Milutin Kojić
Matematika 1
RAČUN PODELE I MEŠANJA
Vrlo često se suočavamo sa problemom da određenu količinu nečega treba da podelimo
na nekoliko delova. Ako su ti delovi među sobom jednaki, to uradimo lako, prostim
deljenjem ukupne količine sa brojem na koji želimo podeliti.
Problem se javlja kada treba izvršiti podelu ali tako da nisu svi podeljenji delovi
međusobno jednaki. Na primer, ako imamo određenu svotu novca x, i želimo da je
podelimo na dva dela. Ako je delimo na jednake delove, obe dela će biti x/2. Međutim,
mi želimo da podela bude u razmeri 2:1. Kako to izvesti? Nameće nam se rešenje da te
sume na koje smo početnu sumu podelili obeležimo sa a i b, i postavimo proporciju:
a : b  2 :1 , iz koje sledi da je a=2b. Ako tome još dodamo jednačinu a+b=x, problem je
rešen, dobijamo da je b=x/3, a a=2x/3. Ako ovaj problem prenesemo na viši nivo, tj. ako
poželimo da istu sumu x delimo na primer na 5 delova, koji nisu jednaki među sobom i
koji se odnose kao 1:2:3:4:5, onda se problem ne rešava baš jednostavno kao u
malopređašnjem slučaju.
Sada ćemo objasniti najjednostavniji način za rešavanje ovakvih problema. Ako neku
vrednost treba podeliti u razmeri 1:2:3:4:5, prvi korak je sabrati sve ove brojeva, dakle
1+2+3+4+5=15. Zatim celokupnu vrednost delimo sa 15. Tako smo izračunali
univerzalni koeficijent-k. Tražene sume dobijamo tako što broj iz razmere pomnožimo
ovim koeficijentom. Ovaj postupak naziva se račun podele.
Račun mešanja je najlakše opisati primerom. Ako u jednoj posudi imamo vodu
temperature 20 stepeni, a u drugoj vodu temperature 50 stepeni, i želimo da u trećoj
posudi mešanjem ove dve vode dobijemo vodu temperature 30 stepeni, postavlja se
pitanje koliko treba sipati od koje vode? Odgovor na ovo pitanje daje račun mešanja.
Kako se izvodi ovaj račun objasnićemo tokom izrade zadataka na konkretnim
slučajevima.
ZADACI:
1. Podeliti broj na dva dela:
a) 60 u razmeri 7:3; b) 95 u razmeri 2:3; c) 35 u razmeri 0,5:0,2.
Rešenje: a) 7k+3k=10k 10k=60, k=6. Traženi brojevi su a=7*6=42, b=3*6=18.
2. Podeliti broj 72 na tri dela u razmeri 7:4:1.
3. Nagradu od 4530 dinara podeliti na tri radnika u razmeri sa njihovim radnim danima.
Prvi radnik je radio na zajedničkom poslu 5 dana, drugi 4 dana, a treći tri dana.
4. Za prevoz 32 kg deterdženta, 23 kg šećera i 45 kg brašna troškovi prevoza iznosili su
900 dinara. Izračunati ukupne troškove po vrstama robe u razmeri sa masom robe.
5. Radeći zajednički jedan posao četiri radnika zarade zavisno od učinka, prvi 12 000
dinara, drugi 11 500 dinara, treći 10 500 dinara, i četvrti 9 000 dinara. Kasnijim
obračunom ispostavilo se da za taj posao treba da prime još 21 452 dinara. Po koliko
dinara će dobiti svaki od njih ako se podela izvrši srazmerno njihovim zaradama.
Milutin Kojić
Matematika 1
6. Svotu od 42 000 dinara treba podeliti na četiri osobe tako da se iznosi koje dobijaju
prvi i drugi odnose kao 2:3, drugi i treći kao 4:5, a treći i četvrti kao 6:7. koliko će svako
od njih dobiti?
7. U kom odnosu treba pomešati vodu temperature 40°C i vodu temperature 25°C da bi
se dobila voda temperature 30°C?
Rešenje: Zadaci mešanja rade se najjednostavnije šemom koju ćemo sada prikazati:
Ako treba uzeti x litara prve vode i y litara druge vode, onda dobijamo x+y litara
mešavine. Dakle važi 40x+30y=25(x+y). Pogledajmo šemu:
x litara od 40 stepeni
30-25
30 stepeni
y litara od 25 stepeni
40-30
x : y  (30  25) : (40  30)
prema ovome treba staviti duplo više vode od 25 stepeni.
x : y  5 :10  1: 2
8. Koliko treba uzeti sumporne kiseline jačine 44%, akoliko kiseline jačine 80% da bi se
dobilo 18 litara kiseline jačine 64%?
Rešenje: Zadatak se rešava na sličan način kao i prethodni.
x litara od 44 %
80-64=16
64%
y litara od 80%
64-44=20
Dakle, x : y  16 : 20  4 : 5 . Znači treba uzeti četiri „dela“ prve i pet „delova“ druge
kiseline. Neka je x=4t, y=5t. Iz x+y=9t=18l sledi da je x=8l, y=10l.
9. Litar vina košta 14 dinara, a litar sode 4 dinara. U kojoj razmeri treba pomešati vino i
sodu da bi litar špricera koštao 10 dinara?
10. Koliko treba uzeti litara 90%-og alkohola i koliko litara 60%-og alkohola da bi se
dobila smeša od 50 litara 72%-og alkohola?
11. Koliko litara vode temperature 12°C treba pomešati sa 5 litara vode temperature 70°
da bi se dobila mešavina temperature 37°C?
12. Za izradu hleba koriste se dve vrste brašna po ceni od 0,72 i 0,64 dinara po
kilogramu. Koliko treba uzeti od svake vrste da bi se dobila mešavina od 1600 kilograma
po ceni od 0,70 dinara po kilogramu?
13. Koliko litara rakije po ceni od 8,50 dinara i 7,20 dinara po litru treba pomešati da bi
se dobio 221 litar rakoje po ceni od 8 dinara?
Milutin Kojić
Matematika 1
RAČUN MEŠANJA-KOMPLIKOVANIJI ZADACI
Račun mešanja smo do sada upoznali samo mešajući dve količine neke supstance. To
ne mora biti tako, može se mešati i 3, 4, 5, ...n različitih vrsta supstanci, i ništa se bitno
neće promeniti, osim složenosti računa.
Zadaci podele i mešanja su itekako zastupljeni u drugim prirodnim naukama, naročito u
eksperimentalnoj hemiji. Iako se na ovakvim zadacima ne insistira mnogo u
srednjoškolskom obrazovanju, oni su itekako životni i primenjivi.
Uradićemo sada nešto složenije zadatke računa mešanja.
1. U kom odnosu treba pomešati četiri vrste kafe po ceni od 16, 20, 22 i 25 dinara po
kilogramu da bi se dobila kafa po ceni od 21 dinar po kilogramu?
Rešenje: Postavljamo već dobro poznatu šemu za račun mešanja:
16
4
20
1
21
22
1
25
5
pa je traženi odnos mešanja a:b:c:d=4:1:1:5
2. Koliko srebra finoće 900‰, 850‰, 700‰ i 600‰ treba uzeti da bi se dobio pehar
mase 18 kg i finoće 750‰?
3. Koliko litara vode treba sipati u mešavinu 40 litara 60-procentnog alkohola i 60 litara
40-procentnog alkohola da bi se dobio 25-procentni alkohol?
Rešenje: U ovom zadatku je suština uočiti da postoje dva mešanja. Prvo je mešanje
alkohola:
40 litara od 60 %
x-40
x
60 litara od 40%
pa je onda x=48 %.
60-x
Sada treba izvršiti mešanje novonastalog alkohola i vode:
100 litara od 48 %
25
25
x litara od 0%
23
Milutin Kojić
Matematika 1
pa je x=92 litra vode.
Napomena: Još jedna stvar koju treba primetiti je da voda ima 0% alkohola u sebi!
4. U izvesnu količinu 80%-og alkohola dodato je 12 litara vode i dobijen je 60%-ni
alkohol. Kolika je prvobitna količina alkohola?
Download

RAČUN PODELE I MEŠANJA