5. GERİBİLDİRİMİN AVANTAJLARI:
KURAMSAL İSPATLAR ÜZERİNDEN AÇIK ÇEVRİMİN
ELEŞTİRİSİ
Serhat YILMAZ, Kocaeli Üniversitesi Mühendislik Fakültesi
Elektronik ve Haberleşme Bölümü
Serhat YILMAZ, [email protected]
1
5. GERİBİLDİRİMİN AVANTAJLARI:
KURAMSAL
İSPATLAR ÜZERİNDEN AÇIK ÇEVRİMİN ELEŞTİRİSİ
Bu bölümde, geri bildirim bir sistemde oluşan istenmeyen etkileri azaltma
veya ortadan kaldırmada ne kadar etkili olduğu, gerekli argümanlar
kullanılarak ispatlanmaya ve Matlab’ta yapılan benzetim sonuçlarıyla da
bunların doğruluğu gösterilmeye çalışılacaktır.
İstediğimiz çıkış değeriyle gerçek çıkış arasındaki hata, sistemin içinde
çoğunlukla ısınmalar, aşınmalar gibi istenmeyen durumlar yüzünden meydana
parametre değişimlerine karşı duyarlılık yani bunlardan etkilenme, yine
dışarıdan istemimiz dışında gelen bozucu etkiler, bu etkilerden bir kaçıdır.
Serhat YILMAZ, [email protected]
2
5.1. Geri Bildirimin Hatayı Azaltma Etkisi
( E(s): sistem hatası )
Hata, yani istenilen çıkış değeri ile gerçek çıkış değeri
arasındaki fark;
E(s)=Yistenen –Ygerçek = Yi(s)-G(s)R(s) olacaktır.
R(s)
G(s)
Y(s)=R(s) G(s)
Şekil 5.1 Açık Çevrim Bir Sistem
Serhat YILMAZ, [email protected]
3
Bu hatayı azaltmak mümkün mü? Geri bildirimli bir
sistemde, R(s) istenen çıkış değeri (Yistenen ) , Y(s)
ise gerçek çıkış değeridir (Yg(s) ).
R(s)
+ E(s)
G(s)
Y(s)=T(s)*R(s)
-
T(s)
H(s)
Şekil 5.2 Geri bildirimli Sistem
Hata ;
E(s)=R(s)-Y(s)
olur.
Serhat YILMAZ, [email protected]
4
H(s)=1 ise
Y ( s )  R ( s ). T ( s ) 
G (s )
1  G (s )
.R ( s )
olduğu için
E(s)= Yistenen –Ygerçek = Y ( s )  G ( s ) R ( s )
i
1  G (s)
Kapalı çevrimde hata G(s)’ten 1+G(s) kat daha az
etkilenecektir.
Özellikle G(s)>>1 olduğu durumlarda paydadaki 1’i ihmal
edebiliriz.
E(s)= Yistenen –Ygerçek =
Y i (s ) 
G (s )
1  G (s )
R (s )  Y i ( s )  R ( s )
Geri bildirimli sistemde zaten Yi(s)=R(s) olduğundan
hata sıfıra çok yakın çıkacaktır ve G(s)’teki
değişimlerden hemen hemen hiç etkilenmeyecektir.
Serhat YILMAZ, [email protected]
5
Eğer geribildirim elemanının da H(s) gibi bir transfer
fonksiyonu varsa;
5.2. Kontrol Sisteminin Parametre Değişimlerine
Duyarlılığı ve Geribildirimin Duyarlılık Üzerindeki Etkisi
Y (s) 
G (s)
1  G (s)H (s)
Y (s ) 
G (s )
G (s ) H (s )
.R ( s )
.R ( s ) 
G ( s ) H ( s )  1
1
ise
R (s )
H (s )
Serhat YILMAZ, [email protected]
6
Açık çevrim sistemlerde sistemin transfer fonksiyonunda
 G (s )
gibi bir değişiklik olursa;
 Y ( s )   G ( s ). R ( s ) kadar değişir.(Açık çevrim sistemde)
Kapalı çevrim sistemde;
G ( s )   G ( s ) . R ( s )
1  G (s )   G (s )
      
Y (s ) Y (s )

Y (s )   Y (s )  Y (s )   Y (s )
G ( s ). R ( s )
1  G (s )

 

Y (s
G ( s )   G ( s )  G ( s )   G ( s ) G ( s )  G ( s )  G ( s )   G ( s ). G ( s )
2
 Y (s ) 
2
1  G (s )   G (s ) 1  G (s ) 
Serhat YILMAZ, [email protected]
R (s ) 
 G (s )
1  G (s ) 
2
R (s )
7
Sistemin duyarlılık (Sensitivity) tanımı: : Tüm sistem
içindeki açık çevrim bir sürecin transfer fonksiyonunda
meydana gelen bir değişimin tüm sistemin transfer
fonksiyonunda meydana getirdiği değişmeye etkisini yüzde
olarak gösteren orandır.
S
T
G

T T
G G
T T
G G


T T
G G
 ln T
 ln G

T G
G T
(Genel formül)
(Duyarlılık formülü)
Serhat YILMAZ, [email protected]
8
5.2.1. Açık çevrim sistemde duyarlılık
T G
S 
1
T(s)=G(s)’tir.
G T
Sistem duyarlılığı %100 oranında
etkilenir.
T
G
5.2.2. Kapalı çevrim sistemde duyarlılık
T (s) 
G (s)
T
1  G (s)
G
G
T

G
G
 T 
1  G (s )  G (s )
1  G ( s )  2

1
1  G ( s )  2
1 G
1 G
S
T
G

1
1  G ( s ) 
2
* (1  G ( s )) 
1
1  G ( s ) 
Serhat YILMAZ, [email protected]
Duyarlılık (1+G(s))
kat küçülür.
9
Eğer geribildirim transfer fonksiyonu varsa (H(s));
S
T
H
T
H


T T
H H
T T

0  G ( s )G ( s )
1  G ( s ) H ( s ) 
2
H H


 ln T
 ln H
H (s)
G ( s ) 1  G ( s ) H ( s ) 

T H
H T
 
G (s)H (s)
1  G ( s ) H ( s ) 
 % 100
G(s)H(s)>>1 ise geri bildirimde meydana gelen değişim tüm
sistemi %100 etkiler.
Serhat YILMAZ, [email protected]
10
Eğer değişim G(s)’te değil de G(s)’in içinde bir α
parametresinde ise bunun tüm sisteme etkisi, zincirleme
olarak, α’nın G(s)’te meydana getirdiği değişimin T(s)’e
etkisi olarak yorumlanabilir.
R(s)
+
Y(s)
G(s)
-
α
H(s)
Şekil 5.3 G(s)’ i bir α parametresiyle değişen
geribildirimli sistem
Serhat YILMAZ, [email protected]
11
S  S
T
T (s) 
T
G
 S
G
G (s)
1  G ( s ) H ( s ) 
pay ( s )

payda ( s )
T(s) bir α ya bağlıysa denklem şu hale gelir.
T (s,  ) 
S 
G (s)
1  G ( s ) H ( s ) 
G (s)
T
1  G ( s ) H ( s ) 
S  S
T
pay


pay ( s ,  )
payda ( s ,  )
 ln  pay ( s ,  ) payda ( s ,  ) 
 ln 
 S
payda

 ln( pay ( s ,  ))
 ln 

 ln( payda ( s ,  ))
 ln 
Pay ve payda eşitse duyarlılık
sıfır olur.
Serhat YILMAZ, [email protected]
12
Örnek 5.1: Çıkışla giriş arasındaki gerilim bağıntısı
V0 =-Ka.Vin olan
geribildirimsiz sistemde transfer
fonksiyonu doğrudan T=Ka ‘dır. Aynı sistemi kazancı
dışardan potla (Toplam değeri R1+R2= 500K’lık pot)
değiştirilebilen bir geribildirimli yükselteç haline
dönüştürürsek;
+
Vi
-
+
Vo
-
Kazanç
-Ka
+
Vi
-
Şekil.5.4. Açık Çevrim Sistem
R(s)
Kazanç
-Ka
Pot=500K
R1
+
Vo R
2
-
Şekil.5.4. (devam) Kapalı Çevrim Sistem
+
Y(s)
G(s)
+
β
Şekil.2.4.
Kapalı Çevrim Sistem
Serhat(devam)
YILMAZ, [email protected]
13
Potansiyometrenin geri bildirim kazancı
Bu durumda
T (s ) 
 
 Ka
1  K a . 
R
2
R1  R
2
Kapalı çevrim sistemin Ka’daki değişimlere duyarlılığı;
S
T
Ka

T K a
K a T

 1  K a    (   K a )
1  K a  
2
Ka
 Ka
1  K a  

1
1  K a  
,
Ka’yı büyük seçersek ona karşılık duyarlılık düşük
olacaktır. β=0.1’e ayarlayalım. Eğer Ka kazancını da 10000
seçersek ;
Y(s)
R(s) +
G(s)
S
T
Ka

+
1
1  10
4
0 .1

 10
3
β
Şekil.2.4. (devam) Kapalı Çevrim Sistem
Serhat YILMAZ, [email protected]
14
5.3. Geribildirimin geçici ve kalıcı durum yanıtları
üzerindeki etkisi
2
Kalıcı durum
yanıtı
Geçici durum
yanıtı
1.8
1.6
1.4
tekerinhizi(rad/s)
Açık çevrim bir
sistemde istenilen
sonuç alınamıyorsa
ya bu sistem
değiştirilir, ya önüne
bir denetleyici
konulup
parametreleriyle
oynanır ya da geri R(s)
beslemeli hale
getirilir.
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
zaman(sn)
Şekil 5.5. Kontrol Sistemlerinin Kalıcı ve Geçici Durum Yanıtı
1. Sistem değiştirilebilir
+
-
G D s 
G s 
Y(s); istenen değeri
vermiyorsa
2. Önüne denetleyici konulabilir
H s 
3. Son çare: Geri bildirim
Şekil 5.6. Açık Çevrim sistemde yapılabilecek iyileştirmeler
Serhat YILMAZ, [email protected]
15
Örnek.5.2. Endüvi (armatür)
denetimli bir motorun
çıkışında hızının zamana göre
değişimini açık ve kapalı
kontrol sistemleri açısından
incelemek istiyoruz.
Ra
K2
E
Armatür Akımı
Vb
+
Va
-
Şekil 5.7.
ia
Va=k2E
w,
Açık çevrim hız kontrol sistemi
Yük
J=Eylemsizlik
b=sürtünme
Çözüm: a) Öncelikle açık çevrim sistemin girişinin Laplace
k 2E
dönüşümü bulunur. Va(s)=
s
basamak girişidir. Bu gerilim
motora girmektedir. 3. bölümde sistemin blok şemasını ve giriş
gerilimiyle çıkış hızı arasındaki yaklaşık transfer fonksiyonunu
bulmuştuk.
Serhat YILMAZ, [email protected]
16
Giriş
Va(s)
Armatür
+
-
Tm(s) =TL(s)
Hız
w(s)
Yük
Km
Çıkış
1
 Js
La s  Ra
K
1
Konum
s

(s)
 b
b
Şekil 5.8. Açık çevrim endüvi denetimli motorun blok diyagramı ile gösterimi

=
R aJ
K m K b
 R ab
ve K1=
motorun transfer fonksiyonu
Km
K m K b
G1(s)=
=
 R ab
K1
 (s)
V a s 
=

s

Serhat YILMAZ, [email protected]

1
 

K1
 s  1 
17
s
basamak girişi uygulandığında
w ( s )  G(s)Va(s)
w(s) çıkış yanıtımız :
kısmi kesirlere ayrılırsa
K1 /
s
A= ( s 
1

)* w(s)
s 
1

=( s
k 2E
1
s

1
K1 /
1

s   


A
s
K1 /
)  1

s  

=
=
Bu durumda Va(s)=
k 2E

1

k 2E
s
B
s

k 2E
s
s 
1

A=  K 1 /  k 2 E    K 1 k 2 E bulunur.
Serhat YILMAZ, [email protected]
18
B= (s) w(s)
s 0
Sonuç olarak
w(t)=
= (s)
K1 / 
k 2E
1

s  


w (s )  K 1 k 2 E
s
s 0
=  K 1k 2 E




1
1



1
s
s 



t / 
K 1k 2 E
(1-e
)
Sistemin basamak yanıtı: t=0’da değeri 1-1=0 olan, t sonsuza
gittikçe değeri 1-0=1’e yaklaşan bir davranış gösterecektir.
Serhat YILMAZ, [email protected]
19
b) Devreyi takometre ile kapalı çevrim hale getirdikten sonra
yine basamak yanıtına bakalım.
Kapalı çevrimde:
R(s)=K2.E/s+
Güç yükselteci
Motor
Ka
G(s)
Hız(w(s))
-
Takometre
Kt
Şekil 5.9. Kapalı çevrim hale getirilmiş endüvi denetimli motorun blok diyagramı
w (s )
R (s )
 T (s ) 
Ka
K a G (s )
1  K a G (s ) K t

1 Ka
K 1 1
s  1  1 
K 1 1
s  1  1 
K a K 1  1 

Kt
s
K K K 
 a 1 t

1
 
1  

1

K a K 1  1 
sp
p
Serhat YILMAZ, [email protected]
20
p 
1  K a K 1K t
1

w (s )  T (s ) R (s ) 
A  sw ( s ) |  s
K a K 1K
1
K a K 1  1  K 2 E
sp
0p
B  s  p  w ( s ) |
s p

s
K a K 1  1  K 2 E
s0
( Yükseltecin kazancı Ka ve motora ait
K1 katsayıları >>1)
t

s

B
sp
K a K 1  1 
s
 s  p 
A
p
K 2E 
K a K 1  1  K 2 E
sp
p

Serhat YILMAZ, [email protected]
K a K 1  1 
 K aK tK1 
1


1


K a K 1  1 

K aK tK1
K 2E
K 2E 
K 2E  
Kt
K 2E
Kt
1
21
K 2E  1
1 
 

w (s ) 
Kt s s p

t
 K a K t K1
K 2 E 
1
w (t ) 
1 e
Kt 





1
Açık çevrim ve Kapalı çevrim
basamak yanıtını MATLAB’ta
çizdirelim.
Şekilden de görüldüğü gibi,
w(t) : Açık çevrim
takometre eklenerek
sistemde bir geri bildirimin
oluşturulması, geçici durum
t
yanıtında bir iyileşmeye
Şekil.5.10. Sistemin Açık ve Kapalı Çevrim Zaman Yanıtı
neden olmuş, sistemin
istenen çıkışa çabuk
ulaşmasında ve istenen değerle gerçek değer arasındaki
hatayı azaltmasında etkin rol oynamıştır.
w(t) : Kapalı çevrim
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
5
10
15
Serhat YILMAZ, [email protected]
22
Kalıcı durum yanıtı ve kalıcı durum hatasına etkisi: Kalıcı
durum hatası, sistemin geçici durum yanıtı yatıştıktan sonra
sürekli durum boyunca gözlenen sabit hatadır. Kapalı çevrim
bir sistemde E(s)= R(s)-Y(s) olduğuna göre,
R ( s )  T ( s ) R ( s )  (1  T ( s )) R ( s )  (1 
G (s )
1  G (s ) H (s )
) R (s )
 1  G (s ) H (s )  G (s ) 
 R ( s )
 (1 
) R ( s )  
1  G (s ) H (s )
1  G (s ) H (s )


G (s )
Birim g.b. sistemlerde H(s)=1
Son değer teoremine göre e(
E(s)=


1

 R ( s )
 1  G (s) 
e t  =
 ) = lim
t 
bulunur.
lim s  E s 
s 0
olduğundan hata R(s) girişinin ne olduğuna göre değişir.
Serhat YILMAZ, [email protected]
23
Örnek5.3. Transfer fonksiyonu, G ( s ) 
K
s  1
olan bir su seviyesi
kontrol sürecini ele alalım.
Sistemin basamak girişine yanıtında meydana gelecek kalıcı
durum hatası;
e(  ) =
1
1  G (0)
1
=
1
K

1
1 K
*0 1
Örneğin K=100’e ayarlanmış ise sistemin kalıcı durum
hatası e( ) =
1
101
Diyelim ki K, Mars yüzeyinde çalışan bir robotun sürücü
devresindeki bir pot ve değeri gece gündüz ısı
farklılıklarından etkilenerek ayarlandığı değerden
(
K
K
= %10) kayarak 90 ohm oldu .
Serhat YILMAZ, [email protected]
24
Kazançtaki bu değişim açık çevrim sistemde doğrudan aynı
oranda çıkışa yansıyacaktır.Açık çevrim sisteminin
hatasındaki değişim e =0.1 olacaktır.
Kapalı çevrimde ise kalıcı durum hatası e() =
Hatadaki değişim ise e=
1
101
-
1
91
1
91
olacaktır.
=0.0011 yani %0.11
5.4. Geribildirimin Bozucu İşaretler Üzerindeki Etkisi
Bir transistorün veya yükseltecin ürettiği gürültü, radar
antenlerinin maruz kaldığı sert rüzgarlar, sistem üzerinde
bozucu etki yaratırlar. Geri bildirimin en büyük
avantajlarından biri bozucu işaretlerin sistem üzerindeki
etkilerini azaltmasıdır.
Serhat YILMAZ, [email protected]
25
Örnek.5.4. Çelik üretim
(Kaynak: Dorf ve Bishop, 2005)
sürecindeki motorlar, normal
seyirlerinde dönerken (boşta
Çelik levha
çalışırken), çelik levha millerin
arasına girdiğinde bir anda ani bir
bozucu etkiyle karşılaşırlar.
Taşıma Hattı
Motorlara ek bir eylemsizlik yükü
binmiş gibi, dönüş hızında bir anlık
Şekil.5.11.Haddehanedeki çelik levha üretim süreci
bir yavaşlama, dönüşte az da olsa
Bir eskisine göre bir zorlanma göze çarpar. Açık ve kapalı çevrim kontrol
sistemlerinin bozucu girişe yanıtını bulunuz.
Dönen
Miller
Giriş
Va(s)
Td(s) ( Bozucu etki )
Armatür
+
-
Ia(s) Motor Sabiti Tm(s)
TL(s)
+
1
Km
L as  R a
Yük
Hız
w(s)
1
 Js
 b
0
zıt emk
K
b
Şekil.5.12. Armatür denetimli motor
Serhat YILMAZ, [email protected]
26
Giriş
-
Hız
w(s)
Yük
Td(s) +
1
Js  b 
Km Kb
Ra
Şekil.5.13 Bozucu Giriş-Çıkış Yanıtı İlişkisi (Açık Çevrim)
Çözüm:
a) Td(s) basamak girişinin w(s)
çıkış hızı üzerindeki azaltıcı
etkisini (ya da bozucu etkinin
neden olduğu hatayı )
görebilmek için diğer
aralarındaki transfer
fonksiyonunu bulmak gerekir.
Sistemin transfer fonksiyonu Mason kazanç formülünden;
w (s )

- 1  Js  b 
K mK b
Td (s )
1
Ra
Js  b

1  Js  b 
Js  b 
=
K mK b
Ra
1
Js  b   K m K b / R a

Js  b
Serhat YILMAZ, [email protected]
27
T d (s ) 
w(s)=
B
basamak bozucu girişine sistemin yanıtı
s
B
1
Js  b   K m K b / R a
 s
R(s)=0 iken eğer hala bir w(s) oluşuyorsa bu bozucu etkidendir.
E(s)=0-w(s) E(s)= -w(s) = -
1
B
Js  b   K m K b / R a
 s
Sürekli durumda bozucu etkiden kaynaklanan kalıcı durum hatası;
s  E s   =
e( )= lim
s 0

B
1
lim s  Js  b   K K / R   s
s 0 
m
b
a 
Serhat YILMAZ, [email protected]
=
B
b  K m K b / R a 
28
b)
Td(s)
wR(t)
Denetleyici
+
-
Ka
Km
+
Tm(s)
1
Js  b
Ra
-
Hız
wY(s)
Kb
Takometre
Kt
Şekil. 5.14. Geri bildirimli motor kontrol sistemi
Benzer şekilde geri bildirimli
kontrol sistemini R(s)=wR(s)=0
için yeniden düzenleyelim:
Td (s)
1
Js  b
-
Hız
wY(s)
+
Km
Ra
Serhat YILMAZ, [email protected]
Şekil.
-
Kb
-
Kt Ka
29
5.15. Bozucu girişi ile çıkış arasındaki ilişki (R(s)=0
)
Sistemin transfer fonksiyonu;
w (s )
 Td (s )

1  Js  b 

1
1
 Js
- 1  Js  b 
 K mK b  K mK tK a
1  
Js  b R a

T d (s ) 
w(s)=
B
s




Km
 b R a

 K b
 K tK a

- 1  Js  b 
 Js  b  K m K b  K m K t K a


Js  b R a






-Ra
Js  b  K m K b  K m K t K a
basamak bozucu girişine sistemin yanıtı;
-Ra
B
Js  b  K m K b  K m K t K a
s
‘dir.
Serhat YILMAZ, [email protected]
30
E(s)=0-w(s)  E(s)= -w(s) =
Ra
B
Js  b  K m K b  K m K t K a
s
Sürekli durumda bozucu etkiden kaynaklanan kalıcı durum hatası
e(  )=
=
lim s  E s 
s 0
=
lim s
s 0
Ra
B
Js  b  K m K b  K m K t K a
s
Ra B
b  K mK b  K mK tK a
Bu haliyle sonuçlara bakıldığında geribildirimin bozucu etkinin yarattığı
hatayı azaltıp azaltmadığı anlaşılamayabilir.
Serhat YILMAZ, [email protected]
31
0
Zamana göre her iki sistemin
basamak yanıtları yandaki
gibidir. Küçük olan kapalı
çevrim hatasıdır. Açık çevrim
ve kapalı çevrim sistemlerin
hatalarını oranlar ve
parametre değerlerini nicel
olarak göz önüne alırsak
-0 . 2
-0 . 4
-0 . 6
-0 . 8
-1
-1 . 2
-1 . 4
-1 . 6
-1 . 8
-2
0
10
20
30
40
50
60
Ş e k il.5.16. Bo zuc u gir iş kar ş ıs ında aç ık ve kapa lı s is te m hata lar ının
za m a na göre de ğiş im i
B
e acik (  )
e kapali (  )

b  K m K b / R a 
Ra B
b  K mK b  K mK tK a
=
b  K mK b  K mK tK a
R a b  K m K b 
Serhat YILMAZ, [email protected]
32
Tasarım Örneği: Manş Tünelinde Kullanılan Tünel Açma Makineleri
Tünel açma makinesinin konum açısı kontrol modeli şekilde verilmiştir.
Y(s) gerçek ilerleme yönü açısı, R(s) ise istenen açıdır. Karşılaşılan kaya
kütleleri gibi yüklerin etkileri D(s) bozucu etkisi ile temsil edilmiştir.
Tasarım hedefimiz, denetleyiciye ait uygun bir K kazancı seçmektir.
Bo z uc u etk i
R( s)
ist en en aç ı
+
D e n etle yic i
+
D ( s)
M akine
Y (s )
ger çek a çı
-
K + 11s
1
s(s+ 1)
Şe k il 5 .17 . T üne l A ç m a M a kine si K ontro l S iste m i
Serhat YILMAZ, [email protected]
33
Çözüm: Bu iki girişe sistemin yanıtı Y(s) = T(s) R(s) + Td(s) D(s) ‘dir.
T(s)=
Y (s )
R (s )
T(s)=
Td(s)=
Td(s)=
D (s )0
=
K  11 s
s  12 s  K
2
Y (s )
D (s )
R (s )0
=
1
s  12 s  K
2


1

( K  11 s ) 
 s s  1  
K  11 s
s s
=
2

s
 s  K  11 s

2

1
1  ( K  11 s ) 



s
s

1


s s
2
‘dir.


1


 s s  1  


1

1  ( K  11 s ) 
 s s  1  
‘dir.
Serhat YILMAZ, [email protected]
1
=
s s
2
s  s  K  11 s
2
s s
2
34
Böylece
Y(s) =
K  11 s
s  12 s  K
2
R(s) +
1
s  12 s  K
2
D(s)
( D(s) - işaretli bir engelleyici giriş)
i) Bozucu D(s) girişinin çıkış üzerindeki etkisini azaltmak için K’yı büyük
seçmeliyiz ( R(s)=0 ).
100  11 s
Y (s )
ii) D(s)=0 iken, K=100 için T(s)=
D (s )0 =
2
R (s )
s  12 s  100
Sistemin r(t) birim basamak girişine yanıtı K kazancının büyük
olmasından dolayı biraz salınımlı olacaktır.
Serhat YILMAZ, [email protected]
35
İki yanıtı da Matlab’ta görelim.
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Serhat
[email protected]
Şekil.5.18. K=100 için , basamak
girişYILMAZ,
ve basamak
bozucu giriş yanıtları
36
Bozucunun makinenin yönü üzerinde yol açtığı hata gerçekten
fazlasıyla küçük, ama istenen açıya ulaşırken meydana gelen salınımı
biraz azaltmalıyız. K’yı 20 seçersek aşma oldukça azalacak, hata da
%10’ların altında (%4) yani 0.04 civarında kalacaktır.
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Şekil.5.19. K=20 için ,Serhat
basamak
giriş ve basamak bozucu giriş yanıtları
YILMAZ, [email protected]
37
Kapalı çevrim kontrol sisteminin ( T(s) ) makinedeki ve kontrolördeki
(ileri yol G(s) ) değişimlere duyarlılığını ele alalım.
G(s)=
S
T
G
=
K  11 s
s s  1 
T G
=
idi.
G T
K  11 s
s s
2
SG 
1
T
1  G ( s )  2
*
G (s )
1  G ( s ) G ( s )

1
1  G ( s ) 
Buradan
S
T
G
=
1
K  11 s 

1



2
s s 

=
s s
s s
2
s  s  K  11 s
2
2

s  12 s  K
2
Bir mekanik sistemdeki salınımlar gibi düşük frekanslar için s <1 ,
duyarlılık K  20 için
S
T
G

s
K çıkar. K arttıkça da sistemin duyarlılığı
azalır. Bu nedenle K=20 seçmek tüm ölçütler açısından ortak bir uygun
değer olacaktır.
Serhat YILMAZ, [email protected]
38
Kaynaklar:
1) Dorf, R.,C., Bishop, R.,H., Modern Control Systems,
Tenth Edition, Pearson Prentice Hall, 2005
2) Özdaş, M. N., Dinibütün, A. T., Kuzucu, A., Otomatik
Kontrol Temelleri, Birsen Yayınevi, 1995
3)http://www.stanford.edu/~boyd/ee102/2nd_order.pdf
4)ÇAPRAZ,S.,KOÜ. Müh .Fak. Elo ve Hab. Blm,Otomatik
Kontrol Dersi Ödevi
Serhat YILMAZ, [email protected]
39
Ek5.1. Çözümlü Sorular
ÇS5.1. Ardışıl Tasarım Örneği: Disk Sürücüsü Okuma Sistemi
(Dorf ve Bishop,2005)
Hard disk sürücüsü, her türlü harekette, notbook’a ani şekilde bir şeyin
çarpması gibi fiziksel şoklarda veya üzerinde bir parça değişimi
yapıldıktan sonra bile hatasını tolore edip okuyucunun konumunu sağlıklı
bir şekilde korumak ve okuma yapmak zorundadır. Tasarım sürecinin bu
bölümle ilgili kısmı buna göre şekillenecektir. (Km=5, Lf = 1*10-3, J=1,
b=20, Ka:10-1000, Rf=1, idi)
R(s) istenen
kafakonumu
+
-
Tb(s)
-
Yük
Hata Yükselteç V(s)
Sargılar
Ka
Km
1
Lfs  R f
s  Js  b 
+
Gerçek
konum
 (s)
Algılayıcı
H(s)=1
Şekil.E5.1. Disk sürücüsü okuma sisteminin blok şema gösterimi
(Dorf ve Bishop,2005)
Serhat YILMAZ, [email protected]
40
Bozucu etki D(s) = 0 iken sistemin R(s)=0.1/s basamak girişine yanıtını
inceleyelim. Sistemin transfer fonksiyonu;
T(s)=
Y (s )
Ka

R (s )
Y (s )

R (s )
=
L
Km
1
L f s  R f Js
1 Ka
2
 bs
Km
1
L f s  R f Js
2
 bs
K aK m
Js  L f bs  R f Js
f
3
2

K aK m
 L f s  R f Js 2

 bs  K a K m

 R f bs  K a K m
K aK m
L f Js  R f Js
3
2
  L f  R f bs  K a K m
Serhat YILMAZ, [email protected]
41
Ka’yı şimdilik 80 seçelim.
Step Response
Program Sonuçları:
0.12
0.1
Transfer function:
400
------------------------------0.001 s^3 + s^2 + 20.02 s + 400
y(t) (rad.)
0.08
0.06
0.04
0.02
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
Zaman (sn.) (sec)
Serhat YILMAZ, [email protected]
42
E(s)= R(s)-Y(s) = R(s) ( 1-T(s) ) = R(s)

K aK m
= R(s)  1 
3
2

L
Js

R
Js
  L f  R f bs  K a K m
f
f

=
3
2

L f Js  R f Js   L f  R f bs

 L Js 3  R Js 2   L  R bs  K K
f
f
f
a
m
 f




 0 .1


 s
e  t  = lim s  E s 
e( ) = lim
s 0
t 
= lim s
s 0
3
2

L f Js  R f Js   L f  R f bs

 L Js 3  R Js 2   L  R bs  K K
f
f
f
a
m
 f
Serhat YILMAZ, [email protected]




0 .1
s
=
0
K aK m
=0.
43
Giriş, R(s)= 0 iken, D(s) = 0.1/s basamak bozucu girişine sistemin
yanıtını inceleyelim. Sistemin transfer fonksiyonu
1
1
Td(s)=
Y (s )
D (s )
Y (s )
D (s )

2

1 Ka
L f s  R f Js
Js  bs

 L f s  R f  Js 2  bs  K a K m
2
Js  bs
Km
1
2
 bs

 L f s  R f Js 2

 bs

Lfs  R f
L f Js  R f Js
3
2
  L f  R f bs  K a K m
Serhat YILMAZ, [email protected]
44
Ka=80 için
-4
Step Response
x 10
Program sonuçları:
2
y(t) (rad.)
Transfer function:
0.001 s + 1
------------------------------0.001 s^3 + s^2 + 20.02 s + 400
1
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
Zaman (sn.) (sec)
Serhat YILMAZ, [email protected]
45
Çıkış grafiğine bakarsak (skala x10-4’tür) bozucu girişten kaynaklanan
kalıcı durum hatası 3 x10-4 civarında olduğu görülür.
Y (s )
Lfs  R f

L f Js  R f Js
3
D (s )
  L f  R f bs  K a K m
2
e( ) = lim e  t  = lim s T d ( s ) 
s 0
t 
= lim s
s 0
=
Lfs  R f
L f Js  R f Js
Rf
K aK m
3
0 .1 =
2
0 .1
80 * 5
  L f  R f bs  K a K m
0 .1
s
=2.5 x10-4 bulunur.
Daha küçük Ka değerleri için R(s) basamak girişine yanıtta aşma
azalacaktır ama ikinci denklemde paydada olduğu için bozucu etkiden
kaynaklanan hatanın da artmasına neden olacaktır.
Serhat YILMAZ, [email protected]
46
ÇS.5.2. Şekildeki makine kontrol sisteminde ;
Bo zucu etk i
R( s) gir işi
+
-
-
D ( s)
+
D en etleyici
M akine
Y (s )
b
K
s 1
D uya rga
Şe k il.E 5.2
1 =1
K
a)T(s)=Y(s)/R(s) transfer fonksiyonunu bulun
b) S T duyarlılığını bulun
b
c) Bozucu etkileri ve S T duyarlılığını aynı anda en aza indirecek en
b
uygun K değerini 1  K  50 aralığında seçin
Serhat YILMAZ, [email protected]
47
Çözüm:
a) T s  
Y s 
T G

T
G
G T

SG 
T
K
*
T / T
G / G
G
G
T
s  1  Kb
G / G
b / b
b G
G
*
*

Kb
G b
 KG 


 1  KG 
T
s 1
b
1 K
s 1
R s  D s   0 =
b) S Tb  S TG * S Gb 
b


K 1  KG   K  KG
1  KG 
K
1  KG  2
*
G
KG
2


K K G K G
2

1
1  KG
1  KG
Serhat YILMAZ, [email protected]
2
1  KG 

2
1
1 K
b


K
1  KG  2
s 1
s 1 K b
s 1
48
G
b

 b 


 s 1
b

1
s 1
,
S
G
b

G b
b G

1
b
s 1
b
 1,
s 1
S
T
b
S
T
G
*S
c) T D s  
G
b

s 1
s 1 K b
*1 
s 1
s 1 K b
b
Y s 
D s  Y s   0
Y (s )  T D (s ) * D (s ) 
=
s 1
1 K
b
b

b
s  1  Kb
,
s 1
* D (s )
s  1  Kb
i) D(s) bozucu girişine karşı Y(s) yanıtının küçük olması için K’nın büyük
olması gerekir.
ii) Yine S T ’nin küçük olması için K’nın büyük olması gerekir. Bu nedenle
b
K=50 seçilmelidir .
Serhat YILMAZ, [email protected]
49
ÇS.5.3)Elektronik kalp pilleri, kalbin atış hızını düzenleyen cihazlardır.
Birim basamak şeklindeki bozucu girişe karşılık yanıtta oluşabilecek
kalıcı durum hatası 0.02’den küçük olmalıdır.
D (s )
R(s ) is te n e n
ka lp a t ış h ız ı
+
+
K a lp p ili
-
Bo zu c u e tk i
+
K
1
K a lp
1
s1
Y (s )
G e rç e k ka lp
a tış h ız ı
s
12
N a b ız ö lç ü m d u y a rg a s ı
Ş e k il.E5.3 .
K m=1
a) Çıkışın R(s) ve D(s)’e bağlı genel denklemini yazın.
( Y(s)=T11 R(s) + T12 D(s) )
b) K için uygun bir değer veya değer aralığı bulun.
c) Şayet K’nın ortalama değeri K=10 olsaydı, sistemin K parametresinde
oluşabilecek küçük değişimlere duyarlılığı ne olacaktı?
Serhat YILMAZ, [email protected]
50
Çözüm:
a)
K
1
s 1

12
K
*
1
12
12

s 1
12 K
s  12
12
Açık çevrim transfer fonksiyonu; G ( s ) 
12 K
s  12
*
1
s

12 K
s  12 s
2
12 K
2
12 K
s
 12 s
i) T ( s ) 


 2
11
12 K
R (s ) 1  G (s )
s  12 s  12 K
1 2
s  12 s
Y (s )
G (s )
1
ii)T12 ( s ) 
Y (s )
D (s )

1
s
12 K
s  12
1
*
1
s

s  12
s

2
2
s  12 s  12 K
s  12 s  12 K
s  12 s
2
Serhat YILMAZ, [email protected]
51
b) tasarım koşulu bozucu girişten kaynaklanan kalıcı durum hatasının
büyüklüğünün 0.02’den küçük olmasıdır.
Y (s )
R(s)=0 iken T12 ( s ) 
gerekirken D(s) 

D (s )
1
s  12
s  12 s  12 K
2
bulunmuştu. Çıkış 0 olması
bozucu girişi nedeniyle istenmeyen bir Y(s) çıkışı
s
oluşur : Y(s)  T12 (s)D(s)
E (s )  0  Y (s ) = 
E (s ) 
s  12
1
s  12 s  12 K
s
2
s  12
1
s  12 s  12 K
s
2
e ss    lim s E s   s
s 0

1
K
 0 . 02 
1
dir ve
kalıcı durum hatası
s  12
s
2
 12 s  12 K
1

s
12
 0 . 02
12 K
 K  K  50
0 . 02 Serhat YILMAZ, [email protected]
52
c) S TK  S TG * S GK 
T / T
G / G
*
G / G
T G

K / K
G T
G K
*
K G
 G 


1  G   G 
T
1
1 G 



G
G
1  G 2
1  G 2
S
T
G

T
G
*
G

T
1
1  G 
2
G
*

G
1
1 G

1
1 G
 12 K 
 2

G
12
 s  12 s 

 2
K
K
s  12 s
 S 
G
K
G
K
*
K
12 K

2
2
s  12 s
2
G
s  12 s  12 K
s  12 s
12

s  12 s
2
1
K
*
12 K
s  12 s
2
s  12 s
s  12 s
2
S
T
K

2
s  12 s  12 K
2
K ort  10 için
*1 
s  12 s  12 K
2
s  12 s
s  12 s
2
S
T
K

2

s Serhat
 12 YILMAZ,
s  12 [email protected]
* 10
s  12 s  120
2
2
53
Ek.5.2. Bu Bölümle İlgili Matlab Kodları:
Şekil.5.10’a ait kodlar
Serhat YILMAZ, [email protected]
54
Şekil.5.16’ya ait kodlar
ans = -1.8157
Serhat YILMAZ, [email protected]
55
Derste göreceğimiz tünel açma makinesine ait kodlar
Serhat YILMAZ, [email protected]
56
Download

5.GeriBildirimin_Avantajlari