Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
MÜHENDİSLİK MEKANİĞİ
Behcet DAĞHAN
DİNAMİK
MADDESEL NOKTALARIN DİNAMİĞİ
Behcet DAĞHAN
www.makina.selcuk.edu.tr
Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
DİNAMİK
MADDESEL NOKTALARIN DİNAMİĞİ
İÇİNDEKİLER
1. GİRİŞ
- Konum, Hız ve İvme
- Newton Kanunları
2. MADDESEL NOKTALARIN KİNEMATİĞİ
- Doğrusal Hareket
- Düzlemde Eğrisel Hareket
- Bağıl Hareket (Ötelenen Eksenlerde)
- Birbirine Bağlı Maddesel Noktaların Hareketi
3. MADDESEL NOKTALARIN KİNETİĞİ
- Kuvvet, Kütle ve İvme
- İş ve Enerji
- İmpuls ve Momentum
www.makina.selcuk.edu.tr
Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
DİNAMİK
2
MADDESEL NOKTALARIN DİNAMİĞİ
KİNEMATİK
www.makina.selcuk.edu.tr
Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
DİNAMİK
2.2
Behcet DAĞHAN
MADDESEL NOKTALARIN KİNEMATİĞİ
Düzlemde Eğrisel Hareket
www.makina.selcuk.edu.tr
Maddesel Noktaların Kinematiği
Dinamik
Behcet DAĞHAN
2.2. Düzlemde Eğrisel Hareket
Behcet DAĞHAN
Hareketin yörüngesi düzlemsel bir eğri ise o harekete düzlemde eğrisel hareket denir.
1
Behcet DAĞHAN
Mühendislik problemlerinin çoğunu düzlemde eğrisel hareket olarak incelemek yeterli olmaktadır.
Hız
Hız
Yer değiştirme vektörü daima yörüngeye teğettir.
Dolayısıyla:
→
→
: v // d r Hız vektörü daima yörüngeye teğettir.
→
→
Şiddet :
ds
v =
dt
= s =
→
|dr |
dt
ds
s
A
→
| d r | = ds
→
Yön
→
dr
→
v =
dt
Yörünge üzerinde
keyfi olarak seçilen bir orijinden (s = 0) itibaren
yörünge üzerinden ölçülen konum
A'
→
dr
→
Aradan geçen zaman dt kadar küçük olduğu için
A noktası ile A' noktası hemen hemen çakışıktır.
Aradaki fark son derece küçüktür.
→
Dolayısıyla | d r | = ds alınabilir.
konumdaki değişme
Yer değiştirme vektörü,
konum vektöründeki
vektörel değişme
r
O
→
Behcet DAĞHAN
A
A'
A
t
t + dt
→
s
s + ds
→
r
→ →
r+dr
r
v
t
v
teğe
Yörünge
r
→
v
O
www.makina.selcuk.edu.tr
Behcet DAĞHAN
Maddesel Noktaların Kinematiği
Dinamik
2.2. Düzlemde Eğrisel Hareket
Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
İvme
İvme
→
→
: a // d v
Yön
→
dv
→
a =
dt
→
→
Şiddet : a =
İvme vektörü daima yörüngenin içbükey tarafına yönelmiştir.
| d→
v |
Yörünge
A
dt
→
→
v
a
→
v'
→
v
A
v
→
v'
Behcet DAĞHAN
→
dv
→
A'
→
2
v'
A
A'
t
t + dt
s
s + ds
→
r
→ →
r+dr
→
v
→ → →
v'=v+dv
→
a
→
dv
dv
→
→
| d v | ≠ dv = d | v |
→
www.makina.selcuk.edu.tr
a ≠
dv
dt
a =
dv
dt
Bu eşitlik sadece
doğrusal harekette
geçerlidir.
Behcet DAĞHAN
Maddesel Noktaların Kinematiği
Dinamik
Behcet
DAĞHAN
Kartezyen koordinatlar
koordinatlar
(x,y)
Kartezyen
(x,y)
Kartezyen koordinatlarda orijin ve eksenler keyfi olarak seçilebilir.
→
j
→
y
vy
vy
→
ry
→
→
v
v
θ
v
A (x,y) x
r
y
2.2. Düzlemde Eğrisel Hareket
Behcet DAĞHAN
→
3
Behcet DAĞHAN
→ →
i ve j : Birim vektörler
dy
vy
tanθ = ––– = –––
dx
vx
t
teğe
→
y = f(x)
A
Yörünge
ay
vx
→
v
ax
→
ax
a
Yörünge
→
a
ay
r
Yörünge
ρ : Eğrilik yarıçapı
→
i
O (0,0)
x
r = rx + ry = x i + y j
r2 = x2 + y2
Birim vektörlerin
yönü ve şiddeti
zamanla
değişmediğinden
dolayı:
x
→
rx
→
→
→ → →
v = vx + vy = vx i + vy j
→
→
→ →
i = 0
→ →
j = 0
Behcet DAĞHAN
→
→ → →
→
→
a = ax + ay = ax i + ay j
C : Eğrilik merkezi
→ →
→
→
a = v = v x i + vy j
→ →
→
→
v = r = x i+y j
vx = x
vy = y
ax = vx
ay = vy
dx
vx =
dt
dy
vy =
dt
dvx
ax =
dt
dvy
ay =
dt
Geometriden:
y = f(x) fonksiyonunun
grafiğinin eğrilik yarıçapı:
( 1 + y' 2 )
2
2
v = vx + vy
2
2
2
a = ax + ay
2
ρ=
Düzlemde eğrisel hareketin, iki tane doğrusal harekete indirgendiği görülmektedir.
www.makina.selcuk.edu.tr
3/2
| y'' |
Behcet DAĞHAN
Maddesel Noktaların Kinematiği
Dinamik
Eğik atışın
atışın kartezyen
kartezyen koordinatlarda
koordinatlarda incelenmesi
incelenmesi
Eğik
Behcet
DAĞHAN
y
düşey
→
→
vy
v
vy v θ>0
→
A vx
vx
→
r θ
→
ry
y
r
a=g
ρ
2.2. Düzlemde Eğrisel Hareket
Behcet DAĞHAN
Behcet→
DAĞHAN
→ →
a = a +a
→ → →
r = rx + ry
→ → →
v = vx + vy
2
v 2 = v x2 + v y2
2
r = x + y
2
eğet
t
tanθ =
Yö
y=
: Eğrilik yarıçapı
rün
ge
f(x
)
yatay
x
O (0,0)
y
→
rx
düşey
yatay
a0 = g
v0
v y0
x
C : Eğrilik merkezi
θ=0
ρ = ρmin
y = ymax
θ0
v x0
Behcet DAĞHAN
x
y
a 2 = a x2 + a y2
vy
vx
vx = v cosθ
vx0 = v0 cosθ0
vy = v sinθ
vy0 = v0 sinθ0
→
0
→ → →
a = ax + ay
a = |ay |
ax = 0
a = g = sb.
ay = − g = sb.
→
→
v = vx
A
teğet
vy
vx
θ<0
v
teğe
t
x = vx0 t
1
y = vy0 t − –– g t2
2
vx = vx0 = sb.
vy = vy0 − g t
a=g
düşey
t=0
O
4
a=g
!
yatay
x
www.makina.selcuk.edu.tr
Bu kutunun içindeki bağıntılar
x-y eksenleri yandaki gibi
yatay ve düşey seçilirse geçerlidir.
Behcet DAĞHAN
Maddesel Noktaların Kinematiği
Dinamik
2.2. Düzlemde Eğrisel Hareket
Behcet DAĞHAN
Örnek Problem
Problem
2/5
Behcet
DAĞHAN
Örnek
2/5
30 m/s lik bir hızla şekildeki gibi fırlatılan bir cismin eğik düzlem üzerinden ölçülen
menzili s yi hesaplayınız.
Behcet DAĞHAN
B
α
x
a=g
a=g
v0
t=0
A (0,0)
B
s
θ0
α
O
30o
30o
ay = − g cosα
a=g
y
s
30 m/s
A
ax = − g sinα
5
x-y eksenlerinin
bu şekilde seçilmesi
tavsiye edilmez.
!
Bazı öğrenciler x-y eksenlerini seçerken yandaki gibi
eğik düzleme paralel ve dik olarak seçme eğiliminde olurlar.
Fakat bunu yaparken ivme bileşenlerinin değiştiğine dikkat etmeden
x-y eksenlerinin yatay ve düşey seçildiği durumda kullanılan bağıntıları kullanırlar.
Halbuki x-y eksenleri yandaki gibi seçilirse ivme bileşenleri aşağıdaki gibi olur.
yatay
ax = ax0 = − g sinα
a0 = g
Bu bağıntılar
eğer
x-y eksenleri
yatay ve düşey
seçilirse
geçerlidir.
Behcet DAĞHAN
ay = ay0 = − g cosα
ax = 0
ay = ay0 = − g
x = vx0 t −
1
g sinα t2
2
y = vy0 t −
1
g cosα t2
2
x = vx0 t
y = vy0 t −
1
g t2
2
www.makina.selcuk.edu.tr
Behcet DAĞHAN
Maddesel Noktaların Kinematiği
Dinamik
2.2. Düzlemde Eğrisel Hareket
Behcet DAĞHAN
Örnek Problem
Problem
2/5
Behcet
DAĞHAN
Örnek
2/5
Behcet DAĞHAN
B
30 m/s lik bir hızla şekildeki gibi fırlatılan bir cismin eğik düzlem üzerinden ölçülen
menzili s yi hesaplayınız.
Verilenler:
Verilenler:
a = a0
a=g
y
s
30 m/s
Çözüm
Çözüm
düşey
6
30o
30o
A
(sabit)
Yerçekiminden
kaynaklanan ivme
daima düşeydir ve
aşağıya yönelmiştir.
θ0 = 60o
a=g
B (xB, yB)
s
o
t=0
A (0,0)
O
a0 = g
g = 9.81 m/s2
v0 = 30 m/s
a=g
v0
30
yatay
30o
x
ax = ax0 = 0
ay = ay0 = − g = − 9.81 m/s
2
B noktasında:
x = xB
y = yB
t = tB
x = vx0 t
}
xB = vx0 tB
tB =
vx0 = v0 cosθ0
İstenenler:
İstenenler:
vx0 = 30 cos60 = 15 m/s
s=?
vy0 = v0 sinθ0
y = vy0 t +
1
ay0 t2
2
1
g t B2
2
yB = vy0 tB −
xB
yB
vx0
tB
= vy0 −
1
g tB
2
o
v x0 y B
xB
vy0 = 30 sin60o = 26 m/s
= vy0 −
g xB
2 v x0
xB = s cos30o
yB = s sin30o
Behcet DAĞHAN
www.makina.selcuk.edu.tr
}
s = 61.2 m
Behcet DAĞHAN
Maddesel Noktaların Kinematiği
Dinamik
2.2. Düzlemde Eğrisel Hareket
Behcet DAĞHAN
Örnek Problem
Problem
2/6
Behcet
DAĞHAN
Örnek
2/6
y
Verilenler:
Verilenler:
a = a0
a=g
(sabit)
t=0
A (0,0)
Yerçekiminden
kaynaklanan ivme
daima düşeydir ve
aşağıya yönelmiştir.
g = 9.81 m/s
2
v0 = 120 m/s
a=g
θ0
a=g
B noktasında:
x = xB
y = yB
t = tB
ay = ay0 = − g = − 9.81 m/s2
vx0 = 120 cos40o = 91.9 m/s
s=?
t1 = t A = 0
Δt = t = ?
t2 = t B = t
vy0 = v0 sinθ0
x
800 m
ax = ax0 = 0
}
y = vy0 t +
xB = vx0 tB
a=g
s
1
ay0 t2
2
→
1
yB = vy0 tB −
g t B2
2
yB
1
= vy0 −
g tB
tB
2
v x0 y B
g xB
→
= vy0 −
2 v x0
xB
vy0 = 120 sin40o = 77.1 m/s
s
B
x = vx0 t
İstenenler:
İstenenler:
20o
800 m
20o
O
a0 = g
vx0 = v0 cosθ0
θ = 40o
A
Çözüm
Çözüm
v0
θ0 = 40o
}
Behcet DAĞHAN
v0 = 120 m/s
Bir mermi şekilde görüldüğü gibi A noktasından fırlatılmıştır. Çarptığı B noktasının eğik düzlem
üzerindeki uzaklığı s yi bulunuz. Uçuş süresi t yi de hesaplayınız.
7
tB = t =
t = tB = Δt
B (xB, yB)
xB
vx0
→
t = 19.5 s
xB = 800 + s cos20o
g xB2 − 2 vx0 vy0 xB + 2 vx02 yB = 0
yB = − s sin20o
}
s = 1057 m
!
içinde
aradan
bulunulan geçen
an
zaman
t harfi çoğunlukla içinde bulunulan anı göstermek için kullanılır.
Ama bu problemde aradan geçen zaman Δt nin yerine de kullanılmıştır.
Eğer göz önüne alınan zaman aralığının başlangıcı sıfır seçilebilirse o zaman
içinde bulunulan an ile aradan geçen zaman birbirine eşit olur. t = Δt olur.
Behcet DAĞHAN
www.makina.selcuk.edu.tr
Buradaki t ler
içinde bulunulan anı
gösterir.
x = vx0 t
y = vy0 t +
1
ay0 t2
2
Behcet DAĞHAN
Maddesel Noktaların Kinematiği
Dinamik
2.2. Düzlemde Eğrisel Hareket
Örnek Problem
Problem
2/7
Behcet
DAĞHAN
Örnek
2/7
A pimi, hareketinin belirli bir aralığında, x-yönündeki hızı sabit ve 20 mm/s olan kılavuz
tarafından, sabitlenmiş parabolik yarık içerisinde hareket etmeye zorlanmıştır.
Bütün boyutlar milimetre ve saniye cinsindendir.
x = 60 mm iken A piminin hızının ve ivmesinin şiddetini bulunuz.
vx = sb.
vx = vx0
→
ax = 0
(sabit)
(sabit)
y=
Yörüngenin denklemi:
y=
A
Çözüm
Çözüm
Verilenler:
Verilenler:
vx = 20 mm/s
8
Behcet DAĞHAN
v 2 = v x2 + v y2
x2
160
v2 = 202 + 152
160 y = x2
x2
v | = 25 mm/s
160 y = 2 x x
160
y = vy
x = vx
İstenenler:
İstenenler:
vy = a y
x = 60 mm iken:
x = vx
v=?
vx = a x
a=?
Behcet DAĞHAN
}
}
a2 = ax2 + ay2
0
a2 = ax2 + 52
80 vy = x vx
→
(sabit)
80 vy = 60 (20)
vy | = 15 mm/s
80 vy = x vx + x vx
y, mm
a
x = 60 mm
0
2
80 ay = vx + x ax
80 ay = vx2
a = 5 mm/s2
x = 60 mm
→
a
80 ay = 202
ay = 5 mm/s2 (sabit)
www.makina.selcuk.edu.tr
a
Yörünge
y = x2/160
vy
v
22.5
A (x,y)
O (0,0)
60
vx
x, mm
Behcet DAĞHAN
Maddesel Noktaların Kinematiği
Dinamik
2.2. Düzlemde Eğrisel Hareket
Behcet DAĞHAN
Örnek Problem
Problem
2/8
Behcet
DAĞHAN
Örnek
2/8
9
Behcet DAĞHAN
2
x = (y /12) − 3 eğrisinin pozitif y-kolu üzerinde hareket eden bir maddesel nokta t = 0 iken y = 0 konumundan ilk hızsız olarak harekete başlamıştır.
Hızının y-bileşeni de vy = 2t bağıntısı ile değişmektedir. Yukarıdaki bağıntılarda x ve y metre, t saniye ve vy m/s cinsindendir. y = 9 m iken
bu maddesel noktanın hızının ve ivmesinin şiddetini bulunuz.
Verilenler:
Verilenler:
t = 0 iken:
y = y0 = 0
v = v0 = 0
vy = 2t
Çözüm
Çözüm
ay = vy
vy = 2t
x = (y2/12) − 3
ay = 2 m/s
(sabit)
9
y
t
∫ dy = ∫ 2t dt
6
y = 9 m iken:
y = t2
a
A (x,y) vx
ax
x = (y 2/12) − 3
}
O (0,0)
4
x = (t /12) − 3
y = 9 m iken
vx = x
ax = vx
ax = t
2
vx = 9 m/s
vy = 6 m/s
ax = 9 m/s2
a=?
ay = 2 m/s2
www.makina.selcuk.edu.tr
x, m
3.75
y = t2
v=?
Behcet DAĞHAN
v
2 12) − 3
x = (y /
e
Yörüng
0
vx = t 3/3
İstenenler:
İstenenler:
vy
ay
dy = vy dt
0
Yörüngenin denklemi:
}
2
y, m
t=3s
}
v 2 = v x2 + v y2
v2 = 92 + 62
→
|
v = 10.8 m/s
y=9m
}
a 2 = a x2 + a y2
a2 = 92 + 22
→
|
a = 9.22 m/s2
y=9m
Behcet DAĞHAN
Maddesel Noktaların Kinematiği
Dinamik
Behcet
DAĞHAN
Normal ve
ve teğetsel
teğetsel
eksenler
Normal
eksenler
t
→
v
ds = ρ dβ
→
et
Behcet DAĞHAN
C
n
t
t
A
Yörünge
Yörünge
A
2.2. Düzlemde Eğrisel Hareket 10
Behcet DAĞHAN
B
n
t
n
A'
Normal ve teğetsel eksenler maddesel nokta ile birlikte hareket ederler.
β
→
en ve →
et : Birim vektörler
n
t-ekseni daima yörüngeye teğettir ve hareket yönünde pozitiftir.
n-ekseni ona dik ve yörüngenin içbükey tarafına doğru pozitiftir.
→
en
dβ
ρ = AC : Eğrilik yarıçapı
v =
ds
dt
ds = ρ dβ
C : Eğrilik merkezi
}
v =
ρ dβ
dt
v = ρ β
0
→ → →
→
→
v = v n + v t = v n en + v t et
β : Eğrilik yarıçapının birim zamanda taradığı açı,
eğrilik yarıçapının açısal hızı
→ →
→
→
v = v t = v t et = v e t
→
→
v = v et
Behcet DAĞHAN
v ve ρ daima pozitif olduğu için
dönme yönünden bağımsız olarak
www.makina.selcuk.edu.tr
→
β daima pozitiftir.
Behcet DAĞHAN
Maddesel Noktaların Kinematiği
Dinamik
Behcet DAĞHAN
→
t
at at
A
an
v=ρβ
dβ
1
→
1
a
a→n
Behcet DAĞHAN
→
et
Yörünge
a
2.2. Düzlemde Eğrisel Hareket 11
Behcet DAĞHAN
→
et
→
d et
v2
an = v β = ρ β 2 = –––
ρ
→
et '
1
d→
et
→
d e //
β
β
t
an daima pozitiftir.
→
en
→
et
→
e
an daima yörüngenin içbükey tarafına yönelmiştir.
n
n
→
en
→
et = β →
en
→
→
v = v et
↓
→
→ →
→
a = v = v e t + v et
{
en
d→
et = (1) dβ →
→
et =
Eğrisel harekette
d→
et
a ≠
dv
dt
dv
dt
= ρβ+ρβ
olduğunu görmüş oluyoruz.
dt
β : Eğrilik yarıçapının açısal ivmesi
→
→
→
→
a = v β en + v et
→ → →
→
→
a = a n + a t = a n en + a t et
Behcet DAĞHAN
at = v =
et | →
en
d→
et = |d →
www.makina.selcuk.edu.tr
a 2 = an2 + at2
Behcet DAĞHAN
Maddesel Noktaların Kinematiği
Dinamik
Behcet
DAĞHAN
Çembersel hareketin
hareketin
normal ve
ve teğetsel
teğetsel eksenler
eksenler ile
ile incelenmesi
incelenmesi ::
Çembersel
normal
v
v
A
Behcet DAĞHAN
ρ = R = sb.
t
→
2.2. Düzlemde Eğrisel Hareket 12
Behcet DAĞHAN
v=ρβ
v=Rω
an
a→
an
a 2 = an2 + at2
β=ω
C : Eğrilik merkezi
+
O
a
→
ρ = AC : Eğrilik
yarıçapı
n
at at
A
→ → →
a = an + at
β=ω
t
→
→
v =→
vt
v2
ρ
an = v β = ρ β 2 =
n
β=α
+
O
R : Çemberin
yarıçapı
an = v ω = R ω 2 =
v2
R
at = v = ρ β + ρ β
Yörünge
Yörünge
at = R α
Çembersel harekette açısal hız sabit ise :
ρ = R = sb.
Behcet DAĞHAN
β = ω = sb.
}
v = sb.
at = 0
→ →
a = an
www.makina.selcuk.edu.tr
a = an
v2
a=vω=Rω =
R
2
→ →
v ┴ a
Behcet DAĞHAN
Maddesel Noktaların Kinematiği
Dinamik
2.2. Düzlemde Eğrisel Hareket 13
Behcet DAĞHAN
Örnek Problem
Problem
2/9
Behcet
DAĞHAN
Örnek
2/9
Behcet DAĞHAN
o
Bir mermi yatayla 30 lik açı yapan 360 m/s lik bir hızla ateşlenmiştir. Yörüngesinin, ateşlendikten 10 s sonraki eğrilik yarıçapı ρ yu bulunuz.
Verilenler:
Verilenler:
v0 = 360 m/s
vy0 = 360 sin30o
θ0 = 30o
vy0 = 180 m/s
g = 9.81 m/s
Çözüm
Çözüm
vy = vy0 − g t
vy0 = v0 sinθ0
vy = 81.9 m/s
t = 10 s anında:
vx = sb. = vx0 = v0 cosθ0
y
ρ=?
vy
Behcet DAĞHAN
θ
A (x,y)
v0
ry = y
vy0
O (0,0)
v
t = 10 s
→
ry
t=0
v = 322.4 m/s
an = 9.49 m/s2
tanθ =
θ
→
r
r
a=g
vy
vx
θ = 14.72o
vx = 360 cos30o = 311.8 m/s (sabit)
t = 10 s anında:
an = a cosθ
vy > 0 olması merminin çıkış yaptığını gösterir.
2
İstenenler:
İstenenler:
v 2 = v x2 + v y2
t
an =
v2
ρ
ρ=
v2
an
ρ = 10 953 m
!
vx
an = a cosθ
Yö
y=
rün
ge
f(x
)
Buradaki eğrilik yarıçapı ρ ile
konum vektörünün şiddeti r
birbirine karıştırılmamalıdır.
ρ≠r
n
ρ = AC : Eğrilik yarıçapı
θ0
vx0 rx = x
x
→
rx
ρ = AC
C : Eğrilik merkezi
www.makina.selcuk.edu.tr
r = OA
Behcet DAĞHAN
Maddesel Noktaların Kinematiği
Dinamik
2.2. Düzlemde Eğrisel Hareket 14
Behcet DAĞHAN
Örnek Problem
Problem
2/10
Behcet
DAĞHAN
Örnek
2/10
Behcet DAĞHAN
2
Düzlemde eğrisel hareket yapan bir maddesel noktanın koordinatları zamana bağlı olarak x = 2t + 3t − 1 ve y = 5t − 2 bağıntıları ile verilmiştir.
Burada x ve y metre ve t saniye cinsindendir. t = 1 s anında eğrilik merkezi C nin koordinatlarını bulunuz.
Verilenler:
Verilenler:
x = 2t 2 + 3t − 1
y = 5t − 2
Çözüm
Çözüm
vx = x
t = 1 s anında:
vx = 4t + 3
x=4m
y=3m
vx = 7 m/s
vy = 5 m/s
vy = y
vy = 5 m/s (sabit)
v 2 = v x2 + v y2
v 2 = 74 (m/s)2
ax = x
ax = 4 m/s 2 (sabit)
tanθ =
y
t
vy
3
A
O
vy
vx
v
θ
4
a = ax
vx
xC
n
ρ : Eğrilik yarıçapı
θ = 35.54o
ay = y
İstenenler:
İstenenler:
t = 1 s anında:
xC = ?
yC = ?
an = 2.32 m/s 2
2
a 2 = a x2 + a y2
a 2 = a x2 + a y2
ρ=
0
v
an
xC = 22.5 m
yC = − ( ρ cosθ − 3)
θ
yC
C : Eğrilik merkezi
ρ = 31.83 m
a = 4 m/s 2 (sabit)
Behcet DAĞHAN
x
yC = − 22.9 m
an = a sinθ
ay = 0 (sabit)
xC = ρ sinθ + 4
www.makina.selcuk.edu.tr
Behcet DAĞHAN
Maddesel Noktaların Kinematiği
Dinamik
2.2. Düzlemde Eğrisel Hareket 15
Behcet DAĞHAN
Örnek Problem
Problem
2/11
Behcet
DAĞHAN
Örnek
2/11
Behcet DAĞHAN
Bir nümerik kontrol cihazına ait bandın hareketinin yönü, şekildeki gibi A ve B makaraları ile değiştirilmektedir.
Bandın hızı, makaralardan 8 m lik kısmının geçmesi esnasında, düzgün bir şekilde 2 m/s den 18 m/s ye çıkmaktadır.
Bandın hızı 3 m/s olduğunda B makarası ile temas eden bant üzerindeki P noktasının ivmesinin şiddetini hesaplayınız.
Çözüm
Çözüm
Verilenler:
Verilenler:
Bandın hızı düzgün bir
şekilde artıyor.
O halde bandın üzerinde
bulunan bir nokta için:
an =
at = sb.
v dv = at ds
v2
ρ
Δs = 8 m
an =
v2 = 18 m/s
v = 3 m/s
→
v2
rB
←
v2
s2
∫ v dv = at ∫ ds
s1
v1
}
v1 = 2 m/s
Bandın, B makarasına
sarılı kısmında bulunan
bir nokta için:
ρ = rB
Δs = 8 m
at = 20 m/s 2 (sabit)
an = 60 m/s2
rA = 100 mm
rB = 150 mm
a 2 = an2 + at2
İstenenler:
İstenenler:
v = 3 m/s olduğunda:
a = 63.2 m/s 2
v = 3 m/s olduğunda:
a=?
Behcet DAĞHAN
www.makina.selcuk.edu.tr
Behcet DAĞHAN
Maddesel Noktaların Kinematiği
Dinamik
2.2. Düzlemde Eğrisel Hareket 16
Behcet DAĞHAN
Örnek Problem
Problem
2/12
Behcet
DAĞHAN
Örnek
2/12
Behcet DAĞHAN
→
→
→
→
x-y düzleminde hareket eden bir maddesel noktanın konum vektörü r = 20 t 2 i + (20/3) t 3 j şeklinde verilmiştir. Buradaki r milimetre ve t saniye
cinsindendir. t = 2 s anında maddesel noktanın bulunduğu konumdaki yörüngenin eğrilik yarıçapı ρ yu hesaplayınız.
Çözüm
Çözüm
Verilenler:
Verilenler:
t = 2 s anında:
→
→
→
r = 20 t 2 i + (20/3) t 3 j
vx = 80 mm/s
vy = 80 mm/s
ax = 40 mm/s 2 (sabit)
→
→
→
r = 20 t 2 i + (20/3) t 3 j
ay = 80 mm/s 2
2
a = ax + ay
ρ=
2
a = 40 √ 5 mm/s 2
ax = x
ax = 40 mm/s
vy = y
ay = y
vy = 20 t 2
ay = 40 t
2
(sabit)
a
1
n
Hız vektörü daima
t-ekseni ile çakışıktır.
2
26.6o
an
160
3
1
1
45o
45
r
t
v
vy
İvme vektörü ve
n-ekseni daima
yörüngenin içbükey
tarafına yönelmiştir.
an daima pozitiftir.
v2
an
ρ = 453 mm
ay
}
}
İstenenler:
İstenenler:
t = 2 s anında:
an = 28.23 mm/s 2
y, mm
y = (20/3) t 3
vx = 40 t
v 2 = 12 800 (mm/s) 2
y
x = 20 t 2
vx = x
an = a cos(45o + 26.6o)
2
→
→
→
r =x i +y j
x
v 2 = v x2 + v y2
A
o
ax
vx
ρ=?
Behcet DAĞHAN
O
www.makina.selcuk.edu.tr
80
x, mm
Behcet DAĞHAN
Maddesel Noktaların Kinematiği
Dinamik
Behcet
DAĞHAN
Polar koordinatlar
koordinatlar
(r,θ)
Polar
(r,θ)
→
er
r
r-ekseni daima konum vektörü ile çakışıktır ve
konum vektörünün gösterdiği yönde pozitiftir.
vr
vr
→ A
r
v
vθ
Yörünge
→
→ d er
er =
dt
θ
→
eθ
→
→
er = θ e θ
→
→
r = r er
θ-açısı yönlü bir açıdır.
Artış yönü keyfi olarak seçilebilir.
→
er
→
eθ
→
→ →
d er = |d er | eθ
←
→
→
d er = (1) dθ eθ
↓
→ →
→
→
v = r = r e r + r er
→
→
→
v = r er + r θ eθ
Orijin (pole=kutup)
keyfi olarak seçilen
bir noktadır.
1
→
eθ
→
d er
→
d er //
θ-ekseninin pozitif yönü,
θ-açısı için seçilen
artış yönündedir.
→
→
er '
dθ
→
v
θ
θ
O
vθ
1
1
→
r
Behcet DAĞHAN
→
d er
→
er
→
→
er ve eθ : Birim vektörler
Keyfi olarak
seçilen
referans ekseni
2.2. Düzlemde Eğrisel Hareket 17
Behcet DAĞHAN
→ → →
→
→
v = v r + v θ = v r er + v θ eθ
r : Konum vektörünün boyunda
birim zamanda meydana gelen değişme
θ : Konum vektörünün birim zamanda taradığı açı,
konum vektörünün açısal hızı
Zaman geçtikçe : θ-açısı artıyorsa
2
v =
Behcet DAĞHAN
vr2
+ vθ
2
vr = r
vθ = r θ
θ-açısı değişmiyorsa : θ = 0
θ-açısı azalıyorsa
www.makina.selcuk.edu.tr
: θ>0
: θ<0
Behcet DAĞHAN
Maddesel Noktaların Kinematiği
Dinamik
Behcet DAĞHAN
A
ar
ar
r
r
1
1
→
eθ '
Yörünge
a
aθ
a
aθ
→
eθ
θ
→
→ d eθ
eθ =
dt
→
→
eθ = θ ( – e r )
θ
→
→
→
v = r er + r θ eθ
→
→
er = θ e θ
→
→
eθ = – θ e r
↓
↓
←
r : Konum vektörünün boyunda birim
zamanda meydana gelen değişmedeki
birim zamanda meydana gelen değişme
θ : Konum vektörünün birim zamanda
taradığı açıdaki birim zamanda meydana
gelen değişme,
konum vektörünün açısal ivmesi
→ → →
→
→
a = a r + a θ = a r er + a θ eθ
a =
+ aθ
2
Behcet DAĞHAN
ar = r – r θ
2
dr
vr = ––
dt
aθ = r θ + 2 r θ
dv
vr = –––r
dt
www.makina.selcuk.edu.tr
→ →
eθ
d eθ
→
→
d eθ // ( – er )
→
→
d eθ = (1) dθ ( – er )
→
→
→
a = ( r – r θ 2 ) er + ( r θ + 2 r θ ) e θ
ar2
→
d eθ
→
→
→
d eθ = | d e θ | ( – e r )
→ →
→
→
→
→
→
a = v = r e r + r er + r θ eθ + r θ eθ + r θ eθ
2
→
eθ
1
→
– er
O
Behcet DAĞHAN
dθ
→
er
r
θ
θ
2.2. Düzlemde Eğrisel Hareket 18
Behcet DAĞHAN
}
vr dvr = vr dr
↔
r dr = r dr
}
vr = r
vr = r
Behcet DAĞHAN
Maddesel Noktaların Kinematiği
Dinamik
dt kadar zaman
aralığında hız vektörünün yönünde ve şiddetinde
Behcet
DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
meydana gelen değişimlerin ivme terimlerindeki karşılıkları
→
d vr
vr nin yönündeki değişme
vr = r
→
er
vr
r
vr'
vθ'
θ
→
eθ
r dθ
dθ
vr nin boyunu
etkileyen terim
ünge
vr nin boyundaki değişme
dθ
aθ = r θ + r θ + r θ
vθ nın boyunu
etkileyen terimler
vθ = r θ
vθ'
vθ nın yönündeki değişme
vr nin yönünü
etkileyen terim
vθ nın yönünü
etkileyen terim
ar = r – r θ 2
v'
Yör
dr
vr'
v
vθ
2.2. Düzlemde Eğrisel Hareket 19
Behcet DAĞHAN
d(r θ) = dr θ + r dθ
r θ dθ
d→
vθ
d(r θ)
vθ nın boyundaki değişme
Behcet DAĞHAN
www.makina.selcuk.edu.tr
Behcet DAĞHAN
Maddesel Noktaların Kinematiği
Dinamik
2.2. Düzlemde Eğrisel Hareket 20
Behcet DAĞHAN
Örnek Problem
Problem
2/13
Behcet
DAĞHAN
Örnek
2/13
Behcet DAĞHAN
Bir itfaiye aracının merdiveni, sabit l = 150 mm/s hızı ile uzamakta ve sabit θ = 2 deg/s oranında yükselmektedir.
θ = 50o ve l = 4 m konumuna erişildiğinde A daki itfaiyecinin hızının ve ivmesinin şiddetini bulunuz.
Verilenler:
Verilenler:
l = 150 mm/s (sabit)
θ = 2 deg/s
Çözüm
Çözüm
r = OA = 6 m + l
(sabit)
r= l
(sabit)
→
r= l=0
θ = 2 deg/s = 2 (π/180) rad/s
θ = π/90 rad/s (sabit)
→
θ=0
v
θ
ar = r − r θ 2
vr = r
l = 4 m iken
ar = 0 − 104 (π/90)2
r = 6 + 4 = 10 m
ar = − 104 (π/90)2
r = 104 mm
ar = − 12.2 mm/s2
vr = 150 mm/s
İstenenler:
İstenenler:
θ = 50
o
l=4m
}
v=?
a=?
aθ = 0 + 2 (150) (π/90)
vθ = 104 (π/90) = 349 mm/s
aθ = 10.5 mm/s2
v 2 = vr2 + vθ2
a 2 = ar2 + aθ2
v = 380 mm/s
r
vθ
aθ
vr
a
aθ = r θ + 2 r θ
vθ = r θ
l = 4 m iken
A
ar
Yörünge
r
r = OA
a = 16 mm/s2
θ = 50o
O
Behcet DAĞHAN
www.makina.selcuk.edu.tr
Behcet DAĞHAN
Maddesel Noktaların Kinematiği
Dinamik
2.2. Düzlemde Eğrisel Hareket 21
Behcet DAĞHAN
Örnek Problem
Problem
2/14
Behcet
DAĞHAN
Örnek
2/14
y
Behcet
DAĞHAN
Doğrusal bir yörünge üzerinde hareket eden A maddesel noktası, şekilde görülen konumdan
v = 100 m/s lik sabit şiddette bir hızla geçmektedir. Bu andaki r, θ, r ve θ değerlerini bulunuz.
80 m
2
r = 80 + 80
y, m
x = 80 m
θ
y = 80 m
v = 100 m/s (sabit)
r
a=0
ge
rün
Yö
2
v = sb.
15o
vr
O
80
ar = 0
x, m
ar = r − r θ 2
İstenenler:
İstenenler:
vr = r
θ=?
vθ = v sin15o
r=?
vθ = r θ
80 m
x
}
}
→
a=0
}
0 =r−rθ2
r = 5.92 m/s 2
r = − 96.6 m/s
aθ = 0
r=?
O
Doğrusal harekette hızın şiddeti sabit ise ivme sıfırdır.
İvme sıfır ise, herhangi bir doğrultuya dik izdüşümü de sıfırdır.
θ = 45o
vr = − v cos15o
θ
r = 80 √ 2 m
A
v
α = 30o
r
vθ
80
θ = 45o
2
A
r
Çözüm
Çözüm
Verilenler:
Verilenler:
30o
v
aθ = r θ + 2 r θ
θ = 0.229 rad/s
}
0 =rθ+2rθ
θ = 0.391 rad/s 2
θ=?
Behcet DAĞHAN
www.makina.selcuk.edu.tr
Behcet DAĞHAN
Maddesel Noktaların Kinematiği
Dinamik
2.2. Düzlemde Eğrisel Hareket 22
Behcet DAĞHAN
Örnek Problem
Problem
2/15
Behcet
DAĞHAN
Örnek
2/15
Şekildeki AB kolu, β açısının sınırlı bir aralığında dönmekte ve A ucu, yarıklı AC kolunun da dönmesine sebep
olmaktadır. β nın 60o ve sabit olan β nın da 0.6 rad/s olduğu şekilde görülen anda r, r, θ ve θ değerlerini bulunuz.
Verilenler:
Verilenler:
AB = R = 150 mm
ρ=R
Çözüm
Çözüm
A noktası AB yarıçaplı çembersel bir yörünge üzerinde sabit bir açısal hız ile
hareket etmektedir. Dolayısı ile A nın hızı da sabit şiddettedir, AB koluna diktir ve
dönme yönündedir. İvmesi de hızına dik ve çemberin merkezi B ye yönelmiştir.
r
BC = 150 mm
v=Rω
β = 0.6 rad/s (sabit)
v = 90 mm/s
vr
t
β=ω
a = R ω2
a = 54 mm/s
v
2
A
θ
İstenenler:
İstenenler:
ar
β = 60o iken :
r=?
r = 150 mm
r
vθ = − v sin30o
aθ
a
vθ = r θ
R = 150 mm
β
Behcet DAĞHAN
θ = 60o
C
O
aθ = − a sin60o
β = 60o
150 mm
ar = − a cos60o
ar = r − r θ 2
r=?
θ=?
}
r = 77.9 mm/s
}
θ = − 0.3 rad/s
}
r = − 13.5 mm/s 2
}
θ=0
vθ
θ
θ=?
vr = r
30o
60o
Çembersel yörünge
vr = v cos30o
B
www.makina.selcuk.edu.tr
aθ = r θ + 2 r θ
Behcet DAĞHAN
Maddesel Noktaların Kinematiği
Dinamik
2.2. Düzlemde Eğrisel Hareket 23
Behcet DAĞHAN
Örnek Problem
Problem
2/16
Behcet
DAĞHAN
Örnek
2/16
Bir roket düşey düzlemde yer alan bir yörüngede ilerlerken A noktasındaki bir radar tarafından izlenmektedir.
Belirli bir anda, radar ölçümleri şunlardır: r = 10.5 km, r = 480 m/s, θ = 0 ve θ = − 0.0072 rad/s 2.
Roketin yörüngesinin bu andaki eğrilik yarıçapı ρ yu bulunuz.
Verilenler:
Verilenler:
r = 10.5 km
r = 480 m/s
vr = r
vr = 480 m/s
θ=0
vθ = r θ
θ = − 0.0072 rad/s 2
vθ = 0
Çözüm
Çözüm
}
vθ = 0 olduğu için
t
v = 480 m/s
vr
r
v
aθ = r θ + 2 r θ
aθ = − 75.6 m/s 2
A
θ
an = | aθ | = 75.6 m/s 2
r
İstenenler:
İstenenler:
an
n
v2
an = ρ
ρ
Yö
rün
ge
aθ
(an daima pozitiftir.)
ρ = 3048 m
ρ=?
C : Eğrilik merkezi
θ
Behcet DAĞHAN
O
www.makina.selcuk.edu.tr
Behcet DAĞHAN
Maddesel Noktaların Kinematiği
Dinamik
Behcet DAĞHAN
→
vr
→
vy
t
→
v
Yörünge
r
→
→
vθ
r
ρ = AC
θ
y
θ
β
x
→
a
→
ay
→
an
θ
β daima pozitiftir.
→
aθ
n
θ
an daima pozitiftir.
θ
ρ = AC
β
x
O
C
→ → → → → → →
a = ax + ay = an + at = ar + aθ
→ → →
→ → →
v = vx + v y = vt = vr + vθ
a 2 = ax2 + ay2 = an2 + at2 = ar2 + aθ2
= vr2 + vθ2
vx = x
v = vt
vr = r
ax = vx = x
vy = y
v=ρβ
vθ = r θ
ay = vy = y
Behcet DAĞHAN
Yörünge
→
ax
İvme vektörü daima yörüngenin
içbükey tarafına yönelmiştir.
C
v 2 = v x2 + v y2
r
at
A
→
t
→
ar
Hız vektörü daima t-ekseni ile çakışıktır.
vx
n
O
r
Hız vektörü daima yörüngeye teğettir.
→
r
θ
Behcet DAĞHAN
r
→ A
y
2.2. Düzlemde Eğrisel Hareket 24
Behcet DAĞHAN
www.makina.selcuk.edu.tr
an = v β = ρ β 2
at = v
=
v2
ρ
ar = r – r θ 2
aθ = r θ + 2 r θ
Behcet DAĞHAN
Maddesel Noktaların Kinematiği
Dinamik
2.2. Düzlemde Eğrisel Hareket 25
Behcet DAĞHAN
Örnek Problem
Problem
2/17
Behcet
DAĞHAN
Örnek
2/17
Behcet DAĞHAN
Düşey olan (r-θ) düzleminde yer alan eğrisel yörüngesinin en alt konumunda iken P uçağının yerden
yüksekliği 400 m ve hızı 600 km/h tir. İvmesinin yatay bileşeni yoktur. Yörüngesinin eğrilik yarıçapı
1200 m dir. O noktasındaki radar tarafından kaydedilen r nın bu andaki değerini bulunuz.
Çözüm
Çözüm
Verilenler:
Verilenler:
v = 600 km/h
n
düşey
İvmenin yatay bileşeni olmadığı için:
ρ
a = an
ρ = 1200 m
an =
İvme vektörü daima yörüngenin içbükey tarafına yönelmiştir
θ
v2
ρ
Yör
an = 23.15 m/s
2
a = 23.15 m/s2
a an
θ a
r
v
üng
e
θ
P
r
vθ
r 2 = 400 2 + 1000 2
θ
yatay
t
Hız vektörü daima yörüngeye teğettir
ve t-ekseni ile çakışıktır.
Maddesel nokta
yörüngesinin en alt konumunda bulunduğu için
yörüngesinin teğeti yataydır.
r = 1077 m
O
İstenenler:
İstenenler:
r=?
r
tanθ = 400/1000
vθ = r θ
θ = 21.8o
vθ = − v sinθ
Behcet DAĞHAN
}
θ = − 0.0575 rad/s
www.makina.selcuk.edu.tr
ar = r − r θ 2
ar = a sinθ
}
r = 12.16 m/s 2
Behcet DAĞHAN
Maddesel Noktaların Kinematiği
Dinamik
2.2. Düzlemde Eğrisel Hareket 26
Behcet DAĞHAN
Örnek Problem
Problem
2/18
Behcet
DAĞHAN
Örnek
2/18
Behcet DAĞHAN
Göz önüne alınan anda, düzlemde eğrisel hareket yapan P maddesel noktası şekilde görüldüğü gibi O kutbundan
80 m uzaklıktadır. Maddesel noktanın hızı ve ivmesi şekilde verilmiştir. Bu anda r, r, θ ve θ değerlerini, ivmenin
n ve t bileşenlerini ve yörüngenin eğrilik yarıçapı ρ yu bulunuz.
Çözüm
Çözüm
Verilenler:
Verilenler:
vr = r
r = 80 m
Hız vektörü daima yörüngeye teğettir
ve t-ekseni ile çakışıktır.
v = 30 m/s
vr = v sin30o
vθ = r θ
a = 8 m/s 2
vθ = v cos30o
t
v
θ
vθ
İstenenler:
İstenenler:
r=?
a
an daima
pozitiftir.
r=?
n
ρ
an
θ
at = ?
ρ=?
O
Behcet DAĞHAN
θ
ar = − a cos60
aθ
o
θ=?
θ=?
an = ?
ar = r − r θ 2
r
30
30o
30o
30o
at
r
vr
P
ar
Yörünge
θ
o
}
}
}
θ = 0.325 rad/s
r = 4.438 m/s 2
aθ = r θ + 2 r θ
aθ = a sin60
o
}
θ = − 0.0352 rad/s 2
an = a cos30o
an = 6.93 m/s 2
at = a sin30o
at = 4 m/s 2
an =
www.makina.selcuk.edu.tr
r = 15 m/s
v2
ρ
ρ = 129.9 m
Behcet DAĞHAN
Maddesel Noktaların Kinematiği
Dinamik
2.2. Düzlemde Eğrisel Hareket 27
Behcet DAĞHAN
Örnek Problem
Problem
2/19
Behcet
DAĞHAN
Örnek
2/19
Behcet DAĞHAN
o
Şekildeki robot kolu, aynı anda hem yükselip hem de uzamaktadır. Verilen bir anda, θ = 30 ,
θ = 10 deg/s = sb. l = 0.5 m, l = 0.2 m/s ve l = − 0.3 m/s 2 dir. Robot kolun tuttuğu P parçasının
→ →
hızının ve ivmesinin şiddetini hesaplayınız. Ayrıca hız ve ivmeyi i ve j birim vektörleri cinsinden yazınız.
Verilenler:
Verilenler:
r = 0.75 m + l
l = 0.5 m iken:
θ = 30o
θ = 10 deg/s (sabit)
θ = (π/18) rad/s
l = 0.5 m
l = 0.2 m/s
l = − 0.3 m/s2
r = l = 200 mm/s
r = 0.75 + 0.5
= 1.25 m
= 1250 mm
r = l = − 300 mm/s 2
Çözüm
Çözüm
→
j
θ
y
vθ
vr = r = 200 mm/s
r
aθ
vθ = r θ = 218 mm/s
θ
v 2 = vr2 + vθ2
θ
v = 296 mm/s
r
θ
θ
vr
P
ar
→
i
θ = 30o
İstenenler:
İstenenler:
θ = sb. →
v=?
ar = r − r θ 2 = − 338 mm/s 2
a=?
aθ = r θ + 2 r θ = 70 mm/s 2
→ →
→
v = vx i + vy j
→
→
→
a = ax i + ay j
θ=0
a 2 = ar2 + aθ2
a = 345 mm/s 2
Behcet DAĞHAN
x
O
vx = vr cosθ − vθ sinθ = 64 mm/s
ax = − | ar | cosθ − aθ sinθ = − 328 mm/s 2
vy = vr sinθ + vθ cosθ = 289 mm/s
ay = − | ar | sinθ + aθ cosθ = − 108 mm/s 2
→
→ →
v = vx i + vy j
→
→ →
a = ax i + ay j
→
→
→
v = 64 i + 289 j mm/s
→
→
→
a = − 328 i − 108 j mm/s 2
www.makina.selcuk.edu.tr
Behcet DAĞHAN
Maddesel Noktaların Kinematiği
Dinamik
2.2. Düzlemde Eğrisel Hareket 28
Behcet DAĞHAN
Örnek Problem
Problem
2/20
Behcet
DAĞHAN
Örnek
2/20
Behcet DAĞHAN
Şekildeki mekanizmada, A piminin çembersel yarık içerisindeki hareketi B kılavuzu tarafından kontrol edilmektedir.
B kılavuzu, hareketinin belirli bir aralığında bağlı olduğu vida vasıtası ile v0 = 2 m/s lik sabit bir hızla yukarı doğru
kaldırılmaktadır. θ = 30o iken A piminin ivmesinin normal ve teğetsel bileşenlerini hesaplayınız.
1. Çözüm
Çözüm
1.
Verilenler:
Verilenler:
ρ = R = 250 mm
ρ (sabit)
vy = v0 (sabit)
ay = vy
v0 = 2 m/s (sabit)
}
Yör
ay = 0
→
0
→ → →
a = ax + ay
Hız vektörü daima
yörüngeye teğettir ve
t-ekseni ile çakışıktır.
üng
e
y
t
R
vy
x
O
İvme vektörü daima
yörüngenin içbükey
tarafına yönelmiştir.
İstenenler:
İstenenler:
θ
n
a
ax
an
v
v0
θ
θ
A
an =
}
v2
v2
=
ρ
R
v0 = v cosθ
vx
an = 21.33 m/s2
tanθ =
at
| at |
an
at = − 12.32 m/s2
θ = 30o iken:
at nin negatif yönde
olduğu şekilden
görülmektedir.
an = ?
at = ?
Behcet DAĞHAN
θ = 30o iken:
www.makina.selcuk.edu.tr
Behcet DAĞHAN
Maddesel Noktaların Kinematiği
Dinamik
2.2. Düzlemde Eğrisel Hareket 29
Behcet DAĞHAN
Örnek Problem
Problem
2/20
Behcet
DAĞHAN
Örnek
2/20
Şekildeki mekanizmada, A piminin çembersel yarık içerisindeki hareketi B kılavuzu tarafından kontrol edilmektedir.
B kılavuzu, hareketinin belirli bir aralığında bağlı olduğu vida vasıtası ile v0 = 2 m/s lik sabit bir hızla yukarı doğru
kaldırılmaktadır. θ = 30o iken A piminin ivmesinin normal ve teğetsel bileşenlerini hesaplayınız.
2. Çözüm
Çözüm
2.
Verilenler:
Verilenler:
Yör
ρ = R = 250 mm
ρ (sabit)
θ = 30o iken:
v0 = v cosθ
üng
e
v = 2.31 m/s
v2
v2
an = ––– = –––
ρ
R
v0 = 2 m/s (sabit)
an = 21.33 m/s2
R
v0
O
v
θ
ρ
θ β
θ
A
İstenenler:
İstenenler:
θ = 30 iken:
an = ?
at = ?
Behcet DAĞHAN
β=|θ|
}
Zaman geçtikçe θ azaldığı için θ negatiftir.
Ama β daima pozitiftir, negatif olmaz.
θ = − 9.24 rad/s
v0 = v cosθ
θ = 30o iken:
0
v0 = v cosθ + v (− sinθ θ )
→
v = − 12.32 m/s 2
}
o
v=ρβ=Rβ
d(cosθ)
d(cosθ) dθ
––––––– = ––––––– –––
dt
dt
dθ
www.makina.selcuk.edu.tr
at = v
at = − 12.32 m/s 2
(Zincir kuralı)
Behcet DAĞHAN
Download

2_2_Duzlemde_Egrisel_Hareket