BÖLÜM 4
ZORLAMALI SALINIMLAR ve REZONANS
Önceki bölümde değişik tipteki sistemlerin serbest salınımları ile ilgilendik. Şimdi titreşen bir
sistem, periyodik bir dış kuvvete maruz kaldığı zaman meydana gelen ve fizikte oldukça önemli
ve dikkate değer bir olay olan rezonansı tartışacağız. Büyüklüğü periyodik olarak değişen bir dış
kuvvet uygulandığında ortaya çıkan harekete ZORLAMALI SALINIM denir. Zorlamalı hareketi
sönümlü olmayan zorlamalı salınım hareketi (undamped forced vibrations) ve sönümlü zorlamalı
salınım hareketi (damped forced vibrations) olmak üzere iki başlık altında ele alacağız.
I. Sönümlü Olmayan Zorlamalı Salınım Hareketi
Yaya sabiti k olan bir yayın ucuna asılı m kütlesinden oluşan sistemi göz önüne alalım. Şekilde
yay sabiti k olan bir yaya m kütleli bir cisim bağlanmış ve sürtünmesiz bir masa üzerinde
şekildeki gibi durmaktadır. Sisteme  = 0  şeklinde periyodik bir dış kuvvetin
uygulansın.
Newton'un 2. yasası kullanılarak hareketin denklemini yazabiliriz.

2
= −  + 0 
 2
2

0
+

=

 2 

Eğer osilatör denge pozisyonundan yana çekilip bırakılırsa 0 = √/ frekansında titreşmeye
başlayacaktır. Periyodik dış kuvvetin uygulanmasıyla, dış kuvvet osilatör üzerine kendi frekansı
w’yı kabul ettirmeye çalışacak ve titreşim hareketi w0 ve w frekanslarındaki titreşimlerin üst üste
gelmeleri şeklinde olacaktır. Yukarıdaki denklemin çözümü de bu iki hareketin basit toplamı
şeklindendir. Belli bir zaman sonra toplam titreşim frekansı dış kuvvetin frekansına (w) eşit
olacaktır. Bu şart yerine getirildiği zaman dış kuvvet etkisindeki osilatör kararlı hal denklemi
denilen bir duruma sahiptir.
Hareketin en çarpıcı özelliği w = w0 civarında ortaya çıkan sonuçtur. Bu durum REZONANS
durumu olarak adlandırılır. Eğer periyodik dış kuvvetin frekansı, titreşen sistemin doğal
titreşimlerinin frekansına yakın ise, titreşimlerin genliği küçük bir kuvvet uygulanmasıyla
oldukça büyük yapılabilir. Salınan sistemde doğal titreşimlerin frekansının periyodik dış
kuvvetin frekansına eşit olması durumunda genliğin maksimum değere ulaşmasına rezonans
olayı denir.
1
BÖLÜM 4
Yukarıda şekli verilen kütle-yay sisteminin hareketini inceleyelim:

= 02 ve

0

= 0 yazarak, dış kuvvet uygulanmadığı durumda hareket denklemi
2 
 2
+ 02  = 0
(1.a)
ve dış kuvvetin olduğu durum için hareket denklemi
2 
 2
+ 02  = 0  (1.b)
şeklinde yazılabilir. Yukarıdaki denklemlerin çözümleri sırasıyla ℎ ve  olsun. ℎ +  de
(1.b)’nın çözümü olur. Genel çözüm ise :
 = ℎ + 
olacaktır.
Bu durumda (1.b)’nın genel çözümü  ≠ 0 ,
 = ( − )
(2)
eşitliği ile verilebilir. Burada A titreşim genliğidir, her zaman pozitif bir niceliktir ve titreşim
frekansına bağlı olarak değişir. Eşitlik (2)’yi ve ikinci türevini (1.b) denkleminde yerine koyalım.
2
= −2 ( − )
 2
−2 ( − ) + 02 ( − ) = 0 
cos( ∓ ) =  ± 
trigonometrik eşitliğinden yararlanarak,
−2 (  +  ) + 02 (  +  ) = 0 
(02 − 2 ) = 0
(02 − 2 ) = 0
(3)
(4)
elde edilir. Bu iki eşitliği birlikte değerlendirdiğimizde,   = 0 ,  = 0 veya  =  olur.
 = 0, olduğu durumda, (3) eşitliğinden titreşim genliği için
=
0
(02 −  2 )
ifadesi elde edilir. Bu ifade de görüldüğü gibi genlik frekansa bağlıdır ve A’nın pozitif
olabilmesi için 0 >  olmak zorundadır.
 = , olduğu durumda, (3) eşitliğinden titreşim genliği için
2
BÖLÜM 4
=−
0
(02 −  2 )
ifadesi elde edilir. ’nın pozitif olabilmesi için  > 0 koşulunun sağlanması gerekmektedir.
Bu durumda sönümsüz zorlamalı hareket için yerdeğiştirme ifadesi

0
 = 0 , 0 >  ,  = (2 −
2)
0
 = ()( − ) → {
0
 =  ,  > 0 ,  = − (2 −
2)
0
olur. Genlik değeri aynı zamanda 0 =
 = 0 ,
0

değerine de bağlıdır.
0 0 /
=

02
 → 0,
() →
 → 0 ,
() → ∞
 → ∞,
() → 0
() = ∞,  = 0′ dan  =  ′ ye atlıyor. Bu durum fiziksel değildir.
Bu denklemlerin çözümü için farklı bir yöntem olarak aşağıda ikinci bir yol gösterilmiştir.
Homojen difransiyel denklemin çözümünün daha önce
ℎ = 1 0  + 2 0 
şeklinde olduğunu görmüştük.
1)  ≠  durumu için (1.b) denkleminin genel çözümünü
() = ℎ () +  ()
(3)
olacak şekilde, özel çözüm ise :
 () =  + 
(4)
şeklinde seçelim.
3
BÖLÜM 4
Şimdi (4) eşitliğindeki  'nin t'ye göre ikinci türevini alarak (1) denkleminde yerine yazalım.


= − + 
2 
= −2  − 2  = −2 ⦋(
⏟
+ ) = −2 
 2


2 
 2
+ 02  = 0  denklemini (3) ile verilen genel çözüm sağladığı gibi (4) ile verilen xp de
sağlar.
−2  + 02  = 0 
 () =
0
02 −2

(5)
elde ederiz.
Bu durumda genel çözüm () = ℎ () +  () yazabiliriz.

0
() = [1 0  + 2 0 ] + 2 −
2 
(6)
0
Başlangıç koşulları olarak, t=0’da, (0) = 0 ve
(0)

= 0 seçelim. Bunlar (6) denkleminde
kullanarak

0
1 = − 2 −
2 ve 2 = 0
0
elde ederiz. Bu özel durumda çözüm için
() = −
02
0
0
0
⦋(0  − )⦌
0  + 2
 = − 2
2
2
−
0 − 
0 −  2
yazabiliriz.
+
 −  = −2 (
2
−
)  (
2
)
özdeşliğini kullanarak
() = ⦋
20
0 − 
0 + 
⦌

)

)
(
(
2
2
02 −  2
yazabiliriz. Bu ifade yüksek frekanslı
0 −
 (
2
0 +
 (
2
(7)
) titreşimlerinin genliği, düşük frekanslı
) fonksiyonu tarafından modüle edilir. Bu davranış VURU (beat) olarak adlandırılır.
4
BÖLÜM 4
2)  =  (Rezonans Durumu)
Homojen denklem çözümünü
ℎ () = 1 0  + 2 0 
yerine
ℎ () = (0  + )
formunda yazabileceğimizi daha önce tartışmıştık. ℎ () fonksiyonu kararlı salınan bir
fonksiyondur.
Rezonans durumunda özel çözümü
 () = 0  + 0 
seçebiliriz.

= 0  + 0  − 0 0  + 0 0 

 2 
 2
= −0 0  + 0 0  − 0 0  + 0 0  − 02 0  − 02 0 
2 
bunu (  2 + 02  = 0  ) denkleminde yerine yazalım

(0  + 0 ) + 02  = 0 0 
−20 0  + 20 0  − 02 ⏞
 = 0 için
−20 0  + 20 0  = 0 0 
yazabiliriz.
Bu eşitliğin her zaman sağlanması için
20 = 0
ve 20 = 0

olmalıdır. Burada  = 0 ve  = 20 elde ederiz.
0
Bu durumda özel çözüm için
5
BÖLÜM 4

 () = (20 ) 0 
(8)
0
yazabiliriz. Genel çözüm [() = ℎ () +  ()] ise

() = [1 0  + 2 0 ] + (20 ) 0 
(9)
0


olacaktır.  () = (20 ) 0  fonksiyonunun genliği (20 ) zamanla lineer artmaktadır.
0
0
Sonuçta sistemdeki yay daha fazla dayanamayacak ve kırılacaktır (Rezonans olayı).
II. Sönümlü Zorlamalı Salınım Hareketi
Daha önce yaya bağlı ve vizkoz sıvı içinde sönümlü salınım hareketi yapan sistemi incelemiştik.
Şimdi benzer bir sistemi ele alacağız. Ancak bu kez kütleye  = 0 0  gibi periyodik bir
kuvvet uygulayacağız.
Bu sistemin hareket denklemi

2

+
+  = 0 
2


şeklindedir. Bu denklemi yeniden
2    
0
+
+

=

 2   

veya
2 
 2


=,
+




= 02 ve
0

+ 02  = 0 
= 0 yazarak.
(10)
yazabiliriz. Bu denklemin homojen kısmı ve çözümünün
2 
 2
+


+ 02  = 0 (Homojen denklem)

ℎ () = 0  − 2 ( − )
6
BÖLÜM 4
şeklinde verildiğini biliyoruz. Burada
2
 =
02
2 
2
−
= −
4
 42
ifadesi önceki konularda verilmişti.
Özel çözüm ise
 =
0
2
√(02 −2 ) +2 2
( − )
(11)
ifadesi ile verilebilir.
Burada  için

 = 2 −2
0
(12)
yazabiliriz.
Bu durumda (10) denkleminin genel çözümü için
() =  () +  ()

() = ⏟
0  − 2 ( − ) +
Çİİ ÇÖÜ
0
2
√(02 −2 ) +2 2
⏟
( − )
(13)
 ÇÖÜ
Homojen kısmın çözümü ℎ () kısa süre içerisinde söner. Bu nedenle homojen kısmın
çözümüne GEÇİCİ ÇÖZÜM denir. Özel çözüm  () ise KALICI ÇÖZÜM olarak adlandırılır.
Burada anlatılan harekete SÖNÜMLÜ ZORLAMALI hareket denir.
Özel çözümün (kalıcı çözüm) frekansı uygulanan  = 0  kuvvetinin frekansı ile aynıdır.
Ancak aralarında  kadar faz farkı vardır.
 = ()( − )
Kalıcı çözümün genliğini () ile gösterirsek,
() =
0
2
√(02 −2 ) +2 2
(14)
yazabiliriz. Genliğin minimum olmasının bir önemi yoktur. Fakat maksimum olması sisteme
zarar verebilmesi açısından önemlidir. 'nın maksimum olması için paydasının minimum olması
gerekir.
 = (02 − 2 )2 +  2 2
(5)
diyelim.
7
BÖLÜM 4
2 

= 0 ve

> 0 olursa u'nın değeri minimum olur.
 2

= 2(02 − 2 )(−2) + 2 2  = [−4(02 − 2 ) + 2 2 ] = 0

−4(02 − 2 ) + 2 2 = 0
1
 = √02 − 2  2 elde ederiz.
2 
 2
= 122 − 402 + 2 2
 = √02 −
2
değerinde
2
2 
2
2
2
2
2
2
2
2
=
12
(
−
)
−
4
+
2
=
−8
−
4
=
8
(
−
) >0
0
0
0
0
 2
2
2
 = √02 −
Bu durumda
2
2
için u'nın değeri minimum ve dolaysıyla A'nın değeri
maksimumdur. ’nın bu değerini (5)'de yerine yazarsak
 = (02 − 02 +
=
√ =
4
4
2 2
2
4
2
) +  2 (02 − ) =
+  2 (02 − )
2
2
4
2
+  2 02 −
 (02
−
2
4
4
2
=  2 02 −
4
4
=  2 (02 −
0
√
=
4
)
1⁄
2
)
Bu değeri (4)'de yerine yazacak olursak.  =
 =
2
0
1⁄
2
2
(02 − )
4
=
0
1
2 ⁄2
0
1 0
2
(0 − 2 )

4
0
⁄ ifadesini kullanırsak
=
(0 ⁄)
1⁄
2
1
02 (1− 2 )
4
=
(0 ⁄ )
(1−
1⁄
2
1
)
2
4
elde ederiz.
Bundan sonra genliği maksimum yapan frekansı  ile göstereceğiz. Periyodik dış kuvvetin
( = 0 ) etkisi ile titreşim hareketinin genliğinin maksimum olmasına REZONANS ve
 açısal frekansına da REZONANS AÇISAL FREKANSI denir.
 = √02 −
2
2
1
= 0 √1 − 22
=> (  < 0 olacağı açıktır,  = 0 / )
Mekanik sistemlerin zarar görmesine neden olacağı için, sistemin uzun süre rezonansta kalması
istenmez (Köprülerin yıkılması, binaların zarar görmesi gibi).
8
BÖLÜM 4
Bazı durumlarda ise, sistemin kısa zaman aralıklarında rezonansa girmesi istenir.
Örneğin sağlık alanında çok kullanılan MR görüntüleme cihazlarının çalışma prensibinin temeli
" manyetik rezonans” olayıdır.
Kızıl ötesi spektroskopisinde ise bir molekül üzerine frekansı belirli bir aralıkta değiştirilen
elektromanyetik dalgalar (kızıl ötesi ışınlar gibi) gönderilir. Rezonans durumunda, gönderilen
elektromanyetik dalganın enerjisini molekülün atomları soğurur. Maddeden geçen dalga
şiddetinin azaldığı frekanslar rezonans frekanslarıdır. Bu rezonans frekanslarından hareketle
moleküllerin yapısı hakkında bilgi elde edilir.
Genliğin A(w) ve faz farkının (), uygulanan  = 0  dış kuvvetinin açısal frekansına
bağlı davranışı aşağıdaki şekilde verilmiştir. Burada  rezonans frekansını ( )
göstermektedir.  ≫ 1 olduğunda  = 0 olur.
() =
0⁄

2
[(0 −  2 )2 +  2 2 ]
1⁄
2

 () = −1 ( 2
)
0 −  2
9
BÖLÜM 4
SALINIMA ZORLANMIŞ ELEKTRİK DEVRESİNDE REZONANS
Daha önce kütle-yay sistemi ile seri bağlı RLC
devresi arasındaki benzerlikler, zorlayıcı
kuvvet kullanmaksızın incelenmişti. Eğer bu
RLC devresine, AC kaynaklı bir elektromotor
kuvvet (emk) kaynağı eklenirse, mekanik
sistemle olan benzerlik geçerliliğini korumakla
birlikte, devre rezonans özelliği göstermeye
başlar. Şekilde bu tür bir seri bağlı RLC
devresi gösterilmiştir.
Burada devre kuralı uygulandığında
  +





+  = 0 
veya
2 
  2 +   +  = 0 
(1)
yazabiliriz. Salınıma zorlanan sönümlü hareketin denklemini tekrar yazalım.
2 

  2 +   +  = 0 
(2)
Bu iki denklem matematiksel olarak aynı formdadır. Daha önceki çözümlerin benzerini burada
da yazabiliriz.
 2   
1
0
+
+
 = 
2

  

1
02 =  ,  =


, =
0

1
=  √⁄
yazabiliriz. Bu durumda (1) denklemin kalıcı çözümü için
 = 0 ()cos( − )
yazabiliriz. 0 () için
0 () =
0 /
0
=
[(02 −  2 )2 + (⁄2 )2 ]1/2 [(1/() − )2 +  2 ]1/2
elde ederiz.
Devreden geçen I akımı ise
=

0 sin( − )
= −0 ()  ( − ) = −
1 = −0 (w)sin( − )

[(1/() − )2 +  2 ] ⁄2
10
BÖLÜM 4
0
1
[(1/()−)2 + 2 ] ⁄2
dir. Akımın genliğinin 0 (w) =
maksimum değerinin ortaya çıktığı koşulu
bulalım.
1
1
−  = 0  2 =
= 02


w = 0 =
1
√
durumunda akımın genliği maksimum olur
Kapasitörün uçları arasındaki gerilim farkı ise
 =
0 () =
0

.
( )

= 0 ()cos( − )

Burada
0 () =
0 /
 1/2
[(02 −  2 )2 + (  )2 ]
dir. 0 =  olduğunda 0 () maksimum değer alır.
0 (0 ) =
0  =  (
1
√

0
0 
1
)  = √ =  (Q: kalite faktörü)
0 (0 ) ifadesini Q cinsinden yazarsak,

0 (0 ) = 0  = 0 elde ederiz. Bu sonuç,
0
rezonans durumunda RLC devresinin AC voltaj değerinin Q faktörü kadar yükselttiğini gösterir.
KOMPLEKS GÖSTERİMİN
SÖNÜMLÜ ZORLAMALI SALINIM HAREKETİNE UYGULANMASI
Sönümlü zorlamalı salınım hareketinin denklemi
2 
 2

+   + 02  =
0

 (1)
ile verildiğini görmüştük. Bu denklemin bir çözümü için
 = cos( − )
ifadesini vermiştik. () ve  'yi w'nın fonksiyonu olarak elde etmiştik.
Bu denklemi kompleks gösterimde
2 
 2

+   + 02  =
0

 
(2)
yazabiliriz.
Bu diferansiyel denklem için
11
BÖLÜM 4
 = () (−)
(3)
 = ()
ifadesini çözüm olarak kabul edeceğiz.
Denklem (3)’ü türevlerini de alarak denklem (2)’de yerine yazarsak,
[−2 +  + 02 ]() (−) =
0

 
elde ederiz. Her iki tarafı  (−) 'ye bölersek
(02 − 2 )() + () =
0 


elde ederiz. İfadenin sol tarafındaki terimler, (02 −
2 )() uzunluğundaki bir vektör ve bunun ucuna dik açıda  uzunluğunda bir vektörün
ilavesine denktir. Sağ taraf ise  açısı yapan 0 / uzunluğunda bir vektörü tanımlar.
Bu eşitliğin reel ve imajiner kısımlarını birbirine eşitlersek (  =  + ),
(02 − 2 )() =
() =
0


0


elde edilir. İfadelerinin her iki tarafının karelerini alıp, taraf tarafa toplarsak

2
 2 +2  = 1
[ (02 − 2 )2 +  2 2 ]2 () = ( 0 ) ,

Buradan
() =
0 ⁄
1⁄
2
[(0 −2 )2 +2 2 ] 2

 () = 2−2
0
elde ederiz. Bu değerleri daha önce de türetmiştik. Ancak kompleks formun kullanımı çok daha
kolay olmuştur.
12
BÖLÜM 4
(a) Periyodik bir dış kuvvete karşılık
sönümsüz harmonik salınıcının cevabı.
Bu vuru şekillenimi sonsuza kadar
devam edebilir.
(b) Rezonansın uzağında periyodik bir
kuvvet ile sönümlü salınıcının geçiş
davranışı.
(c) Kararlı bir genliğe doğru düzgün bir
büyümeyi gösteren, tam rezonansta
geçiş davranışı.
ZORLAMALI OSİLASYONLARDA GÜÇ SOĞURULMASI
Sönümsüz bir osilatör için ortalama güç girdisi sıfır olur (çünkü harcayıcı bir kuvvet yoktur).
Sönümlü salınımlarda, sürtünme kuvvetleri nedeniyle salınım hareketi enerji kaybeder. Sürücü
kuvvet kayıp enerjiyi karşılamaya ve titreşimin sabit genlikli olmasını sağlamaya çalışır. Şimdi
söndürücü kuvvetin hızla orantılı olduğu durumu ele alalım. Herhangi bir dinamik durum için
ani güç P, hız ve kuvvet cinsinden yazılabilir.
() = .  = () =  2
Bu ifadedeki hız terimini yer değiştirme fonksiyonundan elde edip yerine koyarsak,
() = ()( − )
Hız için  =
()

hesaplarsak,
=

= −()( − ) = −0 ()( − )

yazabiliriz. İfadedeki 0 () = (). 'dır ve bu değer hızın genliğini verir.
() = [()]2 2 ( − ) = ⦋[0 ()]⦌2 2 ( − )
eşitliğini elde ederiz. Burada
() =
0
ve
√(02 −  2 )2 +  2  2
0 
0 /
0 () =
=

 2
1
√(02 −  2 )2 +  2  2
0 ( √( 0 − ) + 2 )
 0

13
BÖLÜM 4
ile verilmektedir ( =
0
⁄  0 = 0 ⁄). Bir periyotluk (T) süreçte soğrulan ortalama güç
̅ () =
1 0 +
∫
() 
 0
bağıntısı kullanılarak hesaplanabilir.
̅() =
1 0 +
⦋[0 ()]⦌2 0 + 2
∫
⦋[0 ()]⦌2 2 ( − )  =
∫
 ( − ) 
 0

0
2 =  2  − 2  = 1 − 22  => 2  =
2
1−2
2
bağıntısından yararlanarak
2
0 + 1−2(−)
0 +
 ⦋[0 ()]⦌
⦋[0 ()]⦌
̅() =
[
]

=
[

−
2( − ) ]
∫
∫


⏟

2
2
0
0
0
̅ () =
[0 ()]2
2
Bir periyot boyunca sürtünme kuvvetine karşı harcanan enerji

ş = ∫ ()  = ̅() = 
0
[0 ()]2
= 2 2 /2
2
olur. Rezonans durumunda güç maksimum olacağından, işi veren eşitlik ş = ̅ şeklini
alır. Bu güç ifadesi o anda sistemin barındırdığı mekanik enerji cinsinden ifade edilecek olursa,
[0 ()]2 [0 ()]2 
̅ () =
=
( )=
⏟ 2
⏟
2

 
elde edilir. Şimdi  = , 0 =
0

ve 0 ()

değerleri ortalama güç ifadesindeki yerine
konulursa,
̅ () =
2 0 2 
=
2[(02 −  2 )2 +  2 2 ]
0 2

 2
1
20  {( 0 −  ) + 2 }

0
elde edilir.
14
BÖLÜM 4
Güç Rezonans Eğrisi
̅() 'nın 'ya karşı grafiği osilatörün Güç Rezonans Eğrisi (power resonance curve) olarak
adlandırılır.
 →0 ̅
() → 0
 →∞ ̅
() → 0
 = 0 ̅() 'nın değeri maksimum olur.
Rezonans eğrisinin yarı yükseklikteki ̅()/2
genişliği (ℎℎ ; (fwhh) width at half height)
önemli bir parametredir. Bu genişlik uygulanan
kuvvete karşı osilasyonun tepkisinin keskinliğinin
bir ölçüsüdür.
Uygulanan kuvvetin frekansı rezonans frekansına yakın olduğunda,
( ≈ 0  ∆ =  − 0 )
02 − 2 = ⏟
( + ) ⏟
( − ) ≅ 2 (−∆)
2
−∆
yazabiliriz. Bu durumda ortalama güç ifadesi
̅() =
02 0 2 
=
2[402 ( − )2 + 02  2 ]
2 [
0 2
4( − )2
2
+ 1]
olur. ̅()'nın maksimum değeri ∆ = 0 olduğunda (rezonans hali) gerçekleşir.
̅ =
0 2
0 2
0 2 
=
=
2 2 20
̅()'nın maksimum değerinin yarısına düştüğü
̅ ()
2
değerine karşılık gelen  ± 
frekansları,
0 2
0 2
=
4 2[(4∆ 2 )⁄ 2 + 1]
4∆2 ⁄ 2 + 1 = 2  4∆2 ⁄ 2 = 1 
2∆

=1
15
BÖLÜM 4
veya
ℎℎ = 2∆ =  =
=
0

elde edilir ve bu değere rezonans genişliği adı verilir.
0
0
rezonans frekansı
=
=

ℎℎ yarı yükseklikteki genişlik
 = 0 ⁄ değerini ortalama güç ifadesinde kullanırsak ortalama güç kaybı için
̅() =
0 2
2
20 [4(∆⁄0 ) + 1⁄ 2 ]
ifadesini elde ederiz. Bu güç-rezonans eğrisinin Q'ya bağlı davranışıdır.
Güç - rezonans eğrisinin Q’ya bağlı davranışı aşağıdaki şekilde verilmiştir.
Görüldüğü gibi Q büyüdükçe (b azaldıkça), zoruna salınımları muhafaza etmek için harcanan
ortalama rezonans-güç kaybı büyümekte ve eğri daralmaktadır.
Daha önceden tanımlanmış olan  sönüm sabitine karşı gelen
0

değeri dış kuvvetin yokluğunda
sönümlü osilatörün enerjisinin azalması ile ilgilidir. Tam olarak tanımı ise, enerjinin ilk
değerinin 1/’sine düşmesi için geçen zamanın tersidir ( = 1/).
Dış kuvvetin olmadığı bir harmonik salınıcının toplam mekanik enerjisi
 = 0  − = 0 

−( 0 )

ifadesi ile verilir.
16
BÖLÜM 4
PROBLEMLER
17
Download

Fiz217 bolum4