Mašinski fakultet, Beograd - Mehanika 2 – Predavanje 2
1
Sektorska brzina tačke
Neka je kretanje tačke M zadato vektorom položaja. Pri kretanju tačke vektor položaja
r
r = OM opisuje konusnu površinu sa
vrhom u tački O.
Kao i pri definisanju brzine tačke u
prethodnim razmatranjima, uočavaju se
dva bliska položaja tačke M: položaj u
kome se tačka nađe u trenutku t, a koji je
r
određen vektorom položaja r ( t ) i položaj
u kome se tačka nađe u trenutku t1 = t + ∆t
r
r
r
i koji je određen sa r ( t1 ) = r + ∆r .
r 1 r
r
∆A = ( r × ∆r )
2
Veličina
r
r
r
∆A 1 r ∆r
= (r ×
S sr =
)
∆t 2
∆t
naziva se srednja sektorska brzina. Graničnim prelazom kada ∆t → 0 dobija se
sektorska brzina tačke
u datom trenutku, tj.
r
r
r
r
r
r dA 1 r r
∆A
1 r ∆r
1 r
∆r
= lim ( r ×
S = lim
) = ( r × lim
) , tj. S =
= ( r ×V ).
∆t → 0 ∆ t
∆t → 0 2
∆t → 0 ∆ t
∆t
2
dt 2
Ako je kretanje tačke M zadato jednačinama kretanja u odnosu na Dekartov pravougli
koordinatni sistem jednačinama, tada je
r r 1
S
=
S
⋅ i = ( yz& − zy& ),
x
r r r
2
i j k
r 1
r r 1
S = x y z , tj.
S y = S ⋅ j = ( zx& − xz& ),
2
2
x& y& z&
r r 1
S z = S ⋅ k = ( xy& − yx& ).
2
S
S
S
2
2
2
S = Sx + S y + Sz ,
cosα = x , cosβ = y , cosγ = z .
S
S
S
Zapaža se da je sektorska brzina upravna na ravan kretanja u slučaju kada se tačka
kreće u ravni, npr. Oxy , ona je tada
r
r 1
S = ( xy& − yx& )k .
2
Ako je kretanje tačke u ravni zadato u odnosu na polarni koordinatni sistem
jednačinama (2.12) sektorska brzina tačke određena je sa
r
r r
ro po k
r 1
r
r
r 1
S= r 0 0,
S = r 2ϕ& k = S z k .
2
2
r& rϕ& 0
Mašinski fakultet, Beograd - Mehanika 2 – Predavanje 2
2
2.2.4. Hodograf brzine tačke
Trajektorija tačke predstavlja geometrijsko mesto krajeva vektora položaja tačke
nanetih iz istog nepokretnog pola . Ako se isti postupak ponovi sa vektorima brzine
tačke, dobija se kriva AB, koja se naziva hodograf brzine. Dakle, geometrijsko mesto
svih krajeva vektora brzine tačke, nanetih iz istog nepokretnog pola, naziva se
hodograf brzine.
Geometrijsko mesto krajeva vektora brzine tačke nanetih u odgovarajućim položajima
tačke na putanji naziva se velocida. Koristeći istu terminologiju, trajektorija tačke se
može nazvati hodograf vektora položaja tačke.
Parametarske jednačine hodografa brzine predstavljaće koordinate tačke N hodografa
r
brzine čiji je položaj određen vektorom V i biće jednake projekcijama vektora brzine
na ose izabranog koordinatnog sistema, tj.
x& = x&( t ) ,
y& = y& ( t ) ,
z& = z&( t ) .
Neposredna zavisnost između projekcija brzina x& , y& i z& može se dobiti iz
prethodnih jednačina eliminacijom parametra t. Npr., jednačine
x& = x& [ ˆf ( z& )],
y& = y& [ ˆf ( z& )],
predstavljaju jednačine dveju površi u čijem se preseku nalazi hodograf brzine tačke.
Ubrzanje tačke
Kinematička veličina koja karakteriše promenu vektora brzine tačke naziva se
ubrzanje tačke.
Vektorski način određivanja ubrzanja tačke
Neka se uočena tačka M kreće po putanji ab. Uočavaju se dva bliska položaja
r
posmatrane tačke: položaj tačke M određen vektorom položaja r ( t ) u kome se tačka
r
nađe u trenutku t i kada ima brzinu V i položaj tačke u kome se ona nađe u trenutku
r
r
r
r
t1 = t + ∆t , kada ima brzinu V1 = V ( t1 ) = V + ∆V . Odnos priraštaja vektora brzine
Mašinski fakultet, Beograd - Mehanika 2 – Predavanje 2
3
r
∆V i njemu odgovarajućeg priraštaja vremena ∆t
naziva se srednje ubrzanje tačke za interval vremena
∆t , odnosno
r r r
r
∆V V1 − V
asr =
=
.
∆t
t1 − t
Graničnim prelazom, kada se ∆t smanjuje i teži nuli,
r
vektor srednjeg ubrzanja asr teži nekoj graničnoj
vrednosti, koja se naziva ubrzanje tačke u datom
trenutku (ubrzanje tačke) i određeno je sa r
r
r
r
∆V dV r& &r&
=
=V = r .
a = lim asr = lim
∆t → 0
∆t → 0 ∆t
dt
Dimenzija kojom se izražava intenzitet ubrzanja je odnos dužine i kvadrata vremena
[ a ] = [ LT −2 ] , a jedinice za merenje su: ms −2 , cms −2 , kmh −2 , itd.
Analitički (koordinatni) način određivanja ubrzanja tačke
Određivanje ubrzanja tačke u Dekartovim
pravouglim koordinatama
r
r r
r r
a = &r& = &x&i + &y&j + &z&k ,
r
r
r
r
a = ax i + a y j + az k ,
a y = &y& = V&y ,
a x = &x& = V&x ,
2
2
2
a = ax + a y + az , cosα =
Ako se tačka kreće u ravni, tada je
ax = &x& ,
&x&
,
a
cosβ =
&y&
,
a
cosγ =
az = &z& = V&z ,
&z&
.
a
a y = &y& ,
&y&
&x&
, cosβ = ,
a
a
a u slučaju pravolinijskog kretanja tačke je
r
r
r
r
a = a x = &x& .
a = ax i = &x&i = V&x i ,
a = &x&2 + &y&2 ,
cosα =
Određivanje ubrzanja tačke
cilindarskim koordinatama
u
polarno
r
r
r
r
r dV
= (&r& − rϕ& 2 )ro + (rϕ&& + 2r&ϕ& ) p o + &z&k ,
a=
dt
r
r
r
r
a = ar ro + a p po + a z k ,
–
Mašinski fakultet, Beograd - Mehanika 2 – Predavanje 2
4
ar = &r& − rϕ& 2 , a p = rϕ&& + 2r&ϕ& , a z = &z& ,
- a r -radijalno, a p -poprečno (cirkularno, transverzalno) i a z -aksijalno ubrzanje tačke.
2
2
2
a = ar + a p + az ,
cosβ r =
ar
,
a
cosβ p =
ap
a
,
cosβ z =
az
.
a
(2.117)
Kada se tačka kreće u ravni , tada je
ap
a r = &r& − rϕ& 2 ,
a
.
cosβ p =
a = ( &r& − rϕ& 2 ) 2 + ( rϕ&& + 2r&ϕ& ) 2 , cosβ r = r ,
a p = rϕ&& + 2r&ϕ& ,
a
a
Izraz za poprečno ubrzanje može pisati i u obliku
1 d 2
1 d
ap =
( r ϕ& ) , a p =
( 2S z ) ,
r dt
r dt
gde je sa S z označena projekcija sektorske brzine tačke na osu Oz, odakle sledi da
kada je sektorska brzina konstantna, važi
ap = 0 .
Prirodni način određivanja ubrzanja tačke
Prirodni trijedar u tački prostorne krive
Neka se posmatra kretanje tačke M po poznatoj putanji ab. Uočavaju se dva bliska
položaja tačke M na putanji: položaj u kome je
r
jedinični vektor tangente na putanju T i položaj u
kome je jedinični vektor tangente na putanju
r r
r
T1 = T + ∆T .Granični položaj ravni koju formiraju
ova dva vektora, kada tačka M 1 teži tački M,
naziva se oskulatorna ravan prirodnog trijedra u
tački M prostorne krive koja predstavlja
trajektoriju posmatrane tačke.
r
Upravno na jedinični vektor tangente T nalazi se
normalna ravan prirodnog trijedra u tački M.
Presek oskulatorne i normalne ravni određuje
r
pravac glavne normale čiji je jedinični vektor N i
koji je usmeren na konkavnu stranu krive.
Upravno na ove dve ravni nalazi se tangencijalna
(rektifikaciona) ravan prirodnog trijedra u tački M
krive. Presek normalne i tangencijalne ravni
određuje pravac binormale čiji je jedinični vektor
r
B upravan na ostala dva jedinična vektora prirodnog trijedra, a orijentisan je tako da
r r r
vektori T , N i B obrazuju desni trijedar.
Vektor krivine krive
Pri kretanju tačke M po poznatoj putanji ab mogu se uočiti dva bliska položaja tačke
M: položaj u kome se tačka nađe u trenutku t, koji je određen lučnom koordinatom
)
r
s = s( t ) = O1M , kada je jedinični vektor tangente na putanju T i položaj u kome se
Mašinski fakultet, Beograd - Mehanika 2 – Predavanje 2
5
tačka nađe u trenutku t1 , koji je određen lučnom
)
koordinatom s1 = s( t ) = O1M 1 = s + ∆s , i kada
je jedinični vektor tangente na putanju
r r
r
T1 = T + ∆T .
Promenom lučne koordinate ∆s = s1 − s menja
r
se i jedinični vektor tangente T zbog čega se
može pisati da je
r r
T = T (s )
Vektor
r
r
∆T
,
K sr =
∆s
)
naziva se srednja krivina krive na delu MM 1 . Graničnim prelazom, kada tačka M teži
tački M 1 , dobija se vektor krivine krive u tački M
r
r
r
∆T dT
.
K = lim
=
∆s → 0 ∆s
ds
r
Za određivanje intenziteta vektora krivine K koristi se jednakokraki trougao MAB iz
koga sledi da je
r
∆θ
,
∆T = AB = 2 sin
2
r r
r r
jer je T = T1 = 1 . Ugao ∆θ koji zaklapaju jedinični vektori tangente T i T1 u tački M
)
naziva se ugao zakrivljenja (kontigencije) krive na delu MM 1 .
∆θ
∆θ
∆θ
r
2 sin
sin
sin
∆T
2 ,
2 =1,
2 lim ∆θ ,
lim
K = lim
lim
= lim
∆
θ
→
0
∆s → 0 ∆s
∆θ → 0
∆s → 0 ∆s
∆s → 0
∆
θ
∆θ
∆s
2
2
∆θ dθ
.
=
K = lim
∆s → 0 ∆s
ds
Iz diferencijalne geometrije je poznato da važi
1
∆θ
=
lim
,
∆s → 0 ∆s
RK
gde je RK - poluprečnik krivine krive o datoj tački, ds = R K dθ , tako da je
dθ
1
1
K=
=
, K=
.
RK
ds RK
Graničnim postupkom kada tačka M 1 teži tački M, dolazi do obrtanja ravni MABD
r
oko vektora T i kao granični položaj dobija se oskulatorna ravan. Pri tome , vektor
r
srednje krivine K sr sve vreme ostaje u ravni MABD i graničnim postupkom prelazi u
r
r
vektor krivine K . Dakle, vektor krivine krive K pripada oskulatornoj ravni. Ugao
r
r
koji vektor K sr zaklapa sa jediničnim vektorom tangente T određen sa
π − ∆θ
π ∆θ
ϕ = π −ψ , ψ =
,ϕ= +
,
2
2
2
Mašinski fakultet, Beograd - Mehanika 2 – Predavanje 2
6
r
π
(∆s → 0, ∆θ → 0) lim ϕ = , što znači da je vektor krivine K upravan na jedinični
∆θ → 0
2
r
vektor tangente T u tački M.
U slučaju kada je ∆s > 0 , priraštaj jediničnog
r
vektora ∆T usmeren je na "unutrašnju" stranu
r
krive, a u slučaju kada je ∆s < 0 , vektor ∆T
orijentisan je na "spoljašn
ju" stranu krive.
r
r
∆T
koji je jednak K sr
Međutim, vektor
∆s
usmeren je na "unutrašnju" stranu krive zbog
znaka skalara ∆s . Iz svega prethodnog
proizilazi da vektor krivine krive ima pravac i
r
smer jediničnog vektora normale N u tački M krive, zbog čega se može pisati da je
r
r
1 r
K = KN =
N.
RK
Tangencijalno i normalno ubrzanje tačke
U slučaju kada se tačka kreće po poznatoj putanji, i kada je njeno kretanje zadato
zakonom kretanja tačke po putanji s = s (t ) , tada na osnovu definicije ubrzanja sledi
r
r
r r& d
d
a = V = ( VT T ) = ( s&T ) ,
dt
dt
r
r&
r
a = &s&T + s&T ,
r
r s&2 r
r&
r
r& dT
r
s& r
N.
N , a = &s&T +
T=
s& , T = s&K =
RK
RK
ds
Kako je
r
r
r
r
a = aT T + aN N + aB B ,
sledi da je
s& 2 V 2
=
aT = &s& = V&T , aN =
, aB = 0 ,
RK RK
gde je aT -tangencijalno, a N -normalno i a B binormalno ubrzanje tačke.
a
a
2
2
a = aT + a N , cosβ T = T ,
cosβ N = N .
a
a
Određivanje poluprečnika krivine putanje tačke
r r
a ⋅V
V2
r r
2
aT = a ⋅ T , aT =
, a N = a 2 − aT , RK =
.
VT
aN
Konkretno, kada je kretanje tačke zadato u odnosu na Dekartov pravougli
koordinatni sistem, diferenciranjem izraza za intenzitet brzine tačke, dolazi se do
relacije 2VaT = 2 x&&x& + 2 y&&y& + 2 z&&z& , iz koje sledi izraz za intenzitet tangencijalnog i
normalnog ubrzanja tačke
Mašinski fakultet, Beograd - Mehanika 2 – Predavanje 2
aT =
x&&x& + y&&y& + z&&z&
x& 2 + y& 2 + z& 2
, aN =
( x&&y& − y&&x& ) 2 + ( x&&z& − z&&x& ) 2 + ( y&&z& − z&&y& ) 2
x& 2 + y& 2 + z& 2
7
,
pa je
RK =
V2
a 2 − aT
2
.
Kinematika tela
Osnovni pojmovi kinematike tela
Položaj tela u prostoru je određen ako je određen položaj svake njegove tačke. Za
određivanje položaja tačaka tela koristi se izabrani koordinatni sistem. Koordinate
svih tačaka tela nisu nezavisne. Veze između njih su, u ovom slučaju, nepromenljivo
rastojanje. Umesto određivanja položaja svih tačaka tela, moguće je odrediti i položaj
tela u odnosu na izabrani koordinatni sistem. Nezavisni parametari koji jednoznačno
određuju položaj posmatranog tela u odnosu na izabrani koordinatni sistem nazivaju
se generalisane koordinate. Najmanji broj nezavisnih generalisanih koordinata
predstavlja broj stepeni slobode kretanja.
2
( x M − x1 ) 2 + ( y M − y1 ) 2 + ( z M − z1 ) 2 = A1 M ,
2
( x M − x 2 ) 2 + ( y M − y 2 ) 2 + ( z M − z 2 ) 2 = A2 M ,
2
( x M − x3 ) 2 + ( y M − y 3 ) 2 + ( z M − z 3 ) 2 = A3 M .
Iz ovih jednačina mogu se odrediti koordinate x M , y M i
z M , proizvoljno izabrane tačke M, zbog čega se kaže da je
položaj tela u prostoru određen ako je poznat položaj bilo
koje tri njegove nekolinearne tačke.
Međutim, svih devet koordinata uočenih nekolinearnih
tačaka A1 , A2 i A3 nisu međusobno nezavisne jer se
između njih mogu uspostaviti relacije koje govore o nepromenljivosti uzajamnog
rastojanja, tj.
2
A1 A2 = ( x 2 − x1 ) 2 + ( y 2 − y1 ) 2 + ( z 2 − z1 ) 2 ,
2
A2 A3 = ( x3 − x 2 ) 2 + ( y 3 − y 2 ) 2 + ( z 3 − z 2 ) 2 ,
2
(3.1)
A3 A1 = ( x1 − x3 ) 2 + ( y1 − y 3 ) 2 + ( z1 − z 3 ) 2 .
To znači da je broj nezavisnih koordinata koje određuju položaj posmatranog tela dat
sa 9-3=6.
Osnovni zadaci kinematike tela su:
1.) određivanje kretanja tela u odnosu na izabrani koordinatni sistem;
2.) proučavanje kinematičkih karakteristika tela i
3.) određivanje kretanja i proučavanje karakteristika kretanja pojedinih tačaka tela.
U kinematici tela posebno će biti razmatrane sledeće vrste kretanja:
translatorno,
obrtanje oko nepokretne ose,
ravno,
obrtanje oko nepokretne tačke (sferno) i
Mašinski fakultet, Beograd - Mehanika 2 – Predavanje 2
-
8
opšte kretanje.
Translatorno kretanje tela
Telo vrši translatorno kretanje ako
proizvoljno izabrana duž, koja spaja dve
tačke tela, u svakom trenutku ostaje
paralelna sama sebi. Razlikuju se:
a) pravolinijska translacija i
b) krivolinijska translacija..
Određivanje kretanja i karakteristika kretanja pojedinih tačaka tela
koje vrši translatorno kretanje
Neka su uočene dve proizvoljne tačke A i B posmatranog tela koje vrši translatorno
kretanje. Njihovi položaji, u odnosu na nepokretni koordinatni sistem Oxyz, određeni
su vektorima položaja
r
r
r
r
rA ( t ) = x A ( t )i + y A ( t ) j + z A ( t )k ,
r
r
r
r
rB ( t ) = x B ( t )i + y B ( t ) j + z B ( t )k ,
Položaj tačke B u odnosu na translatorno pokretni
koordinatni sistem Aξηζ , koji je kruto vezan za
telo u proizvoljnoj tački A izabranoj za pol,
r
r
r
određen je vektorom AB = ξ B i + η B j + ζ B k , pa je
r r
rB = rA + AB ,
xB = x A ( t ) + ξ B
yB = y A ( t ) + ηB .
zB = z A( t ) + ζ B
Iz prethodnog proizilazi da su jednačine kretanja tela koje vrši translatorno kretanje u
odnosu na Dekartov pravougli koordinatni sistem Oxyz date sa
xA = xA( t ) ,
yA = yA( t ) ,
z A = z A( t ) .
(3.5)
Kinematičke karakteristike pojedinih tačaka tela koje vrši translatorno kretanje
su
r r
r&B = r&A ,
r&
r&
VB = V A ,
r
r
VB = V A ,
r
r
aB = a A .
Download

Predavanje br.2