7.
ÜNİTE
OLASILIK
Bu ünitenin sonunda;
• Örnek uzay, olay, deney, çıktı, ayrık ve ayrık olmayan olay kavramlarının neler olduğunu,
• Herhangi bir olayın tümleyeni ile olasılık değerinin ilişkisini,
• Eş olasılı ve eş olasılı olmayan durumları,
• Ayrık ve ayrık olmayan olayların olasılıkları arasındaki farkın karşılaştırılmasını,
• Sonlu ve ayrık kümeler üzerinde tanımlı olayların olasılıklarının incelenmesini
öğreneceksiniz.
255
7.1.BASİT OLAYLARIN OLASILIKLARI
TERİMLER
• örnek uzay
•olay
•deney
• çıktı
• ayrık olay
• ayrık olmayan olay
• bir olayın tümleyeni
• olasılık
Olasılık kavramı denince zihnimizde ilk olarak bir madenî para veya bir zarın atılması ya da şans
oyunları belirir. Buna göre “Bir madenî para atıldığında paranın yazı mı veya tura mı gelmesi, bir zar
atıldığında zarın üst yüzünün 6 sayısının gelmesi ya da tuttuğumuz bir takımın o haftadaki maçını
kazanma şansı kaçtır?” vb. sorular aklımıza gelebilir. Siz de günlük hayatınızda karşılaştığınız olası
durumlara örnekler veriniz.
BİLGİ
Bir olayın gerçekleşme yüzdesi, oranına olasılık denir. Başka bir ifadeyle olasılık bir şeyin olmasının veya olmamasının matematiksel değeridir.
Sonucu önceden kesin olarak bilinmeyen olgularla ilgili veri toplama sürecine deney, elde
edilebilecek sonuçların her birine de çıktı denir.
Deney sonucunda elde edilen çıktıların her birine örnek nokta; örnek noktaların oluşturduğu
çıktılar kümesine örnek uzay denir. Örnek uzay, “E” ile gösterilir. Örnek uzayın her bir alt kümesine de olay denir.
ÖRNEK
Bir zarın rastgele atılması deneyindeki çıktılar 1,2,3,4,5,6 sayılarıdır. Bu durumda örnek uzay
E = {1,2,3,4,5,6} elde edilmiş olur.
ÖRNEK
Bir madenî paranın bir kez havaya atılması deneyinde olası durumları
yazalım.
ÇÖZÜM
Para bir kez atıldığında paranın üst yüzü ya yazı (Y) ya da tura (T) olabilir.
Dolayısıyla örnek uzay, E = {Y, T} olur.
256
ÖRNEK
İki madenî paranın birlikte atılması deneyinde olası durumları yazalım.
ÇÖZÜM
Madenî para 1 kez atıldığında olası durumlar yazı (Y) veya tura (T) dır.
Aynı para art arda iki defa veya iki madenî para birlikte atıldığında;
İlk atışta, üste gelen yüz yazı ise ikinci atışta yazı veya tura olabilir. Ya
da ilk atışta üste gelen yüz tura iken ikinci atışta yazı veya tura gelebilir.
Bu durumu şema ile gösterelim.
1. Atış
Y
2. Atış
Y
T
T
Bu durumda örnek uzay, E = { (Y, Y), (Y, T), (T, Y), (T, T)} olur.
Y
T
ÖRNEK
Üç madenî paranın birlikte atılması deneyinde olası durumları yazalım.
ÇÖZÜM
Bu durumu şema ile gösterelim.
1. atış
2. atış
Y
Y
T
Y
T
T
3. atış
Y
T
(Y, Y, Y), (Y, Y, T), (Y, T, Y), (Y, T, T)
Y
T
Y
T
Y
(T, Y, Y), (T, Y, T), (T, T, Y), (T, T, T)
T
Bu deneye ait örnek uzay E = { (Y, Y, Y) , (Y, Y, T), (Y, T, Y), (Y, T, T), (T, Y, Y), (T, Y, T), (T, T, Y), (T, T, T) } olur.
Bir madenî paranın ard arda üç kez atılması deneyi de benzer bir olaydır.
257
ÖRNEK
Üzerinde 1 den 6 ya kadar rakamların yazılı olduğu zarın bir kez atılması deneyinde,
Üst yüze gelebilecek rakamlar; 1, 2, 3, 4, 5, 6 dır. Bu deneye ait örnek uzay, E = {1,2,3,4,5,6} olur.
ÖRNEK
İki zarın birlikte atılması deneyinde örnek uzayı bulalım.
1. Zar
2. Zar
(1, 1) (1, 2) (1, 3) (1, 4) (1, 5) (1, 6)
ÇÖZÜM
(2, 1) (2, 2) (2, 3) (2, 4) (2, 5) (2, 6)
Yan taraftaki tabloda iki zarın birlikte
atıldığında oluşabilecek örnek uzay gösterilmiştir.
(3, 1) (3, 2) (3, 3) (3, 4) (3, 5) (3, 6)
Buna göre E = {((1, 1), (1, 2), ... , (6, 6))}
(4, 1) (4, 2) (4, 3) (4, 4) (4, 5) (4, 6)
Elde edilebilecek toplam çıktı sayısı,
(5, 1) (5, 2) (5, 3) (5, 4) (5, 5) (5, 6)
s(E) = 6 x 6 = 36 dır.
(6, 1) (6, 2) (6, 3) (6, 4) (6, 5) (6, 6)
ÖRNEK
Bir zarın atılması deneyinde üste gelen sayının;
a) Tek sayı olması,
b) En az 5 olması,
c) 9 olması,
ç) 0 ile 7 rakamları arasında olması durumlarında oluşacak olayları belirleyelim.
ÇÖZÜM
Bir zarın atılması deneyinde örnek uzay, E = {1, 2, 3, 4, 5, 6 } olur.
a) Tek sayı gelme olayına A diyelim. E kümesinin elemanları arasından, tek sayı olanlar 1, 3 ve 5
tir. O hâlde A = {1, 3, 5} olur.
b) En az 5 gelme olayına B diyelim. E kümesinin elemanları arasında 5 ve 5 ten büyük sayılar 5,
6 olup B = {5, 6 } dır.
c) 9 gelme olayı C olsun. E kümesinin elemanları arasında 9 olmadığından olayının olması imkânsızdır. O hâlde C = Ø olur.
ç) Bu deneye ait olası çıktılar, 1, 2, 3, 4, 5, 6 olup E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} olur.
UYARI
Boş kümeyle gösterilen olaya imkânsız olay, E örneklem uzayına da kesin olay denir.
258
Eş Olasılı (Eş Olumlu) Örnek Uzay
BİLGİ
Her bir olayının gerçekleşme olasılığı eşit olan örnek uzaya eş olasılı örnek uzay denir. Eş
olasılı örnek uzayda bir A olayının olasılığı, A olayının örnek nokta sayısının örnek uzayın örnek
nokta sayısına oranı olup P (A) =
s (A)
s (E )
=
A A olayının örnek nokta sayısı
=
ile bulunur.
E E olayının örnek nokta sayısı
Hiçbir olayının gerçekleşme olasılığı eşit olmayan örnek uzaya ise eş olasılı olmayan örnek
uzay denir.
ÖRNEK
Şampiyonlar Ligi’nde 2012 - 2013 sezonunda yarı
finale kalan dört takımın Şampiyonlar Ligi Kupası’nı kazanma durumlarını inceleyelim.
ÇÖZÜM
Yarı final
1
4
Final
1
2
Her takımın kupayı kazanma olasılıklarının eşit olduğu görülmektedir.
1
4
1
4
1
4
1
2
ÖRNEK
Bir madenî para, ard arda iki kez atıldığında, her ikisinde de tura gelme olasılığını bulalım.
ÇÖZÜM
Bu deneydeki eş olasılı örnek uzay, E = { (T, T), (T, Y), (Y, T), (Y, Y) } olur.
s (A) 1
İstenilen olay ise A={ (T, T) } dir. Bu olayın olasılığı da, P (A) =
= olur.
s (E ) 4
ÖRNEK
Bir çift zar birlikte atıldığında üst yüze gelen sayıların aynı olma olasılığını bulalım.
ÇÖZÜM
Bir çift zar atıldığında, örnek uzayın 36 örnek noktadan oluştuğunu biliyoruz.
Gelen sayıların aynı olması olayı, A = { (1, 1 ) , (2, 2 ) , (3, 3 ) , (4, 4 ) , (5, 5 ) , (6, 6 ) } olup s(A) = 6
6
1
= olur.
dır. Buna göre A olayının olma olasılığı P (A) =
36 6
259
ÖRNEK
Bir zarın atılması deneyinde üste gelen rakamın;
a) 8 olması olasılığını,
b) En az 1 olması olasılığını bulalım.
ÇÖZÜM
Bu deneyle örnek uzay, E = {1, 2, 3, 4, 5, 6 } olup, s(E) = 6 dır.
a) A olayı, gelen rakamın 8 olması olayı olsun. Örnek uzayda 8 bulunmadığından, s(A) = 0 olup A
s (A) 0
= = 0 olur.
imkânsız olaydır. Bu durumda, A olayının olma olasılığı P (A) =
s (E ) 6
b) B olayı, gelen rakamın en az 1 olması olayı olsun. Bu durumda, B = {1, 2, 3, 4, 5, 6 } ve s(B) = 6
6
olur. B = E olduğundan B kesin olaydır. O hâlde B olayının olma olasılığı P (B) = = 1 bulunur.
6
UYARI
Herhangi bir A olayı için, 0 ≤ P(A) ≤ 1 dir.
ETKİNLİK
Bir zar atılıyor.
❖ Üst yüzde 2 den küçük rakam gelmesi olayının çıktılarını yazınız.
❖ Üst yüzde 3 ten büyük rakam gelmesi olayının çıktılarını yazınız.
❖ Her iki olayı karşılaştırınız. İki olayda ortak olan örnek nokta var mıdır? Açıklayınız.
BİLGİ
Bir örnek uzayda, iki olayın ortak olan hiçbir örnek noktası yoksa bu iki olaya ayrık olaylar
denir. Aksi takdirde bu olaya ayrık olmayan olaylar denir.
ÖRNEK
Bir kutuda 1 den 10 a kadar numaralandırılmış şans topları bulunmaktadır. Kutudan top çekme deneyinde;
a) Topun tek sayı gelme olayını,
b) Topun çift sayı gelme olayını bulalım.
c) Her iki olayın ayrık olup olmadığını inceleyelim.
04
01
05
08
07
03
06
ÇÖZÜM
09
02
10
Kutudan şans topu çekme deneyinde örnek uzay, E = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} olur.
Tek sayı gelme olayı A ise A = { 1, 3, 5, 7 ,9 } olur. Çift sayı gelme olayı da B ise B = {2,4,6,8,10}
olur. A ve B olaylarının ortak olan örnek noktaları olmadığından A ∩ B = Ø olup bu iki olay ayrıktır.
260
UYARI
Bir örnek uzayın iki olayı A ve B olayları olsun. P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B) dir.
ÖRNEK
Yandaki tabloda bir sınıftaki öğrencilerin dağılımları verilmiştir. Bu dağılıma göre sınıftan seçilecek bir öğrencinin
erkek veya gözlüklü olma olasılığını bulalım.
Gözlüklü
Gözlüksüz
Kız
8
12
Erkek
10
15
ÇÖZÜM
Örnek uzay sınıftaki tüm öğrencilerden oluştuğundan s(E) = 8 + 12 + 10 + 15 = 45 tir.
Seçilecek öğrencinin erkek olması olayına A diyelim.
Sınıfta toplam 25 erkek öğrenci olduğuna göre seçilecek öğrencinin erkek olma olasılığı;
s (A) 25
olur.
P (A) =
=
s (E) 45
Seçilecek öğrencinin gözlüklü olması olayına B diyelim.
Sınıfta toplam gözlüklü öğrenci sayısı 18 olduğuna göre seçilecek öğrencinin gözlüklü olma olas (B) 18
=
sılığı; P (B) =
olur.
s (E) 45
s (A + B) 10
Sınıftaki erkek öğrencilerin 10 u gözlüklü olduğundan, s(A ∩ B) = 10 olup P (A + B) =
=
45
s (E)
olur.
Sonuç olarak seçilen öğrencinin erkek veya gözlüklü olma olasılığı,
P (A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B) den,
↓
↓
↓
25
18
10
= 45 + 45 – 45
= 33 = 11 bulunur.
45 15
ÖRNEK
E örnek uzayında A ve B iki olay olmak üzere,
P (A) = 1 3
P (B) = 1 6
ve
P (A + B) = 1 olduğuna göre P(A ∪ B)’yi bulalım.
4
ÇÖZÜM
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B) özelliğinden,
P (A , B) = 1 + 1 – 1
6
4
3
(4)
= 4 +
12
= 3 =
12
(2)
(3)
2 – 3
12
12
1 bulunur.
4
261
ÖRNEK
E örnek uzayında A ve B iki olay olmak üzere,
P (A) = 2 , P (B) = 1 ve P (A , B) = 5 olduğuna göre P(A ∩ B) yi bulalım.
5
3
6
ÇÖZÜM
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B) özelliğinden;
↓
↓ ↓
5
6
=
2
3
+
1
5
– P (A + B) dir.
P (A + B) = 2 + 1 – 5 elde edilir.
5
6
3
(10)
(6)
(5)
P (A + B) = 20 + 6 – 25 = 1 bulunur.
30
30
ÖRNEK
Bir torba içerisinde 1 den 15 e kadar numaralandırılmış 15 adet kart
vardır. Bu torbada rastgele çekilecek bir kartın numarasının asal veya
çift sayı olma olasılığını bulalım.
6
ÇÖZÜM
Örnek uzay, E = {1, 2, 3, 4, ..., 13, 14, 15} olup s(E) = 15 tir.
Çekilecek kartın asal sayı olma olasılığına P(A) diyelim.
A = {2, 3, 5, 7, 11, 13} olup s(A) = 6 dır.
s (A)
6
=
P (A) =
’dir.
s (E) 15
Çekilecek kartın çift sayı olma olasılığına P(B) diyelim.
B = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14} olup s(B) = 7 dir.
s (B)
7
P (B) =
=
dir.
s (E) 15
Çekilecek kartın asal ve çift sayı olma olasılığı ise P(A ∩ B) dir.
A ∩ B = {2} olup s(A ∩ B) = 1 olduğuna göre
s ( A + B)
1
P (A + B) =
= 15 elde edilir.
s (E)
Sonuç olarak çekilecek kartın asal veya çift sayı olma olasılığı,
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B) den
↓
↓ ↓
= 6 + 7 – 1
15
15
15
12
4
=
=
bulunur.
15 5
262
13
15
7
9
1
3
11
2
5
4
10
12
8
14
ÖRNEK
Bir torbada 3 mavi, 5 sarı ve 4 kırmızı top vardır. Bu torbadan rastgele
çekilen bir topun,
a) Mavi renkte
b) Sarı renkte
c) Kırmızı renkte
ç) Kırmızı renkte olmama olasılıklarını bulalım.
ÇÖZÜM
Mavi renkte top çekmek olayına M, sarı renkte top çekme olayına S,
kırmızı renkte top çekme olayına K diyelim.
Buna göre; s(E) = s(M) + s(S) + s(K) = 3 + 5 + 4 = 12 dir.
s (M)
3
1
=
a) Mavi renkte olma olasılığı P (M) =
= tür.
s (E )
12 4
s (S)
5
=
s (E) 12
s (K)
4
1
=
c) Kırmızı renkte olma olasılığı P(K) =
= tür.
s (E) 12 3
b) Sarı renkte olma olasılığı P(S) =
ç) Kırmızı renkte olmama olasılığı P(Kı) bulalım.
Çekilen topun kırmızı olamaması için renginin ya mavi ya da sarı olması gerekir. Dolayısıyla sarı ve
1
5
8
2
= olup
=
mavi gelme olasılığı kırmızı gelmeme olasılığına eşittir. P(Kı) = P(M) + P(S) = +
4 12 12 3
P(K)+ P(Kı) =
1 2 3
+ = = 1 dir.
3 3 3
BİLGİ
Bir olayın gerçekleşmeme olayına o olayın tümleyeni denir ve Aı ile gösterilir.
• Bir olayın olma olasılığı ile olmama olasılığı toplamı daima 1 e eşittir.
P(A) + P(Aı) = 1 dir.
ÖRNEK
24 adet sütlü ve 16 adet bitter çikolatının bulunduğu bir kutudan 1 çikolata yiyen Gülsüm’ün yediği çikolatanın sütlü olmama olasılığını bulalım.
ÇÖZÜM
Gülsüm’ün yediği çikolatının sütlü olması olayına A diyelim. Buna göre çikolatanın sütlü olma
olasılığı,
s (A)
24
=
= 24 bulunur.
P (A) =
s (E) 24 + 16 40
P(A) + P(Aı) = 1 eşitliğinden,
Sütlü olmama olasılığı P(Aı) = 1 – P(A) = 1 – 24 , P (A ı) = 16 = 2 elde edilir.
5
40
40
Sütlü çikolata olmama olasılığı ile bitter çikolata olma olasılığı değerlerinin aynı olduğuna dikkat
ediniz.
263
ETKİNLİK
Bir dinamik geometri programında üç çocuklu bir ailenin çocuklarının cinsiyetlerinin olası durumlarını sürgü özelliklerini kullanarak modelleyelim.
• Araç çubuğu sürgü aracını seçerek çizim tahtasındaki boş bir yere tıklayınız ve şekildeki
gibi “1. çocuk”, “2. çocuk” ve “çıktılar” gibi dört sürgü oluşturunuz.
• Sırasıyla 1, 2 ve 3. çocuk durumlarını görselleştirerek olası çıktıları sürgülere atayınız.
• 1. sürgüyü hareket ettirerek doğacak ilk çocuğun cinsiyetine ilişkin olası durumun nasıl
belirdiğini görünüz.
• Sırasıyla 2 ve 3. sürgüleri hareket ettirerek bu durumlara ait olası çıktıların nasıl belirdiğini
inceleyiniz.
• En son olarak “çıktılar” sürgüsünü hareket ettirerek 3 durumdaki olası çıktıların tamamını
nasıl belirlediğini aynı anda görünüz.
Sürgü aracı
Üç çocuklu bir ailenin çocuklarının en az ikisinin kız olma olasılığı nedir?
1. çocuk
2. çocuk
3. çocuk
1
2
1
2
E
E
1
2
1
2
K
1
2
1
2
E
1
2
K
1
2
K
1
2
1
2
K
EEK
EKE
K
1
2
1
2
EEE
E
E
1
2
1
2
Çıktılar
EKK
KEE
E
K
KEK
KKE
E
KKK
K
Toplam 8 durum
264
TARİH KÖŞESİ
Olasılığın Tarihsel Gelişimi
İtalyan Rönesans matematikçisi, fizikçi, astrolog ve hekimdir. Girolamo
Cardano tarafından 1560 yılında yazılan ancak 1663’te yayımlanabilen Liber
de Ludo Aleae (Şans Oyunları Üzerine Kitap) isimli kitap, olasılık üzerine
Girolamo Cardano
(1501–1576)
yazılan ilk kitap olarak kabul edilir.
Fransız matematikçilerdir. Fermat, Pascal ile 1654 yılında iletişime geçerek, birlikte şans oyunlarının matematiksel incelemesini yapmışlardır. Pascal ve Fermat arasındaki
bu birliktelik, olasılık ile ilgili matematiksel çalışmaların
başlangıcı sayılır.
Pierre de Fermat
(1601–1665)
Blaise Pascal
(1623-1662)
Hollandalı gök bilimci, matematikçi ve fizikçi Blaise Pascal’ın olasılık alanındaki çalışmalarını öğrenen Huygens, 1656’da “De Ratiociniis in Ludo Aleae” adını taşıyan ve olasılık hesabını detaylı bir şekilde kapsayan ilk yapıtını
yazmıştır. Bu yapıt günümüzde olasılık teorisinin temel taşlarından biridir.
Christiaan Huygens
(1629-1695)
Fransız bir matematikçidir. Abraham de Moivre, 1718 yılında yazdığı
“The Doctrine of Chance (Şans teorileri)” isimli kitabında, Paskal ve Fermatın ortaya attığı klasik yöntemle olasılık hesabını daha ilerilere taşımıştır.
Abraham De Moivre
(1667–1754)
Fransız, matematikçi ve gök bilimcidir. 18. yüzyıldan itibaren olasılık
kavramının uygulama alanı sadece şans oyunları olmaktan çıkarak doğacak çocuğun kız veya erkek olması gibi biyoloji ile ilgili bilimsel problemler
de olmuştur. Pierre-Simon Laplace, 1812 yılında yazdığı “Olasılığın Analitik
Teorisi” isimli kitabında, bilimsel uygulamaları ön plana çıkartarak olasılığın
matematiksel bir teorisini geliştirmeye çalışmıştır.
Pierre–Simon Laplace
(1749–1827)
Rus matematikçi ve teorisyendir. Olasılık aksiyomlarını ilk defa ortaya atmıştır. Günümüzde bu aksiyomlar “Kolmogorov Aksiyomları” diye anılmakta
olup, bu aksiyomlar kullanılarak olasılık hesapları için diğer kullanışlı kurallar
ortaya çıkmıştır.
Andrey Kolmogorv
(1903-1987)
265
ALIŞTIRMALAR
1. Bir kutuda özdeş 4 pembe, 6 beyaz, 8 yeşil ve 12 adet mavi gül
vardır. Bu kutudan rastgele alınan bir gülün;
a) Pembe
b) Beyaz
c) Yeşil
ç) Mavi renkte olma
d) Beyaz renkte olmama olasılıklarını bulunuz.
2. Bir çift zarın atılması deneyinde, zarların üst yüzüne gelen sayıların;
a) Toplamlarının 10 olması,
b) Toplamlarının 7 olması,
c) Toplamlarının 4 ten küçük olması,
ç) Toplamlarının 8 den büyük olması,
d) En az birinin çift olması,
e) Çarpımlarının 12 olması,
f) Toplamlarının 3 ten büyük 7 den küçük olması,
g) Toplamlarının en çok 3 olması,
h) Toplamlarının 4 ve 4 ün katı olması olaylarını yazınız.
3. E örnek uzayda A ile B iki olay olsun. P(A) = 4 ve P(Bı) = 2 ise; P(Aı) ve P(B) değerlerini bulunuz.
7
3
4. A ve B bir E örnek uzayda ayrık olmayan olaylardır.
1
P(A) = 2 , P(B) = 3 ve P(A ∩ B) = 2 ise P(A ∪ B) değerini bulunuz.
7
21
5. 15 kız ve 9 erkek öğrencinin bulunduğu bir sınıfta, kız öğrencilerin 6 sı, erkeklerin ise 3 ü gözlüklüdür. Sınıftan rastgele seçilen bir öğrencinin;
a) Kız olma olasılığını,
b) Erkek olma olasılığını,
c) Kız ve gözlüklü olma olasılığını,
ç) Gözlüksüz olma olasılığını,
d) Erkek veya gözlüklü olma olasılığını,
e) Kız veya gözlüksüz olma olasılığını,
f) Kız ve gözlüksüz olmama olasılığını hesaplayınız.
6. Üç madenî para birlikte atılıyor. En çok ikisinin tura gelme olasılığını bulunuz.
7. Bir zar atılıyor. Üst yüze gelen sayının asal sayı olmama olasılığını bulunuz.
266
ÜNİTE DEĞERLENDİRME SORULARI
1. Aşağıdaki ifadelerden doğru olanlarına “D”, yanlış olanlarınaysa “Y” yazınız.
(.....) Bir paranın ard arda atılması deneyinde üste gelen yüzlerin tura gelme olasılığı 1 tür.
4
1
(.....) Bir zar atıldığında üste gelen yüzün 5 ten büyük olma olasılığı
dır.
6
(.....) Bir zar atıldığında üste gelen yüzün 3 ten küçük olma olasılığı 3 dır.
6
(.....) İki madenî para havaya atıldığında üste gelen yüzlerden en az birinin yazı gelme olasılığı 1 tür.
4
(.....) Fatih’e göre tuttuğu takımın maç kazanma olasılığı 1 ise, kazanmama olasılığı da 1 tür.
3
3
2. Aşağıdaki boşlukları uygun şekilde doldurunuz.
• Bir olayın gerçekleşme yüzdesine ...................... denir.
• Bir deneyde gelebilecek tüm çıktıların kümesine ......................
denir.
• Bir deneyde elde edilen sonuçların her birine ...................... denir.
• Örnek uzayın her bir alt kümesine ...................... denir.
• Boş kümeyle gösterilen olaya ...................... olay denir.
ayrık
kesin olay
imkansız olay
deney
çıktı
örnek uzay
olasılık
olay
örnek nokta
eş olasılı olay
3. Bir çift zarın atılması deneyinde zarların üst yüzündeki sayıların toplamlarının 10 olma olasılığı
kaçtır?
A) 1 10
B) 1 12
C) 1 8
D) 1 4
E) 1
2
4. Bir çift zarın atılması deneyinde zarların üst yüzündeki sayıların her ikisininde asal sayı olma olasılığı kaçtır?
A) 1 2
B) 1 3
C) 1 4
D) 1 5
E) 1
6
5. Bir çift zarın atılması deneyinde zarların üst yüzündeki sayıların toplamlarının en çok 4 olma olasılığı kaçtır?
A) 1 2
B)
1
18
C)
1
12
D)
1
6
E)
1
3
6. Bir çift zarın atılması deneyinde zarların üst yüzündeki sayıların çarpımlarının çift sayı olma olasılığı kaçtır?
A) 1 2
B) 1 3
C) 1 4
267
D) 1 6
E) 3
4
7. Bir çift zarın atılması deneyinde zarların üst yüzündeki sayıların toplamlarının en az 10 olma olasılığı kaçtır?
A) 1 4
B) 1 6
C) 1 8
D) 1 6
E) 1
12
8. 1’den 9’a kadar numaralandırılmış kartlardan rastgele bir tanesi çekiliyor. Çekilen karttaki sayının
asal veya çift sayı gelme olasılığı kaçtır?
A) 1 B) 3 C) 3 5
3
4
D) 5 9
E) 7
9
9. 4 beyaz, 6 siyah, 5 kırmızı bilye bulunan bir torbadan rastgele alınan bir bilyenin siyah olma olasılığı kaçtır?
A) 4 15
B) 2 5
C) 1 3
D) 2 3
E) 4
5
10.Millî Piyango çekilişi için Fatih 3 tane, Feyzanur 4 tane, Ahmet 6 tane ve Fahriye 8 tane bilet
almıştır. Çekilişte Fatih’in kazanmama olasılığı kaçtır?
A) 1 7
B) 2 7
C) 4 7
D) 6 7
E) 5
7
11.0 ile 10 arasındaki tek rakamlar içerisinden rastgele çekilen bir rakamın asal olma olasılığı kaçtır?
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 3
5
5
5
4
10
12.Bir madenî paranın arka arkaya üç kez atıldığı bir deneyde en az iki kez tura gelme olasılığı kaçtır?
A) 1 4
3
B) 4 1
C) 2 5
D) 8 3
E) 8
13.Bir madenî paranın arka arkaya üç kez atıldığında hepsinin aynı gelme olasılığı kaçtır?
A) 1 B) 2 C) 1 D) 1 E) 3
2
3
3
4
4
14.Bir madenî para iki kez havaya atıldığında birinin yazı diğerinin tura gelme olasılığı kaçtır?
A) 1 B) 1 C) 2 D) 1 E) 3
3
2
3
4
4
15.A ve B, E örnek uzayında iki ayrık olmayan olay olsun.
2
7
3
P(A) = 3 , P(B) = 5 ve P(A ∩ B) = 15 olduğuna göre P(A ∪ B) kaçtır?
11
A) 2 B) 15 C) 2 D) 4 5
15
15
268
4
E) 5
Download

olasılık