2. ELEKTROKINETIKA (STALNE STRUJE)
- Elektrokinetika - proučava pojave kada srednja brzina kretanja
naelektrisanja nije jednaka nuli,
- Nosioci naelektrisanja se organizovano kreću.
- Takvo kretanje se naziva električna struja.
- Uzroci kretanja nosilaca naelektrisanja mogu biti kako električne, tako i
neelektrične sile.
ELEKTRIČNA STRUJA U RAZNIM PROVODNIM SREDINAMA
čvrsta
(metali)
NOSIOCI NAELEKTRISANJA
Elektroni
PROVODNA SREDINA
tečna
gasovita
(elektroliti)
(jonizacija - neonske
cevi i fluoroscentne
svetiljke)
joni +, -
joni +, -,
elektroni
vakum
(vakuumske
elektronske cevi)
elektroni
2.1. POLJA STALNIH STRUJA
2.1.1. SREDNJA MAKROSKOPSKA BRZINA KRETANJA SLOBODNIH
NOSILACA
- Kretanje slobodnih nosilaca bez postojanja stranog
električnog polja je haotično termičko kretanje.
- U fizički malom elementu zapremine:
 vektorski zbir brzina svih naelektrisanja jednak je nuli
 vektor srednje brzine jednak je nuli.
Strano električno polje E u provodniku
- kretanje naelektrisanja
- Posmatramo kretanje pozitivnih nosilaca naelektrisanja (u smeru polja)
- Pod dejstvom polja E nosioci naelektrisanja
ubrzavaju,
sudaraju se sa jezgrima atoma, menjajući pravce i intenzitete brzine.
- Kao rezultat ovakvog složenog kretanja može se uvesti srednja brzina kretanja
v [ms 1 ] u maloj zapremini dV , koja je različita od nule.
naelektrisanja
- Zapreminska gustina naelektrisanja u zapremini dV iznosi N [m3 ].
+ + + + + +
+ + + + + + +
+
+ + + ++ +
+ + + + + + ++
+ + + +
+ + + +
+ +
+ + + + + + +
2.1.2. VEKTOR GUSTINE STRUJE ( J ) I STRUJNO POLJE
Vektor gustine struje J je vektorska veličina koja usrednjeno opisuje kretanje
nosilaca naelektrisanja u zapremini dV :
J  NQv
 m 3Cms 1  Cs 1m 2  A / m 2 
- Pravac i smer vektora J poklapa sa pravcem i
smerom brzine v .
- Strujno polje - prostor u kome se pod dejstvom
polja kreću pokretljiva naelektrisanja.
- Strujno polje je opisano vektorom J .
- Strujno polje se grafički prikazuje linijama strujnog
polja koje se nazivaju strujnice.
- U slučaju tankih i dugih provodnika, strujno polje
se može smatrati homogenim.
- Smer vektora J određuje tzv. tehnički smer struje.
2.1.3. SPECIFIČNA PROVODNOST I SPECIFIČNA OTPORNOST
PROVODNIKA. OMOV ZAKON U LOKALNOM OBLIKU
Pretpostavke:
- polje E nije suviše jako
- rastojanje između sudara je malo

J   E (linearnost) ,  - specifična provodnost mater.  S / m
Specifična provodnost materijala ne zavisi od polja E .
Inverzna relacija:
E   J ,   1/  - specifična otpornost materijala  m
OMOV ZAKON U LOKALNOM OBLIKU
J   E ili E   J
TEMPERATURNA ZAVISNOST SPECIFIČNE OTPORNOSTI MATERIJALA
Temperaturna zavisnost specifične električne otpornosti može se opisati
sledećom relacijom:  (T )  0 (1  T )
T - temperatura u o C
0 - specifična otpornost na 0o C
 - temperaturni koeficijent specifične otpornosti 1 / o C 
PROCENA SREDNJE BRZINE NOSILACA NAELEKTRISANJA U STRUJNOM
POLJU
J  NQv
J E

v

NQ
E  E
 - pokretljivost nosilaca naelektrisanja
SAVRŠENI PROVODNIK I IZOLATOR
Savršeni provodnik:
  0 ,    , J  0,
E   J  0J  0
Savršeni izolator:
   ,   0, E  0,
J   E  0E  0
- Svi materijali su više ili manje provodni.
 dobar
provodnik
/  dobar
1020
izolator
Unutar realnih provodnika (   ) sa strujnim poljem J  0 postoji
električno polje
E0
2.1.4. DŽULOVI GUBICI U STRUJNOM POLJU
Snaga gubitaka pri kretanju jednog nosioca nael.:
sila:
snaga:
Fe  QE
Fe  v  QE  v
+
+
+
Snaga gubitaka u zapremini dV :
+
NdV - broj nosilaca
+ + +
+ +
+ + +
+ +
+ + +
+ + +
+
+
+ + + +
+
+ + + +
+
+ + +
+ + + +
+
+
+
+ + +
+
Fev  NdV  QEvNdV  ( NQv ) EdV  JEdV
J
dPJ  JEdV - snaga Džulovih gubitaka u zapremini dV
Zapreminska gustina snage Džulovih
gubitaka:
dPJ
 JE
dV
Ukupna snaga Džulovih gubitaka:
PJ   EJdV
V
Slučaj: provodnik je linearan
2
J E 
E
J
2
dPJ
 JE   E 

dV


2
Slučaj: savršen linearni provodnik (   , J konačno)
2
2
J
J
dPJ


 0,
dV


dPJ
0
dV
Slučaj: savršen linearni izolator (    , E konačno)
2
2
E
E
dPJ


 0,
dV


dPJ
0
dV
2.1.5. GENERATORI
NEELEKTRIČNE SILE U GENERATORU
Generatori električne struje su uređaji koji koriste neelektrične sile za
premeštanje naelektrisanja unutar generatora ka njegovim polovima.
Neelektrične sile:
- hemijske (baterije, akumulatori) ,
- mehaničke (elektrogeneratori),
- svetlosne (svetosni detektori i diode)
Fi - neelektrična sila koja deluje na jedan nosilac naelektrisanja unutar
generatora
Neelektrična sila Fi vrši razdvajanje pozitivnog i negativnog naelektrisanja
unutar generatora, pri čemu se ova naelektrisanja gomilaju na „+“ i „-“
polove generatora.
ELEKTRIČNO POLJE I SILE U GENERATORU
Neelektrična sila Fi nije električnog poreklo, pa se teško koristiti za dalju analizu.
Umesto Fi , efekat razdvajanja naelektrisanja može se modelovati uvođenjem
novog, fiktivnog električnog polja, Ei , čija je brojna vrednost jednaka:
Ei

Fi
Q
Fi  QEi
Ukupna sila koja deluje na jedan nosilac naelektrisanja u generatoru jednaka
je zbiru električne Feg i neelektrične sile Fi :
F  Feg  Fi  QE g  QEi

 Q E g  Ei

E g - jačina električnog polja u generatoru
Feg - električna sila koja deluje na jedno naelektrisanje
REŽIMI RADA GENERATORA
Generator u praznom hodu
Jg  0

0  J g   g Eg  Ei

 Eg  Ei  0 
Ei  Eg
Generator u nominalnom režimu
Jg  0

0  J g   Eg  Ei


Eg  Ei  0 ,
Ei  E g
GENERATOR U PRAZNOM HODU. ELEKTROMOTORNA SILA
- Primer generatora (dugmasta baterija):
dve metalne elektrode
provodni sloj između elektroda
(elektrolit) specifične provodnosti  g
- Generator u praznom hodu - generator
se nalazi u neprovodnoj sredini sa
+ + + + + + + + a
- - - - - - - - b
 0
- Nema kretanja naelektrisanja van gen.
Prelazno stanje unutar generatora
Pobudno polje Ei pomera pozitivna naelektrisanja u smeru ovog polja ka
elektrodama.
Višak naelektrisanja na elektrodama stvara sve jače električno polje E g
suprotno polju Ei . Tada važi Ei  E g .
Ravnotežno stanje
Jg  0
+ + + + + + + + a
Eg   Ei
- - - - - - - - b
Napon praznog hoda generatora:
b
b
U ab 0   E g dl    Ei dl
a
a
a

Ravnotežno stanje generatora u praznom hodu
 E dl
i
 Eba  Eems  E
V 
b
Elektromotorna sila generatora Eems jednaka je naponu praznog hoda U ab 0 .
Elektromotorna sila generatora Eems (kraće E ) je najvažnija unutrašnja
karakteristika generatora
Eems - opisuje integrali efekat dejstva stranih sila na nosioce naelektrisanja.
GENERATOR U NOMINALNOM REŽIMU. STRUJNO POLJE
- Priključivanje generatora na provodnu sredinu sa   0 .
- Naelektrisanja sa „+“ pola generatora prelaze u provodnu sredinu krećući se
duž linija sila ka „-“ polu.
- Dolazi do smanjivanja količine naelektrisanja na polovima generatora

opadanja polja E g

Eg  Ei

Fg  Feg  Fi  0
- Pod dejstvom pobudne sile Fg
uspostavlja se usmereno kretanje
naelektrisanja (struja) u generatoru u
smeru pobudnog polja Ei .
+ + + + + + + + a
- - - - - - - - b
Strujno polje postoji u celom prostoru (generatoru i provodnoj sredini):
Strujno polje u generatoru:
J g   g ( Eg  Ei ) , Eg  Ei
Strujnice unutar generatora, u opštem slučaju, ne poklapaju sa linijama
električnog polja E g , jer je J g   g ( Eg  Ei ) .
Strujno polje u provodnoj sredini:
J s   Es
Strujnice van generatora poklapaju se
sa linijama sila električnog polja, jer
je J s   Es .
+ + + + + + + + a
- - - - - - - - b
STRUJNO KOLO
Najprostije električno kolo (prosto kolo) sastoji se iz:
- jednog generatora,
- para veznih provodnika i
- jednog otpornika
Delovi kola u kojima su lokalizvane pobudne sile nazivaju se generatori, dok
delovi kola sa dominantnim Džulovim gubicima predstavljaju otpornike. Vezni
provodnici su otpornici sa vrlo malim gubicima.
generator
otpornik
Vezni provodnik
+ + + + ++ + + a
- - - - - - - - b
+ + + + + + + + a0
strujnice
- - - - - - - - bo
2.1.6. JAČINA STRUJE I RASPODELA STRUJE
Jačina struje I kroz površ S predstavlja brzinu
proticanja naelektrisanja kroz tu površ,
I
dqS
dt
a jednaka je fluksu vektora gustine struje J kroz tu
površ:
I   JdS
S
 A
S
- Jačina struje je algebarska veličina koja se uvek odnosi na neku površ ( S ).
- Jačina struje je usmerena skalarna veličina.
- Referentni smer struje je smer pozitivne normale n na površ S .
- Algebarski intenzitet struje: I 

S
JdS u odnosu na posm. referentni smer.
- Ako se promeni orjentacija površi (promeni se referentni smer), algebarski
intenzitet struje menja znak.
2.1.7. JEDNAČINE STACIONARNOG STRUJNOG POLJA
JEDNAČINA KONTINUITETA ZA NESTACIONARNA STRUJNA POLJA
Posmatramo promene količine naelektrisanja QuS u zatvorenoj površi S
prilikom iznošenja (unošenja) naelektrisanja iz nje (u nju).
Za pozitivan smer kretanja naelektrisanja (struje) kroz površ usvojimo
orjentaciju izlazne normale na površ S .
Jednačinu kontinuiteta za nestacionarno strujno polje:
dQuS
S JdS   dt
JEDNAČINA KONTINUITETA ZA STACIONARNA STRUJNA POLJA
U slučaju stacionarnog strujanja nema nagomilavanja naelektrisanja u
proizvoljno izabranu zatvorenu površ S , pa važi:
dQuS
0
dt
odakle se dobija:
 JdS  0
S
Dakle, jačina stalne struje kroz proizvoljnu zatvorenu površ je jednaka nuli.
JEDNAČINA KONTINUITETA ZA STALNE LINIJSKE STRUJE
Posmatrajmo provodnik u obliku žice kroz
koji teče stalna struja (u smeru vektora J ).
Jačine struja kroz različite preseke
provodnika
I1 

S1
(orjentacija S1 je
u smeru strujnica)
JdS 

JdS  I 2
S2
(orjentacija S2 je
u smeru strujnica)
Kod stacionarnih struja jačina struje provodnika je ista kroz bilo koji presek
provodnika.
Označavanje linijske struje; referentni smer
- I način za označavanje
referentni smer
algebarski intenzitet
referentni smer - orjentacija normale n .
- II način za označavanje
algebarski intenzitet
referentni smer
referentni smer – strelica pored provodnika.
- Jačina struja je u potpunosti određena svojim algebarskom intenzitetom I i
referentnim smerom u obliku strelice.
2.1.8. ANALIZA STACIONARNIH STRUJNIH KOLA
OTPORNICI
I ab
J
ix ,
S
a
+ +
I ab   JdS  J x S
S
I ab
E 
ix
 S
b
b
d
  Edl 
I ab  RI ab
S
a
I ab  GU ab
d
d
R

S
S
1
S
G  
R
d
+ + +
- - - - - - - -
J
U ab
+
napon otpornika
struja otpornika

S 
otpornst otpornika
provodnost otpornika
Električna šema otpornika; označavanje napona i struja
- Korišćenje indeksa
U ab  RI ab
I ab  GU ab
- Korišćenje referentnih smerova
referentni
smer za I
U  RI
I  GU
referentni
smer za U
Usklađeni i neusklađeni referentni smerovi napona, struje i snage
I teče sa „+“ na „-“ U
usklađeni
I teče sa „-“ na „+“ U
neusklađeni
Omov zakon za stalne struje
Jačina struje kroz provodnik je direktno proporcionalna naponu između njegovih
krajeva.
U
I  GU 
R
Nagib linearne zavisnosti iznosi
1
tan   G 
R
Snaga otpornika (Džulovi gubici)
2
U
PJ  UI  RI 2 
0
R
U-I, P-I i P-U karakteristike otpornika
Zavisnost napona U od struje I predstavlja U-I
U-I
karakteristiku otpornika. Za usaglašene smerove napona i
struje karakteristika otpornika glasi:
U-I
U  RI
P-I
PJ  RI 2  0
P-U
U2
PJ 
0
R
P-I
P-U
GENERATORI
Prazan hod generatora
+ + +
+ + +
E g je homogeno
I g  0, J g  0
-
-
-
-
-
-
+
+
a
-
-
b
Eg   Ei
Napon praznog hoda generatora
U ab  Eems  E
Elektromotorna sila Eems  E
generatora.
V  brojno je jednaka naponu praznog hoda
Iako ima dimenziju napona, ona po prirodi nije napon.
Treba je shvatiti kao veličinu koja na prikladan način reprezentuje strane sile u
generatoru.
Generator priključen na prijemnik
Struja generatora:
I  I ab  J g S
Napon generatora:
U ab  U  E  Rg I
Unutrašnja otpornost generatora:
Rg 
d
 gS

+ + +
-
-
+ + + + +
-
-
-
-
-
a
-
b
Električna šema generatora; označavanje napona i struja
Korišćenje indeksa
U ab  Eba  Rg I ba
- Korišćenje referentnih smerova
U  E  Rg I
E  Eems
referentni
smer za I
+
+
referentni
smer za U
referentni
smer za E
Relacije između ems, napona i struje realnog naponskog generatora
+
+
+
+
+
+
+
+
Snaga generatora
PE  EI ,
PE


0
PE  0 - generator radi kao IZVOR
PE  0 - generator radi kao POTROŠAČ
Snaga generatora Pi ( PE ) troši se na savladavanje:
- sopstvenih električnih sila generatora E g (korisna snaga generatora) ( Pg )
- Džulove gubitke na unutrašnjoj otpornosti Rg (snaga gubitaka gen.) ( PJg )
PE  Pg  PJg
Korisna snaga generatora
Korisna snaga generatora - brzina kojom generator predaje energiju
prijemniku, tj . brzina kojom prijemnik prima energiju od generatora.
Pg  U ab I
Snaga Džulovih gubitaka u generatoru
Ukupna snaga generatora
PE  Pg  PJg
Snaga Džulovih gubitaka u generatoru, PJg
PJg  PE  Pg  EI  UI
  E  U  I  Rg I 2
Rg I
PJg  Rg I 2  0
U  E  R I
g
 E  U  Rg I 
U-I karakteristika realnog naponskog generatora
U  E  Rg I
+
+
U-I
P-U parakteristika generatora
- Zavisnost korisne snage generatora Pg od napona U na njegovim krajevima
definiše P-U karakteristiku generatora.
U  E  IRg
Pg  UI
E  U EU  U 2
Pg  UI  U

Rg
Rg
2

E U U  
Pg 
   
Rg  E  E  
2
- P-U karakteristika je kvadratna funkcija
koja dostiže maksimum
Pg max
E2

4 Rg
za
E
U
2
Idealni naponski generator
+
- To je generator sa savršeno provodnom sredinom
Rg  0
+
U E
PE  EI
Pg  UI  EI  PE
PJg  Rg I 2  0
U-I karakteristika idealnog generatora
U E
U-I
2.2. KOLA STALNIH STRUJA
Primer. Prosto električno kolo
U  RI (napon otpornika)
realni generator (E,Rg)
+
+
U  E  IRg (napon generatora)
PE  EI (snaga generatora)
2
U
P  UI  RI 2 
 0 (snaga prijemnika)
R
+
+
PJg  Rg I 2  0 (Džulovi gubici u generatoru)
idealni naponski generator E sa
izdvojenom unutrašnjom
otpornošću Rg
2.2.1. KIRHOFOVI ZAKONI
- Osnovne jednačine za analizu i rešavanje električnih kola su Kirhofovi zakoni.
PRVI KIRHOFOV ZAKON
I Kirhofov zakon za zatvorenu površ. Algebarski zbir svih stalnih linijskih struja kroz
proizvoljnu zatvorenu površ jednak je nuli. Pri tome, struja ulazi u zbir sa
predznakom „+“ ako se njen referentni smer poklapa sa orjentacija izlazne
normale na površinu, odnosno sa predznakom „-“ ako su ta dva smera suprotna.
I
j
0
S
Primer. Zatvorena površ S1:

S1
I j   I  I1  I 2  0
Zatvorena površ S 2 :

S2
I j  I  I   0  I  I 
+
+
I Kirhofov zakon za čvor kola. Algebarski zbir svih stalnih linijskih struja koje se
sustiču u jednom čvoru jednak je nuli. Pri tome, struje koje ističu iz čvora uzimaju
se sa predznakom „+“, a struje koje utiču u čvor sa predznakom „-“.

čvor
Primer.
Ij  0
Za čvor 1:  I  I1  I 2  0
Za čvor 2: I  I1  I 2  0
+
Napomena. Druga jednačina je zavisna od prve jer se dobija množenjem sa -1 .
Broj nezavisnih jednačina po I KZ je broj čvorova manje jedan.
DRUGI KIRHOFOV ZAKON
II Kirhofov zakon (za napone elemenata kola – otpornika i generatora)
Algebarski zbir napona elemenata kola za proizvoljnu zatvorenu konturu u
električnom kolu iznosi nula
U
j
0
C
Pri tome, napon elemenata ulazi u zbir sa predznakom „+“ ako se referentni smer
napona i smer obilaska konture poklapaju, odnosno sa predznakom „-“ ako su ta
dva smera suprotna.
Primer. Napisati jednačinu po II K.Z.
U R  U g  0
napon U R uzima sa predznakom „+“
napon U g sa predznakom „-“
U R  ? U g  ?  NOVI OBLIK II K.Z
+
+
+
NAPON IZMEĐU DVE TAČKE U KOLU
Napon između tačaka a i b , U ab , određuje se kao algebarski zbir članova tipa E i
RI duž proizvoljnog puta u kolu od druge tačke b do prve tačke a , odnosno
U ab   b  E ,  RI 
a
Elektromotorna sila E ulazi u zbir sa predznakom „+“ kada je smer sumiranja isti
kao i smer ems, inače uzima se sa predznakom „-“.
Član RI uzima se sa predznakom „-“ ako je smer sumiranja isti kao i referentni
smer struje I , inače uzima se sa predznakom „+“.
Primer.
I putanja
I putanja: U ab  E  R1 I
+
duž putanje b-a
II putanja: U ab  R3 I  R2 I
duž putanje b-a
II putanja
REDUKOVANI OBLIK II KIRHOFOVOG ZAKONA

Na osnovu pravila za sumiranje napona U ab  b  E ,  RI  , II Kirhofov
zakon se može redukovati tako da u izrazu za napon direktno stoje članovi
tipa E i RI , umesto napona elemenata U R i U g .
a
Redukovani oblik II Kirhofovog zakona. Algebarski zbir sabiraka tipa E i RI
za proizvoljnu zatvorenu konturu u električnom kolu iznosi nula
  E,  RI   0
Elektromotorna sila E ulazi u zbir sa predznakom „+“ kada je smer sumiranja
isti kao i referentni smer ems, inače uzima se sa predznakom „-“.
Član RI uzima se sa predznakom „-“ ako je smer sumiranja isti kao i referentni
smer struje I , inače uzima se sa predznakom „+“.
Primer. Primena redukovanog II KZ
Zatvorena putanja C1 za sumiranje napona:
1:  R2 I  R3 I  E  R1I  0
Zatvorena putanja C2 za sumiranje napona:
2:  R1I  E  R3 I  R2 I  0
Napomena: 1  2 ili 2  1
 R1 I  E  R3 I  R2 I  0 /  ( 1)

 R2 I  R3 I  E  R1 I  0
+
2.2.2. PROSTO KOLO SA JEDNIM NAPONSKIM GENERATOROM
II Kirhofov zakon:
 RI  E  IRg  0

+
+
Omov zakon za prosto strujno kolo sa
jednim generatorom i jednim otpornikom
E
I
Rg  R
Napon na krajevima otpornika:
R
U R  RI 
E
Rg  R
Napon izvora:

Rg
R
R 
U  E  RI  E 
E  1 
E
E

 R R
Rg  R
Rg  R
g


+
Snaga elemenata kola:
PE  EI ,
PJg  Rg I 2 , PR  RI 2
Bilans snage:
PE  PJg  PR ,
EI  Rg I  RI  ( Rg  R ) I
2
2
2

E
I
Rg  R
U slučaju idealnog naponskog generatora važi:
U E
E
I
R
+
+
+
OMOV ZAKON ZA PROSTO KOLO
Na osnovu prethodnog primera može se formulisati Omov zakon za prosto kolo
koje sadrži jedan generator i više otpornika.
Omov zakon za prosto kolo. Jačina struje u prostom kolu, koje se sastoji iz jednog
realnog naponskog generatora i više redno vezanih otpornika, jednaka je količniku
elektromotorne sile generatora i zbira otpornosti otpornika. Pri tome se
referentni smer struje poklapa sa referentnim smerom elektromotorne sile.
E
I
Rg   Ri
2.2.3. PROSTO KOLO SA VIŠE NAPONSKIH GENERATORA I OTPORNIKA
Posmatrajmo kolo sa slike.
II Kirhofov zakon:
E  R1I  R2 I  E2  R3 I  R4 I  E3  R5 I  0
Jačina struje iznosi:
E1  E2  E3
I
R1  R2  R3  R4  R5
E


R






+
+
+
(Uopšteni omov zakon)
UOPŠTENI OMOV ZAKON
Uopšteni Omov zakon za prosto kolo sa više generatora. Jačina struje u prostom
kolu, koje se sastoji iz više idealnih naponskih generatora i više redno vezanih
otpornika, jednaka je količniku algebarske sume elektromotornih sila generatora
i zbira otpornosti svih otpornika.
E

I
R

E elektromotorna sila ulazi sa predznakom plus ako joj se referentni
U zbir
smer poklapa sa referentnim smerom struje, a sa predznakom minus ako su ti
smerovi suprotni.
2.2.4. VEZIVANJE OTPORNIKA
Otpornici se mogu vezivati:
- redno,
- paralelno,
- mešovito,
- u zvezdu i
- u trougao.
REDNA VEZA OTPORNIKA
Kroz sve otpornika u rednoj vezi protiče ista struja I .
II Kirhofov zakon:
N
N
N
i 1
i 1
i 1
U  U i   Ri I  I  Ri  IRe

N
Re   Ri
i 1
Ekvivalentna otpornost redne veze otpornika jednaka je zbiru otpornosti
otpornika koji učestvuju u vezi.
Naponski razdelnik
Redna veza dva otpornika definiše jedan poseban deo kola koji se naziva
naponski razdelnik.
II K.Z.:
U  R1I  R2 I  0
Struja:
U
I
R1  R2
+
+
Naponi:
U1  R1I ,
R1
U1 
U U
R1  R2
U 2  R2 I ,
U2 
R2
U U
R1  R2
Naponi na pojedinačnim otpornicima su manji od napona redne veze.
+
PARALELNA VEZA
Svi otpornici su priključeni na isti napon U .
I Kirhofov zakon
N
N
N
U
1 U
I   Ii    U  
Re
i 1
i 1 Ri
i 1 Ri

N
1
1

Re i 1 Ri
Recipročna vrednost otpornosti paralelne veze otpornika jednaka je zbiru
recipročnih vrednosti otpornosti otpornika koji u njoj učestvuju.
R1R2
Slučaj N  2 : Re 
R1  R2
Strujni razdelnik
Paralelna veza dva otpornika definiše jedan poseban deo kola koji se naziva
strujni razdelnik.
Naponi:
R1 R2
U  R1I1, U  R2 I 2 ,
U
I
R1  R2
Struje:
+
U
I1 
R1
U
I2 
R2

R2
I1 
I I
R1  R2

R1
I2 
I I
R1  R2
Struja paralelne grane je manja od struje zajedničke grane.
MEŠOVITA VEZA OTPORNIKA
- To je složena veza redno i paralelno vezanih otpornika. Ova veza se takođe
može zameniti jednim ekvivalentnim otpornikom.
- Određivanje ekvivalentne otpornosti vrši se postupnim uprošćavanjem.
Primer. Odrediti ekvivalentnu otpornost između krajeva 1 i 2 sledeće veze
otpornika.
Rešenje.
R5 R6
Re1 
R5  R6
Re 2  R4  Re1
R3 Re 2
Re3 
R3  Re 2
Re 4  R2  Re3
R1Re 4
Re 
Ra  Re 4
TRANSFIGURACIJA ZVEZDA-TROUGAO
- U opštem slučaju mreža otpornika je složenija od redno-paralelne veze.
2
2
zvezda-trougao
trougao- zvezda
1
4
3
1
3
Zvezda
2
Trougao
2
0
1
3
3
1
R12 R13
R1 
R12  R23  R13
R1R2
R12  R1  R2 
R3
R12 R23
R2 
R12  R23  R13
R13  R1  R3 
R13 R23
R3 
R12  R23  R13
R2 R3
R23  R2  R3 
R1
Specijalni slučaj:
R1  R2  R3  R

R12  R23  R13  3R
R12  R23  R13  R

R1  R2  R3  R 3
R1R3
R2
Primer. Odrediti ekvivalentnu otpornost između krajeva 1 i 3 električnog mosta.
2
2
2
4
1
3
1
3
R4 R5
R3 R4
R12  R3  R4 
, R13  R4  R5 
,
R3
R5
R2 R23
R1R12
Re1 
, Re 2 
R2  R23
R1  R12
( Re1  Re 2 ) R13
R13  Re 
Re1  Re 2  R13
1
R3 R5
R23  R3  R5 
R4
3
2.2.5. REDNA I PARALELNA VEZA REALNIH NAPONSKIH GENERATORA
REDNA VEZA NAPONSKIH GENERATORA
Više realnih naponskih generatora može se vezati na red, čineći pri tome
ekvivalentni naponski generator.
U   Ei  I  Rgi , U  E  Rg I

E   Ei ,
Rg   Rgi
Elektromotorna sila ekvivalentnog generatora redne veze više realnih naponskih
generatora jednaka je algebarskom zbiru elektromotornih sila pojedinačnih
generatora prema usvojenom referentnom smeru ekvivalentnog generatora.
Unutrašnja otpornost ekvivalentnog generatora jednaka je zbiru unutrašnjih
otpornosti pojedinačnih generatora.
+
+
+
+
+
+
PARALELNA VEZA NAPONSKIH GENERATORA
Više realnih naponskih generatora može se vezati u
paraleli, čineći pri tome ekvivalentni naponski
generator. Elektromotorna sila i unutrašnja otpornost
ovog ekvivalentnog generatora dobijaju se na sledeći
način.
I   I i U  Ei  Rgi I i , i  1,
,n
U  E  Rg I
Rešenje:
Ei
 i 1 R
gi
E
,
n
1
 i 1 R
gi
n
1
1
n
  i 1
Rg
Rgi
+
+
U algebarskoj sumi  i 1 Ei / Rgi članovi se uzima
prema usvojenom referentnom smeru ekvivalentnog generatora.
n
2.3. SLOŽENA KOLA STALNIH STRUJA
Složena kola su ona kola kod kojih ima grananja strujnog puta.
Osnovni elementi složenog električnog kola su:
- grana,
- čvor,
- kontura,
- nezavisna kontura i
- nezavisna grana.
+
+
+
+
+
Grana je redna veza proizvoljnog broja
elemenata kola (otpornika i
generatora). Broj grana obeležavamo sa
ng . Prema slici, ng  8.
+
+
+
+
Čvor je mesto na kome se spaja tri ili
više grana kola. Čvorove označavamo
+
punim kružićima a njihov broj
označavamo sa nč . Za kolo sa slike je
nč  5. Grana je deo kola koji neposredno spaja dva čvora duž koje nema
grananja strujnog puta.
Kontura je proizvoljan zatvoreni put sačinjen od grana kola (C1-C4).
Nezavisna kontura je kontura koja sadrži bar jednu granu koja pripada samo
njoj i nijednoj više (C1-C4).
Nezavisna grana je grana koja pripada samo jednoj konturi i nijednoj više.
2.3.1. METODE REŠAVANJA SLOŽENIH KOLA
METOD DIREKTNE PRIMENE KIRHOFOVIH ZAKONA
- Posmatramo složeno kolo sa nč čvorova i ng grana.
- Broj nepoznatih struja jednak je broju grana ng .
- Koraci metode direktne primene KZ:
1. prebrojavanje broja čvorova nč i grana ng kola,
2. usvajanja referentnih smerova za struje grana kola,
3. nI  nč  1 jednačina po I KZ za nI usvojenih čvorova,
4. nII  ng  nI jednačina po II KZ za nII usvojenih nezavisnih kontura,
5. rešavanje sistema linearnih jednačina po nepoznatim strujama.
Primer. Primenom Kirhofovih zakona odrediti nepoznate struje grana kola sa
slike.
Rešenje.
1. nč  4 , ng  6
2. Referentni smerovi struja.
+
+
3. nI  4  1  3 jednačine po I KZ:
čvor 1:
čvor 2:
čvor 3:
 I1  I 2  I3  0
I1  I 4  I 6  0
 I3  I 4  I5  0
+
+
4. nII  ng  nI  6  3  3 jednačine po II KZ.
Usvojimo tri nezavisne konture C1 , C2 , i C3 i pišemo tri jednačine po II KZ.
kontura C1 :
kontura C2 :
kontura C3 :
E1  R1I1  R3 I 3  R4 I 4  E4  0
R2 I 2  E2  R5 I 5  R3 I 3  0
 R6 I 6  E6  R5 I 5  R4 I 4  E4  0
5. Rešavanje sistema od 6 linearnih jednačina (3 po I KZ i 3 po II KZ) po
strujama grana I1, …, I 6 .
Nedostatak metoda neposredne primene
Kirhofovih zakona:
Ukoliko kolo ima veliki broj grana, dobija
se sistem sa velikim brojem linearnih
jednačina.
+
+
+
+
METOD KONTURNIH STRUJA
Prednosti u odnosu na KZ:
- broj jednačina koji se postavlja po ovoj metodi jednak je broju jednačina koji
bi trebalo postaviti po II KZ,
- sistem jednačina se postavlja na veoma jednostavan i sistematizovan način.
Posmatramo složeno kolo sa nč čvorova i ng grana sa svim poznatim elementima
kola (naponskim generatorima i otpornicima).
Koraci metode konturnih struja
1. Odaberimo i orijentišimo nk  ng  (nč  1)
nezavisnih kontura Ci , i  1,
, nk u kolu.
2. Zamislimo da se duž svake konture zatvara jedna
nezavisna struja (konturna struja). Neka se
referentni smer konturne struje poklapa sa
orijentacijom odgovarajuće konture. Takvih
konturnih struja ima nk i obeležimo ih sa
I k 1 , , I knk .
+
+
3. Sistem jednačina po konturnim strujama:
R11I k1  R12 I k 2 
 R1nk I knk  Ek1
R12 I k1  R22 I k 2 
 R2 nk I knk  Ek 2
Rnk 1I k1  Rnk 2 I k 2 
 Rnk nk I knk  Eknk
 Rii , i  1, , nk - aritmetički (običan) zbir otpornosti svih grana kola koje
pripadaju i -toj konturi (sopstvena otpornost i -te konture) uvek sa predznakom
„+“.
 Rij  R ji , i, j  1, , nk , i  j - aritmetički zbor otpornosti svih grana kola
koje istovremeno pripadaju i -toj i j -toj konturi (međusobna otpornost i -te i j
-te konture), uzet sa predznakom „+“ ako se duž zajedničkih grana poklapaju
smerovi tih kontura, a sa predznakom „-“ ako su smerovi suprotni. Ako konture
nemaju zajedničke grane, onda je Rij  0 .
 Eki , i  1, , nk - algebarski zbir elektromotornih sila svih idealnih naponskih
generatora grana koje pripadaju i -toj konturi (elektromotorna sila i -te
konture). U ovaj zbir elektromotorna sila ulazi sa predznakom „+“ ako se
orjentacija konture poklapa sa referentnim smerom elektromotorne sile, a sa
predznakom „-“ ako su smerovi suprotni.
Rešavanjem sistema jednačina  I k1 ,
, I knk .
Struje granana se određuju na sledeći način:
- Struja u nezavisnoj grani neke konture jednaka je konturnoj struji te
konture.
- Struja u grani koja pripada većem broju kontura jednaka je
algebarskom zbiru konturnih struja koje kroz tu granu protiču. Pri tome,
konturna struja ulazi u zbir sa predznakom „+“ ako se njen referentni
smer podudara sa referentnim smerom struje u grani, inače se uzima sa
predznakom „-“.
Primer. Odrediti jačine struja grana kola sa slike koristeći metod konturnih struja.
nč  2 , ng  3
nk  ng  (nČ  1)  2 (2 nezavisne konturne struje)
+
R11I k1  R12 I k 2  Ek1
R21I k1  R22 I k 2  Ek2
R11  R1  R,
Ek1   E1
R22  R2  R,
R12  R21  R
+
Ek 2   E2
+
( R1  R) I k1  RI k2   E1
RI k1  ( R2  R) I k 2   E2
R   I k1    E1 
 R1  R



 R


I
R

R

E
2

  k2   2 
I1   I k1
I2  Ik 2
I   I k1  I k 2
+
2.4. TEVENENOVA TEOREMA
Tevenenova teorema. Mreža A sa slike se može zameniti realnim naponskim
generatorom čija je elektromotorna sila jednaka naponu praznog hoda te
mreže ( ET  U 0 ), a otpornost jednaka ekvivalentnoj otpornosti te mreže (
RT  Re ).
Mreža A
(linearna)
Mreža B
(ostatak
kola)
Mreža B
(ostatak
kola)
Napon praznog hoda U 0 je napon između otvorenih priključaka 1 i 2 mreže A
(kada se mreža B odvoji od nje). Tada je struja I jednaka nuli.
Mreža A
(linearna)
Ekvivalentna otpornost Re računa se na sledeći način.
 U mreži A se anuliraju sve elektromotorne sile generatora (zamene se
kratkom vezom) pri čemu njihove unutrašnje otpornosti ostaju
nepromenjene.
 Zatim se odredi ekvivalentna otpornost Re ovako dobijene čisto otporničke
mreže između tačaka 1 i 2.
Mreža A
sa
Napomena. Tevenenov generator date linearne mreže (mreža A) ne zavisi od
ostatka dela kola (mreža B) koji je priključen na nju. On jednoznačno
reprezentuje linearnu mrežu pomoću parametara ET i RT .
Primer. Koristeći Tevenenovu teoremu odrediti struju kroz otpornika R za kolo
sa slike.
Rešenje.
+
+
E
Unutrašnja otpornost Tevenenovog generatora iznosi:
R1 R2
RT  R12  R3 
R1  R2
+
+
+
+
E
E
Elektromotorna sila Tevenenovog generatora iznosi:
R1
ET  U 0 
E
R1  R2
Jačina struje kroz otpornika R je:
R1
E
ET
R1  R2
I

RT  R R  R1 R2  R
3
R1  R2
+
2.5. PRILAGOĐENJE PRIJEMNIKA PO SNAZI
Posmatramo realni naponski generator, poznate elektromotorne sile E i
unutrašnje otpornosti Rg i sa priključenim prijemnikom nepoznate otpornosti R
Cilj je da se odredi vrednost otpornosti R
prijemnika tako da njegova snaga bude
maksimalna moguća, kao i izraz za snagu.
+
Jačina struje kola iznosi:
E
I
Rg  R
Snaga koja se razvija u prijemniku zavisi od otpornosti prijemnika i iznosi:
2
E
R
2
2
PR  RI  R

E
0
2
2
( Rg  R)
( Rg  R)
Snaga na prijemniku PR jednaka je snazi Pg koju generator predaje prijemniku.
R
2
Pg  PR 
E
 0 (generator radi kao izvor struje)
2
( Rg  R)
Ukupna snaga PE koju generator razvija jednaka je:
E2
PE  EI 
0
Rg  R
(generator radi kao izvor struje)
Snaga gubitaka u generatoru PJg predstavlja Džulove gubitke u generatoru i
jednaka je razlici ukupne snage generatora PE i snage Pg koju generator preda
ostatku kola (prijemniku)
PJg  PE  Pg  Rg I 
2
Rg
( Rg  R) 2
E2  0
Maksimalna snaga na prijemniku dobija se iz uslova:
dPR
0,
dR
dPR

dR
( Rg  R) 2  2( Rg  R) R
( Rg  R) 4
E2  0
( Rg  R)2  2( Rg  R) R  0
Rg  R  2 R  0
R  Rg
Dakle, da bi se na prijemniku razvila maksimalna snaga, potrebno je da njegova
otpornost bude jednaka unutrašnjoj otpornosti generatora. Ovaj uslov
predstavlja uslov prilagođenja po snazi, a prijemnik otpornosti R  Rg se naziva
prilagođeni prijemnik.
Maksimalna snaga prijemnika (snaga prilagođenog prijemnika) iznosi:
PR max  Pg max
2
R
R
E
g
2
2

E

E

2
2
( Rg  R)
( Rg  Rg )
4 Rg
Ova snaga jednaka je maksimalnoj snazi koju generator preda ostatku kola:
Pg max  PR max
E2

4 Rg
Snaga generatora u uslovima prilagođenja iznosi:
PE
R  Rg
E2
E2
E2



Rg  R Rg  Rg 2 Rg
Ako je uslov prilagođenja snage zadovoljen, Džulovi gubici u generatoru iznose:
PJg
2
E
2

E

2
( Rg  R)
4 Rg
Rg
R  Rg
Dakle, pri maksimalnoj snazi u prijemniku, Džulovi gubici u generatoru jednaki su
maksimalnoj snazi otpornika.
Napon na krajevima prilagođenog otpornika, odnosno napon izvora iznosi:
UR
R  Rg
Rg
R
E

E
E
Rg  R
Rg  Rg
2
Koeficijent korisnog dejstva (stepen iskorišćenja) generatora definiše se kao
količnik korisne i ukupne snage generatora:

Pg
PE
Za usklađeni prijemnik, koeficijent korisnog dejstva generatora iznosi:
 RR 
g
Pg max
PE
R  Rg
E 2 / 4 Rg
PR max

 2
 0.5
PE R  R
E / 2 Rg
g
Dakle, jedna polovina snage koju razvija generator troši se na gubitke u samom
generatoru, a druga polovina se disipira na prijemniku.
Napomena. Ukoliko se umesto generatora E i Rg posmatra proizvoljna linearna
električna mreža, primenom Tevenenove teoreme, mreža se može zameniti sa ET
i RT .
2.6. KOLA SA KONDENZATORIMA
Električna kola stalne struje pored otpornika mogu da sadrže i kondenzatore.
Kada se kondenzator kapacitivnosti C optereti količinom naelektrisanja Q , napon
između njegovih elektroda je U .
Referentni smer za količinu naelektrisanja Q
Vrh strelice kod oznake za količinu naelektrisanja Q ukazuje na
usvojeni „pozitivni kraj“ kondenzatora.
Usaglašeni referentni smerovi za Q i U prikazana je na prvoj slici.
Za usaglašene referentne smerove, veza između U i Q glasi:
Q  CU
Za neusaglašene smerove (druga slika) veza između U i Q glasi:
Q  CU
Procesi punjenja (opterećivanje) i pražnjenja (rasterećivanje) kondenzatora se
ne dešavaju trenutno.
Ukoliko bi se punjenje ili pražnjenje kondenzatora odigravalo trenutno, tada bi
protekla količina naelektrisanja kroz kondenzator bila beskonačna, što je
praktično nemoguće.
Stacionarno stanje kondenzatora
Stanje kondenzatora u kome nema promene količine naelektrisanja na njegovim
krajevima naziva se stacionarnim stanjem.
Prelazno stanje kondenzatora
Proces tokom koga se vrši opterećivanja, odnosno rasterećivanje kondenzatora
naziva se prelaznim stanjem ili prelaznim režimom.
Analiza stacionarnih stanja kondenzatora
Prelazna stanja kondenzatora se ne razmatraju
2.6.1. PUNJENJE KONDENZATORA
Otvoren prekidač 
Kondenzator je neopterećen (Q0  0 )
Napon na njegovim krajevima iznosi:
U C 0  Q0 / C  0
Struja kroz kondenzator je nula ( I  0 ), a generator i kondenzator su fizički
razdvojeni.
Opisano stanje predstavlja početno stacionarno stanje u kolu.
Zatvaren prekidač 
Kroz kolo počinje da teče
naelektrisanje q(t ) stvarajući
promenljivu struju i (t ) .
II KZ:
E  Ri(t )  uC (t )
Definicija. Protok elektriciteta q(t ) predstavlja ukupno naelektrisanje proteklo
kroz kondenzator od prethodnog stacionarnog stanja do posmatranog
vremenskog trenutka t .
Tokom vremena, q(t ) dovodi do postepenog nagomilavanja elektriciteta na
elektrodama kondenzatora, odnosno povećava Q(t ) u trenutku t .
Prema usvojenim referentnim smerovima važi:
Q(t )  Q0  q(t )
Kad t    drugo stacionarno stanje u kolu
 prestaje punjenje kondenzatora,
 struja kroz kondenzator je nula ( I  0 ),
 svi naponi u kolu ( uC (t )  U C ) i struje grana koje ne sadrže kondenzatore
postaju konstantni.
 q je ukupno naelektrisanje proteklo kroz kondenzator između dva stacionarna
stanja
Opterećenje kondenzatora u drugom stacionarnom stanju
Q  Q0  q
II KZ:
E  R  0  UC  UC
 UC  E
Prethodna jednačina se može zapisati na sledeći način:
Q Q0  q
E 
C
C
 q  EC  Q0
2.6.2. PRAŽNJENJE KONDENZATORA
Otvoren prekidač 
Pre uključivanja prekidača, napon na krajevima
kondenzatora iznosi:
U C 0  Q0 / C
Zatvaren prekidač 
Kroz kolo počinje da teče naelektrisanje q(t )
stvarajući promenljivu struju i (t ) čiji je fizički
smer suprotan u odnosu na smer pri
opterećivanju kondenzatora.
Protok elektriciteta q(t ) rasterećuje elektrode
kondenzatora, smanjujući njegovo opterećenje Q(t ) , a samim tim i napon
uC (t ) , u trenutku t .
II KZ (prema usvojenim referentnim smerovima):
Ri(t )  uC (t )  0
Kad t    drugo stacionarno stanje u kolu
 prestaje pražnjenje kondenzatora,
 struja kroz kondenzator je nula ( I  0 ),
 svi naponi u kolu ( uC (t )  U C ) i struje grana koje ne sadrže kondenzatore
postaju konstantni.
 q - ukupno naelektrisanje proteklo kroz kondenzator između dva stacionarna
stanja
II KZ:
R  0  UC  0  UC  0
Q Q0  q
0  UC  
C
C
 q  Q0
2.6.3. SLOŽENA KOLA SA KONDENZATORIMA
Složene električne mreže stalne struje pored otpornika mogu da sadrže i
kondenzatore.
U stacionarnom stanju kondenzatori se ponašaju kao otvorene veze pošto kroz
njih tada ne protiče struja.
Složene mreže sa kondenzatorima se rešavaju polazeći od jednačine kontinuiteta
(analogno I KZ), II KZ i strujno-naponskih veza elementa kola.
Analogno I KZ za čvor, jednačina kontinuiteta, koja se odnosi se na protok
elektriciteta q kroz čvor kola, glasi:
Algebarska suma protoka elektriciteta qi između dva stacionarna stanja
qi  0 .
u proizvoljnom čvoru mreže jednaka je nuli, tj.

Primer. U kolu prikazanom na slici poznato je: E  10V , R  1k  i C  100nF .
Prekidač  je otvoren i u kolu je uspostavljeno stacionarno stanje. Izračunati:
a) protok kroz granu sa kondenzatorom po zatvaranju prekidača, b)priraštaj
električne energije kondenzatora.
Rešenje.
a) Kada je prekidač otvoren
kondenzator je vezan na red sa
otpornikom, pa je u stacionarnom stanju
kondenzator potpuno rasterećen,
Q0  0  UC 0  CQ0  0
Kada se prekidač zatvori
počinje punjenje kondenzatora. Do
uspostave novog stacionarnog stanja, kroz
kondenzator ukupno protekne količina
elektriciteta q .
U stacionarnom stanju kroz kondenzator ne
teče struja pa ga možemo privremeno
zameniti otvorenom vezom, odnosno možemo
ga izbaciti iz kola.
Tada važi:
R
1
UR 
E  E  5V , U c  U R  5V
RR
2
Prema usvojenim referentnim smerovima
važi:
Q  Q0  q  q
Q q
U c    q  CU c  500nC
C C
b) Priraštaj električne energije kondenzatora iznosi:
1 Q 2 1 Q02 1 Q 2
WC  WC 2  WC1 


 0  1,25 J
2 C 2 C 2 C
Download

Електрокинетика