Sinyaller ve Sistemler
Ders 3
Fourier Analizi
Giriş
• Jean Baptiste Joseph Fourier (1768-1830) trigonometrik seriler üzerinde
çalışmalar yapmıştır. Bu çalışmalar sonucunda periyodik sinyallerin,
harmonik sinuzoidal sinyallerin toplamı şeklinde yazılabileceğini
göstermiştir. Bir matematiksel seride ilk terimden sonra gelen terimler
harmonik olarak isimlendirilir.
• Periyodik sinyaller, belirli frekanslarda sinuzoidal ve üstel sinyallerinin
toplamı şeklinde yazılabilir. Sinuzoidal sinyaller (kosinüs ve sinüs
sinyalleri) periyodik sinyallerin yapı taşlarıdır. Örneğin kare dalga sinyali,
sinüs ve kosinüs sinyallerinin toplamı şeklinde yazılabilir.
• Fourier daha sonra yaptığı çalışmalar ile periyodik olmayan sinyallerin de
harmonik olmayan sinuzoidal sinyallerin integrali şeklinde yazılabileceğini
göstermiştir. Periyodik olmayan sinyaller, periyodik sinyallerin
periyotlarının sonsuza gitmesi halinde matematiksel olarak gösterilebilir.
• Fourier’in çalışmaları yaşadığı yıllarda ilgi çekmese de daha sonraları
matematik dünyasında yeni ufuklar açmış ve sinyal işleme alanında
önemli bir yer teşkil etmiştir.
2
Fourier Serileri ve Fourier Dönüşümü
• Fourier serileri ve Fourier dönüşümü zaman domeninde ifadeleri verilen
sinyallerin frekans domeninde gösterilmesi için kullanılır. Sinyalin frekans
bileşenlerinin dağılımı, kısaca sinyalin spektrumu olarak isimlendirilir.
Böylece sinyalin sahip olduğu güç ve enerjinin hangi frekanslarda
bulunduğu görülebilir.
• Periyodik bir sinyal için spektrum ayrıktır, sinyalin gücü temel frekansı
üzerinde odaklanmıştır. Periyodik olmayan sinyallerin spektrumu ise
süreklidir. Yani sinyalin güç ve enerjisi frekans spektrumu boyunca
dağılmıştır.
• Fourier dönüşümü, sinyallerin spektral bileşenlerinin gösterimi yanında,
sistemlerin özelliklerinin frekans domeninde tanımlanmasını sağlar.
Fourier gösterimi kullanılarak lineer zamanla değişmeyen (LTI)
sistemlerin frekans cevabı bulunabilir.
3
Fourier Teoremi
•   fonksiyonunu ile matematiksel olarak ifade edilen bir sinyalin
0 ≤  ≤  aralığında periyodik olduğu düşünülürse Fourier teoremine
göre sinyal sinuzoidal fonksiyonların toplamı haline şöyle yazılabilir:
• Burada  ve  belirli değerler alan katsayılardır. Bu ifade  = 0 ⋯ ∞
aralığında da yazılabilir. (0 = 1 ve 0 = 0)
4
5
Periyodik Sinyallerin Fourier Serisi Gösterimi
TEMEL TANIMLAR
• Herhangi bir sürekli zaman sinyali () için periyodik olma şartı:
• Sinyalin temel periyodu 0 ise  ’nin en küçük pozitif değeridir. Temel
frekans ise 0 = 1/0 olarak bulunur.
• Periyodik sinyallere örnek olarak gerçek sinuzoidal sinyal ve karmaşık
üstel sinyal verilebilir.
• Bu tip sinyaller için temel açısal frekans şöyledir:
6
Trigonometrik Fourier Serisi Gösterimi
• Periyodik () sinyalinin trigonometrik Fourier serisi gösterimi şöyledir:
• Burada  ve  Fourier katsayılarıdır:
7
Tek ve Çift Sinyallerin Trigonometrik Fourier Serisi Gösterimi
• Periyodik () sinyali çift ise  = 0 olur ve Fourier serisi sadece kosinüs
terimlerini içerir
• Periyodik () sinyali tek ise  = 0 olur ve Fourier serisi sadece sinüs
terimlerini içerir.
8
Örnek 1
• Aşağıda gösterilen testere dişi şeklindeki periyodik sinyal için Fourier seri
açılımını bulun?
() fonksiyonu tek fonksiyondur.
Buna göre  = 0 olur.
9
10
 = /4 olarak alındığında oldukça ilginç bir seri açılımı elde edilir:
11
Serideki terim sayısı artarsa sinyale daha fazla yaklaşım sağlanır.
50 terime sahip seri ile çizim yapılırsa testere dişi sinyale oldukça yakın bir görüntü elde edilir.
Süreksizlik noktalarında görülen taşmalar ve dalgalanmalar Gibbs etkisi olarak isimlendirilir.
12
Örnek 2
• Aşağıda gösterilen basamak şeklindeki periyodik sinyal için Fourier seri
açılımını bulun?
() fonksiyonu tek fonksiyondur.
Buna göre  = 0 olur.
4
 tek (odd) ise  =  ve  çift (even) ise  = 0
13
14
Üstel Fourier Serisi Gösterimi
• Sinüs ve kosinüs terimleri ile ifade edilen bir herhangi bir fonksiyon üstel
terimler ile de ifade edilebilir.
• Periyodik () sinyalinin karmaşık üstel Fourier serisi gösterimi şöyledir:
• Burada  karmaşık Fourier katsayılarıdır:
•  = 0 olarak alınırsa bulunan 0 değeri () sinyalinin bir periyodu
boyunca ortalamasına eşittir.
• () gerçek ise
15
Örnek 3
• Bir önceki örnekte verilen testere dişi sinyalin üstel Fourier serisi
gösterimini bulun?
16
17
Örnek 4
• Aşağıda verilen sinyaller için üstel Fourier serisi gösterimini bulun?
18
19
20
Trigonometrik ve Üstel Seri Gösterimi Arasındaki İlişki
• Fourier trigonometrik serisi, Fourier üstel serisine eşdeğerdir.
21
Örnek 5
• Aşağıda gösterilen kare dalga şeklinde ()
trigonometrik Fourier serisi açılımlarını bulun?
sinyali için üstel ve
k çift
k tek
22
23
Örnek 6
• Aşağıda gösterilen () sinyali için üstel ve trigonometrik Fourier serisi
açılımlarını bulun?
k çift
k tek
24
() çift olduğu için sadece dc ve kosinüs terimlerini içerir.
25
Örnek 7
• Aşağıda gösterilen () sinyali için üstel ve trigonometrik Fourier serisi
açılımlarını bulun?
Örnek 5
1 () sinyali, Örnek 5 ile aynı
fakat sadece genlik 2 kat artmış.
26
x2
üstel Fourier serisi
x2
trigonometrik Fourier serisi
() tek olduğu için sadece sinüs
terimlerini içerir.
27
Örnek 8
• Aşağıda gösterilen periyodik darbe katarı şeklinde () sinyali için üstel
ve trigonometrik Fourier serisi açılımlarını bulun?
Sadece t = 0 için değer alır.
28
Sinyal çift olduğu için  = 0
29
Fourier Serilerinin Yakınsaması
• Periyodik () sinyali aşağıda verilen Dirichlet koşullarını sağlaması
durumunda Fourier serisi gösterimine sahiptir:
1.   sinyalinin bir periyodu boyunca mutlak integrali alınabilir.
2.   sinyali ’nin herhangi bir sonlu aralığında sonlu sayıda minimum
ve maksimuma sahiptir.
3.   sinyali  ’nin herhangi bir sonlu aralığında sonlu sayıda
süreksizliğe sahiptir.
• Dirichlet koşulları Fourier serisi gösterimi için yeterli şart olup gerekli şart
değildir.
30
Periyodik Sinyallerin Güç İçeriği
• Periyodik () sinyalinin gücü herhangi bir periyodu boyunca şöyledir:
• () sinyalinin karmaşık üstel Fourier serisi gösterimi kullanıldığında güç
ifadesi aşağıdaki gibidir:
• Bu denklem Fourier serileri için Parseval teoremi olarak isimlendirilir.
31
Fourier Dönüşümü
• Periyodik sinyaller için ayrık toplam formunda Fourier seri açılımından
faydalanılırken, periyodik olmayan sinyaller için ise sürekli integral
formunda Fourier dönüşümü kullanılır.
• Periyodik olmayan   sinyalinin frekans domeni bileşenlerini içeren
() sinyali Fourier dönüşümü ile bulunabilir:
• Benzer şekilde ters Fourier dönüşümü kullanılarak () sinyali zaman
domeninde yeniden elde edilebilir.
• Fourier dönüşümü ifadesinin elde edilmesinde anahtar nokta periyodik
olmayan sinyalin −/2 ≤  ≤ /2 aralığında  → ∞ için periyodik kabul
edilmesidir.
32
Fourier Serisinden Fourier Dönüşümünün Elde Edilmesi
 =


2 
→∞
33
Fourier Dönüşümünün Özellikleri
• Lineerlik:
• Zaman Kaydırma:
• Frekans Kaydırma:
• Zaman Ölçekleme:
• Zamanda Tersine Çevirme:
• Simetri:
• Zaman Domeninde Türev:
34
Fourier Dönüşümünün Özellikleri
• Frekans Domeninde Türev:
• Zaman Domeninde İntegral:
• Konvolüsyon:
• Çarpım:
• Tek ve Çift Bileşenler:
35
Fourier Dönüşümünün Özellikleri
• Parseval Teoremi: Sinyalin enerji içeriği, sinyalin tüm frekans
bileşenlerinin genliklerin mutlak değerlerinin karesinin integrali
hesaplanarak bulunabilir.
36
Örnek 10
• Birim darbe fonksiyonu () için Fourier dönüşümünü uygulayın?
Örnek 11
• Aşağıda verilen üstel sinyal için Fourier dönüşümünü uygulayın?
37
Örnek 12
• Fourier dönüşümünün zaman kaydırma özelliğini ispatlayın?
38
Örnek 13
• Fourier dönüşümünün frekans kaydırma özelliğini ispatlayın?
39
Örnek 14
• Aşağıda gösterilen ve matematiksel ifadesi verilen () dikdörtgen darbe
sinyalinin Fourier dönüşümünü bulun?
sinc
40
Örnek 15
• Aşağıda gösterilen ve matematiksel ifadesi verilen () sinyalinin Fourier
dönüşümünü bulun?
Simetri özelliği  → 
41
Örnek 16
• Aşağıda gösterilen ve matematiksel ifadesi verilen () sinyalinin Fourier
dönüşümünü bulun?
42
Örnek 17
• Aşağıda gösterilen ve matematiksel ifadesi verilen () sinyalinin Fourier
dönüşümünü bulun?
×
1
2
43
Örnek 18
• Aşağıda verilen sinyallere Fourier dönüşümünü uygulayın?
Örnek 10
44
Frekans kaydırma
Çiz ???
45
Örnek 19
• Aşağıda verilen periyodik () sinyalinin Fourier dönüşümünü bulun?
Fourier dönüşümünün lineerlik özelliği kullanılır.
46
Örnek 20
• Periyodik darbe dizisinin Fourier dönüşümünü bulun?
Üstel Fourier serisi açılımı
47
Örnek 21
• Modülasyon teoremi olarak bilinen aşağıdaki denklemleri ispatlayın?
0
48
Örnek 22
• Fourier dönüşümünün türev özelliğini ispatlayın?
Ters Fourier dönüşümü aşağıda verilmiştir:
49
Örnek 23
• İşaret (signum) fonksiyonunun Fourier dönüşümünü bulun?
İşaret fonksiyonu tek fonksiyon olduğundan Fourier dönüşümü imajinerdir.
50
Örnek 24
• Birim basamak fonksiyonu için Fourier dönüşüm ifadesini ispatlayın?
51
Sürekli Zamanlı LTI Sistemin Frekans Cevabı
52
Download

indir