Yıldız Teknik Üniversitesi
Endüstri Mühendisliği Bölümü
KARAR TEORİSİ
Oyun Teorisi Yaklaşımı
Doç. Dr. İhsan KAYA
Oyun Teorisi-Doç. Dr. İhsan KAYA
1
Tanım:
•
Oyun teorisi «Birbiriyle rekabet halinde olan iki ya da daha fazla
karar vericinin aynı anda birbirlerinden habersiz olarak birer hareket
tarzı seçtiği ve her birinin uyguladığı hareket tarzının diğerinin
kazancını doğrudan etkilediği durumları birer oyun olarak modelleyip
analiz etmek maksadıyla kullanılan matematiksel bir teoridir».
•
Uygulama Alanları:
• Askeri faaliyetler,
• Siyasi faaliyetler,
• Spor müsabakaları,
• Reklam ve pazarlama faaliyetleri,
• Şans oyunları.
Oyun Teorisi-Doç. Dr. İhsan KAYA 2 / 412
1
Sınıflandırma
*
*
OYUN TÜRLERİ
Karar Vericilerin Sayısına Göre;
•
İki kişili oyunlar
•
n kişili oyunlar
Sonuçlarına Göre;
• Sabit toplamlı oyunlar
• Sabit toplamlı olmayan oyunlar
 Oyuncuların kazanç ve kayıpları toplamı sıfır ise, sıfır –toplamlı oyun
denir. Sıfır – toplamlı oyunlar, “c=0” olan sabit – toplamlı oyunlardır.
 İki – kişili, sıfır – toplamlı oyunlar matematiksel olarak basit
olduklarından,
oyun
teorisinin
ilkelerinin
tanıtılmasında
en
sık
kullanılan oyun türüdür.
Oyun Teorisi-Doç. Dr. İhsan KAYA
İki – Kişili Sıfır
3
Toplamlı Oyunlar
Temel Özellikleri
•
İki adet oyuncu vardır ve bunlar satır oyuncusu ve sütun oyuncusu
olarak adlandırılırlar.
•
Oyunculardan birinin kazancı (karı) diğerinin kaybına (zararına)
eşittir.
•
Satır oyuncusu toplam m adet stratejiden birini uygular iken
sütun oyuncusu da aynı anda n adet stratejiden birini kullanır.
Oyun Teorisi-Doç. Dr. İhsan KAYA
4
2
İKİ – Kİki – Kişili Sıfır Toplamlı Oyunlar
Kabuller:
İŞİLİ, SIFIR – TOPLAMLI OYUNLAR
 Her iki oyuncu da oldukça mantıklı kişilerdir.
 Her iki oyuncu da sadece kendi faydalarını artıracak stratejileri seçerler.
 Oyuncular riske girmeden kendileri için garanti olan en iyi kazancı elde
etmeye çalışırlar.
 Oyunlarda belirsizlik hakimdir, yani oyuncular oyuna başlamadan önce
rakibinin hangi stratejiyi kullanacağını bilmezler.
Oyun Teorisi-Doç. Dr. İhsan KAYA
5
Kazanç Matrisi
*
Oyun problemlerinde oyuncuların bütün stratejilerine karşılık gelen
kazanç değerleri bir matris şeklinde gösterilir ve bu matrise Kazanç Matrisi
adı verilir.
İki–Kişili Sıfır–Toplamlı Bir Oyunun Kazanç Matrisi
Sütun Oyuncusunun Stratejisi
Strateji 1
Strateji 2
...
Satır
Oyuncusunun
Stratejisi
Strateji n
Strateji 1
a11
a12
...
a1n
Strateji 2
a21
a22
...
a2n
...
...
...
...
am2
...
amn
...
Strateji m
am1
Oyun Teorisi-Doç. Dr. İhsan KAYA
6
3
Örnek
* Bu oyunda her iki oyuncu aynı anda ya tek yada çift parmağını gösterir. Oyuna
başlamadan önce oyuncular birisi tek diğeri çift olmak üzere aralarında anlaşırlar.
Parmak sayılarının toplamı tek sayı olursa, yani oyuncular farklı sayıda parmak
gösterirlerse, oyunculardan birisi (örneğin satır oyuncusu) kazanır. Parmak
sayılarının toplamı çift sayı olursa yani oyuncular aynı sayıda parmak gösterilirse
diğer oyuncu (sütun oyuncusu) kazanır. Kazanan oyuncu kaybedenden 1 birim alır.
Tek–Çift Oyununun Kazanç Matrisi
Sütun Oyuncusu (ÇİFT)
1
2
Satır
Oyuncusu
(TEK)
1
2
–1
1
1
–1
Oyun Teorisi-Doç. Dr. İhsan KAYA
7
Örnek: Tek – çift gösterme ve tek – çift söyleme
oyunu
*
İki kişi arasında oynanan bir oyunda; oyuncular aynı anda hem bir ya da iki
parmak göstermekte, hem de “tek” ya da “çift” diye bağırarak rakibinin parmak
sayısını tahmin etmektedirler. Karşısındakinin parmak sayısını doğru tahmin eden
oyuncu her iki oyuncunun parmak sayılarının toplamı kadar puan kazanmakta, yanlış
tahminde bulunan oyuncu ise toplam parmak sayısı kadar puan kaybetmektedir. Her
iki oyuncu da doğru tahmin etmiş ya da her ikisi de bilememiş ise beraberlik söz
konusu olup oyuncular sıfır puan almaktadırlar. Bu oyun iki–kişili sıfır–toplamlı bir
oyun olarak modellenecektir.
Oyun Teorisi-Doç. Dr. İhsan KAYA
8
4
* Burada her iki oyuncu için kullanabilecek dört strateji vardır:
1nci strateji ; tek parmak gösterip “tek” söylemek (TT)
2nci strateji ; tek parmak gösterip “çift” söylemek (TÇ)
3ncü strateji; çift parmak gösterip “tek” söylemek (ÇT)
4ncü strateji; çift parmak gösterip “çift” söylemek (ÇÇ)
Kazanç Matrisi
Sütun Oyuncusu
1 (TT)
Satır
Oyuncusu
2 (TÇ)
3 (ÇT)
4 (ÇÇ)
1 (TT)
0
2
–3
0
2 (TÇ)
–2
0
0
3
3 (ÇT)
3
0
0
–4
4 (ÇÇ)
0
–3
4
0
Oyun Teorisi-Doç. Dr. İhsan KAYA
9
DENGE NOKTASI VE KARARLI OYUNLAR
SATIR OYUNCUSU; kendi stratejilerinin her biri için,
kazanabileceği minimum kazancı saptar ve bunlar arasından
maksimum değerli kazancın bulunduğu stratejiyi seçer,
SÜTUN
OYUNCUSU
ise;
her
bir
stratejisinden
kaybedebileceği maksimum değerleri saptar ve bu maksimum
kayıplar arasından minimum kaybın bulunduğu stratejiyi seçer.
Böylece her oyuncu; rakibi ne seçerse seçsin kendi stratejisi
ile belirlediği sonuçtan daha kötüsü ile karşılaşmamayı garanti
altına alır.
Oyun Teorisi-Doç. Dr. İhsan KAYA
10
5
DENGE NOKTASI VE KARARLI OYUNLAR
Denge Noktasına Sahip İki – Kişili Sıfır–Toplamlı Bir Oyunun
Satır Oyuncusuna Göre Kazanç Matrisi
Sütun Oyuncusunun Stratejisi
Strateji 1 Strateji 2 Strateji 3
Satır
Oyuncusunun
Stratejisi
Satır Minimumu
Strateji 1
4
4
10
4
Strateji 2
2
3
1
1
Strateji 3
6
5
7
5
6
5
10
Sütun Maksimumu
Oyun Teorisi-Doç. Dr. İhsan KAYA
11
Denge Noktası ve Kararlı Oyunlar
Sütun Oyuncusunun Stratejisi
Strateji 1
Strateji 2
Strateji 3
Satır Minimumu
Satır
Strateji 1
4
4
10
4
Oyuncusunun
Strateji 2
2
3
1
1
Stratejisi
Strateji 3
6
5
7
5
6
5
10
Sütun Maksimumu
•Satır oyuncusu 1nci stratejiyi seçerse; sütun oyuncusu mantıklı hareket
ederek kendisine en az kaybı verdirecek olan 1nci ya da 2nci stratejisini
kullanır ve 4 birim kaybeder (birinci satırdaki en küçük rakamlar), yani satır
oyuncusu 4 birim kazanır,
•2nci stratejiyi seçerse; sütün oyuncusu 3ncü stratejiyi seçer ve 1 birim
kaybeder,
•3ncü stratejiyi seçerse; sütun oyuncusu 2nci stratejiyi seçer ve 5 birim
kaybeder.
Oyun Teorisi-Doç. Dr. İhsan KAYA
12
6
Denge Noktası ve Kararlı Oyunlar
•Bu durumda satır oyuncusu hangi satırı seçerse seçsin o satırın en
küçük değerine eşit bir kazanç elde eder. (satır minimumları) Bu
değerler satır oyuncusunun garanti olan kazançlarıdır.
•O halde satır oyuncusu kendi kazancını maksimum yapmak
isteyeceği için, satır minimumları arasından maksimum olan değeri
elde etmek ister.
maks {4, 1, 5} = 5
satır oyuncusu 3ncü stratejiyi seçer.
Oyun Teorisi-Doç. Dr. İhsan KAYA
13
Denge Noktası ve Kararlı Oyunlar
Sütun Oyuncusunun Stratejisi
Strateji 1
Strateji 2
Strateji 3
Satır Minimumu
Satır
Strateji 1
4
4
10
4
Oyuncusunun
Strateji 2
2
3
1
1
Stratejisi
Strateji 3
6
5
7
5
6
5
10
Sütun Maksimumu
•Sütun oyuncusu 1nci stratejiyi seçerse; satır oyuncusu mantıklı hareket
ederek sütun oyuncusuna en fazla kaybı verdirecek olan 3ncü stratejisini
kullanır (birinci sütundaki en büyük rakam), yani satır oyuncusu 6 birim kazanır,
•2nci stratejiyi seçerse; satır oyuncusu 3ncü stratejiyi seçer ve 5 birim
kazanır,
•3ncü stratejiyi seçerse; satır oyuncusu 1nci stratejiyi seçer ve 10 birim
kazanır.
Oyun Teorisi-Doç. Dr. İhsan KAYA
14
7
Denge Noktası ve Kararlı Oyunlar
•Sonuçta sütun oyuncusu hangi sütunu seçerse seçsin o sütunun en
büyük değerine eşit bir kaybı olur (sütun maksimumları).
•Bu değerler sütun oyuncusunun kaybedeceği en büyük değerlerdir
(garanti olan kayıplarıdır).
•Bu durumda sütun oyuncusu kendi kaybını en düşük seviyede
tutmaya çalışacak, yani sütun maksimumları arasından minimum olan
değeri kaybetmek isteyecektir.
min {6, 5, 10} = 5
sütun oyuncusu 2nci stratejiyi
seçer.
Oyun Teorisi-Doç. Dr. İhsan KAYA
15
Denge Noktası ve Kararlı Oyunlar
Denge Noktasının Koşulu:
maks (satır minimumları)
= min (sütun maksimumları)
maksimin = minimaks
* Denge noktası öyle bir noktadır ki oyuncular tek taraflı olarak
stratejilerini değiştirirler ise durumlarında bir iyileşme söz konusu olmaz
(daha da kötüye gidebilirler).
* Denge noktasının bir diğer özelliği ise şöyle açıklanabilir: Bu nokta yer
aldığı satırdaki en küçük sayı ve yer aldığı sütundaki ise en büyük
sayıdır. Bu özellikleri gözlemek suretiyle denge noktasının olup olmadığı
incelenebilir.
* Denge noktasına sahip olan oyunlar kararlı oyun olarak adlandırılırlar.
Oyun Teorisi-Doç. Dr. İhsan KAYA
16
8
Denge Noktası ve Kararlı Oyunlar
Sütun Oyuncusunun Stratejisi
Satır
Oyuncusunun
Stratejisi
Strateji 2
Strateji 3
Strateji 1
4
4
10
4
Strateji 2
2
3
1
1
Strateji 3
6
5
7
5
6
5
10
Sütun Maksimumu
maksimin = minimaks = 5
*
Satır Minimumu
Strateji 1
v = 5
Saf Strateji : İki–kişili sıfır–toplamlı bir oyun denge noktasına
sahip ise oyunun optimal çözümüne göre her oyuncu oyun boyunca
yalnızca bir stratejisini kullanır, yani oyun saf stratejiler ile oynanır.
Bu stratejiler oyunun denge noktasını oluşturan satır ve sütundur.
*
Oyun Teorisi-Doç. Dr. İhsan KAYA
17
Denge Noktası ve Kararlı Oyunlar
Oyunun Değeri (v): Optimal çözümde satır oyuncusunun
kazanacağı ve sütun oyuncusunun kaybedeceği değere oyunun
değeri denir ve sıfır–toplamlı oyunlarda her iki oyuncu için bu
değer aynıdır.
Dengeli oyunlarda oyunun değeri denge noktasındaki kazanç
değerine eşittir.
Oyun Teorisi-Doç. Dr. İhsan KAYA
18
9
Üstünlük Stratejisi
 Bir oyuncunun herhangi bir i stratejisi her zaman (rakibin bütün hareket tarzlarına
karşı) en az diğer bir i stratejisinin sağladığı faydayı sağlıyor ve rakibin en az bir
stratejisi karşısında da i stratejisinden daha iyi bir fayda sağlıyor ise i stratejisi i
stratejisine göre üstündür denir ve i stratejisini alt eder (saf dışı bırakır).
 Alt edilen strateji kazanç matrisinden çıkarılarak bundan sonraki işlemlerde göz
önünde bulundurulmaz.
Sütun Oyuncusunun Stratejisi
Strateji 1
Strateji 2
Strateji 3
Strateji 1
Satır
Oyuncusunun Strateji 2
Stratejisi
Strateji 3
1
2
1
0
4
5
1
1
-1
Oyun Teorisi-Doç. Dr. İhsan KAYA
19
Örnek
•
Rakip iki otomobil firması kış dönemi satışlarını artırmak amacıyla reklam
faaliyetlerine başlamayı planlamaktadır. Reklam kampanyası 2 haftalık olarak
planlanmaktadır. Firmalar radyo veya televizyon olmak üzere iki ortam üzerinde
yoğunlaşmakta olup reklam ya her birinde birer hafta yayınlanacak, ya da her iki
hafta aynı ortamda yayınlanacaktır:
•
•
Strateji – 1: 1 hafta radyoda ve 1 hafta televizyonda reklam yayınlamak
•
Strateji – 2: 2 hafta radyoda reklam yayınlamak
•
Strateji – 3: 2 hafta televizyonda reklam yayınlamak
Reklam anlaşması reklam şirketi ile her firma arasında gizli olarak kalacağından
her firma kendi anlaşmasını yapmadan önce rakibinin hareket tarzını
bilmeyecektir. Buna göre her firma yöneylem araştırmacılarından, kendilerinin ve
rakip
firmanın
uygulayacağı
hareket
tarzına
göre,
bu
iki
haftanın
değerlendirilmesi ile ilgili olarak her kombinasyonda ne kadar müşteri
kazanacağını veya kaybedeceğini incelemelerini istemiştir.
Oyun Teorisi-Doç. Dr. İhsan KAYA
20
10
1
Sütun Oyuncusunun Stratejisi
Strateji 1
Strateji 2
Strateji 3
Strateji 1
Satır
Oyuncusunun Strateji 2
Stratejisi
Strateji 3
* Sütun
oyuncusunun
1
2
4
stratejisi yoktur.
1
0
5
* Satır oyuncusunun
1
1
üstün
bir
1nci stratejisi
3ncü stratejiye göre üstündür.
-1
2
* Satır oyuncusunun üstün bir stratejisi
1
2
3
1
1
2
4
* Sütun oyuncusunun
2
1
0
5
stratejileri 3ncü stratejiye göre üstündür.
yoktur.
1nci ve 2nci
Oyun Teorisi-Doç. Dr. İhsan KAYA
21
Oyun Teorisi-Doç. Dr. İhsan KAYA
22
3
1
2
1
1
2
2
1
0
4
1
1
2
1
2
5
1
1
1
(1, 1) noktası bir denge noktasıdır
maksimin = minimaks = 1
11
Kararsız Oyunlar
 Denge noktası bulunmayan iki – kişili sıfır – toplamlı oyunlar kararsız oyun
olarak adlandırılır.
 Kararsız oyunlarda oyuncular stratejilerinin olasılık dağılımını (her bir stratejinin
kullanılma olasılığını ya da oranını) saptayarak bu olasılıklara göre stratejilerini
kullanırlar. Satır oyuncusunun m adet stratejisi ve sütun oyuncusunun n adet
stratejisi varsa;
 xi = satır oyuncusunun i stratejisini kullanma olasılığı (oranı); (i=1, 2, ..., m)
 yj = sütun oyuncusunun j stratejisini kullanma olasılığı (oranı); (j=1, 2, ..., n )
xi ve yj olasılık olduğuna göre;
0  xi  1 (i=1, 2, …, m); 0  yj  1 ( j=1, 2, …, n)
1.
m
2.
n
x y
i 1
i
j 1
j
1
Oyun Teorisi-Doç. Dr. İhsan KAYA
23
Kararsız Oyunlar
Sütun Oyuncusu
Satır
Oyuncusu
Olasılık
y1
y2
...
Olasılık
Strateji
1
2
...
yn
n
x1
1
a11
a12
...
a1n
x2
2
a21
a22
...
a2n
...
...
...
...
...
...
xm
m
am1
am2
...
amn
 Satır oyuncusu x1, x2, ... , xm olasılıklarını, sütun oyuncusu da y1, y2, ... ,
yn olasılıklarını belirleyerek oyun planlarını oluştururlar.
 Bu (x1, x2, ... , xm) ve (y1, y2, ... , yn) olasılıklarına karma strateji adı
verilir ve orijinal stratejilerin her biri ise saf strateji olarak adlandırılır.
Oyun Teorisi-Doç. Dr. İhsan KAYA
24
12
Kararsız Oyunlar
 Karma stratejilerle oynanan bir oyunda satır oyuncusunun beklenen
kazancı (sütun oyuncusunun beklenen kaybı); her strateji
kombinasyonunun sağlayacağı ortalama kazanç değerlerini hesaplayıp
bütün kombinasyonlar için bu değerleri toplayarak bulunur.
 Buna göre;
 v = a11 x1 y1 + a12 x1 y2 + . . . + amn xm yn
m
n
V   aij xi y j
i 1 j 1
Oyun Teorisi-Doç. Dr. İhsan KAYA
25
Kararsız Oyunlar
Minimaks–Maksimin Teoremi:
 Karma stratejilerin belirlenmesinde de yine minimaks–maksimin kriteri
kullanılır. Satır oyuncusu maksimin kriterine göre minimum beklenen kazancını
maksimum yapan karma stratejiyi; sütun oyuncusu ise minimaks kriterine göre
maksimum beklenen kaybını minimum yapan karma stratejiyi seçer.
–
 Maksimin değerini V ile ve minimaks değerini V ile gösterelim. Buna göre denge
noktası bulunmayan iki – kişili sıfır – toplamlı bir oyunda optimal stratejiler
aşağıdaki teoreme göre bulunur ;
–
V = V = V(oyunun değeri)
eşitliğini sağlayan stratejiler optimal karma stratejilerdir.
Oyun Teorisi-Doç. Dr. İhsan KAYA
26
13
Grafik Çözüm Yaklaşımı
• Oyunculardan birisinin yalnızca iki stratejisi var ise (2x2, mx2 ve
2xn Boyutlu Oyunlar) o zaman grafik metodunu kullanarak
optimal karma stratejiler bulunabilir.
• Eğer her oyuncunun ikiden fazla stratejisi var ise (alt edilebilecek
bütün stratejileri çıkardıktan sonra) bu durumda ileride görüleceği
gibi oyun, bir doğrusal programlama modeli olarak yazılıp
çözülebilir.
Oyun Teorisi-Doç. Dr. İhsan KAYA
27
Grafik Çözüm Yaklaşımı
 Satır oyuncusunun iki stratejisi var ise karma stratejisi (x1, x2) olasılıkları
ile tanımlanır ve bu durumda x2=1–x1 olacağından tek değişken olan
x1’in optimal değerini bulmak gerekmektedir.
 Bunun için de öncelikle rakibin (sütun oyuncusu) her bir saf stratejisine
karşılık gelen kazancı x1’in fonksiyonu olarak çizilir ve bu grafikte
minimum kazancı maksimum yapan nokta, yani maksimin noktası
belirlenir.
 Sütun oyuncusu için çözüm yapılıyorsa bu sefer maksimum kaybı
minimum yapan nokta yani minimaks noktası bulunur.
Oyun Teorisi-Doç. Dr. İhsan KAYA
28
14
Sütun Oyuncusu
Satır
Oyuncusu
Olasılık
y1
y2
Olasılık
Strateji
1
2
x1
1
-2
2
X2 =1-X1
2
4
-3
Satır oyuncusunun
beklenen kazancı
5
4
Maksimin noktası
3
4–6x1
2
2
1
x1
0
1/4
–1
1/2
3/4
1.0
–3+5x1
–2
–2
–3
*
–4
Oyun Teorisi-Doç. Dr. İhsan KAYA
29
Sütun Oyuncusu
Satır
Oyuncusu
Olasılık
y1
y2
Olasılık
Strateji
1
2
x1
1
-2
2
X2 =1-X1
2
4
-3
Sütun oyuncusunun
beklenen kaybı
5
4
Minimaks noktası
4
3
2
2–4y1
1
0
1/4
1/2
3/4
1.0
y1
–1
–2
–3+7y1
–2
–3
*
–4
Oyun Teorisi-Doç. Dr. İhsan KAYA
30
15
Lineer Programlama Yaklaşımı
Satır Oyuncusunun Doğrusal Programlama Modeli
Maks v
a11 x1 + a21 x2 + ... + am1 xm  v
a12 x1 + a22 x2 + ... + am2 xm  v
...
...
...
...
a1n x1 + a2n x2 + ... + amn xm  v
x1 +
x2 + ... +
xm = 1
xi  0 (i=1, 2, … , m); v sınırsız
...
Sütun Oyuncusunun Doğrusal Programlama Modeli
Min w
a11 y1 + a12 y2 + ... + a1n yn  w
a21 y1 + a22 y2 + ... + a2n yn  w
...
...
...
...
...
am1 y1+ am2 y2+ ... + amn yn  w
y1 +
y2 +… +
yn = 1
yj 0 ( j=1, 2, … , n); w sınırsız
Oyun Teorisi-Doç. Dr. İhsan KAYA
31
Örnek


3 stratejinin söz konusu olduğu bir oyun için kazanç matrisi
aşağıdaki gibi elde edilmiştir:
B1
B2
B3
A1
3
-1
-3
A2
-2
4
-1
A3
-5
-6
2
Bu oyun için doğrusal programlama modellerini elde ediniz?
Oyun Teorisi-Doç. Dr. İhsan KAYA 32 / 41
32
16
Çözüm
B1


B2
B3
Satır Min
A1
3
-1
-3
-3
A2
-2
4
-1
-2
A3
-5
-6
2
-6
Sütun Mak
3
4
2
Oyun karma stratejili bir oyundur ve oyunun değeri -2 ile 2
arasında değişmektedir.
Bu oyun için doğrusal programlama modelleri aşağıdaki gibi
elde edilir:
Oyun Teorisi-Doç. Dr. İhsan KAYA 33 / 41
33
Çözüm

Satır oyuncusu için doğrusal programlama modeli:
Maks z=v
3x1  2 x2  5 x3  v
 x1  4 x2  6 x3  v
3 x1  x2  2 x3  v
x1  x2  x3  1.00
x1 , x2 , x3  0
v sınırlandırılmamış
Çözüm:
x1  0.3945
x2  0.3119
x3  0.2936
v  0.9083
Oyun Teorisi-Doç. Dr. İhsan KAYA 34 / 41
34
17
Çözüm

Sütun oyuncusu için doğrusal programlama modeli:
Min z=v
3 y1  y2  3 y3  v
2 y1  4 y2  y3  v
5 y1  6 y2  2 y3  v
y1  y2  y3  1.00
y1 , y2 , y3  0
v sınırlandırılmamış
Çözüm:
y1  0.3211
y2  0.0826
y3  0.5963
Oyun Teorisi-Doç. Dr. İhsan KAYA 35 / 41
35
Örnek
* İki kişi arasında oynanan bir oyunda oyuncular aynı anda elleri ile
taş, kağıt ya da makas işaretini gösterirler. Makas kağıda göre, kağıt
taşa göre ve taş ise makasa göre üstün olup, üstün olan işareti
gösteren oyuncu diğerinden 1 puan kazanır. Bu problemi iki – kişili sıfır
– toplamlı bir oyun olarak modelleyelim.
Sütun Oyuncusu
Satır
Oyuncusu
Strateji
Taş
Kağıt
Makas
Taş
0
-1
1
Kağıt
1
0
-1
-1
Makas
-1
1
0
-1
1
1
1
Sütun Maks.
Satır Min.
-1
Oyun Teorisi-Doç. Dr. İhsan KAYA
36
18
Örnek :
İki televizyon kanalı, 20:00–21:00 zaman dilimi süresince 100 milyon
kişilik izleyici kitlesini çekmek için rekabet halindedirler. İki kanal, bu
zaman diliminde yayınlayacakları programı aynı anda duyurmak
zorundadırlar. Her kanalın muhtemel seçenekleri ile her seçenek için
1nci kanalın izleyici sayısı (milyon olarak) tabloda verilmiştir.
Örneğin, her iki kanal filmi seçerse,
kazanç matrisi 35 milyon seyircinin 1nci
kanalı ve 100–35=65 milyon seyircinin
2nci
kanalı
tercih
edeceğini
göstermektedir.
İkinci Kanal
Western
Birinci
Kanal
Klasik
Komedi
Western
35
15
60
Klasik
45
58
50
Komedi
38
14
70
Oyun Teorisi-Doç. Dr. İhsan KAYA
37
Kazanç Matrisi:
İkinci Kanal
Birinci
Kanal
Satır Min.
Western
Klasik
Komedi
Western
35
15
60
Klasik
45
58
50
45
Komedi
38
14
70
14
45
58
70
Sütun Maks.
15
Oyun Teorisi-Doç. Dr. İhsan KAYA
38
19
İki–Kişili Sabit Toplamlı Olmayan Oyunlar
Örnek :
•
Firar eden ve bir soyguna karışan iki mahkum yeniden yakalanmış ve yeni
suçlarından yargılanmayı beklemektedirler. Suçlu olmalarına rağmen, savcı
onları mahkum ettirmek için yeterli delil olmadığını düşünmektedir. Bu yüzden
savcı mahkumları suçu itiraf etmeye ve diğeri aleyhinde tanıklık yapmaya
zorlamak için, her mahkuma şunu söyler:
•
“Eğer sadece biriniz itiraf eder ve arkadaşınız aleyhine tanıklık yaparsanız, inkar
eden kesinlikle 20 yıl hapis cezasına mahkum edilirken itiraf eden serbest kalır.
Her ikiniz de itiraf ederseniz, 5’er yıl hapse mahkum olursunuz. Hiç biriniz itiraf
etmezseniz, her ikiniz de önceki suçun devamı olarak 1’er yıl hapis cezası
alırsınız.”
•
Mahkumlar mahkeme önüne çıkıncaya kadar kesinlikle
görüşemeyeceklerdir. Buna göre mahkumlar ne yapmalıdır?
birbirleri
ile
Oyun Teorisi-Doç. Dr. İhsan KAYA
39
* Çözüm:
Burada
öncelikle
mahkumların
birbirleriyle
haberleşemediği
varsayılmaktadır. Savcının açıklamasına göre tarafların stratejileri ve
kazançları Tabloda gösterilmektedir. Hapis istenmeyen bir şey olduğu
için değerler matriste negatif olarak belirtilmiştir. Parantez içindeki ilk
rakam 1nci mahkumun, ikinci rakam ise 2nci mahkumun kazancını
göstermektedir.
İkinci Mahkum
Birinci
Mahkum
İtiraf
İnkar
İtiraf
(–5,–5)
(0,–20)
İnkar
(–20,0)
(–1,–1)
Oyun Teorisi-Doç. Dr. İhsan KAYA
40
20
İki–Kişili Sabit Toplamlı Olmayan Oyunlar
* Örnek :
Bir şehirdeki iki rakip lokantanın (A ve B) yıllık satış gelirleri toplamı 240
birimdir. Lokantalar gelecek yıl için reklam bütçelerini planlamaktadırlar.
Her iki lokanta da reklam için 6 veya 10 birim para ayırabilecektir. Eğer
birisi reklam için diğerinden daha fazla harcarsa, çok harcayan lokanta
toplam satış gelirinin 190 birimini elde edecektir. Her ikisi de aynı
miktarda harcarsa karı eşit olarak paylaşacaklardır. Her bir birim satış 0.1
birim kar bırakmaktadır. Diyelim ki her iki lokanta da net karını (satış geliri
– reklam harcamaları) maksimum yapmak istiyor. Bu oyun için denge
noktasını bulunuz.
Lokanta B
Lokanta A
10
6
10
(2, 2)
(9, –1)
6
(–1, 9)
(6, 6)
Oyun Teorisi-Doç. Dr. İhsan KAYA
41
* Örnek :
İki komşu ülke, silahlanma yarışı yüzünden yeni bir silah konusunda iki
strateji üzerinde düşünmektedirler: Yeni bir silah geliştirmek veya mevcut
durumu korumak. Bu problemin kazanç matrisi Tabloda olup, bu matris
silahın sadece bir ülke tarafından geliştirilmesi durumunda herhangi bir silah
geliştirmeyip mevcut durumu koruyan ülkenin işgal edilebileceği ve sonuçta
silah geliştiren ülke için 20 birimlik bir kazanç ve işgal edilen ülke için ise 100
birimlik bir kayıp oluşacağı varsayımına göre hazırlanmıştır. Ayrıca, yeni bir
silah geliştirmenin 10 birimlik bir maliyeti olduğu da diğer bir varsayım olarak
değerlendirilmektedir.
B Ülkesi
A Ülkesi
Yeni silah
geliştirmek
Durumu
korumak
Yeni silah
geliştirmek
(–10, –10)
(10, –100)
Durumu
korumak
(–100, 10)
(0, 0)
Oyun Teorisi-Doç. Dr. İhsan KAYA
42
21
Kaynakça

Wayne L. Winston, Operations Research: Applications and Algorithms,
Thomson, 2004

Hamdy A. Taha, Operations Research: An Introduction, Prentice Hall, 2000.

White, D.J., Operational Research, John Wiley &Sons, 1987.

Yöneylem Araştırması Ders Kitabı, 2012, KHO Yayınları.
Oyun Teorisi-Doç. Dr. İhsan KAYA 43 / 41
43
22
Download

YÖNEYLEM (HAREKAT) ARAŞTIRMASI (OPERATIONS