Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display.
BÖLÜM 7
Adi Diferansiyel Denklemlerin
Sayısal Çözümü
Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display.
Bölüm 7: Adi Diferansiyel Denklemlerin Çözümü
Runge-Kutta Yöntemleri
Euler Yöntemi
Heun Yöntemi
2. Dereceden Runge-Kutta Yöntemi
3. Dereceden Runge-Kutta Yöntemi
4. Dereceden Runge-Kutta Yöntemi
Sınır Değer Problemleri
Sonlu Farklar Yöntemi
Giriş
Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display.
Diferansiyel Denklem : Bilinmeyenin hem kendisini hem de türevini içeren denklemlere diferansiyel
denklemler adı verilir.
Adi Diferansiyel Denklem: Diferansiyel denklem yalnızca tek bir bağımsız değişkene görev türevler içeriyor
ise bu tür diferansiyel denklemlere “adi diferansiyel denklemler” adı verilir.
Ordinary Differential Equations (ODE)
FU = -cv
FD= mg
Fig PT7.4
Giriş
Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display.
Yukarıdaki gibi verilen denklem aşağıdaki
diferansiyel
denklemin
gösterdiği
eğrilerden sadece birisidir.
İntegralinin sonucu aşağıda gibi bir eğri
ailesini gösterir.
Bu durumda tek bir eğrinin belirli olması için C integral sabitinin hesaplanabileceği koşulların
verilmesi gerekir.
Fig 25.1
Runge-Kutta
Yöntemleri: Euler Yöntemi
Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display.
yi+1
yi
Fig 25.2
Runge-Kutta
Yöntemleri: Euler Yöntemi
Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display.
Örnek 7.1
denklemini, adım büyüklüğü h = 0.5 alarak x = 0 dan x = 4’ e
kadar çözünüz. Başlangıç koşulu: x = 0 için y = 1 [y (0) =1]
Fig 25.2
Runge-Kutta
Yöntemleri: Heun Yöntemi
Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display.
Bu yöntemde, Euler metodundaki i.
noktadaki türev yerine i. ve (i+1). noktadaki
türevlerin aritmetik ortalaması alınır.
Deneme denklemi: Ara tahmin
Düzeltme Denklemi: Asıl tahmin
Runge-Kutta Yöntemleri: Heun Yöntemi
Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display.
Heun Yönteminde uygulanan düzeltme adımının grafik
gösterimi
Runge-Kutta Yöntemleri: Heun Yöntemi
Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display.
Örnek 7.2
denklemini, adım büyüklüğü h = 1 alarak x = 0 dan x = 4’ e kadar
çözünüz. Başlangıç koşulu: x = 0 için y = 2 [y (0) =2]
Deneme denklemi: Ara tahmin
Düzeltme Denklemi: Asıl tahmin
Runge-Kutta Yöntemleri: Heun Yöntemi
Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display.
Örnek 7.3
denklemini, adım büyüklüğü h = 0.5 alarak x = 0 dan x = 4’ e
kadar çözünüz. Başlangıç koşulu: x = 0 için y = 1 [y (0) =1]
Deneme denklemi:
Ara tahmin
Runge-Kutta Yöntemleri: Runge-Kutta Yöntemi
Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display.
Runge-Kutta yöntemi, Taylor serileri ile yaklaşımdaki hassasiyeti, yüksek mertebeden
türevlere ihtiyaç duymadan yakalayabildiğinden, yüksek hassasiyetin arandığı durumlarda
tercih edilir. Runge-Kutta metodu aşağıdaki formda yazılabilir.
artım fonksiyonu: söz konusu aralıktaki eğimi gösterir
Runge-Kutta Yöntemleri: 2. Derece Runge-Kutta
Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display.
artım fonksiyonu: söz konusu aralıktaki eğimi gösterir
Dikkat edilirse, 4 bilinmeyen (a1, a2, p1, q11) var ancak 3 denklem
bulunmaktadır. Bu nedenle bir bilinmeyenin değerini varsayıp
diğer üç bilinmeyeni hesaplamak zorundayız. Başlangıçta, a2 için
bir değer
alınarak yandaki denklemler eş zamanlı olarak
çözülebilir.
a2= herhangi
bir değer
Runge-Kutta Yöntemleri: 2. Derece Runge-Kutta
Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display.
Runge-Kutta Yöntemleri: 2. Derece Runge-Kutta
Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display.
Örnek 7.4
denklemini, adım büyüklüğü h = 0.5 alarak x = 0 dan x = 4’ e
kadar,
a) Orta nokta yöntemini,
b) Raltson yöntemini kullanarak çözünüz.
Başlangıç koşulu: x = 0 için y = 1 [y (0) =1]
Runge-Kutta Yöntemleri: 3. ve 4. Derece Runge-Kutta
Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display.
Runge-Kutta Yöntemleri: 3. ve 4. Derece Runge-Kutta
Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display.
Örnek 7.5 (Ödev)
denklemini, adım büyüklüğü h = 0.5 alarak x = 0 dan x = 4’ e
kadar,
a) 3. Derece Runge Kutta Yöntemini,
b) 4. Derece Runge Kutta Yöntemini
kullanarak çözünüz. Başlangıç koşulu: x = 0 için y = 1 [y (0) =1]
Runge-Kutta Yöntemleri: 3. ve 4. Derece Runge-Kutta
Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display.
Örnek 7.6
denklemini, adım büyüklüğü h = 0.5 alarak x = 0 dan x = 0.5’ e kadar
4. derece Runge-Kutta yöntemi ile çözünüz. Başlangıç koşulu: x = 0 için y = 2 [y (0) =2]
Sınır Değer Problemleri
Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display.
 Bir adi diferansiyel denklem, denklemi
çözerken ortaya çıkan integral sabitini
hesaplamak için yardımcı koşullar (başlangıç
veya sınır koşulları) ile verilmek zorundadır.
 Bu koşullar bağımsız değişkenin aynı değerleri
için tanımlanmışsa, bu tür problemlere
başlangıç değer problemi adı verilir.
 Koşullar bağımsız değişkenin tek bir noktasında
değilde sistemin sınırlarında tanımlanmış ise bu
tür problemlere sınır değer problemleri adı
verilir.
Sınır Değer Problemleri: Sonlu Fark Yaklaşımı
Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display.
Bu yöntemde, türevler yerine sonlu fark ifadeleri konur. Bu yöntem aşağıdaki örnek
üzerinde açıklanabilir.
Örnek 7.7
Uzunluğu boyunca izole edilmemiş ve sürekli rejimdeki ince ve uzun bir çubuktaki sıcaklık
dağılımı aşağıdaki denklemle verilir. Çubuk boyunca sıcaklık dağılımını sonlu faklar
yaklaşımı ile belirleyiniz.
Burada h′ ısı transferi katsayısıdır ve çevreye giden ısı oranını karakterize eder. Ta etraftaki
havanın sıcaklığı.
Sınır Değer Problemleri: Sonlu Fark Yaklaşımı
Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display.
Örnek 7.7 (Devamı)
ikinci türev için sonlu fark ifadesi
Δx = 2
x0 = 0
x1 = 2
T0 (0) = 40 oC
T1
x2 = 4
T2
x3 = 6
x4 = 8
T3
T4
x5 = 10m
T5 (10) = 200 oC
−T0 + (2 + h′Δx 2 )T1 − T2 = h′Δx 2Ta
−T1 + (2 + h′Δx 2 )T2 − T3 = h′Δx 2Ta
−T2 + (2 + h′Δx 2 )T3 − T4 = h′Δx 2Ta
−T3 + (2 + h′Δx 2 )T4 − T5 = h′Δx 2Ta
h′Δx 2 = 0.01* 22 = 0.04
2.04T1 − T2 = 0.04 ∗ 20 + 40 = 40,8
−T1 + 2.04T2 − T3 = 0.8
−T2 + 2.04T3 − T4 = 0.8
−T3 + 2.04T4 = 200.8
Bu denklemleri aşağıdaki gibi düzenliyebiliriz.
0
0 ⎤ ⎧T1 ⎫ ⎧ 40.8 ⎫
⎡ 2.04 −1
⎢ −1 2.04 −1
0 ⎥⎥ ⎪⎪T2 ⎪⎪ ⎪⎪ 0.8 ⎪⎪
⎢
⎨ ⎬=⎨
⎬
⎢ 0
−1 2.04 −1 ⎥ ⎪T3 ⎪ ⎪ 0.8 ⎪
⎢
⎥
−1 2.04 ⎦ ⎪⎩T4 ⎪⎭ ⎩⎪200.8⎭⎪
0
⎣ 0
Bu denklem sisteminin çözümünden
⎧T1 ⎫ ⎧ 65.9698 ⎫
⎪T ⎪ ⎪ 93.7785 ⎪
⎪ 2⎪ ⎪
⎪
⎨ ⎬=⎨
⎬
⎪T3 ⎪ ⎪124.5382 ⎪
⎪⎩T4 ⎪⎭ ⎪⎩159.4795 ⎪⎭
elde edilir.
84
Download

Bölüm 7: Adi Diferansiyel Denklemlerin Çözümü