ALIÞTIRMA : 01
Faktöriyel Kavramý
3.
1 den n ye kadar ardýþýk doðal sayýlarýn çarpýmýna
n faktöriyel denir ve n! þeklinde gösterilir.
1 . 2 . 3 . ... . (n – 1) . n = n!
Uyarý : 0! = 1
1.
Aþaðýdaki iþlemleri boþluklara yapýnýz.
a)
3! =
b)
4! =
c)
5! =
4.
d)
n! =
e)
(n – 2)! =
Aþaðýdaki ifadelerde verilen bilinmeyenleri
bulunuz.
a)
7! = m . 6! ⇒ m =
b)
5! = n . 3! ⇒ n =
c)
8! = p . 6! ⇒ p =
Aþaðýdaki iþlemleri yapýnýz.
a) 3! + 4! + 2! =
2.
f)
(2n)! =
g)
(n + 3)! =
E g e Ya y ý n c ý l ý k
C : 32
b)
C : 66
Aþaðýdaki iþlemleri yapýnýz.
a)
5!
=
4!
b)
7!
=
5!
7! 4!
+
=
5! 0!
c)
6.5!+ 7.6!
=
6!
C:8
5.
c)
d)
3! . 2! =
5! + 6!
=
6! − 5!
n!
=
(n − 1)!
C:
6.
e)
(n + 3)!
=
(n + 1)!
5
n! (n + 1)(n + 2)
=
(n + 1)!
7
5
C:n+2
TEST : 01
Faktöriyel Kavramý
1.
8! = x
olduðuna göre, 10! sayýsýnýn x cinsinden ifadesi
nedir?
A) 90x
2.
B) 45x
C) 30x
D) 19x
olduðuna göre, n kaçtýr?
E) 10x
A) 3
(n – 1)! = 1
6.
olduðuna göre, n nin alabileceði deðerler toplamý kaçtýr?
B) 1
C) 2
D) 3
B) 4
C) 5
D) 6
E) 7
Aþaðýdakilerden hangisi doðrudur?
A) 3! + 2! = 5!
B) 4! – 2! = 2!
C) 2! . 3! = 6!
D) 5! – 3! = (5 – 3)!
E) 4
E) 5 . 3! – 3! = 4!
E g e Ya y ý n c ý l ý k
A) 0
(n + 2)!
(2n)!
+
= 17
(n + 1)! (2n − 1)!
5.
(2n + 7)!
= 17
(2n + 6)!
3.
7.
olduðuna göre, n kaçtýr?
A) 4
B) 5
olduðuna göre, x kaçtýr?
C) 6
D) 7
E) 8
A) 6
(n + 8)!
= 90
(n + 6)!
4.
8.
B) 2
B) 7
C) 8
D) 9
E) 10
0! + 2! + 4! + ... + 20!
sayýsýnýn 5 ile bölümünden kalan kaçtýr?
olduðuna göre, n kaçtýr?
A) 1
4! = x . (2 + 0!)
C) 3
D) 4
A) 4
E) 5
B) 3
C) 2
D) 1
E) 0
6
1.A
2.D
3.B
4.B
5.C
6.E
7.C
8.C
ALIÞTIRMA : 02
Toplama ve Çarpma Prensibi
1.
Toplama Yoluyla Sayma:
Çarpma Yoluyla Sayma:
Ayrýk iki kümenin elemanlarýnýn toplamýný toplama
iþlemi yaparak bulmaya, toplama yoluyla sayma
yöntemi denir. O halde; ayrýk iki iþlemden biri x
farklý yolla, diðeri y farklý yolla yapýlabiliyorsa; bu
iþlemlerden biri veya diðeri x + y farklý yolla yapýlabilir.
Ýlk iþlem x yolla yapýlabiliyorsa ve ilk iþlem bu x yoldan birisiyle yapýldýktan sonra ikinci iþlem y yolla yapýlabiliyorsa; bu iki iþlem birlikte x . y yolla yapýlabilir.
Bu durum iþlem sayýsý arttýðýnda da geçerlidir. Bu
tür saymaya çarpma yoluyla sayma denir.
5.
23 kýz, 17 erkek öðrencisi olan sýnýfýn mevcudunu bulunuz.
C : 42
C : 40
6.
Bir öðrenci kulübünde 17 gözlüksüz, 8 gözlüklü
öðrenci vardýr. Kulübün kaç öðrenciden oluþtuðunu bulunuz.
Bir okuldaki 3 bay ve 4 bayan öðretmen arasýndan 1 bay ve 1 bayan kaç farklý þekilde bulunabilir. (Ýsimlendirerek tek tek yazýnýz.)
E g e Ya y ý n c ý l ý k
2.
7 kravatý, 6 gömleði olan bir kiþi bunlar arasýndan 1 kravat ve 1 gömleði kaç farklý yolla seçebileceðini bulunuz.
C : 12
C : 25
3.
7.
7 kravatý, 6 gömleði olan bir kiþi, bunlar arasýndan 1 kravat veya 1 gömleði kaç yolla seçebileceðini bulunuz.
20 kiþilik bir sýnýftan bir baþkan, bir baþkan
yardýmcýsý kaç farklý þekilde seçilebileceðini
bulunuz.
C : 380
8.
Bir torbada bulunan 5 yeþil ve 9 kýrmýzý zarf
arasýndan 1 yeþil veya 1 kýrmýzý zarf kaç farklý
þekilde seçilebilir?
A kentinden B kentine 3 farklý yol, B kentinden C
kentine 5 farklý yol vardýr. A dan C ye gitmek
isteyen birinin, B kentine uðramak koþulu ile A
dan C ye kaç farklý þekilde gidebileceðini
bulunuz?
C : 14
C : 15
C : 13
4.
7
TEST : 02
Saymanýn Temel Ýlkeleri
1.
A) 6
2.
5.
6 ceketi ve 8 gömleði olan bir kiþi bunlar arasýndan 1 ceket veya 1 gömleði kaç farklý yolla seçebilir?
B) 8
C) 14
D) 24
E) 48
A) 24
6.
5 hikaye kitabý ve 4 roman kitabý arasýndan,
1 hikaye kitabý veya 1 roman kitabý kaç farklý
þekilde seçilebilir?
B) 4
C) 5
D) 9
C) 120
D) 420
E) 552
Farklý renkte 5 gömlek ve 7 eteði olan Ebru, bir
gömlek ve bir etek tercihini kaç farklý þekilde
yapabilir?
A) 35
E) 20
B) 47
B) 12
C) 7
D) 5
E) 2
E g e Ya y ý n c ý l ý k
A) 1
Bir sýnýfta bulunan 24 öðrenciden, bir baþkan ve
bir baþkan yardýmcýsý kaç farklý þekilde
seçilebilir?
3.
7.
A ve B þehirleri arasýnda araba için 4 farklý yol, tren
için 3 farklý yol alternatifi vardýr.
Buna göre, Mehmet 1 pantolon, 1 gömlek ve 1
kravatý kaç farklý þekilde seçilebilir?
A dan B ye kaç farklý þekilde gidilebilir?
A) 1
B) 3
C) 4
D) 5
Mehmet’in farklý renkli 3 pantalonu, farklý renkli 4
gömleði ve farklý renkli 5 kravatý vardýr.
E) 7
A) 12
4.
Bir kalem kutusunda bulunan 4 kýrmýzý, 3 mavi,
5 siyah kalem arasýndan 1 kýrmýzý veya 1 mavi
veya bir siyah kalem kaç farklý þekilde
seçilebilir?
A) 3
B) 4
C) 5
D) 12
8.
C) 20
D) 60
E) 120
3 mektup, 6 posta kutusundan postalanacaktýr. Bir
kutuya en çok 1 mektup atýlmak koþuluyla bu
mektuplar kaç farklý þekilde postalanabilir?
A) 9
E) 60
B) 15
B) 30
C) 60
D) 90
E) 120
8
1.C
2.D
3.E
4.D
5.E
6.A
7.D
8.E
TEST : 03
Çarpma Prensibi
5.
Uyarý: 1, 2, 3, 4, 5, 6. sorularý aþaðýdaki A kümesine
göre cevaplayýnýz.
A = {1, 2, 3, 4}
1.
A kümesinin elemanlarý ile 3 basamaklý 300 den
küçük kaç sayý yazýlabilir?
A) 16
C) 24
D) 32
E) 36
A kümesinin elemanlarý ile 3 basamaklý kaç sayý
yazýlabilir?
A) 12
B) 20
C) 24
D) 48
E) 64
6.
A kümesinin elemanlarý ile 3 basamaklý rakamlarý farklý 200 den büyük kaç sayý yazýlabilir?
A) 9
2.
B) 20
B) 12
C) 18
D) 24
E) 36
A kümesinin elemanlarý ile rakamlarý farklý 3
basamaklý kaç sayý yazýlabilir?
B) 20
C) 24
D) 48
E) 64
E g e Ya y ý n c ý l ý k
A) 12
7.
A = {1, 2, 3, 4, 5, 7}
kümesinin elemanlarý ile 3 basamaklý rakamlarý
tekrarsýz 500 den büyük kaç çift sayý yazýlabilir?
A) 12
3.
C) 20
D) 24
E) 36
A kümesinin elemanlarý ile 3 basamaklý kaç tek
sayý yazýlabilir?
A) 20
B) 24
C) 28
D) 32
E) 36
8.
4.
B) 16
kümesinin elemanlarý kullanýlarak rakamlarýndan sadece biri 3 olan, 3 basamaklý kaç farklý
sayý yazýlabilir?
A kümesinin elemanlarý ile rakamlarý farklý 3
basamaklý kaç çift sayý yazýlabilir?
A) 12
B) 16
C) 20
D) 24
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
A) 50
E) 28
9
B) 60
C) 75
D) 90
E) 125
13. 4 kiþi, 4 kiþilik bir koltuða kaç farklý þekilde
Uyarý: 9, 10, 11, 12. sorularý aþaðýdaki A kümesine
göre cevaplayýnýz.
oturabilir?
A = {0, 1, 2, 3, 4}
9.
A) 6
B) 12
C) 18
D) 20
E) 24
A kümesinin elemanlarý ile 3 basamaklý kaç sayý
yazýlabilir?
A) 72
B) 90
C) 96
D) 100
E) 125
14. 4 kiþi, 6 sandalyeye kaç farklý þekilde oturabilir?
A) 360
B) 240
C) 120
D) 60
E) 24
10. A kümesinin elemanlarý ile rakamlarý tekrarsýz
3 basamaklý kaç sayý yazýlabilir?
B) 30
C) 36
D) 42
E) 48
E g e Ya y ý n c ý l ý k
A) 24
15. Alfabemizdeki sesli harfler kullanýlarak, iki farklý
harf ve bunu takip eden üç rakamdan oluþan
kaç farklý plaka düzenlenebilir?
A) 72000
B) 60000
D) 42000
11. A kümesinin elemanlarý ile 3 basamaklý rakam-
C) 56000
E) 30000
larý tekrarsýz 200 den büyük kaç sayý yazýlabilir?
A) 72
B) 56
C) 48
D) 42
E) 36
16. 4 katlý bir binanýn her bir katý mavi, kýrmýzý ve gri
renge boyanacaktýr.
Buna göre, bu bina kaç deðiþik biçimde boyanabilir?
12. A kümesinin elemanlarý ile 3 basamaklý, rakamlarý farklý kaç çift sayý yazýlabilir?
A) 18
B) 20
C) 24
D) 30
A) 27
E) 36
B) 48
C) 60
D) 81
E) 156
10
1.E
2.C
3.D
4.A
5.D
6.C
7.B
8.C
9.D
10.E
11.E
12.D
13.E
14.A
15.C
16.D
ALIÞTIRMA : 03
Permütasyon
5.
n tane nesnenin yan yana farklý diziliþlerinin sayýsý
P(n, n) þeklinde gösterilir. n tane elemanýn n’li permütasyonu (sýralamasý) diye okunur.
P(n, n) = n!
baðýntýsý ile verilir. (n ∈ N)
Anaokulu öðretmeni Nihan, öðrencilerinden etkinlik
gününe tuttuðu takýmýn formalarýný giyerek gelmelerini istemiþtir. 4 Fenerbahçe, 3 Galatasaray ve
2 Beþiktaþ formasýyla gelen öðrencilerini bahçede
sýraya dizecektir.
a)
1.
Þart olmaksýzýn bu öðrencileri bahçede kaç
farklý þekilde dizebilir?
ACI sözcüðünün harflerinin yerleri deðiþtirilerek
anlamlý ya da anlamsýz kaç farklý sözcük yazýlabilir.
Boþluklarý doldurunuz.
1) ACI
3) ......
5) ......
2) AIC
4) ......
6) ......
Bu soru kýsaca P(3, 3) = 3! = 6 þeklinde çözülür.
C : 9!
b)
Fenerbahçe taraftarý olan öðrencilerin bir
arada bulundurmak üzere kaç farklý þekilde
2.
DOÐAL sözcüðünün harflerinin yerleri deðiþtirilerek anlamlý ya da anlamsýz kaç farklý sözcük
yazýlabileceðini bulunuz.
E g e Ya y ý n c ý l ý k
dizilebilir?
C : 6! . 4!
c)
Ayný takýmý tutan öðrencileri bir arada
bulundurmak üzere kaç farklý þekilde dizebilir?
C : 120
3.
6 öðrenci bir sýrada kaç farklý þekilde fotoðraf
çekimi yaptýrabileceðini bulunuz.
C : 1728
6.
C : 720
4.
4 erkek ve 3 kýz öðrenci sinemaya gidiyorlar.
3 evli çiftten, eþler, yan yana olmak üzere kaç
farklý sýralamayla oturabileceðini bulunuz.
Her iki erkek arasýnda bir kýz oturmak þartýyla
kaç farklý oturma biçimi olacaðýný bulunuz.
C : 48
C : 144
11
n, r ∈ N ve n ≥ r olmak üzere,
10. 6 atletin katýldýðý bir yarýþta ilk üç derecenin kaç
farklý þekilde oluþabileceðini bulunuz.
n tane elemandan r tanesinin farklý diziliþlerinin sayýsý P(n, r) ile gösterilir ve n nin r li permütasyonu
diye okunur.
n!
dir.
P(n, r) =
(n − r)!
7.
Aþaðýdaki sorularý cevaplandýrýnýz.
a) P(7, 2) =
C : 120
11. Deneme sýnavýnda birinci olan Asým’ýn babasý bir
telefon almýþ. Asým da telefonuna 4 basamaklý bir
þifre koymak istemiþtir.
Sadece tek sayýlarla ve tekrarsýz bir þifreyi kaç
farklý þekilde oluþturabilir?
b) P(6, 3) =
E g e Ya y ý n c ý l ý k
c) P(4, 4) =
d) P(5, 0) =
C : 120
12. A = {1, 2, 3, 4, 5} kümesinin üçlü permütasyonlarýnýn,
a) sayýsý kaçtýr?
e) P(n, 2) =
C : 60
b) kaç tanesinde 3 bulunur?
8.
P(x, 1) + P(x + 1, 1) = 11
C : 36
olduðuna göre, x deðerini bulunuz.
c) kaç tanesinde 4 bulunmaz?
C : 24
C:5
9.
d) kaç tanesinde 1 bulunur, 5 bulunmaz?
P(x, 2) + P(x + 1, 2) = 72
denklemini saðlayan x deðerini bulunuz.
C : 18
C:6
12
TEST : 4
Permütasyon
1.
5.
P(6, 2) + P(4, 3) – P(9, 1)
iþleminin sonucu kaçtýr?
A) 40
2.
B) 45
C) 48
D) 50
A) 12
E) 55
6.
P(n, 3) = 7.P(n, 2)
olduðuna göre, n kaçtýr?
B) 10
C) 9
D) 8
E) 7
B) 16
C) 20
D) 24
E) 36
Esma aldýðý 5 çeþit meyve suyundan herhangi
ikisini buzdolabý rafýna yan yana kaç farklý þekilde sýralayabilir?
A) 24
B) 20
C) 16
D) 12
E) 6
E g e Ya y ý n c ý l ý k
A) 11
4 kýz arkadaþtan herhangi üçü yan yana kaç
farklý þekilde fotoðraf çektirilebilirler?
7.
P(x, 2)
1
=
P(x + 1, 3) 5
3.
A) P(4, 4)
olduðuna göre, x kaçtýr?
A) 4
B) 5
C) 6
D) 7
5 kiþi yan yana dizilmiþ 3 sandalyeye kaç farklý
þekilde oturabilir?
A) 20
B) 48
C) 60
D) 72
B) P(9, 3)
D) P(8, 3)
E) 8
8.
4.
Kredi kartýna 3 rakamdan oluþan þifre oluþturmak isteyen Ali, bunu kaç farklý þekilde yapabilir?
E) 96
E) P(10, 6)
Bir okulda 8 kiþinin katýldýðý bir kompozisyon
yarýþmasýnda ilk üç derece kaç farklý þekilde
gerçekleþir?
A) 336
13
C) P(10, 3)
B) 324
C) 306
D) 288
E) 264
9.
13.
A = {a, b, c, d, e, f}
Yandaki þekil 16 küçük
kareden oluþmuþtur.
kümesinin 4 lü permütasyonlarýnýn kaç tanesinde a bulunur, d bulunmaz?
A) 16
B) 20
C) 32
D) 36
Bu þeklin her satýr ve
sütunundan yalnýz bir
küçük kare boyanarak kaç
farklý desen elde edilebilir?
E) 72
A) 120
10. Farklý 3 hikaye ve 2 þiir kitabý bir rafa kaç farklý
C) 48
D) 120
D) 24
E) 12
anlamsýz kaç farklý kelime oluþturulabilir?
E) 144
A) 120
E g e Ya y ý n c ý l ý k
B) 36
C) 36
14. MESUT kelimesinin harfleriyle anlamlý ya da
þekilde dizilebilir?
A) 24
B) 72
B) 96
C) 72
D) 36
E) 24
15. 3 kýz, 5 erkek öðrenci kýzlardan herhangi ikisi
yan yana olmamak þartýyla bir sýrada kaç
deðiþik biçimde dizilebilir?
11. Farklý 3 hikaye ve 2 þiir kitabý ayný tür kitaplar
yan yana olmak þartýyla bir rafa kaç farklý þekilde dizilebilir?
A) 120
B) 96
C) 36
D) 24
D) 72
D) P(6, 6) . P(4, 3)
4579
sayýsýnýn rakamlarýyla yazýlan rakamlarý tekrarsýz dört basamaklý sayýlar küçükten büyüðe
doðru sýraya konduðunda 21. sayý hangisidir?
yana olmak þartýyla kaç farklý þekilde dizilebilirler?
C) 48
C) P(5, 5) . P(6, 3)
E) P(5, 5) . P(3, 3)
12. Farklý 3 hikaye ve 2 þiir kitabý, þiir kitaplarý yan
B) 36
B) P(3, 3) . P(6, 4)
E) 12
16.
A) 24
A) P(5, 5) . P(4, 2)
A) 9457
B) 9475
D) 9574
E) 120
C) 9547
E) 9745
14
1.B
2.C
3.A
4.C
5.D
6.B
7.C
8.A
9.D
10.D
11.D
12.C
13.D
14.A
15.C
16.C
ALIÞTIRMA : 06
Kombinasyon ve Özellikleri
n, r ∈ N ve n ≥ r olmak üzere, n elemanlý bir kümenin r elemaný alt kümelerine n nin r li kombinasyonu denir ve
C(n, r) ile veya ⎛⎜ n ⎞⎟ ile gösterilir.
⎝r⎠
4.
P(n, 2) + C(n, 2) = 63
eþitliðini saðlayan n deðerini bulunuz.
⎛n⎞
n!
dir.
C(n, r) = ⎜ ⎟ =
⎝ r ⎠ (n − r)!.r !
Aþaðýda verilen sorularý cevaplayýnýz.
a)
⎛5⎞
⎜ ⎟=
⎝3⎠
b)
⎛7⎞
⎜ ⎟=
⎝2⎠
c)
⎛8⎞
⎜ ⎟=
⎝3⎠
d)
⎛9⎞
⎜ ⎟=
⎝4⎠
e)
⎛n⎞
⎜ ⎟=
⎝2⎠
C:7
5.
5 elemanlý bir kümenin 2 elemanlý alt küme
sayýsýný bulunuz.
C : 10
E g e Ya y ý n c ý l ý k
1.
6.
7 elemanlý bir kümenin 3 elemanlý alt küme
sayýsýný bulunuz.
C : 35
7.
2.
8 tane farklý kitap arasýndan üçünü kaç farklý
þekilde seçebilirsiniz.
C(6, 3) + C(4, 2)
C(7, 2) + C(5, 1)
iþleminin sonucunu bulunuz.
C : 56
C:1
3.
C(n, 2) = 7.C(n, 1)
8.
eþitliðini saðlayan n deðerini bulunuz.
12 öðrenci arasýndan 4 kiþilik takýmý kaç farklý
þekilde oluþturabilirsiniz.
C : 495
C : 15
15
12. Aþaðýdaki sorularý cevaplayýnýz.
Kombinasyonun Özellikleri
9.
1)
⎛ n⎞ ⎛ n ⎞
⎜ ⎟=⎜
⎟
⎝ r ⎠ ⎝n − r ⎠
2)
⎛ n⎞ ⎛ n ⎞
⎜ ⎟=⎜
⎟=n
⎝ 1 ⎠ ⎝ n − 1⎠
3)
⎛ n ⎞ ⎛ n⎞
⎜ ⎟ =⎜ ⎟ =1
⎝ 0 ⎠ ⎝ n⎠
4)
⎛ n ⎞ ⎛ n⎞ ⎛ n ⎞
⎛ n⎞
n
⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ + ... + ⎜ ⎟ = 2
⎝ 0 ⎠ ⎝ 1⎠ ⎝ 2 ⎠
⎝ n⎠
Aþaðýdaki sorularý cevaplayýnýz.
a)
⎛ 9 ⎞ ⎛ 9 ⎞ 9.8
= 36
⎜ ⎟=⎜ ⎟ =
⎝ 7 ⎠ ⎝ 2 ⎠ 2.1
a)
⎛9⎞
⎜ ⎟=
⎝ 1⎠
b)
⎛8⎞
⎜ ⎟=
⎝8⎠
c)
⎛7⎞
⎜ ⎟=
⎝6⎠
d)
⎛12 ⎞
⎜ ⎟=
⎝0⎠
⎛ 5 ⎞ ⎛ 5⎞ ⎛ 5⎞
⎛ 5⎞
⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ + ... + ⎜ ⎟
0
1
2
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎝ 5⎠
13.
⎛10 ⎞
⎜ ⎟=
⎝7⎠
c)
⎛ 11⎞
⎜ ⎟=
⎝9⎠
d)
iþleminin sonucunu bulunuz.
E g e Ya y ý n c ý l ý k
b)
⎛n⎞
⎜ ⎟=
⎝2⎠
C : 32
⎛ 7⎞ ⎛ 7⎞ ⎛ 7 ⎞
⎛ 7⎞
⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ + ... + ⎜ ⎟
2
3
4
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎝ 7⎠
14.
iþleminin sonucunu bulunuz.
C : 120
10.
⎛ n⎞ ⎛n ⎞
⎜ ⎟=⎜ ⎟
⎝3⎠ ⎝6⎠
15. 6 elemanlý bir kümenin,
a)
3 elemanlý alt küme sayýsýný bulunuz.
olduðuna göre, n yi bulunuz.
C : 20
b)
11.
⎛ 18 ⎞ ⎛ 18 ⎞
⎜
⎟=⎜
⎟
⎝ 2n − 1⎠ ⎝ 4n + 1⎠
En az 2 elemanlý küme sayýsýný bulunuz.
C:9
C : 57
olduðuna göre, n yi bulunuz.
c)
En çok 5 elemanlý alt küme sayýsýný
bulunuz.
C : 63
C:3
16
TEST : 07
Kombinasyon
Uyarý: 5, 6, 7 ve 8. sorularý aþaðýdaki A kümesine
göre, cevaplayýnýz.
⎛ 7 ⎞ ⎛ 4 ⎞ ⎛ 8⎞ ⎛ 6⎞
⎜ ⎟ +⎜ ⎟ +⎜ ⎟ +⎜ ⎟
⎝ 3 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝1 ⎠ ⎝ 0 ⎠
1.
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
iþleminin sonucu kaçtýr?
A) 45
B) 48
C) 50
D) 52
E) 56
5.
A kümesinin 3 elemanlý alt kümelerinin kaç
tanesinde 2 elemaný bulunur?
A) 8
2.
B) 10
C) 15
D) 18
E) 24
9 elemanlý bir kümenin 3 elemanlý alt küme
sayýsý kaçtýr?
A) 84
B) 80
C) 74
D) 62
E) 56
6.
A kümesinin 4 elemanlý alt kümelerinin kaç
tanesinde 2 ve 5 birlikte bulunur?
B) 5
C) 6
D) 10
E) 16
E g e Ya y ý n c ý l ý k
A) 1
3.
Bir toplantýda bulunan 12 kiþi herbiri diðeriyle
tokalaþmak þartýyla kaç farklý þekilde tanýþabilir?
A) 78
B) 66
C) 60
D) 55
7.
E) 48
A kümesinin 4 elemanlý alt kümelerinin kaç
tanesinde 1 elemaný bulunmaz?
A) 5
⎛n⎞ ⎛ n ⎞
⎜ ⎟ +⎜
⎟ = 36
⎝ 2 ⎠ ⎝ n − 1⎠
4.
8.
olduðuna göre, n kaçtýr?
A) 9
B) 8
C) 7
D) 6
E) 5
C) 12
D) 18
E) 20
A kümesinin 3 elemanlý alt kümelerinin kaç
tanesinde 2 bulunur, 6 bulunmaz?
A) 15
17
B) 10
B) 12
C) 10
D) 6
E) 5
9.
13. 4 doktor, 3 hemþire arasýndan 2 si hemþire olan
Bir kümenin 3 elemanlý alt kümesinin sayýsý, 4
elemanlý alt kümelerinin sayýsýna eþit olduðuna
göre, bu kümenin eleman sayýsý kaçtýr?
A) 5
B) 6
C) 7
D) 8
3 kiþilik bir saðlýk ekibi kaç farklý þekilde oluþturulabilir?
E) 9
A) 10
B) 12
C) 18
D) 20
E) 24
10. 10 kiþilik bir topluluktan 6 kiþilik bir voleybol takýmý
oluþturulacaktýr.
Kaç farklý þekilde oluþturulabilir?
A) 260
B) 240
C) 210
14. 5 kýz, 3 erkek öðrenci arasýndan 2 si kýz olan 3
D) 180
E) 150
kiþilik bir ekip kaç farklý þekilde oluþturulabilir?
11. Bir lokantada 5 çeþit yemek, 3 çeþit salata ve 4 çeþit
tatlý vardýr.
B) 130
C) 120
D) 100
C) 20
D) 24
E) 30
15. 8 farklý seçmeli dersin ikisi ayný saatte verilmektedir.
Ýki yemek, bir salata ve bir tatlý çeþidi kaç farký
þekilde tercih edilebilir?
A) 140
B) 15
E g e Ya y ý n c ý l ý k
A) 10
Bu derslerden ikisini seçmek isteyen Büþra'nýn
kaç farklý seçeneði vardýr?
E) 96
A) 12
B) 15
C) 20
D) 24
E) 27
12. 16 kiþilik bir sýnýftan bir futbol takýmý oluþturulmak isteniyor. Kaleci ile kaptanýn seçilmesi
kesin olduðuna göre, bu takým kaç farklý þekilde
kurulabilir?
⎛ 16 ⎞
A) ⎜ ⎟
⎝ 11⎠
⎛ 14 ⎞
B) ⎜ ⎟
⎝ 11 ⎠
⎛ 14 ⎞
D) ⎜ ⎟
⎝9⎠
16. Bir üniversitedeki 7 deðiþik seçmeli dersten üçü
ayný saatte verilmektedir.
⎛ 16 ⎞
C) ⎜ ⎟
⎝9⎠
Bu 7 dersten üçünü seçmek isteyen bir öðrencinin kaç farklý seçeneði vardýr?
⎛ 14 ⎞
E) ⎜ ⎟
⎝8⎠
A) 12
B) 18
C) 22
D) 36
E) 40
18
1.C
2.A
3.B
4.B
5.B
6.C
7.A
8.D
9.C
10.C
11.C
12.D
13.B
14.E
15.E
16.C
TEST : 08
Kombinasyon
1.
5.
5 kiþinin katýldýðý bir sýnav baþarý yönünden kaç
farklý biçimde sonuçlanabilir?
A) 16
B) 20
C) 24
D) 32
E) 48
6 farklý oyuncak her bir çocuða ikiþer tane verilmek þartýyla üç çocuða kaç farklý þekilde
daðýtýlabilir?
A) 60
2.
6.
5 kiþinin katýlacaðý bir gezi iki araçla yapýlacaktýr.
Arabalardan biri 3, diðeri 2 kiþilik olduðuna göre, bu kiþiler araçlara kaç farklý þekilde yerleþebilir?
B) 12
C) 15
D) 18
C) 84
D) 90
E) 96
Farklý 7 hikaye kitabý her öðrenciye üçer tane
verilmek þartýyla 2 öðrenciye kaç farklý þekilde
daðýtýlýr?
A) 35
B) 70
C) 96
D) 120
E) 140
E) 20
E g e Ya y ý n c ý l ý k
A) 10
B) 72
3.
A) 21
4.
7.
7 kiþi biri 3, diðeri 4 kiþilik iki gruba kaç farklý þekilde ayrýlabilir?
B) 24
C) 35
D) 46
E) 52
A) 8
6 öðrenci arasýndan 3 kiþilik bir ekip, bu ekip içinden
de bir baþkan seçilecektir.
8.
Kaç farklý seçim yapýlabilir?
A) 60
B) 52
C) 48
D) 36
Bir kümenin 2 den az elemanlý 8 tane alt kümesi
olduðuna göre, bu küme kaç elemanlýdýr?
E) 20
C) 6
D) 5
E) 4
Ýki elemanlý alt kümelerinin sayýsý 15 olan kümenin, eleman sayýsý kaçtýr?
A) 8
19
B) 7
B) 7
C) 6
D) 5
E) 4
9.
13. Bir topluluktaki kiþilerden elde edilen tüm ikili grup-
7 soruluk bir final sýnavýnda 4 sorunun cevaplandýrýlmasý istenmektedir.
larýn sayýsý topluluktaki kiþilerin sayýsýnýn 2 katýna
eþittir.
Ýlk iki soruyu cevaplamak zorunda olan bir öðrenci kaç farklý seçim yapabilir?
A) 35
B) 21
C) 18
D) 12
Buna göre, topluluk kaç kiþidir?
E) 10
A) 3
10. 4 erkek, 3 kýz öðrencinin bulunduðu bir toplu-
C) 15
D) 18
D) 6
E) 7
bir rafa kaç farklý þekilde dizilebilir?
A) 120
B) 110
C) 100
D) 90
E) 84
E) 24
E g e Ya y ý n c ý l ý k
B) 12
C) 5
14. 6 tane farklý hikaye kitabý içinden seçilen 3 kitap,
lukta en az biri kýz olan 2 kiþilik grup kaç farklý
þekilde oluþturulabilir?
A) 9
B) 4
11. 8 soruluk bir sýnavda 5 sorunun cevaplandýrýlmasý
15. 7 öðrenci arasýndan seçilen 3 kiþilik öðrenci grubu
istenmektedir.
ünlü bir futbolcu ile fotoðraf çektirecektir.
Ýlk 3 sorudan en az ikisini cevaplamak zorunda
olan bir öðrenci sorularý kaç farklý þekilde cevaplandýrabilir?
A) 10
B) 20
C) 30
D) 40
Kaç farklý þekilde fotoðraf çektirebilirler?
A) 960
B) 920
C) 840
D) 820
E) 740
E) 50
16. Ýçlerinde Salim ile Erkan’ýnda bulunduðu 6 kiþilik
gruptan 3 kiþilik bir ekip seçilecektir.
12. 4 doktor, 5 hemþire arasýndan en az biri doktor
olan 3 kiþilik saðlýk ekibi kaç farklý þekilde oluþturulabilir?
Salim’in bulunduðu, Erkan’ýn bulunmadýðý kaç
farklý grup oluþturulabilir?
A) 30
A) 20
B) 44
C) 50
D) 74
E) 82
B) 16
C) 12
D) 8
E) 6
20
1.D
2.A
3.C
4.A
5.D
6.E
7.B
8.C
9.E
10.C
11.D
12.D
13.C
14.A
15.C
16.E
TEST : 09
Kombinasyon
1.
5.
Düzlemde herhangi üçü doðrusal olmayan 9
noktadan kaç farklý doðru geçer ?
A) 36
B) 32
2.
C) 28
D) 24
E) 20
Düzlemde herhangi ikisi paralel olmayan 9
doðru en çok kaç noktada kesiþir?
A) 30
B) 33
C) 36
D) 40
E) 46
Þekilde verilen 9 noktadan kaç farklý doðru
geçer?
6.
B) 42
C) 36
D) 30
A) 24
E) 24
B) 21
C) 18
D) 16
E) 14
E g e Ya y ý n c ý l ý k
A) 45
Düzlemde bulunan 7 doðrudan 3 tanesi birbirine
paralel olduðuna göre, bu doðrular en çok kaç
farklý noktada kesiþir?
3.
7.
Bir düzlemde 4'ü doðrusal olan toplam 7 nokta
vardýr.
Bu noktalardan en çok kaç doðru geçer?
A) 15
B) 16
4.
C) 18
D) 20
A) 20
E) 21
Þekilde verilen karenin
üzerindeki 8 noktadan en
fazla kaç farklý doðru
çizilebilir?
A) 24
B) 22
C) 21
D) 20
Düzlemde bulunan 8 doðrudan 3'ü sabit bir noktadan geçtiðine göre, bu doðrular en çok kaç
farklý noktada kesiþir?
8.
21
C) 26
D) 28
E) 30
Düzlemde herhangi üçü doðrusal olmayan 8 nokta
vardýr. Bu noktalardan herhangi üçünü köþe
kabul eden en fazla kaç üçgen çizilebilir?
A) 48
E) 19
B) 24
B) 52
C) 56
D) 60
E) 66
9.
13.
Birbirine paralel d1 ve d2 doðrularýnýn her birinin
üzerinde dört farklý nokta vardýr.
Yandaki þekilde kaç
tane üçgen vardýr?
A
Bu 8 noktayý köþe kabul en fazla kaç üçgen
çizilebilinir?
A) 48
B) 42
C) 40
D) 36
E) 32
B
C
A) 12
10.
d
B) 28
C) 18
D) 21
E) 24
Köþelerinden sadece
biri d doðrusu üzerinde
bulunan kaç üçgen
çizilebilir?
14.
A) 24
B) 15
C) 30
D) 36
d1 d2 d3
d4
k1
E) 40
Yatay ve düþey doðrular birbirine paraleldir.
k2
11.
Þekilde verilen noktalardan herhangi üçünü
köþe kabul eden en
çok kaç üçgen çizilebilir?
A) 84
B) 72
C) 70
D) 69
E g e Ya y ý n c ý l ý k
k3
Yukarýdaki þekilde kaç tane paralel kenar
vardýr?
A) 24
C) 18
D) 15
E) 12
15. Bir çember üzerinde bulunan 7 nokta ile en çok
E) 66
kaç tane dörtgen oluþturulur?
A) 35
12.
B) 21
B) 36
C) 40
D) 42
E) 48
Þekilde verilen karelerin üzerindeki 10 noktadan en fazla kaç farklý üçgen çizilir?
16. Ayný düzlemde alýnan 3 farklý çember en fazla
kaç noktada kesiþir?
A) 120
B) 115
C) 110
D) 105
A) 4
E) 100
B) 6
C) 8
D) 10
E) 12
22
1.A
2.C
3.B
4.E
5.C
6.C
7.C
8.C
9.A
10.E
11.D
12.D
13.B
14.C
15.A
16.B
ALIÞTIRMA : 07
Pascal Üçgeni ve Binom Açýlýmý
1.
1. Paskal üçgeninde her satýrýn ilk ve son sayýlarý 1 dir.
1
1
1
1
1
1
2
3
4
5
2. n ∈ N için (x + y)n açýlýmýnda n+1 tane terim vardýr.
1
3
x
10
3. (x – y)n açýlýmýndaki katsayýlarýnýn iþaretleri +, –, +,
1
–, ... þeklindedir.
1
4
10
4. Binom açýlýmý;
1
y
⎛n ⎞
⎛n⎞
⎛n ⎞
(x + y)n = ⎜ ⎟ xn + ⎜ ⎟ xn−1 .y + ⎜ ⎟ xn −2 .y 2
⎝0⎠
⎝1 ⎠
⎝2⎠
⎛n ⎞
⎛ n ⎞
n −1 ⎛ n ⎞ n
+ ⎜ ⎟ xn−3 .y3 + ... + ⎜
+⎜ ⎟y
⎟ x.y
⎝3⎠
⎝ n − 1⎠
⎝ n⎠
1
Yukarýdaki paskal üçgenine göre, x + y toplamýný
bulunuz.
þeklindedir.
⎛ n ⎞ ⎛ n⎞ ⎛ n ⎞
⎝ 0 ⎠ ⎝1 ⎠ ⎝ 2 ⎠
⎛ n⎞
⎝ n⎠
5. ⎜ ⎟ , ⎜ ⎟ ,⎜ ⎟ , ..., ⎜ ⎟ katsayýlarýna binom katsayýlarý denir.
6. x in üsleri n den sýfýra kadar terim terim azalýr, y nin
C: 11
2.
üsleri 0 dan n e kadar terim terim artar.
7. Her terimdeki x ve y nin üsleri toplamý n dir.
1
8. Baþtan ve sondan eþit uzaklýktaki terimlerin kat-
1
1
sayýlarý eþittir.
1
1
1
1
1
1
1
Yukarýdaki paskal üçgenindeki 4, 5 ve 6. satýrý
doldurunuz.
3.
E g e Ya y ý n c ý l ý k
1
4.
Aþaðýdaki binom açýlýmlarýný yapýnýz.
a)
(x + y)2 = 1 . x2 + 2 .xy + 1 . y2
b)
(x + y)3 = 1 . x3 + 3 . x2y + 3 . xy2 + 1 . y3
c)
(x + y)4 =
d)
(x – y)3 =
e)
(x – y)4 =
⎛ 0⎞
⎜ ⎟
⎝ 0⎠
⎛ 1⎞
⎜ ⎟
⎝0⎠
⎛2⎞
⎜ ⎟
⎝0⎠
⎛ 3⎞
⎜ ⎟
⎝ 0⎠
⎛1⎞
⎜ ⎟
⎝1⎠
⎛2⎞
⎜ ⎟
⎝ 1⎠
⎛ 3⎞
⎜ ⎟
⎝ 1⎠
⎛ 2⎞
⎜ ⎟
⎝2⎠
⎛ 3⎞
⎜ ⎟
⎝ 2⎠
⎛ 3⎞
⎜ ⎟
⎝ 3⎠
Yukarýdaki paskal üçgenindeki 5. ve 6. satýrý
doldurunuz.
23
5.
8.
Aþaðýdaki binom açýlýmlarýný örneðe benzer þekilde yapýnýz.
a)
⎛ 3⎞
⎛ 3⎞
⎛ 3⎞
(x + y)3 = ⎜ ⎟ x3 + ⎜ ⎟ x2 y + ⎜ ⎟ xy 2
⎝ 0⎠
⎝1 ⎠
⎝2⎠
b)
(x – y)3 =
c)
(2x + 1)4 =
(x – y)n açýlýmýnda 8 terim olduðuna göre, n
doðal sayýsýný bulunuz.
⎛ 3⎞
+ ⎜ ⎟ y3
⎝ 3⎠
C:7
9.
5y)n
(4x –
açýlýmýnda 13 terim olduðuna göre, n
doðal sayýsýný bulunuz.
C : 12
(x +
Terim Sayýsý
y)2
(2x – 3y)3
(3x – 2y)2
(x – y)7
11.
(2x2
3y)n
–
açýlýmýndaki bir terim
göre, n doðal sayýsýný bulunuz.
Ax8y3
12.
(3x3
2y2)n
10. (3x +
Aþaðýdaki binom açýlýmlarýndaki terim sayýlarýný
yazýnýz.
Binom Açýlýmý
açýlýmýndaki bir terim
göre, n doðal sayýsýný bulunuz.
Ax4y3
olduðuna
E g e Ya y ý n c ý l ý k
6.
y)n
(4x – 3y)10
7.
C:7
olduðuna
Aþaðýdaki binom açýlýmlarýndaki m + n toplamlarýný bulunuz.
a)
(x + y)5 = x5 + ... + 10xmyn + ... + y5
b)
(x – y)4 = x4 – ... + 6xmyn + ... + y4
c)
C:7
Ax9y4
–
açýlýmýndaki bir terim
na göre, n doðal sayýsýný bulunuz.
olduðu-
(x + 3y)6 = x6 + ... + Axmyn + By6
C:5
24
ALIÞTIRMA : 08
Binom Açýlýmý ve Özellikleri
– y)n açýlýmýnda,
(x +
2.
1. Sabit terimi bulmak için deðiþkenler yerine sýfýr (0)
yazýlýr. Yani,
Aþaðýdaki binom açýlýmlarýndaki katsayýlarýn
toplamýný bulunuz.
a)
(x + y – 2)10 =
x=y=0
2. Katsayýlar toplamýný bulmak için deðiþkenler yerine
bir (1) yazýlýr. Yani,
x=y=1
C:0
b)
Aþaðýdaki binom açýlýmlarýndaki sabit terimleri
bulunuz.
a)
(x + y + 2)5 =
C : 64
c)
C : 32
b)
(3x – 2y +
3)4
=
E g e Ya y ý n c ý l ý k
1.
(2x – 3y + 3)6 =
(2x – 3y + 4z)5 =
C : 243
d)
(2x – 5y + 2)2014 =
C : 81
c)
(2x + 3y – 4z –
1)2013
C:1
=
3.
d)
(2a +
3b)2014
(3x2 + 3y – 2)8
C : –1
açýlýmýnda katsayýlar toplamý x, sabit terim y olx
duðuna göre,
oranýný bulunuz.
y
C:0
C : 256
=
25
– y)n açýlýmýnda, x in azalan kuvvetlerine göre
(x +
düzenlenirse; baþtan (r + 1). terim,
n ∈ N+ olmak üzere, (x + y)2n açýlýmý x in azalan
kuvvetlerine göre düzenlenirse ortanca terim,
⎛ 2n ⎞ n n
⎜ ⎟ x y dir.
⎝n⎠
4.
⎛ n ⎞ n −r r
⎜ ⎟ x .y dir.
⎝r⎠
(x + y)6 açýlýmý, x in azalan kuvvetlerine göre düzenlenirse ortanca terimi ne olur?
8.
(2x + y)6 açýlýmýnda terimler x in azalan kuvvetlerine göre, düzenlendiðinde baþtan 3. terimi
bulunuz.
C : 240x4y2
C : 20x3y3
9.
(2x + y)4 açýlýmý x in azalan kuvvetlerine göre,
düzenlenirse ortanca terimin katsayýsýný bulunuz.
(x + y)8 açýlýmýnda terimler x in azalan kuvvetlerine göre, düzenlendiðinde baþtan 4. terimi
bulunuz.
E g e Ya y ý n c ý l ý k
5.
C : 24
C : 56x5y3
6.
10
1⎞
⎛
⎜2 − ⎟
x⎠
⎝
açýlýmýndaki ortanca terimi bulunuz.
10.
⎛ 10 ⎞ ⎛ 2 ⎞
C : −⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ 5 ⎠⎝ x ⎠
7.
C : 21x
5
9
11. ⎛⎜ x2 − 1 ⎞⎟ açýlýmýnda baþtan 4. terimin katsayý-
8
⎛ 2 1 ⎞ açýlýmýnda ortanca terimi bulunuz.
⎜x − ⎟
x⎠
⎝
C:
7
1 ⎞
⎛
⎜ x + 2 ⎟ açýlýmýnda baþtan 3. terimi bulunuz.
x ⎠
⎝
⎝
x⎠
sýný bulunuz.
70x4
C : –84
26
TEST : 10
Binom Açýlýmý
1.
5.
1
1
1
1
1
1
2
x
4
A) 16
1
3
y
(4x + 5y – 7)5 açýlýmýnda katsayýlar toplamý kaçtýr?
B) 24
C) 30
D) 32
E) 64
1
z
1
Yukarýdaki paskal üçgeninin ilk 5 satýrý verilmiþtir.
Buna göre, x + y + z toplamý kaçtýr?
A) 6
B) 9
C) 10
D) 13
E) 15
6.
(x – 5y + 2)6 açýlýmýnda sabit terim kaçtýr?
A) 128
2.
B) 96
C) 64
D) 60
E) 32
Aþaðýdakilerden hangisi (x – y)4 açýlýmýndaki
terimlerden biri deðildir?
A) x4
B) –4x3y
C) 6x2y2
E) y4
E g e Ya y ý n c ý l ý k
D) 4xy3
3.
7.
Aþaðýdakilerden hangisi yanlýþtýr?
A) (x + y)2 = x2 + 2xy + y2
(4x – 3y)n açýlýmýndaki bir terim Ax8y4 olduðuna
göre, n doðal sayýsý kaçtýr?
A) 13
B) (x – y)3 = x3 – 3x2y + 3xy2 – y3
B) 12
C) 11
D) 10
E) 9
C) (x – 2y)4 = x4 – 4x3y + 6x2y2 – 4xy3 – 8y3
D) (x + 1)4 = x4 + 4x3 + 6x2 + 4x + 1
E) (2a – 1)2 = 4a2 – 4a + 1
4.
x = 9 için x3 + 3x2 + 3x + 1 ifadesinin deðeri kaçtýr?
A) 999
B) 1000
C) 1001
D) 1002
8.
E) 1003
(2x2 + 5y)n açýlýmýndaki bir terim Ax12y5 olduðuna göre, n doðal sayýsý kaçtýr?
A) 9
27
B) 10
C) 11
D) 12
E) 16
9.
(2x + y)13 açýlýmýndaki baþtan 6. terimin katsayýsý kaçtýr?
⎛ 13 ⎞
A) ⎜ ⎟
⎝5⎠
⎛13 ⎞ 5
B) ⎜ ⎟ .2
⎝8⎠
4
13. ⎛⎜ 2x + 3 ⎞⎟ açýlýmýnda sabit terim kaçtýr?
⎛13 ⎞ 5
D) ⎜ ⎟ .2
⎝5⎠
x⎠
⎝
⎛13 ⎞ 7
C) ⎜ ⎟ .2
⎝7⎠
A) 36
B) 72
C) 164
D) 188
E) 216
⎛13 ⎞ 8
E) ⎜ ⎟ .2
⎝5⎠
9
14. ⎛⎜ x − 2 ⎞⎟ açýlýmýnda sabit terim kaçtýr?
2
8
10. ⎛⎜ x2 − 1 ⎞⎟ açýlýmýndaki baþtan 3. terimin katsax⎠
⎝
yýsý kaçtýr?
B) –28
C) 28
D) 42
x ⎠
A) –672
B) –576
E) 56
D) –288
C) –428
E) –272
E g e Ya y ý n c ý l ý k
A) –56
⎝
8
15. ⎛⎜ x − 2 ⎞⎟ açýlýmýnda ortanca terim kaçtýr?
7
⎝
11. ⎛⎜ 2x − 1 ⎞⎟ açýlýmýnda x–5 li terimin katsayýsý kaç3
⎝
x ⎠
A) 1120x
týr?
A) –560
12.
x⎠
B) –250
C) –140
D) 120
6
6
16. ⎛⎜ x 2 + 1 ⎞⎟ açýlýmýnda ortanca terim kaçtýr?
3
⎝
eþitliðinde A kaçtýr?
B) 280
C) 160
C) 1120
1120
E)
x
D) 1210
E) 280
⎛ 3 2⎞
6
⎜ x − ⎟ = ..... + A . x + .....
x⎠
⎝
A) 320
B) 1100
D) –120
A)
E) –160
x ⎠
30
x
B)
20
x
2
C)
1
x
3
D)
20
x
3
E)
120
x3
28
1.D
2.D
3.C
4.B
5.D
6.E
7.B
8.C
9.E
10.C
11.A
12.E
13.E
14.A
15.C
16.D
Download

Örnek Kitap