KONU ANLATIMLI
Matematik Olimpiyatları İçin Üçgende Eşlik Bağıntıları matematikolimpiyatmerkezi
LİSE MATEMATİK OLİMPİYATLARI İÇİN
Mustafa Yağcı, Osman EKİZ
matematikolimpiyatmerkezi
Mustafa Yağcı,
Osman Ekiz
Üçgende Eşlik Bağıntıları
matematikolimpiyatmerkezi
Eşleme yapma. Eğer ABC ve ABC gibi iki üçgende A köşesine A, B köşesine B, C köşesine
C köşesi karşılık getirilirse, bu iki üçgen arasında bir eşleme kurulmuştur denir.
Bu eşleme
ABC  ABC
yazarak gösterilir. Böyle bir eşlemede kenar uzunlukları ve açı ölçüleri de eşlenmiş olur. Bu eşlemeler de benzer olarak
a  a
b  b
c  c
m(A)  m(A)
m(B)  m(B)
m(C)  m(C)
şeklinde gösterilirler.
Tanım. Aralarında ABC  ABC gibi bir eşleme kurulmuş olan iki üçgende, karşılıklı (eşleştirilmiş) kenarlar ve karşılıklı açılar eş ise bu iki üçgene eş üçgenler denir.
bu üçgenlerin eşliği ABC  ABC veya ABC  ABC şeklinde gösterilir.
diye göstereceğim, siz de anlayacaksınız.
Kenar Açı Kenar Eşlik Aksiyomu. İki üçgenin karşılıklı iki kenarı ve bu kenarların belirttiği
açılar eş ise bu üçgenler eştir.
b  b'


 m( B)  m( B ') 




c  c'

 ise  m(C )  m(C ')  .
 m( A)  m( A ') 


a  a'




Üçgenlerde eşliğin yukarda verdiğimiz tanımı, iki kenar ve bunların belirttiği açıdan bahsettiğinden bu tanıma K.A.K. (Kenar-Açı-Kenar) tanımı denir.
Örnek. Birbirlerine paralel olmayan [AC] ve [BD] doğru parçaları
birbirlerinin orta noktalarından şekildeki gibi E noktasında kesişiyor
olsunlar. Buna göre aşağıdaki ifadelerden hangisi doğru olmayabilir?
A
D
E
B
C
Üçgende Eşlik A) AB // DC
B) AD // BC
C) [AB]  [CD]
D) [AD]  [BC]
E) [AC]  [BD]
matematikolimpiyatmerkezi
Çözüm: [AB], [BC], [CD] ve [DA] hakkında bilgiler istendiğinden
A
D
önce bu doğru parçalarını çizelim. Evvela AEB ile CED üçgenlerini
masaya yatıralım. Bu iki üçgende de ortak boyda iki kenar var olup
E
bu kenarların belirttiği açı ölçüleri de ters açılar gereği eş olduğundan B
C
yani |AE| = |CE| ve |BE| = |DE| olup m(AEB) = m(CED) olduğundan
K.A.K. tanımı gereği AEB ile CED üçgenleri eştir. Bu eşlik hem [AB]  [CD] olmasını hem de
m(A) = m(C) ve m(B) = m(D) olması doğurur. Doğan ilk eşitlik ise C şıkkının, diğer iki eşitlikse
A şıkkının doğruluğunu garantiler.
Şimdiyse AED ile CEB üçgenlerine odaklanalım. Bu iki üçgende de
A
D
|AE| = |CE| ve |BE| = |DE| olup m(AED) = m(CEB) olduğundan
E
K.A.K. tanımı gereği AED ile CEB üçgenleri eştir. Bu eşlik hem
[AD]  [BC] olmasını hem de m(A) = m(C) ve m(B) = m(D) olması B
C
doğurur. Doğan ilk eşitlik ise D şıkkının, diğer iki eşitlikse B şıkkının doğruluğunu garantiler. O halde yanlış olan seçenek E seçeneğidir. Bunu da kısaca izah
edelim: Doğru parçalarının eş olması, boylarının birbirlerine eşit olmasıyla mümkündü. Burada
[AC] ile [BD] keyfi olarak seçilen iki doğru parçası olduğundan daima eşit boyda olmaları beklenemez.
Doğru cevap: E.
Açı Kenar Açı Eşlik Teoremi. İki üçgen arasında yapılan birebir eşleme karşılıklı iki açı eş ve
bu açılar arasında kalan kenar da eş ise bu üçgenler eştir. Kısaca A.K.A şeklinde gösterilir.
Üçgende eşliğin K.A.K. tanımı ilerde sıkça kullanacağımız şu çok önemli teoremi de kanıtlar:
Teorem. Açıortay doğrusu üzerinde alınan rastgele bir noktanın açının kollarına olan uzaklıkları eşittir.
Kanıt: Açımız yan şekildeki gibi CAB açısı, bu açının açıortayı üzerinde
rastgele alınan nokta P ve P’den açının kollarına inilen dikme ayakları da B
ve C olsun. PBA ile PCA üçgenlerinde [AP] kenarı ortak ve |AB| = |AC|
olup A açıları da eş diye A.K.A eşliği gereğince PBA ile PCA üçgenleri eştir. Dolayısıyla |PB| = |PC| dir.
Problem. ABC bir üçgen
|AB| = |DC|
m(BCA) = 
m(CAD) = 
3+ 2= 180
olduğuna göre α =  = 36 olduğunu gösteriniz.
B
A


P
C
2
Üçgende Eşlik Problem. ABC bir üçgen
|AC| = |BD|
3+ 2= 180
olduğuna göre m(ABC)
aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A) 12 α
B) 15º + α
C) 30º– α
D) α
E) 2α
Çözüm: [BD] üzerinde DAE üçgenini ikizkenar yapacak şekilde bir
E noktası alalım. m(DAE) = α olacağından ACE üçgeni ikizkenar
olur, o halde |AC| = |EC| dir. Buradan ADC ile AEB üçgenlerinin eşliği görülür (K.A.K.), demek ki |AC| = |AB|.
matematikolimpiyatmerkezi
Çözüm: Yan şekildeki gibi ABE ikizkenar üçgeni oluşturulsun.
EAC üçgeni de ikizkenar olur. Buradan AEB ile ACD üçgenlerinin
eşliği görülür. (K.A.K.).
O halde m(EAB) = m(ACD) = = = 36.
Doğru cevap: D.
K.K.A.AT Eşlik Teoremi. İki üçgen arasında K.K.A. durumu varsa ve ayrıca üçüncü kenarlara ait açılar türdeş ise üçgenler birbirine eştir.
Kanıt: K.K.A. durumuna uyan üçgenler ABC ve ABC olsunlar. b = b, c = c, m(B) = m(B)
olup, ayrıca m(C) ile m(C) türdeş olsun. a a kabul edelim, örneğin a < a olsun.
[BC üzerinde |BC = |BC olmak üzere C noktasını alalım. K.A.K. tanımından ABC 
ABC olur ve bundan dolayı |AC = |AC olup ACC üçgeni ikizkenar olur. C′′ noktası, B
ve C noktaları arasında olduğundan m(C) = 90o ve m(C) = 90o olamaz. Bu durumda ACC üçgeninde m(C) dış açı ölçüsü m(C) iç açı ölçüsünden büyük olur. m(C) ile m(C)nün türdeş olmadığı gösterilmiş olur ki bu sayıltıya (kabulümüze) aykırıdır.
a > a durumunda da benzer bir çelişki çıkar. Dolayısıyla a = a olursa bu üçgenler eştir.
Örnek. Şekildeki ABC açısının açıortayı [BD dir.
|DA| = |DC|
m(BCD) = 70º
m(DAB) = α
olduğuna göre α’nın derece cinsinden alabileceği en küçük tam sayı
değeri kaçtır?
A) 70
B) 80
C) 90
D) 110
A

B
D
70o
C
E) 140
3
Üçgende Eşlik A) α
B) 2α
C) θ
D) 2θ
E) θ – α
matematikolimpiyatmerkezi
Çözüm: ABD ile CBD üçgenlerinin iki kenarı ve bir iç açısı eş diye
K
A 70o k
bu üçgenlere eş demeyin sakın. K.K.A. durumunun bazen eşliğe

D
yetmediğini yukarda açıkladık.
k
k
[BA üzerindeki bir K noktası için ADK ikizkenar üçgenini oluştura70o
lım. |DC| = |DA| = |DK| = k br olsun. BKD açısının dar, BAD açısının B
C
geniş olduğuna dikkat ediniz. Yani BCD açısıyla türdeş olan BKD
açısıdır. Bu yüzden eş olan üçgenler BKD ile BCD üçgenleridir. Demek ki α’nın 70º olma durumu da var 100º olma durumu da var. Küçük olan 70 değeri cevap olacak.
Doğru cevap: A.
Örnek. ABC bir üçgen
A
|CA| = 5 br



|AB| = 3 br

|BD| = 2 br
C
B  D
m(DAB) = θ
m(ABC) = 2α
3α + 2θ = 180º
olduğuna göre m(BCA) aşağıdakilerden hangisidir?
Çözüm: Sorunun esprisi 2 + 3 = 5 olmasıdır. Bu amaçla [AB] kenarını
A
B yönünde 2 br uzatarak DBE ikizkenar üçgenini oluşturalım. Bu üç


gende B’ye ait dış açı ölçüsü 2α olduğundan B ve D açılarının ölçüleri
  
α olur. ABD üçgeninde iç açıların ölçüleri toplamından m(BDA) = α +
B   D
C
θ ve dış açı teoreminden m(ADC) = 2α + θ olur. Şimdi CAD ile EAD
 
üçgenlerine odaklanalım. K.K.A. durumu halihazırda var. O zaman bu
üçgenlerde C ve E açıları türdeşse eşlikten bahsedebiliriz. 2α + θ geniş E
olduğundan hem E hem de C açısı dardır yani türdeştirler. O zaman bu eşlikten dolayı m(BCA)
= α olur.
Doğru cevap: A.
A.K.A. Eşlik Teoremi. Tabanları ve karşılıklı taban açıları eş olan iki üçgen birbirine eştir.
Kanıt: ABC ve ABC gibi iki üçgende a = a, m(B) = m(B) ve m(C) = m(C) olsun. Doğruluğunu göstermek istediğimiz eşitlik b = b veya c = c. Çünkü bundan sonrasını üçgenin K.A.K.
tanımına göre halledebiliriz.
|BA = c  c farz ederek BA üstünde |BA = c br olacak şekilde bir A noktası alalım.
K.A.K. tanımından ABC ile ABC üçgenleri eştir. O halde
m(BCA) = m(BCA) = m(BCA)
bulunur ki; A ile A noktalarının BC kenarının aynı tarafında olmaları nedeniyle, E1 aksiyomu gereğince
4
Üçgende Eşlik A = A yani c = c.
Teorem. Bir paralelkenarın karşılıklı kenar uzunlukları birbirlerine eşittir.
A


K.K.K. Eşlik Teoremi. Kenarları karşılıklı eş olan iki üçgen eştir.

D

C
matematikolimpiyatmerkezi
Kanıt: Paralelkenarımız yandaki ABCD paralelkenarı olsun. AD //
BC diye m(BDA) = α dersek m(DBC) = α ve AB // DC diye
m(ABD) =  dersek m(CDB) =  olur. ABD ve CDB üçgenlerinin
ikişer açısı karşılıklı olarak eş iken bu açıların ortak olan kolları iki
B
üçgende de eşit boyda olduğundan ADB ile CDB üçgenleri A.K.A.
eşliği gereğince eştirler. Bu yüzden karşılıklı kenarları da eş olmalıdır.
Kanıt: a = a, b = b, c = c durumunda herhangi bir karşılıklı açının eşliğini göstermek yetecek. Kalanı yine K.A.K. tanımı halledecek. BC kenarının A noktasının bulunmadığı tarafında
m(CBA) = m(CBA) ve |BA = |BA olacak şekilde bir A noktası alalım. K.A.K. tanımı gereği ABC ile ABC üçgenleri eştir. O halde |AC| = |AC = b br olur. Yine K.A.K. tanımından b = b olduğundan ABC ile ABC eş bulunur ki b ve b uzunluğundaki kenarların karşılarındaki açı ölçüleri eşit olmalıdır.
Sonuç. Karşılıklı kenar uzunlukları birbirlerine eşit olan bir dörtgen paralelkenardır.
Dörtgenimiz |AD| = |BC| ve |AB| = |CD| olmak üzere ABCD dörtA
D


geni olsun. Derhal [BC] köşegenini çizelim. ABD ile CDB üçgen
lerinin kenar uzunlukların karşılıklı olarak birbirlerine eşit uzun


lukta olduğunu fark ettiniz mi? İşte bu yüzden bu üçgenler K.K.K.
B
C
eşliği gereği birbirlerine eştirler. O halde m(BDA) = α dersek
m(DBC) = α ve m(ABD) =  dersek m(CDB) =  olur. Bu da iç ters açıların karşıtı gereği AD //
BC ve AB // CD demektir.
Örnek. ABC bir üçgen
|BD| = |DC|
|AD| = |BC|
m(DBC) = m(DCB) = 
m(ADB) = 60 + 
olduğuna göre olduğunu
gösteriniz.
5
Üçgende Eşlik matematikolimpiyatmerkezi
Çözümü: Yan şekildeki gibi BCDE paralelkenarını oluşturalım.
m(BDE) = α olacağından m(EDA) = 60 olur. |BC| = |ED| = |DA| olduğundan ADE bir eşkenar üçgendir. Diğer yandan AEB ile ADB
üçgenleri K.K.K. eşliği gereğince eş olduklarından = 30o bulunur.
K.A.A Eşlik Teoremi. İkişer açısı ve karşılıklı birer kenarı eş olan iki üçgen birbirine eştir.
A''
c' A
c
B
A'
c'
a
C B'
C'
a'
Kanıt: a = a, m(A) = m(A) ve m(B) = m(B) kabul edebiliriz. c > c olduğunu farz ederek, [BA
üzerinde |BA = |BA olacak şekilde A noktası alalım. ABC ile ABC üçgenleri K.A.K. eşliği gereği eş olduğundan m(A) = m(A) olmalıdır. Fakat, CAA üçgeninde dış açı teoremi uygulandığında m(CAB) = m(CAA) + m(ACA) > m(A) = m(A) bulunur ki bu bir çelişkidir. Öyle ise A = A olup c = c olur. c < c kabul edilseydi de benzer bir çelişki bizi karşılardı. Bu da
iki üçgenin eşliğini kanıtlar.
Örnek. ABC bir üçgen
D  (ABC)
m(ABD) = 2α
m(DBC) = 30º – α
m(BCD) = 30º
m(DCA) = α
olduğuna göre
m(CAD) = 30º– α olduğunu gösteriniz.
A
D
B


o

30 o
C
Çözüm: Burada ilk dikkat edilmesi gereken nokta ABC üçgeA 
ninin B ve C açılarının eşit ölçülü olmalarından dolayı ABC
F
üçgeninin ikizkenar olmasıdır. Her ikizkenar üçgende yapılD


ması gerektiği gibi evvela A’dan BC’ye bir dik indireceğiz.


30
Dikme ayağına E diyelim. CD’nin AE’yi kestiği nokta F olsun.
B
C
E
[BF]’yi de çizelim. AE  BC ve |BE| = |EC| olması FBC üçgeninin de ikizkenar olmasını gerektirir. O halde m(FBD) = α, dolayısıyla m(ABF) = α olacaktır.
Şimdi BAF ve BDF açılarının ölçülerinin 60º – α olduğunu görüp [BF] ortak kenarından dolayı
BAF ile BDF üçgenleri A.K.A. veya K.A.A. eşliği gereğince eştirler. Bu eşlikten dolayı ABD
o
o
o
6
Üçgende Eşlik üçgeni ikizkenar bulunur ki tepe açısının ölçüsü 2α olduğundan taban ölçüleri 90º – α olmalıdır.
Buradan m(FAD) = 30º, dolayısıyla m(DAC) = 30º – α olarak bulunur.
Teorem. Bir üçgenin herhangi bir kenarının orta noktasından üçgenin ikinci kenarına paralel olacak şekilde geçen doğru, üçgenin üçüncü kenarının orta noktasından geçer.
E
D
B
C
matematikolimpiyatmerkezi
Yani şekle göre DE // BC ve |AD| = |DB| ise |AE| = |EC| dir.
A
Kanıt: DE // BC olduğundan yöndeş açıların eşliği gereğince ADE ile
A
ABC ve DEA ile BCA açıları eş olurlar. m(ADE) = m(ABC) =  ve

 E
m(DEA) = m(BCA) =  diyelim. Şimdi E’den AB doğrusuna bir paralel
D
çizelim. Bu doğru BC’yi F’de kessin. BFED dörtgeninin karşılıklı ke


narları birbirlerine paralel olduğundan yani bir paralelkenar olduğunB
C
F
dan daha önce kanıtladığımız üzere karşılıklı kenarları eş olur. O halde |AD| = |DB| = |EF| eşitliğinden bahsedilebilir. Diğer yandan EF // AB olduğundan EFC açısının ölçüsü de  olur. Bu da ADE ile EFC üçgenlerinin K.A.A.eşliği gereğince eş olduklarını
işaret eder. Bu eşlik aradığımız |AE| = |EC| eşitliğine yeter de artar bile.
Yukardaki [DE] doğru parçası gibi, bir üçgenin herhangi iki kenarının orta noktalarını birleştiren doğru parçalarına orta taban denir.
Orta taban şekilden de görüleceği üzere daima tabana paraleldir. Diğer yandan ADE ile EFC
üçgenlerinin eşliği |DE| = |BF| = |FC| eşitliğini doğuracağından orta tabanın boyunun tabanın
boyunun yarısı olduğunu anlarız.
Sonuç: Bir üçgenin üç tane orta tabanı vardır. Bu orta tabanların belirttiği üçgene asıl üçgenin orta üçgeni denir. Orta üçgenin kenarlarının asıl üçgene paralel olduğuna ve kenarlarının asıl üçgenin kenarlarının yarısı kadar olduğuna dikkat ediniz. Bunun yanında ADE, DBF,
EFC ve FED üçgenlerinin eş olması da kayda değer bir durumdur.
Örnek. ABCD bir dörtgen
DA  AB
|BE| = |EC|
m(BDA) = m(FDA)
|BD| = 10 br
|CD| = 8 br
olduğuna göre |AE| = x kaç br dir?
A

D

B




 E
 
 
F
F
A
x 10
B

C
D
8
E
C
7
Üçgende Eşlik Çözüm: Ne zaman orta nokta görürseniz aklınıza ilk olarak orta taban
gelsin demiştik. Şekilde orta taban olmaya aday tek doğru parçası |BE|
= |EC| olduğundan [AE] dir. Bu amaçla [CD]’yi D yönünde uzatalım.
CD ile BA’nın kesim noktası K olsun. Şimdi BDK üçgenine odaklanıyoruz. Bu üçgende [DA] hem iç açıortay hem de yükseklik olduğundan
BDK ikizkenar üçgendir. O halde [DA] aynı zamanda kenarortaydır.
|BD| = 10 br olduğundan |DK| = 10 br olacağını da not edelim. Sona
geldik. |CK| = 8 br + 10 br = 18 br olduğundan |AE| = 9 br olmalıdır.
10
D
A
x 10
8
A
 
x
C
E
B
E
3
B
D
matematikolimpiyatmerkezi
Örnek. ABC bir dik üçgen
AB  BC
BE  AD
|BD| = |CD|
m(BAD) = 2·m(DAC) = 2α
|DE| = 3 br
olduğuna göre
|AB| = x kaç br dir?
K
C
Çözüm: C’den BE’ye indirilen dikme ayağı F olsun. DE // CF olup A
6
F

|BD| = |DC| olması BCF üçgeninde [DE]’nin orta taban olması an 
lamına gelir. O halde |DE| = 3 br olduğundan |CF| = 6 br olur. ŞimE
6
6
di A ile F noktalarını birleştirelim. [ED] orta taban olduğundan |BE|
3

= |EF| olduğunu biliyoruz. FAB üçgeninde [AE] hem kenarortay
hem de yükseklik olduğundan FAB ikizkenar üçgen olup [AE] aynı B
C
D
zamanda iç açıortaydır. Bu yüzden m(CAF) = α olmalıdır. Diğer
yandan AD // FC olduğundan iç ters açıların eşliği gereği ACF açısının ölçüsü de α olur. Sonuç
olarak CFA üçgeni de ikizkenar bulunur. O halde |CF| = |FA| = |AB| = 6 br olmalıdır.
ÇÖZÜMLÜ PROBLEMLER
Problem. ABC bir üçgen
CDA ve AEB birer eşkenar üçgen
BD  CE = {P}
olduğuna göre
BD
CE
D
A
E
P
= 1 olduğunu gösteriniz.
Çözüm: CDA ve AEB birer
eşkenar üçgen olduklarından
m(DAC) = m(BAE) = 60
olmalıdır. m(CAB) = α olsun.
Şimdi CAE ve DAB üçgenlerine
odaklanıyoruz.
C
B
D
E
A
60o 
60o
P
B
C
8
Üçgende Eşlik |AE| = |AB|, |CA| = |DA| ve
m(CAE) = m(DAB) = 60 + α olduğundan CAE ve DAB üçgenleri eştir. Bu yüzden |CE| = |BD|
olmalıdır. Dolayısıyla da oranları 1’dir.
Problem 2. ABC bir üçgen CDA ve AEB birer eşkenar üçgen
BD  CE = {P}, m(CPB) = , olduğuna göre  = 1200 olduğunu gösteriniz.
D
A
E
P

C
B
Çözüm: Lafı uzatmayalım. Bir önceki soruda CAE ve DAB üçgenlerinin eş olduklarını kanıtlamıştık. CAE üçgeninin C ve E açılarının
ölçülerine sırasıyla  ve  dersek DAB üçgeninin D ve B açılarının
ölçüleri sırasıyla  ve  olmalıdır. Bu üçgenlerin herhangi birinin iç
açılarının ölçüleri toplanırsa α +  +  = 120 bulunur. Bu toplam
CABP konkav dörtgeninde kullanılırsa m(CPB) =  = 120 bulunur.
D
E

A

60o 

60o
P

120o
C
B
Boyları eşit olan doğru parçalarının 120 yani 60 ile kesişmeleri bir rastlantı değildir.

α = 60


α = 90
matematikolimpiyatmerkezi
Bu eşliğin oluşması için sadece eşkenar üçgen değil, diğer düzgün çokgenlerin yapıştırılması da
yeter!
α = 108
ABC üçgeninin kenarlarına hangi tip düzgün çokgen yapıştırılmışsa o düzgün çokgenin bir iç
açısının ölçüsüyle kesişirler!
Problem E3. ABC ve ADE birer eşkenar üçgen
|BD| = x br
|CE| = y br
olduğuna göre x = y olduğunu gösteriniz.
A
E
x
B
D
y
C
9
Üçgende Eşlik Çözüm: ABC ve ADE üçgenleri eşkenar olduklarından |AB| = |AC|
ve |AD| = |AE| olduğunu biliyoruz. m(BAD) = α ve m(DAC) = θ dersek α +
θ = 60º olduğundan m(CAE) = α olur. Bu da K.A.K. gereği BAD ile CAE
üçgenlerinin eş olması anlamına gelir. Madem eşler, eş açıları gördükleri
kenarların boyları da eşit olmalıdır. O halde x = y’dir.
A

 
E
y
D
x
B
C
matematikolimpiyatmerkezi
Bu eşlik sadece eşkenar üçgenlere has değildir.
Aynı kenar sayısına sahip iki düzgün çokgenin bir köşesi ortaksa daima böyle eşlikler belirir.
Problem 4. ABC bir eşkenar üçgen
F  [AB]
D  [BC]
E  [CA]
AF
FB

BD
DC

A
E
F
CE
EA
B
D
olduğuna göre FDE üçgeninin
eşkenar olduğunu gösteriniz.
Çözümü: |AF| = |BD| = |CE| = x br ve |FB| = |DC| = |EA| = y br olsun.
FBD, DCE ve EAF üçgenlerinin ikişer kenar uzunluğu ve bu kenarların
belirttiği açılar da eş olduğundan FBD, DCE ve EAF üçgenleri eştir. O
halde |FD| = z br dersek |DE| = |EF| = z br olur. DEF üçgeninin üç kenar
uzunluğu da birbirlerine eşit olduğundan DEF eşkenar üçgendir.
A
60o
x
y
F
y
B
z
o
60
z
x
Ortadaki şeklin eşkenar üçgen çıkması, ABC üçgeninin eşkenar üçgen verilmesindendi.
60o
E
z
D
C
x
60o
y
C
108o
Eğer ilk şekil eşkenar üçgen yerine herhangi bir düzgün çokgen olsaydı ortadaki şekil de o
düzgün çokgenin bir yavrusu olurdu!
10
Üçgende Eşlik Problem 5. ABC eşkenar üçgen
D  [BC]
E  [CA]
|BD| = |CE|
|DC| = |EA|
AD  BE = {K}
olduğuna göre
m(DKB) = 600 olduğunu gösteriniz.
A
E
K

B
A
y

K
x+y
B
E

x


x
D
Cevabın 60 çıkması ABC üçgeninin eşkenar olmasındandır.
90o
60
o
matematikolimpiyatmerkezi
Çözüm: |BD| = |CE| = x br ve |DC| = |EA| = y br olsun. |AB| = x + y br
olur. Şu durumda ABD ile BCE üçgenlerine bakılırsa ikişer kenarları eşit
uzunluktayken bu kenarların belirttiği açıları da eş diye K.A.K. gereği
ABD ile BCE eş olurlar. m(DAB) =  denirse m(EBC) =  olur. m(ABE)
=  olsun.  +  = 60 olduğundan ABK üçgeninin iç açı ölçüleri toplanırsa α = 60 olarak bulunur.
C
D
o
108
60o
y
C
Eşkenar üçgen yerine başka bir düzgün çokgende aynı durum olsaydı, cevap o düzgün çokgenin bir iç açısının ölçüsü olurdu!
Problem 6. ABC bir eşkenar üçgen, F  [AB], D  [BC], E  [CA]
AF
FB

BD
DC

CE
EA
A
, olduğuna göre KLM üçgenin, eşkenar olduğunu gösteriniz.
K
F
M
L
B
Çözüm: ABD ile BCE üçgenleri eştir. O halde m(BAD) = m(CBE) olduğundan m(ABM) = m(BCK)’dır. Dolayısıyla m(LKM) = 60o bulunur. Simetrik şekilde diğer benzerliklerden de faydalanarak m(KLM) = 60o bulunur. Dolayısıyla KLM üçgeni eşkenardır.
E
D
C
A
K
F
B
L
o
60
o
60 o
60
E
M
D
C
11
Üçgende Eşlik Ortadaki şeklin eşkenar üçgen çıkması, ABC üçgeninin eşkenar üçgen olmasına bağlıdır.
Hepsinde de maviyle gösterilmiş doğru parçalarının boyları eşittir.
Problem 7. ABC bir eşkenar üçgen F  [AB], D  [BC], E  [CA]
|FA| = |DC|, |BD| = |CE|, olduğuna göre m(FDE) = 600 olduğunu gösteriniz.
A
E
F

B
Çözüm: |BD| = |CE| = x br ve |FB| = |DC| = y br olsun. FBD ile DCE üçgenlerinin ikişer kenar uzunluğu ve bu kenarların belirttiği açılar da eş
olduğundan FBD ile DCE üçgenleri eştir. FBD üçgeninde F ve D açılarının ölçüleri  ve  dersek, DCE üçgeninde de D ve E açılarının ölçüleri
 ve  olur.  +  = 120 olduğundan α = 60 olarak bulunur.
A
E
B

y o
60
x

60 burada rastgele bir değer değil, eşkenar üçgenin bir iç açısının ölçüsüdür.
60o
90o
C
D
F
108o
Aynı durum karede olsa cevap 90, düzgün beşgende olsa 108 olurdu.

matematikolimpiyatmerkezi
Eğer eşkenar üçgen yerine başka bir düzgün çokgende aynı işlemler yapılırsa, ortada düzgün
çokgenin yavrusu oluşur!
x
 60o
D y
C
Problem E8. ABC bir eşkenar üçgen D iç bölgede bir nokta |DA| = x br, |DB| = y br A
|DC| = z br, x2 + z2 = y2 olduğuna göre m(ADC) =1500 olduğunu gösteriniz.
x
D
y
B
z
C
12
Üçgende Eşlik Problem 9. ABC bir eşkenar üçgen
D iç bölgede bir nokta
|DA| = x br
|DB| = y br
|DC| = z br
y2 = x2 + z2  xz
olduğuna göre
m(ADC) = 1200 olduğunu gösteriniz.
Çözümü: [AD] kenarı üzerine üçgenin dışına doğru şekildeki gibi bir
eşkenar üçgen çizelim. m(BAD) = m(CAE), |AB| = |AC| ve |AD| = |AE| olduğundan BAD ile CAE eş olur. O halde |EC| = y br olur. Şimdi EDC üçgeninin kenarları x br, z br ve y br olduğuna dikkat ediniz. Kosinüs teoremi gereği y2 = x2 + z2 – 2xz cos(EDC) olmalıdır. Soruda bu değer y2 =
x2 + z2  xz olarak verildiğinden
2xz cos(EDC) = xz
olmalıdır ki buradan cos(EDC) = 1/2 çıktığından
m(EDC) = 60º
olduğu anlaşılır. Şu durumda
m(ADC) = m(ADE) + m(EDC) = 60o + 60o = 120o
bulunur.
Problem 10. ABC bir eşkenar üçgen
A, C, D doğrusal
|BE| = |CD|
m(BAE) = 
m(CED) = α
olduğuna göre α =  olduğunu
gösteriniz
Çözüm: E’den BA’ya paralel çizilen doğru CA’yı K’de kessin. AB // EK
diye m(AEK) =  ve KEC eşkenar üçgen olur.
AED üçgeninin bir önceki soru tipi olduğunu fark ettiniz mi?
|EC| = |CK| = |KE| = y br ve
|BE| = |CD| = |KA| = x br olsun. m(ECD) = m(EKA) = 120
olduğunu da görelim.
Şu durumda ECD ile EKA eş olurlar. O halde α =  olmalıdır.
A
x
D
x
60
E
x
y
z
y
B
C
A
x
D
y
z
B
matematikolimpiyatmerkezi
Çözüm: [AD] kenarı üzerine üçgenin dışına doğru şekildeki gibi bir eşkenar üçgen çizelim. m(BAD) = m(CAE), |AB| = |AC| ve |AD| = |AE| olduğundan BAD ile CAE eş olur. O halde |EC| = y br olur. EDC üçgeninin
kenarları x br, z br ve y br olup Pisagor Teoremi’ni sağladığı görülürse
m(EDC) = 90o olduğu anlaşılır. Dolayısıyla
m(ADC) = m(ADE) + m(EDC) = 60o + 90o = 150o bulunur.
C
A
x
x
D
60 x
60o
o
y
z
B
E
y
C
A

B

E
C
D
A
x

K
y
 y
B
x
E
y

C
x
D
13
Üçgende Eşlik Problem 11. ABC bir eşkenar üçgen C dışarıda bir nokta
m(BCA) = m(ACD) = 60º
|CB| = x br
|CD| = y br
|CA| = z br
olduğuna göre z = x + y olduğunu gösteriniz.
A
z
B
C
A
x
matematikolimpiyatmerkezi
Çözümü: m(ADC) > 60º olduğundan [AC] üzerinde m(CDE) = 60º olacak
şekilde bir E noktası alınabilir. CDE eşkenar üçgen olur. Şimdi BCD ile
AED üçgenlerine odaklanıyoruz.
|BD| = |AD| ve |CD| = |ED| olduğunu biliyoruz. m(CDB) = α dersek,
m(EDA) = α olacağından BCD ile AED üçgenleri eştir. Bu durumda |BC|
= x br olduğundan |AE| de x br olmalıdır. O halde
|AC| = z = |CE| + |EA| = y + x br olarak bulunur.
D
o
o
60 60 y
x
E
120o
y
y

y
B
x
60o
C
60
Problem 12. Dar açılı ABC üçgeninin diklik merkezi H olup AH = BC ise m(BAC) = ?
D
o
A
Çözüm: m(HAE) = m(HBD), m(BCE) = m(AHE) ve AH = BC olduğundan AHE ve BCE üçgenleri A.K.A’dan eş olup AE = BE olur. Bu durumda
ABE ikizkenar dik üçgen olup m(BCA) = 450 = m(BAC) = 450 olacaktır.
H
B
E
C
D
Problem 13. ABC üçgeninde AH yükseklik olup BC, CA, AB kenarlarının orta noktaları sırasıyla D, E, F ise FHE  FDE olduğunu gösteriniz.
A
Çözüm: ABC üçgeninde D, E, F kenar orta noktalar olduğundan 2.FE =
BC, 2.FD = AC ve 2.DE = AB dir. ABH dik üçgeninde AF = FB= FH ve
ACH dik üçgeninde AE = EC = EH olur. Bu durumda FHE ve FDE üçgenleri K.K.K’dan eştir.
F
B
E
D
H
C
Problem 14. ABC dik üçgeninde AC ve BC kenarları üzerinde sırasıyla alınan K ve L noktaları
için BK = KL dir. m(BAC) = 900 ve m(BCA) = m(ABK) = 180 ise LC = 2.AB olduğunu gösteriniz.
Çözüm: Verilenlere göre m(LKC) = 360 olup KC üzerinde
KL = ML olacak şekilde bir M noktası alalım. M’den LC’ye
inilen dikme ayağı N olsun. Bu durumda LN = NC olacaktır.
B
L
18
A
18
K
N
M
18
C
14
Üçgende Eşlik BK = MC ve m(BCA) = m(ABK) = 180 olduğundan A.K.A’dan ABK  NCM olup NC = AB
olur. Dolayısı ile LC = 2.AB dir.
A
Çözüm: AB ve AC’nin orta noktası sırasıyla E ve F olsun. Bu durumda EC1 
AB
2
 FD ve FB1 
AC
2
 ED olup
matematikolimpiyatmerkezi
Problem 15. ABC üçgeninin AC ve AB kenarları üzerine dışa doğru ACB1 ve ABC1 ikizkenar
dik üçgenleri inşa edilsin. BC’nin orta noktası D olmak üzere DC1 = DB1 ve DC1  DB1 olduğunu gösteriniz.
B1
C1
E
m(DEC1) = m(DFB1) dür. Bu durumda DEC1 ve B1FD üçgenleri eş olup DC1 = DB1 dür. Üçgenlerin eş olmasından
faydalanarak açıları yerine yazdığımızda DC1  DB1 olduğu da ortaya çıkar.
B
F
C
D
Problem 16. ABC ikizkenar dik üçgeninde m(C) = 900’dir. BC üzerinde bir P noktası alınsın.
[AP] üzerinde alınan X ve Y noktaları için CX  AP ve AY = CX olsun. AB’nin orta noktası
M ise YMX üçgeninin ikizkenar dik üçgen olduğunu gösteriniz.
C
Çözüm: m(CAP) = m(PCX) = α olsun. Bu durumda m(YAM)
= m(XCM) = 450 - α’dır. CX = AY ve AM = CM olduğundan
YAM  XCM olur. Dolayısı ile YM = XM ve m(YMA) =
m(XMC) olur. CM  AB olduğundan m(YMX) = 900 dir.
P
Y
A
//
X
M
B
Problem 17. ABC ikizkenar dik üçgeninde m(B) = 900 olup AB ve BC kenarları üzerinde sırasıyla P ve Q noktaları alınsın. BP = BQ olmak üzere P ve B’den geçen AQ’ya dik doğrular
AC’yi sırasıyla K ve L’de kessin. KL = LC olduğunu gösteriniz.
A
Çözüm: AB’nin uzantısı üzerinde PB = BR olacak şekilde bir R
noktası alalım. Ayrıca AQ  RC  S olsun. BR = BQ ve BC = AB olduğundan  ABQ CBR olur. Bu durumda AS  RC olup PK // BL //
RC olacaktır. BP = BR olduğundan KL = LC’dir.
K
P
L
Q
B
C
S
R
15
Üçgende Eşlik Problem 18. ABC ikizkenar dik üçgen olup BA  CA’dır. AB kenarının orta noktası M olmak
üzere A’dan geçen CM’ye dik doğru BC’yi N’de kessin. Bu durumda m(AMC) = m(BMN) olduğunu gösteriniz.
A
C
M
N
B
//
matematikolimpiyatmerkezi
Çözüm: ABDC karesini inşa edelim. AN, BD’yi P’de kessin.
MAC  PBA olacağından PB = AM = MB olur. Bu durumda
BNM ve BNP üçgenleri eş olup m(BPN) = m(BMN) olur. MAC 
PBA eşliğinden m(BPA) = m(AMC) olup m(AMC) = m(BMN)
olur.
D
P
Problem 19. ABC üçgeninde AD açıortay olup BC’ye D’de dik olan doğru ile AB, E’de kesişsin. ED = CD ise BA  CA olduğunu gösteriniz.
E
Çözüm: D noktasından AB ve AC’ye inilen dikme ayakları
sırasıyla P ve Q olsun. AD açıortay olduğundan DP =
DQ’dur. ED = CD olduğu göz önüne alınırsa  EPD CDQ
olur. Bu durumda BA  CA olacaktır.
A
R
Q
P
B
C
D
Problem 20. ABCD karesinin AB kenarının orta noktası K ve AC köşegeni üzerinde alınan bir L
noktası için AL : LC = 3 : 1 ise m(KLD) = ?
D
Çözüm: AC = 4 alalım. K ve D ve K’dan AC’ye inilen dikme
ayakları sırasıyla N ve M olsun. Bu durumda AM = KM = 1, AN =
DN = 2 ve NL = 1 olur. Dolaysı ile  LND  KML olup m(KLD) =
900 dir.
1
1
A
M
L
1
2
N
1
1
//
//
K
P
C
B
Problem 21. ABC üçgeninde AC < BC olup m(C)= 600 dir. BC kenarı üzerinde alınan D noktası
için BD = AC’dir AC kenarının uzantısı üzerinde alına bir E noktası için AC = CE ise AB = DE
olduğunu gösteriniz.
E
Çözüm: BC kenarı üzerinde alınan bir F noktası için BD = CF olsun.
Bu durumda CD = BF olur. ADC eşkenar olup EC = AF ve m(DCE)
= m(AFB) = 1200 olduğu göz önüne alınırsa EDC ve AFB üçgenleri
eş olur. Bu durumda AB = ED’dir.
C
// D
60
60
A
F
//
B
16
Üçgende Eşlik Problem 22. ABC üçgeninin AB ve AC kenarları üzerine dışa doğru ABDE ve ACFG kareleri
inşa edilsin. Aşağıdaki ifadelerin doğruluğunu kanıtlayınız.
Çözüm:
a. Problem 2’den EC  BG olur.
G
E
A
45
45
P
45
F
45
D
C
B
matematikolimpiyatmerkezi
a. EC  GB dir.
b. EC, GB ve DF noktadaştır.
c. EG’nin orta noktası M olmak üzere MA  BC ve BC = 2.MA’dır.
b. EC  GB  P olsun. EC  BG olduğundan ABDE ve ACFG karelerinin çevrel çemberleri
P’den geçer. Bu durumda m(CPF) = m(BPD) = 450 olduğundan D, P, F doğrusaldır.
GG
11
M
E
D
G
E1
A
B1
H
B
C1
F
C
c. AM  BC  H olsun. E ve G noktalarından AM’ye inilen dikme ayakları sırsıyla E1 ve G1 ve
B ve C’den AH’a indirilen dikme ayakları sırasıyla B1 ve C1 olsun. EM = GM olduğundan EE1
= GG1’dir. Ayrıca  AEE1  ABB1 ve  AGG1  ACC1 olur. Bu durumda B1 = H = C1 olur. Bu durumda BH = AE1 ve CH = AG1 olur. Bu iki eşitlik BC = 2.MA olduğunu gösterir.
Aynı şartlar altında A’dan geçen BC’ye dik doğrunun EG’yi ortaladığını okuyucuya alıştırma
olarak bırakalım.
17
Üçgende Eşlik ALIŞTIRMA PROBLEMLERİ
E
1. AB doğru parçası üzerinde bir C noktası alınsın. AB’nin aynı
tarafında ACE ve CBD eşkenar olacak şekilde E ve D noktaları
verilsin. AD ile BE’nin kesim noktası F olduğuna göre m(EFD) =
?
F D
A
d2
D
C
D2
B1
B2
A
matematikolimpiyatmerkezi
2. ABCD karesinin A köşesinden CD ve BC kenarlarını kesen
d1ve d2 doğruları çizilsin. Bu doğrulara BB1, BB2, DD1, DD2
dikmeleri inilsin. Bu durumda B1B2  D1D2 ve B1B2 = D1D2 olduğunu gösteriniz.
B
C
D2
d1
B
3. ABCD paralelkenar olup BC ve DC kenarları üzerine dışa doğru BCQ ve DCP eşkenar üçgenleri inşa edilsin. AP = AQ olduğunu gösteriniz.
4. ABCD konveks dörtgeninde AB ile DC, P’de, AD ile BC, Q’da kesişsin. AB = PB = CQ ve
DC = DQ ise m(ABQ) = ?
5. ABCD konveks dörtgeninde m(A) = m(B) = 1200 ve AD = BC’dir. DC kenarı üzerine dışa
doğru PDC eşkenar üçgeni inşa edilsin. APB üçgeninin eşkenar üçgen olduğunu gösteriniz.
6. ABC üçgeninin BC, CA, AB kenarları üzerinde sırasıyla A1, B1, C1 noktaları alınsın. AC1 =
BA1 = CB1 olsun. ABC ve A1B1C1 üçgenlerinin çevrel çemberlerinin merkezlerinin çakışık olması için gerek ve yeter şartın ABC’nin eşkenar olması gerektiğini kanıtlayınız.
7. ABC eşkenar üçgeninin AB, BC, CA kenarları üzerinde alınan X, Y, Z noktaları için XYZ üçgeni eşkenar olsun. A(ABC) = 2.A(XYZ) ise AX : XB =?
8. ABC üçgeninin CA ve CB kenarları üzerine dışa doğru sırasıyla ACQ ve BCR dik üçgenleri
inşa edilsin. m(AQC) = m(BRC) = 900 ve m(CAQ) = m(CBR) olsun. AB’nin orta noktası P ise
PQ = PR ve m(QPR) = 2.m(CAQ) olduğunu gösteriniz.
18
Üçgende Eşlik 9. Şekilde ARB, BPC, CQA ikizkenar üçgenleri benzer olup
AR = BR, BP = CP ve CQ = AQ’dur. Bu durumda ARPQ’nun
paralelkenar olduğunu gösteriniz.
A
Q
R
P
C
matematikolimpiyatmerkezi
B
11. ABCD karesinin DC kenarı üzerine dışa(veya içe) doğru DCP üçgeni inşa edilsin. DP 
CP, PC = 3 ve PD = 4 ise PA = ?
12. ABCD karesinin DC kenarı üzerine dışa doğru DCP üçgeni inşa edilsin. DP  CP olup
DPC açısının açıortayı DC ve AB’yi sırasıyla K ve L de kessin. KC = AL olduğunu gösteriniz.
13 ABCD karesinin AD kenarı üzerinde P noktası ve AB’nin uzantısı üzerinde Q noktası verilsin. DP = BQ ise m(CPQ) = ?
14. ABCD karesinin AB, BC, CD, DA kenarları üzerinde sırasıyla A1, B1, C1, D1 noktaları verilsin. A1C1  B1D1 ise A1C1 = B1D1 olduğunu gösteriniz.
15. Dar açılı ABC üçgeninin diklik merkezi H olup H’den geçen bir doğru AB ve BC’yi sırasıyla P ve Q’da kessin. AC’nin orta noktası D ve DH  PQ ise HP = HQ olduğunu gösteriniz.
16. ABC dik üçgeninde m(B) = 900 ve m(C) = 150’dir. AC kenarı üzerinde bir D noktası verilsin. D’den BC’ye inilen dikme ayağı E olsun. AB = AD ise A(ABC) = 2.BE2 olduğunu gösteriniz.
19
Download

İndirmek için tıklayınız - Matematik Olimpiyat Merkezi