2.5. Serbest Titreşim
Bir yapının statik denge konumunun bozularak, herhangi bir dış dinamik
yükleme olmaksızın titreşim yapmasına izin verilmesi serbest titreşim olarak
tanımlanmaktadır.
2.5.1. Sönümsüz Serbest Titreşim
mü  cu  ku  p(t )
(2.5.1.1)
p(t)=0 ve c=0 yazılırsa,
mü  ku  0
(2.5.1.2)
Başlangıç koşullarına bağlı olarak bu diferansiyel denklem çözülebilir,
u (t  0)  yer deg istirme
u (t  0)  hiz
u  u(0) u  u (0)
(2.5.1.3)
Bu problemin çözümü için,
u (t )  e st
(2.5.1.4)
alınarak yapılabilir. (2.5.1.4) denklemi (2.5.1.2) denkleminde yazılırsa,
u (t )  e st
u (t )  se st
u(t )  s 2 e st
(ms 2  k )e st  0
Çözüm için üstel terim sıfır olamayacağından, karakteristik denklem aşağıdaki
gibi yazılabilir.
(ms 2  k )  0  s   i
Aşağıdaki gibi bir tanımlama yapılırsa,
wn 
k
m
s   iwn
k
m
Bu durumda (2.5.1.2) denkleminin genel çözümü,
u(t )  A1e s1t  A2 e s2t
u(t )  A1e iwnt  A2 e iwnt
(2.5.1.5)
şeklinde yazılabilir. Bu ikinci dereceden lineer diferansiyel denklemin
çözümüdür ve u(0) ve u (0) başlangıç koşullarının etkisindedir.
u(t )  A1e iwnt  A2 e iwnt
gerçel
(2.5.1.6)
complex complex
İki kompleks terimin toplamımın gerçel bir sayı olması koşulu, A1 ve A2’nin
belirli bir karakteristik yapıda olmasını beraberinde getirmektedir.
e iwnt  cos wn t  i sin wn t
Bu durumda, Eq. (2.5.1.6) aşağıdaki gibi olacaktır.
(Euler Denklemi)
u(t )  ( A1  A2 ) cos wn t  i( A1  A2 ) sin wn t
(2.5.1.7)
Burada, A1 and A2 kompleks integrasyon sabitlerini göstermektedir. u(t) gerçel
bir sayı olduğundan, A1 ve A2 kompleks eşlenik olmak zorundadır.
A1=a+ib ve A2=a-ib, olması durumunda
A1+A2=2a
i(A1-A2)=-2b
gerçel birer sayı olacaktır. Bu durumda, (2.5.1.7) denklemi aşağıdaki gibi
yazılabilir.
u(t )  A cos wn t  B sin wn t
(2.5.1.8)
A be B yeni gerçel integrasyon sabitleri olup, başlangıç koşullarına bağlı
olarak belirlenecektir. coswt ve sinwt harmonik kuvvetler olduğundan, serbest
titreşim aslında harmonik bir titreşim hareketidir. Başlangıç koşulları
uygulanırsa,
u(t  0)  A cos 0  B sin 0
u(0)  Ax1  A  u(0)
(2.5.1.8) denkleminin türevi alınırsa,
u (t )  wn A sin wn t  wn B cos wn t
u (t  0)  wn A sin 0  wn B cos 0
u (0)  wn B  B 
Böylece,
u (t )  u (0) cos wnt 
(2.5.1.9) denklemi, Şekil 2.5.1.1’de çizilmiştir.
u (0)
wn
u (0)
sin wnt
wn
(2.5.1.9)
Fig. 2.5.1.1 Sönümsüz sistemin serbest titreşimi
Sönümsüz sistemin, serbest titreşimde bir tam devir yapabilmesi için gerekli
olan süre sistemin doğal titreşim periyodu olarak tanımlanmaktadır ve Tn ile
gösterilmektedir. Periyot birimi olarak saniye kullanılırken, periyot ile doğal
dairesel frekans arasında aşağıdaki gibi bir bağıntı vardır. Dairesel frekansın
birimi de birim saniyedeki radyan ile tanımlanmaktadır.
2
Tn 
(2.5.1.10)
wn
Bir sistem 1 saniye içinde 1/Tn devir yapmaktadır. Sistemin bir saniye içinde
yapmış olduğu devir sayısı sistemin doğal frekansı f olarak tanımlanmakta
olup, periyodun tersine eşittir.
fn 
1
Tn
(2.5.1.11)
Frekansın (fn) birimi hertz (Hz) [birim saniyedeki devir sayısı] olarak
tanımlanırken; fn ile wn arasında aşağıdaki gibi bir ilişki vardır.
fn 
wn
2
(2.5.1.12)
Doğal frekans ve periyot (wn, Tn, and fn), yapının yalnızca kütlesine ve
rijitliğine bağlıdır.
wn1  wn 2
wn1  wn 2
Tn1  Tn 2
Tn1  Tn 2
Sönümsüz sistem, maksimum yerdeğiştime u0 ile minimum yerdeğiştirme –u0
arasında bir titreşim hareketi yapmaktadır. Bu iki yerdeğiştirme değerinin
genliği u0 (magnitude) aynı olup, hareketin genliği olarak tanımlanmaktadır.
u 0  [u (0)]2  [
u (0) 2
]
wn
(2.5.1.13)
Yerdeğiştirme ifadesi farklı bir formda da yazılabilir:
u(t )   cos(wn t   )
(2.5.1.14)
Burada , yerdeğiştirme genlik değeri olup, aşağıdaki gibi ifade edilmektedir.
  u (0) 2  (
u (0) 2
)
wn
(2.5.1.15)
Ayrıca ,  genlikli bileşke vektörün, u(0) genlikli bileşke vektöre göre faz açısı olup,
  tan 1 (
u (0)
)
wn u (0)
bağıntısı ile tanımlanmaktadır.
(2.5.1.16)
Download

2.5. Serbest Titreşim