Hareket
Sabit İvmede Doğrusal Hareket
Eğim = ivme
Eğim değişken
Zaman
İvme
Hız
Konum
Konum – Hız – İvme ilişkisi
Zaman
Eğim = 0
Zaman
Kinematik denklemleri
v  v0  at
1
x  vort t  (v0  v)t
2
x  v0t  12 at 2
v 2  v0  2ax
2
Hareket
Sabit İvmede Doğrusal Hareket
Konum – Hız – İvme ilişkisi
Eğim değişken
Zaman
Alan = x
Zaman
İvme
Hız
Konum
Eğim = ivme
Eğim = 0
Zaman
Hareket
Sabit İvmede Doğrusal Hareket
Kinematik denklemleri
1
x  vort t  (v0  v)t
2
v  v0  at
x  v0t  at
1
2
2
v  v0  2ax
2
2
Hareket
Sabit İvmede Doğrusal Hareket
Kinematik denklemleri
Hangi denklemi nerede kullanalım?
• Hangi modelin uygun olduğunu tespit edin.
• Nesne sabit hızla mı hareket ediyor?
• Nesnenin hızı sabit bir ivmeyle mi değişiyor?
• Cebirsel gösterimin mi yoksa grafik gösterimin mi daha
kolay olacağına karar verin.
Hareket
Sabit İvmede Doğrusal Hareket
Kinematik denklemleri
Hangi denklemi nerede kullanalım?
• Sabit hızla harekette hızı bulmak için
Cebirsel
vort
x

t
Grafik
Konum zaman
grafiğinin eğrisi
Hareket
Sabit İvmede Doğrusal Hareket
Kinematik denklemleri
Hangi denklemi nerede kullanalım?
• Sabit hızla harekette yer değiştirmeyi bulmak için
Cebirsel
x  vort t
Grafik
Hız zaman
grafiğinin eğrisi
Hareket
Sabit İvmede Doğrusal Hareket
Kinematik denklemleri
Hangi denklemi nerede kullanalım?
• Sabit ivmeli harekette ivmeyi bulmak için
Cebirsel
v
a
t
Grafik
Hız zaman
grafiğinin eğrisi
Hareket
Sabit İvmede Doğrusal Hareket
Kinematik denklemleri
Hangi denklemi nerede kullanalım?
• Sabit ivmeli harekette son hızı bulmak için
Cebirsel
v f  at  v0
Grafik
Hareket
Sabit İvmede Doğrusal Hareket
Kinematik denklemleri
Hangi denklemi nerede kullanalım?
• Sabit ivmeli harekette yer değiştirmeyi bulmak için
Grafik
x  v0t  at
1
2
2
Hız
Cebirsel
Alan = x
Zaman
Hız zaman
grafiğinin altında
kalan alan.
Hareket
Sabit İvmede Doğrusal Hareket
Kinematik denklemleri
Hangi denklemi nerede kullanalım?
• Sabit ivmeli harekette zamanı bilmeden hızı bulmak için
Cebirsel
v 2f  v02  2aort x
Grafik
Hareket
Sabit İvmede Doğrusal Hareket
Kinematik denklemleri
Sabit hız
vort
x

t
x  vort t
Sabit ivme
v
a
t
v f  at  v0
x  v0t  12 at 2
v 2f  v02  2ax
Hareket
Serbest Düşme hareketi
y
• Dünyanın kütle çekimi düşen nesnelere
sabit bir ivme uygular.
• Serbest düşme ivmesi kütleden
bağımsızdır.
• Büyüklüğü: |a| = g = 9.8 m/s2 dir
• Yönü: Her zaman aşağı doğrudur. Yukarı
genellikle pozitif olarak kabul edildiği için
a = -g = -9.8 m/s2
• xilk = 0 olacak şekilde ayarlanırsa işlemler
kolaylaşır.
Hareket
Serbest Düşme hareketi
y
• İki önemli denklem:
v  v0  gt
0
1
x  x0  v0t  gt 2
2
• t0 = 0, v0 = 0, x0 = 0
• Dolayısı ile iki top için de t2 = 2|x|/g
• Pisa kulesi 56 m ise, hava sürtünmesi
ihmal edildiğinde
t
2 x56m
 3.38s
2
9.8m / s
Kinematik değişkenler (x, v, a)
Konum bir zaman fonksiyonudur:
Konum (m)
Hareket
x=24.0m
t=8.0s
x=4.0m
t=3.0s
x  x(t )
Zaman (s)
x(t)’nin eğimi
İvme; hızın zamana bağlı olarak değişme oranıdır.
v dv
a  lim

t 0 t
dt
Konum
d
dt
Hız
d
dt
v(t)’nin eğimi
Zaman (s)
hızlanma
İvme
İvme (m/s2)
x dx
v  lim

t 0 t
dt
Hız (m/s)
Hız; konumun zamana bağlı olarak değişme oranıdır.
yavaşlama
Hareket
Değişken İvmeli Doğrusal Hareket
İvme zamana bağlı olarak değişiyorsa konum, hız ve ivme arasındaki
ilişki türev ve integral kullanarak incelenebilir.
Değişken ivme
Sabit ivme
x
v
x0
vt
Hız
Konum
xt
x
t
t
v0
Zaman
vani
x dx
 lim

dt
t 0 t
v
t
Zaman
aani
v dv
 lim

dt
t 0 t
t
Hareket
Değişken İvmeli Doğrusal Hareket
İvme zamana bağlı olarak değişiyorsa konum, hız ve ivme arasındaki
ilişki türev ve integral kullanarak incelenebilir.
Hız (m/s)
a1 = +
a2 = a3 = 0
a2
a1
a3
Zaman (s)
v1 = +
v2 = +
v3 = +
Hareket
Değişken İvmeli Doğrusal Hareket
İvme zamana bağlı olarak değişiyorsa konum, hız ve ivme arasındaki
ilişki türev ve integral kullanarak incelenebilir.
Hız (m/s)
a1 = +
a2 = a3 = 0
v1 = +
v2 = +
v3 = +
Alan   f ( x)d x
a
b
x
  vdt
t2
t1
Zaman (s)
Hareket
Değişken İvmeli Doğrusal Hareket
A1    vdt
A 2   vdt
A3    vdt
A 4   vdt
t1
t0
t3
Hız (m/s)
t2
t2
t1
t4
t3
x  A1  A2  A3  A4
A2
t1
   vdt   vdt   vdt   vdt
A4
t2
t3
t4
A1
A3
Zaman (s)
t1
t2
t3
t4
t0
t1
t2
t3
Hareket
Değişken İvmeli Doğrusal Hareket
Türev
Konum :
Hız
:
İvme
:
İntegral
Hareket
Hareket
2 ve 3 BOYUTTA HAREKET
Hareket
1, 2 ve 3 BOYUTTA HAREKET
• Bir boyutta kinematik değişkenler
• Konum:
• Hız :
• İvme:
x
x(t) m
v(t) m/s
a(t) m/s2
y
• Üç boyutta kinematik değişkenler
• Konum:
• Hız:
• İvme:

r (t )  xiˆ  yˆj  zkˆ m

v (t )  vxiˆ  v y ˆj  vz kˆ m/s

a (t )  a iˆ  a ˆj  a kˆ m/s2
x
y
z
j
i
k
z
x
Hareket
•
Pozitif yön
Tek boyutta
x  x2 (t2 )  x1 (t1 )
Negatif yön
x1 (t1) = - 3.0 m, x2 (t2) = + 1.0 m
Δx = +1.0 m + 3.0 m = +4.0 m
  
r  r2  r1
Başlangıç
•
İki ve üç boyutta
• Konum: İki boyutta konum, nesnenin

konum vektörü ile tanımlanır. r (t )
• Konum vektörü her zaman koordinat
sisteminin merkezinden nesneye uzanır
  
r  r2  r1
•
Yer değiştirme

r  ( x2iˆ  y2 ˆj )  ( x1iˆ  y1 ˆj )
 ( x2  x1 )iˆ  ( y2  y1 ) ˆj
 xiˆ  yˆj
Yörünge
Hareket
•
İKİ BOYUTTA
Ortalama hız


r
vort 
t
tanjant

x ˆ y ˆ
vort 
i
j  vort , xiˆ  vort , y ˆj
t
t
•
Anlık (ani) hız




r dr
vani  lim vort  lim

t 0
t 0 t
dt

vani
•

dr dx ˆ dy ˆ

 i
j  vxiˆ  v y ˆj
dt dt
dt
v vektörü x-y düzleminde yörüngeye
teğettir (tanjant)
yörünge
tanjant
yörünge
Hareket
Bir kaplumbağa O noktasından başlayıp v=10 cm/s hızla 25° açıyla
sağa doğru yürüyor.
(a) 10 saniye sonra kaplumbağanın bulunacağı koordinatlar nedir?
(b) 10 saniye sonunda kaplumbağa ne kadar yürümüştür?
Hareket
  
v  vx  v y
•
x bileşeni:
vx  v cos 25  9.06 cm / s
x  vxt  90.6 cm
•
y bileşeni:
v y  v0 sin 25  4.23 cm / s
y  v y t  42.3 cm
•
O noktasından uzaklık
d  x 2  y 2  100.0 cm
Hareket
•
Ortalama ivme


v
aort 
t

vx ˆ v y ˆ
aort 
i
j  aort , xiˆ  aort , y ˆj
t
t
•
yörünge
Anlık ivme




v dv
aani  lim aort  lim

t 0
t 0 t
dt


dv dvx ˆ dv y ˆ
aani 

i
j  axiˆ  a y ˆj
dt
dt
dt
•
Hızın yönü sabit kalsa bile değeri (sürat) değişebilir.
•
Sürat sabit kalsa bile hızın yönü değişebilir.
•
Sürat ve yön birlikte değişebilir.
Hareket
İKİ BOYUTTA HAREKET - ÖZET
•
•
•
•
•
Konum

r (t )  xiˆ  yˆj
Ortalama hız
Anlık hız
İvme
vx 

x ˆ y ˆ
vort 
i
j  vort , xiˆ  vort , y ˆj
t
t
dx
dy
vy 
dt
dt



r dr dx ˆ dy ˆ
v (t )  lim

 i
j  vxiˆ  v y ˆj
t 0 t
dt dt
dt
dv y d 2 y
dvx d 2 x
ax 
 2
ay 
 2
dt
dt
dt
dt



v dv dvx ˆ dv y ˆ
a (t )  lim


i
j  axiˆ  a y ˆj
t 0 t
dt
dt
dt



r (t), v (t ), a (t ) her zaman aynı yönde olmayabilir.
Hareket
• Tek boyutta sabit ivmeli hareket formülleri iki boyutta da her
düzlem için geçerlidir.
vx  v0 x  axt
v y  v0 y  a y t
x  x0  v0 xt  12 a xt 2
y  y0  v0 y t  12 a y t 2
vx  v0 x  2ax ( x  x0 )
v y  v0 y  2a y ( y  y0 )
2
2
2
2
Hareket
Bir F 35 uçağı bir pistten 30o açı ve 50 m/s2 ivme ile dikey kalkış yapıyor.
Uçağın 10 saniye sonraki pozisyonu nedir?
Hareket
y
30o
x
Hareket
y
 = (s 30 )
= 50  0,5
= 25 /2
30o
 = (cos 30 )
= 50  0,86
= 43,3 /2
x
Hareket
x = x0 + v0xt + 1/2 axt2
v0x = 0 m/s
t = 10 s
ax= 43,3 m/s2
x = 2165 m = 2,165 km
y = y0 + v0yt + 1/2 ayt2
=
2
+ 2
= 21652 +12502
= 2500 = 2,5
v0y = 0 m/s
t = 10 s
ay= 25 m/s2
x = 1250 m = 1,250 km
Hareket
Yandaki hız zaman grafiğini temsil eden konum
zaman grafiği aşağıdakilerden hangisidir?
(t0 = 0, x0 = -10 m)
Hareket
Düz Atış Hareketi
Yatay hareket
vx  v0 x  axt
x  x0  v0 xt  12 a xt 2
vx  v0 x  2ax ( x  x0 )
2
2
Dikey hareket
v y  v0 y  a y t
y  y0  v0 y t  12 a y t 2
v y  v0 y  2a y ( y  y0 )
2
2
Hareket
Düz Atış Hareketi

X ve Y düzlemindeki hareketler birbirinden bağımsızdır, bağımsız
olarak hesaplanabilirler.
vx  v0 x
v y  v0 y  gt
x  x0  v0 xt
y  y0  v0 y t  12 gt 2
Yatay





Dikey
t=0 anında x0 = 0, y0 = 0 ise
Toplam hareket = Dikey hareket + Yatay hareket
Yatay hareketin ivmesi: ax = 0 , sabit hız (hava sürtünmesi ihmal)
Dikey hareketin ivmesi: ay = -g = -9.8 m/s2 (hava sürtünmesi ihmal)
x ve y yönünde t aynıdır.
Hareket
Eğik Atış Hareketi

Yatay: ax = 0, Dikey: ay = -g.
 Başlangıç hızları



v0 ın x ve y bileşenleri olabilir.
v0x sabittir. v0 x  v0 cos0
v0y yerçekimi ivmesi
ile sürekli değişir. v0 y  v0 sin  0
Yatay
Dikey
vx  v0 x
v y  v0 y  gt
x  x0  v0 xt
y  y0  v0 y t  12 gt 2
Hareket
Eğik Atış Hareketi – Menzil (R) ve Maksimum Yükseklik (h)

(t = 0): x0 = 0, y0 = 0
 v0x = v0 cosθ0 ve v0x = v0 sinθ0, ise
t
h
y  0  v0 y t  12 gt 2
x  0  v0 xt
2v0 y
g

2v0 sin  0
g
2v cos 0v0 sin  0 v0 sin 2 0
R  x  x0  v0 xt  0

g
g
2
h  y  y0  v0 y th  12 gth  v0 y
2
v0 sin 2  0
h
2g
2
t gt
  
2 2 2
2
Yatay
Dikey
vx  v0 x
v y  v0 y  gt
x  x0  v0 xt
y  y0  v0 y t  12 gt 2
Hareket
Düzgün Dairesel Hareket
Hareket
Düzgün Dairesel Hareket

Bir nesne kavisli bir rotada
sabit süratle hareket ederken:






Sürat: Sabit
Hızın yönü: Değişken
Hız: Değişken
İvme: Sıfır değil
Nesneye etki eden net kuvvet: Sıfır değil
“Merkezcil kuvvet”


Fnet  ma
Hareket
Düzgün Dairesel Hareket

Merkezcil kuvvet: Dairesel hareket
sırasında cismi yörüngede tutan
kuvvet.
 Merkezcil kuvvet, hız vektörünün
büyüklüğünü değiştirmez ancak
yönünü değiştirir.
 Merkezcil kuvvetin yönü, merkezcil
ivmenin yönüyle aynı yani merkeze
doğrudur ve çizgisel hıza diktir.


Fnet  ma
Hareket
Düzgün Dairesel Hareket
Hızdaki değişim ve ortalama hız
Hareket
Δv = vs - vi
Düzgün Dairesel Hareket

Merkezcil ivme
v r

v
r
vr
v 
r
v r v v 2
ar 


t t r r
y
A
vi
ri
R
v v 2
ar 

t r
Merkezcil ivme
B
Δr
O
vs
rs
x
Hareket


ar  v
Düzgün Dairesel Hareket
• Hız:
• Büyüklük(sürat): sabit v
• Yön: Çembere teğet
ac 
• Merkezcil İvme:
ar
• Büyüklük:
v2
r
v2

r
• Yön: Dairesel hareketin merkezi
• Periyot:
• Nesnenin bir tam turu tamamlaması için
gereken süre
T 
2r
v
Hareket
Bağıl Hareket
•
Bir cisim sabit bir noktaya göre zamanla yer değiştiriyorsa, bu cisim hareket
ediyor demektir.
•
Cismin hareketi sabit bir yere göre değilde başka hareketli bir cisme göre
sorulursa iki cismin birbirlerine göre, hareketine bağıl hareket, hızlarına da bağıl
hız denir.
V bağıl = V cisim - V gözlemci
vyer = 16.2 m/s
vyer= 13.8 m/s
Hareket
Bağıl Hareket
Download