2.5.2. Sönümlü Serbest Titreşim
Sonsuza kadar devam eden sabit genlikli titreşimlerle gerçek hayatta
karşılaşılmamaktadır. Bilindiği gibi, sistem titreşim hareketine başladıktan bir
süre sonra hareket yavaş yavaş zayıflar. Dolayısıyla hareket denkleminin
aşağıdaki gibi olmaması gerekir:
mü  ku  0
mü  ku
Atalet kuvveti=Elastik kuvvet
Sisteme yüklenen enerji
aslında sisteme uygulanan
enerjiye eşit olup, herhangi
bir t anında ve herhangi bir
noktada, sisteme yüklenen
enerjiye eşit belirli bir
miktarda kinetik enerji ile
potansiyel
enerji
söz
konusudur.
Bu sistemde enerji kaybı olmamaktadır.
Ancak, gerçek yapı sistemlerinde enerji
kaybı vardır.
Yapıda belirli bir enerji kaybı olacaktır:
Enerji kaybı nasıl modellenebilir?
Energy Loss
Yapının titreşimi sönümlendiğinden,
bu enerji kaybı sönüm olarak
tanımlanmıştır.
Sistemdeki enerji kaybı mekanik
sönümleyici ile modellenmiştir.
bir
Sönümlü sistemin serbest titreşimi ele
alınırsa,
mü  cu  ku  0 (2.5.2.1)
Burada enerji kaybı için kullanılan sönüm modeli, viskoz sönüm modelidir.
Yukarıdaki denklem, u(0) ve u (0) başlangıç koşulları için çözümlenecektir.
u (t )  e st
u (t )  se st
u(t )  s 2 e st
st
(ms 2  cs  k )( e
)0


0
0
aksi halde çözüm olmayacaktır
ms 2  cs  k  0
çözüm,
s
c
1

c 2  4mk
2m 2m
s1, 2  
2
c
k
 c 
s
 
 
2m
m
 2m 
b


2a 2a
  b 2  4ac
c
s

2m
2
 c 
2

  wn
m
2
 

(2.5.2.2)
Çözüm bu terime bağlı olarak belirlenir.
Eğer
2
 c 
2

  wn  0  s iki gerçel köke sahiptir
 2m 
2
 c 
2

  wn  0  s gerçel katlı köke sahiptir
 2m 
2
 c 
2

  wn  0 
 2m 
s iki kompleks eşlenik köke sahiptir
c’nin değeri, aslında çözümün nasıl bir form alacağını belirlemektedir.
c sönüm katsayısı, serbest titreşim veya zorlanmış harmonik titreşimde bir
devirde sönümlenen enerjinin bir ölçüsüdür. Viskoz sönüm oranı (), aşağıdaki
gibi tanımlanmaktadır.
c
c

wn 
2mwn
2m
ccr sönüm katsayısı, titreşim meydana getiren en küçük c değeri olduğundan,
kritik sönüm katsayısı olarak adlandırılmıştır. Dolayısıyla, titreşimin oluştuğu
ve oluşmadığı hareket arasındaki sınırı teşkil etmektedir.
ccr  2mwn
Bu durumda  ,

c
ccr
(2.5.2.1) denklemi m değerine bölünürse,
ü  2wn u  wn2 u  0
(2.5.2.3)
(Eq. 2.5.2.1) denkleminin çözümüne dönülürse,
s  wn  wn  2  1
elde edilir. Sönümlü durum için, sistemdeki sönüm miktarına veya kök içindeki
(2-1) değerine bağlı olarak üç hareket durumundan bahsetmek mümkündür.
1. Titreşim hareketi 0<<1: s1 ve s2 kompleks eşlenik
2. Titreşim yok
=1: s1 ve s2 gerçel ve eşit
3. Titreşim yok
>1: s1 ve s2 gerçel ve farklı.
>1 ise (s=2) iki gerçel kök, bu durum kritik sönüm üstü harekettir (c>ccr).
=1 ise s1=s2=1 gerçel kök, bu durum kritik sönümlü harekettir (c=ccr).
<1 ise s=2 kompleks eşlenik kökler, bu durum kritik sönüm altı harekettir (c<ccr).
Böylece,
Eğer >1
Eğer <1
s1  wn  wn  2  1
s 2  wn  wn  2  1
s1  wn  iwn 1   2
s 2  wn  iwn 1
2
positive
Eğer =1 s1  wn  s 2
2.5.2.1. Kritik Sönüm Üstü Hareket (>1)
u(t )  A1e s1t  A2 e s2t
Kökler burada yerine yazılırsa, denklem aşağıdaki gibi yazılabilir.
wn t
wn  2 1 t
( wn  2 1 ) t
u (t )  e[ A1 e

  A2 e]
( 3)
(1)
( 2)
A1 ve A2 bu denklemde u(0) ve u (0) yazılarak bulunabilir.
(1) üssel olarak artan fonksiyon
(2) üssel olarak azalan fonksiyon
(3) üssel olarak azalan fonksiyon
Kritik sönüm üstü sönüme sahip sistem bir titreşim hareketi yapmaz. Sadece
üssel olarak artar ve üssel olarak azalır. Örnek; otomatik olarak kapanan
kapı.
2.5.2.2. Kritik Sönümlü Hareket (=1)
=1 olması durumunda sönüm kritiktir, c=ccr. Bu durumda, karakteristik
denklemin katlı kökleri vardır.
s1  s2  wn  wn
Bu durumda çözüm,
u(t )  e wnt [ A1  A2 t ]
Ağırlık ölçen tartılar gibi, kararlıdurum değerlerini ölçmek için
kullanılan aletler, genellikle kritik
sönümlüdür. Kapanırken şiddetli
çarpışmayı
önlemek
için
sönümleyicilerle döşenmiş ağır
kapılar, kritik sönümlü durum için
iyi bir örnektir.
2.5.2.3. Kritik Sönüm Altı Hareket (<1)
Yapılarda genelde, <<1 durumu söz konusudur.
s  wn  iwn 1   2
wD  wn 1   2
s  wn  iwD
ve
ve
wn t
iwD t
 wD t
u
(t )  e
[
A
e

A
e

 1 2]
( 4)
(1)
( 2)
( 3)
(1) terimi dikkate alınmazsa, bu denklem sönümsüz sistem için elde edilen
denklemin aynısı olacaktır (Eq. 2.5.1.5). Tek fark, sönümsüz durumda wn
kullanılırken, burada wD kullanılmaktadır. (2) ve (3) terimleri kompleks fonksiyonlar
ve (4) gerçel bir fonksiyon olduğundan, tüm işlemleri tekrar yapmadan bu denklem
aşağıdaki gibi yazılabilecektir.
u(t )  e wnt [C1 sin wD t  C2 cos wD t ]
Sönümsüz durumdan tek fark,
wD  wn 1   2
Bu denkleme ait bir şekil çizilirse,
wD
 1 2
wn
yada
 wD

 wn
2

   2 1

Bu, yarıçapı 1 olan bir
daireye
karşılık
gelen
denklemdir.
Sönüm doğal frekansı wn’den wD’ye indirirken, doğal periyodu da Tn’den TD’ye
uzatmaktadır.
u(t )  e wnt [C1 sin wD t  C2 cos wD t ]
t=0 için 
u(0)=1[C1.0+C2.1] 
C2=u(0)
u (t )  wn e wnt [C1 sin wD t  C2 cos wD t ]  e wnt [C1 wD cos wD t  C2 wD sin wD t ]
t=0
için 
u (0)  wn 1[C1 0  C2 1]  1[C1 wD 1  C2 wD 0]
u (0)  wn C2  C1 wD and from C2=u(0)
u (0)  wn u(0)  C1 wD
C1 
Nihai çözüm,
u (0)  wn u (0)
wD
u (t )  e wnt [u (0) cos wD t 
u (0)  wn u (0)
sin wD t ]
wD
(2.5.2.3.1)
Sönümsüz sisteme ait denklemin elde edilmesine benzer olarak, u(t)
aşağıdaki gibi yazılabilir.
u(t )  e wnt  cos(wD t   )
Bu denklem, dönen bir vektöre ait kompleks düzlemin gerçel bir eksen
üzerindeki projeksiyonu olarak düşünülebilir.
u (0)  wn u (0) 2
  u (0)  [
]
wD
2
 faz açısını göstermektedir.
 u (0)  wn u (0) 

wD u (0)


  tan 1 
(2.5.2.3.1) denkleminden anlaşılacağı gibi, yerdeğiştirme genliği zamanla
birlikte üssel olarak azalmaktadır. (Şekil).
Aşağıdaki şekil, üç farklı  değeri için u(0) başlangıç yerdeğiştirmesinden
kaynaklanan u(t) yerdeğiştirme hareketini göstermektedir.
2.5.2.4. Logaritmik Azalım
Hafif sönümlü TSD sistemlerdeki kritik sönüm oranları, serbest titreşim
deneyleri ile bulunabilir. Bu hesaplama için en çok kullanılan yöntem,
logaritmik azalım diye adlandırılan ve hareketin, tepe noktalarında ölçülen
değerleri arasındaki ilişkiye dayanan yaklaşımdır.
n(2/wD) ve (n+1)(2/wD) anlarındaki un ve un+1 ardışık iki yerdeğiştirme
değeri dikkate alınsın.
1 devir t=TD= 2/wD
n devir t=TD= n(2/wD)
Aşağıdaki denklem kullanılarak,
u(t )  e wnt  cos(wD t   )
bu iki ardışık değerin oranı,
e wnt  cos( wD t   )
u (t )
 wn (t TD )
u (t  TD ) e
 cos(wD (t  TD )   )
cos(wD (t  TD )   )  cos((wD t   )  wDTD )  cos((wD t   )  2 )  cos(wD t   )
Böylece,
wn t
u (t )
e
 wn (t TD )  ewnTD  e
u (t  TD ) e
2
wn
wD
e
2
1
1 2
(2.5.2.4.1)
Her iki tarafın doğal logaritması alınırsa,
ln
u (t )
2

u (t  TD )
1 2
(2.5.2.4.2)
Bu sonuç şekilde de görüldüğü gibi, TD periyodu ile ayrılan ardışık
maksimum yerdeğiştirmeler için ui/ui+1 oranını verecektir.

ui
2

u i 1
1 2
(2.5.2.4.3)
Burada,  logaritmik azalım olarak tanımlanmaktadır.
Küçük sönüm değerleri için,
yapılabilecek bir basitleştirme,

için
  2
(2.5.2.4.4)
(2.5.2.4.4) denkleminin <0.2 durumunda
geçerli olacağı açıktır.
Hafif sönümlü (<<1) sistemlerde olduğu gibi hareketin azalımı yavaş ise,
ardışık genlikler yerine aralarında birçok devir bulunan iki devire ait
genliklerin oranını, sönüm oranına ilişkilendirmek daha caziptir.
tn ve tn+mTD anlarındaki genlikler un ve un+m ise, un/un+m oranı aşağıdaki
gibi yazılabilir.

un
u n u n1 u n 2
u n  m1

.........
 e wnTD
u n m u n1 u n 2 u n3
u nm

m
 e mwnTD
(2.5.2.4.1) denklemi dikkate alındığında,
  ln
(2.5.2.4.5)
u (t )
 wnTD
u (t  TD )
un
 e m
u nm
Böylece

u
1
ln n
m u nm
(2.5.2.4.4) denkleminden,

u
1
ln n
2m u n  m
(2.5.2.4.6)
Download