Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
Statik Ders Notları Sınav Soru ve Çözümleri Behcet DAĞHAN
MÜHENDİSLİK MEKANİĞİ
STATİK
Behcet DAĞHAN
www.makina.selcuk.edu.tr
Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
MÜHENDİSLİK MEKANİĞİ
STATİK
İÇİNDEKİLER
1. GİRİŞ
- Skalerler ve Vektörler
- Newton Kanunları
2. KUVVET SİSTEMLERİ
- İki Boyutlu Kuvvet Sistemleri
- Üç Boyutlu Kuvvet Sistemleri
3. DENGE
- Düzlemde Denge
- Üç Boyutta Denge
4. YAPILAR
- Düzlem Kafes Sistemler
- Çerçeveler ve Makinalar
5. SÜRTÜNME
6. KÜTLE MERKEZLERİ ve GEOMETRİK MERKEZLER
www.makina.selcuk.edu.tr
Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
4
STATİK
YAPILAR
www.makina.selcuk.edu.tr
Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
4.1
Behcet DAĞHAN
STATİK
Düzlem Kafes Sistemler
www.makina.selcuk.edu.tr
Yapılar
Statik
Behcet DAĞHAN
Behcet
DAĞHAN
Kafes sistemler, "yalnızca iki kuvvet taşıyan elemanlar"ın birbirine bağlanması
4.1. Düzlem Kafes Sistemler
1
Behcet DAĞHAN
ile ortaya çıkan yapılardır. Bu elemanların, serbestçe dönen ve moment iletmediği
farzedilen pimlerle birbirine bağlandığı düşünülür.
Eğer elemanların tamamı aynı düzlemde yer alıyorsa o zaman
düzlem kafes sistemlerden bahsedilir.
Elemanlar, elde edilen yapının rijit olabilmesi için,
üçgenler oluşturacak şekilde birleştirilirler.
Rijit, çökmez.
Yük taşıyabilir.
Rijit değil, çöker.
Yük taşıyamaz.
İki üçgene bölünürse yük taşıyabilecek hale gelir.
Ağır yükleri taşımakta kullanılan yapıların
kendi ağırlıklarının mümkün olduğu kadar hafif olması istenir.
Bu amaçla krenler, köprüler, çatılar vb. yapılar
kafes sistem tekniği ile tasarlanır.
Elemanların bağlantı noktalarından geçen doğru, taşıdığı kuvvetlerin ortak tesir çizgisidir ve bu kuvvetler çekme veya basma yönünde olabilirler.
Bir eleman herhangi bir yerinden hayali olarak kesilirse o kesitte elemanın ucundaki kuvveti dengeleyecek şekilde bir kuvvet olduğu görülür.
Behcet DAĞHAN
www.makina.selcuk.edu.tr
Behcet DAĞHAN
Yapılar
Statik
4.1. Düzlem Kafes Sistemler
Behcet DAĞHAN
Kafes sistemlerin
taşıdığı yükler, eğer yayılı yük ise elemanları bağlayan pimlere uygulanan tekil yüklere indirgenirler.
Behcet
DAĞHAN
Tekil yükler elemanların uç noktalarının dışında arada bir yere uygulanmaz.
Kafes sistemlerin kendi ağırlıkları taşıdıkları yüke nazaran, çoğunlukla, ihmal edilir.
İhmal edilmediği zaman bir elemanın ağırlığı ikiye bölünerek uç noktalarındaki pimlere uygulanır.
2
Behcet DAĞHAN
Kafes sistemlerin tasarımı yapılırken elemanların taşıdığı kuvvetler bulunmalıdır. Bu kuvvetleri bulmak amacı ile takip edilen iki temel yaklaşım vardır:
- Düğüm yöntemi,
- Kesim yöntemi.
Düğüm Yöntemi
Kafes sistemin parçalarının birbirine birleştirildiği yerlere düğüm denir. Bu düğümlerde elemanların birbirine bir pim vasıtası ile bağlandığı farzedilir.
Düğüm yönteminde bu pimlerin dengesi incelenerek bilinmeyenler bulunur.
AB
F
B
A
y
C
AB
A
G
AB
ΣFx = 0
D
ΣFy = 0
E
A
A
AG
A pimi
x
AG
AG
A
Denge kategorisi bir noktada kesişen kuvvetler kategorisi olduğundan
Behcet DAĞHAN
Bir düğümün dengesinden en fazla 2 bilinmeyen bulunabilir.
www.makina.selcuk.edu.tr
Behcet DAĞHAN
Yapılar
Statik
4.1. Düzlem Kafes Sistemler
Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
Behcet
DAĞHAN
Kafes sistemin
tamamının dengesinden de ilave denklemler elde edilebilir.
Mesnet tepkileri bulunabilir.
Bir üçgeni oluşturan çubuklardaki kuvvetlerin
kendi aralarında dengede olduğu söylenemez.
!
F
F
F
B
3
B
C
C
CD
CE = 0
A
A
D
G
D
A
D
E
G
A
E
ED
D
Özel düğümler
y
y
y
F3 = 0
F2
F1
F2 = 0
F3 = 0
x
F2
F1
x
F1
x
P
ΣFx = 0
→
F1 = F 2
ΣFx = 0
→
F1 = F 2
ΣFx = 0
→
F1 = P
ΣFy = 0
→
F3 = 0
ΣFy = 0
→
F3 = 0
ΣFy = 0
→
F2 = 0
Behcet DAĞHAN
www.makina.selcuk.edu.tr
Behcet DAĞHAN
Yapılar
Statik
4.1. Düzlem Kafes Sistemler
Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
y
Behcet DAĞHAN
F1
F1
F2
F2
60o
∟
F3
60o
o
60o
60
F3
F1
4
P
F2
F2
ΣFy = 0
→
F1 = F 2
60o
60o
F2
F1
60o
60o
F1 = F 2 = F 3
F3
y
F1 = F 2 = P
EF = 0
∟
y'
F2
∟
x'
y
F2 = 0
L
ΣFx' = 0
→
F1 = F 2
ΣFy = 0
→
F1 = 0
ΣFy = 0
→
F3 = F 4
ΣFy' = 0
→
F2 = 0
Behcet DAĞHAN
60o
P
∟
F3
F1
F1 = 0
F4
∟
F1
60o
www.makina.selcuk.edu.tr
İki sabit mesnet arasındaki çubuk kuvvet taşımaz.
EF = 0
Behcet DAĞHAN
Yapılar
Statik
4.1. Düzlem Kafes Sistemler
Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
5
Behcet DAĞHAN
Kafes sistemler tasarlanırken bazen yukarıdaki gibi iki tane kablo çapraz olarak takılabilir.
Bu durumda kablolardan sadece birisi yük taşır.
Eğer hangisinin yük taşıdığı kestirilemiyorsa o zaman herhangi birisi yük taşıyan eleman olarak alınır. Diğerinin yük taşımadığı kabul edilir.
Yapılan hesaplamanın sonucunda yük taşıdığı düşünülen kabloda çekme kuvveti bulunursa demekki yapılan kabul doğrudur.
Basma kuvveti bulunursa, bir kablo basma kuvveti taşıyamayacağı için yapılan kabulün tersi doğrudur.
A
AB
AB
A
B
AB
AB
B
Bir düğümde çekme olan çubuk kuvveti diğer düğümde de çekmedir.
AB kuvveti A düğümünde çekme ise B düğümünde de çekmedir.
A
AB
AB
A
B
AB
AB
B
Bir düğümde basma olan çubuk kuvveti diğer düğümde de basmadır.
AB kuvveti A düğümünde basma ise B düğümünde de basmadır.
Behcet DAĞHAN
www.makina.selcuk.edu.tr
Behcet DAĞHAN
Yapılar
Statik
4.1. Düzlem Kafes Sistemler
6
Behcet DAĞHAN
Behcet
DAĞHAN
Örnek Problem
4/1
Şekildeki gibi mesnetlenmiş ve yüklenmiş olan kafes sistemin her bir çubuğunun taşıdığı kuvveti
bulunuz. Bütün üçgenler eşkenardır.
Çözüm
Verilenler:
y
L1 = 4 kN
L2 = 8 kN
Ax
2
2
∟
L3 = 2 kN
Ay
2
2
2
2
30o x
C
Tekerlekli mesnette ortaya
çıkan tepki kuvveti
daima dayanma yüzeyine diktir.
∟
2
C düğümü:
y
İstenenler:
AE = ?
BC = ?
30
o
60
C = BC cos30o
30
o
x
CD = BC cos60o
C = 13 kN
CD
− 4 (1) − 8 (2) − 2 (3) + C sin30o (4) = 0
CD = ?
C = 13 kN
DE = ?
BC
ΣMA = 0
BE = ?
Behcet DAĞHAN
30o
→
BD = ?
C
o
Çubukların boyunu 2 birim alalım.
60o
BC
y'
∟
AB = ?
C
CD
ΣFy = 0
ΣFy' = 0
www.makina.selcuk.edu.tr
→
→
C sin30o − CD sin60o = 0
o
C − BC cos30 = 0
→
CD = 7.51 kN
→
BC = 15.01 kN
Behcet DAĞHAN
Yapılar
Statik
4.1. Düzlem Kafes Sistemler
7
Behcet DAĞHAN
Behcet
DAĞHAN
Örnek Problem
4/1
Şekildeki gibi mesnetlenmiş ve yüklenmiş olan kafes sistemin her bir çubuğunun taşıdığı kuvveti
bulunuz. Bütün üçgenler eşkenardır.
Verilenler:
Çözüm (devamı)
D düğümü:
L1 = 4 kN
y
L2 = 8 kN
BD
L3 = 2 kN
DE
60o
Bir çubuğun bir düğümünde çekme olan çubuk kuvveti,
diğer düğümünde de çekmedir. CD kuvveti C düğümünde
çekme olarak bulunduğu için
CD = 7.51 kN
D düğümünde de çekmedir.
60o
D
x
E düğümü:
y
2 kN
ΣFy = 0
ΣFx = 0
AE = ?
CD cos60o + BD cos60o − DE = 0
BC = ?
BD = ?
DE = 6.35 kN
BE = ?
CD = ?
DE = ?
Behcet DAĞHAN
o
60
E
BD = 5.2 kN
AB = ?
60 DE = 6.35 kN
o
CD sin60o − BD sin60o − 2 = 0
İstenenler:
BE
AE
ΣFx = 0
B düğümü:
y
x
4 kN
ED + BE cos60o − AE cos60o = 0
ΣFy = 0
BE sin60o + AE sin60o − 4 = 0
8 kN
B
AB
o
60
BC = 15.01 kN
o
60
x
BE = 4.04 kN BD = 5.2 kN
ΣFx = 0
AB + BE cos60o − BD cos60o − BC = 0
BE = − 4.04 kN
↑
Yön belirtir.
Seçilen yönde değil, ters yöndedir.
AE = 8.66 kN
www.makina.selcuk.edu.tr
AB = 15.59 kN
Behcet DAĞHAN
Yapılar
Statik
4.1. Düzlem Kafes Sistemler
8
Behcet DAĞHAN
Behcet
DAĞHAN
Örnek Problem
4/2
Şekildeki gibi mesnetlenmiş ve yüklenmiş olan kafes sistemin BD ve BE çubuklarının taşıdığı kuvvetleri bulunuz.
Bütün iç açılar ya 60o veya 120o dir.
Çözüm
Verilenler:
L
E düğümü:
G düğümü:
FG
EG
o
120
120o G
BE
DE
60o
o
60
60o
60o
BE
E
60o
BE = EG = L
EG
L
–––––––
= –––––––
o
sin120
sin120o
EG = L
BE = L
B düğümü:
60o
İstenenler:
BD = ?
FG
AB
o
60
BE = ?
Behcet DAĞHAN
EG
BD
AB
60o
BE
60o
60o
60o
L
EG
EG = L
L
60o
DE
B
BE = L
60o
Bu kafes sistemin tamamı üçgenlerden
meydana gelmemiştir.
Fakat rijit bir yapı ortaya çıkmıştır,
yük taşıyabilmektedir.
BD
BD = BE = L
BD = L
www.makina.selcuk.edu.tr
Behcet DAĞHAN
Yapılar
Statik
4.1. Düzlem Kafes Sistemler
9
Behcet DAĞHAN
Behcet
DAĞHAN
Örnek Problem
4/3
Şekildeki gibi mesnetlenmiş olan kafes sistemin her bir çubuğunun kütlesi 40 kg olduğuna göre her bir
çubuğa gelen ortalama kuvveti hesaplayınız.
Çözüm
Verilenler:
m = 40 kg
WT
WT = 40 (7) (9.81) = 2747 N
L=8m
g = 9.81 m/s
W = mg
Kafes sistemin tamamının ağırlığı
2
A düğümü:
A
C
Kafes sistem yükleme açısından ve
aynı zamanda geometrik olarak simetrik olduğu için:
AE = CD
İstenenler:
AB = ?
AB = BC
AE ve AB çubuklarının
ağırlıklarının yarısını
A düğümüne etki
ettiririz.
W = 392 N
y
A
A = 1373 N
ΣFy = 0 →
1.5W
BE = ?
E
Behcet DAĞHAN
AE = 1133 N
30o 30o
AE cos30o − 1.5 W − BE cos30o = 0
AB − AE cos60o = 0
AB = 566 N
BE = 454 N
DE
x
CD = ?
AE = 1133 N
x
ΣFx = 0
y
BD = ?
A − W − AE sin60o = 0
60o
AB
E düğümü:
BC = ?
ΣFy = 0
AE
→ W
A = C = WT / 2 = 1373 N
AE = ?
DE = ?
BE = BD
Çubukların ağırlıklarını, ihmal etmediğimiz zaman,
uç noktalarındaki pimlere etki eden iki kuvvete böleriz.
Bir çubuğun ağırlığına W diyelim.
BE
ΣFx = 0 → AE sin30o + BE sin30o − DE = 0
DE = 794 N
www.makina.selcuk.edu.tr
Behcet DAĞHAN
Yapılar
Statik
4.1. Düzlem Kafes Sistemler
10
Behcet DAĞHAN
Behcet
DAĞHAN
Örnek Problem
4/4
Şekildeki gibi mesnetlenmiş ve yüklenmiş olan kafes sistem, dış taraftaki çubuklardan ve içerideki iki çapraz
kablodan oluşmuştur. AC ve BD kabloları basma taşıyamayan elemanlardır. L yükü (a) B düğümüne,
(b) C düğümüne uygulandığı zaman elemanlarda ortaya çıkan kuvvetleri bulunuz.
Verilenler:
L
Çözüm
İki tane kablo çapraz olarak takıldığı zaman kablolardan sadece birisi yük taşır. Eğer
hangisinin yük taşıdığı kestirilemiyorsa o zaman herhangi birisi yük taşıyan eleman
olarak alınır. Diğerinin yük taşımadığı kabul edilir. AC nin çekme taşıdığını ve
BD nin yük taşımadığını kabul edelim.
BD = 0
(a) L yükü B den uygulanıyor:
B düğümü:
C düğümü:
D düğümü:
y
y
AC
L
B
AB
İstenenler:
BC = L
ΣFx = 0 →
AB = 0
ΣFy = 0 →
BC = L
AD = ?
BC = ?
D
C
x
x
CD
AC
3
ΣFy = 0 →
5
Behcet DAĞHAN
AD = 0
4
CD
CD = 4L / 3
BD = ?
CD = ?
D
BC
AB = ?
AC = ?
AD
BC = L
CD
x
y
AC = 5L / 3
→
www.makina.selcuk.edu.tr
AC kuvveti pozitif çıktı.
Demekki yapılan seçim doğrudur.
AC kablosu yük taşır. BD kablosu taşımaz.
BD = 0
Behcet DAĞHAN
Yapılar
Statik
4.1. Düzlem Kafes Sistemler
11
Behcet DAĞHAN
Behcet
DAĞHAN
Örnek Problem
4/4
Şekildeki gibi mesnetlenmiş ve yüklenmiş olan kafes sistem, dış taraftaki çubuklardan ve içerideki iki çapraz
kablodan oluşmuştur. AC ve BD kabloları basma taşıyamayan elemanlardır. L yükü (a) B düğümüne,
(b) C düğümüne uygulandığı zaman elemanlarda ortaya çıkan kuvvetleri bulunuz.
Verilenler:
L
Çözüm (devamı)
İki tane kablo çapraz olarak takıldığı zaman kablolardan sadece birisi yük taşır. Eğer
hangisinin yük taşıdığı kestirilemiyorsa o zaman herhangi birisi yük taşıyan eleman
olarak alınır. Diğerinin yük taşımadığı kabul edilir. AC nin çekme taşıdığını ve
BD nin yük taşımadığını kabul edelim.
BD = 0
(b) L yükü C den uygulanıyor:
B düğümü:
C düğümü:
D düğümü:
AC
y
y
AD
y
B
AB
İstenenler:
x
AC = ?
ΣFx = 0 →
AB = 0
ΣFy = 0 →
BC = 0
Behcet DAĞHAN
x
CD
AC
3
ΣFy = 0 →
5
AD = 0
4
CD
CD = 4L / 3
BD = ?
CD = ?
D
L
L
AD = ?
BC = ?
x
BC
AB = ?
D
C
CD
AC = 5L / 3
→
AC kuvveti pozitif çıktı.
Demekki yapılan seçim doğrudur.
AC kablosu yük taşır. BD kablosu taşımaz.
www.makina.selcuk.edu.tr
BD = 0
Behcet DAĞHAN
Yapılar
Statik
4.1. Düzlem Kafes Sistemler
Behcet DAĞHAN
Behcet
DAĞHAN
Kesim Yöntemi
12
Behcet DAĞHAN
Elemanların taşıdığı kuvvetleri bulmak amacı ile aşağıdaki gibi kesim yapılarak sadece kafes sistemin bir kısmının dengesi incelenebilir.
Dengesi incelenen kısmın denge kategorisi genel kategori ise üç tane bağımsız denklem vardır.
F
F
E
G
A
D
B
GE
G
ΣFx = 0
BE
A
y
ΣMA = 0
B
C
x
ΣFy = 0
BC
Yandaki denklemler yerine alternatif
denge denklemleri de kullanılabilir.
Bilinmeyenlerden iki tanesinin tesir
çizgisinin kesiştiği bir noktaya göre
moment alınarak bir denklemden bir
bilinmeyen direk olarak bulunabilir.
A
Kesim yöntemi ile en fazla 3 bilinmeyen bulunabilir.
Dolayısı ile, mecbur kalmadıkça, bir kesimde 3 ten fazla eleman kesmemeye dikkat edilir.
Eğer bilinmeyen sayısı 3 ten fazla ise birden fazla kesim yapılabilir.
F
Belirsiz durum ortaya çıkmaması için Kesim çizgisi düğümlerden geçmemelidir.
A
A
!
D
D
Mesnet tepkileri kafes sistemin tamamının dengesinden de bulunabilir.
Kafes sistemlerin çözümünde
sadece düğüm yöntemini veya sadece kesim yöntemini kullanmak yerine
iki yöntem birlikte de kullanılabilir.
Behcet DAĞHAN
www.makina.selcuk.edu.tr
Behcet DAĞHAN
Yapılar
Statik
4.1. Düzlem Kafes Sistemler
13
Behcet DAĞHAN
Behcet
DAĞHAN
Örnek Problem
4/5
Şekildeki gibi mesnetlenmiş ve yüklenmiş olan kafes sistemin BC, BE ve BF elemanlarındaki
kuvvetleri bulunuz. Üçgenler eşkenardır.
Çözüm
Verilenler:
L
BC
BE
1
60o
EF
60o
sin60o
60o
AB
1
60o
x
ΣME = 0
ΣMD = 0
BC (sin60o) − L (1) = 0
BC (sin60o) − BE sin60o (1) = 0
BC = L/sin60o
BC = BE = L/sin60o
60o
BF
y
İstenenler:
60o
60o
60o
EF
ΣFy = 0
BF sin60o − L = 0
BF = L/sin60o
BC = ?
BE = ?
BF = ?
Behcet DAĞHAN
www.makina.selcuk.edu.tr
Behcet DAĞHAN
Yapılar
Statik
4.1. Düzlem Kafes Sistemler
14
Behcet DAĞHAN
Behcet
DAĞHAN
Örnek Problem
4/6
Şekildeki gibi mesnetlenmiş ve yüklenmiş olan kafes sistemin GM elemanındaki kuvveti bulunuz.
Çözüm
Verilenler:
L
12 m
9m
6m
1
3
8x3m
GH
GM
5
3 α
MN
S
K
K = 4L
↑
Kafes sistemin
tamamının dengesinden bulunur.
ΣMS = 0
GM sinα (12) + L (12) + L (9) + (L/2) (6) − K (6) = 0
GM = 0
İstenenler:
GM = ?
GM çubuğundaki kuvveti, düğüm yöntemi ile bulmamız istenseydi altı tane pimin dengesini incelememiz gerekecekti.
Burada bir tek denge denklemi ile sonuca gidilmiştir.
Behcet DAĞHAN
www.makina.selcuk.edu.tr
Behcet DAĞHAN
Yapılar
Statik
4.1. Düzlem Kafes Sistemler
15
Behcet DAĞHAN
Behcet
DAĞHAN
Örnek Problem
4/7
Şekildeki gibi mesnetlenmiş ve yüklenmiş olan kafes sistemin IJ elemanındaki kuvveti bulunuz.
Çözüm
Verilenler:
Boyutlar metre cinsindendir.
7
IJ
ΣMD = 0
A = 150 kN
↑
İstenenler:
IJ (7) + 75 (10) + 25 (16) − A (20) = 0
IJ = 264.29 kN
Kafes sistemin
tamamının dengesinden bulunur.
IJ = ?
IJ çubuğundaki kuvveti, düğüm yöntemi ile bulmamız istenseydi beş tane pimin dengesini incelememiz gerekecekti.
Burada bir tek denge denklemi ile sonuca gidilmiştir.
Behcet DAĞHAN
www.makina.selcuk.edu.tr
Behcet DAĞHAN
Download

STATİK - AnkaAkademi.com