Trougao
Bilo koje tri nekolinearne tačke određuju tacno jednu zatvorenu izlomljenu liniju.
Trougaona linija je zatvorena izlomljena linija određena sa tri nekolinearne tačke.
Trougao je geometrijski objekat koga čine trougaona linija i njena unutrašnjost.
Trougao koji određuju nekolinearne tačke , ,
ce“).
Tačke , i
Duži
,
Uglovi △
su temena △
i
, ∢
(čitamo: „trougao a be
.
su stranice △
su ∢
obeležavamo sa △
.
i∢
.
Ove uglove često i nazivamo i unutrašnji uglovi trougla.
Uobičajeno obeležavanje stranica △
je da se:
- stranica
označava sa
(jer se nalazi naspram temena );
-stranica
označava sa
(jer se nalazi naspram temena );
-stranica
označava sa
(jer se nalazi naspram temena ).
Uobičajeno obeležavanje uglova △
-
∢
∢
∢
označava sa
označava sa
označava sa
(tačka
(tačka
(tačka
je da se:
je teme ugla );
je teme ugla );
je teme ugla );
Vrste trouglova u zavisnosti od jednakosti stranica
Trougao čije su dve stranice jednake naziva se jednakokraki trougao. Jednake stranice nazivaju
se kraci trougla, a treća stranica osnovica tog trougla. Teme naspram osnovice nekog
jednokrakog trougla naziva se vrh.
Krake jednakokrakog trougla označavamo sa istim malim slovom letinice.
b – krak
a - osnovica
Trougao cije su sve stranice jednake naziva se
jednakostraničan trougao.
Zbir uglova trougla
Zbir uglova bilo kog trougla jednak je
Neka je △
°.
proizvoljan trougao.
Postoji jedinstvena prava koja sadrži tačku i paralelna je sa pravom određenom tackama i .
Označimo sa i proizvoljne tačke prave takve da je − − ( je iymeđu i ). Tada je
∢
= i∢
= , jer je ∥
. Kako je ∢
+∢
+∢
= 180°, zaključujemo da je
+ + = 180°.
Vrste trouglova u zavisnosti od veličine uglova
Istaknimo dve jednostavne, ali značajne posledice tvrđenja o zbiru uglova u trouglu.
Trougao može imati najviše jedan prav ugao.
Ako bi trougao imao dva prava ulga, tada bi zbir
svih njegovih uglova bio veći od 180°, što je nemoguće.
Na potpuno isti naćin dolazimo i do sledećeg zaključka.
Trougao može imati najviše jedan tup ugao.
Dakle, u svakom trouglu bar dva ugla su oštra, a treći ugao može biti oštar, prav ili tup.
Trougao je oštrougli ako su sva tri njegova ugla oštra.
Trougao je pravougli ako je jedan njegov
ugao prav (i, naravno, ostala dva ugla oštra).
Stranica pravog trougla koja se nalazi naspram
pravog ugla naziva se hipotenuza. Stranice pravog
trougla koje se nalaze naspram oštrih uglova nazivaju
se katete.
Trougao je tupougli ako je jedan njegov ugao tup
(i, naravno, ostala dva ugla oštra).
Spoljašnji uglovi trougla
Spoljšnji ugao trougla je ugao uporedan sa nekim od uglova tog trougla.
Pošto svakom uglu trougla
odgovaraju dva uporedna ugla,
biramo jedan od njih. Na slici
desno od
, ,
redom su označeni
spoljašnji uglovi △
koji su
uporedni uglovima , ,
ovog trougla.
Kako je +
= 180°, +
su tačne i sledeće jednakosti:
= 180°, +
= 180° i
= 180° −
=
+ ,
= 180° −
=
+
= 180° −
=
+
+
+
= 180°, zaključujemo da
Spoljašnji ugao trougla jednak je zbiru dva njemu nesusedna ugla tog trougla.
Do istog zaključka dolazimo na sledeči način.
=
Evo kako možemo pokazati da je
je
poluprava paralelna sa
produžetku stranice
i
takva da je
+ . Neka
tačka na
−
− .
, tj. ∢
Spoljašnji ugao
Kako je ∢
sledi da je
=
=
i∢
, jednak je zbiru ∢
i∢
.
= ,
+ .
°.
Zbir sva tri spoljašnja ugla u proizvoljnom trouglu jednak je
Uglovi trougla
Uglovi na osnovici jednakokrakog trougla su jednaki.
Svi uglovi jednakostraničnog trougla su jednaki
°.
U jednakokrako-pravouglom trouglu oštri uglovi su jednaki
°.
Naspram jednakih stranica nekog trougla nalaze se jednaki uglovi. Važi i obrnuto.
Naspram veće stranice trougla nalazi se veći ugao.
Zašto je predhodno tvrđenje tačno za bilo koji trougao? Drugim rečima, možemo li doći do ovog
zaključka bez merenja, već korišćenjem poznatih geometrijskih osobina? Naravno, odgovor je
potvrdan i evo kako to radimo.
Ako je △
>
proizvoljan trougao takav da je
=
da je
∢
=∢
i
postoji tačka
, tada na stranici
. Tada je △
takva
jednakokrak, pa je
. Uporedimo ova dva ugla sa uglovima
datog trougla; ∢
=
i∢
> .
Nejednakost sledi iz činjenice da je ∢
spoljašnji ugao △
Dakle,
<∢
čiji je jedan ugao jednak .
=∢
= , to jest
< .
Naspram većeg ugla trougla nalazi se veća stranica.
Osnovne nejednakosti za stranice trougla
Svaka stranica trougla manja je od zbira druge dve stranice, a veća od njihove razlike.
a−b <
<
+
− <
<
+
− <
<
+
Značajne tačke trougla
Opisana kružnica
Simetrale sve tri stranice trougla seku se u jednoj tački.
Tačka u kojoj se seku simetrale stranica trougla podjednako je udaljena od svakog temena tog
trougla.
Sva tri temena nekog trougla pripadaju jednoj kružnici čiji je centar presek simetrala
stranica tog trougla.
Kružnica kojoj pripadaju sva tri temena trougla (čiji je centar presek simetrala njegovih
stranica) naziva se OPISANA KRUŽNICA tog trougla.
Ako je trougao oštrougli, centar njegove opisane kružnice pripada unutrašnjosti tog
trougla. Ako je trougao tupougli, tada je centar njegove opisane kružnice u spoljašnjoj
oblasti tog trougla.
Središte hipotenuze je centar opisane kružnice pravouglog trougla.
Upisana kružnica
Simetrale sva tri ugla trougla seku se u jednoj tački.
Tačka u kojoj se seku simetrale uglova trougla podjednako je udaljena od svih stranica tog
trougla.
Kružnica čiji je centar presek simetrala uglova tog trougla dodiruje sve stranice tog
trougla.
Kružnica koja dodiruje sve tri stranice trougla (čiji je centar presek simetrala njegovih
uglova) naziva se UPISANA KRUŽNICA tog trougla.
Centar upisane kružnice bilo kog trougla pripada unutrašnjosti tog trougla.
Ortocentar
Visina trougla ( , , ) je duž čija je jedna krajnja tačka teme tog trougla, a druga
podnožje normale iz tog temena na pravu na kojoj se nalazi naspramna stranica.
ORTOCENTAR trougla je tačka u kojoj se seku sve tri prave određene visinama tog
trougla.
U zavisnosti od vrste trougla ortocentar trougla se može nalaziti na različitim mestima.
Kod oštrouglog trougla ortocentar se nalazi u njegovoj unutrašnjosti.
Kod pravouglog trougla ortocentar se nalazi u temenu pravog ugla.
Kod tupouglog trougla ortocentar pripada spoljašnjosti tog trougla.
Težište
Težišna duž trougla je duž čija je jedna krajnja tačka teme tog trougla, a druga srediste
naspramne stranice.
Svaki trougao ima tri težišne duži.
TEŽIŠTE trougla je tačka u kojoj se seku sve tri težišne duži tog trougla.
Težište trougla uvek pripada njegovoj unutrašnjosti.
Download

Trougao - WordPress.com