Mašinski fakultet, Beograd - Mehanika 2 – Predavanje 1
1
MEHANIKA
Mehanika je nauka koja proučava opšte zakone mehaničkih kretanja i
ravnoteže mehaničkih objekata.
Pod mehaničkim kretanjem podrazumeva se promena položaja (pomeranje)
jednog mehaničkog objekta (telo, tačka) u odnosu na drugi (osnovni, referentni) u
toku vremena.
Teorijska mehanika se obično deli na statiku, kinematiku i dinamiku.
Osnovni pojmovi u mehanici su: tačka, prava, ravan (prostor preuzet iz geometrije),
vreme, masa i sila.
Kinematika je deo klasične (njutnovske) mehanike koja proučava kretanja
mehaničkih objekata, ne uzimajući u obzir njihovu materijalnost, kao ni uzroke koji
uslovljavaju ta kretanja. Za razliku od statike, u kinematici se pojam sile ne koristi, a
uvodi se pojam vremena. Sa matematičke tačke gledišta, vreme je parametar i može
uzimati vrednosti u intervalu od − ∞ do + ∞ . Sa stanovišta teorijske mehanike, vreme
t ima konkretan fizički smisao i može uzimati vrednosti u intervalu 0 ≤ t < ∞ .
Trenutak od koga počinje da se meri vreme naziva se početni trenutak to . Vreme koje
U
U
protekne od početnog trenutka definiše određeni trenutak t. Ako su sa t1 i t2 označeni
određeni trenuci, pri čemu je t2 > t1 , tada se interval vremena T definiše kao
U
U
U
U
T = t2 − t1 .
Osnovna jedinica za merenje dužine, je metar (m). Osnovna jedinica za merenje
vremena je sekunda (s).
U
U
U
U
Dinamika proučava kretanje mehaničkih objekata uzimajući u obzir njihovu
materijalnost kao i uzroke koji izazivaju to kretanje. Pored svih navedenih pojmova u
statici i kinematici, u dinamici se uvodi i novi pojam mase.
Umesto razmatranja realnih tela, u mehanici se najčešće proučavaju uprošćeni modeli
stvarnih objekata. Najčešće korišćeni modeli su: materijalna tačka i kruto telo.
Geometrijska tačka koja može da se smatra zastupnikom celog tela, zadržavajući bitna
svojstva tela koje zastupa, naziva se materijalna tačka. Ili kratko, materijalna tačka je
geometrijska tačka kojoj se pridodaje masa.
Kruto telo je materijalno telo koje ne menja svoj geometrijski oblik i zapreminu (ne
deformiše se) pri dejstvu drugih tela.
Mašinski fakultet, Beograd - Mehanika 2 – Predavanje 1
2
Koordinatni sistemi ili sistemi referencije su geometrijski objekti u odnosu na koje se
određuju položaji objekata u prostoru. Kretanje tela u odnosu na apsolutno nepokretni
koordinatni sistem naziva se apsolutno kretanje. Kretanje tela u odnosu na pokretan
koordinatni sistem naziva se relativno kretanje.
U
U
U
U
Osnovni zadaci kinematike
-
određivanje kretanja posmatranog objekta u odnosu na izabrano osnovno telo,
odnosno određivanje jednačina kretanja;
polazeći od jednačina kretanja posmatranog objekta, koje su ili zadate ili
određene, cilj drugog (osnovnog) zadatka kinematike je određivanje karakteristika
posmatranog kretanja, kao što su: trajektorija, brzina, ubrzanje itd.
Kinematika tačke
Načini određivanja kretanja tačke
-
vektorski,
analitički (koordinatni)
prirodni
Vektorski način određivanja kretanja tačke
r r
r = r ( t ) - zakon kretanja tačke u vektorskom obliku
Analitički (koordinatni) način određivanja kretanja tačke
a. Dekartove pravougle koordinate
Uređeni skup koordinata posmatrane tačke
( x , y , z ) koje su jednoznačne, neprekidne i
najmanje dva puta diferencijabilne funkcije
vremena
x = x( t ) ,
y = y( t ) ,
z = z( t ) , su
- konačne jednačine kretanja tačke;
- kinematičke jednačine kretanja tačke;
- parametarske jednačine kretanja tačke;
- parametarske jednačine linije putanje tačke.
x = x[ f ( z )] , y = y[ f ( z )] - linija putanje tačke
Deo linije putanje koji odgovara uslovu t ≥ 0 naziva se trajektorija.
Mašinski fakultet, Beograd - Mehanika 2 – Predavanje 1
3
b. Polarno – cilindarske koordinate
Položaj tačke M, u odnosu na polarno-cilindarski koordinatni sistem određen je
skupom koordinata (r ,ϕ , z ) , koje se nazivaju polarni poteg, polarni ugao i aplikata,
respektivno.
r = r( t ) ,
ϕ = ϕ( t ) ,
z = z( t )
Ove tri funkcionalne zavisnosti nazivaju se
konačne jednačine kretanja tačke u polarno–
cilindarskim koordinatama. Dekartove koordinate tačke preko polarno-cilindarskih koordinata iste tačke izražene su kao
y = rsinϕ ,
x = rcosϕ ,
z=z.
Korišćenjem ovih relacija moguće je
izraziti polarno–cilindarske koordinate tačke preko Dekartovih pravouglih koordinata
iste tačke, tj.
y
r = x2 + y2 ,
ϕ = arctg ,
z=z.
x
- Polarne koordinate
r = r( t ) , ϕ = ϕ ( t ) - konačne jednačine kretanja tačke
u polarnim koordinatama
Veze između Dekartovih i polarnih koordinata tačke su
x = rcosϕ ,
y = rsinϕ .
Polarne koordinate tačke mogu se izraziti preko
Dekartovih koordinata iste tačke kao
ϕ = arctg
r = x2 + y2 ,
y
.
x
Prirodni način određivanja kretanja tačke
Neka je putanja uočene tačke M kriva ab. Da bi se odredio položaj tačke M u
prostoru, usvaja se putanja tačke ab za krivolinijsku
koordinatnu liniju, bira koordinatni početak O odakle
se meri odgovarajuća krivolinijska (lučna) koordinata s
i vrši orijentacija te lučne koordinate.
Položaj tačke M tada je jednoznačno određen lučnom
koordinatom
)
s = OM .
tj. s = f ( t ) . Ova jednačina predstavlja zakon kretanja tačke po putanji.
Za prirodni način određivanja kretanja potrebno imati sledeće podatke:
- putanju,
- koordinatni početak na putanji,
- orijentaciju krivolinijske (lučne) koordinate i
- zakon kretanja tačke po putanji.
U
U
Mašinski fakultet, Beograd - Mehanika 2 – Predavanje 1
4
Pri izračunavanju pređenog puta tačke u nekom intervalu vremena od t1 do t2 , ceo
interval vremena se rastavlja na manje intervale ∆ti u kojima tačka ne menja smer
kretanja. Neka su u tom slučaju odgovarajuće promene lučne koordinate u
vremenskim intervalima ∆ti označene sa ∆si . Ukupan pređeni put S tačke je uvek
pozitivan i određuje se kao
n
S = ∑ ∆si .
i =1
Primenom graničnog procesa, kod koga svi priraštaji ∆si teže nuli, dobija se
n
t2
i =1
t1
S = lim ∑ ∆s i = ∫ ds .
n →∞
Kako je
ds = f& ( t )dt .
sledi da je pređeni put tačke monotono rastuća funkcija vremena, tj.
t2
S = ∫ f&( t ) dt .
t1
Veze između različitih načina određivanja kretanja tačke
Neka je zakon kretanja tačke dat u vektorskom obliku
r r
r = r( t ) .
r
U odnosu na Dekartov koordinatni sistem, vektor položaja r može se razložiti na
sledeći način
r
r
r
r
r = rx ( t )i + ry ( t ) j + rz ( t )k ,
odnosno
r
r
r
r
r = x( t )i + y( t ) j + z( t )k .
Na osnovu koordinatnih transformacija poznato je i kretanje tačke u odnosu na
polarno – cilindarski koordinatni sistem.
Ako su zadate jednačine kretanja tačke u
Dekartovim koordinatama, tada je poznata i
trajektorija ab. Pokazuje se da je tada moguće
odrediti i zakon kretanja tačke po trajektoriji čime
se uspostavlja veza između prirodnog i
koordinatnog načina zadavanja kretanja. U tom cilju
bira se koordinatni početak na putanji i orijentiše se
krivolinijska (lučna) koordinata s. Neka se uočena
tačka M u izabranom početnom trenutku to nalazi u
položaju xo = x( t o ) , y o = y( t o ) , z o = z( t o ) ,
odnosno M o ( xo , y o , z o ) . Uočavaju se zatim, dva
trenutka vremena koja se razlikuju za elementarni
(veoma mali) priraštaj vremena dt: trenutakr t, kada
se uočena tačka našla u položaju M koji je određen vektorom položaja r , kao i
)
lučnom koordinatom s = OM i trenutak vremena t1 = t + dt , kada se tačka našla u
Mašinski fakultet, Beograd - Mehanika 2 – Predavanje 1
5
r r
r
položaju M 1 , koji je određen vektorom položaja r1 = r + dr kao i lučnom
)
koordinatom s1 = OM 1 = s + ds . Tada je
r r
ds 2 = dr 2 = dr ⋅ dr ,
r
r
r
r
dr = dx i + dy j + dz k ,
ds 2 = dx 2 + dy 2 + dz 2 ,
ds = ± dx 2 + dy 2 + dz 2 ,
dx =
dx
dt = x&dt ,
dt
dy = y& dt ,
dz = z&dt ,
ds = ± x& 2 + y& 2 + z& 2 dt ,
t
s = so ± ∫ x& 2 + y& 2 + z& 2 dt .
to
Prethodne relacije pokazuju kako se može ostvariti prelazak sa koordinatnog na
prirodni način zadavanja kretanja tačke i omogućavaju dobijanje veze između
prirodnog i bilo kog drugog koordinatnog načina zadavanja kretanja tačke. Na primer,
korišćenjem veze između Dekartovih i polarnih koordinata dobija se
Tada je
x& = r&cosϕ − rsinϕϕ& ,
y& = r&sinϕ + rcosϕϕ&
t
s = so ± ∫ r& 2 + r 2ϕ& 2 dt .
to
Brzina tačke
Vektorski način određivanja brzine tačke
Neka je kretanje posmatrane tačke M dato u
vektorskom obliku i neka je putanja tačke kriva ab.
Uočavaju se dva bliska položaja posmatrane tačke:
r
položaj tačke M određen vektorom r ( t ) u kome se
tačka nađe u trenutku t i položaj tačke koji je određen
r
r
r
vektorom položaja r ( t1 ) = r ( t ) + ∆r u kome se
tačka nađe u trenutku t1 = t + ∆t . Odnos priraštaja
r
vektora položaja (vektora pomeranja) ∆r i njemu
odgovarajućeg
priraštaja
vremena
(intervala
vremena) ∆t naziva se srednja brzina tačke za
posmatrani interval vremena ∆t , tj.
r
r r
r
∆r r ( t1 ) − r ( t )
Vsr =
=
.
∆t
t1 − t
r
Graničnim prelazom, kada se ∆t smanjuje i teži nuli, vektor Vsr teži nekoj konačnoj
vrednosti, koja je takođe vektor, i naziva se brzina tačke u datom trenutku (trenutna
brzina), odnosno
r
r
r
r
∆r dr r&
=
=r.
V = lim Vsr = lim
∆t →o
∆t →o ∆t
dt
U
U
U
U
Mašinski fakultet, Beograd - Mehanika 2 – Predavanje 1
6
Vektor brzine tačke u datom trenutku jednak je prvom izvodu vektora položaja te
r
tačke po vremenu. Vektor brzine V je pravca tangente na putanju u posmatranoj tački
M, a smer je onaj u kome se tačka kreće.
Jedinica, kojom se izražava intenzitet brzine tačke je odnos jedinice dužine i
vremenske jedinice, tj. ms −1 .
Analitički (koordinatni) način određivanja brzine tačke
a. Određivanje brzine tačke u Dekartovim koordinatama
r
r drr
r r
V=
= x& i + y&j + z&k ,
dt
r r r r
V = Vx + V y + Vz ,
r
r
r
r
V = Vx i + V y j + Vz k ,
Vx = x& ,
V y = y& ,
Vz = z& ,
V = x& 2 + y& 2 + z& 2 .
x&
y&
cosα = ,
cosβ = ,
V
V
cosγ =
z&
.
V
Određivanje brzine tačke u polarno–cilindarskim koordinatama
r
r
r
r1 = rro + zk ,
r
r drr1
r
r
V =
= r&ro + rr&o + z&k .
dt
Za određivanje izvoda po vremenu jediničnih
r
r
vektora ro i po , oni se mogu izraziti preko konstantnih
r r
vektora i i j kao
r
r
r
ro = ro cosϕ i + ro sinϕ j ,
r
r,
r
p o = − p o sin ϕ i + po cos ϕ j .
Uzimajući u obzir da važi ro = po = 1 , iz izraza izvodi
po vremenu jediničnih vektora su
r
r
r
r& dro
ϕ& = ( − sinϕ i + cosϕ j )ϕ& ,
ro =
dϕ
r
r
r
dp o
r&
ϕ& = −( cosϕ i + sinϕ j )ϕ& .
po =
dϕ
r
r
r&o = ϕ& p o ,
r
r
p& o = −ϕ& ro .
Mašinski fakultet, Beograd - Mehanika 2 – Predavanje 1
7
r
r
r
r
V = r&r&o + rϕ&po + z&k ,
r
r r r
r
r
r
V = Vr + V p + Vz = Vr ro + V p po + Vz k ,
Vr = r& , V p = rϕ& , Vz = z& ,
- Vr -radijalna, V p -poprečna (cirkularna, transverzalna) i Vz -aksijalna brzina tačke.
r
Intenzitet vektora brzine tačke V tada je određen sa
2
2
2
V = Vr + V p + Vy = r& 2 + r 2ϕ& 2 + z& 2
dok su pravac i smer brzine tačke u odnosu na ose polarno – cilindarskog
r
r r
koordinatnog sistema, koje su određene jediničnim vektorima ro , po i k , dati sa
r&
rϕ&
z&
cosα r = , cosα p =
, cosα z = .
V
V
V
Kada se tačka M kreće u ravni tada je
Vp
r&
2
2
=
.
V = Vr + V p = r& 2 + r 2ϕ& 2 , tgθ =
Vr rϕ&
Prirodni način određivanja brzine tačke
Posmatra se kretanje tačke M po poznatoj trajektoriji ab. Neka je na njoj izabran
koordinatni početak O1 i neka je izvršena
orijentacija lučne koordinate s. Pored ovih
elemenata, neka je poznat i zakon kretanja
tačke po trajektoriji s = s( t ) . Uočavaju se dva
bliska položaja posmatrane tačke M: položaj u
kome se tačka nađe u trenutku t, a koji je
)
određen sa s = s( t ) = O1 M i položaj u kome se
tačka nađe u trenutku t1 koji je određen kao
)
s1 = s( t1 ) = O1 M 1 = s + ∆s . Kako svakoj tački putanje odgovara određena lučna
r
koordinata s i određeni vektor položaja r , tada se može pisati da je
r r
r
r = r ( s ) = r [s( t )] .
Na osnovu definicije brzine sledi
r
r drr drr ds
dr
V =
=
= s& .
dt ds dt
ds
r
r
∆r
dr
= lim
.
∆
s
→
0
∆s
ds
r
dr
Intenzitet vektora
određen je sa
ds
r
MM
dr
= lim ) 1 = 1 .
ds M 1 → M MM 1
r
r
dr
Pravac vektora
, određen je graničnim pravcem vektora ∆r . U
ds
posmatranom graničnom procesu, kada tačka M 1 teži tački M, sečica MM 1 prelazi u
U
U
U
U
Mašinski fakultet, Beograd - Mehanika 2 – Predavanje 1
8
r
dr
tangentu na putanju u tački M. Iz toga sledi da je vektor
pravca tangente na
ds
putanju u datoj tački.
r
dr
Pri određivanju smera vektora
zapaža se da je
ds
posmatrano kretanje tačke M u smeru porasta lučne
r
∆r
koordinate ( ∆s > 0 ) i tada je vektor
imao smer
∆s
r
vektora ∆r . Ako se posmatra kretanje tačke M kod
r
∆r
koga je ∆s < 0 zapaža se da tada vektor
ima
∆s
r
r
∆r
suprotan smer od vektora ∆r . To znači da je smer vektora
onaj u kome raste
∆s
prirodna (lučna) koordinata.
Iz prethodnih razmatranja sledi da se radi o vektoru jediničnog intenziteta, pravca
tangente na putanju u datoj tački, koji je usmeren u smeru rasta lučne koordinate,
r
zbog čega je očigledno da je reč o jediničnom vektoru tangente T u posmatranoj
tački, tj.
r
dr r
=T ,
ds
pa je
r
r
V = s&T .
U
U
Iz (2.82) se zaključuje da je projekcija brzine tačke na pravac tangente jednaka prvom
izvodu lučne koordinate po vremenu, tj.
VT = s& .
Pri rešavanju konkretnih problema javlja se potreba da se izračuna pređeni put tačke
koja u toku kretanja menja smer. U tom slučaju je potrebno iz uslova VT ( t ) = 0
odrediti sve trenutke ( t1 ,t 2 ,...,t n ) kada tačka menja smer kretanja. Ako su sa
( s o , s1 , s 2 ,..., s n , s ) označene vrednosti lučne koordinate koje odgovaraju trenucima
( t o ,t1 ,t 2 ,...,t n ,t ) , pređeni put S tačke u intervalu vremena (0, t ) određen je tada sa
S = s1 − s o + s 2 − s1 + ... + s − s n .
Download

Predavanje br.1