Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
Statik Ders Notları Sınav Soru ve Çözümleri Behcet DAĞHAN
MÜHENDİSLİK MEKANİĞİ
STATİK
Behcet DAĞHAN
www.makina.selcuk.edu.tr
Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
MÜHENDİSLİK MEKANİĞİ
STATİK
İÇİNDEKİLER
1. GİRİŞ
- Skalerler ve Vektörler
- Newton Kanunları
2. KUVVET SİSTEMLERİ
- İki Boyutlu Kuvvet Sistemleri
- Üç Boyutlu Kuvvet Sistemleri
3. DENGE
- Düzlemde Denge
- Üç Boyutta Denge
4. YAPILAR
- Düzlem Kafes Sistemler
- Çerçeveler ve Makinalar
5. SÜRTÜNME
6. KÜTLE MERKEZLERİ ve GEOMETRİK MERKEZLER
www.makina.selcuk.edu.tr
Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
3
STATİK
DENGE
www.makina.selcuk.edu.tr
Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
3.2
STATİK
Üç Boyutta Denge
www.makina.selcuk.edu.tr
Behcet DAĞHAN
Denge
Statik
3.2. Üç Boyutta Denge
Behcet DAĞHAN
1
Behcet DAĞHANÜç boyutta denge problemlerini çözerken de yapılacak ilk iş serbest cisim diyagramı çizmektir.Behcet DAĞHAN
Temas cinsi ve kuvvet kaynağı
İncelenecek cisme etkisi
1. Sürtünmesiz yüzeyler veya bilya mesnetli
z
Diğer cisim incelediğimiz cisme bir N kuvveti uygulayabilir.
Bu kuvvet daima itme kuvvetidir ve
temas noktasında dayanma yüzeyine diktir.
y
x
N
2. Sürtünmeli yüzeyler
Diğer cisim incelediğimiz cisme bir R kuvveti uygulayabilir.
Bu kuvvet daima itme kuvvetidir.
z
z
F
x
y
x
R2 = F 2 + N 2
N : Normal bileşen, dayanma yüzeyine dik
y
N
R
3. Yanal yönde hareketi engellenmiş tekerlekli mesnet
Sürtünme kuvveti daima kaymayı önleyici yöndedir.
Diğer cisim incelediğimiz cisme bir R kuvveti uygulayabilir.
Bu kuvvet daima itme kuvvetidir.
R2 = F2 + N 2
F
Behcet DAĞHAN
F : Teğetsel bileşen, sürtünme kuvveti,
dayanma yüzeyine paralel
N
R
www.makina.selcuk.edu.tr
F : Yanal kuvvet
N : Normal bileşen, dayanma yüzeyine dik
Behcet DAĞHAN
Denge
Statik
3.2. Üç Boyutta Denge
Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
Temas cinsi ve kuvvet kaynağı
İncelenecek cisme etkisi
4. Küresel mafsal
Behcet DAĞHAN
Diğer cisim incelediğimiz cisme bir R kuvveti uygulayabilir.
Fakat dönmeye izin verdiği için moment uygulayamaz.
Rx
Ry
x
R 2 = Rx2 + Ry2 + Rz2
y
Rz
5. Ankastre mesnet
Diğer cisim incelediğimiz cisme bir R kuvveti ve
bir M momenti uygulayabilir.
Mx
Rx
Ry
Rz
R 2 = Rx2 + Ry2 + Rz2
My
M 2 = Mx2 + My2 + Mz2
Mz
6. Eksenel yük taşıyabilen
rulmanlı yatak
Diğer cisim incelediğimiz cisme bir R kuvveti ve
bir M momenti uygulayabilir.
z
Mx
Rz
x
Behcet DAĞHAN
R 2 = Rx2 + Ry2 + Rz2
Ry
Rx
Mz
www.makina.selcuk.edu.tr
y
2
M 2 = Mx2 + Mz2
Dönme ekseni doğrultusunda moment uygulayamaz.
Behcet DAĞHAN
Denge
Statik
3.2. Üç Boyutta Denge
Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
3
Behcet DAĞHAN
Üç boyutta denge denklemleri
Dengedeki bir cisme etki eden kuvvetlerin toplamı ve kuvvet çiftlerinin momentlerinin toplamı sıfırdır.
→
→ →
→ n → → →
R = Σ Fi = F1 + F2 + ··· + Fn = ΣF = 0
: Ötelenme ile ilgili denge şartı
→ →
ΣF = 0
→
→ →
→ n→ → →
M = Σ Mi = M1 + M2 + ··· + Mn = ΣM = 0
: Dönme ile ilgili denge şartı
→ →
ΣM = 0
i=1
i=1
Kuvvetlerin de kuvvet çiftlerinin de üç dik bileşeni olabilir.
ΣFx = 0
ΣMx = 0
ΣFy = 0
ΣMy = 0
ΣFz = 0
ΣMz = 0
Üç boyutlu kuvvet sistemi etkisindeki bir cismin dengesini inceleyerek 6 tane bağımsız denklem elde edilebilir.
Dolayısı ile bir cismin dengesini inceleyerek en fazla 6 bilinmeyen bulunabilir.
Behcet DAĞHAN
www.makina.selcuk.edu.tr
Behcet DAĞHAN
Denge
Statik
3.2. Üç Boyutta Denge
Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
ÜÇ BOYUTTA DENGE KATEGORİLERİ
Kuvvet Sistemi
Serbest Cisim Diyagramı
Bağımsız Denklemler
F1
1. Bir noktada kesişen
F2
A
z
y
ΣFx = 0
ΣMx = 0
ΣFy = 0
ΣMy = 0
ΣFz = 0
ΣMz = 0
ΣFx = 0
ΣMx = 0
ΣFy = 0
ΣMy = 0
ΣFz = 0
ΣMz = 0
0=0
0=0
0=0
Fn
O
F3
x
2. Aynı çizgi ile kesişen
F1
F2
Fn
z
y
F3
0=0
O
Behcet DAĞHAN
x
www.makina.selcuk.edu.tr
4
Behcet DAĞHAN
Denge
Statik
3.2. Üç Boyutta Denge
Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
ÜÇ BOYUTTA DENGE KATEGORİLERİ
Kuvvet Sistemi
Serbest Cisim Diyagramı
Bağımsız Denklemler
3. Paralel
F1
F2
ΣFx = 0
ΣFy = 0
z
y
F3
Fn
ΣFz = 0
0=0
0=0
ΣMx = 0
ΣMy = 0
0=0
ΣMz = 0
O
x
4. Genel
M1
F1
F2
z
y
Fn
F3
ΣFx = 0
ΣMx = 0
ΣFy = 0
ΣMy = 0
ΣFz = 0
ΣMz = 0
O
Behcet DAĞHAN
x
www.makina.selcuk.edu.tr
5
Behcet DAĞHAN
Denge
Statik
3.2. Üç Boyutta Denge
Behcet DAĞHAN
Behcet
DAĞHAN
Örnek Problem
3/6
Behcet DAĞHAN
Üç ayaklı bir tabure şekildeki gibi bir L yükünü taşımaktadır. Her bir ayağın altındaki düşey tepki
kuvvetini bulunuz. Taburenin ağırlığını ihmal ediniz.
Verilenler:
Çözüm
z
L
L
B
30o
A
x
O
Boyutlar milimetre cinsindendir.
B
30o
C
A
y
ΣMx = 0
C y'
C (r cos30o) − B (r cos30o) = 0
r = OA = OB = OC = 250 mm
C=B
İstenenler:
A = f(L) = ?
B = f(L) = ?
ΣMy' = 0
L (75 + 250 sin30o) − A (250 + 250 sin30o) = 0
→
8
A = ––– L
15
ΣFz = 0
A+B+C−L=0
7
B = ––– L
30
C = f(L) = ?
Behcet DAĞHAN
www.makina.selcuk.edu.tr
6
Behcet DAĞHAN
Denge
Statik
3.2. Üç Boyutta Denge
Behcet DAĞHAN
Behcet
DAĞHAN
Örnek Problem
3/7
Behcet DAĞHAN
Şekildeki gibi yüklenmiş olan dirseğin dengede kalabilmesi için O noktasındaki civata
bağlantısının dirseğe uygulaması gereken kuvvet R nin ve kuvvet çifti M nin şiddetini bulunuz.
1. Çözüm
Verilenler:
T1 = 1.6 kN
ΣFx = 0
T2 = 2.4 kN
Rx + T1 cos50o = 0
Ry
Rz
Mx
Rx = − 1.03 kN
x'
ΣFz = 0
My
Rx
Mz
o
Rz − T2 sin30 = 0
y'
Rz = 1.2 kN
T1 = 1.6 kN
ΣMx' = 0
T2 = 2.4 kN
Mx − T1 sin50o (350) + T2 cos30o (150) = 0 → Mx = 117 N·m
ΣMy' = 0
My − T1 cos50o (350) = 0
ΣFy = 0
İstenenler:
R=?
→
My = 360 N·m
→
Mz = 245 N·m
ΣMz = 0
Ry − T1 sin50o + T2 cos30o = 0
Mz − T1 sin50o (200) = 0
Ry = − 0.85 kN
M=?
R 2 = Rx2 + Ry2 + Rz2
Behcet DAĞHAN
→
R = 1.8 kN
www.makina.selcuk.edu.tr
7
M 2 = Mx2 + My2 + Mz2
→
M = 451 N·m
Behcet DAĞHAN
Denge
Statik
3.2. Üç Boyutta Denge
Behcet DAĞHAN
Behcet
DAĞHAN
Örnek Problem
3/7
Behcet DAĞHAN
Şekildeki gibi yüklenmiş olan dirseğin dengede kalabilmesi için O noktasındaki civata
bağlantısının dirseğe uygulaması gereken kuvvet R nin ve kuvvet çifti M nin şiddetini bulunuz.
Verilenler:
2. Çözüm
y-z düzlemi
z
Rz
T1 = 1.6 kN
T2 = 2.4 kN
ΣFy = 0
Ry − T1 sin50o + T2 sin60o = 0
Ry
O
150 mm
B
Ry = − 0.85 kN
Mx
200 mm 60o
T1 sin50o A
x-z düzlemi
ΣMO = 0
T2
Mx − T1 sin50o (350) + T2 sin60o (150) = 0
y
Mx = 117 N·m
x-y düzlemi
z
Rz
O
150 mm
B
My
200 mm T cos60o
2
T1 cos50
o
İstenenler:
R=?
M=?
x
A
ΣMO = 0
Rx + T1 cos50o = 0
Rx
ΣFz = 0
ΣMO = 0
T2 sin60o
Rx = − 1.03 kN
O 200 mm A
50o
B
Mz
Ry
T1
Mz − T1 sin50o (200) = 0
x
Mz = 245 N·m
Rz − T2 cos60o = 0
Rz = 1.2 kN
My − T1 cos50o (350) = 0
My = 360 N·m
Behcet DAĞHAN
y
ΣFx = 0
Rx
www.makina.selcuk.edu.tr
8
R 2 = Rx2 + Ry2 + Rz2
→
R = 1.8 kN
M 2 = Mx2 + My2 + Mz2
→
M = 451 N·m
Behcet DAĞHAN
Denge
Statik
3.2. Üç Boyutta Denge
Behcet DAĞHAN
Behcet
DAĞHAN
Örnek Problem
3/7
Behcet DAĞHAN
Şekildeki gibi yüklenmiş olan dirseğin dengede kalabilmesi için O noktasındaki civata
bağlantısının dirseğe uygulaması gereken kuvvet R nin ve kuvvet çifti M nin şiddetini bulunuz.
Verilenler:
T1 = 1.6 kN
T2 = 2.4 kN
3. Çözüm
→ →
ΣF = 0
→ → → →
R + T1 + T2 = 0
→
→
→
→
R = Rx i + Ry j + Rz k
→
→
→
T1 = T1 cos50o i − T1 sin50o j
→
→
→
T2 = T2 cos30o j − T2 sin30o k
}
rT2
Rx = − 1.03 kN
Ry = − 0.85 kN
Rz = 1.2 kN
rT1
R 2 = Rx2 + Ry2 + Rz2
R = 1.8 kN
→ →
ΣMO = 0
→ → →
→
→
→
ΣMO = M + MOR + MOT1 + MOT2 = 0
→
→
→
→
M = Mx i + M y j + M z k
→ →
M OR = 0
→
→
j
i
→ T1
MO =
200
0
T1 cos50o
İstenenler:
R=?
M=?
→
MOT2 =
→
j
0
0
Behcet DAĞHAN
− 350
− T1 sin50o
→
i
0
→
k
T2 cos30
0
→
k
Bu vektörel denklemleri yazıp düzenledikten sonra
→→ →
i, j ve k nın katsayılarını sıfıra eşitleyerek
elde edilen denklemlerin çözümünden
aranan sonuçlar bulunur.
− 150
o
Mx = 117 N·m
My = 360 N·m
Mz = 245 N·m
M 2 = Mx2 + My2 + Mz2
M = 451 N·m
− T 2 sin30o
www.makina.selcuk.edu.tr
9
Behcet DAĞHAN
Denge
Statik
3.2. Üç Boyutta Denge
Behcet DAĞHAN
Behcet
DAĞHAN
Örnek Problem
3/8
Her birinin boyu 1200 mm ve kütlesi 20 kg olan üç tane üniform çubuk birbirine kaynatılmış ve şekildeki
gibi üç tane düşey kablo ile tavana asılmıştır. AB ve BC çubukları yatay olan x-y düzleminde yer almaktadır.
Üçüncü çubuk ise x-z düzlemine paraleldir. Her bir kablodaki çekme kuvvetini hesaplayınız.
Çözüm
Verilenler:
m = 20 kg
B
g = 9.81 m/s2
A
600
600
600
600
W
Boyutlar milimetre cinsindendir.
Aslında bu problemin çözümü
uzunlukların biriminden bağımsızdır.
A=?
B=?
C
600
ΣMx = 0
W
C (1200) + W (600) + W (600) = 0
600
İstenenler:
W = mg
C = 196 N
W
ΣMy = 0
ΣFz = 0
− A (1200) + W (600) + W (600 sin30o) = 0
A+B+C−3W =0
B = 245 N
A = 147 N
C=?
Behcet DAĞHAN
www.makina.selcuk.edu.tr
Behcet DAĞHAN
10
Denge
Statik
3.2. Üç Boyutta Denge
Behcet DAĞHAN
Behcet
DAĞHAN
Örnek Problem
3/9
O ve A noktalarındaki pim bağlantıları üç koordinat doğrultusunda kuvvet ve x- ile z-ekseni
etrafında moment taşıyabilmektedir. OA kolunun kütlesi 2 kg, AB kolununki 2.5 kg ve
C tablasınınki ise 4 kg dır. Şekildeki durumda O mesnedindeki tepkileri bulunuz.
Çözüm
Verilenler:
mOA = 2 kg
ΣFx = 0
mAB = 2.5 kg
Rx = 0
mC = 4 kg
g = 9.81 m/s
Rz
2
Rx
0.3
O
Mx
WOA
Mz
Ry
0.3
0.
12
WC
Rz = 0
0.4
15o
0.4
ΣFz = 0
WAB
ΣFy = 0
W = mg
O
30o
15
Ry = 83 N
İstenenler:
Rx = ?
Ry = ?
Rz = ?
B
Boyutlar metre cinsindendir.
x
30o
Ry − WOA − WAB − WC = 0
z
o
A
Üstten görünüş
ΣMx = 0
Mx + WOA (0.3 sin30o) + WAB (0.6 sin30o + 0.4 sin15o) + WC (0.6 sin30o + 0.8 sin15o + 0.12) = 0
Mx = ?
ΣMz = 0
Mz = ?
Mz − WOA (0.3 cos30o) − WAB (0.6 cos30o − 0.4 cos15o) + WC (0.8 cos15o − 0.6 cos30o) = 0
Behcet DAĞHAN
www.makina.selcuk.edu.tr
→
Mx = − 37.4 N·m
→
Mz = − 1.6 N·m
Behcet DAĞHAN
11
Download

STATİK - AnkaAkademi.com