13.11.2014
No:
Ad-Soyad:
Soru
Puanlama
mza:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
Toplam
15
15
15
15
15
15
15
15
15
15
105
Alnan Puan
40502341997.1 GENEL TOPOLOJ-I ARASINAVI CEVAP ANAHTARI
(ÖRGÜN ևRETM)
Not: Süre
1.
R
üzerinde
τ`
90
Dakika. stedi§iniz
7
soruyu cevaplaynz.
Y = (0, 4] ∪ {7} ⊂ R
üst limit topoloji olsun. A³a§daki kümelerin
alt kümesi
üzerindeki alt uzay topolojisine göre açk/kapal olma durumlarn inceleyiniz.
a) {4}
Cevap :
Y
kümesi üzerinde
R
b) (3, 4]
üzerindeki
B` = {(a, b] : a, b ∈ R, a < b}
baz ile üretilen üst limit topolojisini dü³ünelim. Buna göre
Y
üzerindeki alt uzay topolojisi
τY = {Y ∩ G : G ∈ τ` }
³eklindedir.
• ∀ε > 0
için
{4} =
6 Y ∩ (4 − ε, 4]
oldu§undan
{4}
kümesi alt uzay topolojisine göre açk
de§ildir.
{4}
kümesi
R
üzerindeki üst limit topolojisine göre kapal oldu§undan
Y
üzerindeki ait
Y
üzerindeki alt
uzay topolo jisine göre de kapal olacaktr.
• (3, 4]
kümesi
R
üzerindeki üst limit topolo jisine göre açk oldu§undan
uzay topolo jisine göre de açk olacaktr.
(3, 4]cY = (0, 3] ∪ {7}
kümesi
R
üzerindeki üst limit topolo jisine göre kapal oldu§undan
üzerindeki ait uzay topolojisine göre de kapal olacaktr.
Y
2.
B = {(r, ∞) : r ∈ Q}
koleksiyonunun
R
üzerindeki sa§ topoloji için bir baz te³kil etti§ini
gösteriniz.
Cevap :
R
üzerindeki sa§ topoloji
τ = {∅, R} ∪ {(a, ∞) : a ∈ R}
³eklinde tanmlanr. Buna göre key bir
alalm.
a<x
oldu§undan
a
ile
x
G = (a, ∞)
arasnda bir
r
aç§ ve bu açktan key bir
x∈G
noktas
rasyonel saysn seçelim. Buna göre
x ∈ (r, ∞) ⊂ G
olaca§ndan
3.
B
snf
R
üzerindeki sa§ topoloji için bir baz te³kil eder.
X = {−1, 1} ∪ [3, 5] ⊂ R
bazn üretti§i topolojiye göre
Cevap :
a0 = −1
olmak üzere
(a, b0 ]
kümesi üzerindeki sralama topolojisinin bazn belirleyiniz ve bu
{−1, 1} ∪ [3, 4) ⊂ X
en küçük eleman olmak üzere
formundaki ve
(a, b)
kümesinin açk oldu§unu gösteriniz.
[−1, b)
4.
R
en büyük eleman




{1} ∪ [3, 5], a = −1



(a, 5] = [3, 5],
a=1





(a, 5],
3≤a<5




{1},
a = −1, b = 3






{1} ∪ [3, b), a = −1, b ≤ 5



[3, b),






(a, b),
³eklindedir. Buna göre
b0 = 5
formundaki baz elemanlarn tespit edece§iz.




{−1},
b=1



[−1, b) = {−1, 1},
b=3





{−1, 1} ∪ [3, b), 3 < b ≤ 5
(a, b) =
formundaki,
{−1, 1} ∪ [3, 4)
a = 1, 3 < b ≤ 5,
3≤a<b≤5
kümesi baz oldu§undan açk olacaktr.
üzerinde sonlu tümleyenler topolojisi tanml iken herhangi bir
{4} ⊂ R
kümesinin limit noktas olup olmad§n belirleyiniz.
Cevap :
R
üzerindeki sonlu tümleyenler topolojisi
τ = {∅} ∪ {G ⊆ R : Gc
sonlu
}
x
noktasnn
A = (0, 2) ∪
x
³eklindedir. Buna göre key bir
sonsuz bir kümedir. Bu nedenle
olacaktr. O halde key bir
5.
X 6= ∅
ve
ele alalm.
üzere
xn
p∈X
xn
U
dizisinin
xn
noktas
olmak üzere
p
A
dizisinin
p
p
kümesinin sonsuz çoklukta ortak eleman
EEXp = {X} ∪ {A ⊂ X : p ∈
/ A}
s
p
çkarlm³ nokta topolojisini
de§erini alsn. Buna göre
“imdi de
xn
dizinin
p
dizisi
p
den farkl bir
X
s 6= p
olmak
noktasna yaknsamad§n ispatlaynz.
noktasna yaknsad§n gösterelim. Buna göre
noktasn içeren tek açk
xn
Gc
sonlu oldu§undan
nn limit noktasdr.
noktasna yaknsad§n ancak
aç§ içine dü³ecektir. Yani
p
noktasn içeren
U
içine dü³mesi
X
uzay oldu§undan dizi ilk teriminden itibaren
noktasna yaknsar.
s
elemanna yaknsayamayaca§n gösterelim.
s
noktasn
{s} açk kümesini ele alrsak, bu dizi belli bir terimden sonra hiç bir zaman {s} kümesinin
içeren
içine dü³emeyece§inden bu dizi
R
A
kümesi ile
Gc
açk kümesi için bu dizinin belli bir terimden itibaren tüm terimlerinin
gerekmektedir.
6.
G − {x}
aç§n alalm.
dizisi belli bir teriminden itibaren sadece
Cevap : Önce
her
x
G
noktasn içeren
s
noktasna yaknsamaz.
üzerinde sa§ topoloji tanml olsun.
(−1)n
dizisinin
−1
noktasna yaknsad§n ancak
1
noktasna yaknsamad§n gösteriniz.
Cevap :
(−1, 1, −1, 1, −1, 1, ...)
dizisinin
−1
noktasna yaknsad§n gösterelim. Buna göre
−1
noktasnn açk kom³ulu§u sa§ topolojiye göre
U = (−1 − ε, ∞), ε > 0
³eklinde olaca§ndan bu dizi birinci teriminden itibaren
“imdi de bu dizinin
1
U
içine dü³ecektir.
noktasna neden yaknsamad§n açklayalm.
1
noktasn içeren bir
U
aç§n
1
U = ( , ∞)
2
³eklinde alrsak
−1 ∈
/ U
oldu§undan bu dizi belli bir terimden itibaren hiçbir zaman
dü³meyecektir. O halde bu dizi
1
noktasna yaknsamaz.
U
içine
7.
Z
n ∈ Z için


{n}
B(n) =

{n − 1, n, n + 1}
tamsaylar kümesi üzerinde
B = {B(n) : n ∈ Z}
olmak üzere
Z2
Z2
tek
n
çift
koleksiyonunu baz kabul eden topolojiyi ele alalm. Buna göre
üzerindeki çarpm topolojisine göre
Cevap :
n
A = {(3, 5), (3, 6), (4, 8)}
kümesinin içini bulunuz.
üzerindeki çarpm topolojisinin baz
BZ×Z = {B(m) × B(n) : m, n ∈ Z}
³eklinde olacaktr. Buna göre
i)
ii)
(3, 5) ∈ A
için
(3, 6) ∈ A
ancak
(3, 5) ∈ B(3) × B(5) ⊂ A
B(3) × B(6) * A
(4, 8) ∈ A
B(4) × B(8) * A
8.
R2
oldu§undan
R2
dr
(3, 5) ∈
/ A◦ .
B(4) × B(8)
dir ancak
(4, 8) ∈
/ A◦ .
olacaktr.
R üzerinde standart topoloji ve R2
Cevap :
B(3) × B(6)
için bu noktay içeren en küçük açk küme
oldu§undan
A◦ = {(3, 5)}
noktasnn
(3, 5) ∈ A◦
için bu noktay içeren en küçük açk küme
iii) Benzer ³ekilde
Buna göre
oldu§undan
üzerinde çarpm topolojisi tanml olsun. Buna göre
A = {(x, y) : x, y > 1}
(1, 1) ∈
kümesinin de§me noktas olup olmad§n belirleyiniz.
çarpm topolojisinin baz
B = {B = (a1 , b1 ) × (a2 , b2 ) : ai , bi ∈ R, ai < bi , i = 1, 2}
³eklindedir. Buna göre
(1, 1)
noktasn içeren bir
B = (a1 , b1 ) × (a2 , b2 )
1 ∈ (ai , bi )
i = 1, 2
ai < 1 < bi
i = 1, 2
bazn alalm. Buradan
elde edilir.
oldu§undan
(
olacaktr. Buradan
B ∩ A 6= ∅
1 + b1 1 + b2
,
)∈B
2
2
olaca§ndan
(1, 1)
noktas
A
kümesinin de§me noktasdr.
9.
τs , R
üzerindeki standart topoloji ve
τalt
da
f : (R, τs ) → (R, τalt ),
R
üzerindei alt limit topoloji olmak üzere
x 7→ f (x) =


x2 ,
x<0

x + 1,
x≥0
fonksiyonunun sürekli olup olmad§n belirleyiniz.
Cevap :
f (0) = 1
noktasnn
[ 21 , 23 )
açk kom³ulu§unu alalm. Buna göre
1
1 3
−1
f −1 ([ , )) = (−1, √ ) ∪ [0, )
2 2
2
2
ön görüntü kümesi
R
üzerindeki standart topolojiye göre açk olmayaca§ndan bu fonksiyon sü-
reksizdir.
10.
X
kümesi üzerinde
ve yeter ³art
X
τ
üzerindeki
ve
τ0
topolojileri tanmlanm³ olsun. E§er
id : (X, τ ) −→ (X, τ 0 ), x 7−→ id(x) = x
τ0 ⊆ τ
olmas için gerek
birim dönü³ümün sürekli
olmasdr. spatlaynz.
Cevap :
G ∈ τ0
(⇒) id : (X, τ ) −→ (X, τ 0 ), x 7−→ id(x) = x
aç§ için
(id)−1 (G) = G
dir.
G ∈ τ0
ve
τ0 ⊆ τ
birim dönü³ümü olsun. Bu durumda
oldu§undan
G∈τ
olur. O halde
id
birim
dönü³ümü süreklidir.
(⇐)
id
olaca§ndan
birim
τ0 ⊆ τ
dönü³ümü
sürekli
olsun.
Buna
göre
G ∈ τ0
için
(id)−1 (G) = G ∈ τ
elde edilmi³ olur.
Ba³arlar Dilerim.
Prof. Dr. smet KARACA
Download

40502341997.1 GENEL TOPOLOJ