Re{ewe:
Matemati~ko dru{tvo “Arhimedes”
Beograd
Ta~ne jednakosti su a) i g). U jednakosti a) se
kvadrat odnosi samo na broj 3, pa je vrednost izraza
negativna. U slu~aju g) izra~unamo vrednost razlike
pa rezultat kvadriramo. Jednakost b) nije ta~na, jer
kvadrat broja ne mo`e biti negativan. U slu~aju v)
kvadrat broja se odnosi na razlomak, a ne samo na
brojilac, {to zna~i da treba kvadrirati i imenilac. Jednakost pod d) nije ta~na, jer treba da po{tujemo redosled ra~unskoh operacija,pa sedobija:
4 ∙ 52 = 4 ∙ 25 = 100
Dopisna matemati~ka
{kola 2012
1. lekcija
1. oktobar 2012.
REALNI BROJEVI
VII razred
2. U izrazu 6 ∙ 22–32: 3 umetni jedan par
zagrada tako da wegova vrednost bude:
a) najve}a; b) najmawa.
Re{ewe:
Uvodni deo
 Pre nego {to pre|ete na ovu temu, podsetite se {ta su racionalni brojevi (VI razred)
Poznato je da zagrada oza~ava prednost ra~unske
operacije u woj, pa tako za najmawu vrednost datog
izraza dobijamo –10 ako zagrade stavimo na slede}i
na~in:
6 ∙ (22–32) : 3 = 6∙(– 5) : 3 = – 10
Najve}a vrednost se dobija u slu~aju:
(6 ∙ 2)2–32: 3 = 122– 9 : 3 = 144 – 3 = 141
 Kvadrat racionalnog broja a je broj
a  a  a2 .
Kvadrat bilo kog racionalnog broja je
nenegativan broj, {to zapisujemo:
a 2  0 za svako a  Q.
Kvadrat svakog racionalnog broja a,
jednak je kvadratu wemu suprotnog
racionalnog broja –a, tj.
a2= (– a)2
Za racionalne brojeve a i b va`i:
a  b
2
3. Odredi sve realne brojeve x za koje va`i:
a) x 2  0
b) x 2  x
v) x 2  x
g) x 2  x
d) x 2   x
Re{ewe:
a) Ne postoji takav racionalan broj.
b) x  0, 1
2
 a b
2
2
i
a2
a
   2 , b0
b
b
v) To va`i za sve negativne brojeve i sve brojeve
ve}e od 1.
g) 0  x  1
d) x  0,  1
Re{eni zadaci
4. Ako je a paran prirodan broj onda je a2
tako|e paran prirodan broj. Doka`i.
Re{ewe:
Sada sledi grupa zadataka koji su re{eni, dobrim
delom, uz pomo} znawa ste~enih u uvodnom delu ove
lekcije. Na{a je preporuka da svaki od ovih zadataka
pa`qivo prou~i{, najpre poku{a{ da re{i{ samostalno, pa samo u slu~aju da se pojavi neka pote{ko}a
u radu, pogleda{ kako su ovde zadaci re{eni.
Paran broj mo`emo zapisati u obliku a  2k . Ako
ga kvadriramo dobijamo a 2  (2 k )2 
a 2  4k 2 
a 2  2  2k 2 
a2  2  x
Zakqu~ujemo da je i a paran broj.
Takav na~in rada bi}e ti od koristi u re{avawu
narednih zadataka.
2
5. Odredi prost broj p tako da je p2+7
tako|e prost broj.
Re{ewe:
1. Zaokru`i slovo ispred ta~ne jednakosti:
a) –32= –9
b) (–5)2= –25
g) (7 – 17)2= 100
2
2
4
v)   
3
3
10 Ako je p = 2, onda je p2+7=22+ 7=4 + 7=11,
a 11 je prost broj.
d) 4 ∙ 52 = 400
3
20 Za p ≥ 3 je p2 neparan broj, pa ako ga saberemo
sa 7, zbir je paran broj ve}i od 2, a takav paran broj
ima vi{e od dva delioca {to zna~i da nije prost.
broja a (ozna~avamo ga sa a ). Re{ewa te
jedna~ine su a i  a .
Kvadratni koren kvadrata bilo kog
racionalnog broja jednak je apsolutnoj
vrednosti tog broja.
6. Za koje vrednosti promewive x izraz:
a) 3 + (x–2)2 - ima najmawu vrednost
b) 2 – (x–1)2 - ima najve}u vrednost
v)
a2  a , a  Q
2
- ima najmawu vrednost?
2
3  2  x 
Objediwavawem skupa racionalnih i skupa
iracionalnih brojeva nastao je skup
REALNIH BROJEVA R.
Re{ewe:
a) Dati izraz 3+(x–2)2 }e imati najmawu vrednost
za najmawu vrednost izraza (x–2)2. Najmawa vrednost
izraza (x–2)2 je 0, {to se posti`e kada je x–2 = 0,
odnosno za x = 2.
b) S obzirom da je (x–1)2 ≥ 0, za sve vrednosti
2
promewive x bi}e 2  x  1  2, pa }e biti najve}i
za (x–1)2= 0, odnosno za x=1. Vrednost datog izraza
je u tom slu~aju najve}a i iznosi 2.
v) Znamo da je vrednost razlomka, sa stalnim
brojiocem, ve}a ako je imenilac {to je mogu}e mawi.
Najmawa vrednost imenioca 3 + (2 + x)2 je 3, a to je
za (2 + x)2 = 0  2 + x=0  x = –2.
Jednakosti koje naj~e{}e koristimo pri
izradi zadataka su:
( a )2  a, a  0, a  b  a  b ,
8. Koji od slede}ih brojeva su racionalni, a
koji iracionalni:
5
;
6
 0,50550555055550...; 1,23456789 ?
 1,41; 0; 0,333...;
b) x2 = 0
g) x2 = –1
Re{ewe:
d) x2 = 2
v) x 2 
S obzirom da se racionalan broj mo`e prikazati u
obliku razlomka, kona~nog decimalnog broja ili
beskona~nog periodi~nog razlomka, me|u navedenim,
racionalni brojevi su:
5
1, 41; 0; 0,3333...; 3 4; ; 1, 23456789,
6
a iracionalni brojevi su: 2; 0,50550555055550....
9
49
a) Skup re{ewa jedna~ine je 2,  2 , jer je 22= 4 i
9. Prika`i u obliku razlomka slede}e
brojeve:
a) 0,777... b) 3,5757... v) 6,1234567891011...
Re{ewe:
(–2)2= 4.
b) Skup re{ewa jedna~ine je 0 , jer je 02= 0
3 3
v) Skup re{ewa jedna~ine je  ,  , jer je
 7 7
2
a) Dati broj }emo obele`iti sa x = 0,777... Ako
dati broj pomno`imo sa 10, dobi}emo 10 x =7,777...
Ako od 10x oduzmemo x dobija se
10 x – x = 7,777...– 0,777..., odnosno 9 x =7.
7
7
Re{ewe jedna~ine je x  . Zna~i 0,777...  .
9
9
b) Neka je x = 3,5757... Kako je period ponavqawa
cifara sastavqen od dve cifre, broj }emo pomno`iti sa 100. Dobijamo: 100 x =357,5757..
Ako od 100 x oduzmemo x dobija se 99 x = 354
2
9
9
 3
3
i   
  
49  7 
49
 7
Jednakosti pod g) i d) nemaju re{ewe u skupu Q, jer
ne postoji racionalan broj koji pomno`en samim
sobom daje proizvod –1, a tako|e ni 2.
Nau~ili smo da postoje brojevi koji nam daju re{ewe

jedna~ine pod d) x   2,
2; 3 4;
Re{ewe:
7. Re{i u skupu racionalnih brojeva
jedna~inu:
a) x2 = 4
a
a

,b0
b
b

2 . To su
IRACIONALNI BROJEVI.
U sredwoj {koli }ete nau~iti da postoji skup brojeva
u kome se nalazi re{ewe jedna~ine pod g).
x
Neka je a > 0, pri ~emu je a kvadrat nekog
racionalnog broja. Pozitivno re{ewe
jedna~ine x2= a naziva se kvadratni koren
354 118
19
19

 3  3,5757...  3 .
99 33
33
33
v) Dati broj nije periodi~an decimalni razlomak
p
(broj), pa se ne mo`e prikazati u obliku .
q
4
g) Ako korenujemo i levu i desnu stranu jedna~ine
10. Zaokru`i slovo ispred iracionalnog
broja:
a) 81  4
b) 81  4
v) 81  4
g)
81
4
x  5  7 ili x  5  7
x  2 ili x  12 , ili,
druga~ije zapisano: x  2,  12.
Re{ewe:
Skup re{ewa je 2,  12 .
a) U svakom od primera a), v) i d) prvo odredimo
zbirove odnosno razliku. Dobija se:
a) 81  4  85  I v) 81  4  77  I
d) Ako kvadriramo obe strane jedna~ine dobija se

d) 3 33  3  3 36  3  6  18  Q.

3  x  2011  32 , pa daqe imamo:
3  x  2011  9
x  2011  9 : 3
x  2011  3
x  3  2011
x  2014  x  2014.
2
U primeru b) dobija se 81  4  9  4  13 Q .
81
81 9

  Q.
4
4 2
11. Na|i dva iracionalna broja tako da su im:
a) zbir b) razlika v) proizvod g) koli~nik
racionalni brojevi.
Re{ewe:
|)


2
2
 x  16
13. Uprosti izraze:
a) 32  18  50  72
b) (2 5  45  7 20 )  5
Re{ewe:
a
a
, nalazimo jedno od re{ewa

b
b
a) Svaki od sabiraka mo`emo napisati u obliku
proizvoda:
32  16  2  4 2
18  9  2  3 2
50  25  2  5 2
72  36  2  6 2
Ako svaki od sabiraka zamenimo dobijenim izrazom,
dobija se:
32  18  50  72  4 2  3 2  5 2  6 2.
Koriste}i distributivnost, zbir se mo`e napisati
u obliku 2  4  3  5  6  15 2 .
12
12

 4  2.
3
3
v) 3 x 2  2  7
g) x  52  49 d) 3  (x  2011)  3 |) 5  x  3
Re{ewe:
a) Kako je x 2  x , dobijamo jedna~inu x  5 , a
skup wenih re{ewa je  5, 5, jer je x=5 ili x= 5.
b) Sli~no, u ovom primeru se umesto 45 mo`e
napisati 9  5  3 5 i umesto 20 mo`emo
pisati 4  5  2 5, pa }emo imati:
b) Sli~no, po{to je ( x  3)  x  3 , data jedna~ina
2
se svodi na x  3  1  x  3  1 ili x  3  1 
2
x  4 ili x  2 , {to zapisujemo i ovako:
x  4, 2 . Skup re{ewa je 2, 4 .



5  45  7 20  5  2 5  3 5  7  2 5  5 
5  2  3  14 5  5  13  65 .
14. Date razlomke napi{i u drugom obliku,
tako da im imenioci budu celi brojevi:
v) Ako kvadriramo i levu i desnu stranu jedna~ine
dobija se 3x2–2 = 7, pa je daqe redom:
3x2 = 9,
x2 = 3  x   3, 3

 3 ,
2
2
v) Koriste}i osobinu a  b  a  b , nalazimo
jedno od re{ewa: 2  8  2  8  16  4.
12. Re{i jedna~ine:
a) x 2  5
b) (x  3)2  1
5 x
 x  4
od bezbroj re{ewa je 5   5  0
b) Sli~no i u ovom slu~aju. Razlika jednakih brojeva
daje nulu, na primer: 3 7  3 7  0  Q.
g) Kako je
5  x  3 Kvadriramo obe strane:
5 x  9  x  4
Ako kvadriramo obe strane dobija se:
a) Kako je zbir suprotnih brojeva 0, a 0  Q , jedno

 49 , odakle je:
x  5  7,
d) 3 33  3
U slu~aju g) bi}e
x  52
dobija se
a)

5
5
2
b)
7
2 3
v) 
15
5
g)
3
12
Re{ewe:
Re{ewe:
U ovakvim slu~ajevima koristimo pro{irivawe
razlomaka i to brojevima koji se javqaju u imeniocu, a
iracionalni su. Ovaj postupak se zove racionalisawe
imenilaca.
5
5 2
5 2
a)


2
2
2 2
a) Ako kvadriramo i jedan i drugi broj dobijamo
b)
7
2 3

 10  10 i 2 3   4  3  12 .
Kako je 10<12  10  2 3.
b) 10 Prvo }emo racionalisati imenioce datih
razlomaka:
5
5 5
5 5


 5,
5
5
5 5
7 3
7 3 7 3


6
2 3  3 23
15
15
15
5
5
5 5 5






 5
5
45
9  5 3 5
5
5 5
5
15
Zakqu~ujemo

.
5
45
15
15
15
5
20 Mo`e i kra}e:



45
9 5 3 5
5
v) Ako kvadriramo svaki od korena dobi}emo:
15  15  5  15 5
v) 


 3 5
5
5
5 5
g)
3
3
3
3 3 3
3
.





2
12
4  3 2 3 3 23
15. Izra~unaj vrednost izraza:
a)
2
 2  2   2  2 ,


S obzirom da je 2  1 ,
ve}a od 3, a razlika 3 
108  4 27  192
3
8
8
2
b)
v)
5
5
: 2,5  6  .
8
9
2
2
2
 3  3   3  3


vrednost zbira 2  2 je
3 je mawa od 3.
Re{ewe:
Zakqu~ujemo da je 2 2  3  3  2  2 > 3  3 .
a) Najpre treba racionalisati imenilac razlomka
8
i 8 zameniti sa 2 2 . Ima}emo:
2
Zadaci za samostalan rad
8
Kad pa`qivo pro~ita{ Uvodni deo i detaqno prou~i{ re{ene zadatke, poku{aj da samostalno re{i{
i naredne zadatke. To }e biti odli~na priprema za
uspe{no re{avawe takmi~arskih zadataka koji te
o~ekuju u slede}oj grupi zadataka!
192  64  3  8 3
1. Ako je 382= 1444 onda je :
a) –3,82= 14,44 b) 0,382= 0,1444
v) 3802= 14440 g) (–3,8)2= 14,44.
Zaokru`i slovo ispred ta~nog odgovora.
8
8 2
8 2
2 2
2 2
 2  2  4  6 2
2
2
2 2
b) Korene sa slo`enom potkorenom veli~inom
transformi{emo - rastavimo na ~inioce tako da se
bar iz jednog od wih mo`e izvaditi koren:
108  36  3  6 3 ;
27  9  3  3 3 ;
Tada se dobija:
108  4 27  192 6 3  4  3 3  8 3


3
3
3   6  12  8 
3
v)
2. Izra~unaj brojevnu vrednost izraza:
a) –(–22)+(–2)2+(–3)2–(–32)+(–52)
 10.
 3
b)  2 
 5
5
5
5
5
49
: 2,5  6  
:


8
9
9
8 2
d)
16. Uporedi brojeve:
b)
5
i
5
 2
 1 
 3
2
v) 1  3  3  1
1 1
 1
g) 0,4  6   2,5  12    
4 10
 3
5
5 7
5
2 7 1 7 3  14 17
:
 

   

6
6
2 2 2 3 2 2 5 3 2 3
a) 10 i 2 3
2
202  162 
 72  2
3
2

2
3. Proveri i obrazlo`i za koje vrednosti
promewive x su ta~ne nejednakosti:
a) (–2x)2> 0 b) –2x2> 0 v) (x+2)2≥ 0
15
45
v) 2  2 i 3  3 .
6
4. Izra~unaj vrednost izraza
A
x  3  
x  22  2
2
1. Izra~unaj vrednost izraza:
2
ako je x  2  3.
5. Zaokru`i slovo ispred tvr|ewa koje je
ta~no za svaki realan broj x:
a) x  0 b) x  7  7  x v) x  5  0
d) x2  x
|)  x  x
2
2
e) x  1  0 `) x  1  4.
g)
x2  x
6. Uprosti izraze:
a) 450  2 50  98 b)  48  3 75  2 108 : 3
v)  60  2 135  10 15: 2 5
g)
1
b) 6  6 ili 3
x  5  9 v)
2 2 2 x 2
d)
3  2 x 2
5

2
7
0,25
4
8
2   50 
 18 

.
8
2
2
8
Da li je
broj?
 0,4
0, 4 racionalan ili iracionalan
16  3 2 x  1  5
9. Odredi dva uzastopna cela broja izme|u
kojih se nalazi broj:
a) 3  8
b) 2  6 .
10. Doka`i da je

Zadatak za matemati~ke
sladokusce
8. Re{i jedna~inu:
g)
2
I na kraju:
2
3
v) 1 
ili 1 
?
2
3
a) 0,2 x2  1 b)

4. Svaki od prisutnih de~aka ima onoliko
klikera koliko ima ukupno de~aka. Koliko je
de~aka prisutno ako je izbrojano da svi
zajedno imaju 2116 klikera?
9
 4 12.
3
7. [ta je ve}e:
a) 4 3 ili 3 4

 
2 2
a) 3 2  2 32 b) 1  2 
2. Koje od datih jedna~ina imaju isti skup
re{ewa:
4
1
2
x  3,6
(1) 3 x  0,25 
(2) 4 
2
5
3 2
(2)  3,5  1 x  2,7 ?
5
3. Izra~unaj vrednost izraza i utvrdi da li
je rezultat racionalan ili iracionalan broj:
3 2


17  37  2  3 .
Zadaci za takmi~ewe
MD "ARHIMEDES"
na dopisnoj olimpijadi
Na redu su 4 zadatka ~ijim re{avawem u~estvuje{ u
takmi~arskom delu "Arhimedesove" dopisne {kole.
Re{ewa ovih zadataka detaqno obrazlo`i i uredno
napi{i u svesci koja je samo za to namewena. Tako
postupi posle svake lekcije dopisne {kole, a na kraju
- posle svih 6 lekcija - svesku sa re{ewima zadataka
po{aqi na adresu "Arhimedesa", onako kako je
opisano u Uputstvu!
7
Download

null