Çözümlü Problemler Matematik Olimpiyatları İçin Çemberler 2 Teğet Çemberler Kirişler Dörtgeni Ptolemy Teoremi Dikgen Kirişler Dörtgeni Teğetler Dörtgeni LİSE MATEMATİK OLİMPİYATLARI İÇİN
Osman EKİZ
Çemberler 2
Osman Ekiz
6. Teğet Çemberler
Teorem 6.1 Birbirlerine teğet olan iki çemberin merkezlerini birleştiren doğru değme noktasından geçer.
matematikolimpiyatmerkezi
101. İki çember P noktasında dıştan teğet olup ortak dış teğetlerinin değme noktaları A ve B ise
m(APB) = 900 olduğunu gösteriniz.
Çözüm: Çemberlere P’de teğet olan doğru AB’yi C’de kessin. AC = CP = BC olduğundan
m(APB) = 900’dir.
102. O1 merkezli C1 çemberi ile O2 merkezli C2 çemberi P’de dıştan teğettir. O1O2, C1 çemberini A’da, C2 çemberini B’de kessin. Bu çemberlerin ortak dış teğeti C1’e D’de, C2’ye C’de teğettir. AD ile BC’nin kesim noktası Q olduğuna göre, AD  BC ve AD, BC ve çemberlerin
P’deki ortak teğetinin noktadaş olduğunu gösteriniz.
Q
D
C
A
O2
O1
P
B
Çözüm: m(QAB) = m(CDP), m(QBA) = m(DCP) ve m(DPC) = 900 olduğundan m(QAB) +
m(QBA) = 900 olup AQ  BQ’dur. AD  PD ve BC  PC olduğundan PDQC dikdörtgendir. Bu
durumda m(DQP) = m(DCP) olup m(QAB) + m(QBA) = 900 olduğundan m(QAB) + m(QBA) =
m(QAB) + m(DCP) = m(QAB) + m(DQP) = 900 olur. Dolayısı ile PQ  AB olup çemberlerin
P’deki teğeti Q noktasından geçer.
103. O1 ve O2 merkezli C1 ve C2 çemberleri P noktasında içten (veya dıştan) teğettir. P’den geçen bir doğru C1 ve C2 çemberlerini sırasıyla P1 ve P2 noktalarında kestiğine göre O1P1 // O2P2
olduğunu gösteriniz.
Çemberler 2 P
P2
P
O1
O2
O2
O1
P2
P1
P1
P
Q1
P2
Q2
P
P1
Q2
P2
P1
Q1
matematikolimpiyatmerkezi
Çözüm: m(O1P1P) = m(O1PP1) = m(O2PP2) = m(O2P2P) olduğundan O1P1 // O2P2’dir. dıştan
teğet olma durumu da benzer şekilde çözülebilir.
Ayrıca problemde verilenler ışığında P’den geçen başka bir doğru C1 ve C2 çemberlerini sırasıyla Q1 ve Q2 noktalarında kessin. Bu durumda Q1P1 // Q2P2 olacaktır.
104. O1, O2, O3 merkezli C1, C2, C3 çemberleri ikişer ikişer dıştan teğettir. C1 ve C2, A noktasında, C2 ve C3, B noktasında, C3 ve C1, C noktasında teğettir. AC ve AB, C3 çemberini P ve
Q’da kestiğine göre PQ’nun C3 çemberinin çapı olduğunu gösteriniz.
Q
O1
B
P
C
A
O2
Çözüm: O1, A ve O2 noktaları doğrusaldır. Ayrıca O1A // PO3 ve O2 A // QO3 olduğundan P,
O3, Q noktaları doğrusaldır. Bu durumda PQ, C3 çemberinin çapıdır.
105. O merkezli AB çaplı yarım çemberin çapı üzerinde bir C noktası verilsin. AB’ye C’de dik
doğru çemberi D’de kessin. CD, CB ve çembere sırasıyla P, Q ve R’de teğet olan bir çember
verilsin. m(PRB) = 900 olduğunu gösteriniz.
D
P
A
R
M
O C Q
B
Çözüm: Diğer çemberin merkezi M olsun. O, M, R doğrusal olup MP  CD olduğundan MP //
AB’dir. Bu durumda m(MPR) = m(MRP) = x alırsak m(BOR) = 2x ve m(ORB) = 900 – x olup
m(PRB) = 900’dir.
2
Çemberler 2 106. O merkezli AB çaplı yarım çemberin çapı üzerinde bir C noktası verilsin. AB’ye C’de dik
doğru çemberi D’de kessin. CD, CB ve çembere sırasıyla P, Q ve R’de teğet olan bir çember
verilsin. AD = AQ olduğunu gösteriniz.
D
R
A
O C
B
Q
matematikolimpiyatmerkezi
P
Çözüm: Üstteki problemden A, P, R doğrusaldır. Bu durumda APC ve ABR üçgenleri benzer
olduğundan AP.AR = AC. AB’dir. A’nın içteki çembere nazaran kuvvetinden AQ2 = AP.AR’dir.
Ayrıca ADB dik üçgeninde AD2 = AC.AB olduğundan AD = AQ olmalıdır.
Açıklama. Problemimizde ayrıca DQ, CDB açısının açıortayıdır.
107. AB çaplı S çemberinin AB çapı üzerinde bir C noktası verilsin. AC ve BC çaplı çemberler
sırasıyla S1 ve S2 olsun. C’den geçen bir doğru S1 ve S2 çemberlerini sırasıyla K ve L’de, S
çemberini P ve Q noktalarında kessin. PK = QL olduğunu gösteriniz.
Q
L
A
C
K
P
B
108. C1, C2 ve C3 çemberleri birbirine dıştan teğet olup C1ile C3, A’da, C2ile C3, B’de, C1ile C2,
C’de teğettir. C’den geçen C1 ile C2 çemberlerine teğet olan doğru C3 çemberini sırasıyla P ve
Q’da kessin. PQ’nun orta noktası R ise ABR üçgeninin dışteğet çemberlerinin birinin merkezinin C noktası olduğunu gösteriniz.
Q
R
A
P
C
B
109. C2 çemberi C1 çemberine P noktasında içten teğet olsun. C2 çemberine üzerindeki X noktasından çizilen teğet C1 çemberini A ve B’de kessin. m(APX) = m(BPX) olduğunu gösteriniz.
3
Çemberler 2 M
P

N

L
K
B
matematikolimpiyatmerkezi
A


Çözüm: PA ve PB, C2 çemberini K ve L’de kessin. Ayrıca her iki çembere P’de teğet olan
doğru üzerinde şekildeki gibi M ve N noktaları alalım. m(BPX) =  ve m(PAX) =  ve olmak
üzere  = m(BPX) = m(BXL) ve  = m(PAX) = m(BPN) = m(PXL) olduğundan m(APX) +
m(PAX) = m(PXB) =  +  olup m(PAX) =  olur.
110. C2 çemberi C1 çemberine P noktasında içten teğet olsun. C1 çemberine üzerindeki Q noktasından C2 çemberine çizilen teğetlerin değme noktaları X ve Y olup QX ve QY, C1 çemberini
sırasıyla A, B’de kessin. m(APB) = 2.m(XPY) olduğunu gösteriniz.
P
B
Y
Q
X
A
Çözüm: 109 dan m(APX) = m(QPX) ve m(QPY) = m(BPY) olup m(APB) = 2.m(XPY) olur.
111. C1 çemberi C2 çemberine A noktasında içten teğet olmak üzere A’dan geçen bir doğru C1
ve C2’yi sırasıyla B ve C’de kessin. C1’e B’de teğet olan doğru C2 çemberini D ve E’de kessin.
C1 çemberine C noktasından çizilen teğetlerin değme noktaları F ve G olsun. D, E, F, G noktalarının çembersel olduğunu gösteriniz.
A
F
G
D
B
E
C
4
Çemberler 2 Çözüm: 109 dan m(CAE) = m(CAD) olup CD = CE ve m(CAE) = m(CAD) = m(CEB) olduğundan CAE ve CEB üçgenleri benzer olup CE2 = CB.CA’dır. C noktasına göre kuvvetten CG2
= CB.CA olur. Bu durumda CE = CG’dir. Benzer şekilde CF = CD olduğu gösterilebilir. Bu
durumda CE = CG = CF = CD olduğundan D, E, F, G noktaları C merkezli CE yarıçaplı çember üzerindedirler.
B noktalarından C2 çemberine AE ve AF teğetleri çizilsin.
PA

PB
AE
BF
olduğunu gösteriniz.
A
E
matematikolimpiyatmerkezi
112. C2 çemberi C1 çemberine P noktasında içten teğet olsun. C1 çemberi üzerinde alınan A ve
A1
B
B1
P
F
Çözüm: PA ve PB, C2 çemberini sırasıyla A1 ve B1’de kessin. P-3’den A1B1 // AB’dir. Bu du AE 


 PA1 
rumda
AE

BF
PA1
PA

PB1 PB
2

AA1. AP
BB1 BP  BF 
.



A1P. A1P B1P B1P  PB1 
’dir.
2
olup
AE
PA1

BF
PB1
olur.
Bu
durumda
113. ABC üçgeninin I merkezli iç çemberi BC kenarına D noktasında teğettir. İç çembere D’de
ve ABC üçgeninin çevrel çemberine P noktasında içten teğet bir  çemberi verilsin. m(API) =
900 olduğunu gösteriniz.
Çözüm: İç çember AB ve AC kenarlarına sırasıyla F ve E’de teğet olsun. 112 den
PB
PC

BD
BC

BF
CE
olup m(PBF) = m(PCE) olduğundan PBF  PCE olur. Bu durumda m(PFA)
5
Çemberler 2 = m(m(PEA) olur. Bu ise A, P, F, E noktalarının çembersel olduğunu gösterir. IF  AB ve IE
 AC olduğundan A, F, I, E noktaları çemberseldir. Bu durumda A, P, F, I, E noktaları çembersel olup m(API) = m(AFI) = 900
D
A
Q
F
E
C
B
P
Çözüm: 112 den
reminden
AQ
AF

PA

PB
AF
dir. m(QEB) = m(AFQ) olup AQF ve BQE üçgenlerinde sinüs teo-
BE
sin AFQ
sin AQF

matematikolimpiyatmerkezi
114. C1 çemberi üzerinde verilen sırada A, B, C, D noktaları verilsin. C2 çemberi P noktasında
C1 çemberine içten teğet olsun. DB ile AC, C2 çemberine sırasıyla E ve F’de teğet olup
EF  AB  Q ise PQ’nun APB açısının açıortayı olduğunu gösteriniz.
sin BEQ
sin BQE

BQ
olur. Bu durumda
BE
APB açısının açıortayı olduğunu gösterir.
AQ
BQ

AF
BE

PA
PB
olur. Bu ise PQ’nun
115. ABC üçgeninin çevrel çemberine P noktasında içten teğet K çemberi verilsin. AB ve AC,
K çemberine sırasıyla M ve N’de teğet olup AP  MN = S ise m(SBA) = m(SCA) olduğunu
gösteriniz.
Çözüm: 112 den
BM
CN

BP
CP

sin BCP
sin CBP
benzer olup m(SBA) = m(SCA)’dır.

sin BAP
sin CAP

MS
NS
olur. Bu durumda BMS ve CNS üçgenleri
116. Bir S çemberi ABC üçgeninin AB, CA kanarlarına teğettir. S çemberi ABC üçgeninin
çevrel çemberine K noktasında teğet olsun. ABC üçgeninin iç çember merkezi I olmak üzere
m(AKI) = m(CKI) olduğunu gösteriniz.
117. İkişer ikişer birbirine dıştan teğet olan dört çemberin değme noktalarının köşe kabul eden
dörtgenin kirişler dörtgeni olduğunu gösteriniz.
6
Çemberler 2 118. AB çaplı yarım çembere S noktasında iç ten teğet olan bir çember AB’ye T’de teğettir.
S’den AB’ye inilen dikme ayağı E olamk üzere AT = 6 ve TB = 4 ise SE = ?
duğunu gösteriniz.
matematikolimpiyatmerkezi
119. r1, r2, r3 yarıçaplı C1, C2, C3 çemberleri verilsin. C1 ve C2 çemberleri dıştan teğet olup C3
1
1
1
çemberi ise hem C1 ve C2 çemberlerine hem de ortak dış teğetine teğet ise


olr3
r1
r2
120. O1 ve O2 merkezli C1 ve C2 çemberleri birbirine dıştan teğet, O merkezli R yarıçaplı C
çemberine içten teğettirler. O1OO2 üçgeninin çevresinin 2R olduğunu gösteriniz.
121. O1 ve O2 merkezli C1 ve C2 çemberleri P noktasında dıştan teğettir. Çemberlerin P noktasındaki ortak teğeti üzerinde alınan bir A noktasından C1 ve C2 çemberlerine çizilen teğetlerin
değme noktaları sırasıyla P1 ve P2 olsun. m(P1AP2) = 1200 ve P1AP ve P2AP açıları dardır. AP1
ve AP2, O1O2’yi sırasıyla G1 ve G2’de kessin.
122. AB çaplı yarım çembere C diyelim. Yarıçapları sırasıyla r, r1, r2 olan S, S1, S2 çemberleri
AB doğru parçası ile C çemberine teğettirler. S1 ve S2, S çemberine dıştan teğet olduğuna göre
1
1
2 2


olduğunu gösteriniz.
r1
r2
r
7. Kirişler Dörtgeni ve Ptolemy Teoremi
Tanım 7.1. Dört köşesi bir çember üzerinde olan dörtgenlere kirişler dörtgeni denir. Tanımın
doğal sonucu olarak kirişler dörtgeninde karşılıklı açılar toplamı 1800 dir.
Sonuç 7.1. Karşılıklı açılar toplamı 1800 olan dörtgen kirişler dörtgenidir.
Sonuç 7.2. ABCD dörtgeninde m(ABD) = m(ACD) ise dörtgen kirişler dörtgenidir. Yani bir
dörtgende bir kenarı ortak olan üçgenlerin ortak kenarlara bakan açıları eşit ise bu dörtgen kirişler dörtgenidir.
7
Çemberler 2 matematikolimpiyatmerkezi
123. ABCD kirişler dörtgeninin çevrel çemberinin merkezi O ve AC ile BD’nin kesim noktası
O’dan farklı M noktasıdır. M’den geçen OM’ye dik doğru AB ve CD kenarlarını sırasıyla X ve
Y’de kessin. BX = CY olması için gerek ve yeter şartın AB = CD olduğunu gösteriniz.
Çözüm: AB = CD ise ABCD ikizkenar yamuk olup OM  AD ve OM  BC’dir. Bu durumda
XY // BC olup BX = CY’dir.
BX = CY olsun. AB ve CD’nin orta noktaları sırasıyla P ve Q olmak üzere OPXM ve OQYM
dörtgenleri kirişler dörtgeni olur Bu durumda m(OPM) = m(OXM) ve m(OQM) = m(OYM)’dir.
MP ve MQ kenarortaylar olduğundan MPB  MQC ve m(MPB) = m(MQC) olur. m(OPM) =
900 - m(MPB) = 900 - m(MQC) = m(OQM) olur. Bu durumda m(OXM) = m(OYM) ve OX =
OY’dir. Dolayısı ile OXB  OYC olup buradan m(OBA) = m(OCD)’dir. Bu durumda ABO
ve DCO üçgenleri ikizkenar ve eş olup AB = CD yani BC // AB’dir.
124. ABCD kirişler dörtgeninin alanı S olsun. ABCD çemberinin merkezi O olup dörtgenin iç
bölgesindedir. Köşegenlerin kesim noktasının dörtgenin kenarları üzerindeki dik izdüşümü olan
noktaları köşe kabul eden dörtgenin alanın S/2’yi geçemeyeceğini gösteriniz.
D
P
C
Q
N
E
A
M
F
B
Çözüm: Çemberin yarıçapı R ve AC ile BD’nin kesim noktası E olsun. E’nin AB, BC, CD, DA
ve MN üzerindeki dik izdüşümleri sırasıyla M, N, P, Q ve F olsun.
MN  BE .sin ABC 
BE. AC
2R
8
Çemberler 2 2
R
2R
2
–
A( MEN ) 
AE.BE .sin AEB
OE
MN .EF
2

olduğundan

8R

4R

2
2
2
AC .BD.sin AEB. R  OE
2
2
2
R  OE
EF 
2
2
AC .BE.sin AEB. R  OE
lerinin alanları bulunup toplanırsa
A( MNPQ ) 
sin CBE olup BE.sin CBE  CE sin BCE 
2R
sin AEB
CE . AB
2R
olur.
ve AE.CE =
Buradan
olur. Benzer şekilde NEP, PEQ ve QEM üçgen-
  A( ABCD) olur.
2
matematikolimpiyatmerkezi
ve EF  EM .sin EMN 
125. Yarı çevresi u ve kenar uzunlukları a, b, c, d olan kirişler dörtgeninin alanı
S  (u  a )(u  b)(u  c)(u  d ) dir.
Çözüm: Kiriş dörtgeninin alanı S olsun. m(ABC) = β ve m(ADC) = γ ise β + γ = 180o olduğundan cos  = –cos γ ve sin  = sin γ.
A
d
a
e
B

b

c
D
C
Ayrıca ABC ve ADC üçgenlerinde uygulanacak kosinüs teoremlerinden
a2 + b2 – 2abcos β = e2 = c2 + d2 – 2cdcos γ
olup eşitliğidüzenlersek;
2(ab + cd)cos β = a2 + b2 – c2 – d2
bulunur. Ayrıca sinüs alan bağıntısından
1
1
1
S = absin β + cdsin γ = (ab + cd)sin β
2
2
2
Olup 2(ab + cd)sin β = 4S olur. Bu iki eşitliğin kareleri alınıp toplanırsa:
4(ab + cd) = (a2 + b2 – c2 – d2) + 16S2
bulunur.
16S2 = (2ab + 2cd)2 – (a2 + b2 – c2 – d2)2
= (2ab + 2cd – (a2 + b2 – c2 – d2))(2ab + 2cd + (a2 + b2 – c2 – d2))
= (c2 + 2cd + d2 – a2 + 2ab – b2)(a2 + 2ab + b2 – c2 + 2cd – d2)
9
Çemberler 2 = ((c + d)2 – (a – b)2)((a + b)2 – (c – d)2)
= (c + d – a + b)(c + d + a – b)(a + b – c + d)(a + b + c – d)
= (a + b + c + d – 2a)(a + b + c + d – 2b)(a + b + c + d – 2c)(a + b + c + d – 2d)
= (2u – 2a)(2u – 2b)(2u – 2c)(2u – 2d)
= 16(u – a)(u – b)(u – c)(u – d)
Dolayısıyla
(u  a )(u  b)(u  c)(u  d ) .
matematikolimpiyatmerkezi
|ABCD| = S =
126. Kenar uzunlukları sabit bir dörtgenin alanının en büyük değerini alması için dörtgenin kirişler dörtgeni olması gerektiğini gösteriniz.
127 [Ptolemy]. Bir kirişler dörtgeninde karşılıklı kenar uzunluklarının çarpımlarının toplamları, köşegen uzunluklarının çarpımlarına eşittir.
Çözüm: ABCD kirişler dörtgeni olsun. |AB| = a, |BC| = b, |CD| = c, |DA| = d ve köşegen uzunlukları e ve f olsun. Genelliği bozmadan m(DAC) > m(BAC) olsun. BD üzerinde alınan bir F
noktası için m(DAF) = m(CAB) olsun.
m(ADB) = m(ACB) ve m(ABD) = m(ACD)
olduğundan ADF ile ACB üçgenleri benzerdir. Bu durumda
AC
BC
yani |AD||BC| = |AC||FD|.
(1)

AD
FD
Benzer şekilde ABF ile ACD üçgenlerinin benzerliğinden olur.
|AB||CD| = |BF||AC|
(2)
(1) ve (2) taraf tarafa toplanırsa
|AB||CD| + |AD||BC| = |BF||AC| + |FD||AC|
= (|BF| + |FD|)|AC|
= |BD||AC|.
Yani; ac + bd = ef olur.
10
Çemberler 2 128. Bir ABCD paralelkenarının A köşesinden geçen çember AB kenarını E’de, AC köşegenini
F’de ve AD kenarını T’de kessin. AEAB + ATAD = AF.AC olduğunu gösteriniz.
A
A
D
E
F


T

 F
C
B

T
C
matematikolimpiyatmerkezi
B
D
E
Çözüm: EBTF bir kiriş dörtgeni olduğundan Ptolemy Teoremi’ne göre |BE||FT| + |BT||EF| =
|BF||ET|. Aynı zamanda ETF ile BCD üçgenleri benzer olduğundan
FT  EF  ET  k Dolayısıyla |FT| = k|DC| = k|AB|, |EF| = k|BC| ve |ET| = k|BD|’dir.
DC
BC
BD
Bu değerleri ilk bulduğumuz eşitlikte yerine yazalım:
|BE||AB| + |BT||BC| = |BF||BD|.
129. ABC üçgeninde AB = AC dir. ABC’nin çevrel çemberinin kısa olan BC yayı üzerinde alıPA
AC
olduğunu gösteriniz.
nan bir P noktası için

PB  PC BC
Çözüm:
Ptolemy
teoreminden
PA.BC  AB.PC  AC.PB  AC  PB  PC 
PA
AC

’dir.
PB  PC BC
olduğundan
130. ABCD karesinin çevrel çemberinin kısa olan BC yayı üzerinde alına bir P noktası için
PA  PC PD

olduğunu gösteriniz.
PB  PD PA
PA
AB
PD
AD

ve

olur.
PB  PD BD
PC  PA AC
AD AB
PA
PD
PA  PC PD

’dir.

olduğundan

olup
AC BD
PB  PD PC  PA
PB  PD PA
Çözüm: AD = AB ve AD = AC olup ve 129 dan
131. Aynı çember üzerinde bulunan A, B, C, D, E noktaları için m(BAC) = m(CAD) = m(DAE)

CA
ise BA AD 
olduğunu gösteriniz.
CA  AE
AD
11
Çemberler 2 A
A
a  
B
d
b
m
c
D
C
d
b
c
n
E
C
a  

n
E
m
m
D
matematikolimpiyatmerkezi
B
Çözüm: |BC| = |CD| = |DE| = m ve |BD| = |CE| = n olsun. ABCD dörtgeninde Ptolemy Teoremi’nden ma + mc = nb ve ACDE dörtgeninde Ptolemy Teoremi’nden mb + md = nc’dir. Bu iki
ac b
BA  AD  CA olarak bulunur.
eşitlik birbirine bölünürse
 yani
bd c
CA  AE
AD
132. ABCD kirişler dörtgeninin çevrel çember yarıçapı 1 olmak üzere AB.BC.CD.DA  4 ise
ABCD’nin kare olduğunu gösteriniz.
Çözüm: AB = a, BC = b, CD = c ve DA = d olsun. Ptolemy teoreminden ac + bd = AC.BD  4
dir. AGO’dan ac  bd  2 abcd  2 4  4 olur. ac + bd = 4 ve AC.BD = 4 olur. Bu durumda
AC ve BD çemberin çapları olup ABCD dikdörtgen olmalıdır.
(ac – bd)2 = (ac + bd)2 – 4abcd = 16 – 16 = 0 olduğundan ac = bd = 2 olur. (a – c)2 = a2 + c2 –
2ac = AC2 – 2ac = 4 – 4 = 0 olduğundan a = c olur. Benzer şekilde b = d olup ABCD kare olur.
133. ABC üçgeninin çevrel çemberi üzerinde alınan bir P noktası için
PA PB PC


 2 olBC CA AB
duğunu gösteriniz.
Çözüm: Ptolemy teoreminden PB.b + PC.c = PA. a olur. Her iki taraf a2 ile bölünürse
PA
b
c
 PB 2  PC 2 olup
a
a
a
 b2  a 2 
 c2  a2 
PA PB PC


 PB  2   PC  2 
a
b
c
 ab 
 ac 
olur.
AGO’dan
PA PB PC
 PB  PC 
 2ab 
 2ac 
 PB  2   PC  2  = 2 


 olur. PBC üçgeninde üçgen eşitsiza
a
b
c


a b
a c
PA PB PC
liğinden PB + PC  a olduğundan


 2 olacaktır.
BC CA AB
12
Çemberler 2 134. ABCD kirişler dörtgeni ise
AC AB. AD  CB.CD

olduğunu gösteriniz.
BD BA.BC  DA.DC
Benzer şekilde BA.BC + DA.DC = 2.sinB.A(ABCD) olur.
(2)
matematikolimpiyatmerkezi
Çözüm: Sinüs alan bağıntısından AB.AD = 2.A(ABD).sinA ve CD.CB = 2.A(CDB).sinC olup
ABCD kirişler dörtgeni olduğundan sinA = sinC olup
AB.AD + CD.CB = 2.sinA(A(ABD) + A(CDB)) = 2.sinA.A(ABCD) olur. (1)
ABCD dörtgeninin çevrel çember yarıçapı R olmak üzere sinüs teoreminden AC = 2R.sinB ve
BD = 2R.sinA
(3)
AC AB. AD  CB.CD
1, 2 ve 3’ten

eşitliğine ulaşılır.
BD BA.BC  DA.DC
135. Bir ABCD kirişler dörtgeninde AB.BC = 2.AD.DC ise AC, BD köşegenleri için 8.BD2 <
9.AC2 eşitsizliğinin sağlanacağını kanıtlayınız.
Çözüm:
2
 AB. AD  CB.CD 
AC AB. AD  CB.CD
AC AB. AD  CB.CD
 AC 

olup 

ise
olur.
 
2
BD
3.DA.DC
BD BA.BC  DA.DC
 BD 
9.  DA.DC 
2
a ve b pozitif reel sayı olmak üzere (a +b)2  4ab olduğundan
 AB. AD  CB.CD 
2
 4. AB. AD.CB.CD  8  AD.DC  olup her iki tarafı 9  AD.DC  ye böler2
2
8
 AC 
sek 
  olacaktır.
9
 BD 
136. ABCD kirişler dörtgeni ise AC  BD  AB  CD olduğunu gösteriniz.
2
Çözüm: AC ve BD’nin orta noktaları sırasıyla E ve F olmak üzere Euler formülünden;
AC2 + BD2 + 4EF2 = AB2 + BC2 + CD2 + DA2 ve ABCD kirişler dörtgeni olduğundan Ptolemy
teoreminden AC.CD + AD.BC = AC.BD’dir.
(AC – BD)2 + 4EF2 = (AB – CD)2 + (AD – BC)2 olur. AB’nin orta noktası M olmak üzere
MEF üçgeninde EF  ME  MF olup 2 EF  2.ME  2.MF  BC  AD olur. Buradan
4EF 2   AD  BC  eşitsizliğini elde ederiz. Bu durumda (AC – BD)2 < (AB – CD)2 olup
2
13
Çemberler 2 AC  BD  AB  CD olur. Eşitlik ise M, E, F noktalarının doğrusal olması ile mümkündür.
Bu ise ABCD’nin ikizkenar yamuk veya dikdörtgen olması demektir.
Çözüm: AB, AC, AD ışınları üzerinde alınan B1, C1, D1 noktaları için AB1 
matematikolimpiyatmerkezi
137. [Ptolemy Eşitsizliği]. Konveks ABCD dörtgeninde AC.BD  AB.CD + BC.AD dir. Eşitlik ancak ve ancak ABCD’nin kirişler dörtgeni olması durumunda geçerlidir.
1
1
, AC1 
,
AB
AC
1
olsun. Bu durumda ABC ve AC1B1 üçgenleri benzer olup benzerlik katsayısı
AD
1
BC
CD
olur. Bu durumda B1C1 =
olur. Benzer şekilde C1 D1 
ve
AB. AC
AB. AC
AC. AD
BD
dir. B1C1D1 üçgeninde üçgen eşitsizliğinden B1D1  B1C1 + C1D1 
B1 D1 
AB. AD
BD
BC
CD


olup eşitsizliğin her iki tarafı AB.AC.AD ile çarpılırsa .BD 
AB. AD AB. AC AC. AD
AB.CD + BC.AD olur.
AD1 
138. ABCDEF konveks altıgeninde AB = BC, CD = DE ve EF = FA ise
olduğunu gösteriniz.
BC DE FA 3



BE DA FC 2
Çözüm: AC = a, CE = b ve EA = c olsun.
ACEF dörtgeninde Ptolemy eşitsizliğinden AC.EF + CE.AF  AE.CF olup EF = AF olduğunFA
c
BC
a
DE
b



olur. Benzer şekilde
ve
olur. Eşitsizlikleri taraf tarafa
dan
FC a  b
DA c  a
BE b  c
BC DE FA
a
b
c
dir
toplarsak





BE DA FC b  c c  a a  b
a
b
c
abc abc abc
olup AHO dan
1
1



bc
ca
ab
bc
bc
bc
9
9
a
b
c
3
abc abc abc


 olur. Eşitlik a =



 olup
2(
)
a

b

c
bc ca ab 2
2
bc
bc
bc
abc
b = c ve ACEF, ACDE ve ABCE dörtgenlerinin kiriş dörtgeni olması durumunda geçerli olup
bu ise altıgenin düzgün olmasını gerektirir.
1
14
Çemberler 2 139. ABCD kirişler dörtgeninde ABD ve ABC üçgenlerinin diklik merkezleri sırasıyla Hc ve Hd
ise CDHcHb’nin paralelkenar olduğunu gösteriniz.
Çözüm: DHc  AB ve CHd  AB olduğundan DHd // CHb dir. Ayrıca p-..’dan
DH c  AB.cos ADB ve CH d  AB.cos ACB olup m( ADB )  m( ACB) olduğundan DHc = CHd
olur. Bu durumda CDHcHd paralelkenardır.
matematikolimpiyatmerkezi
140. ABCD kirişler dörtgeni olup BCD, CDA, DAB ve ABC üçgenlerinin diklik merkezleri sırasıyla Ha, Hb, Hc, Hd ise HaHbHcHd ve ABCD dörtgenlerinin eş olduğunu gösteriniz.
Çözüm. Yukarıdaki problemden dolayı CD = HcHd ve CD // HcHd dir. Benzer şekilde
HaHbHcHd dörtgeni ile ABCD dörtgeninin karşılıklı kenarlarının paralel ve eş olduğu görülebilir. Bu durumda HaHbHcHd dörtgeni ile ABCD dörtgeni eştir.
141. ABCD kirişler dörtgeninde BCD, ACD, ABD ve ABC üçgenlerinin iç teğet çemberlerinin
merkezleri sırasıyla IA, IB, IC ve ID’dir. IAIBICID’nin dikdörtgen olduğunu gösteriniz.
D
Ib
Ic
A
Ia
C
Id
B
ACB
ADB
ve AI D B  90 
olup ADB  ACB olduğundan
2
2
AI C B  AI D B olur. Bu durumda A, IC, ID, B noktaları çemberseldir. Benzer şekilde B, ID,
Çözüm: AI C B  90 
IA, C noktalarının da çembersel olduğu gösterilebilir. Bu durumda
ABD
CBD
ve CI D I A  CBI A 
olduğundan
AI D I C  ABI C 
2
2
ABD CBD ABC
AI D I C  CI D I A 

olur.
+
2
2
2
ADB
CAB
ACB CAB
AI D B  CI D B  900 
 900 
 1800 

olur. Dolaysı ile
2
2
2
2
AI D I C  CI D I A  AI D B  CI D B  2700 olacağından I C I D I A  900 olur. Benzer şekilde
IAIBICID dörtgeninin diğer açılarının da 900 olduğu gösterilebilir.
15
Çemberler 2 142. ABCD kirişler dörtgeninde AC  BD  P ’dir. ABCD, ABP, BCP, CDP, DAP çemberlerinin merkezleri sırasıyla O, O1, O2, O3, O4 ise OP, O1O3, O2O3’ün noktadaş olduğunu gösteriniz.
Çözüm: O2 P  AD  K olmak üzere APK  x alalım. Bu durumda O2 PC  O2 CP  x
PO2 C
 900  x olacağından O2 P  AD olur. AD’nin orta dikmesi
2
O4 ve O noktalarından geçeceğinden OO4  AD olup OO4 // PO2 olur. Benzer şekilde OO2 //
matematikolimpiyatmerkezi
olup DAP  CBP 
PO4 olduğu gösterilebilir. Bu durumda PO2OO4 paralelkenar olup OP, O2O4’ü ortalar.
Problemxx’den O1O2O3O4 paralekenar olup O1O3, O2O4’ü ortalar. Dolayısı ile OP, O1O3,
O2O3’ün noktadaştır.
144. Bir ABC eşkenar üçgeni ve onun çevrel çemberini çizelim. Kısa BC yayı üzerinde alınan
herhangi bir P noktası için AP = BP + CP’dir.
145. ABCDE düzgün beşgeninin çevrel çemberinin kısa olan BC yayı üzerinde alına bir P noktası için PA + PD = PB + PC + PE olduğunu gösteriniz.
146. ABCDEF düzgün altıgeninin çevrel çemberinin kısa olan BC yayı üzerinde alına bir P
noktası için PE + PF = PA + PB + PC + PD olduğunu gösteriniz.
147. ABCDEFG düzgün yedigeninin çevrel çemberinin kısa olan BC yayı üzerinde alına bir P
noktası için PC + PE + PG + PB = PD + PF + PA olduğunu gösteriniz.
148. ABCD karesinin çevrel çemberinin kısa olan CD yayı üzerinde alınan bir P noktası için
PA  PC  2.PB olduğunu gösteriniz.
149. ABCD kirişler dörtgeninde BC = CD ise A( ABCD) 
1
AC 2 sin A olduğunu gösteriniz.
2
150. ABCD kirişler dörtgeninde BCD, ACD, ABD, ABC üçgenlerinin iç çemberlerinin yarıçapları sırasıyla ra, rb, rc, rd ise ra + rc = rb + rd olduğunu gösteriniz
151.Kenar uzunlukları a, a + k, a + 2k, a + 3k ve en uzun ve en kısa kenarları arasındaki açı 
olan bir kirişler dörtgeninde A(ABCD) = k2tan  olduğunu gösteriniz.
16
Çemberler 2 151. Bir kiriş dörtgeninin kenar uzunluklarından herhangi ikisinin toplamı diğer ikisinin toplamına eşitse, bu dörtgenin alanı kenar uzunluklarının çarpımının kareköküdür.
matematikolimpiyatmerkezi
152. ABC üçgeninin A açısına ait açıortayı üçgenin çevrel çemberini D’de kestiğine göre AB +
AC  2.AD olduğunu gösteriniz.
153. ABCD kirişler dörtgeninde A ve C’den BD köşegenine inilen dikme ayakları sırasıyla A1
ve C1’dir. B ve D’den AC köşegenine inilen dikme ayakları sırasıyla B1 ve D1 ise A1B1C1D1
dörtgeninin kirişler dörtgeni olduğunu gösteriniz.
154. ABCD kirişler dörtgeni olup A ile B noktalarından geçen çembere K1 diyelim. Benzer şekilde B ile C’den geçen K2, C ile D’den geçen K3 ve D ile A’dan geçen K4 olsun. K1 ile K2
çemberi B1’de kesişsin. Benzer şekilde K2 ile K3 çemberi C1’de, K3 ile K4 çemberi D1’de, K4
ile K1 çemberi A1’de kesişsin. A1B1C1D1 dörtgeninin kirişler dörtgeni olduğunu gösteriniz.
155. ABCD kirişler dörtgeninin köşegenlerinin kesim noktası P’dir. APB üçgeninin çevrel
çember merkezi O ve CPD üçgeninin diklik merkezi H ise O, P, H’nin doğrusal olduğunu gösteriniz.
156. ABCD kiriş dörtgeninin A köşesinden DB, BC, CD kenarlarına indirilen dikme ayakları sıBD BC CD
rasıyla X, Y, Z olsun. AX = x, AY = y ve AZ = z olduğuna göre


olduğunu göstex
y
z
riniz.
157 [IMO1993]. Düzlemde alınan A, B, C, D noktaları için C ile D, AB doğrusunun aynı tarafında olup AC.BD = AD.BC ve m(ADB) = 90 + m(ACB) dir. Bu durumda (AB.CD) : (AC.BD)
oranını bulunuz ve ACD ve BCD üçgenlerinin çevrel çemberlerinin dik kesiştiğini gösteriniz.
158. P noktası, a kenar uzunluğuna sahip ABC eşkenar üçgeninin iç çemberi üzerindeki herhangi bir nokta ise |AP|2 + |BP|2 + |CP|2 toplamının bir sabit ve 5a2 olduğunu gösteriniz.
159.
17
Çem
mberler 2 matematikolimpiyatmerkezi
Eğer AB
BCD bir kirriş dörtgeniyyse, BCD, CDA, DAB ve ABC üççgenlerinin dış teğet çeemberlerinin merrkezleri üst şekildeki
ş
giibi bir dikdöörtgen belirttir.
160 cru
ux 2276. Eğğer ABCD bir kiriş dörttgeniyse, BC
CD, CDA, DAB
D ve ABC
C üçgenlerinin dokuz
1
nokta çeemberlerinin ortak bir noktaları
n
vaardır.
161. AB
BCD kiriş döörtgeninde DAB, ABC,, BCD ve CDA
C
üçgenleerinin ağırlıık merkezleeri sırasıyla Ga, Gb, Gc ve Gd ise ABCD
D dörtgeni ille Ga Gb GcGd dörtgenleeri benzer oolup benzerllik oranlarının 3 olduğunu
o
göösteriniz.
162. Eğğer ABCD bir
b kiriş dörrtgeniyse, BCD,
B
CDA,, DAB ve ABC
A
üçgenllerinin çevrel çember
merkezllerinin belirrttiği dörtgeen, teğet dörrtgeni olur.
163. Birr dışbükey kiriş
k
dörtgenninin kenarr uzunluklarrı a, b, c, d olarak
o
verilm
miştir. Uzun
nluğu d
olan kennar çevrel çemberin
ç
çappı ise d’ninn
x 3  (a 2  b 2  c 2 ) x  abbc  0
denkleminiin reel köküü olduğunu gösteriniz.
g
k
çevreel çemberin çapı olup, diğer
d
üç kennarın uzunlu
ukları 3,
164. Birr kiriş dörtggeninin bir kenarı
4, 5 olarrak veriliyoor. Çapın booyunu hesapplayınız.
165. Birr kiriş dörtggeninin çevrrel çember yarıçapı
y
(ab  cd )(
) ac  bd )(ad
a  bc)
R
4S
166. a, b, c, d bireer pozitif reeel sayı olsuun. Kenar uzunlukları
u
sırasıyla a, b, c, d olan
n bir kiriş
dörtgenni çizebilmekk için gerekk ve yeter şaart a + b > |cc – d| ve c + d > |a – b|’dir.
167. Birr önceki sorruda çevrel çember yarrıçapını a, b, c, d cinsinnden bulunuuz.2
1
2
Crux 22276.
CMJ5455.951.S961. (JJ.Fukuta)
18
Çem
mberler 2 168. m(A
A) = , |BC
C| = b ve |CD
D| = c olan bir
b ABCD dörtgeninin
d
alanı en çokk kaç olabillir?3
matematikolimpiyatmerkezi
169.
Birbirine eşş dört çembber, tek bir noktada
n
kessişecek şekiilde yerleştirilirlerse, bu
u çemberlerin ikişer ikişer ortakk dış teğetleeri bir kiriş dörtgeni
d
oluuşturacak şeekilde kesişiirler.
170 [Hoonghong2003]. ABCD
D kirişler dörrtgeninin AB,
A BC, CD, DA kenarllarının orta noktaları
sırasıylaa K, L, M, N’dir.
N
ANK
K, BKL, CLM
M, DMN üççgenlerinin diklik merkkezlerinin bir
b paralelkenarr belirttiğinii gösteriniz..
BC üçgeninnin en uzun kenarı olann AC üzerin
nde AB = AC
A 1 ve CB = CA1 olacaak şekilde
171. AB
A1 ve B1 noktaları verilsin. AB
B ve CB kennarları üzerrinde sırasıyyla alınan A2 ve C2 nok
ktaları için
AA1 = AA
A 2 ve CC1 = CC2 ise A1C1C2A2 dörtgeninin
d
n kiriş dörtgeni olduğunnu gösteriniz.
8. Dikgen Kirişlerr Dörtgeni
k
dörttgenin köşegenleri P noktasında
n
dik
d kesişsin.. Çevrel çem
mberin merrkezi O ve
ABCD kirişler
yarıçapıı R olsun. Bu
B veriler ışıığında aşağıdaki probleemleri çözelim.
172 2.(A
(AOCB) = A(ABCD)
A
olduğunu gössteriniz.
AO
OB COD
D
durumda
Çözüm:
ADP  PAD
P

 900 ’dırr.
B
Bu

2
2
2. A( AO
OB)  R 2 sinn AOB vee 2. A(COD)  R 2 sin COD olduğğundan A(A
AOB) = A(C
COD) olur.
Benzer şekilde A(B
BOC) = A(AOD) olacağğından 2.(AO
OCB) = A(A
ABCD)’dir.
3
CMJ5388.945.S955. (M
M.S.Klamkin))
19
Çemberler 2 179. AP2 + BP2 + CP2 + DP2 = 4R2 olduğunu gösteriniz.
(AP2
+
BP2)
+
(CP2

AOB 
DOC  

2 
4 R 2 . cos 2  90 
  cos  90 

2 
2  



+
DP2)
olur.
=
AB2
+
AOB  COD  
4 R 2 . sin 2 AOB  cos 2 AOB   4 R 2 olur.
180. AC2 + BD2 = 8R2 - OP2 olduğunu gösteriniz.
CD2
=
olduğundan
matematikolimpiyatmerkezi
Çözüm:
Çözüm: AC ve BD’nin orta noktaları sırasıyla M ve N olsun. AM2 = R2 - OM2 ve BN2 = R2 ON2 ve OP2 = OM2 - ON2’dir. Bu durumda
AC2 + BD2 = 4R2 - 4OM2 + 4R2 - 4ON2 = 8R2 - OP2’dir.
181. A ve B’den CD’ye inilen dikmeler BD ve AC’yi sırasıyla K ve L’de kestiğine göre
AKLB’nin eşkenar dörtgen olduğunu gösteriniz.
Çözüm: DC  BL ve CL  DB olduğundan BLP  BDC  BAC olur. AK  DC ve DK 
AC olduğundan BDC  CAK olur. Bu durumda AKLB eşkenar dörtgendir.
182. A( ABCD) 
AB.CD  BC. AD
olduğunu gösteriniz.
2
183. P’den geçen BC’ye dik doğrunun AD’yi ortaladığını gösteriniz.
184. P ve AD’nin orta noktasından geçen doğrunun BC’ye dik olduğunu gösteriniz
185. O noktasının AB’ye uzaklığının CD’nin yarısına eşit olduğunu gösteriniz
186. P noktasının ABCD’nin kenarları üzerindeki dik izdüşümlerinin çembersel olduğunu gösteriniz.
187. P noktasının ABCD’nin kenar orta noktalarına göre simetriği olan noktaların çembersel
olduğunu gösteriniz.
20
Çemberler 2 188. Çevrel çembere A, B, C, D’de teğet olan doğruların oluşturduğu dörtgenin kirişler dörtgeni
olduğunu gösteriniz
matematikolimpiyatmerkezi
189. ABCD çevrel çember merkezi O olan bir kiriş dörtgeni olsun. Bu dörtgen sadece ve sadece
O noktasının bir kenara olan uzaklığı, onun karşısındaki kenara olan uzaklığının yarısıysa (veya
iki katıysa) dikgendir
190. ABCD, köşegenleri P noktasında dik kesişen bir kiriş dörtgeni olsun. P noktasından dörtgenin kenarlarına inen dikme ayaklarının bir çift merkezli dörtgen belirttiğini gösteriniz.
191. Üstteki soruda, çift merkezli dörtgenin aynı zamanda ABCD dörtgeninin kenar orta noktalarından da geçtiğini gösteriniz
192. Çevrel çemberinin merkezi O olan ABCD kirişler dörtgeninde AC  BD = E oldun. Dörtgenin iç bölgesinde alınan bir P noktası için ABP, BCP, CDP ve DAP çemberlerinin merkezleri
sırasıyla O1, O2, O3 ve O4 ise O1O3, O2O4 ve OE’nin noktadaş olduğunu gösteriniz.
9. Teğetler Dörtgeni
Tanım 9.1. Dörtkenarı aynı çembere teğet olan dörtgene teğetler dörtgeni denir.
193. Konveks ABCD dörtgeninin teğetler dörtgeni olması için gerek ve yeter şart karşılıklı kenar uzunlukları toplamının eşit olmasıdır.
194. ABCD teğetler dörtgeninin iç çemberinin merkezi I ise AIB  DIC   olduğunu gösteriniz.
A  B  
C  D 

Çözüm: AIB  DIC    
   
  2     olur.
2
2

 

195. ABCD teğetler dörtgeninin iç çemberinin merkezi I olsun. AIB üçgeninin yükseklikleri
AA1 ve BB1, CID üçgeninin yükseklileri CC1 ve DD1’dir. A1, B1, C1, D1 noktalarının doğrusal
olduğunu gösteriniz.
Çözüm: İç teğet çember DA ve CB’ye P ve Q’da teğet olsun. IQB  900  IB1 B olduğun-
dan
I,
B,
Q,
B1
noktaları
çembersel
olup
IB1Q    IBQ   
B
’dir.
2
21
Çemberler 2 AA1 B  900  AB1 B
olduğundan
A,
B,
B1,
A1
noktaları
çembersel
olup
B
olur. Bu durumda Q, A1, B1 noktaları doğrusaldır. Benzer şekilde P,
2
A1, B1 noktalarının da doğrusal olduğu gösterilebilir. Bu durumda A1 ve B1 noktaları PQ üzerinde olmalıdır. Benzer şekilde C1 ve D1 noktaları da PQ üzerindedir.
AB1 A1  ABA1 
matematikolimpiyatmerkezi
196. ABCD yamuk olup AD // BC’dir. ABCD’nin teğetler dörtgeni olması için gerek ve yeter
BC
A
D
şartın
 tan .tan olduğunu gösteriniz.
2
2
AD
Çözüm: A ile D açıortaylarının kesim noktasının AD’ye uzaklığı r1 ve B ile C açılarının kesim
noktasının BC’ye uzaklığı r2 olsun. Bu durumda
A
D
B
C
A
D



AD  r1  cot  cot  ve BC  r2  cot  cot   r2  tan  tan  olur. Eğer ABCD
2
2
2
2
2
2



teğetler dörtgeni ise r1 = r2 olacağından
B
C
tan  tan
BC
2
2  tan A .tan D olur.

B
C
2
2
AD
cot  cot
2
2
B
C
B
C
tan  tan
tan  tan
r
BC
BC
A
D
2
2  1
2
2 olup r = r olacağından

 tan .tan
ise
1
2
B
C r2
B
C
2
2
AD
AD
cot  cot
cot  cot
2
2
2
2
ABCD teğetler dörtgenidir.
197. Şekilde PQ // RS // AC ve PKLR ve LSCM dörtgenleri teğetler dörtgeni ise APQC dörtgeninin de teğetler dörtgeni olduğunu gösteriniz.
Çözüm: A  2 x , C  2 y , BMA  2 z olsun. P-..den
PK tan x
LS
 cot z.tan y

ve
MC
RL tan z
PQ PK
RS
LS
PQ PK LS

.
 tan x.tan y olduğundan APQC

ve

dir.
RS
RL MC
RS
RL
AC MC
teğetler dörtgenidir.
olduğundan
22
Çemberler 2 matematikolimpiyatmerkezi
198. ABCD kirişler dörtgeninde AC ve BD köşegenlerinin kesim noktası O olsun. O noktasının
dörtgenin kenarları üzerindeki dik izdüşümü olan noktaları köşe kabul eden dörtgenin teğetler
dörtgeni olduğunu gösteriniz.
Çözüm: O noktasının AB, BC, CD, DA kenarları üzerindeki dik izdüşümleri sırasıyla A1, B1,
C1, D1 olsun. AD1OA1 ve BA1OB1 dörtgenleri kirişler dörtgeni olacağından
D1 A1O  D1 AO  DAC  DBC  OBB1  OA1 B1 olur. Bu durumda A1O, A1B1C1D1
dörtgeninde açıortay olur. Benzer şekilde B1O, C1O, D1O’da açıortay olacaktır. Bu ise
A1B1C1D1 dörtgeninin teğetler dörtgeni olduğunu gösterir.
199. ABCD teğetler dörtgeninin iç çember merkezi O olsun. A’dan geçen OA’ya dik doğru IA,
B’den geçen OB’ye dik doğru IB, C’den geçen OC’ye dik doğru IC, D’den geçen OD’ye dik
doğru ID olmak üzere IA  IB = K, IB  IC = L, IC  ID = M ve ID  IA = N olsun. Bu durumda
a) KM ile LN’nin O’da kesiştiğini gösteriniz.
b) OK, OL, OM’nin uzunlukları sırasıyla p, q, r ise ON’yi P, q, r cins,nden bulunuz.
Çözüm: a) m(ADO) = m(CDO) ve ANDO ve CMDO kirişler dörtgeni olduğundan m(ANO) =
m(ADO) = m(CDO) = m(CMO) olup benzer şekilde m(CLO) = m(m(AKO) olur. Bu ise
m(NOK) = m(MOL) olduğunu gösterir. Benzer şekilde m(KOL) = m(NOM) olduğu gösterilebilir. Bu durumda M, O, K ve N, O, L doğrusal olmalıdır.
23
Çemberler 2 b) Yukarıda gösterildiği üzere m(ANO) = m(CMO) olduğundan KLMN dörtgeni kirişler dörtpr
olacaktır.
geni olup OM.OK = ON.OL olur. Bu durumda ON 
q
matematikolimpiyatmerkezi
200. ABCD dörtgeninin karşılıklı kenarları üzerinde ikişer nokta alınsın. Bu noktalar şekildeki
gibi birleştirilsin. Taralı dörtgenler teğetler dörtgeni ise ABCD dörtgeninin de teğetler dörtgeni
olduğunu gösteriniz.
201. ABCD konveks dörtgeninde AB  CD  P ve AD  BC  Q olsun. ABCD teğetler dört-
geni ise AB + CD = BC + AD, AP + CQ = AQ + CP, BP + BQ = DP + DQ olduğunu gösteriniz.
202. ABCD yamuğu bir teğetler dörtgeni ve AD // BC olup iç teğet çemberin AB, BC, CD ve
DA kenarlarına teğet olduğu noktalar sırasıyla P, Q, R ve S olup AQ ve BS’nin kesim noktası M
olsun. PM // AD ve AP.PB = DR.RC olduğunu gösteriniz.
203. Şekilde ANOK ve CMOL dörtgenleri teğetler dörtgeni ise ABCD’ ninde teğetler dörtgeni
olduğunu gösteriniz.
D
K
A
M
N
B
O
L
C
204. AC ve BD köşegenleri K noktasında kesişen bir ABCD dışbükey dörtgeni alınsın. K’dan
kenarlara inen dikme ayakları A, B, C ve D olsun. Eğer ABCD bir teğet dörtgeniyse,
ABCD’nin bir kiriş dörtgeni olduğunu kanıtlayınız.
24
Çemberler 2 matematikolimpiyatmerkezi
205. Eğer ABCD bir teğet dörtgeniyse, BCD, CDA, DAB ve ABC üçgenlerinin çevrel çember
merkezlerinin belirttiği dörtgen, kiriş dörtgeni olur.4
4
E1055.532.S538. (V.Thebault)
25
Download

İndirmek için tıklayınız - Matematik Olimpiyat Merkezi