İşaret ve Sistemler
Bahar 2014
Ders 3: Periyodik İşaretlerin Frekans Spektrumu
Fourier Serileri
Periyodik işaretlerin spektral analizini yapabilmek için
periyodik işaretler sinüzoidal işaretlerin toplamına
dönüştürülür ve pozitif/iki yönlü frekans spektrumu
yardımı ile frekans spektrumu elde edilir.
Periyodik işaretler sinüzoidal işaretlerin toplamına
Fourier serilerinden yararlanarak dönüştürülebilir.
Bu nedenle bu derste önce Fourier serileri, daha sonra
da periyodik işaretlerin frekans spektrumlarının
bulunması anlatılacaktır.
Frekans spektrumunun bulunmasında iki yönlü
spektrumu
kullanılacağından,
bundan
sonraki
kısımlarda, frekans spektrumu denildiğinde iki yönlü
spektrum anlaşılmalıdır.
İşaret ve Sistemler
2
Kompleks Fourier Serileri
Kompleks Fourier serisi Frekans spektrumunu bulmada
trigonometrik Fourier serisine göre daha kolay çözüm
vermektedir.
Eğer m(t) periyodik işareti, açısal frekansı w0 ve periyodu
T0 (w0=2/ T0=2f0) ise kompleks Fourier serisi açılımı:
İşaret ve Sistemler
3
Kompleks Fourier Serileri
Burada Cn, n. Fourier katsayısı (n. harmonik) olup genel
olarak kompleks bir büyüklüktür ve formülü:
Periyodik bir fonksiyonun önemli bir büyüklüğü, onun
ortalama değeri’dir.
Periyodu T0 olan bir v(t) periyodik işaretinin zaman
ortalaması veya ortalama değeri <v(t)> notasyonu ile
gösterilir:
İşaret ve Sistemler
4
Kompleks Fourier Serileri
Burada Cn, n. Fourier katsayısı (n. harmonik) olup genel
olarak kompleks bir büyüklüktür ve formülü:
Periyodik bir fonksiyonun önemli bir büyüklüğü, onun
ortalama değeri’dir.
Periyodu T0 olan bir v(t) periyodik işaretinin zaman
ortalaması veya ortalama değeri <v(t)> notasyonu ile
gösterilir:
İşaret ve Sistemler
5
Dirichlet koşulu nedir?
Bu ortalama fonksiyonundan yararlanarak
yeniden yazılırsa:
Cn ifadesi
Matematiksel olarak kompleks fourier serisi katsayılarının
var olması için m(t) işaretinin Dirichlet koşulunu sağlaması
gerekir.
 m(t) tek değerli bir fonksiyon olmalıdır.
 m(t) her yerde sonludur yada sonsuz değer alıyorsa türevi
sonludur.
 m(t)’nin bir periyodu içindeki süreksizlik sayısı sonludur.
 m(t)’nin bir periyodu içinde sonlu sayıda maksimum ve
minimum olmalıdır.
İşaret ve Sistemler
6
Kompleks Fourier Serileri
Kompleks fourier serisi ifadesinden çıkarılan önemli bir
sonuç şu olmaktadır. Periyodik bir işaretin frekans
spektrumu, yalnız f0=1/T0 temel frekansı ve buna harmonik
olarak bağımlı frekans bileşenlerinden oluşur.
Cn’nin özellikleri:
İşaret ve Sistemler
7
Kompleks Fourier Serileri
Kompleks fourier serisi ifadesinden çıkarılan önemli bir
sonuç şu olmaktadır. Periyodik bir işaretin frekans
spektrumu, yalnız f0=1/T0 temel frekansı ve buna harmonik
olarak bağımlı frekans bileşenlerinden oluşur.
Cn’nin özellikleri:
İşaret ve Sistemler
8
Kompleks Fourier Serileri
“-n”ler için Cn ifadesi:
“n.” harmonik ile “–n.” harmoniklerin büyüklükleri:
bu ifadeden çift simetri özelliği taşıdığı görülmektedir.
İşaret ve Sistemler
9
Kompleks Fourier Serileri
“n.” harmonik ile “–n.” harmoniklerin fazları ise
bu ifadeden de fazın tek simetri özelliği gösterdiği görülür.
İşaret ve Sistemler
10
Kompleks Fourier Serileri
iki yönlü frekans spektrumunda
koordinat eksenine göre simetrik,
çizgilerinin ise orijine göre simetrik,
görülmektedir. Bu özellik fourier
özelliğinden ileri gelmektedir.
genlik çizgilerinin
çift simetrik, faz
tek simetrik, olduğu
serisi katsayılarının
İşaret ve Sistemler
11
Kompleks Fourier Serileri
m(t) periyodik işaretinin iki yönlü frekans spektrumu
İşaret ve Sistemler
12
Kompleks Fourier Serileri
İki yönlü frekans spektrumundan, pozitif frekans
spektrumuna geçmek için fourier serisi katsayıları
özellikleri kullanılarak yazılabilir. m(t)’nin iki yönlü
frekans spektrumu ifadesi tekrar yazılırsa:
İşaret ve Sistemler
13
Kompleks Fourier Serileri
İşaret ve Sistemler
14
Kompleks Fourier Serileri
İşaret ve Sistemler
15
Kompleks Fourier Serileri
Benzer şekilde,
Bu sonuçlardan Fourier serisi katsayısı, yalnızca
ɑn içerecektir.
İşaret ve Sistemler
16
Kompleks Fourier Serileri
İşaret ve Sistemler
17
Kompleks Fourier Serileri
İşaret ve Sistemler
18
Kompleks Fourier Serileri
Bu sonuçlardan Fourier serisi katsayısı, yalnızca
bn içerecektir.
İşaret ve Sistemler
19
Kompleks Fourier Serileri
İşaret ve Sistemler
20
Fourier Serisinin Özellikleri
İşaret ve Sistemler
21
Fourier Serisinin Özellikleri
İşaret ve Sistemler
22
Kısa Sınav 2
iki yönlü fazör diyagramını ve iki yönlü frekans spektrumunu
çiziniz.
İşaret ve Sistemler
23
Download

frekans spektrumu