1. ÜNİTE
ÖRNEK:
SAYMA KURALLARI
A şehrinden B şehrine 2 farklı, B şehrinden C
şehrine 3 farklı yol vardır. A şehrinden C ye B ye
uğramak koşuluyla kaç farklı yoldan gidilebilir?
1. Birebir Eşleme Yoluyla Sayma
Bir kümenin eleman sayısını, sayma sayılar
kümesinin elemanlarıyla bire bir eşleyerek
bulmaya bire bir eşleyerek sayma denir.
ÇÖZÜM:
A dan B ye yollar
Örneğin; bir sınıftaki öğrenci sayısını birebir
eşleme yoluyla sayarak bulabiliriz.
B den C ye yollar
2. Toplama Yoluyla Sayma
A dan C ye yollar
olsun
olsun
Gruplara ayrılmış nesneleri sayarken toplama
yoluyla sayma yöntemini kullanırız.
3.2=6 farklı yoldan gidilebilir.
Örneğin; bir sınıfta 15 kız ve 17 erkek öğrenci
varsa, toplam öğrenci sayısını bulmak için
öğrencileri eşleme yoluyla saymamıza gerek
yoktur. Kız ve erkek öğrencilerin sayılarını
toplayarak toplam öğrenci sayısını bulabiliriz.
FAKTÖRİYEL
TANIM: 1 den n ye kadar olan doğal sayıların
çarpımına n! denir.
n! = 1.2.3.4....n dir.
ÖRNEK:
Özellikleri:
Bir sınıftaki 12 kız ve 17 erkek arasından bir
başkan seçilecektir.
Bu seçim kaç farklı şekilde yapılabilir?
ÇÖZÜM:
12 kız ve 17 erkek öğrenci varsa toplam 12+17=29
farklı seçim yapılabilir.
3. Çarpma Yoluyla Sayma
Gruplara ayrılmış nesneleri sayarken her bir
grupta eşit sayıda eleman varsa, eleman sayısı ile
grup sayısını çarparak toplam eleman sayısını
bulabiliriz.

n! = n.(n-1).(n-2)......1

n! = n.(n-1).(n-2)!

0! = 1
1! = 1
2! = 2
3! = 6
4! = 24
5! = 120
Not : 5! ve ondan sonra gelen bütün ifadelerin
birler basamağı 0 dır.
ÖRNEK:
Örneğin; bir okulda 7 sınıf ve her sınıfta 12
öğrenci varsa, bu okuldaki toplam öğrenci sayısını
bulmak için sınıf sayısıyla bir sınıftaki öğrenci
sayısını çarpabiliriz.
işleminin sonucu kaçtır?
1
ÇÖZÜM:
ÖRNEK:
işleminin sonucu nedir?
30 dur.
ÇÖZÜM:
ÖRNEK:
işleminin sonucunu kaçtır?
ÖRNEK:
ÇÖZÜM:
eşitliğini sağlayan n değeri nedir?
dur.
ÇÖZÜM:
ÖRNEK:
6 olduğuna göre a nın alabileceği değerleri
bulunuz.
dir.
ÇÖZÜM:
ÖRNEK:
Birbirinden farklı 3 matematik, 2 fizik, 4 geometri
kitabı bir rafa kaç farklı şekilde dizilebilir?
a nın alabileceği değerler {3,6} dır.
ÇÖZÜM:
PERMÜTASYON (SIRALAMA)
Toplam kitap sayısı 3+2+4=9 olduğundan 9!
şeklinde dizilebilir.
TANIM: n tane nesnenin r li sıralanışlarının
sayısına n nin r li permütasyonu denir.
ÖRNEK:
P(n,r) ile gösterilir.
Anne, baba ve 3 çocuktan oluşan bir aile yan yana
fotoğraf çektirecektir.
dir.
a) Kaç farklı şekilde fotograf çektirebilir?
b) Anne ve baba yanyana olmak koşuluyla kaç
farklı şekilde fotoğraf çektirebilir?
PRATİK YOL:
3 adım açarız.
c) Anne be baba yan yana olmamak şartıyla kaç
farklı şekilde fotoğraf çektirebilir?
2
ÇÖZÜM:
ÖRNEK:
a) Toplam 5 kişi olduğundan 5!=120 farklı şekilde
fotoğraf çektirebilir.
kümesinin
elemanları
kullanılarak 3 basamaklı rakamları farklı kaç farklı
sayı yazılabilir.
b)
ÇÖZÜM:
Anne ve baba tek kişi gibi düşündüğümüzde 4
kişi 4! şeklinde sıralanabilir. Anne ve babanın
kendi arasında yer değiştirmesi 2! dir.
5
Tüm sıralama 4!.2! =48 farklı şekilde sıralanabilir.
5
4
= 100 farklı sayı yazılabilir.
ÖRNEK:
3 farklı mektup, 4 farklı posta kutusuna kaç farklı
şekilde atılabilir?
c) Tüm durumdan yan yana olduğu durumları
çıkarırsak yan yana olmadığı durumları buluruz.
ÇÖZÜM:
dir.
ÖRNEK:
kümesinin
rakamları farklı
basamaklı
yazılabilir?
elemanlarıyla 3
kaç farklı sayı
Her mektup için 4 farklı posta kutusu vardır.
Birinci mektup için 4 durum
İkinci mektup için 4 durum
ÇÖZÜM:
Üçüncü mektup için 4 durum
ÖRNEK:
ÖRNEK:
kümesinin
elemanları
kullanılarak 3 basamaklı kaç farklı sayı yazılabilir?
3 farklı mektup 5 farklı posta kutusuna her kutuda
en fazla 1 mektup olmak şartıyla kaç farklı şekilde
atılabilir?
ÇÖZÜM:
0 yüzler basamağına kullanılamayacağından bu
basamağa diğer beş rakamı kullanırız.
5
6
6
ÇÖZÜM:
Birinci mektubun atıldığı kutuya ikinci mektup
atılamaz. Birinci ve ikinci mektubun atıldığı
kutulara 3. mektup atılamaz. Bu durumda ;
=180 farklı sayı yazılabilir.
3
ÖRNEK:
Birinci mektup için 5 durum
7 elemanlı bir kümenin 3 elemanlı alt küme sayısı
kaçtır?
İkinci mektup için 4 durum
Üçüncü mektup için 3 durum
farklı şekilde dağıtılabilir.
ÇÖZÜM:
KOMBİNASYON (GURUPLAMA)
TANIM: n ve r doğal sayı ve
olmak
koşuluyla n elemanlı bir kümenin r elemanlı alt
kümelerinden her birine n nin r li kombinasyonu
denir.
ÖRNEK:
3 elemanlı alt küme sayısı ile 5 elemanlı alt küme
sayısı birbirine eşit olan bir kümenin 6 elemanlı alt
küme sayısı kaçtır?
n elemanlı bir kümenin r li kombinasyonlarının
sayısı ;
ÇÖZÜM:
şeklinde gösterilir.
dir.
8 elemanlı bir kümenin 6 elemanlı alt küme sayısı
Özellikleri:
28 dir.
1.
2.
3.
4.
ÖRNEK:
10 kişilik bir gruptan 3 kişilik bir ekip seçilecektir.
Bu seçim kaç farklı şekilde yapılabilir?
5.
6.
7.
8.
ÇÖZÜM:
9.
10 kişiden 3 ü
farklı şekilde seçilebilir.
ÖRNEK:
işleminin sonucu kaçtır?
ÖRNEK:
kümesinin 3 elemanlı alt
kümelerinin kaçında tanesinde
ÇÖZÜM:
a) a bulunur?
b) b bulunur, c bulunmaz?
c) a veya c bulunur?
4
ÇÖZÜM:
ÖRNEK:
a)
Düzlemde herhangi üçü paralel olmayan 7 doğru
en fazla kaç noktada kesişir?
a
a yı kümeye alırız. Geriye kalan 5 elemandan 2
tanesini seçeriz.
ÇÖZÜM:
10 tanesinde a bulunur.
Düzlemde iki doğru en fazla bir noktada kesişir. 7
= 21 farklı noktada kesişir.
doğru
b)
ÖRNEK:
b
Aynı düzlemde bulunan 6 farklı çember en fazla
kaç noktada kesişir?
b yi kümeye alırız c istenmediği için geriye kalan 4
elemandan 2 tanesini seçeriz.
6 tanesinde b bulunur c bulunmaz.
ÇÖZÜM:
c) a veya c den en az birinin bulunması yeterli.
Tüm durumdan a ve c nin bulunmadığı
durumları çıkarırız.
Düzlemde iki çember en fazla iki noktada kesişir. 6
çember
20 - 4 = 16 dır.
30 farklı noktada kesişir.
ÖRNEK:
A
ÖRNEK:
B
Yukarıdaki şekilde yatay ve düşey doğrular kendi
aralarında paraleldir. Bu doğrularla kaç farklı
paralelkenar oluşmuştur?
C
Yukarıdaki şekilde kaç tane üçgen vardır?
ÇÖZÜM:
ÇÖZÜM:
Üçgenlerin bir köşesi A olmak zorundadır. Diğer iki
köşe [BC] kenarı üzerindeki 7 noktadan seçilir.
Paralelkenar oluşturmak için yatayda ve düşeyde
iki doğru seçeriz.
21 tane üçgen vardır.
5
ÖRNEK:
ÖRNEK:
açılımının sabit terimi kaçtır?
ÇÖZÜM:
Bir açılımda sabit terimi bulmak için değişkenler
yerine 0 yazılır.
Köşeleri yukarıdaki 7 nokta üzerinde olan kaç
farklı üçgen oluşturulabilir?
dır.
ÖRNEK:
ÇÖZÜM:
açılımında 6. terim nedir?
7 nokta arasından seçilecek üçlü seçimlerin sayısı
kadar olacaktır. Dolayısıyla;
ÇÖZÜM:
6. terim için
35 tane üçgen oluşturulabilir.
tür.
dir.
ÖRNEK:
BİNOM AÇILIMI
açılımında ortanca terim nedir?
n pozitif tam sayı olmak üzere,
ifadesinin açılımına binom açılımı denir.
x in azalan kuvvetlerine göre açılımı ;
ÇÖZÜM:
Açılımda 9 terim var ve ortanca terim 5. terimdir.
şeklindedir.

Açılımda katsayılar toplamı x=y=1 alınarak
bulunur.

Açılımda n+1 tane terim vardır.

Her terimde x ve y nin kuvvetleri toplamı n dir.

Açılımın genel terimi

ÖRNEK:
açılımında bir terim
göre k kaçtır?
dir.
açılımında
ortanca
olduğuna
ÇÖZÜM:
terim
ise
ÖRNEK:
açılımının katsayılar toplamını kaçtır?
ise
ÇÖZÜM:
ÖRNEK:
Bir açılımda katsayılar toplamını bulmak için
değişkenler yerine 1 yazılır.
açılımında
kaçtır?
dir.
6
lü terimin katsayısı
ÇÖZÜM:
7. Aynı düzlem üzerinde bulunan 7 çember
en çok kaç farklı noktada kesişir?
8.
Yukarıda şekilde kaç farklı dikdörtgen
vardır?
BÖLÜM DEĞERLENDİRME SORULARI
1. Murat 3 fizik, 2 kimya ve 4 matematik
kitabını aynı kitaplar yan yana olmak
koşuluyla kaç farklı şekilde sıralayabilir?
9.
A
D
2.
kümesinin elemanları
kullanılarak 3 basamaklı rakamları farklı
kaç tamsayı yazılabilir?
E
B
C
Yukarıda verilen şekilde kaç farklı üçgen
vardır?
3. A dan B ye üç farklı yol ve B den C ye beş
farklı yol vardır. A dan C ye gidip geri
dönen birisi kaç farklı yoldan gidip
dönebilir?
10.
ifadesinin açılımını yapınız?
11.
açılımında katsayılar toplamı
kaçtır?
4.
5.
6.
işleminin
sonucunu
ise
n
bulunuz.
12.
kaçtır?
işleminin
sonucunun birler basamağındaki rakam
kaçtır?
13.
7
açılımında bir terim
olduğuna göre k kaçtır?
açılımının sabit terimi nedir?
Download

İndir (PDF, 1.5MB)