DERS 12
BELİRLİ İNTEGRAL
Dönel Cisimlerin Hacmi
Yard. Doç. Dr. Mustafa Akkol
1
Dönel Cisimlerin Hacmi:
dx r  f (x)
y  f (x)
x
a
b
A( x)  r    f ( x)
2
2
H ( x)  A( x)dx    f ( x) dx
2
V     f ( x) dx
b
a
2
Yard. Doç. Dr. Mustafa Akkol
2
y  f(x) eğrisi altında kalan bölge x ekseni etrafında döndürüldü ğünde
bir dönel cisim meydana gelir. Bu cismin x eksenine dik kesitleri yarı
çapı x e bağlı olarak değişen birer daire olur.
Bu dairenin alanı A(x)  π f(x)  olur. Birbirine sonsuz yakın
iki kesit arasındaki uzaklığı dx ile gösterirse k elde edilen
2
dilimin hacmi H(x)  A(x)dx
2


 π f(x)
dx olur.
y  f ( x) eğirisialt ında kalan bölgenin a, b  aralığnda x ekseni
etrafında dönmesiyle meynada gelen dönel cismin hacmi
V  
b
a
2
 f ( x) dx olur.
V     f ( x) dx
b
2
a
Yard. Doç. Dr. Mustafa Akkol
3
x  f ( y)
d
c
V 
d
c
 f ( y) dy
Yard. Doç. Dr. Mustafa Akkol
2
4
y  f (x)
y  g (x)
a
b
İçi boş cismin hacmi
b

V    [ f ( x)]  [ g ( x)]
a
2
Yard. Doç. Dr. Mustafa Akkol
2
 dx
5
Örnek:
1. y  2, x  2, x  4 ve x ekseni ile sınırlı dikdörtgen sel bölgenin
x ekseni etrafında dönmesiyle meydana gelen dönel cismin
hacmini hesaplayın ız.
Çözüm: Önce bölgeyi ve dönel cismi çizeblim.
4
4
V    y dx   2 dx   4 x
2
2
2
2
2
2
4
 8 br
3
2
4
Dik silindirin hacmi;
V   r 2 h br 2 dir.
Yard. Doç. Dr. Mustafa Akkol
6
Örnek:
2. y 
1
x, x  4 doğruları ile x ekseni arasında kalan üçgensel
2
bölgeninx ekseni etrafında dönmesiyle meydana gelen dönel
cismin hacmini hesaplayın ız.
Çözüm: Önce bölgeyi ve dönel cismi çizeblim.
4
4
V    y dx   [
2
2
0
0
4

1
x] dx   
2
2
 x
3
4 3
Dik koninin hacmi;
V 
Yard. Doç. Dr. Mustafa Akkol
1
3
4

1
0
4
br
3
2
x dx
3
0
 r hbr
2
16 
4
2
dir.
7
Örnek:
3. y 
1
x
2
parabolü , x  1, x  2 doğruları ile x ekseni arasında
2
kalan bölgenin x ekseni etrafında dönmesiyle meydana gelen
dönel cismin hacmini hesaplayın ız.
Çözüm:
Önce bölgeyi ve dönel cismi çizeblim.
2
2
V    y dx    [
2
1
1
2

1
2
 x
5
4 5
2

1
Yard. Doç. Dr. Mustafa Akkol
1
2
x ] dx   
8
2 2
2
1
br
1
4
x dx
4
3
5
8
Örnek:
4. y 
1
eğrisi , y  1, y  3 doğruları ile y ekseni arasında
x
kalan bölgenin y ekseni etrafında dönmesiyle meydana gelen
dönel cismin hacmini hesaplayın ız.
Çözüm:
Önce bölgeyi ve dönel cismi çizeblim.
Eğri y ekseni etrafında döndürülec eği için
fonksiyon x  f(y) şeklinde olmalidir.
3
3
1
3
1
3
1
V    x dy    [ ] dy    2 dy
1
1
1 y
y
2
  (
1
y

Yard. Doç. Dr. Mustafa Akkol
2
3
2
3
1
1
3
)   [
 (1)]
 br 3
9
Örnek:
5. y  x  x eğrisi ile x ekseni arasında kalan bölgenin
2
x ekseni etrafında dönmesiyle meydana gelen dönel
cismin hacmini hesaplayın ız.
Çözüm:
Önce bölgeyi ve dönel cismi çizeblim.
1
1
V    [ x  x ] dx    ( x  2 x  x )dx
2 2
0
(
1
2
3
4
0
x
3
3

x
4

2
Yard. Doç. Dr. Mustafa Akkol
x
5
5
1
) 
0

br
3
30
10
Örnek:
6. y  3x  x parabolü ile y  x doğrusu arasında kalan
2
bölgenin x ekseni etrafında dönmesiyle meydana gelen
dönel cismin hacmini hesaplayın ız.
Çözüm: Önce bölgeyi ve dönel
cismi çizeblim.B unun için kesim
noktaların ı bulalım.
y  3x  x
yx
2
 x1  0, y1  0
2
 x  2x  0  
 x2  2, y2  2
2
V    [(3x  x )  x ] dx
2 3
2 2
0
2
2
   (9 x  6 x  x  x )dx
2
3
4
2
0
  (8
x
3
3
Yard. Doç. Dr. Mustafa Akkol
6
x
4
4

x
5
5
2
) 
0
56
br
3
15
11
Yay Uzunluğu:
si
y  f (x)
si
Δx
2
si  ( Δ x )  ( Δ y )
2
si
2
2
(Δ x)
a
Δy
Δx
 1 (
Δ
si  1  Δ
b
2
Δy 2
)
Δx
y
x
2
Δx
Sonsuz bölünme yapıldığın da; si  1  [ f ' ( x)] 2 dx
AB yayı s 

b
1  [ f ' ( x)] 2 dx
a
Yard. Doç. Dr. Mustafa Akkol
12
Örnek:
1. y  4 x doğrusunun x  0 ve x  2 noktaları arasındaki
parçasını n uzunluğunu hesaplayın ız.
Çözüm: Önce doğruyu çizeblim.
8
B
2
S   1  [ f ' ( x)] 2 dx 
0


2

17 dx  17 x
0
A
0
2
1  16 dx
0
2
 2 17 br
0
2
Gerçekten  AB 

2 2  82 
68
4.17  2 17 br dir .
Yard. Doç. Dr. Mustafa Akkol
13
Örnek:
x eğrisinin x  0 ve x  2 noktaları arasındaki
parçasını n uzunluğunu hesaplayın ız.
2. y  x
Çözüm:
Önce eğriyi çizeblim.
S
B
2 2

2
1  [ f ' ( x)] dx 
2
0


2
1
A
2

4
9
(1 
x dx 1 
4
0
0
9
9
4
3
2
x)

2
1[
3
x ] 2 dx
0
2
9
x  u diyelim.
4
3
2
2

0
Yard. Doç. Dr. Mustafa Akkol
1
(22. 22  8) br
27
14
Dönel Cisimlerin Yüzey Alanı:
y  f (x)
a
b
y  f ( x) fonksiyonu nun a, baralığında ki parçasının x ekseni etrafında
döndürülme siyle elde edilen dönel yüzeyin alanı,
A  2 f ( x) 1   f ' ( x) dxdir.
b
2
a
Yard. Doç. Dr. Mustafa Akkol
15
Örnek:
1. y  2 x eğrisinin x  0 ve x  2 doğruları arasındaki
2
parçasını n x ekseni etrafında döndürülme si ile meydana
gelen dönel yüzeyin alanını hesaplayın ız.
Çözüm:
2
Önce yüzeyi çizelim.
B
2
A  2 y 1  [ f ' ( x)] dx
2
0
 2 
2
 2 
2
2x 1  [
0
A
0
2
0

2
1
2
] dx
2x
2
2 x  1 dx   2 2 x  1 dx
(2 x  1)
3
Yard. Doç. Dr. Mustafa Akkol
0
3
2
2

0
2
(5 5  1) br
2
3
16
Örnek:
2.
x
y
2
parabolü veriliyor .
2
x
a) y 
2
parabolü x  2 doğrusu ve x ekseni ile sınırlı A bölgesi ile
1
2
x
y
2
parabolü y  2 doğrusu ve y ekseni ile sınırlı A bölgesini çiziniz.
2
2
b) A ve A bölgelerinin alanlarını hesaplayın ız.
1
2
c) A bölgesinin x eksini etrafında dönmesiyle oluşan bölgeyi
1
çiziniz ve hacmini hesaplayın ız.
d ) A bölgesinin y eksini etrafında dönmesiyle oluşan bölgeyi çiziniz,
2
hacmini ve dış yüzey alanını hesaplayın ız.
e) A bölgesinin y eksini etrafında dönmesiyle oluşan bölgeyi çiziniz,
1
hacmini ve dış yüzey alanını hesaplayın ız.
Yard. Doç. Dr. Mustafa Akkol
17
Çözüm:
2
y
a)
x
2
2
A2
A1
2
b)
x
2
3
x 2 4
A   dx 
 br
2
6 0 3
x
x 2 8
A   (2  )dx  (2 x  )  br
2
6 0 3
2
1
0
2
3
2
2
2
0
Yard. Doç. Dr. Mustafa Akkol
18
c)
2
y 
x
2
2
2
2
5
x 


x
2 8 3
4
V     dx   x dx 

br
2 
40
4 5 0
5
0 
2
2
2
Yard. Doç. Dr. Mustafa Akkol
19
d)
y
x2
x
2y
22
2
V   2 ydy  y
 4br
0
2
3
2
y 
0
x
2
2
,
2
2
A  2  2 y 1  (
0
1
2y
2
2
) dy  2 2 y

0
2y 1
dy
2y
3
2
 2 
0
2
( 2 y  1) 2 2
2

(5 5  1)br
2 y  1 dy  2
0
3
3
Yard. Doç. Dr. Mustafa Akkol
20
e)
2
y 
x
2
2
2
2
V   (2 
2
0


2
2 y )dy  (4 y  y )  4br 3
0
2
2
2
2
2
A  2 2dy  22 y  8br
0
0
Yard. Doç. Dr. Mustafa Akkol
21
Örnek:
x parabolü veriliyor .
3. y 
2
parabolü ve x  1 doğrusu ile sınırlı A1 bölgesi ile
2
x parabolü y  1 doğrusu ve y ekseni ile sınırlı A2 bölgesini
a) y 
y
x
çiziniz.
b) A1 ve A2 bölgelerinin alanlarını hesaplayın ız.
c) A1 bölgesinin x eksini etrafında dönmesiyle oluşan bölgeyi
çiziniz ve hacmini hesaplayın ız.
d ) A2 bölgesinin y eksini etrafında dönmesiyle oluşan bölgeyi
çiziniz, hacmini ve dış yüzey alanını hesaplayın ız.
e) A1 bölgesinin y eksini etrafında dönmesiyle oluşan bölgeyi
çiziniz, hacmini ve dış yüzey alanını hesaplayın ız.
Yard. Doç. Dr. Mustafa Akkol
22
1
Çözüm:
a)
y
x
A2
A1
1
b)
1
1/ 2
A1   x
0
1
2 1/ 3 1 2
dx  x
 br
3
0 3
1/ 2
A2   (1  x
0
2 3/ 2 1 1 2
)dx  ( x  x
)  br
3
0 3
Yard. Doç. Dr. Mustafa Akkol
23
c)
1
2
V    ( x ) dx 
0
y
d)

21
x
2

0
xx y

br
3
2
2
1
1
2 2
V    ( y ) dy 
0
Yard. Doç. Dr. Mustafa Akkol
5
y 1
5
0


br
3
5
24
e)
1
2
2
V    [1  ( x ) dx  [ x 
0
Yard. Doç. Dr. Mustafa Akkol
x
2 1

]  (1  )br
2 0
2
3
25
Çocuklar ezberliyor. 4 kere 4, 4 kere 6, 4 kere 10, 4 kere 11 ? “hasan amca
sen bizi kandırmaya çalışıyorsun 4 kere 11 olmaz. Tabloda yazmıyor...”
Yard. Doç. Dr. Mustafa Akkol
26
Download

Örnek