Çözümlü Problemler Matematik Olimpiyatları İçin Üçgenin Çemberleri İç Teğet Çember Çevrel Çember Dış Teğet çemberler LİSE MATEMATİK OLİMPİYATLARI İÇİN
Osman EKİZ
Üçgenin Çemberleri
Osman Ekiz
1. İç Teğet Çember
matematikolimpiyatmerkezi
Bir üçgeninin kenarlarına teğet olan çembere üçgenin iç teğet çemberi kısaca iç çemberi denir.
Bu çemberin merkezi üçgenin iç açıortaylarının kesim noktasıdır.
1. ABC üçgeninin iç çemberinin BC, CA, AB kenarlarına teğet olduğu noktalar sırasıyla D, E, F
olsun. AE = AF = u – a, BF = BD = u – b, CE = CD = u – c eşitlikleri mevcuttur.
Çözüm: AF = x olsun. Bu durumda BF = BD = c – x, CD = CE = a – c + x olup AE = b – a + c
– x olacaktır. AF = AE eşitliğinden x = b – a + c – x olup 2x = b – a + c = u – a olur. Benzer şekilde diğer eşitlikler de kanıtlanabilir.
2. ABC üçgeninin iç teğet çemberi AC ve BC kenarlarına M ve N’de teğet olup merkezi I’dır.
AI  MN = P ise AP  BP olduğunu gösteriniz.
A
M
I
P
B
N
C
Çözüm: CM = CN olduğundan m(CNM) = 900 – m(C) / 2
olur. Ayrıca m(AIB) = 900 + m(C) / 2 olduğundan m(BIP) = 900 – m(C) / 2 dir. m(CNM) =
m(BIP) eşitliği BIPN’nin kiriş dörtgeni olduğunu gösterir. Dolaysı ile m(BPI) = m(BNI) = 900
olup AP  BP’dir.
3. ABC üçgeninin iç çember merkezi I olup BC ve CA’ya D sırasıyla D ve E’de teğettir. AB ve
AC kenarlarının orta noktaları sırasıyla K ve L olsun. BI’nın DE ile KL’nin kesim noktasından
geçtiğini gösteriniz.
Çözüm: BI  DE = P olsun. 2 den m(BPA) = 90 olup AK = KB olduğundan AK = KB = KP
olur.Bu durumda m(PBD) = m(PBK) = m(BPK) olup PK // PC’dir. KL // BC olduğu göz önüne
alınırsa P noktası KL ile DE’nin kesim noktası olmalıdır.
Üçgenin Çemberleri 3. ABC bir üçgen olmak üzere BC üzerinde bir D noktası alınsın C, B ile D arasında olmak
üzere ABD ve ACD üçgenlerinin iç çemberlerinin kesim noktaları P ve Q olsun. PQ’nun sabit
bir noktadan geçtiğini gösteriniz.
A
Q
P
M C N
B
Y d
L
D
matematikolimpiyatmerkezi
K
X
Çözüm: ABD ve ACD’nin iç çemberleri BD’ye M ve N’de,, AD’ye K ve L’de teğet olsun. Bu
durumda KM // PQ // LN olp PQ’nn KM ve LN’ye uzaklıkları eşittir. (*). AB, AC, AD’nin orta
noktalarını birleştiren doğruya d diyelim. KM  d = X ve LN  d = Y olsun. p-xx’den X ve Y
noktaları ABC ve ACD açılarının açıortaylarının d’yi kestiği noktalardır. (*)’dan dolayı PQ,
XY’nin orta noktasından geçer.
4. ABC üçgeninin iç çemberinin BC, CA, AB kenarlarına teğet olduğu noktalar sırasıyla D, E, F
ve çemberin merkezi I olsun. BI ve CI, EF’yi sırasıyla P ve Q’da kessin. PIQ üçgeninin çevrel
çemberinin merkezi O ise O, I, D noktalarının doğrusal olduğunu gösteriniz.
R
A
O
E
P
Q
F
B
I
D
C
Çözüm: BQ  CP = R olsun. 2 den BR  CQ ve CR  BP olur. Bu durumda I noktası BRC üçgeninin diklik merkezi olup RI  BC olur. ID  BC olduğundan RI, D noktasında geçer. Ayrıca
PIQ üçgeninin çevrel çember merkezi O noktası RI’nın orta noktası olduğundan O, I, D noktaları doğrusaldır.
4. ABC dik üçgeninde m(A) = 900 ve üçgeninin iç teğet çemberi AC, BC ve AB kenarlarına sırasıyla M, N ve S’de teğet olup merkezi I’dır. BI  MN = P ve SP  AC = Q ise CQ = SI olduğunu gösteriniz.
2
Üçgenin Çemberleri C
Q
N
P
M
A
matematikolimpiyatmerkezi
I
B
S
Çözüm: ASIM karedir. 2 den m(APB) = 900 olup ASIM karesinin çevrel çemberi P’den geçer.
Bu durumda m(MPQ) = m(A) = 900 dir CI  MN olduğundan QS // CI olur. IS  AB olup IS //
AC olacağından CQSI paralelkenar olup CQ = SI dır.
5. ABC üçgeninin iç teğet çemberi AC ve BC kenarlarına M ve N’de teğet olup merkezi I’dır.
AI  MN = P ve BI  MN = Q olduğuna göre MP.IA = BC.IQ olduğunu gösteriniz.
A
M
L
Y
Q
I
P
B
N
Çözüm: 2 den m(AQB) = 90o olup m(BAQ) = 900 –
C
m( B )
olur. Bu durumda m(IAQ) = 900 –
2
C
m( B) m( A)
m (C )
–
=
dir. Buradan IQ = AI. sin olacaktır.
2
2
2
2
İç çember AB’ye L’de teğet olmak üzere ML’nin orta noktası Y olsun. m(NMC) = 900 –
m (C )
2
m( B )
dir. Bu durumda MYP dik üçgeninde MP =
2
2
2
B
A
A
B
MY. sin dir. MY = MI.sinMIA = r. cos olduğundan MP = r. cos sin olur.
olduğundan m(MPY) = 900 –
2
m (C )
–
m( A)
2
=
2
2
3
Üçgenin Çemberleri BC = BN + NC = r( cot
B
2
)+
cot
C
2
) olup MP : BC = (cos A/2)/( sin B/2 (cot B/2 + cot C/2) )
olacaktır. Buradan MP/(BC sin C/2) = ( cos A/2 )/( cos B/2 sin C/2 + sin B/2 cos C/2) = cos
A/2 /sin(B/2 + C/2) = 1 olup MP = BC.sin C/2 olur. AIQ dik üçgeninde sin
C
2

IQ
IA
olup MP.IA
matematikolimpiyatmerkezi
= BC.IQ olacaktır.
6. ABC dik üçgeninde m(A) = 900 ve üçgeninin iç teğet çemberi AC, BC ve AB kenarlarına sırasıyla M, N ve S’de teğettir. S’den MN’ye inilen dikme ayağı P ise m(BPS) = 450 olduğunu
gösteriniz.
C
N
P
M
A
B
S
Çözüm: CN = CM ve BN = BS olduğundan m(CNM) = 900 – m(C/2) ve m(BNS) = 900 –
m(B/2) olur. Bu durumda m(PNS) = 450 olacağından PNS ikizkenar dik üçgen olup PN = PS
olur. Bu durumda PSBN deltoit olup PB, NPS açısını ortalar.
7. ABC üçgeninin iç çemberinin BC, CA, AB kenarlarına teğet olduğu noktalar sırasıyla D, E, F
ve iç çemberin merkezi I olsun. D’den EF’ye inilen dikme ayağı K ise FK : EK = BF : CE olduğunu gösteriniz.
A
E
K
F
B
I
D
C
Çözüm: m(AEF) = 900 – m(A/2) ve m(DEC) = 900 – m(C/2) olduğundan m(KED) = 900 –
m(B/2) olur. m(IBD) = m(B/2) olduğundan BID ve DEK dik üçgenleri benzer olup
BD
ID

DK
EK
4
Üçgenin Çemberleri olur. Benzer şekilde CID ve DFK dik üçgenleri benzer olup
larsak
FK
EK

BD
CD

BF
CE
CD
ID

DK
FK
olur. Bu eşitlikleri oran-
dir.
A
A2
E
I
B
H
M
A1
C
M1
matematikolimpiyatmerkezi
8. Çeşitkenar ABC üçgeninin iç çember merkezi I ve yarıçapı r olmak üzere BC’nin orta noktası
M olsun. AH yükseklik olmak üzere MI  AH = E ise AE = r olduğunu gösteriniz.
Çözüm: İç çemberin BC’ye teğet olduğu nokta A1 olsun. A1A2 çemberin çapı olmak üzere AA2
 BC = M1 olsun. P-xx’den BA1 = CM1 olup BC’nin orta noktası M olduğundan A1M = MM1
olacaktır. IA1 = IA2 olduğu göz önüne alınırsa IM // A2M1 olur. AH // A1A2 olduğundan AEIA2
paralelkenar olup AE = IA2 = r olacaktır.
9. ABC üçgeninde CH yükseklik olup ACH ve BCH açılarının açıortayları sırasıyla CM ve CN
olsun. CMN çemberi ile ABC üçgeninin iç teğet çemberinin merkezi çakışık ise AC + BC = AN
+ BM olduğunu gösteriniz.
C
E
F
I
A
M HD
N
B
Çözüm: ABC üçgeninin iç teğet çember merkezi I ve AB, BC, CA kenarlarına teğet olduğu
noktalar sırasıyla D, E, F olsun. Bu durumda ID = IE = IF ve IC = IM = IN olduğundan MID,
NID, CIE ve CIF üçgenleri eştir. Dolaysı ile m(MIN) = m(FIE) olur. m(MIN) = 2.m(MCN) =
m(FCE) olur. Bu durumda m(MIN) = m(FCE) = 90 olacaktır.
5
Üçgenin Çemberleri ACB dik üçgeninde CM ACH açısının açıortayı olduğundan 2.m(MCH) = m(ACH) = m(B)
m( B )
olup m(BCM) = 90 –
olur. Bu durumda BC = BM olur. Benzer şekilde AC = AN olup
2
AC + BC = AN + BM olur.
A
P
B1
C1
K
B
C
A1
matematikolimpiyatmerkezi
10. ABC üçgeninin iç çemberinin BC, CA, AB kenarlarına teğet olduğu noktalar sırasıyla A1, B1,
C1’dir. C1K iç çemberin çapı olmak üzere A1K  B1C1 = P ise CP = CB1 olduğunu gösteriniz.
Çözüm: C1B1 üzerinde alınan P1 noktası için CP1 // AB olsun. Bu durumda m(B1CP1) = m(A)
ve m(CB1P1) = 900 – m(A/2) olduğundan CP1 = CB1 olacaktır. CB1 = CA1 olduğu göz önüne
alınırsa m(P1CA1) = 2. m(C1B1A1) = 1800 – m(B) olup m(CA1P1) = m(B/2) olur. m(BA1C1) = 90
– m(B)/2 ve m(C1A1B1) = 90 olduğundan m(CA1P) = m(B)/2 olur. Bu durumda A1K, P1 noktasından geçer. Dolayısı ile P ile P1 noktaları çakışık olup CP = CP1 = CB1
11. ABC üçgeninin iç teğet çemberi BC, CA, AB kenarlarına sırasıyla D, E, F ‘de teğettir. AD
çemberi X’de kesmek üzere AX = XD olsun. BX ve CX çemberi sırasıyla Y ve Z’de kestiğine
göre FY = EZ olduğunu gösteriniz.
A
X
E
F
B
Z
Y
D
C
Çözüm: XEZD harmonik dörtgen olduğundan XE.DZ = EZ.XD olup AX = XD olduğundan
XE.DZ = EZ.AX olur. Bu durumda EZ : DZ = EX : AX olup m(AXE) = m(EZD) olduğundan
EZD  EXA’dır. Buradan m(DEZ) = m(AEX) olacaktır. Ayrıca m(AEX) = m(XDE) olduğundan m(XDE) = m(EDZ) olup EZ // XD’dir.
Benzer şekilde FY // XD olduğu gösterilebilir. Bu durumda FY // EZ olup FY = EZ olacaktır.
6
Üçgenin Çemberleri 12. ABC
C üçgenininn iç teğet çeemberinin merkezi
m
olaan I noktasınndan geçenn bir doğru AB
A ve AC
kenarlarrını sırasıylla D ve E’dde kessin. BDEC
B
kirişşler dörtgenni ise DE = DB + EC olduğunu
gösterinniz.
A
L
K
E
I
D
B
N
M
R
C
matematikolimpiyatmerkezi
Çözüm: İç teğet çeember BC, CA, AB kennarlarına sırrasıyla M, L,
L K’da teğet olsun. I’d
dan geçen
AC ve AB’ye
A
paraalel doğrularr BC’yi sıraasıyla R ve N’de
N
kessinn. Bu durum
mda BDEC kiriş
k
dörtgeni ve IR / AC oldduğundan m(ECB)
m
= m(EDA)
m
ve m(ECB) = m(IRM) oluup buradan BRID kiriş dörtggeni olup BI
B açıortay olduğundann ID = IR olacaktır.
o
m
m(IRM)
=m
m(EDA) olu
ur. Bu durumda IKD
I
ve IMR
R dik üçgennleri eş oluup ID = IR ve
v DK = MR’dir.
M
Ayrrıca IC açıortay olduğundan IR = CR ollmalıdır. Beenzer şekildde BN = IN = IE ve MN
N = LE olur. Buradan
M = EL + EC
E = MR + RC = KD + ID
CL = CM
BM = BK
B = BD + DK = BN + MN = BD
D + KD = LE
E + IE
olup eşiitlikleri taraaf taraf toplaarsak EL + EC + KD + BD = KD
D + ID + IE + LE olup EC + BD
= ID + IE
I = DE dirr.
13. ABC
C üçgenininn iç çemberrinin merkeezi I olup içç çember BC
B kenarınaa T’de teğetttir. T’den
geçen IA
A’ya paraleel doğru iç çemberi
ç
S’dde kessin. İçç çemberin S’deki
S
teğetti AB ve AC
C kenarlarını sıraasıyla C1 vee B1’de kesttiğine göre ABC üçgen
ni ile AB1C1 üçgenleriinin benzer olduğunu
gösterinniz.
Çözüm: AI ile BC
C’nin kesim
m noktası K olmak üzere m(STB) = m(AKB)) = m(C) +
m( A)
’dir.
2
Ayrıca m(STB)
m
= m(TSC
m
1)’diir.
BTSC1 dörtgenindde m(SC1B) = 360 – (m(B) + m((BTS) + m((TSC1)) oluup m(SC1B)) = 180 –
m(C) ollup m(AB1C1) = m(C) olur. Benzeer şekilde m(AB
m
ğu gösterileb
bilir.
1C1) = m(B) olduğ
7
Üçgenin Çemberleri 14. Dar açılı ABC üçgeninde AA1 ve CC1 yüksekliktir. AA1C ve AC1C üçgenlerinin merkezleri
sırasıyla Q ve P olsun. QP’nin AB ve BC’yi kestiği noktalar sırasıyla X ve Y ise BX = BY olduğunu gösteriniz.
A
Q
C1
P
B
A1
C
Y
matematikolimpiyatmerkezi
X
Çözüm: m(APC) = m(AQC) = 135 olduğundan APQC kirişler dörtgenidir.
m(BXY) = m(BAP) + m(APX) = m(BAP) + m(ACQ)’dur.
m(BYX) = m(BCQ) + m(CQY) = m(BCQ) + m(CAP)’dir.
m(BAP) = m(CAP) ve m(ACQ) = m(BCQ) olduğundan m(BXY) = m(BYX) olu BX = BY
olur.
15.[IMO 1998]. ABC üçgeninin iç çemberi AB, BC, CA kenarlarına sırasıyla K, L, M’de teğet
olup merkezi I’dır. B’den geçen KL’ye paralel bir doğru MK ve ML’yi sırasıyla R ve S’de kessin. RIS açısının dar açı olduğunu gösteriniz.
S
B
R
L
K
P
A
I
Q
C
M
Çözüm: m(RBK) = m(BKL) = m(BLK) = m(SBL) olup BI’nın açıortay olduğu göz önüne alınırsa BI  RS olur. AI  KM = P ve CI  ML = Q olmak üzere KM  AI, KP = MP ve CI 
ML ve MQ = LQ’dur. Bu durumda RBIP ve SBIQ kirişler dörtgeni olur.
m(RIS) = m(RMS) + m(IRM) + m(ISM)
= 90 – m(B)/2 + m(IBP) + m(IBQ)
= 90 – m(B)/2 + m(PBQ)’dur.
(1)
8
Üçgenin Çemberleri KBM üçgeninde BK < BM ve BP kenarortay olduğundan m(MBP) < m(MBK)/2’dir Benzer
şekilde m(MBQ) < m(MBL)/2 olup taraf tarafa toplarsak m(PBQ) < m(B)/2 (2) olur.
(1) ve (2)’den m(RIS) < 90 olur.
matematikolimpiyatmerkezi
16. Dar açılı ABC üçgeninde AB > AC olup AH yüksekliktir. AH’in orta noktası M ve üçgenin
iç çemberinin BC’ye teğet olduğu nokta D olmak üzere DM, iç çemberi tekrar N’de kessin.
m(BND) = m(CND) olduğunu gösteriniz.
17. Bir üçgenin alanı ve çevresini aynı oranda bölen doğrunun iç çemberin merkezinden geçtiğini gösteriniz.
18. ABC üçgeninde BC’nin orta noktası M olmak üzere AM, iç çemberi K ve L’de kessin. K ve
L’den geçen BC’ye paralel doğrular iç çemberi X ve Y’de kessin. AX ve AY, BC’yi P ve Q’da
kestiğine göre BP = CQ olduğunu gösteriniz.
19. ABC üçgeninin BC, CA, AB kenarları üzerinde sırasıyla alınan A1, B1, C1 noktaları için AC1
= AB1, BA1 = BC1, CA1 = CB1 ise A1, B1, C1 noktalarının ABC üçgeninin iç teğet çemberinin
kenarlara teğet olduğu noktalar olduğunu gösteriniz.
20. ABC üçgeninde CAB açısını açıortayı AM olup ABM ve AMC üçgenlerinin iç teğet çemberlerinin yarıçapları sırasıyla r1 ve r2 olsun. İspatlayınız ki; r1 = r2 olması için gerek ve yeter
şart ABC üçgeninin ikizkenar olmasıdır.
21. ABC üçgeninin iç çemberi kenarlara D, E, F’de teğettir. İç çember üzerinde alınan herhangi
bir K noktası için K noktasının DEF üçgeninin kenarlarına olan uzaklıkları toplamı d olsun. KA
+ KB + KC > 2d olduğun gösteriniz.
22. ABC üçgeninin iç çember merkezi I’dır. İç çemberin kenarlardan farklı herhangi bir teğeti d
olmak üzere d doğrusu üzerinde seçilen A1, B1, C1 noktaları için AIA1 = BIB1 = CIC1 = 90 ise
AA1, BB1, CC1’in noktadaş olduğunu gösteriniz.
23. ABC üçgeninin iç çemberi BC, CA, AB kenarlarına sırasıyla D, E, F’de teğettir. EF, FD, DE
doğru parçaları üzerinde sırasıyla M, N, P noktaları seçilsin. Gösteriniz ki; “AM, BN, CP
noktadaştır ancak ve ancak DM, EN, FP noktadaştır.”
9
Üçgenin Çemberleri 24 [MOP1997]. ABC üçgeninin iç çemberi BC, CA, AB kenarlarına sırasıyla D, E, F’de teğettir. E’den geçen AB’ye paralel doğru DF’yi Q’da, D’den geçen AB’ye paralel doğru EF’yi T’de
kessin. CF, DE ve QT’nın noktadaş olduğunu gösteriniz.
matematikolimpiyatmerkezi
25. ABC üçgeninin iç çemberi BC, CA, AB kenarlarına sırasıyla D, E, F’de teğettir. Üçgenin iç
bölgesinde alınan herhangi bir P noktası için PA, PB, PC, iç çemberi sırasıyla X, Y, Z’de kessin.
DX, EY, FZ’nin noktadaş olduğunu gösteriniz.
26[Macar İsrail 2001]. ABC üçgeninin iç çember merkezi I olup AC ve AB’nin orta noktaları
sırasıyla B1 ve C1’dir. B1I ve C1I, AB ve AC’yi sırasıya C2 ve B2’de kessin. A(ABC) =
A(AB2C2) ise m(BAC) = ?
27. ABC üçgeninin iç çember merkezi I ise 3(IA2 + IB2 + IC2)  AB2 + BC2 + CA2 olduğunu
gösteriniz.
28. ABC üçgeninin iç çember merkezi I olup BC, CA, AB kenarlarına sırasıyla D, E, F’de teğettir. AI  EF = K, ED  KC = L ve DF  KB = M ise LM // BC olduğunu gösteriniz.
29. ABC üçgeninin iç teğet çemberi üzerinde bir M noktası alınsın.
a) MA2 + MB2 + MC2 ifadesini en küçük yapan M noktasını bulunuz.
b) MA2 + MB2 + MC2 ifadesini en büyük yapan M noktasını bulunuz
30. ABC üçgeninin iç çemberinin BC, CA, AB kenarlarına teğet olduğu noktalar sırasıyla D, E,
F ve çemberin merkezi I olsun. [BF] üzerinde alınan bir P noktasından iç çembere çizilen teğet
ile AC, Q noktasında kesişsin. m(PIB) = m(QIC) olduğunu gösteriniz
31. ABC üçgenin iç çember merkezinden geçen BC’ye paralel doğru AB ve AC’yi sırasıyla P
ve Q’da kessin. PQ = BP + CQ olduğunu gösteriniz.
32. ABC üçgeninin iç çember merkezi I’dır. BC üzerinde A1 ve A2 noktaları, AC üzerinde B1
ve B2 noktaları, AB üzerinde C1 ve C2 noktaları alınsın. AI = A1I = A2I, BI = B1I = B2I, CI =
C1I = C2I olmak üzere A1A2 + B1B2 + C1C2 = Ç(ABC) olduğunu gösteriniz.
10
Üçgenin Çemberleri 33. ABC üçgeninin iç çember merkezi I’dır. AB ve AC kenarları üzerinde sırasıyla alınan X ve
Y noktaları için BX.AB = IB2 ve CY.AC = IC2 dir. Eğer X, I, Y doğrusal ise m(A) = 60 olduğunu gösteriniz.
matematikolimpiyatmerkezi
34. Bir dik üçgende iç çemberin merkezi dik açının bulunduğu köşe ile hipotenüsün orta noktasına eşit uzaklıkta ise bu üçgenin açılarını bulunuz.
35. ABC üçgeninin iç teğet çemberi BC, CA, AB kenarlarına sırasıyla D, E, F noktalarında teğet
olsun. AD, BE, CF’nin noktadaş olduğun gösteriniz.
A
x
x
F
y
B
y
E
Ge
D
z
z
C
Çözüm: AF = AE = u – a, BF = BD = u – b ve CF = CE = u – c’dir.
u a u b u c
.
.
u b u c u a
AF BD CE
.
.
FB DC EA
= 1 olup seva bağıntısının karşıtı gereğince AD, BE, CF noktadaştır.
=
Tanım. ABC üçgeninin iç teğet çemberi BC, CA, AB kenarlarına sırasıyla D, E, F noktalarında
teğet olsun. AD, BE, CF’nin kesim noktasına ABC üçgeninin Gergonne Noktası denir. “Ge” ile
gösterilir.
36. ABC üçgeninde içteğet çemberin merkezi, Gergonne noktası ve A noktası doğrusal ise üçgen ikizkenar olduğunu gösteriniz.
Çözüm: A, I ve Gergonne noktasının birleştiren doğru BC’yi D’de kessin. BD = u – b, CD = u
– c ve AD açıortay olduğundan BD =
ab
bc
, CD =
ac
bc
olup
u b b

uc c
olur. Buradan uc – bc =
ub – bc olup b = c olur.
37. ABC üçgeninin Gergonne noktası Ge olmak üzere
AGe
a(u  a)

DGe (u  b)(u  c)
olduğunu gösteriniz.
Çözüm: ABC üçgeninin iç teğet çemberi BC, CA, AB kenarlarına sırasıyla D, E, F’de teğet olsun. AF = AE = u – a, BF = BD = u – b ve CD = CE = u – c olup ADC üçgeninde BE kesenine
göre Menaleus teoreminden
11
Üçgenin Çemberleri u b
u  c AGe


1
u  b  u  c u  a DGe
a (u  a)
AGe

olur.
DGe (u  b)(u  c)
A
E
F
Ge
B
C
D
matematikolimpiyatmerkezi
38. ABC üçgeninin iç teğet çemberi BC, CA, AB kenarlarına sırasıyla D, E, F’de teğet olsun.
AD, BE ve CF’den herhangi ikisinin dik kesişmeyeceğini gösteriniz.
Çözüm: AD, BE, CF’nin kesim noktasına G diyelim. BGC, CGA, AGB açılarının hepsi geniştir. Kabul edelimki; m(BGC) ≤ 90° olsun. Bu durumda BC2 ≤ BG2 + CG2 olur. Diğer yandan
m(EGC)  90° ve m(FGB)  90° olacağından CE > CG ve BF > BG olur. BG2 + CG2 < BF2 +
CE2 = BD2 + DC2 < (BD + DC)2 = BC2 olur. Ancak m(BGC) ≤ 90° koşulu olduğundan BG2 +
CG2 > BC2 olmalıydı.
39. ABC üçgeninin iç teğet çemberi BC, CA, AB kenarlarına sırasıyla D, E, F’de teğet olsun.
AGe BGe CGe 4 R



Üçgenin Gergonne noktası Ge olmak üzere
olduğunu gösteriniz.
Ge D Ge E GeC
r
2. Çevrel Çember
Bir üçgenin üç köşesinden geçen çembere bu üçgenin çevrel çemberi, merkezine de çevrel
çember merkezi denir.
R
R
O
Çevrel Çember Merkezi
O
R
Çevrel Çember Merkezi
O
Çevrel Çember Merkezi
Eğer üçgen dar açılı ise O noktası üçgen içinde kalır, dik açılı ise hipotenüsün orta noktasıdır,
geniş açılı ise üçgenin dışında kalır. Eğer üçgen içinde bir noktanın üçgenin üç köşesine de
uzaklığı eşit ise, bu nokta üçgenin çevrel çember merkezi olan O noktasıdır.
12
Üçgenin Çemberleri O noktası, üçgenin kenar orta dikmelerinin kesişim noktasıdır. Hemen bunu kanıtlayalım:
A1
A2
H
O2
H3
H2
O
O1
O2
A3
O1
matematikolimpiyatmerkezi
O3
H1
O3
Sağdaki gibi bir A1A2A3 üçgeninin kenar orta noktaları O1, O2, O3 olsun. O1O2O3 üçgenine orta
üçgen dendiğini hatırlayınız. Orta üçgenin kenarları A1A2A3 üçgeninin kenarlarına paralel olduğundan O noktası aslında orta üçgenin diklik merkezidir.
39. Bir üçgenin bir köşesine ait yüksekliğin o köşeye ait açıortaya göre simetriği olan doğru
üçgenin çevrel çember merkezinden geçer.
A1
H
I
O
A3
A2
40. ABC üçgeninde AH yükseklik ve AD kenarortaydır. A’ya ait açıortay HAD açısını ortalıyor ise üçgenin dik üçgen olduğunu gösteriniz.
41. ABC üçgeninin iç çemberinin merkezi I olup AI, üçgenin çevrel çemberini A1 noktasında
kessin. A1B = A1I = A1C olduğunu gösteriniz.
A
I
B
C
A1
Çözüm: m(BIA1) = m(BAI) + m(ABI) = m(A/2) + m(B/2)
dir. m(IBA1) = m(IBC) + m(CBA1) = m(B/2) + m(A/2) olduğundan A1B = A1I olup benzer şekilde A1I = A1C’dir.
13
Üçgenin Çemberleri 42. Eşkenar olmayan ABC üçgeninde iç çember ve çevrel çemberin merkezleri I ve O olsun.
900 ≥ m(AIO) olması için gerek ve yeter şartın AB + AC ≥ 2.BC olduğunu gösteriniz.
A
B
C
D
matematikolimpiyatmerkezi
O
I
Çözüm: AI çevrel çemberi D’de kessin. P-xx’den DC = BI = DB’dir. ABDC kiriş dörtgeninde
Ptolemy teoreminden AB.DC + AC.BD = AD.BC olup (AB + AC)DI = AD.BC olur. Bu durumda DI 
AD.BC
AB  AC
dir. AOD ikizkenar üçgeninde 900 ≥ m(AIO) olduğundan AD ≥ 2.DI olup
AB + AC ≥ 2.BC’dir.
43. ABC üçgeninin çevrel çemberinin kısa olan BC yayı üzerinde bir P noktası verilsin. AP ile
BC’nin kesim noktası Q olsun. Bu durumda aşağıdaki ifadeleri ispatlayınız.
i.
1
PQ
iii.

AQ
AP
1
PC


1
PB
CQ.BQ
AP.BP
ii. AC2 = AQ.AP
44. ABC üçgeninin çevrel çemberinin merkezi O olup AO, BC’yi P’de kessin. AB ve AC kenarları üzerinde sırasıyla K ve L noktaları alınsın. PK = PB ve PL = PC ise KPA = LPA olduğunu
gösteriniz.
45. Dar açılı ABC üçgeninin çevrel çemberinin merkezi O olup A açısının açıortayı çevrel
çemberi A1’de kessin. A1 noktasından AB’ye inilen dikme ayağı P ve O noktasından AC ve
AB’ye inilen dikme ayakları sırasıyla E ve F ise 2.AP = AB + AC ve A1P = OE + OF olduğunu
gösteriniz.
14
Üçgenin Çemberleri A
O
P
B
G
E
C
D
Q
A1
matematikolimpiyatmerkezi
F
Çözüm: A1 noktasından AC’ye inilen dikme ayağı Q olsun. AA1 açıortay olduğundan A1P =
A1Q ve A1B = A1C olup BP = CQ olacaktır. AA1 açıortay olduğundan AP = AQ olur. AP = AB –
BP ve AQ = AC + CQ olup taraf tarafa toplarsak 2.AP = AB + AC’dir.
O’dan A1P’ye inilen dikme ayağına G diyelim. A1B = A1C olduğundan OA1  BC olacaktır. OA1
 BC = D dersek, m(BPA1) = m(BDA1) olduğundan m(B) = m(PBD) = m(BA1O) olur. Ayrıca
m(COE) = m(B) ve OC = OA1 olduğundan OGA1  CEO olup GA1 = OE olur. OFPG dikdörtgeninde OF = PG olduğundan A1P = OE + OF olur.
46. ABC üçgeninin A, B, C açılarına ait iç açıortayları çevrel çemberi sırasıyla A1, B1, C1 noktalarında kessin. Açıortayların kesim noktası I ise I noktasının A1B1C1 üçgeninin diklik merkezi
olduğunu gösteriniz.
A
C1
B1
I
C
B
A1
Çözüm: m(BB1C1) = m(BCC1) = m(C/2) olup benzer şekilde m(CC1B1) = m(B/2) ve m(CC1A1)
= m(A/2) olur. m(BB1C1) + m(CC1B1) + m(CC1A1) = m(C/2) + m(B/2) + m(A/2) = 900 olduğundan BB1  C1A1 olup benzer şekilde AA1  C1B1 ve CC1  B1A1 olur. Bu durumda A1B1C1
üçgeninin diklik merkezi I noktasıdır.
48. ABC üçgeninde A, B, C açılarına ait açıortaylar çevrel çemberi sırasıyla A1, B1 ve C1’de
kessin. AB ile B1C1, M’de, BC ile A1B1 ise N’de kesişsin. MN’nin ABC üçgeninin iç teğet çemberinin merkezinden geçtiğini gösteriniz.
15
Üçgenin Çemberleri A
C1
M
P
B1
I
C
N
A1
matematikolimpiyatmerkezi
B
Çözüm: ABC üçgeninin iç teğet çemberinin merkezi I ve B1C1  AC = P olsun. p-xx’den AI 
C1B1’dir. m(CC1B1) = m(B/2) = m(CBB1) = m(B1C1A) olduğundan AC1I üçgeni ikizkenar olup
MA = MI olur. AI, MAP açısının açıortayı olduğundan IMAP eşkenar dörtgen olacaktır. Bu durumda MI // AC olur. Benzer şekilde NI // AC olduğu gösterilebilir. Bu durumda M, I, N noktaları doğrusaldır.
49. ABC üçgeninde A, B, C açılarına ait açıortaylar çevrel çemberi sırasıyla A1, B1 ve C1’de
kessin. AA1 + BB1 + CC1 > BC + CA + AB olduğunu gösteriniz.
Çözüm: BB1 açıortay olduğundan m(ABB1) = m(CBB1) ve AB1 = CB1 olur. ABB1 ve CBB1 üçgeninde kosinüs teoreminden
AB12 = AB2 + AB12 – 2. AB1. AB.cosABB1
CB12 = CB2 + CB12 – 2. CB1. CB.cosCBB1
A
C1
B1
I
C
B
A1
olup bu eşitliklerden AB + BC = 2.BB1.cosABB1 < 2BB1 olacaktır. Benzer şekilde BC + AC <
2CC1 ve BA+ CA < 2AA1 olur. Bu eşitsizlikleri taraf taraf toplarsak AA1 + BB1 + CC1 > BC +
CA + AB olacaktır.
50. ABC üçgeninin A, B, C açılarına ait iç açıortayları çevrel çemberi sırasıyla A1, B1, C1 noktalarında kessin. Açıortayların kesim noktası I ise
IA.IC
IB1
 2r
ve
IA1 .IC1
 R olduğunu gösteriniz.
IB
16
Üçgenin Çemberleri 51. ABC üçgeninin çevrel çember merkezi O ve yarıçapı R, İç çember merkezi I yarıçapı r’dir. İ
çemberşn kenarlara teğet olduğu noktaların belirttiği üçgenin ağırlık merkezi K ise I’nın OK
OI 3R

olduğunu gösteriniz.
doğru parçası üzerinde ve
IK
r
sıyla D, E, F’de kestiğine göre
1
AD

1
BE

1
CF

2
AO
olduğunu gösteriniz
A
E
F
B
O
D
H
C
matematikolimpiyatmerkezi
52. ABC üçgeninde çevrel çemberin merkezi O olup AO, BO, CO karşılarındaki kenarları sıra-
Çözüm: AH yükseklik olsun. p-x’den m(BAD) = m(CAH) = 900 – m(C) olup m(ADH) = 900 –
m(C – B) olur. ADH ve ACH dik üçgenlerinde AD.cos(C - B) = AC.sin C olup sinüs teoreminden AD.cos(C - B) = AC.sin C = 2R sin B sin C olacaktır. Bu durumda
Benzer şekilde
2R
AD

2R
BE

2R
CF
2R
BE

ve
2R
CF
cos(C  B )
sin B.sin C
2R
AD

ifadeleri de bulunursa

cos( A  C )
sin C.sin A

cos( B  A)
sin A.sin B
1
1 
 1



 AD BE CF 
2 R.sin A.sin B.sin C 
= sinA.cos(B - C) + sinB.cos(C - A) + sinC.cos(A - B)
cos(C  B )
sin B.sin C
olur.
= 3 sin A.sin B.sin C + sinA.cosB.cosC + sin B cos A.cosC + sinC.cosA.cos B
= 3 sin A.sin B.sin C + sin (A + B) cosC + sin C cos A cos B = 3 sin A.sin B.sin C + sin C (cos
C + cos A cos B)
= 3 sin A.sin B.sin C + sin C (-cos(A + B) + cos A cos B)
17
Üçgenin Çemberleri = 4 sin A.sin B.sin C olup
1
AD

1
BE

1
CF

2
R

2
AO
olur.
Kanıt: Bir ABC üçgeni ve çevrel çemberini çizelim.
D
A

O
E

B

I


C
N
matematikolimpiyatmerkezi
53 [Euler Özdeşliği]. Bir üçgende iç çember merkezi (I) ile çevrel çember merkezi (O) arasındaki uzaklık (d) değeri R2 – d2 = 2Rr’dir.
AI doğrusu çemberi N de, NO doğrusu da D de kessin. DBN dik üçgen olur. Aynı yayı gören
çevre açılar gereği m(BAN) = m(BDN) =  ve m(CAN) = m(CBN) =  olur. O halde NB = NI
bulunur. OI doğrusu uzatılarak çemberi iki farklı noktada kesmesi sağlanırsa kuvvet teoremi
gereği AI·IN = R2 – d2 dir. AEI ile DBN üçgenlerinin benzerliğinden AI·BN = EI·DN olur. BN =
IN, EI = r ve DN = 2R olduğu göz önüne alınırsa AI·IN = 2Rr olur ki kanıt tamamlanmış demektir.
54. Geniş açılı olmayan bir üçgenin çevresinin çevrel çemberinin çapının iki katından daha büyük olduğunu gösteriniz.
55. ABC üçgeninin çevrel çemberinin ACB yayının orta noktası E’dir. AB’nin orta noktası C1
ve E’den AC’ye inilen dikme ayağı F ise C1F’nin ABC üçgeninin çevresini ortaladığını gösteriniz.
56. Dar açılı ABC üçgeninin çevrel çember merkezi O olup AO  BC = K’dır. AB ve AC kenarları üzerinde sırasıyla alınan L ve M noktaları için KL = KB ve KM = KC ise LM // BC olduğunu gösteriniz.
Çözüm: K’dan AB ve AC’ye inilen dikme ayakları sırasıyla X ve Y, AK ile ABC’nin çevrel
çemberinin kesim noktası T olsun. AT çap olduğundan m(ABT) = m(ACT) = 90 olup XK // BT
AX AK AY


ve YK // CT olup
dir. Bu durumda XY // BC olur. Ayrıca LX = BX ve MY =
AB AT AC
CY olduğundan LM // BC olur.
18
Üçgenin Çemberleri 57. ABC üçgeninin çevrel çemberi üzerinde bir M noktası alınsın.
a) MA2 + MB2 – 3.MC2 ifadesini en küçük yapan M noktasını bulunuz.
b) MA2 + MB2 – 3.MC2 ifadesini en büyük yapan M noktasını bulunuz.
matematikolimpiyatmerkezi
58 [Carnot]. ABC üçgenin çevrel çemberinin merkezi O yarıçapı R olsun. İç teğet çemberinin
yarıçapı R olmak üzere O noktasının üçgenin kenarlarına olan uzaklıklarının toplamı R + r olduğunu gösteriniz.
59. ABC üçgeninde 2.AB = AC + BC olduğuna göre ABC üçgeninin iç teğet çemberinin merkezi, çevrel çemberinin merkezi ile AC ve BC kenarlarının orta noktalarının çembersel olduğunu
gösteriniz.
C
Q
P
//
IO
A
/
R
//
B
Çözüm: AC ve BC’nin kenar orta noktaları sırasıyla P ve Q, ABC’nin çevrel çember ve iç teğet
çember merkezi sırasıyla O ve I olsun. OP  AC ve OQ  BC olduğundan m(C) + m(O) = 1800
yani m(O) = m(A) + m(B) olur. 2.AB = AC + BC = 2.AP + 2.BQ olup AB = AP + BQ olur. AB
kenarı üzerinde AP = AR olacak şekilde bir R noktası alırsak BQ = BR olacaktır. AI ve BI açıortay olduğundan PR  AI ve QR  BI olup QI = RI = PI olur. Bu ise PQR üçgeninin çevrel çemberinin merkezinin I olduğunu gösterir. Bu durumda 2.m(PRQ) = m(I)’dır. m(ARP) + m(BRQ)
+ m(PRQ) = 1800 olduğundan m(PRQ) = m(A + B) / 2 çıkar. Bu durumda 2. m(PRQ) = m(I) =
m(A) +m(B) olur. m(I) = m(O) olduğundan P, I, O, Q noktaları çemberseldir.
60. Dar açılı bir üçgenin iç teğet ve çevrel çemberinin yarıçapları toplamının ortanca kenarın
uzunluğundan küçük olduğunu gösteriniz.
Çözüm: ABC üçgenin kenar uzunlukları a ≥ b ≥ c olmak üzere Çevrel çemberinin merkezi O
olsun. O’dan BC, CA, AB kenarlarına inilen dikme ayakları sırasıyla D, E, F olsun. ABC üçgeninin alanını S ile gösterirsek
c.hc = 2S = a.OD + b.OE + c.OF ≥ c(OD + OE + OF) olup hc ≥ OD + OE + OF olur. Ayrıca b
> hc ≥ OD + OE + OF olduğundan istenen elde edilmiş olur.
19
Üçgenin Çemberleri 61. ABC üçgeninde a < b < c ve a, b, c aritmetik dizi olsun. B açısının açıortayı çevrel çemberi
B1’de kessin. İç çemberin merkezi I olmak üzere BI = IB1 olduğunu gösteriniz.
matematikolimpiyatmerkezi
62. ABC üçgenin iç çember merkezi I olup I noktasının BC üzerindeki dik izdüşümü D’dir.
DI’nın iç çemberi kestiği nokta E ve AE ile BC’nin kesim noktası F’dir. Üçgenin çevrel çember
merkezi O, yarıçapı R ve iç çember yarıçapı r olmak üzere IO // BC ise EF = 2(R – 2r) olduğunu gösteriniz.
63. ABC üçgeninin iç çember merkezi I ve çevrel çember merkezi O’dur. m(AIO) = 90 ve
m(CIO) = 45 ise AB : BC : CA = ?
64 [Balkan1986]. ABC üçgeninin iç çember merkezi I, yarıçapı r olup I’dan geçen bir doğru iç
çemberi D ve E’de, çevrel çemberi F ve G’de kessin. D noktası I ile F arasında ise DF.EG  r2
olduğunu gösteriniz.
65 [Balkan1996]. ABC üçgeninde çevrel çember merkezi O, yarıçapı R, ağırlık merkezi G ve iç
çember yarıçapı r ise OG OG  R  R  2r  olduğunu gösteriniz.
66[J.Balkan 1997]. ABC üçgeninin iç teğet çemberi kenarlara D, E, F’de teğettir. Üçgenin iç
2rp
çember yarıçapı r, çevrel çember yarıçapı R ve yarı çevresi p ise
 DE +EF +FD  p olduR
ğunu gösteriniz. Eşitlik hangi durumda geçerlidir?
67. ABC üçgeninin A açısına ait iç açıortayı çevrel çemberi D’de kessin. Üçgenin iç çember
merkezi I veBC’nin orta noktası M olmak üzere I noktasının M noktasına göre simetriği P’dir.
DP, ABC üçgeninin çevre çemberini tekrar N’de kestiğine göre AN, BN, CN’den ikisinin toplamının diğerine eşit olduğunu gösteriniz.
68. ABC üçgeninde O, I, H bilinen noktalar olsun. Üçgenin iç çemberi BC’ye K’da teğet olmak
üzere IO // BC ise AO // HK olduğunu gösteriniz
69 [Balkan2004]. Dar açılı ABC üçgeninin iç bölgesinde bir O noktası verilsin. Üçgeninin kenar orta noktalarını merkez kabul eden ve O noktasından geçen çemberlerin O’dan başka kesim
20
Üçgenin Çemberleri noktalarrı K, L, M’ddir. Gösteriniz ki; “ O noktası KL
LM üçgeniniin iç çembeer merkezid
dir ancak ve
ancak O noktası AB
BC üçgeninnin çevrel çeember merk
kezidir.”
matematikolimpiyatmerkezi
70. İkizzkenar olmaayan ABC üçgeninin iç
i çemberi BC, CA, AB
A kenarlarrına sırasıylla A1, B1,
C1’de teeğet olup merkezi
m
I’dırr. AIA1, BIB
B1, CIC1 üçg
genlerinin çevrel
ç
çembberlerinin merkezlerim
nin doğrrusal olduğuunu gösterinniz.
71. ABC
C üçgenin çevrel
ç
çembberi k ve BA
AC açısının açıortayı AD
A olsun. AD
D, BD ve k çemberine teğett olan çemberin AD’yee teğet olduğğu noktanın
n ABC üçgenin iç teğet çemberinin
n merkezi
olduğunnu gösteriniz.
72. Dar açılı ABC üçgeninde çevrel
ç
çembber merkezii O yarıçapı R, diklik m
merkezi H olmak üzere
OH doğğru parçası üzerinde
ü
alıınan herhangi bir P nok
ktası için PA
A + PB + PC
C  3R oldu
uğun gösteriniz.
3. Dış Teğet
T
Çemb
berler
Tanım. Bir üçgeniin bir kenarrı ile diğer iki kenarın
nın uzantılarrına teğet olan çemberre üçgenin
d
Üçgennin üç tane dış teğet çeemberi varddır. ABC üçgeninin BC
C, CA, AB
dış teğeet çemberi denir.
kenarlarrına teğet ollan dış teğet çemberlerrinin merkezzlerine sırassıyla Ia, Ib, Ic, yarıçaplaarına ra, rb,
rc diyeliim.
Ayrıca ABC
A
üçgenninde BC dooğrusu Ia, Ib, Ic merkezzli dış teğett çemberleree sırasıyla Xa, Xb, Xc
noktalarrında teğet olsun. Benzzer şekilde CA doğrusu Ia, Ib, Ic merkezli
m
dışş teğet çemb
berlere sırasıyla Ya, Yb, Yc noktalarında
n
a, AB doğruusu Ia, Ib, Ic merkezli dış
d teğet çem
mberlere sırrasıyla Za,
Zb, Zc noktalarında
n
a teğet olsunn. ABC üçgeninin iç çeember merkezine de I ddiyelim.
21
Üçgenin Çemberleri Bilindiği üzere bir köşe ile karşısındaki dış teğet çemberin merkezini birleştiren doğru iç çember merkezi olan I’dan geçer.
Verilen tanımlamalardan yol çıkarak çeşitli problemler çözelim.
matematikolimpiyatmerkezi
73. ABC üçgeninde AE açıortay olup AE’nin üçgenin çevrel çemberini kestiği nokta F olsun.
Üçgenin BC kenarına teğet olan dış teğet çemberinin merkezi Ia olmak üzere F noktasının BCIa
üçgeninin çevrel çemberinin merkezi olduğunu gösteriniz.
Çözüm: A, E, F, Ia doğrusaldır. m(FBC) = m(FAC) = m(FAB) = m(FCB) olduğundan BF =
CF’dir. BD dış açıortay olduğundan m(BIaA) = m(ACB) : 2’dir. AB’nin uzantısı üzerinde bir K
noktası alalım. 2.m(CBIa) = m(CBK) = m(A) + m(C) = 2.m(CBF) + 2. m(BIaA) olur. m(CBIa)
= m(CBF) + m(FBIa) olduğundan m(FBIa) = m(BIaA olup BF = FIa olur. FC = BF = FIa olduğundan F noktası BCIa üçgeninin çevrel çemberinin merkezi olur.
74. AZb = u olduğunu gösteriniz.
75. I noktasının IaIbIc üçgeninin diklik merkezi olduğunu gösteriniz.
Çözüm: AI, BAC açısının iç açıortayı ve AIb dış açıortayı olduğundan AIa  AIb olur. Bu durumda AIa , IaIbIc üçgeninin yüksekliğidir. Benzer şekilde BIb ve CIc’de yükseklik olup bu yüksekliklerin kesim noktası ABC üçgeninin iç çember merkezi olan I noktasıdır.
76. IaXa, IbYb ve IcZc’nin noktadaş olduğunu gösteriniz.
77. IaXa, IbYb ve IcZc’nin kesim noktasının IaIbIc üçgeninin çevrel çemberinin merkezi olduğunu
gösteriniz.
78. ABC üçgeninin dış teğet çember merkezleri Ia, Ib, Ic olmak üzere IaIbIc çevrel çember merkezi O1, yarıçapı R1’dir. ABC üçgeninin iç çember merkezi I, çevrel çember merkezi O ve yarıçapı
R ise R1 = 2R ve IO1 = 2.IO olduğunu gösteriniz.
79. ABC üçgeninin iç bölgesinde alına bir P noktasından BC, CA, AB kenarlarına inilen dikme
ayakları sırasıyla D, E, F’dir. Dış teğet çemberlerin merkezleri ise Ia, Ib, Ic’dir. AP2 + PD2 = BP2
+ PE2 = CP2 + PF2 ise P noktasının IaIbIc üçgeninin çevrel çemberinin merkezi olduğunu gösteriniz.
22
Üçgenin Çemberleri 80. AZc = CXa = u – b , BXa =AYb = u – c ve CYb = BZc = u – a olduğunu gösteriniz.
81. AXa, BYb ve CZc’nin noktadaş olduğunu gösteriniz.
u b u c u a
AZ c BX a CYb


 1 olur. Seva teoreminden AXa, BYb ve CZc


=
Z c B X a C Yb A u  a u  b u  c
noktadaştır.
matematikolimpiyatmerkezi
Çözüm:
Tanım. AXa, BYb ve CZc’nin kesim noktasına N diyelim. N noktasına ABC üçgeninin Nagel
Noktası denir. Köşeler ile N noktalarını birleştiren doğrulara ise üçgenin nagel kesenleri denir.
83. AN’nin BC’yi kestiği noktaya L ise
AN
a
olduğun gösteriniz.

NX a u  a
Çözüm:
ACXa
üçgeninde
BYb
kesenine
göre
BX a CYb AN u  c u  a AN
AN
a
olur.





 1 olup

BC Yb A NX a
a u  c NX a
NX a u  a
menaleus
teoreminden
84. ABC üçgeninde Gergonne noktası ile Nagel noktasını birleştiren doğru BC’ye paralel ise
b2  c2
a
olduğunu gösteriniz.
bc
Çözüm: Nagel noktası N ve Gergonne noktası Ge olmak üzere AN ve AGe’nin BC’yi kestiği
AGe
a (u  a)
AN
a
noktalar sırasıyla Xa ve D olsun.
ve

’dir. BC // NGe ise

Ge D (u  b)(u  c)
NX a u  a
a (u  a)
a
=
(u  b)(u  c)
ua
(u  a)2  (u  b)(u  c)
u 2  2ua  a 2  u 2  ub  uc  bc
a 2  u (2a  b  c)  bc
2a 2  (a  b  c)(2a  b  c)  2bc
2a 2  2a 2  a(b  c)  (b  c) 2  2bc
a(b  c)  (b  c) 2  2bc
23
Üçgenin Çemberleri a
b2  c2
olur.
bc
C
P
F
Q
D
I
E
A
B
Çözüm: F’den BC’ye çizilen dikme ile AI, P noktasında kesişsin. PF // DI olup
matematikolimpiyatmerkezi
85. ABC üçgeninin iç teğet çemberi BC kenarına D noktasında teğet olsun. İç çemberin merkezi I olmak üzere DI iç çemberi çemberi E noktasında kessin. AE  BC = F ise F noktasının
ABC üçgeninin A’nın karşısındaki dış çemberinin BC’ye teğet olduğu nokta olduğunu gösteriniz.
PQ PF

dır.
QI
DI
PF PA

yazarız. IE = ID olduğundan
EI
IA
PQ PF PF PA
PQ QI
PQ QI






olacaktır. ABQ üçgeninde BI açıortay ve
olQI
DI
EI
IA
PA IA
PA IA
duğundan BP, ABQ üçgeninin yani ABC üçgeninin de dış açıortayı olmalıdır. Bu durumda P
noktası ABC üçgeninin BC’ye teğet olan dış teğet çemberinin merkezi olup BC’ye teğet olduğu
nokta F’dir.
PA // IE olduğundan
86. ABC üçgeninde BC’ye teğet olan dış teğet çemberin merkezi Ia ve bu çember AB, BC, CA
kenarlarına sırasıyla E, D, F noktalarında teğettir. B’den IaC’ye inilen dikme ayağı H ise E, H,
F noktalarının doğrusal olduğunu gösteriniz.
A
B
D
E
C
H
F
Ia
Çözüm: IaE  AE ve BH  IaH olduğundan E, B, H, Ia çemberseldir. IaD  BC ve BE  IaE olduğundan D, B, E, Ia çemberseldir. Ayrıca BE = BD’dir. Bu durumda m(BHD) = m(BIaD) =
24
Üçgenin Çemberleri m(EIaB)) = m(BHE
E) ’dir. DH
HC ve FH
HC üçgenlerri eş olduğuundan m(D
DHC) = m(F
FHC)’dir.
o
0
m(BHD
D) + = m(DH
HC) = 90 olup
o
m(EHF
F) = 2.m(BH
HD) + 2. m((DHC) = 1880 olduğun
ndan E, H,
F doğruusaldır.
matematikolimpiyatmerkezi
87. ABC
C üçgenini AD iç açıoortaydır. Üççgeninin A köşesinin karşısındak
k
i dış teğet çemberinin
ç
merkezii Ia olsun. AI
A a çaplı çeembere Ka diyelim.
d
AB
BC üçgeninnin çevrel çeemberi ile Ka çemberi
A’dan başka
b
P’de kesişsin. APD
A
çembeeri BC’yi Q’da
Q
kessin. Q noktasınnın ABC üçgeninin Ia
merkezlli dış teğet çemberi
ç
üzeerinde olduğğunu gösterriniz.
A
üçgenninde iç çem
mber merkeezi I ve çevrrel çember merkezi O’’dur. Üçge88 [Russya 2003]. ABC
nin A’nnın karşısınddaki dığ teğğet çemberi AB, AC ve
v BC’ye sırasıyla
s
K, M, N’de teğet olsun.
KM’ninn orta noktaası ABC üçggeninin çevvrel çemberii üzerinde ise O, N, I’nnın doğrusaal olduğunu
gösterinniz.
89. ABC
C üçgenininn iç teğet çeemberi AC ve
v AB kenaarlarına sıraasıyla B1 ve C1’de dış teğet
t
çemberi bu kenarların uzantılarınaa sırasıyla B2 ve C2 no
oktalarında teğettir. BC
C’nin orta noktasının
n
B1C1 vee B2C2 doğruularına eşit uzaklıkta olduğunu gö
österiniz.
C ikizkenarr üçgenindee CA = CB’’dir. Üçgen
nin çevrel çeember merkkezi O ve C’nin
C
karşı90. ABC
sındaki dış teğet çeember merkezi M ise CM
C < 4.CO olduğunu gösteriniz.
g
Çözüm: ABC üçgeeninin çevreel çemberinnin CM, D’d
de kessin. ABC
A
üçgeninnin iç çemb
ber merkezi
I olsun. AI ve AM iç ve dış aççıortaylar olduğundan
o
IAM dik üççgendir. m((C) = m(B) =  olmak
üzere 2.m(IMA)
2
= m(B) = m((C) = 2.m(IA
AB) olup m(IMA)
m
= m(IAB)
m
= //2’dir.(*)
Ayrıca AC
A  AD ve
v AI  AM
M olduğundan /2 = m(CAI)
m
= m((MAD) olupp (*)’dan DM
D = DA <
CD olurr.
CM = CD
C + DM < 2CD = 4.C
CO olur.
25
Üçgenin Çemberleri 91. ABC üçgeninde iç çember merkezi I ve A’nın karşısındaki dış teğet çember merkezi IA’dır.
IIa ile BC ve ABC üçgeninin çevrel çemberinin kesim noktası sırasıyla A1 ve M’dir. MBA yayının orta noktası N olmak üzere NI ve NIa’nın üçgenin çevrel çemberini kestiği noktalar sırasıyla
S ve T olsun. S, T, A1’in doğrusal olduğunu gösteriniz.
matematikolimpiyatmerkezi
92 [Brasil 1982]. ABC üçgeninde m(B) = 2.m(A) = 4.m(C)’dir. Üçgenin iç çember merkezi I ve
B ve A’nın karşısındaki dış çember merkezleri sırasıyla Ib ve Ia’dır. ABC ve OIbIa üçgenlerinin
benzer olduğunu gösteriniz.
93 [Rusya 2002]. ABC üçgeninin BC kenarı üzerinde bir D noktası alınsın. A noktası ABD üçgeninin iç çember merkezi ile ABC üçgeninin B’nin karşısındaki dış çember merkezine uzaklığı
eşit ise AC = AD olduğunu gösteriniz.
94 [Yunanistan 1995]. ABC üçgeninde AB = AC olup BC üzerinde bir D noktası alınsın.
ABD üçgeninin iç çemberi ile ADC üçgeninin A’nın karşısındaki dış çemberi eştir. Bu çemberlerin yarıçaplarının ABC üçgeninin B köşesine ait yüksekliğinin dörtte biri olduğunu gösteriniz.
95 [Hırvatisan 2001] . ABC üçgeninde A’nın karşısındaki dış çemberi BC kenarına K’da, AB
ve AC’ye sırasıyla P ve Q’da teğettir. PQ’nun OB ve OC’yi kestiği noktalar sırasıyla M ve N
QN NM MP


olduğunu gösteriniz.
ise
AB BC CA
96. ABC üçgeninin BC ve AC kenarlarına teğet olan dı çemberlerinin merkezleri sırasıyla Ia ve
Ib’dir. ABC üçgenin çevrel çemberi üzerinde bir P noktası alınsın. IaCP ve IbCP üçgenlerinin
çevrel çember merkezleri sırasıyla M ve N ise MN’nin orta noktasının ABC üçgeninin çevrel
çemberinin merkezi olduğunu gösteriniz.
97. ABC üçgeninde BD ve CE iç açıortaylardır. ABC üçgeninin çevrel çember merkezi O ve
BC kenarına teğet olan dış çember merkezi Ia’dır. Bu çemberlerin kesim noktaları P ve Q ise
PQ // DE ve IaO  DE olduğunu gösteriniz.
98. ABC üçgeninin BC, CA, AB kenarlarına teğet olan dış teğet çemberlerinin merkezlerine sırasıyla Ia, Ib, Ic, yarıçaplarına ra, rb, rc diyelim. Üçgenin iççember merkezi I yarıçapı r ve çevrel
çember merkezi O yarıçapı R olsun. k = a, b, c olmak üzere IkO2 = R2 + 2Rrk olduğunu gösteriniz.
26
Üçgenin Çemberleri 4. Çeşitli Problemler
matematikolimpiyatmerkezi
99. O merkezli k çemberi üzerinde verilen sırada A, E, D, B noktaları alınsı. AB, k çemberinin
çapı olmak üzere ED ile AB’nin kesim noktası C olsun. OBD üçgeninin çevrel çemberi k1 olmak üzere OF, k1’in çapı olsun. CF ise k1’i tekrar G’de kesiyorsa A, O, G, E noktalarının çembersel olduğunu gösteriniz.
100. ABC üçgeninde A ve B’den geçen bir çember AC ve BC kenarlarını sırasıyla D ev E’de
kessin. AD’nin orta noktası F olmak üzere AB kenarı üzerinde alınan bir G noktası için FG 
AF BG
olduğunu gösteri
AC olsun. m(EGF) = m(ABC) olması için gerek ve yeter şartın
FC GA
niz.
101. AB çaplı yarım çemberin çapı üzerinde C noktası ve çember üzerinde P ve Q noktaları
verilsin. m(ACP) = m(BCQ) = b olsun. Verilen bir b açısı için PQ uzunluğunun C noktasının
seçiminden bağımsız olduğunu gösteriniz.
102. ABC üçgeninde AD ve BE iç açıortaylar olup ABC üçgeninin çevrel çemberi üzerinde
AG AB  AC
olduğunu gösteriniz.
alınan F ve G noktaları için AF // DE ve FG // BC ise

BG AB  BC
Çözüm: ABC üçgeninin kenar uzunlularına a, b, c dersek iç açıortay teoreminden CD 
CE 
ab
,
bc
ab
CE b  c

olup
(*) olur.
ac
CD a  c
27
Üçgenin Çemberleri AF // DE ve FG // BC olduğundan m(EDC) = m(AFG) = m(ABG)’dir Ayrıca m(AGB) =
AG EC

dir. (*) dan
m(ACB) olduğundan CED ve GAB üçgenleri benzer olur. Bu durumda
BG CD
AG AB  AC

olur.
BG AB  BC
matematikolimpiyatmerkezi
103. AB çaplı çemberin AB çapı üzerinde A ve B’den farklı bir K noktası alınsın. K dan geçen
bir kiriş çemberi C ve D’de kessin. Çemberin A’daki teğeti ile BD ve BC sırasıyla Q ve P’de
kesişsin. AP.AQ nun sabit olduğunu gösteriniz.
104. Bir çember üzerinde verilen sırada A, B, C, D, E, F noktaları alısın. Çemberin A ve D’deki
teğetlerinin kesim noktası P olmak üzere BF ve CE, P’den geçsin. AD, BC ve EF’nin paralel
veya noktadaş olduğunu gösteriniz.
105. Bir C çemberi ve bu çembere sırasıyla A ve B’de içten teğet kesişmeyen C1 ve C2 çemberleri verilsin. C1 ve C2’ye sırasıyla D ve E’de teğet olan ortak dış teğeti d olsun. AD ile BE’nin
kesim noktası F ise F noktasının C çemberi üzerinde olduğunu gösteriniz.
106 [IMO Shortlist 2004]. Bir S çemberi ve bu çemberi kesmeyen bir d doğrusu verilsin. AB
çemberin çapı olmak üzere AB  d ‘dir. B noktası d doğrusuna A’dan daha yakın olmak üzere
çember üzerinde A ve B’den farklı bir C noktası seçilsin. AC  d = D’dir. D’den S çemberine
çizilen teğetin değme noktası E olmak üzere B ile E, AC’nin aynı tarafındadır. BE  d = F ve
AF çemberi A’dan başka G’de kestiğine G’nin AB’ye göre simetriğinin CF üzerinde olduğunu
gösteriniz.
28
Üçgenin Çemberleri A
G
H
d
C
B
M
D
F
matematikolimpiyatmerkezi
E
Çözüm: G’nin AB’ye göre simetriği H olmak üzere GH // d’dir. AB  d = M olsun. m(FEA) =
m(FMA) = 90 olduğundan AEMF kirişler dörtgeni olup m(DFE) = m(EAB) = m(DEF) olup
DE = DF olur.
D’nin çembere nazaran kuvvetinden DF2 = DE 2 = DC.DA olur. Buradan DFC ve DAF üçgenleri benzer olup m(DFA) = m(DCF) = m(HGA) = m(HCA) olur. Bu durumda H, C, F doğrusal
olup istenen elde edilmiş olur.
107 [IMO Shortlist 2004]. Dar açılı ABC üçgeninin çevrel çember merkezi O olup m(B) <
m(C)’dir. AO  BC = D’dir. ABD ve ACD üçgenlerinin çevrel çember merkezleri sırasıyla E
ve F’dir. BA ve CA’nın uzantılarında sırasıyla seçilen G ve H noktaları için AG = AC ve AH =
AB olsun. Gösteriniz ki; “ EFGH dikdörtgendir ancak ve ancak m(ACB) – m(ABC) = 60’dır.”
H
R
G
E
B
A
O
P
D
F
C
Çözüm: EF  AD = P ve GH  AD = R olsun. AD, E ve F merkezli çemberlerinin ortak kirişi
olduğundan EF  AD’dir (1). BCA ve HGA üçgenleri eş olduğundan m(HGA) = m(C)’dir (2).
Çemberin merkezi O olduğundan ABC üçgeninde m(GAR) = m(BAO) = 90 – m(C) olup
(2)’den AD  HG’dir (3). 1 ve 3’den HG // EF olur.
Eğer EFGH dikdörtgen ise FP = GR’dir (4). ADC üçgeninde çevrel çember merkezi F olduğundan m(AFP) = m(C) olup (2) ve (4)’den AF = AG = AC olup FA = FC olduğundan AFC
eşkenar üçgen olup m(ADC) = m(AFC)/2’den m(ADC) = 30’dir.
m(ADC) = m(B) + m(BAO) ise 30 = m(B) + 90 – m(C) olup m(C) – m(B) = 60 olacaktır.
29
Üçgenin Çemberleri Kalan kısım okuyucuya alıştırma olarak bırakılmıştır.
Çözüm: AQC açısının açıortayı AC’yi R’de kessin.
matematikolimpiyatmerkezi
108 [IMO Shortlist 2003]. Bir doğru üzerinde verilen sırada A, B, C noktaları alınsın. A ve
C’den geçen merkezi AC üzerinde olmayan çembere K diyelim. K çemberinin A ve C’deki teğetlerinin kesim noktası P’dir. PB ile K çemberinin kesim noktası Q olsun. AQC açısının
AC’yi kestiği noktanın K çemberinin seçiminden bağımsız olduğun gösteriniz.
AR AQ

dir. (1). AQR ve CQR üçgenleCR QC
rinde sinüs teoreminden
AQ sin(QCA)
AR sin(QCA)


dir (2). (1) ve (2)’den
’dir. (3)
QC sin(QAC )
CR sin(QAC )
APC
noktasına
üçgeninde
Q
sin( APB ) sin( PCQ ) sin(QAC )
.
.
1
sin( BPC ) sin(QCA) sin( PAQ )
 sin(QCA) 


sin( BPC )  sin(QAC ) 
sin( APB )
AB
BC

A( APB )
A(CPB )

2
nazaran
sin APB
ğımsızdır.
seva
olur (4)
AP.BP.sin APB
CP.BP.sin BPC

bağıntısı
uygulanırsa
dir. m(QCA) = m(PAQ) ve m(QAC) = m(QCP) olduğundan
sin APB
sin BPC
dir (5). (3), (4) ve (5)’den
2
2
 sin(QCA) 
 AR 


 
 olur.
BC sin BPC  sin(QAC ) 
 CR 
AB
trigonometrik
Bu durumda R noktası K çemberinin seçiminden ba-
109. ABC üçgen olmak üzere A ve B’den geçen bir çember AC ve BC kenarlarını sırasıyla D
ve E’de kessin. AD’nin orta noktası F olmak üzere AD’ye F’de dik olan doğru AB kenarını
G’de kessin. m(EGF) = m(ABC) olması için gerek ve yeter şartın AF/FC = BG/GA olduğunu
gösteriniz.
110. Bir çembere dışındaki bir C noktasında çizilen teğetin değme noktası A olsun. C’den geçen bir doğru çemberi sırasıyla D1 ve E1’de kessin. Yine C den geçen başka bir doğru çemberi
sırasıyla D2 ve E2’de kessin. AB çemberin çapı olmak üzere çemberin B’deki teğeti ile AD1,
AD2, AE1, AE2 sırasıyla M1, M2 , N1, N2’de kesişsin. M1M2 = N1N2 olduğunu gösteriniz.
30
matematikolimpiyatmerkezi
Üçgenin Çemberleri 111. ABCD kirişler dörtgeninin AC ve BD köşegenlerinin orta noktaları sırasıyla M ve N olup
BMD açısının açıortayı AC’dir. Bu durumda ANC açısının açıortayının BD olduğunu gösteriniz.
Çözüm: ABCD çemberinin merkezi O olup CN ve DM çemberi sırasıyla E ve F’de kessin. AM
= CM olduğundan OM  AC olup BMD’nin açıortayı AC olduğundan OM, FBM açısının açıortayı olur. Dolaysı ile FM = BM olup FB // AC olur. Bu durumda BAD  BFM  BMC
ve
ADB  MCB dir.
Buradan
 ADB MCB
olup
BD DA
DA
AC
DA
DA





olur. DAC  NBC olduğundan  DAC  NBC
BC CM AC
BC BD
NB
2
2
olup BNC  ADC  AEC ve buradan AE // BD olur.NB = DN olduğundan ON  BD ve
ON  AE olur. Dolayısı il ON, AE’yi dik ortalar. Bu durumda AN = EN olup NEA  NAE
dir. Bu durumda CNR  NEA  NAE  ANR olur.
112. Dar açılı ABC üçgeninde BC’yi çap kabul çembere kAB diyelim. AB ve AC kenarları ile
kAB çemberine dıştan teğet olan çember kA olsun. kAB ile kA’nın değme noktası A1 olsun. Benzer şekilde B1 ve C1 noktaları tanımlansın. AA1, BB1, CC1’in noktadaş olduğunu gösteriniz.
113. Dar açılı ABC üçgeninde CL açıortaydır. C’den AC ve BC’ye inilen dikme ayakları sırasıyla M ve N’dir. AN  BM  P ise CP  AB olduğunu gösteriniz.
31
Üçgenin Çemberleri 114. ABC üçgeninin iç bölgesinde bir D noktası verilsin. B ile D’den geçen bir k1 çemberi ile C
ile D’den geçen k2 çemberi ikinci kez AD üzerinde kesişsin. k1 ve k2’nin BC’yi kestiği noktalar
sırasıyla E ve F’dir. DF ile AB’nin kesim noktası X ve DE ile AC’nin kesim noktası Y ise XY
// BC olduğunu gösteriniz.
matematikolimpiyatmerkezi
115. S1 ve S2 çemberlerinin kesim noktası A ve B olup S1 üzerinde bir Q noktası alınsın. QA ve
QB, S2 çemberini sırasıyla C ve D’de kessin. S1’in A ve B’deki teğetlerinin kesim noktası P olsun. Q noktası S2’nin dışında ve C ve D noktaları S1’in dışında ise QP’nin CD’yi ortaladığını
gösteriniz.
Çözüm: QP, S1 çemberini X’de, CD’yi ise R’de kessin. m(QCD) = m(QBA) = m(QXA) olduğundan ACRX kirişler dörtgenidir. Bu durumda QBX ile QRD üçgenleri benzer olup
BX QB

olur. (1)
DR QR
Benzer şekilde m(QDC) = m(QAB) = m(QXB) olup QAX ve QRC üçgenleri benzer olur. Buradan AX  QA olur. (2)
CR
QR
AQBX harmonik dörtgen olduğundan
1, 2 ve 3’den DR = CR olur.
AX BX

olur. (3)
QA QB
116 [Bulgar 2004]. ABC üçgeninde iç çember merkezi I olup AI, BI, CI doğru parçaları üzerinde sırasıyla A1,B1, C1 noktaları verilsin. AA1, BB1, CC1’in orta dikmeleri birbirlerini A2, B2,
C2’de kessin. Gösteriniz ki; “A2B2C2 üçgeni ile ABC üçgeninin çevrel çember merkezidir ancak
ve ancak I noktası A1B1C1 üçgeninin diklik merkezidir.”
117 [Bulgar 1994]. İkizkenar olmayan ABC üçgeninin iç çemberi BC, CA, AB kenarlarına sırasıyla A1, B1, C1’de teğet olp merkezi I’dır. IAA1, IBB1, ICC1 üçgenlerinin çevrel çember merkezlerinin doğrusal olduğun gösteriniz.
119. ABC üçgeninin iç çember merkezi I’dır. B’den geçen CI’ya teğet çember K1, C’den geçen
BI’ya teğet çember K2 ise ABC üçgenin çevrel çemberi, K1 ve K2 çemberlerinin bir ortak noktası olduğunu gösteriniz.
32
Üçgenin Çemberleri 120 [Bulgaristan 2001]. ABC dik üçgeninde m(C) = 90’dır.AC ışını üzerinde A ve C’dan farklı
bir D noktası seçilsin. ABC üçgeninin iç çember merkezinden geçen bir doğru ADB açısının
açıortayına paralel ve BCD üçgeninin iç çemberine teğet ise AD = BD olduğunu gösteriniz.
matematikolimpiyatmerkezi
121. ABC üçgeninin çevrel çemberinin BC ve AC yaylarının orta noktaları sırasıyla M ve N’dir.
C’yi içermeyen AB yayı üzerinde bir D noktası alınsın. ADC ve BDC üçgenlerinin iç çember
merkezleri sırasıyla I1 ve I2 olsun. DI1I2 üçgeninin çevrel çemberi ABC üçgeninin çevrel çemberini tekrar P’de kestiğine göre PNI1 ve PMI2 üçgenlerinin benzer olduğunu gösteriniz.
33
Download

2014/2 Sözleşmeli Uzman Erbaş Alım Duyurusu