FRİEDMAN İKİ YÖNLÜ VARYANS ANALİZİ
Tekrarlı ölçümlerde tek yönlü varyans analizinin varsayımları yerine gelmediğinde
kullanılabilecek olan değiĢik parametrik olmayan testler vardır. Freidman iki yönlü varyans analizi bu
testler arasında en bilinenidir. Özellikle denek sayısının az ya da verilerin sayımla belirtildiği ya da
sıralama ölçeğinde olduğu durumlarda kullanılır.
Örnekler
1. Tekrarlı ölçümlerde tek yönlü varyans analizi için verilen örnekler, denek sayılarının az,
verilerin sayımla belirtildiği vb. durumlarda Freidman iki yönlü varyans analizi ile
karĢılaĢtırılabilir.
2. BESYO „ya kaydı yapılan öğrencilerin hangi spor branĢına ilgi duyduğunu belirlemek
amacıyla, öğrencilerden verilen 5 branĢı; en ilgi duydukları branĢ için 1, hiç ilgi duymadıkları
branĢ için 5 olacak Ģekilde numaralamaları isteniyor. Örnek tablo aĢağıdadır. “Öğrenciler belli
bir branĢa eğilim göstermekte midir?” Ģeklindeki bir soru Friedman iki yönlü varyans analizi
ile araĢtırılabilir.
SPOR BRANŞI
Öğrenci A B
1
2 3
2
3 2
3
3 2
.
.
N
3 4
Friedman testinde, F yada Ki-kare (
C
5
3
3
D
1
1
2
E
4
4
4
3 2 5
x ) test istatistiklerinden biri yardımıyla çözüme
2
ulaĢabilir. Burada, her iki yaklaĢıma iliĢkin formüller de verilecektir. Gruplar arasındaki farkın anlamlı
olduğu durumlarda, hangi gruplar arasında fark olduğunu anlamak amacıyla yapılacak ikili
karĢılaĢtırmalar için, F değerinin bulunmasında kullanılan “iki istatistik” yardımıyla elde edilen güven
aralıklarından yararlanılacaktır.
F ya da Ki-kare istatistiklerinden birini bulabilmek için Tablo 1‟daki verileri dikkate alalım.
Önce her bir satırdaki gözlemlere 1‟den baĢlayarak küçükten büyüğe doğru (aynı değeri alan
gözlemler de dikkate alınarak) sıra numarası verilir. Daha sonra her bir gruba (sütuna) iliĢkin sıra
numaraları ve sıra numaralarının kareleri toplanarak test istatistiğinin elde etmekte kullanılır.
a. Friedman için x R2 test istatistiği ;
x R2 =
12
n.k ( K  1)
k
 (R
j 1
j
) 2 -3n(k+1)
(1) ile verilir.
Burada,
n : Satır sayısı
k : Grup (sütun) sayısı
Prof.Dr.Ömer SATICI Dicle Üniversitesi Tıp Fakültesi Biyoistatistik Anabilim Dalı 2011-2012
R j : Her bir gruba (sütuna) iliĢkin sıra numaraları toplamıdır.
Ġstatistiksel karar için, hesapla bulunan x R2 değeri, n ve k‟nın küçük değerleri için geliĢtirilen
tablo değerleri (EK Tablo 9) ile karĢılaĢtırılır
b. Friedman için F istatistiği
Friedman çift yönlü varyans analizi için F istatistiği;
(n  1) [ B 2  n.k (k  1) 2 / 4]
F=
A2  B2
( 2) ile verilir.
Burada,
n : Satır sayısı
k : Grup (sütun) sayısı
A 2 : Sıra numaralarının kareleri toplamı
Benzer gözlemlerin olmadığı durumlarda A 2 değeri kısa yoldan
A 2 =nk(k+1) (2k+1) /6
(3) yardımıyla bulanabilir.
B2 :
B2 =
1 k
 (R j ) 2
n j 1
(4) dir.
Ġstatistiksel karar için, hesapla bulunan F istatistiği, seçilen α yanılma düzeyindeki
k1  k  1 ve k 2 = (n-1) (k-1) serbestlik dereceli F tablo istatistiği ile karıĢtırılır. F tablosunda k1 ‟e
soldan sağa, k 2 ‟ye yukarıdan aĢağıya doğru bakılır. FH  FT ise H 0 hipotezi reddedilir.
ĠKĠġERLĠ KARġILAġTIRMALAR
Test sonucunda gruplar arasında fark varsa, farklılığın hangi gruplar arasında olduğu aĢağıdaki
yaklaĢım yardımıyla araĢtırılabilir. Buna göre ;
| Ri1  R j |> t
2n( A2  B2 )
(n  1)(k  1)
(5) ise
karĢılaĢtırılan gruplar arasındaki farkın anlamlı olduğu söylenir. (5) „de ki t değeri ; (n-1)x(k-1)
serbestlik dereceli ve çift yönlü t tablo istatistiğidir.
Örnek : 12 sporcunun vücut yağ yüzdeleri 3 farklı yöntemle ölçülmüĢtür. 1. Su altında tartılama, 2.
Toplam vücut suyu, 3. Potasyum 4. Vücut yağ yüzdesi ölçüm yöntemleri arasında fark var mıdır?
Aynı sporcuların vücut yağ yüzdeleri 3 farklı yöntemle elde edilmektedir. Gruplar bağımlıdır. Veri
ölçümle belirtilmekle birlikte kişi sayısı azdır.
Prof.Dr.Ömer SATICI Dicle Üniversitesi Tıp Fakültesi Biyoistatistik Anabilim Dalı 2011-2012
12 sporcunun vücut yağ yüzdeleri ve her sporcunun 3 yönteme göre aldığı değerlerin sıra
numaraları (rankları) Tablo 7.28 de verilmiĢtir. Ġlk sporcu en küçük yağ yüzdesini 3‟üncü yöntemden,
en büyük yağ yüzdesini 1‟inci yöntemden aldığı için sıra numaraları; 3‟üncü yöntem için 1, 2‟nci
yöntem için 2 ve 3‟üncü yöntem için 3 olacaktır. Ġkinci sporcuya iliĢkin verilerde 19.8 iki kez
tekrarlandığı için, tekrarlanan gözlemlere iliĢkin sıra numaraları toplamının yarısı “yeni sıra numarası”
olarak verilir. Her bir yöntem için sıra numaraları toplamları ( R j ), tablonun en alt satırında
verilmiĢtir.
Tablo 2 Farklı Yöntemle Elde Edilen Vücut Yağ
Yüzde Ölçümleri ve Sıra Numaraları
Yağ % Ölçüm Yöntemleri
SPORCU 1
2
3
1
16.2 15.8 15.3
2
19.3 19.8 19.8
3
11.6 10.9 11.4
4
18.2 17.8 17.5
5
16.3 16.7 17.0
6
12.4 13.0 12.9
7
12.5 12.0 12.3
8
9.3 9.0 9.1
9
18.7 17.7 18.0
10
21.1 21.4 20.6
11
20.8 20.2 19.8
12
23.1 22.8 33.4
Toplam
Sıra Numaraları
R(1) R(2) R(3)
3
2
1
1
2.5
2.5
3
1
2
3
2
1
1
2
3
1
3
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
2
3
1
3
2
1
2
1
3
28
21.5 22.5
Tablo 2‟de görüldüğü gibi, verilerde tekrarlanan gözlemler vardır. Bu nedenle, F değerinin
bulunmasında kullanılacak olan A2 , her bir sıra numarasının karesi alınarak elde edilir;
A2 = 32  12  32  32  ........  12  32 =167.5 . B2 ise (7.44)‟ den ;
B2 =
1
[( 28 2 )  (21.5) 2  (22.5) 2 ]=146.0417 olarak bulunur. Bu bilgiler çerçevesinde test
12
süreci aĢağıdaki gibidir.
1.
H 0 : Vücut yağ yüzdeleri açısından üç yöntem arasında fark yoktur.
H 1 :Üç yöntem arasında fark vardır.
2. Test istatistiği, (7.41) yardımıyla,
x R2 
12
[( 28 2 )  (21.5) 2  (22.5) 2 ]-3 (12) (3+1)=2.0416 olarak bulunur.
(12)(3)(3  1)
3. Yanılma düzeyi olarak α=0.05 alınmıĢtır. Gözlem sayısı oldukça azdır. Bu nedenle hesapla
bulunan test istatistiği Ek Tablo 9‟da verilen tablo istatistiği ile karĢılaĢtırılır. Ek Tablo 9‟da
n=12 ve K=3 serbestlik dereceli tablo istatistiği α=0.05 için 6.3 olarak bulunur.
Prof.Dr.Ömer SATICI Dicle Üniversitesi Tıp Fakültesi Biyoistatistik Anabilim Dalı 2011-2012
4. Ġstatistiksel karar: x R2 =2.0416 < 6.5 olduğu için H 0 hipotezi kabul edilir ve vücut yağ
yüzdesini kestirmekte kullanılan üç yöntem arasında anlamlı bir fark olmadığı söylenir.
(P>0.05).
Aynı sonu F dağılımı yardımı ile de çözebiliriz. Buna göre F değeri (7.42) yardımıyla
;
(12  1)[146.0417 - (12) (3) (3  1) 2 / 4]
 1.0466 olarak bulunur. Hesapla bulunan F
167.5 - 146.0417
değeri k1  k  1  3  1  2 ve k 2 = (n-1) (k-1)= (12-1) (3-1) =22 serbestlik dereceli F tablo
F=
istatistiği ile karĢılaĢtırılır. FH  1.0466  FT ( 0.05; 2,22) =3.44 olduğu için H 0 hipotezi kabul edilir.
Friedman iki yönl
Varyans analizi verilerin doğrudan rank olarak elde edildiği çalıĢmalarda da sık sık kullanılır. Buna
iliĢkin bir örnek aĢağıda verilmiĢtir.
Örnek: 10 Beden Eğitimi ve Spor Yüksek Okulu 1.sınıf öğrencisinden, aĢağıda belirtilen 5 çalıĢma
alanını; en çok istedikleri alan 1, h,ç istemedikleri alan 5 olacak Ģekilde sıralamaları istenmiĢtir.
Acaba, öğrencilerin çalıĢma alanı tercihlerinde belirgin bir eğilim var mıdır?
A: Özel bir spor kompleksinde yönetici olarak çalıĢmak
B:Antrenör olarak çalıĢmak
C:Beden eğitimi ve spor öğretmeni olarak çalıĢmak
D:Üniversitede öğretim elemanı olarak çalıĢmak
E:Sporla ilgili olmayan bir konuda çalıĢmak
ÇalıĢma sonunda elde edilen sonuçlar aĢağıdadır.
1.sınıf öğrencilerinin çalıĢma alanı tercihleri
TERCĠHLER
ÖĞRENCĠ
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
TOPLAM
A
2
1
3
2
2
3
3
2
1
2
21
B
4
4
4
5
4
4
4
4
2
5
40
C
5
3
2
1
3
1
2
3
3
3
26
D
1
2
1
3
1
2
1
1
4
1
17
E
3
5
5
4
5
5
5
5
5
4
46
Prof.Dr.Ömer SATICI Dicle Üniversitesi Tıp Fakültesi Biyoistatistik Anabilim Dalı 2011-2012
Gruplar arasında fark olup olmadığı F dağılımı yardımıyla yapılacaktır. Buna göre,
A2 ve B2
değerleri aĢağıdaki gibi olacaktır. Sıra numaraları dağılımında tekrarlayan gözlemler olmadığı için A2
değeri (7.43) yardımıyla, A2 =(10) (5) (5+1) (2(5)+1) /6=550 olarak bulunur. B2 değeri ise (7.44)
yardımıyla,
B2 =
1
(212  40 2  26 2  17 2  46 2 ) =512.2
10
olarak bulunur. Bu bilgiler yardımıyla test süreci aĢağıda verilmiĢtir.
1.
H 0 : Öğrencilerin okul bitirme sonrası çalıĢma alanı tercihleri birbirine benzerdir.
H 1 : Öğrencilerin okul bitirme sonrası çalıĢma alanı tercihleri birbirine benzer değildir.
2. Test istatistiği (7.42) yardımıyla,
(10  1)[512.2 - (10) (5) (5  1) 2 / 4]
F=
 14.8095 olarak bulunur.
550  512.2
3. Yanılma düzeyi olarak α=0.05 alınmıĢtır. Gerekli F tablo istatistiği FT (0.05; 4,36)  2.61
olarak bulunur. (not: ki-kare test istatistiği 24.88 olarak bulunur)
4. Ġstatistiksel karar: FH =14.8095> FT (0.05; 4,36)  2.61 olduğu için H 0 hipotezi reddedilir.
Buna göre 1.sınıf öğrencilerin tercihleri farklı Ģekilde ortaya çıkmaktadır en tercih edilen
seçenek, öğrencilerin ileride öğretim üyesi olmak istemeleridir.
ĠKĠġERLĠ KARġILAġTIRMALAR
Gruplar arasında fark bulunduğu için, farklılığın hangi gruplar arasında olduğu
araĢtırılır. Bu amaçla, (7.45) eĢitsizliğinin sağ tarafı bulunur. (7.45)‟deki t değeri ; (10-1) (51)=36 serbestlik dereceli ve α=0.05 için çift yönlü t tablo istatistiği olup tT (0.05;36)  2.021
olarak bulunur.
Buradan eĢitsizliğin sağ tarafı;
2.021
2(10)(550  512.2)
=9.261
(10  1)(5  1)
Olarak bulunur. Buna göre sıra numaraları toplamı farkları 9.261‟den daha büyük olan gruplar
arasında fark olduğu söylenir. Örneğimiz için grup sıra toplamlarına iliĢkin farklar ve anlamlı olup
olmadıkları aĢağıdaki tabloda gösterilmiĢtir.
Prof.Dr.Ömer SATICI Dicle Üniversitesi Tıp Fakültesi Biyoistatistik Anabilim Dalı 2011-2012
Farklara ĠliĢkin KarĢılaĢtırmalar
GRUPLAR
Ri  R j |
A-B
A-C
A-D
A-E
B-C
B-D
B-E
C-D
C-E
D-E
|21-40| =19
|21-26|=5
|21-17|=4
|21-46|=25
|40-26|=14
|40-17|=23
|40-46|=6
|26-17|=9
|26-46|=20
|17-46|=29
P
>9.261
<9.261
<9.261
>9.261
>9.261
>9.261
<9.261
<9.261
>9.261
>9.261
<0.05
>0.05
>0.05
<0.05
<0.05
<0.05
>0.05
>0.05
<0.05
<0.05
KAYNAK: REHA ALPAR Ġstatistik ve Spor Bilimleri BAĞIRGAN YAYN EVĠ
MAYIS 1998 ANKARA
Prof.Dr.Ömer SATICI Dicle Üniversitesi Tıp Fakültesi Biyoistatistik Anabilim Dalı 2011-2012
Download

)1 (. 12 + Kkn R ( - Dicle Üniversitesi