KARMAŞIK SAYILAR − 2
( KARMAŞIK SAYI MODÜL VE ÖZELLİKLERİ − İKİ KARMAŞIK SAYI ARASI UZAKLIK − DÜZLEMDE BELİRTTİĞİ BÖLGELER )
BİR KARMAŞIK SAYININ MUTLAK DEĞERI
(MODÜLÜ)
MUTLAK DEĞERLE (MODÜL) İLGİLİ
ÖZELLİKLER
K a r m a ş ık d ü zl e m d e , b i r k a r m a ş ık s a yı ya
k ar ş ı l ı k g e l e n n ok t a n ı n ( A n o k t a s ı n ı n ) ,
b a ş l a n g ı ç n ok t a s ı n a u zak l ı ğ ı n a b u
s a yı n ı n m u t l ak d e ğ e r i ( m o d ü l ü ) d e n i r v e
∣z∣ ş ek l i n d e g ö s t e r i l i r.
1 ) ∣z∣=∣−z∣=∣i.z∣=∣̄z∣=...
2)
∣z1. z2∣=∣z1∣.∣z2∣
z
z2
∣z1∣
∣z2∣
3 ) ∣ 1∣=
4 ) ∣zn1∣=∣z1∣n
5 ) z.̄z =∣z∣2
6 ) ∣∣z1∣−∣z2∣∣⩽∣z1 +z2∣⩽∣z1∣+∣z2∣
ALI Ş TI RM AL AR
z=x+iy
ise
d i r.
UYARI
M o d ü l , m u t l ak d e ğ e r v e n o r m g i b i u za k l ık
anlamı taşıdığından negatif olamaz .
www.matbaz.com
A ş a ğ ıd a k i s a yıl a r ın m o d ü l l e r i n i b u l u n u z.
6+6i
1−i
1)
z=
2)
z=(−4+2i)2
3)
z=
7−24i
(1+2i)2
4)
z=
√
Örnek...1 :
z= − 7+ 2 4 i k a rm a ş ı k s a yı s ı n ı n m od ü l ü n ü
b u l a r ak k ar m a ş ık d ü zl e m d e g ö s t e r e l im .
Örnek...2 :
(3−2i)4
5i−12
z = 1 5 − ( m + 7 ) i v e ∣z∣ = 1 7 o l d u ğ u n a g ö r e , m
n i n a l a b i l e c e ğ i d e ğ e r l e r i n t o p l am ı n ı b u l a l ım .
11. Sınıf Matematik Konu Anlatımı 2014−2015
1/6
KARMAŞIK SAYILAR − 2
( KARMAŞIK SAYI MODÜL VE ÖZELLİKLERİ − İKİ KARMAŞIK SAYI ARASI UZAKLIK − DÜZLEMDE BELİRTTİĞİ BÖLGELER )
İKİ KARMAŞIK SAYI ARASINDAKİ UZAKLIK
Örnek...3 :
z=
z2=x2+i.y2
k a rm a ş ık s a yıl a r ı
a r a s ı n d ak i
u za k l ık , b u
s a yıl a r a k ar ş ıl ık
gelen noktalar
(A1 ve A2)
a r a s ı n d ak i
u za k l ı ğ a e ş i t t i r.
z v e z s a yı l a r ı
Örnek...4 :
√
1
2
(4i−3)
z=
6i−8
4
y
z1=x1+i.y1 ve
m−n.i
i s e ̄z . z=?
m+i.n
A1
y1
A2
y2
O
x1
x2
x
2
a r a s ı n d ak i u zak l ık ∣z1−z2∣ i l e g ö s t e r i l i r v e
i s e ∣−i.z∣=?
∣z1−z2∣= √ (x1 −x2 )2 +(y 1−y 2)2
o l a r ak h e s a p l a n ır.
Örnek...5 :
i s a n a l s a yı b i r i m i v e z = x+ i y o l m ak ü ze r e ,
z− ∣z∣ = 1 + 2 i o l d u ğ u n a g ö r e , x − y= ?
www.matbaz.com
Örnek...7 :
z 1 = 2 + 7 i v e z 2 = 3 − 5 i s a yı l a r ı a r a s ı u za k l ık k a ç
birimdir?
Örnek...8 :
z = a + 3 i v e z = 4 − 2 i s a yı l a r ı a r a s ı u za k l ık 1 3
1
2
b i r i m s e a n ın a l a c a ğ ı d e ğ e r l e r ç a r p ım ı
k aç t ır ?
Örnek...6 :
z = 1+cos700+isin700
o l d u ğ u n a g ö r e z s a yı s ı n ı n m o d ü l ü n ü b u l u n u z.
Örnek...9 :
K a r m a ş ık d ü zl e m d e z 1 = 7 + 5 i v e z 2 = − 1− 3 i
s a yı l a r ı v e r i l i yo r. z 1 v e z 2 s a yıl a r ın a e ş i t
m es a f e d e b u l u n a n s a yı l a r ı n g e o m e t r ik ye r i n i
b u l u n u z.
11. Sınıf Matematik Konu Anlatımı 2014−2015
2/6
KARMAŞIK SAYILAR − 2
( KARMAŞIK SAYI MODÜL VE ÖZELLİKLERİ − İKİ KARMAŞIK SAYI ARASI UZAKLIK − DÜZLEMDE BELİRTTİĞİ BÖLGELER )
UYARI
Örnek...12 :
z = x + yi o l m ak ü ze r e ; ∣z−4−3i∣>1 k oş u l u n u
s a ğ l a ya n z k a rm a ş ık s a yıl a r ı n ı d ü zl em d e
gösterelim.
1 ) z 0 = a + i b o l m a k ü ze r e ∣z−z0∣=r e ş i t l i ğ i n i
s a ğ l a ya n z k a rm a ş ı k s a yı l a r ı ; m er k e zi z 0
ya n i M ( a , b ) , ya r ı ç a p ı r o l a n ç e m b e r
ü ze r i n d e k i n ok t a l a r k üm e s i d i r.
2 ) z 0 = a + i b o l m a k ü ze r e ∣z−z0∣<r e ş i t l i ğ i n i
s a ğ l a ya n z k a rm a ş ı k s a yı l a r ı ; m er k e zi
M ( a , b ) , ya r ı ç a p ı r o l a n ç em b e r i n i ç
b ö l g e s i n d e k i n ok t a l a r k üm e s i d i r.
3 ) z 0 = a + i b o l m a k ü ze r e ∣z−z0∣>r e ş i t l i ğ i n i
s a ğ l a ya n z k a rm a ş ı k s a yı l a r ı ; m er k e zi
M ( a , b ) , ya r ı ç a p ı r o l a n ç em b e r d ı ş ı n d a k i
n o k t a l a r k üm e s i d i r.
4 ) z 0 = a + i b v e z 1 = c + i d o l m a k ü ze r e
∣z−z0∣=∣z−z1∣ e ş i t l i ğ i n i s a ğ l a ya n z
k ar m a ş ık s a yı l a r ı d ü zl e m d e d o ğ r u b e l i r t i r.
Örnek...13 :
z = x + yi o l m ak ü ze r e ; 1⩽∣z−1+2i∣<2
k oş u l u n u s a ğ l a ya n z k ar m a ş ık s a yı l a r ı n ı
d ü zl e m d e g ö s t e r e l im .
K = { z: ∣z−(3+5i)∣=1, z∈ℂ }
k üm e s i n i k ar m a ş ık d ü zl em d e g ö s t e r e l im .
www.matbaz.com
Örnek...10 :
Örnek...14 :
Örnek...11 :
z = x + yi o l m ak ü ze r e ; ∣z−2i∣=∣z−1∣ k oş u l u n u
s a ğ l a ya n z k a rm a ş ık s a yıl a r ı n ı d ü zl em d e
gösterelim.
K = { z: ∣z−2+3i∣<3, z∈ℂ }
k üm e s i n i k ar m a ş ık d ü zl em d e g ö s t e r e l im .
11. Sınıf Matematik Konu Anlatımı 2014−2015
3/6
KARMAŞIK SAYILAR − 2
( KARMAŞIK SAYI MODÜL VE ÖZELLİKLERİ − İKİ KARMAŞIK SAYI ARASI UZAKLIK − DÜZLEMDE BELİRTTİĞİ BÖLGELER )
Örnek...15 :
z = x + yi o lm a k ü ze r e ; ∣z−i∣⩽∣z+2∣ k oş u l u n u
s a ğ l a ya n z k ar m a ş ık s a yı l a r ı n ı d ü zl e m d e
g ö s t e r e l im .
Örnek...16 :
www.matbaz.com
z k a rm a ş ı k s a yı s ı i ç i n ∣z−5i−12∣⩽4 i s e z n i n
o r i j i n e u zak l ı ğ ı e n ç o k k a ç o l u r ?
11. Sınıf Matematik Konu Anlatımı 2014−2015
4/6
KARMAŞIK SAYILAR − 2
( KARMAŞIK SAYI MODÜL VE ÖZELLİKLERİ − İKİ KARMAŞIK SAYI ARASI UZAKLIK − DÜZLEMDE BELİRTTİĞİ BÖLGELER )
DEĞERLENDİRME – 1
2)
K= { z: ∣z−5 +7i∣<2, z∈ℂ } k üm e s i n e a i t b i r
n ok t a n ı n k ar m a ş ık d ü zl e m d e o r j i n e
u za k l ı ğ ı e n a z k aç b i r i m d i r ?
6)
z = x + yi o lm a k ü ze r e ; 2⩽∣z−1+2i∣<6
k o ş u l u n u s a ğ l a ya n z k a rm a ş ık s a yıl a r ın ı n
d ü zl em d e b u l u n d u ğ u b ö l g e n i n a l a n ın ı
bulunuz.
7)
z = x + yi o lm a k ü ze r e ; ∣z−3∣=∣z−i∣
k o ş u l u n u s a ğ l a ya n z k a rm a ş ık s a yıl a r ın a
k a r ş ıl ık g e l e n d o ğ r u n u n ek s e n l e r l e
s ın ır l a d ı ğ ı b ö l g e n i n a l a n ın ı b u l u n u z .
8)
w 0 , w 1 k a rm a ş ık s a yıl a r ı i ç i n
∣w 1−1−2i∣=2 ,∣w 2+4 +3i∣=1 i s e ∣w 1−w 2∣ e n a z
k a ç t ır ?
z−8+9i = m + m i v e ∣z∣ = 2 5 o l d u ğ u n a
göre, m nin alabileceği değerlerin
toplamı kaçtır?
z=
√
(4−2i)3
s a yı s ı n ı n m od ü l ü k aç t ı r ?
6i−3
3)
0<x<π v e z= 1 + c o s x + i . s i n x o l d u ğ u n a
g ö r e , z s a yı s ı n ı n m o d ü l ü n e d i r ?
4)
K a r m a ş ık d ü zl e m d e z 1 = 5 + 9 i v e z 2 = − 3+ 11 i
s a yı l a r ı v e r i l i yo r. z 1 v e z 2 s a yı l a r ı n a e ş i t
m es a f e d e b u l u n a n s a yı l a r ı n g e o m e t r ik
ye r i n i b u l u n u z.
11. Sınıf Matematik Konu Anlatımı 2014−2015
www.matbaz.com
1)
5)
5/6
KARMAŞIK SAYILAR − 2
( KARMAŞIK SAYI MODÜL VE ÖZELLİKLERİ − İKİ KARMAŞIK SAYI ARASI UZAKLIK − DÜZLEMDE BELİRTTİĞİ BÖLGELER )
DEĞERLENDİRME – 2
5)
x−2y=1 , 2x +y=2 doğrularınının kesim
noktasının ∣z−5+3i∣≤2 bölgesine en yakın
uzaklığı kaç birimdir?
6)
x=3+2sin2t y=−2+2cos2t parametrik
denklemi ∣z−a−b.i∣=c şeklinde ifade edilirse
A={z∈ℂ , ∣z−1−i∣≤1}
B={z∈ℂ , ∣I m(z)∣≤1, ∣R e(z)∣≤1} veriliyor.
z1, z2 ∈A∩B ise ∣z1−z2∣ en çok kaçtır?
2) z=x+iy olmak üzere, ∣z+1−3i∣=2 eşitliğini
sağlayan z sayılarının geometrik yerini
bulunuz?
3)
z1=2+cosx +i sinx ve z2=3cos2x+i sinx
veriliyor. ∣z1∣=3 için ∣z2∣=?
∣z−3∣=∣z−2 +2i∣ doğrusuna dik olan ve (2,1)
noktasından geçen doğru x eksenini hangi
noktada keser?
11. Sınıf Matematik Konu Anlatımı 2014−2015
www.matbaz.com
1)
4)
a2 +b2 +c 2=?
6/6
Download

Karmaşık Sayılar 2.Bölüm