. ÜNİTE
ÜÇGENLER
4. ÜNİTE
4. ÜNİTE
4. ÜNİTE
ÜÇGENLERİN EŞLİĞİ
Üçgende Açılar
1. Kazanım : Bir üçgenin iç açılarının ölçüleri toplamının 180°, dış açılarının ölçüleri toplamının 360°
olduğunu gösterir.
İki Üçgenin Eşliği
2. Kazanım : İki üçgenin eşliğini açıklar, iki üçgenin eş olması için gerekli olan asgari koşulları belirler.
Üçgenin Kenarları ve Açıları Arasındaki İlişki
3. Kazanım : Bir üçgende daha uzun olan kenarın karşısındaki açının ölçüsünün daha büyük olduğunu
gösterir.
4. Kazanım : Uzunlukları verilen üç doğru parçasının hangi durumlarda üçgen oluşturduğunu belirler.
4. ÜNİT
ÜÇGENDE AÇILAR
ÜÇGEN
A A′
A, B, C doğrusal olmayan üç nokta olmak üzere
&
[ AB ] ∪ [ BC] ∪ [ AC ] kümesine üçgen denir ve ABC biçiminde gösterilir.
®
b
c
Şekildeki ABC üçgeninde
B′
A, B, C noktaları üçgenin köşeleridir.
B
C
a
®
[ AB ] , [ AC ] ve [ BC ] üçgenin kenarlarıdır.
®
®
|BC| = a , |AC| = b ve |AB| = c üçgenin kenar uzunluklarıdır.
a a
a
A , W
B ve X
C biçiminde de gösterilir.
BAC , ABC ve ACB açıları üçgenin iç açılarıdır. Bu açılar W
®
W
A′ , W
B ′ ve X
C ′ açıları üçgenin dış açılarıdır.
®
[ AB ] , [ BC ] ve [ CA ] kenarlarının sınırladığı noktalar kümesi üçgenin iç bölgesidir.
®
Üçgen düzleminde, üçgene veya iç bölgesine ait olmayan noktalar kümesi üçgenin dış bölgesidir.
C′
KENARLARINA GÖRE ÜÇGENLER
Çeşitkenar Üçgen
Kenar uzunlukları birbirinden farklı olan üçgenlerdir.
İkizkenar Üçgen
Herhangi iki kenarı eş olan üçgenlerdir. Eş kenarlar, üçgenin ikiz kenarları diğer kenar da üçgenin tabanıdır.
Eş kenarların karşısındaki açılar üçgenin taban açıları, diğer açı ise üçgenin tepe açısıdır.
A
Şekildeki ABC ikizkenar üçgeninde;
®
B) = m(X
C)
|AB| = |AC| , m ( W
®
[ AB ] ve [AC ] eş kenarlardır.
®
[ BC ] kenarı üçgenin tabanıdır.
®
B ve C açıları taban açıları, A açısı tepe açısıdır.
c
B
b
C
a
Eşkenar Üçgen
A
Üç kenarı da eş olan üçgenlerdir.
60°
Şekildeki üçgen bir eşkenar üçgendir.
®
|AB| = |BC| = |AC|
®
A) = m(W
B) = m(X
C ) = 60° dir.
m(W
60°
B
60°
C
AÇILARINA GÖRE ÜÇGENLER
Dar Açılı Üçgen: Üç açısı da dar açı olan üçgenlerdir.
Dik Üçgen: Bir açısı dik açı olan üçgenlerdir. Dik üçgende, dik açıyı oluşturan kenarlar dik kenarlar, diğer kenar
ise hipotenüs olarak adlandırılır.
Geniş Açılı Üçgen: Bir açısı geniş açı olan üçgenlerdir.
306
Üçgende Açılar
ÜÇGENDE YARDIMCI ELEMANLAR
Kenarortay
Bir üçgenin, bir köşesini karşısındaki kenarın orta noktasına birleştiren doğru parçasına o kenarına ait kenarortayı
denir.
A
Şekildeki ABC üçgeninde [ BC ] kenarına ait [ AD] kenarortayı çizilmiştir.
[ AD ] kenarortayının uzunluğu |AD| = Va biçiminde gösterilir.
Va
Diğer iki kenarortay Vb ve Vc biçiminde gösterilir.
B
D
C
Açıortay
Bir üçgenin herhangi bir açısını iki eş parçaya ayıran ışının, köşe ile köşenin karşısındaki kenar arasında kalan
parçasına, üçgenin o köşeye ait açıortayı denir.
A
Şekildeki ABC üçgeninde A köşesine ait [ AD ] açıortayı çizilmiştir.
[ AD] açıortayının uzunluğu, |AD| = nA biçiminde gösterilir.
nA
B ve C köşelerine ait açıortay uzunlukları da sırasıyla nB ve nC
biçiminde gösterilir.
B
D
C
Yükseklik
Bir üçgende, bir köşeden karşı kenara veya bu kenarın uzantısına çizilen dik doğru parçasına, üçgenin bu
kenarına ait yüksekliği denir.
A
Şekildeki ABC üçgeninin [ BC ] kenarına ait [AH] yüksekliği çizilmiştir.
|AH| = ha biçiminde gösterilir.
ha
[ AC] ve [ AB] kenarlarına ait yüksekliklerin uzunlukları
H
B
sırasıyla hb ve hc biçiminde gösterilir.
C
ÜÇGENDE AÇI BAĞINTILARI
Bir üçgende, iç açıların ölçüleri toplamı 180° dir.
a
A ile ACD
ABC üçgeninde [ AB ] //ED çizilirse; W
a
W
B ile BCE iç ters açılar olur. Bu durumda,
A
D
a
a
A ) = m (ACD ) , m ( W
B ) = m (BCE ) olacağından,
m(W
C
m(BCE) + m(BCA) + m(ACD) = 180° (do¤ru aç›)
B
E
m(B) + m(C) + m(A) = 180° bulunur.
307
Üçgende Açılar
ÖRNEK 1
ABC üçgeninde
a
m (BAC ) = 80°
a
m (ABC ) = 3 x
a
m (ACB ) = x ise
Çözüm
A
80°
3x
x
B
x kaç derecedir?
C
ÖRNEK 2
Çözüm
A
x
B
D
E
C
ABC üçgeninde |BD| = |AD| , |AE| = |EC|
a
a
m (BAC ) = 110° ise m (DAE ) = x kaç derecedir?
Bir üçgende, bir dış açının ölçüsü, kendisine komşu olmayan iki iç açının ölçüleri toplamına eşittir.
a
A
B ile DCE yöndeş
ABC üçgeninde, [ CD // [ BA ] çizilirse W
a
W
A ile ACD iç ters açılar olur. Bu durumda,
a
B ) = m ( DCE)
m(W
B
a
A ) = m ( ACD)
m(W
+
a
a
a
B) + m(W
A ) = m ( ACD ) + m ( DCE ) ⇒ m( W
B ) + m( W
A ) = m( ACE) bulunur.
m(W
ÖRNEK 3
Çözüm
A
x+20°
120°
D
x–10°
B
C
Şekilde D, B, C noktaları doğrusaldır.
Verilenlere göre x kaç derecedir?
308
D
C
E
Üçgende Açılar
ÖRNEK 4
Çözüm
C
z
D
x
A
α
y
B
Şekildeki verilenlere göre, α = x + y + z
olduğunu gösteriniz.
ÖRNEK 5
Çözüm
A
50°
Şekildeki verilenlere
göre x kaç derecedir?
D
110°
40°
B
x
C
Bir üçgende, dış açıların ölçüleri toplamı 360° dir.
Bir dış açının ölçüsü kendisine komşu olmayan iki iç açının
ölçüleri toplamına eşit olacağından,
A
a
m ( BCF ) = m ( W
A) + m(W
B)
a
B) + m(X
C)
m ( EAC ) = m ( W
a
B
D
A) + m(X
C)
m( ABD ) = m ( W
+
––––––––––––––––––––––––––
a
a
a
m ( BCF ) + m ( EAC ) + m ( ABD ) = 2 (m ( W
A ) + m( W
B ) + m( X
C )) = 2.180° = 360° bulunur.
E
C
F
ÖRNEK 6
Çözüm
A
z
B
x
y
C
ABC üçgeninde x + y + z = 280° ise y kaç derecedir?
309
Üçgende Açılar
ÖRNEK 7
Çözüm
A
40°
E
F
x
B
D
C
a
a
ABC üçgeninde, m (ABE ) = m (EBC ), | AF | = |AE|
a
a
m (BAD ) = 40° ise m (ACB ) = x kaç derecedir?
ÖRNEK 8
Çözüm
A
B
D
C
ABC üçgeninde, |BD| = |DC| = |AD| ise
a
m (BAC ) = 90° olduğunu gösteriniz.
ÖRNEK 9
Çözüm
A
E
F
54°
x
D
B
C
Şekilde, [ AB ] ⊥ [ DC ] , |AE| = |EC| = |DB|
a
a
m (ACD ) = 54° ise m (EDC ) = x kaç derecedir?
310
Üçgende Açılar
ÖRNEK 10
Çözüm
A
40°
25
°
D
B
x
E
C
ABC üçgeninde verilenlere göre x kaç derecedir?
ÖRNEK 11
Çözüm
A
15°
x
B
D
C
a
a
ABC üçgeninde, m (BAD ) = 90°, m (DAC ) = 15°
a
|BD| = 2|AC| ise m (ABC ) = x kaç derecedir?
ÖRNEK 12
Çözüm
Bir ABC üçgeninde
B) – m(X
C) > m(W
A ) ise m ( W
B ) nin en küçük tam
4m ( W
sayı değeri kaç derecedir?
311
Üçgende Açılar
ÖRNEK 13
Çözüm
A
E
20°
120°
x
B
D
C
a
a
ABC üçgeninde m (BCA ) = 120° , m (BED ) = 20°
a
|DE| = |EA| , |DC| = |AC| ise m (EBC ) = x kaç
derecedir?
ÖRNEK 14
Çözüm
A
D
18°
B
C
a
ABC üçgeninde |AD| = |BD| = |DC|, m (DCB) = 18°
a
ise m (BAC ) kaç derecedir?
ÖRNEK 15
Çözüm
A
D
E
x
20°
B
C
ABC üçgeninde |BD| = |DC| , |AB| = |AE|
a
a
m (EBC ) = 20° ise m (ABD ) = x kaç derecedir?
312
Üçgende Açılar
ÖRNEK 16
Çözüm
A
D
15°
E
C
B
a
a
a
a
Şekilde m (ABD ) = m (DBC ) , m (BCA ) = m (ACD)
a
a
|DB| = |DC| , m (BAC ) = 15° ise m (BDC) kaç
derecedir?
A
İkizkenar üçgende tepe açısına ait açıortay, kenarortay ve yükseklik çakışıktır.
a
a
|AB| = |AC| ve [ AH ] ⊥ [ BC] ise |BH| = |HC| ve m (BA H ) = m(HAC)
B
H
C
ÖRNEK 17
Çözüm
A
D
x
B
48°
E
C
ABC üçgeninde |BD| = |AC| , |BE| = |EC|
a
a
[ DE ] ⊥ [ BC] , m (ACB ) = 48° ise m (ABC ) = x kaç
derecedir?
313
Üçgende Açılar
ÖRNEK 18
Çözüm
E
e
A
F
a
K
d
D
L
M
b
N
c
B
C
Şekilde verilenlere göre a + b + c + d + e = 180°
olduğunu gösteriniz.
ÖRNEK 19
Çözüm
65°
x
10°
Şekilde verilenlere
göre x kaç derecedir?
20°
40°
ÖRNEK 20
Çözüm
A
E
60°
B
x
D
20°
C
a
ABC üçgeninde, |BD | = |AB | = |AE|, m(ABC) = 60°
a
a
m (ACB ) = 20° ise m (EDC ) = x kaç derecedir?
314
ALIŞTIRMALAR -
1
Aşağıdaki soruların her birinde verilenlere göre x değerlerini bulunuz.
1.
6.
56°
20°
x
x
7.
70°
2.
x
30°
2x
20°
x
8.
ESEN YAYINLARI
3.
x
116°
3x
4x
30°
9.
4.
x
x
140°
120°
10.
5.
x
130°
x
20°
2x–10°
x+20°
315
Üçgende Açılar
Aşağıdaki soruların her birinde verilenlere göre x değerlerini bulunuz.
6.
30
°
1.
70°
x
x
x
2x
x
7.
x
84°
2.
2x
x
30°
2x
8.
x
ESEN YAYINLARI
x
3.
80°
100°
78°
9.
α
2α
x
x
80°
4.
70°
10.
100°
20° 40°
x
x
20°
40°
5.
80°
11.
x
x
316
69°
İKİ ÜÇGENİN EŞLİĞİ
Üçgende Açılar
Karşılıklı açıların ölçüsü ve karşılıklı kenar uzunlukları eşit olan üçgenlere eş üçgenler denir.
&
&
&
&
ABC ile DEF eş üçgen ise ABC , DEF şeklinde gösterilir.
A
D
y
z
B
_
m (W
A) = m ( X
D) b
b
m (W
B) = m ( W
E) b
b
m (X
C) = m ( W
F) bb
&
&
` ⇔ ABC , DEF
b
AB = DE
b
b
BC = EF
b
bb
AC = DF
a
y
z
C
x
E
F
x
ÖRNEK 21
Çözüm
D
A
F
30°
40°
B
E
C
B ) = 40°
olmak üzere, m ( W
&
&
ABC , EDF
Şekilde
F ) = 30° ise diğer açıların ölçülerini bulunuz.
ve m ( W
Kenar Kenar Kenar ( K.K.K ) Eşliği
A
D
b
c
B
a
b
c
C
E
a
&
&
ABC , DEF
F
Karşılıklı kenar uzunlukları eşit olan iki üçgen eştir.
_
AB = DE b
b
& , DEF
&
AC = DF ` ⇒ ABC
b
BC = EF b
a
ÖRNEK 22
Eşkenar dörtgende herhangi bir köşegenin açıortay olduğunu gösteriniz.
Çözüm
317
İki Üçgenin Eşliği
Açı Kenar Açı ( A.K.A ) Eşliği
K
A
W
B,W
K
X
C,X
M
α
x
α
θ
x
B
θ
C
L
M
_
b
b
&
&
` ⇒ ABC , LKM dir.
b
BC = KM b
a
Karşılıklı iki açısının ölçüsü ve bu açıların arasında kalan kenarlarının uzunluğu eşit olan iki üçgen eştir.
ÖRNEK 23
Paralel doğrular arasında kalan paralel doğru parçalarının eş olduğunu gösteriniz.
Çözüm
ÖRNEK 24
Bir üçgende bir kenarın orta noktasından ikinci kenara çizilen paralel doğrunun, üçüncü kenarın ortasından
geçtiğini gösteriniz.
Çözüm
318
İki Üçgenin Eşliği
ÖRNEK 25
Çözüm
A
B
α
C
D
E
%
%
[ AB ] ⊥ [ AE ] , m( BAC ) = m ( EAD ), |AB| = |AE|
%
m ( BCA ) = α
|AC| = |AD| olduğuna göre,
kaç
derecedir?
ÖRNEK 26
Çözüm
A
K
2v3
2
B
C
L
M
&
&
ABC , MKL olmak üzere verilenlere göre
|BC| + |AC| kaç br dir?
ÖRNEK 27
Çözüm
A
3
F
E
2
B
C
5
x
D
%
%
[AC] ∩ [ DF ] = { E }, m ( BFD ) = m ( ACB )
|AF| = 3 cm, |FB| = 2 cm, |BD| = 5 cm olduğuna
göre, |CD| = x kaç cm dir?
319
İki Üçgenin Eşliği
Kenar Açı Kenar ( K.A.K ) Eşliği
K
A
c
AB = KM _b
b
&
&
BC = LM ` ⇒ ABC , KML dir.
bb
W
B,X
M
a
c
α
α
a
B
L
C
M
a
İki üçgenin karşılıklı iki kenar uzunluğu ile bu kenarlar arasında kalan açılarının ölçüsü eşit ise bu üçgenler eştir.
ÖRNEK 28
A
D
2
3
Çözüm
2
C
4
4
B
E
Yukarıdaki şekilde [ AE ] ∩ [ BD ] = { C } olmak üzere,
verilenlere göre |DE| kaç cm dir?
ÖRNEK 29
Çözüm
A
E
F
B
D
α
C
ABC eşkenar üçgen, [ AD ] ∩ [BE ] = { F }
%
|BD| = |EC| olduğuna göre, m ( AFE ) = α kaç
derecedir?
ÖRNEK 30
Bir ikizkenar üçgende, tabana ait kenarortayın, ikizkenar üçgeni eş iki üçgene ayırdığını gösteriniz.
Çözüm
İki Üçgenin Eşliği
ÖRNEK 31
Çözüm
A
α
70°
35°
B
D
C
%
ABC üçgeninde, |AB| = |DC|, m ( ABC ) = 70°
%
%
m ( ACB ) = 35° ise m ( BAD ) = α kaç derecedir?
ÖRNEK 32
D
Çözüm
C
E
A
B
F
Yukarıdaki şekilde A, B, F noktaları doğrusal ve
%
ABCD kare ise m ( ECF ) kaç derecedir?
x Eş iki üçgenin karşılıklı açıortayları eştir.
x Eş iki üçgenin karşılıklı kenarortayları eştir.
A
B
D
N
E
C
A
M
F
&
&
ABC , DEF ⇒ [AN ] ≅ [DM ]
B
D
K
C
E
F
L
&
&
ABC , DEF ⇒ [AK ] ≅ [DL]
x Eş iki üçgenin karşılıklı yükseklikleri eştir.
A
D
&
&
ABC , DEF ⇒ [AH ] ≅ [DK ]
B
H
C
E
K
F
321
ALIŞTIRMALAR -
1.
4.
&
&
ABC , DEF olduğuna göre aşağıdaki ifadeler-
2
Aşağıda verilenlere göre şekillerin yanlarındaki
boşlukları doldurunuz.
den doğru olanların başına “D ” yanlış olanların
a.
başına da “Y ” yazınız.
A
&
&
ACB , DFE
B
&
&
ABC , FED
&
ABC , ........
C
%
%
ABC , FED
D
%
%
ACB , FDE
b.
D
C
[ AB ] ≅ [DE ]
&
ABC , ........
[ AC ] ≅ [DF ]
A
B
ESEN YAYINLARI
ABCD dikdörtgen
A
2.
B
D
E
c.
A
&
ABC , ........
D
B
C
C
ABC üçgeninde, |AB| = |AC|, |BD| = |EC|
olduğuna göre aşağıdaki boşlukları doldurunuz.
a.
d.
b. 6AD@ , ........
&
ABD , ........
A
D
&
ABC , ........
C
B
A
3.
E
5.
A
C
K
D
5 cm
4 cm
D
B
B
E
C
E
6 cm
F
M
&
&
Yukarıdaki üçgenler için ABC , DFE ve
ABC üçgeninde, |AB| = |AC| ise |BD| = |CE|
&
&
ABC , LKM olduğuna göre verilenlere göre
olduğunu gösteriniz.
Çevre(ABC) kaç cm dir?
322
L
ÜÇGENİN KENARLARI ve AÇILARI ARASINDAKİ İLİŞKİ
Üçgende Açılar
Bir üçgende iki kenardan büyük olanın karşısındaki açının ölçüsü, küçük olanın karşısındaki açının ölçüsünden
büyüktür.
A ) > m( W
B ) > m( X
C ) olur.
a > b > c ise m( W
A
Bir üçgenin kenarları arasındaki sıralama,
b
c
açıları arasında da vardır.
a
B
C
ÖRNEK 33
A
70°
ABC üçgeninde 50° < 60° < 70° olduğundan,
b
c
60°
C ) < m( W
B ) < m( W
A ) ⇒ c < b < a dır.
m(X
50°
a
B
C
ÖRNEK 34
A
4
B
ABC üçgeninde 4 < 6 < 8 olduğundan,
6
C ) < m( W
B ) < m( W
A ) dır.
c < b < a ⇒ m( X
8
C
Bir üçgenin açıları arasındaki sıralama, kenarları arasında da vardır.
ÖRNEK 35
D
e
A
Çözüm
50°
64°
65°
d
c
b
66°
70°
B
45°
a
C
Şekilde verilenlere göre a, b, c, d, e arasındaki
sıralamayı bulunuz.
323
Üçgenin Kenarları ve Açıları Arasındaki İlişki
ÖRNEK 36
Çözüm
D
f
d
C
50°
54°
75°
E
e
a
k
c
56°
40°
b
A
B
Şekilde verilenlere göre en uzun kenar hangisidir?
ÜÇGEN EŞİTSİZLİĞİ
A
Bir üçgende, bir kenar uzunluğu, diğer iki kenarın
|b – c| < a < b + c
b
c
uzunlukları toplamından küçük, farkının mutlak
değerinden büyüktür.
B
a
C
[ CA üzerinde |AK| = |AB| = c olacak şekilde K noktası alırsak, |KC| = b + c olur.
a
a
a
m (BKC ) = m (ABK ) = α ve m(ABC ) = β olsun.
α < α + β olacağından,
K
a
a
a
K ) < m (KBA ) + m (ABC ) ⇒ m( W
K ) < m(KBC) dir.
α < α + β ⇒ m(W
a
m(W
K ) < m (KBC ) ⇒ a < c + b
α
c
A
..... ( I )
b<a+c⇒b–c<a
c<a+b⇒c–b<a
}
α
β
⇒ |b – c| < a ..... ( II)
B
I ve II den |b – c| < a < b + c bulunur.
ÖRNEK 37
Çözüm
A
5
3
B
a
C
ABC üçgeninde |AB| = 3 cm , |AC| = 5 cm ise
|BC| = a nın alabileceği değerler kümesini bulunuz.
324
b
c
Benzer yöntemle b < a + c ve c < a + b bulunabilir.
a
C
Üçgenin Kenarları ve Açıları Arasındaki İlişki
ÖRNEK 38
Çözüm
A
6
3
a
B
C
ABC üçgeninde |AB| = 3 br , |AC| = 6 br
A) < m(W
B ) ise |BC| = a nın alabileceği tam sayı
m(W
değerlerini bulunuz.
ÖRNEK 39
Çözüm
A
7
4
D
3
5
B
C
x
ABC ve BDC üçgenlerinde verilenlere göre
|BC| = x in alabileceği değerler kümesini bulunuz.
ÖRNEK 40
Çözüm
A
5
4
B
x
2
C
8
D
Şekilde verilenlere göre |BC| = x in alabileceği tam
sayı değerlerini bulunuz.
325
Üçgenin Kenarları ve Açıları Arasındaki İlişki
ÖRNEK 41
Çözüm
A
2x + 1
x–1
9
B
C
ABC üçgeninde verilenlere göre x in alabileceği
değerler kümesini bulunuz.
ÖRNEK 42
Çözüm
A
4
7
B
2x + 1
C
ABC üçgeninde x bir tam sayıdır. Verilenlere göre
Çevre(ABC) nin alabileceği en büyük değer kaç br
dir?
ÖRNEK 43
Çözüm
A
6
B
10
x
D
C
ABC üçgeninde |BD| = |DC| , |AB| = 6 br
|AC| = 10 br ise |AD| = x in alabileceği tam sayı
değerlerini bulunuz.
326
Üçgenin Kenarları ve Açıları Arasındaki İlişki
ÖRNEK 44
Çözüm
A
b
c
B
8
C
ABC üçgeninin kenar uzunlukları birer tam sayıdır.
|BC| = 8 br ise üçgenin çevresinin en küçük değeri kaç birimdir?
ÖRNEK 45
Çözüm
A
c
b
70°
60°
B
a
C
B ) = 60°, m ( X
C ) = 70° ise
ABC üçgeninde, m ( W
|c – a| + |b – c| – |a + c – b|
ifadesinin eşitini bulunuz.
ÖRNEK 46
Çözüm
A
3
D
x
B
7
E
C
ABC üçgeninde [ DE ] ⊥ [ BC ] , |BE| = |EC|
|AD| = 3 br , |DC| = 7 br ise |AB| = x in alabileceği
tam sayı değerlerini bulunuz.
327
Üçgenin Kenarları ve Açıları Arasındaki İlişki
ÖRNEK 47
Çözüm
6
A
E
4
D
3
2
B
C
Şekildeki verilenlere göre ABC üçgeninin çevresinin
alabileceği en büyük tam sayı değeri kaçtır?
ÖRNEK 48
Çözüm
D
5
4
C
A
6
x
B
ABCD dörtgeninde verilenlere göre |AB| = x in en
küçük tam sayı değeri kaçtır?
ÖRNEK 49
Çözüm
7
D
C
5
8
A
x
B
ABCD dörtgeninde verilenlere göre |AB| = x
alabileceği en büyük tam sayı değeri kaçtır?
328
in
Üçgenin Kenarları ve Açıları Arasındaki İlişki
ÖRNEK 50
Çözüm
A
B
C
Çevresi 40 br olan ABC üçgeninin kenar uzunlukları birer tam sayıdır. |AB| = |AC| ise |BC| nin en
büyük tam sayı değeri kaç br olur?
A
ABCD dörtgeninde |BC| + |CD| < |AB| + |AD| dir.
C
B
D
ÖRNEK 51
Çözüm
A
5
B
D
7
6
C
D, ABC üçgeninin iç bölgesinde bulunan bir noktadır. Verilenlere göre BCD üçgeninin çevresinin
alabileceği değerler kümesini bulunuz.
329
Üçgenin Kenarları ve Açıları Arasındaki İlişki
A ) = 90° ⇒ a =
Bir ABC üçgeninde; m ( W
b2 + c2
A ) < 90° ⇒ a <
m( W
b2 + c2
A ) > 90° ⇒ a >
m( W
b 2 + c 2 dir.
ÖRNEK 52
A
Çözüm
4
3
x
B
C
A ) > 90°, |AB| = 3 br
ABC üçgeninde m ( W
|AC| = 4 br ise |BC| = x in alabileceği tam sayı
değerlerini bulunuz.
ÖRNEK 53
Çözüm
A
6
4
x
B
C
A ) < 90° , |AB| = 4 br
ABC üçgeninde m ( W
|AC| = 6 br ise |BC| = x in alabileceği en küçük ve
en büyük tam sayı değerlerini bulunuz.
ÖRNEK 54
Çözüm
A
D
8
6
B
x
C
ABC üçgeninde [ BD ] ve [ CD ] açıortaylar
|BD| = 6 br , |DC| = 8 br ise |BC| = x in alabileceği
tam sayı değerlerini bulunuz.
330
ALIŞTIRMALAR -
3
Aşağıdaki soruların her birinde verilenlere göre en
Aşağıdaki soruların her birinde verilenlere göre x in
uzun kenarları bulunuz.
değer aralığını bulunuz.
1.
6.
c
5
2
58°
b
d
e
x
62°
71°
49°
a
2.
7.
d
60°
64°
f
e
b
x
4
51°
c
72°
k
8
3.
e
60°
50°
c
a
d
63°
ESEN YAYINLARI
a
8.
8
5
6
4
64°
x
b
4.
d
78°
9.
46°
69°
5
c
b
e
k
3
56°
4
a
f
5.
x
5
a
42°
69°
b
e
d
10.
7
4
59°
c
2x – 1
331
Üçgenin Kenarları ve Açıları Arasındaki İlişki
Aşağıdaki soruların her birinde x in alabileceği tam
7.
sayı değerlerini bulunuz.
7
3
1.
α
4x
3x
x
14
8.
β
4
3
2.
1
x
x
7
3
6
α
3.
Aşağıdaki soruların her birinde verilenlere göre x
x
in en küçük tam sayı değeri ile en büyük tam sayı
değerlerini bulunuz.
8
5
9.
10
x
Aşağıdaki soruların her birinde verilenlere göre x in
alabileceği tam sayı değerlerini bulunuz.
( α < 90° , β > 90° )
ESEN YAYINLARI
4
4
8
10.
8
4.
β
6
2
x
6
x
11.
5.
7
x
3
α
4
x
6
12.
6.
β
x
6
3
5
x
10
332
Yazılıya Hazırlık Soruları
1.
4.
C
A
D
α
D
30°
α
B
A
B
5.
A
A
4
2
F
D
x
4
30°
20°
B
C
ABC üçgeninde |AB| = |AC| , |AD| = |BD|
a
a
a
m (DBC ) = 30°, m (DCB ) = 20° , m (BAC ) = 70°
a
ise m (ADC) = α kaç derecedir?
ESEN YAYINLARI
α
D
3.
E
ABC üçgeninde B, C, E doğrusal
a
|AD| = |BD| = |CD| ve m(ABD ) = 30° ise
a
m(ACE) = α kaç derecedir?
ABC eşkenar üçgen, [ AC ] ⊥ [ DC ] , |AC| = |DC|
a
ise m (ADB ) = α kaç derecedir?
2.
C
B
2
E
2x – 3
C
ABC üçgeninde, |AD| = |BE| = 2 cm
|DE| = |DF|, |BD| = |AF| = 4 cm, |FC| = x cm
ve |EC| = 2x – 3 cm ise x kaçtır?
6.
A
D
12
C
B
D
E
C
x
ABC üçgeninde |AB| = |BE| , |AD| = |DC| ise
%
m (BAD)
oranı kaçtır?
%
m (EAC)
A
E
5
B
Şekilde, [AB] ⊥ [DB], [AC] ⊥ [CB], [DE] ⊥ [CB]
|AB| = |BD|, |EB| = 5 cm ve |DE| = 12 cm
ise |AE| = x kaç cm dir?
333
İki Üçgenin Eşliği
7.
A
9.
A
65°
5
4
b
c
55°
B
2x – 1
a
B
C
C
A ) = 65° , m( W
B ) = 55°
ABC üçgeninde m( W
ABC üçgeninde , |AB| = 4 cm , |AC| = 5 cm
|BC| = a cm , |AC| = b cm , |AB| = c cm ise
|BC| = 2 x – 1 cm ise x in alabileceği kaç farklı
|a + b – c| + |b – c| + |c – a – b| – |a – b| değeri
tam sayı değeri vardır?
8.
D
A
80°
60°
70°
ESEN YAYINLARI
nedir?
A
10.
8
5
B
x
C
60°
B
C
ABC üçgeninde, |AB| = 5 cm , |AC| = 8 cm
Şekilde verilenlere göre, en uzun kenar hangisi-
A ) > m( W
B ) ise |BC| = x in alabileceği kaç
m( W
dir?
farklı tam sayı değeri vardır?
334
TEST -
1.
1
Üçgende Açılar
4.
A
A
E
F
F
50°
80°
D
B
x
x
C
70°
B
E
değeri aşağıdakilerden hangisidir?
kaç derecedir?
A) 2x
B ) 20
C ) 25
2.
D ) 30
E) 35
5.
K
70°
x
E
B
C
ABC üçgeninde, [ AC ] // [ DE ] , [ FK ] // [ BC]
a
a
a
m (AFK ) = 40°, m (ADE ) = 70° ise m (ACB ) = x
B ) 25
C ) 30
3.
D ) 35
E) 4x
x
D
25°
B
C
ABC üçgeninde, |AB| = |AD|, |BD| = |DC|
a
a
m(BCD) = 25° ise m(BAC) = x kaç derecedir?
kaç derecedir?
A ) 20
C) 3x
A
ESEN YAYINLARI
F
D
B) 180° – 2x
D) 180° – 3x
A
40°
C
ABC üçgeninde, |AD| = |BD|, |BE| = |EC|
%
%
m( ABC ) = x ise m( EFD ) nin x cinsinden
a
ABC üçgeninde, [ AE ] açıortay, m (ABC ) = 80°
a
a
a
m (EFC ) = 50°, m (EDC ) = 70° ise m (ACF) = x
A ) 15
D
A) 70
E) 40
B) 75
C) 80
D) 85
E) 90
A
6.
A
E
B
D
C
80°
ABC üçgeninde, |BD| = |AD| = |AC|
%
%
%
m ( ADC ) = 2m ( DAC ) ise m ( ACB ) kaç derecedir?
A ) 36
B ) 45
C ) 48
D ) 60
E ) 72
B
D
C
ABC üçgeninde , |AB| = |AD| = |DE| = |EC| ve
a
a
m(EDA) = 80° ise m(BAD) kaç derecedir?
A) 20
B) 25
C) 30
D) 35
E) 40
335
Üçgende Açılar
7.
10.
A
A
E
E
x
C
110°
B
F
B
B ) 40
8.
z
C
Şekilde E, ABC üçgeninin iç açıortaylarının
ABC üçgeninde, |AB| = |AC|, |EB| = |EF|
a
a
m (CFE ) = 110° ise m (BAC ) kaç derecedir?
A ) 20
D
C ) 50
D ) 70
kesim noktasıdır. Buna göre z, x in kaç katıdır?
1
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
A)
2
E) 80
A
11.
A
4x
D
B
C
D
ABD üçgeninde, |AB| = |AC| = |CD|,
a
a
m (CDA ) = 40° ise m (BAC ) kaç derecedir?
A ) 10
B ) 15
C ) 20
D ) 30
9.
2x
ESEN YAYINLARI
40°
x
140°
B
C
A ) = 4x, m( W
B ) = 2x, m( X
C) = x
Şekilde, m( W
a
m(BDC) = 140° ise x kaç derecedir?
E) 40
A) 15
B) 20
C) 25
D) 30
E
12.
A
E) 35
A
E
B
x
4x
2x
D
33°
C
B
ABC üçgeninde, |AB| = |BC|, |EB| = |ED|
a
a
a
m (EDB ) = 2x , m(ACB ) = 4 x ise m (AED ) kaç
derecedir?
A ) 36
336
B ) 48
D
C
EBC üçgeninde, |BD| = |DA| = |AC|
a
a
[AD ] // [CE ], m(EBC ) = 33° ise m(ACE) = x
kaç derecedir?
C ) 56
D ) 64
E) 72
A) 48
B) 46
C) 40
D) 32
E) 28
TEST -
6
1.
İki Üçgenin Eşliği
4.
A
A
2
6
D
B
4
D
a
a
ABC üçgeninde, m( BAD) = m( CAE)
B
[ED] ⊥ [AC], |AB| = |AE|, |AD| = 2 cm ve
|AB| + |EC| kac cm dir?
B) 14
C
Yukarıdaki şekilde, [AB] ⊥ [AE], [AC] ⊥ [BC]
|AD| = |AE|, |BD| = 4 cm ve |AC| = 6 cm ise
A) 16
C) 12
D) 10
|DC| = 1 cm ise |BC| + |DE| kaç cm dir?
E) 8
A) 3
B) 4
C) 5
5.
2.
E
1
C
E
D) 6
E) 7
A
A
ESEN YAYINLARI
E
12
B
x
C
D
D
E
x
B
C
ABC ve ADE eşkenar üçgenler olmak üzere,
ABC eşkenar üçgeninde, |BE| = |DC|
a
a
|AE| = |BD| ve m( BDC) = 140° ise m( EBD) = x
|CE| = 12 cm ise |BD| = x kaç cm dir?
kaç derecedir?
A) 6
A) 10
B) 8
C) 10
D) 12
E) 16
B) 15
C) 20
6.
D) 25
E) 30
A
60°
D
3.
A
D
K
5
x + 30°
B
50° – x
C
E
2
α
B 2 E
F
4
F
5
C
a
ABC ve FDE eş üçgenlerinde, m( ABC) = x + 30°
a
a
ve m( DEF) = 50° – x ise m( EFD) = α kaç
a
ABC üçgeninde, |DE| = |FK|, m( BAC) = 60°
derecedir?
|EF| = 4 cm ise |AD| + |AK| kaç cm olur?
A) 100
B) 110
C) 120
D) 130
E) 140
|BD| = |FC| = 5 cm, |BE| = |KC| = 2 cm ve
A) 15
B) 16
C) 17
D) 18
E) 19
345
İki Üçgenin Eşliği
A
7.
10.
A
6
x
D
D
F
12
12
B
5
100°
5
B
C
E
|BE| = |FC| = 5 cm, |DE| = |EF| = 12 cm ve
|AD| = 6 cm ise |AF| = x kaç cm dir?
B) 12
C) 13
D) 14
C
A) 100
B) 110
C) 120
D) 135
E) 145
E) 15
11.
8.
45°
E
&
&
ABCD dörtgeninde, ABE b EDC
a
a
m( ABE) = 100° ve m( DCE) = 45° ise
a
m( AED) = α kaç derecedir?
ABC üçgeninde, [DE] ⊥ [BC], [EF] ⊥ [AC]
A) 11
α
A
A
x
D
2x – 3
70°
E
E
6
B
x+2
C
a
ABC üçgeninde, |AD| = |EC|, m( DBE) = 40°
a
m( BED) = 70°, |AB| = 2x – 3 cm ve
ESEN YAYINLARI
40°
C
B) 5
C) 6
D) 7
B
|AE| = x kaç cm dir?
E) 8
A
6
|BE| = |BD| = 6 cm ve |CD| = 4 cm ise
A) 2
9.
D
Şekilde, [AD] ⊥ [CB], [CE] ⊥ [AB]
|BC| = x + 2 cm ise x kaçtır?
A) 4
4
B) 3
C) 4
12.
D) 6
E) 8
A
D
6
F
E
x
B
8
C
x
8
5
C
8
B
D
E
a
a
Şekilde, m( BFD) = m( ACB), |BC| = 5 cm
Şekilde, [AB] // [DE], [BD] ∩ [AE] = {C}
|CD| = 8 cm ve |AB| = 13 cm ise |BF| = x kaç
|BC| = |CD| = 8 cm ve |AB| = 6 cm ise
cm dir?
A) 8
346
|DE| = x kaç cm dir?
B) 7
C) 6
D) 5
E) 4
A) 10
B) 9
C) 8
D) 6
E) 4
TEST -
8
Üçgenin Kenarları ve Açıları Arasındaki İlişki
4.
A
1.
42°
A
71°
D
59°
4
B
C
3
B
C
5
D
Şekilde, |AB| = 4 br, |BC| = 3 br, |CD| = 5 br
ABCD dörtgeninde verilenlere göre en uzun
|AD| = 7 br ise |AC| = x in alabileceği tam sayı
kenar aşağıdakilerden hangisidir?
değerlerinin toplamı kaç br dir?
A ) [ AC] B ) [BC ] C ) [AB ] D ) [AD ] E ) [CD ]
A) 19
B) 18
C) 17
5.
2.
7
x
D) 16
E) 15
A
A
5
2x
4x
12
B
C
ABC üçgeninde, |AB| = 2 x br, |AC| = 4x br
ESEN YAYINLARI
4
B
ABC üçgeninde, |AB| = 4 br, |AC| = 5 br
A ) > m( W
B ) ise |BC| = x in alabileceği kaç
m( W
|BC| = 12 br ise x in alabileceği kaç farklı tam
tam sayı değeri vardır?
sayı değeri vardır?
A) 6
A) 6
B) 5
C) 4
D) 3
B) 5
C) 4
E) 2
A
5
3
A
x
B
4
D) 3
E) 2
6.
3.
C
x
x
3
D
7
C
B
C
6
ABC üçgeninde, |AB| = 4 br, |BC| = 6 br ise
|AC| = x
in alabileceği kaç tam sayı değeri
vardır?
A) 5
B) 6
C) 7
D) 8
E) 9
Şekilde, |AB| = 3 br, |AD| = 5 br, |BC| = 3 br
|CD| = 7 br ise |BD| = x
in alabileceği en
büyük tam sayı değeri kaç br dir?
A) 5
B) 6
C) 7
D) 8
E) 9
349
Üçgenin Kenarları ve Açıları Arasındaki İlişki
7.
10.
A
A
6
3
b
c
2x – 1
B
C
58°
41°
B
ABC üçgeninde x bir tam sayı olmak üzere
C
a
|AB| = 3 br, |AC| = 6 br, |BC| = (2 x – 1 ) br ise
a
a
ABC üçgeninde, m(ABC ) = 58°, m(BCA) = 41°
ABC üçgeninin çevresinin alabileceği en küçük
ise |a – b| + |c – b| + |b – a – c| ifadesinin eşiti
tam sayı değeri kaç br dir?
aşağıdakilerden hangisidir?
A ) 11
B ) 12
C ) 13
D ) 14
E) 15
A) 2a – b
B) 2a
D ) 2c
8.
2x – 1
6
B
6
C
ABC üçgeninde verilenlere göre x in alabileceği
tam sayı değerlerinin toplamı kaçtır?
C ) 24
D ) 25
3
ESEN YAYINLARI
x+1
B
C
Şekildeki verilenlere göre
ABC
kaç birimdir?
E) 26
A ) 27
B) 28
C) 29
D) 30
3
4
B
D
x
5
6
E) 31
A
A
B
üçgeninin
çevresinin alabileceği en büyük tam sayı değeri
12.
9.
D
2
A
4
E
B ) 23
E) a – b
11.
A
A ) 22
C) 2c – b
C
C
ABC üçgeninde kenar uzunlukları birer tam
sayıdır. |BC| = 6 cm ise üçgenin çevresinin en
ABCD dörtgeninde verilenlere göre |CD| = x in
küçük tam sayı değeri kaç cm dir?
en küçük tam sayı değeri kaç birimdir?
A ) 12
350
B ) 13
C ) 14
D ) 15
E) 16
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
. ÜNİTE
ÜÇGENLER
4. ÜNİTE
4. ÜNİTE
4. ÜNİTE
ÜÇGENLERİN BENZERLİĞİ
1. Kazanım : Bir üçgenin bir kenarına paralel olarak çizilen bir doğru diğer iki kenarı kestiğinde bu
doğrunun üçgenin kenarlarını orantılı doğru parçalarına ayırdığını (temel orantı teoremi)
ve bunun karşıtının da doğru olduğunu gösterir.
2. Kazanım : İki üçgenin benzerliğini açıklar, iki üçgenin benzer olması için gerekli olan asgari koşulları
belirler.
3. Kazanım : Üçgenlerin benzerliğini modelleme ve problem çözmede kullanır.
4. ÜNİT
ÜÇGENLERDE BENZERLİK
Benzerlik Kavramı
Tipleri aynı fakat büyüklükleri orantılı olan iki şekil benzer şekillerdir. Örneğin;
H
G
D
C
A
B E
F
D
A
B
A
D
C
B
C
E
F
‹ki do¤ru parças›
‹ki eflkenar üçgen
‹ki kare
‹ki çember
‹ki küp
benzerdir.
benzerdir.
benzerdir.
benzerdir.
benzerdir.
Benzerlik bilgisi, büyük boyutlu cisimler üzerinde ölçümler yapmak yerine, bunların küçük modelleri üzerinde bu
işlemlerin yapılmasını sağlar.
Üçgenlerde Benzerlik
İki üçgen arasında yapılan bire bir eşlemede, karşılıklı açılar eş ve karşılıklı kenar uzunlukları orantılı ise
bu eşlemeye benzerlik, üçgenlere de benzer üçgenler denir.
&
&
ABC * DEF eşlemesi yapıldığında,
D
m( W
A ) = m( X
D)
m( W
B ) = m( W
E ) ve
C ) = m( W
F)
m( X
A
AB
BC
AC
=
=
=k
DE
EF
DF
B
a
C
E
&
&
oluyorsa ABC üçgeni ile DEF üçgeni benzerdir denir ve ABC ` DEF şeklinde gösterilir.
Benzer üçgenlerin karşılıklı kenarlarının uzunlukları oranına benzerlik oranı denir.
Eş üçgenler benzerdir ve benzerlik oranı 1 dir.
ÖRNEK 1
A
B
Çözüm
X
C
Y
Z
&
&
ABC + YXZ olduğuna göre,
a. Karşılıklı eş olan açıları belirtiniz.
b. Karşılıklı kenarlar arasındaki orantıyı yazınız.
358
e
f
b
c
d
F
Üçgenlerin Benzerliği
ÖRNEK 2
Çözüm
D
A
f=8
B
e=6
b=3
c=2
C
a=4
E
F
d=4
Şekildeki iki üçgenin benzer olup olmadığını araştırınız. Benzer iseler benzerlik oranını bulunuz.
ÖRNEK 3
Çözüm
A
D
c=6
B
b=5
f=9
C
a=4
E
e=6
F
d=8
Şekildeki üçgenlerin benzer olup olmadığını araştırınız.
Kenar Açı Kenar ( K.A.K. ) Benzerlik Aksiyomu
Verilen herhangi iki üçgenin karşılıklı ikişer kenarının uzunlukları orantılı ve bu kenarlar arasındaki açılar eş ise
bu iki üçgen benzerdir.
D
A
B
AB
BC
=
=k
DE
EF
C
E
F
&
&
B ) = m( W
E ) ise ABC ` DEF dir.
ve m ( W
359
Üçgenlerin Benzerliği
ÖRNEK 4
A
Çözüm
D
6
4
6
C
8
x
B
12
E
Yukarıdaki şekilde, [ AE ] ∩ [BD ] = { C }
|AC| = 4 cm , |AB| = |CD| = 6 cm , |BC| = 8 cm ve
|CE| = 12 cm ise |DE| = x kaç cm dir?
ÖRNEK 5
Çözüm
A
5
D
9
4
x
B
9
E
3
C
ABC üçgeninde, |EC| = 3 cm, |CD| = 4 cm
|AD| = 5 cm, |AB| = |BE| = 9 cm ise |DE| = x
kaç cm dir?
ÖRNEK 6
Çözüm
A
10
B
4
x
6
9
D
C
Yukarıdaki şekilde, [ AD ] // [ BC ], |AD| = 4 cm
|AC| = 6 cm, |BC| = 9 cm, |AB| = 10 cm ise
|CD| = x kaç cm dir?
360
Üçgenlerin Benzerliği
Temel Orantı Teoremi
A
Bir üçgenin bir kenarına paralel olan bir
DE// [BC] ise
doğru, üç genin diğer kenarlarını farklı
D
noktalarda keserse bu kenarlar üzerinde
E
AD
AE
=
DB
EC
orantılı parçalar ayırır.
B
dir.
C
ÖRNEK 7
Çözüm
A
2
D
3
4
B
E
x
C
ABC üçgeninde, [ DE ] // [ AC ], |AD| = 2 cm
|DB| = 3 cm, |BE| = 4 cm ise |EC| = x kaç cm dir?
ÖRNEK 8
A
Çözüm
x
K
6
3
D
E
F
4
B
C
ABC ve ACD üçgenlerinde, [ EF ] // [ BC ]
[ FK ] // [CD ] , |AE| = 6 cm, |EB| = 4 cm
|KD| = 3 cm ise |AK| = x kaç cm dir?
ÖRNEK 9
Çözüm
A
8
F
x
D
E
6
B
C
ABC üçgeninde, [ DE ] // [ BC ], [DF ] // [ BE ]
|AF| = 8 cm, |EC| = 6 cm ise |FE| = x kaç cm dir?
361
Üçgenlerin Benzerliği
ÖRNEK 10
Çözüm
A
80°
4
D
α
6
B
E
6
9
C
A ) = 80°, |AD| = 4 cm
ABC üçgeninde, m ( W
a
|BE| = |DC| = 6 cm, |EC| = 9 cm ise m (EDC) = α
kaç derecedir?
ÖRNEK 11
Çözüm
D
K
C
F
L
A
E
B
ABCD dörtgeninde kenar orta noktalarının birleşimi
ile oluşturulan EFKL dörtgeninin paralelkenar olduğunu gösteriniz.
ÖRNEK 12
Çözüm
D
K
F
L
A
C
E
B
ABCD dörtgeninde; E, F, K, L kenar orta noktalarıdır. |AC| + |BD| = 24 cm ise Çevre ( EFKL) kaç
cm dir?
362
Üçgenlerin Benzerliği
ÜÇGENLERDE BENZERLİK TEOREMLERİ
Açı Açı Açı ( A.A.A. ) Benzerlik Teoremi
İki üçgen arasında yapılan bir eşlemede karşılıklı
açılar eş ise bu iki üçgen benzerdir.
F
d
E
A
A
D
c
B
E
C
F
B
E
e
e
f
d
a
F
c
f e d
= =
c b a
b
C
B
_
m (W
A) = m ( X
D) b
b &
&
m (W
B) = m ( W
E) ` & ABC + DEF dir.
b
m (X
C) = m ( W
F) b
a
f
A
b
a
C
f e d
= =
c b a
ÖRNEK 13
A
Çözüm
D
E
50°
α
55°
B
C
F
a
&
&
Yukarıdaki şekilde, ABC + DEF , m (ABC ) = 55°
a
a
m (EDF ) = 50° ise m (DFE ) = α kaç derecedir?
ÖRNEK 14
Çözüm
A
5
2
E
D
3
B
x
C
%
%
ABC üçgeninde, m (AED) = m (ABC) , |AE| = 2 cm
|AD| = 5 cm, |DB| = 3 cm ise |EC| = x kaç cm dir?
363
Üçgenlerin Benzerliği
ÖRNEK 15
Çözüm
A
y
D
x
4
3
B
E
3
C
ABC üçgeninde, [AB ] ⊥ [BC ], [ED ] ⊥ [DC ]
|BE| = |ED| = 3 cm, |DC| = 4 cm ise |AB| = x ve
|AD| = y değerlerini bulunuz.
ÖRNEK 16
Çözüm
A
4
F
E
2
B
3
x
C
D
Yukarıdaki şekilde, [ AB ] ⊥ [ DF ] , [ AC ] ⊥ [BD ]
|AE| = 4 cm, |EC| = 2 cm, |BC| = 3 cm ise
|CD| = x kaç cm dir?
ÖRNEK 17
Çözüm
A
x
E
D
2
B
3
C
ABC üçgeninde, [CD ] açıortay, [ DE ] // [ BC ]
|EC| = 2 cm, |BC| = 3 cm ise |AE| = x kaç cm dir?
364
Üçgenlerin Benzerliği
ÖRNEK 18
Çözüm
A
x
B
1
D
3
C
%
%
ABC üçgeninde, m (BAD) = m (ACB) , |BD| = 1 cm
|DC| = 3 cm ise |AB| = x kaç cm dir?
ÖRNEK 19
Çözüm
A
5
D
x
4
4
x
B
C
ABC üçgeninde, |BD| = |DC| = 4 cm, |AD| = 5 cm
ise |AB| = |BC| = x kaç cm dir?
ÖRNEK 20
Çözüm
A
F
12
4
8
x
E
D
B
C
%
%
%
ABC üçgeninde, m (BAD) = m (EBC) = m (ACF)
|AB| = 12 cm, |AC| = 8 cm ve |FD| = 4 cm ise
|EF| = x kaç cm dir?
365
Üçgenlerin Benzerliği
ÖRNEK 21
Çözüm
A
M
E
L
D
3
F
2
K
B
C
ABC üçgeninde, [ DM ] ⊥ [ AC] , [ FL] ⊥ [ AB]
[ EK ] ⊥ [ BC ] , |DF| = 2 cm , |EF| = 3 cm
|BC| = 6 cm ise |AB| = x kaç cm dir?
ÖRNEK 22
Çözüm
A
D
E
y
z
x
B
F
C
Yukarıdaki şekilde, [ AB ] // [ EF ] // [ DC ], |AB| = y
1 1 1
olduğunu
= +
x y z
|EF| = x , |DC| = z ise
gösteriniz.
ÖRNEK 23
Çözüm
A
D
18
12
B
x
E
C
24
ABC üçgeninde, [ DE ] // [ AC ], |DE| = 12 cm
|AC| = 18 cm, |BC| = 24 cm ise |BE| = x kaç
cm dir?
366
Üçgenlerin Benzerliği
Kenar Kenar Kenar ( K.K.K. ) Benzerlik Teoremi
İki üçgen arasında yapılan bir eşlemede, karşılıklı kenarların uzunlukları orantılı ise bu üçgenler benzerdir.
A
&
&
ABC ) DEF eşlemesinde;
D
AB
AC
BC
&
&
=
=
& ABC + DEF dir.
DE
DF
EF
B
C
E
F
ÖRNEK 24
Çözüm
D
A
α
5
16
10
7
60°
B
8
C
E
14
F
%
Yukarıda verilenlere göre, m (EDF) = α kaç derecedir?
ÖRNEK 25
Çözüm
A
5
E
6
4
2
B
9
D
3
C
Şekilde verilenlere göre, hangi açıların ölçülerinin
eşit olduğunu bulunuz.
ÖRNEK 26
A
Çözüm
8
D
9
6
4
B
12
C
Yukarıdaki şekilde, |AB| = 9 cm, |BC| = 12 cm
|AC| = 6 cm, |CD| = 4 cm, |AD| = 8 cm ise
[ AB ] // [ DC ] olduğunu gösteriniz.
367
Üçgenlerin Benzerliği
I. Tales Teoremi
A
D
d1
En az üç paralel doğru, iki keseni
B
uzunlukları orantılı parçalara ayırır.
E
C
d2
F
d4
d1 //d 2 //d 3 ise
AB
DE
dir.
=
BC
EF
d3
d5
ÖRNEK 27
d1 //d 2 //d 3
Çözüm
A
olmak üzere,
D
2
şekilde verilenlere
3
B
göre |EF| = x
d1
E
3
C
kaç cm dir?
d2
x
F
d3
II. Tales Teoremi
Kesişen iki doğru, paralel iki doğru tarafından kesildiğinde oluşan üçgenlerin karşılıklı kenar uzunlukları orantılıdır.
A
B
d1
D
B
AB
AC
BC
=
=
DE
CE
CD
C
d2
E
D
d4
d3
A
d1 // d 2 ise
d3
ÖRNEK 28
Çözüm
A
6
D
E
F
B
4
C
ABC üçgeninde, [ BE ] ∩ [DC ] = { F } , [DE] // [ BC ]
|AE| = 6 cm, |EC| = 4 cm, |DC| = 8 cm ise |DF|
kaç cm dir?
368
d1 //d 2 ise
C
d1
E
d2
d4
AB
AC
BC
=
=
AD
AE
DE
Üçgenlerin Benzerliği
ÖRNEK 29
Çözüm
A
6
D
E
3
x
F
5
B
C
ABC üçgeninde, [ BE ] ∩ [DC ] = { F } , [DE] // [ BC ]
|AE| = 6 cm, |DF| = 3 cm, |FC| = 5 cm ise
|EC| = x kaç cm dir?
ÖRNEK 30
D
4
Çözüm
C
4
x
E
F
3
11
A
B
ABCD dörtgeninde, [ DC ] // [ EF ] // [ AB ]
|DC| = |DE| = 4 cm, |EA| = 3 cm, |AB| = 11 cm ise
|EF| = x kaç cm dir?
ÖRNEK 31
Çözüm
A
3
E
D
x
F
K
4
B
C
ABC üçgeninde; B, K, F doğrusal, [ DF ] // [ BC]
2|DE| = 3|EF|, |AE| = 3 cm, |KC| = 4 cm ise
|EK| = x kaç cm dir?
369
Üçgenlerin Benzerliği
Benzerlik Özellikleri
Benzer üçgenlerin açıları karşılıklı olarak eş, diğer bütün elemanları orantılıdır.
A
D
b
c
e
f
B
a
C
E
d
F
&
&
a b c
ABC + DEF ⇔ = = = k , k : Benzerlik oranı
d e f
I.
Karşılıklı kenarortaylarının uzunlukları oranı benzerlik oranına eşittir.
III. Karşılıklı yüksekliklerinin uzunlukları oranı benzerlik oranına eşittir.
A
A
D
B
K
C
E
D
L
F
B
II. Karşılıklı açıortaylarının uzunlukları oranı benzerlik oranına eşittir.
A
D
C
E
L
Çözüm
A
D
C
&
&
ABC + DEF olmak üzere,
A(ABC) = 50 cm
370
F
Çevre (ABC)
=k
Çevre (DEF)
nın karesine eşittir.
ÖRNEK 32
2
L
V. Benzer iki üçgenin alanları oranı benzerlik oranı-
F
nA nB nC
=
=
=k
nD nE nF
B
E
IV. Benzer üçgenlerin çevreleri oranı benzerlik oranına eşittir.
K
C
ha hb hc
=
=
=k
hd he hf
Va Vb Vc
=
=
=k
Vd Ve Vf
B
K
E
BC
EF
F
=
5
ve
2
ise A(DEF) kaç cm2 dir?
Alan (ABC)
= k2
Alan (DEF)
Üçgenlerin Benzerliği
ÖRNEK 33
Çözüm
A
K
D
6
N
B
C
4
L
M
Şekilde, |AD| = |DC|, |KN| = |NL|, |AB| = 6 cm
BD
MN
&
&
|LM| = 4 cm ve ABC + LMK ise
kaçtır?
ÖRNEK 34
Çözüm
|AB| = 6 cm, |BC| = 5 cm, |AC| = 4 cm olan ABC
üçgeni ile |DE| = 4 cm olan DEF üçgeni benzer ise
Çevre ( DEF ) kaç cm dir?
ÖRNEK 35
Çözüm
A
D
E
B
C
ABC üçgeninde, |AD| = |DB| ve |AE| = |EC|
olduğuna göre
A (ADE)
kaçtır?
A (BCED)
ÖRNEK 36
Çözüm
Alanlar oranı
9
olan benzer iki üçgenin çevreleri
16
oranı nedir?
371
ALIŞTIRMALAR
Aşağıdaki şekillerde verilen uzunluk ve paralelliklere
göre, x değerlerini bulunuz.
Aşağıdaki üçgenlerde verilenlere göre, x değerlerini bulunuz.
1.
6.
A
A
1
D
4
3
x
E
D
3
x
2
B
4
C
B
E
2
7.
2.
4
C
C
3
A
E
2
6
D
4
x
4
3
3
A
B
E
x
D
B
15
C
8.
ESEN YAYINLARI
3.
A
3
K
4
x
D
E
D
B
6
4
E
x
15
8
12
F
A
2
C
C
B
4.
9.
A
A
2
3
E
N
F
2
E
6
B
K
4
L
x
C
5.
D
8
E
372
B
D
3
10.
C
x
D
C
A
10
6
F
4
x
A
B
B
6
x
5
D
x
C
Üçgenlerin Benzerliği
6.
Aşağıdaki şekillerde verilen uzunluk ve paralelliklere
göre, x değerlerini bulunuz.
A
2
D
1.
7
A
4
x
1
D
5
B
3
E
C
2
x
B
2
E
C
7.
A
D
6
4
2.
8
A
5
6
9
6
E
B
4
x
B
x
C
D
E
C
8.
A
E
3.
4
ESEN YAYINLARI
A
2
E
D
3
x
B
C
6
3
B
D
C
x
9.
4.
A
A
x
4
D
B
6
B
5
E
x
4
A
B
6
F
D
6
F
E
x
2
4
E
C
A
K
9
5
C
10.
5.
D
C
D
4
B
x
C
373
Üçgenlerin Benzerliği
1.
4.
D
2
C
E
1m
A
8m
2m
F
x
8
B
Yukarıdaki şekilde, [AC] ∩ [DB ] = {E }
Şekildeki ağacın gölgesi ile çocuğun gölgesi
[DC ] // [EF] // [AB ], |DC| = 2 cm, |AB| = 8 cm
aynı noktada bitmektedir. Çocuğun boyu 1 m,
ise |EF| = x kaç cm dir?
gölgesi 2 m ve ağaca olan uzaklığı 8 m ise
ağacın boy kaç metredir?
5.
2.
A
A
D
6
6
E
x
E
3
B
C
D
ABC üçgeninde, [ AC ] ⊥ [BC ], [DE] ⊥ [AB ]
ESEN YAYINLARI
4
2
B
F
C
Yukarıdaki şekilde, [AC] ∩ [BD ] = {E }
[AB] // [EF] // [DC] , |AB| = 6 cm ve
|AE| = 6 cm, |BE| = 4 cm, |ED| = 3 cm ise
|EF| = 2 cm ise |DC| = x kaç cm dir?
|AC| + |DC| kaç cm dir?
3.
A
6.
F
x
2
D
10
C
ABC üçgeninde, [ AD ] ∩ [CF ] = { K }
[ CF ] // [ DE], |AK| = |KD|, |BD| = 2 cm
|DC| = 10 cm, |AB| = 11 cm ise |EF| = x kaç
cm dir?
374
D
α
K
E
B
A
75°
B
50°
C
E
F
a
&
&
ABC + DFE olmak üzere, m(ABC ) = 75° ve
a
a
m(DEF) = 50° ise m(BAC) = α kaç derecedir?
Yazılıya Hazırlık Soruları
1.
4.
A
D
A
D
E
E
x
3
K
B
B
C
2
F
C
4
ABC üçgeninde, [AC] ∩ [BD ] = {E }
ABC üçgeninde, [ DE ] // [ BC ] , 2|AD| = 3|DB|
[AB] // [EF] // [DC], |AB| = 3 cm, |BF| = 2 cm
|DC| = 16 cm ise |DK| kaç cm dir?
|FC| = 4 cm ise |DC| = x kaç cm dir?
2.
D
12
A
4
5.
B
ESEN YAYINLARI
x
A
C
a
a
ABC üçgeninde, m (BAC ) = m (DCB )
E
K
D
L x
3
M
F
B
C
|AD| = 12 cm , |DB| = 4 cm ise |BC| = x kaç
ABC üçgeninde, [MD] ⊥ [AB ], [KF] ⊥ [BC ]
cm dir?
[LE ] ⊥ [AC ], |AB| = 12 cm, |BC| = 9 cm
|KM| = 3 cm ise |LM| = x kaç cm dir?
3.
E
6.
A
A
5
x
E
F
K
F
K
C
D
ABC üçgeninde, [ EF ] // [ AC ]
BF
FC
= |CD| ve |KC| = 10 cm ise
=
4
3
B
D
2
M
4
10
B
L
C
Yukarıdaki şekilde, [FK] // [BC], [KL] // [AE]
[LM] // [ED ], |ED| = 5 cm, |FB| = 4 cm
|LM| = 2 cm ise |AF| = x kaç cm dir?
|AK| kaç cm dir?
375
Üçgenlerin Benzerliği
7.
9.
A
A
E
E
D
9
x
B
6
C
3
F
D
B
C
%
%
ABC üçgeninde, m (ABD) = m (DBF)
[ ED] ⊥ [ BD ] , |AB| = 9 cm , |BC| = 6 cm
|AE| = |EC|, [BD ] ⊥ [AD ], |AB| = 10 cm
|CD| = 3 cm ise |ED| = x kaç cm dir?
|BC| = 6 cm ise |DE| kaç cm dir?
8.
ESEN YAYINLARI
Yukarıdaki şekilde, [ AB ] ⊥ [BD ] , [AC ] ⊥ [CE ]
A
10.
F
2
B
6
K
E
x
C
D
ABC üçgeninde A, K, D doğrusal, [ AB ] // [DF]
|DE| = |EF|, |BK| = 6 cm, |KE| = 2 cm ise
|EC| = x kaç cm dir?
376
Ayna
180 cm boyundaki Ali, ağaçtan 13 m uzakta
durmakta ve ağaçtan 10 m uzakta duran aynaya
baktığında ağacın ucunu görebilmektedir.
Buna göre, ağacın boyu kaç metredir?
1
TEST -
Üçgenlerin Benzerliği
1.
4.
x
H
C
A
A
F
4
F
D
B
E
D
E
6
G
B
Yukarıdaki çokgenlerle ilgili aşağıdakilerden
C
ABC üçgeninde [DE] // [BC] , [DF] // [BE]
hangisi doğrudur?
|FE| = 4 cm , |EC| = 6 cm ise |AF| = x kaç
A) A ile E benzerdir.
B) A ile C eş değildir.
cm dir?
C) F ile G eştir.
D) F ile H benzerdir.
A) 5
B) 6
C) 7
D) 8
E) 9
E) B ile D eştir.
5.
A
2.
ESEN YAYINLARI
C
A
D
F
B
E
Yukarıdaki şekilde [AF] ⊥ [BD ], [AE ] ⊥ [DE ]
|FC| = |CE|, |BF| = 4 cm ve |DE| = 3 cm ise
Çevre(ABF) kaç cm dir?
C
A) 12
ABC üçgeninde B, E, D doğrusal, [ FE ] // [BC]
|AD| = |DC|, |BE| = |ED| ise
B) 1
3
C) 1
4
D
F
3
E
B
A) 1
2
4
FE
BC
D) 1
6
B) 13
C) 14
D) 15
E) 16
kaçtır?
E) 1
8
6.
A
E
D
B
3.
C
Alanları oranı
9
olan benzer iki üçgenden büyük
4
olanın çevresi 36 cm ise küçük olanın çevresi
a
a
ABC üçgeninde, m(ACD) = m(DCB)
a
a
m (ABC) = m(EDC), |AD| = 6 cm, |AC| = 12 cm
kaç cm dir?
ise |EC| kaç cm dir?
A) 18
B ) 20
C ) 24
D ) 25
E) 30
A) 9
B) 8
C) 7
D) 6
E) 5
377
Üçgenlerin Benzerliği
7.
10.
A
A
9
6
12
E
x
8
F
D
F
E
B
D
x
8
K
C
B
C
ABC ve ADF eşkenar üçgenlerdir.
ABC üçgeninde, [BD] ∩ [CF] = {K }
|AB| = 8 cm, |AF| = 6 cm ise |AE| = x kaç cm
[DE ] // [CF], |BK| = |KD|, |AE| = 9 cm
dir?
A) 3
B) 7
2
D) 9
2
C) 4
|AD| = 12 cm, |DC| = 8 cm ise |FB| = x kaç
E) 5
cm dir?
A) 2
8.
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
A
11.
12
A
F
x
4
B
E
16
C
a
a
a
ABC üçgeninde, m (ABF) = m (CAE ) = m(BCD)
|AB| = 12 cm , |BC| = 16 cm , |DE| = 4 cm ise
|DF| = x kaç cm dir?
A) 2
B) 5
2
D) 7
2
C) 3
ESEN YAYINLARI
B
D
6
x
12
C
a
a
Yukarıdaki şekilde, m(ABD) = m(DBC)
|AB| = 3 cm, |AD| = 4 cm, |BD| = 6 cm
E) 4
|BC| = 12 cm ise |DC| = x kaç cm dir?
A) 7
9.
4
3
D
B) 8
C) 9
D) 10
E) 11
A
12.
A
x
D
3
E
12
5
B
B
C
Yukarıdaki şekilde, [ AB ] ⊥ [BC ], [AE ] ⊥ [BD ]
[ BD] ⊥ [ DC ] , |AB| = |BC|, |DE| = 3 cm
|DC| = 5 cm ise |AE| = x kaç cm dir?
A) 8
378
B ) 15
2
C) 7
D) 6
E) 5
6
D
x
E
C
a
a
ABC üçgeninde m(BAD ) = m(DAE)
a
a
m(ABC) = m (EAC) , |BD| = 6 cm ve
|AC| = 12 cm ise |DE| = x kaç cm dir?
A) 7
B) 6
C) 5
D) 4
E) 3
TEST -
4
Üçgenlerin Benzerliği
1.
4.
C
A
x
D
D
E
16
6
F
12
9
A
B
x
K
24
B
a
a
Yukarıdaki şekilde, m (ABD ) = m (DBC )
C
ABC üçgeninde, [DE] // [FK] // [BC]
|AB| = 9 cm, |AD| = 6 cm, |DB| = 12 cm ve
|AD| = |DF| = |FB|, |BC| = 24 cm ise |FK| = x
|BC| = 16 cm ise |DC| = x kaç cm dir?
kaç cm dir?
A) 8
A) 2
B) 9
C) 10
D) 11
2.
E) 12
B) 4
5.
D
C) 6
ESEN YAYINLARI
10
4
E
B
12
C
E) 10
A
α
A
D) 8
E
D
25°
B
C
[ AE ] ⊥ [ BD ], |AE| = 4 cm, |BC| = 12 cm
ABC üçgeninde, [AB] ⊥ [BC ], [ED ] ⊥ [DC ]
a
a
&
&
m(BCD) = 25°, ABC + CDE ise m(BAC ) = α
|DC| = 10 cm ise |BE| kaç cm dir?
kaç derecedir?
Yukarıdaki şekilde, [ AB ] ⊥ [BC ], [DC ] ⊥ [BC ]
A)
8
3
B) 3
C)
10
3
D)
11
3
A) 25
E) 4
B) 27,5
C) 30
6.
D) 32,5
E) 35
A
A
3.
K
x
B
9 D
E
E
D
F
K
16
C
B
x
F
8
C
ABC dik üçgeninde, DEFK dikdörtgen
ABC üçgeninde, [DF] ∩ [BE ] = {K }
|BD| = 9 cm, |EC| = 16 cm ise |FE| = x kaç
|AD| = |DB|, |AE| = |EC|, 3|BK| = 2|KE|
cm dir?
|FC| = 8 cm ise |BF| = x kaç cm dir?
A) 6
B) 8
C) 10
D) 12
E) 14
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
383
Üçgenlerin Benzerliği
7.
A
10.
E
2
D
A
4
x
B
9
D
6
B
C
|AD| = 2 cm ve |AB| = |BD| = 4 cm ise
|DC| = x kaç cm dir?
ise |AC| = x kaç cm dir?
B) 3c10
D) 10
C
a
a
ABC üçgeninde, m( ABD) = m( ACB)
ABC üçgeninde C, A, E doğrusal
a
a
m (EAB ) = m (ADB ), |BD| = 9 cm, |DC| = 6 cm
A) 4v5
x
4
A) 4
C) 4v6
B) 6
C) 8
D) 10
E) 6v3
A
11.
8.
A
4
12
9
6
E
D
E
8
2
ESEN YAYINLARI
K
F
6
B
C
ABC üçgeninde, [ DE ] // [ FK ] // [ BC ]
B
C) 16
9.
D) 17
C
|AE| = 4 cm ve |EC| = 2 cm ise
|FB| = 6 cm ise |DF| + |KC| kaç cm dir?
B) 15
D
ABC üçgeninde, [ED] ⊥ [BC], |AB| = 6 cm
|AD| = 9 cm, |AE| = 12 cm, |EK| = 8 cm
A) 14
E) 12
A) 2
B) 3
C) 4
BD
DC
D) 5
kaçtır?
E) 6
E) 18
A
12.
A
D
D
x
E
K
4
B
4
E 2 F
x
C
F
B
ABC üçgeninde, [ DE ] // [ AF ], [DF ] // [AC ]
C
ABC üçgeninde; C, K, E doğrusal, [ DF] // [AC]
|BE| = 4 cm, |EF| = 2 cm ise |FC| = x kaç cm
|AD| = |DE| = |EB|, |FK| = 4 cm ise |AC| = x
dir?
5
A)
2
kaç cm dir?
384
B) 3
C)
7
2
D) 4
E)
9
2
A) 16
B) 18
C) 20
D) 22
E) 24
. ÜNİTE
ÜÇGENLER
4. ÜNİTE
4. ÜNİTE
4. ÜNİTE
ÜÇGENLERİN YARDIMCI ELEMANLARI
1. Kazanım : Bir açının açıortayını çizer ve özelliklerini açıklar.
2. Kazanım : Üçgenin iç ve dış açıortaylarının özelliklerini gösterir.
3. Kazanım : Üçgenin kenarortaylarının bir noktada kesiştiğini gösterir ve kenarortayla ilgili özellikleri
açıklar.
4. Kazanım : Üçgenin kenar orta dikmelerinin bir noktada kesiştiğini gösterir.
5. Kazanım : Üçgenin yüksekliklerinin bir noktada kesiştiğini gösterir ve üçgenin çeşidine göre bu
noktanın konumunu belirler.
4. ÜNİT
ÜÇGENDE AÇIORTAY
Üçgenin herhangi bir açısını eş iki parçaya bölen ışının, köşe ile karşı kenar arasında kalan parçasına, üçgenin o
köşesine ait açıortayı denir.
A
A
A
αα
[ AN ] , BAC açısına ait
N
iç açıortay olup,
nA
θ
|AN| = nA ile gösterilir.
N
nC
nB
B
B
N
C
B
C
|BN| = nB
C
β
β
θ
|CN| = nC
Verilen bir açının açıortay doğrusunu çizelim:
Verilen açı AOB açısı olsun. Pergelimizi yeterli bir aralık-
A
A
ta açıp, sivri ucunu O noktasına koyarak O merkezli KL
K
P
yayını çizelim.
Pergelimizin açıklığını değiştirmeden, sivri ucunu sırasıyla
O
B
O
L
B
K ve L noktalarına koyup, K ve L merkezli yayları çizelim.
Bu yayların kesim noktası olan P noktasını O köşesi ile birleştirdiğimizde [OP, verilen açının açıortayı olur.
Açıortay doğrusu üzerindeki herhangi bir noktadan kollara çizilen dikmelerin uzunlukları birbirine eşittir.
F
B
D
E
A
H
&
&
FAE , HAE olup, |EF| = |EH| ve |AF| = |AH| dir.
C
ÖRNEK 1
Çözüm
A
45°
x
D
2
B
C
ABC dik üçgeninde, [ CD ] açıortaydır.
Verilenlere göre |AD| = x kaç cm dir?
386
Üçgenlerin Yardımcı Elemanları
ÖRNEK 2
Çözüm
x
D
C
4
3
8
A
B
a
a
m ( DAC ) = m ( CAB ), [ AB ] ⊥ [ BC ] , |AD| = 4 cm
|AB| = 8 cm, |CB| = 3 cm ise |DC| = x kaç cm dir?
ÖRNEK 3
Çözüm
A
B
x
D
3
C
ABC üçgeninde, [ AD ] açıortay, [ AC ] ⊥ [BC ]
|DC| = 3 cm, |AB| = |AC| + 4 cm olduğuna göre
|BD| = x kaç cm dir?
ÖRNEK 4
Çözüm
E
A
D
4
x
H
B
C
F
a
a
Yukarıdaki şekilde, [ AE // [ BF, m ( EAD) = m ( DAC)
a
a
m ( ACD) = m ( DCF ), [ AB] ⊥ [ BF, [ DH ] ⊥ [AC]
|DH| = 4 cm ise |AB| = x kaç cm dir?
387
Üçgenlerin Yardımcı Elemanları
ÖRNEK 5
Çözüm
A
60°
B
45°
2v6
N
x
C
B ) = 60°
ABC üçgeninde, [ AN ] iç açıortay, m ( W
C ) = 45°, |NC| = 2v6 cm olduğuna göre
m( X
|BN| = x kaç cm dir?
ÖRNEK 6
Çözüm
A
E
D
12
x
13
B
C
17
ABC üçgeninde, [ BD ] açıortay, [ DE ] ⊥ [AB ]
|BE| = 12 cm, |BD| = 13 cm, |BC| = 17 cm
olduğuna göre |DC| = x kaç cm dir?
ÖRNEK 7
Çözüm
A
C
B
E
D
ABC üçgeninde, [ AD ] iç açıortay, [ B D]
ve [CD]
dış açıortay, [ AE ] ⊥ [DE ], |AE| = 12 cm ise
Çevre ( ABC ) kaç cm dir?
388
Üçgenlerin Yardımcı Elemanları
Bir üçgenin iç teğet çemberini çizelim:
A
A
E
F
B
C
Üçgenin iç açıortaylarının kesim noktası iç teğet
B
C
D
çemberin merkezidir. İç teğet çemberin merke-
Bir üçgende iç açıortaylar bir noktada kesişir.
zinden üçgenin herhangi bir kenarına dik çizilir.
Bu nokta üçgenin iç teğet çemberinin merkezidir.
Pergel iç teğet çemberin merkezine yerleştirilir ve
kenara çizilen dik çizginin kenarı kestiği noktalar
kadar açılarak iç teğet çember çizilir.
ÖRNEK 8
Çözüm
A
B
6
H
C
x
ABC üçgeninde, Ι iç teğet çemberin merkezidir.
[ IH] ⊥ [ BC ] , |BH| = 6 cm, |AC| = |AB| + 3 cm
ise |HC| = x kaç cm dir?
ÖRNEK 9
Çözüm
A
E
F
I
B
D
C
ABC üçgeninin iç teğet çemberinin merkezi Ι dır.
|BF| = 3 cm, |BC| = 7 cm, |AC| = 6 cm ise |AF|
kaç cm dir?
389
Üçgenlerin Yardımcı Elemanları
K
A
F
x
E
y
M
y=
L
x+z
2
m (W
A)
%
m( BEC ) = 90° +
2
E
z
A
C
B
B
D
ÖRNEK 10
Çözüm
x
100°
120°
Şekildeki verilenlere göre x kaç derecedir?
ÖRNEK 11
ABC üçgeninde
A
[ BE ] ve [ CE]
80°
açıortaylar
%
m ( BAC ) = 80° ise
%
m ( BEC ) = x kaç
Çözüm
E
x
B
C
derecedir?
ÖRNEK 12
Çözüm
A
2x–20°
E
D
B
x
C
ABC üçgeninde, [ BE ] ve [ CD ] açıortaylar
%
A ) = 2 x – 20°, m ( EDC ) = x ise x kaç
m( W
derecedir?
390
C
Üçgenlerin Yardımcı Elemanları
ÖRNEK 13
Çözüm
A
E
2x–20°
B
C
ABC üçgeninde, [ BE ] ve [ CE] açıortaylardır.
%
m ( BEC ) = 2 x – 20° ise x in alabileceği en küçük
ve en büyük tam sayı değerlerini bulunuz.
A
ABC üçgeninde [BD] ve [CD] dış açıortaylar ise
C
B
m (W
A)
%
dir.
m ( BDC ) = 90° –
2
D
ÖRNEK 14
ABC üçgeninde
A
[ BD] ve [ CD ]
x
dış açıortaylar
%
m ( BDC ) = 70°
%
ise m ( BAC ) = x
Çözüm
C
B
70°
kaç derecedir?
D
ÖRNEK 15
Çözüm
C
3x–15°
A
D
B
ABC üçgeninde, [ BD ] ve [ CD ] dış açıortaylardır.
%
m ( BDC ) = 3 x – 15° ise x in alabileceği en küçük
ve en büyük tam sayı değerlerini bulunuz.
391
Üçgenlerin Yardımcı Elemanları
A
E
A
Bir üçgende iki dış
m (W
A)
%
m( BEC ) =
2
B
C
B
D
E
ÖRNEK 16
E
ABC üçgeninde
A
[ BE ] iç açıortay
80°
[ CE ] dış açıortay
%
B
m ( BAC ) = 80° ise
%
m ( BEC ) = x kaç derecedir?
Çözüm
x
C
D
ÖRNEK 17
Çözüm
D
A
x
61°
B
C
ABC üçgeninde, [ CD ] iç açıortay, [ AD ] dış açıortay
a
a
m ( DBA ) = 61° olduğuna göre m ( ADC ) = x kaç
derecedir?
ÖRNEK 18
Çözüm
A
x
C
20°
B
D
ABC üçgeninde, [ BD ] ve [ CD ] dış açıortaylardır.
%
%
m ( ADC ) = 20° ise m ( ABC ) = x kaç derecedir?
392
C
açıortay ile bir iç açıortay
aynı noktada kesişir.
Üçgenlerin Yardımcı Elemanları
İç Açıortay Teoremi
A
Bir üçgende bir iç açıortayın karşı kenar üzerinde
ayırdığı parçaların uzunlukları oranı, bu parçalara
x c
=
y b
b
c
nA
bitişik kenarların uzunlukları oranına eşittir.
nA =
B
x
N
y
c.b – x.y
C
ÖRNEK 19
Çözüm
A
B
3
N
4
C
ABC üçgeninde, [ AN ] iç açıortay, |BN| = 3 cm
|NC| = 4 cm, Çevre ( ABC ) = 21 cm ise |AB| kaç
cm dir?
ÖRNEK 20
Çözüm
A
2
D
3
x
B
C
ABC üçgeninde, [ BD ] iç açıortay, |AD| = 2 cm
|DC| = 3 cm, Çevre ( ABC ) = 15 cm olduğuna göre
|BD| = x kaç cm dir?
ÖRNEK 21
Çözüm
A
3
9
E
x
B
6
D
C
Şekilde [ AD ] ve [ CE ] iç açıortaylar, |AE| = 3 cm
|AB| = 9 cm, |BD| = 6 cm ise |ED| = x kaç cm dir?
393
Üçgenlerin Yardımcı Elemanları
ÖRNEK 22
A
6
B
Çözüm
x
3
8
D
C
ABC üçgeninde, [ AD ] açıortay, |AB| = 6 cm
|AC| = 8 cm, |BD| = 3 cm ise |AD| = x kaç cm dir?
ÖRNEK 23
A
Çözüm
B
4
D
5
C
ABC üçgeninde, [ AB ] ⊥ [BC ], [AD ] iç açıortay
|BD| = 4 cm, |DC| = 5 cm ise |AD| kaç cm dir?
ÖRNEK 24
Çözüm
A
3
C
B
x
E
5
D
ABC üçgeninde, [ AB ] ⊥ [BC ], [BC ] ⊥ [CD ]
a
a
m ( BAD) = m ( DAC), |AB| = 3 cm, |CD| = 5 cm ise
|BE| = x kaç cm dir?
394
Üçgenlerin Yardımcı Elemanları
ÖRNEK 25
Çözüm
A
6
4
3
B
C
D
ABC üçgeninde, [ AD ] açıortay, |AB| = 6 cm
|AD| = 3 cm, |AC| = 4 cm ise |BC| kaç cm dir?
ÖRNEK 26
Çözüm
A
3
9
E
F
x
B
3
D
C
ABC üçgeninde, [ AD ] ⊥ [ BE ] , |AF| = |FD|
|AE| = |DC| = 3 cm, |AB| = 9 cm ise |EC| = x kaç
cm dir?
ÖRNEK 27
Çözüm
A
4
B
2
x
C
a
a
ABC üçgeninde, m ( BAC ) = 2.m ( ACB ), |AB| = 4 cm
|AC| = 2 cm olduğuna göre |BC| = x kaç cm dir?
395
Üçgenlerin Yardımcı Elemanları
ÖRNEK 28
Çözüm
A
2
E
x
F
1
B
D
C
ABC üçgeninde, [ AB ] ⊥ [AC ], [AD ] ⊥ [BC ]
[ BE ] açıortay, |FD| = 1 cm, |AE| = 2 cm ise
|AB| = x kaç cm dir?
ÖRNEK 29
A
Çözüm
E
8
F
B
C
D
ABC üçgeninde, [ AD ] ve [ BE ] iç açıortaylardır.
|AB| = 8 cm, |AC| = 9 cm, |BC| = 10 cm ise
BF
FE
nedir?
ÖRNEK 30
Çözüm
A
D
B
E
F
C
ABC üçgeninde iç teğet çemberin merkezi D dir.
[ DE ] // [ AB ] , [DF ] // [AC ], Çevre ( DEF ) = 15 cm
olduğuna göre, |BC| kaç cm dir?
396
Üçgenlerin Yardımcı Elemanları
Dış Açıortay Teoremi
E
A
Bir ABC üçgeninde, A açısının dış açıortayı,
B
x
b
=
x+a c
y
c
[BC ] kenarının uzantısını D noktasında kesiyor.
b
a
C
x
D
y = x. (x + a) – b.c
ÖRNEK 31
Çözüm
A
4
3
D
B
x
2
C
ABC üçgeninde, [ AD ] dış açıortay, D, B, C doğrusal, |BC| = 2 cm, |AB| = 3 cm, |AC| = 4 cm ise
|DB| = x kaç cm dir?
ÖRNEK 32
Çözüm
A
D
x
B 3 E 4 C
ABC üçgeninde, [ AE ] iç açıortay, [ AD ] dış açıortay
|BE| = 3 cm, |EC| = 4 cm ise |DB| = x kaç cm dir?
ÖRNEK 33
Çözüm
A
B
3 N x C
10
D
ABC üçgeninde, [ AN ] iç açıortay, [ AD ] dış açıortay
|BN| = 3 cm, |CD| = 10 cm ise |NC| = x kaç cm
dir?
397
Üçgenlerin Yardımcı Elemanları
ÖRNEK 34
Çözüm
A
B
x
3 E 2 D
C
a
a
ABC üçgeninde, [ AE ] ⊥ [AC ], m ( BAE ) = m( EAD)
|BE| = 3 cm, |ED| = 2 cm ise |DC| = x kaç cm dir?
ÖRNEK 35
Çözüm
A
5
D
x
4
45°
B
C
a
ABC üçgeninde, [ AB ] ⊥ [BD ], m( DBC ) = 45°
|AB| = 4 cm, |AD| = 5 cm ise |DC| = x kaç cm dir?
ÖRNEK 36
Çözüm
A
x
B
8
C
12
D
ABC üçgeninde, [ AD ] dış açıortay, [ AC ] ⊥ [BD ]
|BC| = 8 cm, |CD| = 12 cm ise |AD| = x kaç cm
dir?
398
Üçgenlerin Yardımcı Elemanları
ÖRNEK 37
Çözüm
A
72°
36°
B
x
D
C
6
a
a
ABC üçgeninde, m ( BAD ) = 36°, m ( DAC ) = 72°
2|AB| = 3|AD|, |DC| = 6 cm ise |BD| = x kaç
cm dir?
ÖRNEK 38
Çözüm
E
A
6
B
4
x
D
C
a
a
a
ABC üçgeninde, m ( EAB ) = m ( BAD ) = m ( DAC)
|AB| = 6 cm, |AC| = 4 cm ise |AD| = x kaç cm dir?
Üçgenin Dış Teğet Çemberleri
A
Bir üçgenin bir iç ve diğer iki köşeye ait dış açıortaylarının kesim noktası bu üçgenin dış teğet çember-
A
C
B
lerinden birinin merkezi olup her üçgende 3 tane dış
C
teğet çember vardır.
B
O
ÖRNEK 39
Çözüm
A
D
4
B
2
3
C
x
E
D noktası, ABC üçgeninin dış teğet çemberlerinden
birinin merkezidir. |BC| = 2 cm, |AC| = 3 cm ve
|AB| = 4 cm ise |CE| = x kaç cm dir?
399
Üçgenlerin Yardımcı Elemanları
ÖRNEK 40
Çözüm
A
4
E
2
3
D
x
B
C
ABC üçgeninin iç teğet çemberinin merkezi
D noktası ve dış teğet çemberlerinden birinin
merkezi E noktasıdır. |AD| = 2 cm, |AE| = 4 cm
ve |CE| = 3 cm ise |DC| = x kaç cm dir?
ÖRNEK 41
Çözüm
A
3
B
x
C
6
D
ABD üçgeninde, |AB| = |BC|, |AC| = 3 cm
a
a
|CD| = 6 cm, m ( ACD ) = 2.m ( CAD ) ise |BC| = x
kaç cm dir?
ÖRNEK 42
Çözüm
A
x
x
E
D
5
2
B
2
F
4
C
ABC üçgeninde, |DF| = |EF|, |BD| = |BF| = 2 cm
|EC| = 5 cm, |FC| = 4 cm ise |AD| = |AE| = x kaç
cm dir?
400
ALIŞTIRMALAR - 1
6.
Aşağıdaki soruların her birinde x değerlerini bulunuz.
x
84°
1.
80°
x
110°
7.
x
30°
2.
60°
x
120°
8.
ESEN YAYINLARI
30°
3.
x
20°
112°
x
9.
4.
60°
80°
x
x
20°
5.
10.
x
70°
x
60°
401
Üçgenlerin Yardımcı Elemanları
6.
Aşağıdaki soruların her birinde x değerlerini bulunuz.
1.
A
A
6
x
E
D
x
D
6
2.
C
B
30°
B
C
7.
A
A
H
8
6
4
D
15
x
21
B
3.
B
C
45
°
ESEN YAYINLARI
A
x
D
6
8.
A
D
6
8
B
9.
D
2n
D
C
6
5.
D
4
x
x
B
B
10.
C
E
6
402
B
C
A
B
9
x
3
A
6
3n
2
A
C
A
x
7
C
x
C
4.
x
D
3
30°
B
2
4
D
C
Üçgenlerin Yardımcı Elemanları
6.
Aşağıdaki soruların her birinde x değerlerini bulunuz.
1.
A
A
8
D
6
6
7
x
B
8
B
N
C
x
D
7
C
7.
2.
A
A
6
4
3
x
B
D
2
ESEN YAYINLARI
3.
A
x
2
B
8
D
4
B
C
N
8.
C
A
12
E
x
B
C
4.
9
x
D
9.
C
A
A
2
E
4
3
B
6
N 3
5.
C
x
D
B
C
10.
A
15
N
C
8
D
17
D
A
x
B
x
B
4
C
6
D
x
403
ÜÇGENDE KENARORTAY
Üçgenlerde, kenarların orta noktalarını karşılarındaki köşelerle birleştiren doğru parçalarına kenarortay denir.
A
Şekilde de görüldüğü gibi [ BC ] kenarına ait kenarortay,
A köşesi ile A köşesinin karşısındaki [ BC ] kenarının
|AD| = Va
Va
orta noktasını birleştiren [ AD ] doğru parçasıdır.
D
B
C
A
|AD| = Va
Bir üçgenin kenarortayları bir noktada kesişirler.
Bu kesişme noktasına üçgenin ağırlık merkezi denir ve
|BE| = Vb
E
F
G
genellikle G harfi ile gösterilir.
B
|CF| = Vc
D
Homojen bir maddeden yapılmış ve kalınlığı her yerde
C
G
aynı olan düzgün levha şeklindeki üçgensel bir cismin
ağırlık merkezi bu cismin denge noktasıdır.
Kenarortay Teoremi
A
A
2Va2 = b2 + c2 –
b
c
Va
a2
2
2Vb2 = a2 + c2 –
b
c
D
E
2
2Vc2 = a2+ b2 – c
2
Vc
Vb
B
D
B
C
a
ÖRNEK 43
Çözüm
A
7
3
B
x
4
D
4
C
ABC üçgeninde, |BD| = |DC| = 4 cm, |AB| = 3 cm
|AC| = 7 cm ise |AD| = x kaç cm dir?
404
a
b2
2
C
Üçgenlerin Yardımcı Elemanları
ÖRNEK 44
Çözüm
A
x
D
2
x
3
6
B
C
ABC üçgeninde, |AB| = 2 cm, |BD| = 3 cm
|BC| = 6 cm ise |AD| = |DC| = x kaç cm dir?
ÖRNEK 45
Çözüm
A
8
4
x
D
B
C
ABC üçgeninde, |BD| = |DC|, |AB| = 8 cm
|AC| = 4 cm ise |AD| = x kaç farklı tam sayı değeri
alabilir?
ÖRNEK 46
Çözüm
A
5
4
B
2
D
2
E
2
C
ABC üçgeninde, |AB| = 4 cm , |AC| = 5 cm
|BD| = |DE| = |EC| = 2cm ise |AD| 2 + |AE| 2
kaç cm2 dir?
405
Üçgenlerin Yardımcı Elemanları
A
Bir dik üçgende hipotenüse ait kenarortay
a
2
uzunluğu hipotenüsün yarısına eşittir.
B
a
2
ÖRNEK 47
Çözüm
A
8
40°
20°
x
B
D
C
B ) = 20°
ABC üçgeninde, [ AB ] ⊥ [AD ], m( W
C ) = 40°, |AC| = 8 cm ise |BD| = x kaç cm dir?
m( X
ÖRNEK 48
Çözüm
A
D
50°
α
E
B
C
ABC üçgeninde, [ AC ] ⊥ [BC ], [CD ] ⊥ [AB ]
a
a
|BE| = |EC| ve m ( BAC) = 50° ise m ( EDC) = α
kaç derecedir?
ÖRNEK 49
Çözüm
A
8
E
6
x
B
D
C
ABC üçgeninde, [ AB ] ⊥ [AC ], |BD| = |DC|
a
a
m ( ACE ) = m ( ECB ), |AC| = 6 cm, |AB| = 8 cm
ise |ED| = x kaç cm dir?
406
D
a
2
C
Üçgenlerin Yardımcı Elemanları
G ağırlık merkezi ise
A
|GD| = 1 .|AG|
2
2n
F
t
G
E
k
|GE| = 1 .|BG|
2
2t
2k
n
D
B
C
|GF| = 1 .|CG|
2
ÖRNEK 50
A
Çözüm
G
D
B
C
ABC üçgeninde G ağırlık merkezi, |AG| = x + 3 cm
|GD| = 2 x cm ise |AD| kaç cm dir?
ÖRNEK 51
Çözüm
A
E
F
G
D
B
C
ABC üçgeninde, G ağırlık merkezi,
|AD| + |BE| + |CF| = 24 cm ise |AG| + |BG| + |CG|
kaç cm dir?
ÖRNEK 52
Çözüm
A
12
E
G
x
B
D
C
ABC üçgeninde, G ağırlık merkezi, [ AD ] ⊥ [BE ]
|AB| = 12 cm ise |CG| = x kaç cm dir?
407
Üçgenlerin Yardımcı Elemanları
ÖRNEK 53
Çözüm
A
E
G
F
K
2
D
B
C
ABC üçgeninde, G ağırlık merkezi, |BF| = |FG|
|DK| = 2 cm ise |AD| kaç cm dir?
ÖRNEK 54
Çözüm
A
F
3
2
E
G
B
D
4
4
C
ABC üçgeninde, G ağırlık merkezi, |FG| = 3 cm
|BD| = |DC| = 4 cm, |EG| = 2 cm olduğuna göre
|AG| kaç cm dir?
ÖRNEK 55
Çözüm
A
15
°
G
3
B
H
C
ABC üçgeninde, G ağırlık merkezi, [AB] ⊥ [AC]
%
[GH] ⊥ [BC], m( CAG ) = 15° ve |GH| = 3 cm ise
|BC| kaç cm dir?
408
Üçgenlerin Yardımcı Elemanları
ÖRNEK 56
Çözüm
A
24
E
D
x
F
B
C
ABC üçgeninde, [ AC ] ⊥ [BC ], |AD| = |DC|
|BF| = |FC|, |BD| = 3.|BE|, |AB| = 24 cm ise
|EF| = x kaç cm dir?
ÖRNEK 57
Çözüm
A
E
D
G
x
F
24
B
C
ABC üçgeninde, G ağırlık merkezi, [ BD ] ⊥ [CE ]
|BF| = |FG|, |BC| = 24 cm ise |EF| = x kaç cm dir?
ÖRNEK 58
A
D
B
6
Çözüm
G
a
C
ABC üçgeninde, G ağırlık merkezi, [ DG| // [ BC]
|DG| = 6 cm ise |BC| = a kaç cm dir?
409
Üçgenlerin Yardımcı Elemanları
ÖRNEK 59
Çözüm
A
6
F
E
G
D
B
C
ABC üçgeninde, G ağırlık merkezi, [ AB ] ⊥ [AC ]
[ FE ] // [ BC] , |FE| = 6 cm ise |FG| kaç cm dir?
ÖRNEK 60
Çözüm
A
D
8
G
E
6
B
C
ABC üçgeninde, G ağırlık merkezi, [ DE ] // [ BC]
|BD| = 6 cm, |DG| = 8 cm ise |AD| + |BC| kaç
cm dir?
ÖRNEK 61
Çözüm
A
E
F
G
K
B
D
C
ABC üçgeninde, G ağırlık merkezi, CDE üçgeninde
K ağırlık merkezidir. [ AC ] ⊥ [BC ], [DE] // [BA ]
|GK| = 2 cm ise |AF| – |DG| kaç cm dir?
410
Üçgenlerin Yardımcı Elemanları
ÖRNEK 62
Çözüm
A
G
B
D
E
C
ABC üçgeninde, G ağırlık merkezi, [ AB ] // [GD]
[ AC ] // [GE ] , Çevre ( GDE ) = 36 cm ise ABC üçgeninin çevresi kaç cm dir?
ÖRNEK 63
Çözüm
A
2
v6
D
G
B
C
x
ABC üçgeninde, [ BD ] açıortay, G ağırlık merkezi
|AD| = 2 cm ve |AG| = v6 cm ise |BC| = x kaç
cm dir?
ÖRNEK 64
Çözüm
ABD üçgeninde
D
ağırlık merkezi
G noktasıdır.
A
E
|AF| = |FM|
G
[ EF ] // [ DA ]
K
M
6
[ FK ] // [ ML] // [BC ]
|ML| = 6 cm ise
F
B
L
C
|FK| + |BC| kaç cm dir?
411
Üçgenlerin Yardımcı Elemanları
ÖRNEK 65
Çözüm
A
K
G
8
6
B
H
C
G, ABH üçgeninin; K, AHC üçgeninin ağırlık merkezidir. [ GH ] ⊥ [HK ], |GH| = 6 cm, |HK| = 8 cm ise
|BC| kaç cm dir?
A
b
2
c
2
F
b
2
G
c
2
a
2
B
a
ABC üçgeninde m( A) = 90°, G ağırlık merkezi ise
E
a
2
D
5Va2 = Vb2 + Vc2
C
bağıntısı vardır.
ÖRNEK 66
Çözüm
A
E
B
G
D
C
ABC üçgeninde, G ağırlık merkezi, [ AB ] ⊥ [BC ]
|AD| = 6 cm, |CE| = 8 cm ise |AC| kaç cm dir?
Bir ABC üçgeninin kenarortay uzunlukları olan Va , Vb , Vc arasında aşağıdaki bağıntılar vardır.
|Vb – Vc | < Va < Vb + Vc
|Va – Vc | < Vb < Va + Vc
ÖRNEK 67
Çözüm
Bir ABC üçgeninin kenarortay uzunlukları Va, Vb, Vc
olmak üzere, Va = 4 cm ve Vb = 6 cm ise Vc nin
alabileceği kaç farklı tam sayı değeri vardır?
412
|Va – Vb | < Vc < Va + Vb
Üçgenlerin Yardımcı Elemanları
ÜÇGENİN KENAR ORTA DİKMELERİ
Bir doğru parçasının orta dikmesi üzerinde alınan her nokta, doğru parçasının uç noktalarına eşit uzaklıktadır.
Bir üçgenin çevrel çemberi
Bir doğru parçasının orta dikme doğrusu
A
A
C
r
r
O
A
B
O
A
B
r
C
B
C
B
r
D
Bir üçgenin köşelerinden geçen çembere, bu üçgenin çevrel çemberi denir.
Pergelimizi |AB| nın yarısından fazla açarak r
Üçgenin kenar orta dikmelerinin kesiştiği nokta
birim yarıçaplı, A ve B merkezli yayları çizelim.
çevrel çemberin merkezidir. ABC üçgeninde ke-
Bu yayların kesim noktaları olan C ve D nokta-
nar orta dikmelerin kesiştiği noktaya pergelin sivri
larını birleştirdiğimizde elde edilen CD doğrusu,
ucu konur, diğer ucu üçgenin herhangi bir köşesi-
[ AB ] nın orta dikmesidir.
ne gelecek şekilde açılır ve çember çizilir.
ÜÇGENDE YÜKSEKLİK
Bir üçgende, bir köşeden karşı kenara veya bu kenarın uzantısına çizilen dik doğru parçasına, üçgenin bu
kenarına ait yüksekliği denir.
A
Şekildeki ABC üçgeninin [ BC] kenarına
ait [ AH ] yüksekliği çizilmiştir.
ha
|AH| = ha biçiminde gösterilir.
H
B
C
[ AC] ve [ AB] kenarlarına ait yüksekliklerin uzunlukları sırasıyla hb ve hc biçiminde gösterilir.
Herhangi bir üçgenin yükseklikleri aynı noktada kesişirler. Bu noktaya üçgenin diklik merkezi denir.
Diklik merkezi; dar açılı üçgenlerde üçgenin iç bölgesinde, geniş açılı üçgenlerde ise üçgenin dış bölgesinde
bulunur.
A
A
K
L
C
B
L
H
D
B
A
K
H
C
D
B
C
ABC dar açılı üçgeninde
ABC geniş açılı üçgeninde
Dik üçgenlerin diklik merkezi
diklik merkezi D noktasıdır.
diklik merkezi D noktasıdır.
90° lik açının bulunduğu köşedir.
|AH| = ha , |BK| = hb , |CL| = hc
|AL| = ha , |BK| = hb , |CH| = hc
Şekildeki ABC üçgeninin diklik
merkezi B köşesidir.
413
Üçgenlerin Yardımcı Elemanları
Doğru üzerindeki bir noktadan bu doğruya dik
Bir doğruya dışındaki bir noktadan dikme
bir doğru çizelim:
çizelim:
B
A
A
C
C
A
K
L
A
K
L
C
C
B
Verilen doğru l ve bu doğru üzerindeki nokta A
olmak üzere A merkezli bir çember yayı çizelim.
Bu yayın l doğrusunu kestiği noktalar K ve L
olsun.
A merkezli bir çember yayı çizelim. Bu yayın l
doğrusunu kestiği noktalar K ve L olsun.
K ve L merkezli eş yarıçaplı iki çember yayı çi-
K ve L merkezli, eş yarıçaplı iki çember yayı çi-
zelim. Bu yayların kesim noktası olan B nokta-
zelim. Bu yayların kesim noktası olan B nokta-
sı ile A noktasını birleştirirsek l doğrusuna A
sı ile A noktasını birleştirirsek l doğrusuna A
noktasında dik olan AB doğrusunu çizmiş oluruz.
noktasında dik olan BA doğrusunu çizmiş oluruz.
ÖRNEK 68
Çözüm
A
α
C
B
50°
D
ABC üçgeninin diklik merkezi D noktasıdır.
a
a
m( ADC) = 50° ise m( ABC) = α kaç derecedir?
A
A
B
H
N
D
C
ABC üçgeninde, [AH] yükseklik, [AN] açıortay
ve [AD] kenarotay ise |AH| < |AN| < |AD| olur.
Bu durumu, ha ≤ nA ≤ Va şeklinde ifade edebiliriz.
414
B
H
C
ABC ikizkenar üçgeninde, |AB| = |AC| ise [AH]
hem açıortay, hem kenarortay, hem de yüksekliktir. Dolayısıyla, bu üçgen için ha = nA = Va dır.
ALIŞTIRMALAR - 2
[ AB ] ⊥ [ AC ]
A
5.
|BD| = |DC|
|AB| = 12 cm
|AC| = 16 cm
2.
G
D
G
B
|AC| = 12 cm ise
kaç cm dir?
|AG| = x kaç cm dir?
6.
A
[ AB ] ⊥ [AC ]
6
G
|AG| = 6 cm
D
C
A
ABC üçgeninde
G ağırlık merkezi
6
[BG] ⊥ [CG]
G
|AG| = 6 cm ise
D
B
C
ABC üçgeninde verilenlere göre |BC| kaç cm
dir?
ABC üçgeninde
|BC| = x kaç cm dir?
7.
ABC üçgeninde
|AB| = 4 cm
|BG| = 6 cm
|BC| = 5 cm ise
E
G
6
|BD| = x
2
D
B
C
A
3
|AD| = |DC| = 3 cm
A
|GD| = 2 cm ise
x
B
G ağırlık merkezi
|AD| + |BE|
E
[AD ] ⊥ [BE ]
C
ABC üçgeninde G ağırlık merkezi ise |GD| = x
G ağırlık merkezi
3.
x
[AB ] ⊥ [BC ]
x
B
A
ABC üçgeninde
G ağırlık merkezi
16
12
ESEN YAYINLARI
1.
D
4
x
3
5
B
C
kaç cm dir?
C
kaç cm dir?
8.
4.
ABC üçgeninde
A
|AD| = |DB| = 2 cm
D, E, F kenar orta
2
F
K
E
G
|KG| = 2 cm ise
B
D
|BC| = x
C
4
2
|CD| = 4 cm ise
2
3
D
|AC| = 3 cm
noktalar ve
|AD| kaç cm dir?
A
ABC üçgeninde
B
x
C
kaç cm dir?
415
Üçgenlerin Yardımcı Elemanları
9.
ABC üçgeninde
13. ABC üçgeninde
A
G ağırlık merkezi
A
[AH ] ⊥ [BC ]
|BD| = |DC| = 3 cm
|AB| = 8 cm
E
4
|AB| = 4 cm
G
|AC| = 10 cm
x
|GD| = 2 cm ise
|HD| = 2 cm ise
2
|EC| = x kaç cm dir?
3
B
3
D
10
8
C
H 2 D
B
C
x
|BD| = |DC| = x
x
kaç cm dir?
10. ABC üçgeninde
A
G ağırlık merkezi
6
|BF| = |FG|
14. ABC üçgeninde
E
G
F
|AG| = 6 cm ise
|KD| kaç cm dir?
|GK| = 12 cm
K
D
B
A
olmak üzere,
C
ESEN YAYINLARI
ABD üçgeninin
11. ABC üçgeninde
K
B
D
C
ve ADC üçgeninin
ağırlık merkezi K ise |BC| kaç cm dir?
A
G ağırlık merkezi
[ AB ] ⊥ [ BC ]
ağırlık merkezi G
G
4
E
F
x
G
|AF| = |FG|
|EF| = 4 cm ise
B
D
C
|AC| = x kaç cm dir?
15. ABC üçgeninde
A
[CE ] açıortay
4
[ AD] kenarortay
a
12. ABC üçgeninde m ( C ) = 90° ve
2
a
2
b
2
c
V + V + V = 216 cm2 ise |AB| kaç cm dir?
416
8
x
E
|AE| = 4 cm
B
6
D
6
C
|AC| = 8 cm
|BD| = |DC| = 6 cm ise |AB| = x kaç cm dir?
Yazılıya Hazırlık Soruları – 1
1.
4.
A
C
d1
H
6
C
x
d2
B
1
D
B
ABC üçgeninde [CD] açıortay, [AB] ⊥ [BC ]
Yukarıdaki şekilde d1 // d2 , [CH ] ⊥ AB , [AC]
|AD| = 2 cm , |BD| = 1 cm ise |CD| = x kaç
ve [ BC ] açıortaylar, |CH| = 6 cm ise d1 ve
cm dir?
d2 doğruları arasındaki uzaklık kaç cm dir?
A
2.
2
A
5.
A
3
E
D
B
C
ABC üçgeninde [ AD ] ve [ CE ] açıortaylar
ESEN YAYINLARI
E
F
5
B
D
x
C
ABC üçgeninde [AB] ⊥ [AC ] , [AD ] ⊥ [CE ]
3|AE| = 4|ED| ve |BD| = 6 cm ise |AB| kaç
[CE ] açıortay , |AE| = 3 cm ve |BE| = 5 cm
cm dir?
ise |BD| = x kaç cm dir?
3.
6.
A
A
2
D
D
4
4
B
C
a
a
ABC üçgeninde m ( ABC ) = m ( DCB )
|AD| = 2 cm , |BD| = 4 cm , |BC| = 2|AC| ise
|BC| kaç cm dir?
B
E
2
C
F
a
a
ABC üçgeninde m( BDE) = m( EDC)
a
a
m( DCA) = m( ACF) , |EC| = 2 cm, |DC| = 4 cm
|DE| = 3v2 cm ise |AD| kaç cm dir?
417
Üçgenlerin Yardımcı Elemanları
7.
9.
A
D
A
60° 60°
x
9
10
x
6
6
D
B
B
C
H
C
a
a
ABC üçgeninde m( DAB) = m( BAH)
|AB| = 9 cm , |AD| = 6 cm ise |AC| = x kaç
[AH ] ⊥ [BC] , |AH| = 6 cm , |AC| = 10 cm ise
cm dir?
|AB| = x kaç cm dir?
8.
ESEN YAYINLARI
a
a
ABC üçgeninde m ( BAD ) = m ( DAC ) = 60°
A
α
10.
A
D
x
30°
8
20°
20°
B
C
ABC üçgeninde [ CD ] dış açıortay
a
a
a
m ( ABD ) = m ( DBC ) = 20° , m ( BDC ) = 30° ise
a
m ( ADB ) = α kaç derecedir?
B
D
120°
9
6
C
a
a
Yukarıdaki şekilde m ( BCA ) = m( ACD)
a
m( ABC) = 120° , |BC| = 6 cm , |AB| = 8 cm
|CD| = 9 cm ise |AD| = x kaç cm dir?
418
Yazılıya Hazırlık Soruları – 2
1.
4.
A
A
6
D
x
3
D
x
G
G
4
B
B
C
E
C
ABC üçgeninde G ağırlık merkezi, [ DG ] ⊥ [EG]
ABC üçgeninde G ağırlık merkezi, [AB] ⊥ [AC]
|AD| = |DB| , |BE| = |EC| , |DG| = 3 cm
[AG] ⊥ [GD] , |AD| = |DC| ve |AG| = 6 cm ise
|GE| = 4 cm ise |AC| = x kaç cm dir?
|AB| = x kaç cm dir?
2.
5.
A
A
T
D
E
K
G
B
C
F
ABC üçgeninin ağırlık merkezi G noktası,
ESEN YAYINLARI
10
G
12
[ DE ] // [ BC ] ise
|AG| = 10 cm , |BG| = 12 cm ise |BC| = a kaç
cm dir?
oranı kaçtır?
GF
3.
6.
A
A
D
D
4
G
v3
B
C
ABC üçgeninde G ağırlık merkezi, [AG] ⊥ [BG ]
ADE üçgeninin ağırlık merkezi T noktası ve
AT
a
B
2
5
F
E
C
B
7
C
ABC üçgeninde G ağırlık merkezi, [ AE ] ⊥ [CD ]
a
a
m( GAF ) = m( FAC ) , |GE| = v3 cm
ABC üçgeninde |AD| = |DC| , |AB| = 4 cm
|GF| = 2 cm ise |DG| kaç cm dir?
dir?
|BD| = 5 cm ve |BC| = 7 cm ise |AC| kaç cm
419
Üçgenlerin Yardımcı Elemanları
7.
9.
A
L
F
D
A
6
4
6
K
E
B
C
B
H
ABC üçgeninde |AD| = |DB| , |BE| = |EC|
x
D
C
8
|DF| = |FL| , |EK| = |KL| ve |FK| = 6 cm ise
ABC üçgeninde [AH] ⊥ [ BC] , [AD] kenarortay
|AC| kaç cm dir?
|AB| = 4 cm , |AC| = 6 cm ve |BC| = 8 cm ise
8.
ESEN YAYINLARI
|HD| = x kaç cm dir?
A
E
D
10.
A
E
G
B
x
C
B
D
C
ABC üçgeninde G ağırlık merkezi, [ AB ] ⊥ [AC ]
ABC üçgeninde [AD] kenarortay, [BE] açıortay
|BE| = 10 cm , |CD| = 15 cm ise |BC| kaç cm
[AB ] ⊥ [AC] , |AB| = 6 cm , |AC| = 8 cm ise
dir?
|ED| = x kaç cm dir?
420
TEST - 1
Üçgende Açıortay
1.
4.
F
A
3
A
D
D
α
E
2
B
50°
B
E
C
ABC üçgeninde, [CD] açıortay, [DE] // [BC]
a
a
ABC üçgeninde, m ( FAD ) = m ( DAB )
a
a
a
m ( FCD ) = m ( DCE ), m ( DBE ) = 50° ise
a
m ( ADC ) = α kaç derecedir?
A) 20
B ) 30
C ) 40
D ) 50
|AE| = 3 cm, |EC| = 2 cm ise |BC| = x kaç cm
dir?
A) 10
3
B) 4
D ) 16
3
C) 5
E) 6
E) 60
5.
2.
C
x
C
x
D
A
••
B
x
2
D
3
C
4
3
ESEN YAYINLARI
6
6
A
B
ABC üçgeninde [ AD ] açıortay, |BD| = 2 cm
Yukarıdaki şekilde, [AB] ⊥ [BC ]
a
a
m( DAC) = m( CAB ), |AD| = 3 cm, |AB| = 6 cm
|DC| = 3 cm, |AB| = 6 cm ise |AC| = x kaç cm
|BC| = 4 cm ise |DC| = x kaç cm dir?
dir?
A) 4
A) 9
B) 8
3.
C) 7
D) 6
C) c30
B) 5
D) 4v2 E) 6
E) 5
6.
A
A
D
E
4
3
x
F
E
x
4
B
2
D
6
12
B
C
C
ABC üçgeninde [ AD ] açıortay, |BF| = |FE|
ABC üçgeninde [AE] ve [BD] iç açıortaylardır.
|AB| = 4 cm, |BD| = 2 cm, |DC| = 6 cm ise
|BE| = 4 cm, |ED| = 3 cm, |BC| = 12 cm ise
|EC| = x kaç cm dir?
|DC| = x kaç cm dir?
A) 9
B) 8
C) 7
D) 6
E) 5
A) 6
B) 7
C) 8
D) 9
E) 10
421
Üçgenlerin Yardımcı Elemanları
10.
F
7.
A
A
x
4
D
E
B
x
D
2
E
3
C
ABC üçgeninde B, A, F doğrusal,
a
a
a
a
m ( BAD ) = m ( CAF ), m ( DAE ) = m ( EAC )
B
ABC üçgeninde [CD] açıortay, [DA] ⊥ [CA]
[AB] ⊥ [BC], |AE| = 4 cm ise |AD| = x kaç cm
|DE| = 2 cm, |EC| = 3 cm ise |BD| = x kaç cm
dir?
dir?
A) 5
B) 6
C) 8
8.
D ) 10
C
A) 5
E) 12
C)
B) 4
7
2
D) 3
E)
5
2
A
A
11.
2
E x
B
D
D
F
E
C
ABCD dörtgeninde [ AF ] ile [ CE ] açıortaylar
4|AB| = 5|AD|, |CD| = 2|BC|, |BD| = 9 cm ise
|EF| = x kaç cm dir?
3
C) 2
A) 1
B)
2
D)
5
2
ESEN YAYINLARI
3
B
C
ABC üçgeninde, [DE] // [BC ], |AE| = 2 cm
a
a
|EC| = 3 cm, |AB| = 10 cm, m( ADE) = m( EDC)
ise |DE| kaç cm dir?
B) c15
A) 2v3
E) 3
D ) 3v2
C) 4
E) 2v5
9.
A
12.
A
9
6
E
x
B
C
D
ABC üçgeninde, [ AD ] dış açıortay,
[ BE ] iç açıortay, |AB| = 12 cm, |AC| = 10 cm
|BD| = 48 cm ise |BE| = x kaç cm dir?
A) 6
B ) 2c15
D ) 3c10
422
C ) 6v2
E ) 10
B
a
C
a
a
ABC üçgeninde, m( BAC ) = 2.m ( ACB)
|AB| = 6 cm, |AC| = 9 cm ise |BC| = a kaç
cm dir?
A) 3c10
B) 6v3
D) 18
C) 12
E) 12v3
TEST - 4
Üçgende Açıortay
1.
4.
E
A
4
3
B
D
x
A
2
I
4
B
C
H
6
C
ABC üçgeninde I iç teğet çemberin merkezidir.
ABC üçgeninde; B, A, E doğrusal
a
a
m ( BAD ) = m ( EAC ), |AD| = 3 cm, |DC| = 2 cm
[IH ] ⊥ [BC], |BH| = 4 cm, |HC| = 6 cm ise
|AC| = 4 cm ise |BD| = x kaç cm dir?
|AC| – |AB| kaç cm dir?
A) 6
A) 1
B) 8
C ) 10
2.
D ) 12
E) 15
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
A
5.
3
D
E
B
A
C
6
D
ABC üçgeninin dış teğet çemberlerinden birinin
ESEN YAYINLARI
95°
B
[DE ] ⊥ [BC], |AD| = 3 cm, |AB| = 6 cm ise
|EC| = x kaç cm dir?
A) 3
derecedir?
B ) 10
C ) 15
D ) 20
B) 3,5
C) 4
D) 4,5
E) 5
E) 25
6.
3.
C
ABC üçgeninde [BD] iç açıortay, [AB] ⊥ [AC]
merkezi D noktasıdır. [AD ] ∩ [BC ] = { E }
a
a
a
m ( CED ) = 95° ise m ( ACB ) – m ( ABC ) kaç
A) 5
x
E
A
6
A
D
D
x
F
B
15°
15°
B
C
E
ABC üçgeninde, [ AF ] ve [ BF ] , iç açıortaylardır.
C
ABC üçgeninde, [AB] ⊥ [BC ] ,
a
a
m( ACD) = m( DCB) = 15° , |AD| = 6 cm ise
[ DE ] // [ AC ], |AB| = 10 cm, |BC| = 12 cm ise
|BD| = x kaç cm dir?
Çevre ( BDE ) kaç cm dir?
A) 2
A) 20
B ) 22
C ) 24
D ) 26
E) 28
C) 2v3
B) 3
D ) 3v3
E) 6
427
Üçgenlerin Yardımcı Elemanları
7.
10.
A
A
x
D
4
D
E
H
B
9
B
C
C
ABC üçgeninde, [AB] ⊥ [AC ], [DH ] ⊥ [BC ] ve
ABC üçgeninde [ BE ] ve [ CD ] iç açıortaylardır.
D noktası iç teğet çemberinin merkezidir.
|BD| = |EC|, |DE| = 4 cm, |BC| = 9 cm ise
|AB| + |AC| = 10 + 2|DH| ise |BC| kaç cm dir?
|AD| = x kaç cm dir?
A) 20
A) 28
3
C ) 35
3
B) 10
D ) 40
3
B) 10
D ) 5v2
E ) 14
E) 5
11.
8.
A
E
A
6
F
x
D
6
C
ABC üçgeninde, [BD] açıortay, [BC] ⊥ [AC]
B
ESEN YAYINLARI
10
B
C) 5v3
D
C
12
ABC üçgeninde, [CE] iç açıortay, [ AD] ⊥ [BC]
|AF| = 2|FD|, |AC| = 6 cm, |BC| = 12 cm ise
|AB| kaç cm dir?
[AB] ⊥ [AD], |AB| = 10 br, |BC| = 6 br ise
A) 6v2
|AD| = x kaç birimdir?
A) 3
B)
7
2
C) 4
D)
9
2
B) 3c10
D ) 6v3
E) 5
C) 10
E) 12
12.
A
α
9.
F
E
A
D
16°
D
B
E
C
B
C
ABC üçgeninin iç teğet çemberinin merkezi E
|BD| = 3|DA|, |AC| = 3 cm ise |BC| kaç cm dir?
noktasıdır. |AB| = |AC|, |DB| = |EC|
a
a
m( EDC) = 16° ise m( BAC ) = α kaç derecedir?
A) 18
A) 46
ABC üçgeninde, [ FC ] ⊥ [DF ], [DE] ⊥ [BC ]
428
B ) 15
C ) 12
D) 9
E) 6
B) 48
C) 50
D) 52
E) 54
TEST - 5
1.
Üçgende Kenarortay
4.
A
F
A
10
E
3
G
G
12
2
D
B
C
|AG| = 10 cm, |CG| = 12 cm ise |BC| = a kaç
|FG| = 3 cm ve |GD| = 2 cm ise |CG| + |AG|
cm dir?
kaç cm dir?
B ) 13
C ) 12
2.
D ) 11
C
ABC üçgeninde, G ağırlık merkezi, [AG] ⊥ [CG ]
ABC üçgeninde G ağırlık merkezidir.
A) 14
a
B
A) 27
E) 10
B) 26
C) 25
D) 24
E) 20
ESEN YAYINLARI
A
G
4
B
D
C
A
5.
G
6
ABC üçgeninde, G ağırlık merkezi, [ AB ] ⊥ [AC ]
B ) 16
C ) 20
D ) 24
x
B
|BD| = |DC|, |GD| = 4 cm ise |BC| kaç cm dir?
A) 12
8
C
ABC üçgeninde, G ağırlık merkezi, [AB] ⊥ [AC]
E) 30
|BG| = 6 cm, |CG| = 8 cm ise |BC| = x kaç cm
dir?
A) 2c35
B) 5v6
D ) 5v7
3.
C) 4c10
E) 6v5
A
12
G
B
3
D
x
C
ABC üçgeninde G ağırlık merkezi, [ AB ] ⊥ [AD ]
6.
Bir ABC üçgeninde ; Va = 12 br , Vb = 9 br
|GD| = 3 cm, |AB| = 12 cm ise |DC| = x kaç
Vc = 6 br ise |BC| kaç birimdir?
cm dir?
A) c10
A) 10
B ) 12
C ) 15
D ) 16
E) 18
B) c15
D ) 2c15
C) 2c10
E) 3c10
429
Üçgenlerin Yardımcı Elemanları
7.
10.
A
E
G
6
A
F
D
E
G
B
D
C
x
ABC üçgeninde, G ağırlık merkezi, [ GF ] // [BC]
B
|EF| = 6 cm ise |AC| kaç cm dir?
A) 18
B ) 24
C ) 30
D ) 36
C
ABC üçgeninde, G ağırlık merkezi, [AC] ⊥ [BC]
E) 42
[BE ] ⊥ [CD], |AB| = 12 cm ise |BG| = x kaç
cm dir?
A) c30
B) 4v2
D ) 2c10
8.
C) 6
E) 8
A
8
6
D
|AE| = |ED|, |AB| = 6 cm, |AC| = 8 cm
|BD| = 3 cm ise |BE| = x kaç cm dir?
B)
3 3
2
3 6
D)
2
F
E
a
a
ABC üçgeninde, m ( BAD ) = m ( DAC )
A) v6
A
C
C ) 3v3
ESEN YAYINLARI
3
B
11.
E
x
G
B
D
C
ABC üçgeninde, G ağırlık merkezi
a
a
m( AGF ) = m( FGC), |AD| = 9 cm, |CE| = 15 cm
|AC| = 12 cm ise |GF| kaç cm dir?
E) 3v6
A)
105
2
B) 5
C)
85
2
D) 9
2
E) 4
A
9.
A
12.
D
F
E
G
F
36
B
B
D
E
G
x
C
ABC üçgeninde G ağırlık merkezi, [BA] ⊥ [AC]
C
ABC üçgeninde, G ağırlık merkezi, [ BE ] ⊥ [CF]
|BF| = |FG| = |GE|, |BC| = 36 cm ise |DF| = x
|AD| = 36 cm ise |FE| kaç cm dir?
kaç cm dir?
A) 6
430
B) 9
C ) 12
D ) 15
E) 18
A) 2
B) 3
C) 4
D) 6
E) 9
TEST - 8
Üçgende Kenarortay
1.
4.
A
A
2
c
x
G
1
4
E
D
2
B
3
E
x
D
3
C
4
2v5
B
ABC üçgeninde, [ AD ] ∩ [BE ] = { G}
C
|AE| = |EC| = 2 cm, |BD| = |DC| = 4 cm
ABC üçgeninde, [BE] ⊥ [CD ], |BC| = 2v5 cm
|GD| = 1 cm ise |AB| = c kaç cm dir?
|AE| = |EC| = 3 cm, ise |AD| = |DB| = x kaç
A) c30
cm dir?
B ) 4v2
C ) c34
A) c15
E ) c38
D) 6
C) 3v2
B) 4
D ) 2v5
5.
2.
E) 5
A
ESEN YAYINLARI
A
G
B
C
kenar orta noktalarıdır. |AD| = 12 cm ise |KG|
A) 2
A) 1
E) 6
B) 2
6.
A
3.
C
ABC üçgeninde G ağırlık merkezi ve D, E, F
kaç cm dir?
D) 5
D
B
|BC| = |AG| + 8 cm ise |AG| kaç cm dir?
C) 4
F
G
ABC üçgeninde G ağırlık merkezi, [ AB ] ⊥ [AC ]
B) 3
K
E
C) 3
D) 4
E) 6
A
4
E
6
G
4
G
x
B
B
5
H
7
ABC üçgeninde G ağırlık merkezi, [ AB ] ⊥ [AC ]
[ GH] ⊥ [ BC ] , |BH| = 5 cm, |HC| = 7 cm ise
|GH| = x kaç cm dir?
A) 1
B ) v2
C ) v3
D) 2
D
C
C
E) v5
ABC üçgeninde G ağırlık merkezi
[AB ] ⊥ [AC], |AB| = 6 cm, |AE| = |EC| = 4 cm
ise |AG| kaç cm dir?
A) 5
3
B) 5
2
C) 3
D ) 10
3
E) 5
435
Üçgenlerin Yardımcı Elemanları
7.
10.
A
A
6
E
G
8
a
B
B
C
D ) 2c41
4
D
C
ABC üçgeninde, [AD] ∩ [CE ] = {G}, G ağırlık
merkezi, |DG| = 2 cm, |CG| = |DC| = 4 cm
|AG| = |CG| = 6 cm ise |BC| = a kaç cm dir?
B ) 5v6
4
2
ABC üçgeninde, G ağırlık merkezi, |BG| = 8 cm
A) 2c35
G
x
6
ise |BE| = x kaç cm dir?
C ) 4c10
A) 3
E ) 2c46
C) 2v5
B) 4
E ) 4v2
D) 5
A
8.
11.
A
12
G
E
x
G
5
D
F
C
ABC üçgeninde G ağırlık merkezi, [ CG ] açıortay, |BD| = |DC|, |GD| = 5 cm, |AB| = 12 cm
ise |GC| = x kaç cm dir?
A) 12
B ) 16
C ) 18
D ) 20
ESEN YAYINLARI
B
B
D
F, K, C doğrusal, |BF| = |FG| ve |GK| = 6 cm
E) 24
ise |AD| kaç cm dir?
B) 18
C) 20
12.
A
C
ABC üçgeninde [AD] ve [BE] kenarortaylardır.
A) 15
9.
K
D) 24
E) 27
A
6
G
x
B
40°
20°
3
x
B
D
C
D
C
[ AD] ⊥ [ BG ] , |GD| = 3 cm ise |BG| = x kaç
a
ABC üçgeninde, [AB] ⊥ [AD ], m( ABC ) = 20°
a
m( ACB ) = 40° ve |AC| = 6 cm ise |BD| = x
cm dir?
kaç cm dir?
ABC üçgeninde G ağırlık merkezi, [AB ] ⊥ [AC ]
B ) 6v2
A) 8
D) 9
436
C ) 4v5
E ) 6v3
A) 6v2
C) 6v3
B) 9
D ) 12
E ) 5v6
. ÜNİTE
ÜÇGENLER
4. ÜNİTE
4. ÜNİTE
4. ÜNİTE
DİK ÜÇGEN ve TRİGONOMETRİ
1. Kazanım : Dik üçgende Pisagor teoremini ispatlar ve uygulamalar yapar.
2. Kazanım : Dik üçgende dar açıların trigonometrik oranlarını tanımlar ve uygulamalar yapar.
3. Kazanım : Birim çemberi tanımlar ve trigonometrik oranları birim çember üzerindeki noktanın
koordinatlarıyla ilişkilendirir.
4. Kazanım : Üçgende kosinüs teoremini ispatlar ve uygulamalar yapar.
4. ÜNİT
DİK ÜÇGEN
C
Dik üçgende dik açının karşısındaki kenar uzunluğuna
hipotenüs, diğer kenarlara ise dik kenar denir.
dik kenar
Bir açısının ölçüsü 90° olan üçgenlere dik üçgen denir.
A
hip
ote
nü
s
B
dik kenar
Pisagor Teoremi
a
"Bir ABC üçgeninde m( A) = 90° olması için gerek ve yeter şart a2 = b2 + c2
olmasıdır." Bu ifadeden de anlaşılacağı gibi Pisagor teoremi çift yönlüdür. Yani
a
m( A) = 90° ⇒ a2 = b2 + c2
a
a2 = b2 + c2 ⇒ m( A) = 90° dir.
3
C
b
A
a
c
B
5
4
Pisagor teoreminin doğruluğu, şekildeki karelerin
alanlarından bulunabilir.
ÖRNEK 1
Çözüm
A
x
10
6
B
H
15
C
ABC üçgeninde, [ AH ] ⊥ [ BC] , |AB| = 10 cm,
|BH| = 6 cm, |HC| = 15 cm ise |AC| = x kaç cm dir?
ÖRNEK 2
Çözüm
A
x
4
B
3
D
C
ABC üçgeninde [ AB] ⊥ [ BC] , |AD| = |DC|
|AB| = 4 cm, |BD| = 3 cm ise |AC| = x kaç cm dir?
438
Dik Üçgen ve Trigonometri
ÖRNEK 3
Çözüm
A
5
x
3
B
H
C
ABC üçgeninde, [ AH ] ⊥ [ BC] , |AH| = 3 cm
|AB| = |BC| = 5 cm ise |AC| = x kaç cm dir?
ÖRNEK 4
Çözüm
A
12
5
B
D
x
7
C
Yukarıdaki şekilde, [ AB ] ⊥ [AD ], [BC ] ⊥ [CD]
|AB| = 5 cm, |AD| = 12 cm, |CD| = 7 cm ise
|BC| = x kaç cm dir?
k ∈ R+ olmak üzere, kenar uzunlukları;
x
3k , 4k , 5k
x
5k , 12k , 13k
x
8k , 15k , 17k
x
7k , 24k , 25k
olan üçgenler birer dik üçgendir. Bu üçgenlere verilen aşağıdaki örnekleri inceleyiniz.
5
3
10
6
4
5
9
8
13
12
15
20
12
12
26
10
24
16
39
15
36
17
8
15
30
25
7
24
34
16
50
14
48
439
Dik Üçgen ve Trigonometri
ÖRNEK 5
Şekilde görüldüğü gibi yere dik olan bir ağaç yerden 12 m yüksekliğinden ve
ağacın ucu, ağacın 5 m uzağına düşecek şekilde kırılmıştır.
12 m
Buna göre, kırılmadan önce ağacın boyu kaç metredir?
5m
Çözüm
Ağacın kırılan parçası oluşan dik üçgenin hipotenüsü olup 13 metredir. (5 - 12 - 13 üçgeni)
O halde, kırılmadan önce ağacın boyu 12 + 13 = 25 metredir.
ÖRNEK 6
Çözüm
A
12
B
5
D
4
E
C
7
Yukarıda verilenlere göre, |AD| + |AE| + |AC|
toplamı kaç cm dir?
ÖRNEK 7
Çözüm
A
3
15
C
B
5
D
Yukarıdaki şekilde [ AB ] ⊥ [BC ] , [DC ] ⊥ [BC ]
|AB| = 3 cm, |DC| = 5 cm, |BC| = 15 cm ise |AD|
kaç cm dir?
440
Dik Üçgen ve Trigonometri
ÖRNEK 8
Çözüm
A
17
x
B
6
9
D
C
ABC üçgeninde, [ AB] ⊥ [ BC] , |BD| = 6 cm
|DC| = 9 cm, |AC| = 17 cm ise |AD| = x kaç cm
dir?
ÖRNEK 9
Çözüm
A
x
8
6
D
B
C
ABC üçgeninde, [ AB ] ⊥ [ BC ] , |BD| = |DC|,
|AD| = 6 cm, |AC| = 8 cm ise |AB| = x kaç cm dir?
ÖRNEK 10
Çözüm
C
1
E
D
3
A
x
B
Yukarıdaki şekilde, [ DA ] ⊥ [AB ], [DC ] ⊥ [CB ]
|AD| = |DE|, |CE| = 1 cm, |EB| = 3 cm olduğuna
göre, |AB| = x kaç cm dir?
441
Dik Üçgen ve Trigonometri
30° – 60° – 90° ve 45° – 45° – 90° Üçgenleri
A
30°
A
45°
2x
xv3
xv2
x
60°
B
x
45°
B
C
ÖRNEK 11
Çözüm
A
x
4
45°
60°
C
B
%
%
ABC üçgeninde m (ABC) = 60°, m (ACB) = 45°
|AB| = 4 cm ise |AC| = x kaç cm dir?
ÖRNEK 12
Çözüm
A
30°
x
45°
B
3v2
C
%
%
ABC üçgeninde m (BAC) = 30°, m (ACB) = 45°
|BC| = 3v2 cm ise |AC| = x kaç cm dir?
442
x
C
Dik Üçgen ve Trigonometri
ÖRNEK 13
Çözüm
A
15°
x
v2
45°
D
B
C
%
ABC üçgeninde [ AB ] ⊥ [BC ], m (CAD) = 15°
%
m (ADB) = 45°, |AD| = v2 cm ise |AC| = x kaç
cm dir?
ÖRNEK 14
Çözüm
A
x
D
45°
E
6
15°
15°
C
B
%
ABC üçgeninde, [ AB ] ⊥ [AC ], m (AEB) = 45°
%
%
m (DBE) = 15°, m (EBC) = 15°, |EC| = 6 cm
olduğuna göre, |AD| = x kaç cm dir?
ÖRNEK 15
Çözüm
A
4
5
D
E
6
B
x
C
ABC üçgeninde, [ AB ] ⊥ [CD ], [BE] ⊥ [AC ]
|AD| = 4 cm, |AE| = 5 cm, |BD| = 6 cm ise
|EC| = x kaç cm dir?
443
Dik Üçgen ve Trigonometri
15° – 75° – 90° Üçgeni
A
|BC| = 4.|AH|
h
75°
15°
B
H
C
4h
ÖRNEK 16
Çözüm
A
2
15°
B
D
H
6
x
C
Yukarıdaki şekilde, [ AB] ⊥ [ AD] , [ BD] ⊥ [ DC]
%
[ AH] ⊥ [ BD] , m (ABD) = 15°, |AH| = 2 cm ve
|DC| = 6 cm ise |BC| = x kaç cm dir?
ÖRNEK 17
Çözüm
A
D
E
8
4
15°
B
F
C
ABC üçgeninde, [ AB ] ⊥ [AC ], [EF ] ⊥ [BC ]
%
[ DE ] // [ BC] , m (ACB) = 15° , |DE| = 8 cm ve
|EF| = 4 cm ise |BC| kaç cm dir?
444
Dik Üçgen ve Trigonometri
ÖRNEK 18
Çözüm
A
x
1
15°
B
C
%
ABC üçgeninde, [ AB ] ⊥ [AC ], m (ACB) = 15°
|AB| = 1 cm ise |AC| = x kaç cm dir?
ÖRNEK 19
Çözüm
A
x
2
22,5°
B
C
a
ABC üçgeninde, [ AB] ⊥ [ AC ] , m (ACB ) = 22,5°
|AB| = 2 cm ise |AC| = x kaç cm dir?
ÖRNEK 20
Çözüm
A
6
D
2
B
x
E
C
ABC üçgeninde, [ AC ] ⊥ [BC ], |BE| = |EC|
|BD| = 2 cm, |AD| = 6 cm ise |DE| = x kaç cm dir?
445
Dik Üçgen ve Trigonometri
ÖRNEK 21
Çözüm
A
D
α
E
B
C
ABC üçgeninde, [ AB] ⊥ [ AC ] , |AC| = |DE|
%
|BE| = |EC| ise m (ADE) = α kaç derecedir?
ÖRNEK 22
Çözüm
A
D
10
x
B
6
C
ABC üçgeninde, [ DC] ⊥ [ BC] , |AD| = |DB|
|BC| = 6 cm, |AC| = 10 cm ise |DC| = x kaç cm
dir?
ÖRNEK 23
Çözüm
A
x
E
15°
B
4
D
2
C
a
a
ABC üçgeninde, [ AC] ⊥ [ BC ] , m (BAD ) = m(DAC)
a
m (BDE ) = 15°, |BD| = 4 cm, |DC| = 2 cm ise
|ED| kaç cm dir?
446
Dik Üçgen ve Trigonometri
Öklid Bağıntıları
A
b2 = k.a
b
c
B
h2 = p.k
h
p
c2 = p.a
H
k
C
a.h = b.c
a
ÖRNEK 24
Çözüm
A
b
c
B
h
4
H
9
C
ABC üçgeninde, [ AB] ⊥ [ AC ] , [ AH ] ⊥ [ BC]
|BH| = 4 cm, |HC| = 9 cm ise |AH| = h, |AB| = c
ve |AC| = b değerlerini bulunuz.
ÖRNEK 25
Çözüm
A
H
c
4
2
B
C
ABC üçgeninde, [ AB] ⊥ [ BC] , [ BH ] ⊥ [AC]
|BH| = 2 cm, |HC| = 4 cm ise |AB| = c kaç cm dir?
ÖRNEK 26
Çözüm
A
2
B
E
4
C
x
D
Yukarıdaki şekilde [ AB ] ⊥ [AC ], [AB ] ⊥ [BD ]
[ AD] ⊥ [ BC ] , |AE| = 2 cm, |EC| = 4 cm ise
|BD| = x kaç cm dir?
447
Dik Üçgen ve Trigonometri
ÖRNEK 27
Çözüm
A
5
H
4
D
x
E
C
B
%
%
ABC üçgeninde m (ABE) = m (ABH)
%
%
m (HBD) = m (DBC) , [AC ] ⊥ [ BH ] , |AH| = 5 cm
|HD| = 4 cm ise |BD| = x kaç cm dir?
ÖRNEK 28
Çözüm
A
E
x
1
B
D
H
C
ABC üçgeninde, [ AB] ⊥ [ AC ] , [ BE ] ⊥ [ ED]
[ AH ] ⊥ [ BC] , |BD| = |DC|, |BE| = 1 cm olduğuna
göre |AB| = x kaç cm dir?
ÖRNEK 29
Çözüm
A
4
B
E
6
F
D
8
C
ABD ve BCD dik üçgenlerinde, [AF ] ⊥ [BD ]
[ CE ] ⊥ [ BD] , |AF| = 4 cm, |EF| = 6 cm
|CE| = 8 cm ise |BE| – |FD| kaç cm dir?
448
Dik Üçgen ve Trigonometri
ÖRNEK 30
Çözüm
A
4
3
h
B
H
C
ABC üçgeninde, [ AB] ⊥ [ AC ] , [ AH ] ⊥ [ BC]
|AB| = 3 cm, |AC| = 4 cm ise |AH| = h kaç cm dir?
ÖRNEK 31
Çözüm
A
8
6
x
B
H
C
a
a
ABC üçgeninde, [ AH ] ⊥ [BC ], m (ABC ) = m(HAC)
|AB| = 6 cm, |AC| = 8 cm ise |AH| = x kaç cm dir?
A
ABC üçgeninde
[AH ] ⊥ [BC ]
c
|AB| = c , |AC| = b
b
D
|BD| = x , |DC| = y ise
y
x
B
H
c2 + y2 = b2 + x 2 olur.
C
ÖRNEK 32
Çözüm
A
4
B
6
D
5
x
H
C
ABC üçgeninde, [ AH ] ⊥ [ BC] , |AB| = 4 cm
|DC| = 5 cm, |AC| = 6 cm ise |BD| = x kaç cm dir?
449
Dik Üçgen ve Trigonometri
DİK ÜÇGENDE DAR AÇILARIN TRİGONOMETRİK ORANLARI
a
m( KOL) = α açısına göre,
K
OLK dik üçgeninde
[OK ] : hipotenüs
[OL] : komşu dik kenar
[ KL] : karşı dik kenar
α
O
L
cosα =
komflu dik kenar uzunlu¤u
OL
=
,
OK
hipotenüs uzunlu¤u
sinα =
karßÝ dik kenar uzunluÛu
KL
=
OK
hipotenŸs uzunluÛu
tanα =
karßÝ dik kenar uzunluÛu
KL
=
,
OL
komßu dik kenar uzunluÛu
cotα =
komßu dik kenar uzunluÛu
OL
=
KL
karßÝ dik kenar uzunluÛu
ÖRNEK 33
0<α<
r
3
olmak üzere, sinα =
ise cosα, tanα ve cotα değerlerini bulunuz.
5
2
Çözüm
ÖRNEK 34
Çözüm
α
Yukarıdaki şekil beş eş kareden oluşmuştur.
Buna göre, tanα kaçtır?
450
Dik Üçgen ve Trigonometri
ÖRNEK 35
Çözüm
A
5
5
α
B
2
D
6
C
a
ABC üçgeninde m ( ADC) = α, |AB| = |AC| = 5 cm
|BD| = 2 cm, |DC| = 6 cm ise cotα kaçtır?
ÖRNEK 36
Çözüm
A
B
2 H
8
C
ABC üçgeninde, [AB] ⊥ [AC], [AH] ⊥ [BC]
|BH| = 2 cm ve |HC|= 8 cm ise B açısının trigonometrik oranlarını bulunuz.
ÖRNEK 37
Çözüm
A
H
α
B
C
a
ABC üçgeninde, [BH] ⊥ [AC], m( HBC) = α
|BC| = 4 cm ve |AB| = |AC| = 6 cm ise cosα kaçtır?
451
Dik Üçgen ve Trigonometri
Ölçüleri 30° ve 60° Olan Açıların Trigonometrik Oranları
A
Bir kenar uzunluğu 2 cm olan ABC eşkenar üçgeninde
30° 30°
[ AH ] ⊥ [ BC] çizildiğinde;
2
|BH| = |HC| = 1 cm, |AH| = v3 cm
a
a
m ( BAH) = m ( HAC) = 30° olur.
60°
B
ABH dik üçgeninde,
sin30° =
BH
1
=
2
AB
sin60° =
BH
AH
1
3
, cos60° =
=
=
2
2
AB
AB
®
, cos30° =
2
v3
H
1
C
BH
1
3
=
=
3
AH
3
, cot30° =
AH
= 3
BH
AH
= 3
BH
, cot60° =
BH
1
3
dir.
=
=
3
AH
3
AH
3
, tan30° =
=
2
AB
, tan60° =
60°
1
Bulunan değerler karşılaştırıldığında,
sin30° = cos60° = 1 ,
2
sin60° = cos30° =
3
,
2
tan30° = cot60° =
3
, tan60° = cot30° =
3
3
eşitlikleri oluşur. Bu durumu aşağıdaki gibi kurallaştırabiliriz.
Birbirini 90° ye tamamlayan iki açıdan birinin sinüsü diğerinin kosinüsüne, birinin tanjantı diğerinin kotanjantına
eşittir. α + β = 90° ise sinα = cosβ , tanα = cotβ dır.
Ölçüsü 45° Olan Açının Trigonometrik Oranları
A
Dik kenar uzunlukları 1 br olan ABC ikizkenar dik üçgeninde,
45°
|AC| = |BC| = 1 br, |AB| = v2 br olur.
sin45° =
AC
1
2
=
=
2
AB
2
,
cos45° =
tan45° =
AC
=1
BC
,
cot45° =
v2
BC
1
2
=
=
2
AB
2
1
45°
1
=1
tan 45°
B
1
C
ÖRNEK 38
Aşağıda birbirini 90° ye tamamlayan açılarla ilgili örnekler verilmiştir. İnceleyiniz.
®
®
sin16° = cos74°
tan1° = cot89°
®
®
sin20° = cos70°
tan15° = cot75°
ÖRNEK 39
α < 90° ve β < 90° olmak üzere
sinα + tan25° = cosβ + cot65°
eşitliğini sağlayan α + β kaç derecedir?
452
Çözüm
®
®
sin55° = cos35°
tan37° = cot53°
Dik Üçgen ve Trigonometri
BİRİM ÇEMBER
Merkezi başlangıç noktası ve yarıçapının uzunluğu 1 birim olan
y
çembere birim çember denir.
(0, 1)
K(x, y)
K (x, y) birim çember üzerinde bir nokta olmak üzere;
1
OTK dik üçgeninde,
|OT| 2 + |KT| 2 = |OK| 2 ⇒ x 2 + y2 = 1 olur.
x 2 + y2 = 1 bağıntısı birim çemberin denklemidir.
(–1, 0)
O
T
(1, 0)
x
(0, –1)
ÖRNEK 40
Birim çember üzerinde apsisi ordinatına eşit olan noktaları bulunuz.
Çözüm
ÖRNEK 41
Birim çember üzerinde, uzunlukları; 0 , r , r , 3r ve 2 π olan yönlü yayların bitim noktalarının koordinat2
2
larını bulunuz.
Çözüm
453
Dik Üçgen ve Trigonometri
Kosinüs ve Sinüs Fonksiyonları
a
K (x, y) noktası birim çember üzerindedir. m ( KOL) = α olmak üzere;
®
y
B(0, 1)
K ( x, y ) noktasının apsisine, α gerçek sayısının kosinüsü denir ve
K(x, y)
cosα biçiminde gösterilir. α gerçek sayısını, cosα ya dönüştüren
fonksiyon kosinüs fonksiyonudur.
®
C(–1, 0)
K ( x, y ) noktasının ordinatına, α gerçek sayısının sinüsü denir ve
1
sinα
O
cosα
sinα biçiminde gösterilir. α gerçek sayısını, sinα ya dönüştüren
D(0, –1)
fonksiyon sinüs fonksiyonudur.
®
–1 ≤ cosα ≤ 1 ve –1 ≤ sinα ≤ 1 dir.
ÖRNEK 42
sin
r
r
ve cos
ifadesinin eşitini bulunuz.
2
2
Çözüm
ÖRNEK 43
sin180° ve cos180° ifadesinin eşitini bulunuz.
Çözüm
ÖRNEK 44
y
Çözüm
A – 3, 4
5 5
α
O
x
Birim çemberde verilenlere göre, cosα ve sinα
değerlerini bulunuz.
454
A(1, 0)
α
L
x
Dik Üçgen ve Trigonometri
Tanjant ve Kotanjant Fonksiyonları
x = 1 ve y = 1 doğruları birim çembere A ve B noktalarında teğettir.
a
m ( AOK ) = α olmak üzere,
®
y
B
[ OK nın, x = 1 doğrusunu kestiği T noktasının ordinatı, α reel
π
2
sayısının tanjantıdır ve tanα olarak gösterilir.
x = 1 doğrusu tanjant eksenidir.
®
π
C
O
R
α
T
K
y=1
tanα
0
2π A
x
y ekseni ile tanjant ekseni paralel olduğundan,
α=
r
3r
veya α =
için [ OK ile x = 1 doğrusu kesişmez.
2
2
O halde; tan
®
x=1
cotα
3π D
2
r
3r
ve tan
tanımsızdır.
2
2
[ OK nın, y = 1 doğrusunu kestiği K noktasının apsisi, α reel sayısının kotanjantıdır ve cotα olarak
gösterilir. y = 1 doğrusu kotanjant eksenidir.
®
x ekseni ile kotanjant ekseni paralel olduğundan, α = 0, α = π veya α = 2 π için [OK ile y = 1 doğrusu
kesişmez. Dolayısıyla cot0, cot π ve cot2 π tanımsızdır.
®
tan α =
sin a
,
cos a
cot α =
cos a
sin a
ÖRNEK 45
tan40°, cot70°, tan160° ve cot130° değerlerini birim çember çizerek gösteriniz.
Çözüm
ÖRNEK 46
tan0°, cot90° ve tan180° ifadelerinin değerlerini bulunuz.
Çözüm
455
Dik Üçgen ve Trigonometri
TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARIN BİRİM ÇEMBERİN BÖLGELERİNDEKİ İŞARETLERİ
x ekseni kosinüs ekseni, y ekseni sinüs ekseni olduğundan, birim
çemberin herhangi bir bölgesinde bulunan bir açının kosinüsü ile
sinüsünün işareti o bölgedeki bir noktanın apsis ve ordinatının işareti
ile aynıdır.
y sin
sin +
cos Ð
tan Ð
cot Ð
II
işaretlerinin oranından bulunur.
Bu durumda,
α ∈ ( 0°, 90° ) ise trigonometrik oranların tümü pozitiftir.
®
α ∈ ( 90°, 180° ) ise sinüs pozitif, kosinüs, tanjant ve kotanjant negatiftir.
®
α ∈ ( 180°, 270° ) ise tanjant ve kotanjant pozitif, sinüs ve kosinüs negatiftir.
®
α ∈ ( 270°, 360° ) ise kosinüs pozitif, sinüs, tanjant ve kotanjant negatiftir.
ÖRNEK 47
r
1
ise cosx , tan x ve cot x değerlerini bulunuz.
l olmak üzere, sin x =
2
3
Çözüm
sin x =
1
koşuluna uygun dik üçgen yanda çizilmiştir.
3
Pisagor bağıntısından, |AB| = 2v2 birimdir.
x ∈ b 0,
r
l olduğundan bu bölgede (I. bölge)
2
cosx > 0, tan x > 0 ve cot x > 0 dır.
ÖRNEK 48
r
x ∈ b , r l olmak üzere, tan x = – 3 ise sin x , cosx ve cot x değerlerini bulunuz.
2
Çözüm
tan x = –
3
koşuluna uygun dik üçgen yanda çizilmiştir.
1
Pisagor bağıntısından, |AC| = c10 birimdir.
x ∈b
2
, r l olduğundan bu bölgede (II. bölge)
sin x > 0, cosx < 0 ve cot x < 0 dır.
456
0
III
sin Ð
cos Ð
tan +
cot +
®
x ∈ b 0,
I
π
Tanjant ve kotanjantın işaretleri de o bölgedeki sinüs ve kosinüsün
sin +
cos +
tan +
cot +
π
2
x
2π
IV
3π
2
sin Ð
cos +
tan Ð
cot Ð
cos
Dik Üçgen ve Trigonometri
II. Bölgedeki Açıların Trigonometrik Oranları
sin
y
M′
tan
M
B
K′
K
180° – α
α
C′
O
cot
T
α
C
A
x
cos
T′
Birim çember üzerindeki K noktasının y eksenine göre simetriği K′ olmak üzere, ölçüleri α ve π – α olan
açıların trigonometrik oranları için aşağıdaki eşitlikler yazılabilir.
sinα = |KC| ve sin (180° – α) = |K′ C′|
cosα = |OC| ve cos (180° – α) = – |OC′|
tanα = |TA| ve tan (180° – α) = – |AT′|
cotα = |BM| ve cot (180° – α) = – |M′ B|
Ayrıca, |KC| = |K′ C′| , |OC| = |OC′| , |TA| = |AT′| , |BM| = |M′B| olduğundan
sin (180° – α) = sinα
cos (180° – α) = – cosα
tan (180° – α) = – tanα
cot (180° – α) = – cotα
bulunur.
Birbirini 180° ye tamamlayan açıların ölçülerinin sinüsleri eşit; kosinüs, tanjant ve kotanjantları ters işaretlidir.
ÖRNEK 49
Aşağıda (90° , 180°) aralığındaki bazı açıların trigonometrik oranları hesaplanmıştır. İnceleyiniz.
® sin120° = sin (180° – 60°) = sin60° =
3
2
® sin135° = sin (180° – 45°) = sin45° =
2
2
1
2
® cos135° = cos (180° – 45°) = – cos45° = –
® tan120° = tan (180° – 60°) = – tan60° = – v3
® tan135° = tan (180° – 45°) = – tan45° = –1
3
3
® cot135° = cot (180° – 45°) = – cot45° = –1
® cos120° = cos (180° – 60°) = – cos60° = –
® cot120° = cot (180° – 60°) = – cot60° = –
® sin150° = sin (180° – 30°) = sin30° =
2
2
1
2
3
2
® cos150° = cos (180° – 30°) = – cos30° = –
® tan150° = tan (180° – 30°) = – tan30° = –
3
3
® cot150° = cot (180° – 30°) = – cot30° = – v3
457
Dik Üçgen ve Trigonometri
KOSİNÜS TEOREMİ
Bir ABC üçgeninde kenar uzunlukları a, b, c ve
A
bu kenarlara ait açılar A, B, C olmak üzere
a2 = b2 + c2 – 2bc.cosA
b
c
b2 = a2 + c2 – 2ac.cosB
c2 = a2 + b2 – 2ab.cosC dir.
B
C
a
İspat
A
ABC üçgeninde [ AH ] ⊥ [ BC] dir.
|BH| = x alırsak, |HC| = a – x olur.
c
ABH dik üçgeninde,
b
h
|AB| 2 = |BH| 2 + |AH| 2 ⇒ c2 = x 2 + h2 ⇒ h2 = c2 – x 2 ... (I) olur.
B
AHC dik üçgeninde
x
H
a–x
|AC| 2 = |AH| 2 + |HC| 2 ⇒ b2 = h2 + ( a – x)2 ⇒ h2 = b2 – ( a – x)2 ... (II) olur.
I ve II eşitliklerinden
c2 – x 2 = b2 – ( a – x)2 ⇒ c2 – x 2 = b2 – a2 + 2a x – x 2 ⇒ b2 = a2 + c2 – 2a x
... (III) olur.
ABH dik üçgeninde
cosB =
x
⇒ x = c.cosB olacağından bu değeri III eşitliğinde yerine yazarsak
c
b2 = a2 + c2 – 2.a.c.cosB elde edilir. Elde ettiğimiz bu bağıntı kosinüs teoremidir. Benzer işlemlerle
a2 = b2 + c2 – 2bc.cosA
c2 = a2 + b2 – 2ab.cosC eşitlikleri de elde edilir.
Kosinüs teoremi yardımıyla
®
İki kenar uzunluğu ile bu kenarlar arasındaki açısı verilen üçgenin üçüncü kenar uzunluğunu
®
Üç kenar uzunluğu bilinen üçgenin açılarının ölçülerini bulabiliriz.
ÖRNEK 50
Çözüm
A
x
4
B
D
3
C
ABC üçgeninde [ AD] ⊥ [ AC] , |AD| = 4 cm
|AC| = 3 cm , |BD| = |DC| ise |AB| = x kaç cm
dir?
458
C
Dik Üçgen ve Trigonometri
ÖRNEK 51
C ) = 60° ise c kenarının uzunluğu kaç cm dir?
Bir ABC üçgeninde, a = 2 cm, b = 3 cm ve m ( X
Çözüm
Verilenleri, c2 = a2 + b2 – 2ab.cosC bağıntısında yerine yazarsak
c2 = 22 + 32 – 2.2.3.cos60°
c2 = 13 – 12.
1
⇒ c2 = 7 ⇒ c = v7 cm olur.
2
ÖRNEK 52
Çözüm
A
4
3
c13
B
C
Bir ABC üçgeninde, a = c13 cm , b = 4 cm ve
A ) kaç derecedir?
c = 3 cm ise m ( W
ÖRNEK 53
Çözüm
C
120°
A
B
Bir gölün en uzak iki noktası A ve B dir. AB uzuna
luğunu bulmak için m( ACB) = 120° olacak şekilde
uzak bir tepe üzerinde bir C noktası alınarak, A ile
C arasının 20 m, B ile C arasının 30 metre olduğu
tespit ediliyor. AB uzunluğu kaç metredir?
459
Dik Üçgen ve Trigonometri
ÖRNEK 54
Çözüm
A
3
2
2
4
B
D
C
x
8
E
Şekilde, [ AE ] ∩ [ BD] = {C} dir. Verilenlere göre,
|DE| = x kaç cm dir?
ÖRNEK 55
Bir ABC üçgeninde,
2
2
Çözüm
2
a = b + c + bc
a
bağıntısı varsa m ( A) kaç derecedir?
ÖRNEK 56
Çözüm
A
2
3
B
a
C
ABC üçgeninde, |AB| = 3 br, |AC| = 2 br ve
cos(B + C) =
birimdir?
460
1
olduğuna göre, |BC| = a kaç
6
Dik Üçgen ve Trigonometri
ÖRNEK 57
A
Şekilde, ABCD kirişler dörtgenidir.
6
2
B
|AB| = 2 cm, |BC| = |CD| = 4 cm, |AD| = 6 cm
D
4
4
ise cosA kaçtır?
C
Çözüm
ÖRNEK 58
A
ABC üçgeninde |AB| = 4 cm, |AC| = 6 cm,
|AD| = 19 cm ve |BD| = |DC| ise
a
m ( BAC ) kaç derecedir?
4
B
6
c19
D
C
Çözüm
461
ALIŞTIRMALAR
6.
Aşağıdaki dik üçgenlerde verilenlere göre, x değer-
A
lerini bulunuz.
3
1.
x
A
60°
x
B
17
8
B
D
12
C
C
7.
A
A
2.
x
3v6
60°
45°
4
x
B
3
C
3.
A
17
ESEN YAYINLARI
B
C
8.
A
75°
2v2
x
10
45°
B
x
B
6
D
C
C
9.
4.
A
A
135°
6v2
x
x
5
10
B
B
3
5
H
C
C
10.
5.
A
A
3
3
H
D
x
4
5
B
462
x
30°
C
B
C
Dik Üçgen ve Trigonometri
6.
Aşağıdaki dik üçgenlerde verilenlere göre, x değer-
A
lerini bulunuz.
2
1.
A
B
x
x
B
4
C
1
E
H
9
D
C
7.
2.
A
6
A
H
30°
x
10
B
x
H
C
6
C
A
3.
ESEN YAYINLARI
B
x
8.
A
x
E
H
B
x+5
4
D
2 H
2
C
6
B
C
9.
4.
A
A
x
5
x
B
5.
D
H
A
6
B
B
C
10.
x
H
6
12
4
7
C
A
H
x
5
C
B
4
D
2
C
463
Dik Üçgen ve Trigonometri
Aşağıdaki soruların her birinde verilenlere göre istenilenleri bulunuz.
1.
6.
D
2
2
C
1
E
A
120°
α
4
3
a=?
a
B
A
cosα = ?
B
C
7.
2.
ABCD kare
3
A
3
A
E
2
6
E
x
x
2
B
D
3
3.
D
6
8
C
A
x
8
D
2
C
C
ESEN YAYINLARI
5
B
x =?
5
x =?
4
E
8.
α ∈ b 0,
r
3
l ve tanα =
2
4
olduğuna göre sırasıyla sinα, cosα ve cotα
x =?
değerlerini bulunuz.
12
B
A
9.
4.
A
7
3
α=?
α
α
5
B
B
C
D
C
a
ABC eşkenar üçgeninde m( ADB) = α
|BD| = 5.|DC| ise tanα kaçtır?
5.
A
3
c19
α=?
α
B
464
5
C
10. Bir ABC üçgeninde,
B ) kaç derecedir?
b2 = a2 + c2 – v3ac ise m ( W
Yazılıya Hazırlık Soruları
1.
4.
A
A
x
D
7
13
B
4 E
x
2
B
C
C
D
ABC üçgeninde [ AB ] ⊥ [ AC ] , |AB| = |AC|
ABC üçgeninde, [AB] ⊥ [AC ], [AB ] ⊥ [BD ]
|BD| = 7 cm , |CD| = 13 cm ise |AD| = x kaç
[BC ] ⊥ [AD], |BE| = 4 cm, |DE| = 2 cm ise
cm dir?
|EC| = x kaç cm dir?
A
2.
5.
A
x
6
x
E
30°
45°
B
C
%
%
ABC üçgeninde, m( ABC ) = 45°, m( ACB ) = 30°
|AC| = 6 cm ise |AB| = x kaç cm dir?
ESEN YAYINLARI
x
8
6
B
D
C
ABC üçgeninde, [AB] ⊥ [BC ], [DE ] ⊥ [AC ]
|BD| = 6 cm, |EC| = 8 cm ise |AB| = |AE| = x
kaç cm dir?
3.
6.
A
A
6
4
D
B
H
C
ABC üçgeninde |HC| = |BH| + 1 cm
[ AH] ⊥ [ BC ] ve |AC| 2 – |AB| 2 = 12 cm2 ise
|BC| kaç cm dir?
B
2
F
C
x
E
Yukarıdaki şekilde [AE] ⊥ [DC ] , |DF| = |FC|
|AB| = 4 cm , |AC| = 6 cm , |BE| = 2 cm ise
|DE| = x kaç cm dir?
465
Dik Üçgen ve Trigonometri
7.
9.
A
A
x
E
7
B
100°
α
D
5
3
C
C
B
ABC üçgeninde, |AB| = 3 cm, |AC| = 5 cm
a
|BC| = 7 cm ise m( BAC) = x kaç derecedir?
Yukarıdaki şekilde, [ DE ] ⊥ [ AB ] , |DC| = |CB|
%
%
|AC| = |DE|, m( ACB ) = 100° ise m( EDB ) = α
8.
ESEN YAYINLARI
kaç derecedir?
A
x
D
10.
A
α
5
5
30°
B
B
4v5
C
ABC üçgeninde |BD| = |DC| = 5 cm
[ AB ] ⊥ [ AC ], |BC| = 4v5 cm ise |AD| = x kaç
cm dir?
466
15°
D
C
%
ABC üçgeninde |BD| = |DC| , m( ABC ) = 30°
%
%
m( ACB ) = 15° ise m( BAD ) = α kaç derecedir?
TEST -
1
1.
Dik Üçgen
4.
A
A
105°
x
4v2
4v3
45°
B
30°
C
D
B
B) = 45° , m (W
A) = 105° ve
ABC üçgeninde m ( W
x
C
%
ABC üçgeninde, [AC] ⊥ [BC ], m (ABC) = 30°
|AB| = 4v2 cm ise |AC| = x kaç cm dir?
|BD| = |AD|, |AB| = 4v3 cm olduğuna göre,
A) 4
|DC| = x kaç cm dir?
B) 6
C) 8
D ) 10
E) 12
B) v3
A) 1
C) 2
D) 3
2.
E) 2v3
A
105°
5.
3v2
x
A
30°
C
%
ABC üçgeninde, m (BAC) = 105°
%
m (ABC) = 30°, |AC| = 3v2 cm ise |AB| = x
B
9
D
C
ABC üçgeninde, [AB] ⊥ [BC], |AB| = 12 cm
kaç cm dir?
A) 4v2
20
12
ESEN YAYINLARI
B
|BD| = 9 cm, |AC| = 20 cm olduğuna göre
B) 6
D) 6v2
C ) 4v3
Çevre(ADC) kaç cm dir?
E ) 6v3
A) 42
B) 44
C) 46
D) 48
E) 50
3.
6.
25
A
m
20 m
15°
Uzunluğu 25 metre olan bir merdiven duvardan
20 metre uzaklıktaki bir noktadan duvara dayanıyor. Merdivenin ayakları ok yönünde 13 metre
B
H
x
C
N
ABC üçgeninde, [AB] ⊥ [AC ], [AH ] ⊥ [BC ]
duvara yaklaştırılırsa, merdivenin duvara dayalı
%
m (ACB) = 15°, |BN| = |NC|, |BC| = 4v3 cm
ucu kaç metre yukarı çıkar?
ise |HN| = x kaç cm dir?
A) 6
B) 7
C) 8
D) 9
E) 10
A) v3
B) 2
C) v6
D) 3
E) 2v3
467
Dik Üçgen ve Trigonometri
7.
A
10.
A
x
6
3
D
4
B
B
C
C
E
2
ADC dik üçgeninde, |AB| = 3 br, |BC| = 4 br
D
|AC| = 6 br ise |DB| kaç br dir?
A)
11
8
B)
9
8
7
8
C)
D)
5
8
E)
ABC üçgeninde [AB] ⊥ [AC ] , [BD ] ⊥ [AD ]
3
8
|BE| = |EC| = |AC| , |DE| = 2 cm ise |AB| = x
kaç cm dir?
A) 2v3
B) 4
C) 4v2
D) 6v2
8.
A
6
E) 4v3
A
11.
8
D
D
B
9
H
4 E
x
C
ABC üçgeninde, [ AB ] ⊥ [AC ], [BD ] ⊥ [DE ]
[ AH] ⊥ [ BC ] , |AD| = 6 cm, |BH| = 9 cm
|HE| = 4 cm ise |EC| = x kaç cm dir?
A) 8
B) 9
9.
C ) 10
D ) 12
B
4
E
x
30°
B
C
C) = 30°
ABC üçgeninde [AB] ⊥ [BC ] , m ( X
|AD| = 8 cm , |BD| = 7 cm ise |DC| = x kaç
cm dir?
E) 13
A) 1
B) v3
12.
A
4v2
ESEN YAYINLARI
7
C) 2
D) 3
E) 2v3
A
x
x
D
B
C
2
D
3
C
ABC üçgeninde, [ AB ] ⊥ [AC ], [AE] ⊥ [BC ]
ABC üçgeninde [AB] ⊥ [ AC ] , |AB| = |AD|
|BD| = |DC|, |AE| = 4v2 cm, |BE| = 4 cm ise
|BD| = 2 cm , |DC| = 3 cm ise |AC| = x kaç
|AD| = x kaç cm dir?
B ) 3v5
A) 6
D) 6v2
468
cm dir?
C) 8
E) 4v6
A) 4
B) 3v2
D ) 2v6
C) 2v5
E) 5
TEST -
2
Dik Üçgen
4.
A
1.
6
6
x
B
E
A
4
D
C
C
ABC üçgeninde, [ AB ] ⊥ [ AC ] , |DC| = 4 cm
B
D
|AD| = |AC| = 6 cm ise |BD| = x kaç cm dir?
Şekilde |BA| = |AE| = |ED|,
A) 8
%
%
%
%
m (BAD) = 3m (ABE) , m (CED) = 3m (CDE) ise
B ) 10
C ) 12
D ) 14
E) 16
AC
CD
A)
2.
D
x
ABCD dörtgeninde, [ DA ] ⊥ [AB], [DC ] ⊥ [BC ]
|DC| = 2 cm, |DA| = 3 cm, |AB| = 4 cm ise
ESEN YAYINLARI
B
4
1
3
C)
2
3
D)
10m
1
4
E)
3
4
8m
h
I. durum
II. durum
Yukarıda verilenlere göre, sarkaç I. durumdan
|BC| = x kaç cm dir?
B ) 3v2
D ) c21
II. duruma geldiğinden yerden yüksekliği olan h
C ) 2v5
kaç metre olur?
E ) c23
A) 2
6.
3.
B)
5.
3
A) c15
1
2
C
2
A
kaçtır?
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
A
5
A
D
5
x
8
B
60°
B
12
D
x
C
6
E
2
C
ABC üçgeninde, |AD| = |DC| = 5 cm
%
ABC üçgeninde, |AB| = |AC|, m (ADB) = 60°
[AB ] ⊥ [BC], |BE| = 6 cm, |EC| = 2 cm ise
|BD| = 12 cm, |AD| = 8 cm ise |DC| = x kaç
|DE| = x kaç cm dir?
cm dir?
A ) c10
A) 2
B) 2v2
C ) 2v3
D) 4
E) 6
B) c11
D ) c13
C) 2v3
E ) c14
469
Dik Üçgen ve Trigonometri
7.
10.
A
A
2
E
6
x
6
E
B
F
C
x
D
B
C
D
ABC üçgeninde, [AB] ⊥ [BC], |ED| = |BD| = |DC|
ABC üçgeninde, [AB] ⊥ [AC ], [BD ] ⊥ [DF]
|AE| = 2 cm, |EC| = 6 cm ise |AB| = x kaç cm
[AD ] ⊥ [BC ], |BF| = |FC|, |AB| = 6 cm ise
dir?
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
|BD| = x kaç cm dir?
E) 7
B) 2v3
A) 3
D ) 2v6
8.
C) 3v2
E) 6
A
11.
6
D
4
x
ABC üçgeninde, [ AC ] ⊥ [ BC ] , |AD| = |DC|
|AB| = 6 cm, |BD| = 4 cm ise |BC| = x kaç cm
dir?
B ) 2 21
3
A ) c21
C ) 2v5
7
B
[AH ] ⊥ [BC ], [BD ] ⊥ [AC], |DH| = 7 cm
|AB| = 25 cm ise |AH| kaç cm dir?
A) 24
12.
9.
C
H
%
%
ABC üçgeninde, m( BAH ) = m( HAC )
E) 2 21
7
D ) 3 21
7
D
25
C
ESEN YAYINLARI
B
A
B) 20
C) 18
D) 16
E) 14
A
A
D
17
6
B
9
H
x
C
x
B
16
C
ABC üçgeninde, [ AB ] ⊥ [AC ], [AH ] ⊥ |BC ]
ABC üçgeninde, [DB] ⊥ [ BC ], |DC| = 2|AD|
|AC| = 6 cm, |BH| = 9 cm ise |HC| = x kaç
|AB| = 17 cm, |BC| = 16 cm ise |BD| = x kaç
cm dir?
cm dir?
A ) 3v3
470
B ) 3v2
C) 4
D) 3
E) 2
A) 6
B) 8
C) 9
D) 10
E) 12
TEST -
6
1.
Dik Üçgen
4.
A
A
x
F
4
12
B
15°
C
E
B
C
%
ABC üçgeninde, [AB] ⊥ [AC ], m( ABC ) = 15°
D
%
%
ABC üçgeninde, m( ABC ) = 2.m( ACB )
|AC| = 4 cm ise |AB| = x kaç cm dir?
[ AE ] ⊥ [ BC ] , |BD| = |BE|, D, E, F doğrusal
A) 4 + 2v3
|EF| = 12 cm ise |AC| kaç cm dir?
A ) 12
B ) 18
C ) 24
B) 8 + 2v3
E ) 8 + 4v3
D ) 16
D ) 30
E ) 36
5.
2.
C) 4 + 4v3
A
A
D
x
8
B
E
4
C
ABC üçgeninde, [ AB ] ⊥ [AC ], [DE] ⊥ [BC ]
|AD| = |DC|, |BE| = 8 cm, |EC| = 4 cm ise
ESEN YAYINLARI
D
[HD ] ⊥ [AC], |AB| = 6 cm, |AC| = 8 cm ise
|DC| kaç cm dir?
A) 4,8
B) 5,12
C) 6
6.
A
A
D
8
2
1
x
C
B
ABC üçgeninde [ AB ] ⊥ [AC ] , [AB] ⊥ [BD ]
[ BC] ⊥ [ AD ] , |BE| = 2 cm , |DE| = 1 cm ise
C) 6
C
E
ABC dik üçgeninde, [AB] ⊥ [BC], [ED] ⊥ [AC]
|BE| = |EC|, |AB| = 8 cm ve |DC| = 6 cm ise
|ED| = x kaç cm dir?
|EC| = x kaç cm dir?
B) 8
6
x
E
D
A) 10
E) 7,2
E) 3v2
D) 4
B
D) 6,4
C ) 2v3
B) 3
3.
C
ABC üçgeninde, [AB] ⊥ [AC ], [AH ] ⊥ [BC ]
|DE| = x kaç cm dir?
A ) 2v2
H
B
D) 5
E) 4
A) 2v5
B) 3v2
D) 2v3
C) 4
E) 3
477
Dik Üçgen ve Trigonometri
A
7.
10.
E
3v2
45°
x
B
K
2
D
6
C
%
ABC üçgeninde, [ AB ] ⊥ [AD ], m( ACB ) = 45°
D
B
|AC| = 3v2 cm, |DC| = 2 cm ise |BD| = x kaç
C
x
ABC eşkenar üçgeninde, [ED] ⊥ [BC]
cm dir?
A) 6
A
2v3
B) 7
C) 8
D) 9
|EK| = 2v3 cm, |AC| = 6 cm ise |DC| = x kaç
E) 10
cm dir?
A) 3
8.
B)
7
2
11.
A
C) 4
D)
9
2
E) 5
A
8
D
x
B
D
C
[ DA ] ⊥ [ AC ], |AB| = 4v5 cm ise |BD| = x
kaç cm dir?
B ) 3v2
A) 4
D) 2v6
C ) 2v5
ESEN YAYINLARI
B
ABC üçgeninde, |AD| = |AC| = 4v2 cm
H 2 E
|HE| = 2 cm ise |EC| = x kaç cm dir?
A) 10
B) 12
C) 14
D) 16
E) 18
A
A
x
12
9
45°
B
12
C
[AH ] ⊥ [BC], |AD| = 8 cm, |BH| = 8 cm
12.
B
x
ABC üçgeninde, [AB] ⊥ [AC ], [BD ] ⊥ [DE ]
E) 5
9.
8
D
x
C
v2
D
C
%
%
ABC üçgeninde m( ABC ) = 2.m( CAD )
ABC üçgeninde, [AD] açıortay, [ AB] ⊥ [BC ]
%
m( ACB ) = 45°, |BD| = v2 cm ise |AC| = x kaç
|AB| = |BD| = 12 cm , |AC| = 9 cm ise
cm dir?
|DC| = x kaç cm dir?
A ) v2 + 1
A) 2
478
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
B) v2 + 2
D ) 2v2 + 2
C) 2v2 + 1
E ) 4v2 + 4
7
TEST 1.
Trigonometri
D
A
5.
C
4
α
θ
α
A
H
B
3
B) –
5
4
C) –
5
3
D) –
4
4
H
A)
2
E) –
3
sin 90°
cos 180°
6
5
B)
7
5
C)
8
5
1
2
C) 0
D)
1
2
E) 1
ESEN YAYINLARI
B) –
Özdeş 12 kareden oluşan yukarıdaki şekilde
verilenlere göre,
sin x
oranı kaçtır?
cos y
A) – v5
B) –
tan 45° + cot 90°
sin 150°
B) –1
C) 0
4
3
D) 1
5
A
E) 2
α
D
4.
A)
ifadesinin eşiti kaçtır?
C) 0
C
kilerden hangisidir?
sin 3x. cos 5x
cos 4x. cos 9x
B) –1
θ
B
a
ABC üçgeninde, [AB] ⊥ [AC], m( ABD) = α
a
m( ACD) = θ ise cosα + sinθ toplamı aşağıda-
7x = 90° olmak üzere,
A) –2
5
4
E)
5
3
C) –
5
7.
ifadesinin eşiti kaçtır?
A) –2
E) 2
x
D)
3.
9
5
D)
y
ifadesinin eşiti kaçtır?
A) –1
C
ise tanα + cosθ toplamı kaçtır?
6.
2.
3
a
ABC üçgeninde, [AH] ⊥ [BC], m( ABC) = α
a
m( ACB) = θ, |HC| = 3 cm ve |AH| = |BH| = 4 cm
ABCD paralelkenarında, [DH] ⊥ [AB]
a
a
4
ise
m( DAB) = α, m( ABC) = θ ve sinα =
5
cosθ kaçtır?
2
A) –
5
θ
B
D) 1
E) 2
AC
B)
BE
D) 0
AC
C)
AB
1
2 BC
E) 1
479
Dik Üçgen ve Trigonometri
8.
11.
A
A
3
α
1
B
H
α
ABC üçgeninde, [AB] ⊥ [AC], [AH] ⊥ [BC]
a
m( ACB) = α, |AB| = 3 cm ve |BH| = 1 cm
1
3
B)
D)
1
C)
2 2
1
E)
6
C
ABC üçgeninde, [AB] ⊥ [BC], |AD| = |DC|
a
a
1
ise
m( ADB) = α, m( ACB) = θ ve cosα =
2
cosθ kaçtır?
ise tanα kaçtır?
A)
θ
D
B
C
1
A)
7
6
3
5
3
B)
C)
2
2
D)
3
2
2
3
E)
1
5
A
12.
α
9.
sin100°, cos160°, tan170°
x
10
değerlerinin işaretleri aşağıdakilerden hangisinsin100°
cos160°
tan170°
A)
+
+
+
B)
+
+
–
C)
+
–
+
D)
+
–
–
E)
–
–
–
B
D
C
a
ABC üçgeninde, [AD] ⊥ [BC], m( BAD) = α
a
4
m( ACB) = θ, |AB| = 10 cm, cosα =
ve
5
2
sinθ =
ise |AC| = x kaç cm dir?
3
A) 10
B) 12
C) 14
D) 16
E) 18
y
13.
A
10.
θ
ESEN YAYINLARI
de doğru olarak verilmiştir?
A(4, 6)
α
O
B
C
ABC üçgeninde, |AB| = |AC| ve cosA =
tanC kaçtır?
A) 1
480
B)
3
2
x
B
C) 2
D)
5
2
3
ise
5
E) 3
Koordinat düzleminde, [OA] ⊥ [AB]
a
m( OBA) = α ve A(4, 6) ise tanα kaçtır?
A)
2
3
B)
3
4
C)
3
5
D)
4
5
E)
3
8
8
TEST 1.
Kosinüs Teoremi
5.
Bir ABC üçgeninin kenar uzunlukları arasında
2
2
A
2
a = b + c + bc
a
bağıntısı bulunduğuna göre, m( A) kaç derece-
13
8
dir?
A) 30
B) 60
C) 120
D) 135
E) 150
B
C
15
ABC üçgeninde, |AB| = 8 cm, |AC| = 13 cm
a
ve |BC| = 15 cm ise m( ABC) kaç derecedir?
2.
Kenar uzunlukları 3 cm, 5 cm ve 6 cm olan bir
A) 15
B) 30
C) 45
D) 60
E) 75
üçgende ölçüsü en küçük olan açının kosinüsü
kaçtır?
A)
14
15
B)
13
15
C)
4
5
D)
11
15
E)
2
3
A
6.
5
3.
x
ESEN YAYINLARI
A
x
D
3
B
2
4
E
10
E
4
3
B
5
D
5
C
ABC üçgeninde, |DE| = 3 cm, |EC| = 4 cm ve
|BD| = |DC| = |AE| = 5 cm ise |AB| = x kaç cm
C
dir?
ABC üçgeninde, [AC] ⊥ [BC], |DE| = 2 cm
A) 6
|BD| = 3 cm, |BE| = 4 cm ve |EC| = 10 cm ise
B) c37
C) 2c10
D) c42
E) 3v5
|AD| = x kaç cm dir?
A) 10
B) 11
C) 12
D) 13
E) 14
4.
120°
3
2
4
x
2
B
A
7.
A
D
3
2
B
C
x
C
ABC üçgeninde, |AB| = 2 cm, |AC| = 3 cm
ABC üçgeninde, |AD| = |DC| = 2 cm
|BD| = 3 cm ve |AB| = 4 cm ise |AC| = x kaç cm
A ) = 120° olduğuna göre, |BC| = x kaç cm
m( W
dir?
dir?
A) 2
B) v5
C) v6
D) v7
E) 2v2
A) c15
B) 4
C ) 3v2
D ) c19
E ) 2v5
481
Dik Üçgen ve Trigonometri
8.
A
11.
D
2
A
D
x
1
3
6
6
E
C
5
3
B
3
B
x
10
C
E
ABC üçgeninde, [ AB ] ⊥ [BC ], [AB ] ⊥ [AD ]
|AE| = 1 cm, |AD| = 2 cm, |BC| = |CE| = 3 cm
Şekilde [AE] ∩ [BD] = {C} dir.
ise |ED| kaç cm dir?
Verilenlere göre |DE| = x kaç cm dir?
A ) v2
B ) v3
D ) v5
C) 2
A) 13
E ) v6
C) 11
12.
A
9.
B) 12
3
6
C
ABC üçgeninde, |AB| = 4 cm, |AC| = 5 cm
|BC| = 6 cm ise cos x kaçtır?
A)
1
6
B)
1
7
C)
1
8
D)
1
9
E)
ESEN YAYINLARI
5
B
A
B
1
7
B)
482
1
5
C)
C) 6
1
4
E)
1
3
c21
E
2
x
D)
A
x
3
C
2
3
60°
B
C
cm dir?
B ) 2c10
1
6
13.
ABC üçgeninde verilenlere göre |BC| = x kaç
A) c41
1
kaçtır?
D
4
α
Şekildeki çemberde, |AB| = 1 cm, |AD| = 3 cm
a
|BC| = |DC| = 2 cm, m( DAB) = α ise cosα
1
10
A
2
2
B
A)
10.
E) 9
D
x
4
D) 10
D) 5
E) 2v6
4
C
ABC üçgeninde, |AC| = c21 cm, |BC| = 4 cm
B ) = 60° ise |AB| = x kaç cm dir?
m( W
A) 4
B) 2v5
C) 5
D ) 2v7
E) 6
. ÜNİTE
ÜÇGENLER
4. ÜNİTE
4. ÜNİTE
4. ÜNİTE
ÜÇGENİN ALANI
1. Kazanım : Üçgenin alanını veren bağıntıları oluşturur ve uygulamalar yapar.
2. Kazanım : Üçgende sinüs teoremini ispatlar ve uygulamalar yapar.
4. ÜNİT
ÜÇGENİN ALANI
C
D
C
h
®
A
c
B
D
A
C
h
®
B
F
A
C
h
®
B
E
A
x
1. şekilde; yükseklik uzunluğu h, taban uzunluğu c olan bir ABC üçgeni verilmiştir.
x
2. şekilde; ABC ve CDA eş olacak şekilde ABCD paralelkenarı oluşturulmuştur.
c
B
Dolayısıyla A (ABCD ) = 2.A ( ABC ) dir.
x
3. şekilde; paralelkenarsal bölgenin sol köşesine inen dikmenin ayırdığı üçgensel bölge ( taralı kısım )
kesilmiştir.
x
4. şekilde; kesilen kısım paralelkenarsal bölgenin sağ kenarı ile birleştirilerek ABEF dikdörtgeni elde edilmiştir.
Dolayısıyla A( ABEF ) = A ( ABCD ) dir. Oluşan dikdörtgenin alanı c.h olacağından
A ( ABCD ) = 2A ( ABC ) ⇒ A ( ABEF ) = 2A (ABC) ⇒ c.h = 2.A(ABC) ⇒ A(ABC) =
1
c.h bulunur.
2
Bir ABC üçgeninin kenar uzunlukları a, b, c ve bu kenarlara ait yükseklikler, sırası ile ha, hb ve hc olmak üzere,
A ( ABC) =
a.h a b.h b c.h c
dir.
=
=
2
2
2
ÖRNEK 1
Çözüm
A
4
H
B
C
6
ABC üçgeninde [ AH ] ⊥ [ BC] , |AH| = 4 cm
|BC| = 6 cm ise A (ABC) kaç cm2 dir?
ÖRNEK 2
Çözüm
A
D
B
H
C
ABC üçgeninde, [ AH ] ⊥ [ BC] , [ BD] ⊥ [AC]
|AH| = 4 cm, |BC| = 6 cm, |BD| = 3 cm ise
|AC| kaç cm dir?
484
Üçgenin Alanı
ÖRNEK 3
Çözüm
A
4
B
H
10
C
AHC üçgeninde [ AH ] ⊥ [ HC] , |AH| = 4 cm
|BC| = 10 cm ise A (ABC) kaç cm2 dir?
ÖRNEK 4
Çözüm
A
2v5
2v5
B
4
C
ABC üçgeninde |AB| = |AC| = 2v5 br , |BC| = 4 br
ise A (ABC) kaç br 2 dir?
ÖRNEK 5
Çözüm
A
8
B
3
D
C
ABC üçgeninde, [ AB] ⊥ [ BC], [ AD] açıortay
|AC| = 8 cm, |BD| = 3 cm ise A (ADC) kaç cm2 dir?
485
Üçgenin Alanı
ÖRNEK 6
Çözüm
A
6
30°
2
B
C
a
ABC üçgeninde, m ( ABC) = 30°, |AB| = 6 cm
|BC| = 2 cm ise A (ABC) kaç cm2 dir?
ÖRNEK 7
Çözüm
A
B
x
D
C
ABC üçgeninde [ AB] ⊥ [ BC] , [ AD] açıortay
|AB| + |AC| = 10 br , A (ABC) = 20 br 2 ise
|BD| = x kaç br dir?
ÖRNEK 8
Çözüm
A
9
B
4
D
E
C
ABCD dörtgeninde, [ AB] ⊥ [ BC] , [ ED] // [ BC]
|AB| = 9 cm, |ED| = 4 cm ise A (ACD) kaç cm2
dir?
486
Üçgenin Alanı
Dik Üçgenin Alanı
Bir dik üçgenin alanı, dik kenar uzunluklarının
A
çarpımının yarısına eşittir.
A(ABC) =
c
B
a
a.c
2
C
ÖRNEK 9
Çözüm
A
2
B
3
C
ABC üçgeninde, [ AB] ⊥ [ BC] , |AB| = 2 cm
|BC| = 3 cm ise A (ABC) kaç cm2 dir?
ÖRNEK 10
Bir ikizkenar dik üçgenin hipotenüs uzunluğu 4v2 br ise bu üçgenin alanı kaç br 2 dir?
Çözüm
ÖRNEK 11
Çevre uzunluğu 14 cm olan bir dik üçgenin hipotenüs uzunluğu 6 cm ise bu dik üçgenin alanı kaç cm2 dir?
Çözüm
487
Üçgenin Alanı
ÖRNEK 12
Çözüm
A
12
x+2
x+4
B
C
ABC üçgeninde, [ AB] ⊥ [ BC] , |AB| = (x + 2) cm
|BC| = (x + 4) cm |AC| = 12 cm ise A (ABC) kaç
cm2 dir?
Eşkenar Üçgenin Alanı
Bir kenar uzunluğu a olan ABC eşkenar üçgeninde h =
a 3
a2 3
ve A(ABC) =
tür.
2
4
ÖRNEK 13
Bir kenar uzunluğu a = 4 cm olan eşkenar üçgenin alanı kaç cm2 dir?
Çözüm
ÖRNEK 14
Herhangi bir yüksekliğinin uzunluğu, h = 3v3 cm olan eşkenar üçgenin alanı kaç cm2 dir?
Çözüm
ÖRNEK 15
Çözüm
A
E
2v
3
3v
3
K
B
D
x
H
C
ABC eşkenar üçgeninde, [ KE ] ⊥ [ AB] , [ KD] ⊥ [AC]
[ KH ] ⊥ [ BC] , |KE| = 2v3 br, |KD| = 3v3 br
A (ABC) = 36v3 br 2 ise |KH| = x kaç br dir?
488
Üçgenin Alanı
ÖRNEK 16
Çözüm
A
E
D
B
C
ABC ve ADE eşkenar üçgenlerdir.
A (ABC)
kaçtır?
A (ADE)
[ AD] ⊥ [ BC] ise
DİĞER ALAN FORMÜLLERİ
A
u=
b
c
a+b+c
olmak üzere,
2
A(ABC) =
a
B
u (u – a) (u – b) (u – c) dir.
C
ÖRNEK 17
Çözüm
A
4
7
B
5
C
ABC üçgeninde, |AB| = 4 br, |BC| = 5 br
|AC| = 7 br ise A (ABC) kaç br 2 dir?
ÖRNEK 18
Çözüm
A
4
3
D
B
7
6
C
ABCD dörtgeninde, [ AB] ⊥ [ AD] , |AB| = 3 cm
|AD| = 4 cm, |BC| = 6 cm, |DC| = 7 cm ise
A (ABCD) kaç cm2 dir?
489
Üçgenin Alanı
A
1
C
a.b.sin X
2
1
= a.c.sin W
B
2
1
= b.c.sin W
A
2
A(ABC) =
b
c
a
B
C
ÖRNEK 19
A
Çözüm
4
30°
B
C
6
a
ABC üçgeninde, m (BCA) = 30°, |AC| = 4 cm
|BC| = 6 cm ise A (ABC) kaç cm2 dir?
ÖRNEK 20
Çözüm
A
2
E
3
4
D
1
B
C
ABC üçgeninde |AD| = 3 cm , |AE| = 2 cm
A (ADE)
kaçtır?
A (ABC)
|DB| = 1 cm , |EC| = 4 cm ise
ÖRNEK 21
Çözüm
D
4
C
E
8
A
3
F
x
B
ABC ve DFB üçgenlerinde, |DC| = 4 br
|CB| = 8 br, |AF| = 3 br, A (ABC) = A ( DFB) ise
|FB| = x kaç birimdir?
490
Üçgenin Alanı
ÖRNEK 22
Çözüm
A
6
9
8
D
B
C
ABCD dörtgeninde, [ BA] ⊥ [AD] , [AC] ⊥ [ BC]
|AB| = 9 cm, |AC| = 8 cm, |AD| = 6 cm ise A (ACD)
kaç cm2 dir?
A
ABC üçgeninde içteğet çemberin
F
E
O
B
yarıçapı r ve u =
r
a+b+c
2
olmak üzere A(ABC) = u.r dir.
D
C
ÖRNEK 23
Çözüm
Çevresi 16 cm olan ABC üçgeninin, içteğet çemberinin yarıçapı 2 cm ise A (ABC) kaç cm2 dir?
ÖRNEK 24
Çözüm
A
5
B
7
D
6
C
ABC üçgeninde, [ BD] ve [ DC] açıortaylar
|AB| = 5 cm, |AC| = 7 cm, |BC| = 6 cm ise
A (BCD)
kaçtır?
A (ABC)
491
Üçgenin Alanı
A
c
ABC üçgeninin çevrel çemberinin
R
yarıçapı R olmak üzere,
b
B
A(ABC) =
a
a.b.c
dir.
4R
C
ÖRNEK 25
Çözüm
A
5
B
5
8
C
ABC üçgeninde, |AB| = |AC| = 5 cm, |BC| = 8 cm
olduğuna göre, üçgenin çevrel çemberinin yarıçapı
kaç cm dir?
A
ABC üçgeninde [AH] ⊥ [BC ] ise
D
A(ABDC) =
B
H
C
ÖRNEK 26
Çözüm
A
D
B
H
C
ABC üçgeninde, [ AH ] ⊥ [ BC] , |AD| = 4 cm
|BC| = 8 cm ise A (ABDC) kaç cm2 dir?
492
AD . BC
2
dir.
Üçgenin Alanı
ÜÇGENDE ALAN BAĞINTILARI
Yükseklikleri eş olan üçgenlerin alanları oranı tabanları oranına eşittir.
Aşağıdaki şekillerde yükseklikleri eş olan üçgenlerin tabanları oranından yararlanarak alanları oranı
bulunmuştur. İnceleyiniz.
A
2a
A
x
2x
S
S
y
x
S
D
E
3S
E
2S
B
5y
C
3y
5x
10S
B
5y
D
3y
2S
2y
5S
2S
C
7a
3x
2x
8S
4S
3a
3S
4x
4S
4a
3x
7y
5S
5y
ÖRNEK 27
A
B
Çözüm
2x
D
x
C
ABC üçgeninde, |BD| = 2 x , |DC| = x
A (ABD) = 10 br 2 ise A (ADC) kaç br 2 dir?
ÖRNEK 28
Çözüm
A
y
E
2y
B
x
D
2x
C
ABC üçgeninde, |AE| = y , |ED| = 2y , |BD| = x
|DC| = 2 x , A (ABE) = 6 br 2 ise A (ADC) kaç br 2
dir?
ÖRNEK 29
Çözüm
A
6
4
B
D
C
ABC üçgeninde [ AD] açıortay, |AB| = 4 br
|AC| = 6 br ise
A (ABD)
kaçtır?
A (ADC)
493
Üçgenin Alanı
ÖRNEK 30
Çözüm
A
G
B
D
C
ABC üçgeninde G, ağırlık merkezi ise
A (GDC)
A (ABC)
kaçtır?
ÖRNEK 31
Çözüm
A
5
3
B
D
E
C
ABC üçgeninde [ AE ] kenarortay, [ AD] açıortaydır.
|AB| = 3 cm , |AC| = 5 cm ise
A (ADE)
kaçtır?
A (ABC)
ÖRNEK 32
A
Çözüm
E
B
D
C
ABC üçgeninde, [ DE ] ⊥ [ AB] , |DC| = 3|BD|
|DE| = 2 cm, |AB| = 4 cm ise A (ABC) kaç cm2 dir?
494
Üçgenin Alanı
D
C
DC//AB ise A(ABC) = A(ABD) dir.
A
B
ÖRNEK 33
Çözüm
D
1
C
E
3
A
4
B
ABDE dörtgeninde, [ ED] // [ AC] , [ DB] ⊥ [ AB]
|DC| = 1 br, |CB| = 3 br, |AB| = 4 br ise
A (ABCE) kaç br 2 dir?
A
S
F
S
ABC üçgeninde, üç kenarortay çizildiğinde
E
oluşan 6 üçgenin alanları eşittir.
G
S
S
S
S
D
B
C
ÖRNEK 34
Çözüm
A
E
G
B
D
C
ABC üçgeninde, [ AD] ve [ BE ] kenarortaylardır.
A (ABC) = 24 br 2 ise A (GDCE) kaç br 2 dir?
495
Üçgenin Alanı
ÖRNEK 35
Bir ABC üçgeninde, Va = 9 br, Vb = 12 br Vc = 15 br ise A (ABC) kaç br 2 dir?
Çözüm
A
A
S
S
G
E
F
S
S
S
S
B
C
B
S
D
C
ABC üçgeninde G, ağırlık merkezi ise
ABC üçgeninde D, E, F kenar orta noktaları ise
A ( ABG ) = A ( AGC ) = A ( BCG ) dir.
A(AFE) = A(FBD) = A(FDE) = A(DCE) dir.
ÖRNEK 36
Çözüm
A
G
4
B
2k
2
D
3k
C
ABC üçgeninde, G ağırlık merkezidir. [ BG] ⊥ [GD]
|BG| = 4 cm, |GD| = 2 cm, |BD| = 2k, |DC| = 3k ise
A (ABC) kaç cm2 dir?
496
Üçgenin Alanı
A
A
x
q
E
c
E
F
b
y
D
p
B
B
C
k
D
z
C
a
A (FDE) x.z.p + y.k.q
=
A (ABC)
a.b.c
AD . AE
A (ADE)
=
A (ABC)
AB . AC
ÖRNEK 37
Çözüm
A
1
5
D
E
4
2
B
C
ABC üçgeninde, |AD| = 1 br, |DB| = 4 br, |AE| = 5 br
|EC| = 2 br ise
A (ADE)
kaçtır?
A (ABC)
ÖRNEK 38
Çözüm
A
2
E
4
6
D
2
B
C
ABC üçgeninde, |AD| = 4 cm, |AE| = 2 cm
|DB| = 2 cm, |EC| = 6 cm, A (ADE) = 6 cm2 ise
A ( DBCE) kaç cm2 dir?
ÖRNEK 39
Çözüm
A
1
2
E
F
5
3
B
4
D
ABC üçgeninde verilenlere göre
4
C
A (FDE)
kaçtır?
A (ABC)
497
Üçgenin Alanı
SİNÜS TEOREMİ
A
c
a
b
c
=
=
sin A sin B sin C
b
B
a
C
İspat:
Bu teoremin ispatını alan bağıntısından yararlanarak yapalım.
1
1
1
A(ABC) = a.b.sinC = a.c.sinB = b.c.sinA olduğundan a.b.sinC = a.c.sinB = b.c.sinA dır.
2
2
2
O halde,
a.b. sin C a.c. sin B b.c. sin A
sin C sin B sin A
a
b
c
=
=
⇒
⇒
=
=
=
=
a
c
sin A sin B sin C
a.b.c
a.b.c
a.b.c
b
ÖRNEK 40
Çözüm
A
3
6
45°
α
B
C
ABC üçgeninde verilenlere göre sinα kaçtır?
ÖRNEK 41
C
A
B
İki yüksek gerilim kablosu bir nehir boyunca şekildeki gibi yerleştirilmiştir. Nehrin bir tarafında B ve C
kuleleri diğer tarafında A kulesi vardır.
A ile B kuleleri arasındaki uzaklık 240 metre olup
a
a
m( ABC ) = 120° ve m( CAB ) = 15° ise A ile C
arasındaki uzaklık kaç metredir?
498
Çözüm
elde edilir.
Üçgenin Alanı
ÖRNEK 42
Çözüm
A
6
4
B
C
C ) – m( W
B ) = 90°, |AB| = 6 cm
ABC üçgeninde m ( X
ve |AC| = 4 cm ise cotB kaçtır?
ÖRNEK 43
Sinop
Çözüm
B
15°
A
45°
Samsun
C
Sinop-Samsun arası 165 km dir. Samsun’dan kalkan bir uçak A gibi bir noktada iken uçağın konumu
yukarıdaki şekilde ifade edilmiştir. A noktasının
varış noktasına olan uzaklığını bulunuz.
ÖRNEK 44
Çözüm
A
3
D
3
α
B
4
C
ABC üçgeninde, [AB] ⊥ [BC], |BC| = 4 cm
a
|AB| = |AD| = 3 cm ve m( DBC) = α ise
tanα kaçtır?
499
Üçgenin Alanı
ÖRNEK 45
Çözüm
A
D
45°
30°
B
C
a
ABC üçgeninde 2|AD| = 3|DC| , m( ABD) = 45°
a
sin A
kaçtır?
m( DBC) = 30° ise
sin C
ÖRNEK 46
Çözüm
A
12
x
5
45°
B
D
C
a
ABC üçgeninde, [AB] ⊥ [AC], m( ADC) = 45°
|AB| = 12 cm ve |AC| = 5 cm ise |AD| = x kaç cm
dir?
ÖRNEK 47
Çözüm
Bir ABC üçgeninde,
C ) ise m ( X
C ) kaç deresin2 ( W
A ) + sin2 ( W
B ) = sin2 ( X
cedir?
500
ALIŞTIRMALAR
Aşağıda verilen ABC üçgenlerinin alanlarını bulunuz.
Aşağıda verilen ABC üçgenlerinin her biri eşkenar
üçgendir. Bu üçgenlerin alanlarını bulunuz.
A
1.
6.
6
2
B
A
C
4
4
B
2.
4
C
A
7.
13
B
12
A
v3
C
3.
ESEN YAYINLARI
B
A
3
B
2
H
H
8.
A
D
C
4
2v3
B
4.
4
H
9.
A
5
C
A
5
3
1
6
B
2
C
B
C
10.
5.
A
A
6
3
4
1
K
B
C
6
C
B
2
C
501
Üçgenin Alanı
Aşağıdaki ABC üçgenlerinin alanlarını bulunuz.
Aşağıdaki soruların her birinde taralı bölgelerin alan-
1.
larını bulunuz.
A
6.
A
4
6
B
H
C
6
H
2.
H
B
4
7.
A
A
6
8
B
10
C
10
K
12
8.
A
6
5
B
C
7
4
C
8
7
D
B
C
9
9.
4.
B
A
ESEN YAYINLARI
3.
C
A
A
D
8
4
6
4
B
B
8
x
C
C
10.
5.
E
3x
A
4
A
D
4
B
30°
B
502
6
C
C
10
Üçgenin Alanı
Aşağıdaki ABC üçgenlerinin ağırlık merkezleri G
noktasıdır. Buna göre
Aşağıdaki ABC üçgenlerinin her birinde
Taral› Alan
değerlerini buA (ABC)
değerlerini bulunuz.
Taral› Alan
A (ABC)
lunuz.
1.
6.
A
A
3
2
G
B
B
2.
C
C
7.
A
A
4
G
1
3.
A
G
D
B
4.
5
B
C
ESEN YAYINLARI
B
8.
C
2
A
1
5
3
3
B
C
4
9.
A
D
2
C
A
2
G
3
B
5.
B
C
A
D
1
5
C
A
10.
a
G
2a
B
C
B
C
503
Üçgenin Alanı
Aşağıdaki sorularda verilenlere göre taralı alanları
Aşağıdaki sorularda istenenleri bulunuz.
bulunuz.
1.
6.
D
A
C
x
2
x =?
6
45°
30°
B
A
2.
4
C
B
3
E
A
7.
4
6
A
D
E
6
4
α
B
30°
B
C
C
3
5
12
B
A
ESEN YAYINLARI
C
D
3.
A
8.
6
3
α=?
α
30°
B
4.
sinα = ?
C
A
13
9.
12
B
A
C
120°
6
4
α=?
α
D
6v3
B
5.
C
D
10.
A
A
30°
45°
sin B
=?
sin C
5
B
504
E
8
C
B
2k
D
3k
C
Yazılıya Hazırlık Soruları
1.
4.
A
A
14
10
E
F
L
B
8
C
B
ABC üçgeninde |AB| = 10 cm, |BC| = 8 cm
K
C
ABC üçgeninde, [EF] // [BC]
|AC| = 14 cm ise ha kaç cm dir?
|KC| = 3|BK| = 6|EL|, A (AEL) = 6 br2 ise
A(ABC) kaç br2 dir?
2.
5.
C
E
A
A
E
D
6
B
a
a
ABC ve AEC birer üçgendir. m (BAE) = m(EAC)
ESEN YAYINLARI
10
D
2
B
4
C
%
%
ADC üçgeninde, m( EAD ) = m( DAB )
[AB ] ⊥ [DC], |DB| = 2 cm, |BC| = 4 cm ise
A(ADC) kaç cm2 dir?
[ AB ] ⊥ [ BC ] , |AD| = |DE|, |AB| = 6 cm
|AC| = 10 cm ise A ( DEC ) kaç cm2 dir?
6.
3.
A
A
4
8
E
D
2
B
5
D
3
C
45°
B
ABC üçgeninde |AE| = 4 cm, |BE| = 2 cm
|BD| = 5 cm, |DC| = 3 cm ise
A (BDE)
kaçtır?
A (BCA)
10
C
%
ABC üçgeninde, m( BCA ) = 45°, |AD| = 8 cm
|BC| = 10 cm ise A(ABD) kaç cm2 dir?
505
Üçgenin Alanı
7.
9.
A
E
C
D
F
6
B
D
C
A
ABC üçgeninde, [ AD ] ⊥ [ EC ] , |BD| = |DC|
|EC| = 9 cm, |AF| = 6 cm, |FD| = 3 cm ise
B
ABCD dörtgeninde, [AB] ⊥ [BC ], [AD ] ⊥ [DB]
A ( ABC ) kaç cm2 dir?
|AB| = |BC|, |BD| = 6 cm ise A(BCD) kaç cm2
8.
ESEN YAYINLARI
dir?
A
10.
A
α
F
B
E
D
C
ABC üçgeninde, [ EF ] // [ AD ] , [ DF ] // [ AC]
|BD| = |DC| ise
506
45
°
3
2
A (BEF)
kaçtır?
A (ABC)
B
D
C
a
ABC üçgeninde, m( DAC) = 45°, |AB| = 2 br
a
|AC| = 3 br, m( BAD) = α ve 3|BD| = 2|DC| ise
sinα kaçtır?
TEST 1.
1
Üçgenin Alanı
4.
Yüksekliği 3v3 cm olan eşkenar üçgenin alanı
A
2
kaç cm dir?
A ) 8v3
B ) 9v3
D ) 11v3
C ) 10v3
7
5
E ) 12v3
B
C
4
ABC üçgeninde, |AB| = 5 cm, |AC| = 7 cm
|BC| = 4 cm ise ha kaç cm dir?
A ) 2v3
B) 4
C) 2v6
D) 5
2.
E ) 4v3
5.
A
A
E
D
C
ABC üçgeninde, |DC| = 3|BD|, 2|AE| = 3|EB|
A ( ABC ) = 120 cm2 ise A ( DCE ) kaç cm2 dir?
A ) 24
B ) 30
C ) 32
D ) 36
B
ESEN YAYINLARI
B
H
C
ABC üçgeninde, [BA] ⊥ [AC ], [AH ] ⊥ [BC ]
A (AHC)
kaçtır?
A (ABC)
|AB| = 2|BH| ise
E) 48
A)
3
4
2
5
B)
C)
1
4
D)
6.
2
7
E)
3
7
D
4
A
A
3.
6
3
B
B
H
C
5
ABCD dörtgeninde [BA] ⊥ [AD], |AB| = 3 cm
C
ABC üçgeninde, [ AH ] ⊥ [ BC ] , |BC| = 4|AH|
|AD| = 4 cm, |BC| = 5 cm, |CD| = 6 cm ise
A ( ABC ) = 32 br2 ise |BC| kaç cm dir?
A(ABCD) kaç cm2 dir?
A ) 12
B ) 16
C ) 18
D ) 20
E) 24
A) 15
B) 16
C) 17
D) 18
E) 20
507
Üçgenin Alanı
7.
10.
A
A
105°
F
6v2
E
x
45°
B
D
C
B
ABC üçgeninde, |BD| = |DC|, |AE| = |ED|
2
|FB| = 2|AF|, A ( ABC ) = 60 br
ABC üçgeninde, |AB| = 6v2 cm,
a
a
m( BAC ) = 105°, m( ACB) = 45° ise |AC| = x
ise A(AFE)
2
kaç br dir?
A) 8
C
kaç cm dir?
B) 7
C) 6
8.
D) 5
E) 4
A) 4
B) 5
C) 6
D) 7
E) 8
A
11.
4
A
20
B
C
ABC üçgeninde, [ AB ] ⊥ [AC ], [CE] açıortay
|BC| = 20 cm, |AE| = 4 cm ise A ( EBC) kaç
2
cm dir?
A ) 36
B ) 40
9.
C ) 52
D ) 60
ESEN YAYINLARI
E
B
D
ABC üçgeninde, [AD] açıortay, 5|AB| = 3|AC|
A(ABC) = 24 br2 ise A(ABD) kaç br2 dir?
E) 80
A) 15
B) 13
12.
A
C
C) 12
D) 10
E) 9
A
F
E
D
E
G
B
B
C
A)
508
4
5
B)
3
5
|BD| = 2|DC|, A(ABC) = 120 br2 ise A(FDE)
A (ADE)
kaçtır?
A (DBCE)
C)
3
4
D)
2
5
C
ABC üçgeninde, 2|FB| = 3|AF|, |AE| = 3|EC|
ABC üçgeninde, G ağırlık merkezidir.
[ DE ] // [ BC ] ise
D
kaç br2 dir?
E)
1
2
A) 24
B) 25
C) 26
D) 27
E) 28
2
TEST 1.
Üçgenin Alanı
Alanı 4v3 cm2 olan eşkenar üçgenin yüksekliği
A
4.
kaç cm dir?
A ) v3
B ) 2v3
D ) 3v3
12
9
C ) 2v6
E ) 3v6
B
5
D
C
ABC üçgeninde, [AB] ⊥ [AC], |AB| = 9 cm
|AC| = 12 cm, |DC| = 5 cm ise A(ABD) kaç
cm2 dir?
A) 36
A
2.
B) 38
C) 40
5.
1
D) 42
E) 45
A
H
11
13
2v5
B
C
ABC üçgeninde, [ AB ] ⊥ [BC ], [BH ] ⊥ [AC ]
|AH| = 1 cm, |BC| = 2v5 cm ise A ( ABC) kaç
2
cm dir?
A) 4
ESEN YAYINLARI
D
2
B
C
ABC üçgeninde, |AD| = 11 cm, |DB| = 2 cm
|AC| = 13 cm, |DC| = |BC| ise A(ABC) kaç
B) 5
C) 6
D) 7
cm2 dir?
E) 8
A)
65
2
B ) 33
6.
B
4
D
2
D
C
C
ABC üçgeninde, [AD] ⊥ [BC ], [BE ] ⊥ [EC ]
ABC üçgeninde, |AB| = |AD| = c13 br
|BD| = 4 br, |DC| = 2 br ise A ( ADC ) kaç br2
|EB| = 3 cm, |EC| = 4 cm, |AE| =
dir?
A(ABC) kaç cm2 dir?
B) 3
69
2
4
3
c13
A) 2
E)
8
E 5
c13
B
D ) 34
A
A
3.
67
2
C)
C) 4
D) 5
E) 6
A) 8
B) 9
C) 10
D) 11
8
cm ise
5
E) 12
509
Üçgenin Alanı
7.
10.
A
A
E
K
L
B
B
D
C
A)
7
9
B)
5
9
|AC| = 5 cm,
A (KBD)
kaçtır?
A (LDC)
C)
7
27
D)
|DC| = 2 cm
A (DEC)
A (ABDE)
ise
kaçtır?
5
27
E)
1
9
A)
4
25
B)
4
23
C)
4
21
D)
4
19
E)
4
17
A
11.
8.
C
ABC üçgeninde, [BA] ⊥ [AC ], [DE ] ⊥ [BC ]
ABC üçgeninde, 3|AK| = 2|AB|, |BC| = 4|BD|
7|AL| = 4|AC| ise
D
A
E
B
D
F
C
ABC üçgeninde, G ağırlık merkezidir.
[ GE ] // [ BC ] , A ( ABC ) = 36 cm2 ise A(GFE)
B
ESEN YAYINLARI
G
C) 6
D) 7
dir?
B)
E) 8
D)
9.
C
2
|BD| = 1 cm, |DC| = 2 cm ise A(ABC) kaç cm2
A ) v3
B) 5
D
ABC üçgeninde, [AB] ⊥ [BC ], [AD ] açıortay
kaç cm2 dir?
A) 4
1
3 3
2
5 3
2
C ) 2v3
E ) 3v3
A
12.
A
E
F
75°
x
B
D
C
60°
ABC üçgeninde, |FB| = 3|AF|, |BD| = 3|DC|
ise
A)
510
A (DEF)
kaçtır?
A (ABC)
3
16
B)
1
4
C)
3
B
C
A ) = 75°
ABC üçgeninde, |AC| = 3 cm, m( W
B ) = 60° ise |AB| = x kaç cm dir?
m( W
5
16
D)
3
8
E)
7
16
A) v3
B) 2
C) v6
D) 2v2
E) c10
TEST -
5
Üçgenin Alanı
A
1.
4.
A
4
E
E
6
F
G
D
B
C
B
D
C
ABC üçgeninde, [ AB ] ⊥ [AC ], [BE] ve [AD ]
ABC üçgeninde, |AF| = |FB|, |BD| = |DC|
kenarortaylardır. |AB| = 6 cm, |AE| = 4 cm ise
|EC| = 2|AE|, A(ABC) = 60 br2 ise A(AFDE)
2
A ( GDCE ) kaç cm dir?
A ) 12
B ) 11
kaç br2 dir?
C ) 10
D) 9
2.
E) 8
A) 15
A
B) 20
5.
C) 25
D) 30
E) 35
A
F
B
D
C
ABC üçgeninde, [ AD ] açıortay,
A ( ABD ) = 2.A ( ADC ), |AB| + |AC| = 18 cm ise
ESEN YAYINLARI
E
B
3.
B) 6
C) 7
D) 8
C
ABC üçgeninde, |AF| = |FE| = |EC|
|DC| = 2|BD| ise
|AC| kaç cm dir?
A) 5
D
E) 9
A)
1
3
B)
2
5
A (DEF)
kaçtır?
A (ABC)
C)
3
7
D)
2
9
E)
3
10
A
6.
A
E
6
D
B
2
D
4
4
C
[ AD] açıortay, |BD| = 2 cm, |DC| = 4 cm ise
A ( DCE ) kaç cm2 dir?
D ) 3v3
7
E
C) 4
E) 6
C
ABC üçgeninde, |BD| = 4 br, |AD| = 6 br
|BE| = 5 br, |EC| = 7 br ise
B ) c15
A ) 2v3
5
B
ABC üçgeninde, [ AB ] ⊥ [BC ], [DE] ⊥ [AC ]
A)
3
5
B)
1
3
C)
2
5
A (BED)
kaçtır?
A (DECA)
D)
1
5
E)
515
1
6
Üçgenin Alanı
7.
10.
A
A
D
E
7
5
G
150°
B
B
C
ise A(ADE) kaç cm2 dir?
ise A ( ABC ) kaç br dir?
C ) 20
8.
D ) 19
C
|AB| = 5 cm, |AC| = 7 cm, A(ABC) = 36 cm2
2
B ) 21
E
ABC üçgeninde, [AE] kenarortay, [AD] açıortay,
ABC üçgeninde, [ BD ] ve [ CE ] kenarortaylar%
dır. m ( BGC ) = 150°, |BD| = 9 br, |EC| = 6 br
A ) 22
D
A) 3
E) 18
B) 4
C) 5
D) 6
E) 7
A
11.
A
E
D
E
C
ABC üçgeninde, [ AE ] ⊥ [ BC ] , |AD| = 10 cm
2
|BC| = 8 cm ise A ( ABDC ) kaç cm dir?
A ) 30
B ) 35
C ) 40
9.
D ) 45
B
ESEN YAYINLARI
B
G
D
C
ABC üçgeninin ağırlık merkezi G dir.
[EG] // [BC], A(ABC) = 36 cm2 ise A(BDGE)
kaç cm2 dir?
E) 50
A) 13
B) 12
C) 11
D) 10
E) 9
A
A
12.
45° 45°
20
F
E
E
B
D
C
B
12
D
C
ABC üçgeninde, [ DF ] ⊥ [AB], [DE] ⊥ [AC ]
%
%
ABC üçgeninde, m( BAD ) = m( DAC ) = 45°
|AB| = |AC| = 16 br, |DE| = 3 br
|AB| = 20 cm, |AC| = 12 cm, |AE| = 2|ED| ise
A ( ABC ) = 64 br2 ise |DF| kaç br dir?
A(BCE) kaç cm2 dir?
A) 4
516
B)
9
2
C) 5
D)
11
2
E) 6
A) 54
B) 48
C) 45
D) 42
E) 40
Üniversiteye Giriş Sınav Soruları
1.
1986 – ÖSS
4.
1987 – ÖSS
Kenar uzunlukları 2 nin katı olan, eşkenar üçgen
AD // BC
biçimindeki bir bahçenin çevresine, bir köşesinden
|BC| = |DC|
başlayarak 2 m ara ile ağaç dikiliyor. Dikilen top-
ABD açısının
lam ağaç sayısı 21 olduğuna göre, bahçenin bir
ölçüsü 30°
kenarı kaç m dir?
BAD açısının
A) 18
B) 16
C) 14
D) 12
A
100°
30°
B
D
ölçüsü 100° ise
E) 10
BCD açısının ölçüsü
?
kaç derecedir?
A) 80
Yandaki şekilde
E
5.
A
D) 95
E) 100
1987 – ÖSS
DC ⊥ EB
ABC üçgeninde
EB ⊥ EA
|DC| = |DA|
BA ⊥ AC
30°
D
FCA açısının
C
F
?
ölçüsü 30° ise
EBA açısının ölçüsü
B
kaç derecedir?
A) 15
B) 30
C) 45
D) 60
E
A 110°
ABD açısının
x°
ölçüsü 2x°
BAD açısının
ölçüsü x°
EAC açısının
2x°
B
D
C
ölçüsü 110°
E) 75
Buna göre x kaçtır?
A) 45
3.
C) 90
1986 – ÖSS
ESEN YAYINLARI
2.
B) 85
C
6.
1986 – ÖYS
B) 40
C) 35
D) 30
E) 25
1987 – ÖYS
Aşağıdaki şekilde ABC ve ADC ikizkenar üçgena
lerdir. Buna göre m( BAD) kaç derecedir?
A
Yandaki ABC ikizkenar
üçgeninde
A
|AB| = |BC|
|AB| = |AC|
|DC| = |AC|
a
m( ABC) = 40°
a
m( DCA) = 50°
D
|BC| = |CD| = |DA|
ABC açısının ölçüsü
kaç derecedir?
?
B
A) 80
B) 75
C) 72
D) 60
C
E) 45
?
D
50°
40°
B
A) 11
B) 9
C) 7
C
D) 5
E) 3
517
Üçgenler
7.
1987 – ÖYS
10. 1989 – ÖSS
2
Aşağıdaki şekilde ABC üçgeninin alanı 36 cm
Bir üçgenin kenar uzunluklarının ikişer ikişer top-
olduğuna göre DFE üçgeninin alanı kaç cm2 dir?
lamları 33, 38, 45 birimdir.
Bu üçgenin en küçük kenarı kaç birimdir?
A
|DE| =
|BF| =
D
AC
5
AB
4
A) 16
B) 9
C) 14
D) 13
E) 12
F
B
A) 5
B) 15
E
C
C)
36
5
D)
9
5
E)
27
5
11. 1989 – ÖSS
8.
D ve E, [BC] üzerinde
a
m( BAD) = 10°
a
m( EAC) = 20°
1988 – ÖSS
A
?
7
B
C
a
Yukarıda verilen ABC üçgeninde m( ABC) < 60°
olduğuna göre |AC| kaç birim olabilir?
9.
C) 7
20°
d
e
|AE| = d
D) 8
ESEN YAYINLARI
3
|BC| = 7 birim
B) 6
10°
|AD| = e
|AB| = 3 birim
A) 4
A
|DE| = k
E
C
Yukarıdaki şekilde ABC bir eşkenar üçgendir.
Buna göre ADE üçgeninin e, d, k kenarları için
aşağıdaki sıralamalardan hangisi doğrudur?
A) k < d < e
E) 9
k
B D
B) d < e < k
D) d < k < e
C) e < k < d
E) k < e < d
1989 – ÖSS
A
12. 1990 – ÖYS
?
A
D, [AC] üzerinde
[BD], ABC açısının
120° D
açıortayı
a
m( BDA) = 120°
24°
B
B
C
C
Taban açıları 24° olan ikizkenar bir ABC üçgenin-
Şekildeki ABC ikizkenar üçgeninde A tepe açısı-
de tepe açısını üç eş parçaya bölen ışınlar ara-
nın ölçüsü kaç derecedir?
sındaki açı kaç derecedir?
A) 15
518
B) 20
C) 25
D) 30
E) 35
A) 36
B) 38
C) 40
D) 42
E) 44
Üçgenler
13. 1990 – ÖYS
16. 1991 – ÖSS
|AB| = |AC|
a
m( ABD) = 7°
a
m( BDC) = 35°
ABCD yamuk
A
D
|BC| = 3 birim
7°
C
D) 77
8
A
kenar doğruları
?
B
C) 76
3
yamuğunda yan
açısının ölçüsü kaç de-
B) 75
C
Şekildeki ABCD
üçgeninde BCA taban
recedir?
4
D
|DC| = 4 birim
35°
Yandaki ABC ikizkenar
A) 74
K
|AB| = 8 birim
B
K da kesişmektedir. Buna göre |CK| kaç birimdir?
E) 78
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
E) 8
17. 1991 – ÖSS
D ∈ [AC]
D, B, E doğrusal
A
[AC] // [DE]
ESEN YAYINLARI
D
|AN| = |NC|
?
AN açıortay
a
m( EBN) = 25°
B
25°
N
Yukarıda verilenlere
göre DBA açısının
ölçüsü kaç derecedir?
A
|AB| = |AD|
a
m( ABC) = 100°
a
m( CBD) = α
14. 1990 – ÖYS
Şekildeki ABC
B) 35
B
α
α türünden değeri
aşağıdakilerden hangisidir?
C
C
E
C) 40
D
100°
üçgeninde A açısının
A) 100° – 2α
A) 30
?
D) 45
E) 50
B) 100° – α
D) 2α – 20°
C) 2α – 10°
E) α + 10°
18. 1991 – ÖYS
ABC bir üçgen
D, [BC] üzerinde
15. 1990 – ÖYS
AB ⊥ AC
|BD| = |DC|
A
|AB| = 6 birim
45° θ
2 2
2
|AB| = 2 birim
8
K
6 L
|AC| = 8 birim
A
PL // AC
|AC| = 2v2 birim
a
m( BAD) = 45°
a
m( DAC) = θ
Yukarıdaki şekilde ALPK dikdörtgeninin alanı,
Yukarıdaki verilenlere göre, sinθ nın değeri kaç-
LBP ve KPC üçgenlerinin alanları toplamına eşit
tır?
P ∈ [BC]
PK // AB
P
B
C
B
D
C
olduğuna göre, |BP| kaç birimdir?
A) 8
B) 7
C) 6
D) 5
E) 4
A)
2
2
B)
3
2
C)
3
3
D)
1
2
E)
1
3
519
Üçgenler
19. 1991 – ÖYS
22. 1992 – ÖYS
ABC bir dik üçgen
C
A
D, [AB] üzerinde
100°
CD açıortay
x
|BC| = 1 birim
1
|DB| = k birim
?
D
A
B
B
k
den değeri aşağıdakilerden hangisidir?
B) 1 + k2
C)
Yukarıda verilenlere göre ACB açısının ölçüsü
1+k
1– k
kaç derecedir?
3
E) 1 + k3
1– k
2
D) 1 + k2
1– k
C
[AH] ⊥ [BC], |AD| = |BD|
a
a
a
m( BAD) = m( DAH) , m( BAC) = 100°
Yukarıdaki verilenlere göre |AC| = x in k türün-
A) 1 + k
H
D
A) 30
B) 40
C) 45
D) 50
E) 60
23. 1993 – ÖYS
BAC bir dik üçgen
20. 1992 – ÖSS
|AB| = |AC|
x
F
E
3
|BC| = 2 birim
|EF| = x birim
B
2
C
Şekildeki ABC ikizkenar üçgeninde |EF| = x kaç
birimdir?
ESEN YAYINLARI
|AC| = 3 birim
C) 1
D) 5
4
10
[ED] ⊥ [BC]
|AC| = 24 cm
|BE| = 10 cm
24
8
B
C
D
x
|ED| = 8 cm
|BC| = x cm
Yukarıdaki verilere göre |BC| = x kaç cm dir?
A) 26
B) v2
E
D ∈ [BC]
BE ve CF açıortay
A) v3
A
E ∈ [BA]
A
B) 28
C) 30
D) 32
E) 36
E) 6
5
24. 1993 – ÖYS
ABC bir dik üçgen
21. 1992 – ÖSS
A
D ∈ [BC]
AD açıortay
|BD| = u birim
140°
|AB| = x birim
100°
α
x
|DC| = 2u birim
160°
B
u
D
2u
C
Yukarıdaki verilere göre |AB| = x in u türünden
Şekildeki verilenlere göre α açısı kaç derecedir?
A) 25
520
B) 30
C) 35
D) 40
E) 45
değeri aşağıdakilerden hangisidir?
A) uv2
B) uv3
C) 2u
D) 3u
E) 4u
Üçgenler
25. 1993 – ÖYS
28. 1994 – ÖSS
Şekildeki ABC
A
A
üçgeninin dışında
ABC bir üçgen
B
ve B açısının
P
içinde bir P noktası
|AC| = |CE|
a
m( EAD) = 20°
C
alınmıştır.
20°
|AB| = |BD|
B
A(PAB) + A(PBC) sabit olduğuna göre P nin
geometrik yeri nedir?
E
D
C
Yukarıdaki verilere göre BAC açısının ölçüsü
A) Işın
B) Doğru parçası
C) Çember yayı
D) Parabol yayı
kaç derecedir?
A) 150
B) 140
C) 130
D) 120
E) 110
E) Hiperbol yayı
29. 1994 – ÖYS
ABC bir dik üçgen
ACE bir dik üçgen
26. 1993 – ÖSS
ABC bir üçgen
ESEN YAYINLARI
H
A
106°
α
7°
P
B
15
D
|AC| = 15 cm
|CE| = x cm
A) 6
B) 5
D) 10
E) 2v5
E) 11
30. 1995 - ÖSS
A
ABC bir üçgen
E ∈ [AB]
27. 1994 – ÖSS
D
A
[EF] // [BC]
124°
α
[OA ⊥ [OD
a
m( BCD) = 124°
a
m( ABC) = α
C
B
göre
cedir?
B) 146
C) 148
D) 152
C
B
Yukarıdaki şekilde A(AEF) = A(EBCF) olduğuna
O
a
Yukarıdaki verilere göre m( ABC) = α kaç dere-
A) 138
F
E
F ∈ [AC]
B ∈ [OA
C ∈ [OD
B
C) 5v5
D) 3v5
C) 9
10
A
Yukarıdaki verilere göre |CE| = x kaç cm dir?
cedir?
B) 8
E
|AB| = 10 cm
C
a
Yukarıdaki verilere göre m( PAC) = α kaç dere-
A) 7
x
AE açıortay
L
P ∈ [BC]
[PH] ⊥ [BL]
a
m( BAC) = 106°
a
m( APH) = 7°
a
m( PAC) = α
C
E) 154
A)
1
4
AE
AB
B)
oranı kaçtır?
1
3
C)
1
2
D)
1
2
E)
1
3
521
Üçgenler
31. 1995 - ÖSS
34. 1996 - ÖSS
A
[DH] ⊥ [AC]
A
|EF| = |FT|
[AB] ∩ [DH] = L
|FC| = 10 cm
|LA| = 12 cm
|BD| = 24 cm
H
12
Yandaki şekilde
T
|DF| = x cm
A(DBL) = 16 cm2
L
x
olduğuna göre ABC
eşkenar üçgeninin
B
D
B
D
24
C
F
10
C
E
alanı kaç cm2 dir?
Yukarıdaki şekilde [AB] // [TE] olduğuna göre,
A) 110v3
B) 100v3
D) 70
C) 80v3
|DF| = x kaç cm olabilir?
E) 60
A) 4
B) 6
C) 8
D) 10
E) 12
32. 1995 – ÖYS
A
a
m( BAC) = 90°
E
7
35. 1996 – ÖYS
4
|EC| = 4 cm
|BD| = |DC|
B
D
C
Şekildeki verilere göre EBD üçgeninin alanı kaç
cm2 dir?
A) 3
ESEN YAYINLARI
|AB| = 7 cm
ABC bir üçgen
a
m( ABC) = 45°
a
m( BCA) = 30°
|AC| = 6 cm
|AB| = x
B) 4
C) 7
D) 9
A
6
x
45°
30°
B
C
Yukarıdaki verilere göre, |AB| = x kaç cm dir?
E) 11
A) 3v3
B) 2v3
D) 3v2
C) v3
E) 2v2
33. 1996 – ÖSS
A
a
m( BAC) = a°
a
m( ACD) = x°
a
m( BDC) = 40°
|BC| = |CD|
a
D
40°
x
C
B
Yukarıdaki şekilde |AB| = |AC| olduğuna göre,
x in a türünden değeri aşağıdakilerden hangisidir?
Bir eşkenar üçgenin çevresi, alanı 81 cm2 olan
bir karenin çevresine eşittir.
Bu eşkenar üçgenin alanı kaç cm2 dir?
A) a + 10°
B) a + 40°
D) a + 40°
2
522
36. 1996 – ÖSS
C) 2a – 40°
E) a + 10°
2
A) 9v3
B) 18v3
D) 36v3
C) 24v3
E) 48v3
Üçgenler
37. 1997 – ÖSS
40. 1997 – ÖYS
EB // MD
E
|AC| = |BC|
a
m( EAC) = 5α°+10°
a
m( FCD) = 3α°+10°
a
m( ACB) = x
A
5α°+10°
Yandaki şekilde
x
C
M
B) 60
3α°+10° D
üçgen olduğuna
a
göre, m( AFE) = α
F
C) 50
D) 40
α
F
ABC bir eşkenar
Yukarıdaki şekilde |AC| = |BC| olduğuna göre,
a
m( ACB) = x kaç derecedir?
A) 70
A
|EC| = |CD|
a
m( AFE) = α
B
kaç derecedir?
A) 110
B) 105
E
C
B
C) 100
D) 95
D
E) 90
E) 30
38. 1997 – ÖSS
ABC bir eşkenar
41. 1997 – ÖYS
A
ABC bir üçgen
a
m( BAC) = 120°
üçgen
[DE] ⊥ [BC]
D
üçgeninde
DC
2
=
3
DA
•
B
C
E
olduğuna göre,
EB
oranı kaçtır?
EC
A) 3
2
B) 7
2
C) 4
D) 5
x
4
|AB| = 4 cm
ESEN YAYINLARI
Şekildeki ABC eşkenar
A
120°
|BC| = c61 cm
B
|AC| = x cm
C
61
Yukarıdaki verilere göre, |AC| = x kaç cm dir?
A) 5
B) 6
C) 7
D) 8
E) 9
E) 6
39. 1997 – ÖSS
42. 1997 – ÖYS
a
m( AHC) = 90°
a
m( BLC) = 90°
A
a
m( BAC) = 120°
120°
|AB| = |AC|
x
|DB| = |BE|
a
m( AFD) = x
B
F
8
L
|AL| = |LC| = 8 cm
C
E
A
8
|LB| = 6 cm
6
H
B
D
Yukarıdaki şekilde |AB| = |AC| olduğuna göre,
a
m( AFD) = x kaç derecedir?
A) 30
B) 35
C) 40
D) 45
E) 50
Yukarıdaki verilere göre,
A)
1
3
B)
3
4
C)
3
5
C
| AH |
oranı kaçtır?
| HL |
D)
6
5
E)
8
5
523
Üçgenler
43. 1998 – ÖSS
46. 1998 - ÖSS
%
m (BAC) = 90°
%
m (BED) = 90°
E
α
D
A
•
16
4
|DA| = 16 cm
|AC| = 15 cm
A
B
C) 45
•
E
x
C
Yukarıdaki verilere göre |BE| = x kaç cm dir?
A)
cedir?
B) 60
B
|BE| = x
C
a
|AB| = |BC| = |BD| = |CD| = |DE| , m( CED) = α
a
Yukarıdaki verilere göre, m( CED) = α kaç dere-
A) 90
15
D
|BD| = 4 cm
D) 30
16
5
B)
13
5
C) 5
D) 4
E) 3
E) 20
47. 1998 - ÖYS
44. 1998 – ÖSS
a
m( DCA) = 15°
a
m( BDC) = α
%
m (DCA) = 90°
A
D
α
|AB| = |AC| ve
|BD| = |BC|
15°
olduğuna göre
a
m( BDC) = α
B
C
kaç derecedir?
A) 35
B) 40
D) 50
6
B
Yukarıdaki verilere göre, |DB| kaç cm dir?
B) 9
C) 6v2
E) 10v2
ABD bir üçgen
|EC| = 4 cm
15
Yandaki şekilde
N
|AC| = 15 cm
B
9
C
Yukarıdaki verilere göre ANC üçgeninin alanı
kaç cm2 dir?
C)
81
2
D)
135
2
E) 56
4
E
DC
8
=
9
DB
|BC| = 9 cm
135
4
D
|AE| = 6 cm
[CN] açıortay
524
A
48. 1998 – ÖYS
a
m( ABC) = 90°
B)
|AC| = 9 cm
D) 9v2
A
81
4
9
|AB| = 6 cm
E) 55
45. 1998 – ÖSS
A)
|DC| = 3 cm
A) 6
C) 45
C
%
m (CAB) = 90°
ESEN YAYINLARI
Şekilde
3
D
C
6
olduğuna göre
A
L
B
EL
oranı kaçtır?
ED
A) 2
7
B) 3
7
C) 1
14
D) 3
14
E) 1
28
Üçgenler
49. 1998 – ÖYS
ABC bir dik
52. 1999 – ÖSS
a
m( DBC) = 30°
a
m( ADB) = α
A
üçgen
a
m( BAC) = 90°
F
[AE], [BF], [CD]
Yandaki şekilde ABC
x
kenarortayları,
M
C
G
üçgendir.
|AB| = |AC| ve
E
Yukarıdaki şekilde [DM] // [AE] ve |BC| = 12 cm
A) 95
olduğuna göre, |DM| = x kaç cm dir?
B) 3
C) 4
D) 5
ABC bir üçgen
|BD| = 2 cm
|DC| = 8 cm
B 2 D
8
C
Yukarıdaki şekilde ABD üçgeninin alanı 6 cm2
olduğuna göre ABC üçgeninin alanı kaç cm2
dir?
ESEN YAYINLARI
A
C) 28
D) 30
B) 100 C) 105
53. 1999 – ÖSS
a
m( BAC) = 90°
a
m( FDE) = 90°
a
m( ABC) = 40°
a
m( BDF) = 30°
a
m( AEF) = α
C
D) 110
E) 115
A
•
α
E
F
40° 30°
B
•
D
C
Yukarıdaki şekilde, DEF dik üçgeninin köşeleri
ABC dik üçgeninin kenarları üzerindedir.
ABC üçgeni DEF üçgenine benzer olduğuna
a
göre, m( AEF) = α kaç derecedir?
A) 50
B) 26
30°
E) 6
50. 1998 – ÖYS
A) 24
B
|AD| = |BD| olduğuna göre,
a
m( ADB) = α kaç derecedir?
B
kesim noktası
A) 2
α D
ve ABD birer ikizkenar
D
ABC üçgeninin
G kenarortayların
A
B) 70
C) 75
D) 80
E) 85
E) 32
54. 1999 – ÖSS
A
Yandaki ABC
üçgeninde
51. 1998 – ÖYS
a, b, c gerçel sayıları bir üçgenin kenarlarının
uzunlukları olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?
B) a + c > b
C) b – c > a
D) b + c > a
E) a > 0, b > 0, c > 0
|AD| = 5|ED| dir.
D
B
Buna göre taralı
A) a + b > c
E
|BC| = 6|BD| ve
ABCE
C
dörtgeninin alanının
ABC üçgeninin alanına oranı kaçtır?
A)
1
3
B)
2
3
C)
1
4
D)
3
4
E)
1
5
525
Üçgenler
55. 1999 – ÖSS
58. 2001 – ÖSS
ABC bir üçgen
a
m( BCA) > 90°
A
DEFG bir kare
[AH] ⊥ [BC]
G
D
[AE] dış açıortay
•
H
|AD| = |AE|
C
F
Yukarıdaki verilere
B
ninin kenarları üzerindedir.
|AH| = 8 cm ve |BC| = 12 cm olduğuna göre,
A) 60
|DE| = x kaç cm dir?
B) 4,4
C) 4,5
D) 4,6
D
C
göre,
a
a
m( ABC) + m( ACE) toplamı kaç derecedir?
DEFG karesinin köşeleri, şekildeki gibi ABC üçge-
A) 4,3
//
x
E
••
[AD] iç açıortay
|DE| = x
B
A
//
ABC bir üçgen
B) 75
C) 90
D) 135
E
E) 150
E) 4,8
59. 2001 – ÖSS
A
56. 2000 – ÖSS
6
D
C
|DC| = 6 cm
|AB| = 4 cm
|EF| = x
x
E
F
Yukarıdaki verilere göre,
|EF| = x kaç cm dir?
A) 2,1
B) 2,2
A
C) 2,3
4
D) 2,4
B
ESEN YAYINLARI
DC // EF // AB
ABC bir üçgen
a
m( ACD) = 35°
a
m( ABC) = 50°
a
m( DAC) = 25°
25°
50°
B
35°
D
C
Yukarıdaki taslak çizimde verilenlere göre,
aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?
A) |AC| > |AB|
B) |AB| > |BD|
C) |AC| > |AD|
D) |AC| > |DC|
E) |BD| > |AD|
E) 2,5
60. 2001 – ÖSS
|AB| = |AC|
a
m( AEF) = 90°
a
m( CDF) = 90°
57. 2000 – ÖSS
A
|AB| = 5 cm
B
C
a
Şekildeki ABC üçgeninde m( BAC) > 90° oldu-
•
EF
2
=
3
FD
B
olduğuna göre,
ğuna göre, |BC| nin en küçük tam sayı değeri
kaçtır?
526
B) 14
C) 15
F
E, F, D doğrusal
|AC| = 12 cm
A) 13
E
•
A, F, C doğrusal
12
5
A
D) 16
E) 17
A) 3
4
B) 2
5
DC
BD
D
oranı kaçtır?
C) 3
5
D) 2
7
E) 3
7
C
Üçgenler
61. 2002 - ÖSS
64. 2004 - ÖSS
L
H
K 2
D
ABC bir ikizkenar üçgen
A
[DE] ⊥ [BC]
D
8
A
|DF| = 8 cm
|FE| = 3 cm
F
F
|BC| = 10 cm
E
3
B
x
B
C
Yukarıdaki şekilde |AB| = |AC| olduğuna göre
|KE| = 2 cm , |BC| = x
ABC üçgeninin alanı kaç cm2 dir?
Yukarıdaki verilere göre, x kaç cm dir?
B) 18
C) 22
C
10
|AL| = |LH| = |HK| = |KB| , LD // HF // KE // BC
A) 14
E
D) 24
A) 16
E) 26
B) 20
C) 32
D) 35
E) 40
65. 2005 - ÖSS
62. 2003 - ÖSS
AE açıortay
[DF] ⊥ [AB]
|BC| = 12 cm
F
C
12
D
Yukarıdaki şekilde ABC bir eşkenar üçgen olduAlan (ECD)
ğuna göre
oranı kaçtır?
Alan (AFE)
B)
1
2
C)
1
3
D)
2
3
E)
ESEN YAYINLARI
E
F
C
x
AE ⊥ BC
E
|AD| = 6 cm
B
|AC| = 14 cm
|FE| = x
Yukarıdaki şekilde |DF| = |FC| olduğuna göre
x kaç cm dir?
A)
4
3
14
D
üzerinde
B
1
3
6
D noktası [AB]
8
|AE| = 8 cm
A)
A
ABC bir üçgen
A
5
2
B)
7
2
C) 2
D) 3
E) 4
66. 2006 – ÖSS
63. 2004 - ÖSS
A
A
ABC bir eşkenar
üçgen
E
D
|AD| = |CF| = |BE|
G
E
x P
F
B
F
C
D
9
B
C
9
Yukarıdaki şekilde |BF| = 2|FC| olduğuna göre
a
ABC bir dik üçgen, m( BAC) = 90°, |AE| = |EC|
ABC eşkenar üçgeninin çevresinin uzunluğunun
|BD| = |DC| = 9 cm, |BF| = |FG|, |GP| = x
DEF üçgeninin çevresinin uzunluğuna oranı kaçtır?
Yukarıdaki verilere göre x kaç cm dir?
A) v3
A) 1
B) 2v3
C) 3v3
D) v2
E) 3v2
B) 2
C) 3
D) 3
2
E) 5
2
527
Üçgenler
67. 2006 – ÖSS
70. 2008 - ÖSS
ABC bir üçgen
A
F
[BD] açıortay
8
n
|AD| = m cm
B
12
B
D
|FE| = 3 cm olacak biçimde E ve F noktaları
noktasında 2|FK| = |KD| olacak biçimde kesiş-
C) 35
D) 38
E) 40
tiğine göre, |AC| uzunluğu kaç cm dir?
A) 9
B) 12
C) 15
ABC bir üçgen
ABC bir üçgen
ESEN YAYINLARI
25°
|BP| = |PR|
R
|CP| = |PQ|
a
m( BAC) = 25°
a
m( RPQ) = x
Q
x
B
P
C
C) 130
D) 120
D
DE // BC
E
8
|DE| = 8 cm
|BC| = 12 cm
B
12
C
Şekildeki BCED dörtgeninin alanı 60 cm2 olduğuna göre, ADE üçgeninin alanı kaç cm2 dir?
Yukarıdaki verilere göre x kaç derecedir?
A) 42
E) 108
B) 44
C) 46
E) 50
A
ABC bir üçgen
A
D
F
E
x
B
70°
E) 30
E
3
|AD| = |DB|
|AE| = |EC|
|TG| = 3 cm
C
C
B
D) 25
T
G
50°
D
C) 20
ABC bir üçgen
x
60°
Yukarıdaki verilere göre, x kaç derecedir?
528
D) 48
72. 2009 – ÖSS
69. 2008 – ÖSS
B) 15
E) 21
A
A
A) 10
D) 18
71. 2009 – ÖSS
68. 2007 – ÖSS
|AE| = |AF|
a
m( BAD) = 60°
a
m( ADB) = 70°
a
m( ACB) = 50°
a
m( ABF) = x
C
alınıyor. [FD] ve [GE] doğru parçaları bir K
çok kaç cm olabilir?
B) 135
E
Şekildeki ABC üçgeninin [AC] kenarı üzerinde
ğuna göre ABC üçgeninin çevre uzunluğu en
A) 150
3
C
Yukarıdaki şekilde m ve n birer tam sayı oldu-
B) 32
K
|BD| = |DC|
D
|BC| = 12 cm
A) 28
G
|AG| = |GB|
m
|AB| = 8 cm
|DC| = n cm
A
F
|AT| = x
Yukarıdaki verilere göre, x kaç cm dir?
A) 5
B) 6
C) 7
D) 8
E) 9
Üçgenler
73. 2009 – ÖSS
76. 2010 – LYS
Bir ABC üçgeninin iç açılarının ölçüleri a° , b° , c°
|AB| = |AC| olan herhangi bir ABC ikizkenar
ve 4c – b ≤ a olduğuna göre, c en çok kaçtır?
üçgeni için [BC] üzerinde B ve C’ den farklı bir D
A) 25
B) 30
C) 36
D) 42
noktası alınıyor.
E) 45
Buna göre, aşağıdakilerden hangisi kesinlikle
doğrudur?
A) |AB| > |AD|
B) |AB| > |BD|
C) |AB| > |CD|
D) |AD| > |BD
E) |BD| > |AB|
74. 2009 – ÖSS
A
• •
ABC bir üçgen
77. 2010 – LYS
D
B
x
E
Yukarıdaki verilere göre, x kaç derecedir?
B) 45
C) 40
|CA| = |CD|
80°
D
C
A) 50
ABC bir üçgen
A
65°
D) 35
E) 30
ESEN YAYINLARI
AE ve CD açıortay
a
m( EDC) = 65°
a
m( ABC) = x
%
%
m (ACD) = m (DCB)
%
m (BAC) = 80°
x
B
C
%
m (ABC) = x
Yukarıdaki verilere göre, x kaç derecedir?
A) 40
B) 45
C) 50
D) 60
E) 75
75. 2010 – YGS
78. 2010 – LYS
A
B
ABC bir
A
100°
c
ikizkenar üçgen
b
|AB| = |AD|
50°
a
C
B
a
a
ABC bir üçgen, m( ABC) = 50°, m( CAB) = 100°
Yukarıdaki verilere göre,
D
9°
%
m (BCD) = x
x
a–b + b–c + c–a
2
ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir?
%
m (DBC) = 9°
C
Yukarıdaki şekilde |AC| = |BC| olduğuna göre, x
kaç derecedir?
A) a – c
B) a – b
D) b – a
C) b – c
E) c – b
A) 36
B) 39
C) 48
D) 51
E) 54
529
Üçgenler
79. 2010 – LYS
82. 2011 – YGS
ABC bir üçgen
A
D
B
DE // BC
h1
K
E
üçgen
|AK| = h1
h2
[AD] açıortay
a
m( ACB) = 40°
a
m( ADC) = x
|KL| = h2
C
L
Yukarıdaki şekilde ADE üçgeninin alanının BCED
dörtgeninin alanına oranı
1
2
B)
2
3
C)
D)
4
5
40°
D
C
|AC| = |BC| olduğuna göre, x kaç derecedir?
A) 105
3
4
x
B
Yukarıdaki ABC ikizkenar üçgeninde,
A (ADE)
4
oldu=
A (BCED) 21
h
ğuna göre, 1 oranı kaçtır?
h2
A)
A
ABC bir ikizkenar
B) 110
C) 115
D) 120
E) 125
5
6
E)
80. 2010 – LYS
F
E
|BD| = 4 cm
B
4
D
16
|DC| = 16 cm
C
Yukarıdaki şekilde FDC bir eşkenar üçgen olduğuna göre,
A)
1
4
B)
83. 2011 – LYS
ESEN YAYINLARI
ABC bir üçgen
a
m( BAC) = 90°
A
Bir ikizkenar üçgenin eş kenarlarının her birinin
uzunluğu 2c10 cm ve üçüncü kenarının uzunluğu 4 cm olduğuna göre, alanı kaç cm2 dir?
A) 8
B) 9
C) 10
D) 12
E) 14
FA
oranı kaçtır?
AC
3
5
C)
1
7
D)
5
11
E)
3
13
81. 2011 – YGS
84. 2011 – LYS
A
ABC bir üçgen
[AK] açıortay
ABC bir üçgen
D
|AD| = |DC|
|KC| = 4 cm
B
Yukarıdaki verilere göre,
12
|AC| = 12 cm
F
|BF| = |FD|
A
E
AF
FE
C
oranı kaçtır?
|BK| = x
B
x
K
4
C
Şekildeki ABC üçgeninin çevresi 44 cm olduğuna göre, x kaç cm dir?
A)
530
7
2
B)
8
3
C) 2
D)
5
2
E) 3
A) 6
B) 7
C) 8
D)
11
2
E)
13
2
Üçgenler
85. 2011 – LYS
88. 2011 – LYS
Bir ABC üçgeninde [BC] kenarı üzerinde
ABC bir dik üçgen
|BD| = 2|DC| olacak biçimde bir D noktası ve
BA ⊥ AC
[AC] kenarı üzerinde
olacak
|AD| = |DC|
biçimde bir E noktası işaretlenmiştir. ABC üçge-
|EC| = 3 cm
2|AE| = 3|EC|
2
ninin alanı 75 cm olduğuna göre, EDC üçgeni-
|BE| = 9 cm
nin alanı kaç cm2 dir?
|DE| = x
A) 8
B) 10
C) 12
D) 14
A
D
x
B
9
E
3
C
Yukarıdaki verilenlere göre, x kaç cm dir?
E) 15
A)
7
2
B)
10
3
C) 2
D) 3
E) 4
86. 2011 – LYS
A
ABC bir ikizkenar
89. 2011 – LYS
üçgen
|AB| = |AC|
E
3
D
AC ⊥ CE
kenarortay
C
Şekildeki ABC ikizkenar üçgeninin BD ve CE
kenarortayları F noktasında dik kesişmektedir.
Buna göre, ABC ikizkenar üçgeninin alanı kaç
cm2 dir?
ESEN YAYINLARI
B
D
D) 50
x
E
|AC| = 15 cm
|DE| = x
B
Yukarıdaki verilere göre, x kaç cm dir?
A)
C) 48
C
20
|AB| = 20 cm
|EF| = 3 cm
B) 45
15
AE ⊥ BC
F
[BD] ve [CE]
A) 42
A
AB ⊥ AC
15
2
B)
25
3
C)
32
3
D)
27
4
E)
36
5
E) 54
90. 2011 – LYS
87. 2011 – LYS
a
m( BDA) = 60°
a
m( DAB) = 65°
a
m( BCD) = 50°
GF // BC
C
d
D
50°
60°
c
65°
A
hangisidir?
C) c
D) d
G
15
F
8
B
18
C
B
b, c, d ve e ile belirtilen kenarlardan en uzunu
B) b
D
|BC| = 18 cm
|BG| = 8 cm
b
Yukarıdaki şekilde AD//BC dir. Buna göre a,
A) a
[BD] kenarortay
|AC| = 15 cm
e
a
A
E) e
Şekildeki G noktası ABC üçgeninin ağırlık merkezidir. Buna göre, DGF üçgeninin çevresi kaç
cm dir?
A) 11
B) 12
C) 13
D)
23
2
E)
25
2
531
Üçgenler
91. 2012 – LYS
93. 2012 – LYS
A
F
G
B 1 D
E
4
C
ABC bir dik üçgen
DEFG bir dikdörtgen
BA ⊥ AC
|AG| = |GB|
|BD| = 1 cm
|EC| = 4 cm
D
x
C
4
A
2
ABCD bir dik yamuk
a
a
m( DAB) = m( BAE)
B
AB ⊥ CE
|BC|= 2 cm
|AD| = 4 cm
7
|AE| = 7 cm
Yukarıdaki verilere göre, DEFG dikdörtgeninin
çevresi kaç cm dir?
A) 14
B) 16
C) 18
D) 20
E) 22
Yukarıdaki verilere göre, x kaç cm dir?
92. 2012 – LYS
A
ABC bir eşkenar üçgen
BDC bir ikizkenar üçgen
G
6
120°
|BD| = |DC| = 6 cm
a
m( CDB) = 120°
H
D
6
C
Şekildeki ABC eşkenar üçgeninin ve BDC ikizkenar üçgeninin ağırlık merkezleri sırasıyla G ve H
noktalarıdır. Buna göre, |GH| uzunluğu kaç cm
dir?
B) v3 + 2
A) 2v3 + 1
D) 4
532
C)
E) 5
9
2
ESEN YAYINLARI
A)
B
|DC| = x
E
5
2
B)
8
3
C)
9
4
D)
2 5
3
E)
3 3
2
Download

Üçgenlerin Eşliği