18.11.2014
No:
Ad-Soyad:
İmza:
Soru
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Toplam
Puanlama
20
20
20
20
20
20
20
20
100
Alınan Puan
405024142006.1 CEBİRSEL TOPOLOJİ ARASINAVI SORULARI
(ÖRGÜN ÖĞRETİM)
Not: Süre 90 Dakika. İstediğiniz 5 soruyu cevaplayınız.
1. I = [0, 1] ⊂ R birim aralık ve S 1 ⊂ R2 birim çember olmak üzere
f : I → S1,
f (t) = e2πit
dönüşümünün homeomorfizma olup olmadığını belirleyiniz.
Cevap :
2. p : X −→ Y sürekli ve örten bir dönüşüm olsun. Eğer p dönüşümü açık dönüşüm ise p
identifikasyon dönüşümdür. İspatlayınız.
Cevap :
3. Z tamsayılar kümesi üzerinde n ∈ Z için


{n}
B(n) =

{n − 1, n, n + 1}
n tek
n çift
olmak üzere B = {B(n) : n ∈ Z} koleksiyonunu baz kabul eden topolojiyi ele alalım. Y = Z+
negatif olmayan tamsayılar kümesi olmak üzere
f : Z → Y,
x 7→ f (x) =


z,
z≥0

−z,
z<0
dönüşümü verilsin. Bu durumda Y üzerindeki identifikasyon topolojisini belirleyiniz.
Cevap :
4. Aşağıda şekilde verilen çaydanlığı ve kapağınının bir ekli uzay yapısına sahip olduğunu açıklayınız. Cevap :
5. X kümesi üzerinde aşikar(indiskret) topolojisi tanımlı ve x0 ∈ X olsun.
a) x0 baz noktalı herhangi bir f : I → X kapalı yolunun x0 noktasındaki ex0 : I → X sabit
dönüşümüne homotop olduğunu ispatlayınız.
b) a) şıkkından hareketle Π1 (X, x0 ) temel grubunun aşikar grup olduğunu gösteriniz.
Cevap :
6. X bir topolojik uzay Y = Y1 × Y2 çarpım uzayı ve f, g : X → Y sürekli iki dönüşüm olsun.
Eğer f ile g homotop iseler, bu takdirde π1 : Y → Y1 birinci izdüşüm ve π2 : Y → Y2 ikinci
izdüşüm fonksiyonu olmak üzere k = 1, 2 için πk ◦ f ile πk ◦ g homotop olduğunu ispatlayınız.
Cevap :
7. R2 üzerinde çarpım topolojisi tanımlı ve A = {(x, y) : |x| ≤ |y|} ⊂ R2 alt uzayı olmak üzere
Π1 (A, (1, 1)) ile Π1 (A, (−1, −1)) gruplarının birbirine izomorf olup olmadığını açıklayınız.
Cevap :
8. f : X → Y homeomorfizma ise f nin indirgediği f∗ : Π1 (X, x) → Π1 (Y, f (x)) homomorfizmasının izomorfizma olduğunu ispatlayınız.
Cevap :
Başarılar Dilerim.
Prof. Dr. İsmet KARACA
Download

Soru 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. Toplam Puanlama 20 20 20 20 20 20 20 20