Signals and Systems
Using MATLAB
Luis F. Chaparro
Bölüm 1 --- Sürekli-Zaman
Sinyalleri
Bölüm İçeriği?
Zamana bağlı sinyalleri sınıflandırılması
Sürekli zamanlı sinyaller
Temel işlemler-- çift ve tek sinyaller
Periyodik sinyaller
Sonlu enerjili, sonlu güçlü sinyaller
Sinyallerin temel sinyaller yardımı ile ifade edilmesi
3
Zamana Bağlı Sinyallerin Sınıflandırılması
• Önceden bilinebilirlik: Rastlantısal yada deterministik
• Zamanla değişim yada genlik: Sürekli zamanlı, ayrık
zamanlı, sayısal
• Enerji: Sonlu yada sonsuz enerji
• Tekrarlanan davranış: Periyodik yada periyodik olmayan
• Orjin’e göre olan simetri: Çift yada tek
• Tanım: Sonlu yada sonsuz yani tanım bölgesi dışında sinyal
devamlı 0 olur.
4
Analogtan Sayısala ve Sayısal’dan Analog’a Dönüşüm
• Analog Sayısal Dönüştürücü (ADC) : Analog sinyali sayısala
çevirir.
• Sayısal Analog Çevirici (DAC) : Sayısal sinyali analog sinyale
çeivirir.
Şekil 1. Zamanda ve genlikte analog sinyalin ayrıştırılması. Parametreler
örnekleme peiryodu  ve kuantalama seviyesi Δ. Zamanda örnekler eşit
aralıklarda { } alınır. Genlik seviyeleri sonlu sayıda seviyeye bölünür.
Her örnek yaklaştığı seviyenin değerinde kabul edilir.
5
Şekil 2. Üstte gösterilen ses sinyali örneklenip kuantalnmaktadır. Altta soldaki şekilde sürekli
çizgiler sesi ve dikey çizgiler  = 10−3  ile örneklenmiş sinyali göstermektedir. Altta sağdaki
şekil ise örneklenip kuantalanmış sinyali göstermektedir. Örneklenmiş sinyal ile örneklendikten
sonra kuantalanmış sinyal arasındaki fark yani kuantalama hatası sağ altta gösterilmektedir.
6
Sürekli Zamanlı Sinyaller
• Sürekli zamanlı bir sinyal:
 . : ℛ → ℛ()

()
Bağımsız değişken zaman ’dir.
(0 ) gerçel yada karmaşık değer alır.
 ve () sürekli değişir eğer gerekirse −∞ dan ∞’a değer alır.
7
Temel Sinyal İşlemleri
• Sinyal Toplama:   =   + ()
• Sabitle çarpma:   = ()
• Zaman yada Frekans Kaydırma:
 ()  kadar gecikirse ( − )
 ()  kadar ötelnirse ( + )
 () frekansta kaydırılırsa    Ω0
• Zamanda Ölçekleme: ()
  = −1 ise (−) ters dönmüştür yada yansımıştır.
  ≠ 1 ise sinyal sıkışmış yada genişlemiştir.
 Zamanda Pencereleme:   =   (), pencere sinyali ()
8
Şekil 3. Temel sinyal işlemlerinin diyagramları: (a) toplayıcı, (b) sabitle çarpıcı, (c) gecikme ve
(d) zaman pencerelemesi yada modülasyon
9
Örnek: Bir analog darbeyi göz önüne alalım.
  − 2 , ( + 2) ve (−)’yi bulunuz.
Çözüm:
 0 , ()’de  = 0’da ( − 2)’de  = 2’de oluşur yani sinyal sağa 2 birim kaymıştır.
 0 , ( + 2)’de  = −2’de oluşur yani sinyal sola 2 birim kaymıştır.
Orijinal sinyalin yansımış halidir (1)  = −1’de görülür.
10
Örnek: (− + 2) ile ()’yi (yukarıdaki örnekteki) karşılaştırın.
Çözüm
(− + 2) yansımıştır ancak 2 birim gecikmiş mi yoksa ötelenmiş midir?
Yani (− + 2) yansımış ve 2 birim gecikmiştir.
11
Çift ve Tek Sinyaller
Çift ve Tek sinyaller aşağıdaki gibi tanımlanmaktadır.
Çift
Tek
Çift ve Tek Sinyallere Ayrıştırma: Herhangi bir () sinyali bir çift  () ve bir tek  ()
bileşenin toplamı biçiminde yazılabilir.
12
Örnek: Aşağıdaki sinyali göz önüne alalım.
• Hangi  değeri ()’yi çift yada tek yapar?
•  = /4 değeri için ()’yi çift midir tek midir?
Çözüm
Yansıma
ise
çifttir
ise
ise çift
tektir
ise
ise tek
Ne tektir ne de çift
13
Örnek: Aşağıdaki sinyali göz önüne alalım.
• Tek ve çift bileşenlerini bulunuz.
• Eğer (0) 0 yerine 2 olsaydı ne olurdu.
Çözüm:
Ne tek ne de çifttir çünkü
Bunlar toplanınca () elde edilir.
 0 = 2 için
Tek bileşen aynı çift bileşen ise  = 0’da
süreksizliğe sahip.
14
Periyodik ve Periyodik Olmayan Sinyaller
Analog bir () sinyali aşağıdaki özelliği sağlarsa periyodiktir.
• ’nin −∞ <  < ∞ arasındaki tüm değerlerinde tanımlı ve
• Pozitif bir 0 değeri ()’nin periyodu ise yani   + 0 =   ;    
()’nin periyodu 0 > 0 için periyodikliği sağlayan olabilecek en küçük tam sayıdır. Yani
0 ’daki  değeri 1’den büyük bir tamsayı bile olsa 0 periyot olarak
değerlendirilmemelidir.
15
Örnek: Periyodik bir   sinyalinin periyodu 0 ’dır. Buna göre aşağıdaki sinyaller de periyodik
midir? Öyleyse periyotları kaçtır.
Periyodik ve periyodu 1 = 0 ,  > 0  
Periyodik ve periyodu 1 ancak 1 , 0 ’ın tam bir katı değil.
Hangi koşullarda () periyodik olur?
Çözüm:
(a) Periyodu 0 olan bir sinyal ise k tamsayısı için   + 0 =  +   + 0 =  + ()
olduğundan periyodik
(b) 1 = 0 ()’nin periyodudur. () de periyodiktir ve periyodu 1 ’dir. Bir  tamsayısı
için
(c)   aşağıdaki koşul sağlanırsa periyodiktir.
 > 0 ve  > 0 olan birbirine bölünemeyen tamsayılar olmalıdır.
16
Örnek:
Periyodik midir?
Periyodik midir?
Periyodik midir?
Çözüm
Periyodik 0 = 
Periyodik 1 = 2

2
(1)   , 1 =  rasyonel olmadığından periyodik değildir
0
(2)   =     =   2+  = cos Ω2  + (Ω2 ) periyodiktir.
Ω2 = 2 +  = 2/2 yani 2 = 2/(2 + )
(3) 1 + () periyodiktir ve periyodu 0 = ’dir. 1 + () periyodiktir ve
periyodu 1 = 2’dir.
Periyodik olmadığından   de değildir.
1.
2.
3.
Frekansı 0 > 0 olan analog sinüsoid’in periyodu 0 = 2/0 ’dir. Eğer 0 = 0
ise periyot tam tanımlı değildir.
Periyotları 1 , 2 olan () ve () gibi iki periyodik sinyalin toplamı 1 /2 oranı
bir / rasyonel sayısı ise ( N ve M’nin ortak böleni yok) periyodiktir ve toplamın
periyodu 1 = 0 ’dır.
İki sinüsoid’in çarpımı periyodiktir. Ancak iki periyodik sinyalin çarpmı her zaman
periyodik olmayabilir.
17
Sonlu Enerjili ve Sonlu Güçlü Sinyaller
Bir () sinyali sonlu yada sonsuz tanımlı olsa da onun enerjisi ve gücü aşağıdaki tanımlanır.
∞
 =
2 
 
−∞
1
→∞ 2

 = lim
 
−
2 
Sinyal () aşağıdaki koşulu sağlıyorsa sonlu enerjilidir yada karesinin integrali alınabilirdir.
 < ∞
Sinyal () aşağıdaki özelliği sağlıyorsa sonlu güçlüdür.
 < ∞
18
Örnek: Aşağıdaki sinyallerin enerji ve güçlerini bulunuz.
Diğer yerlerde sıfır.
Diğer yerlerde sıfır.
Sonlu enerjili, sonlu güçlü yada ikisi de mi?
Çözüm:
Enerji
Sonsuz enerjili
Sonlu enerjili
Sonlu enerjili
Güç
Sonlu enerjili
  için  = 0 alalım
19
Örnek: Aşağıdaki sinyalleri göz önüne alalım.
Periyodik midirler? Güçleri nedir?
Çözüm:
cos 2 , cos(4)’nin periyotları 1 = 1 ve 2 = 1/2 olduğundan ()

periyodiktir. ( 1 = 2) ()’nin periyodu da 1 = 22 = 1′ dir.
2

1
cos 2 ’nin periyodu 3 =  olduğundan () periyodik değildir (1 = ).
3
20
Eğer
Buradan da
ise
Sinüsoidlerin toplamının gücü
  =
 cos Ω  =

 ()

Sinüsoidler ister birbirinin harmoniği olsun isterse olmasın sinüsoidlerin toplamının gücü
toplamdaki sinüsoidlerin ayrı ayrı güçlerinin toplamına eşittir.
x =


21
Temel Sinyaller Yardımı ile İfade Etme
Karmaşık bir üssel sinyal aşağıdaki biçimdedir
  =   =    cos Ω0  +  +  Ω0  + 
 =    , ve  =  + Ω0 karmaşık sayılar
−∞< <∞
 ve  gerçel ise
azalan üssel
 gerçel,  = Ω0
22
artan üssel
Analog üsseller: Azalan üssel (üstte solda), artan üssel (üstte sağda),
modüle edilmiş üssel azalan ve artan (altta solda ve sağda)
23
Sinüsoidler
Sinüsoidler’in genel biçimi

−∞< <∞
2

 sinüsoid’in genliği Ω0 = 20 (  ) frekansı,  faz kaymasıdır.
 Ω0  +  =  Ω0  +  +
1 Ω 
 0 +  −Ω0
2
1
sin Ω0  = 2 ( Ω0 −  −Ω0 )
cos Ω0  =
Haberleşmedeki modülasyon
A t cos Ω t t +  
• Genlik Modülasyonu yada AM: A t iletilmek istenen bilgi ile değişir
frekans ve faz sabittir.
• Frekans/Faz Modülasyonu yada FM: Ω(t)/() iletilmek istenen bilgi
ile değişir, genlik sabittir.
24
Birim-basamak, Birim-vuruş ve Rampa Sinyalleri
Vuruş sinyali ()
• Orjin dışındaki her yerde 0’dır ve değeri iyi tanımlanmamıştır. Yani
  = 0,  ≠ 0 ise ve  = 0 ise () tanımsız
• Alanı

   =
−∞
1 >0
0 <0
Birim Basamak Sinyali
() =
1 >0
0 <0
25
() ve () aşağıdaki gibi ilişkilidir.

  =
  
−∞
 
  =

Δ → 0 için () ve () arasındaki ilişki

Δ  =
Δ  
−∞
Δ 
Δ  =

Rampa sinyali aşağıdaki gibi tanımlanmaktadır.
  = ()
rampa sinyali ile birim-basamak ve birim-vuruş sinyalleri arasındaki
ilişki aşağıdaki gibidir.
 
= 

2  
= ()
 2
26
Örnek: Aşağıdaki sinyalleri
Sürekli sinyalin ve birim basamak sinyallerinin toplamı olarak ifade ediniz
ve bunların türevlerini bulunuz.
Çözüm
Sürekli
Süreksiz
2 ()  = 0,  = 1 ve  = 2’de zıplamalara sahiptir yani süreksizdir. Sürekli bileşeni
0’dır
27
Örnek-MATLAB:
Aşağıdaki grafiği matlab’ta çizdirip doğruluğunu gösteriniz.
Analitik olarak
28
Örnek: () sinyalinin grafiğinden formülünü elde edip tek ve çift bileşenlerini bulunuz.
29
Örnek: () ve () sinyallerini kullanarak üçgen sinyali Λ()’yi ifade edip türevini bulunuz.
Çözüm:
Türev
30
Örnek: Tam dalga doğrultulmuş sinyal
Sinyalin bir periyodunu ifade edip onun kaymış biçimlerinin toplamı biçiminde ()’nin ifade edilmesi
Çözüm:
Periyot
31
Örnek: Kendini her 2 birimlik zamanlarda tekrarlayan darbe dizisini üretip türevini bulunuz.
Çözüm:
32
Sinyallerin Genel Gösterimi
Vuruş fonksiyonu ()’nin kayma özelliği sayesinde herhangi bir () sinyali aşağıdaki genel
gösterim ile ifade edilebilir.
∞
  =
    −  
−∞
33
Şimdiye dek gerçekleştirilenler
Sinyal sınıflandırması
Simetri, periyodiklik, sürekli zamanlı sinyaller için enerji/güç
Sinyallerin temel sinyaller yardımı ile ifade edilmesi
Buradan nereye ulaşılacak?
Sinyaller ile sistemlerin bağlanması
Çoğu sistemin davranışına yakınsayan teorinin geliştirilmesi
Zaman ve frekans analizi
34
Download

Sinyaller ve Sistemler