Prof. Dr. Hüseyin Çelik & Prof. Dr. Leyla Yıldırım
FİZ 217 Bütünleme Sınav - 31 Ocak 2014 - 9:00-11.00
(Hacettepe Üniv. Fizik Müh. Bölümü)
Soru
1
2
3
4*
5*
Toplam
FİZ-217 Titreşimler ve Dalgalar
Bütünleme Sınavı
31 Ocak 2014 (Cuma)
Süre: 120 dakika
Adı-Soyadı:
Şubesi:
No:
İmza:
Puan
30:a=7 ; b=13
30:a=10 ; b=12
20:a=4 ; b=8
20:a=8 ; b=4
20:a=5 ; b=8
100
*4 veya 5’den
; c=10
; c=8
; c=8
; c=8
; c=7
sadece birini cevaplayınız.
SORULAR
1. Şekil-a’da gerilmiş ip üzerinde eşit aralıklarla, kütleleri eşit olan üç boncuk bağlıdır. Sırasıyla 1, 2 ve 3
nolu boncuklar pozitif y-ekseni yönünde küçük miktarlarda ,
ve
kadar çekilerek aynı anda
serbest bırakılıyorlar (Şekil-b). Sistem küçük genliklerle enine titreşim yapıyor. İpteki gerilimin sabit
kaldığını kabul ediniz (
). Ortadaki kütleye
periyodik dış kuvveti uygulanıyor.
a) 1, 2 ve 3 numaralı kütlelerin hareket denklemlerini yazınız. Burada
b)
,
kısaltmasını kullanınız.
şeklinde çözümler kabul ederek ,
ve
ve
genliklerini
verilen parametreler cinsinden belirleyiniz.
c) Sistemin rezonansa girdiği frekansları belirleyiniz ve
genliğinin
frekansına bağlı davranışını
çiziniz.
2. Boyca kütle yoğunluğu
olan
uzunluğundaki bir ip
gerilimi altında iki ucundan, şekildeki gibi, iki
desteğe bağlıdır. Başlangıçta durgun olan ip hafifçe düşey doğrultuda çekilip serbest bırakıldıktan sonra
enine titreşimler yapıyor.
a) Bu ipin ’inci modunu tanımlayan tanımlayan fonksiyonun
(
)
ifadesi ile verilebileceğini gösteriniz.
b) Titreşen ipin modunun enerjisini bulunuz.
c) Bu ipin aşağıdaki ifade ile verildiği gibi üç normal modunun üst üste gelmesi şeklinde titreşmesi
durumunda toplam enerjisini, b-şıkkında bulduğunuz sonuçtan yararlanarak, yazınız.
(
)
Prof. Dr. Hüseyin Çelik & Prof. Dr. Leyla Yıldırım
FİZ 217 Bütünleme Sınav - 31 Ocak 2014 - 9:00-11.00
(Hacettepe Üniv. Fizik Müh. Bölümü)
3. Kütlesi
olan bir blok, kuvvet sabiti
olan bir yayın ucuna bağlı olarak sürtünmesiz
yatay düzlemde basit harmonik hareket yapıyor. Aynı sistem daha sonra hızla orantalı bir sönüm
kuvvetinin (
) etkisinde kalarak yatay düzlemde sönümlü harmonik hareket yapıyor. Sönümlü
hareketin frekansı ( ) ile sönümsüz hareketin frekansı ( ) arasındaki ilişkinin
olduğu
gözlemleniyor.
a) Sönüm sabiti ’nin değerini bulunuz.
b) Son durumda sistemdeki kütleye dışarıdan
( )
(
cinsinden) ile tanımlı bir sürücü
kuvvet uygulanıyor ve sistem kısa bir süre sonra kararlı durumda titreşim hareketi yapmaya başlıyor.
Sistemin rezonans frekansını ve bu frekansta genliğini hesaplayınız.
c) Dış kuvvetin frekansı
iken bir tam salınımda sönüm kuvvetine karşı ne kadarlık enerji
harcanır?
4. Sinüzoidal bir dalga boyca kütle yoğunluğu
olan uzun bir ip üzerinde ilerlemektedir. İpin bir
parçacığının
noktasındaki enine yer değiştirmesi
(
)
ifadesi ile verilmektedir. Bu ifadedeki tüm nicelikler SI birim sistemindedir.
a) Bu dalganın frekansını, dalgaboyunu, dalganın ilerleme hızını ve ipteki gerilimi hesaplayınız.
b) İp üzerindeki parçacıkların enine yer değiştirmesini konumun (x) ve zamanın (t) fonksiyonu
olarak yazınız.
c) Bu dalganın bir dalgaboyluk kesiminin taşıdığı enerjiyi hesaplayınız.
5. Boşlukta bir düzlem elektromanyetik dalganın elektrik alan ( ⃗ ) bileşeni aşağıdaki şekilde tanımlıdır:
[ (
)]
Burada tüm nicelikler SI-birim sistemindedir.
a) Bu elektromanyetik dalganın hızını, dalgaboyunu, periodunu, elektrik alan genliğini,
kutuplanmasını ve dalga vektörünü belirleyiniz.
b) Bu dalganın mayetik alan bileşenini Maxwell denklemlerini kullanarak belirleyiniz.
c) Bu dalganın olduğu bölgede birim alanda birim yüzeyden geçen enerjinin zaman ortalamasını
hesaplayınız.
Prof. Dr. Hüseyin Çelik & Prof. Dr. Leyla Yıldırım
FİZ 217 Bütünleme Sınav - 31 Ocak 2014 - 9:00-11.00
(Hacettepe Üniv. Fizik Müh. Bölümü)
BAZI BAĞINTILAR
∫
(
)
∫
(
)
̈+
T
̇+
(
( )
(
(
)
;
∫
(
)
),
(
F0 /m
( ) ,
)
( )
(
+
[
[(
(
√ ;
)
; ⃗ ⃗
+
√
,
)
-
;
;
;
;
[ ]
√
) ;
;⃗
(
(
)
√
),
[ ]
√ ;
=
(
(
;
(
)
( )
,
]
=
⃗ ⃗
)
] olup burada
)
)
T
( ),
)
( )
(
∫
√
( )
(
;
(
⃗⃗
⃗
(
)+
)
;⃗
⃗
⃗
][
[
(
) ;
-
;
⃗⃗⃗
;
⃗
⃗
]
)=0
Başarılar
;
⃗
⃗
⃗
Prof. Dr. Hüseyin Çelik & Prof. Dr. Leyla Yıldırım
FİZ 217 Bütünleme Sınav - 31 Ocak 2014 - 9:00-11.00
(Hacettepe Üniv. Fizik Müh. Bölümü)
CEVAPLAR
CEVAP-1
a) Burada kütleler sanki kuvvet sabiti volan yaylarla bağlanmış gibi düşünülebilir.Kütlelerin hareket
denklemlerini size verilen
̈ + ( )+
( )
ifadesinden faydalanarak yazabiliriz.
(
)
1.
̈
̈
2.
(
)
(
(
)
3.
̈
veya
1. ̈
2. ̈
3. ̈
şeklinde yazılabilir. Burada
)
(1)
(2)
alınmıştır.
ve
b) Burada
,
ve
şeklinde harmonik çözümler seçebiliriz. Bu fonksiyonların ikinci türevleri alınarak (2) denklemlerinde
yerlerine yazılırsa,
1. (
)
(
)
2.
(3)
(
)
3.
Bu denklem sistemini Cramer kuralı ile çözerek A, B ve C genliklerini belirleriz.
Katsayı determinantı
|
|
(
Buradan ,
ve
(
)[(
)[(
)
)[(
)
]
[(
Benzer işlem yapılarak
ve
)
]
(
)[(
(
)
)
)
]
]
için yapılarak
(
)
)
[(
]
ve
[(
)
]
olduğuna dikkat ediniz. Bu sonuç problemin simetrisi ile de uyumludur.
katsayılarının paydasını sıfır yapan
(
Buradan rezonans frekansları için
değildir.
genliği
genliğinin
(
|
(
c)
]
genlikleri için
|
elde edilir. Burada
)
√(
değerlerinde rezonans olur.
)
√ )
ve
√(
√ )
değerlerini yazmak zor
olduğunda sıfır olacaktır. Bu veriler kullanılarak
√
frekansına bağlı davranışları aşağıdaki şekildeki gibi olacaktır.
Prof. Dr. Hüseyin Çelik & Prof. Dr. Leyla Yıldırım
FİZ 217 Bütünleme Sınav - 31 Ocak 2014 - 9:00-11.00
(Hacettepe Üniv. Fizik Müh. Bölümü)
Prof. Dr. Hüseyin Çelik & Prof. Dr. Leyla Yıldırım
FİZ 217 Bütünleme Sınav - 31 Ocak 2014 - 9:00-11.00
(Hacettepe Üniv. Fizik Müh. Bölümü)
CEVAP-2
a) İki ucu bağlı gerilmiş ipte dalga denkleminin çözümü için
( ) [
]
][
ifadesinin verildiğini biliyorsunuz ( Formüller içinde verildi).
İki ucu sabit (bağlı) olan ip için sınır koşulları:
i)
 ( )
ve ii)
 ( )
olacağı açıktır.
koşulundan :
(i)
[
]
olmasıdır. Bu durumda (
yazabiliriz. Bunun olması için gerek ve yeter koşul
için
( ) (
)
)(
(2)
yazılabilir.
)(
ii) koşulundan : (
yazılabilir.
(1)
) fonksiyonu
)
olduğuna göre
olmalıdır. Buradan
veya
√
,
(3)
yazabiliriz.
Buradan ’inci modu tanımlayan fonksiyon için
( )
[
]
[
yazılabilir. Burada ac ve ad çarpımları da sabitlerdir, bunların yerine
alabiliriz. Bu durumda çözüm için
( )
[
ifadesini yazabiliriz.
Başlangıç koşulu:
(
)
|
(
)
(5)
(
[
)
|
olduğundan,
]
veya
(4)
]
anında ipin durgun yani
elde edileceği açıktır. Bunun olması için
]
[
]
=0 olmalıdır. Bu durumda
(
)
(6)
yazılabilir.
b) Diferansiyel bir ip elemanının potansiyel enerjisinin
( )
ile verildiğini biliyoruz. (6)’da verilen fonksiyonun
elde edilir. Bu ifade (7)’de yerine yazılırsa
(7)
türevi alınırsa
Prof. Dr. Hüseyin Çelik & Prof. Dr. Leyla Yıldırım
FİZ 217 Bütünleme Sınav - 31 Ocak 2014 - 9:00-11.00
(Hacettepe Üniv. Fizik Müh. Bölümü)
(
)
boyundaki ipin n. modunun toplam potansiyel enerjisi:
∫
⏟
Potansiyel enerjinin maksimum değeri sistemin toplam enerjisine (
maksimum değeri
için
) eşittir. Potansiyel enerjinin
elde edilir. Bu nedenle
veya
(8)
yazabiliriz. Enerji hesabı potansiyel enerji ile kinetik enerjinin toplamı şeklinde de yapılabilir.
c)
(
)
Durumunun enerjisini (8) ifadesi kullanılarak yazılabilir:
(
)
Prof. Dr. Hüseyin Çelik & Prof. Dr. Leyla Yıldırım
FİZ 217 Bütünleme Sınav - 31 Ocak 2014 - 9:00-11.00
(Hacettepe Üniv. Fizik Müh. Bölümü)
CEVAP-3
a) Sönümsüz harekette
dir.
[√
Sönümlü hareketin frekansı ise size verilen ( )
olduğunu yazabiliriz.
] ifadesinden
olarak verildiğine göre buradan


√
elde edilir.
√
b) Sistemin rezonans frekansını size verilen
bağıntısını kullanarak hesaplarız:

Genlik için
[(
[(
]
)
ifadesi size verilmiştir. Rezonans frekansındaki değeri:
]
)
[
√
[(
]
)
[(
]
)
]
ifadesini yazacağımızı biliyoruz. Sönüm kuvvetine
c) Mekanikte güç için
karşı harcanan güç için
(
)
veya
yazabiliriz. Buradan harcanan enerji için
yazılır.
(
)
(
) olduğundan
(
)
Bir periyotluk sürede ( ) harcanan enerji için
(
∫
)
∫
⏟
(
)
ifadesi elde edilir.
‘deki genlik bulunarak yerine konulursa,
[(
(
) )
(
(
değeri elde edilir.
[(
) ]
)
(
(
) )
)
(
) ]
Prof. Dr. Hüseyin Çelik & Prof. Dr. Leyla Yıldırım
FİZ 217 Bütünleme Sınav - 31 Ocak 2014 - 9:00-11.00
(Hacettepe Üniv. Fizik Müh. Bölümü)
CEVAP-4
a) Pozitif -ekseni yönünde ilerleyen sinüzoidal bir dalgayı
(
)
(
)
şeklinde yazabiliriz. Bu ifade ile verilen
(
)
ifadesini karşılaştırırsak
i)

ii)
iii)
iv)
√
√
b)
( )
konulursa,
(
(
) (
)
) ifadesinde
(
)
değerleri yerine
ve
(
(
)
)
elde edilir.
c) Dalganın taşıdığı enerjiyi size verilen
[ ]
(
ve
[ ] b ğı ıl rı ı kull
)
(
);
(
∫
⏟
∫
⏟
(
(
)
(
r k he pl y b l r z
) ;
)
⏟
)
(
)
Prof. Dr. Hüseyin Çelik & Prof. Dr. Leyla Yıldırım
FİZ 217 Bütünleme Sınav - 31 Ocak 2014 - 9:00-11.00
(Hacettepe Üniv. Fizik Müh. Bölümü)
CEVAP-5
a) Verilen dalga düzlem sinüzoidal dalga olduğundan elektrik alan bileşeni
⃗
[ (
)] ̂ (V/m)
ifadesi
(
)
(
)
(
)
formatında yazılabilir. Bu ifade ile soruda verilen ifade karşılaştırılsa
i)
Dalganın hızı:
ii) Dalgaboyu:
iii) Period:
iv) Elektrik alan genliği:
v) Verilen elektromanyetik dalga +z-ekseni yönünde ilerlemekte ve elektrik alan x-ekseni
doğrultusundadır, sonuç olarak verilen x doğrultusunda dalga doğrusal kutuplu ya da xz düzlem
kutupludur denilebilir.
̂(
vi) Dalga vektörü ⃗
)
b) ⃗ ’yi ⃗
⃗ =
⃗
Maxwell denklemini kullanarak belirleyebiliriz. ⃗
⃗
⃗
||
||
⃗ ⃗
⃗
(
(
)̂
̂
)̂
Buradan
⃗
∫
⃗
⃗
(
[ (
)
(
(
)
(
(
)̂
[ (
)̂
)̂
(
)̂
)̂
)] ̂
c) Poynting vektörü: (
(
(
)] ̂ (Tesla)
)̂
)
)] ̂
[ (
Bunun tam bir devir üzerinden ortalamasını alarak
|
|
sonucunu elde ederiz.
[ (
∫
⏟
|
)] ̂
[ (
|
)]
Download

FIZ 217 Butunleme -Soru-cevap-2013-2014