10. Sınıf
MATEMATİK
Soru Kitabı
Mehmet ŞAHİN
T. C
TİM BAK
İ
Ğ
E
A
LLİ
ye Kurulu Ba NLI
şka Ğ
Mİ lim Terbi
nlı I
ğ
Ta
MATEMATİK
ı
Öğretim programında yaptığı
son güncelleme doğrultusunda
YENİDEN
DÜZENLENMİŞTİR.
Redaksiyon
Emre ORHAN
Erdal AKBAL
Mehmet Fatih ÖZDEMİR
Eyüp AKOVA
Nazim TOPAL
PAL­ME YA­YIN­CI­LIK
An­ka­ra 2014
1
PALME YAYINLARI: 899
10. Sınıf Matematik Soru Kitabı / Mehmet ŞAHİN
Yayın Editörü
: Cemil AYAN
Yayına Hazırlama
:­ PALME Dizgi–Grafik Tasarım Birimi / Bülent LÖKÇÜ
Yayıncı Sertifika No : 14142
Palme Yayıncılık © 2014
ISBN : 978-605-355-289-5
Baskı
: Tuna Matbaacılık San. ve Tic. A. Ş.
Basımevi Sertifika No: 16102
Bu kitap 5846 sayılı yasanın hükümlerine göre kısmen ya da tamamen basılamaz, dolaylı dahi
olsa kullanılamaz, teksir, fotokopi ya da başka bir teknikle çoğaltılamaz. Her hakkı saklıdır,
PALME YAYINCILIK’a aittir.
www.palmeyayinevi.com
e-mail: [email protected]
G ENEL D AĞITIM
2
YAZIT Yayın-Dağıtım
Sağlık Sokak 17/30 Sıhhiye-ANKARA
Tel 0312-433 63 85-433 56 65 Faks 0312-433 73 17
“Benim Manevi Mirasım BİLİM ve AKILDIR”
M. Kemal ATATÜRK
3
EDİTÖR’DEN
Son yıllarda ilk ve ortaöğretimde uygulanmaya başlanan öğretim programlarının ana felsefesi, yaşam temelli yaklaşımı
esas almasıdır. Bu yaklaşımla, soyut gibi algılanan birçok fen kavramı gerçek yaşamla ilişkilendirilmiş, somut hale getirilmiştir. Bu yaklaşım okullarımızdaki öğretim sürecine tam olarak yerleştirildiği ve uygulandığı zaman öğrencilerimizin derslere
olan ilgi ve motivasyonları ciddi bir biçimde artacaktır. Tüm bu gelişmelerin sonucu olarak bilişim toplumunun gerektirdiği
becerilere sahip, objektif ve analitik düşünebilen, yaratıcı bir kafa gücüne sahip kuşaklar yetişecektir. Böyle yetişen genç
insanlar, ezberden uzak kalacak, sağlıklı iletişim kurabilme yetileri gelişecek; kendini iyi tanıyan, çevresiyle barışık bireyler
olacaktır.
Palme yayıncılığın hazırladığı bu kitap serisinin içeriği yukarıda belirtilen bakış açısı çerçevesinde oluşturulmuştur.
Ayrıca bu kitaplar değişen yeni sınav sistemine (YGS–LYS) uygun bir niteliğe sahiptir. Üniversite sınavlarında sorulacak
soruların kapsamı ve ağırlık düzeyine uygun bir konu akışı sağlanmıştır.
Bu kitapların hazırlanmasında büyük bir özveriyle bana destek veren Palme Yayıncılık’ın genel müdürü sayın İlhan
Budak’a teşekkür ederim.
Palme Yayıncılık’tan çıkan bu kitap serisinin tüm öğrencilere yararlı olması ve onların gelişimine bir katkı sağlaması
dileğiyle.....
Cemil AYAN
[email protected]
2014
Ankara
4
ÖNSÖZ
Değerli Öğretmenler, Sevgili Öğrenciler,
Bu kitap Milli Eğitim Bakanlığı Talim ve Terbiye Kurulu Başkanlığı’nca kabul edilen Orta Öğretim 10. Sınıf Matematik Dersi
öğretim programına göre hazırlanmıştır.
Bu kitap
.
Orta Öğretim başarınızı yükseltmek,
.
Üniversiteye girişte yüksek başarı elde etmenizi sağlamak amacıyla hazırlanmıştır.
.
Kitapta her ünite içindeki kavramlar ağırlıklarına göre ayrılmış ve her kavramın çoktan seçmeli sorulardan testlerle pekiştirilmesi sağlanmıştır.
Kitapta her kavramla ilgili öğrencinin karşılaşabileceği her tür örnek yer almaktadır. Örnekler, öğrenme-öğretme sürecine
uygun olarak en basit olandan daha çok bilgi içeren türlere doğru ele alınmıştır. Konular işlenirken her ünite içerisinde gerçek yaşamla ilişkilendirilmiş test sorularına yer verilmiştir.
Yeni müfredata göre hazırlanan bu kitabın öğrencilere yararlı olacağına inanıyorum.
Sağlık ve başarı dileklerimle…
Mehmet ŞAHİN
2014
Ankara
0 532 4234132
[email protected]
5
İÇİNDEKİLER
Sayfa No
ÜNİTE
1
SAYMA, PERMÜTASYON, KOMBİNASYON VE BİNOM AÇILIMI
8
ÜNİTE
2
OLASILIK
38
ÜNİTE
3
FONKSİYONLARLA İŞLEMLER VE UYGULAMALARI
54
ÜNİTE
4
ANALİTİK GEOMETRİ
78
6
Sayfa No
ÜNİTE
5
DÖRTGENLER VE ÇOKGENLER
100
ÜNİTE
6
İKİNCİ DERECEDEN DENKLEM VE FONKSİYONLAR
180
ÜNİTE
7
POLİNOMLAR
222
ÜNİTE
8
ÇEMBER VE DAİRE
284
ÜNİTE
9
GEOMETRİK CİSİMLER
376
7
ÜNİTE - 1
SAYMA, PERMÜTASYON,
KOMBİNASYON VE BİNOM
AÇILIMI
8
ÜNİTE – 1
SAYMA, PERMÜTASYON,
KOMBİNASYON VE BİNOM
Test - 1
Sayma - 1
1. Burak'ın 4 pantolonu ve 5 gömleği vardır.
5. Melis'in gittiği kafede 6 tatlı ve 5 salata vardır.
Buna göre, Burak 1 pantolon veya 1 gömleğini kaç farklı şekilde giyebilir?
A) 2
B) 6
C) 9
D) 10
E) 20
B) 36
C) 48
D) 72
B) 11
C) 15
2
Palme Yayıncılık
A) 3
B) 64
5 + 4 = 9 şekilde giyebilir.
n kişi düz bir sıra boyunca n!
farklı şekilde sıralanabilir.
8 kız ve 12 erkek öğrencinin
bulunduğu bir sınıftan 1 kız ve 1
erkek öğrenci kaç farklı şekilde
seçilebilir?
7. 5 kişi düz bir sıra boyunca kaç farklı şe-
Buna göre, bu kutudan 1 silgi veya 1 kurşun kalem veya 1 tükenmez kalem kaç
farklı şekilde seçilebilir?
A) 20
D) 30
Ali 1 gömleği 5 şekilde , 1 kravatı 4 şekilde seçebilir. O halde
toplama ilkesine göre 1 gömleği
veya 1 kravatı,
C) 120 D) 125 E) 216
kilde sıralanabilir?
C) 12
6 yarışmacı altın, gümüş ve bronz madalyaları kaç farklı şekilde alabilir?
4 tükenmez kalem vardır.
B) 9
E) 30
3
E) 96
3. Bir kalem kutusunda 3 silgi, 5 kurşun kalem ve
A) 6
D) 18
1
duğuna göre, bir gömlek veya 1
kravatı kaç farklı şekilde giyebilir?
6.
Buna göre, bu kurstan 1 kız veya 1 erkek
öğrenci kaç farklı şekilde seçilebilir?
A) 20
Ali'nin 5 gömleği, 4 kravatı ol-
Buna göre, Melis 1 tatlı veya 1 salatayı kaç
farklı şekilde yiyebilir?
A) 7
2. Bir kursta 8 kız ve 12 erkek öğrenci vardır.
Temel Kavramlar ve Örnekler
B) 100 C) 120 D) 125 E) 55
E) 60
8 kız öğrenciden 1 i 8 farklı şekilde, 12 erkek öğrenciden 1 i
12 farklı şekilde seçilebilir?
O halde bu seçim çarpma ilkesine göre
8 ⋅ 12 = 96
farklı şekilde olabilir.
4. Bir oyuncak kutusunda 5 peluş oyuncak, 3
uzaktan kumandalı araba ve 6 lego parçası
vardır.
8. Bir sınıfta 6 kız ve 15 erkek öğrenci vardır.
Buna göre, bu kutudan 1 peluş oyuncak
veya 1 uzaktan kumandalı araba veya 1
lego parçası kaç farklı şekilde seçilebilir?
A) 4
B) 14
1) C
C) 48
2) A
D) 70
3) C
Buna göre, bu kurstan 1 kız ve 1 erkek öğrenci kaç farklı şekilde seçilebilir?
A) 2
B) 21
C) 23
D) 72
E) 90
4) B
5) B
6) C
7) C
8) E
9) E
10) D
E) 90
n tane takımın bulunduğu bir
ligde her takım diğerleriyle 1
kez karşılaştığında toplam mün (n – 1)
sabaka sayısı
dir.
2
9
SAYMA, PERMÜTASYON, KOMBİNASYON VE BİNOM AÇILIMI
AÇILIMI
Test - 1
A dan B ye 4, B den C ye 6 farklı
SAYMA, PERMÜTASYON, KOMBİNASYON VE BİNOM AÇILIMI
yol vardır. A dan B ye uğramak
üzere C ye giden ve gittiği yolları
kullanmadan A ya geri dönen bir
kişi kaç farklı şekilde gidip dönebilir?
Giderken 4 ⋅ 6 = 24 farklı yol
Dönerken (4 – 1) ⋅ (6 – 1) = 15
farklı yol kullanabilir.
9. Bir spor müsabakasında bir dönemde her
14.
takım öteki takımlarla birer kez karşılaşıyor.
kümesinin elemanları kullanılarak 500 den
büyük üç basamaklı kaç tek doğal sayı yazılabilir?
A) 6
A) 27
B) 7
C) 8
D) 9
E) 10
15.
10.A kentinden B kentine 4 farklı yol ve B kentinden C kentine 7 farklı yol vardır.
Çarpma ilkesine göre, bu kişi
24 ⋅ 15 = 360
Buna göre, A kentinden C kentine B kentine
uğramak şartıyla kaç farklı biçimde gidilebilir?
A) 2
farklı şekilde gidip dönebilir.
A = {2, 3, 4, 5 ,6 ,7}
Bir dönemde 45 maç yapıldığına göre müsabakada kaç takım vardır?
B) 11
C) 18
D) 28
B) 28
C) 30
D) 54
E) 56
A = {2, 3, 4, 5, 8}
kümesinin elemanları kullanılarak dört basamaklı kaç çift doğal sayı yazılabilir?
A) 125 B) 180 C) 240 D) 360
E) 375
E) 44
A = {2, 3, 4, 5, 6} kümesinin elemanlarını kullanarak üç basamaklı kaç sayı yazılabilir?
a
b
c
5
5
5
11.A kentinden B kentine 4 farklı yol ve B kentinden C kentine 5 farklı yol vardır.
5 ⋅ 5 ⋅ 5 = 53 = 125 sayı yazılabilir.
Buna göre, B kentine uğramak ve A kentinden C kentine gidilen yolları dönüşte kullanmamak şartıyla kaç farklı yoldan gidilip
dönülür?
A) 240 B) 120 C) 63
A = {2, 3, 4, 5, 6, 7} kümesinin
D) 32
Palme Yayıncılık
ÜNİTE – 1
Temel Kavramlar ve Örnekler
16.
A = {3, 4, 5, 6, 7}
kümesinin elemanları ile rakamları farklı,
4 ile başlayan kaç tane 4 basamaklı sayı
yazılabilir?
A) 24
B) 60
C) 64
D) 120
E) 125
E) 16
elemanları ile dört basamaklı
kaç çift sayı yazılabilir?
6 rakamın 3 ü çift olduğundan
yazılabilecek tüm dört basa3
maklı sayıların
ü çifttir.
6
a
b
c
d
6
6
6
6
6$6$6$6$
6
17.
A = {0, 1, 2, 3, 4, 5}
kümesinin elemanları ile üç basamaklı ve
rakamları farklı kaç doğal sayı yazılabilir?
A) 72
B) 84
C) 100 D) 108
E) 120
A = {1, 3, 5, 7, 8, 9}
kümesinin elemanları ile rakamları farklı üç
basamaklı kaç farklı doğal sayı yazılabilir?
A) 60
B) 96
C) 120 D) 210
E) 216
= 63 $ 3
= 216 $ 3
3
12.
= 648
sayı yazılabilir.
13.
18.
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
kümesinin elemanlar ile üç basamaklı kaç
farklı doğal sayı yazılabilir?
A) 90
B) 96
C) 120 D) 210
E) 216
{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}
kümesinin elemanları ile, rakamları farklı
üç basamaklı 400 den küçük kaç çift sayı
yazılabilir?
A) 40
10
11) A
12) C
13) E
14) D
15) E
16) A
B) 50
17) C
C) 55
18) C
D) 60
E) 70
1. 5. A = {0, 1, 2, 3, 4, 5}
A) 30
B) 48
C) 60
D) 91
E) 108
{0, 1, 2, 3, 4}
A = {1, 2, 3, 4, 5} kümesinin elemanlarını kullanarak 200 ile 500
arasında rakamları tekrarsız kaç
farklı doğal sayı yazılabilir?
kümesinin elemanları ile rakamları farklı
200 ile 300 arasında olan kaç farklı doğal
sayı yazılabilir?
A) 8
B) 9
C) 10
D) 12
E) 16
2.
6.
{1, 2, 3, 4, 5}
kümesinin elemanları ile, rakamları farklı
2000 den büyük kaç sayı yazılabilir?
B) 75
C) 120 D) 144 E) 240
3.
kümesinin elemanlarını kullanarak üç basamaklı en az iki rakamı aynı olan kaç farklı
doğal sayı yazılabilir?
A) 60
kümesinin elemanları birer kez kullanılarak
5000 den büyük kaç sayı yazılabilir?
A) 24
B) 48
C) 60
D) 120 E) 168
c
3
4
3
3 ⋅ 4 ⋅ 3 = 36 tanedir.
B) 80
elemanlarını kullanarak üç basamaklı rakamları tekrarsız kaç
çift sayı yazılabilir?
C) 100 D) 180 E) 280
b
A = {0, 1, 2, 3, 4} kümesinin
7.
A = {2, 3, 4, 5, 6}
a
A = {0, 1, 2, 3, 4, 5}
Palme Yayıncılık
A) 24
İstenen sayılar üç basamaklıdır.
Bu sayıların sayısı
A = {0, 1, 2, 3, 4, 5}
kümesinin elemanlarını kullanarak üç basamaklı rakamları farklı ve 4 rakamını bulunduran kaç farklı çift doğal sayı yazılır?
A) 27
B) 28
C) 30
D) 31
E) 32
Sayıların birler basamağı 0, 2, 4
rakamlarından biri olmalıdır.
İki durumu da inceleyelim.
Birler basamağı 0 olsun.
a
b
c
4
3
1
4 ⋅ 3 ⋅ 1 = 12 tane
Birler basamağı 0 olmasın. 2
veya 4 olsun.
a
b
c
3
3
2
3 ⋅ 3 ⋅ 2 = 18 tane
olup 12 + 18 = 30 tane sayı yazılabilir.
Bir sayının 4 ile tam bölünebil-
4. A = {5, 6, 7, 8, 9}
kümesinin elemanları kullanılarak 6000
ile 8000 arasında rakamları farklı kaç tek
doğal sayı yazılır?
A) 12
B) 18
C) 30
D) 60
E) 125
8. A = {1, 2, 3}
B = {2, 4, 6, 8}
kümeleri veriliyor.
A dan 2, B den 1 eleman alınarak 3 basamaklı rakamları farklı kaç tane sayı yazılabilir?
A) 18
1) D
2) D
3) E
4) C
5) D
mesi için son iki basamağını
oluşturan sayı 4 ile tam bölünebilmelidir.
6) B
7) S
B) 24
8) E
C) 36
9) C
D) 42
10) D
E) 60
11
SAYMA, PERMÜTASYON, KOMBİNASYON VE BİNOM AÇILIMI
kümesinin elemanları kullanılarak rakamları farklı 400 den küçük kaç doğal sayı yazılır?
Temel Kavramlar ve Örnekler
ÜNİTE – 1
Test - 2
Sayma - 2
Test - 2
9.
n kişinin katıldığı bir sınav
başarı ya da başarısızlık anlamında 2n farklı şekilde sonuçlanır.
14.Bir çekmecede 3 silgi, 4 kurşun kalem ve 6
A = {0, 1, 2, 3, 4, 5}
tükenmez kalem vardır.
kümesinin elemanlarını kullanarak üç basamaklı 300 den büyük ve 5 ile tam bölünen
kaç doğal sayı yazılabilir?
SAYMA, PERMÜTASYON, KOMBİNASYON VE BİNOM AÇILIMI
A) 23
B) 24
C) 35
D) 36
E) 47
Buna göre, bu çekmeceden 1 silgi, 1 kurşun kalem ve 1 tükenmez kalem kaç farklı
şekilde seçilebilir?
A) 3
n kişilik bir sınıftan 1 başkan ve
1 başkan yardımcısı
n(n – 1) farklı şekilde seçilebilir.
10.
n ≤ m olmak üzere n kişi m
tane koltuğa P(m, n) sayıda
oturabilir.
m çorap n çekmeceye nm farklı
şekilde yerlerleştirilebilir.
A dan B ye n farklı yol, B den C
ye m farklı yol olsun.
11.
B ye uğramak koşuluyla A dan
C ye gidip dönen bir kişinin
kümesinin elemanları ile rakamları farklı 4 ile
tam bölünebilen 3 basamaklı kaç farklı sayı
yazılabilir?
A) 3
B) 6
C) 9
D) 12
A = {0, 1, 2, 3, 4}
B) 10
C) 12
C) 60
D) 72
E) 120
Buna göre bu koliden 1 sağlam veya 1
bozuk lamba kaç farklı şekilde seçilebilir?
A) 2
B) 9
C) 16
D) 63
E) 112
E) 24
kümesinin elemanları ile rakamları farklı 3
basamaklı 3 ile tam bölünen kaç sayı yazılabilir?
A) 8
B) 13
15.Bir kolideki 16 lambadan 7 tanesi bozuktur.
{1, 2, 3, 4, 5}
D) 16
Palme Yayıncılık
ÜNİTE – 1
Temel Kavramlar ve Örnekler
E) 20
16.Ahmet'in gittiği restorantda 4 salata ve 6 ana
yemek çeşidi vardır.
Buna göre, Ahmet 1 salata ve 1 ana yemeği
kaç farklı şekilde seçilebilir?
A) 2
B) 10
C) 12
D) 24
E) 48
n ⋅ m ⋅ m ⋅ n = n2 m2
farklı yol tercihi vardır.
A dan B ye uğramak koşuluyla
C ye giden ve gittiği yolu kullanmadan A ya dönen bir kişinin ise,
n ⋅ m ⋅ (n – 1) ⋅ (m – 1)
12.Ayşe'nin 5 eteği ve 3 gömleği vardır.
17.5 kağıt, 3 çekmeceye kaç farklı biçimde
Buna göre, Ayşe 1 etek ve 1 gömleği kaç
farklı şekilde giyebilir?
A) 2
B) 5
C) 8
D) 15
konulabilir?
A) 60
B) 81
C) 125 D) 243
E) 360
E) 30
farklı yol tercihi vardır.
13.20 kişilik bir sınıftan bir başkan ve bir başkan yardımcısı kaç farklı şekilde seçilebilir?
A) 2
12
B) 39
C) 40
11) E
D) 380
12) D
18.3 kişi, 6 kişilik sinema koltuklarına kaç
farklı biçimde oturabilir?
A) 18
B) 120 C) 216 D) 324
E) 400
13) D
14) D
15) C
16) D
17) D
18) B
E) 729
1. n pozitif bir doğal sayı olduğuna göre,
5. 3 kız ve 4 erkek öğrenci bir sıra boyunca
n! – (n –1) !
(n + 1) ! – n!
A) 5!
n–1
n (n + 1)
D)
B)
n+1
n2
n–1
n
C)
E)
B) 3! ⋅ 4!
D) 4! ⋅ 5!
ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A)
kaç farklı şekilde sıralanabilir?
C) 5! ⋅ 3!
E) 7!
n elemanlı 3 lü sıralanışlarının
sayısı
n $ (n – 1) $ (n – 2)
tanedir.
n–1
n+1
n–1
n2
n⋅ P(3, 1) + (n + 1) ⋅ P(4, 1) = 8n
eşitliğini sağlayan n değeri
kaçtır?
n ⋅ P(3, 1) + (n + 1) P(4, 1) = 8n
n ⋅ 3 + (n + 1) ⋅ 4 = 8n
3n + 4n + 4 = 8n
2.
eşitliğini sağlayan x değeri kaçtır?
A) 1
3.
6. 5 öğrenciden 2 tanesi kuzendir.
P(6, 2) + x ⋅ P(3, 3) = 60
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
Palme Yayıncılık
C) 52
B) 60
C) 72
D) 96
E) 180
7. Aralarında iki evli çiftin bulunduğu 7 kişi
P(7, 2) + P(8, 1) = n ⋅ P(0, 0)
B) 50
Bu kuzenler yan yana gelmek koşulu ile
düz bir sırada kaç farklı biçimde oturabilirler?
A) 48
düz bir sıraya eşler yan yana olmak üzere
kaç farklı biçimde oturabilir?
olduğuna göre, n kaçtır?
A) 48
D) 64
7n + 4 = 8n ⇒ n = 4 olur.
E) 56
A) 120 B) 240 C) 480 D) 5038 E) 5040
5 kişi bir sırada yan yana bulunan 5 koltuğa oturacaktır.
Belli iki kişi başta ya da sonda
ve yanyana oturmak üzere bu
kişiler kaç farklı şekilde oturabilirler?
A ve B kişileri başta ve yanyana olsunlar. İkisini 1 kişi gibi
düşüneceğiz.
3 kişi kendi aralarında 3! ve A
ile B kendi aralarında 2! şekilde yer değiştirir.
Başta olduklarında;
3! ⋅ 2! = 6 ⋅ 2 = 12
sonra olduklarında ise,
3! ⋅ 2! = 12
farklı şekilde oturacaklardır.
Toplam 12 + 12 = 24
farklı şekilde otururlar.
8. 4. n tane elemanın 2 li sıralanışlarının sayısı
56 olduğuna göre, n kaçtır?
A) 4
B) 5
C) 6
D) 7
E) 8
kümesindeki elemanların 4 lü permütasyonlarının kaçında 5 bulunur?
A) 48
1) E
2) E
3) B
4) E
A = {1, 2, 3, 4, 5}
5) E
B) 60
6) A
C) 72
7) C
D) 90
E) 96
13
SAYMA, PERMÜTASYON, KOMBİNASYON VE BİNOM AÇILIMI
Temel Kavramlar ve Örnekler
ÜNİTE – 1
Test - 3
Sayma ve Permütasyon
Test - 3
SAYMA, PERMÜTASYON, KOMBİNASYON VE BİNOM AÇILIMI
9. 6 kişi aynı sıradaki yan yana 6 koltuğa otura-
14.MUTFAK kelimesinin harflerini birer kez
kullanarak, 6 harfli olup F ile başlayıp A ile
biten kaç kelime yazılabilir?
caklardır.
4 matematik, 3 fizik ve 3 Türkçe kitabı bir rafa aynı
tür kitaplar yanyana gelecek
biçimde yerleştirilecektir.
Bu yerleştirme kaç farklı biçimde yapılabilir?
Belirli iki kişi başta veya sonda ve yanyana
olmak üzere kaç farklı biçimde oturabilirler?
A) 48
B) 72
C) 90
D) 96
A) 2
B) 9
C) 16
D) 63
E) 112
E) 120
Aynı tür kitaplar bir kitap gibi
düşünülecektir.
10.Yanyana bulunan 8 sandala 3 kişi bir arada
olmak üzere, kaç farklı şekilde oturabilirler?
A) 24
Matematik
1
B) 30
C) 36
D) 42
E) 48
15.5 kişinin katıldığı bir sınav başarı ve başa-
Fizik
1
rısızlık yönünden kaç farklı biçimde sonuçlanabilir?
Türkçe
1
A) 5
1 + 1 + 1 = 3 olur.
Türlerin yer değiştşrme sayısı
3! dir. Her türğün kendi içindeki yer değiştirmelerinin sayısı ise,
4! ⋅ 3! ⋅ 3! dır.
O halde tüm yer değiştirmelerin sayısı,
(4! ⋅ 3! ⋅ 3!) ⋅ 3! = 24 ⋅ 6 ⋅ 6 ⋅ 6
bir rafa dizilecektir.
Başta bir fizik, sonda bir türkçe kitabı
olmak üzere kaç farklı biçimde dizilebilirler?
den C kentine 2 farklı yol vardır.
A nın 3 lü permütasyonarının
sayısından, 4 bulunmayan 3
lü permütasyonlarının sayısını
çıkarmalıyız.
P(4, 3) – P(3, 3) = 24 – 6 = 18
bulunur.
Buna göre, gidişte ve dönüşte B kentine
uğramak şartıyla A kentinden C kentine
kaç farklı yoldan gidilip dönülebilir?
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
kümesinin elemanları kullanılarak 3 basamaklı ve 600 den büyük kaç doğal sayı yazılabilir?
A) 114 B) 124 C) 144 D) 180
A) 10
17.
A
13.4 voleybol, 3 basketbol ve 2 futbol oyun-
A) 7! ⋅ 3!
B) 7! + 3!
D) 9! ⋅ 3!
8) E
C) 7!
E) 9! – 3!
9) D
10) C
B) 12
C) 25
D) 32
E) 36
E) 192
cusu düz bir sırada basketbolcular yanyana gelmek üzere, kaç değişik biçimde
oturabilir?
14
E) 50
16.A kentinden B kentine 3 farklı yol ve B kentin-
12.
D) 32
A) 144 B) 288 C) 1440 D) 1860 E) 5040
= 5184 olur.
A = {1, 2, 3, 4} kümesinin 3 lü
permütasyonlarının kaç tanesinde 4 elemanı bulunur?
C) 25
11.Birbirinden farklı 3 Türkçe ve 4 fizik kitabı düz
B) 10
Palme Yayıncılık
ÜNİTE – 1
Temel Kavramlar ve Örnekler
11) D
C
A dan C ye, B ye uğramak şartıyla gidiş-dönüş için kullanılan yollardan hiçbiri tekrar
kullanılmamak üzere, kaç değişik yoldan
gidilip dönülebilir?
A) 36
12) E
B
13) A
14) B
B) 72
15) D
C) 96
16) E
D) 108
17) B
E) 144
5.
1. P(9, n) + 18 = P(10, n)
olduğuna göre, n kaçtır?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
A = {2, 3, 4, 5, 6}
P(n, 4) + P(4, n) = n ⋅ P(m, 1)
eşitliğini sağlayan m sayısını
bulalım.
P(n, 4) ifadesinde n ≥ 4
P(4, n) ifadesinde 4 ≥ n
olduğundan n = 4 bulunur.
P(4, 4) + P(4, 4) = 4 ⋅ P(m, n)
4! + 4! = 4 ⋅ P(m, 1)
farklı seçenek vardır.
48 = 4 ⋅ P(m, 1)
Ardışık iki sorunun cevabı aynı seçenek
olmadığına göre yanıt anahtarı kaç farklı
şekilde hazırlanabilir?
kümesindeki elemanların 3 lü permütasyonların kaç tanesinde 4 bulunmaz?
B) 48
C) 72
D) 84
E) 108
6. 4 soruluk bir test sınavında her soru için 5
2P(n, 4) = P(n + 1, 2) ⋅ P(n – 1, 2)
olduğuna göre, P(n, n – 4) ün değeri kaçtır?
A) 200 B) 210 C) 220 D) 230 E) 240
P(m, 1) = 12 ⇒ m = 12
olur.
3.
Palme Yayıncılık
A) 125 B) 160 C) 200 D) 320 E) 625
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
kümesinin üçlü permütasyonlarının kaç tanesinde 5 eleman olarak bulunmaz?
A) 20
B) 30
C) 60
7.
D) 120 E) 180
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
kümesinin elemanları ile 8 basamaklı, rakamları farklı ve herhangi iki çift sayı yan
yana gelmeyecek şekilde kaç doğal sayı
yazılabilir?
A) 2 ⋅ 4! ⋅ 3!
B) 2 ⋅ 4! ⋅ 4!
B) 18
C) 20
O halde,
P(6, 3) = 6 ⋅ 5 ⋅ 4 = 120
bulunur.
8. 4 farklı tarih, 5 farklı coğrafya ve 3 farklı Türkçe
A = {p, a, l, m, e}
kümesinin 4 lü permütasyonlarının kaç tanesinde m bulunmaz?
A) 12
5 i kümeden çıkaralım.
Yeni küme
B = {1, 2, 3, 4, 6, 7} olup B nin
3 lü permütasyonlarının hiçbirinde 5 bulunmaz.
B nin 3 lü permütasyonlarının
hepsi A nın da 3 lü permütasyonlarıdır.
8!
E)
2
D) 4! ⋅ 4!
4.
C) 5! ⋅ 4!
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
kümesinin 3 lü permütasyonlarının kaç tanesinde 5 elemanı
bulunmaz?
D) 24
kitabı bir rafa dizilecektir.
E) 30
Buna göre, tarih ve Türkçe kitapları kendi
aralarında yan yana olmak şartı ile bu 12
kitap rafa kaç farklı şekilde sıralanırlar?
A) 7! ⋅ 5!
B) 7! ⋅ 5! ⋅ 3!
C) 4! ⋅ 3! ⋅ 5!
D) 4! ⋅ 3! ⋅ 7!
E) 4! ⋅ 3! ⋅ 5! ⋅ 3!
1) B
2) B
3) C
4) D
5) A
6) D
7) B
8) D
9) A
10) C
15
SAYMA, PERMÜTASYON, KOMBİNASYON VE BİNOM AÇILIMI
A) 24
2. n, 3 ten büyük bir doğal sayıdır.
Temel Kavramlar ve Örnekler
ÜNİTE – 1
Test - 4
Permütasyon
Test - 4
SAYMA, PERMÜTASYON, KOMBİNASYON VE BİNOM AÇILIMI
9. Birbirinden farklı 3 matematik, 4 kimya kitabı
13.
düz bir rafa dizilecektir.
İkisi kız 8 öğrenci bir sırada
yanyana oturacaklardır. Kızlar
yanyana olacak şekilde kaç
farklı oturma düzeni vardır?
Kimya kitaplarının herhangi ikisi yan yana
olmamak koşuluyla bu kitaplar kaç farklı
şekilde dizilebilir?
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
kümesinin elemanları ile birler ve binler
basamağı çift olan 4 basamaklı, rakamları
farklı kaç doğal sayı yazılabilir?
A) 780 B) 240 C) 360 D) 720
E) 1440
A) 144 B) 288 C) 1440 D) 1860 E) 5040
8–2=6
erkek öğrenci var.
2 kız 1 kişi gibi düşünülecektir.
K1 K2 E1 E2 E3 E4 E5 E6
1
6
1 + 6 = 7 olup kızların yanyana
olduğu oturuş biçimlerinin sayısı 7! tanedir.
Kızlar 2! yerdeğiştirirler.
Toplam 7! ⋅ 2! sayıda oturma
düzeni vardır.
10.Birbirinden farklı 4 tarih ve 4 coğrafya kitabı
B) 576 C) 1152 D)
8!
2
3
4
2, 4, 4, 8
4
5 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 6 = 30 tane
kümesindeki elemanları kullanılarak basamaklarından yalnız biri 2 olan üç basamaklı
kaç sayı yazılabilir?
B) 36
C) 40
D) 42
E) 48
6
11.İkisi kız olan 9 öğrenci bir sıraya kızlar yanyana olmamak koşuluyla kaç farklı biçimde
sıralanabilir?
A) 9 ⋅ 9!
B) 8 ⋅ 8!
D) 9!
12.
E) 8!
C) 60
D) 72
11) C
A = {2, 3, 4, 5, 6, 7}
kümesinin elemanları ile rakamları farklı 27
ile başlayan kaç tane 5 basamaklı sayı yazılabilir?
A) 24
16.
{0, 1, 2, 3, 4, 5}
B) 48
15.
C) 7 ⋅ 8!
kümesinin elemanlarıyla rakamları birbirinden farklı üç basamaklı kaç tek sayı yazılabilir?
A) 30
16
A = {0, 1, 2, 3, 4}
A) 25
E) 8!
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,8} kümesinin elemanlarını kullanarak
onlar ve yüzler basamağı çift
olan 4 basamaklı rakamları
farklı kaç sayı yazılabilir?
5
Coğrafya kitaplarının herhangi ikisi yan yana
olmamak koşuluyla kaç farklı şekilde dizilebilir?
A) 70
14.
düz bir rafa dizilecektir.
Palme Yayıncılık
ÜNİTE – 1
Temel Kavramlar ve Örnekler
E) 90
12) B
C) 64
D) 120
E) 216
A = {0, 1, 2, 3, 4, 5}
kümesinin elemanları kullanılarak rakamları farklı 200 den küçük kaç farklı çift
doğal sayı yazılabilir?
A) 12
13) C
B) 48
14) C
15) A
B) 24
16) E
C) 25
D) 27
E) 28
5. 10 voleybolcu arasından 6 kişilik voleybol takımı seçilecektir.
1. Bir kooperatifin yönetimine seçilen 5 kişiden bir başkan ve bir sayman kaç türlü
seçilebilir?
B) 10
C) 15
D) 20
E) 25
Takımın kaptanı olacak kişi belli olduğuna
göre, bu takım kaç farklı biçimde kurulabilir?
A) 126 B) 120 C) 114 D) 108
A) 125 B) 185 C) 250 D) 255
A) 40.7!
E) 260
B) 70.4!
D) 7.4!
n
d n=
r
n!
(n – r) !r!
6 öğrenciden 1 veya daha faz-
E) 102
6. 8 kişilik bir gruptan 4 kişi, düz bir sıraya
kaç değişik biçimde oturabilir?
2. 8 öğrenciden 1 veya daha fazlası kaç farklı
biçimde seçilebilir?
lası,
6
6
6
1
2
6
f p + f p + g+ f p
= 26 – 1 = 63
şekilde seçilebilir.
n
n
C d n = d n ise,
r
k
r = k veya r + k = n dir.
C) 14.24!
E) 210.2!
Palme Yayıncılık
6 kişiden 4 ü bir sıraya kaç
3. Düzlemde bulunan 10 doğrudan 3 ü bir A noktasından, 4 ü bir B noktasından geçmektedir.
Herhangi ikisi birbirine paralel olmayan bu
doğrular, A ve B ile birlikte en çok kaç noktada kesişir?
A) 19
B) 24
C) 36
D) 38
farklı şekilde oturabilir?
7. Düzlemde seçilen 9 doğrudan 3 tanesi paraleldir.
1. yol:
6
f p $ 4! = 15.24 = 360
4
2. yol:
P(6,4) = 6.5.4.3 = 360
n
n
n+1
p
n=f
Cd n + Cd
r
r+1
r+1
Bu 9 farklı doğru en çok kaç noktada kesişir?
A) 11
B) 18
C) 23
D) 33
E) 35
E) 40
Düzlemde herhangi üçü
doğrusal olmayan 6 noktayı
köşe kabul eden kaç üçgen
çizilebilir?
Verilen şartlar altında seçilecek
her 3 nokta bir üçgen oluştu-
4.
rur.
n+1
n
f
p+d
n = 36
n–1
n–2
8. Düzlemde herhangi üçü doğrusal olmayan 7
tane nokta veriliyor.
ise n kaçtır?
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
2) D
3) D
4) E
5) A
6
f p=
3
6$5$4
3$2$1
= 20
Bu 7 noktayı köşe kabul eden kaç tane
üçgen vardır?
A) 7
1) D
6) B
B) 14
7) D
C) 28
8) E
D) 30
E) 35
17
SAYMA, PERMÜTASYON, KOMBİNASYON VE BİNOM AÇILIMI
A) 5
Temel Kavramlar ve Örnekler
ÜNİTE – 1
Test - 5
Kombinasyon - 1
Test - 5
6 kişilik bir gruptan bir başkan
Bilgi
bir yardımcı ve bir sekreter kaç
2n + 4
p +TEST
f
p
n+2
n+3
ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisi9.dir??
Bir kooperatifin yönetimine seçilen 5 kişi9.
farklı şekilde seçilebilir?
Bölüm–1
66 kişilik
5 bir
4 gruptan bir başkan
f p $ f p $ f p = 6 $ 5 $ 4 = 120
1bir yardımcı
1
1 ve bir sekreter kaç
farklı şekilde seçilebilir.
6 5 4
f p . f p . f p = 6.5.4 = 120
1 1 1
PERMÜTASYON, KOMBİNASYON BİNOM VE OLASILIK
3
13. 8 öğrenciden 3 tanesi matematik yarışmasına,
5 tanesi fizik yarışmasına katılacaktır.
Bu iki grup kaç değişik biçimde oluşturula13. 8 öğrenci üç tanesi matematik yarışmasına
bilir?
beş tanesi fizik yarışmasına katılacaktır.
A)Bu
28
B) 35
C) 56 biçimde
D) 60 oluşturuE) 63
iki grup
kaç değişik
labilir?
A) 28
B) 35
C) 56
D) 60
E) 63
doğrusal ise köşeleri bu noktalar olan en çok kaç üçgen
çizilebilir?
Düzlemdeki 9 noktadan 5 i
Tüm 3 lü grupların sayısı,
9doğrusal ise köşeleri bu noktaf p = 84 tür.
3lar olan en çok kaç üçgen
çizilebilir?
5 nokta doğrusal olduğundan
Tüm 3 lü grupların sayısı,
bunlar
9 üçgen oluşturamazlar.
f p =5 84 dür.
3
Yani f p = 10 tane üçlü grup
3
5 nokta doğrusal olduğundan
ile üçgen oluşmaz. O halde,
bunlar üçgen oluşturmazlar.
9
5
f p – f 5p = 84 – 10 = 74
Yani
3
3f 3 p = 10 tanesi üçlü ile
üçgen
oluşur.
üçgen
oluşmaz. O halde,
10. Düzlemde seçilen 10 doğrunun 5 i paraleldir.
14.
14.
d1
5 i en
paraleldir.
10.
Bu 10
10doğrunun
doğrunun
çok kaç tane kesim
noktası
Bu 10vardır?
doğrunun en çok kaç tane kesim
d2
d3
noktası
A) 7
B) vardır?
14 C) 28 D) 30
E) 35
A) 7
B) 14
C) 28
D) 30
E) 35
d4
d5
d6
d7
d8
d9
dd­­­­­­11////dd22////dd33////dd4 4////dd5 5veved6d6// //d7d7// //d8d//
8 //d9d9
ise şekilde kaç paralel kenar oluşur?
ise şekilde kaç paralelkenar oluşur?
A) 15
B) 20
C) 30
D) 45
E) 60
A) 15
B) 20 C) 30 D) 45
E) 60
9
5
f p – f p = 84 – 10 = 74
3
3
üçgen oluşur.
Bir topluluktaki kişilerden elde
2n + 4
den
2n +bir
4 başkan ve bir sayman2nkaç
+ 3türlü
p p
A) fseçilebilir?
B) f
n+2
n+2
A) 5
B) 10
C) 15
D) 20
E) 25
2n + 5
2n + 4
p p
C) f
D) f
n+3
n+1
2n + 4
p
E) f
n–1
Düzlemdeki 9 noktadan 5 i
f
Palme Yayıncılık
SAYMA, PERMÜTASYON, KOMBİNASYON VE BİNOM AÇILIMI
ÜNİTE – 3 PERMÜTASYON, KOMBİNASYON, BİNOM, OLASILIK VE İSTATİSTİK
ÜNİTE – 1
Temel Kavramlar ve Örnekler
edilen tüm 3 lü grupların sayısı
topluluktaki kişilerin sayısının
5 katına
eşit ise toplulukta
Bir topluluktaki
kişilerdenkaç
elde
kişi
vardır?
edilen
tüm 3 lü grupların sayısı
11. 15 kişilik bir topluluk içinden oluşturulan ve
içinde en az bir erkek bulunan üç kişilik tüm
11. 15 kişilik bir topluluk içinden oluşturulan ve
grupların sayısı 435 tir.
içinde en az bir erkek bulunan üç kişilik tüm
Toplulukta
grupların
sayısıkaç
435kız
tir. vardır?
topluluktaki kişilerin sayısının
Toplulukta
n kişi
5 katına eşit
iseolsun.
toplulukta kaç
n
d kişi
n = vardır?
5$n
A) 2göre, B)
4
C)kaç
6 kız D)
8
E) 10
Buna
toplulukta
vardır?
A) 2
B) 4
C) 6
D) 8
15. 7 milletvekili arasından değişik görevler
için en az iki ve en çok altı üyeli kaç komis15. 7 milletvekili arasından değişik görevler
yon oluşturulabilir?
için en az iki en çok altı üyeli kaç komisA)yon
119
B) 118 C) 117 D) 116 E) 115
oluşturulur?
A) 119
E) 10
B) 118
C) 117
D) 116
E) 115
3
n (n – 1) (n – 2)
Toplulukta n =kişi
5 $olsun.
n
3!
n
p = 5–.n2) = 30
(n f– 1)(n
9
2
n – 3n + 2 = 30
n (n – 1) (n – 2)
= 5.n
n2 – 3n – 328
! =0
– 1)(n
(n (n
– 7)
⋅ (n +–4)2)==030
n – 1 =olacağından,
6 ise n = 7 olur.
n pozitif
n – 7 = 0 ⇒ n = 7 bulunur.
12.
9 kişilik
4 kişi
12.
9 kişilik
bir öğrenci
öğrenci grubundan
grubundan 55 kişi
kişi gezi,
gezi ve
4
araştırma
grubu
için
ayrılacaktır.
kişi araştırma grubu için ayrılacaktır.
Seçim kaç türlü yapılır?
Buna göre, seçim kaç türlü yapılır?
A) 118 B) 120 C) 122 D) 124 E) 126
A) 118 B) 120 C) 122 D) 124 E) 126
16. 36 kişilik bir sınıfta kız öğrencilerden oluşturulacak
ikişerli
grupların
sayısı, bu oluşturusınıftaki
16. 36
kişilik bir
sınıfta
kız öğrencilerden
erkek
öğrencilerin
sayısına
eşittir.
lacak ikişerli grupların sayısı, bu sınıftaki erkek
öğrencilerin
eşittir.
Buna göre sayısına
sınıfta kaç
kız öğrenci vardır?
Buna
sınıfta
kaç
A) 8 göreB)
7
C)kız
6 öğrenci
D) 5 vardır?
E) 4
A) 8
18
120
9) C
9) D
10) E
10) E
11) C
11) C
12) E
12) E
13) C
B) 7
14) E
13) C
C) 6
15) A
14) E
D) 5
16) A
15) A
16) A
E) 4
5
5
n
n+1
f p+f p+d n = 2 $f
p
0
2
1
1
ise n kaçtır?
B) 6
C) 9
D) 12
A) 111 B) 109 C) 107 D) 105
d n=
n!
(n – 1) !r!
r
E) 103
E) 15
4 erkek ve 6 bayan öğretmenin
bulunduğu bir okulda oluşturulacak 3 kişilik komisyonların
kaç tanesinde en az bir bayan
öğretmen bulunur?
6
m
n+f p = d
n
m–1
4
m–2
ise m kaçtır?
2.
A) 8
–d
m
B) 7
C) 6
6. Paralel iki doğrunun birinin üzerinde 6, diğerinin üzerinde 5 nokta vardır.
D) 5
E) 4
D) f
n+1
p
5
E) f
n+2
4
Palme Yayıncılık
d n+d n
3
4
ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
n+1
n
n
p
A) d n B) f
C) d n
4
3
4
3.
n
B) 90
C) 135 D) 180
bayan olmayan 3 lü grupların
A) 280 B) 260 C) 140 D) 70
sayısı çıkarılır. Yani
E) 225
7. 8 kişi arasından 5 kişilik basketbol takımı
ve beş kişi arasından bir kaptan kaç farklı
şekilde seçilebilir?
1. Yol: Oluşurulacak tüm 3 lü
grupların sayısından, içinde
Köşeleri bu noktalarda bulunan kaç üçgen
çizilebilir?
A) 45
n
10
4
f
2. Yol:
f p$f p+f p$f p+f p
= 36 + 60 + 20 = 116 dır.
3
p – f p = 120 – 4 = 116
3
4
6
4
6
1
2
2
1
3
E) 35
p
n
12
8
12
d n–f p=f p–f p
5
8
r
4
eşitliği veriliyor.
n
n
r
r+1
Buna göre (n + r) aşağıdakilerden hangisi
olabilir?
A) 11
B) 12
C) 13
1) C
D) 14
2) D
n=f
n+1
r+1
p
(Pascal Kuralı)
8. 6 kişiden 2 kişi Antalya’ya, 4 kişi İzmir’e gidecektir.
4.
4 6
6
d n+d
E B
Bu iki grup kaç değişik şekilde seçilebilir?
A) 6
B) 9
C) 12
D) 15
E) 18
E) 15
3) B
4) C
5) A
6) C
7) A
8) D
19
SAYMA, PERMÜTASYON, KOMBİNASYON VE BİNOM AÇILIMI
A) 3
n
5. Düzlemde seçilen 10 doğru ile 3 çemberin
kesim noktalarının sayısı en çok kaçtır?
1.
Temel Kavramlar ve Örnekler
ÜNİTE – 1
Test - 6
Kombinasyon - 2
ÜNİTE – 1
ÜNİTE – 3 PERMÜTASYON, KOMBİNASYON, BİNOM, OLASILIK VE İSTATİSTİK
TEST
Bilgi
Temel Kavramlar ve Örnekler
4
Test - 6
Düzlemde
8 farklı
çember
çok
kaç
nok9.9.Düzlemde
8 farklı
çember
enen
çok
kaç
nokTEST
tada
kesişir?
tada
kesişir?
4
Düzlemde
7 farklı
çember
Düzlemde
7 farklı
çember
en en
13.
13.
A) 14 B) 20
B) 20C) 36
C) 36D) 40
D) 40 E) 56E) 56
A) 14
kaç
noktada
kesişir?
çokçok
kaç
noktada
kesişir?
9. enDüzlemde
8 farklı çember en çok kaç nok13.
İki farklı çember
çok iki
Bilgi
İki farklı çember en çok iki
SAYMA, PERMÜTASYON, KOMBİNASYON VE BİNOM AÇILIMI
B) 20
C) 36
D) 40
E) 56
7.6
p = 2. 2 = 42
ktada keşisir.
C
B•
A
•
•
•
M
•
E
•
•A
•
•
•
C
•
•K
E
D
Kaç tane yamuk oluşur?
10. P(n, 4) = 40.C(n, 2) ise n kaçtır?
d
F
A) 7
C) 5
A) 100 E) 3B) 96
D) 4
•K
•
L A)
7
• oluşturulabilir?
dörtgen oluşturulabilir?
Bölüm–1
d doğrusu
üzerinde
bulunan
d doğrusu
üzerinde
bulunan 6
noktadan
noktadan
oluşan 4 lülerden
kildeki 9 nokta ile 6
kaç
farklı oluşan
dörtgen oluşmaz. Ayrıca 3 ü d
tgen oluşturulabilir?
4 lülerden dörtgen oluşmaz.
C) 84
ise n kaçtır?
meslekten
en az
kişi olacak
şe-4
14. 4Her
doktor,
3 mühendis
ve 3bir
avukat
arasından
14. 4 doktor, 3 mühendis,
3seçilecektir.
avukat
arasından
kilde
kaç farklı
seçim4yapılabilir?
kişi
kişi seçilecektir.
A) 140
B) 126
120
D) 90 şekilde
E) 70
Her
meslekten
en azC)bir
kişi olacak
A) 7
B) 6
C) 5
D) 4 Her
E) 3meslekten enkaç
az bir
kişi
olacak
şefarklı seçim yapılabilir?
kilde kaç farklı seçim yapılabilir?
A) 140 B) 126 C) 120 D) 90
E) 70
A) 140 B) 126 C) 120 D) 90 E) 70
11. Kız ve erkek öğrencilerden oluşan 18 kişilik bir grupta kız öğrencilerin oluştur-
PERMÜTASYON, KOMBİNASYON BİNOM VE OLASILIK
ikili
grupların
sayısı
erkek oluşturduğu ikili
bir grupta kız
öğrencilerin
talardan
kaç
6
3
6
9.8.7.6 96.5 6
öğrencilerden
oluşan
grupların
sayıA) 7ikili sayısı,
B) 8 erkek
C)
9öğrencilerden
D) 10
E)
15
grupların
olup–f p=
–f p – f p – f p $ f p =
51
4.3.2.1
2
4
farklıoldudörtgen
4
4
3
1 sından 17 fazla olduğuna
şan ikili grupların
17 fazla
göre, busayısından
toplu= 126 – 15 = 111
elde
edilir?
ğuna göre,
bu toplulukta kaç erkek öğrenci
lukta kaç erkek öğrenci
vardır?
Paraleloluşur.
iki doğrudan birinin
dörtgen
vardır?
A) üzerinde
7
B) 8
C) 9
D) 10
E) 15
üzerinde 7, diğerinin
A)
7
B)
8
C)
9
D) 10
E) 15
5 nokta vardır. Bu nokalar ile
A) 70
kaç farklı
üçgen oluşturulabilir?
Paralel
iki doğrudan
birinin
ralel iki doğrudan
birinin
erinde 7, diğerinin üzerinde
üzerinde 7, diğerinin üzerinde
5 nokta
7 •işaretleniyor.
• • • •Bu•nokta• d1
okta vardır. Bu nokalar
ile
lar
ile
kaç
farklı
üçgen
oluşturuç farklı üçgen oluşturulabilir?
labilir?
5•
•
7
•
5
•
7
• d1
5
E) 60
kişi seçilecektir.
doğrusu üzerinde biri çember
15.
O halde,
oğrusu üzerinde bulunan
6
duğu ikili grupların sayısı erkek
üzerinde olan 4 lülerde dörtgen
ktadan oluşan
9
6
9.8.7.6 6.5
öğrencilerden
f p – f p = 11. Kız
– ve erkek öğrencilerden
oluşanoluşan
18 ki- ikili grupların sayıoluşturmaz.
4.3.2.1
2
4
4
ülerden dörtgen oluşmaz.
sından
17
fazla
olduğuna
göre, bu topluşilik bir grupta kız öğrencilerin oluşturO halde,
= 126 – 15 = 111
15.
11. Kız ve erkek öğrencilerden oluşan
18 kişilik nok15.
Şekildeki
halde,
lukta kaç erkek öğrenci vardır?
duğu
D) 70
14. 4 doktor, 3 mühendis, 3 avukat arasından 4
B) 6
C) 5
D) 4
E) 3
10. P(n, 4) = 40 ⋅ C(n, 2)
nokta
ile kaç9farklı
Şekildeki
noktadörtgen
ile kaç farklı
L
B) 6
10. P(n, 4) = 40.C(n, 2) ise n kaçtır?
•
• M•
•
•
L
M
•
K
Yukarıdaki
şekilde verilen 9
•
C
B•
d
F •A B
•
Palme Yayıncılık
D
•
E
D
Kaç tane
Buna
göre,yamuk
şekildeoluşur?
kaç tane yamuk oluşur?
Şekildeki 5 doğru PA)noktasından
geçen
100
B) 96
C)584 D) 70
E) 60
A) 100 B) 96 C) 84 D) 70
E) 60
doğru ile kesiştirilmiştir.
d
F
Şekildeki5 5
doğruP P
noktasından
geçen
5
Şekildeki
doğru,
noktasından
geçen
5 ışın
iledoğru
kesiştirilmiştir.
ile kesiştirilmiştir.
77
77$.6
farklı çember en çok 2iki
p =22$ . 2 == 42
2 $ f . fp =
42
2
2
2
ktada kesiştiğinden 7 farklı
noktada
keşisir.
noktada
keşisir.
mber en çok,
2
P
tada7 farklı
kesişir?
noktada kesiştiğinden
noktada
zlemde 7 farklı çember
en kesiştiğinden 7 farklı
çember
çok, A) 14
çember
enen
çok,
k kaç noktada kesişir?
7
P
B) 69
12. 5 erkek ve 4 bayan öğretmenin bulunduğu
Şekildeki
nok-
talardan
kaç
farklı
dörtgen
elde edilir?
L
E
•
•
•
A) 70
E
F
K
•
•
•D
B) 69
•
A
C) 66
A) 70
L
K
•
F
•
•
•
•D
Şekildeki noktalardan kaç farklı
•C
•
elde
A dörtgen
•
edilir?B
C) 66
•C
D) 50
E) 49
B
D) 50
B) 60
E) 49
C) 53
D) 51
E) 43
16. Bir okulda 5 tane seçmeli ders açılmaktadı. Cem bu derslerden sadece 3, Özüm
bir okulda oluşturulacak 3 kişilik komis-
ise en az 2 ders seçmek zorunda oldu-
yonların kaç tanesinde en az bir erkek öğ• • • • • • d1 f p f p + f p f p
ğuna göre,
ikisi
birlikte bu dersleri kaç
1 2
2 1
16. Bir okulda 5 tane
seçmeli
açılmak7 • • • • 12.
d1
retmen
• • 5 •erkek
16. Bir
okuldaders
5 tane
seçmeli ders açılmaktadır.
12. 5 erkek
ve bulunur?
4 bayan
öğretmenin bulunduğu
ve 4 bayan
öğretmenin
bulunduğu
5•
•
•
•
• d1 + 21.5 = 70 + 105 = 175
farklı şekilde
7.10
tadı. Cem bu derslerden
sadece seçerler?
3, Özüm
bir A)
okulda
oluşturulacak
80 3 kişilik
B) 74 komisC) 72 3 kişilik
D) 70 komisE) 60
5•
•
•
• bir
• d2okulda oluşturulacak
Cem bu derslerden sadece 3, Özüm ise en
7•
ise enöğaz 2 ders seçmek
A) 126 zorunda
B) 192 olduC) 220 D) 240 E) 260
yonların kaç tanesinde en az bir erkek
az 2 ders seçmek zorunda olduğuna göre,
ğuna göre, ikisi birlikte bu dersleri kaç
1 2
2 1 f pf p + f pf p
retmen bulunur?
ikisi birlikte bu dersleri kaç farklı şekilde
1 2
2 1
farklı şekilde seçerler?
.10 + 21.5 = 70 + 105 = 175
seçerler?
A)
80
B)
74
C)
72
D) 70
E)
60
80= 175B) 74
C) 72
D) 70
E) 60
7 ⋅ 10 + 21 ⋅ 5 = 70 +A)
105
A) 126 B) 192 C) 220 D) 240 E) 260
olur.
A)
B)
C) C
220 16)
D) 240
E) 260
9) E
10) A
11) D
12) A
13)126
A
14)192
B
15)
E
22
7
5
7
5
f pf p+f pf p
7
5
7
en az bir erkek öğ5yonların kaç tanesinde
retmen bulunur?
122
9) E
20
9) E
10) A
11) D
12) A
10) A
11) D
13) A
12) A
14) B
13) A
15) C
14) B
16) E
15) C
16) E
1. 3
7. 9 kişilik gruptan 4 kişilik bir komite ile bu ko-
= C (n, 3)
C) 12
D) 15
E) 18
Bir başkan ve üç üyeden oluşan bu komitenin seçimi kaç farklı şekilde yapılabilir?
A) 270 B) 450 C) 504 D) 540 E) 1080
n
n (n – 1)
d n=
= 2$n
2
2
n – 1 = 4 & n = 5 tir.
C(n, 2) + P(n + 1, 2) = 15
ise, n değeri kaçtır?
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
8. 8 kişi arasından en az iki kişilik kaç farklı
A) 28
B) 37
C) 56
D) 247 E) 256
6
f p = 4 $ P (n, 1) eşitliğinde n
3
grup oluşturulabilir?
kaçtır?
6
6$5$4
f p=
= 20
3$2$1
3
3. Bir şarkı listesindeki 30 parçadan sırasıyla
farklı ikisi çalınacaktır.
20 = 4 $ n
A) 680 B) 720 C) 780 D) 820 E) 840
Bu kutudan 3 ü defolu, 2 si defosuz olmak
üzere 5 bluz kaç farklı şekilde seçilebilir?
n=5
9. 7 kişi arasından 4 kişilik bir komisyon oluştuPalme Yayıncılık
4. Bir kutuda 5 i defolu 15 bluz vardır.
= 4 $ P (n, 1)
Buna göre, kaç farklı seçim yapılabilir?
rulacaktır.
Belli 2 kişi bu komisyona birlikte girmek
istemediğine göre, bu seçim kaç farklı şekilde yapılır?
A) 10
B) 15
C) 25
D) 30
10 kişi arasından en az 3 kişilik
bir kombinasyon kaç farklı şekilde seçilebilir?
E) 35
A) 300 B) 450 C) 550 D) 750 E) 1200
f
10.4., 5. ve 6. katlarda duracak olan bir asansöre
grup seçilecektir.
Gruba girecek iki kişi belli olduğuna göre,
kaç farklı seçim yapılabilir?
A) 56
B) 68
C) 72
D) 120 E) 252
10
0
p+f
10
1
p+f
10
2
Bu 4 kişi, bu katlarda asansörden kaç farklı
şekilde inebilirler?
1 + 10 +
B) 24
C) 30
D) 64
p+f
10
5
p + ... + f
11.4 kadın ve 3 erkek arasından 1 kadın ve 2
10 $ 9
+ x = 2 10
2
56 + x = 1024 & x = 968
8 kişilk bir gruptan 5 kişi ve bu
5 kişiden bir başkan seçilecektir.
1 başkan ve 4 üyeden oluşan
grup kaç farklı şekilde seçilebilir?
8
5
5
1
f p $ f p = 280
A) 12
farklı şekilde seçilir.
D) 48
E) 60
A) 154 B) 156 C) 164 D) 168 E) 172
1) D
2) B
3) C
4) B
5) A
6) D
7) C
8) D
9) C
10) E
11) D
p= x
10
10
10
p + f p + ... + f p = 2 10
3
4
10
144444444444424444444444443
x
erkek seçilip erkekler yanyana olmak koşuluyla kaç farklı biçimde sıralanabilir?
C) 36
10
E) 81
B) 24
10
p+f
olup
6. Birinci, ikinci ve üçüncülüğün belli olduğu bir
Birinciye 5, ikinciye 2 ve üçüncüye 1 eşya
olmak üzere bu ödüller kaç değişik şekilde
dağıtılabilir?
4
10
4 kişi biniyor.
A) 6
yarışmanın sonunda birbirinden farklı 8 eşya
hediye olarak verilecektir.
3
p+f
ise,
f
5. 10 kişilik bir voleybol takımından 5 kişilik bir
10
21
SAYMA, PERMÜTASYON, KOMBİNASYON VE BİNOM AÇILIMI
2.
B) 9
n
d n = 2n olduğuna göre, n
2
kaçtır?
mite içinden de bir başkan seçimi yapılacaktır.
eşitliğini sağlayan n değeri kaçtır?
A) 8
C (n, 4)
Temel Kavramlar ve Örnekler
ÜNİTE – 1
Test - 7
Kombinasyon - 3
Test - 7
12.3 kadın ve 4 erkek arasından 1 kadın 2
17.
16 küçük kareden oluşan yandaki şeklin içinden aynı satırdan veya
aynı sütundan iki küçük
kare seçilerek boyanacaktır.
erkek seçilerek kaç farklı şekilde sıralama
yapılır?
SAYMA, PERMÜTASYON, KOMBİNASYON VE BİNOM AÇILIMI
5 erkek ve 4 kız öğrenci arasından 3 kişilik bir komisyon
oluşturulacaktır.
Bu işlem kaç farklı şekilde yapılabilir?
A) 104 B) 108 C) 112 D) 120
E) 144
Buna göre, kaç farklı boyama yapılır?
A) 60
5
4
4
5
5
4
5
f p$f p+f p$f p+f p$f p+f p$f p
3 0
3 0
2 1
1 2
13.6 kişinin katıldığı bir sınavda en az 4 kişinin
10 ⋅ 1 + 4 ⋅ 1 + 10 ⋅ 4 + 5 ⋅ 6 = 84
şekilde yapılabilir.
n
n (n – 1)
d n=
2
2
noktada kesişir.
Buna göre, bu sınav kaç farklı şekilde sonuçlanabilir?
B) 21
C) 22
D) 63
18.
A
E) 64
B
C
14.Düzlemsel 6 farklı doğru en çok kaç noktada kesişir?
A) 6
Düzlemde n farklı çember en
çok,
n
n (n – 1)
2d n = 2 $
= n (n – 1)
2
2
farklı noktada kesişir.
B) 9
C) 12
D) 15
E) 18
4 $d n = 4 $
2
farklı noktada kesişir.
2
D) 100
E) 150
kesişir?
A) 14
B) 36
C) 44
D) 45
B) 21
C) 35
D) 42
E) 49
E) 46
n tane dikdörtgen en çok
C) 50
Buna göre, bu noktalar en fazla kaç doğru
belirtir?
A) 35
n (n – 1)
B) 30
19.Farklı 7 çember en çok kaç farklı noktada
vardır.
n
Yukarıdaki şekilde A noktasından harekete
başlayan bir hareketli B noktasına uğrayarak en kısa yoldan kaç farklı şekilde C noktasına gidebilir?
A) 20
15.Bir düzlemde 5 tanesi doğrusal olan 10 nokta
E) 216
Düzlemde n farklı doğru
C) 120 D) 210
başarılı olması isteniyor.
A) 15
B) 96
4
Palme Yayıncılık
ÜNİTE – 1
Temel Kavramlar ve Örnekler
20.5 farklı dikdörtgen en çok kaç noktada kesişebilir?
= 2n (n – 1)
A) 10
B) 20
C) 40
D) 60
E) 80
16.
21.Bir çember üzerinde 7 farklı nokta işaretleniyor.
22
Yukarıdaki şekilde kaç tane üçgen vardır?
Köşeleri bu noktalar olan üçgenlerin sayısı x, dörtgenlerin sayısı y ise, y – x farkı
kaçtır?
A) 12
A) 0
B) 13
12) B
C) 18
13) C
D) 30
14) D
E) 42
15) B
16) D
17) E
18) E
B) 2
19) D
C) 7
20) E
D) 14
21) A
E) 16
1. 6. Bir okuldaki 6 değişik seçmeli dersten 2 si
C(n, 2) + P(n, 3) = 30n – 45
B) 4
C) 5
D) 6
E) 7
Bu 6 seçmeli dersten 3 ünü seçmek isteyen
bir öğrenci kaç farklı seçim yapabilir?
C(2n, 3) =
P (2n + 1, 3)
B) 7
C) 8
D) 9
E) 10
D) 70 E) 74
Palme Yayıncılık
ikisi erkek olmak üzere üç öğrenci kaç değişik biçimde seçilebilir?
C) 50
E) 24
2E 1K, 1E 2K, 0E 3K olur.
4 6
4 6
f p$f p+f p$f p
1 2
2 1
4$
Her iki şehire en az birer kişi gideceğine
göre, bu 5 kişi kaç farklı gruplama ile gönderilebilir?
B) 10
C) 20
D) 30
6$5
2
+
4$3
2
$6+
6$5$4
3$2$1
= 60 + 36 + 20 = 116
farlı şekilde oluşturulabilir.
E) 32
Bir öğrenci 10 soruluk bir sınavda 8 soru seçecektir.
İlk 6 sorudan en az 4 ünü yapmak zorunda ise kaç farklı
seçim yapabilir?
lukta olduğu (erkekli ya da erkeksiz) kaç
tane 3 kişilik grup oluşturulabilir?
6 4
6 4
6 4
f p$f p+f p$f p+f p$f p
4 4
5 3
6 2
A) 5
8. 5 kız ve 5 erkek arasından kızların çoğun-
3. 5 erkek ve 4 kız öğrenci arasından en çok
B) 40
D) 20
İstanbul'a gönderilmek üzere 5 kişi seçilmiştir.
A) 5
A) 30
C) 16
7. Matematik yarışmaları için Antalya ve
7
ise, n kaçtır?
A) 6
B) 12
6 kız ve 4 erkek öğrenci arasından en çok 2 si erkek olan
3 kişilik bir komisyon kaç farklı
şekilde oluşturulabilir?
B) 50
C) 60
D) 100 E) 155
=
6$5
2
4$3
$1+6$4+1$
2
= 15 + 24 + 6
= 45
4. 4 matematikçi ve 3 fizikçi arasından 4 kişi se-
9. 28 kişilik bir sınıfta kız öğrencilerden oluşturu-
En çok 1 fizikçinin bulunduğu grup sayısı
kaçtır?
A) 5
B) 12
C) 13
D) 15
labilecek ikişerli grupların sayısı, erkek öğrencilerin sayısına eşittir.
çilerek bir komisyon oluşturulacaktır.
B) 6
C) 7
D) 8
kalaşma sayısı
10.Bir davete katılan 20 kişinin her biri diğerleriyle
tokalaşmıştır.
pacaktır.
İlk 5 sorudan en az 4 ünü yapmak zorunda
ise, kaç farklı seçim yapabilir?
A) 10
B) 20
1) D
C) 40
2) E
D) 50
3) E
Toplam kaç farklı tokalaşma gerçekleşmiştir?
A) 190 B) 200 C) 361 D) 380
E) 60
4) C
5) E
6) C
7) D
8) C
9) C
10) A
n (n – 1)
2
E) 9
5. Bir öğrenci 10 soruluk bir sınavda 7 soru ya-
Bir davete katılan n kişinin her
biri diğer ile tokalaşmış ise to-
Bu sınıfta kaç kız öğrenci vardır?
A) 5
E) 21
farklı seçim yapabilir.
E) 400
6 erkek ve 3 kız öğrenci arasından en çok 2 si erkek olan
4 kişilik bir komisyon kaç farklı
şekilde oluşturulabilir?
3
6
3
6
2
2
3
1
f p$f p+f p$f p
= 3$
dir.
6$5
2
+ 1 $ 6 = 51
farklı şekilde oluşturulabilir.
23
SAYMA, PERMÜTASYON, KOMBİNASYON VE BİNOM AÇILIMI
A) 4
2.
aynı saatte verilmektedir.
ise, n kaçtır?
A) 3
Temel Kavramlar ve Örnekler
ÜNİTE – 1
Test - 8
Kombinasyon - 4
Test - 8
11.Düzlemde 6 farlı dikdörtgenin kesim noktaC
15.
larının sayısı en çok kaçtır?
A) 180 B) 150 C) 120 D) 108
A
B
K
L
B
SAYMA, PERMÜTASYON, KOMBİNASYON VE BİNOM AÇILIMI
A
A dan harekete başlayan ve B
ye uğramadan C ye giden bir
hareketlinin kaç farklı yol seçimi vardır?
6
6
7
8
9
10
f p+f p+f p+f p+f p = f p
2
3
4
5
6
r
12.
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
f
10 + 6
10
p=f
16
10
p=f
16
6
p
kadardır.
A dan B ye olan yol sayısı;
ve B den C ye olan yol sayısı,
f
B
7
7
7$6$5
p=f p=f p=
= 35
3$2$1
4
4
3
9
C
I
4+3
3+6
H
G
F
E
D
f
p = f p kadardır.
3
6
Yukarıdaki şekilde ADH üçgeninin üzerinde 10
nokta verilmiştir.
O halde istenen yol sayısı
f
Buna göre, verilen noktalar kullanılarak
kaç farklı doğru çizilebilir?
16
9
p – 35 $ f p olur.
6
6
Buna göre, köşeleri bu noktalar olan kaç
üçgen çizilebilir?
A) 22
B) 23
C) 26
D) 32
E) 45
d1 // d2 , d1 üzerinde 5 farklı
ve d2 üzerinde 4 farklı nokta
vardır.
Bu 9 noktadan kaç farklı doğru
geçer?
14.
C) 80
B
F
C
G
D) 84
D
E) 90
E
H
d1
d2
I
A, B, C, D, E noktaları d1 doğrusu üzerinde ve
F, G, H, I noktaları d2 doğrusu üzerindedir.
d1 // d2 olduğuna göre, şekildeki 9 nokta
kullanılarak köşelerinden biri B olan kaç
tane üçgen çizilebilir?
A) 6
B) 16
C) 20
D) 22
E) 28
17.A, B ve C farklı noktaları bir doğru üzerinde D,
E, F, G ve H farklı noktaları ise aynı düzlemdeki farklı bir doğru üzerinde olsun.
Buna göre, bu 8 noktadan kaç doğru
geçer?
A) 14
B) 70
A
K
d2
P
16.
A
13.
N
Yukarıdaki şekilde d1 doğrusu üzerinde A, B,
C, D noktaları, bir d2 doğrusu üzerinde ise K,
L, M, N, P noktaları işaretlenmiştir.
A) 60
10 yatay, 6 düşey yol vardır.
A dan C ye tüm yolların sayısı
M
olduğuna göre, r aşağıdakilerden hangisi
olabilir?
A) 1
d1
D
C
E) 90
Palme Yayıncılık
ÜNİTE – 1
Temel Kavramlar ve Örnekler
B) 15
C) 16
D) 17
E) 18
A
18.
B
C
K
B
C
9
5
4
f p–f p–f p+ d + d
1
2
2
2
2
= 36 – 10 – 6 + 2 = 22
Şekilde ADI üçgeni üzerinde 10 farklı nokta
verilmiştir.
Buna göre, köşesi A olan kaç farklı üçgen
çizilebilir?
Yukarıdaki şekilde A noktasından harekete
başlayan bir hareketli B noktasına uğramadan en kısa yoldan C noktasına çizgiler
üzerinden kaç farklı yolla gidebilir?
A) 24
A) 450 B) 442 C) 350 D) 342
doğru geçer.
24
D
E
F
B) 28
G
C) 30
11) C
I
H
D) 32
12) D
E) 36
13) C
A
14) D
15) B
16) D
17) D
18) B
E) 328
5. {2, 3, 4, 5} kümesinin elemanlarını kullanarak 400 den büyük rakamları farklı kaç
farklı doğal sayı yazılabilir?
1. Birbirinden farklı 4 matematik, 4 türkçe, 4
felsefe kitabı aynı tür kitaplar yan yana gelmek üzere, bir rafa kaç farklı şekilde dizilebilir?
B) 4!.4!.4!.3!
D) 3!.4!.5!
A) 4
B) 8
C) 12
D) 24
m farklı mektup n farklı posta
kutusuna nm farklı şekilde atılır.
E) 36
C) 4!.5!
E) 5!.5!.3!
Birbirinden farkı 3 matematik, 4
fizik kitabı aynı tür kitaplar yan
yana gelmek üzere,
3! ⋅ 4! ⋅ 2! = 6.24.2 = 288
↓
6. 5 farklı kişiye yazılmış 5 mektup 3 posta
kutusuna kaç farklı biçimde atılabilir?
2. 2 kız ve 5 erkek, 3 kişi arkada 4 kişi önde olacak şekilde oturacaktır.
A) 53
Kızlar yanyana olmak koşuluyla kaç farklı
biçimde otururlar?
A) 1200
B) 1100
C) 15
D) 310
E) 990
B) 120 C) 180 D) 240
Bir futbol ligindeki 10 takım lig
sonunda ilk üç dereceyi,
10 ⋅ 9 ⋅ 8 = 720 farklı şekilde
paylaşır.
7. 8 değişik kitap, 3 çocuğa dağıtılacaktır.
E) 480
10 soruluk bir sınavda ilk üç
Birinci çocuğa iki kitap, ikinci çocuğa üç
kitap ve üçüncü çocuğa üç kitap verileceğine göre, 8 kitap üç çocuğa kaç farklı biçimde dağıtılabilir?
A) 140 B) 180 C) 240 D) 350
soruyu cevaplamak mecburi olduğuna göre, 7 soru kaç değişik
şekilde seçilebilir?
E) 560
4. Bir futbol ligindeki 12 takım lig sonunda ilk
üç dereceyi kaç farklı şekilde paylaşır?
A) 1320
şekilde dizilir.
C) 996
3. Cem ve Elif'in aralarında olduğu 6 kişi, bir
sinemada Cem ile Elif yan yana gelmemek
koşulu ile yan yana kaç türlü oturabilirler?
A) 80
E) 56
Palme Yayıncılık
D) 994
B) 35
2 tür kitap
B) 1200
D) 1050
2) A
C) 1150
3) E
4) A
7
f p = 35 farklı şekilde seçile-
bilir.
4
8. 8 soruluk bir sınavda ilk iki soruyu cevaplamak mecburi olduğuna göre, 6 soru kaç
değişik şekilde seçilebilir?
A) 15
E) 1000
1) B
10 3 = 7 olup 7 sorudan mecburi olmayan 4 tane seçmeliyiz.
5) E
6) B
B) 14
7) E
C) 13
8) A
D) 12
E) 11
25
SAYMA, PERMÜTASYON, KOMBİNASYON VE BİNOM AÇILIMI
A) 4!.4!.3!
Temel Kavramlar ve Örnekler
ÜNİTE – 1
Test - 9
Sayma - Permütasyon ve Kombinasyon - 1
Test - 9
P(n, r) =
n!
(n – r) !
13.
9. 3 farklı fizik ve 4 farklı matematik kitabı
bir rafa, başta belli iki matematik kitabı ve
sonda belli iki matematik kitabı bulunmak
üzere kaç türlü dizilebilir?
A) 8
P(n, 0) = 1
B) 12
C) 24
D) 48
2.P(n, 4) = P(n, 5)
olduğuna göre, n kaçtır?
A) 4
B) 5
C) 6
D) 7
E) 8
E) 72
SAYMA, PERMÜTASYON, KOMBİNASYON VE BİNOM AÇILIMI
P(n, 1) = n
P(n, n) = n!
{1, 2, 3, 4}
kümesinin elemanlarını
kullanarak 290 dan büyük
3 basamaklı kaç farklı sayı
yazılabileceğini bulalım.
P (n + 2, n – 2)
10.
{3, 4}
ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
1
n+2
A)
B)
n+2
3
2 ⋅ 4 ⋅ 4 = 32 sayı yazılabilir.
C)
2
4
4
14.
P (n + 3, n – 1)
1
n+3
E)
D)
n+2
n+3
1
2n + 3
A = {0, 2, 3, 5, 7, 8}
kümesinin rakamları kullanılarak 500 den
büyük üç basamaklı kaç tek sayı yazılabilir?
A) 9
B) 18
C) 28
D) 54
E) 60
Palme Yayıncılık
ÜNİTE – 1
Temel Kavramlar ve Örnekler
{0, 1, 2, 3, 4} kümesinin
elemanlarını kullanarak
300 den büyük rakamları
farklı kaç sayı yazılabilir?
2
4
3
11.
{3, 4}
2 ⋅ 4 ⋅ 3 = 24 tane üç basamaklı
4
4
3
2
15. m ve n doğal sayılar ise
A = {0, 1, 2, 3, 4}
kümesinin elemanları bir kez kullanılarak
215 ten büyük kaç tane üç basamaklı çift
sayı yazılabilir?
A) 18
B) 15
C) 12
D) 9
3 $ P (m, n) + 5 $ P (n, m)
P (m, m) + P (n, n)
işleminin sonucu nedir?
A) 5
E) 6
B) 4
C) 3
D) 2
E) 1
{1, 2, 3, 4}
4 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅.2 = 96 tane 4 basamaklı
4
4
3
2
1
4 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 96 tane 5 basamaklı
sayı yazılabilir.
Toplamda,
12.
24 + 96 + 96 = 216
sayı yazılabilir.
26
16.
P(n, 4) = 6.P(n, 3)
olduğuna göre, n kaçtır?
A) 3
B) 6
C) 8
9) C
D) 9
10) C
E) 12
11) A
12) D
P(m, 2) + P(m, 3) = 80
olduğuna göre m kaçtır?
A) 4
13) C
B) 5
14) D
C) 6
15) B
16) B
D) 7
E) 8
1.
5. 4 erkek 6 kızdan oluşan bir grup, erkekler
yan yana olmak koşulu ile bir sıraya kaç
farklı biçimde dizilirler?
P(n, 3) = 20.n
olduğuna göre, n kaçtır?
A) 3
B) 4
C) 5
Temel Kavramlar ve Örnekler
D) 6
E) 7
B) 4! ⋅ 8!
öğrenciler bir arada olmak
üzere bir sıraya kaç farklı şe-
C) 4! ⋅ 7!
D) 6! ⋅ 7!
kilde oturabilirler?
E) 5! ⋅ 8!
P (n, r)
6. P ( n – 1, r )
ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
n
A)
n–1
n
B)
n–r
r
C)
n–r
n+2
E)
r –1
n–r
D)
r
● ● ●
3 kız
1+3=4
4! ⋅ 4! = 576
↓
(erkekler kendi aralarında)
2.
● ● ● ●
1 kişi
A = {0, 1, 2, 3, 4, 5}
kümesinin elemanları kullanılarak üç basamaklı ve rakamları farklı 5 ile bölünebilen
kaç sayı yazılabilir?
A) 3
B) 6
C) 18
D) 27
{0, 1, 2, 3, 4, 5} kümesinin
E) 36
elemanlarını kullanarak ile 4
ile bölünebilen üç basamaklı
rakamları farklı kaç sayı yazıla-
Palme Yayıncılık
bilir?
4
2
→4⋅2=8
1
{2,4} {0}
3
2
→3⋅2=6
1
{0,2} {4}
3.
P(n, 7) = 12 ⋅ P(n, 6)
7. 14 takımın katıldığı bir futbol liginin birinci
devresinde kaç maç yapılır?
olduğuna göre, n kaçtır?
A) 18
B) 15
C) 12
D) 9
A) 91
E) 6
B) 84
C) 72
D) 68
3
3
→9
1
{1,3,5} {2}
8 + 6 + 9 = 23 tane yazılabilir.
E) 34
7 kişilik bir ailede anne ve baba
çocukları aralarına alıp fotoğraf
çektirecekelrdir.
Buna göre, kaç farklı şekilde
fotoğraf çektirebilirler?
B
4. 0, 1, 2, 3, 4 rakamları birer kez kullanılaraklı
4 ile bölünebilen üç basamaklı kaç sayı yazılabilir?
A) 15
B) 16
C) 17
D) 18
8. 6 kişilik bir ailede anne ve baba, çocukları aralarına alıp fotoğraf çektireceklerdir.
E) 19
Buna göre kaç farklı şekilde sıralanabilirler?
A) 8
1) D
2) B
3) A
4) C
5) C
6) E
B) 16
7) A
C) 24
8) E
D) 32
A
A
.....
B
5 çocuk
2! 5! = 240 farklı şekilde fotoğraf çektirebilirler.
E) 48
27
SAYMA, PERMÜTASYON, KOMBİNASYON VE BİNOM AÇILIMI
A) 8! ⋅ 7!
3 kız ve 4 erkek öğrenci, erkek
ÜNİTE – 1
Test - 10
Sayma - Permütasyon ve Kombinasyon - 2
Test - 10
10 soruluk yazılı sınava giren bir
öğrenciden ilk 3 soruyu zorunlu
9. 10 soruluk yazılı sınavda bir öğrencinin 7 soruyu yanıtlaması istenmektedir.
olarak cevaplamak üzere 7 so-
SAYMA, PERMÜTASYON, KOMBİNASYON VE BİNOM AÇILIMI
ruyu yanıtlaması isteniyor. Kaç
İlk iki sorudan en az birini yanıtlamak zorunda olan bu öğrencinin kaç farklı yanıtlama seçeneği vardır?
A) 100 B) 105 C) 107 D) 112
farklı şekilde yanıtlayabilir?
n $ P (n, 1) – 1
13.
P (n, 2)
ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A)
n
n+2
E) 115
B)
D) n–1
n
C)
n
n+1
E)
n+1
n–1
n+1
n
10 sorudan ilk 3 ünü zorunlu
olarak yanıtlayacağından geriye
seçebileceği 7 soru kalmaktadır.
Bu ise,
7
f p = 35 şekilde gerçekleşir.
4
A) 10
B) 12
C) 18
D) 24
ziğe kaç farklı şekilde sıralanabilir?
Boncuklardan birini yerleştirelim. Geriye bir renkten 2, diğerinden 3 tane kalır. Tekrarlı
permütasyon ilkesine göre,
2 + 3 = 5 olduğundan,
5!
2! $ 3!
eşitliğini sağlayan n değeri kaçtır?
A) 4
E) 60
3 sarı ve 3 mavi boncuk bir bile-
14. 5 ⋅ P(6, n) = 6 ⋅ P(5, n)
10. SİNCAP kelimesinin harfleri birer kez kullanılarak A ile başlayıp P ile biten 6 harfli anlamlı ya da anlamsız kaç kelime yazılabilir?
B) 3
C) 2
D) 1
E) 0
Palme Yayıncılık
ÜNİTE – 1
Temel Kavramlar ve Örnekler
11. A, B, C, D, E konferanslarını izlemek isteyen bir kişi, A ve D konferansları aynı saatte olduğuna göre bu 5 konferanstan 3
ünü kaç farklı biçimde izleyebilir?
= 10
A) 4
B) 5
C) 6
D) 7
15. E) 8
P(m + n, n) ⋅ P(m, m – n)
çarpımının sonucu aşağıdakilerden hangisi
ile ifade edilebilir?
A) P(m + n, m)
B) P(m, n)
C) P(2m + n, m)
D) P(m + n, 2n)
şekilde sıralanır.
E) P(2m + n, m)
7 katlı bir binanın tüm katları
4 farklı renk boya kullanılarak
boyanacaktır. Ardışık iki katın
boya renginin aynı olması istenmediğine göre, bu iş kaç farklı
biçimde yapılabilir?
İlk katın boyanma işlemi 4, bundan sonraki her katın ise 3 şekilde yapılabilir.
O halde; 4 ⋅ 3 ⋅ 3 ...3 = 4 ⋅ 36
şekilde bu iş yapılabilir
28
12.
16.
{0, 1, 2, 3, 4}
kümesinin elemanları ile üç basamaklı kaç
çift doğal sayı yazılabilir?
A) 15
B) 30
C) 45
D) 48
E) 60
A
B
10) D
11) D
12) E
D
E
F
Yukarıdaki şekilde harflerin bulunduğu kutular
kırmızı, sarı ya da yeşil renklerle boyanacaktır.
Yanyana iki kutunun renkleri farklı olacağına göre bu boyama işlemi kaç farklı şekilde yapılabilir?
A) 108 B) 96
9) D
C
13) E
14) D
15) A
C) 92
16) B
D) 84
E) 72
1. 6
2
c – x 3m
x
ifadesinin açılımında sondan 5. terim aşağıdakilerden hangisidir?
B) –160 ⋅ x6
D) 240 ⋅ x2
C) 60 ⋅ x10
ifadesinin açılımında x3 lü terimin katsayısının x2 li terimin katsayısına oranı kaçtır?
A) –2
B) –
E) 300 ⋅ x2
1
1
C) 2
2
D) 1
E) 2
(x2 – 3xy)6
ifadesinin açılımındaki bir terim
k ⋅ x10 ⋅ yn dir.
Buna göre, 4 + n kaçtır?
(x2 – 3xy)6 = [x(x – 3y)]6
= x6 ⋅ (x – 3y)6 dır.
x10 lu terimi elde etmek için x6
2.
7.
(x – 2y)n
açılımında sondan 7. terimin katsayısı 112
ise, n kaçtır?
A) 6
B) 7
C) 8
D) 9
açılımında katsayıların toplamı 256 ise, m
aşağıdakilerden hangisi olabilir?
A) –7
E) 10
yı x4 lü terim ile çarpmalıyız.
(mx3 + 6y2)8
B) –6
C) –5
D) –4
6
f p $ x 4 ( – 3y) 2 dir.
2
Bu terim x6 ile çarpılırsa
E) –2
6
6$5
f p ( – 3) 2 $ x 10 $ y 2 =
$ 9 $ x 10 $ y 2
2
2
= 135x 10 y 2
fx +
4
1
3p
x
8
açılımında orta terim aşağıdakilerden hangisidir?
A) 28x4
B) 56x4
D) 336x4
cx2 –
8.
C) 70x4
Palme Yayıncılık
3.
= k $ x 10 $ y n
1 9
m
x
ifadesinin açılımındaki sabit terim aşağıdakilerden hangisidir?
A) –504 B) –84 C) 0
D) 84
E) 504
E) 1680x4
4.
9. Pascal üçgeninin bir satırındaki terimlerin
5. B) 6
C) 15
D) 20
n
2
c + ym
x
B) 20
1) D
2) C
D) 45
3) C
başta (k + 1). terim
C) 6
D) 7
E) 8
9
9–k
f p ( – 1) k $ ^a –1h
$ a 2k
k
9
k
3k – 9
= f p ( –1) $ a
k
olur.
Sabit terim x in kuvveti sıfır
olan terimidir.
a3k - 9 = a0 ⇒ 3k – 9 = 0
k = 3 olur
O halde sabit terim,
ifadesinin açılımındaki katsayılardan en küçüğü kaçtır?
9
9$8$7
f p ( – 1) 3 $ a 0 = –
= – 84
3$2$1
3
A) –70
bulunur.
10.
C) 40
B) 5
ifadesinin açılımında sabit terimi bulalım.
9
1
c – a 2 m ifadesinin açılımında
a
E) 24
ifadesinin açılımında 6 tane terim olduğuna
göre, bu ifade x in artan kuvvetlerine göre
açıldığından baştan 4. terimin katsayısı kaç
olur?
A) 10
A) 4
9
1
c – a 2m
a
toplamı 64 ise, bu satırda kaç terim vardır?
ifadesinin açılımında orta terimin katsayısı
kaçtır?
A) 1
1 6
cx2 + m
x
eşitliğinden
k = 135 ve n = 2 olup
k + n = 135 + 2 = 137 bulunur.
(x – y)8
B) –56 C) –28 D) –8
E) –1
E) 50
4) D
5) C
6) B
7) D
8) D
9) D
10) B
29
SAYMA, PERMÜTASYON, KOMBİNASYON VE BİNOM AÇILIMI
A) –300 ⋅ x2
5
x
c – 1m
2
6.
Temel Kavramlar ve Örnekler
ÜNİTE – 1
Test - 11
Binom Açılımı - 1
Test - 11
(4x + 3y + 16)5
açılımında sabit terimi bulalım.
2
fx y –
11.
SAYMA, PERMÜTASYON, KOMBİNASYON VE BİNOM AÇILIMI
Sabit terimi bulmak için
x = y = 0 yazalım.
(4 ⋅ 0 + 3 ⋅ 0 + 16)5 = 165
= (24)5
= 220
bulunur.
^ 3 + 3 2h
açılımında rasyonel olan terimlerin toplamı kaçtır?
8
k
8-k 3
f p^ 3 h
$ ^ 2h
k
8
8
= f p3
k
olur.
8-k
2
A) 15
B) 20
f p$ 3
0
C) 24
D) 30
ifadesinin açılımında y3 lü terimin katsayısı
kaçtır?
D) 20
$2
8-0
0
2
3
8
ifadesinin açılımında
kaçtır?
A) –224
lü terimin katsayısı
B) –112
D) 112
^3 5 + 6 2 h
24
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
E) 40
E) 495
ifadesinin açılımında kaç terim rasyoneldir?
A) 1
3
x4
x
12
– xp
ifadesinin açılımında sabit terim kaçtır?
18.
4 x
dx + n
2
1
E) 60
B) –20 C) 10
f
A) –495 B) –450 C) –225 D) 450
(2x – y)5
A) –40
^3 2 – 1h
9
açılımında rasyonel olan terimlerin toplamı
kaçtır?
A) 161 B) 162 C) –360 D) –338 E) –161
C) 7
E) 224
19.
4
$ 2 = 3 = 81 dir.
(x – 2y + z)5
ifadesinin açılımında kaç tane terim vardır?
A) 6
B) 15
C) 18
D) 21
E) 28
k = 6 için
8
f p$ 3
6
8$6
6
2
3
$2 =
8$7
2
14.
$ 3 $ 22
= 336 dir.
16.
k
k nın alabileceği değerler o, 1,
2, ..., 8 dir.
3 ve 2 nin kuvvetleri doğal sayı
olursa terim rasyonel olur.
Bu ise k = 0 ve k = 6 için sağlanır.
k = 0 için,
8
6
17.
13.
y
2p
ifadesinin açılımında içinde y bulunmayan
terimin katsayısı kaçtır?
12.
2
Palme Yayıncılık
ÜNİTE – 1
Temel Kavramlar ve Örnekler
(x2 + 2y3)10
ifadesinin açılımındaki terimlerden biri 80 ⋅ k ⋅ x14y9 ise k kaçtır?
20.
A) 6
B) 7
C) 8
D) 10
E) 12
O halde rasyonel terimlerin
toplamı
81 + 336 = 417 bulunur.
(x + 3y)9
ifadesinin açılmındaki terimlerden biri 63 ⋅ a ⋅ x6 ⋅ y3 ise, a nın değeri kaçtır?
A) 12
30
açılımında katsayıların toplamı kaçtır?
A) –32
15.
B) 24
11) E
C) 36
12) A
13) C
D) 42
14) E
21.
15) C
16) E
B) –16 C) 0
D) 16
E) 32
(3x + 2y + 8)5
açılımındaki sabit terim kaçtır?
A) 28
E) 48
(2x – 3y – z)4
17) E
B) 210
18) E
C) 212
19) D
D) 215
20) D
21) D
E) 220
1. (2x – y)8
açılımında baştan 3. terimin katsayısı
kaçtır?
B) –28
C) 28
D) 56
8
8
E) f
15
8
(3x + 2)12
açılımında baştan 5. terimin
katsayısını bulalım.
D) 56
E) 70
k + 1 = 5 ⇒ k = 4 olur.
f
7.
p
ifadesinin açılımında sabit terim kaçtır?
E) 1792
ifadesinin açılımında orta terimin katsayısı
nedir?
14
14
14
A) f p B) f p C) f p
6
7
8
13
3x
2p
A) –56 B) –28 C) 28
1 14
cx4 + m
x
D) f
1
2
(ax – y)6
ifadesinin açılımında terimlerin katsayıları
toplamı 64 ise, a nın değeri aşağıdakilerden hangisi olabilir?
A) –2
B) –1
C)
p
1
2
D) 1
12
4
(1+
ifadesinin açılımı yapıldığında sondan 7. terimin katsayısı aşağıdakilerden hangisidir?
4
A) 2 $ f
12
6
C) 2 $ f
12
6
p E) 2 $ f
8
5
B) 2 $ f
12
8
p
7
D) 2 $ f
5
12
7
p
B) 336
D)
55
2
E) 55
olduğuna göre, a + b + c + d + e + f toplamı
kaçtır?
A) –1
B) 0
C) 1
D) 2
4
p $ 3 8 $ 16 $ x 8
f
12
4
p $ 3 8 $ 16 dır.
fx +
3
16
1
x
3
p
açılımında orta terimin katsayısını bulalım.
fx +
2n = 16 ve n = 8
olup orta terimin katsayısı
f
3
2n
n
16
1
x
3
p=f
p ifadesinde
16
8
p dir.
ax5 + bx4 + cx3 + dx2 + ex + f
ifadesinde katsayılar toplamını
bulmak için x = 1 yazılır.
E) 4
E) 2688
(3x – 2y)8
1
2
55
C) 0
2
12
p $ (3x) 8 $ 16
olup istenen katsayı
ifadesinin açılımında sabit terim kaçtır?
A) –55 B) –
C) 448
10.
açılımında baştan 7. terimin katsayısının 56
ile bölümünden elde edilen bölüm kaçtır?
A)
1 12
n
2x
9. x6 + ax5 + bx4 + cx3 + dx2 + ex + f = (x – 2)6
D) 1792
5. =f
4
E) 2
p
açılımında sondan 6. terimin katsayısı
kaçtır?
A) 56
12
1 8
c 2x 3 + m
x
4. 4
p Palme Yayıncılık
3.
3
d 4x –
8. 12
2x)12
p $ (3x) 12 - 4 $ 2 4 = f
B) 1
C)
1) E
2) B
9
2
D) 288 E) 576
3) C
4) D
5) D
(x + a ⋅ y)8
ifadesinin açılımında elde edilen terimlerin
katsayılarının toplamı 6561 ise a kaçtır?
A) –2
6) E
7) B
B) –1
C) 0
D) 1
8) B
9) B
10) E
E) 2
31
SAYMA, PERMÜTASYON, KOMBİNASYON VE BİNOM AÇILIMI
A) –1792
2.
f 3x +
6.
Temel Kavramlar ve Örnekler
ÜNİTE – 1
Test - 12
Binom Açılımı - 2
Test - 12
1 10
d 3x – n
2
SAYMA, PERMÜTASYON, KOMBİNASYON VE BİNOM AÇILIMI
açılımında x9 lu terimin katsayısını bulalım.
10
p (3x) 10 - 1 $ d –
8
1
d – xn
2
ifadesinin açılımında x4 lü terimin katsayısı
kaçtır?
11.
A)
B)
7
4
C)
7
2
D)
35
8
E) 7
x9 için; f
= 10 ⋅ 39 ⋅ x9 ⋅ d –
= –5 ⋅ 39 ⋅ x9
olup istenen katsayı
12.
–5 39 dur.
B) –28 C) –21 D) 21
10
1 8
d 2x – n
4
ifadesinin açılımında x7 li terimin katsayısı
kaçtır?
B) –128
ifadesinin açılımında rasyonel katsayılı terimlerden katsayısı en büyük olanın katsayısı kaçtır?
A) 32
B) 90
i)
(n + 1) (n + 2)
dır.
2
E) –16
tane terim var-
ii) Her terimdeki x, y, z lerin
kuvvetleri toplamı n dir.
iii)
xr
⋅
2
c 9x –
13.
yp
⋅
zt
x
m
3
8
açılımında x10 lu terimin katsayısı kaçtır?
A) 56
B) 28
C)
li terimin katsayısı
ar ⋅ bp ⋅ ct ⋅
56
28
D)
3
3
E)
28
9
n!
dir.
r! $ p! $ t!
(2x + 3y2 + z4)6 açılımında
x3 ⋅ y4 ⋅ z4 lü terimin katsayısı
kaçtır?
olur.
= 4320
10
4
p$
B) f
D) f
x $
1
x
2
10
x
10
5
4
10
6
p$
1
3 3
x $
x
p $ x2
p $ x2
(2x – y + z)5
ifadesinin açılımında kaç terim vardır?
B) 2260
C) 2360
E) 2560
20.
B) 10
C) 15
D) 18
E) 21
(–4x + 5y – 3z)5
ifadesinin açılımında katsayılar toplamı
kaçtır?
A) –32
fx3 +
15.
1
3 3
E) f
A) 6
D) 2460
y
63
16
B)
2x
11) D
49
16
B) –16 C) 0
D) 16
E) 32
2 9
p
21.
ifadesinin açılımındaki terimlerden biri k ⋅ x7 ⋅ yn ise k kaçtır?
A)
32
5
p$
ifadesinin açılımında bir terim k ⋅ xb ⋅ y6 ise
k kaçtır?
x3 ⋅ y4 ⋅ z4 = (x)3 ⋅ (y2)2 ⋅ (z4)1
olduğundan yukarıdaki iii) ye
göre istenen terimin katsayısı
6!
72 $ 6!
2 3 $ ( – 3) 2 $ 1 1 $
=
6$2
3! $ 2! $ 1!
= 6 $ 720
10
C) f
(2x2 – 3y3)6
A) 2160
ifadesinin açılımında baştan 5. terim aşağıdakilerden hangisidir?
A) f
E) 1680
1 10
c3 x + m
x
19.
14.
C) 720 D) 840
C) –64
18.
E) 35
^x + 2 h
17.
D) –32
(ax + by + cz)n
ifadesinin açılımında
x
7
p
2
ifadesinin açılımı yapıldığında terimlerden
biri m ⋅ x2 ise m kaçtır?
A) –35
1
n
2
A) –256
1
1 1
n
2
1
7
16
fx – 3
16.
Palme Yayıncılık
ÜNİTE – 1
Temel Kavramlar ve Örnekler
C)
12) A
63
21
D)
4
4
13) E
14) A
E)
21
16
15) A
ifadesinin açılımındaki terimlerden biri k ⋅ x2 ⋅ y ⋅ z5 ise, k kaçtır?
A)
16) A
(x + y + z)8
4
5
17) E
B) 20
18) C
C) 168 D) 240
19) E
20) A
21) C
E) 324
1. (2y – 3)4 açılımında y2 içeren terimin katsayısı kaçtır?
A) 84
B) 112 C) 164 D) 216
d
5.
E) 240
B)
açılımında
A) 4
233
16
243
16
C)
E)
C) 8
4
p$^ 3h $^ 2h
6
10 $ 9 $ 8 $ 7
4$3$2$1
4
$ 3 3 $ 2 2 = 22680 dir.
terim,
D) 12
E) 16
(2x + y)6
6.
B) 1480
f
2n
n
p $ (ax) n $ ^byhn dir.
açılımında orta terimin katsayısı kaçtır?
E) 140
(a + 2b + c)7 açılımında a4 lü
Palme Yayıncılık
8
D) 2540
10
=
kaç terim vardır?
açılımında baştan 5. terim kaçtır?
A) 1440
r+1=5⇒r=4
f
235
16
253
16
A) 190 B) 180 C) 160 D) 150
^ 2 + 3h
açılımında baş-
(ax + by)2n açılımında ortanca
3.
in katsayısı kaçtır?
B) 6
10
tan 5. terimi bulalım.
(1 + x + x2)4
x5
^ 3 + 2h
(a + 2b + c)7 açılımında a4 lü
bir terim,
C) 1890
E) 2520
(a + b2 – c3)14
7.
a4 ⋅ (2b)r ⋅ c3–r dir.
açılımında bir terim k ⋅ a9 ⋅ bp ⋅ c6 olduğuna
göre, p kaçtır?
0 ≤ r ≤ 3 olup
A) 6
r = 0, 1, 2, 3 ten 4 tane a4 lü
terim vardır.
B) 5
C) 4
D) 3
E) 2
(ax " by)n binom açılımında
4.
(1 –
2x)3
⋅ (1 +
x)8
baştan (a + 1). terim,
n
d n (ax) n - r (" by) r ile bulunur.
r
açılımında x9 un katsayısı kaçtır?
A) –144
B) –142
C) –138
D) –134
E) –132
(1 + x + x2) ⋅ (1 – 2x)7
8.
açılımında x5 in katsayısı kaçtır?
A) –180
B) –195
D) –375
1) D
2) E
3) E
4) D
5) A
6) C
7) A
C) –224
E) –392
8) E
33
SAYMA, PERMÜTASYON, KOMBİNASYON VE BİNOM AÇILIMI
231
16
D)
2.
12
1
– x 3n
2x
açılımında orta terimin katsayısı kaçtır?
A)
Temel Kavramlar ve Örnekler
ÜNİTE – 1
Test - 13
Binom Açılımı - 3
Test - 13
15
1
3
d a+
9.
a
n
açılımında sabit terimi bulalım.
SAYMA, PERMÜTASYON, KOMBİNASYON VE BİNOM AÇILIMI
f
15
r
r
1
p $ aa 3 k
p $ aa
15 – r
–
3
15 – r
15 – r
3
r
2
k
$ aa
$a
–
–
1
2
A) –84
B) 200
D) –240
E) –250
r
2
A) C(n + 1, 1)
r=6
6
açılımında
B) C(n, 1)
C) C(n, 2)
p dır.
E) C(n, n – 1)
x5
n
C) (– 1)
in
x2)4
4
f p ⋅ (1 + x)4-n ⋅ (x2)n (n ≤ 4)
x
2p
2n
açılımında orta terim aşağıdakilerden hangisidir?
A) (– 1) n + 1
D) C(n + 2, 1)
katsayısını bulmak için,
[(1 + x) +
2
C(n, 1) + 1
aşağıdakilerden hangisine eşittir?
1
fx –
14.
15
E) 84
2
10. x2)4
B) –74 C) –60 D) 72
C) –210
=0
Sabit terim, f
açılımının bir terimi k.a18 ise k kaçtır?
r
30 – 2r = 3r
(1 + x +
x
(a3 – 1)9
13. 2p
k
r
=
3
15 – r
10
1
açılımında sabit terim kaçtır?
olsun.
15
3
A) 210
Baştan (r + 1). terim sabit terim
f
fx –
Palme Yayıncılık
ÜNİTE – 1
Temel Kavramlar ve Örnekler
(2n) !
(n!)
(2n) !
(n!) 2
2
E)
B)
(2n) !
2n!
n 2n!
D) (– 1) (2n!)
(2n) !
(n!) 2
n
(1 + x)4 – n açılımı için de,
f
4–n
m
p 1 $ 1 4 – n – m $ x m olup
4
4–n
n
m
4
4–n
n
m
f p $ >f
f p$f
p $ x m $ x 2nH
p$ x
11.
m + 2n
(x + y + z)10
açılımında x6 nın çarpan olarak bulunduğu
terimlerin katsayılarının toplamı kaçtır?
A) 3300
B) 3315
açılımında terimlerin katsayılar toplamı 512
olduğuna göre n kaçtır?
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
E) 7
C) 3330
D) 3360
m + 2n = 5
(x + 3y – 2)3n
15.
E) 3400
n≤4
n = 0, 1 ve 2 değerlerine karşılık
m = 4, 3 ve 1 olur.
m = 5 değerini alamayız.
x5 in katsayısı
4
3
4
2
1
3
2
1
f p$f p+f p$f p
= 4 + 12 = 16 olur.
12.
10
r
p=f
10
p
p
eşitliğinde r ≠ p ise, r + p toplamı kaçtır?
A) 4
34
f
B) 5
C) 6
9) A
fx +
4
16.
D) 10
10) A
11) D
x
10
2p
açılımında x10 un katsayısı kaçtır?
A) 196
B) 212
D) 240
E) 12
12) D
1
13) A
14) C
15) A
C) 226
E) 252
16) E
(1 – x)4 ⋅ (1 + x)9
1.
açılımında x7 nin katsayısı kaçtır?
A) 12
B) 24
(x2 – 2x)17
5.
C) 28
D) 36
(x2 + 3x)10 açılımında x12 nin katsa-
B) 92 ⋅ 210
açılımında x
A) 7
1
fx +
–
x
7
nin katsayısı kaçtır?
C) 21
D) 28
E) 35
açılımındaki terimlerde en büyük katsayı
aşağıdakilerden hangisidir?
(2 + 3x)9
açılımı yapıldığında katsayısı en büyük te1
için değeri kaçtır?
4
rimin x =
A) 26 ⋅ 53
B) 25 ⋅ 92
D) 26 ⋅ 93
C) 26 ⋅ 93
Palme Yayıncılık
A) 40
B) 46
x12 li terim (r + 1). terim olsun.
f
10
f
10
f
10
r
r
r
p (x 2) 10 – r $ (3x) r
p (x 20 – 2r) $ x r $ 3 r
p (x 20 – r) $ 3 r = A $ x 12
20 – r = 12
(1 + x)8
6.
B) 14
3.
E) 90 ⋅ 220
p
1
2
C) –217
C) 66
D) 70
E) 78
r = 8 olur. Bu nedenle
A=f
10
8
p $ 3 8 = 45 $ 3 8
katsayısı bulunur.
n
n
n
0
1
n
d n + d n + g + d n = 2n
n
B) 2n – 1
A) 2n – 1
E) 24 ⋅ 92
n
n
d n + d n + d n + g+ d
n
0
1
2
n–1
ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
7.
n
D) 2n + 1
C) 2n + 1
E) 2n – 2
(1 + x)n açılımında en büyük katsayı,
n
n
2
2
n tek ise: f n + 1p = f n – 1p
(4a2
4.
– 4ab +
b2)10
açılımından elde edilen polinomda bir terim
k ⋅ a5 ⋅ b15 olduğuna göre, k kaçtır?
A) –32 ⋅ f
20
C) –16 ⋅ f
5
p 20
5
p E) –24 ⋅ f
1) D
10
5
B) –24 ⋅ f
20
D) –32 ⋅ f
10
5
5
8. x ≠ 0, x ∈ R ve n, 1 den büyük bir doğal sayı
olduğuna göre,
p
p
p
2) C
3) B
4) A
5) C
1 2n
m açılımındaki sabit terim aşağıdax
kilerden hangisidir?
n
3n
2n
B) f p C) f n p
A) f p 2n
n
2
n
n!
D) E) f n p
2
4
cx +
6) D
7) B
8) B
n
n çift ise: f n p
2
35
SAYMA, PERMÜTASYON, KOMBİNASYON VE BİNOM AÇILIMI
D) 89 ⋅ 210
2.
yısı kaçtır?
açılımında x17 nin katsayısı kaçtır?
A) 90 ⋅ 210
E) 72
Temel Kavramlar ve Örnekler
ÜNİTE – 1
Test - 14
Binom Açılımı - 4
Test - 14
ÜNİTE – 1
Temel Kavramlar ve Örnekler
(a + x)n açılımında bir terim
(a + x)n
9.
açılımında bir terim a3x7 ise n kaçtır?
A) 7
a5.x9 ise n yi bulalım.
(a3 + 3ab)9
13. B) 8
C) 9
D) 10
E) 11
açılımındaki bir terim k ⋅ a23 ⋅ b2 ise k kaçtır?
A) 300 B) 324 C) 336 D) 400
E) 440
n
f
r
n–r = 5
r=9
p
Açılımındaki her terimini değişkenlerinin üstleri toplamı n sayısını
verir.
n = 5 + 9 = 14 bulunur.
10
x2 2
f – 3p
3 x
10.
açılımında x5 li terimin katsayısı kaçtır?
A) –
12
3
6
B) –
D) –
320
35
1 8
c1 + m
x
14.
15
3
4
C) –
E) –
320
açılımında son üç terimin katsayılarının
toplamı kaçtır?
A) 40
36
B) 39
C) 38
D) 37
E) 36
160
35
n tek ise (1 + x)n açılımında en
büyük katsayı,
n
f n – 1p ya
2
Palme Yayıncılık
SAYMA, PERMÜTASYON, KOMBİNASYON VE BİNOM AÇILIMI
d n ⋅ an-r ⋅ xr = A ⋅ a5 ⋅ x9
n
da
f n + 1p dir.
2
(3x – y)9
15.
(1 + x)9
11. açılımındaki terimlerdeki en büyük katsayı
kaçtır?
A) 126 B) 122 C) 118 D) 114
açılımında bir terim k ⋅ x2 ⋅ y7 ise k kaçtır?
A) –256
E) 110
B) –328
D) –330
C) –324
E) –400
(x3 + xy)10 açılımında
bir terim, k.x20y5 ise
k yı bulalım.
f
10
f
10
r
p ⋅ (x3)10-r ⋅ (xy)r = k ⋅ x20 ⋅ y5
p ⋅ x30-3r ⋅ xr ⋅ yr = k ⋅ x20 ⋅ y5
r
eşitliğinden r = 5
k=f
10
5
p = 252 dir.
açılımında baştan (n + 1). teriminin katsayısı aşağıdakilerden hangisidir?
A) f
2n
n+3
p
D) f
36
B) f
n+2
n
^ x + 3 xh
12
16.
(a + b)2n
12. 2n
n+2
p
p
9) D
E) f
10) C
C) f
2n
n
açılımında kaç tane rasyonel terim vardır?
A) 0
B) 1
C) 2
p
3n + 1
p
3n
11) A
12) C
13) B
14) D
15) C
16) D
D) 3
E) 4
ÜNİTE – 1
SAYMA, PERMÜTASYON, KOMBİNASYON VE BİNOM AÇILIMI
37
Download

Sayma, Permütasyon, Kombinasyon Ve Binom Açılımı