je simetrična oko prave x=m. Ako je σ
veći broj ona je "šira" a ako je σ manji broj ona je uža, kao što pokazuje sledeća
slika:
sl. 38.
Normalna raspodela se koristi i kao aproksimacija za izračunavanje vrednosti
slučajne promenljive sa binomnom raspodelom na sledeći način: ako je np≥10,
tada je
x2
⎛ S − np
⎞
1
−
n
= x⎟ ≈
P⎜
e 2,
2π npq
⎝ npq
⎠
odnosno
⎛
⎞
S − np
P⎜ a ≤ n
≤ b ⎟ ≈ Φ( b) − Φ( a)
npq
⎝
⎠
gde je Φ(x) - Laplasova funkcija, tj.
x
2
t
1
−
Φ( x) =
e 2 dt .
∫
2π 0
Funkcija Φ(x) ima sledeće osobine: Φ(0)=0, Φ(+∞)=0,5, Φ(-x)=-Φ(x).
Geometrijska interpretacija izraza Φ(a), odnosno Φ(b)-Φ(a) data je sledećom
slikom
- 228 -
sl. 39.
Ove vrednosti, kao što smo napomenuli, date su tabelarno.
Drugi način za rešavanje primera 19:
⎛
4 − 12
p = P( 4 ≤ S 20 ≤ 20) = P⎜
≤
⎝ 20 ⋅ 0,6 ⋅ 0,4
⎛
≈ P⎜ −3,65 ≤
⎝
S 20 − 12
20 ⋅ 0,6 ⋅ 0,4
≤
⎞
⎟≈
20 ⋅ 0,6 ⋅ 0,4 ⎠
20 − 12
⎞
≤ 3,65⎟ = 2 ⋅ Φ(3,65) = 2 ⋅ 0,49987 = 0,99974
20 ⋅ 0,6 ⋅ 0,4
⎠
S 20 − 12
11.5.8.5. Slučajna promenljiva sa χ2 raspodelom
Ako su slučajne promenljive X1,...,Xn nezavisne i svaka sa normalnom
raspodelom N(0,1), tada je slučajna promenljiva
χ2n= X21+X22+...+X2n
neprekidnog tipa koja zavisi od parametra n (n=1,2,...). Raspodela za ovu
slučajnu promenljivu se zove χ2 raspodela sa n stepeni slobode. Ovaj broj
stepeni slobode govori koliko međusobno nezavisnih slučajnih promenljivih
ulazi u χ2n. Ako među slučajnim promenljivima X1,...,Xn imamo k veza, tada se
broj stepeni slobode smanjuje za k, tj. tada bi imali
χ2n-k= X21+...+X2n.
Obzirom da je izraz za gustinu raspodele slučajne promenljive χ2 dosta
komplikovan (za n=1,2,3 dat je grafik te funkcije na slici 40), to se verovatnoće
vezane za χ2 raspodelu zadate tabelarno. Te verovatnoće su date za broj
stepeni slobode n=1,...,30 i za dati broj α, 0<α<1 (obično se zadaju za α=0,01,
α=0,05,..., α=0,80), tj. iz tablice III očitavamo broj χ2n;α i taj broj ustvari je
veličina koju će slučajna promenljiva χ2n premašiti sa verovatnoćom α, tj.
{
}
P χ 2n ≥ χ 2n ;α = α .
- 229 -
sl. 40.
Ovo je prikazano i sledećom slikom (za naš broj n)
sl. 41.
• Parametri χ - raspodele su:
2
E(χ 2 ) = n ,
σ 2 ( χ 2 ) = 2n
Za n>30 se obično uzima da je χ2n slučajna promenljiva sa približno normalnom
raspodelom N(n,2n).
Napomenimo da ako su χ2n i χ2m nezavisne slučajne promenljive, tada je
χ2n+χ2m=χ2n+m.
11.5.8.6. Slučajna promenljiva sa Studentovom raspodelom
Ako su X sa normalnom raspodelom N(0,1) i χ2n nezavisne slučajne
promenljive, tada je slučajna promenljiva neprekidnog tipa data sa
tn =
X
χ 2n
+
n
naziva Studentova t-raspodela sa n stepeni slobode.
I ovde je izraz za gustinu raspodele dosta komplikovan, pa se verovatnoće
zadaju tabelarno, zapravo i ovde se zadaju brojevi u tablicama tn;α, gde je
0<α<1, gde je α verovatnoća da će ⏐tn⏐ premašiti broj tn,α, tj.
- 230 -
P ⎨⏐tn⏐≥ tn,α⎬=α,
ili kako to izgleda na slici:
sl. 42.
y - grafik funkcije gustine t-raspodele.
•• Parametri Studentove raspodele su:
σ 2 (t ) =
E (t ) = 0 ,
n
n−2
Napomenimo da kad n→∞ ova slučajna promenljiva teži normalnoj (za n≥120
to je već približno N(0,1) a može se uzeti i za n>30 da je dosta dobra
aproksimacija ove raspodele raspodela N(0,1)).
11.5.8.7. Slučajna promenljiva sa Fišerovom raspodelom
Ako su slučajne promenljive χ n1 i χ n2 nezavisne, tada se slučajna promenljiva
2
2
Fn1 ;n2 =
χ 2n1 / n 1
χ 2n2 / n 2
zove Fišerova sa n1 stepeni slobode u brojiocu i n2 stepeni slobode u imeniocu.
Izraz za gustinu je i ovde komplikovan ali je komplikovano i tabelarno
zadavanje zbog dva parametra n1 i n2. U tabelama se zadaju vrednosti Fn1 ;n2 ;α
(najčešće za α=0,05 i α=0,01) za koje je
{
}
P Fn1 ;n2 ≥ Fn1 ;n 2 ;α = α
Dakle, to je broj koji Fn1 ;n2 premašuje sa verovatnoćom α (slika 43).
sl. 43.
y - grafik funkcije gustine Fišerove raspodele.
- 231 -
••• Parametri Fišerove raspodele su:
E(F ) =
n1
( n2 > 2) ,
n2 − 2
σ 2 (F ) =
2n1 ( n1 + n2 − 2)
( n1 − 2) 2 ( n2 − 4)
Pored ovih pomenutih koriste se i brojne druge slučajne promenljive, od
kojih ćemo neke samo navesti sa nekim njihovim karakteristikama:
− Uniformna slučajna promenljiva U sa
⎧ 1
⎪
za a ≤ x ≤ b
ϕ( x) = ⎨ b − a
⎪⎩ 0 za x< a i x> b
( b − a)
a+b
σ2 ( U) =
12
2
− Eksponencijalna slučajna promenljiva ε sa
2
E (U ) =
⎧λe − λx za x ≥ 0
ϕ( x) = ⎨
za x< 0
⎩ 0
1
1 2
E( ε) =
σ ( ε) = 2
λ
λ
11.5.9. Korelacija dve slučajne promenljive
Korelacija je veza izme|u dve slučajne promenljive. Obično se posmatra
linearna veza, a stepen linearne zavisnosti dve slučajne promenljive X i Y meri
se koeficijentom linearne korelacije ρxy koji se izračunava na sledeći način:
ρx,y =
E( ( X − E( X) ) ⋅ ( Y − E( Y) ) )
+ σ2 ( X) ⋅ σ2 ( Y)
=
E( XY) − E( X) ⋅ E( Y)
+ σ2 ( X) ⋅ σ2 ( Y)
Ovaj koeficijent ima sledeće osobine:
(1) |ρx,y|≤ 1;
(2) Ako su X i Y nezavisne slučajne promenljive, onda je ρx,y =0 (obrnuto ne
mora važiti);
(3) |ρx,y|=1 ako i samo ako je Y=αX+β; pri tome je za α>0, ρ=1, a za α<0, ρ=-1.
- 232 -
11.5.10. Zakoni velikih brojeva. Centralna granična teorema
Prvo ćemo navesti jednu dosta jednostavnu nejednakost poznatu kao
Čebiševljeva nejednakost:
Ako slučajna promenljiva X ima konačno matematičko očekivanje kvadrata od
X, tj. E(X2) je konačno, tada za svako ε>0 važi Čebiševljeva nejednakost:
P{X ≥ ε} ≤
E( X 2 )
ε2
ili u drugačijem obliku
σ2 ( X)
P X − E( X) ≥ ε ≤
.
ε2
{
}
Pomoću ove nejednakosti može se dokazati sledeća
Teorema 2. Ako su X1,X2,... nezavisne slučajne promenljive sa istom raspodelom
i konačnom disperzijom, tj. E(Xk)=a k=1,2,..., σ2(Xk)=σ2 k=1,2,..., onda niz
aritmetičkih sredina
X1 + X2 + . . . + Xn
n
teži ka a kad n→∞ u sledećem smislu:
Xn =
{
n=1,2,...
}
za svako ε>0 P Xn − a ≥ ε → 0, n→∞.
Ako je n veće, X n je sve bliže konstanti a i slučajnost nestaje kod aritmetičkog
niza slučajnih promenljivih. Ovaj zakon je jedan od zakona velikih brojeva.
Sledeća teorema je poznata kao centralna granična teorema.
Teorema 3. Ako su X1,X2,... nezavisne slučajne promenljive sa istom raspodelom
i konačnom disperzijom, tj. E(Xk)=a k=1,2,... i σ2(Xk)=σ2 k=1,2,..., onda
standardizovani oblik njihovog zbira Sn=X1+X2+...+Xn, tj. raspodela slučajne
promenljive
S n∗ =
S n − E( S n )
σ2 ( S n )
=
S n − an
nσ2
=
X1 − a
X −a
+...+ n
σ n
σ n
teži, kad n→∞, normalnoj raspodeli N(0,1) (raspodela za Sn je N(na,nσ2)).
Napominjemo da ni ovaj rezultat nije najopštiji već analogan važi i za
proizvoljne slučajne promenljive i sa ne obavezno istom raspodelom (ali sa
nekim drugim uslovima, i u tim izmenjenim uslovima ćemo imati da zbir ima
normalnu raspodelu).
I ova teorema govori o važnosti normalne raspodele.
- 233 -
11.5.11. Regresija
U primenama teorije verovatnoće od interesa su aproksimacije slučajne
promenljive Y sa nekom funkcijom R(X) od slučajne promenljive X.
Najčešće se traži funkcija R(x), x∈R, takva da E(Y-R(X))2 bude minimum,
naravno za svako X=x. Može se dokazati da će ovo biti dostignuto kada je R(x)
uslovno matematičko očekivanje od Y za X=x, tj.
R(x)=E(Y⏐X=x).
Ova kriva R(x) se naziva regresiona kriva Y po X i za slučajne promenljive
diskretnog tipa ona je
R(xi)=E(Y⏐X=xi) i=1,2,...
a za slučajne promenljive neprekidnog tipa
+∞
R( x) = ∫ yϕ2 ( y x) dy x ∈ R .
-∞
U slučaju kada se zahteva da R(X) bude tačno odre|enog tipa, npr. linearna,
tada imamo regresiju odre|enog tipa, tj. linearnu.
Dakle, za linearnu regresiju se zahteva da
E( Y − ( αx + β) )
2
bude minimum i iz tog uslova se traže α i β.
Metodom najmanjih kvadrata se mogu dobiti α i β i sledeći izraz za funkciju
y = αx + β :
y = αx + β = EY + ρ X ,Y
σ 2Y
σ 2X
( x − EX ) .
KLJUČNI POJMOVI:
•
•
•
•
• SLUČAJNA PROMENLJIVA
• MATEMATIČKO OČEKIVANJE
• DISPERZIJA
SLUČAJNI DOGAĐAJI
VEROVATNOĆA
USLOVNA VEROVATNOĆA
NEZAVISNOST DOGAĐAJA
- 234 -
VI - GLAVA
ELEMENTI STATISTIKE
SADŽAJ OVOG POGLAVLJA JE:
• OSNOVNI STATISTIČKI POJMOVI, POPULACIJA, OBELEŽJE I UZORAK
• PRIKUPLJANJE I PRIKAZ PODATAKA
• STATISTIČKA ANALIZA – MERE SREDNJIH VREDNOSTI, ODSTUPANJA I
OBLIK
• PROST SLUČAJNI UZORAK
• INTERVALI POVERENJA
• TESTIRANJE HIPOTEZA
• POJAM TRENDA
Cilj nam je da ovaj račun uvedemo preko:
1. Upoznavanja studenata sa mogućnostima statističkih istraživanja i
zaključivanja.
2. Usvajanja osnovnih pojmova i definicija.
3. Sagledavanja populacija preko uzoraka.
4. Stastičkog zaključivanja preko uzoraka.
12. UVOD U STATSITIKU
Pod statistikom podrazumevamo:
• deskriptivnu statistiku – prikupljanje, obrada i prikazivanje
podataka;
• statističku analizu – dobijanje numeričkih pokazatelja i donošenje
odluka o posmatranim masovnim pojavama i njihovim
zakonitostima i karakteristikama;
• statističku teoriju – razvoj novih statističkih metoda.
Statistika se danas koristi u svim oblastima i delatnostima a statističke metode
se u velikoj meri koriste u prirodnim i društvenim naukama.
Možemo reći da predmet proučavanja statistike čine pojave koje se masovno
ispoljavaju sa različitim intenzitetima u pojedinim individualnim slučajevima.
Skup svih pojedinačnih elemenata koji su iste vrste ograničeni na nekom
prostoru i u nekom vremenu čine statistički skup ili populaciju. Ovaj skup može
- 235 -
biti konačan i beskonačan (prebrojiv i neprebrojiv). Elementarne jedinice
(element populacije) mogu biti nosioci jedne ili više pojava koje se zajedno
posmatraju.
Kvantitativne (i kvalitativne) karakteristike elementa statističkog skupa (populacije) zovemo obeležjima. Na istoj populaciji mogu se posmatrati jedno, dva ili
više obeležja. Skoro uvek je cilj da se vidi kako su obeležja raspoređena na
datom statističkom skupu. Očigledno je da ovaj cilj nije lako ostvarljiv, jer je
ponekad za to potrebno mnogo vremena, ponekad je to jako skupo a ponekad
i nemoguće. Zato se u statistici za određivanje rasporeda pojedinog obeležja ne
posmatra uvek cela populacija već najčešće samo jedan njen deo a onda se na
tom delu populacije napravi odgovarajući zaključak pa se zatim to što smo
zaključili za ovaj deo populacje proglasi da važi za celu populaciju.
Deo populacije koji se posmatra naziva se uzorak. Osnovni zadatak statistike je
da na osnovu uzorka donese što je moguće tačniji sud o celoj populaciji. Ovde
se prirodno postavlja pitanje da li je takvo zaključivanje korektno? U statistici
se smatra da jeste pod određenim uslovima:
• da je uzorak reprezentativan, odnosno da su svi elementi populacije
imali podjednaku šansu da uđu u uzorak i da su u uzorku uzeti elementi
na potpuno slučajan način.
O načinu uzorkovanje će biti kasnije više reči.
12.1. STATISTIČKO POSMATRANJE, PRIKUPLJANJE I PRIKAZIVANJE
PODATAKA
Kako je već rečeno na nekom statističkom skupu se uočava obeležje (obeležja)
koje se posmatra i čiju strukturu želimo da upoznamo. Posmatranje statističkog
skupa može biti potpuno ili delimično.
Potpuno posmatranje statističkog skupa obuhvata sve elemente statističkog
skupa u datom trenutku (takav je na primer popis stanovništva) i ovaj vid
posmatranja se naziva statistički popis. U potpuno posmatranje spada i
izveštajni metod koji neprekidno prati neki događaj koji se odigrava u toku
vremena.
Delimično statističko posmatranje je najčešći oblik statističkog posmatranja i
sprovodi se na delu populacije koji se naziva uzorak. Uzorci se u principu dele
na slučajne i nepotpune slučajne uzorke. Isto tako uzorci se dele po obimu na
velike (više od 30 jedinica) i male.
U bilo kom od statističkih posmatranja mora se raditi sa jednoobraznim
statističkim upitnicima koji sadrže jasna i nedvosmislena pitanja na koja se
moraju dobijati odgovori, kratki, jasni, nedvosmisleni i svima razumljivi. Na ovaj
- 236 -
način se eliminišu ili svode na najmanju meru greške koje su redovan pratilac
statističkih posmatranja, a kojih može biti više vrsta. Zbog mogućnosti
nastajanja grešaka obično se izvodi i kontrola statističkog istraživanja.
Dobijeni statistički materijal se dalje razvrstava (šifrira), prebrojava, klasifikuje i
grupiše svaka jedinica obuhvaćena istraživanjem. Dalje se ovi grupisani podaci
prezentiraju u obliku statističkih tabela i grafikona.
Rezultati statističke obrade podataka po obeležjima i po vremenu se nazivaju
statističkim serijama. One se prikazuju tabelama i grafikonima. Statističke
tabele su skupovi brojeva raspoređenih u pravouganu šemu. Razlikujemo
redove i kolone u tabeli.
Kao krajnji donji red može biti zbirni red (zbir po kolonama) a kao krajnja desna
kolona može biti zbirna kolona (zbir po vrstama).
Grafički prikaz satističkih podataka može biti različit: dijagrami i kartogrami.
Dijagrami grafički predstavjaju podatke pomoću tačaka, linija, površina,
zapremina. Kartogrami izražavaju statističke podatke na geografskim kartama.
12.2. O STATISTIČKIM SERIJAMA
Onovne vrste statistikih serija su serije struktura i vremenske serije. Serije
struktura se dele na numeričke i atributivne serije.
Numeričke serije pokazuju raspodelu pojedinih numeričkih vrednosti obeležja
po broju elemenata statističkog skupa koji je posmatran (broj i frekvencija).
Numerički podaci se mogu podeliti u nekoliko kategorija, prema tome kakve su
skale u kojima se ti podaci dobijaju. Tako na primer podaci o broju dece u
nekoj porodici su diskretni i obavezno celi brojevi. Podaci o visini ljudi
suneprekidnog karaktera (bez obzira što ćemo ih mi zbog načina merenja
prikazivati u diskretnom obliku). Isto tako postoje podaci koji se mere ali u
njihovoj skali merenja nemamo kao karakterističnu nultu vrednost već je ista
dogovorno odabrana (primer merenja temperature po Celzijusovoj i
Farenhajtovoj skali) Pored ovih postoje i tako zvani racio podaci koji imaju
fiksiranu nultu poziciju, takav podatak je recimo novac ako na primer neko ima
nula dinara onda to znači da on nema para. Sa ovim podacima se može
računati i mi ćemo se uglavnom u dajem baviti sa njima.
Atributivne serije pokazuju raspored pojedinih atributa po broju elemenata
populacije (atribut i frekvencija).
Vremenske serije pokazuju veličinu pojave u vremenu. Mogu biti momentne i
intervane. Momentne serije prikazuju stanje pojave u nizu uzastopnih
momentnih vremena. Intervalne serije prikazuju kretanje pojave u nizu
uzastopnih vremenskih intervala.
- 237 -
Statistička serija obično sadrži apsolutne brojeve stanja a može sadržati i
relativne brojeve, relativne frekvencije.
Numeričke serije se dele na numeričke serije sa prostom distribucijom
frekvencije (ovde se svakoj vednosti pridružuje broj njenih pojavljivanja –
frekvencija) i na intervalne distribucije frekvencija (gde se numeričke vrednosti
obeležja poklapaju intervalno, to jest svakom intervalu se pridružuje broj
pojavljivanja, frekvencija obeležja u tom intervalu).
U praksi se pitanje broja intervala i širine inervala određuje pomoću
Stardžesovog pravila:
Broj intervala K se određuje formulom K = 1 + 3,3log N
gde je N – broj posamtranih jedinica, a širina intervala C se određuje na
sledeći način
C=
X max + X min
K
gde je najveća vrednost obeležja u posmatranom skupu X max a X min
najmanja vrednost obeležja.
Klase u principu nisu razgraničene (imaju susedne jednu zajedničku tačku) to se
primenjuje pravilo da se granična (zajdenička) tačka pridružuje klasi u kojoj je
njena najmanja vrednost.
12.3. STATISTIČKE TABELE, POLIGONI I HISTOGRAMI
Podaci koji se prikupljaju za neko obeležje, bilo da su iz čitave populacije ili
uzorka, moraju se srediti da bi njihova upotreba bila celishodna.
Neka neko obeležje uzima vrednosti x1,x2,...,xk i neka je pri tome x1<x2<...<xk.
Ukupan broj elemenata u ovom posmatranom skupu je N a neka se x1,x2,...,xk
redom pojavljuju f1,...fk puta. Brojevi f1,...fk se zovu frekvencije vrednosti
obeležja i pri tome je jasno da je
f1+f2+...+fk=N.
f1
f
= r1 ,..., k = rk se zovu relativne frekvencije za koje očigledno važi
Brojevi
N
N
r1+...+rk=1.
- 238 -
Ovi brojevi se najčešće daju u obliku sledeće tabele
X
fi
ri
x2
f2
r2
x1
f1
r1
x3
f3
r3
...
...
...
xk
fk
rk
∑
N
1
Ova tabela se zove statistička tabela.
Ovi brojevi mogu biti dati i u Dekartovom koordinatnom sistemu - na apscisnoj
osi se daju vrednosti obeležja a na ordinati se nanose frekvencije. Ako se pri
tome susedne tačke spoje dobije se poligon raspodele učestanosti.
Ako je broj podataka veliki i broj vrednosti obeležja veliki, tada se najčešće
obeležja posmatraju u klasama i frekvencije se posmatraju na intervalu=klasi,
pa kad se nacrta u Dekartovom koordinatnom sistemu na apscisnoj osi se
nanesu klase a na ordinatnoj osi frekvencije, dobije se histogram učestanosti za
datu raspodelu.
Primeri sa rešenjima:
1. 30 studenata je polagalo statistiku i dobijene ocene su date tabelom:
X
fi
ri
5
5
1/6
6
7
7/30
7
8
4/15
8
6
1/5
9
3
1/10
10
1
1/30
∑
30
1
sl. 43.
2. 30 studenata je polagalo pismeni ispit iz matematike i dobijeni su sledeći
bodovi:
X
fi
f ri
0-44
5
5/30
45-55
7
7/30
56-68
9
9/30
69-79
6
6/30
- 239 -
80-90
2
2/30
91-100
1
1/30
∑
30
1
sl. 44.
12.4. MERE
Statističke serije opisane u prethodnom delu se kao što smo videli
prikazuju tabelarno i grafički. Iz ovih pokazatelja mi možemo, često dobro
uočiti pravilnosti koje poseduju posmatrane pojave. Da bi videli detaljnije
pojavu i njene zakonitosti koristimo:
(1.) mere centralne tendencie (srednje vrednosti)
(2.) mere odstupanja
(3.) mere oblika.
Ove se vrednosti pojavljuju kao pokazatelji rasporeda frekvencija i cele
populacije i tada ih zovemo parametri populacije a u slučaju uzorka statistika
uzorka.
12.4.1. Srednje vrednosti
Srednje vrednosti možemo podeliti na dve grupe: računske srednje vrednosti i
pozicione srednje vrednosti.
Karakteristike računskih srednjih vrednosti su da na njihovu vrednost utiču sve
elementarne jedinice da je veća od najmanje a manja od najveće elementarne
jedinice, a ako su sve vrednosti iste onda je i ona ta ista vrednost.
Postoje brojne srednje vrednosti koje se mogu računati: aritmetička sredina,
geometrijska sredina, harmonijska sredina, sredina kvadrata, sredina kubova,
.... Najčešće se posmatraju prve tri.
Pozicione srednje vrednsti se ne izražavaju matematičkim formulama iz svih
vrednosti posmatranih elementarnih jedinica, već se određuju iz dela istih
prema svojoj poziciji u posmatranom skupu.
Pozicione vrednosti su medijana i modus (mod).
- 240 -
Sve ove srednje vrednosti imaju svoju ulogu u određenim segmentima
statističkih analiza.
Aritmetička sredina
Koriste se tri obrasca za izračunavanje aritmetičke sredine m:
(1.) Ako su x1 ,....xn negrupisani podaci, tada je m =
ili skraćeno zapisujemo m =
n
∑x /n
i
i =1
(2.)
x1 + x2 + ... + xn
,
n
Ako su podaci grupisani i imamo prostu distribuciju frekvencija datu
tabelom
tada je
vrednosti
x1
x2
...
xr
frekvencije
f1
f2
...
fr
m=
x1 ⋅ f1 + x2 ⋅ f 2 + ... + xr ⋅ f r
f1 + f 2 + ... + f r
r
ili skraćeno zapisujemo
m=
∑x f
i =1
r
i i
∑f
i =1
i
Isto tako je očigledno da iz zadnjeg obrasca može se dobiti i sledeći obrazac
r
m = x1 ⋅ p1 + x2 ⋅ p2 + ... + xr ⋅ pr = ∑ xi pi
i =1
gde su pi relativne vrednosti pojavljivanja vrednosti xi tj: pi =
fi
r
∑f
j =1
j
Napomenimo da se u literaturi sreće i naziv ponderisana aritmetička sredina za
aritmetičku sredinu grupisanih podataka.
(3.) U slučaju intervalno prikazanih podataka datih tabelom:
intervali
[ x1 , x2 )
[ x2 , x3 )
...
[ xr −1 , xr ]
frekvencije
f1
f2
...
f r −1
- 241 -
aritmetička sredina se računa po obrascu
m=
xS 1 ⋅ f1 + xS 2 ⋅ f 2 + ... + xSr −1 ⋅ f r −1
f1 + f 2 + ... + f r −1
, dakle sredina i-tog intervala.
gde je
Aritmetička sredina je dobar pokazatelj za veliki broj serija koje su grupisane
oko te srednje vrednosti i koje nisu mnogo simetrične. Postoje situacie u
kojima ta sredina može dati iskrivljenu sliku o seriji mada one nisu česte.
Primer sa rešenjem
3. Naći aritmetičku sredinu za sledeće podatke
(a) 2,2,3,2,4,6,6,2,3,5,4
(b)
xi
2 3 4 5 6
fi
1 3 8 9 2
(c)
intervali
[0, 2)
[2, 4)
[4, 6)
[6,8)
frekvencije
3
8
12
7
Po definiciju aritmetičke sredine imamo rešenje:
(a)
m=
(b)
m=
(c)
m=
[8,10]
5
2 + 2 + 3 + 2 + 4 + 6 + 6 + 2 + 3 + 5 + 4 39
=
= 3,545
11
11
x1 ⋅ f1 + x2 ⋅ f 2 + ... + xr ⋅ f r 2 ⋅1 + 3 ⋅ 3 + 4 ⋅ 8 + 5 ⋅ 9 + 6 ⋅ 2 106
=
=
1+ 3 + 8 + 9 + 2
23
f1 + f 2 + ... + f r
xS 1 ⋅ f1 + xS 2 ⋅ f 2 + ... + xSr −1 ⋅ f r −1 1 ⋅ 3 + 3 ⋅ 8 + 5 ⋅12 + 7 ⋅ 7 + 9 ⋅ 5 181
=
=
f1 + f 2 + ... + f r −1
3 + 8 + 12 + 7 + 5
35
- 242 -
Geometrijska sredina
Geometrijska sredina se dobija kao n-ti koren svih n vrednsti obeležja koje
moraju biti veće od nule. Slično kao u prethodnom slučaju imamo tri obrasca:
Za proste negrupisane podatke geometrijska sredina G je
(1.)
G = N x1 ⋅ x2 ⋅ ... ⋅ xN
(2.)
Za grupisane podatke date tabelom
xi x1 x2 ...
xr
...
fr
fi
f1
f2
r
G=
(3.)
∑ fi
i =1
x1 f1 ⋅ x2 f 2 ⋅ ... ⋅ xr f r
za intervalne date podatke
intervali
[ x1 , x2 )
[ x2 , x3 )
...
[ xr −1 , xr ]
frekvencije
f1
f2
...
f r −1
r
G=
∑ fi
i =1
xS 1 f1 ⋅ xS 2 f 2 ⋅ ... ⋅ xSr −1 f r −1
gde su
xSi =
xi + xi +1
2
Inače ove vrednsoti se relativno lako računaju logaritmovanjem i
izračunavanjem log G pa zatim antilogaritmovanjem dobijamo vrednost za G.
Na primer da to uradimo za prvi obrazac za negrupisane podatke (analogno se
radi i za ostale):
log G =
1
(log x1 + log x2 + ... + log xN ) = V
N
⇒ G = 10V
Primer sa rešenjem
4. Cena jednog proizvoda u toku jedne godine je povećana za 10%, sledeće za
18%. Koliko je prosečno povećanje cena?
Prosečno povećanje cena se računa preko geometrijske sredine
G = 1,10 ⋅1,18 ≈ 1,13
dakle ono je 13% godišnje (a ne 14% što je aritmetička sredina povećanja)
- 243 -
Odnos između geometrijske i aritmetičke sredine je
G≤m
a jednakost je jedino u slučaju svih istih vrednosti.
Harmonijska sredina
Ova sredina izračunava se za vrednosti različite od nule. Koristi se kod obrnuto
proporcionalnih veličina. Kao u prethodnim slučajevima imamo tri vrste
obrazaca za harmonijsku sredinu H:
(1.)
H=
(2.)
Za proste negrupisane podatke x1 , x2 ,...xn
n
n
= N
1 1
1
1
+ + ... +
∑
x1 x2
xn
i =1 xi
Za grupisane podatke date tabelom
x1 x2 ...
xr
...
fr
f1
f2
r
f + f + ... + f r
H= 1 2
=
f1 f 2
fr
+ + ... +
x1 x2
xr
(3.)
∑f
i =1
r
i
fi
∑x
i =1
i
Za intervalno date podatke tabelom
intervali
[ x1 , x2 )
[ x2 , x3 )
...
frekvencije
f1
f2
...
[ xr −1 , xr ]
f r −1
r
f + f + ... + f r −1
H= 1 2
=
f1
f2
f r −1
+
+ ... +
xS 1 xS 2
xSr −1
gde je xSi =
∑f
i =1
r
i
fi
∑x
i =1
i
xi + xi +1
2
Harmonijska sredina je manja ili jednaka od geometrijske to jest važi:
H ≤G≤m
(a jednakost je jedino ako su sve vrednosti iste)
- 244 -
Primer sa rešenjem
5. Dva radnika rade na dve iste mašine isti proizvod. Jedan proizvod naprave
za 20 minuta, a drugi za 30 minuta. Koliki je prosek izrade proizvoda?
Prosečno vreme ovde treba računati po harmonijskoj sredini
H=
2
1
1
+
20 30
=
2 120
=
= 24
5
5
60
dakle, prosečno vreme izrade je 24 minuta, a ne preko aritmetičke sredine
m=
20 + 30
= 25
2
Napomena: Za intervalno date podatke, vrednosti za aritmetičku, geometrijsku
i harmonijsku sredinu se računaju kao da su sve vrednosti iz datog intervala
jednake srednjoj vrednosti iz datog intervala!
Odavde sledi da se primer (c) koji je dat posle aritmetičke sredine
intervali
[0, 2)
[2, 4)
[4, 6)
[6,8)
[8,10]
frekvencije
3
8
12
7
5
Praktično zamenjuje sa sledećim primerom za grupisane podatke
xi
1 3 5
7 9
fi
3 8 12 7 5
Pozicione srednje vrednosti
Ove vrednosti se određuju pozicijom, mestom vrednosti u seriji.
Medijana
Vrednost sredine serije podataka koje su poređane po veličini je medijana
(1.) ako su podaci negrupisani i poređani po veličini x1 ≤ x2 ≤ ... ≤ xn
onda je medijana
M e = xn +1
xn + xn
+1
2
Me = 2
2
n − neparan broj
- 245 -
n − paran broj
(2.)
Prethodni obrasci važe i za grupisane podatke s tim što je važno
napomenuti da se za grupisane podatke za prostu distribuciju frekvencija
medijana određuje kumulativna frekvencija (kumuliranjem frekvencija
’’ispod’’). U tom kumulativu odredi se broj u kome se sadrži
m
.
2
m
nalazi se vrednost medijane.
2
Naspram
(3.) Ako je serija data u intervalnom obliku sasvim zadovojavajuća vrednost za
medijanu(mada se može raditi i drugačije) se dobija kada se iz intervalnog
oblika pređe na oblik grupisanih podataka sa sredinama intervala kao
vrednostima na intervalu i onda se medijana pronalazi kao u predhodnom
slučaju.
Primeri sa rešenjima:
6. Neko je brojao putnike (na šalteru za kartu na autobuskoj stanici u intervalu
od jednog minuta) i rezultati su dati tabelom:
xi
0
1
2
3
4 5 6 7 8
fi
150 300 250 120 60 30 20 10 2
Naći medijanu. Tabela kumulativne frekvencije je:
xi
fi Kumulativne frekvencije
0 150
150
1 300
450
2 250
700
3 120
820
4
60
880
5
30
910
6
20
930
7
10
940
8
2
922
∑f
i
= 150 + 300 + 250 + 120 + 60 + 30 + 20 + 10 + 2 = 942
paran broj to je
x942 + x942
Me =
2
2
2
+1
=
x471 + x472 2 + 2
=
=2
2
2
jer se i 471 i 472 član nalazi među 250 dvojki (nula ima 150, jedinica 300).
- 246 -
7. Neka je dat intervalni raspored serije
[0, 2) [2, 4) [4, 6) [6,8)
intervali
frekvencije
5
10
18
30
[8,10)
[10,12)
[12,14]
17
8
6
Ovaj intervalni raspored se prebacuje u običan raspored sa sredinama i dobija
se sledeća tabela
xi 1 3 5 7 9 11 13
fi
5 10 18 30 17
A odavde se lako vidi da je medijana jednaka 7.
8
6
Modus (mod)
Mod je vrednost u seriji koji ima najveću frekvenciju. Serija može imati samo
jedan mod unomodalna, ili može imati više modova polimodalna. Za intervalne
distribucije frekvencije prvo se odredi grupisani oblik sa sredinama intervala
umesto intervala, pa se odredi vrednost (vrednosti) sa najvećom frekvencijom:
Primer sa rešenjem
8. Odrediti mod za prethodni primer.
Očigledno je interval sa najvećom frekvencijom [6,8) dakle imamo da njegova
srednja vrednost ima najveću frekvenciju u grupisanom obliku sa sredinama pa
je mod jednak 7.
12.4.2. Mere odstupanja i centralni momenti
Ove mere su mere odstupanja među članovima serije, ili kako se to još češće
naziva mere varijabiliteta. Možemo ih podeliti na pozicione mere varijacije i
računske mere. Od pozicionih ćemo posmatrati razmak varijacije a od
računskih ćemo posmatrati srednje apsolutno odstupanje, srednje kvadratno
odstupanje (varijansa) i disperziju.
Ove mere spadaju u apsolutne mere odstupanja. Koriste se i relativne mere
(vrednost obeležja iskazuje se u relativnim brojevima) odstupanja koje su
pogodne u nekim situacijama.
Razmak varijacije R se definiše kao razlika između maksimalne i minimalne
vrednosti u seriji dakle R = xmax − xmin
- 247 -
Srednje apsolutno odstupanje se definiše za negrupisane podatke x1 ,...xn
S AO =
formulom
1 n
∑ xi − m
n i =1
a za grupisane podatke (analogno i za intervalne podateke,)
xi x1 x2 ... xr
fi
S AO =
Formulom
f1
f2
...
fr
r
1
⋅ ∑ fi xi − m
r
∑f
i =1
1
1
U statitici za mere odstupanja od aritmetičke sredine koristi srednje kvadratno
odstupanje:
2
Za negrupisane podatke x1 ,...xn S n =
2
ili S n =
1 n
2
( xi − m )
∑
n 1
1 n 2
xi − m 2
∑
n 1
Za grupisane podatke:
1
2
Sn =
m
∑
r
∑f
i =1
i =1
xi
x1
x2
...
xr
fi
f1
f2
...
fr
fi ( xi − m )
2
i
2
1
2
ili S n =
∑fx
i i
n
∑f
i =1
2
− m2
1
i
(Za inervalne podatke se koristi isti obrazac samo umesto xi se uzima sredina
intervala xSi ).
Srednje kvadratno odstupanje se obeležava sa σ 2 i zove se još i varijansa a
kvadratni koren iz srednjeg kvardatnog odstupanja σ i zove se standardana
deviacija. Inače izrazi za računanje srednjeg kvadratnog odstupanja zovu se još
i centralni momenti drugog reda. U statistici se koriste još i centralni momenti
reda 1,2,3,4, a koji se definišu izrazima:
Mk =
1 n
( xi − m) k
∑
n i =1
k = 1, 2,... za negrupisane podatke, x1 ,...xn ,
odnosno za grupisane podatke
xi
x1
x2
...
xr
fi
f1
f2
...
fr
- 248 -
Formulom M k =
2
1
∑ f ( x − m)
r
∑f
i
i =1
k
i
u statistici se definišu i obični
i
1
momenti mk =
mk =
∑ f ⋅x
n
i =1
za
negrupisane
x1 ,...xn odnosno
podatke
n
1
∑f
1 n k
∑ xi
n 1
i =1
i
k
i
za grupisane podatke
i
xi
x1
x2
...
xr
fi
f1
f2
...
fr
(očigleno je ako je m = 0,
M k = mk )
2
Srednje kvadratno odstupanje se dobija i iz formule S = m2 − m12
Kao relativna mera varijacije (koja je ponekad značajna) koristi se količnik
srednjeg kvadratnog odstupanja i kvadrata aritmetičke sredine
2
S
σ2
σ
V = 2 = 2 ili što je još češće V =
m
m
m
2
koji je relativan broj i zove se koeficijent varijacije i ponekad se izražava u % (
ima smisla jedino ako je m ≠ 0 ).
12.4.3. Mere oblika
Kao mere oblika koriste se momenti trećeg i četvrtog reda i njihovi odnosi sa
σ 3 i σ 4 . Dakle asimetrija se meri koeficijentom:
α3 =
M3
σ3
=
1 r
∑ fi ( xi − m)3
n 1
σ3
a spljoštenost se meri koeficijentom:
α4 =
M4
σ4
=
1 r
fi ( xi − m) 4
∑
n 1
- 249 -
σ4
Ako je α 3 = 0 raspored je simetričan;
α 3 > 0 imamo asimetriju u desno;
α 3 < 0 , imamo asimetriju u levo.
Što je vrednost α 3 veća (po apsolutnoj vrednosti) to je asimetrija veća. Smatra
se da je asimetrija umerena ako je −2 < α 3 < 2 .
Što se koeficijenta α 4 tiče smatra se da je raspored normalan ako je α 4 = 3 ;
Ako je α 4 > 3 to je veća koncentracija vrednsti oko aritmetičke sredine;
α 4 < 3 to su vrednosti razbacanije oko aritmetičke sredine nego
što je to slučaj kod normalnog rasporeda.
12.5. IZBOR SLUČAJNOG PROSTOG UZORKA
Ako je data jedna populacija, nju možemo shvatiti kao skup mogućih ishoda pri
nekom eksperimentu Ω, a njeni elementi su tada "elementarni događaji" ω.
Kada se svakom elementu populacije pridruži broj, tj. njegovo obeležje, to
obeležje je jedna slučajna promenljiva X=X(ω), ω∈Ω. Ako izaberemo slučajno n
elemenata populacije ω1,...,ωn, mi dobijamo jednu slučajnu n-dimenzionalnu
promenljivu
(X(ω1),...X(ωn))
koju možemo označiti i sa (X1,...,Xn). Ova n-dimenzionalna slučajna promenljiva
se zove slučajni uzorak obima n. Ako sve promenljive X1,...,Xn imaju istu
raspodelu kao i obeležje X na celoj populaciji, tada se ovaj slučajni uzorak
naziva prost ili samo uzorak.
Ovde će biti data jedna konkretna tehnika za dobijanje prostog uzorka koji nam
omogućava da imamo poverenje u njega - da je reprezentativan
(reprezentativnost uzorka se manifestuje tako što je postupak njegovog
dobijanja nezavisan od obeležja koje posmatramo):
• Elemente populacije, kojih ima N, numerišemo brojevima 0,1,...,N1.
• Sa slučajno uzetog mesta u tablici slučajnih brojeva očitamo redom
n brojeva od 0 - N-1, s' tim što nema ponavljanja brojeva
• već uzeti broj ne uzimamo ponovo.
Uzmemo vrednosti "izabranih" n elemenata populacije i to je prost slučajni
uzorak (x1,...,xn) od n-elemenata.
Važno pitanje vezano za uzorak je i njegov obim.
- 250 -
Odgovor na ovo pitanje je veoma važan jer premali uzorak će dati "lošu" ocenu
a preveliki uzorak može biti skup, a takođe nam oduzima i vreme. U svakoj
konkretnoj situaciji u zavisnosti od željene tačnosti ocene može se dobiti
veličina traženog uzorka. To ocejnivanje prevazilazi obim ovog kursa.
12.6. OCENE PARAMETARA
Osnovni problem statistike je da na osnovu uzorka (X1,...,Xn) zaključi kakva je
-∞<x<+∞.
raspodela obeležja X:(p(ti)), i=1,2,..., odnosno ϕ(x)
Ako još na osnovu nekih drugih razmatranja znamo da obeležje ima neki
određeni tip raspodele (a to je često slučaj), tada treba samo odrediti
parametre te raspodele.
Opišimo u kratkim crtama taj problem:
Treba odrediti nepoznati parametar θ obeležja X. Za uzorak (X1,...,Xn) biramo
statistiku
θn=f(X1,...,Xn)
pomoću koga ocenjujemo parametar θ.
Naravno, (X1,...,Xn) je n-dimenzionalna slučajna promenljiva a kada uzmemo
uzorak (x1,...,xn) mi iz uzorka dobijemo broj
vn=f(x1,...,xn)
u koji možemo imati veće ili manje poverenje. Ovako dobijena vrednost zove
se još i tačkasta ocena parametra θ.
U matematičkoj statistici postoji razrađena teorija kako izabrati statistiku θn da
bi "poverenje" u ocenu parametra θ bilo što veće.
Obično se zahteva da ocena θn parametra θ bude "centrirana", tj. da naša
funkcija ima osobinu da je
E(θn)=θ.
Pri tome se od dve centrirane ocene θn1 i θn2 parametra θ smatra boljom ona
čija je disperzija manja.
Naravno, određivanje statistika koje najbolje ocenjuju nepoznate parametre
prevazilazi okvir ovog kursa i time se ovde nećemo baviti.
12.7. INTERVALI POVERENJA
Ako treba oceniti nepoznati parametar θ zadatak se može i ovako postaviti:
Naći vrednosti θ1 i θ2 tako da je
P{θ1<θ2}=1 i P{θ1<θ<θ2}=β.
- 251 -
Naravno, θ1 i θ2 se dobijaju kao statistike iz uzorka x1,...,xn a β je zadata
verovatnoća. Interval [θ1,θ2] se zove interval poverenja a β se zove nivo
poverenja. Obično se želi da interval bude manji a β što veće (oprečni zahtevi).
Izlaz se traži u povećanju obima uzorka. Kada se uzorak uzme tada se dobijaju
brojevi v1 i v2 i naš interval postaje određeni interval [v1,v2]. Naš parametar θ
"upada" ili ne u ovaj interval a β ne treba shvatiti kao verovatnoću da će se θ
naći u tom intervalu, već β treba shvatiti da ako napravimo više uzoraka tada u
približno 100β% ovaj interval prekriva parametar θ.
Interval poverenja za nepoznatu verovatnoću p: Kod elemenata populacije se
događaj A realizuje sa nepoznatom verovatnoćom P(A)=p. U uzorku od n
elemenata broj realizacija događaja A je slučajna promenljiva Sn sa binomnom
raspodelom. Pri tome na osnovu centralne granične teoreme S n − np ima
npq
približno normalnu raspodelu N(0,1), odakle je
⎧ S − np
⎫
⎪
⎪
n
P⎨
≤ Zβ ⎬ = β
⎪⎩ np (1 − p )
⎪⎭
pa sledi da je interval poverenja za nepoznatu verovatnoću p interval između
manjeg i većeg rešenja jednačine po p:
(n
2
+ n ⋅ zβ2 ) p 2 − ( 2n ⋅ S n + n ⋅ zβ2 ) p + S n2 = 0
Sn - broj "povoljnih" događaja za nepoznatu verovatnoću od n mogućih
β
zβ - broj dobijen iz tablice za normalnu raspodelu takav da je φ z β = .
2
Taj interval je
⎡
⎛ S z2
S ( n − Sn ) zβ2 ⎞ n ⎛ Sn zβ2
Sn ( n − Sn ) zβ2 ⎞⎤
⎢ n 2 ⎜ n + β − zβ n
⎜ + + zβ
+ 2 ⎟,
+ 2 ⎟⎥
n
n
4n ⎟ n + zβ2 ⎜ n 2n
4n ⎟⎥
⎢ n + zβ ⎜ n 2n
⎝
⎠
⎝
⎠⎦
⎣
Naravno, kad se uzme uzorak dobijaju se dva broja koji ne moraju obavezno
biti u [0,1] mada je verovatnoća sigurno u intervalu [0,1].
( )
Primer sa rešenjem
9. U jednom pogonu proizvedeno je u toku jednog radnog dana 80 proizvoda i
nađeno je da su 4 od njih defektna. Naći 95% interval poverenja za nepoznatu
verovatnoću p=P{proizvod je defektan}.
- 252 -
β 0,95
=
= 0,475
2
2
= 0,475 ⇒ zβ = 1,96 (U tablici nalazimo broj 47500 levo je 1,9 iznad je
U ovom slučaju n=80 a Sn=4. zβ dobijamo iz tablice: Nalazimo
( )
φ zβ
6, dakle zβ=1,96 i postavljamo jednačinu
(802+80⋅1,96)p2-(2⋅80⋅4+80⋅1,962)p+16=0, odnosno 0,0196≤p≤0,1216
Interval poverenja za matematičko očekivanje m u slučaju poznate
disperzije σ2:
σ
σ ⎤
⎡
m ∈ ⎢ xn − zβ
, xn + zβ
⎥
n
n⎦
⎣
gde je:
β
z β : φ z β = , x n - sredina uzorka.
2
( )
Primer sa rešenjem:
10. Pretpostavimo da je disperzija σ 2 = 4 pri proizvodnji jedne vrste proizvoda
u njihovoj težini. Ako je iz jedne serije uzet uzorak
n=200 komada i
nađeno da je prosečna težina u tom uzorku X 200 = 2,1 kg odrediti:
a) 98% interval poverenja za težinu proizvoda;
b) 90% interval poverenja za težinu proizvoda.
a) Ovde je n=200 X n = 2,1 .
β
= 0,49000 (β = 0,98) . U tablici imamo da je
2
z0,48983=2,32 i z0,49010=2,33 a nama treba broj z0,49000. Taj broj dobijamo iz sledeće
proporcije:
0,00027:0,01=0,00017:x,
zβ određujemo iz tablice
0,00017 ⋅ 0,01
≈ 0,06 , pa je zβ=2,32+0,006=2,326 i kada ove
0,00027
vrednosti uvrstimo u obrazac dobijamo interval poverenja
odakle je x =
m∈(1,77;2,43).
b) Interval iznosi (1,87;2,33).
- 253 -
Napomena: Dužina intervala poverenja, koja iznosi 2zβ
σ
, nije slučajna
n
veličina već je sve manja sa povećanjem obima uzorka n, a naravno ona se
smanjuje ako nivo poverenja β smanjujemo.
Interval poverenja za matematičko očekivanje m kad disperzija σ2 nije
poznata:
⎡
Sn
Sn ⎤
, xn + tn −1;1− β
m ∈ ⎢ xn − tn −1;1− β
⎥.
n −1
n −1 ⎦
⎣
Primeri sa rešenjima:
11. Meteorološka stanica je u desetogodišnjem praćenju ustanovila da su na
jednom planinskom mestu godišnje visine snežnog pokrivača iznosile: 0,90;
1,10; 1,20; 1,05; 1,30; 0,85; 1,15; 1,00; 0,95; 1,25.
Odrediti 90% interval poverenja za E(X)=m.
Ovde je n=10, β=0,9 pa iz tablice V čitamo broj t9;0,10=1,833. Određujemo
1
( 0,90 + 1,1 + 1, 2 + 1, 05 + 1,3 + 0,85 + 1,15 + 1, 00 + 0,95 + 1, 25)
10
x10 = 1, 075
x10 =
zatim određujemo
σ 102 =
2
1 10 2
1
xk − x10 = ( 0,902 + 1,12 + . . . + 1, 252 ) − 1, 085625 = 0, 090625
∑
10 k =1
10
Dakle, 90% interval poverenja je
⎡
0, 090625
0, 090625 ⎤
m ∈ ⎢1, 075 − 1,833 ⋅
, 1, 075 + 1,833 ⋅
⎥,
9
9
⎣
⎦
odnosno približno
m ∈[ 0,8911, 1,2789] .
Interval poverenja za nepoznatu disperziju σ2:
- jednostrani
2
⎡
n ⋅ Sn ⎤
⎢ 0,
⎥
χ 2n −1;β ⎥
⎢
⎣
⎦
- dvostrani
- 254 -
⎡
2
2
⎢ n ⋅ Sn
n ⋅ Sn
,
⎢
⎢ χ n−1; 1−β χ n−1;1+β
2
2
⎣
⎤
⎥
⎥.
⎥
⎦
12. Neka obeležje X ima normalnu raspodelu N(m,σ2). Uzorak obima n=16 daje
sledeće rezultate
16
16
k=1
k =1
∑ x k = 36 i ∑ x 2k = 96,5 .
Naći dvostrani i jednostrani interval poverenja za σ2 za β=90%.
U oba slučaja treba prvo naći
2
2
36
1 16 2
1
x 16 =
= 2,25 i S16 =
∑ x k − x 16 = 96,5 − 5,025 = 1,00625
16 k =1
16
16
Iz tablice nalazimo
2
χ 15
; 0 , 90 = 8,547
i 90% jednostrani interval poverenja je
⎡ 16 ⋅ 1,00625⎤
≅ [0, 1,8837] .
⎢0,
8,547 ⎥⎦
⎣
Isto tako iz tabele nalazimo
2
2
χ 2 1− 0,9 = χ 15
; 0,05 = 24 ,996 i χ
15;
15;
2
1+ 0,9
2
2
= χ 15
; 0, 95 = 7 ,697
i imamo 90% dvostrani interval poverenja
⎡ 16 ⋅ 1,00625 16 ⋅ 1,00625⎤
⎢ 24,996 ; 7,667 ⎥ ≅ [ 0,6441;2,200] .
⎣
⎦
2
Napomena 1: Vrednost χ 15
;0,95 je dobijena "linearnom ekstrapolacijom".
Naime, u tablici imamo vrednosti
2
2
χ15;0,80
= 10, 307 i χ15;0,90
= 8, 547
2
Kako treba dobiti χ 15
;0,95 rezultat dobijamo koristeći se slikom 45 i
računamo:
10,307 − 8,547
= 0,176
10
2
2
χ 15
; 0,95 = χ 15; 0,90 − 5 ⋅ 0,176 = 8,547 − 0,880 = 7,667 .
- 255 -
Napomena 2: Obim uzorka n se određuje tako što se unapred zada veličina
intervala poverenja a izvrši se procena vrednosti nepoznatih statistika i
parametara koji se u dužini intervala nalaze.
sl. 45.
12.8. TESTIRANJE STATISTIČKIH HIPOTEZA
Rešavanje osnovnog problema statistike - kakva je raspodela populacije na
osnovu uzorka za neko obeležje se često vrši tako što se pretpostavi da
obeležje ima neku raspodelu i ta pretpostavka se zove statistička hipoteza.
Postupak verifikacije neke statističke hipoteze se zove statistički test. Dakle,
uzorak obima n je u principu jedna n-dimenzionalna slučajna promenljiva
(X1,...,Xn). Funkcija
θn=f(X1,...,Xn)
kojom ocenjujemo parametar θ se naziva statistika. Ako se pretpostavka
(hipoteza) odnosi na parametre raspodele, onda se test zove parametarski a u
suprotnom neparametarski.
Pri testiranju hipoteze važno je ustanoviti postupak, odnosno kriterijum na
osnovu koga ćemo na osnovu uzorka istu prihvatiti ili odbaciti. U tom smislu
hipoteze je pogodno ovako klasifikovati:
Ako hipoteza određuje u potpunosti neku raspodelu onda se ona naziva prosta
a u protivnom se naziva složena.
Obično se testira jedna prosta hipoteza H0 koja se još zove i nulta hipoteza.
Suprotna hipoteza H1 nultoj hipotezi H0 se zove još i alternativna hipoteza koja
može biti i prosta i složena. Pri tome mi možemo ovde napraviti dve vrste
grešaka: greška prvog tipa je da odbacimo H0 ako je ona faktički tačna i greška
drugog tipa je prihvatanje H0 ako ona nije tačna. Naravno, cilj je uvek
minimiziranje verovatnoća ovih grešaka ali se time ovde ne bavimo, ali
konstatujmo da se uvećanjem obima uzorka ove verovatnoće po pravilu
smanjuju.
- 256 -
U okviru ovog kursa ćemo se baviti jedino testiranjem hipoteza o raspodelama
statističkih podataka odnosno vršićemo proveru da li je dato obeležje u okviru
nekog statističkog skupa raspoređenom po odrđenom zakonu.
12.9. PIRSONOV
χ 2 TEST
Ovaj test spada u klasu tzv. neparametarskih testova i služi za proveru nulte
hipoteze
• H0: obeležje X ima jednu potpuno određenu raspodelu (p(xi), i=1,2,... ili
ϕ(x), -∞<x<+∞ u zavisnosti od tipa slučajne promenljive X), protiv
alternativne hipoteze
• H1: obeležje X nema tu raspodelu.
Za uzorak se ovde zahteva da ima obim n≥50. Test ćemo izložiti po koracima:
Skup brojeva R, gde X može imati n vrednosti, delimo na r (r≥2) disjunktnih
podskupova S1,...,Sr. Pretpostavljajući da je H0 tačna izračunamo koliko će
teorijski od n vrednosti (x1,...,xn) "pasti" u svaki od podskupova Si (biće ih Mi) sa
(
)
verovatnoćama p i = PH0 X ∈ Si , i=1,...,r i E(Mi)=npi. Iz uzorka (x1,...,xn)
konstatujemo koliko se članova nalazi u svakom od Si i te brojeve označimo sa
m1,m2,...,mr (m1+m2+...+mr=n). Pri tome je očigledno statistika
n
∑
(M
k
k =1
− np k )
np k
2
χ 2 statistika sa r-1 stepeni slobode koja za date brojeve mi ima određenu
vrednost:
r
χ r −1 2 = ∑
( m − np )
i
k =1
i
np i
2
.
Za zadati prag značajnosti α određujemo iz tablica broj χ r−1;α i upoređujemo ga
2
2
sa "našim" brojem χ r−1 :
ako je χ r −1 < χ r −1;α ne odbacujemo hipotezu H0
2
2
ako je χ r −1 ≥ χ r −1;α onda H0 odbacujemo.
2
2
Ovde je važno napomenuti:
1) da prilikom podele skupa RX na disjunktne skupove treba voditi računa da u
svakom Si iz uzetog uzorka bude najmanje 5 članova (tj. mi≥5, i=1,...,r), s'
tim što eventualno neki od krajnjih intervala ne moraju imati ovo svojstvo.
- 257 -
2) Ako smo iz uzetog uzorka (x1,...,xn) za našu raspodelu izračunali (ocenili) s
parametara, tada broj stepeni slobode u χ 2 -raspodeli iznosi r-s-1.
2
3) Ako je r-s-1>30 tada ocenu broja χ r −s−1;α vršimo iz tablice za normalnu
raspodelu (imajući u vidu da za n>30 i χ 2 -raspodela aproksimira sa
normalnom raspodelom N(n,2n).
Primeri sa rešenjima:
19. Registrovan je broj ljudi pred šalterom pošte u jednakim vremenskim
razmacima
xi broj ljudi
ni broj intervala
0
120
1
160
2
125
3
60
4
30
5
10
6
4
7
1
Koristeći Pirsonov χ 2 test ispitati da li je ovo Puasonova raspodela pri nivou
značajnosti 5%.
n=510
λ=
160 + 250 + 180 + 120 + 50 + 24 + 7 791
=
≈ 1,5
510
510
Iz tablice 1 za λ=1,5 nalazimo verovatnoće
p1≅0,2515
np1≅130,9
p2≅0,3193
np2≅163,8
p3≅0,2273
np3≅115,9
p4≅0,1209
np4≅62,8
p5≅0,0528
np5≅26,9
p6≅0,0196
np6≅10,0
p7≅0,0086
np7≅4,4
10,92 3,82
9,12 2,82 3,12 0,62
+
+
+
+
+
≅
130,9 162,8 115,9 62,8 26,9 4,4
≅ 0,9 + 0,1 + 0,7 + 0,15 + 0,30 + 0,08 ≅ 2,23 < 9,48
χ2 =
znači nemamo razloga da odbacimo hipotezu.
- 258 -
20. Data je tablica sa statističkim podacima:
I (0,3) (3,6) (6,9) (9,12) (12,15) (15,18) (18,21) (21,24) (24,27) (27,30)
nx 1
3
4
6
11
10
7
5
2
1
Proračunati Pirsonovim χ2 testom da li je ova raspodela normalna.
n=50 (n=∑nx). Tabela sa sredinama ima obik (srednju vrednost uzimamo
kao predstavnika intervala):
X
n
wx = x
n
1,5
4,5
7,5
10,5
13,5
16,5
19,5
22,5
25,5
28,5
0,02 0,06 0,08 0,12
0,22
0,2
0,14
0,1
0,04
0,02
Radi lakšeg računa izvršimo zamenu promenljive po formuli X=3T-1,5, odnosno
X + 1,5
T=
i zapišimo raspodelu za T i T2:
3
T
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
wT 0,02 0,06 0,08 0,12 0,22 0,2 0,14 0,1 0,04 0,02
T2
w T2
1
4
9
16
25
36
49
64
81
100
0,02 0,06 0,08 0,12 0,22 0,2 0,14 0,1 0,04 0,02
i računajmo
E(T)=1⋅0,02+2⋅0,06+ . . . +10⋅0,02=5,5
E(T2)=1⋅0,02+4⋅0,06+ . . . +100⋅0,02=34,1
Dakle
E(X)=3E(T)-1,5=15
σ2(X)=9σ2(T)=9(E(T2)-(E(T))2)=9⋅(34,1-5,52)=9⋅(34,1-30,25)=9⋅3,85
σ ( X) = 9 ⋅ 3,85 ≅ 5,9
Sada tražimo pripadajuće teorijske verovatnoće:
- 259 -
X − 15 3 − 15⎞
X − 15
⎛
⎞
⎛
< −2,03⎟ =
p 1 = P( −∞ < X < 3) = P⎜ −∞ <
<
⎟ = P⎜ −∞ <
⎝
⎠
⎝
5,9
5,9 ⎠
5,9
= Φ( −2,03) − Φ( −∞ ) = − Φ( 2,03) + Φ( +∞ ) = 0,5 − 0,47726 ≈ 0,02
X − 15
⎛
⎞
⎛ 3 − 15 X − 15 6 − 15⎞
< −1,186⎟ =
p 2 = P( 3 < X < 6) = P⎜
<
<
⎟ = P⎜ −2,03 <
⎝
⎠
⎝ 5,9
5,9
5,9 ⎠
5,9
= Φ( -1,186) − Φ( −2,03) = Φ(2,03) − Φ(1,186) ≈ 0,04
p 3 ≈ 0,09
p 4 ≈ 0,15 p 5 ≈ 0,20
p 6 ≈ 0,20
p 7 ≈ 0,15 p 8 ≈ 0,09 p 9 ≈ 0,04 p 10 ≈ 0,02
Sada tražimo teorijske vrednosti:
np1=50⋅0,02=1
np6=10
np2=2
np7=7,5
np3=4,5
np8=4,5
np4=7,5
np9=2
np5=10
np10=1
Prva dva razreda i poslednja dva razreda spajamo u po jedan razred i
dobijamo
8
( mi − np i ) 2
12 0,52 1,52 12 0 0,52 0,52 0
+
+
+ + +
+
+ = 0,875
np i
3 4,5 7,5 10 10 7,5
4,5 3
i =1
Iz tablice za χ2 raspodelu čitamo
χ =
2
∑
=
χ 28− 2 −1;0,05 = 14,067
i kako je 0,875<14,067 nemamo razloga da odbacimo hipotezu.
12.10. METOD NAJMANJIH KVADRATA
Pretpostavimo da imamo neku zakonitost
(1)
y=f(x, a0, ..., am)
koja daje vezu zavisne promenljive y, nezavisne promenjive x, preko m+1
parametara a0,a1,...,am za koje znamo da su konstantni, ali koji nam nisu
poznati. Pretpostavimo takođe da možemo dobiti veličine x i y (na primer
merenjem), a da vrednosti parametara nije moguće dobiti na isti način. Dakle,
među veličinama x i y dobijenih eksperimentom, odnosno merenjem, postoje
veze
y1=f(x1, a0, ..., am)
- 260 -
y2=f(x2, a0, ..., am)
(2)
................
yn=f(xn, a0, ..., am)
pri čemu su x1 i y1, x2 i y2,..., xn i yn veličine koje su dobijene eksperimentom
(merenjem), a n je broj ponovljenih eksperimenata (merenja). Iz ovih n veza
treba odrediti nepoznate parametre a0,...,am.
Ako bi nalazili tačne vrednosti za x i y, tada bi za nalaženje ovih m+1
parametara bilo dovoljno imati m+1 veza. Međutim, vrednosti za x i y sadrže
određene greške i zbog toga nije moguće dobiti prave vrednosti za x i y,
odnosno nije moguće odrediti ni prave vrednosti za parametre. Pri tome je po
pravilu i broj n veći od broja m+1, pa će se pri rešavanju sistema (2) dobiti
nesaglasnost, odnosno rešenja od nekih m+1 jednačina neće zadovoljavati
ostale jednačine.
Zaključak je sledeći: U vezama (2) postoje određene netačnosti i parametre
a0,...,am nije moguće dobiti kao tačne vrednosti. Uz pretpostavku da su greške
pri merenju (eksperimentu) raspodeljene po normalnom zakonu, tada se
najverovatnije vrednosti za parametre a0,...,am dobijaju metodom najmanjih
kvadrata, tj. na sledeći način:
Kako veze (2) nisu tačne, to imamo
y1-f(x1, a0, ..., am)=ε1
y2-f(x2, a0, ..., am)=ε2
.................
yn-f(xn, a0, ..., am)=εn
(3)
gde su ε1,...,εn greške. Parametre a0,...,am biramo tako da zbir kvadrata grešaka
Φ ( a0 , . . . , a m ) = ε12 + . . . +ε n2
bude najmanji, odnosno traži se minimum funkcije
Φ( a 0 , . . . , a m ) =
n
∑[ y
i =1
i
− f ( x i , a 0 , . . . , an )
]
2
Da bi se ovaj minimum našao potrebno je naći parcijalne izvode
(4)
∂Φ
i=0,...,m i
∂a i
rešiti sistem jednačina
∂Φ
=0
∂a i
- 261 -
(5)
Sistem (5) je relativno jednostavno rešiti ako je funkcija (1) linearna u odnosu
na parametre, tj. ako je
f(x, a0, ..., am)=ϕ0(x)a0+ϕ1(x)a1+ . . . +ϕm(x)am.
Tada sistem (5) postaje
n
∑[ y
i
− ϕ 0 ( x i ) a 0 − ϕ 1 ( x i ) a 1 − . . . - ϕ m ( x i ) a m ⋅ −ϕ 0 ( x i ) = 0
∑[ y
i
− ϕ 0 ( x i ) a 0 − ϕ 1 ( x i ) a 1 − . . . - ϕ m ( x i ) a m ⋅ −ϕ 1 ( x i ) = 0
2
i =1
n
2
i =1
][
]
][
]
(6)
.................................................
n
∑[ y
2
i =1
i
][
]
− ϕ 0 ( x i ) a 0 − ϕ 1 ( x i ) a 1 − . . . - ϕ m ( x i ) a m ⋅ −ϕ m ( x i ) = 0
čije rešenje daje traženu funkciju.
Primeri sa rešenjima:
21. Date su vrednosti
3
5
5
(1,1), (2,2), (3, ), (4,2), (5, ), (6,3), (7,4), (8, ).
2
2
2
Naći zavisnost y=ax+b po metodi najmanjih kvadrata.
Tražena funkcija Φ(a,b) ima oblik
2
2
2
2
2
⎛3
⎞
⎛5
⎞
Φ( a, b) = (1 − a − b) + (2 − 2a − b) + ⎜ − 3a − b⎟ + (2 − 4a − b) + ⎜ − 5a − b⎟ +
⎝2
⎠
⎝2
⎠
⎛5
⎞
+ ( 3- 6a- b) + ( 4 − 7a − b) + ⎜ − 8a − b⎟
⎝2
⎠
2
2
a sistem (6) postaje sistem:
- 262 -
2
∂Φ
⎛3
⎞
= 2(1− a − b) ⋅ ( −1) + 2(2 − 2a − b) ⋅ ( −2) + 2⎜ − 3a − b⎟ ⋅ ( −3) + 2(2 − 4a − b) ⋅ ( −4) +
⎝2
⎠
∂a
⎛5
⎞
⎛5
⎞
+ 2⎜ − 5a − b⎟ ⋅ ( −5) + 2(3 − 6a − b) ⋅ ( −6) + 2(4 − 7a − b) ⋅ ( −7) + 2⎜ − 8a − b⎟ ⋅ ( −8) = 0
⎝2
⎠
⎝2
⎠
∂Φ
⎛3
⎞
= 2(1 − a − b) ⋅ ( −1) + 2(2 − 2a − b) ⋅ ( −1) + 2⎜ − 3a − b⎟ ⋅ ( −1) + 2( 2 − 4a − b) ⋅ ( −1) +
⎝
⎠
∂b
2
⎞
⎛5
⎞
⎛5
+2⎜ − 5a − b⎟ ⋅ ( −1) + 2(3 − 6a − b) ⋅ ( −1) + 2(4 − 7a − b) ⋅ ( −1) + 2⎜ − 8a − b⎟ ⋅ ( −1) = 0
⎝2
⎠
⎝2
⎠
odnosno
204a+35b-96=0
72a+16b-37=0
____________
čije rešenje daje funkciju
y=
241
159
x+
744
166
22. Date su vrednosti
3
(1,6), (2,4), (3,2), (4,-1), (5, − ), (6,0), (7,3), (8,5).
2
Naći zavisnost y=ax2+bx+c metodom najmanjih kvadrata.
Funkcija Φ(a,b,c) ima oblik
Φ( a, b,c) = (6 − a − b − c) + ( 4 − 4a − 2b − c) + (2 − 9a − 3b − c) + ( −1− 16a − 4b − c) +
2
2
2
2
2
2
2
⎛ 3
⎞
+⎜ − − 25a − 5b − c⎟ + ( −36a − 6b − c) + (3− 49a − 7b − c) + (5− 64a − 8b − c)
⎝ 2
⎠
Sistem (5) postaje
- 263 -
2
∂Φ
907
= 8772a + 1296b + 204c −
=0
∂a
2
∂Φ
139
= 1296a + 204b + 36c −
=0
∂b
2
35
∂Φ
= 204a + 36b + 8c −
=0
2
∂c
čije rešenje daje tražene parametre a,b,c i dobijamo funkciju
y=0,54x2-5,08x+11,27.
12.11. ODREĐIVANJE REGRESIONIH LINIJA POMOĆU UZORKA
Ako imamo jedan dvodimenzionalni uzorak iz neke populacije
(x1,y1),...,(xn,yn)
i ako hoćemo da odredimo regresionu pravu y=ax+b, tada se metodom
najmanjih kvadrata dobija
n
b=
∑( x
i
i =1
− x )( y i − y)
n
∑( x
i =1
− x)
i
, a= y - bx
2
i za te vrednosti se može dokazati da G(a,b) ima minimum.
Naravno, ovde treba imati na umu i koeficijent korelacije dobijen od uzorka
n
r=
∑ ( x − x )( y − y )
i
i =1
n
i
n
∑( x − x ) ∑( y − y )
i =1
2
i
i =1
2
i
koji govori o tome kakva je linearna veza koju daje regresiona prava. Obično se
uzima da je za:
- 264 -
r ≤ 0,3
0,3 < r ≤ 0,5
0,5 < r ≤ 0,7
0,7 < r ≤ 0,9
0,9 < r ≤ 1
linearna veza neznatna
linearna veza postoji ali je slaba
linearna veza je značajna
linearna veza je jaka
linearna veza je vrlo jaka.
Ovu napomenu treba imati u vidu naročito kada na osnovu ove linearne
regresione prave pravimo prognoze - šta će se “eventualno desiti”, odnosno
kakav je neki "trend" kod neke pojave.
Dakle, kod trenda je prva koordinata u dvodimenzionalnom uzorku vreme, a
druga je vrendost koju u budućnosti treba prognozirati na osnovu vrednosti u
prošlosti i sadašnjosti.
Prirodno, ovaj koeficijent dat ovde i ova veza data ovde ne govore da drugih
“nelinearnih” veza nema (ako ova eventualno ne postoji).
Pored ovog linearnog trenda isto kao u predhodnom poglavlju može se
odrediti i kvadratni trend odnosno mogu se određivati i druge vrste nelinearnih
trendova. U statistici postoje i mogućnosti za proveru koji je od trendova
najbolji ali treba uvek imati u vidu da dugoročne prognoze napravjene na ovaj
način su vrlo retko tačne.
Dakle, kod kvadratnog trenda imamo problem određivanja koeficijenata
parabole y = a + bx + cx2. Analogno kao u prethodnom delu metodom
najmanjih kvadrata ovaj problem se svodi na rešavanje sledećeg sistema
linearnih jednačina po a, b i c:
n
n
n
an + b∑ xi + c ∑ xi2 = ∑ yi
i =1
i =1
i =1
n
n
n
n
i =1
i =1
i =1
i =1
n
n
n
n
i =1
i =1
i =1
i =1
a ∑ xi + b∑ xi2 + c∑ xi3 = ∑ xi yi
a ∑ xi2 + b∑ xi3 + c ∑ xi4 = ∑ xi yi2
Slično se mogu dobijati i druge linije.
Ovde se prirodno postavlja sledeće pitanje: Ako imamo dve prognoze
(dve regresivne linije, dva trenda), koja je od njih bolja?
- 265 -
Odgovor na ovo pitanje daje poznati kriterijum standardne greške
regresione funkcije:
n
∑ ( y − y ( x ))
S yt =
i
i =1
t
2
i
,
n−k
gde su xi i yi podaci iz uzorka, yt ( xi ) vrednosti funkcije yt u tačkama xi , a k
broj izračunatih parametara (kod linearnog slučaja je k = 2, a kod paraboličkog
slučaja je k = 3). Bolja funkcija je ona kod koje je greška manja.
Primer sa rešenjem:
23. Odrediti regresionu pravu iz podataka datih u primeru 2.
Iz datih podataka računamo
∑ ( x − x )( y − y )
8
b=
i =1
i
8
i
∑(x − x )
8
i =1
i
8
2
≈ 1, 24
8
a = y − bx = 6,875 − 1, 24 ⋅ 5,5 = 0, 055
i regresiona prava ima oblik
y=0,055+1,24x.
•
•
•
•
KLJUČNI POJMOVI:
POPULACIJA
UZORAK
OBELEŽJE
SREDNJE VREDNOSTI
• SREDNJE KVADRATNO
ODSTUPANJE
• INTERVALI POVERENJA
• STATISTIČKA HIPOTEZA
• TREND
- 266 -
VII - GLAVA
FINANSIJSKA I AKTUARSKA MATEMATIKA
SADŽAJ OVOG POGLAVLJA JE:
• PROCENTNI I PROMILNI RAČUN
• PROST I SLOŽEN INTERESNI RAČUN
• OTPLATE ZAJMOVA I ESKONTOVANJE
• RAZNE VRSTE ULAGANJA
• RAZNE VRSTE OSIGURANJA UPLATOM MIZE
• RAZNE VRSTE OSIGURANJA UPLATOM PREMIJE
Cilj nam je da uvedemo:
1. Osnovne pojmove finansijske matematike
2. Osnovne pojmove aktuarske matematike
3. Matematičke principe funkcionisanja finansija i osiguranja
13. FINANSIJSKA I AKTUARSKA MATEMATIKA
13.1. PROCENTNI RAČUN
Procentni račun od sto
Procentni račun je račun proporcija. Ako posmatramo neku celinu koju ćemo
zvati “glavnica” i označiti je sa G, i neki njen deo koji ćemo označiti sa P i zvati
“procentni iznos” pogodno je znati koliki je deo procentnog iznosa u sto delova
glavnice. Taj broj se naziva “procenat” ili “procentna stopa” i označava se sa p.
Dakle, osnovna proporcija procentnog računa je:
G : P = 100 : P
ili ekvivalentno G p = 100 P odakle možemo dobiti sledeće tri jednakosti
Gp
100P
100P
,
P=
G=
,
p=
100
G
p
koje se koriste za izračunavanje glavnice, procentne stope i procentnog iznosa
ako su poznate redom procentni iznos i procentna stopa; procentni iznos i
glavnica, odnosno glavnica i procentna stopa.
- 267 -
Napomena: procentna stopa je uvek neimenovan broj i pored brojne vrednosti
se stavlja znak %.
Primer 1. Izračunati:
a) glavnicu G ako je P=25 i p= 4%
b) procentnu stopu ako je G= 250 i P=50
c) procentni iznos P ako je G=300 i p=6%
a)
G=
100 ⋅ 25
= 625,
4
c)
P=
300 ⋅ 6
= 18
100
b)
p=
100 ⋅ 50
= 20%
250
Procentni račun više sto i niže sto
U praktičnim zadacima vezanim za procentni račun ne pojavljuju se obavezno
samo veličine definisane na početku već se mogu pojaviti i: glavnica uvećana
(umanjena) za procentni iznos G+P (G-P) zajedno sa procentnom stopom a da
treba izračunat P ili G.
Polazeći od relacije G ⋅ p = 100 ⋅ P i dodajući levoj i desnoj strani ove relacije
100G odnosno Pp dobijamo
G ⋅ p + 100 ⋅ G = 100 ⋅ P + 100 ⋅ G odnosno Gp + Pp = 100 P + Pp
tj.
G(100 + p ) = 100(P + G ) odnosno (G + P ) ⋅ p = (100 + p ) ⋅ P
tj. dobijamo proporcije
(G + P) : (100 + p ) = G : 100
odnosno (G + P ) : (100 + p ) = P : p
koje se zovu proporcije procentnog računa više sto. Odavde možemo dobiti:
G=
100(G + P )
100 + p
odnosno
P=
(G + P ) ⋅ p
100 + p
Analogno, polazeći od relacijie G ⋅ p = 100 ⋅ P i oduzimajući levoj i desnoj
strani 100G odnosno Pp dobijamo proporcije
- 268 -
(G − P ) : (100 − p ) = G : 100
(G − P) : (100 − p ) = P : p
odnosno
koje se zovu proporcije procentnog računa niže sto. Iz njih se dobije:
G=
100(G − p )
100 − p
odnosno
P=
(G − P ) ⋅ p
100 − p
Primeri sa rešenjima:
Cena robe povećana je prvi put za 10% pa zatim opet za 10% pa je zatim
smanjena za 20%. posle smanjenja cena robe se prodaje za 10,68 din. Naći
početnu cenu.
Cena robe posle sniženja iznosi
G − P = 9,68 sniženje je za 20%
pa je cena bila pre sniženja
G=
100(G − P ) 100 ⋅ 9,68 968
=
= 12,10
=
100 − p
80
80
Ova cena je nastala posle drugog poskupljenja od 10%, dakle
G 1 + P1= 12,10
pa je
G1=
p =10%
100(G1 + P1) 100 ⋅ 12,10
=
= 11
110
110
Ova cena je nastalaposle poskupljenja početne cene G0 za prvo povećanje od
10% pa imamo
G0 =
100(G 0 + P 0 ) 100 ⋅ 11
=
= 10din
110
110
dakle, početna cena je bila 10 dinara.
- 269 -
13.2. PROMILNI RAČUN
Potpuno analogno u pojednim situacijama u praksi se koristi analogan račun
procentnom računu – promilni račun.
Osnovna proporcija peomilnog računa je sledeća proporcija
G : P = 1000 : p
gde su
G - glavnica
P - promilni iznos
p - promilna stopa koja je i ovde neimenovan broj uz koji se
stavlja znak ‰.
Obrasci u primeni su potpuno analogni kao kod procentnog računa.
13.3. PROST INTERESNI RAČUN
Interesni račun od sto
U poslovnom svetu normalna je pojava pozajmljivanje novca ili roba (što se
opet izražava novcem), tj. kreditiranje. Sama reč kredit je latinskog porekla,
credere, što znači dati na zajam, verovati, uzdati se. Kredit je, dakle,
poverenje u dužnika da će tu obavezu izmiriti. Naknada koju dužnik plaća
poveriocu kredita za uslugu pozajmljivanja zove se interes ili kamata.
Interes se ugovara između poverioca i dužnika tako što se dužnik onavezuje
da će za svaku godinu (ili neki drugi rok) platiti poveriocu određen broj
dinara na svakih 100 dinara pozajmljene sume. Pozajmljena suma na koju
se računa interes se zove kapital ili glavnica – obeležava se sa K. Kamata
(interes) koja se plaća na svakih sto dinara pozajmljene sume za jednu
godinu zove se interesna stopa i obeležava se sa p (to je danas procenat).
kamata ili interes koja se plaća na celu sumu K za određeno vreme
obeležava se sa i.
Broj godina obeležava se sa g.
Broj meseci obeležava se sa m.
Broj dana obeležava se sa d.
Inača broj dana po mesecima može da se izračunava po kalendaru ili da se
pretpostavi da svaki mesec ima po trideset dana. u prvom slučaju se računa da
- 270 -
godina ima 365 dana a u drugom 360 dana. Ovo se uvek dogovara izmeđ u
dužnika i poverioca kapitala.
Osnovne proporcije prostog inetersnog računa su vrlo slične osnovnim
proporcijama procentnog računa – jedina razlika je u tome što ovde imamo i
faktor vremena jer veličina interesa zavisi od vremena na koji je novac dat. te
proporcije su:
K : i = 100 : pg g - broj godina
K : i = 1200 : pm m – broj meseci
K : i = 36000 : pd
d – broj dana, godina ima 360 dana
K : i = 36500 : pd
d – broj dana, godina ima 365 dana
Iz ovih relacija mogu se lako dobiti sledeće relacije:
K p d = 100 i
K p m = 1200 i
K p d = 36000 i
K p d = 365 i
odakle se lako dobijaju nepoznate veličine za K;p;g; (m,d) ;i
ako su date redom (p,g,i); (K,g,i); (K,p,i); (K,p,g).
p – je kamatna stopa uvek na godišnjem nivou.
U pojedinim izračunavanjima se koriste i veličine kamatnog broja Kbr = K d i
kamatnih ključeva
D=
36000
p
ili
D1=
36500
p
Iz prethodnih relacija sa ovim veličinama lako se dobijaju izrazi
i(360) =
K br
D
- interes ako se godina računa sa 360 dana
- 271 -
odnosno
i(365) =
K br
D
- interes ako se godina računa sa 365 dana
Veza između ovih interesa (ako se godina računa 360 ili 365 dana) data je
relacijom
i(365) = i(360) -
i( 360 )
73
koja se lako dokazuje polazeći od njihovih definicija.
Primeri sa rešenjima:
Izračunati
a)
b)
c)
d)
12% kamatu na sumu od 2000 dinara za 6 godina
8% kamatu na sumu od 5000 za 9 meseci
15% kamatu na sumu od 9000 od 1.maja do 10.juna
kapital koji će se za 3 godine uz 10% kamatnu stopu doneti kamate
300 din
e) vreme kada je vraćen zajam od 60000 dinara dat 1. septembra ako
je isplaćena kamata od 120 dinara sa interesnom stopom od 6%
(godina ima 360 dana)
Rešenje
a) Dato je p = 12%, K = 2000 din, g = 6godina, pa je
i=
Kpg 2000 ⋅ 12 ⋅ 6
=
= 1440 dinara
100
100
b) Dato je p = 8%, K = 5000 din, m = 9, pa je
i=
Kpm 5000 ⋅ 8 ⋅ 9
=
= 300 dinara
1200
1200
c) Dato je p = 15%, K = 9000 din, d = 40, ako godinu računamo na 360
i mesec 30 dana i
imamo d = 41 ako godinu računamo na 365 dana i mesece po
kalendaru.
U prvom slučaju je:
i( 360 ) =
K ⋅ p ⋅ d 9000 ⋅ 15 ⋅ 40
=
= 150 din
36000
36000
- 272 -
U drugom slučaju je:
i( 365 ) =
K ⋅ p ⋅ d 9000 ⋅ 15 ⋅ 41
=
= 151 din
36500
36500
Imamo i slučaj kada mesece radimo po kalendaru a broj dana u godini 360:
i( 360 ) =
K ⋅ p ⋅ d 9000 ⋅ 15 ⋅ 41
=
= 153,7 din
36000
36000
d) Dato je g = 3, p = 10%, i = 300 din, K = ?
K=
100i 100 ⋅ 300
= 1000 din
=
10 ⋅ 3
p⋅g
e) Dato je K= 60000 din, i =120 din, p = 6%
d=
36000 ⋅ i 36000 ⋅ 120
= 12 dana
=
60000 ⋅ 6
K⋅p
Dakle, uz pretpostavku da godina ima 360 dana novac je vraćen 12.
septembra.
Interesni račun više sto i niže sto
Interesni račun više sto se primenjuje kada je dat kapital uvećan za interes tj.
kada je dato K + i a interesni račun niže sto kada imamo dat kapital umanjen za
interes K - i. potpuno analogno kao u slučaju procentnog računa više i niže sto
u zavisnosti kako je dato vreme imamo sledeće proporcije sa + za račun više sto
sa – za račun niže sto:
za vreme dato u godinama (1)
i
(K ± i ) : (100 ± p ⋅ g ) = K : 100
(K ± i ) : (100 ± p ⋅ g ) = i : p ⋅ g
za vreme dato u mesecima (2)
i
(K ± i ) : (1200 ± p ⋅ m) = K : 1200
(K ± i ) : (1200 ± p ⋅ m) = i : p ⋅ m
za vreme dato u danima, godina ima 360 dana (3)
(K ± i ) : (36000 ± p ⋅ d ) = K : 36000
- 273 -
(K ± i ) : (36000 ± p ⋅ d ) = i : p ⋅ d
i
za vreme dato u danima, godina ima 365 dana (4)
(K ± i ) : (36500 ± p ⋅ d ) = K : 36500
(K ± i ) : (36500 ± p ⋅ d ) = i : p ⋅ d
i
Iz ovih relacija se lako računaju nepoznate veličine koje se pojavljuju u ovakvim
zadacima, iz poznatih na primer iz (1) imamo
K=
(K ± i ) ⋅ 100 ,
i=
K=
(K ± i ) ⋅ 1200 ,
i=
K=
(K ± i ) ⋅ 36000 ,
i=
K=
(K ± i ) ⋅ 36500 ,
i=
Iz (2) imamo
Iz (3) imamo
Iz (4) imamo
100 ± p ⋅ g
1200 ± p ⋅ m
36000 ± p ⋅ d
36500 ± p ⋅ d
(K ± i ) p ⋅ g
100 ± p ⋅ g
(K ± i ) p ⋅ m
1200 ± p ⋅ m
(K ± i ) p ⋅ d
36000 ± p ⋅ d
(K ± i ) p ⋅ d
36500 ± p ⋅ d
Primeri:
(1) Po odbitku interesa sa godišnjom interesnom stopom 12% ya 5
meseci dužnik je vratio 3800 din. Izračunati koliki je dug i koliki je
interes?
Rešenje: Dato je K- i =3800, p = 12%, m = 5
i=
(K ± i ) p ⋅ m
1200 ± p ⋅ m
=
3800 ⋅ 12 ⋅ 5 3800
=
= 200
1200 − 60
19
Dakle, dug je 3800+200=4000
Do istog rezultata se može doći i primenom obrasca
K=
(K ± i ) ⋅ 1200 = 3800 ⋅ 1200 = 4000
1200 ± p ⋅ m
1140
a onda je i = K - (K-i) = 4000 – 3800 = 200
(2) Zajedno sa kamatom uz interesnu stopu na godišnjem nivou od
15% dužnik je posle 4 meseca vratio 4200 din. Izračunat koliki je
bio dug i koliki je interes?
- 274 -
Rešenje: Dato je K + i = 4200, p =15%, m = 4
K=
(K ± i ) ⋅ 1200 =
1200 ± p ⋅ m
4200 ⋅ 1200 4200 ⋅ 1200
= 4000
=
1200 + 15 ⋅ 4
1260
Dakle, na ime interesa dužnik je platio 200 din.
Izračunavanje interesa na više suma
Ako je vlasnik kapitala dao više suma na zajam na različito vreme sa istom ili
različitom kamatnom stopom tada ako hoćemo da izračunamo interes na
ukupan dati novac izvuršimo jednostavno sabiranje pojedinačnih interesa za
svaku sumu, dakle:
Date sume su
K1, K2, …Kn
(1)
Vreme na koje su date g1, g2, …gn
Kamatna stopa p ista za sve
i = i1 + ... + in =
(2)
K 1 ⋅ p ⋅ g1
K n ⋅ p ⋅ gn
p n
+ ... +
=
∑ K k ⋅ gk
100
100
100 k =1
Date sume su
K1, K2, …Kn
Vreme na koje su date
Kamatne stope su
i = i1 + ... + in =
g1, g2, …gn
p1,p2 …pn
K 1 ⋅ p1 ⋅ g 1 K 2 ⋅ p 2 ⋅ g 2
K n ⋅ p n ⋅ gn
p n
+
+ ... +
=
∑ K k ⋅ gk
100
100
100
100 k =1
Analogni obrasci se mogu dati i za vreme dato u mesecima – danima.
Primeri sa rešenjima:
Banka je dala 10000 dinara sa kamatnom stopom od 15% na 4 meseca dužniku
A, 15000 dinara sa kamatnom stopom 12% na 3 meseca dužniku B i 40000
dinara sa kamatnom stopom od 10% na 6 meseci dužniku C. Naći interes koji će
banka dobiti.
K2=15000
K3=40000
K1=10000
m1=4
m2=3
m3=6
p1=15
p2=12
p3=10
i=
1 3
10000 ⋅ 4 ⋅ 15 + 15000 ⋅ 3 ⋅ 12 + 40000 ⋅ 6 ⋅ 10
K k ⋅ mk ⋅ pk =
= 2950
∑
1200 k =1
1200
- 275 -
13.4. SREDNJI ROK PLAĆANJA
Ukoliko je neko pozajmio novac na više mesta u planiranju izmirenja obaveza
nastalih pozajmicama potrebno je ponekad izračunat srednji rok plaćanja svih
tih obaveza. pri tome računamo u tri različita slučaja.
I slučaj:
Obaveze i kamatne stope su jednake a vreme je različito, dakle imamo
n istih obaveze, sa istom kamatnom stopom a sa vremenima d1, d2, …,
dn u trenutku računanja i srednje vreme je aritmetička sredina
ds =
d 1 + d 2 + ... + dn
n
II slučaj:
Obaveze su različite, vremena različita, a kamatne stope iste, dakle
imamo n obaveza K1,K2, …, Kn sa vremenom d1,d2, …,dn i ista kamatna
stopa, pa je srednje vreme ponderisana aritmetička sredina
ds =
K 1d 1 + K 2 d 2 + ... + Kndn
K 1 + K 2 + ... + Kn
III slučaj:
Obaveze su različite, vremena različita, različite kamatne stope, tj.
imamo obaveze K1,K2, …, Kn sa vremenom d1,d2, …,dn i kamatnim
stopama respektivno p1,p2, …, pn pa je opet srednje vreme ponderisana
aritmetička sredina:
ds =
K1 p1 d 1 + K 2 p2 d 2 +...+ K n pn d n
K1 p1 + K 2 p2 +...+ K n pn
Napomena: III slučaj je najoštiji i prva dva se sadrže u njemu.
Primer:
Dužnik je u obavezi da plati sledeće fakture sa plativošću u danima i
kamatna stopa za svakog dato u tabeli
Kk
dk
pk
10000
15
8
12000
20
15
15000
25
12
- 276 -
20000
30
8
25000
20
10
Dužnik želi da plati ceo dug odjednom sumom iznosa na fakturama. Kada to
može da učini?
Rešenje:
To je moguće učiniti na dan srednjeg vremena plaćanja kada se
izravnaju plaćene i neplaćene obaveze.
5
ds =
∑K
k
⋅ pk ⋅ dk
=
k =1
5
∑K
k
⋅ pk
10000 ⋅ 15 ⋅ 8 + 12000 ⋅ 20 ⋅ 15 + 15000 ⋅ 25 ⋅ 12 + 20000 ⋅ 30 ⋅ 8 + 25000 ⋅ 20 ⋅ 10
10000 ⋅ 8 + 12000 ⋅ 15 + 15000 ⋅ 12 + 20000 ⋅ 8 + 25000 ⋅ 10
k =1
= 22,47dana
Napomena:
Ovde se u “izravnavanju” roka plaćanja podrazumeva da dužnik ne plaća
kamatu na obaveze koje je isplatio posle isteka roka plaćanja i da ne traži
kamatu na sredstva za obaveze uplaćena pre roka kao i to da su te kamate iste
i za dužnika i za poverioca.
13.5. ESKONTOVANJE
Plaćanja u platnom prometu između privrednih subjekata mogu biti:
a) na dan dospele obaveze
b) posle dospele obaveze – kasnije
c) pre dospele obaveze – ranije
U slučaju a) plaća se tačno onoliko koliko je obaveza – njena nominalna
vrednost. U slučaju b) plaća se interes na zakašnjenje. Obračunava se od dana
dospeća do dana plaćanja i dodaje se nominalnoj vrednosti. U slučaju c)
obračunava se interes na ranije plaćenu obavezu i oduzima od nominalne
vrednosti.
Interes u ovim situacijama se zove eskont a njegov obračun eskontovanje.
Komercijalni eskont
Eskont računat interesnim računom od sto na nominalnoj vrednosti nekog
efekta (menica, kredit…) za vreme od dana eskontovanje do dana dospeća
zove se komercijalni eskont i obeležava se sa Ek.
- 277 -
Ako obeležimo sa Kn nominalnu vrednost eskonta sa danom dospeća t=n, sa K0
eskontovanu vrednost efekta u vremenu t=0, n je broj dana do dospeća efekta
a p je eskontna stopa, tada je
Kn ⋅ p ⋅ n Kn ⋅ n
=
36000
D
Kn ⋅ n
=
K 0 = Kn − Ek = Kn −
D
Ek =
i
36000 ⎞
⎛
⎜D =
⎟
n ⎠
⎝
Kn ⋅ ( D − n )
D
Dakle, K0 eskontovana vrednost, i ona je umanjena vrednost za eskont od dana
eskontovanja do dana dospeća. Eskontovana vrednost se zove sadašnja
vrednost efekta.
Racionalni eskont
Nije teško videti da za računanje eskontovane vrednosti u komercijalnom
eskontu radimo sa ra;unom od sto a da nam je nominalna vrednost veća (ili
manja) od prave sadašnje eskontovane. Dakle, komercijalni eskont je eskont
sa izvesnom greškom. Zbog toga uvodimo pojam racionalnog eskonta.
Racionalni eskont je interes aktuelne racionalne vrednosti. Obeležimo sa
- aktuelnu racionalnu vrednost efekta
K0
Kn
- nominalnu vrednost efekta
n
- broj dana
p
- interesnu stopu
Er
- racionalni eskont
tada je
Er =
Odavde je
K0 =
K0 ⋅ p ⋅ n K0⋅n
=
36000
D
i
Kn ⋅ D
D+n
Er =
odnosno
Kn = K 0 +
K0⋅n
D
n ⋅ Kn
D+n
13.6. JEDNAKOST EFEKATA
Kaže se da su dva efekta jednaka u određenom trenutku ako eskontovana
istom stopom u tom trenutku imaju istu komercijalnu ili istu racionalnu
aktuelnu verdnost.
Epoha (dan, mesec, godina) kada su kapitali jednaki zove se datum
ekvivalencije dva kapitala. Neka data dva efekta sa nominalnim vrednostima Kn
i Kn´ imaju n i n´ dana respektivno pa su komercijalne eskontovane vrednosti
- 278 -
K0 =
Kn ( D − n )
D
K 0´=
i
Kn´(D − n´)
D
kako se zahteva K0=K0´ to će biti za
Kn(D − n) = Kn´(D − n´)
Dakle, jednakost nastaje za one n i n´ koji zadovoljavaju prethodnu jednakost.
Ako isti postupak provedemo za racionalne eskontovane vrednosti dobijamo
da će se jednakost postići za n i n´ koji zadovoljavaju
Kn
Kn´
=
D + n D + n´
i važi stav da dva kapitala ne mogu biti istovremeno jednaka u komercijalnom i
racionalnom eskontu.
13.7. SLOŽENI INTERESNI RAČUN
Dekurzivno računanje vremena
Pod složenim interesnim računom se podrazumeva računanje kamate na neki
kapital u određenom periodu dodavanjem kapitalu tako da zajedno sa
početnim kapitalom nadalje donosi kamatu. Ovo obračunavanje i dodavanje
interesa kapitalu zove se kapitalisanje i može biti:
godišnje
(per annum) skraćeno (p.a.)
polugodišnje (per semestre) skraćeno (p.s.)
tromesečno
(per quartale) skraćeno (p.q.)
mesečno
(per mensem) skraćeno (p.m.)
U praksi je najčešće godišnje i polugodišnje.
Računanje i odobravanje kamate na kraju određenog vremenskog perioda zove
se dekurzivno računanje interesa i uz kamatnu stopu se obeležava sa d.
Pored ovakvog računanja kamata postoji i računanje kamata na početku
svakog predstojećeg perioda (tako banke daju zajmove) i zove se anticipativno
računanje interesa koje obeležavamo sa slovom a uz interesnu stopu.
- 279 -
Faktor akumulacije
1.1. Izračunavanje krajnje vrednosti kapitala
Vrednost kapitala koja se daje pod interes zove se sadašnja vrednost i
obeležava se sa K. Vrednost kapitala posle određenog broja u n periodu na
kojem je kapitalisan zove se krajnja vrednost i obeležava se sa Kn.
Izračunajmo Kn uz pretpostavku da je K dinara dato uz kamatnu stopu p i sa
godišnjim kapitalisanjem.
Posle prve godine imamo interes
i1 =
Kp
100
koju dodajemo na početni kapital i dobijamo
K1 = K +
Kp
p
= K (1 +
)
100
100
Na kraju druge godine imamo ineteres
i2 =
K1 p
p
p
= K (1 +
)
100
100 100
koji dodajemo na K1 i dobijamo
p ⎞
p ⎞ p
p ⎞
⎛
⎛
⎛
K 2 = K 1 + i 2 = K ⎜1 +
= K ⎜1 +
⎟ + K ⎜1 +
⎟
⎟
⎝ 100 ⎠
⎝ 100 ⎠ 100
⎝ 100 ⎠
2
Na isti način dobijamo da je
3
4
p ⎞
p ⎞
⎛
⎛
K 3 = K ⎜1 +
⎟ ...
⎟ , K 4 = K ⎜1 +
⎝ 100 ⎠
⎝ 100 ⎠
i uopšte
K n = K (1 +
Izraz 1+
p n
) .
100
p
se obeležava sa r i zove se interesni činilac pa poslednja jednačina
100
postaje Kn = Krn pri čemu je rn predstavlja krajnju vrednost jedne novčane
jedinice date pod interes sa kamatnom stopom p godišnje na dekurzivno
kapitalisanje od n godina, i naziva se faktor akumulacije.
U slučaju da se kapitalisanje vrši m puta godišnje sa godišnjom kamatom od p
procenata tada se procenat umanjuje m puta a stepen se uvećava m puta,
dakle, jednačina računanja kapitala posle n godina ima oblik
- 280 -
⎛
⎝
Kmn=K ⎜1 +
p ⎞
⎟
m ⋅ 100 ⎠
mn
Ovakve stope na kraći period od godine zovu se proporcionalne.
Primer:
Naći sumu na koju naraste 5000 dinara pri a)godišnjem, b)
polugodišnjem i c) tromesečnom kapitalisanju sa godišnjom stopom od
4% na 5 godina
Rešenje:
5
4 ⎞
⎛
a) K 5 = 5000 ⋅ ⎜1 +
⎟ = 6083,26din
⎝ 100 ⎠
b) K 10
d)
4 ⎞
⎛
= 5000 ⋅ ⎜1 +
⎟
⎝ 2 ⋅ 100 ⎠
5⋅2
4 ⎞
⎛
K 20 = 5000 ⋅ ⎜1 +
⎟
⎝ 4 ⋅100 ⎠
= 6094,95din
5⋅4
= 6100,95din
Napomena: Zbog prilično komplikovanog računanja vrednosti, u praksi u
bankarskim poslovima gde su ovi računi česti, za ovaj račun se ne koriste
logaritmi i loaritamske tablice već tablica I interesa na interes koja sadrži
krajnje vrednosti jednog dinarana kraju 1,2,...,n godine uz dati procenat.
Dakle:
p
= I 1p
100
p 2
r 2 = (1 +
) = I p2
100
p n
r n = (1 +
) = I pn i
100
n
K n = K 0 r se zamenjuje sa K n = K 0 ⋅ I pn pri godišnjem kapitalisanju sa
r = 1+
kamatom od p %. Ako se kapitalisanje vrši m puta godišnje sa stopom p%
godišnje tada se vrednosti kapitala na kraju n-te godine računa na sledeći
način:
Kmn = K0 I mn
p .
m
- 281 -
Generalizacija faktora akumulacije
U primeru iz prethodnog poglavlja se vidi da ako kapitalisanje vršimo češće
dobijamo veće sume novca na kraju. Šta bi bilo ako bi kapitalisanje vršili
neprekidno?
Polazeći od formule
p ⎞
⎛
Kmn=K0 ⎜1 +
⎟
⎝ m ⋅ 100 ⎠
mn
tada bi se m neograničeno uvećavalo! Imali bi, dakle
p ⎞
⎛
K n = lim K 0 ⋅ ⎜1 +
⎟
m →∞
⎝ m ⋅ 100 ⎠
m ⋅n
, odnosno
n
m
m
⎡⎛
⎡ ⎛
p
p
⎞ ⎤
⎞ ⎤
⎟ ⎥
⎟ ⎥
⎢⎜
⎢ ⎜
K n = K 0 ⋅ lim ⎢⎜1 + 100 ⎟ ⎥ = K 0 ⎢ lim ⎜1 + 100 ⎟ ⎥
m →∞
m →∞
m ⎟ ⎥
m ⎟ ⎥
⎢⎜⎝
⎢ ⎜⎝
⎠
⎠ ⎦
⎣
⎦
⎣
n
n
p
pn
⎛ 100
⎞
100
⎜
⎟
K n = K 0 ⎜ e ⎟ = K 0e
⎝
⎠
p
p
n
Broj e 100 se zove dekurzivni interesni činilac a e 100 se zove faktor akumulacije
posle n godina pri neprekidnom ukamaćivanju.
Konformna (ekvivalentna) stopa
Iz prethodnih poglavlja smo videli da se uvećanjem broja kapitalisanja
povećava krajnja vrednost kapitala i da je ona najveća pir neprekidnom
kapitalisanju. Prirodno je postaviti pitanje kako se može vršiti kapitalisanje više
puta (na primer m puta) u toku godine i da se isplati ista količina novca kao pri
godišnjem kapitalisanju?
Odgovor na ovo pitanje je sledeći: ista količina novca pri godišnjem i češćem
kapitalisanju će se postići pomoću ekvivalentne kamatne stope.
Neka je:
i - godišnja kamatna stopa
im – ekvivalentna kamatna stopa za m kapitalisanja godišnje
Neka je prema prethodnom zahtevu kapital isti na kraju n-te godine:
- 282 -
K 0 (1 + i ) = K 0 (1 + im )
n
mn
odakle je
(1 + i )n = (1 + im )mn odnosno posle korenovanja leve i desne strane
(1 + i ) = (1 + im )m odnosno
1 + im = (1 + i
)
1
m
a odatle
im = (1 + i ) m − 1
1
tako, na primer, ako je kapitalisanje polugodišnje sa kamatnom stopom od 6%
tada je ekvivalentna kamatna stopa
1
6 ⎞2
⎛
i 2 = ⎜1 +
⎟ − 1 = 2,956%
⎝ 100 ⎠
Očigledno, ova stopa je nešto niža nego proporcionalna koja bi u ovom slučaju
bila 3%.
Ovo važi i u opštem slučaju što se lako dokazuje koristeći se binarnim
obrascem. Polazeći od relacije
1 + i = (1 + im )
m
i rastavljajući desnu stranu po binarnom obrascu imamo
m
m
m
m
m
m
1+ i = ⎛⎜ ⎞⎟ + ⎛⎜ ⎞⎟im + ⎛⎜ ⎞⎟im2 +...+ ⎛⎜ ⎞⎟ =1+ m⋅ im + ⎛⎜ ⎞⎟im2 +...+ ⎛⎜ ⎞⎟imm >1+ m⋅ im
⎝ 0⎠ ⎝ 1 ⎠ ⎝ 2⎠
⎝ m⎠
⎝ 2⎠
⎝ m⎠
i
> im .
odavde je i > m ⋅ im odnosno
m
Dakle, proporcionalna stopa je veća od ekvivalentne.
Eskontni faktor
Iz jednačine
K n = K 0 (1 + i )
n
n
p ⎞
⎛
= K 0 ⎜1 +
⎟ odnosno
⎝ 100 ⎠
i ⎞
⎛
K mn = K 0 ⎜1 + ⎟
⎝ m⎠
mn
p ⎞
⎛
= K 0 ⎜1 +
⎟
⎝ m ⋅ 100 ⎠
pn
K n = K 0 e 100
- 283 -
mn
odnosno
dobijamo krajnju vrednost kapitala posle n godina pri dekurzivnom godišnjem,
m puta u godini i neprekidnom kapitalisanju sa godišnjom kamatnom stopom
p.
U primenama je trebalo rešavati i obrnut problem: koliko treba uložiti novca u
sadašnjem trenutku da bi posle n godina dobili željenu svotu novca Kn,
odnosno Kmn odnosno K n u zavisnosti od vrste kapitalisanja. Jasno, ovo se lako
rešava i imamo
K0 =
K0 =
Kn
p ⎞
⎛
⎜1 +
⎟
⎝ 100 ⎠
K mn
odnosno
n
p ⎞
⎛
⎜1 +
⎟
⎝ m100 ⎠
mn
odnosno
Dakle, početna vrednost koju treba uložiti se dobija kada se željena vrednost
podeli sa faktorom akumulacije odnosno ako se željena vrednost pomnoži sa
recipročnom vrednošću faktora akumulacije koji se zove još i eskontni faktor.
Radi lakšeg računanja i eskontni faktor se zadaje tablično (za praktični račun
lakše je množiti nego deliti) i dat je tablica II.
Primeri sa rešenjima:
Koliko treba uložiti novca danas da bi posle 10 godina sa kamatnom stopom
8% uz godišnje kapitalisanje primili 5000 din?
K0 =
5000
8 ⎞
⎛
⎜1 +
⎟
⎝ 100 ⎠
10
= 2316 din
- 284 -
Faktor dodajnih uloga
U prethodnom razmatranju složenog kamatnog računa izračunavali smo
krajnju vrednost kapitala za dati početni kapital dekurzivno na n godina sa
kamatnom stopom od p procenata ili obrnuto, izračunavali smo koliki kapital
treba uložiti da bi imali određenu krajnju vrednost posle n godina. Dakle, uvek
jedan ulog.
Ovde ćemo posmatrati situacije kada imamo ne jedan već više uloga, koji mogu
biti u istim vremenskim intervalima kao i u različitim, zatim isti po veličini kao i
različiti.
Ulaganje početkom obračunskog perioda
Pretpostavimo da na početku svake godine ulažemo K dinara i neka banka na
kraju svake godine vrši kamaćenje sa p% kamatnom stopom. kojom ćemo
sumom raspolagati na kraju n-te godine.
Očigledno ćemo imati sledeću situaciju:
n
Prva uložena suma posle n-te godine je postala
p ⎞
⎛
K ⎜1 +
⎟
⎝ 100 ⎠
n −1
Druga uložena suma donosi
p ⎞
⎛
K ⎜1 +
⎟
⎝ 100 ⎠
n −1
Treća uložena suma postaje
p ⎞
⎛
K ⎜1 +
⎟
⎝ 100 ⎠
...
p ⎞
⎛
K ⎜1 +
⎟
⎝ 100 ⎠
Zadnji ulog postaje
⎛
⎝
Dakle, na kraju n-te godine imamo ⎜ 1 +
p
⎞
= r⎟
⎠
100
(
)
S n = K ⋅ r n + K ⋅ r n −1 + ... + K ⋅ r = K ⋅ r r n −1 + r n − 2 + ... + r + 1 = K ⋅ r
Napomena 1: Zadnja relacija se može dobiti i na sledeći način:
S n = K ⋅ r n + K ⋅ r n −1 + ... + K ⋅ r 2 + K ⋅ r i posle množenja sa r
imamo r ⋅ S n = K ⋅ r n +1 + K ⋅ r n + ... + K ⋅ r 3 + K ⋅ r 2 a odavde
rS n − S n = K ⋅ r n +1 − K ⋅ r što daje
S n ( r − 1) = Kr ( r n − 1) odnosno
- 285 -
r n −1
r −1
·
Napomena 2: Izraz
(
)
r r n −1
je očigledno zbir iz I tablice od 1 do n za određeni
r −1
procenat a koji se takođe zadaje tabelarno, tablica III, tj. važi:
(
)
r r n −1
= III pn
r −1
i naš osnovni uzraz se računa na sledeći način
S n = K ⋅ III pn
Primeri sa rešenjima:
Neko ulaže početkom svake godine 10000 dinara. Koliko će imati u banci na
kraju iste godine ako se na ime interesa na interes računa po 4% uz godišnje
dekurzivno kapitalisanje?
Ovde je K=10000, p=4%, r=1,04, n=5, S5=?
10000 ⋅ 1,04(1,04 5 − 1)
= 56329,8din
Dakle, S 5 =
1,04 − 1
Ulaganje krajem obračunskog perioda
Ako se krajem svake godine ulaže K dinara sa p% (pa) d interesa na interes pri
godišnjem kapitalisanju koliko ćemo imati novca posle n godina?
Analizirajmo: uloženih K dinara na kraju prve godine posle n godina postaje
Kr n −1
drugi ulog od K dinara na kraju je Kr n − 2
treći ulog daje Kr n −3 i tako dalje poslednji ulog od K dinara se ne kapitališe.
Dakle, posle n godini imamo:
S n' = K ⋅ r n −1 + K ⋅ r n − 2 + ... + K =
n −1
n−2
= K (r + r +...+r + 1) = K
- 286 -
rn −1
r −1
Napomena 1: Ako izraz r n −1 + r n − 2 + ... + r zamenimo tabličnim izrazom
III pn −1 tada S n' možemo računati i na sledeći način
S n' = K (1 + III pn −1 )
Isto tako, između Sn i S n' mogu da se uspostave sledeće veze:
rn −1
množenjem leve i desne strane sa r dobijamo
r −1
r n −1
r ⋅ S n' = K ⋅ r
tj.
r −1
Uz
Sn' = K
r ⋅ S n' = S n ili
S n' =
Sn
odnosno
r
S n' = K ⋅ III pn ⋅ II 1p .
Isto tako i
r n −1
S =K
=K
r −1
'
n
I pn − 1
100 n
=K⋅
I p −1
p
p
1+
−1
100
(
)
Napomena 2: Za slučajeve kapitalisanja češćih nego što su godišnja
mn
kapitalisanja pri ovom računu sa tablicom III umesto III pn koristi III p ako je
m
broj kapitalisanja m na godišnjem nivou a godišnja kamatna stopa iznosi p (n je
naravno broj godina).
Ulaganje je češće (ređe) od kapitalisanja
U slučajevima kada su ulaganja neravnomerno raspoređena i različita po
veličini a računaju se na određeni broj godina tada možemo postupiti na
sledeći način: Posle svakog ulaganja kapital se preračunava na krajnji datum te
godine i posle se izvrši uobičajeni postupak računa godine za godinu. Ako je
- 287 -
ulaganje ređe od kapitalisanja tada se kapitalisanje vrši sa odgovarajućom
kamatnom stopom
p
(m je broj kapitalisnja) za m-n period.
m
Primeri sa rešenjima:
Ulagano je početkom svakog polugodišta po 10000 dinara u banku koja plaća
6% kamate i vrši godišnje kapitalisanje u trajanju od 5 godina. Koliko novca će
biti posle tog perioda?
Na kraju prve godine kada se vrši kapitalisanje ćemo imati kapitalisanje za prvi
ulog za celu godinu a za drugi kapitalisanje za pola godine tj.
6 ⎞
6⋅6 ⎞
⎛
⎛
K 1 = 10000 ⎜1 +
⎟ + 10000⎜1 +
⎟ = 20900 din
⎝ 100 ⎠
⎝ 1200 ⎠
Dakle, na kraju svake godine će biti novog novca K1=21000 dinara, odnosno
imađemo
(
)
S 5' = 21000 1 + III 64 = 20900 ⋅ 5,6371 = 117815 ,4
Napomena: ukoliko na primer u banku ulažemo početkom svakog od m
perioda u toku jedne godine po K dinara sa godišnjom kamatnom stopom p
onda ćemom na kraju godine imati ulog od
p (m + 1) ⎞
⎛
K1 = K ⎜ m +
⎟
200 ⎠
⎝
Zaista, prvi ulog se kapitališe u potpunosti i na kraju imamo K (1 +
drugi ulog će postati
treći ulog će postati
⎛
⎜
K ⋅ ⎜1 +
⎜
⎜
⎝
12 ⎞ ⎞
⎛
p⎜12 − ⎟ ⎟
m ⎠⎟
⎝
1200 ⎟
⎟
⎠
⎛
12 ⎞ ⎞
⎛
⎜
p⎜12 − ⋅ 2 ⎟ ⎟
m ⎠⎟
K ⋅ ⎜1 + ⎝
⎜
⎟
1200
⎜
⎟
⎝
⎠
- 288 -
p
)
100
...
m-ti ulog će postati
⎛
12
⎛
⎞⎞
⎜
p⎜12 − ⋅ (m − 1)⎟ ⎟
m
⎠⎟
K ⋅ ⎜1 + ⎝
⎟
⎜
1200
⎟
⎜
⎠
⎝
I zbir
⎛
12 ⎞
12
⎛
⎛
⎞⎞
⎜
p⎜12 − ⎟
p⎜12 − (m − 1)⎟ ⎟
p
m⎠
m
⎠⎟ =
+ ⎝
+ ... + ⎝
K1 = K ⎜ m +
⎜
⎟
100
1200
1200
⎜
⎟
⎝
⎠
⎛
12
⎛
⎞⎞
⎜
p⎜12m − (1 + 2 + ... + (m − 1))⎟ ⎟
p
m
⎠⎟ =
= K⎜m +
+ ⎝
⎟
⎜
100
1200
⎟
⎜
⎠
⎝
6 p (2m − m + 1) ⎞
p
p
p(m − 1) ⎞
⎛
⎛
= K⎜m +
+
+
⎟ = K⎜m +
⎟=
100
1200
100
200 ⎠
⎝
⎠
⎝
2 p + pm − p ⎞
p (m + 1) ⎞
⎛
⎛
= K⎜m +
⎟ = K⎜m +
⎟
200
200 ⎠
⎝
⎠
⎝
Faktor aktuelizacije dekurzivnih uloga
Neka krajem prve, druge, ...,n-te godine ulažemo K1,K2, ...,Kn dinara uz godišnje
kapitalisanje sa kamatnom stopom p procenata. Postavlja se pitanje: Koliko
novca bi trebalo uložiti početkom prve godine da na kraju n-te godina uz iste
uslove imamo isti kapital?
Dakle, ako je taj nepoznati kapital K0 tada je
K 0 ⋅ r n = k1 ⋅ r n −1 + k 2 ⋅ r n −1 + ... + k n odakle je
k
k1 k 2
+ 2 + ... + nn
r r
r
Ako je k1 = k 2 = ... = k n = k tada je
K0 =
k (r n − 1)
K0 = n
r (r − 1)
- 289 -
pri tome se
(r
− 1)
zove faktor aktuelizacije.
r (r − 1)
n
n
Danas faktor aktuelizacije je vrednost ulaganja na početku prve godine (zove se
još i diskontovana vrednost) ekvivalentna ulaganjima od po jedne novčane
jedinice krajem prve,...,n-te godine.
Napomena: Radi lakšeg računa u praksi se koristi tablica za izraz
r n −1
to
r n (r − 1)
je tablica IV, dakle,
r n −1
= IV pn%
n
r (r − 1)
i K 0 = k ⋅ IV pn%
Faktor aktuelizacije anticipativnih uloga
Analogno kao u prethodnom slučaju, neka početkom prve, druge,..., n-te
godine ulažemo k1, k2,...,kn dinara uz godišnje kapitalisanje sa kamatnom
stopom od p% možemo postaviti pitanje: koliko bi novca K 0' trebalo uložiti
početkom prve godine da bi na kraju n-te godine uz iste uslove imali isti
kapital?
Nepoznati kapital bi, dakle, bio K 0' i on bi na kraju n-te godine bio
K 0' r n i morao bi biti isto kao i k1r n + k 2 r n −1 + ... + k n r dakle,
k2
k
+ ... + nn−1 ako je k1 = k2 = ... = kn tada je
r
r
1 ⎞
rn −1
⎛ 1
K 0' = k ⎜1 + + ... + n −1 ⎟ = k n −1
2 ⎠
r (r − 1)
⎝ r
K 0' = k1 +
i ove vrednosti se slično kao i prethodna računa primenom tablice IV tj. važi
K 0' = k (1 + IVpn%−1 )
jer je
1+
r n −1 − 1
rn −1
=
.
r n −1 (r − 1) r n −1 (r − 1)
Zajmovi
I pored toga što u ekonomskoj nauci u praksi se ponekad pravi razlika između
zajma i kredita (reč kredit se upotrebljava za kratkoročne bankarske poslove a
- 290 -
zajam se upotrebljava za dugoročne kredite). Ovde ne pravimo razliku između
ove dve kategorije jer suštinske razlike i nema.
Dakle, kredit ili zajam predstavlja privredno pravni pojam tj. dužničko
poverenički odnos zasnovan na ugovoru o uslovima za isticanje prava
raspolaganja novcem (ili nekim drugim vrednostima) od strane poverioca
prema dužniku. Sama reč kredit potiče od latinske reči “credo” što znači
verujem (imam poverenje). Interesi poverioca (odnosno zajmodavca) su
najčešće kamata, ali pored toga interes može biti i određeni ekonomski razvoj,
instrument ekonomske politike ako je poverilac veća firma prema manjoj ili
država prema nekoj radnoj organizaciji.
Zajmovi najčešće služe za investicione svrhe i po pravilu se odobravaju
jednokratno u određenoj visini a dužnici ih otplaćuju u godišnjim otplatnim
iznosima koji se zovu anuiteti. U anuitetima se sadrže otplate glavnice i isplate
kamate. Anuiteti su najčešće jednaki a mogu biti i različiti a na primer da
otplate glavnice budu jednake. Isplaćivanje zajma se u ekonomskoj praksi zove
amortzacija zajma.
Amortizacija zajma jednakim anuitetima
Pretpostavljamo da je dužnik uzeo od poverioca K dinara početkom godine
koje treba da otplati sa jednakim godišnjim anuitetima a. Pri tome je kamata p
procenat a ukamaćivanje je složeno i vrši se godišnje.
Koliki je anuitet a?
Dug će očigledno posle godinu dana pre otplate prve dve rate iznositi
p ⎞
⎛
K1 = K ⎜ 1 +
⎟ = K (1 + r )
⎝ 100 ⎠
p ⎞
⎛
⎜i =
⎟
⎝ 100 ⎠
Posle otplate prve rate dug iznosi K (1 + i ) − a
Pre isplate druge rate dug postaje (zbog kamata)
K 2 = (K (1 + i ) − a )(1 + i ) = K (1 + i ) − a (1 + i )
2
i uplatom druge rate dug se smanjuje za a i iznosi K (1 + r ) − a (1 + i ) − a
2
Ovaj račun nastavljamo i posle n-te godine i isplate n-te rate imamo
K (1 + i ) n − a (1 + i ) n−1 − a (1 + i ) n −2 −...− a (1 + i ) − a = 0
- 291 -
jer je po pretpostavci isplatom zadnje n-te rate dug isplaćen. Ako je 1 + i = r
tada imamo
Kr n = ar n−1 +...+ ar + a
odnosno
Kr n = a
rn −1
r −1
tj.
·
odnosno K = a
rn −1
r n (r − 1)
r n (r − 1)
zove anuitetni faktor ili faktor povraćaja koji je dat
rn −1
1
tablicom V, a koja je očigledno povezana sa tablicom IV tj. važi V pn% =
IV pn%
pri čemu se
U slučaju da se anuiteti povećaju m puta godišnje i n puta se vrši kapitalisanje
tada se analognim računom dobija veza
a(r mn − 1)
K = mn
r (r − 1)
p
r =1+
100m
K = a ⋅ IV pmn
gde je
odnosno imamo
mn
tj. a = K ⋅ V p
m
m
Primer: Zajam od 1.000.000 dinara amortizuje se jednakim anuitetima u toku 5
godina uz 12% kamatnu stopu ako je obračun kamate na kraju godine.
Izračunati anuitet ako se:
a) anuitet plaća i kapitalisanje vrši godišnje
b) anuitet plaća i kapitalisanje vrši polugodišnje
c) anuitet plaća i kapitalisanje vrši tromesečno
d) anuitet plaća i kapitalisanje vrši mesečno.
Rešenje:
mn
3
a) K=1.000.000, n = 3, m = 1, a = K ⋅ V p = KV12 = 416.300 din
m
b) K=1.000.000, n = 3, m =2, a = K ⋅ V
mn
p
m
= KV66 = 203.400 din
mn
12
c) K=1.000.000, n = 3, m = 4, a = K ⋅ V p = KV3 = 100.500 din
m
mn
36
d) K=1.000.000, n = 3, m = 12, a = K ⋅ V p = KV1 = 33.200 din
m
- 292 -
Zakon otplata
Ako zajam otplaćujemo jednakim anuitetima tada sa svakim anuitetom
plaćamo prispelu kamatu na dug u tom trenutku i dajemo otplatu –
smanjujemo dug. Dakle, anuitet
a = bk + ik
za k =1,2,...,n
Pri ovakvom načinu otplaćivanja zajma očigledno je da se sa vremenom otplate
povećavaju a prispele kamate smanjuju.
Pregled otplata i interesa se vrši po određenom planu koji se zove
amortizacioni plan. Izložimo ga pretpostavljajući da se zajam od K dinara
amortizuje sa n jednakih godišnjih anuiteta sa p% kamatnih stopa i godišnjim
dekurzivnim kapitalisanjem. Prema prethodno izračunatom imamo da je
a = K ⋅ Vpn i pri tom imamo:
K1 p
, i otplata b = a − i1
100
K p
drugu godinu zajam je K2=K1-b1, interes i2 = 2 , i otplata
100
= a − i2
K p
n-tu godinu zajam je Kn=Kn-1-bn-1, interes in = n , i otplata
100
= a − in
•
za prvu godinu zajam je K1=K, interes i1 =
•
za
b2
•
za
bn
pri čemu je poslednja otplata jednaka ostatku duga tj. bn = K n
Pregledno ovaj plan se daje tabelom:
Period
otplaćivanja
Iznos dug
1
K1 = K
i1 =
2
K 2 = K1 − b1
3
K 3 = K 2 − b2
...
anui
tet
otplate
K1p
100
a
b1 = a − i1
i2 =
K2p
100
a
b2 = a − i2
i3 =
K3p
100
a
b3 = a − i3
...
...
K n −1 p
100
a
bn −1 = a − in −1
Knp
100
a
bn = a − in
Interes
...
n-1
K n −1 = K n − 2 − bn − 2
n
K n = K n −1 − bn −1
...
in −1 =
in =
- 293 -
Očigledno u ovom planu mora biti:
(K1 + K 2 + ... + K n ) ⋅ p = i
100
+ i2 + ... + in
1
bn = Kn
b1 + b2 + ... + bn = K
i1 + i2 + ... + in + b1 + b2 + ... + bn = n ⋅ a
Primer:
Napravimo amortizacini plan iz prethodnog primera a): K=1000000, n = 3, p
=12%, a = 416.350 dinara
Godine
otplate
iznos duga
1
K1= 1000000
2
K2=K1-b1= 703650
3
K3=K2-b2= 371740
Interes
Otplata
K1 p
= 120000
100
K ⋅ 12
i2 = 2
≅ 84440
100
K ⋅ 12
i3 = 3
≅ 44610
100
b1 = a − i1 = 296350
i1 =
b2 = a − i2 = 331910
b3 = 371740
UKUPNO: 1000000
Izračunavanje bilo koje otplate pomoću prve otplate i obrnuto
Iz amortizacionog plana možemo odmah videti da je:
a = b1 + i1 = b1 +
Kp
i
100
a = b2 + i21 = b2 +
(K − b1 ) p
K2 p
= b2 +
100
100
- 294 -
pa je
Kp
Kp b1 p
= b2 +
−
100
100 100
bp
p ⎞
⎛
b2 = b1 + 1 = b1 ⎜1 +
⎟
100
⎝ 100 ⎠
b1 +
odakle je
Analogno dobijamo
p ⎞
p ⎞
⎛
⎛
b3 = b2 ⎜1 +
⎟
⎟ odnosno b3 = b1 ⎜1 +
⎝ 100 ⎠
⎝ 100 ⎠
2
i nastavljajući do kraja
p ⎞
⎛
bn = b1 ⎜1 +
⎟
⎝ 100 ⎠
n −1
k
p ⎞
⎛
k
Imajući u vidu da je vrednost ⎜1 +
⎟ data u prvoj tablici I p imamo da je
⎝ 100 ⎠
k −1
bk = b1I p
k=2, ..., n
Obratno, ako znamo bk, dobijamo b1 na sledeći način
b1 =
bk
= bk ⋅ II pk −1
I pk
k =2,...,n
Izračunavanje otplaćenog dela duga i ostatka duga posle c prvih plaćenih
anuiteta
Ove vrednosti kada je trebalo izračunati ih, se lako izračunavaju iz
amortzacionog plana. Naime, otplaćeni dug Oc posle c plaćenih anuiteta je zbir
prvih otplata, dakle:
Oc = b1 + b2 + ... + bc kako je bk = b1 ⋅ I pk −1 to je
Oc = b1 + b1I 1p + b1I p2 + ... + b1I pc −1 = b1 (1 + I 1p + I p2 + ... + I pc −1 ) = b1 (1 + III pc −1 )
jer je od ranije poznato III pc −1 = I 1p + I p2 + ... + I pc −1
- 295 -
Ostatak duga Rn-c naravno, predstavlja razliku između duga Kn otplaćenog dela
Oc :
Rn − c = K − Oc
i pod istim uslovima (godišnje kapitalisanje i godišnji anuitet) može se
izračunati da je
Rn − c = a ⋅ IV pn − c
Anuiteti su jednaki i češći od kapitalisanja
Neka je kapitalisanje godišnje p procenat kamatne stope, anuitet na zajam od K
dinara se isplaćuje m puta godišnje a broj godina za koje treba otplatiti zajam
neka je n. Koliki je anuitet?
Anuiteti uplaćeni m puta godišnje se očigledno moraju svatiti kao ulozi dati pod
istim uslovima kao što je i zajam uzet, dakle, na kraju godine iznos anuiteta je
(m − 1) p ⎞ a zajam je postao K ⋅ ⎛1 + p ⎞ i neotplaćena suma sa
⎛
a⎜ m +
⎟
⎜
⎟
200 ⎠
⎝
⎝ 100 ⎠
(m − 1) p ⎞
p ⎞ ⎛
⎛
kojom se ulazi u drugu godinu je K1 = K ⎜1 +
⎟
⎟ − a⎜ m +
200 ⎠
⎝ 100 ⎠ ⎝
analogno dobijamo
(m − 1) p ⎞
p ⎞ ⎛
⎛
K 2 = K1 ⎜ 1 +
⎟
⎟ − a⎜ m +
200 ⎠
⎝ 100 ⎠ ⎝
...
(m − 1) p ⎞ = 0
p ⎞ ⎛
⎛
K n = K n −1 ⎜1 +
⎟
⎟ − a⎜ m +
200 ⎠
⎝ 100 ⎠ ⎝
Iz ovih relacija dobijamo (zamenom prethodne u narednoj)
p ⎞
(m − 1) p ⎞ ⎛ ⎛
p ⎞ ⎞
⎛
⎛
K2 = K ⎜1 +
⎟ + 1⎟
⎟ − a⎜ m +
⎟ ⎜ ⎜1 +
⎝ 100 ⎠
⎝
200 ⎠ ⎝ ⎝ 100 ⎠ ⎠
2
...
n
n −1
⎞
( m − 1) p ⎞ ⎛ ⎛
p ⎞
p ⎞
p ⎞
⎛
⎛
⎛
⎜
−
+
+
Kn = K ⎜1 +
a
m
1
⎟ + 1⎟⎟ = 0
⎟ +...+ ⎜ 1 +
⎟
⎜
⎟⎜⎜
⎝ 100 ⎠
⎝ 100 ⎠
⎝
200 ⎠ ⎝ ⎝ 100 ⎠
⎠
p
označivši 1 +
= r imamo
100
- 296 -
(m − 1) p ⎞ ⋅ r n − 1
⎛
K ⋅ r n = a⎜ m +
⎟
200 ⎠ r − 1
⎝
odakle je
r n ⋅ (r − 1)
n
K ⋅ V pn%
1
r
−
a=
(m − 1) p = m + (m − 1) p
m+
200
200
K⋅
Primer: Kupac je kupio automobil na kredit. cena automobila je 200000 dinara,
kamata je 10%, kapitalisanje je godišnje a kredit se otplaćuje na 36 jednakih
mesečnih rata. Koliki su anuiteti?
Rešenje:
200000 ⋅ 0,4021
K ⋅ V10b
a=
=
≈ 6408 dinara
11 ⋅ 10
12,55
12 +
200
Anuiteti jednaki i ređi od kapitalisanja
Ovaj slučaj ćemo objasniti na primeru gde se na zajam od K dinara sa p
procenata godišnje kamate vrši kapitalisanje m puta godišnje a anuiteti se
plaćaju godišnje n godina.
Dakle, zajam na kraju prve godine postaje posle m kapitalisanja sa
proporcionalnom stopom
p ⎞
⎛
K ⎜1 +
⎟
⎝ 100m ⎠
p
m
m
i kada posmatramo prvi anuitet dobijamo startnu vrednost za drugu godinu
(vrednost na kraju prve godine):
m
p ⎞
⎛
K1 = K ⎜1 +
⎟ −a
⎝ 100m ⎠
analogno
m
p ⎞
⎛
K 2 = K1 ⎜1 +
⎟ −a
⎝ 100m ⎠
i na kraju
- 297 -
m
p ⎞
⎛
K n = K n −1 ⎜1 +
⎟ −a=0
⎝ 100m ⎠
tj. sa n-tom otplatom zajam je otplaćen.
Zamenjujući prethodni izraz u narednom dobijamo
p ⎞
⎛
K 2 = K ⎜1 +
⎟
⎝ 100m ⎠
2m
m
p ⎞
⎛
− a ⎜1 +
⎟ −a
⎝ 100 ⎠
i tako dalje do kraja:
p ⎞
⎛
K n = K ⎜1 +
⎟
⎝ 100m ⎠
mn
p ⎞
⎛
− a ⎜1 +
⎟
⎝ 100m ⎠
m ( n −1)
p ⎞
⎛
− a ⎜1 +
⎟
⎝ 100m ⎠
m (n − 2 )
− ... − a = 0
sabirajući
m
p ⎞
⎛
⎜1 +
⎟ =r
⎝ 100m⎠
imamo jednakost
K ⋅ r n = ar n −1 + ar n − 2 + ... + ar + a
odnosno
Kr n = a ⋅
odakle je
a=K⋅
rn −1
r −1
r n (r − 1)
r n1
mn
Dakle, ako računamo pomoću tablice a = K ⋅ V p je izračunata vrednost
m
anuiteta.
- 298 -
Amortizacija zajma jednakim otplatama
Zajam se može otplaćivati i sa jedanakim otplatama od n delova, s tim da se
anuiteti dobijaju tako što se na verdnost doda izračunati interes u trenutku
isplate anuiteta.. Dakle, neka je uzet zajam od K dinara na n-godina sa p
procenata kamatne stope i jednakim otplatama. Koliki su godišnji anuiteti?
Anuieti se mogu lako računati na sledeći način.
K
K
np ⎞
⎛ p ⎞ K⎛
i anuitet a1 =
+ K⎜
⎟ = ⎜1 +
⎟
n
n
⎝ 100 ⎠ n ⎝ 100 ⎠
K (n − 1)
i drugi anuitet je
Dakle, u drugu godinu ulazimo sa dugom
n
Prvo, b1 = b2 = ... = bn =
a2 =
K K (n − 1) ⎛ p ⎞ K ⎛ (n − 1) p ⎞
+
⎟
⎜
⎟ = ⎜1 +
n
n
100 ⎠
⎝ 100 ⎠ n ⎝
U treću godinu se ulazi sa dugom
a3 =
K (n − 2)
i treći anuitet je
n
K K (n − 2 ) ⎛ p ⎞ K ⎛ (n − 2 ) p ⎞
+
⎟
⎜
⎟ = ⎜1 +
n
n
100 ⎠
⎝ 100 ⎠ n ⎝
nastavljajući analogno zaključujemo da je k-ti anuitet
ak =
K ⎛ (n − ( k + 1) p) ⎞
⎜1 +
⎟
n⎝
100
⎠
i zadnji anuitet je
an =
K⎛
p ⎞
⎜1 +
⎟
n ⎝ 100 ⎠
sa kojim je otplaćen dug.
Ako se pravi amortizacioni plan zajma u koloni otplata imamo iste vrednosti a
anuiteti se dobijaju kad se na ove vrednosti dodaju interesi na odgovarajući
iznos duga.
- 299 -
Primer: Kredit od 2700 din uzet je po godišnjoj kamatnoj stopi od 12% na 12
tromesečnih anuiteta sa jednakim isplatama. napraviti plan amortizacije.
Rešenje: Otplata je dakle 2700:12=225 din. Kada dođe vreme prve isplate na
kredit valja platiti interes P1 =
2700 ⋅ 12
= 81 din. (kamata je proporcionalna)
4 ⋅ 100
pa je prvi anuitet, dakle, 225+81=306 dinara. Dakle, preostali deo duga je 2475
na koji se daje na koji se daje otplata posle sledeća tri meseca koja iznosi
225+P2 a
P2 =
2475 ⋅ 12
= 74,25 din. pa je anuitet 299,25 dinara ili pregledno u tabeli:
4 ⋅ 100
Period
otplate
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
∑
početni
iznos duga
2700
2470
2250
2025
1800
1575
1350
1125
900
675
450
225
-
interes
anuitet
otplata
81
74,25
67,50
60,75
54,00
47,25
40,50
33,75
27,00
20,25
13,50
6,75
526,50
306
299,25
292,50
285,75
279,00
272,25
265,50
258,75
252,00
245,25
238,50
231,75
3226,50
225
225
225
225
225
225
225
225
225
225
225
225
2700
krajnji iznos
duga
2475
2250
2025
1800
1575
1350
1125
900
675
450
225
0
-
AMORTIZACIJA ZAJMA PROMENLJIVIM ANUITETIMA
Isplata zajma na ovaj način se vrši izradom amortizacionog plana s’tim što
anuitet u svakom koraku mora biti veći od interesa i zadnji anuitet mora svesti
dug na nulu.
AMORTIZACIJA ZAJMA ZAOKRUŽENIM ANUITETIMA
Amortizacija zajma u ovoj situaciji je vrlo slična amortizaciji zajma sa jednakim
anuitetima sa tom razlikom što se anuiteti zaokruže na neku određenu
vrednost i na taj način se napravi amortizacioni plan a u poslednjem periodu
- 300 -
izračunamo zadnji interes i dodamo na ostatak duga. Dakle, zadnji anuitet nije
isti kao ostali već je zbir poslednjeg interesa in i poslednjeg ostatka duga Kn (koji
je jednak ostalim) i zove se još i anuitetni ostatak.
Primer: Zajam od 8000 dinara amortizuje se godišnjim anuitetima koji su u
visini od 35% od veličine zajma sa kamatnom stopom od 5% dekurzivno
godišnje kapitalisanje. Napraviti plan amortzacije zajma i odrediti poslednji
anuitet.
Rešenje:
Kako anuiteti treba da budu 35% od veličine zajma to je a =
8000 ⋅ 35
= 2800 ,
100
p=5%, m=1 a n=?
Iz tablice IV imamo 8000 = 2800 ⋅ IV5n odavde je IV5n = 2,8571
Ove vrednosti se ne nalaze u koloni procenta 5 već je 3 < n < 4 dakle, zajam se
amortizuje 4 godine. Tri puta se plaća po 2800 a poslednje ostatak. Prikažimo
to amortizacionim planom:
period
otplate
1
2
3
4
∑
početni
iznos duga
8000
5600
3080
434
-
interes
anuitet
otplata
400
280
154
21,7
855,7
2800
2800
2800
455,7
8895,7
2400
2520
2646
434
8000
krajnji iznos
duga
5600
3080
434
0
-
KONVERZIJA ZAJMA
Konverzija zajma je svaka promena uslova otplaćivanja zajma. Do konverzije
najčešće dolazi na predlog dužnika, može biti predviđena i ugovorom o zajmu i
;esto je nametnuta i promena na tržištu novca.
Matematički gledano konverzija zajma predstavlja novi zajam sa novim
uslovima pri čemu veličina tog novog zajma je ostatak duga sa prispelom
kamatom do tog trenutka za koju se pravi novi amortzacioni plan sa novim
uslovima.
- 301 -
Primeri sa rešenjima:
Zajam od 100000 dinara otplaćuje se 25 godina godišnjim anuitetima uz interes
od 6% (pa)d i godišnje kapitalisanje. Posle 15 godina plaćenih anuiteta interes
je smanjen na 4% (pa)d i rok je produžen za 5 godina. Izračunati novi anuitet.
Prvo treba izračunati prvobitni anuitet i otplaćeni deo duga sa 15 rata
a = K ⋅ V625 = 100000 ⋅ 0,0782 = 7820 din ostatak duga posle 15 godina je
K1 = R25 −15 = 7820 ⋅ IV610 = 7820 ⋅ 7,3601 ≈ 57556 din
Novi anuitet je dakle
a1 = K1 ⋅ V412 = 57556 ⋅ 0,1066 ≈ 6135,5din
13.7. ELEMENTI OSIGURANJA
Uvodni deo
U ovom kratkom izlaganju o elementima osiguranja ćemo izložiti jedan oblik
osiguranja – osiguranje lica ili kako se uobičajeno zove osiguranje života kai i
osiguranje kapitala u smislu naplata u određenim situacijama od strane lica
koje se osigurava ili od strane drugih lica na koje je osiguranje zaključeno.
Dakle, ovde se ne govori o osiguranju imovine (mada su principi isti).
Ovde će biti samo dotaknuta problematika teorijskog računa osiguranih lica
(neće biti posmatrani troškovi osiguranja koji se sastoje od troškova
zaključivanja osiguranja, naplate osiguranja, raznih administrativnih troškova)
odnosno radićemo samo sa takozvanim neto premijama – odnosno kako se još
zovu matematičkim premijama odnosno radićemo samo sa neto mizama ili
matematičkim mizama.
Osiguranje na život je pisani ugovor koji se zove polisa koji se zaključuje jednog
osiguranog lica – osiguranika, i osiguravajućeg zavoda – osiguravača. Po tom
ugovoru osiguranik se obavezuje da odmah, odjednom ili u više rata plati
određenu ugovorenu sumu novca osiguravaču na osnovu koje ovaj kad nastupi
ugovorom predviđen slučaj isplaćuje osiguranu sumu korisniku.
Kad se ugovorna suma uplaćuje odjednom onda se kaže da je osiguranje
izvršeno uplatom mize.
Kad se ugovorena suma uplaćuje više puta, bilo godišnje, bilo više puta
godišnje tada se kaže da je osiguranje izvršeno uplatom premije. Premija može
- 302 -
biti doživotna ili privremena (doživotnu osiguranik plaća dok je živ a
privremenu određeni broj godina u slučaju da ih doživi).
osiguranje na život se deli na: osiguranje rente i osiguranje kapitala. Prvi tip je
kad se osiguravač obavezuje da osiguraniku (posle određenog broj godina)
određen broj godina (ili doživotno) isplaćuje određeni novčani iznos (rentu)
jednom ili više puta godišnje.
Drugi put je kada se osiguravač obavezuje da isplati određenu sumu novca
(kapital) jednom ili najviše dva puta u životu.
Osiguranje života može biti vezano za jedno ili više lica – ovde će biti reč o
osiguranju jednog lica.
Svi računi ovde su vezani za određene verovatnoće – verovatnoća da će
određeno lice sa x godina da doživi x+y godina. Računanja se vrše tako što se
poštuje princip ekvivalencije – grupne uplate su jednake ukupnim isplatama.
Tablice smrtnosti
U grani matematike koja se koristi u osiguranju i koja se zove aktuarska
matematika za praktične primene za računanje uplata kod osiguranja na život
koriste se tablice smrtnosti. U ovim tablicama su praktično uključene
verovatnoće doživljavanja kao i važeće kamatne stope za koje se u
odgovarajućoj državi koriste.
U tim tablicama obično imamo sledeće elemente
x - starost lica
lx - broj živih lica starih x godina
dx - broj umrlih lica u toku x+1 godine života
Dx, Nx, Sx, Cx, Mx, Rx – komutativni brojevi
Dx –broj diskontovanih živih lica starosti x-godina u času njihovog
rođenja
lx
rx
Nx – zbir brojeva diskontovanih živih lica starosti x, x+1, x+2,... godina
∞
l x +1
∑r
i =0
x +1
Sx – zbir zbirova diskontovanih živih lica starosti x, x+1, x+2,... godina
Cx – broj diskonotvanih umrlih lica u toku x+1 godine života
Mx – zbir brojeva diskontovanih umrlih lica u toku x+1, x+2,... godine starosti
Rx - zbir zbirova diskontovanih umrlih lica u toku x+1, x+2,... godine starosti
U tablicama našeg osiguravajućeg zavoda kamatna stopa za diskontovanje je
5%.
- 303 -
OSIGURANJE LIČNE RENTE UPLATOM MIZE
Osiguranje rente predstavlja vid osiguranja u kome u kome osiguranik uplatom
jednokratne novčane mase – mize ili višekratnim uplatama – premijama u
ratama želi da obezbedi sebe u budućnosti ili svoju porodicu u budućnosti.
Dakle, postoji više kategorija rente – ovde će biti posmatrana samo lična renta.
Ona se prema početku primanja može odrediti kao neposredna ili odložena.
Neposredna je kada se primanja isplaćuju odmah posle zaključenja osiguranja a
odložena je ona u kojoj se primanja isplaćuju posle protoka nekog određenog
perioda (odloženost) koji je predviđen ugovorom. Prema vremenu primanja
može biti dekurzivna (ako se prima krajem svake godine) i anticipativna (ako se
prima početkom svake godine). Renta se po pravilu isplaćuje godišnje a ako se
isplaćuje češće onda se zove renta u ratama ili parcijalna renta. Renta može biti
konstantna i promenljiva u zavisnosti od visine (što se predviđa ugovorom).
Ovde će biti posmatrana konstantna dekurzivna i anticipativna renta koja je
neposredna i doživotna, bez ukazivanja na raznorazne mogućnosti koje se
mogu dobiti u ostalim slučajevima.
Dakle, doživotna neposredna renta je ona koju osiguranik prima od dana
osiguranja pa do kraja života. Kada bi znali broj primanja n naznačene rente
zadatak bi rešili na sledeći način:
M n = R(1 + IVpn −1 )
gde je R renta a Mn bi bili veličine uplate i ako bi princip ekvivalencije bio
zadovoljen. Međutim, mi ne znamo n, i zadatak nećemo rešiti pomoću ovog
obrasca finansijske matematike. Dakle, rešavamo zakonima aktuarske
matematike sledeći princip ekvivalencije – uplate su jednake sa isplatama. Ovo
se naravno neće odnositi na jednog osiguranika već globalno posmatrajući sve
osiguranike jednog osiguravajućeg zavoda.
Dakle, izračunajmo koliku će mizu (neto iznos – iznos bez troškova) uplatiti lice
staro x godina da bi primalo rentu R dinara od dana osiguranja do kraja života?
(A)Rešenje: anticipativni slučaj
Neka je a x miza koju će ovo lice da uplati da bi primalo 1 novčanu jedinicu
rente. Osiguravajući zavod će (uz pretpostavku da su sva lica stara x godina
kojih ima lx u tablicama) biti osigurani, dobiti
ax ⋅l x dinara.
- 304 -
Osiguravajući zavod ax ⋅ lx primljenih dinara isplaćuje svim licima sabira se
godina odmah po 1 novčanu jedinicu, a potom početkom sledeće godine svim
živim licima koja imaju x+1 godina lx+1 dinara
Dakle zavod isplaćuje
na dan osiguranja
lx novčanih jedinica
posle 1 godine
lx+1 novčanih jedinica
posle 2 godine
lx+2 novčanih jedinica
...
Vrednost ovih isplata moraju biti isti kao i vrednost uplate, dakle, ove vrednosti
isplata moraju se svesti na isti rok – na dan osiguranja – a znajući da je
kamatna stopa p procenata ove vrednosti su:
prva
druga
treća
lx novčanih jedinica
l x +1
n.j.
r
l x+ 2
n.j.
r2
p
, i pri tom imamo jednakost
100
l
l
l
i
znajući
ax ⋅ lx = xx + xx++11 + xx++22 + ...
r
r
r
gde je r = 1 +
lm
imamo
rm
N
ax ⋅ Dx = Dx + Dx +1 + Dx + 2 + ... odnosno ax ⋅ Dx = N x a odavde je a x = x
Dx
da
je
Dx =
što je miza na rentu od 1 novčane jedinice i rentu R novčanih jedinica imamo
M = R ⋅ ax = R ⋅
Nx
Dx
(B) Rešenje – dekurzivni slučaj
Kao i u prethodnom slučaju neka je a x miza za 1 nj. rente koju će osiguranik
primati krajem svake godine. Dakle, osiguravajući zavod će od lx osiguranika
starih x – godina primiti a x l x novčanih jedinica.
Isplaćivaće:
- 305 -
posle prve godine lx+1 nj.
posle druge godine lx+1 nj.
I ove isplate treba svesti na početno vreme (imajući na umu da je kamatna
p
) kada imamo sledeće vrednosti
100
l
prve isplate x +1
r
l x +1
druge isplate
r2
stopa p i r = 1 +
...
i prema principu ekvivalencije imamo
axl x =
lx +1 l x + 2
+ 2 + ...
r
r
i posle podele sa rx imamo
ax ⋅
lx
l
l
= xx++11 + xx++22 + ... tj.
x
r
r
r
ax Dx = Dx +1 + Dx + 2 + ...
odnosno
ax Dx = N x +1
odakle je
ax =
N x +1
Dx
što je miza za rentu od 1 n.j. a mize za R n.j. iznosi
M = Ra x = R
N x +1
Dx
Slično kao i za prethodne slučajeve mogu se dobiti i sledeći obrasci (za mizu za
1 novčanu jedinicu rente):
Doživotna anticipativna renta odložena od x za k godina dobija se uplatom
mize
k∞
ax =
N x+k
Dx
Doživotna dekurzivna renta odložena od x za k godina dobija se uplatom mize
- 306 -
k∞
ax =
N x + k +1
Dx
Anticipativna renta za n-godina uplate sa početkom isplate prve godine dobija
se uplatam mize
0n
ax =
N x +1 − N x + n + k
Dx
Dekurzivna renta za n godine isplate sa početkom isplate krajem k-te godine
(od momenta osiguranja) dobija se uplatom mize
kn
ax =
N x + k +1 − N x + n + k
Dx
13.8. OSIGURANJE KAPITALA UPLATOM MIZE
Kao što je napred rečeno osiguranik osiguranjem kapitala stiče pravo da,
uplativši mizu, posle izvesnog vremena primi određenu sumu novca odjednom
ili najviše od dva puta. Osiguranje kapitala može biti
A za slučaj doživljavanja
B za slučaj smrti
C za slučaj doživljavanja i smrti
D na određeni rok
A Za slučaj doživljavanja
U ovom obliku osiguranja, osiguravajuće društvo isplaćuje ugovorenu sumu
samo onim osiguranicima koji dožive određeni rok. Uplata onih koji ne dožive
ugovoreni rok, koristi se za povećanje sume (tako se i pororačun vrši) isplate
onih koji dožive uplaćeni rok.
Danas postavljamo sledeće pitanje: Koliku neto mizu treba da uplati lice staro x
godina koje želi da mu se isplati k dinara ako doživi x+n godina?
Neka je ovako osiguranje zaključilo lx lica straih x godina i neka je neto miza za
1 n.j. osiguranog kapitala n Ex . Dakle, na dan osiguranja osiguravajuće društvo
primi
lx ⋅ n Ex n.j. (na primer dinara)
Na kraju n-te godine osiguravajući zavod živim licima (kojih po tablicama
starosti ima lx+n) isplati lx+n dinara. I ova isplata mora biti svedena na dan uplate
tj. mora biti
- 307 -
lx + n
rn
lx
l
⋅ E = xx++nn
x n x
r
r
Dx ⋅ n Ex = Dx + n
l x ⋅ n Ex =
deleći zadnju relaciju sa rx dobijamo
dakle imamo
Dx + n
što je mize za 1 dinar isplate a za k dinara imamo
Dx
D
M = K ⋅ n Ex = K ⋅ x + n
Dx
Odakle imamo
n
Ex =
B Osiguranje kapitala za slučaj smrti
Imamo četiri vrste osiguranja za slučaj smrti
a) doživotno
b) odloženo
c) privremeno
d) odloženo privremeno
a) Doživotno osiguranje kapitala za slučaj smrti je takva vrsta osiguranja po
kome se određenom licu isplaćuje ugovoreni kapital na kraju godine u kojoj
je osiguranik umro.
Dakle lice staro x godina osigurava kapital od K dinara da se isplati
naslednicima posle njegove smrti. Koliku mizu treba da uplati?
Obeležimo sa Ax neto mizu koju osiguranik treba da uplati za 1 dinar
osiguranog kapitala za naslednike. Neka je u ovu vrstu osiguranja stupilo lx
lica starih x godina, dakle oni osiguravajućem zavodu isplaćuju l x ⋅ Ax
dinara za isplatu naslednicima kapitala od po 1 dinar posle smrti
osiguranika.
Osiguravajući zavod posle prve godine isplati dx dinara, posle druge godine
dx+1 dinara, posle treće godine dx+2 dinara. Zbir ovih diskontovanih
vrednosti isplata mora biti isti kao i uplata (sve se svodi na isti trenutak):
l x ⋅ Ax =
d x d x +1 d x + 2
+ 2 + 3 + ...
r
r
r
Posle deljenja sa rx ove relacije imamo
lx
d
d
d
⋅ Ax = x +x 1 + xx++21 + xx ++32 + ...
x
r
r
r
r
odnosno imamo relaciju
- 308 -
Dx ⋅ Ax = Cx + Cx +1 + Cx + 2
ili preciznije
Dx ⋅ Ax =
Mx
M
odakle je Ax = x
Dx
Dx
uz napomenu da poslednja relacija može imati i sledeći oblik Ax = 1 + dax ,
1
, jer je M x = Dx − d ⋅ N x jasno je da je miza za K dinara
r
kapitala M = K ⋅ Ax
gde je d = 1 −
b) Odloženo osiguranje u slučaju smrti
Ovu vrstu osiguranja imamo kada se osiguravajući zavod obaveže da će
isplatiti ugovoreni kapital naslednicimaosiguranika ako osiguranik umre
posle k godina posle osiguranja a krajem godine kad je ovaj umro. Ako
osiguranik umre u ovih k godina naslednicima se ništa ne isplaćuje. Ova
vrsta osiguranja je zaštita za osiguravajuće zavode i praktikuje se u
osiguravanju lica sumnjivog zdravstvenog stanja.
Dakle, koliku mizu treba da uplati lice staro x godina da bi naslednicima
obezbedilo kapital od K dinara psle svoje smrti, ako smrt nastupi posle k
godina od dana osiguranja?
Obeležimo neto mizu za 1 dinar kapitala isplaćenog pod ovim uslovima sa
Ax . Pretpostavimo da se lx osiguranika osiguralo na ovaj način. Dakle
k
osiguravajući zavod dobije l x ⋅k Ax dinara. Osiguravajući zavod na kraju k+1
godine isplaćuje dx+k dinara, na kraju k+2 godine dx+k+1dinara, ...
Po principu ekvivalencije isplate diskontovane na dan uplate moraju biti
jednake uplati pa imamo
l x ⋅k Ax =
d x + k d x + k +1
+ k + 2 + ... posle deljenja sa rx leve i desne strane
r k +1
r
imamo
lx
d
d
⋅ A = k +x +x k+1 + kx++xk++21 + ... odnosno
x k x
r
r
r
Dx ⋅k Ax = C x + k + C x + k +1 + ... odnosno
Dx ⋅k Ax = M x + k tj.
k
Ax =
M x+k
Dx
- 309 -
a neto mize za K dinara je
M = K ⋅k Ax = K ⋅
M x+k
Dx
c) Privremeno osiguranje za slučaj smrti
Ovom vrstom osiguranja osiguranik obezbeđuje da osiguravajući zavod
isplati naslednicima kapital od K dinara krajem godine u kojoj je on umro
ako umre u prvih n godina od dana osiguranja, a ako ne umre do tada onda
osiguravajući zavod ne isplaćuje ništa.
Dakle, koliku mizu treba da uplati lice staro x godina da bi se njegovim
naslednicima krajem godine u kojoj je umrlo isplatilo K dinara ako umre u
toku prvih n godina od dana osiguranja?
Obeležimo sa n Ax iznos neto mize za isplatu kapitala od 1 dinara I
pretpostavimo da je u ovaj odnos stupilo lx lica starih x godina.
Osiguravajući zavod dobije l x ⋅ n Ax dinara.
Po ovom osnovu osiguravajući zavod isplaćuje
krajem prve godine dx dinara
krajem druge godine dx+1 dinara
krajem n-te godine dx+n-1 dinara
Po principu ekvivalencije mora biti
lx ⋅ n Ax =
d x d x +1
d
+ 2 + ... + x +nn −1
r
r
r
Posle deljenja sa rx leve I desne strane imamo
lx
d
d
d
⋅ A = x +x 1 + xx++21 + ... + xx++nn−1 odnosno
x n x
r
r
r
r
D n ⋅ n A x = C x + C x + 1 + ... + C x + n − 1 kako je
M x = Cx + Cx +1 + Cx + 2 + ... i
M x +1 = Cx + n + Cx + n +1 + ... + Cx + n + 2 + ... to je
M x + n − M x = Cx + Cx +1 + ... + Cx + n −1 pa nova jednačina postaje
Dx ⋅ n Ax = M x + n − M x
što konačno daje
n
Ax =
M x+n − M x
Dx
- 310 -
i konačno rešenje postojećeg zadatka je K dinara iznosi
M = K ⋅ n Ax = K ⋅
M x + n− M x
Dx
d) Odloženo privremeno osiguranje kapitala za slučaj smrti
Ova vrsta osiguranja predviđa isplatu osiguranog kapitala K naslednicima
ako ako osiguranik preživi k godina od dana osiguranja a umre u narednih
n godina. Ako umre u prvih k godina ili posle k+n godina osiguravajući
zavod ne isplaćuje ništa.
Dakle, koliku mizu mora uplatiti lice staro x godina da bi naslednicima
osiguralo K dinara ako preživi k godinu pa umre u narednih n godina?
Obeležimo sa k n Ax neto mizu za 1 dinar kapitala koji bi se isplatio
naslednicima pod navedenim uslovima I pretpostavimo da je lx starih n
godina stupilo u ovu vrstu osiguranja. Dakle, osiguravajući zavod primi
l x ⋅k n Ax dinara.
Isplate osiguravajućeg zavoda iznose
krajem (k+1) godine
dx+k dinara
krajem (k+2) godine
dx+k+1 dinara
…
krajem (k+n) godine
dx+k+n-1 dinara
I kada ove isplate svedemo na dan uplate I izjednačimo uplatu I isplatu po
principu ekvivalencije imamo
d x + k d x + k +1
d
+ k + 2 + ... + x +kk++nn −1 i posle deljenja sa r2 imamo
k +1
r
r
r
d
d
d
lx
⋅ A = x +x +k k+1 + xx++kk++21 + ... + xx++kk++nn−1
x kn x
r
r
r
r
l x ⋅k n Ax =
Dx ⋅k n Ax = C x + k + C x + k +1 + ... + C x + k + n −1
i slično kao u prethodnom delu imamo
Dx ⋅k n Ax = M x + k − M x + k + n što daje
kn
Ax =
M x+k − M x+k +n
Dx
pa za osiguranje kapitala od K dinara treba uplatiti mizu od
M = K ⋅k n Ax = K ⋅
M x + k− M x + k + n
Dx
- 311 -
Napomena: Ovo osiguranje je jednako razlici privremenog osiguranja za slučaj
smrti za (k+n) godina i privremenog osiguranja za slučaj smrti za k godina.
Zaista
kn
=
Ax = k + n Ax − k Ax =
M x− M x + n + k M x− M x + k
−
Dx
Dx
M x + k− M x + n + k
Dx
13.9. MEŠOVITO OSIGURANJE
U praksi najčešći oblik osiguranja. Pri ovakvom ugovoru, osiguravajući zavod
isplaćuje osiguraniku K dinara ako doživi n godina, odnosno, istu tu svotu
naslednicima ako osiguranik umre u međuvremenu. Dakle, ovde su spojeni
osiguranje za slučaj doživaljavanja i privremeno osiguranje za slučaj smrti.
Zadatak je sledeći: Lice staro x godina osigurava K dinara na n godina koji će se
isplatiti njemu lično ako doživi x+n godina, odnosnokoji će se isplatiti
naslednicima ako osigurano lice u međuvremenu umre.
Obeležimo neto mizu za 1 dinar ovakvog kapitala sa Ax , n i pretpostavimo da je
se ovako osiguralo lx lica starih x godina. dakle, osiguravajući zavod dobije
l x ⋅ Ax , n dinara.
Osiguravajući zavod isplaćuje na kraju prve godine dx, na kraju druge godine
dx+1,... na kraju n-1 godine dx+n-2 dinara i na kraju n-te godine dx+n-1 i lx+n dinara
(dx, dx+n-1 su isplate naslednicima a lx+n je isplata onima koji su doživelei čas
isplate). Svedeno na dan uplate uz princip ekvivalencije imamo
l x ⋅ Ax , n =
d x d x +1
d
l
+ 2 + ... + x +nn −1 + x +nn
r
r
r
r
posle deljenja sa rx imamo
lx
d
d
d
l
⋅ Ax , n = x +x 1 + xx++21 + ... + xx++nn−1 + xx++nn
x
r
r
r
r
r
odnosno
Dx ⋅ Ax, n = Cx + Cx +1 + ... + Cx + n + Dx + n
tj. imamo
- 312 -
Dx ⋅ Ax , n = M x − M x + n + Dx + n
Ax , n =
M x − M x + n + Dx + n
Dx
ili, kao što je napred i rečeno to je zbir osiguranja kapitala za slučaj
doživljavanja i privremenog osiguranja za slučaj smrti.
Ax , n = m An + n Ex
Rešenje našeg postavljenog zadatka je
M = K ⋅ Ax , n = K
M x − M x + n + Dx + n
Dx
13.10. OSIGURANJE VIŠEKRATNIM PREMIJAMA
Prethodna osiguranja detaljno obrađena uplatom mize su dosta retka u praksi
jer su sa gledišta osiguranika nepraktična jer retko kad osiguranik ima tako
veliku sumu novca da bi je uplatio odjednom i na taj način se osigurao. Mnogo
češći oblik osiguranja je kada se osiguranik osigurava na taj način što uplate za
osiguranje plaća u više stalnih rata najčešće godišnjih.
Treba imati na umu da se usvakom od ovih osiguranja bilo osiguranju rente ili
kapitala, privremenom, doživotnom, anticipativnom ili dekurzivnom, osiguranik
plaća premiju samo dok je živ, odnosno premije ne isplaćuju naslednici ni u
kom slučaju iako osiguranje može trajati i posle.
I ovde kao i u prethodnom slučaju važi princip ekvivalencije samo se uplate
sada pretvaraju kao ulaganje i naravno primenjuje se "zakon velikih brojeva” za
proračune (u kojima se sadrže verovatnoće).
Ovaj način proračuna je u principu isti kao i u prethodnim slučajevima pa ga
nećemo davati.
DOŽIVOTNA ANTICIPATIVNA RENTA
Pitanje koliko treba uplatiti u m godišnjih rata da bi se obezbedila doživotna
anticipativna renta od K dinara.
Izračunajmo prvo ovu godišnju ratu m P[ax ] za 1 dinar rente. Neka je
osiguranje ove vrste zaključilo lx, lica starih x godina.
- 313 -
Dakle, prve godine uplata lx lica po
m
P[ax ] dinara tj.
lx ⋅ m P[ax ]
lx +1 ⋅ m P[ax ]
druge godine
...
Na početku m-te godine lx + m −1 ⋅ P[ax ] .
Isplate su sledeće:
Odmah na početku prve godine lx dinara
početkom druge godine lx+1 dinara
...
Svedeno na dan zaključenja osiguranja primenom principa ekvivalencije
dobijamo:
m
l
l
l
l
⎞
⎛
P ⋅ [a x ] ⋅ ⎜ l x + x +1 + x +22 + ... + x +mm−−11 ⎟ =l x + x +1 + ...
r
r
r
r
⎝
⎠
Deleći levu i desnu stranu sa rx dobijamo
l
l
l
⎞ l
⎛l
P ⋅ [a x ] ⋅ ⎜ xx + xx++11 + ... + xx++mm−−11 ⎟ = xx + xx++11 + ... odnosno
r
r
r
⎝r
⎠ r
m P ⋅ [a x ] ⋅ (Dx + Dx +1 + ... + Dx + m −1 ) = Dx + Dx +1 + ...
m
Kako je N x = Dx + Dx +1 + ... to je
Dx + Dx +1 + ... + Dx + m −1 = N x − N x + m
i imamo relaciju
m
P ⋅ [ax ] ⋅ ( N x − N x + m ) = N x
m
P ⋅ [a x ] =
odakle je
Nx
N x − N x+m
a rešenje našeg problema je premija
P = K ⋅m P[a x ] = K ⋅
Nx
N x − N x+m
- 314 -
Ostale slučajeve godišnje premije sa uplatom za 1 dinar rente navodimo bez
izvođenja:
• Doživotna anticipativna renta sa m uplata odložena na k godina
(isplaćuje se posle k godina)
m
•
P⋅
[ a ] = NN
P⋅
x+k
x
kn
x
− N x+k +n
− N x+m
[ ]
P ⋅ ax =
N x +1
N x − N x+m
P⋅
[ a ] = N N− N
x + k +1
k
x
x+m
Privremena dekurzivna renta na n godina n>m, (prva isplata krajem
prve godine):
m
P⋅
[
on
]
ax =
N x + 1 − N x + n +1
N x − N x+m
Privremena dekurzivna renta na n godina odložena za k godina
(k+n>m)
m
•
x
− N x+n
− N x+m
[ a ] = NN
x
•
x
x
on
Doživotna dekurzivna renta odložena za k godina
m
•
x
− N x+k
− N x+m
Doživotna dekurzivna renta (isplate odmah na kraju godine)
m
•
x
x
kn
Anticipativna renta za n godina isplate (k+n>m) sa početkom isplate
posle k godina (odloženo)
m
•
[ a ] = NN
Anticipativna renta za n godina isplate (n>m) sa početkom isplate
odmah
m
•
P⋅
P⋅
[
kn
]
ax =
N x + k +1 − N x + k + n +1
N x − N x+m
Osiguranje kapitala od 1 dinara za slučaj doživljavanja n godina
(m ≤ n)
- 315 -
m
P⋅
[ E ] = N D− N
x+n
n
x
x
•
m
•
P ⋅ [ Ax ] =
Mx
N x − N x+m
Osiguranje kapitala od 1 dinara za slučaj smrti doživotno odloženo za k
godina
m
P⋅
[ A ] = N M− N
x+k
x
k
x
•
P⋅
[
on
]
Ax =
M x − M x+n
N x + N x+m
Osiguranje kapitala od 1 dinara privremeno na n godina, odloženo za k
godina (k+n>m) za slučaj smrti
m
•
x+m
Osiguranje kapitala od 1 dinara privremeno na n godina (n>m) za slučaj
smrti koje stupa na dan osiguranja
m
•
x+m
Osiguranje kapitala od 1 dinara za slučaj smrti (doživotno):
P⋅
[
kn
]
Ax =
M x+k − M x+k +n
N x − N x+m
Mešovito osiguranje
m
P ⋅ ⎡ Ax , n
⎢⎣
⎤ = M x − M x + n + Dx + n
⎥⎦
N x − N x+m
Osiguranje doživotnim konstantnim premijama
U prethodnom slučaju premija je uplaćivana na m godina (ili doživotno ako
osiguranik umre pre isteka m-te godine). Ovde je situacija još povoljnija za
osiguranika što se uplata tiče (jer su one manje) i one se uplaćuju na početku
svake godine dok je osiguranik živ.
Obeležimo sa P(Ax) godišnju doživotnu premiju za 1 dinar kapitala koji će se
isplatiti naslednicima posle smrti osiguranika. Neka je osiguranje ugovorilo lx
lica starih x godina.
- 316 -
Dakle, osiguravajući zavod će primiti početkom
prve godine lx ⋅ P( Ax ) dinara
druge godine lx +1 ⋅ P( Ax ) dinara
...
Ukupno primanje će biti, svedeno na početni trenutak
l
l
⎛
⎞
P ( Ax ) ⋅ ⎜ l x + x +1 + x +22 + ... ⎟
r
r
⎝
⎠
Isplate osiguravajućeg društva su
krajem prve godine dx dinara
krajem druge godine dx+1 dinara
...
Ukupne isplate svedene na početni trenutak iznose
d x d x +1
+ 2 + ...
r
r
Po principu ekvivalencije imamo
l
d
⎞ d
⎛
P ( Ax )⎜ l x + x +1 + ... ⎟ = x + x2+1 + ...
r
r
⎝
⎠ r
Posle deljenja sa rx imamo
l
d
⎛l
⎞ d
P ( Ax )⎜ xx + xx++11 + ... ⎟ = x +x 1 + xx ++11 + ... odnosno
r
r
⎝r
⎠ r
P( Ax )(Dx + Dx +1 + ...) = Cx + Cx +1 + ... ili
P( Ax ) ⋅ N x = M x
pa konačno imamo
P ( Ax ) =
Mx
.
Nx
- 317 -
KLJUČNI POJMOVI:
•
•
•
•
•
PROCENAT
PROMIL
KAMATNA STOPA
ESKONT, ESKONTNI FAKTOR
FAKTOR AKUMULACIJE
- 318 -
•
•
•
•
•
•
ANUITET
TABLICE SMRTNOSTI
MIZA I PREMIJA
OSIGURANJE RENTE
OSIGURANJE KAPITALA
MEŠOVITO OSIGURANJE
LITERATURA
[1]
Atlan, C., Trigano, G., Mathematiques appliques à la question, Paris,
1990.
[2]
Backović, M. i drugi, Matematički modeli i metodi u ekonomiji,
Ekonomski fakultet, Beograd, 2002.
[3]
Backović, M. i drugi, Zbirka rešenih zadataka, Ekonomski fakultet,
Beograd, 2002.
[4]
Cvetković, D., Simić, S., Diskretna matematika, Naučna knjiga, Beograd,
1990.
[5]
Demidovič, B. P. i drugi, Zadaci i rešeni primeri iz matematičke analize za
fakultete, Tehnička knjiga, Beograd, 1998.
[6]
Ivković, Z., Teorija verovatnoće
Građevinska knjiga, Beograd, 1998.
[7]
Ivović, M. i drugi, Matematika, Ekonomski fakultet, Beograd, 2002.
[8]
Ivović, M. i drugi, Zbirka zadataka, Ekonomski fakultet, Beograd, 2002.
[9]
Klein, E., Mathematical Methods in theoretical Economics, Academic
Press, New York, 1973.
sa
matematičkom
statistikom,
[10] Kočović, J., Finansijska matematika, Ekonomski fakultet, Beograd, 1993.
[11] Ralević, R., Matematika za ekonomiste, treće izmenjeno izdanje,
Savremena akademija, Beograd
[12] Takayama, A., Mathematical Economics, The Dryden Press, Ilinois, 1974.
[13] Vukdelija, D. i drugi, Matematika za ekonomiste, Ekonomski fakultet,
Subotica, 1995.
[14] Žižović, M., Matematika, Izdavački centar za industrijski menadžment,
Kruševac, 2001.
[15] Žižić, M. i drugi, Metodi statističke analize, Ekonomski fakultet, Beograd,
1992.
- 319 -
Odlukom Senata Univerziteta “Singidunum”, Beogrаd, broj 636/08 od 12.06.2008,
ovaj udžbenik je odobren kao osnovno nastavno sredstvo na studijskim programima koji
se realizuju na integrisanim studijama Univerziteta “Singidunum”.
CIP - Каталогизација у публикацији
Народна библиотека Србије, Београд
519.2(075.8)
51-77:33(075.8)
ЖИЖОВИЋ, Малиша, 1948Kvantitativne metode / Mališa Žižović,
Olivera Nikolić. - 6. izmenjeno i dopunjeno
izd. - Beograd : Univerzitet Singidunum, 2010
(Loznica : Mladost group). - 319 str. : graf.
prikazi, tabele ; 25 cm
Tiraž 1.350. - Bibliografija: str. 319.
ISBN 978-86-7912-274-2
1. Николић, Оливера, 1948- [аутор]
a) Математичка статистика b) Привредна
математика
COBISS.SR-ID 177940748
© 2010.
Sva prava zadržana. Ni jedan deo ove publikacije ne može biti reprodukovan u bilo kom
vidu i putem bilo kog medija, u delovima ili celini bez prethodne pismene saglasnosti
izdavača.
Download

Kvantitativne metode.pdf - Seminarski i diplomski radovi