6. OLASILIK
Matematikte olasılık, herhangi bir şeyin gerçekleşme şansı, yani bir olaya hangi
sıklıkla rastlanabileceğinin ya da bir olayın olabilirlik derecesinin ölçüsüdür.
Havaya bir madeni para atacak olursanız yazı ya da tura gelebilir. Her ikisi için de
şans eşittir; burada iki eşit olasılık vardır; bunlardan biri tura gelme olasılığıdır ve bu
olasılık 1/2'dir.
Tek bir zar atıldığında, gelebilecek altı sayı vardır. Altı, bu sayılardan yalnızca biridir
ve ilk atışta gelme olasılığı 1/6'dır.
Olasılık istatistiğin önemli bir kısmıdır. Kesin olmayışlık ve belirsizlik gibi durumlarda
karar vermede olasılık teorisi önemli rol oynar. Olasılık günümüzde istatistikte,
kuramsal fizikte, hava durumu tahminlerinde, malların kalite kontrolünde
sigortacılıkta vb. yerlerde kullanılmaktadır.
Temel tanımlar
Sonuçlar: Bir deney yapıldığında elde edilen çıktıların her birine denir
Örnek uzay: Sonucu önceden bilinmeyen bir deney gerçekleştirilsin. Deney
sonucu önceden bilinmemesine rağmen olası sonuçlar kümesi bilinsin. Bu kümeye
“Örnek Uzayı” denir ve S ile gösterilir. Başka bir ifade ile bir deneyin tüm sonuçlarının
oluşturduğu kümeye örnek uzay denir.
Örnek 1 : Bir paranın atılması deneyinde S = {Y,T} dir.
Örnek 2 : Bir zarın atılması deneyinde S = {1,2,3,4,5,6}
Örnek 3 : İki paranın atılması deneyinde S = {(Y,Y), (Y,T), (T,Y), (T,T)}dir.
Örnek 4 : Bir arabanın ömrünün hesaplanması deneyinde ise örnek uzayı S = {0, ∞)“tüm gerçel sayılar kümesi” dir
Olay : Örnek uzayının her bir alt kümesidir ve bir harf ile gösterilir.
Örnek 1 : A ={Y} ise A olayı paranın yazı gelmesidir.
F ={T} ise A U F (A birleşim F) paranın yazı yada tura gelmesi olayı dır.
A∩F ise A ile F’ nin kesişimi, hem A de hem de F’ de olan olayları kapsar.
Örnek 2 : A = {1,3,5} ve F = {1,2,3} ise A∩F = {1,3} yani A∩F olayı 1 yada 3 gelirse
gerçekleşir.
Aşağıda verilen tabloyu inceleyiniz.
Deney
Sonuçlar
Örnek uzay - S
Madeni para atışı
Yazı, tura
S={ yazı, tura }
Zar atışı
1,2,3,4,5,6
S={ 1,2,3,4,5,6 }
Iki para atışı
YY, YT, TY, TT
S={ YY, YT, TY, TT }
Test
Doğru, Yanlış
S={ Doğru, Yanlış }
Bir kitap seçimi
Roman, inceleme
S={ Roman, inceleme }
Bir gün seçimi
Hafta içi, hafta sonu
S={ Hafta içi, hafta sonu }
Olasılık:
Bir olayın olasılığı şu şekilde tanımlanır.
Başka bir ifade ile bir A olayının olasılığı P(A) ile gösterilir ve aşağıdaki gibi
hesaplanır
Bu tanıma göre,
Gerçekleşmesi kesin olan olaylarda P(A)=1 dir. Bu olaylara kesin olay denir.
Gerçekleşmesi mümkün olmayan olaylara da P(A)=0 dır. Bu olaylara İmkansız olay
denir.. Örneğin balığın kavağa çıkması imkansız bir olaydır.
Herhangi bir olayın olmama olasılığı:
P'(A) = 1 - P(A) Olarak hesaplanır.
Örnek: S=(M,A,R,M,A,R,A)
ise çekilen bir harfin A olma olasılığı P(A)=3/7
çekilen bir harfin A olmama olasılığı P(A')=1-3/7=4/7 dir.
Bağımsız (ayrık)olaylar: İki olaydan herhangi birinin gerçekleşmesi diğer
olayın olma olasılığını değiştirmiyorsa, olaylar birbirlerini etkilemiyorlarsa(para-zar
olayları gibi)
bu olaylara bağımsız olaylar denir.
P(A ∩ B)= P(A) . P(B)
örnek: Para ile zar aynı anda atılıyor.Paranın yazı, zarında 3 gelmesi olasılığı kaçtır?
P(A ∩ B)= 1/2 . 1/6 = 1/12
Örnek : 2 zar atıldığı varsayılsın. A olayı 2 zar toplamının 6 gelmesi ve B ise ilk zarın
4 gelme olayı olsun. A ve B bağımsız olaylar mıdır?
P (A∩ B) = P {(4,2)} = 1/36
P(A).P(B)=5/36. 6/36 = 5/216
P (A∩ B) ≠ P(A).P(B)
olduğundan A ve B olayları bağımsız olaylar değildir.
Örnek : A olayı 2 zar toplamının 7 ve B olayı ilk zarın 4 olma olayı olsun. A ve B
olaylar bağımsız mıdır?
P (A∩ B) = P{(4,3)} = 1/36
P (A).P (B) = 6/36.6/36 = 1/36
A ve B olayı bağımsız olaylardır.
Ayrık iki olayın birleşiminin olasılığı:
P(AUB)= P(A) + P(B)
örnek: Bir kutuda 1'den 10'a kadar numaralandırılmış 10 kart vardır.Kutudan rastgele
seçilen bir kartın 2 veya 8 numaralı kart olması olasılığı kaçtır?
P(AUB)= 1/10 + 1/10 = 2/10 = 1/5
Bağımlı olaylar: İki olaydan herhangi birinin gerçekleşmesi diğer olayın olma
olasılığını değiştiriyorsa bu olaylara bağımlı olaylar denir.
Ayrık olmayan bağımlı iki olayın birleşiminin olasılığı:
P(AUB)= P(A) + P(B) - P(A ∩ B)
P(AUBUC)= P(A) + P(B) + P(C) - P(A ∩ B)- P(A ∩ C)- P(B ∩ C)+P(A∩B∩C)
dir.
örnek: Atılan bir zarın üst yüzeyine gelecek sayıların 3'ten büyük veya çift gelme
olasılığını bulunuz?
S=(1,2,3,4,5,6)
A=(4,5,6)
B=(2,4,6)
A ∩ B=(4,6)
P(AUB)= 3/6 + 3/6 - 2/6 = 4/6 = 2/3
Koşullu olasılık
Herhangi iki A ve B olayı P(B)> 0 için B gerçekleştiğinde A nın koşullu olasılığı;
Olarak verilir.
Örnek : Bir ailenin iki çocuğu vardır. Çocuklardan en az birisi erkek ise her iki
çocuğunda erkek olma olasılığı nedir?
S = {(e,e), (e,k), (k,e), (k,k)}
A olayı = her ikisininde erkek olması
B olayı = en az birinin erkek olması
Örnek:
İki zar birlikte atılıyor. Toplam 6 gelmişse zarlardan sadece birinin 2 gelme olasılığı
nedir?
Toplamın 6 gelmesi olayı B ile ve zarlardan birinin 2 gelmesi olayı A İle gösterilirse
A = {(2,1) (2, 3) (2,4) (2,5) (2,6) ... (6,2)}
B = {(1,5) (2,4) (3,3) (4, 2) (5,1)}
olacaktır. Ayrıca
A∩B = {(2,4) (4, 2)} olduğu açıktır.
Bir çift zar atıldığında 36 mümkün sonuç olduğuna göre
Böylece B verilmişken A nın koşullu olasılığı
olarak bulunur.
Koşullu olasılık için çarpım
İki olayın arakesitinin meydana gelme olasılığı çarpım kuralı kullanılarak
hesaplanabilir. B verilmişken A'nın koşullu olasılığı
Olarak verildiği biliniyor. Buna göre
Olarak verilir.
Bu formül A1 A2,.....An gibi n tane olay için genelleştirilirse
Olarak ifade edilir.
Örnek:
52 lik bir desteden yerine koymaksızın 3 kart çekiliyor.
Bu üç kartında as olması
olasılığı nedir?
Aşağıdaki olayları tanımlayalım.
A1i İlk kart bir astır.
A2: İkinci kart bir astır.
A3: Üçüncü kart bir astır.
(A1∩A2∩A3) sorulmaktadır. (A1∩A2∩A3) olayının olasılığı; ilk çekilişte bir as
bulma olasılığı; ilk çekilişte as bulunduğu verilmişken ikinci çekilişte as bulunması
olasılığı; birinci ve ikinci çekilişlerde as bulunduğu verilmiş üçüncü çekilişte as
bulunması, olasılığının çarpımlarına eşittir.
(A1) =4/52
(A2|A1)=3/51
(A3| A1∩A2)=2/50 ve
(A1∩A2∩A3) =(4/52).(3/51).(2/50)=24/132600
olarak bulunur.
Toplam Olasılık
Aşağıda verilen şekilde çoğu zaman P(A) yı doğrudan hesaplamak zordur. Bu
durumlarda P(A|B) yi bulmak daha kolay olabilir. Bundan yararlanarak B1, B2, ..Bn
olayları S örnek uzayının bir bölümlemesi ise A olayını aşağıdaki gibi yazabiliriz.
A= (A∩B1) U (A∩B2)U(A∩B3) …. U(A∩Bn) olarak yazılabilir.
A olayının olasılığı aşağıda verildiği gibi hesaplanır.
P(A)= (A∩B1) + P(A∩B2)+P(A∩B3) …. +P(A∩Bn)
Burada
ve
Olarak yazılabilir.
yerine yazılırsa
Örnek : Bir fabrikada 3 makine vardır. A üretilen parçaların %20' sini, B %30' unu ve
C %50 sini üretmektedir ve A tarafından üretilen parçaların %6 sı, B' de üretilen
parçaların %7 si, C de üretilen parçaların % 8 si hatalıdır. Üretilen parçalar bir
konteynerde toplanmaktadır. Mesai sonunda konteynerden rasgele bir parçanın
hatalı olma olasılığı nedir?
F = parçanın hatalı olma olayı P (F) = ?
= 0,06.0,2+ 0,07.0,3+0,08.0,5 = 0,073
Örnek:
Bir depoda 20 kusurlu 80 kusursuz elektrik ampulü bulunsun. Yerine koymaksızın 2
ampul seçelim. İkinci seçilen ampulün kusurlu olması olasılığını bulunuz.
Aşağıdaki olayları tanımlayalım.
A1 = (İlk seçilen kusurludur)
A2 = (İlk seçilen kusursuzdur)
A3 = { İkinci seçilen kusurludur]
P(A3) olasılığı şöyle hesaplanır:
P (A3) = P (A3|A1) . P(A1) + P (A3|A2) . P(A2)
P(A3)=19/99.20/100 +20/99.80/100
P(A3)=1/5 olarak bulunur.
Bayes Kuralı
B1, B2, ..Bn olayları S örnek uzayının bir bölümlemesi ve P(
ve ve P(
ise
A olayını aşağıdaki gibi yazabiliriz. Buna bayes kuralı denilmektedir.
Örnek:
A torbasında 3 kırmızı 5 beyaz, B torbasında 2 kırmızı 1 beyaz ve C torbasında 2
kırmızı 3 beyaz top vardır. Rastgele seçilen bir torbadan rastgele bir top çekilmiştir.
Çekilen topun kırmızı olduğu bilindiğine göre bunun A torbasından çekilmiş olma
olasılığı nedir?
Aşağıdaki ağaç diyagramı göz önüne alınsın.
A olayı A torbasının seçilmesi,
B olayı B torbasının seçilmesi
C olayı C torbasının seçilmesi olsun.
K olayı ise çekilen topun kırmızı olması olsun.
Download

6. Olasılık - İbrahim Aksoy