TEMELSAYMA KURALLARI
Örnek
SAYMA
10 kız, 8 erkek öğrenci arasından bir başkan ve
bir yardımcı seçilecektir.
ToplamaYoluylaSayma
A ve B sonlu ve ayrık kümeler olmak üzere, bu iki kü-
a) Kaç farklı şekilde seçim yapılır?
menin birleşiminin eleman sayısı;
b) Başkanın kız, yardımcısının erkek olması koşuluyla kaç farklı seçim yapılır?
s(A,B) = s(A) + s(B) dir.
c) İkisinin kız veya ikisinin erkek olması koşuluyla kaç farklı seçim yapılır?
Sonlu ve ayrık iki kümenin birleşiminin eleman sayısını bu yolla bulmaya toplama yoluyla sayma denir.
Örnek
Buna göre, Deniz'in kaç farklı seçeneği olduğunu bulalım.
Matematik -K.Karahan
Deniz 4 farklı şeker ile 3 farklı çikolatadan birini
arkadaşına vermek istiyor.
Örnek
3 farklı mektup zarfı 4 farklı posta kutusuna;
a) Kaç farklı şekilde atılır?
b) Her posta kutusuna en çok bir tane atılması
koşulu ile kaç farklı şekilde atılır?
Örnek
ÇarpmaYoluylaSayma
A
B
C
İkişer ikişer ayrık ve her biri a elemanlı b tane kümenin birleşiminin eleman sayısı a·b dir. Birleşim kümesinin
AkentindenBkentine5farklıyol,BkentindenC
eleman sayısını bu şekilde bulmaya çarpma yoluyla sayma
kentine3farklıyolvardır.
denir.
a) A dan C ye gidecek olan bir kimse kaç değişik
yoldan gidebilir?
Örnek
17 kişilik bir sınıftan bir başkan ve bir yardımcı kaç farklı şekilde seçilir?
b) A dan C ye gidip tekrar A ya gelen bir kimse
aynı yoldan bir daha geçmemek üzere, kaç farklı
biçimde gidip dönebilir?
Örnek
Örnek
5 farklı sınava giren bir öğrencinin sınavları
başarı yönünden kaç farklı şekilde sonuçlanabilir?
A
B
C
Şekilde A, B ve C kentleri arasında yollar görülmektedir.
Buna göre, bir kimseA kentinden C kentine kaç
değişikyollagidebilir?
Örnek
BERKCAN kelimesindeki harfler kullanılarak anlamlı ya da anlamsız üç harften oluşan;
b) Farklı harflerden oluşan kaç kelime yazılır?
c) C ile başlayan kaç farklı kelime yazılır?
Matematik -K.Karahan
a) Kaç farklı kelime yazılır?
Örnek
5 seçenekten oluşan 5 farklı sorunun
her birinin cevabı farklı olacak şekilde
kaç farklı şekilde hazırlanır?
Örnek
10 kişinin katıldığı bir koşuda ilk üç derece kaç
farklıbiçimdesıralanabilir?
Örnek
3kişi4kişilikbirbankakaçdeğişikbiçimdeoturabilir?
Örnek
12 kişinin katıldığı bir toplantıda herkes birbirleri ile
tokalaşıyor.
Bunagöre,kaçdefatokalaşmayapılmıştır?
Örnek
Yukarıdaki 16 tane birim kareden oluşan
şekilde her satır ve sütunda yalnız bir kare
taranarak kaç farklı desen elde edilir?
Örnek
Örnek
{0, 1, 2, 3, 4} kümesinin elemanları kullanılarak üç basamaklı,
{0, 1, 5, 7, 8} kümesinin elemanları kul-
a) Kaç farklı doğal sayı yazılabilir?
üç basamaklı kaç sayı yazılır?
lanılarak en az iki basamağı aynı olan
b) Kaç farklı tek sayı yazılabilir?
c) Kaç farklı çift sayı yazılabilir?
d) Rakamları farklı kaç sayı yazılabilir?
e) Rakamları farklı kaç tek sayı yazılabilir?
f)
Rakamları farklı kaç çift sayı yazılabilir?
g) 300 den büyük kaç sayı yazılabilir?
FAKTÖRİYEL
h) 230 dan büyük kaç sayı yazılabilir?
ı)
n ! N+ olmak üzere 1 den n ye kadar olan doğal sayıların çarpımına n faktöriyel denir ve n! ile gösterilir.
Rakamları farklı 300 den küçük kaç sayı yazılabilir?
n! = 1 · 2 · 3 · 4 · ...... (n – 1) · n
0! = 1
1! = 1
Matematik -K.Karahan
2! = 1 · 2 = 2
3! = 1 · 2 · 3 = 6
4! = 1 · 2 · 3 · 4 = 24
5! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 = 120
... ... ... ... ... ...
n! = 1 · 2 · 3 · ...... · n
n! = (n – 1)! · n
Örnek
Aşağıdakiişlemlerisadeleştirelim.
Örnek
a)
5!
=
4!
b)
6!
=
3!
c)
6! + 7!
=
6!
d)
(n + 1)!
=
(n - 1)!
{0, 1, 2, 3, 4, 5} kümesinin elemanları
kullanılarak rakamları farklı 4 basamaklı
5 ile tam bölünebilen kaç sayı yazılır?
Örnek
{0, 1, 2, 3, 4} kümesinin elemanları ile
rakamları farklı üç basamaklı sayılar yazılıp küçükten büyüğe doğru sıralandığında baştan 26. sayı kaç olur?
Örnek
Örnek
n!
54!sayısınınsondankaçbasamağısıfırdır?
_ n – 2i !
Örnek
= 42 olduğuna göre, n sayısı kaçtır?
Örnek
0! + 1! + 2! + 3! + ... + 36!
toplamının9ilebölümündenkalankaçtır?
toplamının birler basamağındaki rakam kaçtır?
Örnek
47! – 1
sayısınınsondankaçbasamağı9dur?
Matematik -K.Karahan
0! + 1! + 2! + 3! + ... + 100!
Örnek
1! + 2! + 3! + ... + 48!
toplamının 36 ile bölümünden kalan kaçtır?
Örnek
35! = 2n · a
eşitliğindeateksayıolduğunagöre,nkaçtır?
PERMÜTASYON (Sıralama)
n, r!N+ ve n ≥ r olmak üzere, n elemanlı bir kümenin
birbirinden farklı r tane elemanının bir sıra üzerinde farkı
her dizilişine n nin r li permütasyonu denir. P(n,r) ile gösterilir.
n elemanlı bir kümenin r li permütasyonlarının sayısı
P(n,r) =
Örnek
n!
veya
(n - r)!
P(n,r) = n · (n – 1) · (n – 2) ..... (n – r + 1) dir.
(n + 1)!
= 20
(n - 1)!
olduğunagöre,nkaçtır?
Örnek
P(6, 2) + P(5, 1) işleminin sonucu kaçtır?
Örnek
Örnek
A = {a, b, c, d, e}
Aşağıdakipermütasyonlarıhesaplayınız.
kümesininikilipermütasyonlarınınsayısınıbulunuz.
a) P(5,3) =
b) P(6,2) =
Örnek
c) P(7,3) =
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
kümesinin üçlü permütasyonlarının kaç tanesinde 7 daima bulunur?
e) P(5,5) =
Örnek
P(n, 2) + P(n, 3) =16n denklemini sağlayan n de
ğeri kaçtır?
Matematik -K.Karahan
d) P(8,1) =
Örnek
{1, 2, 3, 4, 5, 6} kümesinin 3'lü permütasyonları
nın kaç tanesinde,
a) 2 bulunmaz?
b) 2 bulunur?
c) 1 bulunmaz, 3 bulunur?
Örnek
Birbirinden farklı 4 matematik, 2 fizik, 3 Türkçe
kitabı bir rafa,
a) Kaç farklı şekilde sıralanır?
b) Matematik kitapları yan yana olmak şartıy
la kaç farklı şekilde sıralanır?
c) Aynı tür kitaplar yan yana olmak üzere kaç
farklı şekilde sıralanır?
d) Fizik kitaplarından biri rafın başında diğer
biri rafın sonunda olmak üzere kaç farklı
şekilde sıralanır?
Örnek
Örnek
KARDEŞ
5 kız ve 3 erkek öğrenci kızlar ve erkekler bir
kelimesindeki harflerin yerleri değiştirilerek
aradaolmaküzerekaçfarklışekildefotoğrafçek-
anlamlıyadaanlamsızkaçfarklıkelimeyazılabi-
tirirler?
lir?
Örnek
A = {a, b, c, d, e, f, g} kümesinin elemanları kullanılarak
Örnek
anlamlı veya anlamsız 4 harfli;
Beyza ile Tuğçe'ninde aralarında bulunduğu 6 arka-
daş yan yana fotoğraf çektirecektir.
Beyza ile Tuğçe yan yana olmamak üzere kaç
farklıbiçimdesıralanabilir?
a.
Kaç değişik kelime
b.
Harfleri birbirinden farklı kaç değişik kelime
c.
Sesli harfle başlayıp, sesli harfle biten harfleri birbirinden farklı
kaç değişik kelime,
d.
Örnek
Aralarında Berke ve Can'ın da bulunduğu 9
kişi yan yana sıralanacaktır,
Matematik -K.Karahan
Her harf bir kez kullanılmak üzere, sesli bir harfle başlayıp sessiz bir harfle biten kaç değişik kelime,
e.
İçerisinde b nin bulunduğu kaç değişik kelime,
f.
c ile başlayan f ile bitmeyen kaç değişik kelime,
g.
a ile başlayan g ile biten harfleri tekrarsız kaç değişik kelime
h.
ab ile başlayan g ile biten
kaç değişik kelime yazılabilir?
a) Kaç farklı sıralama olur?
b) Berke ile Can yan yana olmak üzere, kaç
farklı şekilde sıralanır?
c) Berke ile Can yan yana olmamak üzere
kaç farklı şekilde sıralanır?
d) Berke ile Can'ın aralarında en az bir kişi
bulunmak üzere kaç farklı sıralama olur?
e) Berke, Can'ın sağ tarafında bulunmak üzere kaç farklı sıralama olur?
Örnek
Farklı 3 matematik, farklı 4 fizik kitabı
boş bir rafa matematik kitaplarının tamamı yan yana gelmemesi koşuluyla
kaç farklı şekilde sıralanır?
Örnek
A B C D E
Yukarıdaki 5 kutu sarı, mavi veya yeşil renkte boyanacaktır.
Yanyana olan kutular farklı renklerde boyanmak üzere kaç farklı boyama işlemi yapılabilir?
Download

temel sayma kuralları