URSI-TÜRKİYE’2014 VII. Bilimsel Kongresi, 28-30 Ağustos 2014, ELAZIĞ
Nanoçubukların Çok Seviyeli Hızlı Çokkutup Yöntemiyle
Hızlı ve Doğru Analizleri
Barışcan Karaosmanoğlu, Akif Yılmaz, Özgür Ergül
Orta Doğu Teknik Üniversitesi
Elektrik ve Elektronik Mühendisliği Bölümü
Ankara
[email protected]
Özet: Optik frekanslarında negatif kırınım gibi uygulamalar için kullanılan nanoçubuklar, çok seviyeli hızlı
çokkutup yöntemi ve yüzey formülasyonlarından oluşan yüksek kabiliyetli benzetim ortamında ele alınmıştır.
İletim ve saçılım özelliklerinin incelendiği benzetimlerde, nanoçubuklar uzun ama sonlu olarak modellenmiş,
çözümlerde periyodiklik ve sonsuzluk gibi basitleştirici varsayımlarda bulunulmamıştır. Mükemmel iletken
olarak modellenen nanoçubuklar üzerinde farklı formülasyonlar denenmiş ve elde edilen sonuçlar
karşılaştırılmıştır. Literatürde kapalı yüzeyler için sıkça kullanılan birleşik-alan integral denkleminin, özellikle
iletim bölgelerinde ve ileri saçılım açılarında hatalı sonuçlar verdiği gösterilmiştir.
Abstract:
Nanowires that are used for various applications, such as negative refraction, at optical frequencies are
investigated in a sophisticated simulation environment based on the multilevel fast multipole algorithm and
surface formulations. In simulations, where transmission and scattering properties are considered, nanowires
are modeled as long but finite structures, without resorting to periodicity and infinity assumptions in numerical
solutions. Alternative formulations are applied and compared for perfectly conducting models of nanowires. It
is shown that the combined-field integral equation, which is commonly used for closed surfaces in the literature,
leads to inaccurate results, especially in the transmission region and forward-scattering directions.
1. Giriş
Nanoçubuklar son yıllarda imalatı görece kolay optik metamalzemeler olarak kullanılmaya başlamıştır [1].
Mikrodalga frekanslarında sulandırılmış metal modeller olarak negatif elektriksel geçirgenlik sağlayan
nanoçubuk kümeleri [2], optik frekanslarında ise daha uzun boyut yönünde aydınlatılacak şekilde
kullanılmaktadır. Örneğin, bu tür bir uyarım ile yatay yönde negatif elektrik geçirgenliğin sağlandığı ve
dolayısıyla negatif kırınımın gösterildiği çalışmaları literatürde bulmak mümkündür [3],[4]. Öte yandan, bu
şekilde minimum kesit alanıyla uyarılan nanoçubukların elektromanyetik benzetimleri, özellikle yüksek
doğruluk ve hassasiyetin gerektiği senaryolarda son derece zordur. Bu çalışmada da gösterildiği üzere,
literatürde iyi bilinen ve ticari yazılımlarda sıkça kullanılan birleşik-alan integral denklemi (BAİD), kritik
açılarda ve bölgelerde hatalı sonuçlar verebilmektedir. Dolayısıyla, bu tür problemlerin elektrik-alan integral
denklemi (EAİD) gibi iteratif çözümü zor ama yüksek doğrulukta sonuçlar veren birinci tip integral
denklemleriyle modellenmeleri daha uygun gözükmektedir. İteratif çözümlerin hızlandırılması için ise, çok
seviyeli hızlı çokkutup yöntemi (ÇSHÇY) [5] gibi düşük karmaşıklığa sahip ve verimli algoritmalara ihtiyaç
duyulmaktadır.
2. Sayısal Örnekler
Yukarıda bahsedilen ve BAİD’de ortaya çıkan sayısal sorunlar, tek bir çubuktan oluşan bir problemde bile
gözlemlenebilmektedir. Bu doğrultuda, 5 µm boya sahip ince bir çubuk ele alınmış ve incelenmiştir. Kesiti kare
şeklinde 100x100 nanometre olan bu çubuk, 250 THz’de düzlem dalga ve üstüne yerleştirilen bir Hertzian dipol
ile ayrı ayrı aydınlatılmış, ve bu uyarımlar neticesinde uzak alandaki saçılım değerleri hesaplanmıştır. BAİD ve
EAİD ile modellenen saçılım problemleri, farklı üçgen boylarıyla ve RWG fonksiyonlarının kullanılmasıyla
ayrıklaştırılmıştır.
Problem dalgaboyu cinsinden büyük olduğundan, ve özellikle ayrıklaştırmanın
iyileştirilmesiyle çok sayıda bilinmeyen içeren matris denklemleri ortaya çıktığından, iteratif çözümler ÇSHÇY
ile hızlandırılmıştır. Ayrıca, dalgaboyuna göre çok yoğun ayrıklaştırmalar içeren problemlerde ÇSHÇY’nin
Bu çalışma, TÜBİTAK (113E129, 113E276) ve Bilim Akademisi (BAGEP-2013) tarafından desteklenmektedir.
URSI-TÜRKİYE’2014 VII. Bilimsel Kongresi, 28-30 Ağustos 2014, ELAZIĞ
düşük frekans bozulmalarına karşı kararlılığı artırıcı önlemlerin alınması gerekmiştir [5]. Şekil 1 ve 2’de
gösterilen uzak-alan saçılım değerleri incelendiğinde, BAİD ile elde edilen değerlerin EAİD ile elde edilenlere
yakınsadığı, ancak özellikle ileri saçılım açılarında (düzlem dalga için 0 derece ve Hertzian dipol için 180
derece), BAİD’nin hatalı sonuçlar verdiği gözlemlenmektedir. Ayrıklaştırma elemanlarının son derece
küçültülmesine rağmen,
BAİD ile elde edilen sonuçlardaki yetersizlik açık bir biçimde gözükmektedir.
Şekil 1. Tek bir nanoçubuğun düzlem dalga ile aydınlatılması sonucu elde edilen saçılım değerleri.
Şekil 2. Tek bir nanoçubuğun Hertzian dipol ile aydınlatılması sonucu elde edilen saçılım değerleri.
URSI-TÜRKİYE’2014 VII. Bilimsel Kongresi, 28-30 Ağustos 2014, ELAZIĞ
Şekil 3. 5x5 nanoçubuktan oluşan bir metamalzemenin saçılım özellikleri.
Şekil 3’te 5x5 nanoçubuktan oluşan bir metamalzemenin benzetim sonuçları sunulmuştur. Tek çubuk örneğinde
olduğu gibi, hem düzlem dalga hem de dipol uyarımları için, ileri saçılım açılarında BAİD ile elde edilen
sonuçların yavaş yakınsadığı gözlemlenmektedir. Bir başka deyişle, problemlerin BAİD ile çözümleri yeterince
hassas gözükmemektedir.
BAİD ile elde edilen sonuçlardaki yüksek hata oranları, yakın zamanda bu denklemin özelliklerinin incelendiği
çalışmalarda elde edilenlerle tutarlı gözükmektedir [6]. İkinci tip bir integral denklem olan BAİD’nin, özellikle
RWG fonksiyonları gibi düşük dereceli fonksiyonlarla ayrıklaştırıldığında, EAİD gibi birinci tip denklemlere
göre düşük doğrulukta sonuçlar verdiği bilinmektedir. Bu çalışmada gösterildiği üzere, nanoçubukların
minumum kesit alanıyla aydınlatılması gibi daha da zorlaşan problemlerde, BAİD ile elde edilen sonuçlar çok
daha kararsız ve hatalı hale gelebilmektedir.
Kaynaklar
[1]. Yao J., Liu Z., Liu Y., Wang Y., Sun C., Bartal G., Stacy A. M., ve Zhang X., “Optical negative refraction in
bulk metamaterials of nanowires,” Science, 321, s.930, 2008.
[2]. Gürel L., Ergül Ö., Ünal A., ve Malas T., “Fast and accurate analysis of large metamaterial structures using
the multilevel fast multipole algorithm,” Prog. Electromagn. Res., 95, s.179-198, 2009.
[3]. Liu Y., Bartal G., ve Zhang X., “All-angle negative refraction and imaging in a bulk medium made of
metallic nanowires in the visible region,” Opt. Exp., 16, s.15439-15448, 2008.
[4]. Ergül Ö. ve Gürel L., “Fast and accurate analysis of large-scale composite structures with the parallel
multilevel fast multipole algorithm,” J. Opt. Soc. Am. A., 30, s.509-517, 2013.
[5]. Ergül Ö. ve Gürel L., The Multilevel Fast Multipole Algorithm for Solving Large-Scale Computational
Electromagnetics, Wiley, 2014.
[6]. Ergül Ö. ve Gürel L., “Discretization error due to the identity operator in surface integral equations,”
Comput. Phys. Comm., 180, s.1746-1752, 2009.
Download