BÖLÜM-6
6.1
SÜREKLİ SİSTEMLERİN NORMAL MODLARI VE FOURİER
ANALİZİ
Şimdiye kadar çeşitli kesikli sistemlerin titreşim hareketlerini inceledik. Bu
bölümde ise gerilmiş bir ip ve tel gibi sürekli sistemlerin titreşimlerini ele alacağız.
Elde edilecek sonuçların birçok alanda uygulama bulduğunu göreceğiz. Daha
sonra titreşim modlarının incelenmesinde Fourier serilerinin kullanışını ele
alacağız. Bunun için kısaca Fourier serilerinden söz edeceğiz.
6. 2
GERİLMİŞ BİR İPİN ( veya TELİN) SERBEST TİTREŞİMLERİ
Titreşen tel üzerinde yapılan çalışmalar uzun bir geçmişe sahiptir. Bildiğiniz gibi
gerilmiş tellerin titreşimi çeşitli müzik aletlerinde kullanılmaktadır. Gerilmiş bir ip
veya tel, çok sayıda kütlenin yan yana gelerek oluşturduğu sürekli bir sistem
olarak düşünülebilir.
İki ucu bağlı L uzunluğunda bir tel (veya ip) Şekil-6.1'de görüldüğü gibi iyi
tanımlanmış doğal titreşim modlarına sahiptir. Bunlara kararlı titreşimler denir
ve tel üzerinde her nokta, sabit genlik ve aynı titreşim frekansı ile BHH yapacak
şekilde enine titreşir. Böyle titreşimler telin normal modları olarak adlandırılır.
Gerilmiş tel üzerinde N tane parçacıktan oluşmuş sistemin N tane modunun
olabileceğini daha önce tartışmıştık. Sürekli bir sistem ise teorik olarak sonsuz
tane moda sahip olacaktır.
En düşük mod (birinci mod) hariç diğerlerinin hepsinde, yer değiştirmelerin her
zaman sıfır olduğu noktalar vardır. Bunlara düğüm noktaları denir. Maksimum
genlikli konumlar ise karın noktalarıdır (Şekil-6.1’e bakınız). Fizik Lab-I
dersinde gerilmiş ipte titreşim modlarını deneysel olarak incelemiştiniz.
1
Şekil-6.1. Gerilmiş bir telin değişik modlarda (n = 1, 2, 3, 4) titreşimi
(Düşey eksen ölçekli çizilmemiştir).
6.2.1 Gerilmiş telin (veya ipin) hareket denklemi
Şimdi iki ucu sabitlenmiş L uzunluğunda gergin bir telin titreşimlerinin dinamiğini
inceleyeceğiz. Bunun için  = 0 ve  =  sabit noktaları arasına, T gerilimi
altında bağlanmış,
çizgisel kütle yoğunluğu  olan bir teli ele alalım. Telin
herhangi bir yerine enine bir darbe vurduğumuzda tel titreşmeye başlayacaktır.
Enine titreşim hareketi yapan telin küçük bir parçasının herhangi bir andaki
görünümü Şekil-6.2’deki gibi olacaktır. Şekil karışmasın diye telin küçük bir
parçası abartılı bir şekilde gösterilmiştir. Daha önce kütlesiz bir tel ile çiftlenim
durumuna getirilmiş örneği göz önüne almış ve sistem denge konumundan
ayrıldığı zaman telin gerilimindeki değişimin ihmal edilebileceğini görmüştük.
Aynı düşünceyi burada da uygulayabiliriz.
2
Şekil-6.2 Enine titreşen telin küçük bir parçasının kuvvet diyagramı.
Şekil-6.2'deki telin  ≅  kadarlık küçük bir parçasına etkiyen net kuvvetin 
ve  bileşenleri (   )
 = ( + ) − 
(6.1a)
 = ( + ) − 
(6.1b)
şeklinde yazılabilir. Buradaki  ve  +  açıları,  ve  +  noktalarında telin
teğetleri ile yatay doğrultu arasındaki açılardır. Burada enine yer değiştirmenin
() küçük olduğu varsayımından hareket ederek gerilimini sabit,  ve  + 
açılarının da küçük olduğunu kabul edeceğiz.
Küçük açılarda,
 ≅  ve ( + ) ≅  + 
(6.2a)
 ≅ 1 ve cos( + ) ≅ 1
(6.2b)
alınabileceğini biliyorsunuz. Bu yaklaşımlar altında (6.1a) ve (6.1b) denklemleri
 = (( + ) − ) ≅ [1 − 1] ≅ 0
(6.3a)
 = [( + ) − ] ≅ [ +  − ] ≅ 
(6.3b)
olacaktır. Sonuç olarak ipin küçük bir parçasına etkiyen net kuvvet  = 
olacaktır. Böylece  kütleli ip parçasının enine titreşimini temsil eden hareket
denklemi,

2 
 2
=  =  
(6.4)
3
şeklinde yazılabilir. Burada y, x ve t’nin fonksiyonu olduğu için zamana göre
ikinci türev için kısmi türev gösterimi kullanılmıştır. Şekildeki diferansiyel
elemanın kütlesi için
 ≅  
(6.5)
ifadesini kullanırsak hareket denklemi için,
2 

 2
=  
(6.6)
yazabiliriz. Bu eşitlikteki  terimini  ve  koordinatları cinsinden ifade
edebilmek için ipin geometrisinden yararlanacağız. İpe herhangi bir noktada
çizilen teğetin eğimi,
ğ =  =

(6.7)

şeklinde yazılabilir. Her iki tarafın x'e göre türevini alırsak ( ′ x'in fonksiyonu
olduğu açıktır),
2 
 2
=  2 


veya
2 
 =  2  
 2
(6.8)
yazabiliriz.
Küçük açı yaklaşımı nedeniyle  2  =
1
 2 
 ≅
2 
 2
≅ 1 alınabilir. Bu durumda  için

(6.9)
yazabiliriz. Bunlar (6.6) denkleminde kullanılarak
 2
 2
 
=  2 
 2

yazabiliriz. Buradan
2 
 2
=
 2 
(6.10)
  2
ifadesini elde ederiz.
Bu ifadedeki ⁄ 'nin boyut analizini yaparsak


=
[⁄ ]
[
2
1
= [ 2 ] = [⁄
−2 ]

]2
=
1
(ℎ)2
=
1
2
(6.11)
olduğunu görürüz. Başka bir deyişle ⁄ 'nin boyutu hızın karesi boyutundandır.
Bu ise, T ve  değerlerine sahip bir ip üzerinde ilerleyen dalganın hızıdır. (Bunu
ilerleyen dalgalar konusunu incelerken göreceğiz).
4
Bu durumda  dalganın ilerleme hızı olmak üzere
1
 = (⁄) ⁄2
(6.12)
yazabiliriz. Bunu (6.10) ifadesinde yerine koyarak aşağıdaki denklemi yazabiliriz.
2 
 2
=
1 2 
(6.13)
 2  2
Bu ifade bir boyutlu dalga denklemidir. Bu denklem sadece gerilmiş bir tel (veya
ip) üzerindeki küçük genlikli dalgaları değil, aynı zamanda gazlar, sıvılar ve esnek
katılardaki küçük genlikli boyuna dalgaları (ses dalgaları gibi) da tasvir eder.
6.2.2 Dalga denkleminin N-tane çiftlenimli salınıcıdan hareketle elde edilmesi
 tane çiftlenimli salınıcıyı incelerken ’inci kütlenin hareket denklemi için
 2 
+ 220  − 20 (+1 + −1 ) = 0
 2
(6.14)
ifadesini yazmıştık. Burada 20 = ⁄’dir.
Bu denklemi yeniden
 2 
 2
= 20 [+1 + −1 − 2  ]
(6.15)
şeklinde yazılabilir. N sayısını çok büyüttüğümüzde sistemin sürekli hale gelmeye
başlayacağını tartışmıştık. Kütleler birbirine çok yakın olduğunda, aralarındaki
uzaklığı l yerine  olarak tanımlarsak, boyca kütle yoğunluğu  =


olacaktır.
Bu durumda (6.15) denklemini
2 (,)
 2
=

 
[( + , ) + ( − , ) − 2(, )]
(6.16)
şeklinde yazabiliriz. Bu denklemi  =   alarak
2 (,)
 2
 (+,)+(−,)−2(,)
= [
()2

]
(6.17)
şeklinde ifade edebiliriz.
Buradaki ( + , ) ve ( − , ) fonksiyonlarını 'e göre Taylor serisine
açabiliriz (Belli bir anda yani t=sabit iken):
( + , ) = (, ) +
1 4 (,)
4!
 4
()4 …
(,)

 +
1 2 (,)
2!
 2
()2 +
1 3 (,)
3!
 3
()3 +
(6.18)
5
( − , ) = (, ) −
1 4 (,)
4!
 4
(,)

 +
1 2 (,)
 2
2!
()2 −
1 3 (,)
 3
3!
()3 +
()4 …
(6.19)
Denklem (6.18) ve (6.19) taraf tarafa toplanarak,
( +  , ) + ( −  , ) = 2(, ) +
2 (,)
 2
( )2 +
1 4 (,)
 4
4!
()4 + ⋯
(6.20a)
veya
( +  , ) + ( −  , ) − 2(, ) ≅
2 (,)
 2
( )2 +
1 4 (,)
 4
12
()4
(6.20b)
elde edilir. Bu denklemin her iki tarafı ()2 bölünürse
(+ ,)+(− ,)−2(,)
()2
=
2 (,)
 2
+
1 4 (,)
12
 4
()2
(6.21)
eşitliğini elde ederiz.  → 0 durumunda her iki tarafın limiti alınırsa
lim [
( +  , ) + ( −  , ) − 2(, )
()2
→0
= lim [
→0
2 (,)
 2
1 4 (,)
+⏟
()2 ] =
12  4
 ş
]
2 (,)
(6.22)
 2
ifadesini elde ederiz (Türevin tanımı). Bu durumda denklem (6.17) yeniden
düzenlenirse,
 2 (, )  ( +  , ) + ( −  , ) − 2(, )
  2 (, )
= [
]=
()2
 2
⏟
  2
2 (,)
=
(6.22 ğ)
 2
eşitliği elde edilir. Bu ifade denklem (6.13) ile verilen dalga denklemidir ( 2 = ):
2 (,)
 2
=
1 2 (,)
2
(6.23)
 2
Bu sonuç kesikli sistemden sürekli sisteme geçişte aynı sonuca gittiğimizi gösterir.
6
6.3
DALGA DENKLEMİNİN DEĞİŞKENLERİNE AYIRA YÖNTEMİ
İLE ÇÖZÜMÜ
Kararlı titreşim olarak adlandırılan fiziksel duruma uyan
2 (,)
 2
=
1 2 (,)
2
(6.24)
 2
denklemini değişkenlerine ayırma yöntemi ile çözebiliriz. (, ) fonksiyonunu
(, ) = ()()
(6.25)
şeklinde yazabiliriz. Burada () sadece x’e bağlı, () ise sadece t’ye bağlı
fonksiyonlar olduğuna dikkat ediniz. (, ) fonksiyonunun 'e ve 'ye göre ikinci
türevleri için
2 
 2
2 
 2
= ()
 2 ()
= ()
(6.26a)
 2
 2 ()
(6.26b)
 2
yazabiliriz. Bunları (6.24) denkleminde yerine yazarak (Bundan sonra kısa
gösterim amacıyla () yerine  ve () yerine  yazacağız),

veya
2
 2
1 2
  2
=
1
2

 2

2
= 2
1 2
(6.27)
  2
elde ederiz. () ve () fonksiyonları birbirinden bağımsızdır. (6.27)
denkleminin her iki tarafını −2 gibi bir sayıya eşit alabiliriz,
1 2
= −2 ,
  2
Buradan
2
 2
ve
2
 2 2
= −2
  2
+ 2  = 0
(6.28a)
 2
+( )  =0
 2

(28b)
yazabiliriz. Bu iki denklem BHH'in denklemine benzemektedir. Bu nedenle bu
denklemlerin çözümü olan () ve () fonksiyonları için




() = sin  +  
(6.29a)
() =  + 
(6.29b)
7
ifadelerini yazabiliriz. Bu durumda (, ) için




(, ) = [sin  +  ] [ +  ]
(6.30)
çözümünü yazabiliriz. Burada sadece 'e bağlı olan ()'e normal fonksiyon adı
verilir.
İki ucu sabit (bağlı) olan ip için sınır koşulları:
i)  = 0  (0, ) = 0
ii)  =   (, ) = 0
olacağı açıktır.
i) koşulundan :
0 = [ +  ]
yazabiliriz. Bunun olması için gerek ve yeter koşul  = 0 olmasıdır. Bu durumda
(, ) fonksiyonu için

(, ) = (sin ) ( + )

(6.31)
yazılabilir.
ii) koşulundan :
0 = (sin


) (  + )
yazılabilir.  ≠ 0 olduğuna göre
sin


=0
olmalıdır. Buradan


 = 
veya
 =


,  = 1,2,3, …
(6.32a)
yazabiliriz. Bu, iki ucundan bağlı titreşen ipin doğal açısal frekanslarıdır. Doğal
frekanslar için ise
 =

2
,  = 1,2,3, …
(6.32b)
ifadesi elde edilir.
8
Sürekli ip, sonsuz sayıda  kütleli parçacığın kütlesiz ip üzerinde dizilmişi gibi
düşünülebilir. Bu nedenle iki ucundan bağlı titreşen ipin sonsuz sayıda titreşim
modu olacaktır. İki ucu bağlı gerilmiş ipte dalga denkleminin çözümü için
 (, ) = sin


 [  +  ]
(6.33)
yazılabilir. Burada a sabitini de köşeli parantezin içine atabiliriz, yani
 (, ) = sin


 [  +  ]
yazabiliriz. Burada ac ve ad çarpımları da sabitlerdir, bunların yerine
 = 
  = 
alabiliriz. Bu durumda çözüm için
 (, ) = sin


 [   +   ]
(6.34)
ifadesini yazabiliriz.
Eğer t=0 anında ipin durgun yani
(,)

|
=0
= 0 olduğunu kabul edersek,
(, )


= sin  [−    +    ]|=0 = sin  [  ] = 0
|



=0
elde edileceği açıktır. Bunun olması için  =0 olmalıdır. Bu durumda

 (, ) =  sin
  

yazılabilir.
İki ucundan bağlı ve başlangıçta durgun olan ipin titreşimlerini tanımlayan genel
çözüm,
∞

(, ) = ∑  sin
  

=1
veya
(, ) = ∑∞
=1  sin
ifadesi ile verilir.


  ( = 1,2,3, … . ),
(6.35)
Bu ifade iki ucu bağlı titreşen ipin (, ) yer değiştirmesi çok sayıda doğal
modların üst üste gelmesi ile oluştuğunu söyler.
9
Burada
 =


=
 
=


()
ve
 =

2

1⁄
2
1⁄
2
( )
2 
= 1
= 1
(6.36a)
(6.36b)
olduğunu tekrar hatırlamada fayda vardır. Eşitlik-6.36 ile verilen  ve 
ifadelerinin, daha önce boyuna titreşim hareketini incelerken N’nin çok büyük
olduğu durum için bulduğumuz değerlerle aynı olduğuna dikkat ediniz.
Temel mod frekansı (1 ), titreşen bir telin karakteristik bir notasını ve belli bir
kütle ve uzunluktaki bir telden belli bir nota elde etmek için gerekli gerilmenin ()
bir ölçüsünü verir.
Herhangi bir anda herhangi bir temel modda telin şeklini tanımlamanın en kolay
yolu, telin toplam uzunluğunun yarım sinüs eğrilerinin tam katlarına uyduğunun
farkına varılmasıdır. Böylece  ’inci modla ilgili olarak dalga boyu  ’i
tanımlayabiliriz
 =
Bu tanımlamadan sonra  için
2

veya  = 
 =

2

(6.37)
(6.38)

yazabiliriz. Bu durumda ipin n’inci modunun şeklini
 (, ) = An sin
2

 
(6.39)
ifadesi ile tanımlayabiliriz. İki ucu bağlı bir ipte oluşan ilk dört titreşim modunun
davranışı için Şekil-6.1’e tekrar bakınız.
10
ÖRNEK-1
Uzunluğu  olan bir tel iki ucundan şekildeki gibi bağlıdır. Tel tam ortasından
ℎ kadar çekilmiştir. Tel serbest bırakıldıktan sonra hareketini inceleyiniz.
Şekil-6.3
Çözüm:
Başlangıç koşulları:
(,)
i)
|
= 0 , ( = 0’da tel hareketsiz olduğu için)

=0
ℎ
ii)
(, 0) = (
iii)
(, 0) = 2ℎ − (
2ℎ
) =
 ⁄2
ℎ

0 ≤  ≤  ⁄2
 ,

)  = 2ℎ (1 −  ) , ⁄2 ≤  ≤ 
 ⁄2
Burada
∞
(, ) = ∑ (
=1

) [   +   ]

çözümünde yukarıda verilen koşulları kullanırsak,
i)
koşulundan
∞
(, )

= ∑   
= 0 ⇒  = 0
|


=0
=1
elde ederiz. Bu durumda (ii) ve (iii) koşullarından
∞
(, 0) = ∑ An sin
=1

2ℎ ⁄
= {
2ℎ(1 − ⁄)

yazabiliriz. Bu eşitliğin her iki tarafını sin
integralini alırsak
 ⁄2



0 ≤  ≤ ⁄2
⁄2 ≤  ≤ 
ile çarpar ve 0 ile L aralığında



2ℎ



An ∫ sin
sin
 = ∫
sin
 + ∫ 2ℎ (1 − ) sin







⏟ 0
⏟
0
 ⁄2
⏟



Burada I, II ve III integralleri hesaplanırsa (Bu integralleri hesaplamanızı
öneririm),
11



1
sin
 =  


2
 = An ∫ sin
 ⁄2
 = ∫
⏟
0
0
2ℎ

ℎ


sin
 = 2 2 [2
−  ]


 
2
2




ℎ


 = ∫ 2ℎ (1 − ) sin
 = 2 2 [2
+  ]


 
2
2
 ⁄2
elde ederiz. Bunlar yerine yazılırsa
1
4ℎ

An = 2 2 
2
 
2
elde edilir. Buradan An katsayısı için
An =
sonucu
[ 

2
bulunur.  ’nin
çift
8ℎ


2
2
 
2
değerlerinde
bu
ifade
sıfır
olacağından
= 0,  = 0, 2, 4, … ] çözüme bir katkısı olmaz. Öyleyse  sadece tek
değerler alabilir [

2
= ∓1,  = 1, 3, 5, … ]. Burada
s

2
−1
2
= (−1)
,  = 1, 3, 5, …
ifadesini yazmak mümkündür. Bu durumda  için,
 = (−1)(−1)⁄2
8ℎ
()2
,  = 1, 3, 5, …
elde ederiz. Bu sonuçlar kullanılarak (, ) için
∞
(, ) = ∑(−1)
=1
−1
2
8h


sin
cos

n2 π2


ifadesini yazabiliriz. Bu ifadenin n’nin tek değerleri için geçerli olduğunu
hatırlatalım. Bu ifadeyi
(, ) =
8h


1
3
3
1
5
5
[sin
cos

−
sin
cos

+
sin
cos
 −⋯]
π2


9


25


şeklinde yazabileceğimiz açıktır. Böyle bir sistem için n=1, n=3, n=5 için mod
davranışları Şekil-6.4’de verilmiştir.
12
Şekil-6.4. İzinli modların (n = 1, 3, 5) davranışı (Düşey eksen ölçekli
çizilmemiştir).
6.4
BİR TEL ÜZERİNDE MODLARIN ÜST ÜSTE GELMESİ
Bir yaylı çalgıda, tel bazı seçilen noktalarda bir etkiye maruz kalırsa etki anından
kısa bir süre sonra bu telin şekli bir sinüs eğrisi şeklinde olmayacaktır. Hareket
birkaç en düşük harmoniğin üst üste gelmesi şeklinde olacaktır. Bu titreşimler aynı
anda ortaya çıkar ve birbirinden bağımsız davranır. Çünkü hareketi tanımlayan
 2
1  2
=
 2  2  2
diferansiyel denklemi çizgiseldir ve bu denklemde  yer değiştirmesi birinci
mertebedendir. Eğer değişik bireysel harmonikleri tanımlayan
çözümler
1 , 2 , 3 , …. ile tanımlanırsa, bunların toplamı da aynı zamanda dalga
denklemini sağlar. Başka bir deyişle telin hareketi bu bireysel bileşenlerin toplamı
olarak düşünülebilir. Şekil-6.5'de böyle bir araya gelmiş ya da üst üste gelmiş
titreşimlerin bir kaç örneği görülmektedir.
Şekil-6.5. Bir ip üzerinde üst üste gelmiş titreşimler.
13
Bunların karşılıklı bağımsızlığı sadece bazı harmonikler için düğüm noktası olan
noktalarda ipin enine hareketinin aniden durdurulması ile izah edilebilir. Düğüm
noktaları için bu bileşen titreşimler bahsedilen ani durdurulma olayından
etkilenmez iken diğerleri sönecektir. Örneğin bir piyano teline bir anahtar vurulup,
bir ses oluşturulduktan sonra telin uzunluğunun L/3’üne denk gelen yerine
dokunulursa temel titreşim frekansının 3, 6, 9, v.s katları haricindeki tüm bileşen
titreşimler yok olur (Şekil-6.6)
Şekil-6.6. Başlangıçta 1 ile titreşen tele,

3
noktasına dokununca ortaya çıkan
izinli modlar.
Bu titreşen sistemin değişik normal modları için üst üste gelme ve bağımsızlık
ilkesi daha karmaşık üst üste gelmelerin analizi için temel bir öneme sahiptir.
Gerçekte bu işlem Fourier analizinin temelidir. Bir titreşen telde gözlenen bu
olay ilk kez 1753 yılında Dariel Bernoulli tarafından açıkça tartışılmıştır. Çünkü
bir gerçek tel, pratikte tam olarak bizim tanımladığımız denklemlerle ifade
edilemez ve bazı durumlarda oldukça yakın olmasına rağmen birbirinden ayrı olan
modların bağımsızlığı da gerçekte tam olarak doğru değildir.
14
6.5
GERİLMİŞ BİR TELİN ZORLANIMLI HARMONİK HAREKETİ
Uzunluğu L olan homojen bir tel iki ucundan şeklideki gibi bağlanmıştır.  = 0
ucu sabittir.  =  ucunun bağlı olduğu taşıyıcı sistem ise düşey doğrultuda
 =  fonksiyonu ile titreşen bir tablaya monte edilmiştir (Şekil-6.7). Telin
kararlı durumdaki hareketini veren (, ) ifadesinin ne olacağını anlamaya
çalışacağız.
Şekil-6.7 Gerilmiş telin zorlanımlı hareketi.
Telin hareket denkleminin
2 
 2
=
1 2 
(6.40)
 2  2
ile verildiğini biliyoruz. Şimdi sınır koşullarını kullanarak bu denklemin
çözümünü arayacağız.
Sınır koşulları:
i)
(0, ) = 0
ii)
(, ) = 
dir. (6.40) denkleminin genel çözümünün


( + )
(, ) = (
 +   ) ⏟
⏟

(6.41)
()
()
ifadesi ile verildiğini biliyoruz .
i)
y(0, ) = 0 sınır koşulunu (6.41) ifadesinde kullanırsak
0 = ( 


)
yazabiliriz. Bunun olabilmesi için  = 0 olmalıdır. Bu durumda (, ) için

(, ) = ( ) . ( + )

(6.42)
yazabiliriz.
15
ii)
(, ) =  sınır koşulunu (6.42) ifadesinde kullanırsak

(6.43)
(  ) ( + ) = 
yazabiliriz. Bunun olabilmesi için  = 0 olmalıdır.(Çünkü sağ tarafta sadece
 fonksiyonu vardır. Bu nedenle sol taraftaki  terimi olmamalıdır.). Bu
durumda (, ) için


(, ) = ( )  =  (sin ) 


yazılabilir. Sonuç olarak  = ′
(6.44)

 (sin )  = 


olacaktır. Buradan  (sin ) =  veya  =

ifadesinde yerine yazarak (, ) için
(, ) =


(  )


(sin  )
(6.45)
olacağı açıktır. Bunu (6.44)

(  ) 
(6.46)

sonucunu elde ederiz. Bu ifadede ( )'yi sıfır yapan  değerlerinde (, )

ifadesinin genliği sonsuz olacaktır.



  = 0 
 =    =



Eğer ipin sağ ucunun monte edildiği tablanın açısal frekansı (), ipin  =
(6.47)



titreşim frekanslarından birine yakın olursa (, ) 'nin genliği (⁄sin )

oldukça büyük olur. Dışardan uygulanan yer değiştirme etkisinde kalan ipin genlik
değeri, frekansların tam olarak eşit olması durumunda sonsuz büyük olur. Ancak
sönüm kuvvetinin varlığı bu gerçek olmayan sonsuz büyük durumunu yok eder.
6.6
BİR ÇUBUĞUN BOYUNA TİTREŞİMLERİ
Bir çubuğun boyuna titreşimlerinin incelenmesi için bazı kavramların iyi
anlaşılması gerekir. Bunları kısaca özetledikten sonra çubuğun boyuna
titreşimlerini ele alacağız.
6.6.1 Young Modülü
Bir cismin uzama miktarı sadece ona uygulanan kuvvete değil aynı zamanda o
cismin hangi malzemeden yapıldığına da bağlıdır.  = ∆ (Hook Yasası)
16
bağıntısındaki  sabiti bu faktörler cinsinden yazılabilir. Belli bir kesit alanına (A)
sahip çubuk ya da tel şeklindeki bir cisimde kuvvet etkisi altındaki l uzama
miktarı cismin kuvvet uygulanmadan önceki boyu (l0) ile orantılı ancak kesit alanı
(A) ile ters orantılıdır. Yani, cisim ne kadar uzunsa, uygulanan belli bir kuvvet için
uzaması o kadar fazla ve ne kadar kalınsa o kadar azdır. Bu durumda
∆ ∝
1
0
(6.48)

yazabiliriz. Bu orantı ilişkisi, katsayısı kullanılarak eşitlik şekinde yazılabilir:

∆ =
1 0
 
veya  =
0
(6.49)
∆
Burada 0 cismin orijinal uzunluğu,  kesit alanı ve ∆ ise uygulanan 
kuvvetinden dolayı uzunluktaki değişimi olduğunu tekrar belirtelim.  ise esneklik
veya Young modülü olarak bilinen bir orantı sabitidir ve değeri sadece malzemeye
bağlıdır. Çeşitli malzemeler için esneklik modülleri (Young, hacimsel (Bulk) ve
kesme (Shear)) Tablo-6.1’de verilmiştir (Young ve Freedman, Sears ve
Zemansky, Üniversite Fiziği’den alınmıştır). Tabloda verilen Pa, Pascal birimi
olup 1  = 1 ⁄2 ‘dir.
Tablo 6.1. Çeşitli katı maddelerin yaklaşık elastik modülü değerleri.
Malzeme
Alimünyum
Prinç
Bakır
Demir
Nikel
Çelik
Young Modülü
Y (Pa)
7,0x1010
9,0x1010
11x1010
21x1010
21x1010
20x1010
Hacimsel (Bulk) Modülü
B (Pa)
7,5x1010
6,0x1010
14x1010
16x1010
17x1010
16x1010
Kesme (Shear)Modülü
S (Pa)
2,5x1010
3,5x1010
4,4x1010
7,7x1010
7,8x1010
7,5x1010
6.6.2 Zor ve zorlanma
Zor(stress): Denklem (6.49)'dan, cismin uzunluğundaki değişimin ( ∆)
başlangıçtaki uzunluk (0 ) ve uygulanan birim alan başına düşen kuvvetle ( ⁄)
doğru orantılı olduğunu görürüz. Birim alan başına düşen kuvvet zor (stress)
olarak tanımlanır:
 =


=


(6.50)
17
SI birim sisteminde birimi ⁄2 'dir.
Zorlanma (Strain): Uzunluktaki değişimin (∆), ilk uzunluğa (0 ) oranı (∆⁄0 )
olarak tanımlanır,
 ğş
∆
 =
=
(6.51)
 
0
ve boyutsuzdur. Dolaysıyla zorlanma cismin uzunluğundaki kesirsel değişimdir ve
çubuğun ne kadar deforme olduğunun bir ölçüsüdür. Zor, malzemeye bir dış etmen
tarafından uygulanır oysa zorlanma malzemenin zora verdiği cevaptır.
Denklem (6.49)'i yeniden


veya
=
=
 ⁄
∆ ⁄0
=
∆
(6.52a)
0


(6.52b)
şeklinde yazarak Young modülünün tarifini başka bir formda yeniden yapmış
oluruz. Çekme gerilimi altındaki esnek bir metalin zorlanmasına karşı zorun
grafiği Şekil-6.8’de verilmiştir. Şeklin lineer bölgesinde (esnek bölge) zorun
zorlanma ile doğru orantılı olduğu görülür. Biz titreşim olaylarında malzemenin
esnek bölgesinde kalan olaylara bakacağız.
Şekil-6.8.Tipik esnek metalde zor’un zorlanmaya karşı grafiği.
18
6.6.3 Hacim modülü (B)
Bir cisim eğer her tarafından içeri doğru kuvvetler etkirse hacmi azalacaktır.
Yaygın bir örnek bir sıvı içine batırılmış bir cisimdir; bu durumda sıvı cisim
üzerine her yönde basınç uygular. Basınç, birim alana düşen kuvvet olarak
tanımlanır, dolaysıyla zora eşdeğerdir. Bu durum için hacimdeki değişiklik ∆, ilk
hacim (0 ) ve basınçtaki değişim (∆) ile orantılıdır. Böylece denklem (6.52)'nin
benzeri bir bağıntı elde ederiz. Burada orantı sabiti 1/ olarak gösterilir ve B
hacimsel (bulk) modülü olarak adlandırılır.
∆
0
1
= − ∆
veya
=−

∆
∆⁄0
(6.53a)
(6.53b)
Burada (−) işaretinin anlamı, basınç arttıkça hacmin azalacağını ifade eder. Bazı
malzemelerin -hacim modülü değerleri de Tablo-6.1'de verilmiştir.
6.7
BİR ÇUBUĞUN BOYUNA TİTREŞİMLERİNİN ANALİZİ
Yukarıda verilen kavramlardan sonra artık bir çubuğun boyuna titreşimlerini
analiz edebiliriz. Bir metal çubuğun ucu, uzunluğu boyunca, bir darbeye maruz
kalırsa işitilebilir frekanslarda titreşimler meydana getirdiğini biliyoruz. Daha önce
gerilmiş bir yayın enine titreşimlerini incelemiştik. Ancak çubuk örneğinde yer
değiştirme çubuğun buyuncadır.  'yı çubuğun sabit ucundan itibaren 
uzaklığındaki küçük bir parçanın denge konumundan olan yer değiştirmesi olarak
kabul edip, çubuğun  ile  +  arasındaki ince bir dilimin hareketini göz önüne
alalım (Şekil-6.9).
19
Şekil-6.9
a) Statik durumda (denge durum) çubuk üzerinde  ile  + 
arasındaki bir dilim.
b) Statik olmayan şartlar altında boyuna bir yer değiştirmeden sonra
çubuk üzerindeki aynı dilimin görünüşü.
Şekil-6.9a ve b’deki taralı kısımlar aynı miktarda malzeme içermektedir. Şekilde
gösterildiği gibi taralı olarak gösterilen kısım kaymış, aynı zamanda gerilmiştir.
Bu taralı kısım  ve  kuvvetleri ile zıt yönde çekilir.  'in büyüklüğü 
noktasındaki atomlar arası mesafelerin değişim oranına bağlıdır. Benzer olarak
 de  +  noktasındaki atomlar arası mesafenin değişim oranına bağlıdır.
Deformasyon neticesi, dilimin uzunluğu artarak ’den  +  değerine ulaşır.
İşaretlenen dilimdeki tüm madde zor altındadır. Burada ortalama zorlanma ve zor
için
  =
  = 
∆
∆
∆
(6.54a)
(6.54b)
∆
yazabiliriz. 'in belli bir değerindeki zor için ise
 = 

(6.55a)

yazılabilir.  noktasından  kadar ilerideki bir noktadaki ( + ) zor ifadesi
ise,
( + ) = () + [(())/] 
veya
( + ) = 


+
2 
 2

(6.55b)
şeklinde yazılabilir. Çubuğun kesit alanı  ise, 1  2 için
20
1 =  


ve 2 =  


+ 
2 
 2

(6.56)
ifadelerinin yazılabileceği açıktır (F=A.Zor). Buradan
2 − 1 = 
2 
 2

(6.57)
ifadesi elde edilir.
Şimdi  ile  +  arasında kalan kütleye Newton’un ikinci yasasını uygulayalım.
Çubuğun yoğunluğu  ise, taralı dilimin kütlesi ∆ =  'dir. İvme ise yer
değiştirme 'ın zamana göre ikinci türevidir:
2 − 1 = (∆)

2 
2 
 = 
⏟
⏟2
 2

∆
Buradan

veya
2 
 2
2 
1
 ⁄2
yazabiliriz. Burada  = ()
=
=
 2
(6.58a)
(6.58b)

2 
 2
 2 
  2
(6.59a)
(6.59b)
olduğundan
2 
 2
=
1 2 
 2  2
(6.60)
sonucu elde edilir. Bu ifade gerilmiş ip için verilen ifade ile aynı matematiksel
formdadır. Bu denklemin çözümü için




(, ) = (  +  ) ( + )
(6.61)
yazabiliriz (Değişkenlerine ayırma yöntemiyle elde edilen çözüm). Ancak burada
sınır koşullarına dikkat etmemiz gerekir. Çoğu kez katı çubuğun her iki ucunun da
bağlı olması durumuna sahip olmayabiliriz. Çubuğun her iki ucunun da bağlı
olması sağlanabileceği gibi, her iki ucu da serbest veya sadece bir ucu serbest
olabilir. Serbest uçta parçacık yer değiştirmesi maksimum, buna karşı zor sıfır
olur. Bağlı uçta ise yer değiştirme sıfır, zor maksimum değer alır. Burada sadece
çubuğun bir ucunun serbest diğer ucunun sabit olduğu durumu göz önüne alacağız.
21
Sınır koşullarımız:
i)  = 0 'daki ucun bağlı, (0, ) = 0
ii)  =  'deki ucun serbest
Şimdi bu sınır koşullarını kullanalım,
i)  = 0 için (0, ) = 0 yani
0 = [ + ]
olacaktır. Bunun olabilmesi için  = 0 olmalıdır. Bu durumda

(, ) =  [ + ]

(6.62)
olacaktır.
ii)  =  'deki ucun serbest ucunda herhangi bir zor olmayacaktır. Bu durumda
serbest uçta  = 
ifadesinden




= 0 olmalıdır. Bu ise

= 0 olmasını gerektirir. (6.62)

türevini hesaplar ve sıfıra eşitlersek

|
 =




=  cos( )( + ) = 0
(6.63)

elde ederiz. Bunun olabilmesi için   = 0 olmalıdır. Bunun için

 

1
= ( − ) ,  = 1, 2, 3, . ..
2
olmalıdır.
1 
 = ( − )
2

(6.64a)
1 
2 = ( − )
2
 =

1
2
(− )
(6.64b)
2
Doğal titreşim frekansları
 =
1
2
(− )
2
=
1
2
(− )
2

√
 = 1, 2, 3, . ..
(6.65)
şeklinde yazılabilir. Bu sonuç bir ucu bağlı ( = 0), diğer ucu serbest ( = )
olan bir çubuğun boyuna titreşimlerinin n’inci modunun frekansını verir.
Burada  =
−
1
2
2
 ifadesinde  =   olduğunu kullanırsak
22
 =
1
−2
2
 
1
2 = ( − ) 
2
1 

 = ( − 2) 2 = (2 − 1) 4
(6.66)
yazabiliriz. Bu ifadeyi n=1,2,3,4,… modları için uygularsak,
 = 1 ç  = ⁄4
 = 2 ç  = 3⁄4
 = 3 ç  = 5⁄4
 = 4 ç  = 7⁄4
elde ederiz. Bu sonuçlar, tek ucu bağlı çubuğun titreşim modlarının, sinüs
eğrisinin çeyrek dalga boylarının (⁄4) tek katlarına uyması gerektiğini gösterir.
Şekil-6.10'da bir ucu bağlı çubuğun ilk üç titreşim modu şematik olarak çizilmiştir.
Bu şekildeki yer değiştirmelerin enine değil, boyuna olduğunu unutmayalım.
Şekil-6.10. Bir ucu bağlı bir çubuğun boyuna modları.
Bir ucu bağlı bir çubuğun en düşük mod frekansının
1 =
1
4
(⁄)1/2
(6.67)
ile verileceği açıktır. Demir için  = 211010 ⁄2 ,  = 7.86103 ⁄3
olduğunu biliyoruz. Boyu 1 m olan ve bir ucu bağlı bir demir çubukta oluşan temel
titreşim frekansının değerini (6.67) eşitliğinden hesaplarsak 1 = 1292  elde
ederiz. Aynı problemi çeşitli sınır koşullarında ele alabilirsiniz.
23
6.8
AKIŞKANLARDA BOYUNA TİTREŞİM
Şekil-6.11’de sıkıştırılabilir bir akışkan ile doldurulmuş uzun bir tüp ve bir
ucundaki piston gösterilmiştir.
Şekil-6.11 İçi akışkan (sıvı veya gaz) dolu bir tüpte bir darbenin hareketi.
Şekilde görülen pistonu ileriye doğru itecek olursak, pistonun önünde duran
akışkan (sıvı veya gaz) ileriye doğru hareket eder ve kendisinden sonra gelen
akışkan tabakasını sıkıştırır. Böyle bir sıkıştırma darbesi tüp boyunca ilerler. Eğer
pistonu geri çekersek pistonun önündeki akışkan genişler ve basıncı ile yoğunluğu
başlangıçtaki normal değerlerin altına düşer. Bu durumda bir seyrekleştirme
darbesi tüp boyunca ilerler. Bu olay katı bir çubuktaki olaya benzerdir. Eğer piston
ileriye ve geriye salınmaya devam ederse, bir sürekli sıkıştırma ve seyrekleştirme
katarı tüp boyunca hareket edecektir. Newton yasalarını kullanarak, boyuna
dalganın yayılma hızını, ortamın esneklik ve eylemsizlik özellikleri cinsinden
ifade edebiliriz. Bu analizi aşağıdaki kabullenmeler altında yapacağız.
Kabullenmeler:
 Tüpün çok uzun olduğunu kabul edeceğiz. Bu durumda uzak uçtan
yansımaları ihmal edebiliriz.
 Başlangıçta tüp içerisindeki akışkanın durgun, basıncının 0 , yoğunluğunun
0 olduğunu kabul edeceğiz.
Şekildeki  ve  kesitleri arasında kalan  kalınlıklı bir akışkan dilimi seçelim.
Seçilen bu ince akışkan dilimin (  silindiri) içindeki akışkanın sol ve sağ
24
kesitlerine ve yan yüzeylerine 0 basınıcını etkir. Daha sonra  silindiri hareket
ederek ′′ pozisyonunu alacaktır. ′ ve  ′ için

′ =  ve  ′ =  + ⏟ 


(6.68)
yazabiliriz. Burada  değişkeni boyuna yer değiştirmeyi gösterir. ′′ diliminin
kalınlığı
′  ′ =  +



(6.69)
dir. Böylece boyuna titreşim nedeniyle seçilen akışkan diliminin kalınlığındaki
artım  =


 olacaktır. Akışkan tüp içerisinde olduğu için düşey doğrultuda
bir hareket olmayacaktır. Tüpün kesit alanı  ise dilimin hacmindeki artış,
d = A = 
olacaktır.



(6.70)
Şimdi ′′ arasındaki akışkanın hareket denklemini bulmak istiyoruz. Bunun için
bu dilimin kütlesini ve iki ucundaki basınçları bilmemiz gereklidir.
 ′′ diliminin içinde kalan akışkan kütlesi ile  dilimi içinde kalan
kütlenin aynı olması gerekir.
  dilimdeki kütle miktarı = 0   ‘dır.
Daha önce hacim modülü için
=−
∆
(6.71)
∆⁄0
ifadesini vermiştik. Seçilen dilim diferansiyel anlamda ince olduğundan dolayı
∆ →  ve ∆ →  alınarak hacim (bulk) modülü için
=−

 ⁄0
= −0


(6.72)
yazabiliriz. Burada (−) işaretinin anlamı basınç artarken hacmin azalacağını
söyler.
  =

0
=
 ℎ ş
=
0
 ℎ




 
=


(6.73)
olacaktır. (6.72) denklemini yeniden
25
 = −

(6.74)
0
formunda yazılabilir. (6.73) denklemindeki sonucu burada kullanırsak,
 = −

(6.75)

elde ederiz.
′′ akışkan dilimi üzerine etkiyen net kuvvet (F=PA)
 =  − ( + ) = − 
(6.76)
olacaktır. Newton’un ikinci yasası kullanılırsa,

2 
 2
0 A 
= − 
2
 2
(6.77a)
= −A
veya
0 
yazılabilir.
2
 2
= −
(6.77b)
Burada akustik basınç () tanımını verelim:
" ç =    ç −   ç"
 =  − 0
(6.78)
 =  − 0 ifadesini kullanırsak  =  ve  =  yazabiliriz (0 sabit olduğu
için). Bu durumda (6.77b) ifadesi için
0 
2
 2
= −
(6.79)
yazabiliriz.
 =
olduğundan (6.79) ifadesini yeniden
0 



2
 2
=−



(6.80)
yazabiliriz. (6.75) ifadesinde  yerine  yazarsak
 = −


(6.81)
elde ederiz. Her iki tarafın ’e göre türevini alarak


= −
2 
 2
(6.82)
26
yazabiliriz. Bu ifadeyi (6.80) denkleminde kullanırsak
0 
veya
2 
 2
=


 2
 2
2 
 2
1
= (/
2 
0 ) 
2
(6.83)
yazabiliriz. Burada (/0 ) oranı akışkan içindeki dalganın hızının karesidir yani
 = √/0
(6.84)
dir. Bu ifadeyi sıvılarda ses hızı deneyinde kullanacaksınız. Bunu kullanarak
(6.83) denklemini
2 
 2
=
1 2 
 2  2
(6.85)
formunda yazabiliriz. Bu denklem daha önce ip ve çubuk için elde ettiğimiz dalga
denklemi ile aynı formdadır. Bu nedenle çözümü için de




(, ) = (  +  ) ( + )
(6.86)
ifadesini yazabiliriz. Bu çözümü çeşitli sınır koşulları için irdelemenizde yarar
vardır.
6.9
BASINÇ DALGALANMASI OLARAK SES DALGASI
Ses dalgaları çeşitli noktalardaki basınç değişimleri olarak da tanımlanabilir.
Havadaki sinüzoidal bir ses dalgasında basınç, atmosfer basıncının ( ) altında ve
üstünde hava parçacıklarının hareketiyle aynı frekansta sinüzoidal bir değişimle
dalgalanma yapar. İnsan kulağı bu tür basınç değişimlerini hissederek çalışır.
Kulak kanalına giren bir ses dalgası kulak zarının bir tarafına değişken bir basınç
uygular. Kulak zarının diğer tarafı östaki borusu ile havaya açıldığı için atmosfer
basıncındadır. Zarın iki tarafındaki basınç farklılığı kulak zarını hareket ettirir.
Mikrofon ve benzeri cihazlar da genelde yer değiştirmeye değil, basınç farklılığına
duyarlıdırlar. Bu nedenle basınç ve yer değiştirme arasındaki bağıntıyı ortaya
çıkarmamız gerekir.
27
Bir ses dalgasının anlık basınç değişimleri herhangi bir  konumunda ve  anında
(, ) olsun. Herhangi bir noktadaki mutlak basınç ise  =  + (, ) olur.
Burada  atmosfer basıncı ve (, ) akustik basınç olup (, ) =  −  = ∆
şeklinde tanımlıdır. Hacim modülü tarifini tekrar yazalım,
=−
Burada ∆⁄0 için
∆
0
=
∆
(6.87)
∆/0
.∆
.∆
≅

(6.88)

alabiliriz (Burada A seçilen diferansiyel elemanın kesit alanı olup, sabit alınabilir).
Bu durumda (, ) için
∆

(, ) = ∆ = − = −
(6.89)
0

yazabiliriz (Bundan sonra eşitlikler sade görünsün diye (, ) yerine sadece 
yazacağız). Şimdi bundan önceki kesimde verilen (6.80) ifadesinden
0
2 
 2
=−

(6.90)

yazabiliriz. Her iki tarafın ’e göre türevini alarak
0
veya




( ) =  ()
 
2 

2 
( ) = −  2
  2
olduğunu
kullanarak
(6.91a)
(Matematik
derslerinden
biliyorsunuz.)
0
2
2 

( ) = −  2
 2 
yazabiliriz. Denklem (6.89)’de verilen ifade kullanılarak


1
=− 
(6.91b)


için
(6.92)

yazabiliriz. Bunu (6.90b) ifadesinde yerine yazarak
0
2
1
2 


 2
[− ] = −
2
(6.93)
veya
2 
 2
1
= (/
0)
2 
 2
(6.94)
28
elde ederiz. Burada

0
=  2 eşitliğini yerine yazarsak, basınç dalgasının denklemi
için
2 
 2
=
1 2 
 2  2
(6.95)
ifadesini elde ederiz.
Bu sonuç ses dalgasının basınç dalgası olarak yazılabileceğini gösterir. Bundan
önceki kesimde elde ettiğimiz dalga denklemi ile burada elde ettiğimiz dalga
denklemini bir arada yazalım:
2 
 2
2 
 2
=
=
1 2 
 2  2
1 2 
 2  2
(6.96a)
(6.96b)
Eğer (6.96a) denkleminin çözümü
(, ) = ( − )
ise, p(x,t) için de çözüm
(, ) = −
veya
(6.97a)

= −[−( − )]

(, ) = [( − )]
(6.97b)
olacaktır. Bu sonuçlar (, ) ile (, ) aynı dalgayı tanımlarken, iki fonksiyon
birbirlerine göre bir çeyrek devir (/2 radyan) faz dışı olduğunu gösterir. Basınç
değişimi sıfır olduğu herhangi bir anda yer değiştirme maksimumdur ve bunun
tersi de doğrudur.
ÖRNEK-2
Orta şiddette bir ses dalgasında atmosfer basıncı değişimi 310−2 
mertebesindedir. Frekans 1000  ise, bu basınç değişimine karşılık gelen
maksimum yer değiştirmeyi bulunuz. Sesin havadaki hızını 344 / ve hacimsel
modülü  ≅ 1.42105  alınız.
(, ) = ( − )
29
(, ) = [( − )]
 =    =
=
=
2

=


2
2
=
/

2 ∗ 1000
= 18.3 /
344
3 ∗ 10−2
=
≅ 1.15 ∗ 10−8 
1.42 ∗ 105 ∗ 18.3
Bu yer değiştirme genliği bir insan hücresinin sadece 1/100’i kadardır. Kulağın
gerçekte basınç değişimlerine duyarlı olduğunu hatırlayınız, bu küçük yer
değiştirmeleri ancak dolaylı olarak hissederler.
6.9.1 Gazlarda adiyabatik koşullarda ses hızı
Bir akışkan içinde yayılan dalganın hızı için yazdığımız
 = √/0
(6.98)
ifadesini adiyabatik koşullarda bir gaz için uygulayalım. Hacim ile basınç
arasındaki ilişkinin
  =  (sabit)
(6.99)
olduğunu gazların kinetik teorisinden biliyoruz. Burada , öz ısılar oranıdır.
=


(6.100)
(6.99) eşitliğinin her iki tarafının doğal logaritması alınırsa
 +  = 
yazabilir. Buradan
veya
1  
+ =0
  

−
=
⏟ 

 =
(6.101)
olacaktır. Bunu (6.98) denkleminde kullanırsak, hız için
=√

0
(6.102)
30
bağıntısını yazabiliriz. Burada P’nin sesin yayıldığı ortamın basıncı olduğunu

unutmayalım.  = oranının tek atomlu gazlar için 1,67, iki atomlu gazlar için

1,40 ve daha fazla atom içeren gazlar için ise  < 1,40 olduğunu biliyoruz.
6.9.2 İdeal gazlarda ses hızı
İdeal gazlar için
 = 
(6.103a)
bağıntısını biliyoruz (n mol sayısı, R gaz sabiti ve T kelvin cinsinden sıcaklık).
Buradan

=

yazabiliriz. Bunu (6.102) ifadesinde kullanırsak hız için

=√
0

=√
(6.103b)

 = √   = √  = √ 
0
0 /
/

=√
 
(6.104)

yazabiliriz. Burada , gazın molekül kütlesidir ( = 0  ve  =
 gaz sabiti olup değeri R= 8,3145




, /),
 dir.
ÖRNEK-3
Hava için  ≅ 1,40,  = 0,02895 / değerlerini kullanarak, sesin
havadaki hızı için
ℎ = 20.05√
(/)
(6.105a)
elde ederiz. Bu ifade kullanılarak hesaplanan değişik sıcaklık değerlerindeki hız
değerleri aşağıda verilmiştir.
 = 273 
 = 331,3 /
 = 300 
 = 347,3 /
 = 313 
 = 354,7 /
Eğer sıcaklık C cinsinden alınırsa,
ℎ ≅ 331,4 + 0.6
(/)
(6.105b)
yazabiliriz.
31
6.10 HAVA (AKIŞKAN) BORULARINDA TİTREŞİM MODLARI
Bir akışkan (sıvı veya gaz ) dolu boru çoğu zaman bir katı çubuğa özdeş bir
sistemi temsil edebildiğini budan önceki kesimde tartışmıştık. Akışkan içinde
dalga denkleminin
2 
 2
=
1 2 
 2  2
(6.106)
ifadesi ile verildiğini biliyoruz. Bu denklemi çeşitli sınır koşullarında çözerek
titreşim modları hakkında bilgiler elde edebiliriz. Bu denklemin genel çözümü
"değişkenlerine ayırma" yöntemi ile yapılabilir. Bu çözümün


(, ) = (  +  ) ( +  )
(6.107)


olacağını biliyoruz (Daha önce bir çubuğun veya bir ipin titreşimlerini incelerken
yapılan işlemlerin aynısı).
Burada bu denklemin bazı özel sınır koşullarında çözümünü tartışacağız. Örneğin
bir ucu kapalı, diğer ucu açık bir boru düşünelim:
 Açık uç, maksimum hava hareketinin ve sıfır basınç değişiminin olduğu
yerdir.
 Kapalı uç ise hareketin olmadığı buna karşı maksimum basınç değişiminin
ortaya çıktığı yerdir.
Şekil-6.12'de bir ucu kapalı tüp içinde ilk üç titreşim modunu temsil eden grafikler
verilmiştir.
Şekil-6.12. Bir ucu kapalı bir düzgün tüp içindeki havanın titreşimlerinin ilk üç
modu. a) Tüp içindeki havanın yer değişimi () , b) Tüp içindeki havanın basınç
değişimi (p).
32
6.11 İKİ BOYUTLU SİSTEMLERİN TİTREŞİMİ MODLARI
Şimdi ince bir metal veya gerilmiş elastik bir zar gibi iki boyutlu sistemlerin
titreşimlerini ve normal modlarını kısaca tartışacağız. Şekil-6.13a'da  düzleminde gerilmiş bir zarın diferansiyel bir elemanının denge durumu ve
titreşim durumunda yer değiştirmesi şematik olarak gösterilmiştir. (Burada
abartılı bir çizim verildiğini unutmayalım. Gerçekte küçük titreşimlerle
ilgileniyoruz. Bazı büyüklüklerin şekil üzerinde gösterilebilmesi için böyle bir
çizim yapmak durumundayız).
Şekil-6.13. a)  -düzleminde her yönde gerilme kuvvetine maruz kalan 
alanına sahip zar parçasının tabanda denge durumunda ve titreşim sırasında yer
değiştirmiş hali. b)Aynı zar parçasının yandan görünüşünün  -düzleminde
çizilmiş hali verilmiştir.
Şekildeki gerilmiş zarın kenarlarına dik olarak etkiyen kuvvetleri yazabilmek için,
birim uzunluk başına etkiyen kuvveti  ile gösterelim. Buna yüzey gerilimi
diyebiliriz. Bu değerin zarın her yeri için aynı olduğunu kabul edeceğiz. Burada 
kuvvetinin kenarlara dik olduğunu tekrar belirtelim. Şekildeki gibi seçtiğimiz
diferansiyel zar parçasının kenarları    uzunluklarına sahiptir. Bu
durumda,
  - düzlemindeki her iki uca etkiyen kuvvet =  
  - düzlemindeki her iki uca etkiyen kuvvet =  
 diferansiyel parçasının kütlesi =  
yazabiliriz. Burada  birim yüzeyin kütlesidir.
-düzleminde zarın eğriliği yüzünden oluşan enine net kuvvet için:
33
 =  sin( + ) −  sin  ≅  tan( + ) −  tan  (6.108)
ifadesini yazabiliriz (Küçük titreşim yaklaşımında). Burada
tan  = (

)
 
ve


2
tan( + ) = ( )
= [( ) + ( 2 ) ]
 +
 

alarak F kuvveti için


 =  ( )
−  ( )
 +
 
2

 

 =  [( ) + ( 2 )  − ( ) ]
 

 
2 
 =  ( 2) 

(6.109)
elde edilir.
Benzer hesap yapılarak -düzleminde zarın eğriliği yüzünden oluşan enine net
kuvvet için ise
 =  (
2 
 2
) 
(6.110)
yazabiliriz. Bu kuvvetler   yönündedir. Seçilen zar elemanına -yönünde
etkiyen net kuvvet bu iki kuvvetin toplamı olacaktır:
 =  (
2 
2 
)  +  (2 ) 
 2
(6.111)
olacaktır. Seçilen diferansiyel zar parçasının kütlesi  = ’dir. Bu
durumda Newton’un ikinci yasası ( = ) uygulanırsa


veya
yazabiliriz. Burada


2 
 2
2 
 2
=  (
2 
2 
) +  2
 2
2 
2 

 2
= (
+
2
2 
2 

 2
+
2
)
1
= (⁄
2 
 )  2
(6.112)
=  2 alınarak titreşen zar için
2 
2 

 2
+
2
=
1 2 
 2  2
(6.113)
diferansiyel denklemini yazabiliriz. Bu ifade iki boyutta titreşen sistemin dalga
denklemidir.
34
6.11.1 Değişkenlere ayırma yöntemi ile iki boyutta titreşen sistemin dalga
denkleminin çözümü
(6.112) denkleminin çözümünü de değişkenlerine ayırma yöntemiyle çözebiliriz
(Tek boyutlu örneğe tekrar bakınız).
(, , ) = ()()()
Bu fonksiyonda
 2
 2
=

,
 2
 2
 2
 2
=

,
 2
 2
(6.114)
 2
 2
=

 2
 2
Türevleri alınarak (6.112) denkleminde yerine yazılırsa

 2
 2
1
 2
+

=

 2
 2  2
 2
elde edilir. Her iki tarafı 'ye bölünerek
1  2 1  2
1 1  2
+
=
  2   2  2   2
veya
2
1 2 
1 2 
 
  2
+ 2
2
=
1 2 
  2
(6.115)
yazabilir. Burada ,  ve  birbirinden bağımsızdır. Bu nedenle bu eşitliğin sol ve
sağ tarafları −2 gibi bir sayıya eşit alınabilir. Bu durumda
1 2 
  2
2 
= −2 
Bu sonuç (6.114) denkleminde kullanılırsa
2
veya
1 2 
1 2 
 
  2
+ 2
2
1 2 
2
 
2
+
2
+ 2  = 0
 2
=−
(6.116)
= −2
1 2 
  2
(6.117)
yazılabilir. Bu denklemin de her iki tarafını  2 gibi bir sayıya eşit alabiliriz:
1 2 
2
 
2
−
Buradan
+
2
1 2 
  2
2 
2

2
+(
2
= 2
= 2
− 2)  = 0
(6.118a)
35
2 
+ 2 = 0
 2
(6.118b)
yazabiliriz. Şimdi elde edilen diferansiyel denklemleri bir arada yazalım:
2 
+ 2  = 0
 2
2 
2

2
+(
2
2 
 2
(6.119a)
− 2)  = 0
(6.119b)
+ 2 = 0
(6.119c)
Bu üç denklem BHH denklemine benzemektedir. Bu nedenle çözümler için
() =  + 
() = √
2
2

2
−  2  + √
2
(6.120a)
− 2 
() =  + 
(6.120b)
(6.120c)
yazabiliriz. Bunları (, , ) = ()()() çözümünde yerine yazarsak iki
boyutlu dalga denkleminin çözümü için
2
2
(, , ) = (√ 2 −  2  + √ 2 −  2  ) ( + )( + )
(6.121a)
sonucunu yazabiliriz. Genel çözüm için ise birçok modun üst üste binmesine karşı
gelecek şekilde yazılabilir.
2

(, , ) = ∑=0 ( √
Burada
2
− 2  +   √
 ,  ,  , 
2

2
− 2  ) (   +   )(   +   )
(6.121b)
sabitleri sınır koşullarından;    ise başlangıç
koşullarında tayin edilir.  'ler doğal açısal frekanslardır. Bu konuda örnek bir
problem size verilecek problem setlerinde yer alacaktır.
6.12 KUTUPSAL (POLAR) KOORDİNATLARDA DALGA DENKLEMİ
İki boyutlu sistemler için titreşimlerin diğer önemli grubu sınırın dairesel olması
durumunda elde edilir. Bunun için dik koordinat sisteminde yazılan dalga
denklemini polar koordinatlarda yazmak uygun olacaktır. Polar koordinatlarda iki
boyutlu dalga denklemi için
2 

+
2
1 
 
+
1 2 
2
 2 
=
1 2 
 2  2
(6.122)
36
ifadesi yazılabilir. Bu denklemin türetilmesini size verilecek problem setinde
bulabilirsiniz.
Bu durumda dairesel zarların titreşimleri denklem (6.122)’nin çözümü ile elde
edilir. Bu denklemin çözümü değişkenlerine ayırma yöntemiyle yapılır. Ancak
çözüm için Bessel fonksiyonlarını bilmek gerekecektir. Bu ders kapsamında
dairesel zarların titreşimlerini ele almayacağız. Ancak ileride mikrofon, davul v.b
cihazların titreşim modlarını incelemek isterseniz bu çözümü yapmak durumunda
kalacaksınız. Matematik derslerinde Bessel fonksiyonlarını incelerken bir örnek
problem olarak konuyu ele alabilirsiniz.
6.13 ÜÇ BOYUTLU SİSTEMLERİN NORMAL MODLARI
Jöleye benzer bir madde ile dolu kap aniden üflenirse kabı dolduran maddenin
karmaşık bir biçimde titreştiği görülür. Üç boyutlu sistemlerde titreşimin
oluşturduğu doğrultularda boş bir koordinata sahip olmalıyız. Böylece daha önce
bir ve iki boyutlu sistemler için yazdığımız eşitliklere benzer olarak üç boyutta da
hareketin diferansiyel denkleminin yazılabilir. Ancak burada bu denklemin
türetilmesine girmeyeceğiz. Üç boyutta titreşen bir sistemin dalga denklemi
2 
 2
+
2 
2 

 2
+
2
=
1 2 
 2  2
(6.124)
şeklinde verilmektedir. Buradaki  karakteristik hız  = √/ alınabilir. Burada
 hacim modülüdür. Buradaki skaler  niceliği ise herhangi bir zaman ve konum
için basıncın büyüklüğü olabilir. Üç boyutlu durumda sınır şartlarının sistemin
bütün dış yüzeyleri üzerinden tayin edilmesi gerekir. Tüm sınırları sabit olan bir
dikdörtgen blok için, dikdörtgen biçimli zar için elde edilenlere oldukça benzer bir
normal modlar seti hayal edebiliriz. Fakat bu durumda düğüm noktaları yüzeyler
üzerinde yer alır ve her bir normal titreşim, bir adet ip modeli ya da iki adet zar
modeli yerine üç adet tam sayılar seti ile tanımlanır.
37
6.13.1 Üç boyutta titreşen sistemin dalga denkleminin çözümü
6.124 dalga denklemini değişkenlerine ayırma yöntemi ile çözebiliriz. Bu durumda
dalga fonksiyonunu
(, , , ) = ()()()()
(6.125)
şeklinde yazabiliriz. Bu ifade (38) denkleminde yerine yazılırsa
1 2
1 2
1 2
 
 
  2
+
2
+
2
=
1 1 2
 2   2
(6.126a)
elde edilir. Bu denklemin her iki tarafı −12 gibi bir sayıya eşit alınabilir. Bu
durumda
1 1 2
ve
 2   2
= −12
1 2
1 2
1 2
 
 
  2
+
2
+
2
(6.126b)
= −12
(6.126c)
(6.126b) denklemini yeniden
2
 2
+  2 12  = 0
(6.127a)
şeklinde yazabiliriz. Bu denklemin çözümünün
() = 1 1  + 1 1 
(6.127b)
olduğunu biliyoruz.
(6.126c) denklemi ise
1 2
1 2
 
  2
+
2
= −12 −
⏟
1 2
  2
22
= −12 + 22
(6.128)
yazılabilir. Burada 2 diğer bir sabittir. Bu durumda
2
 2
+ 22  = 0
(6.129a)
yazılabilir. Bunun çözümü ise
() = 2 2  + 2 2 
(6.129b)
olacaktır.
(6.128) denklemini
1 2
  2
= −12 + 22 −
1 2
  2
= −12 + 22 + 32
(6.130)
38
şeklinde yazabiliriz. Burada 3 keyfi başka bir sabittir. Buradan
2
 2
+ 32  = 0
(6.131a)
yazabiliriz. Bu denklemin çözümü ise
() = 3 3  + 3 3 
(6.131b)
olacaktır. (6.130) denkleminden
2
 2
+ (12 − 22 − 32 ) = 0
(6.132)
yazabiliriz. Burada 42 = 12 − 22 − 32 seçilerek,
2
 2
+ 42  = 0
(6.133a)
yazabilir. Bu denklemin çözümü için ise
() = 4 4  + 4 4 
(6.133b)
yazabilir.
(6.127b), (6.129b), (6.131b) ve (6.133b) ile verilen çözümler kullanılarak
(, , , ) için
(, , , ) =
(2 2  + 2 2 ) ⏟
(3 3  + 3 3 ) ⏟
(4 4  + 4 4 )]
[(
⏟ 1 1  + 1 1 ) ⏟
()
()
()
()
(6.134)
yazabiliriz. Burada 1 ve 1 başlangıç değerleri, 2 , 3 , 4 ve , 2 , 3 , 4 ise sınır
değerleri kullanılarak tayin edilecek sabitlerdir.
ÖRNEK-4
Şimdi Şekil-6.14’deki gibi kenarları 1 , 2  3 olan dikdörtgenler prizması
şeklinde bir oda düşünelim.
Şekil-6.14
39
(, , , ) = (, , , ) seçelim. Burada  akustik basıç fonksiyonudur. Akustik
dalganın normal modlarını bulmak istiyoruz.
(, , , )
(2 2  + 2 2 ) ⏟
(3 3  + 3 3 ) ⏟
(4 4  + 4 4 )]
= [(
⏟ 1 1  + 1 1 ) ⏟
()
()
()
()
(6.135)
Kabın duvarlarına yapılan basının eşit olmasından aşağıdaki sınır koşullarını
yazabiliriz:
1.
2.
3.






= 0,
 = 0   = 1
= 0,
 = 0   = 2
= 0,
 = 0   = 3


1. sınır koşulundan: ( )

=0
=( )

=0
=0
Denklem (6.135)’de verilen çözüm ifadesinde
() = 2 2  + 2 2 ,

(  )
=0
= 2 (2 2  − 2 2 )=0 = 2 2 = 0
 = 0′ da türevin sıfır olabilmesi için, 2 her zaman sıfır olmadığından 2 = 0
olmalıdır.
Benzer şekilde


=0
=( )

=0
=( )

2. sınır koşulundan: ( )


3. sınır koşulundan: ( )

=0

=0
=0
=0

3 = 0

4 = 0
olmalıdır. Bu durumda
(, , , ) =
(1 1  + 1 1 )(2 2 )(3 3 )(4 4 )
veya
1 = 1 2 3 4 ve 2 = 1 2 3 4 olarak alınırsa
(, , , ) = (1 1  + 2 1 )2 3 4 
yazabiliriz.
40
Şimdi sınır koşullarının ikinci kısımları uygulanırsa
(


=( )
= −2 (2 1 ) = 0
)
 =1
 =1

2 1 = 0


()
=2
=( )

=2

3 2 = 0

(  )

=3
=( )

=3
2 =

1
,  = 0,1,2,3, …
= −3 (3 2 ) = 0
3 =

2
,  = 0,1,2,3, …
= −4 (4 3 ) = 0
4 3 = 0 
4 =

,  = 0,1,2,3, …
3
Bu durumda titreşim fonksiyonu
(, , , ) = (1 1  + 2 1 ) (

1
) (

2
) (

3
),
, ,  = 0,1,2,3, …
olur. Sistemin doğal frekansları  = 1 dir.
Bu durumda titreşimlerin normal modları için
()()() = 2  3  4 
yazabiliriz. Bu durumda (, , , ) için
(, , , ) = (1 1  + 2 1 )2  3  4 
yazabiliriz. 1 ve 2 sabitleri ise verilecek başlangıç koşullarından belirlenir.
Örneğin t=0 iken yüzeyler durgun ise (, , , 0) = 0 olacaktır. Bu durumda
2 = 0 olmak zorundadır. Sonuç olarak
(, , , ) = [1 1 ]2  3  4 
yazabiliriz.
Bu ders kapsamında üç boyutlu dalga denklemi ile daha fazla ilgilenmeyeceğiz.
Ancak biraz önce elde ettiğimiz sonuçların ileriki yıllarda katılar fiziği
konularında geniş uygulama alanı bulacağını söylemekle yetineceğiz.
41
6.14 FOURİER ANALİZİ
Uzunluğu  ve iki ucu bağlı olan gerilmiş bir ipin sonsuz sayıda normal modunun
herhangi birinde titreşebileceğini biliyoruz. İpin hareketinin tam olarak aşağıdaki
ifade ile tanımlandığını görmüştük :

(, ) = ∑∞
=1  sin (

) cos(  −  )
(6.136)
İpin gerçek hareketini gözümüzde canlandırmak zordur. Titreşen sistemin 0 gibi
bir anda fotoğrafını çektiğimizi düşünelim. Bu durumda cos( 0 −  ) çarpanı
sabit sayılar seti şeklinde elde edilir. Böylece ’in belli bir değerinde ipin yer
değiştirmesi aşağıdaki gibi yazılabilir.
() = ∑∞
=1  sin (
Burada  ,

)
(6.137)
 =  cos( 0 −  )
(6.138)

dir.
Şimdi aşağıdaki düşünceyi ileri sürebiliriz:
İpin herhangi bir andaki şeklini,  = 0   =  arasında () fonksiyonu ile
tanımlamak ve denklem (6.137)'de verildiği gibi ü fonksiyonlarının bir sonsuz
serisi olarak bakmak mümkündür. Eğer dikkatimizi 'in belli bir değeri üzerinde

yoğunlaştırırsak,   (

) ’nin değeri sabit bir  sayısına eşit alınabilir.
Böylece
() = ∑∞
=1  cos(  −  )
(6.139)
ifadesine sahip oluruz. Burada  = 1 dir. Eşitlik-6.139, 1 en düşük mod
frekansı olmak üzere, ip üzerindeki herhangi bir nokta 2⁄1 periyodu ile
titreşir. Bu ifade aynı zamanda bu periyodik hareketin uygun faz ve genlikler ile
1 'in tüm mümkün harmoniklerini içeren saf sinüzoidal titreşimlerin bir toplamı
olarak yazılabileceğini ifade eder. Bu yüzden analiz, konumdan ziyade zaman
cinsinden bir Fourier analizidir.
42
Fourier analizini anlamak için Fourier serilerini bilmek gerek. Burada kısa bir özet
verilecektir (Fizikte Matematiksel Yöntemler-II dersinde bu konu daha ayrıntılı
işlenecektir.).
FOURİER SERİLERİ
Taylor serisinin, bir () fonksiyonuna polinom kullanarak yaklaştırımda
bulunduğunu biliyoruz.
() = () + ( − ) ′ () +
(−)2
2!
 ′′ () + ⋯ +
(−)
!
 () () +

⏟ ( )
(6.140)
 
Bu yaklaştırım, belirli bir  =  noktasının yakınında () 'e yakın bir değer
bulma esasına dayanır. Taylor serisi genellikle  çevresindeki bir aralıkta
(gerçekte  'yı merkez alan bir aralıkta) yakınsar. Ama kısmi toplamlarından
herhangi biri, ancak  'nın oldukça kısıtlı bir komşuluğunda () 'e yakın
düşmesinin beklendiği bir polinomdur.
Taylor serisinin yerel olarak veya küçük ölçekte iyi iş gördüğünü söyleyebiliriz.
Ancak birçok önemli uygulamada bir () fonsiyonuna oldukça geniş bir aralıkta
veya geniş ölçekte bir yaklaştırımda bulunmak istenir. Bu gibi durumlarda, sık sık
Fourier serisi kullanılır. Kuvvet serisinin temel öğeleri olarak  'in kuvvetlerini
alması gibi, Fourier serisi de temel bileşenleri olarak sinüs ve kosinüs kullanılır.
[−, ] kapalı aralığında verilen ve periyodu 2 olan olan () fonksiyonunun
Fourier serisi
() =
0
2
+ ∑∞
=1 ( cos


+  sin


)
(6.141)
ifadesi ile verilir.
() fonksiyonunun sağlaması gerekli koşullar:
i) () fonksiyonu ve onun 1. ve 2. türevleri [−, ] aralığında sürekli olmalıdır.
43
ii) () fonksiyonu sürekli değilse, hiç olmazsa sürekli parçalardan oluşmalıdır.
Başka bir deyişle, fonksiyonun süreksizliği ancak bazı noktalarda sonlu birer
sıçrama şeklinde olmalıdır.
Fourier serisindeki  ve  katsayılarını bulmak için aşağıdaki üç integralin
hesaplanması gerekir (Bunun için, Calculus and analytic geometry; George B.
Thomas, Jr. kitabına bakabilirsiniz):

1

∫ sin
2 −
2.



cos
cos

∫
2 −


3.



sin
sin

∫
−
2



cos

1.

 = 0
1
1
m ve n’nin tüm değerleri için
1
==0
=>0
≠
(6.142b)
==0
=>0
≠
(6.142c)
1
= {2
0
0
1
= {2
0
(6.142a)
Burada m ve n tam sayıları pozitif veya sıfır değerlerini alabilir. Fourier serisinin
katsayıları olan 0 ,  ve  katsayılarını bulma işlemleri aşağıda özetlenmiştir.
 0 ’yı bulmak için (6.141)’da verilen Fourier serisinin bütün terimlerinin –L
ile L arasındaki ortalama değerlerini almamız gerekir:

∞
1
0 1 
1 

1 

∫ () =
∫  + ∑  ∫ cos
 +  ∫ sin

2
2 2 −
2 −

2 −

=1
−
Burada sağ taraftaki terimlerden sadece birincisi sıfır değildir. Bu durumda
1 
∫ ()
2 −
yazabiliriz. Buradan 0 için
1
=

∫ 
2 2 −
0 1

0 = ∫− ()

=
0
2
(6.143)
sonucunu elde ederiz.
  katsayısını bulmak için (6.141) eşitliği ile verilen serinin her iki tarafı
cos


ile çarpılır ve bütün terimlerinin [−, ] aralığında ortalaması alınır.
44

1

0 1 

∫ () cos
 =
∫ cos

2

2 2 −

−
1 


+ 1 ∫ cos cos

2 −


1 
2

1 


+ 2 ∫ cos
cos
 + ⋯ +  ∫ cos
cos
 +
2 −


2 −


1 


1 
2

+ 1 ∫ sin cos
 + 2 ∫ sin
cos
 + ⋯
2 −


2 −


1 


+  ∫ sin
cos

2 −


(6.142) ‘de verilen integraller kullanılarak

1

1 


1
∫ () cos
 =  ∫ cos
cos
 = 
2

2 −


2
−
yazabiliriz. Buradan  için
1

 = ∫− () cos




(6.144)
yazılır.
  katsayısını bulmak için (6.141) eşitliği ile verilen serinin her iki tarafı
sin


ile çarpılır ve bütün terimlerinin [−, ] aralığında ortalaması alınır.

1

0 1 

∫ () sin
 =
∫ sin

2

2 2 −

−
1 


+ 1 ∫ cos sin

2 −


+ 2
1 
2

1 


∫ cos
sin
 + ⋯ +  ∫ cos
sin
 +
2 −


2 −


+ 1
1 


1 
2

∫ sin sin
 + 2 ∫ sin
sin
 + ⋯
2 −


2 −


+ 
1 


∫ sin
sin

2 −


(6.142) ‘de verilen integraller kullanılarak

1

1 


1
∫ () sin
 =  ∫ sin
sin
 = 
2

2 −


2
−
yazabiliriz. Buradan  için
45

1
 = ∫− () sin




(6.145)
yazılır. Bu üç katsayıyı veren ifadeleri bir arada yazalım:
1 
0 = ∫ ()
 −

1

 = ∫ () cos



−

1

 = ∫ () sin



−
() çift fonksiyon ise ((−) = ()):
1

 = ∫− () cos




2
 = ∫0 () cos



 ve  = 0
() tek fonksiyon ise ((−) = −()):
1

 = 0 ve  = ∫− () sin



2

 = ∫0 () sin




olacağını gösterebilirsiniz.
ÖRNEK-5
Şekilde verilen kare dalga için Fourier serisini bulunuz.
Şekil-1
Çözüm:
Şekil-1’de verilen () kare dalga fonksiyonunun periyodu 2 ‘dir. Bu fonksiyon
() = {
şeklinde ifade edilebilir.
1

 = ∫− () cos   =

1
0
1
− <x<0
0<<
0

[∫− 0 × cos   + ∫0 1 × cos  ]
 ⏟
0
46
1

1

= ∫0 cos   = {

0
1
 ≠ 0 
}
 = 0 
Buradan 0 = 1 ,  = 0 elde edilir.
1
0

1
 =  [∫
⏟− 0 × sin   + ∫0 1 × sin  ] =  ∫0 sin   =  [−
0
Burada n tek ise  =
2

 
]

0
1
=  [−(−1) + 1]
ve n çift ise  = 0 olur.
Bu değerler (6) serisinde yerine yazılırsa () kare dalga fonksiyonu
1 2
1
1
1 2
() = + ( + 3 + 5 + ⋯ ) = +
2 
3
5
2 
∞
∑
=1,3,5,…
sin 

şeklinde ifade edilir.
Şekil-2’de kare dalganın Fourier serisi ile ifade edilmesi gösterilmiştir. Toplanan
terim sayısı arttıkça Fourier serisinin kare dalgayı çok iyi temsil etmeye
başladığına dikkat ediniz.
Şekil-2 Kare dalganın Fourier serisi ile ifade edilmesi.
47
ÖRNEK-6
Uzunluğu 2,5 m ve kütlesi 0,01 kg olan bir tel 10 N’luk bir gerilim altındadır.
a) Telin temel titreşim modunun frekansı nedir?
b) Eğer tel enine titreştirilir ve bir ucundan 0,5 m ileride bir noktadan tutulursa
hangi frekanslar mevcuttur? (French-p6.1)
Çözüm:
a) Gerilmiş bir tel için titreşim modlarının frekansı için
 =

2
(/)1/2 , n= 1, 2, 3, ...
Bağıntısını türetmiştik (Ders notlarına bakınız). Temel titreşim modunun (n=1)
frekansı
1 =
1
0,01 1/2 1 25 1/2 1
50
(10/(
)) = (
) = (2500)1/2 =
= 10 
2 × 2,5
2,5
5 0,01
5
5
b) Telin bir ucundan 0,5m ötede sürekli bir düğüm noktası oluşmak
zorundadır. Bu nedenle

1
 (  ) = 0,5  ⇒  = 1 ⇒  =
2

olmalıdır. Dalga olayında
  = 
olduğunu biliyoruz. Burada  hız olup verilenler kullanılarak
 = (/)1/2 = (10/(
0,01 1/2
)) = 50 /
2,5
değerini bulunur. Buradan
  = 50 ⇒  =
50

=
50
1/
= 50  sonucu elde edilir.
1 = 50 , 2 = 100 , 3 = 150 , 4 = 200 , .....
Sonuç olarak 50 Hz’in katları şeklinde titreşimler mümkündür.
48
ÖRNEK-7
Uzunluğu L olan homojen bir tel iki ucundan sabitlenmiştir. Sağ taraftaki ucu
 =  ile titreşen bir tabla üzerindedir (Şekil’e bakınız). Telin kararlı
titreşimlerini belirleyiniz.
Çözüm:
İki ucu bağlı ipin hareket denklemi değişkenlerine ayırma yöntemiyle çözülerek
(, ) = [sin


 +  ] [ +  ]


elde edilmişti (Ders notlarına bakınız).
Sınır koşullarımız:
i)
 = 0’da (0, ) = 0
ii)
 = ’de (, ) = 
Birinci koşuldan
0 = b[ +  ] ⇒  = 0
(, ) = sin

 [ +  ]

elde edilir.
İkinci koşul




 = [sin ] [ +  ] ⇒  = 0 ve  = ac [sin ] olmasını
gerektirir. Buradan
 =


[sin  ]
yazılır. Bu durumda telin kararlı titreşimlerini tanımlayan fonksiyon için
(, ) = sin



  =
sin
 



[sin ]

yazılabilir.
49
ÖRNEK-8
Homojen bir çubuk her iki ucu serbest kalacak şekilde orta noktasından bir desteğe
tutturulmuştur.
a) Boyuna titreşimler için çubuğun doğal titreşim frekanslarını bulunuz.
b) ’inci modun dalga boyu nedir?
c) ’inci mod için düğüm noktaları nerededir? (French-p6.6)
Çözüm:
a) Boyuna titreşim hareketinin denklemi
2 
 2
=
1 2 
(1)
 2  2
dir. Bu denklemi değişkenlerine ayırma yöntemi ile çözümü




(, ) = (  +  ) ( + )
(2)
fonksiyonu ile verilir (Ders notlarına bakınız).
 = 0 ve  =  'deki uçlar serbest olduğundan uçlarda herhangi bir zor
olmayacaktır. Bu durumda serbest uçta  = 
uçlarda




= 0 olmalıdır. Bu ise serbest
|=0 = 0 olmasını gerektirir. (2) ifadesinden
=


türevini hesaplar ve
sıfıra eşitlersek

|
 =0

=  ( + ) = 0 ⇒  = 0

olmalıdır. Bu durumda
(, ) = 

( + )

olur. Orta uç bağlı olduğu için

(/2, ) =   2 ( + ) = 0
dir. Burada  ≠ 0 olduğundan 

2
= 0 olmalıdır. Buradan
50
 
1
= ( − )
 2
2
yazılır. Titreşim modlarının frekansı için
 =
(2 − 1) (2 − 1) 
√
=



ifadesi yazılabilir. Burada  çubuğun yoğunludur.
b)  =
(2−1)
2 =

ve   =  ifadelerinden
(2−1) 

2
⇒  =
2−1
bulunur.
n=1 için 1 = 2 ⇒  =
n=2 için 2 =
2
n=3 için 2 =
2
3
5
1
2
=2
⇒=3
2
⇒=5
3
2
2
1
4
=6
2
4
= 10
3
4
Titreşim modlarının davranışı aşağıdaki gibi çizilebilir. Burada yer değiştirmenin
boyuna olduğunu unutmamak gerekir. Çubuğun orta ucunda her zaman bir düğüm
noktası olacağı açıktır.
51
ÖRNEK-9
Homojen dikdörtgen bir zar, Şekil-1’deki gibi tüm kenarları gerilmiş ve
sabitleştirilmiştir. Zarın enine titreşimlerini inceleyiniz.
Şekil-1
İki boyutlu zarın titreşimlerini tanımlayan denkleminin
2 
2 

 2
+
2
=
1 2 
 2  2
(1)
Olduğunu biliyorsunuz (Ders notlarına bakınız). Bu denklemi değişkenlerine
ayırma yöntemiyle çözerek
2
2
(, , ) = (√ 2 −  2  + √ 2 −  2  ) ( + )( + )
(2)
elde etmiştik. Burad  = √/ dalganın hızı, S yüzey gerilimi ve  yüzeyce kütle
yoğunluğudur.
Şekil-1 dikkate alınarak dört adet sınır koşulu yazabiliriz. Kenarlarda deformasyon
olmadığını kabul edeceğiz.
i)
(0, , ) = 0
ii)
(1 , , ) = 0
iii)
(, 0, ) = 0
iv)
(, 2 , ) = 0
i) Koşulundan
(0, , ) = B ( + )( + ) = 0
yazarız. Bunun olabilmesi için B=0 olmalıdır. Bu durumda
2
(, , ) = √ 2 −  2  ( + )( + )

olur.
52
Buna (ii) koşulunu uygularsanız
2
(1 , , ) = √ 2 −  2 1 ( + )( + ) = 0

elde ederiz. Bunun olabilmesi için
2
√ 2 −  2 1 = 0

olmalıdır. Buradan
2
√ −  2 1 = 
2
2
yazabiliriz. Burada  = √2 −  2 kısaltması yaparak
 =

1
,  = 1, 2, 3, …
yazabiliriz. Bu durumda
(, , ) =  ( + )( + )
olur.
Buna iii- koşulunu uygulayarak
(, 0, ) =  D( + ) = 0
elde ederiz. Bunun her an sağlanabilmesi için D=0 olmalıdır. Bu durumda
(, , ) =  ()( + )
yazılır.
iv-koşuldan
(, 2 , ) =  (2 )( + ) = 0
yazılır. Bunun olabilmesi için
2 = 0
olmalıdır. Buradan
 2 = 
veya
 =

,
2
 = 1, 2, 3, ….
yazılabilir.
Bu durumda (1) denkleminin çözümü için
53
(, , ) =   ( )( + )
veya
(, , ) =    ( + AC)
veya
ACE=M ve ACF=N diyerek
(, , ) =    ( + N)
yazabiliriz.
Genel çözüm ise bunların süperpozisyonu ile verilir:
∞
∞
(, , ) = ∑ ∑    (   +   )
=1 =1
Burada  =    ve  =    dir.  ve  yukarıda
tanımlanmıştır.
2
 = √2 −  2 = 

1
⇒
2
−
2
2 2
2 =
 2 2
21
2
 
− 2 = 2
2

1
2
2 2

 
2  2
−
=
2
22
21
2 2
2 2
 
 
2  2 2  2
2 =  2 ( 2 + 2 ) = / ( 2 + 2 )
1
2
1
2
Sonuç olarak titreşim modlarının frekansları için
 =
 2
 2 1/2
√/ [( ) + ( ) ]
1
2
ifadesini yazabiliriz.
Şekil-2’de m ve n’nin çeşitli değerleri için zarın titreşim şekilleri verilmiştir.
Şekil-2
54
ÖRNEK-10
Yarıçapı r olan dairesel bir zarın titreşimini veren dalga denklemini yazınız.
Çözüm:
Dik koordinat sisteminde iki boyutlu dalga denkleminin
2 2
1 2
+
=
 2  2  2  2
ile verildiğini biliyorsunuz (Ders notlarına bakınız). Bu denklemi kutupsal
koordinatlarda yazarak dairesel geometri için dalga denklemini elde edebiliriz.
Yukarıdaki şekilden
 =  ,  = ,  2 +  2 =  2 ve  = −1


yazabiliriz. Buradan


= ,


= −,


= ,
 2 +  2 =  2 bağıntısından 2


2
 = −1



bağıntısından


= 

=

 2 + 2

 2 + 2

= = 

= 2 ⇒
=−


= 2 ⇒






=
=−
=


= 




yazabiliriz. Bu bağıntılardan yararlanarak aşağıdaki türev işlemlerini yapabiliriz:
1.
2.
3.






=
 
 
=
 
=
 
 
 
+
+
+
 
 
 
 
 
 
=−
=

=





() +




 −
(

 +



(


()
)
)
55
Buradan
1.
2.





= 
= 



−
 
+
 




operatörlerini yazabiliriz. Bunları kullanarak
 2
 
   
 
=
( ) = [ −
] [  −
(
)]
2

 

  
 
=  2 
 2
1  2   2   2   
+

+
+ 2
+
 2
 
2

2 
  2
yazabiliriz.
Benzer şekilde
 2
 
 2
1   2    2   2   
2
=
(
)
=


−

+
+ 2
−
 2  
 2
 
2

2 
  2
yazabiliriz. Bu iki türev toplanarak,
 2  2
 2 1
 1
 2
2
2
2
2
2
2
+
= (  +  ) 2 + (  +  )
+ (  +  ) 2
 2  2



 2
=
 2  1 
1  2
+
+
 2   2  2
elde edilir.Buradan
 2   2   2  1  2  1 
+
=
+
+
 2  2  2 2  2  
yazılır. Buradan da
 2  1  2  1 
1 2
+
+
=
 2  2  2    2  2
yazılacağı açıktır. Bu denklemi kutupsal koordinatlarda dalga denklemidir.
Çembersel geometride simetri nedeniyle


= 0 olacağından dairesel zarların
titreşimi için
2 
1 

 
+
2
=
1 2 
 2  2
(6.123)
ifadesini yazabiliriz.
56
ÖRNEK-11
T gerilimi altında bir ipin x noktasındaki dx kadarlık bir parçasına enine dy kadar
yer değişme yaptırıldığında dx elemanının herhangi bir andaki kinetik ve
potansiyel enerjisinin
1  2
.  =  =  ( ) 
2 
1  2
.  =  =  ( ) 
2 
ifadeleri ile verildiğini gösteriniz. Burada  ipin birim uzunluğunun kütlesidir.
Çözüm:
dx diferansiyel elemanın kütlesi d =  ve hızı  =


dir. Bu durumda kinetik
1
enerjisinin  =  2 tanımı gereği
2
1
 2 1  2
.  =  =  ( ) =  ( ) 
2

2 
olacağı açıktır.
Potansiyel enerjiyi, göz önüne alınan küçük ip parçasının düzgün olan ilk
konumuna göre deformasyondan sonra boyundaki uzamayı hesaplayarak
yazabiliriz. Bu uzama ile sabit T gerilim kuvvetinin çarpımı deformasyon için
yapılan işi verir. Böylece göz önüne alınan ip parçası için potansiyel enerji
.  = ( − )
olacaktır. Burada ds yay elemanı için
 = ( 2 +  2 )1/2 = (1 + (
 2 1/2
) ) 

Yazabiliriz (Matemetikte bir eğrinin diferansiyel elemanı için bu ifadenin
alındığını biliyorsunuz). Burada binom serisini hatırlarsak
( − 1) 2 ( − 1)( − 2) 3
 +
 +⋯
2!
3!
Eğer x’in değeri küçük ise ilk iki terimle yetinebiliriz, yani
(1 + ) = 1 +  +
(1 + ) ≅ 1 + 
57
alabiliriz. Bu bağıntı kullanılarak
(1 + (
 2 1/2
1 
) ) ≅ 1 + ( )2

2 
yazabiliriz. Bu durumda ds elemanı için
1 
1 
 = [1 + ( )2 ]  =  + ( )2 
2 
2 
elde edilir. Buradan
1  2
 −  = ( ) 
2 
olacağı açıktır. Bunu
 = ( − )
ifadesinde yerine yazarak P.E için
1  2
 =  ( ) 
2 
sonucunu elde ederiz.
Bu sonucu ilerleyen dalgaların taşıdığı enerjinin hesabında kullanacağız. Bu
nedenle dikkatle incelemenizi öneririz.
ÖRNEK-12
Uzunluğu L ve bir ucu kapalı olan boru içindeki havanın titreşim modlarının açısal
frekanslarını hesaplayınız.
Çözüm:
Hava borularında dalga denklemi
 
  

 
=

dir (Ders notlarına bakınız) . Bu denklemi değişkenlerine ayırma yöntemiyle
çözerek




(, ) = (  +  ) ( + )
58
sonucunu elde etmiştik.
Şimdi şekildeki gibi bir ucu (x=0) açık, diğer ucu (x=L) kapalı olan hava borusu
için yukarıdaki çözümü kullanabiliriz.
Sınır koşulları:
1.
(,)

|
=0
= 0 açık uç
2. (, )|= = 0 kapalı uç
1. koşuldan
(, )
|
 =0
= (





−





) ( + )|
=0

=  ( + ) = 0

Buradan a=0 olması gerektiği açıktır. Bu durumda
(, ) = 


( + ) = 


( + b)
Yazabiliriz. Burada bc=E ve bd=F kısaltması yaparak
(, ) = 


( + )
yazabiliriz.
2. koşuldan
(, ) = 


( + ) = 0
Bunun her an geçerli olabilmesi için



=0
olması gerekir. Bu ise


 = (2 − 1)

2
olmasını gerektirir. Buradan titreşim modlarının frekansı için
 = (2 − 1)

2
,
 = 1, 2, 3, …

ifadesini yazabiliriz. Burada  = √ olduğunu tekrar belirtelim.

0
59
ÖRNEK-13
Kütlesi m, uzunluğu L olan bir ip T gerilmesi altında olup her iki ucu iki kaynak ile
sürülmektedir. Kaynakların her ikisi aynı frekans, aynı genlik fakat biri diğerine
göre 180° ’lik faz farkına sahiptir. İpin her iki ucunda da düğüm noktası
olmadığını varsayınız. İpin kararlı hal titreşimlerine uyan mümkün en küçük
frekans () değeri nedir? (French-p6.5)
Çözüm:
İpin sol ucuna uygulanan sürücü kuvvet nedeniyle bu uç
(0, ) = 
ifadesi ile hareket ederse; sağ uç, 180°’lik faz farkı nedeniyle,
(, ) = −
ifadesi tanımlı hareket yapar.
Gerilmiş ipin enine titreşimlerini tanımlayan hareket denklemi
2
1 2
=
 2  2  2
olup, çözümünün ise
(, ) = (


 + 


) ( + )
ifadesi verildiğini biliyorsunuz (Ders notlarına bakınız).
Sınır koşulları:
1. (0, ) = 
2. (, ) = −
kullanılarak
1. (0, ) = b( + ) = 
Buradan c=0 ve bd =A olmalıdır. Bu durumda
(, ) = (


 + 


) ()
veya
(, ) = (


 + 


) 
60
yazabiliriz.
2. sınır koşulundan


(, ) = (  +  )  = −


Buradan


  +   = −


olmalıdır. Bu ifadeden ad değeri için




1 +   
0 +   
2 2  2 
 = −
=−
=−



 
  
  
2 2  2 

 2 
 = −
 
 2 
elde edilir. Bu değer kullanılarak çözüm için

 2 


(, ) =  (−


+

) 



 2 
yazabiliriz .
Bu çözümde her iki uçta düğüm noktasının olmadığını biliyoruz. Bu nedenle
düğüm noktaları uçlar arasında olacaktır. En düşük modda orta nokta düğüm
noktası olur. x=L/2 için yukarıdaki fonksiyonun sıfır olacağını göstermek zor
değildir:

 2 




(/2, ) =  (−
   2 +   2)  =  (− 2  +   2)  = 0
 2 
En düşük modun şekli aşağıdaki gibi olacaktır.
Bu durumda
1
2
=  ⇒ 1 = 2,
61
 = 1 1 = 21 ⇒ 1 =

√/


⇒ 1 =  = 

2

⇒ 1 = 21 = 2


2
=



= √
= √
 /


1 = √

Burada  = / alınmıştır.
ÖRNEK-14
a) T gerilimi altında İki ucundan da bağlı L uzunluğundaki bir ip n’inci
karakteristik titreşim modu ile titreşmektedir. Titreşen ipin toplam enerjisini
bulunuz.
b) Bir ip aşağıdaki ifade ile verildiği gibi normal modların üst üste gelmesi
şeklinde titreşmesi durumunda ipin titreşimin toplam enerjisini hesaplayınız
(, ) = 1 


1  + 3 
3

(3  − /4)
(1)
French-p6.11
Çözüm:
İki ucu bağlı bir ipin n’inci modunun yer değişimi (Başlangıçta ipin düz olduğunu
kabul ediyoruz)
(, ) =  sin


  ,
 = 1,2,3, …
(2)
ifadesi ile verilmektedir (Ders notlarına bakınız). Diferansiyel bir ip elemanının
potansiyel enerjisinin
1
 2
 =  ( ) 
2

ile verildiğini biliyoruz (Örnek-11’e bakınız). (2)’de verilen fonksiyonun
(3)


türevi
alınırsa



= 
cos
 



elde edilir. Bu ifade (3)’de yerine yazılırsa
2
1


 =  (
cos
 ) 
2


62
1
2  2

 = 2 2 cos2
 2  
2


=

1 2 2  2

 2  2   ∫ cos2

2


0

1 2 2  2
1
2
2
 =  2    ∫ (1 + 
)
2


0 2
1 2 2  2

2 =
2
 =  2    | −

|
4

2
 =0
1
2  2
1
2  2
 = 2 2  2   = 2
 2  
4

4

1
2  2
 = 2
 2  
4

Potansiyel enerjinin maksimum değeri  için
 =
2 2  2
4
elde edilir. Potansiyel enerjinin maksimum değeri sistemin toplam enerjisine (E)
eşittir. Bu nedenle
 =  =
2 2  2
4
yazabiliriz.
b) A-şıkkında yapılan işlemler burada da tekrarlanarak
=
12  2 923  2
 2
+
= (12 + 923 )
4
4
4
sonucunu elde etmek zor değildir. Bu işlemleri yapmanızı öneririz.
ÖRNEK-15
T gerilmesine sahip her iki ucu bağlı L uzunluğundaki bir ip orta noktasından h
kadar çekilip serbest bırakılmıştır.
a) Titreşimlerin enerjisi nedir?
63
b) İki ucu bağlı ipin ortasından h kadar çekildiği anda ortaya çıkan görüntü ne
kadar sıklıkla ortaya çıkar (Gerilmenin, enine yer değiştirmelerin neden
olduğu küçük uzunluk artışları ile değişmediğini kabul ediniz)?
French-p6.12
Çözüm:
a) OA doğrusunun denklemi
LA doğrusunundenklemi
=
ℎ
/2
=
2ℎ


(1a)

 = 2ℎ(1 − )
(1b)

olacağını görmek zor değildir (İki noktası bilinen bir doğrunun denklemi)
Sistemin enerjisi = Başlangıçtaki potansiyel enerji
olacaktır. Bu nedenle başlangıçtaki potansiyel enerjiyi hesaplayalım. Potansiyel
enerjiyi, göz önüne alınan ip parçasının düzgün olan ilk konumuna göre
deformasyondan sonra boyundaki uzamayı hesaplayarak yapabiliriz. İpteki T
geriliminin değişmediğini kabul edeceğiz. İpteki uzama ile T geriliminin çarpımı
deformasyon için yapılan işe eşittir. Bu enerji sistemde potansiyel enerji olarak
depolanır. Böylece ip üzerinde göz önüne alınan diferansiyel bir dx elemanının
uzamadan sonraki uzunluğu ds ise diferansiyel elemanın boyundaki değişim için
(ds-dx) yazabiliriz. Bu kadarlık değişim nedeniyle yapılan iş
 = ( − )
olacaktır. Burada ds için
 = √()2 + ()2 = [1 + (
yazabiliriz.
 2 1/2
) ] 

 2 1/2
 = ( − ) =  [[1 + ( ) ] − 1] 

/2
 =∫
 [[1 + (
0
/2
 =∫
0

 2 1/2
 1/2
) ] − 1]  + ∫  [[1 + ( )2 ] − 1] 


/2

 2 1/2
 2 1/2
 [[1 + ( ) ] − 1]  + ∫  [[1 + ( ) ] − 1] 


/2
a) OA doğrusunun denkleminden


=
2ℎ


4ℎ2

2
⇒ ( )2 =
64

b) LA doğrusunun denkleminden

=−
2ℎ

4ℎ2

2
⇒ ( )2 =

olacağı açıktır. Bunlar yukarıdaki integrallerde yerine yazılırsa
/2
 =∫
0
1/2
4ℎ2
 [[1 + 2 ]

1/2

4ℎ2
− 1]  + ∫  [[1 + 2 ]

/2
1/2
4ℎ2
 =  [[1 + 2 ]

/2
− 1] [∫

 + ∫ ]
0
1/2
4ℎ2
 =  [[1 + 2 ]

− 1] 
/2
 
− 1] [ + ]
2 2
1/2
4ℎ2
 =  [[1 + 2 ]

− 1]
elde edilir. Bu enerji sistemin toplam enerjisidir. Çünkü başlangıçta kinetik enerji
yoktur. Enerjinin korunumu nedeniyle toplam enerji sabit kalacaktır. Sonuç olarak
1/2
4ℎ2
 =  [[1 + 2 ]

− 1]
yazabiliriz.
Burada binom serisini hatırlarsak
(1 + ) = 1 +  +
( − 1) 2 ( − 1)( − 2) 3
 +
 +⋯
2!
3!
Eğer x’in değeri küçük ise ilk iki terimle yetinebiliriz, yani
(1 + ) ≅ 1 + 
alınabilir. Bu sonuç kullanılarak
1/2
4ℎ2
[1 + 2 ]

1 4ℎ2
2ℎ2
≅1+
=1+ 2
2 2

yazılır. Bu yaklaşım kullanılarak
1/2
4ℎ2
 =  [[1 + 2 ]

− 1] ≅  [1 +
2ℎ2
2ℎ2
−
1]
=

[ 2]
2

2ℎ2
 ≅

Bu yaklaşık değeri Örnek-10’den faydalanarak da bulabilirsiniz.
b) Tam ortasından h kadar gerilmiş ipin 1. titreşim modunun frekansı için.
65


yazabiliriz (Ders notlarındaki örneğe tekrar bakınız)
1 =
1 =


⇒ 21 =

⇒ 1 =


2
⇒ 1 =
2

=
2
2
√
√/
=


= 2√



1 = 2√

elde edilir. İp birincin periyoduna eşit zaman aralıklarında ilk gerilmiş halinde
gözükecektir.
ÖRNEK-16
Uzunluğu L olan tel iki ucundan T gerilimi altında, şekildeki gibi, bağlıdır. Bu tel
tam ortasından h kadar enine çekiliyor. Tel serbest bırakıldıktan sonra titreşim
hareketi yapıyor.
Şekil-1
a) Şekildeki fonksiyonun Fourier serisini 0 ≤  ≤  aralığında bulunuz.
b) Telin titreşim modlarını belirleyiniz.
Çözüm:
a) Şekil-1’deki fonksiyonu
2ℎ
={

,
0≤≤

2ℎ (1 − ),


2

2
≤≤
(1)
şeklinde yazabiliriz (Örnek-11’e bakınız).
(1) ifadesi ile verilen fonksiyonun 0 ≤  ≤  aralığında Fourier serisini elde
etmek için bu fonksiyonu Şekil-2’deki gibi tamamlayarak [−, ] aralığında
periyodu 2L olan fonksiyon olarak tanımlayabiliriz.
66
Şekil-2
[−, ] kapalı aralığında verilen ve periyodu 2 olan olan () fonksiyonunun
Fourier serisi
() =
0
2
+ ∑∞
=1 ( cos


+  sin


)
(2)
ifadesi ile verilir (Ders notlarına bakınız).
Şekildeki fonksiyonun tek bir fonksiyon olduğu açıktır ( () = −()) . Bu
nedenle 0 = 0 ve n = 0 olacaktır. Bu durumda () için
∞
() = ∑  sin
=1


yazabiliriz. Buradan
1 

2 

 = ∫ () sin
 = ∫ () sin

 −

 0


2 /2 2ℎ



 = [∫
 sin
 + ∫ 2ℎ (1 − ) sin
]
 0




/2

4ℎ /2


 = 2 [∫  sin
 + ∫ ( − ) sin
]
 0


/2


4ℎ /2



 = 2 [∫  sin
 − ∫  sin
 +  ∫ sin
 ]
 0



/2
/2
Bu üç integrali hesaplayıp yerine yazmamız gerekir:
∫  sin


 integrali kısmı integrasyon yöntemi ile hesaplanarak



2

∫  sin
 = −
 cos
+
sin



()2

elde edilir (Buradaki ara işlemleri yapmanızı öneririz). Bu sonuç kullanılarak
/2
1. ∫0
 sin


 = −
2
2
cos

2
+
2
()2
sin

2
67

2. ∫/2  sin


 = −
2

cos  +
2
cos
2

2
−
2
()
sin
2

2
yazılır. Ayrıca

3. ∫/2 sin


 = −


cos  +

cos


2
olduğu açıktır.
Bu üç integral yukarıda yerine yazılarak
4ℎ
2

2
 2
2

 = 2 [−
cos
+
sin
+
cos

−
cos

2
2 ()2
2

2
2
2

2
2

+
sin
+
−
cos

+
cos
]
()2
2


2
 =
4ℎ
22

()
[
2
sin
2

2
]=
8ℎ
()
sin
2

2
−1
2
= (−1)
 = (−1)
−1
2
8ℎ
()2
,  =   
8ℎ
()2
Fourier serisi için
∞
∞
=1
=1
−1 8ℎ


() = ∑  sin
= ∑(−1) 2
sin

()2

yazabiliriz.
b) İki ucundan bağlı gerilmiş telin enine titreşimlerini
 2y
1  2y
=
 2  2  2
Denklemini değişkenlerine ayırma yöntemi ile çözerek


(, ) = [sin  +  ] [ +  ]


elde etmiştik (Ders notlarına bakınız).
 = 0’da (0, ) = 0 olduğundan (bağlı uç)
(0, ) = [][ +  ] = 0
Buradan b=0 olması gerektiği açıktır. Budurumda

(, ) = [sin ] [ +  ]

yazılır.
 = ’da (, ) = 0 olduğundan (bağlı uç)
68
(, ) = [sin

] [ +  ] = 0

Buradan
sin

=0

olmalıdır. Bu ise


 =  ⇒  =


olmayı gerektirir. Buradan

 (, ) = [ sin  ] [  +   ]

 (, ) = [ sin

] [   +    ]

yazabiliriz.
Tel başlangıçta durgun olduğu için
(, )
=0
|

=0
olmalıdır.
(, )

|
= [ sin
] [    −     ]|=0


=0
(, )

|
= [ sin
] [  ]|=0


=0
Bu  = 0 olmayı gerektirir.
 (, ) = [ sin

] [   ]

Burada   =  alarak
 (, ) =  sin

 

yazılır. Genel çözüm ise harmoniklerin üst üste gelmesi (süperpozisyon) ile verilir:
∞
(, ) = ∑  sin
=0

 

Bu ifade
69
∞
∞
=1
=1
−1 8ℎ


() = ∑  sin
= ∑(−1) 2
sin

()2

sonucu kullanılarak
∞
∞
=0
=1
−1 8ℎ


(, ) = ∑  sin
  = ∑(−1) 2
sin
 
2

()

yazılabilir. Bu ifade verilen koşullardaki telin titreşimlerini tanımlar.
Burada
 =
  
√ = 1
=

 
olduğunu hatırlatalım.
Telin ilk dört titreşim modu ( n=1, 3, 5, 7):
(, ) = (−1)
−1
2
8ℎ
()2
sin


  ( n=tek tam sayılar)
ifadesinden
8ℎ

sin
1 
2

8ℎ
3
(, )3 = − 2 sin
31 
9

8ℎ
5
(, )5 =
sin
51 
25 2

8ℎ
7
(, )7 = −
sin
71 
49 2

yazılır (n’nin çift değerleri yasaklanmıştır).
(, )1 =
70
ÖRNEK-17
Uzunluğu L ve kütlesi m olan homojen bir gitar teli şekildeki iki ucundan T
gerilimi altında bağlanmıştır. Aynı şekilde kütleleri m/5 olan 5 adet boncuk eşit
aralıklarla (L/6) kütlesi ihmal edilebilen bir tel üzerindedir. Uzunluğu L olan tel T
gerilimi altında iki ucundan bağlıdır.
a) Sınır koşullarını kullanarak titreşimlerin n’inci mod frekansını veren ifadeyi
türetiniz. Frekansı n, T, L ve m cinsinden ifade ediniz.
b) Enine titreşimlerin ilk beş modunun frekansını yazınız.
c) İlk beş modun sayısal değerlerini, beş adet boncuk bağlanmış sistemin ilk
beş modunun frekansı ile karşılaştırınız.
d) Telin ve boncuklu sistemin ilk beş modunun şeklini çizerek karşılaştırın.
Çözüm:
a) Gerilmiş ipin titreşim hareketleri
2 (,)
 2
=
1 2 (,)
2
 2
denklemi ile tanımlı olduğunu biliyorsunuz. Bu denklemin değişkenlerine ayırma
yöntemi yapılan çözümünün




(, ) = [sin  +  ] [ +  ]
ifadesi ile verildiğini de biliyorsunuz (Ders notlarına bakınız).
İki ucu sabit (bağlı) olan ip için sınır koşulları:
i)  = 0  (0, ) = 0
ii)  =   (, ) = 0
olacağı açıktır.
(i)
koşulundan :
0 = [ +  ]
71
yazabiliriz. Bunun olması için gerek ve yeter koşul  = 0 olmasıdır. Bu durumda
(, ) fonksiyonu için

(, ) = (sin ) ( + )

yazılabilir.
ii) koşulundan :
0 = (sin
yazılabilir.  ≠ 0 olduğuna göre


) (  + )

sin
olmalıdır. Buradan


 = 

veya
 =
=0


,  = 1,2,3, …
veya doğal frekanslar için ise
 =
yazılır.
1⁄
2

Burada  = ( )

=(

/
)
1⁄
2

1⁄
2
=( )

 
 =
( )
2 
1⁄
2

2
olduğu açıktır. Bu değer kullanılarak
1⁄
2
 
= ( )
2 
yazılabilir. Buradan
 = 1
yazılabilir.
b) İlk beş modun frekansları:
1⁄
2
1 
1 = ( )
2 

1⁄
2
2 = ()
= 21
1⁄
2
3 
3 = ( )
2 
1⁄
2

4 = 2 ( )

1⁄
2
5 
5 = ( )
2 
= 31
= 41
= 51
72
c) Daha önce n tane boncuklu sistemin enine titreşimlerini incelemiş ve n’inci
modun frekansı için
 = 20  [

2(+1)
]
ifadesini türetmiştik (5. Bölüm ders notlarına bakınız).
Burada
0 = √


=√

( )( )
5 6

=√
30

olacağı açıktır. Bu ifade yerine yazılarak
1
30


f = √
 [

2(+1)
]
elde edilir.
N=5 olduğundan
f ≅
1 30

√
 [ ]
 
12
yazılabilir. Boncuk sistemin ilk beş modu için aşağıdaki ifadeleri yazabiliriz:
f1 ≅
1 30

√
 [ ]
 
12
f2 ≅
1 30

√
 [ ]
 
6
f3 ≅
1 30

√
 [ ]
 
4
f4 ≅
1 30

√
 [ ]
 
3
f5 ≅
1 30
5
√
 [ ]
 
12
d) Aşağıdaki şekilde gerilmiş gitar teli ve boncuklu sistemin titreşim
modlarının şekilleri verilmiştir. Burada N=5 durumu  ≫ 1 olma durumunu
sağlamadığı için her iki sistemin mod frekansları ve mod şekilleri özdeş
73
değildir.

 = 20  [2(+1)]
bağıntısının  ≫ 1 olma
durumu
için
türetildiğini hatırlayınız.
74
ÖRNEK-18
Bir kuvvet uygulanmamış haldeki uzunluğu 0 olan bir tel alt ucuna bir m kütlesi
asıldığı zaman 10−3 0 kadar uzuyor. Aynı telin uçları A ve B noktalarına
tutturulup telin ortasına aynı m kütlesi şekilde görüldüğü gibi asılıyor. Teldeki
gerilme ve y mesafesi nedir? (French-3.7)
Çözüm:
Young modülü tarifinin
=

 ⁄
=
 ∆⁄0
ifadesi ile verildiğini biliyorsunuz. Buradan F için
∆
=
0
yazabiliriz.
Başlangıçta 0 uzunluğundaki telin ucuna m kütleli bir cisim asıldığında uzama
miktarı için 10−3 0 değeri verilmektedir. Bu değeri ∆1 ile gösterelim.  = 
ve ∆1 = 10−3 0 değerini yukarıda kullanırsa
10−3 0
 =
yazılır. Buradan verilen tele özgü
0
 = 1000
değerini yazabiliriz.
Soruda verilen şeklin simetrisinden faydalanarak aşağıdaki şekli çizebiliriz:
75
Tellerdeki T geriliminin düşey bileşenleri için
 +  = 2
Tellerdeki T geriliminin yatay bileşenleri için
 −  =  −  = 0
yazabiliriz.
Sistem denge durumunda olduğu için
2 =  ⇒  =
yazabiliriz. Burada
=

2
∆
0
ifadesini yeniden kullanalım:
F yerine T ve 0 yerine 0 /2 (telin yarısı) ve telin yarısındaki uzama miktarını da
∆2 alarak

=
∆
0 /2 2

ifadesini yazabiliriz. Burada  =
ve  = 1000 olduğunu kullanarak
2

1000
=
∆2
0 /2
2
yazılır. Buradan
∆2 =
0
4000
elde edilir.
Bu durumda şekildeki dik üçgenlerin CA =CB hipotenüsleri için ∆2 uzaması
dikkate alınarak
0
0
 = +
2 4000
yazılır. Pisagor bağıntısı kullanılarak

0
2
4000
2 = ( 0 +

2

0
2
4000
)2 − ( 0 ) = ( 0 +
2


0
2
2
4000
− 0)( 0 +

+ 0)
2
0
0
02
1
 =
(1 +
)
(0 +
)=
4000
4000
4000
4000
2
yazılır. Burada parantez içindeki ikinci terimin birden çok küçük olacağı açıktır.
Bu durumda
76
02
 ≅
4000
2
yazılır. Buradan y için
=
yazılır. Şekildeki dik üçgenlerden
 ≅
0
2√1000

0
2
⇒ ≅
0
2

yazılır. Küçük açı yaklaşımında  ≅  alınabildiğinden
0
 ≅ 
2
yazılır. Buradan
0

1
= 0  ⇒
= 
2√1000
2
Yazılacağı açıktır. Bu ifadeden
3  =
√1000
1
1000
⇒  =
1
10

değeri elde edilir. Bu değer yukarıda elde ettiğimiz  =
ifadesinde
2
kullanılarak teldeki T gerilimi için



=
=
=
= 5
1
2 2 1
10
5
sonucu elde edilir.
 =
1
10
değeri  ≅
0
2
 ifadesinde kullanılarak şekildeki y değeri için ise
0
0 1
0
 ≅  =
=
2
2 10 20
elde edilir.
Sonuç olarak  ≅ 5 ve  ≅
0
20
yazılabilir.
77
Download

BÖLÜM-6 6.1 SÜREKLİ SİSTEMLERİN NORMAL MODLARI VE