Površina geometrijskih figura u ravni
Zadatak 1. Izračunati površinu i visine trougla čije su stranice a  13, b  14, c  15.
Zadatak 2. Stranice trougla su a  10, b  17, c  21. Izračunati površinu trougla, poluprečnik
opisanog i upisanog kruga tog trougla.
Zadatak 3. Zbir dve stranice trougla je 15, a visina koje njima odgovaraju su 4 i 6. Izračunati
površinu trougla.
Zadatak 4. Izračunati obim i površinu jednakokrakog trougla ako je:
a dužina kraka b  15 a dužina visine koja odgovara osnovici, h a  9
b Dužina kraka b  15, a visina koja odgovara kraku dužine h b  12.
Zadatak 5. Izračunati visinu koja odgovara osnovici jednakokrakog trougla čiji je obim 32, a
osnovica 12.
Zadatak 6. Dužine dve stranice trougla su 26 i 30, a visina koja odgovara trećoj je dužine 24.
Odrediti dužinu treće stranice i površinu trougla.
Zadatak 7. U jednom trouglu dužina stranice c je 28, a njoj odgovarajuća visina i težišna linija su
h c  12, t c  13. Izračunati dužine stranica a i b tog trougla.
Zadatak 8. Izračunati površinu trougla ako su date dve stranice a  39, b  25 i težišna linija koja
odgovara trećoj stranici t c  28.
Zadatak 9. Iztačunati obim i površinu jednakokrakog trougla dužine osnovne ivice a i ugla na
osnovici , ako je
a a  4 3 ,   30 0
b a  10,   45 0
Zadatak 10. Kog jednakokrakog trougla osnovice a  8, kraci zahvataju ugao od 120 0 . Odrediti
visinu koja odgovara kraku.
Zadatak 11. Izračunati obim i površinu jednakostraničnog trougla ako je njegova visina h  4 3 .
Zadatak 12. Izračunati stranicu i visinu jednakostraničnog trougla površine 16 3 .
Zadatak 13. Površina jednakostraničnog trougla je 3 3 . Odrediti poluprečnik upisanog i
opisanog kruga tog trougla.
Zadatak 14. Izračunati površinu pravouglog trougla čija je jedna kateta a  9 i hipotenuza
c  15.
Zadatak 15. Katete pravouglog trougla su 6 i 8. Izračunati visinu koja odgovara hipotenuzi.
Zadatak 16. Katete pravouglog trougla odnose se kao 3 : 4, a njegova površina je 54. Izračunati
obim trougla.
Zadatak 17. Izračunati površinu trougla čije su stranice c  8, b  4, i ugao   60 0 .
Zadatak 18. Izračunati površinu trougla u kome je :
a a  13, b  15,   60 0
b a  13, c  15 3 ,   30 0 .
Zadatak 19. Izračunati površinu trougla ako je:
a a  b  5, c  7,   60 0
b b  a  1, c  13,   120 0 .
Zadatak 20. Izračunati obim i površinu kvadrata dijagonale 3 2 .
Zadatak 21. Izračunati dijagonalu kvadrata čija je površina 20.
Zadatak 22. Izračunati površinu pravougaonika čija je stranica a  5, a dijagonala d  13.
Zadatak 23. Izračunati dijagonalu pravougaonika čiji je obim 28, a jedna stranica za 2 duža od
druge.
Zadatak 24. Kvadrat i jednakostranični trougao imaju jednake obime. Površina trougla je 9 3 .
Izračunati dijagonalu kvadrata.
Zadatak 25. Stranice paralelograma su a  5, b  7, a površina 70. Izračunati visine koje
odgovaraju stranicama a i b.
Zadatak 26. Stranice paralelograma su a  6, b  8, a ugao između njih   30 0 . Izračunati
površinu paralelograma.
Zadatak 27. Izračunati površinu paralelograma čije su stranice a  9, b  10, i dijagonala
d  17.
Zadatak 28. Izračunati površinu i poluprečnik upisanog kruga romba, ako je:
a d 1  24, d 2  10
b h  24, d 1  40
Zadatak 29. Izračunati dijagonale romba ako je:
a P  480, a  26
b P  384, r  9, 6
Zadatak 30. Izračunati površinu romba ako je:
a stranica a  26, oštar ugao   45 0
b visina h  3 3 , oštar ugao   60 0
Zadatak 31. Izračunati površinu trapeza čije su osnovice a i b, a kraci c i d, ako je
a a  70, 5, b  18, 5, c  53, d  51
b a  14, b  4, c  17, d  9
Zadatak 32. Dijagonala jednakokrakog trapeza je d  10 i sa dužom osnovicom gradi ugao od
45 0 . Izračunati površinu trapeza.
Zadatak 33. Izračunati površinu jednakokrakog trapeza čije su osnovice a i b i krak c, ako je:
a a  22, b  12, c  13
b a  20, b  10, c  13
Zadatak 34. Zbir osnovica jednakokrakog trapeza je 52 a razlika 12. Izračunati površinu trapeza
ako je dužina kraka 10.
Zadatak 35. U jednakokrakom trapezu dijagonala d  10 je normalna na krak c  6. Izračunati
površinu trapeza.
Zadatak 36. Odrediti obim i površinu jednakokrakog trapeza ako je dužina kraka 15, kraće
osnovice 7, a visine 9.
Zadatak 37. Jednakokraki trapez osnovica 8 i 2 opisan je oko kružnice. Izračunati površinu
trapeza.
Zadatak 38. U trouglu upisan je krug poluprečnika r  4. Jedna stranica dodirnom tačkom
podeljena je na odsečke dužine 6 i 8. Izračunati druge dve stranice i površinu trougla.
Zadatak 39. Oko kruga poluprečnika r  1, 5 opisan je jednakokraki trapez površine 15.
Izračunati osnovice ovog trapeza.
Zadatak 40. Neka su a i b (ab) osnovice, c i h (ch) kraci, d 1 , d 2 d 1  d 2  dijagonale
pravouglog trapeza. Izračunati površinu ovog trapeza ako je:
a a  23, b  13, c  26
b a  28, c  29, h  21
c a  9, c  13, d 2  15
d c  17, h  15, d 1  39
Rešenja:
Zadatak 1. Primenom Heronovog obrasca dobijamo P84, a zatim na osnovu formula
P  ah2 a  bh2 b  ch2 c , h a  12.92, h b  12, h c  11.2
Zadatak 2. Primenom Heronovog obracsa dobijamo P84. Na osnovu formule
P  rs  r  3.5, a na osnovu formule P  abc
 R  10.625
4R
Zadatak 3. P18
Zadatak 4. a Na osnovu formule  a2  2  b 2  h 2a dobijamo a  24. O  54, P  108
b P  bh2 b  90. Na osnovu Heronovog obrasca imamo P  s  as  bs  b .
Rešavajući poslednju jednačinu dobijamo a  12 5  a  6 5 , odnosno
O  62 5  5  O  6 5  5
Zadatak 5. Krak b  10, visina koja odgovara osnovici h a  8
Zadatak 6. P  336 (slika ispod levo)
Zadatak 7. b  15, a 
Zadatak 8. P  420
505 (slika iznad desno)
Zadatak 9. aP  4 3 , bP  25
Zadatak 10. Visina koja odgovara osnovici je h a  4 33 , krak b  8 33 , površina trougla
P  163 3 , visina koja odgovara kraku h b  4
Zadatak 11. a  8, P  16 3 , O  24
Zadatak 12. a  8, h  4 3
Zadatak 13. a  2 3 , r  a 63  1, R  a 33  2
Zadatak 14. b  12, P  54
Zadatak 15. c  10, P  24, h c  4.8
Zadatak 16. a  9, b  12, c  15, O  36
Zadatak 17. P  bc sin
8 3
2
Zadatak 18. a Na osnovu kosinusne teoreme dobijamo c  8 ili c  7. Za c  8 dobijamo
P  bc sin
 30 3 , a za c  7, P  1054 3
2
b Na osnovu kosinusne teoreme dobijamo b  23 ili b  22. Za c  23 dobijamo
bc sin
P  2  3454 3 , a za b  22, P  1652 3
Zadatak 19. a Na osnovu kosinusne teoreme dobijamo b  3, pa je P  6 3
b Na osnovu kosinusne teoreme dobijamo a  7, pa je P  14 3
Zadaatk 20. a  3, P  9, O  12
Zadatak 21. d  2 10
Zadatak 22. P  60
Zadatak 23. Stranice su 6 i 8, a dijagonala 10
Zadatak 24. Stranica trougla je 6, obim 18, stranica kvadrata 92 , a njegova dijagonala 9 22
Zadatak 25. h a  14, h b  10
Zadatak 26. Površina paralelograma je dva puta veća od površine trougla određenog stranicama a
i b i dijagonalom paralelograma. Površina trougla je jednaka P  ab sin
 12, pa je površina
2
paralelograma P  24.
Zadatak 27. Površina paralelograma je dva puta veća od površine trougla određenog stranicama a
i b i dijagonalom paralelograma. Na osnovu Heronovog obrasca površina trougla je 36, pa je
površina paralelograma P  72.
Zadatak 28. a P  120, h  120
, r  h2  60
,
13
13
2
2
d1d2
40d 2
b P  2  ah  2  24a  d 2  6a5 , kako je a 2  d21
 d22 iz
poslednje jednakosti dobijamo a  25. Dakle P  ah  600
2
2
Zadatak 29. a Iz P  d 12d 2 dobijamo d 1  960
, a kako je a 2  d21
 d22
poslednja
d2
4
2
jednakost postaje d 2  270d 2  921600  0, a rešavanjem poslednje jednačine dobijamo
d 2  20  d 2  48. Za d 2  20 dobijamo d 1  48, a za d 2  48, dobijamo d 1  20.
b r  h2  h  19.2, P  ah  a  20, pa slično prethodnom dobijamo
d 2  32  d 2  24. Za d 2  32 dobijamo d 1  24, a za d 2  24, dobijamo d 1  32.
Zadatak 30. a Površina romba je dva puta veća od površine trougla određenog stranicama a i b i
dijagonalom romba. Površina trougla je jednaka P  aa sin
 676 2 , pa je površina
2
paralelograma P  1352 2 .
b sin 60 0  ha  a  6, P  ah  18 3
Zadatak 31. a
s  abcd
, P 1  ss  cs  ds  a  b  1170, h  45, P  2002.5, bP 1  36, h  7.2
2
(slika ispod levo)
Zadatak 32. Trougao AEC je jednakokrako-pravougli, gde je  CAE  EAC  45 0 , pa je
AE  ab
 h  CE, odakle dobijamo h 2  h 2  d 2 , odnosno h  5 2 . P  50. (slika iznad
2
desno)
2
Zadatak 33. a h 2  c 2  ab
 h  12, P  204, bh  12, P  180
2
Zadatak 34. h  8, P  208
2
2
Zadatak 35. c 2  d 2  a 2  a  10. Kako je h 2  d 2  ab
i h 2  c 2  ab
2
2
izjednačavanjem desnih strana prethodnih jednakosti dobijamo b  2.8, pa je h  4.8 i P  30.72
Zadatak 36. a  31, O  68, P  171
Zadatak 37. Primenjujući teoremu o tengentnim dužima dobijamo c  a2  b2  5, pa je
h  4, P  20
Zadatak 38. Na osnovu teoreme o tangentnim dužima stranice trougla su
a  14, b  x  6, c  x  8 (videti sliku iznad zadatka 36. desno). Na osnovu formule P  rs
sledi P  414  x, a na osnovu heronovog obrasca P  4814  xx . Izjednačavanjem
formula za površinu trougla dobijamo x  7. Dakle a  15, b  13, P  84.
Zadatak 39. Primeniti teoremu o tangentnim dužima. Osnovice su 9 i 1.
Zadatak 40. aP  432, bP  378, cP  78, dP  600
Download

planimetrija – zadaci