Jovan Knežević
Aleksandra Ravas
januar 2012.
Republički seminar o nastavi matematike
1
Eksponencijalne
funkcije
šta će to
meni?
Nema profesora matematike koji se bar jednom u svom radnom veku nije
sreo sa sličnim pitanjem nekog od đaka kojima je predavao.
Kako suština matematičkog načina razmišljanja podrazumeva da se ono
može primeniti u raznim oblastima ljudskog delovanja, cilj ovog predavanja
je da pruži profesorima srednjoškolske matematike pregršt primera iz
stvarnog života kojima bi mogli otpočeti nastavnu temu o eksponencijalnim
funkcijama, uz ideje kako se ona može učiniti zanimljivijom kroz saradnju sa
kolegama koji predaju druge predmete, poput biologije, informatike, hemije
ili fizike.
Pored toga, biće predstavljen izbor zadataka za koje autori smatraju da ih je
dobro uraditi kako bi tema bila kvalitetno prezentovana učenicima.
2
x
f(x)=P0⋅(1+r)
P0 – početna vrednost
r- stopa rasta/opadanja (100·r – procenat rasta/opadanja)
1+r – faktor rasta/opadanja
3
Biologija
Biološka reprodukcija je jedan od odličnih primera eksponencijalnog rasta.
Organizmi koji se reprodukuju u pravilnim generacijskim periodima će se, u
idealnim uslovima, razmnožavati eksponencijalno.
Eksponencijalni rast u populaciji se pojavljuje u situaciji kada je natalitet veći
od mortaliteta, a stope rađanja i umiranja su konstantne.
4
Deoba ćelija
Proces deobe ćelije bi učenicima trebalo da bude poznat, ali se, po potrebi, u
pomoć može pozvati profesor biologije. Ovo je prirodan primer
eksponencijalno rastuće funkcije sa stopom rasta od 100%.
5
Kolonija bakterija
Gaji se u laboratoriji pod idealnim uslovima.
Ako posle 3h ima 10000 jedinki, koliko ih je bilo na
početku?
Funkcija koja modeluje rast:
f(x) = P0 ⋅ (1+1)x
P0=10000:23=1250
6
Populacija
7
Populacija Novog Pazara*
Popis 1981. - 41099
Popis 1991. - 51749
Decenijsko uvećanje 25,91%
Funkcija koja modeluje rast:
f(x) = 41099 ⋅ 1,2591x
Predvideti populaciju 2001. i 2011?
*Podaci upotrebljeni u primeru uzeti sa internet prezentacije Republičkog zavoda za statistiku (www.stat.gov.rs)
8
Populacija Novog Pazara
f(1) = 41099 ⋅ 1,2591= 51748
f(2) = 41099 ⋅ 1,25912 = 65155
Popis 2002. - 61179
Popis 2002. (nova metodologija) - 54604
9
Populacija Novog Pazara
Popis 1991. - 50362
Popis 2002. - 54604
Decenijsko uvećanje 8,42%
Funkcija koja modeluje rast:
f1(x) = 50362 ⋅ 1,0842x
Predvideti populaciju 2011?
10
Populacija Novog Pazara
f1(1) = 50362 ⋅ 1,0842 = 54602
f1(2) = 50362 ⋅ 1,08422 = 59200
Popis 2011. (nova metodologija) - 60638
11
Da li je to sve?
12
Ekonomija
Složeni kamatni račun – kamata koju donosi štedni račun je konstantna
proporcija stanja na njemu, ukamaćena na fiksnim vremenskim intervalima.
Ukoliko efektivna kamatna stopa, korigovana za stepen inflacije, ostane
konstantna, stanje na računu se eksponencijalno uvećava.
13
Štednja
Marija je uložila 300€ u banku po kamatnoj stopi od 5% sa godišnjim
pripisom kamate. Koliko će godina biti potrebno da se ulog utrostruči? (22,5)
Milica ima 25 godina i planira da se penzioniše sa 60. Želela bi da u tom
trenutku ima 1000000 dinara ušteđevine, i planira da ulaže mesečno u
penzioni fond sledećih 35 godina. Ukoliko je kamatna stopa koju joj nudi
fond 6% p.a, a pripis kamate mesečni, kolika treba da bude mesečna uplata
da bi Milica ispunila zadati cilj? (701,40)
Istraživački zadatak: da učenici skupe iz reklama stvarne ponude banaka, i da
odrede u kojoj bi bilo najisplativije uložiti izvesnu ušteđevinu, ili podići kredit.
14
rx
f(x)=P0⋅e
Kada se kamaćenje radi n puta godišnje, tokom x godina, polazna formula
postaje:
r
n
nx
f(x) = P0 ⋅ (1+ )
Ukoliko kapitalisanje postane kontinulano, neprekidno, formula prelazi u:
rx
f(x) = P0 ⋅ e
15
Inflacija
Pretpostavimo da posedujete u svojoj slamarici 10.000 evra, koje čuvate za
penzionerske dane. Koliko će novac kojim danas raspolažete vredeti za 20
godina ako je godišnja inflacija:
a) 3%? b) 7%?
Ako je inflacija 3% godišnje, ono što danas košta 1€, sledeće godine će koštati
1,03€. Da bi se novac iz sledeće godine sveo na vrednost tekuće godine,
potrebno ga je pomnožiti sa 1/1,03≈0,971 što će mu smanjiti vrednost.
Za godinu dana, 10.000€ će vredeti 0,971·10.000€=9.710€, a kako je 0,971
faktor opadanja, za x =20, ušteđevina će imati vrednost 5.550€ (ako je
inflacija 7%, ušteđevina će izgubiti oko 75% vrednosti, odnosno, vredeće
2.610€).
Istraživački zadatak: da učenici nađu na prezentaciji zavoda za statistiku
tačne podatke o mesečnoj inflaciji, pa da modeluju funkciju i predvide npr.
cenu hleba ili bioskopske karte ili benzina na osnovu nje.
16
i
t
s
o
n
d
e
r
v
k
a
t
i
Gub
Slobodan je kupio novi auto po ceni od 25.000€, koji približno gubi 15% svoje
vrednosti godišnje. Odrediti faktor gubitka vrednosti. Odrediti funkciju koja
modeluje gubitak vrednosti. Izračunati vrednost automobila 10 godina posle
kupovine. (0,85; f(10)=25000·0,8510=4921,86)
Predlog za kreativnu radionicu: učenici mogu da prikupe iz novina, časopisa
ili sa interneta, podatke o ceni novih modela automobila zadatog
proizvođača, kao i cene polovnih modela u odnosu na njihove godine
proizvodnje, i da na osnovu njih modeluju odgovarajuće funkcije pada
vrednosti, a da zatiman aliziraju dobijene podatke – koji je model
najisplativije kupiti nov, a koji polovan, u kom trenutku je najbolje prodati
auto?
17
Broj gledalaca
Veliki procenat zarade u Holivudu dolazi od prodatih bioskopskih karata, a
neki od najpoznatijih filmova u istoriji su zaradili milijarde dolara, poput
“Avatara”, “Ratova zvezda” ili “Titanika”.
Jedan od najboljih pokazatelja koliko će film zaraditi u distribuciji je podatak
o prodatim bioskopskim ulaznicama za vreme prvog vikenda nakon što je
film premijerno prikazan u bioskopima.
Film “Mračni vitez” (The Dark Knight, 2008) Kristofera Nolana je među
filmovima koji su imali najveću zaradu u toku prve nedelje prikazivanja, pa
iako mu je gledanost u toku narednih sedmica drastično opadala, zaradio je
više od milijardu dolara u distribuciji.
Internet stranica na kojoj je moguće naći podatke o zaradi velikog broja
filmova na dnevnom nivou: www.the-numbers.com/movies/records
Istraživački zadatak: učenici mogu da odaberu neki film i da na osnovu
podataka koje pronađu modeluju eksponencijalnu funkciju kojoj je P0 zarada
u toku prvog vikenda, a r stopa opadanja. Zatim mogu da, pomoću Excel-a,
provere na celokupnom skupu podataka za izabrani film da li su dobro
odredili funkciju.
Takođe, mogu da slično urade za film koji je nedavno imao premijeru, i da
provere nakon nekoliko nedelja da li njihova procena modeluje stvarnu
zaradu.
18
Ko umije njemu dvije
19
ja
n
a
r
i
l
p
u
d
o
il
v
a
r
P
Deci se ponekad priča priča u kojoj treba da zamisle jezero u kome rastu
lokvanji čiji se broj svakog dana udvostručava, i ukoliko se ne uništavaju, za
30 dana će prekriti površinu celog jezera, ubijajući na taj način sav živi svet u
njemu. Kako se dan za danom čini da je prekrivač od lokvanja relativno mali,
odlučeno je da se krene sa njihovom sečom tek kada prekriju tačno polovinu
jezera. Kog dana će se to desiti? Kako odgovor objasniti detetu?
Ukoliko se komad običnog papira debljine 0,1mm počne presavijati na pola,
pa još na pola, i tako dalje, a pod pretpostavkom da se može nastaviti do u
beskonačnost, kako bi glasila funkcija koja modeluje njegovu debljinu? Sa
koliko presavijanja bi se stiglo do visine čoveka? Do visine švajcarske planine
Materhorn (4478m)? Do Sunca? Do kraja Sunčevog sistema? (do visine 1,63m
potrebno je 14 presavijanja, sa 26 papir je viši od Materhorna, sa 51 stiže do
Sunca, sa 54 do ivice Sunčevog sitema)
Interesantan link:
http://www.blic.rs/Slobodno-vreme/Zanimljivosti/301052/Neko-se-toaletpapirom-brise-a-neko-resava-slozene-matematicke-zadatke
20
Pravilo 70, pravilo 72, pravilo 69
Odrediti x tako da je f(x)=2P0.
2P0=P0(1+r)x
pa je x=ln2/ln(1+r)
(2P0=P0erx),
(x=ln2/r).*
x≈70/r ili x≈72/r zbog više delilaca.
Dobro za stope 6%-10% uz godišnje kapitalisanje.
Za ostale stope i neprekidno kapitalisanje bolje 69/r (ln2≈0,693).
*Za male vrednosti r, ln(1+r) je aproksimativno jednako r (prvom članu Tejlorovog reda).
Ovo pravilo se može naći u knjizi Summa de Arithmetica Luke Pačolija(1445–
1514). Spominje se u diskusiji o proceni vremena potrebnog za dupliranje
uloga, ali se ne izvodi niti objašnjava, zbog čega se pretpostavlja da je bilo
uveliko poznato u Pačolijevo vreme.
“A voler sapere ogni quantita a tanto per 100 l'anno, in quanti anni sarà
tornata doppia tra utile e capitale, tieni per regola 72, a mente, il quale
sempre partirai per l'interesse, e quello che ne viene, in tanti anni sarà
raddoppiato. Esempio: Quando l'interesse è a 6 per 100 l'anno, dico che si
parta 72 per 6; ne vien 12, e in 12 anni sarà raddoppiato il capitale.”
U prevodu:
“Ukoliko želiš da znaš za proizvoljnu glavnicu, i poznat godišnji prinos, za
koliko godina će se udvostručiti dodavanjem interesa na glavnicu, imaj kao
pravilo (broj) 72 na pameti, koji ćeš uvek podeliti sa interesom, i ono što
dobiješ za rezultat, kazuje za koliko godina će se udvostručiti. Primer: ako je
interes 6 posto godišnje, kažem da treba podeliti 72 sa 6; 12 je rezultat, i za
12 godina će se glavnica udvostručiti. ”
21
Medicina
22
a
k
e
l
a
j
i
c
p
r
o
s
p
A
Ljudsko telo eliminiše supstance koje se u njega unesu pomoću metabolizma
i izlučivanjem. Da bi odredio kojom dinamikom će pacijent uzimati lek i u
kojoj dozi, lekar treba da proceni koliko će dugo lek ostati u telu pacijenta.
Ovo se obično radi merenjem vremena potrebnog da se ukupna količina leka
u organizmu smanji za jednu polovinu.
Za većinu lekova se smatra da su eliminisani iz organizma posle pet ciklusa
poluraspada, pošto je tada količina koja preostane verovatno previše mala da
bi izazvala bilo kakav koristan ili štetan efekat. Posle pet ciklusa, koji procenat
od originalne doze leka je ostao u organizmu?
Ubrzo po uzimanju aspirina, u krvi bolesnika je bilo 500mg leka. Ako se
njegova količina smanjuje tako da ga je svaka 2 sata upola manje, koliko će
ga biti u organizmu posle 6h? (62,5 miligrama)
Nakon što je popio nekoliko alkoholnih pića, u krvi vozača bilo je 2,5‰
alkohola. Ako se ta količina eksponencijalno smanjuje za 25% svakog sata, za
koliko sati će biti 0,08‰? (0,75)x=0,08/2,5 x≈12h
Interesantan link: http://www.alkoholizam.com/organizam5.htm
www.pernod-ricard-serbia.com/odgovorno-konzumiranje-alkohola
23
e
n
a
r
e
j
n
a
t
s
a
r
a
Z
Neka je f(x) površina rane izražena u kvadratnim centimetrima, x dana nakon
što je počeo proces zarastanja, a neka je Po njena originalna površina.
Funkcija je zadata formulom:
-0,15x
f(x) = P0 ⋅ e
Pretpostavimo da je posle utakmice u kojoj je povređen, košarkašu rečeno da
neće moći da igra sve dok mu se rana na nozi ne zaleči bar 90%.
Da li će on moći da učestvuje na turniru koji počinje za dve nedelje?
f(14) = P0 ⋅ 0,122456428 ≈ 12,24%P0
Posle koliko vremena će moći da se vrati na teren? (Posle 16 dana.)
24
Širenje zaraze
U prvim danima širenja epidemije, broj obolelih ljudi raste eksponencijalno.
Poznato je da je na početku (x=0) bilo bolesno 40 ljudi. Trećeg dana je taj broj
porastao na 200. Koliko će ih biti bolesno šestog dana? Koliko obolelih će biti
posle nedelju dana? Posle koliko dana će biti 7000 zaraženih?
x
f(x) = 40 ⋅ 1,709976
f(6) = 1000, f(7) ≈ 1710
Za približno 9,63 dana.
Interesantna računica na ovu temu se može videti u filmu “Zaraza”
(Contagion, 2011) Stivena Soderberga sa Metom Dejmonom, Gvinet Paltrou,
Džud Loom i Kejt Vinslet u glavnim ulogama.
25
Hemija
Poluživot atomskog oružja
Plutonijum, koji se koristi kao gorivo za atomsko oružje, ima vreme
poluraspada od oko 24.400 godina. Atomsko oružje je obično konstruisano
tako da ima marginu mase od 1%, što znači da će biti funkcionalno sve dok
originalno gorivo ne smanji svoju masu za više od 1%, ostavljajući manje od
99% originalne količine. Proceniti koliko godina će plutonijuska bomba biti
funkcionalna. Zašto postoji zabrinutost oko postojećih skrovišta atomskog
oružja?
26
Poluraspad
Spontanom emisijom subatomskih čestica radioaktivni elementi i izotopi
prelaze u drugačiji izotop. To je slučajan proces pojedinačnih atoma, ali
ukupna masa supstance se smanjuje prema formuli za eksponecijalno
opadanje.
Itrijum90 je radioaktivni izotop koji se koristi u lečenju nekih vrsta kancera.
Uzorak koji je na početku sadržao 5mg itrijuma90 je ponovo izmeren posle
20h i utvrđeno je da teži 4mg. Odrediti vreme poluraspada ovog izotopa?
1
2
f(x) = P0 ⋅ (1- )
20/k
4 = 5 ×(0,5)
x/k
⇒ log0,8 =
20
log0,5 ⇒ k ≈ 62h
k
Jod131 je izotop koji se koristi u dijagnostikovanju poremećaja funkcije
tiroidne žlezde. Njegovo vreme poluraspada je približno 8 dana. Pacijentu je
data nijekcija koja sadrži 8 mikrograma joda131. Odrediti nivo izotopa u telu
pacijenta posle 5 dana. Koliko će vremena biti potrebno da se količina spusti
na 3 mikrograma? (5,187 mikrograma; 11 dana i 7 sati).
27
Datiranje
Proces radioaktivnog raspada je osnova za tehniku datiranja pomoću izotopa
C14.
Zemljina atmosfera sadrži malu količinu radioaktivnog izotopa ugljenika C14,
pa živi organizmi takođe sadrže izvesnu količinu tog elemeta, zbog svoje
interakcije sa atmosferom. Kako ona završava smrću organizma, izotop
počinje da se raspada po stopi 0,012%.
Starost uzorka se određuje upoređivanjem količine izotopa u njemu sa
normalnom količinom.
Ukoliko je u kosti ostalo samo 1,5% normalne količine C14, koliko je ona
stara?
-0,00012x
0,015P0 = P0 ⋅ e
⇒ x ≈ 34998
Ova tehnika se koristi samo za datiranje ostataka organskog porekla, dok se
za stene i druge neorganske materije koriste neki drugi radioaktivni izotopi.
28
Fizika
29
a
k
s
i
t
i
r
p
a
n
e
m
o
r
P
Atmosferski pritisak eksponencijalno opada sa porastom nadmorske visine.
h
p – atmosferski pritisak u barima
h0
h – razlika u nadmorskoj visini
p = p0 ⋅ e
p0 – pritisak na visini h0
Površinski pritisak na Zemlji je približno 1 bar, a visina atmosfere je približno
7km, tj. p0=1, h0=7.
Proceniti vazdušni priisak na vrhu planine Kilimandžaro (5895m).
p=e-5,895/7≈0,4252 bara
Barometar na Karaburmi pokazuje pritisak 1014,4 milibara, a u isto vreme na
Košutnjaku je izmeren pritisak od 1001,4 milibara. Ako je nadmorska visina
stanice na Karaburmi 100m, kolika je nadmorska visina stanice na
Košutnjaku?
h=
ln1001, 4 - ln1014, 4
-4
-1,25 ⋅ 10
≈ 103
Proceniti vazdušni pritisak na vrhu pet najviših tačka na Zemlji. Uraditi isto sa
pet najviših tačaka u Srbiji (ovde se može pozvati u pomoć profesor geografije).
Najviša tačka je Mont Everest, sa 8848 metara, gde je pritisak 0,282 bara.
30
Hlađenje
Njutnov zakon hlađenja modeluje promenu temperature objekta koji se
nalazi u okolini sa nižom temperaturom. Stopa promene temperature je
proporcionalna razlici temperatura objekta i okruženja.
T – temperatura objekta u vremenu t
R – temperatura okruženja (konstanta)
k – konstanta proporcionalnosti
dT
= k ( T -R )
dt
Jednačina se rešava razdvajanjem promenjlivih, integracijom obe strane i
rešavanjem dobijene jednakosti po T:
dT
= kdt
T -R
ln(T -R) = kt + c
c
Ako je t=0, dobija se da je e = T0 - R , i, konačno je
kt+c
T =e
+R
kt
T = (T0 -R) ⋅ e +R
Tvrdo kuvano jaje temperature 980C je spušteno u sudoperu napunjenu
vodom temprature 180C. Posle 5 minuta, temperatura jajeta je 380C. Pod
pretpostavkom da se voda u sudoperi nije značajno zagrejala, koliko će
vremena biti potrebno da se tempratura jajeta spusti na 200C?
38=(98-18)·e5k+18
k=-0,2·ln4
t=5ln40/ln4≈13 minuta
31
C. S. I.
Jedan od važnih elemenata kojima se bavi forenzika je utvrđivanje tačnog
vremena smrti. Ono se može odrediti primenom Njutnovog zakona hlađenja,
tj. korišćenjem telesne temperature žrtve.
U ponoć je otkriveno telo žrtve, čija je telesna temperatura bila 310C. Sat
vremena kasnije, temepratura se spustila na 290C. Pod pretpostavkom da je
temperatura okoline konstantno 210C, i da je normalna temperatura čoveka
oko 370C (između 360C i 36,90C), odrediti približno vreme zločina.
k
2 9 = (3 1 - 2 1 ) ⋅ e + 2 1 ⇒ k = ln
3 1 = (3 7 - 2 1 ) ⋅ e
t ⋅ln 0 ,8
4
≈ -0 , 2 3 3
5
5
8 ≈ 2h
+ 21 ⇒ t =
4
ln
5
ln
Trebalo je 2 sata da se temperatura tela spusti sa 370C na 310C, što znači da
se zločin odigrao oko ponoći.
32
Informatika
33
Mejlovi
Tipičan lančani mejl koji je svako dobio bar jednom kaže: pošalji ovaj e-mail na
najmanje 10 adresa u roku od sat vremena. Ako posaljes, zelja ce se ostavariti. Ako
ne, primaocu se smeši godina loše sreće. Ili mu se tri najdraže želje neće ostvariti.
Ili...
Dobili ste mejl u kome se traži da ga prosledite na 7 adresa u roku od pola sata kako
biste imali sreće u ljubavi. U naslovu mejla stoji Fwd: Fwd: Fwd: Fwd: Probajte, ovo
radi! Ako pretpostavimo da ste ga dobili u petom krugu, i da su svi primaoci zaista
prosledili mejl na tačno 7 adresa, koliko ljudi je ukupno dobilo ovaj mejl? U roku od
najviše koliko sati? (28672, u roku od 2 sata)
Korak dalje su lančana pisma u kojima se traži slanje novca, poznata kao
"piramidalne šeme". Prva osoba šalje pismo na N adresa, tražeći dalje prosleđivanje
na novih N adresa... Takođe traži da se pošalje npr. 5€ prvoj osobi na listi od deset
imena i da se u novo pismo prepiše prerađeni spisak - prva osoba se briše, a na
dno spiska svoje ime dodaje onaj ko šalje pismo.
Neka je N=2. Kako glasi funkcija koja modeluje količinu novca koju će primiti osoba
koja je započela lanac? Ukoliko je potrebno poslati pisma u roku od 3 dana, i lanac
nije prekinut: koliko će najmanje novca dobiti prva osoba posle mesec dana? Koliko
će ljudi dobiti pismo u 25. krugu? Ako je prva osoba na prva tri mesta na lista
upisala imena koja su sa njom povezana, koliko će novca zaraditi?
34
a
j
i
r
o
m
e
m
t
e
t
i
c
Kapa
Cena jednog megabajta diskovne memorije je 1981. godine bila oko 700
dolara. Međutim, 2010. je cena pala na 0,00002 dolara.
Ukoliko se pretpostavi da je cena opadala eksponencijalno, odrediti
odgovarajuću funkciju koja će vraćati cenu po megabajtu f(x), x godina posle
1981, i zaokružiti koeficijent uz x na tri decimale.
Odrediti zatim koje je godine jedan megabajt koštao 10 centi?
35
Istorija
36
Zečja epidemija
Tomas Ostin je 1859. pustio 24 zeca na svoju farmu u zapadnoj Australiji
kako bi se mogao baviti svojim omiljenim hobijem – lovom, ne shvatajući da
će, u odsustvu prirodnih predatora poulacija zečeva procvetati, rastući po
stopi od 2,5 svakih 6 meseci.
U periodu od 1865. i 1866, Tomas i njegovi gosti su odstrelili više od 34.000
zečeva na imanju. Od januara do avgusta 1887, više od 10 miliona je ubijeno
samo u jednoj koloniji. Početkom dvadesetog veka, Australijanci su napravili
ogradu dugu 3200km kako bi sprečili razmnožavanje zečeva, ali su je oni
prelazili ispod zemlje. Polovinom dvadesetog veka pušteni su virusi koji su
smanjili zečju populaciju za 99%, ali su preživele jedinke postale otporne na
viruse i ponovo su počele da se razmnožavaju. Do 1990. bilo ih je 600
miliona, a novi razvijeni virusi su smanjili populaciju na 100 miliona.
I pored različitih mera kojima je 1926. pokušano da se smanji broj zečeva,
procenjuje se da ih je tada bilo 10 milijardi. Proceniti za koliko godina je od
početnih 24 populacija mogla da stigne do 10 milijardi zečeva?
2x
x
f(x) = 24 ⋅ 2,5 = 24 ⋅ 6,25
f(10) ≈ 2.182.787.284, f(11) ≈ 13.642.420.527
37
Černobilj
Černobiljska katastrofa je nuklearna nezogda koja se odigrala 26. aprila 1986.
kada je najpre eksplozija napravila štetu na reaktoru nuklearne elektrane u
blizini grada Černobilj u Ukrajini, a zatim je on otpustio velike količine
radioaktivne prašine koja je vetrom razneta širom bivšeg Sovjetskog Saveza i
država Severne Evrope.
Procenjuje se da je oko 1000kg radioaktivnog cezijuma137 dospelo u
atmosferu. Ako je vreme poluraspada cezijuma137 30 godina, kako glasi
funkcija koja modeluje njegovu preostalu količinu na mestu katastrofe, x
godina posle 1986? Smatra se da oblast nije sigurna za život ljudi ako je u njoj
ostalo čak samo i 100kg Cezijuma137. Odrediti f(80) i proceniti da li će
Černobilj biti siguran za ljude 2066. godine?
f(x) = 1000 ⋅ 0,5
x/30
8/3
f(80) = 100 ⋅ 0,5
≈ 157, 49kg
38
a
t
e
t
e
d
g
o
n
d
e
j
a
k
i
Polit
Kineska politika jednog deteta, doneta 1979. i uvedena početkom
osamdesetih godina dvadesetog veka, je bila reakcija na brigu da populacija
Kina prebrzo raste. Cilj je bio da se smanji broj ljudi na 700 miliona do 2050.
Na tridesetu godišnjicu prve značajne primene politike, 2010, Kina je imala
približno 1,3 milijarde stanovnika. Iako je tokom tih godina populacija rasla,
stopa rasta je 2009. godine bila samo 0,494% i očekivalo se da će neminovno
početi da opada u skorijoj budućnosti. Pretpostavimo da je broj stanovnika
2010. počeo da opada po stopi od 0,5% godišnje. Da li će to biti dovoljno da
se postigne zadati cilj?
Ako je stopa opadanja 0,5% godišnje, faktor opadanja je 1 - 0,005 = 0,995.
Uzevši da je početna populacija 1300 miliona ljudi, i da je x=40, očekivani broj
stanovnika je 1064 miliona.
39
Svuda oko nas...
Radeći preko omladinske zadruge u jednom restoranu, Marko je imao
zaduženje da skuva veću količinu supe kasno uveče, neposredno pred
zatvaranje, kako bi sutradan bilo dovoljno za sve stalne goste. Znao je da,
iako je stavljanje supe u frižider bilo važno da bi se sprečilo njeno kvarenje,
nije bilo moguće da to uradi kada završi sa kuvanjem pošto je supa vrila na
1000C, a frižider nije bio dovoljno snažan da izdrži veliku količinu supe topliju
od 200C. Marko je otkrio da bi hlađenjem supe u sudoperi punoj hladne vode
uz odvrnutu slavinu kroz koju voda neprekidno teče kako bi temperatura
vode u sudoperi približno bila konstantno 50C, i povremeno mešanje, mogao
da spusti temperaturu supe na 600C za 10 minuta. Koliko pre zatvaranja bi
trebalo da bude završeno kuvanje supe, kako bi Marko mogao da je stavi u
frižider i izađe sa posla na vreme?
60=(100-5)·e10k+5
k=-0,1·ln(11/19)≈-0,0546
20=(100-5)e-0,0546t+5 pa je t≈34 minuta.
40
Dodatak
41
Funkcija
Nacrtati u istom koordinatnom sistemu grafike funkcija:
x
x
x
x+1
x
y = 2 , y = 2 +1, y = 2 - 2
y = 2 ,y = 2
,y = 2
x-2
uporediti dobijeni crtež sa prethodnim zadatkom.
x
x
Koristeći grafik funkcije y = 2 - 3 nacrtati grafik funkcije y = 2 - 3
Nacrtati grafike sledećih funkcija:
y=2
− x-2
- x+1
y=2
- x +2
y= 2
-
1
2
- 3 -1
x
Rešiti grafički sledeće jednačine: 2 = 1+ 2x
2
x =2
− x+3
x -1 = 2
1- x
2
x
= 2- x
42
Jednačine
⎛
1⎞
Rešiti jednačinu ⎜ 2 12 + 3 3 + 6
⎟
⎜
3 ⎟⎠
⎝
⎛ 3 ⎞
⎜ ⎟
⎝ 10 ⎠
2⋅3
10
- 4 ⋅3
-2
x+ x -2
x
= 3
u skupu realnih brojeva.
= 0,00243
x-2
x-2
⋅5
5
x
= 450
x-1
2
4
2
2x -2x-2
2x-9
x+1
x+1
0,2
= 950
2
-5⋅2
x-1+ x -2
4
=6
4
2 + 4 + 256 = 3 ⋅ 16
x
3
Korišćenjem osobine monotonosti eksponencijalne funkcije rešiti jednačine:
x
x
x
x
x
x
6 - 2 = 32; 12 + 3 = 153; 3 ⋅ 4 + (3x -10) × 2 = x - 3
Rešiti jednačinu u zavisnosti od realnog parametra a:
9
- x-2
- 4 ⋅3
- x-2
=a
43
Nejednačine
Rešiti nejednačine:
2
2
x -3
>2
x
⎛ 1⎞
⎜ ⎟ ≥1
⎝2⎠
2
x -x
≤9
1< 3
1
x
4 -2
9
2x+2
⎛4⎞
⎜ ⎟
⎝9⎠
1
-2
x
-3 ≤ 0
2
⋅3
x+1
x -1
-10 ⋅ 3
-
1
x
⋅ 1,5 <
1 2
x +1
2
x
⋅ 9 ≤ -3
3
2
44
Sistemi
x
y
Ako je: 2 + 3 = 19
2x
koliko je xy?
2y
2 + 3 = 265
Za koje a Є R sledeći sistem ima bar jedno rešenje (x, y), x, y Є R?
1+ xy
2
1+ xy
8
x+y-1
+3
+ 27
=a
x+y-1
3
2
= a - 3a + 3a
Rešenje : a ∈ ⎡⎣3,1+ 2 2 ⎤⎦
45
Razni zadaci
Za koje vrednosti parametra a funkcija f ( x ) = 2 e
x
- ae
-x
+ (2 a + 1 )x - 3
Raste za svako x? (a≥0)
1
Rešiti nejednačinu ⎛⎜ ⎞⎟
⎝5⎠
(x Є R )
x-1
⎛ 1⎞
+⎜ ⎟
⎝5⎠
x+1
≤ 26
Rešiti jednačine:
x
2
5
⎛4⎞
⎜ ⎟ = -2x - 4x - (x = -1)
4
⎝3⎠
2
x-1
x - x +1= 2 ⋅ 2 - 4
2
3x -2x
2
2
3
=
x +1
x
0,5
1⎛ x 1
⎜ 5 ⎜⎝ 3 3
x
2
⎞⎛
⎟⎟ ⎜⎜ x +
⎠⎝
2x
2
⎞
⎟⎟
⎠
=
1
2
(x = 3 )
x-1
2
2
1+ x
1+ x
+1- 1 ⎧ 2- x
⎪
2x
2x
= ⎨ - x-1
2
2
⎪2
1+ x
1+ x
+1+
-1 ⎩
2x
2x
46
Hvala na pažnji!
www.domacizadaci.com
[email protected]
47
Download

Prezentacija sa beleškama