Test
Matematika 1
Prof. Banjac knowhow
1
1. Reˇ
siti matriˇ
cnu jednaˇ
cinu:
(XA + C)(AX + 2AB)−1 = A−1
a zatim odrediti

−1

0
A=
0
X ako je:





2 3
2 −1 1
−1 1 2
2 −1 , B = 0 −1 1 , C =  0 −1 2
0 3
0 0 1
0
0 2
2. Ispitati saglasnost i, u sluˇ
caju kad je saglasan, reˇ
siti sistem linearnih jednaˇ
cina:
x1 − x2 + 2x3 + x4 = 1
2x1 + 3x2 − 2x3 − x4 = 0
5x1 + 5x2 − 2x3 − x4 = b
,gde je b realan parametar.
3. Reˇ
siti sistem linearnih jednaˇ
cina:
x1 − 2x2 + 3x3 −
4x4 +
x5 = 0
5x1 − 14x2 + 19x3 −
5x4 −
x5 = 0
3x1 − 8x2 + 12x3
+
x5 = 0
3x1 − 8x2 + 10x3 + (p + 1)x4 + (p − 1)x5 = 0
, gde je p realan broj.
4. Data je funkcija
f (x) =
ax3 + b , x < 1
x2
,x ≥ 1
a) Pod kojim uslovima je funkcija f (x) neprekidna u taˇ
cki x0 = 1?
2
b) U sluˇ
caju neprekidnosti odrediti na osnovu definicije levi i
desni izvod funkcije f (x) u tacki x0 = 1.
c) Odrediti a i b tako da je funkcija f (x) diferencijabilna za x0 = 1.
U tom sluˇ
caju na´
ci izvod funkcije f (x) u tacki x0 = 1.
5. Precizno ispitati funkciju y = f (x);
y=
|x − 1|
(x + 3)3
i skicirati njen grafik u ravni xOy.
6. Precizno ispitati funkciju
f (x) =
2x2 1
ex
1 + 2x
i skicirati njen grafik.
√
7. Ispitati funkciju y = x x2 − 2x i nacrtati njen grafik.
8. Precizno ispitati funkciju f (x) =
2
1+lnx
√
3x
i skicirati njen dijagram.
9. Rastaviti polinom
P (x) = x5 − 2x4 − 3x3 + 8x2 − 6x − 4
na proste faktore √
znajuci da je jedna nula ceo broj
, a druga x2 = 1 − 2.
10. Na´
ci J =
R
√dx
x− x2 −1
3
11. Izraˇ
cunati
R3 √
x x2 − 2xdx
2
12. Izraˇ
cunati integral J =
13. Izraˇ
cunati
R4
2
R
2
+1
arctg xx2 −1
dx
√
(x2 + x) 4x − x2 dx
R π x sin x
14. Izraˇ
cunati 0 1+cos
2 x dx
Moˇ
ze se koristiti zamena promenljive x = π − t.
15. Dokazati jednakost
Z 2π
e−x | sin x|dx =
0
(e−π + 1)2
2
16. Izraˇ
cunati integral
Z
+∞
−∞
1
1
earctan 2 (x− x )
dx
1 + x2
17. Izraˇ
cunati integral
+∞
Z
0
18. Izraˇ
cunati J(α) =
Rα
0
√
√
e−
sin2
√
2 x
x
√
x
dx
−x2 +4x+5
dx
5−x
i na´
ci
lim J(α), (0 < α < 5)
α→5
.
4
19. Izraˇ
cunati J =
R1
−1
√xdx
ln 1+x
1−x 1−x2
20. Izraˇ
cunati
sinu figure u ravni
cene grafikom
√ povrˇ
√ xOy ograniˇ
2
2
funkcije y = x 4x − x , i funkcije y = 4x − x .
21. Na´
ci zapreminu tela koje nastaje obrtanjem krive y =
, x ∈ [0, π2 ] oko Ox ose.
1
2+cos x
22. Kriva √
C definisana
je u Dekartovim koordinatama relacijom
√
2
y = arcsin x − x − x
a) Izraˇ
cunati duˇ
zinu luka krive C.
b) Izraˇ
cunati povrˇ
sinu obrtne povrˇ
si koju opiˇ
se kriva obr´
cu´
ci se
oko apscisne ose.
23. Odrediti lokalne ekstremume funkcije u,
u(x, y, z) = (x − 3)2 + (y − 4)2 + (z − 2)2 ,
pod uslovom x2 + y 2 = z 2 . Dobijene rezultate protumaˇ
citi geometrijski.
24. Aproksimirati funkciju f (x) = cos x McLaurinovim polinomom
ˇ
cetvrtog stepena i odrediti interval promenljive x u kome je gornja
granica greˇ
ske aproksimacije 0, 00005.
25. Funkciju f (x) = √1x aproksimirati u okolini taˇ
cke x0 = 1 Taylorovim polinomom n-tog stepena. Odrediti broj n tako da granica
1
apsolutne greˇ
ske aproksimacije za |x − 1| ≤ 10
bude manja od 10−4 .
5
26. Dokazati da je diferencijalna jednaˇ
cina:
!
dy
2x
dx − p
=0
1+ p
x2 − y
x2 − y
egzaktna jednaˇ
cina (tj. u obliku totalnog diferencijala), a zatim
na´
ci njeno reˇ
senje koje zadovoljava poˇ
cetni uslov y(1) = 0.
27. Reˇ
siti diferencijalnu jednaˇ
cnu:
y 00 − 4y 0 + 4y = xex (1 + cos x)
ˇ
RESENJA

19
− 25 2
4
, X =  0 −1 − 21 
0
0
0

1. X = (2B − C)(A − E)−1
2. R = {((3 − 4C1 − 2C2 )/5, (−2 + 6C1 + 3C2 )/5, C1 , C2 )|C1 , C2 ∈ R}
3.
a) Ako je p = 0
R = {(16x4 − 3x5 , 27
x − 52 x5 , 21 x4 − x5 , x4 , x5 )|x4 , x5 ∈ R}
4 4
b) Ako je p 6= 0
x , − 32 x5 , −x5 , x5 )|x5 ∈ R}
R = {(−19x5 , − 37
4 5
4.
a) a + b = 1
0
0
b) f− (1) = 3(1 − b) i f+ (1) = 2
c) a = 23 i b = 13
0
0
0
f (1) = f− (1) = f+ (1) = 2
5.
lim f (x) = −0, lim f (x) = 0
x→−∞
x→+∞
6
lim f (x) = +∞, lim f (x) = −∞
x→−1−0
x→−1+0
1
1
0
0
lim f (x) = − , lim f (x) =
x→1−0
8 x→1+0
8
x = 1 taˇcka lokalnog minimuma
x = 2 taˇcka lokalnog maksimuma
1
)
Prevojna taˇcka je P (3, 32
6.
lim f (x) = −∞, lim f (x) = +∞
x→−∞
lim
x→− 12 −0
x→+∞
f (x) = −∞,
lim
x→− 12 +0
f (x) = +∞
lim f (x) = +0, lim f (x) = +∞
x→−0
x→+0
0
lim f (x) = 0
x = √12 taˇcka lokalnog minimuma
x = − √12 taˇcka lokalnog maksimuma
00
f (x) > 0 za x ∈ (−∞, − 12 ) funkcija konveksna
00
f (x) < 0 za x ∈ (− 12 , 0) ∪ (0, +∞) funkcija konkavna
7. Oblast definisanosti funkcije Dy = (−∞, 0] ∪ [2, +∞)
0
0
lim y (x) = 0, lim f (x) = +∞
x→−0
00
x→2+0
√
y > 0 za x > 3+2 3 funkcija konkavna
√
00
y < 0 za x ∈ (−∞, 0) ∪ (2, 3+2 3 ) funkcija konveksna
Kriva nema asimptota
8. Oblast definisanost funkcije Df = (−∞, 0) ∪ (0, +∞)
Funkcija je neparna
7
lim f (x) = −∞
x→+0
5
x = -e 2 taˇcka lokalnog minimuma
5
x = e 2 taˇcka lokalnog maksimuma
13
13
Dve prevojne taˇcke, za x = e 4 i za x = −e 4
13
00
y > 0 za x ∈ (0, e 4 ) funkcija konveksna
13
00
y < 0 za x ∈ (e 4 , +∞) funkcija konkavna
9. P (x) = (x − 1 +
√
2)(x − 1 −
√
2)(x + 2)(x − 1 − i)(x − 1 + 1)
√
√
10. J = 14 (x + x2 − 1) − 21 ln|x + x2 − 1| + C1
√
√
J = x2 (x + x2 − 1) − 21 ln|x + x2 − 1| + C,
C = C1 − 4
√
√
11. J = 2 3 − 21 ln(2 + 3)
2
+1
12. J = x arctan xx2 −1
+
13. J = 7π +
√
2
2
√2x+1
ln xx2 −
4
+ 2x+1
√
√
+
2
2
√
x 2
arctan 1−x
2 + C
40
3
14. J = π π2 − J odakle imamo da je J =
π2
4
15. Podeliti interval i izraˇcunati:
Z 2π
e−x | sin x|dx = J(x)|π0 − J(x)|2π
π
0
π
π
π
−π
2
16. J = e 2 − e− 2 = 2 e 2 −e
2
J = 2sh π2
17. J =
2
5
8
18. J(α) = 6 arctan
q
α+1
5−α
−
√
√
5 + 4α − α2 − 6 arctan √15 + 5
√
1
lim J(α) = 3π − 6 arctan √ + 5
α→5
5
19. J = 2 arcsin 1 − 2 arcsin(−1) = 2π
20. P =
√
3 3
16
(
)
3
2
+ 4 π6 + 2
π
−
21. V = 2π( 9√
3
√
3
3
√
− 2 π2 + 2 π2 = 2 π3 + 3 3
1
)
12
22.
a) L = 2
b) P = 8π
3
23. Funkcija ima dva uslovna minimuma:
u(M1 ) = 92
u(M2 ) = 53
2
Geometrijski, M1 i M2 su taˇcke na konusu x2 +y 2 = z 2 najbliˇze taˇcki A(3, 4, 2)
24. cos x = 1 − 21 x2 +
1 4
x
24
−
x6
cosθx,
720
0<θ<1
|x| < 0, 57
√1 = 1 − 1 (x − 1) + 3 2 (x −
1!2
2!2
x
|x−1|n+1
n+1 3...(2n+1)
(−1) (n+1)!2n+1
3 , gde je 0
[1+θ(x−1)]n+ 2
25.
1)2 + · · · + (−1)n 3...(2n−1)
(x − 1)n +
n!2n
<θ<1
n=3
26. Opˇste reˇ
psenje diferencijalne jednaˇcine je:
u(x, y) = 2 x2 − y + x = C
, konstanta C dobija se iz poˇcetnog uslova C = u(1, 0) = 3 i traˇzeno partikularno reˇsenje iznosi:
p
2 x2 − y + x = 3
9
27. yh = (C1 + C2 x)e2x
yp1 = (x + 2)ex
yp2 = − 21 ex [cos x + (x + 1) sin x]
Opˇste reˇsenje polazne diferencijalne jednaˇcine je:
y = yh + yp1 + yp2
10
Download

Viša matematika I /funkcije jedne promenljive za tehničke i